âNgulos

Prof.: Rodrigo Carvalho


Ângulo é a região compreendida entre duas semi-retas de mesma origem.

OrigemOrigem

DefiniçãoDefinição


RepresentaçãoRepresentação

OO

AA

BB

AÔB AÔB ou ou BÔABÔA


ElementosElementos

OO

AA

BB


TiposTipos

AgudoAgudo menor que menor que 9090oo

.


Outros tipos de ânguloOutros tipos de ângulo

Uma voltaUma volta360360oo

Ângulo rasoÂngulo raso180180oo

Ângulo nuloÂngulo nulo00oo


É a semi-reta que parte da origem e divide o ângulo em duas partes congruentes.

OO

AA

BB

CC OC é bissetriz de AÔBOC é bissetriz de AÔB

med(AÔC)=med(CÔB)med(AÔC)=med(CÔB)

Bissetriz de um ânguloBissetriz de um ângulo


São ângulos que possuem o vértice e um lado em comum.

AA

OO

BB

CC

AÔB e BÔC são consecutivosAÔB e BÔC são consecutivos

AÔB e AÔC são consecutivosAÔB e AÔC são consecutivos

BÔC e AÔC são consecutivosBÔC e AÔC são consecutivos

Ângulos ConsecutivosÂngulos Consecutivos


São ângulos consecutivos que não possuem pontos internos em comum.

AA BB

CCOO

AÔB e BÔC são adjacentesAÔB e BÔC são adjacentes

AÔB e AÔC não são adjacentesAÔB e AÔC não são adjacentes

BÔC e AÔC não são adjacentesBÔC e AÔC não são adjacentes

Todo ângulo adjacente é consecutivo, mas nem todo Todo ângulo adjacente é consecutivo, mas nem todo ângulo consecutivo é adjacente.ângulo consecutivo é adjacente.

Ângulos AdjacentesÂngulos Adjacentes


AA

DD CC

BB

OO

med(BÔC)=med(AÔD)med(BÔC)=med(AÔD)

Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

med(AÔB)=med(CÔD)med(AÔB)=med(CÔD)

Ângulos opostos pelo vérticeÂngulos opostos pelo vértice


AA

DD CC

BB

OO

Os ângulos adjacentes, dois a dois, são suplementares.

med(AÔB) + med(BÔC) = 180ºmed(AÔB) + med(BÔC) = 180º med(CÔD) + med(AÔD) = med(CÔD) + med(AÔD) =

180º180º

ObservaçãoObservação


Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for igual a 90º.

.aa

bb

a + b = 90º a + b = 90º

a) 20º e 70º a) 20º e 70º ExsExs.:.:

b) 35º e 55º b) 35º e 55º

c) x e 90º- x c) x e 90º- x

90º- x 90º- x O complemento de um O complemento de um ângulo qualquer ângulo qualquer

Ângulos ComplementaresÂngulos Complementares


Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for igual a 180º.

aa bb

a + b = 180º a + b = 180º

ExsExs.:.: a) 120º e 60º a) 120º e 60º

b) 45º e 135º b) 45º e 135º

c) x e 180º- x c) x e 180º- x

180º- x 180º- x O suplemento de um O suplemento de um ângulo qualquer ângulo qualquer

Ângulos SuplementaresÂngulos Suplementares


Ângulos ReplementaresÂngulos ReplementaresDois ângulos são replementares quando a

soma de suas medidas for igual a 360º.

a + b = 360º a + b = 360º

ExsExs.:.: a) 100º e 260º a) 100º e 260º

b) 150º e 210º b) 150º e 210º

c) x e 360º- x c) x e 360º- x

360º- x 360º- x O replemento de um O replemento de um ângulo qualquer ângulo qualquer

aa bb


- O dobro do complemento de um ângulo:- O dobro do complemento de um ângulo: 2.(902.(90ºº - x) - x)

- O complemento do dobro de um ângulo:- O complemento do dobro de um ângulo: 9090ºº - 2x - 2x

- A metade do suplemento de um ângulo:- A metade do suplemento de um ângulo: 180180ºº - x - x 2 2

- O suplemento da metade de um ângulo:- O suplemento da metade de um ângulo: 180180ºº - -

- O suplemento do complemento O suplemento do complemento de um ângulo:de um ângulo: 180180ºº - (90 - (90ºº - x) - x)

ObservaçõesObservações

xx

22


1. O triplo do complemento de um ângulo é igual ao suplemento da metade deste mesmo ângulo. Determine a medida do ângulo em questão.

2. A razão entre as medidas de dois ângulos complementares é igual a 2/3. Determine as medidas destes ângulos.

ExercíciosExercícios


ÂngulosÂngulos formados por duas paralelas e uma formados por duas paralelas e uma transversaltransversal

rr

ss

r//sr//s

dd

bbcc

aa

ffhh

ee

gg


rr

ss

r//sr//s

dd

bbcc

aa

ffhh

ee

gg

Ângulos CorrespondentesÂngulos Correspondentes

a , ea , e

b , f b , f

c , gc , g

d , hd , hCongruentesCongruentes

Ângulos AlternosÂngulos Alternos

ExternosExternos

InternosInternos

a , ga , g

d , fd , f

b , hb , h

c , ec , eCongruentesCongruentes

Ângulos ColateraisÂngulos Colaterais

ExternosExternos

InternosInternos

a , fa , f

d , gd , g

b , eb , e

c , hc , hSuplementaresSuplementares


ExercíciosExercícios1. Determine os valores de x e y, sabendo que as retas das figuras a seguir são paralelas:

2x

3x

y + 10º

a) b)

x

120º

45º


QUESTÃO 38QUESTÃO 38

.


Sugestão de exercícios:

LIVRO 2 - CAPÍTULO 01

Questões: 01, 02, 04, 06, 07, 10, 11, 14, 18, 21, 25, 28 e 29.

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