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1 ANÁLISE COMPARATIVA DO DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO Daniela Leão da Costa 1 Michael Vinicius Martins Caldeira² Daniel Ramos de Souza³ Evandro Schmitt¹ RESUMO Anteriormente ao desenvolvimento de softwares para dimensionamento estrutural, os cálculos eram realizados através de tabelas simplificadas, desenvolvidas por autores como Marcus. Porém, para realização de tais cálculos, tomava-se cada elemento isoladamente, e com o avanço de tecnologias no campo da engenharia de cálculo, surgem- se softwares com capacidade de dimensionar estruturas como um todo, através do método chamado de Analogia de Grelhas. Este método permite calcular as lajes não mais como elementos isolados, e sim como o conjunto de todas as lajes formando um “elemento único”. Com base nestas perspectivas, o presente estudo tem como objetivo comparar os valores de momentos fletores máximos e flechas obtidas através dos métodos de tabelas para o autor Marcus e do método de Analogia de Grelhas, almejando verificar possíveis diferenças significantes entre os resultados encontrados. Para a realização de tais comparações, foi proposto um projeto de pavimento único, composto por 5 lajes de concreto armado. Ainda pôde-se observar que as flechas apresentaram, de modo geral, valores muito inferiores aos obtidos pelo programa Eberick V9. Porém o método de tabelas não é totalmente descartado, uma vez que durante décadas foram utilizados como ferramentas de dimensionamento e apresentaram resultados satisfatórios. Faz-se assim necessário, em pesquisas futuras, uma nova análise destas metodologias, buscando observar os resultados para todos os tipos de lajes possíveis. Palavras Chave: Lajes, Momentos Fletores, Flechas, Tabelas, Analogia de Grelhas COMPARATIVE ANALYSIS OF STRUCTURAL SIZING OF ARMED CONCRETE MASSIVE SLABS ABSTRACT Prior to the development of structural sizing software, the calculations were performed using simplified tables developed by authors such as Marcus. However, to perform such calculations, each element was taken in isolation, and with the advancement of technologies in the field of calculus engineering, software with the ability to dimension structures as a whole, through the method called Grid Analogy. This method allows to calculate the slabs no longer as isolated elements, but as the set of all slabs forming a “single element”. Based on these perspectives, the present study aims to compare the values of maximum bending moments and arrows obtained through the table methods for the author Marcus and the Grid Analogy method, 1 Graduanda do curso de Engenharia Civil da Universidade de Gurupi - UnirG, e-mail: [email protected]; ² Docente do curso de Engenharia Civil da Universidade de Gurupi - UnirG, e- mail: [email protected]; ³ Graduando do curso de Engenharia Civil da Universidade de Gurupi - UnirG, e-mail: [email protected]. ¹ Orientador. Docente do curso de Engenharia Civil da Universidade de Gurupi - UnirG, e-mail: [email protected].

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ANÁLISE COMPARATIVA DO DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE LAJES

MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

Daniela Leão da Costa1

Michael Vinicius Martins Caldeira²

Daniel Ramos de Souza³

Evandro Schmitt¹

RESUMO

Anteriormente ao desenvolvimento de softwares para dimensionamento estrutural, os cálculos eram realizados através de tabelas simplificadas, desenvolvidas por autores como Marcus. Porém, para realização de tais cálculos, tomava-se cada elemento isoladamente, e com o avanço de tecnologias no campo da engenharia de cálculo, surgem- se softwares com capacidade de dimensionar estruturas como um todo, através do método chamado de Analogia de Grelhas. Este método permite calcular as lajes não mais como elementos isolados, e sim como o conjunto de todas as lajes formando um “elemento único”. Com base nestas perspectivas, o presente estudo tem como objetivo comparar os valores de momentos fletores máximos e flechas obtidas através dos métodos de tabelas para o autor Marcus e do método de Analogia de Grelhas, almejando verificar possíveis diferenças significantes entre os resultados encontrados. Para a realização de tais comparações, foi proposto um projeto de pavimento único, composto por 5 lajes de concreto armado. Ainda pôde-se observar que as flechas apresentaram, de modo geral, valores muito inferiores aos obtidos pelo programa Eberick V9. Porém o método de tabelas não é totalmente descartado, uma vez que durante décadas foram utilizados como ferramentas de dimensionamento e apresentaram resultados satisfatórios. Faz-se assim necessário, em pesquisas futuras, uma nova análise destas metodologias, buscando observar os resultados para todos os tipos de lajes possíveis.

Palavras Chave: Lajes, Momentos Fletores, Flechas, Tabelas, Analogia de Grelhas

COMPARATIVE ANALYSIS OF STRUCTURAL SIZING OF ARMED CONCRETE

MASSIVE SLABS

ABSTRACT

Prior to the development of structural sizing software, the calculations were performed using simplified tables developed by authors such as Marcus. However, to perform such calculations, each element was taken in isolation, and with the advancement of technologies in the field of calculus engineering, software with the ability to dimension structures as a whole, through the method called Grid Analogy. This method allows to calculate the slabs no longer as isolated elements, but as the set of all slabs forming a “single element”. Based on these perspectives, the present study aims to compare the values of maximum bending moments and arrows obtained through the table methods for the author Marcus and the Grid Analogy method,

1 Graduanda do curso de Engenharia Civil da Universidade de Gurupi - UnirG, e-mail:

[email protected]; ² Docente do curso de Engenharia Civil da Universidade de Gurupi - UnirG, e-

mail: [email protected]; ³ Graduando do curso de Engenharia Civil da Universidade de Gurupi -

UnirG, e-mail: [email protected]. ¹ Orientador. Docente do curso de Engenharia Civil da

Universidade de Gurupi - UnirG, e-mail: [email protected].

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aiming to verify possible significant differences between the results found. To make such comparisons, a single pavement project was proposed, composed of 5 reinforced concrete slabs. It was also observed that the arrows generally presented values much lower than those obtained by the Eberick V9 program. However, the table method is not completely discarded, since for decades they were used as sizing tools and presented satisfactory results. Therefore, in future research, a new analysis of these methodologies is necessary, seeking to observe the results for all possible types of slabs.

Keywords: Slabs, Fleeting Moments, Arrows, Tables, Grid Analogy.

INTRODUÇÃO

Segundo a ABNT NBR 6118:2014, p. 84, placas são definidas como elementos

de superfície plana, sujeitos principalmente a ações normais a seu plano. As placas

de concreto são usualmente denominadas lajes. Neste sentido, De Paula (2014) ainda

introduz que as lajes maciças são compostas da mistura definida como concreto e o

aço, que juntos formam o concreto armado.

De acordo com Zenzen (2012), por anos, os cálculos dos elementos estruturais

foram realizados através de tabelas. Nestes métodos, desconsiderava- se a

continuidade das lajes, tomando-as de forma simplificada, sem interação entre si,

como peças isoladas e apoiadas sobre vigas indeformáveis, ou com engastamento

fixo, realizando-se a compatibilização dos momentos fletores de lajes adjacentes.

Nesta perspectiva, através do avanço tecnológico, buscou-se desenvolver

ferramentas para análise estrutural de forma a aproximar os resultados com a

performance real da edificação, permitindo assim avaliar o comportamento de um

pavimento como um todo. Assim, os softwares de análise de estruturas de concreto

armado foram desenvolvidos com base no método de analogia de grelhas (ZENZEN,

2012).

Kirst (2010) descreve que, para uma análise através da analogia de grelhas,

deve-se particionar as lajes em uma sequência de faixas de medida previamente

definida, que serão trocadas por elementos estruturais de barras alocados em seus

eixos. Assim, obtém-se perfis de esforços e deformações análogas da situação real

em regime elástico.

Seja através de processos simplificados, considerando as peças estruturais

isoladamente, ou através de processos mais aprimorados, considerando o conjunto

de vigas e lajes como grelhas, pode-se calcular as deformações e esforços solicitantes

que atuam nas estruturas de edifícios em concreto armado (GIONGO, 2007). Nesta

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perspectiva, o referido trabalho possibilitará a comparação dos momentos fletores

máximos positivos e negativos e das flechas obtidas nos cálculos das lajes, através

de dois métodos diferenciados para estruturas de concreto armado, comparando os

percentuais e confiabilidade dos mesmos.

METODOLOGIA

O trabalho foi desenvolvido através das seguintes etapas:

a) Pesquisa bibliográfica;

b) Apresentação das características fundamentais ao cálculo de lajes em concreto

armado;

c) Descrição das características técnicas e cargas atuantes do projeto elaborado;

d) Desenvolvimento do cálculo através das equações levantadas no

referencial teórico;

e) Apreciação dos resultados alcançados;

f) Conclusões e proposta para outras pesquisas.

Primeiramente, realiza-se a pesquisa bibliográfica de modo a levantar

conceitos e teorias relacionadas com o trabalho. Em sequência, descreve-se as

principais informações obtidas na pesquisa bibliográfica, como, por exemplo, as

características das lajes e suas metodologias de cálculo dos esforções e

deslocamentos (tabelas de Marcus e analogia de grelhas), compondo assim a base

de sustentação e informações necessárias ao desenvolvimento do estudo de caso.

O estudo de caso inicia-se com a descrição das informações necessárias para

elaboração do projeto estrutural, observando características técnicas e cargas

atuantes, que são normatizadas (ABNT NBR 6118:2014 e ABNT NBR 6120:1980) e

imprescindíveis para análise mais próxima o possível da realidade. Através das

características e das cargas, realiza-se os cálculos por meio das tabelas do autor

Marcus e em seguida lança-se as mesmas características e cargas no software

Eberick V9, com o objetivo de se obter os valores por meio da analogia de grelhas.

Para os dois métodos têm-se por finalidade levantar os esforços (momentos

fletores máximos positivos e negativos) e os deslocamentos (flechas) nas lajes. E

apartir das informações levantadas no referencial teórico e dos resultados

encontrados no desenvolvimento dos cálculos, aponta-se os percentuais distintos

entre os métodos, balizando as informações encontradas.

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Por fim, apresenta-se as conclusões abrangendo todo o estudo desenvolvido e

apontando propostas para pesquisas futuras relacionadas ao tema

1 ESTUDO DE CASO

Este item objetiva principalmente aplicar os métodos de cálculo para esforços

e deslocamentos. Especificamente, o projeto arquitetônico proposto, o qual servirá de

norteio para os procedimentos de cálculo dos momentos fletores e das flechas totais

para o autor Marcus. Posteriormente, o projeto arquitetônico será lançado e

dimensionado através do software Eberick V9, com o intuito de obter os

deslocamentos e esforços pelo método de analogia de grelhas. Será apresentado os

resultados finais dos esforços e deslocamentos obtidos, sendo estes valores

comparados entre si com o intuito de apontar possíveis diferenças ou igualdades

existentes no método de cálculo manual e através de software.

1.1 Descrição das Características Técnicas do Projeto Arquitetônico e da Planta

de Forma

Foram definidos dados como concreto a ser utilizado, espessura da laje

adotada em conformidade com o cobrimento, cargas permanentes e acidentais

atuantes nas lajes, equações dependentes de coeficientes obtidos nas tabelas de

Marcus, com a finalidade de calcular os esforços e deformações.

Para o estudo de caso foi elaborado um projeto residencial de um pavimento,

composto por 5 lajes, conforme apresentado na Figura 1.

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Figura 1: Planta arquitetônica definida.

Fonte: Autora.

A Figura 2 ilustra os pilares, vigas e as lajes, que serão tomadas igualmente

para lançamento estrutural e tomadas para realização dos cálculos através das

tabelas.

Figura 2: Forma do projeto estrutural.

Fonte: Autora.

1.2 Agregado e 𝐟𝐜𝐤 do Concreto e Espessura Adotada Para Laje

Para os cálculos sobre o projeto proposto, serão adotados alguns parâmetros

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iniciais: concreto C25 e agregado componente do concreto considerado brita de

formação basáltica, comum na região. A espessura da laje maciça adotada para todas

as lajes do projeto será de h=10 cm, obedecendo os valores espessura mínima

conforme ABNT:NBR 6118:2014

1.3 Módulo de Elasticidade Secante e Momento de Inércia na Seção Bruta do

Concreto

Para o cálculo das flechas imediatas, faz-se necessário o cálculo do módulo de

elasticidade secante do concreto e o cálculo do momento de inércia na seção bruta

do concreto, sendo que, para o caso de lajes, b é o comprimento da laje tomado para

1 metro de laje, ou seja, b = 100 cm. De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, o

módulo de elasticidade inicial pode ser calculado através do 𝑓𝑐𝑘 e do fator 𝛼𝐸

determinado de acordo com o agregado presente no concreto que, para basalto, é

definido com valor 𝛼𝐸 = 1,2. O módulo de elasticidade secante é definido pelo módulo

de elasticidade inicial, multiplicado pelo fator 𝛼𝑖 calculado em função do 𝑓𝑐𝑘 do

concreto. Nestas perspectivas, tem-se:

𝐼𝐶=𝑏ℎ³/12=100×10312=8.333,33 𝑐𝑚4

𝐸𝑐𝑖=𝛼𝐸5600√𝑓𝑐𝑘=1,2×5600×√25=33.600 𝑀𝑃𝑎

𝛼𝑖=0,8+0,2 𝑓𝑐𝑘/80=0,8+0,2 25/80=0,8625

𝐸𝐶𝑆=𝛼𝑖𝐸𝑐𝑖=0,8625×33.600=28.980 𝑀𝑃𝑎=2.898 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

1.4 Cargas Permanentes, Acidentais e Carga Total

Para a carga total atuante (que será a mesma para todas as lajes), ressalta- se

que o valor tomado para piso cerâmico (0,15 KN/m²) foi adotado em conformidade ao

exposto por Bastos (2015). O valor referente à carga acidental (1,5 kN/m²) foi adotado

conforme prescrição da normativa ABNT:NBR 6120:1980. Nestas perspectivas,

obtém-se os seguintes valores:

Carga permanente (𝒈):

a) Peso Próprio: 0,10 × 25 = 2,5 𝑘𝑁/𝑚²

Revestimento Inferior: 0,02 × 19 = 0,38 𝑘𝑁/𝑚²

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Revestimento Superior: Contrapiso: 0,03 × 21 = 0,63 𝑘𝑁/𝑚²; Piso Cerâmico: 0,15

𝑘𝑁/𝑚²

Portanto:

b) Carga Acidental (𝒒): q= 1,5 kN/m²

c) Carga Total (𝒑): 5,16 kN/m²

1.5 Tipo de Armação e Tipo de Vinculação das Lajes

Através do projeto de forma, foram definidas as dimensões x e y para cada laje,

de acordo com Marcus. A relação entre os vãos teóricos (𝜆 = 𝑙𝑦/ 𝑙𝑥) propiciou a

determinação do tipo de armação existente para cada laje (Quadro I). A vinculação foi

definida de acordo com a continuidade das lajes.

Quadro I: Tipo de vinculação em função de λ

Laje 𝝀 Tipo de

armação

Tipo de

vinculação

L1 1,16 2 direções

L2 1,18 2 direções

L3 0,82 1

L4 2,52 2 direções

L5 1,02 2 direções

Fonte: Autora.

1.6 Fator 𝜶𝒇

Ao levar em consideração o cálculo das flechas diferidas que serão realizadas,

faz-se necessário o cálculo do fator 𝛼𝑓. O fator 𝛼𝑓 é calculado através da razão da

variação do coeficiente em função do tempo e da taxa de aço da armadura

comprimida. Tratando-se do coeficiente função do tempo, serão tomados para o

tempo 𝒕 os valores conservadores, referentes a ≥ 70 meses e 1 mês (considerando o

início da atuação da carga de longa duração). Para a taxa de aço, tratando-se de lajes,

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o valor adotado será zero devido a inexistência da armadura comprimida. Deste modo,

tem-se:

𝛼𝑓 = 2−0,68

1+50(0)= 1,32

1.7 Valores Limites de Deslocamento

De acordo com ABNT NBR 6118:2014, os valores limites de deslocamento para

cada laje (valor prático utilizado para verificação em serviço do estado-limite de

deformações excessivas da estrutura), são calculados a seguir:

Laje L1: 250/250 = 1 𝑐𝑚

Laje L2: 250/250 = 1 𝑐𝑚

Laje L3: 290/250 = 1,16 𝑐𝑚

Laje L4: 135/250 = 0,54 𝑐𝑚

Laje L5: 295/250 = 1,18 𝑐𝑚

Nesta perspectiva, para cada laje, deve-se comparar os valores obtidos da

flecha total com os resultados acima, observando que as flechas totais devem ser

inferiores aos valores limites.

1.8 Cálculo da Laje Armada em Uma Direção (Laje L4)

Os cálculos referentes à laje L4 não podem ser realizados por meio de tabelas

uma vez que está laje apresenta armadura principal em apenas uma direção. Porém,

faz-se necessário os cálculos da respectiva laje pois servirão de auxílio para a

compatibilização dos momentos fletores do autor Marcus, e comparação de eventuais

resultados obtidos pelo software Eberick V9.

1.8.1 cálculo do momento fletor

Através dos coeficientes retirados das tabelas de Marcus; empregando a carga

total calculada no item 1.4, e utilizando o vão teórico 𝑙𝑥, foram calculados os momentos

fletores positivos e negativos para a laje 4, conforme a seguir:

Positivo:

M máx = 5,16×1,35²/24 = 0,39 𝑘𝑁.𝑚/𝑚

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Negativo:

M máx = 5,16×1,35²/12 = 0,78 𝑘𝑁.𝑚/𝑚

1.8.2 cálculo das flechas

Utilizando a carga total calculada no item 3.4, o módulo de elasticidade secante

e momento de inércia da seção bruta do concreto, e utilizando o vão teórico 𝑙𝑥,

calculou-se a flecha imediata para a laje L4:

ai =1384 0,000516×13542898×8.333,33 = 0,002 𝑚 = 0,2 𝑐𝑚

1.8.3 flecha diferida e flecha total

Por meio do fator 𝛼𝑓 obtido no item 1.7 e por meio do item 1.8.2 , calculou-se

a flecha diferida (af) para a laje L4, conforme a seguir:

af =1,32×0,002=0,003 𝑚=0,3 𝑐𝑚

Tomando-se os valores obtidos para flecha imediata (ai) e flecha diferida (af),

calcula-se a flecha total (at) para a laje L4, conforme a seguir:

at =0,2+0,3=0,5 𝑐𝑚

1.8.4 verificação do valor limite

Comparando-se o valor da flecha total obtida anteriormente com o valor limite

obtido no item 3.8 tem-se que:

Laje L4: 0,5 𝑐𝑚<0,54 𝑐𝑚→𝑂𝐾!

1.9 Cálculo dos Momentos Fletores Máximos Positivos e Negativos (Tabela de

Marcus)

Inicialmente, para a realização dos cálculos dos momentos fletores para as tabelas de

Marcus, faz-se necessário a obtenção dos coeficientes de cálculo. Assim, o Quadro II

apresenta os seguintes dados de acordo com cada laje:

Quadro II: Dados para Cálculo dos Momentos Fletores por Marcus.

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Lajes

𝒍𝒙

(cm)

𝒍𝒚

(cm)

𝒍𝒚

𝝀 = 𝒍

𝒙

Coeficientes

Momentos

Positivos

Coeficientes

Momentos

Negativos

𝒎𝒙 𝒎𝒚 𝒏𝒙 𝒏𝒚

L1 250 290 1,16 28,46 38,29 12,42 16,71

L2 250 295 1,18 27,71 38,58 12,13 16,88

L3 290 355 1,22 26,36 39,23 11,61 17,28

L5 295 300 1,02 35,72 37,16 15,39 16,01

Fonte: Autora.

Através dos coeficientes retirados das tabelas de Marcus; empregando a carga

total calculada no item 1.4, e utilizando o vão teórico 𝑙𝑥, foram calculados os momentos

fletores positivos e negativos para as lajes, conforme a quadro III:

Quadro III - Valores dos momentos positivos e negativos (tabela de Marcus)

Fonte: Autora.

LAJES

Momentos positivos Momentos negativos

Mx

(Kn.m/m)

My

(Kn.m/m)

Nx

(Kn.m/m)

Ny

(Kn.m/m)

L1 1,13 0,84 -2,60 -1,93

L2 1,16 0,84 -2,66 -1,91

L3 1,65 1,11 -3,74 -2,51

L5 1,26 1,21 -2,92 -2,81

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1.9.1 compatibilização dos momentos fletores

Os momentos fletores obtidos pelo método de Marcus foram compatibilizados

resultando nos valores conforme figuras Figura 3, Figura 4 e Figura 5 a seguir:

Figura 3: Compatibilização de momentos de Marcus para as lajes L1-L2 e L1-L3.

Fonte: Autora.

Figura 4: Compatibilização de momentos de Marcus para as lajes L3-L5 e L2-L4-L5.

Fonte: Autora.

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Figura 5: Momentos máximos de Marcus compatibilizados.

Fonte: Autora.

1.9.2. flecha imediata, flecha diferida e flecha total

Para a realização dos cálculos das flechas imediatas, faz-se necessário a

obtenção dos coeficientes de cálculo e dos quinhões de carga referentes (𝑝𝑥). Assim,

o Quadro IV apresenta os seguintes dados de acordo com cada laje:

Quadro IV: Dados para Cálculo das Flechas Imediatas por Marcus.

Lajes 𝒍𝒙

(cm)

𝒍𝒚

(cm)

𝒍𝒚

𝝀 =𝒍𝒙 𝒌𝒙

𝒑𝒙 = 𝒌𝒙 × 𝒑

(kN/cm²)

L1 250 290 1,16 0,644 0,000332

L2 250 295 1,18 0,660 0,000341

L3 290 355 1,22 0,690 0,000356

L5 295 300 1,02 0,520 0,000268

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Fonte: Autora.

Utilizando a equação ai=2

384.

px . 𝑙𝑥4

2898 . I , os coeficientes retirados das tabelas de

Marcus, o quinhão de carga na direção x, o vão teórico 𝑙𝑥, o momento de inércia na

seção bruta e o módulo de elasticidade secante do concreto, foram calculadas as

flechas imediatas para as lajes em questão.

Após, com o valor das flechas imediatas calcula-se as flechas diferidas para

Marcus multiplicando pelo coeficiente 1,32. A partir da somatória dos dois resultados

obteve-se o valor das flechas totais conforme quadro V abaixo.

Quadro V - valores das flechas imediatas, diferidas e totais.

LAJES Flechas imediatas (ai) Flechas diferidas (af) Flechas totais (at)

L1 0,02m 0,03m 0,05m

L2 0,02m 0,03m 0,05m

L3 0,05m 0,07m 0,12m

L5 0,04m 0,05m 0,09m

Fonte: Autora.

Realizando a comparação do valor da flecha total obtida anteriormente com o valor

limite obtido no item 1.8, tem-se que as lajes estão dentro do limite:

Figura 6 - valores das flechas imediatas, diferidas e totais.

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Fonte: Autora.

1.10 Analogia de Grelhas (Software Eberick V9)

Por meio do software Eberick V9 e partindo da planta baixa definida no item

3.1, lançou-se a estrutura considerando os mesmos valores empregados nos cálculos

por tabelas, como por exemplo, espessura da laje maciça (10 cm), carga acidental e

carga permanente (5,16 kN/m²), resultando no pórtico 3D conforme Figura 7 a seguir:

Figura 7: Pórtico 3D gerado pelo software Eberick V9.

Fonte: Eberick V9, adaptado pela autora.

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Ressalta-se que os coeficientes de ponderação 𝛾𝑓 foram considerados igual a

1,0 para as cargas permanentes e acidentais nas situações desfavoráveis.

Desconsiderou-se também a ação do vento atuante na estrutura.

Após o processamento e dimensionamento da estrutura lançada, gerou-se no

software a representação dos esforços (momentos fletores máximos positivos e

negativos), apresentados em kN.m/m, exibidos nas direções x e y e nos

engastamentos, e a representação dos deslocamentos (flechas totais), apresentados

em cm, conforme Figura 8 e Figura 9 a seguir:

Figura 8: Esforços máximos gerado pelo Eberick V9.

Fonte: Eberick V9, adaptado pela autora.

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Figura 9: Deslocamentos totais gerado pelo Eberick V9.

Fonte: Eberick V9, adaptado pela autora.

Apresenta-se no quadro VI a seguir, a título de conhecimento, os valores referentes

as flechas imediatas, flechas diferidas e flechas totais obtidas pelo software Eberick

V9:

Quadro VI: Deslocamentos imediatos, diferidos e totais segundo Eberick V9.

Laje Deslocamentos

Imediatos Diferidos Total

L1 0,04 0,04 0,08

L2 0,08 0,08 0,16

L3 0,09 0,09 0,18

L4 0,10 0,10 0,19

L5 0,12 0,12 0,25

Fonte: Eberick V9, adaptado pela autora.

O software Eberick V9 ainda é capaz de gerar a grelha que foi considerada

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para o cálculo dos momentos fletores. Para uma melhor visualização da grelha, a

mesma foi espaçada em 50 cm na etapa de lançamento das lajes no software, o que

resultou na grelha da Figura 10:

Figura 10: Grelha do pavimento gerada pelo software Eberick V9.

Fonte: Eberick V9, adaptado pela autora.

2 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS

Através dos resultados obtidos pelos cálculos dos esforços para o autor

Marcus, e através do software Eberick V9, monta-se os Quadro VII e Quadro VIII, que

apresentam, resumidamente, os resultados dos momentos fletores máximos positivos

e negativos, respectivamente, para todas as lajes do projeto.

Observa-se que para a laje L4 não foi possível calcular o momento fletor

positivo na direção y, uma vez que esta laje é armada em apenas uma direção. A

normativa ABNT NBR 6118:2014 recomenda-se adotar a armadura de distribuição

para estes casos, que será de acordo com o diâmetro da bitola do aço adotado.

Igualmente para o momento fletor negativo, não é possível o cálculo para a laje L4.

Porém, adotou-se o valor do momento negativo máximo calculado pelo autor

naquele ponto, com a finalidade de se observar o resultado com o valor apresentado

pelo programa Eberick V9.

Quadro VII: Momentos fletores máximos positivos.

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Lajes

Tabelas de

Marcus

Analogia de Grelha

(Eberick V9)

𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑴𝒙 𝑴𝒚

L1 1,15 0,85 1,18 1,40

L2 1,43 0,84 1,26 1,90

L3 1,86 1,11 1,98 1,71

L4 0,39 - 0,85 2,30

L5 1,26 1,49 2,35 2,04

Fonte: Autora.

Quadro VIII: Momentos fletores máximos negativos.

Lajes Tabelas de

Marcus

Analogia de Grelha

(Eberick V9)

L1-L2 -1,92 -2,86

L1-L3 -2,56 -3,24

L3-L4 -3,74 -7,96

L3-L5 -3,33 -6,92

L2-L4 -2,13 -2,28

L4-L5 -2,25 -2,95

Fonte: Autora.

Por meio dos quadros: Quadro VII e Quadro VIII, foi possível criar dois novos

quadros: Quadro IX e Quadro X que apresentam o percentual de diferença dos

momentos fletores entre o método de tabela pelo autor e os resultados encontrados

pelo software Eberick V9.

Observa-se que a variação máxima para o momento positivo é de 55,8%,

e para o momento negativo é de 53%. Observa- se ainda que apenas para os

momentos positivos na direção x da laje L2, encontraram-se resultados superiores aos

obtidos pelo programa Eberick V9.

Quadro IX: Percentual de diferença entre os momentos fletores positivos e software

Eberick V9.

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Lajes

Diferença - momentos

positivos (%)

𝑴𝒙 𝑴𝒚

L1 -2% -39%

L2 +13,5% -55,8%

L3 -6% -35%

L4 -54,1% -

L5 -46,4% -27%

Fonte: Autora.

Quadro V: Percentual de diferença entre os momentos fletores negativos e software

Eberick V9.

Lajes Diferença - momentos

negativos (%)

L1-L2 -32,7%

L1-L3 -21%

L3-L4 -53%

L3-L5 -51,9%

L2-L4 -6,6%

L4-L5 -23,7%

Fonte: Autora.

Através dos resultados obtidos pelos cálculos dos deslocamentos para o autor

Marcus, e através do software Eberick V9, monta-se os Quadro XI, Quadro XII e

Quadro XIII, que apresentam, resumidamente, os resultados das flechas imediatas,

diferidas e totais, respectivamente, para todas as lajes do projeto.

Quadro XI: Flechas imediatas de Marcus e Eberick V9.

Lajes Tabelas de

Marcus

Analogia de Grelha

(Eberick V9)

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L1 0,02 0,04

L2 0,02 0,08

L3 0,05 0,09

L4 0,2 0,10

L5 0,04 0,12

Fonte: Autora.

Quadro XII: Flechas diferidas de Marcus e Eberick V9.

Lajes Tabelas de

Marcus

Analogia de Grelha

(Eberick V9)

L1 0,03 0,04

L2 0,03 0,08

L3 0,07 0,09

L4 0,3 0,10

L5 0,05 0,12

Fonte: Autora.

Quadro XIII: Flechas totais de Marcus e Eberick V9.

Lajes Tabelas de

Marcus

Analogia de Grelha

(Eberick V9)

L1 0,05 0,08

L2 0,05 0,16

L3 0,12 0,18

L4 0,5 0,19

L5 0,09 0,25

Fonte: Autora.

Através dos quadros anteriores é possível observar que as flechas imediatas

apresentam a maior variação para laje 2 com 75% de variação entre os valores.

Tratando-se das flechas diferidas, observa-se a variação máxima de 66,7% entre os

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valores obtidos pelo autor Marcus e pelo programa para L4. Em relação às flechas

totais, observa-se variação máxima para L4 com 73,7%.

3 CONCLUSÃO

Foram realizados os cálculos dos esforços e dos deslocamentos para lajes

maciças. Inicialmente, o capítulo apresentou o projeto arquitetônico e projeto

estrutural adotado como norteio para os procedimentos de cálculo. Ainda se

apresentou algumas características iniciais necessárias à completa realização do

estudo de caso, como por exemplo: agregado e resistência característica do concreto

adotado; espessura da laje; módulo de elasticidade e momento de inércia; cargas

permanentes, acidentais e totais; tipo de armação e tipo de vinculação; fator 𝑎𝑓

(necessário para o cálculo da flecha diferida) e valores limites de deslocamentos de

acordo com a norma ABNT NBR 6118:2014.

Partindo-se destas informações, a primeira observação encontrada nos

cálculos e análises iniciais foi que a laje L4 apresentava armadura em apenas uma

direção, ou seja, não seria possível seu cálculo através de tabelas, sendo necessário

recorrer ao método de dimensionamento comum apontado por Bastos (2015). Assim,

obtiveram-se os valores de momento máximo positivo e negativo, bem como os

valores de flecha imediata, diferida e total, sendo esta última verificada com o valor

limite estabelecido pela normativa e encontrada dentro do intervalo.

Os momentos calculados através do método utilizado pelo autor Marcus foram

compatibilizados e as flechas totais foram conferidas com os valores limites. Em

seguida, apresentou-se os resultados obtidos pela analogia de grelha (Eberick V9).

As principais conclusões obtidas nas comparações entre autor e software

foram: Momentos positivos: variação máxima de 55,8% entre Marcus e Eberick V9;

Momentos negativos: variação máxima de 53%, entre Marcus e Eberick V9; Flecha

imediata: variação máxima de 75% para a laje L2; Flecha diferida: variação máxima

de 66,7% para L4; e Flecha total: variação máxima de 73,7 para laje L4%.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

No intuito de comparar os resultados dos momentos fletores e das flechas

obtidas através do dimensionamento de lajes por meio das tabelas de Marcus com o

processo de analogia de grelha (método utilizado em softwares de análise estrutural),

este estudo buscou apresentar novas contribuições sobre a confiabilidade dos

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métodos para cálculos de esforços e deslocamentos em lajes de concreto armado.

Ainda foi apresentado as espessuras, cobrimentos e cargas prescritas pelas

normativas ABNT NBR 6118:2014 e ABNT NBR 6120:1980, que são imprescindíveis

para realização de qualquer cálculo envolvendo estruturas de concreto. Tratando-se

das lajes classificadas quanto à natureza, como a laje maciça, sendo esta última

composta pela armação calculada e dimensionada, e pelo concreto, sendo esta a laje

de enfoque principal da pesquisa.

Ao abordar os tipos de métodos de cálculo, observou-se a existência de dois

grupos de métodos: baseados na teoria da plasticidade e baseados na teoria da

elasticidade. Em relação à elasticidade, dentre as diferentes teorias existentes,

destacou-se a Teoria das Placas, base da construção de tabelas para cálculo dos

esforços e deslocamentos. Em relação à plasticidade, destacou-se a Analogia de

Grelha, muito empregada nos softwares de analise estrutural, facilitando e otimizando

a definição do sistema estrutural a ser utilizado, já que é possível fazer uma análise

de diferentes situações estruturais em um mesmo pavimento.

Aprofundando-se no cálculo dos esforços, foram apresentadas as equações

em função de coeficientes para o cálculo dos momentos fletores máximos positivos e

negativos. Ainda se observou, devido a impossibilidade de aplicação das tabelas para

cálculo dos esforços em lajes armadas em uma direção, as equações para cálculo do

momento máximo, definidas de acordo com a vinculação da laje. Após a apresentação

dos cálculos de momentos fletores, foi apresentado o método para compatibilização

dos momentos com o intuito de se corrigir diferenças existentes em um mesmo

elemento de apoio.

Em relação ao cálculo das deformações, foram apresentados os fatores

necessários para verificação das flechas (existência de fissuras; momento de inércia;

flecha imediata, diferida e total; e valores limites). As equações que são dependentes

dos coeficientes tabelados para cálculo da flecha imediata foram apresentadas

conforme o autor, sendo acompanhadas logo em seguida pelas equações de cálculo

da flecha diferida e da flecha total, Nos casos de lajes armadas em uma direção, onde

é impossibilitado a aplicação das tabelas para cálculo das deformações, as equações

foram apresentadas de acordo com a vinculação da laje.

A analogia de grelha é um método de fácil interpretação. Todavia existem

parâmetros que devem ser atenciosamente analisados para o bom comportamento da

grelha. Os cálculos dos momentos através das tabelas de Marcus, foram realizados

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e, em seguida, compatibilizados. Destes momentos, comparando-os com os

resultados encontrados pelo Eberick V9, pôde-se constatar variações entre entre

autores e software.

Da comparação dos momentos positivos entre autores e software, observou-

se variação máxima de 55,8%; e para os momentos negativos, de 53%, ambos os

casos para as tabelas de Marcus. Apenas para os momentos positivos na direção x

da laje L2, encontraram-se resultados superiores aos obtidos pelo programa Eberick

V9.

As diferenças levantadas são provenientes do processo de analogia de grelha

que permite calcular os esforços e deslocamentos considerando a interação entre os

diversos elementos estruturais que compõem o pavimento, diferentemente do método

de lajes isolas (método de tabelas). Assim, a contribuição de cada elemento que

compõe o pavimento fica corretamente caracterizada, obtendo esforços e

deslocamentos mais precisos.

De modo geral, concluiu-se que o método de tabelas apresentou resultados

divergentes para o projeto proposto. Porém o método de tabelas não é totalmente

descartado, uma vez que durante décadas foram utilizados como ferramentas de

dimensionamento e apresentaram resultados satisfatórios. Faz-se assim necessário,

em pesquisas futuras, uma nova análise destas metodologias, buscando observar os

resultados para todos os tipos de lajes possíveis.

Propõe-se para pesquisas posteriores, visando aumentar a sensibilidade

quanto aos resultados e, consequentemente, para serem executados projetos mais

confiáveis: realizar a mesma pesquisa para um projeto que envolva todas as

condições de vinculação entre lajes, uma vez que não foi possível no modelo proposto

observar todos os casos; realizar os cálculos por tabelas e analogia de grelhas para

as reações de apoio das lajes; realizar comparação dos resultados obtidos pelos

softwares Eberick V9 e TQS, verificando possíveis diferenças.

REFERÊNCIAS

ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:

Projeto e execução de concreto armado. Rio de Janeiro – RJ, 2014.

ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120:

Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro – RJ, 1980.

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BASTOS, P. S. S. Lajes de concreto. Notas de aula da disciplina de Estruturas de

Concreto I. Faculdade de Engenharia. Departamento de Engenharia Civil,

Universidade Estadual Paulista, Bauru – SP, 2015.

BASTOS, P. S. S. Fundamentos de concreto armado. Notas de aula da disciplina de

Estruturas de Concreto I. Faculdade de Engenharia. Departamento de Engenharia

Civil, Universidade Estadual Paulista, Bauru – SP, 2006.

GIONGO, J. S. Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia

de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2007.

KIRST, R. W. Elementos superficiais laminares em concreto armado: estudo

comparativo entre métodos de cálculo. Escola de Engenharia. Departamento de

Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre – RS,

2010.

PINHEIRO, L. M.; MUZARDO, C. D.; SANTOS, S. P. Fundamentos do concreto e

projeto de edifícios. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo,

São Carlos – SP, 2003.

ZENZEN, A. Comparação de métodos de cálculo para determinação dos momentos

fletores em lajes de concreto armado. Departamento de Ciências Exatas e

Engenharia, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí

– RS, 2