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ANÁLISE DE CONFIABILIDADE NA CRAVAÇÃO DE ESTACAS DE CONCRETO PRÉ-MOLDADO EDIO SOARES PEREIRA JUNIOR Dissertação apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, como parte das exigências para obtenção do título de Mestre em Ciências de Engenharia no curso de Geotecnia. Orientador: Prof. Fernando Saboya Albuquerque Junior Campos dos Goytacazes Setembro de 2003

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ANÁLISE DE CONFIABILIDADE NA CRAVAÇÃO DE ESTACAS DE

CONCRETO PRÉ-MOLDADO

EDIO SOARES PEREIRA JUNIOR

Dissertação apresentada ao Centro de Ciências

e Tecnologia, da Universidade Estadual do

Norte Fluminense Darcy Ribeiro, como parte

das exigências para obtenção do título de

Mestre em Ciências de Engenharia no curso de

Geotecnia.

Orientador: Prof. Fernando Saboya Albuquerque Junior

Campos dos Goytacazes

Setembro de 2003

A Deus e a minha família.

Meus agradecimentos,

• Ao Prof. Fernando Saboya Albuquerque Júnior, orientador da dissertação,

pelo apoio e a confiança depositada.

• À FAPERJ, pelo apoio financeiro prestado.

• Aos meus pais pelo incentivo e apoio à pesquisa realizada.

• À Deus, por conceder saúde e força necessárias para o desenvolvimento

deste trabalho.

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES...............................................................................................III

LISTA DE TABELAS........................................................................................................V

LISTA DE SÍMBOLOS....................................................................................................VI

Capítulo 1. INTRODUÇÃO................................................................................................1

Capítulo2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA........................... ................................................3

2.1. Introdução .................................................................................................................3

2.2. Análises determinísticas........ ...................................................................................4

2.2.1. Descrição dos métodos determinísticos de capacidade de

carga de fundações profundas..........................................................................................4

2.2.2. Métodos teóricos.....................................................................................................6

2.2.2.1. Resistência lateral (RL).........................................................................................7

2.2.2.2. Método em termos de tensões efetivas...............................................................8

2.2.2.3. Método em termos de tensões totais.................................................................11

2.2.2.4. Resistência de ponta (RP)..................................................................................15

2.2.3. Métodos semi-empíricos.......................................................................................17

2.2.4. Método de controle de capacidade de carga in situ..............................................22

2.3. Conceitos básicos de probabilidade, estatística e confiabilidade............................25

2.3.1. Análise probabilística............................................................................................25

2.3.1.1. Função de probabilidade....................................................................................26

2.3.1.2. Caracterização da densidade pelo método dos

momentos.......................................................................................................................26

2.3.1.3. Densidade normal..............................................................................................27

2.3.2. Análise estatística.................................................................................................28

2.3.2.1. Análise gráfica da amostra.................................................................................29

2.3.2.2. Análise aritmética da amostra............................................................................30

2.3.3. Aspectos conceituais de análise de confiabilidade...............................................31

I

2.3.3.1. Aspectos conceituais da confiabilidade inerentes ao

fator de segurança..........................................................................................................31

2.3.4. Método do Segundo Momento de Primeira Ordem..............................................35

2.3.5. Estimativa de Probabilidade de Fracasso.............................................................37

2.4. Risco admissível......................................................................................................39

2.5. Aplicações de estatística, probabilidade e confiabilidade em

geotecnia.........................................................................................................................40

3. MONITORAÇÃO DAS ESTACAS E O ENSAIO SPT.................................................45

3.1. Introdução................................................................................................................45

3.2. Localização..............................................................................................................45

3.3. Sondagens executadas............................................................................................45

3.4. Determinação do repique elástico e nega................................................................54

4. ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM FUNDAÇÕES PROFUNDAS...........................58

4.1. Introdução................................................................................................................58

4.2. Procedimentos da análise de confiabilidade............................................................55

4.2.1. Análise estatística dos parâmetros geotécnicos...................................................58

4.2.2. Análises determinísticas.......................................................................................64

4.2.3. Análises das variâncias dos fatores de segurança...............................................65

4.2.3.1. Estudo da aproximação por diferênças divididas...............................................65

4.2.4. Estimativa da confiabilidade associada à probabilidade de ruptura.....................67

4.3. Interpretação dos resultados....................................................................................76

4.4. Avaliação dos fatores de segurança referentes à confiabilidade

admissivel........................................................................................................................78

5. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES.......................................................................80

5.1. Conclusões..............................................................................................................80

5.2. Considerações.........................................................................................................81

5.3. Sugestões................................................................................................................81

Referências Bibliográficas...............................................................................................82

Anexo 1 – Valores da função distribuição acumulada normal........................................86

Anexo 2 – Tabelas referentes à simulação do parâmetro C3 e Nspt................................87

II

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 2.1 - Estaca carregada axialmente....................................................................6

Figura 2.2 – Estado de tensões do solo adjacente à estaca,(a) antes

da instalação e (b) após a instalação...........................................................................8

Figura 2.3 – Fator de adesão α (Tomlinson, 1957)....................................................12

Figura 2.4 – Fator de Adesão α (Kulhawy e Phoon 1993).........................................14

Figura 2.5 – Superfícies de ruptura (vésic, 1967)......................................................16

Figura 2.6 – Fatores de capacidade de carga, Nq (Vésic, 1975)................................16

Figura 2.7 – Fator de correção de k para estacas metálicas tubulares cravadas

em areia......................................................................................................................21

Figura 2.8 – Fator de correção de k para estacas quadradas de concreto

cravadas em areia......................................................................................................22

Figura 2.9 - Repique elástico e Nega para um golpe.................................................24

Figura 2.10. Gráfico de uma distribuição normal........................................................28

Figura 2.11 - Exemplo de um histograma de uma variável aleatória.........................29

Figura 2.12. Relação β x FS em função do desvio padrão ( Dell’Avanzi, 1995)........35

Figura 2.13. Comparação entre duas situações com médias e distribuições

de FS diferentes (Christian, 1992)..............................................................................38

Figura 2.14. Relação entre β e para distribuição normal de FS Pf

(Christian, 1992).........................................................................................................39

Figura 2.15. Valores usuais de probabilidade e conseqüências de ruptura

(Whitman, 1984).........................................................................................................40

Figura 2.16. Seção típica do talude ( Sandroni e Sayão, 1992).................................41

Figura 3.1 – Localização geográfica de Campos dos goytacazes.............................46

Figura 3.2 – Disposição das sondagens na área da obra..........................................47

Figura 3.3 – Perfil de sondagem................................................................................53

Figura 3.4 – Perfil composto da sondagem................................................................54

Figura 3.5 - Medição do repique elástico e nega.......................................................55

Figura 3.6 - Representação da medida do repique elástico e nega...........................56

Figura 3.7 - Repique elástico e nega obtidos em um golpe do martelo.....................56

Figura 4.1 – Aparelho medidor de repique.................................................................59

Figura 4.2 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade........................................69

III

Figura 4.3 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade para intervalos

de variação de C3.......................................................................................................74

Figura 4.4 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade para

Nspt em torno da região da obra.................................................................................77

Figura 4.5 - Porcentagem de influência de cada parâmetro na confiabilidade..........78

IV

LISTA DE TABELAS Tabela2.1 – Valores típicos de coeficientes de variação em solos (Lee et al., 1983)..5

Tabela2.2- Valores para o fator β para estacas escavadas.......................................10

Tabela 2.3 – Valores para o fator β para estacas cravadas.......................................10

Tabela 2.4 – Relação entre os ângulos δ/φ’ (Potyondy, 1961)...................................11

Tabela 2.5 – Fator de adesão α.................................................................................13

Tabela 2.6 – Fator característico do do solo C (Decourt e Quaresma, 1978)............18

Tabela 2.7 – Coeficientes k e α (Aoki e Velloso, 1975).............................................20

Tabela 2.8 – Coeficientes de transformação F1 e F2 (Aoki e Velloso, 1975)..............20

Tabela 3.1 – Valores do repique elástico e nega obtidos na cravação......................57

Tabela 3.2 – Valor do Nspt médio por camada............................................................57

Tabela 4.1 - Valores sugeridos para C3.....................................................................59

Tabela 4.2 – Dados do repique elástico e nega da obra............................................60

Tabela 4.3 – Análise estatística dos parâmetros da obra..........................................61

Tabela 4.4 – Análise estatística das sondagens em torno da obra............................62

Tabela 4 5 – Intervalo de variação de C3 ..................................................................63

Tabela 4.6 – Análise estatística na variação do parâmetro C3...................................64

Tabelas 4.7 a 4.13 – Cálculo de β com parâmetros da obra......................................69

Tabela 4.14 – Fator de segurança e probabilidade de ruptura associada

ao índice de confiabilidade.........................................................................................73

Tabela 4.15 – Fator de segurança x Índice de confiabilidade....................................74

Tabela 4.16 – Relação entre a variância e o índice de confiabilidade.......................76

V

LISTA DE SIMBOLOS

AL área do fuste da estaca........................................................................... 6

AP área da ponta da estaca....................................................……..…...........6

B largura ou diâmetro da seção transversal do fuste da estaca…………..15

C fator característico do solo........................................……………............18

c’ coesão efetiva do solo.......................................................……………......8

C1 constante empírica para determinação de α.....................…………........13

C2 Compressão elástica da estaca........................................………............20

C3 Compressão elástica do solo................................................................. 20

Cov (X) coeficiente de variação............................................................................34

CPT ensaio de penetração de cone (cone penetration test)

eo Fator de correção................................................................................... 20

ef Fator de correção....................................................................................20

E Módulo de Yong da estaca......................................................................23

E[x] valor esperado.........................................................................................26

f(x) função densidade de probabilidade........................................................25

F(t) função de distribuição..............................................................................25

FS fator de segurança..................................................................................33

F1 coeficiente de transformação para a resistência de ponta da estaca......19

F2 coeficiente de transformação para a resistência lateral da estaca..........19

fs atrito lateral medido no cone....................................................................18

G(X) função de desempenho...........................................................................31

k fator de correlação entre o tipo de solo e qc ...........................................19

K Repique Elástico......................................................................................20

Ka coeficiente de empuxo ativo.......................................................................9

K0 coeficiente de empuxo no repouso.............................................................9

Kp coeficiente de empuxo passivo..................................................................9

L comprimento total da estaca....................................................................23

N Valor médio do SPT ao longo da estaca.................................................20

NSPT índice de resistência a penetração

Nc, Nq, Ng fatores de capacidade de carga...................................................15

pa pressão atmosférica................................................................................14

VI

Pf probabilidade de ruptura........................................................................32

qL resistência lateral unitária de uma estaca.................................................6

qP resistência de ponta unitária de uma estaca............................................6

R capacidade de resistência.......................................................................68

_R capacidade de resistência média............................................................19

RL resistência lateral de uma estaca............................................................15

RP resistência de ponta de uma estaca........................................................15

Ru Resistência última da Estaca..................................................................22

S Nega........................................................................................................22

S demanda de solicitação..........................................................................68

SPT ensaio padronizado de penetração (standard penetration test)

s desvio padrão da amostragem...............................................................30

S demanda de solicitação.........................................................................17

Su resistência ao cisalhamento não-drenada..............................................12

_S demanda de solicitação média...............................................................19

t(x) função de freqüência..............................................................................28

T(x) função de freqüência acumulada...........................................................29

V[x] variância da distribuição.........................................................................26

V[fs] variância do fator de segurança.............................................................37

x variável aleatória....................................................................................25

x média da amostragem............................................................................29

Z variável aleatória padronizada...............................................................27

α fator de adesão lateral em termos de tensões totais.............................12

α (%) fator de correlação entre o tipo de solo e a resistência lateral...............19

β fator de capacidade de carga lateral em termos de tensões efetivas..... 9

β índice de confiabilidade..........................................................................18

δ ângulo de atrito entre o solo e a estaca....................................................8

φ (β) função densidade acumulada aferida em β...........................................37

φ’ ângulo de resistência ao cisalhamento efetivo do solo..........................11

γ peso específico aparente do solo...........................................................15

µ média da distribuição.............................................................................26

µG valor médio da função de desempenho.................................................31

VII

σ’h tensão efetiva horizontal..........................................................................8

σ’v tensão efetiva vertical...............................................................................8

σ desvio padrão..........................................................................................26

σ[x] desvio padrão da distribuição..................................................................26

σG desvio padrão da função de desempenho..............................................31

σR desvio padrão da capacidade de resistência..........................................33

σS desvio padrão da demanda de solicitação..............................................33

σFS desvio padrão do coeficiente de segurança............................................34

τs tensão cisalhante.......................................................................................8

VIII

RESUMO

As obras geotécnicas no geral têm sido estudadas tradicionalmente de forma

determinística. Contudo a engenharia geotécnica lida com uma gama de materiais

com propriedades e parâmetros altamente variáveis e influenciados por diversos

fatores. Visando quantificar a variabilidade inerente às previsões determinísticas,

conceitos de probabilidade e estatística são utilizados como forma de racionalizar as

incertezas ocasionadas.

Neste âmbito, torna-se possível inferir sobre a confiabilidade dos resultados

apresentados pelos procedimentos convencionais e estimar o risco de insucesso

intrínseco ao projeto.

Desta maneira, este trabalho propõe um estudo do controle de cravação de

estacas via repique elástico, enfocando aspectos probabilísticos das variáveis

envolvidas no cálculo da capacidade de carga de estacas pré-moldadas. Apresenta

um resumo com os conceitos básicos de probabilidade e estatística necessários

para a compreensão do assunto. Desenvolve-se o Método do Segundo Momento de

Primeira Ordem para quantificação da confiabilidade inerente ao desempenho de

fundações.

Os cálculos são apresentados com base no controle de cravação de estacas

de concreto pré-moldado, numa obra localizada na região central de Campos dos

Goytacazes-RJ.

IX

ABSTRACT

In general geotechnical analysis traditionally have been carried out in

deterministic way. However geotechnical engineering deals with materials whose

properties and parameters are strongly variables and influenced by several factors.

Aiming to quantify the variability inherent to the deterministic approach, probability

concepts are used as a tool to rationalize the associated uncertainties.

In this way, it is possible to infer over reliability of results obtained by using

conventional methods and estimate the intrinsic risk of failure.

Thus, this work proposes a study regarding the control of pile driving by the

elastic rebound method, focusing specifically probabilistic aspects of the variables

involved in the bearing capacity prediction of driven piles. This work also presents a

brief discussion regarding basic concepts of statistics and probability, which are

considered important to the understanding of the subject. It is also shown the

formulation of First Order Second Moment for the assessment of reliability of the

deep foundation.

Results are presented based on controlling of pre-cast pile driving in a building

construction work in Campos dos Goytacazes, RJ, Brazil.

X

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

As obras geotécnicas no geral têm sido estudadas tradicionalmente de forma

determinística. Contudo, através de estudos, constatou-se que a engenharia

geotécnica lida com uma gama de materiais com propriedades e parâmetros

altamente variáveis e influenciados por diversos fatores. Estas variações podem ser

observadas através da grande dispersão nos resultados de ensaios ou pelas

diferenças apresentadas entre o desempenho prático das obras com valores

previstos por ensaios de laboratório e de campo. Visando quantificar a variabilidade

inerente às previsões determinísticas, introduziram-se no meio geotécnico, conceitos

de probabilidade e estatística. Neste âmbito, tornou-se possível inferir sobre a

confiabilidade dos resultados apresentados pelos procedimentos convencionais e

estimar o risco de insucesso intrínseco ao projeto.

Como maneira de racionalizar as incertezas e deixar subjetividade pessoal

em plano secundário, conceitos de probabilidade e estatística foram sendo

introduzidos gradativamente no meio geotécnico a partir da década de 80. No

entanto, as análises probabilísticas devem ser aplicadas em conjunto com as

análises determinísticas, inferindo sobre a confiabilidade desta última, como forma

de contribuição e não como forma de substituição. O estudo da confiabilidade

fornece meios de se avaliarem os efeitos combinados das incertezas dos parâmetros

envolvidos no cálculo, oferecendo um suplemento útil nas análises convencionais.

O principal propósito deste presente estudo portanto, é fornecer um estudo

do controle de cravação das estacas baseado no repique elástico, enfocando

aspectos probabilísticos das variáveis envolvidas no cálculo da capacidade de carga

de estacas pré-moldadas e uma avaliação da compatibilidade através do método

FOSM.

Capítulo 1 – Introdução 2

Desta maneira, visando uma compreensão mais simplificada, o trabalho se

subdividiu da seguinte forma:

• Capítulo 1 - Introdução

• Capítulo 2 - Apresenta uma revisão bibliográfica dos métodos determinísticos

usualmente utilizados na obtenção da capacidade de carga de estacas, e

também do método de controle de capacidade de carga via repique elástico.

E, por fim, faz uma descrição sucinta dos aspectos conceituais de

probabilidade, estatística e confiabilidade e o desenvolvimento do método

segundo momento de primeira ordem.

• Capítulo 3 - Para aplicar os conceitos de confiabilidade e probabilidade em

uma configuração bem documentada, são apresentados neste capítulo

informações gerais sobre a campanha experimental realizada, em torno dos

resultados do ensaio SPT, nega e repique elástico.

• Capítulo 4 - Apresentam-se análises de confiabilidade associadas ao controle

da capacidade de carga in situ das fundações pelo método baseado no

repique elástico descrito no capítulo 2. Neste ensejo, são contemplados

alguns fatores que influenciam a quantificação da confiabilidade e, finalmente,

são feitas considerações sobre a adoção de fatores de segurança.

• Capítulo 5 – Conclusões e considerações pertinentes ao trabalho.

• Referências Bibliográficas.

• Anexos

Capítulo 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 - Introdução

Este capítulo se subdividiu em quatro partes básicas. Na primeira, apresenta-

se uma breve revisão sobre os procedimentos determinísticos usualmente utilizados

na prática de fundações e, ainda, do controle de cravação via repique elástico

necessários para a verificação dos critérios de capacidade de carga e pertinentes ao

projeto geotécnico de fundações profundas.

Na segunda parte, são demonstrados conceitos básicos de probabilidade e

estatística fundamentais para compreensão das metodologias de análise de

confiabilidade comumente utilizadas no meio geotécnico. Na seqüência apresenta-

se os aspectos conceituais de confiabilidade e o método do Segundo Momento de

Primeira Ordem, amplamente utilizado em análises probabilísticas.

Na terceira parte, apresenta-se o complemento da análise de confiabilidade,

que se constitui na estimativa da probabilidade de fracasso inerente ao projeto.

Neste âmbito, são feitas algumas considerações sobre o risco admissível.

Finalmente, na quarta parte, contemplam-se alguns trabalhos que utilizaram

conceitos de estatística, probabilidade e confiabilidade que, adaptados, vieram

constituir a metodologia adotada no presente trabalho.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 4

2.2 - Análises Determinísticas

Na engenharia em geral, as análises determinísticas são realizadas

considerando todos parâmetros e propriedades com valores fixos. Em geotecnia de

fundações, as análises determinísticas procuram viabilizar, economicamente, a

aplicação de cargas estruturais ao terreno, sem que ocorram deformações

excessivas. No projeto, existem critérios que devem ser considerados e satisfeitos

separadamente; um deles é à margem de segurança quanto à ruptura por perda de

capacidade de suporte.

Neste âmbito, apresentam-se alguns métodos determinísticos tradicionais,

utilizados nas estimativas de capacidade de suporte de fundações profundas.

2.2.1 - Descrição dos métodos determinísticos de capacidade de carga de

fundações profundas

Apesar de muito difundido no meio geotécnico, o dimensionamento de

fundações em estaca ainda preserva diversos princípios empíricos. Uma das

grandes dificuldades na previsão do comportamento de estacas está relacionada

com a avaliação dos parâmetros do solo que podem ser estimados em ensaios de

laboratório ou de campo. Existem inúmeras correlações que procuram determinar de

forma empírica os parâmetros geotécnicos a partir de ensaios de campo. Essas

formulações não possuem nenhum fundamento teórico e são totalmente empíricas,

mas são ferramentas de grande valor quando não há possibilidade de realizar-se

ensaios de laboratório, o que é comum na prática de fundações em estacas.

Portanto, com relação aos parâmetros geotécnicos, eles também apresentam erros

e incertezas, necessitando também de um tratamento estatístico.

Através de análises estatísticas realizadas por vários pesquisadores, em

diferentes tipos de solos, Lee et al., (1983) reuniram valores típicos de coeficientes

de variação de diversos parâmetros do solo, como mostrado na Tabela 2.1.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 5

Parâmetro do Solo (x) Faixa usual cov (x)% * Valor recomendado cov

(x)%

Peso Espe. Aparente γ 1 a 10 3

Teor de Umidade ω 6 a 63 15

Índice de Vazios e 13 a 42 25

Limite de Liquidez LL 2 a 48 10

Limite de Plasticidade LP 9 a 29 15

Coefi. de Compressibilidade Cc 18 a 73 30

Módulo de Yong E 2 a 42 30

Coefi. de permeabilidade K 200 a 300 300

Coeficiente de Adensamento Cv 25 a 100 50

Resistência não Drenada Su 20 a 50 30

Ângulo de Atrito φ (areias) 5 a 15 10

Ângulo de Atrito φ (argilas) 12 a 56 30

* Cov(x) = s/ x

Tabela2.1 – Valores típicos de coeficientes de variação em solos (Lee et al., 1983)

Na fundação por estacas, parte da carga é transmitida ao solo por meio do

atrito da superfície do fuste e o terreno e, parte, pela reação de ponta, que é a

resistência que o solo oferece à penetração dessa ponta em sua massa. Portanto, a

metodologia convencional de análise da capacidade de suporte de fundações

profundas consiste na soma de duas parcelas de resistência, a resistência de ponta

(RP) e a resistência lateral (RL), como ilustrado na Figura 2.1. Pode ainda ocorrer,

quando não há resistência de ponta, que toda a carga seja transmitida por atrito

lateral ao solo, diz-se então que a fundação é por estacas flutuantes; em caso

contrário, trata-se de uma fundação por estacas de reação de ponta. Essas duas

parcelas não são completamente independentes. A interação entre elas depende de

um grande número de fatores, como o estado de tensões atuantes, o tipo de solo e a

forma da estaca. Porém, não se conhece uma análise que defina a extensão dessa

interação satisfatoriamente.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 6

Q P RL RL σ’h σ’h

Rp

p

Figura 2.1 - Estaca carregada axialmente

A resistência lateral e de ponta de uma estaca são expressas como:

RL = AL qL (2.1)

RP = AP qP (2.2)

onde;

AL é a área lateral;

qL é a resistência lateral por unidade de área;

AP é a área da base;

qP é a resistência de ponta por unidade de área.

Para determinação da resistência unitária lateral e de ponta existem métodos

teóricos e empíricos. Alguns desses métodos são apresentados superficialmente

neste capítulo.

2.2.2 - Métodos teóricos

A base dos métodos teóricos é considerar o problema como um caso de

cisalhamento simples entre a estaca e o solo ao seu redor. Nesses métodos é

preciso analisar os parâmetros de resistência ao cisalhamento dos materiais

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 7

envolvidos e o estado de tensões ao qual estão submetidos. Considerações a

respeito do efeito de instalação da estaca são feitas, em geral, através de fatores de

correç

ado de

tensõe

análise usada dependerá principalmente

do tipo

. As vantagens e desvantagens de cada uma delas serão

discutidas mais adiante.

.2.2.1 Resistência lateral (RL)

so de estacas

escavadas, a perturbação é pequena em relação a estacas cravadas.

ão empíricos.

Durante a instalação da estaca, o solo ao seu redor sofre uma considerável

perturbação provocando deformações cisalhantes tanto na ponta da estaca quanto

ao longo do seu fuste. Ocorre também uma compressão do solo abaixo da ponta da

estaca e seu deslocamento para os lados. Esse processo ocasiona uma

remoldagem do material em torno da estaca, levando a uma mudança no est

s e dependendo do tipo de solo, pode haver geração de poro-pressão.

No caso de materiais coesivos, no início do carregamento o solo ao redor da

estaca encontra-se numa condição não-drenada devido a poro-pressão gerada pela

instalação da estaca. Neste momento o problema é considerado de carregamento

não-drenado. Com o passar do tempo ocorre a dissipação da poro-pressão. Neste

momento o problema passa a ser considerado de carregamento drenado. Assim,

torna-se possível analisar o problema em termos de tensões totais ou em termos de

tensões efetivas. A escolha de qual será a

de material envolvido no problema.

Para problemas que envolvem materiais granulares é utilizada a análise em

termos de tensões efetivas. No caso de materiais coesivos é possível a utilização

dos dois tipos de análises

2

Os processos de instalação das estacas causam alteração no estado de

tensões na região próxima à interface solo e estaca (FIGURA 2.2). A variação da

tensão efetiva vertical é muito pequena, e por isso acaba sendo negligenciada.

Porém a variação da tensão efetiva horizontal deve ser avaliada a partir de

considerações a respeito do método de instalação da estaca. No ca

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 8

adjacente à estaca,(a) antes

da instalação e (b) após a instalação.

.2.2.2 - Método em termos de tensões efetivas

ra de Mohr-

Coulomb, a resistência lateral unitária (qL) pode ser considerada como:

qL = f (c’+ σ’h tanδ) (2.3)

;

δ é o â

es devem ser feitas para o uso do método

em termo de tensões efetivas, tais como:

1. nte a instalação é totalmente

Estaca σ’v σ τ σ’ho σ’ho σ’h σ’h σ’vo τs σ’v (a) (b)

s ’vo

Elemento de solo

Elemento de solo

Figura 2.2 – Estado de tensões do solo

2

Em geral, o método teórico em termos de tensões efetivas é utilizado para a

avaliação do atrito lateral de estacas em materiais granulares. Mas, também é

possível o uso dessa metodologia no caso de materiais coesivos. Porém, é

complexa a determinação do estado de tensões efetivas para esses tipos de

materiais. Numa condição drenada, considerando o critério de ruptu

onde;

c’ é a coesão efetiva;

σ’h a tensão efetiva horizontal atuante no fuste

ngulo de atrito entre a estaca e o solo.

A partir disso, algumas consideraçõ

O excesso de poro-pressão gerado dura

dissipado antes do carregamento da estaca;

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 9

2. O carregamento ocorre em condição drenada, uma vez que a zona que sofre

3. instalação, costuma-se assumir que

o solo passa a não possuir coesão efetiva. Assim sendo, o atrito lateral ao

4. Assume-se que a tensão efetiva horizontal (σ’h) é proporcional à tensão efetiva

vertica

Essa última consideração possivelmente é a mais questionável, mas serve

como p

qL = K σ’v tan δ = β σ’v (2.5)

K é o coeficiente de empuxo lateral;

β é o f

a. Tanto pode ser estimado

teorica

xo passivo (KP). Já a escavação de um fuste causa um alívio de

tensõe

maior distorção em torno do fuste é relativamente fina;

Devido ao amalgamento ocasionado pela

longo do fuste pode ser expresso como

qL = f (σ’h tan δ) (2.4)

l (σ’v), (sobrecarga das camadas sobrejacentes);

onto de partida. Dessa maneira a Equação (2.4) torna-se;

onde;

ator de capacidade de carga.

Essa formulação também é conhecida como método β. Sendo que o fator β é

adimensional e depende da avaliação do estado de tensões, da compressibilidade

do solo, das dimensões da estaca e de sua form

mente através dos princípios da mecânica dos solos como também pode ser

determinado a partir de dados de provas de cargas.

Para a determinação teórica assume-se que β é função do coeficiente de

empuxo que representa o estado de tensões de campo. Partindo-se da idéia que

antes da instalação da estaca existia uma condição geostática, pode-se dizer que a

cravação de uma estaca levaria a uma condição intermediária entre a condição K0 e

a condição de empu

s que pode levar ao estabelecimento de uma condição próxima à condição de

empuxo ativo (Ka).

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 10

Várias propostas para o valor de β são encontradas na literatura, tanto para

estacas escavadas quanto para cravadas em diversos materiais, como mostrado nas

Tabelas (2.2) e (2.3).

Referência Material Fator β

McClelland (1974) 0,15 a 0,35 (compressão) 0,10 a 0,24 (tração)

Areias com predominância de sílica

Meyerhof (1976)

Areias com predominância de sílica

0,44 para φ’= 28º 0,75 para φ’= 35º 1,2 para φ’= 37º

Stas e Kulhawy (1984)

(K/K0 δ/φ) δ/φ depende dos materiais

na interface (entre 0,5 a 1,0)k/k0 depende do método de instalação (entre 0,5 a 2,0)

Areias com predominância

) . k0 . tan (φ’.de sílica

Poulos (1978)

0,10 Areias calcárias não cimentadas

0,05 a

Burland (1973) (1-senφ’).tanφ’.(OCR)0,5 Argilas

LuOCR ⋅.4,0

onde uL = 2,215+L

φφφ tan'

1'1⋅

+−

sensen

Flaate e Selnes (1977)

2,2152 +L

Argilas

Parry e Swain (1977)

Argilas NA

Tabela 2.2- Valores para o fator β p vada

Referência

ara estacas esca s

Fator β Material ,10 para φ’= 33º,20 para φ’= 35º

para φ’= 3F.tan (φ’- 5º)

(compressão) de sílica

Poulos (1988) 0,5 a 0,8 pa a

Areias calcárias não cimentadas ra qL = 60 a 100 K

K.tanφ’ menor que K0 ou

(1+K0) (k/k0).K0.tan(φ’.δ/φ)

Meyerhof (1976) 0 00,35 7º

Areias com predominância de sílica

Kraft e Lyons (1974) Onde F = 0,7

F = 0,5 (tração)

Areias com Predominância

Fleming et al. (1985) K é 0,5

Argilas

Stas e Kulhawy (1984) δ/φ depende dos

materiais na interface

0

1,0)

Argilas

(entre 0,5 a 1,0) K/K depende do método de instalação (entre 2/3 a

Tabela 2.3 – Valores para o fator β para estacas cravadas.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 11

Quanto ao ângulo de atrito entre o solo/estaca (δ), ele pode ser considerado

como aproximadamente igual ao valor de φ’ (Tomlinson, 1957; Burland, 1973; entre

outros). Ou ainda, pode-se assumir que δ é proporcional a φ’, como a proposição de

Meyer izou uma série

de ensaios de cisalhamento direto com diversos materiais e solo (TABELA 2.4).

δ =2/3 (φ’+ 5º) (2.6)

Material da estaca Areia seca Areia saturada

hof (1959) expressa pela Equação (2.6). Potyondy (1961) real

Acabamento da Superfície

Aço Lisa (polida) Áspera (oxidadas)

0,54 0,76

0,64 0,80

Madeira Paralela ás fibras Normal às fibras

0,76 0,88

0,85 0,89

Concreto Lisa (forma metálica) 0,76 Áspera (forma de madeira)

Rugosa (sem forma) 0,88 0,98

0,80 0,88 0,90

do material da estaca podendo ser

onsiderado como igual ao ângulo de resistência ao cisalhamento efetivo residual

’res). Segundo Coyle e Castello (1981), a diferença entre as proposições de

.

onsiderado que durante o carregamento existir geração de poro-

pressão. Desta forma, a resistência lateral é considerada uma função da resistência

ao cisa ca representada

quação;

Tabela 2.4 – Relação entre os ângulos δ/φ’ (Potyondy, 1961)

Vesic (1977) apresentou uma aproximação diferente para δ considerando que

o solo localizado na interface entre a massa de solo e a estaca estaria num estado

de ruptura. Como conseqüência o ângulo de atrito entre a estaca e o solo, δ, seria

independente das propriedades iniciais do solo e

c

Potyondy e Vésic não aparenta ser significante

2.2.2.3 - Método em termos de tensões totais

A capacidade de carga da estaca deve ser estimada com base em tensões

totais se for c

lhamento não-drenado do (s) material (is) em torno da esta

pela e

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 12

qL = α Su (2.7)

L : resistência lateral média ao longo do fuste da estaca;

α é o f

e o fator de adesão α varia entre 0,3 e 0,6 para estacas

instala

até cerca de 0,33

para a e

úmero de ensaios, tem sido possível determinar faixas de valores de α para tipos

particulares de estacas em diversas condições de carregamento.

Tomlinson (1957) sugeriu algumas propostas de α, mostrada na Figura 2.3.

onde

q

ator de adesão entre o solo e a estaca;

Su é a resistência ao cisalhamento não-drenada dos solos.

O fator de adesão é introduzido para a correção da influência dos fatores

como a resistência ao cisalhamento da argila, o método de instalação da estaca, a

tensão de sobreadensamento e o tipo de estaca. Os primeiros estudos de Skempton

(1959) mostram qu

das na argila de Londres. Sua determinação é feita pela correlação entre

provas de carga e dados de resistência não-drenada, determinada em laboratório ou

ensaios de campo.

Dependendo do solo e do tipo de estaca, o valor de α pode variar de 1 a

pouco mais que 1 para argilas normalmente adensadas moles

rgilas rijas a duras fortemente sobreadensadas. Com base em um grand

n

755025

1,25

100 125 150

1,00

0,75

0

0,50

0,25

Curva média para todas as

estacas

curva média para estacas de concreto

Su (Kpa)

Fato

r de

Ade

são α

Figura 2.3 – Fator de adesão α (Tomlinson, 1957)

Para estacas cravadas em argila, McClelland (1974) apresentou uma coleção

de vários gráficos de fator de adesão em função da resistência não drenada, obtida

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 13

por vários autores. Estas curvas mostram que o fator de adesão decresce com o

aumento da resistência da argila, tanto para estacas escavadas como cravadas. Em

todos os casos, há uma larga dispersão na variação observada do fator de adesão

com a res -drenada. N estão in de α

encontrados por outros autores.

ia Su = 50 (Kpa) Su = 150 (kpa)

istência não a Tabela 2.5 dicados valores

ReferêncPeck (1958) 0,90 0,45 Woodward & Boitano (1961) 0,86 0,32 Kerisel (1961) 0,72 0,35 Tomlinson (1970) 0,72 0,25

Randolph e Murphy (1985) estimaram valores de α a partir de provas de

carga em estacas cravadas baseados na relação média de resistência in situ.

Baseando-se numa análise de regressão linear desses dados foi estabelecido que

α =

Tabela 2.5 – Fator de adesão α

( ) 25,0'/5,0

vuS σ1

'≤

v

uSσ

quando (2.8)

e

( )'/5,0

S σ v

S5,0

vuα = quando 1

'>u

σ (2.9)

Estas observações parecem concordar bem com Sladen (1992) que sugere a

seguinte relação

para a avaliação de α:

45,0

1 '

= vC σα uS

(2.10)

onde

viamente definido.

C1 é uma constante empírica,

σ’v e Su são como pre

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 14

Para estacas escavadas, C1 situa-se em torno de 0,4 a 0,5. As informações

tornam-se mais escassas para o valor de α para estacas escavadas em comparação

a estacas cravadas.

Kulhawy e Phoon (1993) propõem a seguinte correlação (Equação 2.11) para

α baseada em 127 casos estudados de estacas escavadas com provas de carga

levadas à ruptura em a

rgila (FIGURA 2.4).

5,0

5,0

=

u

aSPα (2.11)

onde, Pa é a pressão atmosférica (aproximadamente 100 kPa para simplificação em

lugar de 101,4 kPa) e Su é a resistência ao cisalhamento não-drenada, obtida

través do ensaio triaxial consolidado hidrostaticamente não-drenado. Baseados nos

dados das provas de carga, esta relação foi julgada como sendo próxima a outras

relações para estacas cravadas.

a

Adesão α (Kulhawy e Phoon 1993)

Figura 2.4 – Fator de

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 15

2.2.2.4

formulação mais geral para a determinação de resistência de ponta unitária

(qP) é

qP = γBNγ + cNc + σ’vNq (2.12)

da estaca;

a) na cota da ponta da estaca;

é o peso específico aparente do solo;

Nγ, Nc

confinante do solo. Nenhuma teoria considera a

resistê

o caso de materiais granulares o primeiro e segundo termo da Equação

(2.8) s

Vésic (1967) mostra uma série de proposições para o valor de Nq em função

da superfície de ruptura (FIGURA 2.5) e do ângulo de atrito do material (FIGURA

2.6).

- Resistência de ponta (RP)

A

a expressão:

onde

qP resistência de ponta da estaca;

B é a menor dimensão

σ’v é a tensão efetiva vertical (sobrecarg

c é a coesão do solo;

γ

e Nq são os fatores de carga.

Na maioria das teorias encontradas, os parâmetros básicos, além da

geometria da estaca, é o φ’, o qual é usado para determinar o fator de capacidade de

carga, Nq, e a tensão efetiva

ncia lateral do solo ao longo do fuste, ou uma possível interdependência entre

a resistência lateral e de ponta.

N

ão negligenciados e a equação torna-se então

qP = σ’v Nq (2.13)

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 16

Prandtl Debeer Berezantsev and Bishop, Hil and Ressner Jáky Yaroshenko Mott Caquot Meyerhof Vésic Skempton Buisman Yassim Terzaghi Gibson

Figura 2.5 – Superfícies de ruptura (Vésic, 1967)

Figura 2.6 – Fatores de capacidade de carga, Nq (Vésic, 1967)

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 17

Como mostram as figuras (2.5) e (2.6), é evidente que existem grandes

variações entre uma teoria e outra, o que leva à conclusão de que o mecanismo de

ruptura ainda não é bem compreendido.

Para solos coesivos a Equação 2.12 é reduzida para

qP = Nc Su (2.14)

O valor do fator Nc, em geral, é considerado 9,0 e Su é a resistência não

drenada da argila abaixo da base da estaca.

2.2.3 - Métodos semi-empíricos

Os métodos semi-empíricos estão baseados em relações diretas entre os

resultados de ensaios de campo com as parcelas de resistência e dependem de

ajustes com dados de provas de carga. Os métodos semi-empíricos brasileiros mais

conhecidos certamente são os métodos apresentados por Aoki e Velloso (1975) e o

de Décourt e Quaresma (1978, 1982).

Métodos que relacionam diretamente o número de golpes do SPT com o atrito

lateral são muito difundidos por sua simplicidade. Porém, o uso dessas metodologias

deve ser realizado com cautela, uma vez que está baseada em experiências

regionais. São apresentadas da forma

qL = A + B . NSPT (2.15)

onde A e B são constantes que dependem dos dados do solo e do tipo de estaca

que deram origem à formulação.

O método de Décourt e Quaresma foi desenvolvido com base na experiência

dos autores e resultados de provas de carga. Essas provas de carga foram

realizadas em estacas pré-moldadas de concreto, porém não foram levadas à

ruptura e utilizou-se a carga de ruptura convencional correspondente a um recalque

de 10% do diâmetro da estaca.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 18

A resistência lateral unitária é apresentada como uma função apenas do

número de golpes do SPT médio ao longo do fuste (Equação 2.16). Não há

nenhuma consideração a respeito do tipo solo ou do tipo de estaca.

qL

+ 1

310 2N

= (2.16)

onde

qL é expresso em kPa,

N2 é o valor médio do N ao longo do fuste.

Sendo que os valores N devem estar no intervalo 3 ≤ N ≤ 50, valores maiores

que 50 devem ser igualados a 50 e valores menores que 3 devem ser igualados a 3.

Para a resistência unitária de ponta já houve uma consideração do tipo de

solo onde a estaca se apóia através do fator característico do solo C (TABELA 2.6).

qP = C . N1 (kpa) (2.17)

onde N1 é a média de 3 valores correspondentes ao N na ponta da estaca (Nn),

imediatamente superior (Nn+1) e imediatamente inferior (Nn-1).

311

1−+ ++

= nnn NNNN (2.18)

Tipo de Solo C (Kpa) Argilas 120 Siltes Argilosos 200 Siltes Arenosos 250 Areias 400

Tabela 2.6 – Fator característico do do solo C (Decourt e Quaresma, 1978)

Devido ao desenvolvimento contínuo da mecânica dos solos e engenharia de

fundações, uma necessidade na melhoria da diversidade e qualidade de ensaios de

campo para a caracterização do subsolo tornou-se imprescindível. Cientes dessa

necessidade, os estudiosos concentraram-se no desenvolvimento de ensaios que

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 19

representassem de maneira mais coerente as características do substrato. Dentre os

ensaios desenvolvidos, destaca-se o ensaio de penetração de cone (Dutch

Sounding Test), idealizado na Holanda na década de 1930 por Barentsen e Boonstra

(1936). O princípio do ensaio de cone consiste na cravação no terreno de uma

ponteira cônica a uma velocidade constante. Apesar dos procedimentos de ensaio

serem padronizados, há diferenças entre os equipamentos, que podem ser

classificados em cone mecânico, cone elétrico e piezocone. Os principais atrativos

do ensaio são o registro contínuo da resistência à penetração, fornecendo uma

descrição detalhada da estratigrafia do subsolo, informação essencial à composição

de custos de um projeto de fundações, e a eliminação de qualquer influência do

operador nas medidas do ensaio, atrito lateral fs e resistência de ponta qc. Desde

então, inúmeros métodos vem sendo desenvolvidos para a determinação do atrito

lateral unitário (qL) e da resistência de ponta unitária (qP) a partir dos resultados de

resistência de ponta (qc) e/ou do atrito lateral (fs). A maioria desses métodos procura

determinar fatores redutores para a resistência de ponta (qc) e assim determinar as

duas parcelas de resistência. Essa aplicação de fatores de redução deve-se a uma

combinação de influências como o efeito de escala, o efeito da velocidade de

carregamento, as diferenças nas técnicas de instalação, as variações no valor dos

deslocamentos de solo, entre outras, Briaud (1988). São poucos os métodos que

utilizam os valores de atrito lateral medidos no ensaio de cone (fs), como Nottingham

(1975).

A metodologia desenvolvida por Aoki e Velloso (1975) está baseada em

resultados de ensaios de penetração de cone em diversos solos brasileiros. Os

autores também sugerem a adaptação do método para o uso de valores de NSPT. As

Equações 2.19 e 2.20 foram estabelecidas para as resistências unitária de ponta e

lateral, respectivamente. Para considerar a influência do tipo de estaca os autores

analisaram provas de carga em alguns tipos de estacas e estabeleceram os

coeficientes de transformação F1 e F2 (TABELA 2.8).

qp 1

1

1

.FNK

Fqc == (2.19)

onde;

N1 é o número de golpes na ponta da estaca;

K é o fator de correlação entre o tipo de solo e qc (Tabela 2.7);

F1 é o coeficiente de transformação para a resistência de ponta da estaca (tabela2.8)

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 20

Para a resistência unitária lateral (qL), a correlação estabelecida a partir da

resistência de ponta medida no cone é expressa por

qL 2

2..F

NKα= (2.20)

onde

N2 é o número de golpes médio ao longo do fuste da estaca;

F2 é o coeficiente de transformação para a resistência lateral (Tabela 2.8);

α (%) é o fator de correlação entre o tipo de solo e a resistência lateral (Tabela 2.7).

Tipo de solo K (Mpa) α (%) Areias 1,00 1,4 Areia Siltosa 0,80 2,0 Areia Silto argilosa 0,70 2,4 Areia argilosa 0,60 3,0 Areia argilo siltosa 0,50 2,8 Silte 0,40 3,0 Silte arenoso 0,55 2,2 Silte arenoso argiloso 0,45 2,8 Silte argiloso 0,23 3,4 Silte argilo siltoso 0,25 3,0 Argila 0,20 6,0 Argila arenosa 0,35 2,4 Argila areno siltosa 0,30 2,8 Argila siltosa 0,22 4,0 Argila silto arenosa 0,33 3,0

Tabela 2.7 – Coeficientes k e α (Aoki e Velloso, 1975)

Tipo de estaca F1 F2 Franki 2,50 5,0 Metálica 1,75 3,5 Pré-moldada 1,75 3,5 Escavada 3,50 7,0

Tabela 2.8 – Coeficientes de transformação F1 e F2 (Aoki e Velloso, 1975)

O método de Nottingham (1975), apresentado pela equação 2.21, é baseado

em detalhados estudos de provas de carga instrumentadas. Utiliza um fator de

correção K para consideração de diversos efeitos como a forma da seção

transversal, relação D/B, o material da estaca e o tipo de cone utilizado no ensaio

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 21

experimental de campo. O método é ainda pouco difundido por utilizar a medida de

atrito lateral no fuste do cone para determinação da resistência lateral da estaca.

∑∑==

+=L

Bd

B

dSSSSs AKfAKf

BdF

8

8

0 8 (2.21)

onde

k é o fator de correção (figura 2.7 e 2.8);

fs é o atrito lateral medido no cone;

B é a dimensão da seção transversal da estaca;

L é o comprimento da estaca;

As é área lateral da estaca.

1,00

10

3,02,0

20

5

30

25

15

K

D /

B

Os pontos que sãomostrados são apenas para correlação com cone elétrico

cone mecânico

cone elétrico

estacas cravadas

Figura 2.7 - Fator de correção de k para estacas metálicas tubulares cravadas em areia.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 22

2,01,0

10

0

30

0

20

KD

/ B cone elétrico

cone mecânico

(a) estaca com fuste liso.

2,01,0

10

0

30

0

20

K

D /

B cone elétrico

cone mecânico

3,0

(b) estaca com fuste rugoso

Figura 2.8 – Fator de correção de k para estacas quadradas de concreto

cravadas em areia.

2.2 4 – Método de controle de capacidade de carga in situ

Tradicionalmente o controle da capacidade de carga de estacas durante a

cravação, é feito adotando-se o valor da nega (deslocamento permanente, que

geralmente corresponde à média dos 10 últimos golpes do sistema de cravação), que

é interpretada à luz das chamadas fórmulas dinâmicas de cravação.

Várias críticas vêm sendo feitas à aplicação destas fórmulas, e dentre elas

pode-se destacar a incompatibilidade da teoria do choque de Newton de dois corpos

para simular o fenômeno de cravação das estacas e também no fato da variação da

resistência do solo durante a cravação (cicatrização e relaxação).

No início da década de 80, a técnica de monitoração da cravação de estacas

começou a se expandir em termos de pesquisa, desenvolvimento de equipamentos e

interpretação de dados de cravação pela teoria da equação da onda. Assim a

observação sistemática dos resultados obtidos com a instrumentação da cravação

aliada ao relato dos japoneses Yokoyama e Kusakabe (1985), vem demonstrando

uma tendência de mudança na determinação da resistência última de uma estaca

cravada de concreto. Portanto, uma substituição do controle de cravação in situ

baseado na nega, pelo controle de cravação baseado no repique elástico.

Da mesma forma que os métodos empíricos tradicionais de estimativa de

capacidade de carga, os métodos de capacidade de carga in situ estão baseados em

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 23

relações direta com resultados de prova de carga e de ensaios de campo, como o

ensaio de cone e o ensaio SPT. Portanto, o uso dessas metodologias deve ser

realizado com cautela, uma vez que ainda estão baseadas em experiências ainda

restritas.

Uto et al., (1985), propuseram uma fórmula dinâmica de cálculo de

capacidade de carga in situ para estacas cravadas, que é recomendada pela

‘‘Specification for Bridge Substurcture Design “(1980) representada pela Equação

(2.22).

Ru = ( )

feNlU

LeCCsEA ..

..2.2..

0

23 +++

(2.22)

onde;

Ru = Resistência última da Estaca (tf)

A = Área da secção transversal da estaca (m2)

E = Módulo de Yong da estaca (tf/m2)

l = Comprimento cravado da Estaca (m)

U = Perímetro da Estaca

L= Comprimento total da estaca(m)

S= Nega para um golpe do pilão(m)

N = Valor médio do SPT ao longo da estaca

K = (C2+C3) = Repique Elástico (m)

C2 = Compressão elástica (repique) da estaca (m)

C3 = Compressão elástica (repique) do solo (m)

O valor de K = C2 + C3 é determinado através de medidas do repique elástico

durante a cravação da estaca, de acordo com a Figura (2.9)

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 24

Figura 2.9 - Repique elástico e Nega para um golpe

eo = 2 x 3 , WH = Peso do martelo (tf) e WP = Peso da Estaca (tf) 2

WPWH×

ef = eficiência do martelo (fator de correção) = 2,5

De acordo com Chellis (1951), a parcela C2 devido às deformações elásticas

da estaca valeria:

C2 = EA

lRu

××× 7,0 (2.23)

Portanto;

Ru ≅ l

EAC×××

7,02 (2.24)

Desta maneira, a capacidade de carga última Ru é diretamente proporcional

ao valor de C2, e C3 “quake” é dado em função do tipo de solo.

Diante da experiência de controle em algumas centenas de estacas pré-

moldadas de concreto, concluiu-se que a fórmula de Chellis, em muitos casos,

conduz a cargas mobilizadas superiores às reais para estacas com comprimentos

cravados menores ou iguais a 20m, que vão diminuindo à medida que os

comprimentos das estacas se aproximam da fronteira dos 20m; a partir de 20m há

uma tendência de Chellis subestimar as cargas mobilizadas.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 25

Na aplicação de Uto observou-se o oposto: há uma tendência de Uto

subestimar as cargas mobilizadas para estacas com comprimentos menores ou

iguais a 20m e superestimar a partir deste valor.

Assim, de acordo com Filho e Abreu (1989), visando obter um equilíbrio entre

esses dois métodos a determinação da resistência última in situ de uma estaca

cravada é tomada como a média aritmética das formulações feitas por Uto et al., e

Chellis.

2.3 - Conceitos básicos de probabilidade, estatística e confiabilidade

Apresentam-se a seguir, de forma sucinta, os conceitos básicos de

probabilidade e estatística necessários para a compreensão dos aspectos

conceituais de análise de confiabilidade.

2.3.1 - Análise probabilística

A análise probabilística pode ser entendida como o estudo sobre a previsão

comportamental de uma determinada experiência. A característica de interesse de

uma experiência que assume valores diferentes e não previsíveis como resposta é

denominada de variável aleatória. A variável aleatória pode ser considerada discreta,

quando assume apenas certos valores específicos, ou contínua, quando pode

assumir qualquer valor dentro de um intervalo. Em uma experiência, o conjunto de

todas as respostas é denominado de espaço amostral. Em geral, o espaço amostral

é dito discreto se possui um número contável de elementos. Se os elementos de um

espaço amostral constituem um contínuo (por exemplo, todos os pontos de uma reta

ou plano) o espaço amostral é dito contínuo. A caracterização de um espaço

amostral em discreto ou contínuo é determinada através do tipo de variável aleatória

em questão. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é definido como evento,

enquanto que o conjunto de todas as observações realizadas é denominado de

população.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 26

2.3.1.1 - Função de probabilidade

Sendo x uma variável aleatória contínua qualquer, o comportamento

probabilístico do fenômeno aleatório pode ser descrito por uma função matemática

conhecida por função densidade de probabilidade f(x). Objetivamente, a função

densidade de probabilidade descreve a forma da curva de distribuição da

probabilidade de ocorrência de cada valor da variável aleatória. Dentre as formas

mais usuais, podem-se citar as distribuições normal ou gaussiana, lognormal, gama

e beta, entre outras.

Para a estimativa da probabilidade de ocorrência da variável aleatória (x) ser

menor ou igual a um certo valor t, utiliza-se a função de distribuição F(t) definida por:

( ) ( )dxxftFtxP t∫ ∞−==≤ ][ (2.25)

A estimativa da probabilidade de ocorrência da variável x em um certo

intervalo [a, b], é dada por:

( ) ( ) ( )∫=−=≤< ba dxxfaFbFbxaP ][ (2.26)

2.3.1.2. Caracterização da densidade pelo método dos momentos

Para um estudo detalhado da densidade de probabilidade sem a necessidade

de análise gráfica, utilizam-se medidas estatísticas que descrevem a locação e a

dispersão da distribuição. A locação é dada pela média µ ou valor esperado E[x] da

densidade de probabilidade da variável aleatória contínua x correspondente, definida

por:

( )∫∞∞−

⋅= dxxfxµ (2.27)

µ é definido como o primeiro momento de um sistema de massa f(x), disposto sobre

uma linha reta e distante x da origem. Conclui-se portanto, que a Equação (2.27)

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 27

determina o centro de gravidade da densidade de probabilidade. Para estimativa da

variação da densidade de probabilidade, utiliza- se o segundo momento sobre a

média, variância, definida por:

( ) ( )dxxfxxV ∫∞∞−

⋅−= 2][ µ (2.28)

Nota- se através da Equação (2.28) que a definição da variância de uma

distribuição de probabilidade é análoga ao momento de inércia definido pela física.

Uma medição mais concreta da variabilidade da densidade probabilística é dada

pelo desvio padrão. O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da

variância, sendo fisicamente análogo ao raio de giração. Matematicamente tem-se:

[ ] [ ]xVx =σ (2.29)

O terceiro momento é usado para descrever a simetria ou assimetria da

distribuição, enquanto o quarto momento descreve a curtose ou “falta de pico” da

densidade de probabilidade. O conhecimento da forma exata da densidade de

probabilidade só é possível através do conhecimento de todos os momentos

probabilísticos.

2.3.1.3 Densidade normal

Conhecida também por densidade gaussiana, possui por característica a

simetria da distribuição, aproximando-se como uma seção em corte de um sino

(FIGURA 2.10). A equação que descreve o comportamento da densidade normal é:

( )2

2 21

21,,

⋅= σµ

σπσµ

x

exf (2.30)

para x variando entre -∞ e +∞

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 28

x

F(x)

>

^

µ

Figura 2.10. Gráfico de uma distribuição normal

Devido ao fato da Equação (2.30) não poder ser integrada de uma forma

fechada entre um intervalo qualquer, as probabilidades relacionadas à distribuição

normal são obtidas a partir de integração numérica, sendo os resultados dispostos

em forma de tabelas especiais padronizadas para uma densidade normal com média

µ = 0 e desvio padrão σ = 1 (ANEXO 1).

Substituindo na Equação (2.30) os valores de µ e σ utilizados para

padronização (Equações (2.27) e (2.29), respectivamente), a probabilidade de uma

variável aleatória (x) ser menor ou igual a Z é dada por:

( ) dteZF z t∫ ∞−

−=

221

21π

(2.31)

onde Z é uma variável aleatória padronizada definida por:

[ ]xxZσ

µ−= (2.32)

2.3.2. Análise estatística

O tratamento estatístico está relacionado à análise de uma coleção de

observações, denominada amostra ou conjunto amostral, que visa caracterizar um

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 29

fenômeno aleatório de interesse e não prever o comportamento do fenômeno em si

(análise probabilística). O tratamento do conjunto amostral pode ser realizado a

partir de análise gráfica ou aritmética. A análise gráfica da amostra compreende a

classificação da variável aleatória segundo a sua freqüência de valores assumidos e

a montagem de um gráfico freqüência x valor, denominado histograma (FIGURA

2.11). A análise aritmética da amostra é realizada através da determinação de

parâmetros estatísticos que visam caracterizar a distribuição.

2.3.2.1. Análise gráfica da amostra

Dado um histograma, o comportamento de uma variável aleatória x em uma

amostra pode ser caracterizado pela sua função de freqüência t(x). A função de

freqüência é entendida como a função matemática que descreve a freqüência de

valores assumidos pela variável aleatória no âmbito amostral, ou seja, é a função

que melhor caracteriza a forma do histograma da variável aleatória. A função de

freqüência é análoga à função de densidade de probabilidade f(x) da população

correspondente, embora estas funções sejam conceitualmente diferentes. A

população da variável aleatória possui uma função densidade de probabilidade

definida, mas caso sejam realizadas diversas amostragens desta mesma população,

pode-se encontrar diversas funções de freqüência diferentes entre si.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Valor da Variável Aleatória

Freq

uênc

ia

Figura 2.11 - Exemplo de um histograma de uma variável aleatória

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 30

Um complemento da análise gráfica é a definição da função de freqüência

acumulada T(x), análoga à função de distribuição da população F(x). Em termos

matemáticos, escreve-se:

( ) ( )∑≤

=xy

ytxT (2.33)

onde x e y são variáveis discretas. A função de freqüência acumulada pode ser

interpretada como a soma das freqüências relativas de todos os valores menores ou

iguais a x.

2.3.2.2. Análise aritmética da amostra

Os parâmetros mais comumente utilizados são a média amostral (média

aritmética) e a variância amostral. A média amostral de uma variável aleatória x é

definida por:

∑=

=n

iix

nx

1

1 (2.34)

Deve-se atentar para a diferença entre a média amostral x e a média da

distribuição de probabilidade (µ). Enquanto a primeira relaciona os valores de um

determinado conjunto de observações, a segunda indica a média de toda a

população do fenômeno aleatório.

A variância amostral relaciona-se com os quadrados dos desvios da variável x

em relação à média x , sendo definida por:

∑= −

−=

n

t

i

nxx

s1

22

1)(

(2.35)

O desvio padrão amostral é definido como a raiz quadrada da variância. Em

termos matemáticos temos:

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 31

( )∑= −

−=

n

t

in

xxS1

2

1 (2.36)

2.3.3 Aspectos conceituais de análise de confiabilidade

A quantificação da confiabilidade é obtida através da utilização de uma

relação entre os estados que limitam o insucesso e o sucesso associados à previsão

comportamental de uma determinada variável aleatória. Apresentam-se a seguir, os

aspectos conceituais de confiabilidade, correspondente a variável aleatória fator de

segurança.

2.3.3.1. Aspectos conceituais da confiabilidade inerente ao fator de segurança

A relação entre os estados que limitam o sucesso e o insucesso é definida

como a diferença entre as densidades de probabilidade da capacidade de

resistência (R) e da demanda de solicitação (S). Matematicamente tem-se:

G(X) = R – S (2.37)

onde G(X) é uma função que descreve o desempenho da diferença R - S, e X é o

vetor de parâmetros necessários para cálculo de G(X). A função de desempenho

pode ser subdividida em uma região segura (G(X) > 0) e uma região instável (G(X) <

0). A interseção das duas regiões (G (X) = 0) delimita a superfície de estado limite

para o sistema R – S.

Devido à dificuldade de definição das distribuições da capacidade de

resistência e da demanda de solicitação, desenvolveram-se formulações que

utilizam um índice de confiabilidade, designado por β , no qual considera-se

implicitamente o desempenho de G(X). Esta confiabilidade é classificada como

relativa, cuja proposta baseia-se no fato de não ser necessário o conhecimento

prévio do comportamento absoluto ou global da função de desempenho para

estimativa da segurança. As primeiras medições de confiabilidade foram obtidas

através de um índice definido por:

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 32

G

Gσµ

β = (2.38)

Em que µG e σG denotam o valor médio e o desvio padrão da função de

desempenho. O uso da Equação [2.38] como quantificação da confiabilidade é

baseado no seguinte desenvolvimento:

( )[ 0≤= XGPPf ] (2.39)

( )

−≤

−=

G

G

G

GXGPPf σµ

σµ

(2.40)

[ ]β−≤= ZPPf (2.41)

( )dzZfP zf ∫−

∞−

(2.42)

)( βφ −=fP (2.43)

onde Pf é a probabilidade de ruptura, Z é uma variável padronizada, fz(Z) e φ (-β) as

funções densidade de probabilidade e a área associada a z = -β.

Neste formato, todas as variáveis aleatórias são transformadas para um

espaço de parâmetros Z padronizados pelas médias de uma transformação

ortogonal no qual:

[ ] 0=iZE V [ ] 1=iZ

Hasofer e Lind (1974) definem o índice de confiabilidade β como sendo a

distância mínima entre a origem e a superfície de estado limite que define a ruptura

ou o insucesso do sistema no espaço transformado dos parâmetros Z. Partindo da

Equação [2.38], o índice β é definido como a seguir:

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 33

[ ]SRSR−−

β

__

(2.44)

onde _R e

_S denotam os valores médios das distribuições de capacidade de

resistência e da demanda de solicitação. O desvio padrão [ ]SR −σ é,

matematicamente, igual a:

[ ] σσσ 22SRSR +=− (2.45)

Rearranjando a Equação [2.44] para facilidade de compreensão, tem-se:

[ ]S

SRSR

−= σβ

1 (2.46)

SSSR

SR

2

2

2

2

1

σσβ

+

−= (2.47)

2

2

22

22

1

SRS

RSR

SR σσβ

+⋅

−= (2.48)

Definindo- se fator de segurança central SF como sendo a razão entre as

médias da capacidade resistiva e da capacidade solicitante ( SF = R / S ), o índice

de confiabilidade definido pela Equação [2.48] pode ser escrito como:

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 34

( ) ( )SCovRCovSF

SF222

1

+⋅

−=β (2.49)

No qual Cov(R) e Cov(S) são os coeficientes de variação de R e S

respectivamente. Morlá Catalán e Cornell (1976), admitindo distribuição gaussiana

para FS, utilizam um índice de confiabilidade obtido a partir das seguintes

considerações algébricas:

R

SRσ

β −= (2.50)

SSR

R /1

σβ −= (2.51)

FS

SFσ

β 1−= (2.52)

Observa-se que, nesta formulação, o desvio padrão do fator de segurança é

igual à razão σR / S .

Chowdhury (1984, 1985, 1994), Chowdhury et al.,(1997), Christian et al.,

(1992), Sandroni e Sayão (1992), Dell’Avanzi (1995), Castello (2000) utilizam, em

suas análises, índices de confiabilidade com a mesma definição dada pela Equação

(2.52).

Um estudo paramétrico da Equação (2.52), mostra a possibilidade de

existência de situações com valores iguais do índice de confiabilidade β e valores

diferentes de fator de segurança FS (ou vice-versa). Isto está ilustrado na figura

(2.12), que apresenta a relação entre β e FS, em função do desvio padrão do fator

de segurança. De uma maneira geral, pode-se dizer que o índice β definido pela

Equação (2.52) quantifica a segurança através do número de desvios padrão do

fator de segurança, σFS, que separa a média do valor que define a ruptura (FS = 1).

Conclui-se que uma vantagem clara da utilização da Equação (2.52), na

avaliação da confiabilidade relativa, é a não necessidade do conhecimento da

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 35

função densidade de probabilidade da variável aleatória FS para a estimativa de β.

Em contrapartida, faz-se necessário que a média e o desvio padrão utilizados

descrevam de maneira adequada o comportamento do fator de segurança.

Figura 2.12. Relação β x FS em função do desvio padrão ( Dell’Avanzi, 1995)

bserva-se, ainda, que o valor de β, calculado por qualquer uma das

formul

engenheiro

geotéc

.3.4. Método do Segundo Momento de Primeira Ordem

observação das formulações do índice de confiabilidade demonstra a

neces

0

2

4

6

8

10

1 1,5 2 2,5 3Fator de Segurança

Índi

ce d

e C

onfia

bilid

ade

Desvio Padrão=0,1Desvio Padrão=0,15Desvio Padrão=0,20Desvio Padrão=0,30

O

ações aqui apresentadas, é um valor relativo, correspondente somente às

incertezas identificadas na análise. Este valor de β não é, portanto, um número

absoluto uma vez que não representa diversas outras incertezas, excluídas da

análise por simplificação dos cálculos ou por simples desconhecimento.

Portanto, torna-se indispensável uma avaliação subjetiva do

nico na definição final da qualidade da segurança da análise em si, ou seja, do

valor mínimo admissível para o índice β.

2

A

sidade de obtenção do desvio padrão do fator de segurança. Este valor é

obtido através de métodos probabilísticos.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 36

Em geral, os métodos probabilísticos utilizam técnicas para avaliação

aproximada somente dos dois primeiros momentos. Os demais momentos, relativos

a simetria e curtose da distribuição, são usualmente desprezados. Por este fato,

essas metodologias são classificadas como “aproximadas pelo segundo momento”.

Entre as técnicas de aproximação pelo segundo momento, destaca-se a de

aproximação da função de desempenho por série de Taylor, designada de segundo

momento de primeira ordem.

Sendo x1, x2, ..., xn os parâmetros ou variáveis envolvidas no cálculo de um

fator de segurança considerados independentes entre si, os valores médios do vetor

X e da função de desempenho G( X ) são expressos por:

),...,( 21 nxxxX = (2.53)

),...,()( 22 nxxxGXG = (2.54)

onde o termo ix indica o valor médio de xi.

Desenvolvendo a função de desempenho sob a forma da série de Taylor em

torno do valor médio X , obtém-se:

__

_)()(

!1)()( XXXGXGXG −+=

⋅1 +

__

)()(!2

XXXG−

⋅⋅2 +... (2.55)

onde G e G são 1_)(X

⋅)(

_X

⋅⋅a e 2a derivadas da função desempenho.

Truncando a série na derivada de primeira ordem e manipulando

algebricamente a equação [2.55], obtém-se:

))(()()(___XXXGXGXG −=−

⋅ (2.56)

Observa-se, na Equação (2.56), que o membro à esquerda da equação indica

o desvio do valor da função de desempenho aferida em X e em relação ao valor

médio. Elevando-se ambos os membros da Equação (2.56) ao quadrado, obtém- se

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 37

uma aproximação da variância da função de desempenho. Matematicamente tem-

se:

( )[ ] ( )( ) (XVXGxGV ⋅=2& ) (2.57)

Na situação onde, a função de desempenho representa a função do fator de

segurança FS, a variância da variável fator de segurança recai em um somatório do

produto entre o quadrado das derivadas parciais da função FS em relação a cada

parâmetro e suas respectivas variâncias, ou seja:

[ ] [∑=

∂∂

=n

tt

txV

xFSFSV

1.

2

] (2.58)

Portanto, o desvio padrão utilizado para estimar índices de confiabilidade, é

definido através do cálculo da raiz quadrada da variância obtida da solução da

Equação (2.58) para a variável aleatória FS.

2.3.5 - Estimativa de probabilidade de fracasso

O conhecimento dos dois primeiros momentos probabilísticos da função de

desempenho do fator de segurança não é suficiente para a definição da função

densidade de probabilidade. É também necessário o conhecimento da forma da

distribuição da função de desempenho. Na prática, é usual fazer a hipótese de

distribuição normal ou lognormal.

Considerando que as variáveis aleatórias envolvidas na determinação de FS

possuem distribuição normal e que a função de desempenho é linear, a

probabilidade de fracasso relaciona-se diretamente com o índice de confiabilidade

através da expressão:

( )βφ−=1Pf (2.59)

onde φ(β) é a função densidade acumulada aferida em β.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 38

A probabilidade de fracasso pode ser visualizada como a área sob a curva da

distribuição de probabilidade de FS, delimitada para fatores de segurança

correspondentes à ruptura (FS ≤ 1). A Figura 2.13 apresenta uma comparação entre

as probabilidades de fracasso de duas situações contrastantes, onde a variável

aleatória é o fator de segurança. A probabilidade de fracasso (ruptura) da situação

“a” é menor que da situação “b”, apesar do fator de segurança médio da situação “b”

ser superior ao da situação “a”. A relação entre a probabilidade de fracasso Pf e o

índice de confiabilidade β é única. Pelo fato da função densidade acumulada de

probabilidade ser uma função crescente, valores altos de β implicam em baixas

probabilidades de ruptura (FIGURA 2.14).

situação "a"

situação "b"

A probabilidade de ruptura é

equivalente à área com FS ≤ 1,0.

1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

Fator de Segurança

Dis

trib

uiçã

o de

Pro

babi

lidad

e

Figura 2.13. Comparação entre duas situações com médias e distribuições de FS

diferentes (Christian, 1992)

Pode-se observar na figura 2.14 que a situação de ruptura ( FS = 1,0 ou β =

0) corresponde a uma probabilidade de ruptura Pf = 0,5 ( ou 1: 2). Neste caso, a

curva de distribuição de FS (FIGURA 2.13) estaria centrada no valor FS= 1,0 e,

portanto a área sob a curva para FS ≤ 1,0 corresponderia à metade da área total.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 39

0,00001

0,00010

0,00100

0,01000

0,10000

1,00000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4índice de confiabilidade ( β )

Prob

abili

dade

de

rupt

ura

( Pf )

Figura 2.14. Relação entre β e Pf para distribuição normal de FS (Christian, 1992)

2.4.- Risco admissível

Baseado nas considerações anteriormente apresentadas, conclui-se que a

quantificação do risco através da confiabilidade relativa não deve ser entendida

como um valor final em si. De uma forma geral, não existem regras na determinação

do valor mínimo admissível para o índice de confiabilidade. Na realidade, o valor do

índice de confiabilidade deve representar de forma direta as incertezas presentes

nos dados de análise. Portanto, quanto maiores as incertezas presentes, maior

deverá ser o valor mínimo recomendado para confiabilidade do projeto em questão.

Além disto, o valor de β admissível deve também refletir a importância do projeto.

Por exemplo, para um mesmo conjunto de dados, deve-se recomendar que o

talude de jusante de uma barragem de terra, sob condições de fluxo permanente,

apresente um índice β com valor superior ao recomendado para um talude de uma

estrada de acesso ao canteiro de obras desta mesma barragem. Whitmann (1984),

apresenta através da Figura 2.15, uma avaliação sobre o risco praticado em alguns

projetos de engenharia civil. Os resultados da figura fornecem indicações sobre o

risco usualmente aceito e, conseqüentemente, um limite superior do risco admissível

para cada caso.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 40

"Marginalmente aceito"

Perda de vidas custo em US$

1 101x108 10x109

1000

1000010001001x106 1x107 1x109

10-1

1.00.00010-5

1.000.000

100

10-4

10-6

10-3

10-2

10.000

10

100 1 1/Pf

Barragens USA (estimado)

Consequências da Ruptura

Prob

abili

dade

Anu

al d

a R

uptu

ra

"Aceito"

Plataformas Móveis

Barragens

Plat. Fixas

fundações

Taludes de minas

Figura 2.15. Valores usuais de probabilidade e conseqüências de ruptura

(Whitman, 1984)

2.5 - Aplicações de estatística, probabilidade e confiabilidade em geotecnia

Inicialmente, conceitos de estatística, probabilidade e confiabilidade foram

gradativamente inseridos no meio geotécnico através de análises de confiabilidade

de taludes, que posteriormente foram adaptadas e aplicadas em estimativas de

confiabilidade de obras de fundações.

Sandroni e Sayão (1992) apresentaram procedimentos simples para a

avaliação estatística do fator de segurança de taludes. Estes procedimentos foram

aplicados em um exemplo de talude de mineração a céu aberto com 200 m de altura

e 34 graus de inclinação, cuja configuração está mostrada na Figura 2.16.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 41

80 ± 20m 200m 34º Superfície crítica E[FS] = 1,341 E[FS] = 0,161 β = 2,12 Pf ≅ 1:60

Figura 2.16. Seção típica do talude (Sandroni e S

Os primeiros procedimentos foram: fixar os p

buscar a superfície crítica de ruptura e obter o fato

ponto conduziu-se uma análise de estabilidade conve

A partir da segunda etapa, os procedimentos

do fator de segurança. Neste âmbito, a variância

método do Segundo Momento de Primeira Ordem,

variáveis aleatórias os parâmetros efetivos de res

acima e abaixo do nível d’água e a piezometria.

confiabilidade inerente ao fator de segurança foi e

proposta por Morlá Catalán e Cornell (1976). F

estimativa do índice de confiabilidade, foi obtida a c

ruptura.

Tendo em vista o trabalho realizado, Sandron

seguintes conclusões principais:

O índice de confiabilidade é uma função d

geotécnicos, da geometria e das solicitações externa

etc) consideradas em seu cálculo. Evidentemente,

apenas aos parâmetros que foram considerados com

se considerar os parâmetros geotécnicos como va

(piezometria, geometria, solicitações externas) como

confiabilidade refere-se apenas às incertezas quan

Solo saprolítico de quartzitoferrífero γnat = 28,3 ± 1,4 KN\m3 γsat = 29,0 ± 1,4 kN\m3 C = 25 ± 24 Kpa Tan φ = 0,781 ± 0,085

ayão, 1992)

arâmetros geotécnicos médios,

r de segurança médio. Até este

ncional (determinística).

visaram a avaliação estatística

de FS foi estimada através do

onde foram considerados como

istência, os pesos específicos

Seqüencialmente, o índice de

stimado através da formulação

inalmente, complementando a

orrespondente probabilidade de

i e Sayão (1992) chegaram às

a variabilidade dos parâmetros

s (cargas externas, vibrações e

o valor de β obtido refere-se

o variáveis. Por exemplo, pode-

riáveis e os demais elementos

fixos. Assim sendo, o índice de

to aos valores de γ, c’ e φ’. A

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 42

probabilidade de ruptura assim obtida é menor (e o valor de β é maior) do que a

obtida caso todos os elementos fossem considerados como variáveis.

A principal decisão de projeto, no contexto do procedimento exposto neste

trabalho, é estabelecer o valor aceitável do índice de confiabilidade (ou da

probabilidade de ruptura a ele associada). É preciso acumular experiência no uso do

procedimento acima descrito. Seria interessante a reanálise de projetos existentes

para se obter valor de β a eles associados. O acúmulo de experiência com base em

análises de confiabilidade se revelará mais sólido do que com base apenas em

valores de fatores de segurança. No caso do exemplo, que se restringe ao ambiente

de uma mina de grande porte na qual muitos taludes foram executados e umas

poucas rupturas foram observadas, pode-se estabelecer um critério específico. As

retro-análises das rupturas indicam valores de β menores ou pouco maiores que 1,0

(probabilidade de ruptura na faixa de 1: 4 a 1: 20).

Análises de diversos taludes estáveis produziram valores de β entre 1,8 e 3,0

(ou mais). Isto implica em probabilidades de ruptura entre 1: 30 e 1: 100 (ou menos).

No caso decidiu-se criteriar um valor mínimo de β = 2,0 (probabilidade de ruptura

menor que 1: 50).

Com a mesma metodologia proposta por Sandroni e Sayão, Dell’Avanzi

(1995) estudou o comportamento da confiabilidade em relação ao tipo de método de

estabilidade utilizado. Como exemplo de aplicação, foi avaliada a confiabilidade do

talude de jusante da barragem de Santa Branca, e desta forma, o resultado obtido

foi comparado com o valor fornecido por outras metodologias.

Castello (2000), estudou o comportamento de fundações superficiais, visando

obter a confiabilidade e a probabilidade de ruptura. A partir de considerações a

respeito de métodos estatísticos, determinou a média, variância e desvio padrão das

variáveis consideradas aleatórias. Desenvolveu o método do segundo momento de

primeira ordem para a quantificação do desempenho de fundações, propôs

metodologias para racionalizar a adoção de fatores de segurança quanto à ruptura

de fundações superficiais e quantificar o risco associado à probabilidade de recalque

estimado ser superior ao recalque admissível.

Guedes (1997), descreveu uma metodologia para a obtenção dos dados

necessários à análise probabilística, incluindo a quantidade e a localização de

amostras, o cálculo das médias e variâncias dos parâmetros do solo e a

quantificação das incertezas relativas a estes valores. Apresentou procedimentos de

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 43

execução dos três métodos probabilísticos mais utilizados em geotecnia, ou seja, o

Método do Segundo Momento de Primeira Ordem, o Método das Estimativas

Pontuais e a Simulação de Monte Carlo. Foram executadas análises probabilísticas

considerando, separadamente, variações de altura e inclinação de taludes de

mineração sob condições drenadas. Avaliou- se também a aplicação da metodologia

probabilística em situações não drenadas, através da análise da estabilidade de um

quebra- mar sobre argila mole.

Isenhower e Mosher (1996), utilizaram a análise de confiabilidade para avaliar

a confiabilidade de estruturas marítimas suportadas por fundações em estacas em

sua condição de reservatório cheio, e para estimar o tempo de vida útil restante, e

também em fornecer um método consistente de recuperação, otimizando os gastos

necessários.

O índice de confiabilidade foi estimado, fornecendo uma medida relativa da

confiabilidade de estrutura. O procedimento utilizado na análise de confiabilidade

consistiu no desenvolvimento do método do segundo momento de primeira ordem,

visando obter a variância do fator de segurança. Os parâmetros considerados

aleatórios foram determinados observando o comportamento da interação

solo/estrutura. Desta maneira, o comportamento não linear de tensão-deformação foi

considerado juntamente com os parâmetros de resistência (coesão e ângulo de

atrito).

A análise consistiu em determinar o coeficiente de segurança pelo método

tradicional, considerando todos os parâmetros como determinísticos e, em seguida,

em determinar o coeficiente de segurança em função da variabilidade existente nos

parâmetros considerados aleatórios, fundamentando-se em princípios da estatística,

onde a média, variância e o desvio padrão foram determinados para cada

parâmetro. Em seguida o índice de confiabilidade foi estimado, fornecendo a

probabilidade de ruptura relativa a um determinado coeficiente de segurança.

Fontenelle e Vieira desenvolveram um estudo relacionado à análise de risco

aplicada a estabilidade do talude de jusante da barragem de terra de Bengue no

Ceará, para a condição de reservatório cheio. Desenvolveram o método de

simulação de Monte Carlo considerando distribuições normais, triangulares e

metodologia de Larson; método PEM (Point Estimate Method) e Teoria dos

conjuntos difusos, considerando-se a aleatoriedade dos parâmetros de resistência,

coesão e ângulo de atrito do solo compactado.

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 44

As análises foram efetuadas com o programa de pesquisa automática de

análise de estabilidade de taludes, de cunho determinístico, denominado XSTABL,

com a utilização do método de Bishop Modificado.

Inicialmente, foi calculado o fator de segurança pelo método tradicional, ou

seja, considerando os parâmetros de cálculo como determinísticos. Em seguida, de

posse do desvio padrão e variância dos parâmetros considerados aleatórios fez-se o

cálculo do fator de segurança pelo método probabilístico. O estudo concluiu que em

função da variabilidade encontrada para o fator de segurança a análise de risco é

uma metodologia aconselhável e adequada. Concluiu também que para estudos

mais aprofundados em análise de risco, é aconselhável aumentar a amostragem dos

materiais empregados, com vistas a melhor captar sua variabilidade.

Noiray e Ladd (1983) utilizaram o método probabilístico segundo momento de

primeira ordem , para a análise de estabilidade da fundação de um estoque de cal.

O resultado desta análise forneceu ainda a probabilidade de ruptura para uma

ruptura generalizada envolvendo apenas erros sistemáticos, e para uma ruptura

localizada envolvendo erros sistemáticos e erros de dispersão de dados.

CAPÍTULO 3

MONITORAÇÃO DAS ESTACAS E O ENSAIO SPT

3.1 - Introdução

Apresentam-se, neste capítulo, aspectos geotécnicos obtidos através do

ensaio SPT e uma descrição sucinta da extração do parâmetro repique elástico, com

seu respectivo valor obtido durante o final da cravação das estacas de concreto pré-

moldado no local da obra.

3.2 - Localização

A obra analisada no presente estudo situa-se na região central de Campos

dos Goytacazes-RJ (FIGURA 3.1). A investigação geotécnica para o reconhecimento

das condições do subsolo foi realizada através do ensaio SPT. O programa de

sondagens, executado no local da obra, constou de três furos, e a locação de tais

furos em planta encontra-se na Figura 3.2.

3.3 - Sondagens executadas

Através do estudo do boletim de sondagem foi verificada a presença de

uma camada de argila siltosa aos 19 metros de profundidade, como pode ser

verificado através das sondagens apresentadas na Figura 3.3 e no perfil composto

na Figura 3.4. De posse do valor das solicitações que seriam impostas à fundação,

realizou-se o cálculo da capacidade de carga última pelo método tradicional. Em

princípio concluiu-se pelo assentamento das estacas na camada de argila siltosa a

19 metros de profundidade. Deve ser ressaltado, que a profundidade de

assentamento das estacas a 19 metros foi estipulado para todas as estacas. Porém,

devido a acidentes ocorridos durante a cravação como quebra da estaca,

esmagamento da cabeça, ou o encontro no sub-solo de alguma barreira à cravação,

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 46

verificou-se durante a monitoração que algumas estacas não atingiram a cravação

total pretendida, mas ficaram bem próximo do planejado, entre 18 e 19 metros.

Figura 3.1 – Localização geográfica de Campos dos Goytacazes.

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 47

igura 3.2 – Disposição das sondagens na área da obra.

SP01

SP02

SP03

8.20

2.60

2.60

18.50

14.00

7.0025.00

11.00

6.00

37.00

45.80

42.35

21.40

Passeio RN

Passeio

F

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 48 Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 48

BOLETIM DE SONDAGEM sp01

Cota: Profundidade do Nível D'água: Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm - Diâmetro Externo 50,8mm-0,26

30cm

finai

s

Amostra

Penetração

4,50 metros em 18/07/01Profundidade dacama

Gráfico

30cm

inic

iais

Areia fina, média e gorssa, argilo siltosa, cor cinzaclara, com veios amarelos, medianamentecompacta.

13

9

Argila siltosa, com areia fina, média e grossa, coramarela, dura.

Argila siltosa, com areia fina, cor cinza e amarela,mole.

Argila siltosa, com areia fina, média e grossa, corvariegada, rija.

Argila siltosa, com areia fina e média, com recifes,cor variegada, rija.

30cm

finai

s

Amostra

Penetração

0[ ]

Profundidade dacama

1210

8

Classificação do MaterialGráfico

1[ ]

3[ ]

52[ ]

1,00

8[ ]

7[ ]

5[ ]

6[ ]

7

30cm

inic

iais

9

Nº de Golpes/15cm

11

13[ ]

975

7

3

1

4[ ]

4

4

5

147

5

7

8

9[ ]

12[ ]

10[ ]

11[ ]

15[ ]

4

4

414[ ]

15,70

16[ ]

5

32

13

44 9 8

6

5

7

2

5

5

5

7

5

5

6

14

13

10

16

12

11

8

12

12

12 15

15 22

6 8

6 11

2,90

3,85

7,50

Aterro: argila com areia fina, média e grossa, compedregulhos, cor variegada.

Idem, rija.

Idem, média

Idem, rija.

1

3

8

6

4

6

84

4

8

8

6

4

11,90

Idem, pouco compacta.

6 7

43Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, coramarela, com veios cinza, medianamentecompacta.

9,30

10,4010,75

Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, corbranca, medianamente compacta.

Argila siltosa, com areia fian, cor cinza clara.

9

Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, coramarela, com veios amarelos, medianamentecompacta.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 10 20 30 40 50

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 49

BOLETIM DE SONDAGEM SP01CONT

Cota: Profundidade do Nível D'água: Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm - Diâmetro Externo 50,8mm

30cm

fina

is

Gráfico

Amostra

s

Profundidade da camada

Penetração

30cm

inic

iais

-0,45 4,45 metros em 24/07/2001

32[ ]

31[ ]

30[ ]

29[ ]

28[ ]

26,45

27[ ]Sondagem paralisada à 26,45 metros

9 14

26[ ] 6 9 12 7 8

25[ ] 7

24[ ] 7 12 16

23[ ] 7 12 1522,90

20 2920,85

22[ ] 8 14 18 17 22

21[ ] 9 13 17

10 13

19[ ] 5

20[ ] 4 7 9

8 8 16 22

18[ ] 5 7 8 12 17 Argila siltosa, com areia fina, média e grossa,cor cinza, com veios amarelos, rija.

17,88

5 9 7 Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, corcinza clara, com veios amarelos, pouco

17[ ] 3 5

30cm

fina

is

GráficoClassificação do Material

Nº de Golpes/15cmAmostra

s

Profundidade da camada

Penetração

30cm

inic

iais

Idem, dura.

Idem, rija.

Argila siltosa, com areia fina, cor cinza, comveios amarelo, dura.

Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, corcinza clara, com veios amarelos, pouco

Argila siltosa, com areia fina, cor variegada,rija.

Argila siltosa, com areia fina, média e grossa,cor cinza clara, rija.

24,50

25,55

10 13

14 18

19 25

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

0 10 20 30 40 50

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 50

BOLETIM DE SONDAGEM SP02

Cota: Profundidade do Nível D'água: Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm - Diâmetro Externo 50,8mm4,45 metros em 24/07/2001

30cm

inic

iais Gráfico

Profundidade da camada 30

cm fi

nais

Amostra

sPenetração

-0,45

10

5

5

12

3

8

10

10

2

8

8

5 87

11

6

4

5

7

10

8

15

15 19

14 18

11

9

13

12

6 516[ ]

3

15[ ]

6

6

5

4

3

3

9,85

11[ ]

4

4

7

8[ ]

4

4

13[ ]

14[ ]

9[ ]

12[ ]

10[ ]

8,80

5

7

8

7

30cm

inic

iais

2013

7

0[ ]

0,70

2,75

7[ ]

5[ ]

6[ ]

3,90

1[ ]

3[ ]

2[ ]

4[ ]

5

7

2

5

4

1

Classificação do MaterialGráfico

Aterro: argila siltosa, com areia fina, média egrossa, com pedregulhos, cor variegada.

Profundidade da camada

Nº de Golpes/15cm

4

4

5

95

7

8

9 12

17 20

1112

8

64

30cm

fina

is

Amostra

sPenetração

10

9 8

3 4

12 17

Argila siltosa, com areia fina e média, coramarela, dura.

Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, corcinza clara, com veios amarelos,medianamente compacta.

Idem, pouco compacta.

Idem, medianamente compacta.

Argila siltosa, com areia fina e média, comrecifes, cor variegada, rija.

Idem, dura.

Idem, rija.

Areia fina, média e gorssa, argilo siltosa, coramarela e cinza, meianamente compacta.

Idem, média.

Argila siltosa, com areia fina, cor variegada,mole.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 10 20 30 40 50

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 51

BOLETIM DE SONDAGEM SP02CONT

Cota: Profundidade do Nível D'água: Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm - Diâmetro Externo 50,8mm-0,45 4,45 metros em 24/07/2001

Amostra

s

Profundidade da camada

Penetração

30cm

in

icia

is30

cm fi

nais

Gráfico

Amostra

s

Profundidade da camada

Penetração

30cm

in

icia

is30

cm fi

nais

GráficoClassificação do Material

Nº de Golpes/15cm

17[ ] 3 5 5 8 10 Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, corcinza clara, com veios amarelos,

18[ ] 5 7 8

8 8

12 15 Argila siltosa, com areia fina, média e grossa,cor cinza, com veios amarelos, rija.

13 16

20[ ] 4 7 9 11 16

19[ ] 5

21[ ] 9 13 17

22[ ] 8 14 18

19 27

Argila siltosa, com areia fina, cor cinza clara,com veios amarelos, dura.

22 30

22 32

Argila siltosa, com areia fina, cor cinza clara,dura.

23[ ] 7 12 15

24[ ] 7 12 16 19 28

17 23

9 12

25[ ] 7 10 13

15 21

27[ ]

26[ ] 6

Sondagem paralisada à 26,45 metros.

28[ ]

29[ ]

30[ ]

31[ ]

32[ ]

17,75

20,70

22,00

26,45

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

0 10 20 30 40 50

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 52

BOLETIM DE SONDAGEM SP03

Cota: Profundidade do Nível D'água: Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm - Diâmetro Externo 50,8mm

Profundidade da camada

-0,25

30cm

fina

is

Amostra

sPenetração Gráfico

4,50 metros em 20/07/01

30cm

inic

iais

88

9 12

9

10

9

Profundidade da camada

Nº de Golpes/15cm

4

24[ ]

30cm

fina

is

Amostra

sPenetração

0[ ]

Classificação do MaterialGráfico

1[ ]

3[ ]

2[ ] 22

40,90

2,70

3

9[ ]

3

8[ ]

7[ ]

58,85

5[ ]

6[ ]

4

1

12[ ]

10[ ]

11[ ]

84

5

7

9 10

4

6 16

8

7

7

4 5

4 42

1

1297

4

30cm

inic

iais

3

3

4

13[ ]

14[ ]

3

4

5

4 4

4

5

16[ ]

3

15[ ]

10

1

1

2

9

5 7

2

5 7

1

2

2

6,90

4

Idem, muito mole.

4,85Argila siltosa, com areia fina e m'dia, com recifes, corvariegada, mole.

9

2

Idem, média.

7 15

11

16

Aterro: argiola com areia fina, média e grossa, compedregulhos, cor variegada.

Idem, mole.

Argila siltosa, com areia fina e média, cor amarela,média.

Argila siltosA, com areia fina, cor amarela evermelha, mole.

8

10,50

7

13

13

5

5

6

5

5

6

Argila siltosa, com areia fina, média e grossa, corvariegada, rija.

Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, corvariegada, medianamente compacta.

Areia fina, média e gorssa, argilo siltosa, cor cinza eamarela, medianamente compacta.

Idem, pouco compacta.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 10 20 30 40 50

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 53

BOLETIM DE SONDAGEM SP03CONT

Cota: Profundidade do Nível D'água: Amostrador Padrão - Diâmetro Interno 34,9mm - Diâmetro Externo 50,8mm-0,25 4,50 metros em 20/07/2001

Amostra

sProfundidade dacamada

Penetração

30cm

inic

iais

30cm

fina

is

Gráfico

Amostra

sProfundidade dacamada

Penetração

30cm

inic

iais

30cm

fina

is

GráficoClassificação do Material

Nº de Golpes/15cm

17[ ] 17,15 3 4 6 7 10 Areia fina, média e grossa, argilo siltosa, cor cinza e amarela.

Argila siltosa, com ariea fina, m;édia e gorssa, corcinza com veios amarelos, média.

18[ ] 5 7 8 12 15

19[ ] 5 6 7

20[ ] 3 4 5

20 15 30

11 13

7 9

22[ ] 8 11

20,7521[ ] 5 10

21,80

24[ ] 8 12 17

23[ ] 8 16 21

25[ ] 8 12 15

26[ ] 5 9 1226,45

27[ ]

29[ ]

28[ ]

31[ ]

30[ ]

32[ ]

Idem, rija.

Idem, média.

Sondagem paralizada à 26,45 metros.

Argila siltosa, com areia fina, média e gorssa, corcinza clara, dura.

Argila siltosa, com aria fina, cor cinza clara, dura.

Argila siltosa, cor areia fina, cor cinza clara, dura.25,55

20 27

20 29

15 19 26

14 21

24 37

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

0 10 20 30 40 50

Figura 3.3 – Perfil de sondagem.

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 54

3.4 - Determinação d

Durante o fina

elástico e a nega, q

obtido no ensaio

parâmetros não dete

no final da cravação

obstante, do total d

foram desconsidera

21

1

11111

1

1

12122121

SP - 03

Son

30

P .(m) SP - 02

de extração dos p

SP - 01

25338846230938807723928548

2084

17201519181310887

129

1110151616303227282321

853249

1216161511109

1088

1015139

302637292721

Aterro

Argila siltosa c areia

Areia argilo siltosa pouco compacta

média

Areia fina à grossa,argilo siltosa.

mole

dura e média

Rija e média

Medianamente compacta a pouco compacta

rija e dura

dagem paralisada aos 26,45m de profundidade.

Argila siltosa com areia

rija e dura

rija

rija e dura rija e dura

0123456789

1011121314151617181920212223242526272829

rof

F

o re

l do

ue

SPT

rmin

de

e es

das

arâm

Argila siltosa

igura 3.4 – Perfil co

pique elástico e neg

processo de crav

em conjunto com

anteriormente e

ísticos. A medida d

cada estaca, e o to

presentou

tacas monitoradas,

devido a acident

etros re

om mole

mposto da sonda

a

ação das estacas

índice de resistê

xplicitado, forma

a grandeza dos p

tal de estacas m

15% do total c

quinze estacas

es e erros gros

média a muito mole mole média

dura e rija

gem

, foi medido o repique

ncia à penetração Nspt

ram o conjunto dos

arâmetros foi realizada

onitoradas no processo

ravado na obra. Não

(15%), cinco medições

seiros, como respingo

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 55

excessivo de óleo do sistema de cravação na folha de medição e outras influências

de fatores externos. Portanto, do total de estacas monitoradas, e descartando-se as

que continh er , d as, u s f neceram os parâmetros

utilizados ne a an e. do o , de medidas

29,5 x 29,5 cm de concreto pré-moldado, foram cravadas com um pilão de 2500 Kg

e altura de queda de 60 cm.

A medição do valor do repique elástico não traz nenhuma novidade em

relação à tradicional nega. Além disso, é oportuno lembrar que ambos valores, nega

e repique elástico, são medidos simultaneamente, ou seja, durante o final da

cravação. A ediçã do repiq idamente elucidado

observando a Fig ra 3.5

Com muita simplicidade, toma-se um lápis, um papel fixado a estaca por meio

de fita adesiva. Numa régua horizontal previamente fixada próxima à estaca,

descanse o pis m endo dura a aplicação dos golpes.

Nota-se durante a medição, que um aumento da resistência do solo à penetração da

estaca provoca uma redução da nega e um aumento do valor do repique elástico.

Desta maneira pode-se constatar uma relação estreita entre estes dois valores, o

que vem a confirmar a relevância do repique elástico na determinação da

capacidade ca

am

st

m

-se

de

ros

ális

o

u

ov

ez estac o eja, (10%) or

tip

nte

As estacas cravada ram s e quadrada

ue elástico e nega pode ser resum

.

-o lenta e continuamente

rga in situ.

Figura 3.5 - Medição do repique elástico e nega.

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 56

De onde se obterá, após 10 (dez) golpes do martelo no sistema de cravação,

o sinal representativo dos dados, esquematicamente demonstrado abaixo.

Nega total

Figura 3.6 - Representação da medida do repique elástico e nega.

E, o repique elástico e a nega para um golpe do martelo no sistema de

cravação, podem ser representados pela figura 3.7.

Figura 3.7 - Repique elástico e nega obtidos em um golpe do martelo.

O valor do repique elástico e nega obtidos durante o processo de cravação de

cada estaca eram anotados imediatamente após sua medição, para futuramente

serem tratados e avaliados observando-se sua pertinência como dado representativo

da cravação. Após uma análise do sinal obtido para cada estaca monitorada, os

dados considerados satisfatórios foram dispostos numa planilha, a fim de facilitar

seu tratamento. Não obstante, o valor médio do índice de resistência à penetração

Nspt para cada camada de solo fornecida pela sondagem feita na obra, também

foram dispostos numa planilha.

É evidente que um tratamento estatístico deve primeiramente partir da

premissa que uma análise bem sucedida necessita de uma organização dos dados,

Repique

Nega

Capítulo – 3 Monitoração das estacas e o ensaio SPT 57

visando não só uma resposta condizente com os dados de entrada, mas também

representativa destes. Portanto, seguindo estes princípios os dados de repique

lástico e Nspt médio foram dispostos de acordo com as Tabelas 3.1 e 3.2,

spectivamente.

Estaca Monitorada Repique Elástico K (m) Nega S (m)

e

re

Estaca 1 0,00590 0,00540 Estaca 2 0,00610 0,00690 Estaca 3 0,00620 0,00670 Estaca 4 0,00680 0,00500 Estaca 5 0,00780 0,00360 Estaca 6 0,00790 0,00610 Estaca 7 0,00810 0,00630 Estaca 8 0,00840 0,00560 Estaca 9 0,00910 0,00640 Estaca 10 0,01030 0,00540

Tabela 3.1 – Valores do Repique Elástico e Nega obtidos na cravação.

De maneira estratégica, o índice de resistência à penetração médio por metro de

profundidade foi dividido em intervalos, sendo o valor médio do Nspt obtido através

da média dos intervalos.

Intervalos Nspt médio

intervalo 1 8

Intervalo 2 5

Intervalo 3 13

intervalo 4 9

Intervalo 5 18

Tabela 3.2 – Valor do Nspt médio por intervalos.

CAPITULO 4

ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM FUNDAÇÕES PROFUNDAS

4.1 - Introdução

Neste capítulo, apresentam-se procedimentos simples para quantificar a

confiabilidade inerente à capacidade de carga in situ de fundações profundas

através do método baseado no repique elástico. Com este propósito, foram

analisadas as fundações monitoradas na obra descrita no capítulo 3. O principal

objetivo destas análises foi apresentar uma forma racional de avaliar a influência das

incertezas inerentes aos parâmetros sobre o cálculo da carga última, e neste âmbito,

inferir sobre a utilização de fatores de segurança adequados à considerada

confiabilidade admissível.

4.2 - Procedimentos da análise de confiabilidade

4.2.1 - Análise estatística dos parâmetros geotécnicos

A análise estatística dos parâmetros considerados variáveis aleatórias foi

implementada a partir dos resultados do ensaio de SPT, repique elástico e nega,

todos coletados no local da obra por processos apresentados no capitulo 3. A

análise estatística consistiu ainda, em variar o valor do índice de resistência à

penetração Nspt obtido no ensaio SPT, tomando como base sondagens realizadas na

vizinhança da obra, portanto no centro de Campos dos Goytacazes, com objetivo de

avaliar a influência da variabilidade de cada uma destas sondagens na

determinação da capacidade de carga, e conseqüentemente na determinação do

fator de segurança mais adequado. E, por fim, fez-se uma última análise, através de

uma variação de uma parcela do repique elástico, o deslocamento elástico ou quake

do solo (C3), mostrando sua influência na determinação do índice de confiabilidade.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 59

O valor médio do parâmetro deslocamento elástico do solo C3 foi o sugerido

pela equipe da empresa de engenharia Sonda Engenharia. Utilizando um aparelho

para medir repique, Figura 4.1, a equipe realizou diversas medições do parâmetro,

Filho e Abreu (1989). Assim dispuseram os valores encontrados numa tabela

relacionando o tipo de solo com o respectivo deslocamento elástico encontrado,

(TABELA 4.1).

Figura 4.1 – Aparelho utilizado para medir repique

Tipo de solo C3 = Quake (mm) Areias 0 - 2,5

Areias siltosas e Siltes Arenosos 2,5 - 5,0

Argilas Siltosas e siltes Argilosos 5,0 - 7,5

Argilas 7,5 - 10,0

Tabela 4.1 - Valores sugeridos para C3.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 60

O valor médio dos parâmetros deslocamento elástico do solo C3 e

encurtamento elástico da estaca C2 foram determinados a partir do repique elástico

K medido na obra, satisfazendo as seguintes equações:

K = C3 + C2 (4.1)

C2 = K – C3 (4.2)

0nde;

K é o repique elástico medido na obra;

C3 é o deslocamento elástico na ponta da estaca, de acordo com a tabela 4.1;

C2 é o encurtamento elástico da estaca em função do C3;

Para o estudo da confiabilidade da obra, foram considerados os valores do

repique elástico K medido na obra, deslocamento elástico do solo C3 de acordo com

o solo de apoio da estaca na obra (Argilas Siltosas, TABELA 4.1), encurtamento

elástico da estaca C2 de acordo com a Equação 4.2, nega medida na obra e Nspt

médio da sondagem realizada na obra. Assim, os valores utilizados nesta primeira

análise estão resumidos nas Tabelas 3.2 e 4.2. É importante salientar que ao valor

do deslocamento elástico do solo C3 foi dado um incremento subjetivo, porém o

valor do parâmetro permaneceu dentro do intervalo de variação seguido. Este

procedimento evidentemente fornece uma variância não real do parâmetro,

comprometendo um pouco os resultados do estudo, mas serve como ponto de

partida para a análise de confiabilidade.

Estacas Repique Elástico K (m) C3 (m) C2 (m) S (m)

1 0,00590 0,00500 0,00090 0,00540 2 0,00610 0,00527 0,00083 0,00690 3 0,00620 0,00554 0,00066 0,00670 4 0,00680 0,00581 0,00099 0,00500 5 0,00780 0,00608 0,00172 0,00360 6 0,00790 0,00635 0,00155 0,00610 7 0,00810 0,00662 0,00148 0,00630 8 0,00840 0,00689 0,00151 0,00560 9 0,00910 0,00716 0,00194 0,00640 10 0,01030 0,00750 0,00280 0,00540

Tabela 4.2 – Dados do repique elástico e nega da obra.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 61

Os procedimentos utilizados para a determinação dos valores médios,

variâncias e desvios-padrão dos parâmetros deslocamento e encurtamento elástico,

nega e Nspt, seguiram as metodologias tradicionais da estatística descritas no item

2.3.2.2 Estes valores estão compilados na Tabela 4.3.

Parâmetro Valor Médio Variância Desvio Padrão Nspt 11 25,30 5,02

C3 (m) 6,2x10-3 7,0x10-7 8,3x10-4

C2 (m) 1,4x10-3 4,0x10-7 6,4x10-4

S (m) 5,7x10-3 9,0x10-7 9,7x10-4

Tabela 4.3 – Análise estatística dos parâmetros aleatórios da obra.

No âmbito das análises estatísticas visando uma simulação de condições de

projeto, foram tomadas sondagens em torno da região da obra, no centro de

Campos dos Goytacazes. Nesta análise, o valor do Nspt foi determinado a partir de

cada sondagem realizada em torno da obra, assim, foram tomadas dez sondagens

nesta região, sendo N1 a sondagem nº 1, N2 a sondagem nº2,..., N10 a sondagem

nº10. O valor do Nspt médio de cada intervalo estratégico para cada sondagem foi

determinado, e de posse desses valores, seguindo os procedimentos tradicionais de

estatística descritos no item 2.3.2.2, determinaram-se o valor médio, a variância e o

desvio padrão para cada uma destas sondagens (TABELA 4.4). Os outros

parâmetros de entrada no processo de análise foram os obtidos na obra, ou seja,

manteve-se o deslocamento elástico do solo C3, o encurtamento elástico da estaca

C2 em função do C3 e a nega S, embora se saiba que essas variáveis possuem

valores próprios, relativos a cada ensaio SPT utilizado na análise de simulação.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 62

Parâmetro Valor Médio Variância Desvio Padrão Nspt (1) 9 10,70 3,27

Nspt (2) 10 13,86 3,72

Nspt (3) 9 8,33 2,88

Nspt (4) 10 37,30 6,10

Nspt (5) 12 56,20 7,50

Nspt (6) 9 9,30 3,04

Nspt (7) 12 42,00 6,48

Nspt (8) 18 30,66 5,53

Nspt (9) 11 45,90 6,77

Nspt (10) 11 17,76 4,21

Tabela 4.4 – Análise estatística das sondagens em torno da obra.

Observando a Tabela 4.4, percebe-se através da variância a variabilidade das

camadas de solo existentes para cada ensaio SPT. Neste caso, o valor médio

representa a magnitude do índice de resistência à penetração Nspt, e a variância

reflete a diversificação das camadas do subsolo de cada sondagem. Portanto,

sabendo que a média e a variância são parâmetros estatísticos independentes, uma

determinada sondagem pode apresentar um valor médio expressivo e uma pequena

variância, ou vice-versa, o que dependerá do tipo de solo.

Ainda se tratando de simulação de condições de projeto, foi realizada uma

última análise, desta vez mantendo a nega S, o repique elástico k e a sondagem

realizada na obra e variando o valor do deslocamento elástico do solo C3, que por

sua vez reflete numa variação do valor do encurtamento elástico da estaca C2,

(Equação 4.2). A variação do C3 seguiu o intervalo de variação sugerido pela equipe

da Sonda Engenharia, Tabela 4.1. Portanto designando C31 como o intervalo de

variação de C3 para o caso de areias na ponta da estaca, C32 para o caso do solo de

apoio na ponta da estaca ser areias siltosas e siltes arenosos, e C21 e C22 são os

encurtamentos elásticos correspondentes respectivamente. A Tabela 4.5 resume os

resultados.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 63

K (m) C31 (m) C32 (m) 0,00590 0,00000 0,00250

0,00610 0,00027 0,00277

0,00620 0,00054 0,00304

0,00680 0,00081 0,00331

0,00780 0,00108 0,00358

0,00790 0,00135 0,00385

0,00810 0,00162 0,00412

0,00840 0,00189 0,00439

0,00910 0,00216 0,00466

0,01030 0,00250 0,00493

Tabela 4.5 – Intervalo de variação de C3.

E o tratamento dos dados, da mesma forma como no caso das sondagens em

torno da obra, seguindo os procedimentos tradicionais de estatística descritos no

item 2.3.2.2, determinaram-se o valor médio, a variância e o desvio padrão para

cada um destes intervalos de variação de C3 e conseqüentemente para C2.

(TABELA 4.6).

Parâmetro (m) Valor Médio Variância Desvio Padrão C31 1,22E-03 6,88E-07 8,29E-04 C32 1,22E-03 6,88E-07 8,29E-04 C21 6,44E-03 4,08E-07 6,39E-04 C22 6,44E-03 4,08E-07 6,39E-04

Tabela 4.6 – Análise estatística na variação do parâmetro C3.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 64

4.2.2 - Análises determinísticas

A partir do método empírico sugerido pelas formulações de Uto e Chellis, para a

determinação da resistência última in situ de uma estaca cravada, foi implementado o

cálculo pelo método determinístico, cujos valores de entrada foram os valores médios

dos parâmetros dispostos nas Tabelas 4.3, 4.4 e 4.6. Não obstante, foi realizado o

cálculo deterministico pelo método já bastante consagrado e muito utilizado no meio

geotécnico prático, o método empírico de Aoki e Velloso. Assim, uma comparação

entre o fator de segurança correspondente a uma probabilidade ruptura, e o fator de

segurança utilizado quando no cálculo da capacidade de carga pelo método Aoki e

Velloso é feita, com o propósito de avaliar a pertinência do coeficiente de segurança

escolhido para o projeto de fundações da obra.

As demandas de solicitação (q), referentes aos fatores de segurança

utilizados nas análises de confiabilidade, foram consideradas determinísticas e desta

forma inseridas como constantes na composição das funções de desempenho dos

fatores de segurança.

4.2.3 - Análise das variâncias dos fatores de segurança

Dentre os métodos para a determinação da confiabilidade destaca-se a de

aproximação da função de desempenho por série de Taylor, designada de segundo

momento de primeira ordem, outras técnicas que também se destacam é a das

estimativas pontuais, desenvolvidas por Rosenblueth (1975) e a técnica de

simulação de Monte Carlo. As variâncias dos fatores de segurança foram estimadas

através do Método do Segundo Momento de Primeira Ordem, como mostrado pela

Equação (2.58). Examinando esta equação, verifica-se que a utilização do método

requer o conhecimento das derivadas parciais da função de desempenho do fator de

segurança.

A utilização de uma função de desempenho explícita permite o cálculo das

derivadas parciais do fator de segurança. Entretanto, devido à dificuldade na

obtenção destas derivadas, utilizou-se à metodologia proposta por Christian et al.,

(1992) e Sandroni e Sayão (1992), designada por diferenças divididas (diferenças

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 65

ascendentes ou descendentes), como forma de aproximação matemática para o

valor da derivada parcial da função.

4.2.3.1 - Estudo da aproximação por diferenças divididas

A aproximação por diferenças divididas consiste em variar separadamente

cada parâmetro, observando-se a variação correspondente do valor da função de

desempenho do fator de segurança. A aproximação da derivada parcial de cada

parâmetro é então obtida através da razão entre a variação observada do FS e a

variação estipulada para cada parâmetro. Sendo δxi a variação fornecida a um

determinado parâmetro xi, a aproximação da derivada parcial é expressa por:

iiii

i xxFSxxFS

xFS

.)().(

δδ −+

=∂∂

(4.3)

Para a execução do método das diferenças divididas, foram necessárias cinco

análises, utilizando o método de Uto/Chellis para obter as capacidades de carga in

situ. A primeira constituiu em uma análise determinística convencional e as demais

foram executadas variando um parâmetro de cada vez. Deste modo, a análise pode

ser representada primeiramente calculando-se a capacidade de carga pelo método

tradicional, ou seja, considerando todos parâmetros como determinísticos, com o

seu mais provável valor (valor médio). Em seguida, de posse do desvio padrão e

variância de cada parâmetro considerado aleatório, fez-se o cálculo da capacidade

de carga com cada parâmetro somado a uma variação de 10% do seu valor como

sugerido por Sandroni e Sayão (1992), e os demais parâmetros com seu mais

provável valor, o valor médio.

Com objetivo de regionalizar o estudo da confiabilidade no projeto de

fundações em estacas cravadas, foram realizadas também como forma de

simulação cinco análises para dois intervalos de variação do valor do deslocamento

elástico do solo C3, que se relaciona com o tipo de solo na ponta da estaca (TABELA

4.1). O valor médio, variância e desvio padrão se encontram na Tabela 4.6. Portanto,

foram realizadas no total mais dez análises.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 66

E, analogamente à simulação feita com o valor de C3, fez-se cinco análises

com o resultado de cada um dos dez ensaios SPT realizados em torno da região da

obra, onde o valor médio, a variância e o desvio padrão são fornecidos pela Tabela

4.4. Neste caso, o solo de apoio da estaca, que implica no intervalo de variação de

C3, foi o solo encontrado na própria obra, argila siltosa. Assim, foram realizadas no

total, mais 50 análises.

Resumidamente, pode-se concluir que as análises foram realizadas

satisfazendo respectivamente as seguintes configurações:

Análise 1 - Considerando todos os parâmetros medidos na obra.

Análise 2 - Considerando os intervalos de variação do C3 dispostos na tabela

4.5, a nega e o ensaio SPT da obra.

Análise 3 - Considerando o intervalo de variação do C3 e a nega S da obra, e

os ensaios de SPT realizados na região em torno da obra.

4.2.4 - Estimativa da confiabilidade associada à probabilidade de ruptura

A estimativa da confiabilidade associada ao cálculo determinístico do fator de

segurança foi executada através da Equação (2.52). Examinando esta equação,

observa-se que o cerne da análise de confiabilidade reside na verificação da

influência dos valores de média e variância do fator de segurança sobre o índice de

confiabilidade.

Visando satisfazer estas influências, realizaram-se estudos concentrados no

cálculo de índices de confiabilidade associados a fatores de segurança médios

contidos no intervalo arbitrado entre FS=1 (ruptura) e FS=4. As variâncias destes

fatores de segurança foram estimadas através do método do Segundo Momento de

Primeira Ordem, baseado na solução empírica da fórmula de capacidade de carga in

situ sugerida por Uto e Chellis, com suas derivadas parciais determinadas através da

aproximação por diferenças divididas. Completando a composição destas variâncias,

utilizaram-se inicialmente os valores das variâncias dos parâmetros de resistência a

penetração, obtidos através da análise estatística dos resultados dos ensaios de

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 67

SPT, em seguida a variância do deslocamento elástico C3 e encurtamento elástico

C2 e a variância da nega.

Foram realizados três estudos, de acordo com as configurações das análises

descritas no item 4.2.3.1. Os resultados do primeiro estudo, referente à análise um,

visaram obter a probabilidade de ruptura associada à confiabilidade da obra.

Os resultados apresentados neste primeiro estudo, demonstram a influência

do fator de segurança na estimativa da probabilidade de ruptura. No presente estudo

o fator de segurança crítico considerado foi FS = 1. Para este valor as cargas de

solicitação igualam-se a capacidade de resistência, neste momento, nada se pode

garantir , uma vez que a resistência máxima será totalmente solicitada pelas cargas

atuantes. O principal objetivo na aplicação de um coeficiente de segurança, é

fornecer a obra uma margem de segurança que reflita as incertezas inerentes dos

parâmetros de cálculo e dos erros adversos ocorridos durante os cálculos.

É evidente que, quanto maior o fator de segurança, maior será a garantia que,

se alguma falha ocorrer, haverá uma folga na resistência capaz de suportar esta

deficiência. Uma análise da Equação 4.4 ilustra o que foi dito.

FS = R / S (4.4)

onde;

FS = Fator de segurança

R = Resistência

S = Solicitação

Analisando as variáveis desta equação, percebe-se que para um coeficiente

de segurança FS = 1, a carga de solicitação iguala-se a capacidade de resistência,

portanto, neste ponto a probabilidade de ruptura é de 50%, ou seja, 1/2. Para

valores de FS > 1, significa que a capacidade de resistência é maior que a

solicitação, portanto a favor da segurança, deste modo a probabilidade de ruptura é

menor que 50%. Desta maneira, para uma mesma distribuição, quanto maior o fator

de segurança FS, maior será à margem de segurança, e maior o índice de

confiabilidade da obra, conseqüentemente menor a probabilidade de ruptura da

mesma.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 68

Neste sentido, o resultado deste primeiro estudo, referente à probabilidade

de ruptura da obra, visou determinar, através das incertezas presentes nos

parâmetros, valores do coeficiente de segurança FS representativo das variações

presente nas análises.

Observando a Figura 4.2 e a Tabela 4.14, no caso de um coeficiente de

segurança crítico FS = 1, o estudo veio a confirmar a veracidade da Equação 4.2,

fornecendo um índice de confiabilidade β = 0,00 e uma probabilidade de ruptura não

aconselhável Pf (φ) = 1/2. Ainda na Figura 4.2, é fácil perceber que para um

coeficiente de segurança FS = 2,5, existe um índice de confiabilidade β = 2,25 que

implica, de acordo com a Tabela 4.16 numa probabilidade de ruptura Pf (φ) = 1/82.

A probabilidade de ruptura associada ao índice de confiabilidade da obra,

representou de maneira satisfatória as incertezas presentes no cálculo da

capacidade de carga, portanto o coeficiente de segurança mais adequado para a

margem de segurança desejada pôde ser escolhido com uma maior confiança.

Os resultados deste primeiro estudo estão compilados nas Tabelas 4.7 a 4.14. e na

Figura 4.2 (FS x β).

Tabela 4.7 - Cálculo de β para a seguinte configuração:

• Repique elástico, nega e SPT da obra;

• Teoria determinística: Uto/Chellis;

• E [FS] = 4,00

Parâmetro Xi E[Xi] Xi+δXi FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi] % N 10,6000 11,6600 4,2240 -0,2095 2,53E+01 1,11E+00 9,76E+01C3 0,0062 0,0068 4,0592 -92,1297 6,88E-07 5,84E-03 5,13E-01C2 0,0014 0,0016 4,0284 -184,2594 4,08E-07 1,38E-02 1,22E+00S 0,0057 0,0063 4,0548 -92,1297 9,47E-07 8,04E-03 7,07E-01 Variância V[FS] 1,137770 100,000

Desv. [FS] 1,066663

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 69

Tabela 4.8 – Cálculo de β para a seguinte configuração:

• Repique elástico, nega e SPT da obra;

• Teoria determinística: Uto/Chellis;

• E [FS] = 3,50

Parâmetro Xi E[Xi] Xi+δXi FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi] % N 10,6000 11,6600 3,6955 -0,1833 2,53E+01 8,50E-01 9,76E+01

C3 0,0062 0,0068 3,5514 -80,6030 6,88E-07 4,47E-03 5,13E-01C2 0,0014 0,0016 3,5244 -161,2060 4,08E-07 1,06E-02 1,22E+00S 0,0057 0,0063 3,5475 -80,6030 9,47E-07 6,15E-03 7,07E-01 Variância V[FS] 0,870879 100,000

Desv. [FS] 0,933209

Tabela 4.9 – Cálculo de β para a seguinte configuração:

• Repique elástico, nega e SPT da obra;

• Teoria determinística: Uto/Chellis;

• E [FS] = 3,00

Parâmetro Xi E[Xi] Xi+δXi FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi] % N 10,6000 11,6600 3,1667 -0,1570 2,53E+01 6,24E-01 9,76E+01C3 0,0062 0,0068 3,0432 -69,0703 6,88E-07 3,28E-03 5,13E-01C2 0,0014 0,0016 3,0201 -138,1407 4,08E-07 7,78E-03 1,22E+00S 0,0057 0,0063 3,0399 -69,0703 9,47E-07 4,52E-03 7,07E-01 Variância V[FS] 0,639497 100,000

Desv. [FS] 0,799686

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 70

Tabela 4.10 – Cálculo de β para a seguinte configuração:

• Repique elástico, nega e SPT da obra;

• Teoria determinística: Uto/Chellis;

• E [FS] = 2,50

Parâmetro Xi E[Xi] Xi+δXi FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi] % N 10,6000 11,6600 2,6389 -0,1309 2,53E+01 4,33E-01 9,76E+01

C3 0,0062 0,0068 2,5360 -57,5586 6,88E-07 2,28E-03 5,13E-01C2 0,0014 0,0016 2,5168 -115,1172 4,08E-07 5,41E-03 1,22E+00S 0,0057 0,0063 2,5333 -57,5586 9,47E-07 3,14E-03 7,07E-01 Variância V[FS] 0,444095 100,000

Desv. [FS] 0,666405

Tabela 4.11 – Cálculo de β para a seguinte configuração:

• Repique elástico, nega e nega da obra;

• Teoria determinística: Uto/Chellis;

• E [FS] = 2,00

Parâmetro Xi E[Xi] Xi+δXi FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi] % N 10,6000 11,6600 2,1114 -0,1047 2,53E+01 2,77E-01 9,76E+01

C3 0,0062 0,0068 2,0291 -46,0529 6,88E-07 1,46E-03 5,13E-01C2 0,0014 0,0016 2,0137 -92,1058 4,08E-07 3,46E-03 1,22E+00S 0,0057 0,0063 2,0269 -46,0529 9,47E-07 2,01E-03 7,07E-01 Variância V[FS] 0,284295 100,000

Desv. [FS] 0,533193

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 71

Tabela 4.12 – Cálculo de β para a seguinte configuração:

• Repique elástico, nega e SPT da obra;

• Teoria determinística: Uto/Chellis;

• E [FS] = 1,50

Parâmetro Xi E[Xi] Xi+δXi FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi] % N 10,6000 11,6600 1,5834 -0,0785 2,53E+01 1,56E-01 9,76E+01

C3 0,0062 0,0068 1,5216 -34,5352 6,88E-07 8,20E-04 5,13E-01C2 0,0014 0,0016 1,5101 -69,0703 4,08E-07 1,95E-03 1,22E+00S 0,0057 0,0063 1,5200 -34,5352 9,47E-07 1,13E-03 7,07E-01 Variância V[FS] 0,159874 100,000

Desv. [FS] 0,399843

Tabela 4.13 – Cálculo de β para a seguinte configuração:

• Repique elástico, nega e SPT da obra;

• Teoria determinística: Uto/Chellis;

• E [FS] = 1,00

Parâmetro Xi E[Xi] Xi+δXi FSi δFS/δXi Variância V[Xi] (δFS/δXi)2xV[Xi] % N 10,6000 11,6600 1,0556 -0,0523 2,53E+01 6,93E-02 9,76E+01C3 0,0062 0,0068 1,0144 -23,0234 6,88E-07 3,65E-04 5,13E-01C2 0,0014 0,0016 1,0067 -46,0469 4,08E-07 8,65E-04 1,22E+00S 0,0057 0,0063 1,0133 -23,0234 9,47E-07 5,02E-04 7,07E-01 Variância V[FS] 0,071055 100,000

Desv. [FS] 0,266562

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 72

FS β Pf (φ)

4,00 2,8143 1/409 3,50 2,6802 1/272 3,00 2,5013 1/162 2,50 2,2512 1/82 2,00 1,8763 1/33 1,50 1,2508 1/9 1,00 0,0000 1/2

Tabela 4.14 – Fator de segurança e probabilidade de ruptura associada ao índice de

confiabilidade.

0,000

1,000

2,000

3,000

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0Fator de Segurança

Índi

ce d

e co

nfia

bilid

ade

Figura 4.2: Fator de segurança x Índice de confiabilidade

O segundo e terceiros estudos, referentes às análises dois e três do item

4.2.3.1 respectivamente, tiveram como objetivo verificar a influência relativa dos

parâmetros na confiabilidade de uma obra a ser realizada na região central de

Campos dos Goytacazes, com o propósito de regionalizar o estudo da análise de

confiabilidade. Deve-se observar que o estudo tinha como premissa a existência de

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 73

uma camada de solo sob a ponta da estaca, dentro dos respectivos solos sugeridos

na Tabela 4.1.

No primeiro estudo, referente à simulação com o valor do deslocamento

elástico do solo C3, foi mantido o parâmetro nega S, Nspt e repique K da obra, sendo

a variação do C3 obedecendo ao intervalo de variação sugerido na Tabela 4.1. Feito

os devidos cálculos de média, desvio padrão e variância dos parâmetros

considerados aleatórios, iniciou-se a análise pela obtenção da capacidade de carga

utilizando as formulações de Chellis e Uto, primeiramente pelo método

determinístico considerando todos os parâmetros com seu valor médio e depois

considerando uma variação de 10% do valor médio de cada parâmetro considerado

aleatório. Para uma análise abrangente, a confiabilidade foi determinada,

considerando fatores de segurança num intervalo arbitrado entre FS = 1 e FS = 4.

O estudo demonstrou que o parâmetro deslocamento elástico do solo

influencia na confiabiabilidade da obra, portanto na sua probabilidade de ruptura.

Deste modo, ficou evidenciado que a quantificação correta deste parâmetro é

fundamental para uma análise de confiabilidade bem sucedida.

Neste escopo, numa situação de projeto de fundações dentro da região de

contorno utilizada nesta análise, o engenheiro geotécnico poderá servir-se das

previsões aqui expostas garantido uma maior solidez na determinação do coeficiente

de segurança mais adequado, ou até mesmo em decidir pela execução de

sondagens adicionais. E no caso do projeto de fundações em outras regiões e

outras condições os resultados são importantes como experiência na avaliação

prévia dos parâmetros de cálculo. Uma comparação entre o fator de segurança e o

índice de confiabilidade para cada intervalo de variação de C3 é feita na Tabela 4.15.

e na Figura 4.3.

C31 C32 FS β β

4 4,15 3,48 3 3,69 3,09 2 2,76 2,32 1 0,00 0,00

Tabela 4.15 – Fator de segurança x índice de confiabilidade

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 74

igura 4.3 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade para intervalos

s resultados mostram ainda que, a determinação do coeficiente de

segura

e baseado na variação do

desloc

estudo da confiabilidade é proposto com objetivo de elucidar as incertezas

presen

0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,5

1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

Fator de Segurança

Índi

ce d

e C

onfia

bilid

ade

C31C32

F

de variação de C3.

O

nça e conseqüentemente do índice de confiabilidade, é sensível a uma

variação no valor do deslocamento elástico do solo.

Analogamente ao estudo da confiabilidad

amento elástico do solo, realizou-se a análise de confiabilidade baseada nos

ensaios de SPT executados em torno da região da obra. Neste estudo referente à

análise três descrita no item 4.2.3.1 foram mantidos a nega S, o deslocamento

elástico do solo C3 e o encurtamento elástico da estaca C2 da obra. Para cada

ensaio SPT executado, fez-se o estudo da confiabilidade, que se iniciou pelo cálculo

do valor médio, variância e desvio padrão dos parâmetros considerados aleatórios,

ainda aqui, nega, deslocamento e encurtamento elástico e Nspt. Depois foi

determinada a capacidade de carga pelo método determinístico e pelo método

probabilístico, observando-se coeficientes de segurança no intervalo entre FS = 1 e

FS = 4.

O

tes nos parâmetros de cálculo, que ocasionalmente poderão refletir na

probabilidade de ruptura da obra. Por uma análise das Equações 2.29 e 2.52, fica

evidente a influência da variância na determinação do índice de confiabilidade β e

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 75

neste âmbito, este estudo procurou visar uma análise do comportamento do

parâmetro Nspt, observando a sua influência na segurança da obra.

O índice de confiabilidade obtido para cada ensaio SPT sugerido, demonstrou

refletir de maneira coerente as incertezas presentes nos parâmetros de cálculo, e

mais especificamente as do parâmetro Nspt. A porcentagem de influência do

parâmetro Nspt na obtenção do índice de confiabilidade, em torno de 80 a 95% para

o conjunto de ensaios SPT, justifica a importância de uma análise deste parâmetro

para a obtenção de um coeficiente de segurança adequado.

Neste ensejo, o estudo procurou visar uma avaliação do comportamento do

índice de confiabilidade em relação à variância do parâmetro Nspt. Observando o

resultado das análises, verificou-se que um aumento na variância do parâmetro Nspt,

refletia num decréscimo do índice de confiabilidade β, o confirma a proposição da

Equação 2.52. Uma ilustração de tal comportamento pode ser visualizada através da

Tabela 4.16 e da Figura 4.4, onde existem dois ramos bem diferenciados. O intervalo

entre os ramos, ilustra um aumento substancial da variância, provocando uma queda

considerável no valor do índice de confiabilidade. Disto advém que a probabilidade

de ruptura associada ao índice de confiabilidade será diferente para cada projeto,

dependendo do ensaio SPT utilizado no cálculo da capacidade de carga. Portanto, é

interessante para o projeto, que o engenheiro geotécnico faça uma avaliação da

sondagem que fornecerá o parâmetro de resistência Nspt, avaliando a

heterogeneidade do substrato que o compõe e, assim, servir-se das análises

probabilísticas como complemento das análises determinísticas.

É sabido que o projeto de fundações é baseado na interação solo e elemento

estrutural. Logo, é relevante o estudo das incertezas contidas nos parâmentros

representativos dos aspectos geotécnicos, aqui o parâmetro Nspt. Por isso, o estudo

da influência deste parâmetro na confiabilidade pode ser entendido como um

suporte na avaliação prévia dos aspectos geotécnicos pertinentes ao projeto.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 76

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 VAR 10,70 13,90 8,33 37,30 56,22 9,32 42,00 30,66 45,9 17,76

FS β β β β β β β β β β

4 4,14 3,98 4,79 2,40 2,22 4,55 2,54 3,80 2,38 3,63 3 3,68 3,54 4,26 2,13 1,98 4,04 2,26 3,38 2,11 3,23 2 2,76 2,65 3,20 1,60 1,48 3,03 1,69 2,53 1,59 2,42 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Tabela 4.16 – Relação entre a variância e o índice de confiabilidade.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Fator de Segurança

Índi

ce d

e C

onfia

bilid

ade

N1N2N3N4N5N6N7N8N9N10

Figura 4.4 - Fator de segurança x Índice de confiabilidade para Nspt em torno da

região da obra

As planilhas e tabelas de cálculo para as análises dois e três respectivamente

estão apresentadas no anexo 2.

4.3 – Interpretação dos resultados

No estudo da probabilidade de ruptura da obra, o índice de confiabilidade

correspondente aos fatores de segurança médios, contidos no intervalo entre FS=1

e FS=4, foram fortemente influenciados principalmente pelo parâmetro de resistência

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 77

a penetração Nspt devido à sua grande variância. Observou-se também que o

parâmetro deslocamento elástico do solo C3 forneceu pouca influência na

confiabilidade, haja visto, que sua variância foi um pouco prejudicada pela

subjetividade imposta no intervalo de variação. Já o parâmetro encurtamento

elástico da estaca C2, forneceu maior influência na confiabilidade do que C3, pois

apresentou uma variância mais considerável. O parâmetro nega S, forneceu uma

influência intermediária, menor que C2 e maior que C3. A porcentagem de influência

de cada um desses parâmetros está ilustrada na Figura 4.5.

0102030405060708090

100

1

% de Influência

Nspt

C3

C2

S

Figura 4.5 - Porcentagem de influência de cada parâmetro na confiabilidade.

Tratando-se do segundo estudo, referente à análise dois, foi verificado que o

índice deslocamento elástico do solo C3 influência de maneira considerável na

determinação do índice de confiabilidade. Portanto seu valor deve ser estimado

através de instrumentação das estacas, pois é a melhor maneira de se obter o valor

deste índice. Na conclusão do estudo baseado nas configurações da análise três, foi

verificado que o índice de resistência à penetração é o parâmetro aleatório que mais

influencia na confiabilidade da obra. Portanto seu valor deve ser estimado

observando-se o maior número possível de sondagens. Os resultados resumidos na

Figura 4.4, demonstraram que o estudo forneceu dois conjuntos de índice de

confiabilidade ilustrados por dois ramos bem diferenciados, isto se deve a um

aumento substancial no valor da variância do parâmetro Nspt entre um ramo e outro.

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 78

De um modo geral os resultados dos estudos referente às análises dois e três

foram eficazes na demonstração da importância da variância e do valor médio dos

parâmetros C3 e Nspt na determinação do índice de confiabilidade, e portanto na

probabilidade de ruptura.

4.4 - Avaliação dos fatores de segurança referentes à confiabilidade admissível

O valor do índice de confiabilidade deve representar de forma direta as

incertezas presentes nos dados de análise. Portanto, para um considerado β

admissível, quanto maior a incerteza presente, maior deverá ser o fator de

segurança recomendável para confiabilidade do projeto em questão.

Whitman (1984) apresenta no item 2.4 através da Figura 2.15, uma avaliação

sobre o risco adotado em alguns projetos de engenharia civil. De acordo com a

ilustração, uma confiabilidade admissível mínima bastante razoável para um projeto

de fundação bem elaborado, é β = 3,00 que corresponde a uma probabilidade de

ruptura pf ≅ 1/770. Considerando que o fator de segurança e os parâmetros

aleatórios são distribuídos normalmente e que as incertezas presentes nos

parâmetros de cálculo influenciam de modo bastante significativo na confiabilidade

da obra, os resultados do estudo forneceram uma base para escolha do coeficiente

de segurança adequado. Apesar de ter-se feito monitoração em apenas 10% das

estacas, e do deslocamento elástico ter sido baseado em estudos regionais e sua

distribuição influenciada por conceitos subjetivos, a análise foi bem sucedida.

Portanto, o fator de segurança médio recomendado para o caso da obra em estudo,

deveria ser no mínimo FS = 3,00, o que forneceria um índice de confiabilidade β =

2,50 com uma probabilidade de ruptura associada Pf (φ) = 1/162.

E preciso salientar que a escolha do fator de segurança adequado deve estar

relacionada ao grau de segurança que se deseja, assim, para projetos geotécnicos

deve-se fazer uma avaliação da importância do projeto a fim de determinar

coeficientes de segurança satisfatórios do ponto de vista da economia e da

segurança. Como ilustração do que foi dito, podemos considerar um projeto de

fundações para execução de um depósito de materiais para a construção de uma

barragem , e o projeto de fundações de uma barragem em si. É evidente que o

coeficiente de segurança no projeto de fundação do depósito deve ser menor que o

Capítulo 4 – Análise de confiabilidade em fundações profundas 79

coeficiente de segurança da barragem, haja vista, que o depósito é uma construção

onde a probabilidade de ruptura é menor, pois é uma construção momentânea, e

portanto, que envolve perdas materiais e humanas bem menores que um possível

rompimento da barragem, onde as conseqüências da ruptura seriam muito mais

graves sob o ponto de vista financeiro e mais ainda sob o ponto de vista das perdas

humanas, logo, a quantificação equilibrada do fator de segurança adequado é

essencial no projeto em que se esteja trabalhando.

CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES

5.1 - Conclusões

A partir das análises de confiabilidade e probabilidade implementadas no

presente trabalho, apresentam-se as seguintes conclusões:

A adoção de um fator de segurança quanto à capacidade de carga de

fundações deve fundamentar-se na análise de confiabilidade, haja vista que esta

contempla as incertezas que afetam o cálculo determinístico.

Os índices de confiabilidade, relativos à capacidade de carga, foram

fortemente influenciados pela variância obtida na análise estatística do parâmetro

Nspt do ensaio SPT. Neste caso, este parâmetro é determinante na escolha de um

fator de segurança adequado.

A variância dos parâmetros deslocamento e encurtamento elástico, tiveram

pouca influência na estimativa do índice de confiabilidade. Isto não implica que estes

parâmetros devam ser desconsiderados na análise probabilística, pelo contrário.

Devido à influência de fatores externos no momento da medição do repique elástico,

como erros humanos, acuidade de leituras, e erros inerentes à variabilidade espacial

do solo, é que se deve fazer uma maior quantidade possível de medições visando

obter um conjunto de dados representativos da real dispersão do parâmetro. E por

fim, deve ser considerado que tal influência ficou comprometida devido ao

incremento subjetivo dado ao parâmetro aleatório C3, que por sua vez, refletiu no

parâmetro C2.

A variância da nega por sua vez, apesar de ter influenciado pouco na

estimativa do índice de confiabilidade, deve ser considerada fundamental nas

análises de confiabilidade, haja vista, que sua medição sofre das mesmas

influências que o repique elástico.

Capítulo 5 – Conclusões e Considerações 81

De um modo geral, ficou evidenciada a magnitude das incertezas e

variabilidade do solo em geral, confirmando assim, uma necessidade de

aprofundamento das técnicas e metodologias adotadas no meio geotécnico.

5.2 – Considerações

A análise de confiabilidade do presente estudo visou obter um índice de

confiabilidade relativo, pois é sabido que apenas alguns parâmetros foram

considerados aleatórios. Portanto, a probabilidade de ruptura associada a este

índice de confiabilidade também é uma probabilidade de ruptura relativa. Desta

maneira, os resultados obtidos devem ser encarados como uma forma de avaliação

ponderada do coeficiente de segurança.

No presente trabalho, a análise estatística do parâmetro de resistência Nspt foi

executada com base em ensaios SPT. Entretanto, a metodologia proposta é também

aplicável na situação onde se dispõe de outros ensaios, como o CPT, onde se

deverá utilizar coeficientes de correlações apropriados.

5.3 - Sugestões

A seguir apresentam-se algumas sugestões para futuras pesquisas, a fim de

dar prosseguimento ao tema abordado no presente trabalho:

Aplicar nas configurações da fundação analisada no presente trabalho outros

métodos probabilísticos (Método das Estimativas Pontuais e Simulação de Monte

Carlo) e, desta forma, comparar os resultados obtidos com os apresentados através

do método do Segundo Momento de Primeira Ordem.

Execução de análises similares de casos documentados de sucessos e

insucessos referentes ao desempenho de fundações, visando o acúmulo de

experiência na determinação de índices de confiabilidade admissíveis, nos mesmos

Capítulo 5 – Conclusões e Considerações 82

moldes apresentados por Sandroni e Sayão (1992), em torno do desempenho de

taludes.

Execução de análises similares utilizando outros métodos de cálculo de

capacidade de carga, confrontando com os resultados obtidos por esta análise.

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ANEXO 1

Tabela A.1 – Distribuição acumulada normal

∫ ∞−−= z dttezF

2)2/1(21)(π

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,94411,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,99522,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,99933,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,99953,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,99973,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,99983,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,99983,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,99993,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,999974 0,999968 0,999970 0,999971 0,999972 0,999973 0,999974 0,999975 0,999976 0,999977 0,999978

4,1 0,999979 0,999980 0,999981 0,999982 0,999983 0,999983 0,999984 0,999985 0,999985 0,9999864,2 0,999987 0,999987 0,999988 0,999988 0,999989 0,999989 0,999990 0,999990 0,999991 0,9999914,3 0,999991 0,999992 0,999992 0,999993 0,999993 0,999993 0,999993 0,999994 0,999994 0,9999944,4 0,999995 0,999995 0,999995 0,999995 0,999995 0,999996 0,999996 0,999996 0,999996 0,9999964,5 0,999997 0,999997 0,999997 0,999997 0,999997 0,999997 0,999997 0,999998 0,999998 0,9999984,6 0,9999979 0,9999980 0,9999981 0,9999982 0,9999983 0,9999983 0,9999984 0,9999985 0,9999986 0,99999864,7 0,9999987 0,9999988 0,9999988 0,9999989 0,9999989 0,9999990 0,9999990 0,9999991 0,9999991 0,99999924,8 0,9999992 0,9999992 0,9999993 0,9999993 0,9999993 0,9999994 0,9999994 0,9999994 0,9999995 0,99999954,9 0,9999995 0,9999995 0,9999996 0,9999996 0,9999996 0,9999996 0,9999996 0,9999997 0,9999997 0,99999975 0,9999997 0,9999997 0,9999997 0,9999998 0,9999998 0,9999998 0,9999998 0,9999998 0,9999998 0,9999998

91

ANEXO 2

Tabela A2.1 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT da obra e C3 = 0 a 0,0025 m

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β -0,1419 -62,4176 -124,8352 -62,4176 0,5222 0,7227 4,00 4,151 -0,1242 -54,6155 -109,2309 -54,6155 0,3998 0,6323 3,50 3,954 -0,1064 -46,8132 -93,6264 -46,8132 0,2938 0,5420 3,00 3,690 -0,0887 -39,0110 -78,0220 -39,0110 0,2040 0,4517 2,50 3,321 -0,0857 -37,6948 -75,3895 -37,6948 0,1905 0,4364 2,42 3,244 -0,0822 -36,1562 -72,3124 -36,1562 0,1752 0,4186 2,32 3,146 -0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,1683 0,4102 2,27 3,097 -0,0710 -31,2088 -62,4176 -31,2088 0,1306 0,3613 2,00 2,768 -0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,1169 0,3419 1,89 2,610 -0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,0996 0,3156 1,75 2,366 -0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0859 0,2930 1,62 2,122 -0,0532 -23,4066 -46,8132 -23,4066 0,0734 0,2710 1,50 1,845 -0,0503 -22,1457 -44,2914 -22,1457 0,0657 0,2564 1,42 1,635 -0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430 0,0582 0,2413 1,34 1,391 -0,0448 -19,6850 -39,3701 -19,6850 0,0519 0,2279 1,26 1,147 -0,0424 -18,6490 -37,2980 -18,6490 0,0466 0,2159 1,20 0,904 -0,0403 -17,7165 -35,4331 -17,7165 0,0421 0,2051 1,14 0,660 -0,0384 -16,8729 -33,7458 -16,8729 0,0382 0,1954 1,08 0,416 -0,0355 -15,6044 -31,2088 -15,6044 0,0326 0,1807 1,00 0,000

92

Tabela A2.2 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT da obra e C3 = 0,0025 a 0,0050 m

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β -0,2014 -88,5827 -177,1654-88,5827 1,0524 1,0259 4,76 3,670 -0,1691 -74,3633 -148,7267-74,3633 0,7416 0,8612 4,00 3,484 -0,1479 -65,0678 -130,1357-65,0678 0,5678 0,7535 3,50 3,318 -0,1268 -55,7724 -111,5448-55,7724 0,4172 0,6459 3,00 3,097 -0,1057 -46,4769 -92,9539 -46,4769 0,2897 0,5382 2,50 2,787 -0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,2079 0,4559 2,12 2,451 -0,0845 -37,1816 -74,3632 -37,1816 0,1854 0,4306 2,00 2,322 -0,0724 -31,8260 -63,6520 -31,8260 0,1358 0,3686 1,71 1,932 -0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,1169 0,3420 1,59 1,720 -0,0634 -27,8862 -55,7724 -27,8862 0,1043 0,3229 1,50 1,548 -0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0859 0,2931 1,36 1,233 -0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,0748 0,2736 1,27 0,989 -0,0504 -22,1457 -44,2914 -22,1457 0,0658 0,2565 1,19 0,746 -0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430 0,0583 0,2414 1,12 0,502 -0,0448 -19,6850 -39,3701 -19,6850 0,0520 0,2280 1,06 0,258 -0,0424 -18,6490 -37,2980 -18,6490 0,0466 0,2160 1,00 0,015 -0,0423 -18,5908 -37,1815 -18,5908 0,0464 0,2153 1,00 0,000

93

Tabela A2.3 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (1) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β

-0,2098 -92,2737 -184,5473 -92,2737 0,5248 0,7244 4,00 4,14

-0,1836 -80,7500 -161,4999 -80,7500 0,4019 0,6339 3,50 3,95

-0,1573 -69,2052 -138,4105 -69,2052 0,2952 0,5433 3,00 3,68

-0,1311 -57,6710 -115,3421 -57,6710 0,2050 0,4528 2,50 3,31

-0,1049 -46,1368 -92,2737 -46,1368 0,1312 0,3622 2,00 2,76

-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,0955 0,3091 1,71 2,29

-0,0787 -34,6026 -69,2052 -34,6026 0,0738 0,2717 1,50 1,84

-0,0732 -32,2119 -64,4238 -32,2119 0,0640 0,2529 1,40 1,57

-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,0537 0,2318 1,28 1,21

-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,0458 0,2140 1,18 0,85

-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0395 0,1987 1,10 0,49

-0,0524 -23,0654 -46,1308 -23,0654 0,0328 0,1811 1,00 0,00

94

Tabela A2.4 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (2) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β

-0,1942 -85,4221 -170,8442 -85,4221 0,5692 0,7544 4,00 3,98

-0,1699 -74,7218 -149,4436 -74,7218 0,4355 0,6599 3,50 3,79

-0,1456 -64,0511 -128,1023 -64,0511 0,3200 0,5657 3,00 3,54

-0,1214 -53,3792 -106,7583 -53,3792 0,2223 0,4714 2,50 3,18

-0,0971 -42,7008 -85,4015 -42,7008 0,1422 0,3771 2,00 2,65

-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,1209 0,3477 1,84 2,43

-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,0979 0,3129 1,66 2,11

-0,0728 -32,0256 -64,0511 -32,0256 0,0800 0,2828 1,50 1,77

-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,0680 0,2608 1,38 1,47

-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,0579 0,2407 1,28 1,15

-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0500 0,2235 1,19 0,83

-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,0435 0,2086 1,11 0,51

-0,0485 -21,3478 -42,6956 -21,3478 0,0355 0,1885 1,00 0,00

95

Tabela A2.5 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (3) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β

-0,2024 -89,0279 -178,0557 -89,0279 0,3915 0,6257 4,00 4,80

-0,1771 -77,8749 -155,7498 -77,8749 0,2996 0,5473 3,50 4,57

-0,1518 -66,7541 -133,5082 -66,7541 0,2201 0,4692 3,00 4,26

-0,1265 -55,6249 -111,2499 -55,6249 0,1528 0,3910 2,50 3,84

-0,1012 -44,5027 -89,0055 -44,5027 0,0978 0,3128 2,00 3,20

-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,0766 0,2767 1,77 2,78

-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,0620 0,2490 1,59 2,38

-0,0759 -33,3771 -66,7541 -33,3771 0,0550 0,2346 1,50 2,13

-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,0431 0,2075 1,33 1,58

-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,0367 0,1916 1,23 1,18

-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0316 0,1779 1,14 0,77

-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,0276 0,1660 1,06 0,37

-0,0506 -22,2466 -44,4932 -22,2466 0,0244 0,1564 1,00 0,00

96

Tabela A2.6 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (4) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β

-0,2014 -88,5827 -177,1654 -88,5827 1,5626 1,2500 4,00 2,40

-0,1762 -77,5002 -155,0004 -77,5002 1,1960 1,0936 3,50 2,29

-0,1510 -66,4287 -132,8575 -66,4287 0,8787 0,9374 3,00 2,13

-0,1258 -55,3469 -110,6938 -55,3469 0,6100 0,7810 2,50 1,92

-0,1007 -44,2803 -88,5606 -44,2803 0,3904 0,6249 2,00 1,60

-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,3087 0,5556 1,78 1,40

-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,2500 0,5000 1,60 1,20

-0,0755 -33,2081 -66,4163 -33,2081 0,2196 0,4686 1,50 1,07

-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,1736 0,4167 1,33 0,80

-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,1479 0,3846 1,23 0,60

-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,1276 0,3572 1,14 0,40

-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,1111 0,3333 1,07 0,20

-0,0503 -22,1374 -44,2748 -22,1374 0,0976 0,3124 1,00 0,00

97

Tabela A2.7 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (5) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β

-0,2014 -88,5827 -177,1654 -88,5827 2,3292 1,5262 4,53 2,31

-0,1781 -78,3225 -156,6449 -78,3225 1,8209 1,3494 4,00 2,22

-0,1558 -68,5094 -137,0189 -68,5094 1,3932 1,1803 3,50 2,12

-0,1335 -58,7224 -117,4448 -58,7224 1,0236 1,0117 3,00 1,98

-0,1113 -48,9407 -97,8815 -48,9407 0,7110 0,8432 2,50 1,78

-0,0890 -39,1526 -78,3052 -39,1526 0,4550 0,6746 2,00 1,48

-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,3727 0,6105 1,81 1,33

-0,0732 -32,2119 -64,4238 -32,2119 0,3080 0,5550 1,65 1,16

-0,0684 -30,0845 -60,1690 -30,0845 0,2687 0,5183 1,54 1,04

-0,0668 -29,3612 -58,7224 -29,3612 0,2559 0,5059 1,50 0,99

-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,1901 0,4360 1,29 0,67

-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,1656 0,4070 1,21 0,51

-0,0504 -22,1457 -44,2914 -22,1457 0,1456 0,3815 1,13 0,34

-0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430 0,1290 0,3591 1,06 0,18

-0,0445 -19,5741 -39,1483 -19,5741 0,1137 0,3372 1,00 0,00

98

Tabela A2.8 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (6) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β

-0,2034 -89,4775 -178,9550 -89,4775 0,4355 0,6599 4,00 4,55

-0,1780 -78,2879 -156,5757 -78,2879 0,3334 0,5774 3,50 4,33

-0,1525 -67,0827 -134,1654 -67,0827 0,2448 0,4948 3,00 4,04

-0,1271 -55,9058 -111,8116 -55,9058 0,1700 0,4123 2,50 3,64

-0,1017 -44,7274 -89,4549 -44,7274 0,1088 0,3299 2,00 3,03

-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,0843 0,2904 1,76 2,62

-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,0683 0,2613 1,58 2,24

-0,0763 -33,5414 -67,0827 -33,5414 0,0612 0,2474 1,50 2,02

-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,0474 0,2178 1,32 1,47

-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,0404 0,2010 1,22 1,09

-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0348 0,1867 1,13 0,71

-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,0304 0,1742 1,06 0,32

-0,0508 -22,3609 -44,7218 -22,3609 0,0272 0,1649 1,00 0,00

99

Tabela A2.9 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (7) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β

-0,1797 -79,0212 -158,0423 -79,0212 1,3952 1,1812 4,00 2,54

-0,1572 -69,1512 -138,3024 -69,1512 1,0684 1,0336 3,50 2,42

-0,1347 -59,2527 -118,5053 -59,2527 0,7844 0,8857 3,00 2,26

-0,1123 -49,3772 -98,7544 -49,3772 0,5447 0,7381 2,50 2,03

-0,1007 -44,2914 -88,5827 -44,2914 0,4383 0,6620 2,24 1,88

-0,0898 -39,5018 -79,0035 -39,5018 0,3486 0,5905 2,00 1,69

-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,2805 0,5296 1,79 1,50

-0,0732 -32,2119 -64,4238 -32,2119 0,2318 0,4815 1,63 1,31

-0,0674 -29,6263 -59,2527 -29,6263 0,1961 0,4428 1,50 1,13

-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,1660 0,4074 1,38 0,93

-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,1431 0,3783 1,28 0,74

-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,1247 0,3531 1,20 0,56

-0,0503 -22,1457 -44,2914 -22,1457 0,1096 0,3310 1,12 0,37

-0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430 0,0971 0,3116 1,06 0,18

-0,0449 -19,7509 -39,5018 -19,7509 0,0872 0,2952 1,00 0,00

100

Tabela A2.10 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (8) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β -0,2014 -88,5827 -177,1654 -88,5827 1,2935 1,1373 5,76 4,19 -0,1611 -70,8662 -141,7323 -70,8662 0,8278 0,9099 4,61 3,97 -0,1399 -61,5158 -123,0315 -61,5158 0,6238 0,7898 4,00 3,80 -0,1224 -53,8333 -107,6666 -53,8333 0,4777 0,6912 3,50 3,62 -0,1049 -46,1368 -92,2737 -46,1368 0,3509 0,5924 3,00 3,38 -0,0874 -38,4474 -76,8947 -38,4474 0,2437 0,4936 2,50 3,04 -0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,2070 0,4549 2,30 2,87 -0,0699 -30,7579 -61,5158 -30,7579 0,1560 0,3949 2,00 2,53 -0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,1437 0,3791 1,92 2,43 -0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,1225 0,3499 1,77 2,21 -0,0565 -24,8682 -49,7364 -24,8682 0,1019 0,3193 1,62 1,93 -0,0524 -23,0684 -46,1368 -23,0684 0,0877 0,2962 1,50 1,69 -0,0503 -22,1457 -44,2914 -22,1457 0,0808 0,2843 1,44 1,55 -0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430 0,0716 0,2676 1,36 1,33 -0,0448 -19,6850 -39,3701 -19,6850 0,0639 0,2527 1,28 1,11 -0,0424 -18,6490 -37,2980 -18,6490 0,0573 0,2394 1,21 0,89 -0,0403 -17,7165 -35,4331 -17,7165 0,0517 0,2275 1,15 0,67 -0,0384 -16,8729 -33,7458 -16,8729 0,0469 0,2166 1,10 0,45 -0,0366 -16,1059 -32,2119 -16,1059 0,0428 0,2068 1,05 0,23 -0,0350 -15,3776 -30,7552 -15,3776 0,0390 0,1974 1,00 0,00

101

Tabela A2.11 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (9) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β

-0,2014 -88,5827 -177,1654 -88,5827 1,9114 1,3825 4,38 2,45

-0,1838 -80,8236 -161,6473 -80,8236 1,5912 1,2614 4,00 2,38

-0,1608 -70,7247 -141,4494 -70,7247 1,2184 1,1038 3,50 2,27

-0,1378 -60,6108 -121,2216 -60,6108 0,8949 0,9460 3,00 2,11

-0,1149 -50,5177 -101,0353 -50,5177 0,6216 0,7884 2,50 1,90

-0,0919 -40,4118 -80,8236 -40,4118 0,3978 0,6307 2,00 1,59

-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,3058 0,5530 1,75 1,36

-0,0689 -30,3054 -60,6108 -30,3054 0,2237 0,4730 1,50 1,06

-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,2124 0,4608 1,46 1,00

-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,1810 0,4254 1,35 0,82

-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,1560 0,3950 1,25 0,64

-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,1359 0,3687 1,17 0,46

-0,0504 -22,1457 -44,2914 -22,1457 0,1195 0,3456 1,10 0,28

-0,0459 -20,2036 -40,4072 -20,2036 0,0994 0,3153 1,00 0,00

102

Tabela A2.12 – Resumo do cálculo de β para a seguinte configuração:

• SPT (10) e C3 da obra

• Teoria determinística: Uto/Chellis

δFS/δN δFS/δC3 δFS/δC2 δFS/δS V[FS] DES [FS] E[FS] β

-0,1896 -83,3720 -166,7439 -83,3720 0,6823 0,8260 4,00 3,63

-0,1659 -72,9676 -145,9353 -72,9676 0,5226 0,7229 3,50 3,46

-0,1422 -62,5363 -125,0727 -62,5363 0,3839 0,6196 3,00 3,23

-0,1185 -52,1075 -104,2150 -52,1075 0,2665 0,5163 2,50 2,91

-0,0948 -41,6860 -83,3720 -41,6860 0,1706 0,4130 2,00 2,42

-0,0895 -39,3701 -78,7402 -39,3701 0,1522 0,3901 1,89 2,28

-0,0806 -35,4331 -70,8662 -35,4331 0,1232 0,3511 1,70 1,99

-0,0711 -31,2682 -62,5363 -31,2682 0,0960 0,3098 1,50 1,61

-0,0671 -29,5276 -59,0551 -29,5276 0,0856 0,2925 1,42 1,42

-0,0620 -27,2562 -54,5124 -27,2562 0,0729 0,2700 1,31 1,14

-0,0575 -25,3093 -50,6187 -25,3093 0,0629 0,2508 1,21 0,85

-0,0537 -23,6221 -47,2441 -23,6221 0,0548 0,2340 1,13 0,57

-0,0504 -22,1457 -44,2914 -22,1457 0,0481 0,2194 1,06 0,29

-0,0474 -20,8430 -41,6860 -20,8430 0,0426 0,2065 1,00 0,00