Universidade de São Paulo

Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas

Departamento de Geofísica

George Caminha Maciel Filho

Análise de sequências de pólos geomagnéticos

virtuais do Cretáceo através de um periodograma

Bayesiano

São Paulo

2010

George Caminha Maciel Filho

Análise de sequências de pólos geomagnéticos

virtuais do Cretáceo através de um

periodograma Bayesiano

Tese apresentada ao Departamento de Geofísica

do Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências

Atmosféricas da Universidade de São Paulo

como requisito parcial para obtenção do título

de Doutor em Ciências.

Área de Concentração: ----

Orientador(a): Prof(a). Dr(a). Marcia Ernesto

São Paulo

2010

i

Resumo

Séries temporais curtas e arbitrariamente espaçadas não são adequadas para análise

spectral usando os métodos disponíveis, embora elas possam representar o único

testemunho de eventos periódicos ou quasi-periódicos. Usando funções do ‘estado de

informação’ e baseando-se nas propriedades de ajuste do periodograma de Lomb-Scargle

(LS) para séries desigualmente espaçadas, combinamos informações de um conjunto de

séries temporais curtas e desigualmente espaçadas que registram o mesmo evento, aplicando

as operações ‘OR’ e ‘AND’ (Tarantola & Valette, 1982; Tarantola & Mosegaard, 2000). As

curvas correspondentes representam periodogramas que sintetizam a informação sobre as

correlações de todas as séries de dados com bases em funçionais senoidais quase-ortogonais,

destacando a largura de janela comum (bandwidth). A aplicação a conjuntos de dados

sintéticos demonstrou que o procedimento funciona melhor para séries temporais cujos

dados sejam levemente ruidosos.

O método foi desenvolvido para analisar as trajetórias de pólos geomagnéticos

virtuais (PGVs), assumindo que o comportamento de longo período das latitudes pode ser

descrito como função da longitude, como é sugerido pelo padrão da deriva polar para oeste e

outras feições conhecidas do fenômeno da variação secular. Quando a latitude é representada

como função da longitude, as trajetórias dos pontos podem ser tratadas como séries

temporais irregularmente amostradas, desde que as longitudes cresçam continuamente.

Um conjunto de 16 sequências de PGVs obtidas de derrames de lavas (Formação Serra

Geral; sul do Brasil) foi submetido a essa análise. A informação espectral foi descrita como um

conjunto de funções de probabilidade livremente normalizáveis (funções do estado de

informação) e que foram combinadas através dos operadores “OR” e “AND” (Tarantola &

Valette, 1982). Encontramos um conjunto de comprimentos de onda de aproximadamente

167°, 190°, 209°, 257°, 277° e 368°, de alta correlação. Estes resultados sugerem um

comportamento quase-periódico, possivelmente com instabilidades sub-harmônicas

explicáveis devido ao efeito modulador das anisotropias do interior da Terra sobre a

trajetória do pólo magnético.

A análise de fases foi feita usando três estimadores: o método clássico, baseado na

análise de Fourier, o método de Hocke (1998) usando o peridograma LS; o terceiro método

foi desenvolvido neste trabalho e está baseado nos princípio da holografia. A coerência

encontrada para as fases de alguns comprimentos de onda indica que pode haver pelo menos

uma componente periódica nas séries. Os resultados discordantes podem indicar que o

comprimento de onda considerado não seria verdadeiro, mas sim derivado de vazamento

espectral, ou representa uma componente não-estacionária que varia através do tempo.

ii

Abstract

Short and arbitrarily spaced time series are not suitable for spectral analysis using the

available methods although they may represent the only testimonies of some periodic and

quasi-periodic events.

Using functions of “state of information”, and based on the Lomb-Scargle (LS)

periodogram fitting properties, we combined information of a set of short and unevenly time

series recording the same events by applying the ‘OR’ and ‘AND’ operations (Tarantola &

Valette, 1982; Tarantola & Mosegaard, 2000). The corresponding curves represent smoothed

periodograms that synthesize the information on correlations of all data sets with sinusoidal

quasi-orthogonal function basis, highlighting the common bandwidth. The application to

synthetic data demonstrated that the procedure works better for time series when data are

slightly noisy. The method was developed for the analysis of virtual geomagnetic pole (VGP)

paths assuming that the long term behavior of the VGP latitudes may be described as a

function of longitude, as is suggested from the westward drift pattern, and the already known

features of the secular variation phenomena. When latitude is represented as a function of

longitude, the resulting point trajectories can be treated as unevenly time series provided

longitudes increase continuously.

A set of 16 VGP sequences obtained from lava flows (Serra Geral Formation; southern

Brazil) was analysed by this method. The spectral information was described as a set of

freely-normalizable distribution functions (state of information functions), and then

combined through “OR” and “AND” operators (Tarantola & Valet, 1982). We found a set of

highest correlation wavelengths of about 167°, 190°, 209°, 257°, 277° and 368°. These results

strongly indicate a quasi-periodic behavior, possibly with sub-harmonic instabilities due to

the modulating effect of inner earth anisotropies that influence the magnetic pole trajectory.

Phase analyses were performed using three methods: the classical one based on the

Fourier analysis, Hocke’s (1998) procedure using the LS periodogram; a third method was

developed in this work, and takes into account the principles of holography. Striking good

coherence for some of the wavelengths indicate that there might have at least one periodic

component. The discordant results may indicate that the considered wavelength is not

actually real but resulted from spectral leakage, or it is a non-stationary component which

varies through time.

iii

Sumário

Resumo ................................................................................................................................................ i

Abstract .............................................................................................................................................. ii

Capítulo 1 - INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 1

Capítulo 2 - VARIAÇÕES DE LONGO PERÍODO DO CAMPO GEOMAGNÉTICO .................................................... 4

2.2. O REGISTRO PALEOMAGNÉTICO ..................................................................................................... 5

2.3. ANÁLISE POR HARMÔNICOS ESFÉRICOS ............................................................................................ 8

2.5. VARIAÇÃO SECULAR .................................................................................................................... 11

2.6. INVERSÕES DE POLARIDADE ......................................................................................................... 12

CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DO CONTEÚDO ESPECTRAL DE SÉRIES DESIGUALMENTE ESPAÇADAS ............................... 15

3.1. O PERIODOGRAMA ..................................................................................................................... 15

3.2. PERIODOGRAMA DE POPPER-BAYES .............................................................................................. 18

Capítulo 4 - TESTES COM SÉRIES SIMULADAS E SÉRIES NATURAIS ............................................................... 20

4.1. SÉRIES SIMULADAS .................................................................................................................... 20

4.2. SÉRIES METEOROLÓGICAS ........................................................................................................... 25

Capítulo 5 - Análise das Sequências de PGVs da Fm. Serra Geral .................................................... 28

5.1. A FORMAÇÃO SERRA GERAL ........................................................................................................ 28

5.2. INFORMAÇÃO ESPECTRAL DAS SEQUÊNCIAS DE PGVS ....................................................................... 29

5.3. APLICAÇÃO DE JANELAS ESPECTRAIS E ADIÇÃO DE RUÍDO .................................................................. 32

5.4. DETERMINAÇÃO DE FASES E SIGNIFICADO DOS ESPECTROS ................................................................ 35

5.5. ANÁLISE DAS TRAJETÓRIAS DOS PGVS............................................................................................ 38

Capítulo 6 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................................... 41

REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 43

1

Capítulo 1 - INTRODUÇÃO

O campo geomagnético transicional, ou seja, entre dois estados de polaridade,

ainda é pouco conhecido porque sua observação é feita de forma indireta, ou seja, através

dos registros paleomagnéticos. A evolução temporal do campo geomagnético durante a

inversão está intimamente ligada ao mecanismo de geração do campo no núcleo externo

da Terra. Portanto, a melhor compreensão desse mecanismo passa necessariamente pelo

conhecimento de como se processa a inversão. A última inversão de polaridade ocorrida

há 780.000 anos atrás (Matuyama/Brunhes) tem sido investigada em detalhe (e.g.

Hillhouse, & Cox, 1976; Clement, 1991; Laj et al., 1991; Leonhardt, & Fabian, 2007), mas

ainda assim muitas controvérsias persistem porque os registros de locais diferentes não

são coincidentes. O mesmo se dá com registros da variação secular do campo, quando a

inversão não ocorre.

Trabalhos recentes buscam identificar simetrias no comportamento de longo

período do campo, através de análises estatísticas de conjuntos de dados paleomagnéticos

(Laj et al., 1991; Valet et al., 1992; Love, 2000, entre outros) bem como através do estudo

de simulações do geodínamo. Resenhas compactas sobre a evolução desses modelos

podem ser encontradas nos trabalhos de Costin (2003), Costin & Buffet (2004) e

Leonhardt & Fabian (2007).

Vizán et al. (1994) compilou dados de inversões de polaridade mais antigas

(Parmiano a Cretáceo), concluindo que nessas idades o campo geomagnético também

seguia longitudes preferenciais na trajetória dos pólos geomagnéticos virtuais (PGVs).

Entretanto, pouco se sabe sobre campos pretéritos, em parte pela maior dificuldade em se

obter registros contínuos e confiáveis para rochas mais antigas, mas principalmente

devido à falta de vínculos radiométricos absolutos que estabelecem a cronologia dos

eventos geomagnéticos registrados. Isto impede também a correlação lateral entre

seqüências magnetoestratigráficas complementares. Para isso, seriam necessários então,

métodos capazes de analisar as propriedades das trajetórias de PGVs buscando

características recorrentes em várias sequências amostrais.

Como apontado por Herrero-Bervera & Valet (1982), um dos problemas ao se

analisar séries vulcânicas paralelas é que o padrão de trajetória de PGVs não é

frequentemente reproduzido devido às características da erupção vulcânica. Por essa

razão, para comparação de registros paleomagnéticos de séries vulcânicas, necessitamos

de métodos que possam revelar características de longos comprimentos de onda.

2

A Formação Serra Geral, formada pelo empilhamento de derrames de lava

sucessivos, com até 1.000m de espessura amostráveis para estudos paleomagnéticos

(Ernesto et al., 1990) e com, em geral, mais de 20 derrames de lava identificados em cada

local de amostragem, é adequada para o tipo de estudo que se pretende apresentar aqui.

No total existem 16 seções disponíveis em diferentes regiões da província magmática do

Paraná, mas que foram formadas em não mais que 2 Ma, de acordo com as datações

radiométricas de precisão (Thiede & Vasconcelos, 2010). Esse aspecto é importante para

que se garanta alguma uniformidade de condições do próprio campo geomagnético.

Alguns outros autores também disponibilizaram dados paleomagnéticos de seções da Fm.

Serra Geral (Ala-Valdivia et al., 2003; Mena et al., 2006) mas que não foram utilizados aqui

porque nem todos têm o necessário controle estratigráfico ou porque representam

reamostragens de seções anteriormente estudadas. Nesse caso, preferiu-se optar pelas

seções antigas, em nome da uniformidade do trabalho paleomagnético.

(Pacca e Ernesto, 1982) demonstraram existir ciclicidade nos dados da delinação e

inclinação magnéticas de algumas dessas sequências, ajustando as séries correspondentes

a ondas senoidais. Essa variação foi associada à chamada variação secular, cujo período é

da ordem de alguns milhares de anos. Essa evidência de que essas séries de dados

apresentam comportamente recorrentes, levou Caminha-Maciel (2003) a investigar a

coerência serial em sequências de PGVs da Formação Serra Geral (magmatismo Cretáceo

da Bacia do Paraná) comparando características espectrais através de periodogramas.

Fig. 1.1 - Distribuição das fases de transição aparentes nas trajetórias dos PGVs da Formação Serra Geral, Bacia do Paraná (Caminha-Maciel, 2003).

3

No decorrer desta tese inicialmente tentamos ajustar, por meio de séries de

Fourier, as trajetórias dos PGVs. O problema principal foi determinar um conjunto de

freqüências fk, sobre o qual aplicar a análise de Fourier, uma vez que as séries possuem

abscissas aleatoriamente espaçadas, não permitindo que se defina uma taxa de

amostragem (ainda que média). Apesar de todas as limitações de uma estimativa inicial,

conseguimos encontrar periodicidades e “colher” os zeros dos diferentes ajustes e

observar o comportamento da “anisotropia meridional” dos mesmos. Desse trabalho

concluímos que existe alguma anisotropia persistente nos zeros das séries de Fourier

ajustadas para cada série, comportamento este, que também aparece no somatório de

todas as ocorrências (Fig. 1.1).

O objetivo desta tese é apresentar uma metodologia apropriada para detectar

componentes espectrais de múltiplas séries de PGVs contemporâneas, admitindo-se que

elas possam representar um caso particular de fenômeno oscilatório que representa o

movimento do pólo geomagnético em torno do pólo geográfico (variação secular) e de um

pólo a outro (inversão geomagnética). Apresentaremos um novo método especialmente

desenhado com esse propósito e que tem por objetivo combinar toda a informação comum

ao conjunto de séries temporais. Este método está baseado no periodograma de Lomb

(1976)-Scargle (1982) – LS e faz uso das funções de “estado de informação”.

4

Capítulo 2 - VARIAÇÕES DE LONGO PERÍODO DO CAMPO GEOMAGNÉTICO

2.1. O Campo Geomagnético

O campo magnético da Terra é um vetor, isto é, uma grandeza física definida por

uma magnitude e uma direção. A unidade da magnitude, ou intensidade do campo, no SI, é

o Tesla (T). Sendo que, para medidas geofísicas usa-se o nanotesla (1nT=10-9T),

compatível com a ordem das variações observadas nas medidas usuais do campo em

superfície (campo principal ~6.10-5T). Usa-se também o Gauss (1G = 10-4T) e o gama (1γ =

10-9T = 1nT).

O vetor campo magnético terrestre é naturalmente definido como três

componentes cartesianas paralelas a um conjunto de eixos ortogonais. Usualmente

definimos os elementos geomagnéticos como as projeções do campo nas direções para o

Norte geográfico, para Leste e, verticalmente, para baixo, (XNS, YEW, Zp/Baixo). Observe-se que

neste caso as duas primeiras direções possuem vetores diretores contidos no plano

tangente à esfera, no ponto de observação considerado (meridiano e paralelo geográfico).

Também podemos defini-lo em coordenadas esféricas, a intensidade representando a

componente radial, e dois ângulos: a declinação magnética, ângulo entre o vetor campo

magnético e o meridiano geográfico, e a inclinação magnética, ângulo entre o vetor campo

magnético e a normal ao plano tangente (para dentro da esfera) no ponto considerado (F,

D, I).

As duas representações relacionam-se através das fórmulas:

DIFX coscos= ( ) 21

222 ZYXF ++=

DIFY sincos= )(X

YarctgD =

IFZ sin= )(22 YX

ZarctgI+

=

Análises em harmônicos esféricos do campo atual, a partir de dados dos

observatórios magnéticos e satélites, mostram um dipolo e componentes não-dipolares

variando lentamente com o tempo. O dipolo apresenta uma deriva para Oeste à taxa de

0,044-0,14°/ano, o que corresponde a um circuito completo a cada 2500-8000 anos. O

campo não-dipolar apresenta uma deriva para Oeste à taxa de 0,022-0,66°/ano, o que

corresponde a um circuito completo a cada 550-1650 anos. Lembremos que estes

resultados baseiam-se em dados dos últimos 400 anos, não cobrindo o tempo relativo a

um circuito completo e, portanto, não possuindo conteúdo de informação necessária para

5

confirmar a ciclicidade e estimar um período completo. Registros anteriores, do campo

geomagnético podem ser obtidos através dos métodos do Arqueomagnetismo e do

Paleomagnetismo.

Arqueomagnetismo é o estudo do campo geomagnético registrado em artefatos

históricos datáveis. Note-se que, em alguns casos, as idades de artefatos históricos, como

potes, vasos, fornos e tijolos, podem ser obtidas com grande precisão e confiabilidade.

Esses artefatos, em geral, foram “cozidos”, adquirindo uma magnetização (magnetização

termorremanente - TRM) ao resfriar. Uma técnica desenvolvida por Thellier em 1937

permite estimar a intensidade do antigo campo ambiente (paleointensidade) a partir da

TRM adquirida pelo artefato (ou fragmento de rocha), assumindo ser esta inteiramente

devida a um dipolo. Obviamente esta hipótese não é inteiramente justificável,

especialmente no caso do arqueomagnetismo, quando sabemos que o tempo de

resfriamento do artefato é bastante curto, não permitindo eliminar no tempo, as

componentes não-dipolares do campo local. Observações dos últimos 150 anos permitem

inferir uma ciclicidade de aproximadamente 2000 anos para uma volta completa, e uma

taxa média de deriva para oeste de 0,18°/ano para as componentes não-dipolares (Merrill

et al., 1998).

2.2. O REGISTRO PALEOMAGNÉTICO

Paleomagnetismo é o estudo do campo geomagnético registrado nas rochas. A

hipótese fundamental do método paleomagnético é a de que o campo geomagnético, na

média para intervalos de tempo longos, corresponde a um dipolo geocêntrico axial. Deve-

se esclarecer que a média, neste caso, refere-se à posição média dos “dipolos virtuais”

inferidos a partir das direções de magnetização medidas. A hipótese do dipolo geocêntrico

axial (GAD para o termo em inglês) apóia-se em análise de variações de longo período em

dados de observatórios e observações paleomagnéticas em lavas jovens e sedimentos.

Neste ponto devemos lembrar algumas definições importantes. Pólos magnéticos são os

pontos, na superfície terrestre, onde as linhas do campo magnético medido apresentam-se

perpendiculares à superfície; Pólos Geomagnéticos são os pontos, na superfície terrestre,

onde o melhor ajuste do dipolo geocentrico aos dados do campo atual cruza a superfície;

Pólos Geomagnéticos Virtuais (PGVs) são os pólos geomagnéticos inferidos a partir de uma

medida pontual no espaço e no tempo. Para se obter um PGV deve-se supor que a

magnetização medida na rocha foi devida a um campo puramente dipolar.

Variação secular é o conjunto das oscilações observadas no campo geomagnético,

com periodicidades superiores a algumas dezenas de anos. A deriva para oeste do campo

6

dipolar implica em mudanças sistemáticas nas componentes equatoriais do dipolo. Se as

mudanças são aproximadamente cíclicas, a média da intensidade das componentes

equatoriais do dipolo será zero, dentro de algumas dezenas de milhares de anos. Da

mesma forma, admitindo que a variação secular da componente não-dipolar do campo é

aproximadamente periódica, a média vista a partir de um dado ponto fixo na superfície

será nula, para um intervalo de alguns milhares de anos. De modo que, através destes

argumentos heurísticos, mostra-se que a única componente do campo geomagnético que

não é levada a zero na média de algumas dezenas de centenas de anos (>104anos), é um

dipolo axial, demonstrando-se assim, a razoabilidade da hipótese do GAD.

O pólo paleomagnético é a posição média dos PGVs para um longo período (>104

anos), eliminando-se assim, os efeitos da variação secular e obtendo-se uma estimativa do

dipolo geocêntrico axial, ao qual se refere a hipótese do GAD. A diferença entre as direções

do pólo paleomagnetico obtido e o GAD é geralmente atribuída a movimentos tectônicos,

sendo esta a base do método paleomagnético de reconstrução dos movimentos

continentais.

A imposição de que a posição do pólo paleomagnetico derivado de uma coleção de

amostras de rocha deve representar o dipolo geocêntrico axial é um fator importante na

metodologia do paleomagnetismo. O processo de aquisição de dados se inicia com a

amostragem das formações geológicas dentro de um esquema hierárquico, projetado para

minimizar (ou eliminar) erros não-sistemáticos e eliminar, na média, os efeitos da

variação secular do campo paleomagnético. Em cada nível hierárquico, obtêm-se médias e

aplicam-se análises estatísticas aos vetores de magnetização medidos. Na prática, por

muitas razões, dispõe-se normalmente apenas de algumas amostras por sítio (unidade

temporal geológica de amostragem) e de um número de sítios muito variável para a

estimativa de um pólo paleomagnético. Notemos desde já que estamos tratando de uma

ciência de “pequenas amostras”, em que resultados assintóticos válidos para ∞→n

devem ser aplicados com cautela.

Outra hipótese do paleomagnetismo é a de que a magnetização remanente de uma

rocha adquirida no momento de sua formação ou em algum momento bem definido de sua

história se manteve inalterada. Usualmente, essa magnetização possui várias

componentes, adquiridas em diferentes instantes do tempo, incluindo durante a

amostragem e preparação em laboratório. Aplicam-se técnicas paleomagnéticas de

laboratório para eliminar as componentes indesejáveis e isolar a componente de

magnetização primária, um processo conhecido como “lavagem magnética”. Na lavagem

magnética aplicam-se campos alternados sucessivamente mais intensos, medindo-se a

magnetização remanente a cada passo. Com isto, desmagnetizam-se os grãos magnéticos

7

com coercividades em escala crescente, até a completa desmagnetização. Um método

alternativo de lavagem magnética é a desmagnetização térmica, onde a amostra é aquecida

a uma temperatura T, de modo que as componentes magnéticas que possuírem

temperaturas de bloqueio inferiores a T tornam-se aleatórias. Se as amostras forem

resfriadas em ambiente magneticamente blindado esta parte da NRM permanecerá

desmagnetizada. A cada passo a NRM resultante é medida, e se prossegue no ciclo de

aquecimento-resfriamento-medida da NRM resultante, subindo gradualmente o valor de

T, atingindo componentes com temperaturas de bloqueio progressivamente maiores. Os

dois métodos têm como objetivo determinar a componente primária de magnetização de

uma amostra de rocha, o registro de que dispomos do campo geomagnético antigo.

Para fins de análise estatística, cada direção paleomagnética em uma coleção de

amostras é considerada individualmente como um vetor unitário. Os pontos finais dos

vetores estão sob a superfície de uma esfera de raio unitário. Os métodos estatísticos

utilizados para descrever os vetores supracitados, inclusive o cálculo de médias amostrais

e parâmetros descritivos da dispersão amostral foram desenvolvidos em 1953 por Sir

Ronald Fisher. Fisher (1953) propôs que a densidade de probabilidade P(θ,κ) do ângulo θ

entre uma direção amostral individual e a direção média da distribuição poderia ser dada

por:

θκ

κπ

κκθ cos

sinh4),( eP

=

,

onde o parâmetro κ é chamado “parâmetro de precisão”, ou “parâmetro de concentração”,

que descreve a dispersão das direções em torno da média, sendo inversamente

proporcional à variância da distribuição. κ é bem determinado apenas nos casos em que o

número de amostras é infinitamente grande (eis um resultado assintótico). A estimativa

do parâmetro κ para pequenas amostras ainda não é um problema fechado do ponto de

vista estatístico. O próprio Fisher mostrou que a melhor estimativa para o parâmetro κ

(válida quando κ > 3) é dada por

R-N

1-N=κ

,

onde R é o módulo do vetor soma dos N vetores unitários. Um conjunto de direções muito

espalhadas possui um valor de κ pequeno, enquanto valores grandes de κ implicam em

direções mais concentradas.

Em algumas situações pretende-se representar o espalhamento como uma

propriedade da distribuição das direções, sendo este descrito pelo desvio angular,

proporcional a κ

1 . No entanto, é normalmente mais importante descrever quão bem uma

8

direção média está definida, tendo em mente que desconhecemos a direção média

verdadeira (da distribuição), dispondo apenas de uma estimativa da média, baseada nos

dados (amostras) disponíveis. A verdadeira direção media deve, certamente, diferir em

alguns graus da nossa estimativa. Contudo, se sabemos que com 95% de certeza a média

verdadeira estará dentro de um cone de direções com um semi-ângulo de 7° em torno da

nossa estimativa da média, por exemplo; o cone definirá os limites de confiança da direção

média, a um nível de 95% de probabilidade. O semi-ângulo do cone de confiança é

conhecido como 95

α e é dado aproximadamente por

κα N14095 =

Poderíamos utilizar qualquer nível de confiança para descrever quão bem a média

está definida. Em paleomagnetismo utiliza-se, normalmente, o nível de 95% de

probabilidade como nível de confiança. Isto significa, tão somente, que há 95% de chance

de que a média verdadeira da distribuição esteja dentro deste cone, ao redor da direção

média estimada.

2.3. ANÁLISE POR HARMÔNICOS ESFÉRICOS

Como mostrado por Gauss em 1839, o campo geomagnético principal (potencial

magnético) pode ser representado por uma série de harmônicos esféricos, sendo o

primeiro o termo de um dipolo. Seguindo o formalismo inicialmente desenvolvido por

Gauss, omitindo os termos relativos ao campo externo, e utilizando os polinômios de

Schimdt (associados aos polinômios generalizados de Legendre) apresentamos a forma

comumente utilizada para descrever o campo interno da Terra.

[ ] )()()cos(0

1

1

θφφ m

n

n

m

m

n

m

n

n

n

Pmsenhmgr

aaV ∑∑

=

+∞

=

+

=

Os coeficientes desta expansão são conhecidos como coeficientes de Gauss de grau

n e ordem m. Esta é uma expansão em multipolos do campo interno da Terra. Ela permite

que um campo com uma geometria complexa seja dividido em contribuições de campos

com geometrias mais simples que se superpõem. Por exemplo, para n = 1 temos três

termos na série (l = 0, 1, -1). O primeiro correspondendo a um dipolo alinhado com o eixo

z azimutal, os outros dois correspondendo a dipolos alinhados aos eixos x e y (plano

equatorial). Os termos com n = 2 descrevem um campo quadrupolar, os termos com n = 3

um campo octupolar, de modo que os termos com n = N descrevem um campo que seria

originado por 2N “polos magnéticos”. Assim, pela superposição de muitos termos, campos

geometricamente complexos podem ser representados.

9

Observe que os m

nP são funções apenas da colatitude, θ. Eles são oscilações quase-

senoidais exibindo n-m+1 ondas (ou apenas n, se m = 0), à medida que θ varia de 0 a 360°

dentro de um grande círculo de longitude. À medida que m aumenta obtemos um ajuste

cada vez mais “rugoso”, isto é , com maior conteúdo de “altas freqüências”.

Com as seguintes fórmulas de recorrência, o conjunto inteiro das funções é

calculado a partir dos primeiros termos da série:

22 mnRm

n −=

1=o

oP

)cos(0

1θ=P , )(

1

1θsenP =

1

1)(2

12 −

−

− m

m

m

n Psenm

mP θ para mnm => ,1

( )[ ] m

n

m

n

m

n

m

n

m

n RPRPnP /)cos(12 211 −−− −−= θ para mn >

)(/))cos(( 1 θθθ

senPRPnd

dP m

n

m

n

m

n

m

n

−−= (exceto para θ = 0 ou 180)

Em análise de harmônicos esféricos, para funções que ajustam dados reais, os

coeficientes g e h são as amplitudes das oscilações harmônicas (senoidais), cos(mφ) e

sen(mφ), como séries de Fourier ao longo de um círculo de latitude. Os polinômios de

Legendre m

nP são oscilações harmônicas ao longo de um grande círculo de longitude.

Os harmônicos esféricos usados para produzir as funções potenciais e fitar os

dados de campos medidos em superfície são adicionados da mesma maneira que as

funções senos e cossenos da série de Fourier. A natureza destes polinômios requer que n

seja maior ou igual a m. São m ondas seno e cosseno ajustadas ao redor de cada círculo de

latitude, os chamados “harmônicos setoriais”. Ao redor de cada círculo de longitude,

existem os chamados “harmônicos zonais” ou “ondas polinomiais de Legendre”: serão n se

m = 0 e n-m+1 se m > 0 (porque se m = 0 um semiciclo estará sobre cada hemisfério).

Notemos que a simetria (ou assimetria), em relação ao equador, será determinada pela

paridade (ou não-paridade) dos valores de (n-m). A resolução (menor comprimento de

onda do ajuste) ao longo do de uma linha de latitude é encontrado dividindo-se 360° pelo

maior valor de m, e ao longo de uma linha de longitude é encontrado dividindo 360° pelo

maior valor de n. Se usarmos grau e ordem iguais a 12 as resoluções ficam em torno de

30°.

10

O pólo (eixo de simetria azimutal) da análise deve ser escolhido de modo a

representar um aspecto dominante (simetria azimutal) pelo qual o conjunto de dados é,

naturalmente, organizado. Neste caso, a expansão se dará por meio de uma série de

funções que convergirá rapidamente – os termos de graus superiores têm suas amplitudes

reduzidas rapidamente, à medida que n aumenta. Se o pólo da análise não foi escolhido

convenientemente, serão necessários muitos termos de alto grau e ordem para

representar o campo. Logicamente, no caso de um campo extremamente complexo, no

qual é necessário grande número de termos na expansão, a escolha do pólo da análise é

irrelevante.

2.4. O MODELO ‘GIANT GAUSSIAN PROCESS’

Trata-se de um modelo estatístico para a variação secular (Constable & Parker,

1998), baseado em dados dos últimos 5 Ma e do campo atual. O modelo assume que o

campo geomagnético variando no tempo atua como um “Giant Gaussian Process” (GGP) e

fornece uma função de densidade de probabilidade (FDP) geral, a partir da qual a

distribuição estatística de qualquer conjunto de medidas paleomagnéticas pode ser

deduzida. Baseia-se na observação histórica de que o espectro espacial do campo não-

dipolar pode ser explicado pela existência de uma fonte gerando ruído branco gaussiano

no contorno manto-núcleo. Assim, após um escalonamento conveniente, os coeficientes de

Gauss do campo não-dipolar são postulados como amostras estatísticas de um processo

gaussiano multivariado. Este é o modelo para o campo não-dipolar.

Assumindo que esta caracterização valeria para o campo no passado (campo

paleomagnético), adicionou-se uma descrição estatística arbitrária para o campo dipolar e

este é o modelo do GGP. Posteriormente, tentou-se ajustar não só o dipolo como também

termos de graus mais elevados, com o objetivo de melhorar o ajuste geral do modelo aos

dados paleomagnéticos disponíveis. O modelo permite calcular as FDPs e funções de

distribuição acumulada (FD) para a declinação e inclinação que seriam observadas em

qualquer ponto da superfície. A principal vantagem do modelo está na simplicidade e na

capacidade de descrever muitas das características observadas no campo, apesar do

pequeno número de parâmetros envolvidos. Resumindo:

1 – Com exceção dos termos do dipolo axial e do quadrupolo axial, os demais

coeficientes de Gauss são postulados como variáveis aleatórias distribuídas normalmente

com média zero e desvio padrão compatível com a fonte de ruído branco na superfície do

núcleo.

11

2 – A parte dipolar do campo não tem a mesma distribuição estatística que a parte

não-dipolar. O dipolo axial predomina e as partes não axiais do dipolo, bem como a

magnitude da parte axial, têm variância inferior àquelas aplicadas à parte não-dipolar do

campo.

3 – A hipótese baseada no campo atual de que todos os coeficientes de Gauss do

campo não-dipolar possuem média zero é inconsistente com os dados paleomagnéticos. A

variação estatística dos coeficientes de Gauss não é suficiente para explicar a anomalia de

inclinação observada nos dados paleomagnéticos, em relação ao que se esperaria no caso

de um dipolo puro. Contudo, adicionando um termo de quadrupolo cuja magnitude média

seja 6% da magnitude do dipolo, obtemos um ajuste melhor aos dados paleomagnéticos.

2.5. VARIAÇÃO SECULAR

Através da variação paleossecular (VPS) é possível impor importantes condições

de contorno aos modelos de geodínamo. Padrões diferentes de VPS em função da latitude

(Tauxe et al., 2008) podem surgir em função de condições térmicas distintas na interface

manto-núcleo (Glatzmaier et al. 1999; Coe & Glatzmaier 2006). As observações da VPS são

feitas mais comumente analisando a distribuição em função da latitude, das direções de

magnetização ou dos correspondentes PGVs observados em uma formação geológica (e.g.

McFadden et al. 1988; McElhinny & McFadden 1997). O desvio angular padrão das

direções paleomagnéticas ou PGVs é o parâmetro usualmente calculado e que fornece uma

medida da ‘dispersão’ causada pela variação secular. O espectro de potência do campo

geomagnético para diferentes intervalos de tempo também tem sido investigado (Kruiver

et al. 2002; Constable & Johnson 2005).

Sequências de dados paleomagnéticos obtidos de testemunhos do fundo de lagos

ou oceânicos mostras períodos de variação de 8000 e 3500 anos para a declinação e

inclinação (Hagee & Olson, 1989; Peng & King, 1992). Outros períodos menores foram

relatados por diversos autores (Hagee and Olson, 1989; Creer and Tucholka, 1982, 1983;

Kane, 1989; Gogorza et al., 1999). De acordo com Gogorza et al. (1999), os períodos mais

longos podem estar relacionados com as variações do dipolo e os mais curtos se devem às

componentes não-dipolares, explicando assim porque estes diferem entre regiões

distintas. Além do mais, essas periodicidades foram estabelecidas para épocas recentes e

não necessariamente podem ser extrapoladas para outras idades mais antigas.

Um debate bastante atual refere-se ao comportamento do campo geomagnético

durante os longos períodos em que o campo permanece numa única polaridade

(superchrons). Há evidências de que a dispersão do campo diminui nessas épocas (e.g.

12

Biggin et al., 2008a, b; Haldan et al., 2009), isto é, a taxa de variação secular é menor. O

fenômeno foi detectado para baixas latitudes, isto porque foi sugerido que a contribuição

dos harmônicos esféricos pares (ou simétricos) do campo seria significativamente menor

durante um superchron (McFadden & McElhinny, 1988; McFadden et al., 1991).

2.6. INVERSÕES DE POLARIDADE

Um dos aspectos mais surpreendente no comportamento do campo geomagnético

são as inversões de polaridade observadas através do registro paleomagnético. Os dados

obtidos com rochas ígneas permitiram a datação absoluta dos eventos de polaridade e

assim, a construção de escalas de reversões, a primeira das quais organizada por Cox et al.

(1963). Desta forma foi possível verificar que o campo geomagnético permanece numa

mesma polaridade durante intervalos de tempo variáveis, de cerca de cem mil anos ou

menos, até vários milhões de anos. Intervalos em que o campo permanece

preferencialmente numa mesma polaridade são chamados de Chrons e as inversões dentre

desses intervalos formam os Subchrons. O termo Superchron refere-se a intervalos de

polaridade de longa duração como o Superchron Reverso do Permo-Carbonífero (SRPC;

~320-265 Ma; Opdyke et al., 2000) e o Superchron Normal do Cretáceo (SNC; ~120-84Ma;

Gradstein et al., 2004).

Durante uma inversão de polaridade a direção do campo geomagnético varia

gradualmente de 1800 e estudos detalhados de magnetoestratigrafia permitem observar a

migração do pólo, de um hemisfério para outro, através da trajetória dos PGVs. Nas

últimas décadas, vários trabalhos e compilações (Laj et al., 1991; Clement, 1991; Hoffman,

1992; Barton and McFadden, 1995; Quidelleur et al., 1995; Coe & Glen, 2004) revelaram

que essas trajetórias podem não ser aleatórias mas restringem-se a duas faixas de

longitudes – uma sobre as Américas e outra sobre a Ásia (Fig. 2.1). A existência dessas

longitudes preferenciais foi questionada por vários autores, alegando que se trata de um

problema do registro sedimentar (Langereis et al., 1992; Prévot & Camps, 1993).

Entretanto, transições observadas em rochas ígneas (Love, 1998; Gubbins and Love, 1998;

Love, 2000; Valet & Herrero-Bervera, 2003) também mostraram a mesma morfologia,

reascendendo a questão.

A maioria das observações de trajetórias confinadas de PGVs durante reversões

refere-se aos últimos 5 Ma, entretanto registros mais antigos (Permiano Superior ao

Cretáceo Inferior; Vizán et al., 1994) também podem mostrar a mesma morfologia. Desta

forma, a persistência dessa característica durante muitos milhões de anos, sugere que o

fenômeno é controlado por processos profundos no interior da Terra.

13

Fig. 2.1. Predominância de trajetórias de PGVs sobre as Américas e, com menor freqüência, sobre o leste da Ásia, de acordo com Laj et al., (1991).

Laj et al. (1991) notou a correlação entre os caminhos dos PGVs e as anomalias das

ondas P no manto inferior, supostamente representando raízes frias de subducção. Para o

campo atual, Constable (1992) observou que um dos caminhos preferenciais pode ser

explicado fazendo o dipolo axial decrescer e que uma inversão de sinal nos termos não-

dipolares axiais produziria a outra trajetória. Gubbins & Coe (1993) também atribuíram o

confinamento de longitudes a padrões de fluxo de campo não-dipolar, com a mesma

probabilidade para os dois caminhos, ao contrário do que se infere na compilação de Laj et

al. (1991) onde a maior incidência de trajetórias está sobre as Américas. Esses modelos

parecem se aplicar ao campo paleomagnético dos últimos milhões de anos (Gubbins &

Kelly, 1993; Johnson & Constable, 1998). Gubbins & Love (1998) mostraram que os dados

sobre a última inversão ocorrida (Matuyama-Brunhes) é muito consistente com o padrão

de concentração de fluxo na interface manto-núcleo e com a migração de fluxo em direção

ao pólo (Fig. 2.2).

Kuznetsov (1999) propôs um modelo baseado nas considerações de Hope (1959)

segundo o qual as anomalias magnéticas globais influenciam o movimento do pólo

magnético norte. Para simular o campo magnético no Ártico, verificou que são necessárias

três fontes de campo que coincidem com anomalias magnéticas e que estas se situam nas

trajetórias preferenciais dos PGVs durante inversões. Mais recentemente, Costin & Buffet

(2004) investigaram a possibilidade de correntes numa camada condutora na base do

manto, perturbarem o campo transicional, alterando sua trajetória. Concluíram que o

caminho a ser seguido depende da posição geográfica do sítio de observação, mas que

existe uma preferência pelo caminho das Américas.

14

Fig. 2.2. Feições do campo radial na interface manto-núcelo (topo); modelo de movimento do fluido na interface manto-núcleo (meio) e distribuição de velocidades das ondas P no manto (Clement, 1991).

Na literatura atual, a discussão se faz em termos da assimetria hemisférica da

distribuição de PGVs (máximos em 70ºW e 100°E; Clement, 1991), considerando-se

também uma terceira faixa de longitudes e que estariam separadas de aproximadamente

120° (Valet and Herrero-Bervera, 2003). Leonhardt & Fabian (2007) construíram um

modelo do campo transitional baseado em dados paleomagnéticos para a inversão

Matuyama/Brunhes, aplicando uma inversão Bayesiana. O modelo indicou a formação de

um padrão de fluxo equatorial antes da inversão que se move em direção ao pólo à medida

que o campo inverte. Indicou também a preponderância de componentes não-dipolares

durante a transição o que leva a diferenças de intensidade, declinação e inclinação

magnéticas durante o processo, ou seja, o comportamento do campo transicional é

fortemente dependente do sítio de observação.

15

CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DO CONTEÚDO ESPECTRAL DE SÉRIES DESIGUALMENTE

ESPAÇADAS

3.1. O PERIODOGRAMA

Métodos para investigação de oscilações coerentes em séries temporais existem

em grande abundância na literatura. No entanto, a grande maioria das ferramentas

conhecidas pode ser aplicada apenas a dados regularmente espaçados e estatisticamente

homogêneos. Esta limitação se deve principalmente ao tratamento estatístico de

‘ensemble’, ou seja, as incertezas nos parâmetros do modelo são definidas através de

transformações entre conjuntos homogêneos de variáveis aleatórias.

Schuster (1898) introdziu o periodograma buscando periodicidades em dados

meteorológicos, e cujo desenvolvimento foi baseado na Trasformada de Fourier. Fisher

(1929) derivou a distribuição de probabilidade do periodograma na forma original,

mostrando que tal distribuição não requer um conjunto de dados assintoticamente grande

(i.e., N→ ∞), o que claramente se constitui numa vantagem no caso de séries limitadas de

dados. Posteriormente, Lomb (1976) demonstrou que o método era equivalente a um

ajuste de mínimos quadrados de ondas senoidais e Press (1992) apresentou a receita

numérica, entretanto, em seu trabalho não deixou claro quantas e quais freqüências

poderiam ser obtidas para uma determinada sequência.

Esta ambigüidade foi resolvida por Scargle (1982): a primeira freqüência a ser

analisada é a freqüência de uma onda cujo período é a metade do comprimento total da

série. As demais frequências serão múltiplos desse comprimento de onda, até um número

de freqüências iguais ao maior número inteiro imediatamente menor do que N0/2.

O periodograma clássico pode ser expresso pela norma quadrática da

Transformada Discreta de Fourier. Usando a notação de Scargle (1982), pode-se escrever:

����� = �� |������| = �

� �∑ ����������������� � =

= �� ��∑ ������ !��������� " + �∑ �����!$%��������� " & (1)

Ele é usualmente calculado para qualquer valor de frequência (ω) e definido para

qualquer conjunto de dados �����, onde ' = 1, 2, … ,-. Valores elevados de P serão

produzidos se uma componente senoidal com freqüência ω estiver presente nos dados.

Para outros valores de ω os termos da somatória fornecerão pequenos valores.

16

Como discutido por Scargle (1982), o fato acima mencionado aliado à simplicidade

do comportamento estatístico, recomenda o uso do periodograma para detectar

periodicidades em séries temporais. Por outro lado, o autor aponta também alguns

problemas do método. O ponto principal é o fato da função P(ω) ser altamente ruidosa,

ainda quando os dados de X (t) são apenas levemente ruidosos, e o vazamento espectral,

os quais estão relacionados, segundo ele, ao “uso do periodograma não suavizado, e não ao

uso do periodograma propriamente dito” (tradução livre). Propôs então uma nova

definição do periodograma para dados desigualmente espaçados:

����� = � ./∑ ��012�����3�� 45

∑ 0125�����3�� + /∑ ��2�6�����3�� 45∑ 2�65�����3�� 7 (2)

onde τ é definido como:

τ=(2ω)-1∙atan �∑ 2�6 ����∑ 012 ���� & (3)

De acordo com Scargle (1982), a modificação introduzida na forma original do

periodograma, permite manter o comportamento estatístico simples do caso de

amostragens em intervalos constantes, com o aspecto positivo de ser equivalente ao ajuste

de ondas senóides por mínimos quadrados à série amostral, mantendo a invariância de

translação no tempo.

Atualmente o método de Lomb-Scargle (ou ‘least-squares’ = LS) method (Lomb,

1976; Scargle, 1982) é amplamente aceito, com aplicações em diversas áreas, embora

tenha sido desenvolvido inicialmente para aplicação em dados astronômicos,

considerando-se os problemas intrínsecos de amostragem nesse tipo de dados. Hernandez

(1999) examinou em profundidade o método LS e sua estatística, concluindo que para

amostragens descontínuas não é tão simples definir a frequência de amostragem

característica, a largura da janela espectral (‘bandwidth’) devido à ambigüidade em se

determinar o comprimento total efetivo da série, bem como o número de frequências

independentes que podem ser obtidas. Tagliaferri et al. (2001) criticou o método LS

argumentando que o periodograma é muito ruidoso, trabalhando bem somente para altos

valores da razão sinal/ruído.

Entretanto, no nosso entendimento a formulação apresentada por esses autores,

quando aplicada à série cuja amostragem é extremamente irregular (não há taxa de

amostragem característica), está incorreta. Uma vez que os valores médios de número de

pontos e de taxa de amostragem não são representativos, sendo, portanto, incorreto

17

assumi-los como efetivos. A nosso ver esses resultados funcionam bem para pequenas

distorções em torno de uma amostragem regular, ou seja, séries temporais com lacunas

(gaps), séries com pontos faltando, ou com defeitos em pontos isolados. Tentou-se obter

do periodograma uma resposta ótima para uma série desigualmente espaçada como uma

soma de um sinal senoidal mais ruído, através da busca do resíduo mínimo no ajuste de

mínimos quadrados.

O que acreditamos é que essas séries só devem ser usadas para dar informação

relativa ao melhor ajuste entre duas diferentes freqüências. Por esta razão, usaremos o

periodograma apenas para falsear a informação espectral obtida a priori do sistema

considerado.

Scargle (1982), alertando para o fato de que o periodograma de dados ruidosos

deve ser também ruidoso, considera que a probabilidade de uma feição espectral espúria

surgir de flutuações casuais pode ser examinada à luz da distribuição de probabilidade da

variável randômica PX , no caso em que X seja simplesmente um ruído branco.

Uma forma de buscar o número de freqüências independentes é procurar o

número de ‘graus de liberdade’ das séries, o que, com boa aproximação, pode ser feito,

tomando-se o primeiro zero da função de auto-correlação. Isto deve dar uma estimativa do

intervalo de Nyquist ‘efetivo’ para dados desigualmente espaçados (Priestley, 1981).

Entretanto, para sequências com número de pontos muito pequeno, o periodograma será

tão pobre que a estimativa da auto-correlação por meio da transformada do espectro de

potência (teorema de Wiener-Khintchine; Kanasewich, 1975) não permitirá a identificação

do primeiro zero.

É importante mencionar que as receitas numéricas dadas por Hernandez (1999),

Scargle (1982) e Press et al. (1992) diferem significativamente quanto às normalizações

da potência espectral. Isto reflete o fato de que há mais de um possível estimador para a

variância da população. Para se obter a melhor determinação da importância de uma

freqüência em particular num espectro, não é suficiente obter estimativas da variância

para os coeficientes determinados. Então é necessária cautela na interpretação dos valores

absolutos da potência espectral. Como apontado por Hernandez (1999), “se um método de

ajuste é usado em função de dados com amostragem irregular, variância desigual, etc.,

então as propriedades de ortogonalidade que asseguram a independência dos coeficientes

resultantes, não são mais aplicáveis” (tradução livre). O mesmo autor fornece uma

estatística aproximada para testar as ordenadas do periodograma partindo da estatística-γ

usada por Schuster (1898). Ele concluiu que picos acima de certos níveis críticos são

confiáveis; esses níveis são dados pela equação

18

80 = −2:% �1 − �-� 6; ",

onde % = , 2⁄ é o número de freqüências independentes e P0 é definido como o nível de

confiança (1-p). Também propôs uma estimativa não viciada da variância dada por

∑ => = ∑ ?� ������>�� ⁄>�� ,

onde a potência é igual nos domínios do tempo e da freqüência. Note que a expressão

acima é, nada mais nada menos, que a identidade de Parseval das séries de Fourier.

3.2. PERIODOGRAMA DE POPPER-BAYES

Como exposto acima, o periodograma fornece um ponto de partida conveniente

para a análise espectral de séries desigualmente espaçadas, sendo o maior desafio suavizá-

lo. Escolhemos um algoritmo semi-empírico baseado em periodogramas de Lomb-Scargle

(Lomb, 1976; Scargle, 1982), onde o critério de suavização, expresso pela densidade

(intervalo) de amostragem no domínio da frequência, depende de uma escolha do usuário

dentro de limites pré-estabelecidos. Assim, a largura de banda pesquisada e o intervalo de

discretização são os parâmetros mais importantes que sofrerão modificações desde a

frequência cujo período corresponde ao comprimento total da série até a freqüência limite

de Nyquist, objetivando atingir-se uma curva suave onde apareçam as feições de interesse.

Neste caso, para cada série definimos a frequência de Nyquist como o inverso do dobro da

menor distância entre dois pontos na série. Daí então, escolhemos a maior destas

frequências como a frequência de Nyquist que utilizaremos nos processamentos.

As funções de estado de informação assim obtidas devem ser tais que, para séries

pouco informativas, a curva deve se aproximar de uma reta constante em toda a banda

pesquisada. A partir daí, é preciso definir um critério de normalização para que se possa

então combinar as funções de estado de informação amostrais. Podemos normalizar, por

exemplo, pela entropia, pelo conteúdo de informação ou mesmo pela soma da

probabilidade sobre todos os estados. Neste trabalho escolhemos normalizar os espectros

obtidos pela energia ou potência total, que corresponde ao conteúdo total de banda

(bandwidth). Essa normalização é equivalente a normalizar os espectros pela área total,

impondo a todos que a área sob a curva do espectro seja igual à unidade. Dessa maneira as

diversas estimativas espectrais tornam-se comparáveis e mantemos a principal parâmetro

de interesse que é a razão sinal/ruído.

A idéia principal do procedimento é a de que a informação de cada série de PGVs

pode ser utilizada para falsear possíveis soluções em um subconjunto do espaço

19

paramétrico. Isto é, combinar a informação geral de que dispomos, teórica e experimental,

para toda a trajetória, em relação a determinado parâmetro – neste caso, a probabilidade

de que uma determinada freqüência seja uma componente de Fourier verdadeira da

trajetória original. Combinando estas funções amostrais obteremos dois invólucros no

espaço paramétrico, um maior, inclusivo, e outro menor, contido no anterior, exclusivo.

Estes representam a união e intersecção, respectivamente, dos diversos estados de

informação e correspondem às operações ‘OR’ e ‘AND’ de Tarantola & Mosegaard (2000).

Desta forma teremos o resultado do nosso procedimento de inversão, descrevendo a

incerteza sobre o valor do parâmetro com grande generalidade. Também será através das

propriedades geométricas destas funções de estado de informação que descreveremos a

incerteza para qualquer escolha de “melhor” modelo que se queira fazer.

Devemos relembrar que, através deste procedimento, ao invés de obtermos um

valor que elegeremos como ‘sinal’ (‘signal detection problem’), obteremos uma medida de

probabilidade sobre um subconjunto do espaço das frequências, que nos indicará quais

modelos se ajustam melhores que outros, segundo um critério especificado. Assim, a

interpretação dos fenômenos de falseamento e vazamento de potência se dá naturalmente,

como efeitos inevitáveis numa análise de uma série de pontos finita através de correlação

com bases funcionais infinitas. Portanto estaremos interessados não somente nos valores

máximos da ordenada dos ‘espectros’ obtidos, mas também procuramos estudar o

comportamento local dos máximos de correlação, sendo para nós muito importante a

continuidade, ou a suavidade da distribuição final.

Além disso, a determinação de um espaço-solução muito restrito não significa

necessariamente que conhecemos o valor do parâmetro com grande precisão. Devemos

interpretar com cautela os valores obtidos, com base na incerteza estimada nos dados

amostrais e na quantidade (e qualidade) das séries. Neste sentido, cada série amostral

representa um experimento de medida espectral, ou da ‘rugosidade’, da série original. O

problema é análogo ao do experimentador que, medindo duas ou três vezes uma

determinada grandeza física, e obtendo coincidentemente valores muito próximos,

acredita conhecer o valor da tal grandeza com grande precisão, pois sua estimativa da

variância da distribuição a partir do desvio-padrão amostral é pequena. Ou seja, a

distribuição da variável combinada (estimativa) é concentrada somente porque as

distribuições combinantes que, apesar de serem pouco informativas, têm pequena

intersecção ou poucos modelos comuns.

20

Capítulo 4 - TESTES COM SÉRIES SIMULADAS E SÉRIES NATURAIS

4.1. SÉRIES SIMULADAS

Escrevemos em Matlab um gerador de séries sintéticas com composição

harmônica conhecida. Produzimos uma série resultante da superposição de componentes

senoidais com períodos iguais a 350, 480, 1100 e 4000 e amplitudes respectivas de 4, 6, 7

e 6 (Fig. 4.1). Foi adicionado a cada ponto ruído de 5% proporcional à amplitude. A seguir

foram realizadas amostragens aleatórias dessa série original, seguindo os seguintes

padrões:

• três amostragens do comprimento total (21 ciclos), com 25, 20 e 18 pontos

(conjuntos S1, S2 e S3);

• uma amostragem dos primeios 2/3 do comprimento da série original, com 15

pontos;

• uma amostragem dos últimos 2/3 do comprimento total, com 15 pontos;

• uma amostragem do terço médio da série, com 8 pontos.

As amostragens da série sintética estão representadas na Fig. 4.1. A título de

comparação exibimos também séries igualmente espaçadas sobre o mesmo intervalo,

porém com a mesma densidade de amostragem. Enfatizamos aqui estamos interessados

em simular casos extremos de amostragem pobre e que em todos os casos as séries

amostrais apresentam densidade baixa de pontos, em geral conservando pouco da

aparência do fenômeno original. Dessa maneira buscamos simular séries cuja densidade

de amostragem seja semelhante ao caso real que será estudado neste trabalho (séries de

PGVs). Devemos esclarecer que essas amostragens representam apenas uma entre muitas

possíveis escolhas de “aleatoriedade”, ou de distribuição randômica que teríamos para

gerar séries “irregularmente espaçadas” e que seriam similares às séries de PGVs

amostrais.

21

Fig. 4.1. Séries desigualmente espaçadas (estrelas e linhas pontilhadas) amostradas de uma série temporal (linha verde), correspondendo à superposição de quatro ondas seno com períodos 350, 480, 1100 e 4000. Círculos vermelhos correspondem à amostragem igualmente espaçada. Os conjuntos de dados são: T1=25 pontos, T2=20 pontos e T3= 18 pontos amostrados ao longo de toda a série (21 cicles); T4= 15 pontos, dos primeiros 2/3 da série; T5= 15 pontos dos últimos 2/3 da série; T6= 8 pontos do terço médio da série.

O resultado do processamento das seis séries sintéticas é mostrado na Fig. 4.2. A

janela superior (a) contém as funções de estado de informação para cada série

separadamente e, nas janelas seguintes (b, c) o resultado das operações de combinação

‘OR’ e ‘AND’ equivalentes à união e intersecção, respectivamente, das funções de estado de

informação amostrais (Tarantola e Valette, 1982). Os resultados dos periodogramas foram

exibidos em termos de periodicidades ou comprimento de onda ao invés de freqüências.

Como podemos ver na Fig. 4.2a, quando se considera os espectros individuais, os

resultados chegam a parecer muito ruidosos e discordantes, principalmente nas altas a

médias freqüências. A combinação desses espectros segundo os operadores ‘OR’ e ‘AND’

(Figs. 4.2.b e 4.2.c) é capaz de filtrar grande parte do ruído ou sinais espúrios e realça

aqueles que são comuns a todas as séries (operação ‘AND’), os quais, a princípio, têm

maior probabilidade de serem reais.

22

Fig. 4.2. a) Especro LS individuais para as séries sitéticas T1 a T6 da Fig. 4.1; operações b) ‘OR’ and c) ‘AND’ a partir dos espectros individuais.

Fig. 4.3. Como na Fig. 4.2 para séries igualmente espaçadas sem ruído.

23

Fig. 4.4. Como na Fig. 4.2 para séries igualmente espaçadas com ruído.

Apesar da pobreza das séries sintéticas geradas, o procedimento mostrou

excelentes resultados tendo restringido satisfatoriamente as possíveis soluções no espaço

paramétrico. Há altas regiões de correlação nos espectros ‘OR’ e ‘AND’, e as periodicidades

impostas (480, 1100 e 4000) na série original foram satisfatoriamente recuperadas (487,

863 e 4207). Os espectros não exibiram pico correspondente ao comprimento de onda

350, provavelmente devido à sub-amostragem. Os outros picos menores no espectro

foram provavelmente originados por fenômenos como vazamento espectral e falseamento,

que ocorrem normalmente em qualquer análise espectral.

Para comparação, analisamos também séries igualmente espaçadas de mesma

densidade de pontos amostradas a partir da mesma série original, com e sem ruído

adicionado (Figs. 4.3 e 4.4). Observemos que em ambos os casos (com e sem ruído) o sinal

detectado não apresenta melhora significativa em relação ao caso anterior (dados

desigualmente espaçados com ruído), indicando que a densidade de pontos é um fator

mais importante.

Aumentando o número de simulações (4 de cada tipo inicialmente considerado =

24 séries no total) verificamos que os melhores resultados foram obtidos com as séries

mais curtas (conjuntos 2 e 4 na Fig. 4.5). As séries mais longas, no caso presente, tendem a

detectar somente os maiores comprimentos de onda, provavelmente porque os pontos

estão mais espaçados ao longo da série original.

24

Fig. 4.5. Comparação das operações AND para os espectros resultantes de vários conjuntos amostrais da série original sintética. Os critérios de amostragem são os mesmos da Fig. 4.1: data 1 = 24 amostragens (4 de cada tipo); data 2 = 4 amostragens do tipo 6; data 3 = 4 amostragens do tipo 1 e 2 (total de 8 séries); data 4 = 4 amostragens do tipo 3, 4 e 5 (total de 12 séries).

Devemos lembrar que, através deste procedimento, ao invés de obtermos um valor

que elegeremos como ‘sinal’ (‘signal detection problem’), obtemos uma probabilidade

sobre um subconjunto do espaço das frequências, que nos indicará quais modelos se

ajustam melhor que outros, segundo um critério especificado. Assim, a interpretação dos

fenômenos de ‘falseamento’ e vazamento de potência se dará naturalmente como efeito

inevitável numa análise de séries finitas, através da comparação de correlações com bases

funcionais infinitas.

Portanto, não estamos interessados apenas no valor máximo da ordenada dos

espectros. Também estudamos o comportamento local dos máximos de correlação, sendo

então muito importante a suavidade da curva.

Por outro lado, a obtenção de um espaço-solução muito restrito não significa

necessariamente que conhecemos o valor do parâmetro com precisão absoluta. Devemos

interpretar com cautela as curvas encontradas, com base na incerteza estimada nos dados

amostrais e na quantidade (e qualidade) das séries. Neste sentido, cada série representa

um experimento de medida espectral, ou da ‘rugosidade’, da série original. O problema é

análogo ao do experimentador que medindo duas ou três vezes uma determinada

grandeza física e obtendo coincidentemente valores muito próximos, acredita conhecer o

valor da tal grandeza com grande precisão, pois sua estimativa da variância da

distribuição a partir do desvio-padrão amostral é pequena. Ou seja, a distribuição da

variável combinada (estimativa) é concentrada somente porque as distribuições

combinantes que, apesar de serem pouco informativas, têm pequena intersecção ou

poucos modelos comuns.

Apesar das inúmeras dificuldades encontradas, inclusive na interpretação dos

resultados obtidos, o procedimento mostra excelente resultado, haja vista a restrição de

25

possíveis soluções no espaço paramétrico, da estrutura aparente encontrada nas soluções,

mostrando excelente coerência entre diversas amostras, além da recuperação da

informação original na maioria dos casos. As periodicidades (frequências) impostas à série

original foram satisfatoriamente recuperadas, encontrando-se em cada caso uma região de

alta correlação próxima às freqüências verdadeiras no espectro “AND” e/ou “OR” e,

consistentemente, na maioria das funções de estado de informação individuais de cada

série, em cada exemplo. Além destas, é claro, surgiram algumas outras regiões de alta

correlação (máximos do espectro), oriundas de fenômenos de natureza espectral, como

vazamento de potência para outras freqüências, além das regiões onde não há resolução

nos modelos a partir das funções de estado de informação amostrais utilizadas.

4.2. SÉRIES METEOROLÓGICAS

Testamos o nosso procedimento em séries meteorológicas naturais

correspondendo a dados mensais médios de precipitação, temperatura, insolação,

umidade relativa e pressão barométrica cobrindo o intervalo de 1933 a 2005, embora nem

todas as séries cubram exatamente o mesmo período. Os dados são provenientes da

Estação Meteorológica do IAG/USP e a descrição dos dados e métodos de medidas podem

ser encontrados em Pereira Filho et al. (2007). Os dados foram inicialmente perturbados

adicionando-se um ruído gaussiano mínimo, tanto nas ordenadas quanto nas abcissas, a

fim de quebrar a simetria dos dados igualmente espaçados a qual gera um ruído numérico

indesejado. Este processo é conhecido na literatura de processamento de sinais como

jittering.

Esse tipo de dados foram escolhidos porque, em geral, mostram oscilações da

ordem de 10-12 anos (Shindell et al., 1999) compatível com o ciclo de atividade solar.

Na Fig. 4.7 nota-se a grande semelhança entre os espectros individuais, à exceção

da insolação que aparece claramente defasado. O espectro combinado ‘OR’ identifica muito

bem os períodos de atividade solar de 10-12 anos indicados na literatura, entretanto, no

espectro ‘AND’ eles aparecem extremamente atenuados devido à defasagem do espectro

da insolação, levando a uma redução na área comum nesses picos.

Este exemplo ilustra bem o princípio geral do método, que vem a ser não busca

pelas periodicidades em si, mas sim a busca por regiões de alta correlação com ondas

senoidais comuns às diversas séries.

26

Fig. 4.6. Séries temporais de diversos parâmetros meteorológicos da Estação Meteorológica do IAG/USP, registrados no período de 1933 a 2005. Por uma questão de clareza os dados foram plotados com intervalos de 3 meses.

27

Fig. 4.7. Periodogramas das séries meteorológicas perturbadas. Os espectros individuais (superior) mostram grande coerência, com exceção da insolação.

28

Capítulo 5 - Análise das Sequências de PGVs da Fm. Serra Geral

5.1. A FORMAÇÃO SERRA GERAL

Para este trabalho utilizou-se as séries de dados paleomagnéticos da Formação

Serra Geral da Bacia do Paraná, do sul do Brasil (Ernesto et al., 1990). A Bacia sedimentar

do Paraná (Milani, 2004) foi recoberta por intenso magmatismo no início do período

Cretáceo. Essa intensa atividade ígnea ocorreu no Cretáceo Inferior, principalmente na

forma de derrames de lava de composição básica, formando a extensa Província

Magmática do Paraná (PMP). Os sucessivos derrames de lava da Fm. Serra Geral formam

pacotes com espessura total variável, excedendo 1.529 m de espessura (Leinz et al., 1966).

Nas escarpas da região sul do Brasil, encontra-se exposições com mais de 1.000m de

espessura.

Um grande número de datações radiométricas de alta precisão pelo método

40Ar/39Ar, e recentemente revistos (Thiede & Vasconcelos, 2010) indicam que o

magmatismo extrusivo ocorreu num curto intervalo de tempo (~1Ma). Os derrames da

PMP registraram um grande número de inversões de polaridade consistentemente com a

informação conhecida de que durante o Cretáceo Inferior a freqüência de inversões foi

muito elevada. A duração média dos intervalos de polaridade normal é aparentemente

maior do que aquela de polaridade reversa e, por esta razão vemos predominar a

polaridade normal.

O pólo paleomagnético da Formação Serra Geral associado a outros do Cretáceo

inferior da América do Sul (Ernesto, 2006), indica que naquela época a placa Sulamericana

encontrava-se a cerca de 5° a norte, sem contudo apresentar rotação de seu eixo principal.

Esse deslocamento, por afetar as longitudes dos PGVs, foi corrigido fazendo-se coincidir a

média dos PGVs com o pólo geográfico (correção de deriva continental).

Para o propósito deste trabalho foi necessário representar as longitudes dos PGVs

de forma contínua, isto é, as longitudes não devem se repetir como acontece a cada ciclo

de variação secular, ou mesmo devido ao movimento irregular do pólo geomagnético. Para

contornar esse efeito, soma-se 360° às longitudes sempre que estas passam pela origem

do sistema (desenrolamento de fases). Geometricamente este procedimento não interfere

na distribuição dos PGVs, pois significa apenas admitir que o dado em questão pertence ao

ciclo subseqüente de variação secular. Desta forma estamos ordenando espacialmente

janelas de ciclos de variação secular que aparecem subsequentemente nas séries de dados.

O resultado desse procedimento é visto na Fig. 5.1, onde estão representadas as latitudes

do PGVs das várias sequências analisadas, em função das longitudes “continuadas”. Para

29

facilidade de compreensão o número de ‘ciclos’, ou o número de vezes em que se

adicionou 360° está indicado nos eixos superiores.

Fig. 5.1. Sequências de PGVs das séries magnetoestratigráficas da Fm. Serra Geral. As longitudes foram transformadas, adicionando-se -360° (sentido oeste) quando a progressão invertia o sentido. Nas abscissas superiores representou-se o número de adições.

5.2. INFORMAÇÃO ESPECTRAL DAS SEQUÊNCIAS DE PGVS

As sequências de PGVs preparadas segundo o artifício descrito na seção anterior,

constituem as ‘séries temporais’ a serem analisadas.

Os espectros LS resultantes para as sequências transformadas são apresentados na

Fig. 5.2 (a, b, c). Para comparação os espectros de Hernandez estão na Fig. 5.3. Neste caso

adiciona-se um peso estatístico proporcional à incerteza em cada ponto da série e a

derivada (estimada) da função no ponto.

Os espectros combinados referentes às operações OR e AND (Fig. 6.2 e 6.3)

representam os estados de informação de todas as séries analisadas. Os espectros

resultantes, oriundos da combinação destes diferentes “estados de informação” amostrais,

exibem um número surpreendentemente pequeno de picos discretos (bem localizados),

considerando-se o nível de ruído elevado dos dados, a independência de todas as séries e a

baixa densidade de pontos amostrais para cada ‘ciclo’ da série, ou seja, para cada ciclo de

30

variação secular ou transição de polaridade. Os espectros AND representam a

“intersecção” dos estados de informação das múltiplas séries, e constituem a nossa melhor

estimativa do conteúdo espectral das séries.

Fig. 5.2. Espectros de Lomb-Scargle para as séries de PGVs da Fm. Serra Geral. Os três grupos foram combinados de acordo com a proximidade geográfica. Os espectros equivalentes às operações OR e AND referem-se ao resultado de todas as séries combinadas.

(a)

(b)

(c)

31

Fig. 5.3. Espectros de Hernandez para as séries de PGVs da Fm. Serra Geral. Os espectros equivalentes às operações OR e AND referem-se ao resultado de todas as séries combinadas.

Três picos distintos são observados no espectro LS: λ1 = ~167°, λ2 = ~257° e λ3 =

~369°, sendo que os dois primeiros são, respectivamente, 4 e 5 vezes maiores que o

terceiro e exibem estrutura de ‘aliasing’ o que indica que devemos ter conseguido uma

amostragem relativamente boa (suavizada) no domínio espectral. Observamos uma

possível relação sub-harmônica entre λ1 e λ2, isto é, λ1/λ2 = 2/3. Isto quer dizer que λ1 e λ2

podem ser as 2º e 3º frequências harmônicas de um processo em que λf = ~514° é a

frequência fundamental. Entretanto, essas relações de comprimento de onda são apenas

sugeridas no periodograma e não podemos, apenas com esta análise espectral distinguir

entre componentes verdadeira e efeitos espectrais espúrios. Alternativamente podemos

suspeitar de um efeito de ‘acoplamento’ entre os modos de propagação espacial ou de

variabilidade espacial da trajetória.

Estes resultados parecem reforçar a suposição inicial de que existem componentes

periódicas ou quase-periódicas nas trajetórias de VGPs. De modo que, embora as

trajetórias sejam aparentemente muito complexas, seu comportamento a longo termo

pode ser descrito por um número relativamente pequeno de componentes senoidais.

32

5.3. APLICAÇÃO DE JANELAS ESPECTRAIS E ADIÇÃO DE RUÍDO

Algumas diferentes janelas espectrais foram aplicadas às séries para verificar a

redução do vazamento espectral para os lobos laterais. Dessa forma pretende-se

identificar os picos devidos unicamente aos lobos laterais e suas combinações. As janelas

aplicadas foram Hamming (Fig. 5.4) e Triangular (Fig. 5.5) por apresentarem maior grau

de atenuação dos lobos laterais (Harris, 1978; Tabela 1) e por serem mais facilmente

adaptáveis ao caso das séries desigualmente espaçadas. Essas janelas foram originalmente

desenvolvidas para séries regulares onde o número de intervalos é conhecido e a

distribuição de pontos é homogênea e simétrica. Por essa razão, nas fórmulas das janelas

espectrais apresentadas na literatura, consta o fator de atenuação sempre em função de n

(posição do ponto na série). No nosso caso, com séries irregularmente espaçadas,

estimamos o valor de n através da distância linear de cada ponto em relação à origem da

série:

% = �∙�A ,

onde t é o instante da medida, N é o número de pontos e T é o comprimento total da série.

Como pode ser visto nas Figs. 5.4 e 5.5 houve grande perda da informação

espectral das séries após a aplicação das janelas, isto porque a distribuição de pontos nas

janelas conserva a irregularidade das distribuições amostrais. Por esta mesma razão,

Hernandez (1999) não recomenda sua utilização.

Fig. 5.4. Espectros das séries da Fm. Serra Geral após aplicação de janela Hamming.

33

Fig. 5.5. Espectros das séries da Fm. Serra Geral após aplicação de janela Triangular.

Fig. 5.6. Espectros das séries da Fm. Serra Geral após remoção dos pontos extremos de cada série.

34

Fig. 5.7. Espectros das séries da Fm. Serra Geral após atenuação dos três primeiros e últimos pontos das extremidades das séries, atribuindo pesos iguais a 20, 30 e 70% dos valores originais.

Fig. 5.8. Espectros das séries da Fm. Serra Geral após aplicação de ruído uniformemente distribuído entre 0 e K, na forma �B� = B� + C ∗ EF%G�, para valores de K iguais a 5, 10, 15, 20 e 30 graus.

Outra janela aplicada foi uma variação da janela retangular em que removemos os

pontos extremos de cada série (Fig. 5.6). Ainda aplicamos outra janela, atenuando

gradativamente os três primeiros e últimos pontos, atribuindo pesos iguais a 20, 30 e 70%

dos valores originais, a partir das extremidades (Fig. 5.7). Em ambos os casos o objetivo foi

simplesmente alterar a estrutura de lobos laterais para cada espectro, alterando

consequentemente a sua combinação. Desta forma tentamos separar as feições originadas

exclusivamente por vazamento espectral daquelas originalmente contidas nas séries.

35

Para testar a estabilidade dos resultados, adicionamos ruído às séries amostrais

com o objetivo de perturbar a curva em torno dos pontos conhecidos, a fim de testar se as

feições espectrais são de fato componentes do comportamento de longo termo da

trajetória. Nota-se na Fig. 5.8 uma surpreendente manutenção das feições espectrais,

porém com transferência de potência entre os picos.

5.4. DETERMINAÇÃO DE FASES E SIGNIFICADO DOS ESPECTROS

Foram empregados três métodos para a determinação de fases: o método clássico,

baseado no periodograma clássico, o método de Hocke (1998) baseado no periodograma

LS e um terceiro método baseado nos princípios da metrologia holográfica. Este último foi

desenvolvido neste trabalho e é baseado no método ótico de interferometria de caminhos

iguais. Ou seja, com este método mede-se a distância entre uma fonte de laser

(monocromático) e um alvo a partir do padrão de interferência definido pelas ondas

incidente e refletida.A potência total medida, resultante do padrão de interferência,

oferece um indicativo da diferença de fase entre as duas ondas. Neste caso aplicamos o

método numericamente utilizando ondas senoidais e a série amostral, ao invés de um par

de lasers monocromáticos. A grande vantagem do método é oferecer uma medida

sistêmica, que depende mais do efeito combinado do conjunto dos pontos do que do efeito

em cada ponto isoladamente. A grande desvantagem é que sempre haverá uma

ambiguidade em relação à quadratura da fase. Dadas as duas possibilidades de fase

escolheremos sempre a que mais se aproximar das estimativas anteriores. (Aleksoff,

2003):

H�I� = FE��F% J=�K 4⁄ � − =�3K 4⁄ �=�0� − =�K 2⁄ � O = 4KP

I − Q G�2K�

Onde I é o comprimento da onda considerada, H é a diferença de fase em radianos,

e H é a diferença de fase em unidades métricas (distância entre fonte luminosa e alvo).

A comparação dos resultados pode ser vista nas Figs. 5.9 e 5.10. Os métodos

clássico e de Hocke diferem pouco na forma de cálculo e, portanto, tendem a indicar

valores muito semelhantes. O método holográfico representa uma validação dos

resultados quando há boa concordância entre os três. A Fig. 5.10 mostra, para cada

comprimento de onda, o comportamento dos estimadores para cada série analisada. Nota-

se grande coerência entre os resultados dos três métodos apesar da baixa qualidade das

séries amostrais. A Fig. 5.11 resume os resultados encontrados para cada comprimento de

onda, na forma de gráficos tipo roseta, onde a fase é dada em graus. Os resultados

36

coincidem dentro de faixas de incerteza da ordem de 30-60°, o que é significativo para o

caso presente, pois as incertezas dos dados estão entre 10-20°. Esse resultado indica que

as componentes espectrais determinadas podem não ser apenas artefatos da análise

espectral de séries altamente irregulares.

Fig. 5.9. Determinação das fases para cada freqüência do espectro da Fm. Serra Geral através dos métodos clássico, de Hocke e holográfico, identificando os resultados para cada uma das 16 séries analisadas.

37

Fig. 5.11. Diagrama de roseta para as fases determinadas pelo método clássico, de Hocke e holográfico, para cada comprimento de onda obtido.

38

5.5. ANÁLISE DAS TRAJETÓRIAS DOS PGVS

Kuznetsov (1999) apresentou um modelo para o movimento dos PGVs durante a

reversão geomagnética a partir do estado de polaridade normal. Nesse modelo a trajetória

do pólo depende da localização das anomalias magnéticas globais (AMGs). O autor

considera que o campo geomagnético é a soma de um campo dipolar e o campo dessas

anomalias. Durante a inversão, a polaridade da parte dipolar do campo muda e a mudança

de polaridade da parte não-dipolar fica retardada por um intervalo de tempo maior que o

tempo observado para a inversão da componente dipolar. No momento da inversão,

quando a intensidade do dipolo é igual a zero, a parte não-dipolar do campo predomina e é

correspondente à soma do campo das AMGs, levando a uma geometria do campo

semelhante àquela do campo atual.

Fig. 5.12. Mudança na forma das curvas do campo geomagnético e a posição dos pólos magnéticos (direita) devido ao aumento da componente H e diferentes magnitudes do campo dipolar: -10µT (a), -15µT (b), -20µT (c), -23µT (d), -30µT (e). Reproduzido de Kuznetsov (1999).

O modelo foi desenvolvido para um campo que inverte a partir do estado de

polaridade normal e considera as anomalias identificadas no mapa de intensidade total do

IGRF (Barraclough, 1987) e que foram denominadas de anomalia Canadense (CMA),

Brasileira (BMA), Siberiana (SMA) e Sul ou Antártica (AMA). O padrão resultante de

deslocamento do pólo é visto na Fig. 5.6 para diferentes intensidades do campo dipolar. O

39

sistema de coordenadas escolhido tem origem no pólo sul; então a anomalia BMA está a

75° da origem; CMA, SMA e AMA estão a 145°, 203° e 330°, respectivamente, considerando

que as fontes estão sobre o mesmo meridiano. Este modelo admite PGVs movendo-se nos

dois hemisférios e eventualmente se aniquilando, o que é compatível com algumas

observações de desaparecimento de PGVs no processo de reversão (Kuznetsov, 1999).

A reconstrução paleomagnética da morfologia do campo geomagnético

apresentada por Leonhardt & Fabian (2007), também prevê caminho preferencial (sobre a

Ásia) para a transição Matuyama/Brunhes, como também agrupamentos (clusters) de

PGVs durante a inversão (Fig. 5.7) o que deve indicar intervalos de tempo durante os quais

o campo permanece estável em posições intermediárias. Segundo os autores, esse campo

estável se deve a componentes quadrupolares relativamente intensas que se somam à

componente dipolar.

Fig. 5.13. Modelagem da trajetória dos PGVs (a) e variação da intensidade (b) a partir do ponto 58.3ºW 18ºN. Agrupamentos de PGVs, antes e depois da transição de polaridade, com duração de 1,5 ka e 1 ka, respectivamente. Reproduzido de Leonhardt & Fabian (2007).

O comportamento descrito acima indica claramente anisotropias de transição do

campo dipolar aparente. Da mesma forma, o resultado encontrado neste trabalho, um

conjunto discreto de componentes senoidais, também aponta para comportamento

semelhante (periodicidade ou quase-periodicidade).

Convém salientar que as análises das trajetórias dos PGVs durante inversões de

polaridade descritas nos trabalhos acima citados, referem-se ao campo geomagnético

recente e ao possível padrão durante a inversão de polaridade mais recente. No caso dos

40

resultados obtidos a partir das múltiplas trajetórias de PGVs da Fm. Serra Geral, estamos

lidando com diferentes inversões, tanto no sentido N→R, como R→N. A ausência de dados

transicionais nas séries consideradas, bem como a escassez geral de dados, não permite a

distinção entre os dois fenômenos. Buscamos então as características comuns a todas as

séries que possam ser persistentes no intervalo de aproximadamente 1 Ma, tempo coberto

por essa formação, segundo dados radiométricos. Os comprimentos de onda encontrados

podem também estar simplesmente associados a ciclos de variação secular, sem mudanças

de polaridade, uma vez que ciclos periódicos são encontrados quando se analisa

independentemente a variação da inclinação magnética (e.g. Gogorza et al., 1999), com

ciclos de 7700 e 2600 anos para sedimentos recentes do sul da Argentina.

41

Capítulo 6 - CONSIDERAÇÕES FINAIS

Duas idéias principais suportam os procedimentos realizados: i) se a série original

contém um número finito (e pequeno) de componentes sabidamente periódicas, as séries

amostrais irão também apresentar alta correlação com as funções-base, nos

comprimentos de onda próximos ao das periodicidades verdadeiras (Scargle, 1982). ii)

Então é possível definir um estimador (não necessariamente não-viciado) que nos informe

que para baixos valores há uma probabilidade pequena de que uma determinada

freqüência seja uma verdadeira componente de Fourier da série original; por outro lado,

valores altos do estimador não significam necessariamente que trata-se de uma frequência

verdadeira.

Com isto podemos falsear (Tarantola, 2006) possíveis soluções num subconjunto

do espaço paramétrico. Isto significa que, para cada função de estado de informação

amostral, ao invés de procurar uma ‘melhor solução’ ou um valor ótimo, devemos

procurar classes de não-admissibilidade dentro de uma região limitada do espaço

paramétrico. Daí então, combinamos estas informações e achamos os mencionados

‘invólucros’ que englobam tais classes de não-admissibilidade no espaço paramétrico,

comuns e não-comuns às séries amostrais. O complementar desses invólucros aponta para

as regiões de alta correlação, comuns a todas as séries, e onde deve estar certamente o

‘sinal’ original, os ‘efeitos’ espectrais ligados ao vazamento de potência e falseamento, bem

como todos os pontos do espaço paramétrico onde não há resolução. Nestas regiões, onde

não há resolução, a informação final se aproximaria da distribuição a priori.

Estritamente falando, o maior perigo deste tipo de procedimento está na

discretização do espaço amostral, que no nosso caso está intimamente ligada ao

procedimento semi-empírico de suavização dos modelos. Devemos proceder com cautela,

pois uma grade escolhida muito densa adicionará muito ruído ao modelo final, enquanto

uma grade escolhida com poucos pontos não permitirá visualizar as feições desejadas. O

teorema da amostragem ou de Nyquist nos ensina que não devemos tentar obter

informações de freqüências acima da freqüência (abaixo do comprimento de onda) limite

de Nyquist, o dobro da taxa de amostragem da série, que no caso de séries uniformes

coincide com o dobro da menor distância entre dois pontos. O incremento entre os pontos

no domínio da freqüência é escolhido a fim de obtermos uma curva suave. Note que no

caso usual este valor dependerá do comprimento total da série igualmente espaçada, o que

pode ser alterado através do procedimento de zero-padding, através do qual podemos

obter uma série de comprimento arbitrário, apenas adicionando-se zeros na extremidade

da série desejada (Hernandez, 1999). O perigo é que sempre poderemos incorrer no erro

42

de deixar de considerar um ‘fenômeno’ que ocorra entre dois pontos da grade. Portanto,

este ajuste deverá ser sempre subjetivo, considerando as incertezas estimadas nos dados

das séries amostrais, a classe de modelos considerada (neste caso, funções seno e cosseno

de Fourier) e a resposta esperada do fenômeno estudado (modelo a priori). Além disso,

buscaremos outros estimadores e medidas que possam confirmar a existência de tais

componentes (como a análise da coerência das fases).

Com isto em mente, o procedimento aqui descrito mostrou-se muito eficiente, não

necessariamente para a busca de uma ‘melhor solução’, mas para descartar uma ampla

classe de modelos como sendo não aceitáveis a todas as séries amostrais. Como

complemento, obtemos um conjunto-solução no qual a resposta certamente deve estar

contida. Além disso, a incerteza nos resultados é visualizada diretamente nas distribuições

obtidas.

Da comparação entre os casos sintéticos e reais, observamos que o desempenho do

nosso algoritmo é o melhor possível na situação de dados desigualmente espaçados, com

ruído, melhor que na grade igualmente espaçada, com redução do falseamento. Do ponto

de vista do desenvolvimento do método como um todo, temos um resultado excelente,

apesar de sabermos que a trajetória dos PGVs é extremamente complexa, até para

períodos curtos de tempo, no entanto à luz dos dados da Formação Serra Geral (escala de

tempo e conteúdo de informação disponível) parece ter as suas principais feições

descritíveis pelo somatório de um número relativamente pequeno de ondas seno (base).

Embora não tenhamos um espectro de potência (nossa variável independente não

é o tempo), podemos supor uma relação direta entre o tempo e a nossa variável

independente que é a longitude. Com isto, podemos tecer algumas comparações entre o

comportamento observado e o encontrado usualmente em sistemas dinâmicos caóticos

(dobramento de período, ruído 1/f, etc.) e quase-periódicos (Pierce, 2006; Voyatzis &

Ichtiaroglou, 1991; van der Weele, 1991; Stewart, 1991; Prigogine, 2002).

De posse de estimativas gerais deste conjunto de freqüências e de suas respectivas

fases, podemos esclarecer aspectos da morfologia da trajetória descrita pelas séries.

Particularmente, gostaríamos de poder prever a possibilidade do confinamento periódico

da fase geral da trajetória (trata-se, na verdade, do padrão de interferência destrutiva das

ondas encontradas). Este confinamento, caso haja, indicará a existência de longitudes

preferenciais de transição na trajetória dos PGVs.

Agradecimentos. Este trabalho contou com o apoio inicial da CAPES e posteriormente da

FAPESP através da bolsa de doutorado direto (Processo FAPESP 2004/05363-5). Meus

agradecimentos ao Prof. Augusto José Pereira Filho, na ocasião chefe da Sessão Técnica de

Serviços Meteorológicos do IAG/USP, pela cessão dos dados meteorológicos aqui utilizados.

43

REFERÊNCIAS

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