Análise de Sistemas Contínuos por Série de...

Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise de Sistemas Contínuos por Série de Fourier

Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação

Centro de Informática - UFPE

ES 413 Sinais e Sistemas

Capítulo 6

1-2Sinais e SistemasEng. da Computação

Conteúdo• Introdução

• Representação de Sinal Periódico por Série de Fourier Trigonométrica

• Existência e Convergência de Série de Fourier

• Série de Fourier Exponencial

• Resposta de Sistemas LTIC a Entradas Periódicas


Introdução (i)– Nas engenharias elétrica e de computação, os sinais costumam ser

tratados em termos de seus espectros de freqüência e os sistemas em termos de suas respostas de freqüência.

– Este capítulo, como os próximos, discutem a representação espectral de sinais que, por sua vez, são expressos como somatórios de funções senoidais ou exponenciais.

• Mostra-se que um sinal periódico pode ser representado por somatório de funções senoidais ou exponenciais de várias freqüências.

• Estes resultados são extensíveis a sinais aperiódicos (Cap. 7) e sinais discretos no tempo (Cap. 9) que podem ser gerados a partir de amostragem de sinais contínuos (Cap. 8).


Representação de Sinal Periódico (i)• Preliminares

[ ]

. freq. de senoidal da harmônico o é freq. de Senoidal (iv)

;2 radianos em freqüência ,1 período

, freqüência :)2senou 2cos ( senoidal uma para Possuir, (iii)

reais; números e para ,)()()(

: período pelo sinal o sob área mesmaTer (ii);, intervalo noExistir (i)

:por se-acaracteriz sinal Este .)( de lfundamenta período de chamado é adeperiodicid de condição a satisfaz que der menor valo O

)()( : período com )( periódico sinal um Seja

00

000

0

000

0

0

00

0

0

0

fésimonnf

ff

T

ftftf

badttxdttxdttx

T

txT

tTtxtxTtx

Tb

bT

Ta

a

−

==

==

∞∞−

∀+=

∫ ∫∫++

πω

ππ


Representação de Sinal Periódico (ii)• Definição

– Representação de um sinal periódico por uma série trigonométrica de Fourier:

que se- tem,2 que lembrando

)sen()cos()(

)(sen)(cos)(

))/2()/1(( lfundamenta da período mesmo o com periódico sinal um é )( :Importante ePropriedad

sencos)( :como definida

é ) lfundamenta freqüência (paraFourier de trica trigonomésérieA

00

100000000

1000000

000

1000

0

πω

ωωωω

ωω

ωπ

ωω

ω

=

++++=+

∴++++=+

==

++=

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

T

TntnbTntnaaTtx

TtnbTtnaaTtx

fTtx

tnbtnaatx

nnn

nnn

nnn


Representação de Sinal Periódico (iii)• Definição

– Representação de um sinal periódico por uma série trigonométrica de Fourier:

– Em conclusão, um sinal periódico x(t) com período T0 pode ser expresso como um somatório de uma senóide de freqüência f0 e suas harmônicas. Esta séria infinita é conhecida como série de Fourier trigonométrica.

)(sencos)(

)2sen()2cos()(

10000

10000

txtnbtnaaTtx

ntnbntnaaTtx

nnn

nnn

=++=+

∴++++=+

∑

∑∞

=

∞

=

ωω

πωπω


Representação de Sinal Periódico (iv)• Cálculo dos Coeficientes da série de Fourier

– Para determinar os coeficientes, necessita-se do cálculo de I:

:Fourier de série da equação da lados dois os se-integrando , se-Calcula

,0cossen

2

0sensen

se- temteanologamen ,

2

0coscos

)cos()cos(21

coscos

0

00

000

000

0000

0

0

0

000

a

mntdtmtn

mnT

mntdtmtn

mnTmn

tdtmtnI

tdtmntdtmntdtmtnI

T

T

T

TTT

∀=

=

≠=

=

≠==

∴

−++==

∫

∫

∫

∫∫∫

ωω

ωω

ωω

ωωωω


Representação de Sinal Periódico (v)• Cálculo dos Coeficientes da série de Fourier (continuação)

[ ]

[ ] ?coscos e 0cossen,0cos

cossen

coscoscoscos)(

:expressão a se-integrando e cospor Fourier de série da equação da lados dois ospor se-ndomultiplica , se-Calcula

. e 0sencos periódicas fun. para pois

,)(1

sencos)(

000

0

000

000

00000

00000

100

100000

0

00000

00

1000

===

+

+=

===

=∴

++=

∫∫∫

∑ ∫

∑ ∫∫∫

∫∫∫

∫∑ ∫∫∫∫

∞

=

∞

=

∞

=

TTT

n Tn

n Tn

TT

n

TTT

Tn Tn

Tn

TT

tdtmtntdtmtntdtn

tdtmtnb

tdtmtnatdtmatdtmtx

tma

Tadtatdtntdtn

dttxT

atdtnbtdtnadtadttx

ωωωωω

ωω

ωωωω

ω

ωω

ωω


Representação de Sinal Periódico (vi)• Cálculo dos Coeficientes da série de Fourier (continuação)

∫∫

∫∫

∫

=∴=

=∴=

==

≠

00

00

0

00

00

0

00

00

000

sen)(2

2sen)(

:se- tem)sendor multiplica o se-o(utilizand análogo modo e

cos)(2

2cos)( Logo,

2coscos :

que em aquele exceto zero, a iguais são ) para integrais várias(as somatório do scomponente todos termoúltimo Neste

Tn

n

T

Tn

n

T

T

tdtmtxT

bTb

tdtmtx

tm

tdtmtxT

aTa

tdtmtx

Ttdtmtnmn

mn

ωω

ω

ωω

ωω


Representação de Sinal Periódico (vii)• Cálculo dos Coeficientes da série de Fourier

– Em resumo, seja uma série de Fourier (para um sinal real ou complexo – x(t)):

∫

∫

∫

∑

=

=

=

==

++=∞

=

0

0

0

00

00

00

000

1000

sen)(2

cos)(2

)(1

)/2(2 :por dados são escoeficient Cujos

sencos)(

Tn

Tn

T

nnn

tdtntxT

b

tdtntxT

a

dttxT

a

Tf

tnbtnaatx

ω

ω

ππω

ωω


Representação de Sinal Periódico (viii)• Forma Compacta da Série de Fourier

– Para um sinal real, os coeficientes an e bn são reais para todo n. Assim a série de Fourier pode ser expressa na sua forma compacta:

– Observação: Como os coeficientes e o ângulo são reais então nas próximas discussões x(t) é assumida como real, a não ser quando for dito o contrário.

( ) ( )

−=

+=

=

++=

−

∞

=∑

n

nn

nnn

nnn

ab

baC

aC

tnCCtx

1

22

00

100

tan

:por dados são escoeficient ujosc ,)cos()(

θ

θω


Representação de Sinal Periódico (ix)• O Espectro de Fourier

– Para uma série de Fourier trigonométrica e compacta, pode-se traçar o gráfico da amplitude Cn por n (espectro de amplitude) e o gráfico da fase por n (espectro de fase):

– O espectro de freqüência de um sinal x(t) constitui sua descrição no domínio da freqüência, enquanto que na descrição no domínio do tempo, o sinal é especificado como função do do tempo.

síntese.ou ãoreconstruç sua permitem e )( sinal do freqüência de conteúdos os mostram espectros Estes

.)( de freqüência de espectros os compõem acima gráficos Os . e de sescalonada versõessão acima

gráficos os então , freqüência à alproporcion é Como 0

tx

txC

nn

nn

==

××=

ωθωω


Representação de Sinal Periódico (x)• Série de Fourier compacta

– Exemplo:Encontre a série de Fourier trigonométrica para o sinal periódico x(t), mostrado na figura abaixo.

:por dados são escoeficient cujos sencos)(

rad/seg 22211 figura, Pela

1000

000

000

∑∞

=

++=

===⇒==⇒=

nnn tnbtnaatx

Tf

TfT

ωω

ππωπ

π


Representação de Sinal Periódico (xi)• Série de Fourier compacta

– Exemplo (continuação):

( )

+

++=

+===

+=

+−

+−=

∴==

=−===

∑

∫∫

∫∫

∫ ∫

∞

=

−

−

−

−−

12

20

2/0

0

2

0

22

2/

0

2/0

0

0

2/

0

2/

00

2sen42cos1612

1504.0)( Portanto,

1618

504.02sen2

sen)(2

1612

504.0)2()

21

(2sen22cos

21

2cos2

cos)(2

504.0211

)(1

0

0

0

n

t

Tn

t

n

t

Tn

T

tt

ntnntn

tx

nn

ntdtetdtntxT

b

nn

entnnta

ntdtetdtntxT

a

edtedttxT

a

π

π

π

ππ

πω

πω

ππ


Representação de Sinal Periódico (xii)• Série de Fourier compacta


( )

( ) ( )

( ) ( )

∑

∑

∑

∞

=

−

−−−−

∞

=

∞

=

−+

+=

−=−=

++−=

−=

+=

++

+=+=

==

++=

+

++=

1

12

112

211

2

2

2

2

222

00

100

12

)4tan2cos(1612504.0504.0)( ,Finalmente

4tan4tan2161

1618tantan

1612504.0

1618

1612504.0

504.0

:))cos()(( compacta série de termosEm

2sen42cos)161(

21504.0)( Para

n

n

nn

nnn

nnn

n

nntn

tx

nnnnn

ab

nnn

nbaC

aC

tnCCtx

ntnntn

tx

θ

θω


Representação de Sinal Periódico (xiii)• Série de Fourier compacta

– Exemplo (continuação): Espectros da série de Fourier compacta.

– Um sinal tem identidade dual: no domínio do tempo (x(t)) e no domínio da freqüência (espectros de Fourier). Uma identidade complementa a outra e juntas melhoram entendimento do sinal.


Representação de Sinal Periódico (xiv)• Série de Fourier compacta

– Exemplo: Ache série de Fourier trigonométrica compacta para x(t).

:por dados são escoeficient cujos ,

23

21)1(2

212

)(

onde sencos)(

rad/seg 2

2211

2 figura, Pela

1000

000

000

<<−

<=

++=

===⇒==⇒=

∑∞

=

ttA

tAttx

tnbtnaatx

Tf

TfT

nnn ωω

ππ

πω


Representação de Sinal Periódico (xv)• Série de Fourier compacta


=∴−+=

=++=−

+=−+=

==

===

∫∫

∫∫

∫∫∫

∫

∫∫∫

−

−−

−

2sen

8sen)1(2

22

sen222

0000cos2cos2

cos2cos)1(222cos2

22

periódico é sinal o pois ,0)(21

sen)(2

;cos)(2

;)(1

22

2/3

2/1

2/1

2/1

2/3

2/1

2/3

2/1

2/1

2/1

2/3

2/1

2/1

2/1

2/3

2/10

00

000

0

000

ππ

ππ

ππ

πππ

ωω

nn

AbtdtntAtdtnAtb

tdtntAtdtnA

tdtntAtdtntAtdtnAta

dttxa

tdtntxT

btdtntxT

adttxT

a

nn

n

Tn

Tn

T


Representação de Sinal Periódico (xvi)• Série de Fourier compacta


( )

( ) ( )

( ) ( )

+++−+++−=

=∞−=

−=

=+===

++=

−−

−=

=−

==∴

−−−

∞

=

∞

=

+

∑

∑

...)7cos(491

)5cos(251

)3cos(91

)cos(8

)(

2/3tantantan

,;0

:))cos()(( compacta série de termosEm

)12sen()1()12(

18)(

15,11,7,3 para)/8(

13,9,5,1 para)/8(

par para0

22222

111

2200

100

1

122

2

2

ππππ πππππ

πθ

θω

ππ

π

π

ttttA

tx

ab

bbaCaC

tnCCtx

tnn

Atx

nA

nA

n

b

n

nn

nnnn

nnn

n

n

n

K

K


Representação de Sinal Periódico (xvii)• Série de Fourier compacta

– Exemplo (continuação): Espectros da série de Fourier trigonométrica compacta para um sinal periódico triangular.


Representação de Sinal Periódico (xviii)– Um sinal periódico pode ser representado por um somatório

senoidais ou de exponenciais. Se a freqüência do sinal periódico for f0 o sinal pode ser expresso por uma soma ponderada de uma senóide de freqüência f0 e seus harmônicos. O sinal periódico pode ser reconstruído a partir do conhecimento das amplitudes e fases dos componentes senoidais.

– Se um sinal periódico x(t) tiver:

• Simetria par então a série de Fourier só contém termos em cosseno e o termo DC.

• Simetria impar então a série de Fourier só contém termos em seno.

• Nenhuma simetria então a serie de Fourier contém ambos termos.


Existência e Convergência de SF (i)• Observações

– Para existir, uma série trigonométrica de Fourier, deve ter seus coeficientes finitos. A existência destes coeficientes é assegurada se x(t) for absolutamente integrável sobre um período:

– Em pontos de descontinuidade, a série de Fourier x(t) converge para a média dos valores de x(t) em ambos os lados das descontinuidades.

– O espectro de amplitude da série de Fourier para um sinal periódico x(t) com saltos de descontinuidade decai suavemente com a freqüência. Neste caso, são necessários vários termos na série de Fourier para aproximar x(t) de uma faixa de erro desejada.

– O espectro de amplitude da série de Fourier para um sinal periódico x(t) suave decai rapidamente com a freqüência e poucos termos são necessários para aproximar x(t) de uma faixa de erro desejada.

∞<∫0

)(T

dttx


Série de Fourier Exponencial (i)• Motivação:

– Utilizar a equação de Euller para expressar as funções senoidaisem termos de funções exponenciais. Em seguida, escrever as séries de Fourier em termos de exponenciais.

( )( )

período. um sobre intregra os e inteiro) ( por eq. da lados os ambos

se-multiplica : de valoresoscalcular necessário é série aescrever Para

.],[ de varia que note ,)(

:periódico sinal um para lexponenciaFourier de série adefinir se-Pode

sencos

sencos a eequivalent é que

)2/1(sen

)2/1(cos

:por dada éEuller de equaçãoA

0

0

me

D

neDtx

je

je

eej

ee

tjm

n

n

tjnn

j

j

jj

jj

ω

ω

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

−

∞

−∞=

−−

−

∞−∞=

−=

+=

−=

+=

∑


Série de Fourier Exponencial (ii)• Definição:

– Note que, a série de Fourier exponencial:

• Tem forma mais compacta que a série trigonométrica;

• Tem expressão para cálculo dos coeficientes da série mais compacta que a série trigonométrica.

∫∫

∫∫

∫

∫∑∫

−−

−

−∞

−∞=

−

=∴=

≠=−+−

===

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

)(1)(

:escrita-reser pode acima integral primeira a Logo,

0)sen()cos(

)(

00

00

0)0(

)(

)(

T

tjnnnT

tjn

T

T

j

T

tmnj

T

tmtnj

nnT

tjm

dtetxT

DTDdtetx

nmdttmnjtmn

nmTdtedte

dteDdtetx

ωω

ω

ωωω

ωω


Série de Fourier Exponencial (iii)• Coeficientes da SF Trigonométrica e da SF Exponencial:

)(21

sen)(cos)(1

e )(21

sen)(cos)(1

]sen)[cos(1

)(1

:se- tem,0 Para

)(1

se- tem0 Para

)(1

00

00

00

0

0

0

0

00

00

00

00

0000

000

00

0

nnTTn

nnTTn

TT

tjnn

T

T

tjnn

jbatdtntxTj

tdtntxT

D

jbatdtntxTj

tdtntxT

D

dttnjtntxT

dtetxT

D

n

aDdtetxT

Dn

dtetxT

D

+=+=

−=−=

∴−==

≠

=∴==

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫

∫

−

−

−

ωω

ωω

ωωω

ω


Série de Fourier Exponencial (iv)• Coeficientes da SF Trigonométrica e da SF Exponencial:

– Os resultados anteriores são válidos para sinal x(t) real ou complexo.

– Se o sinal e seus coeficientes forem reais, tem-se que Dn e D-n

são conjugados. Além disto,

nnnn

nnn

jnn

jnn

jn

ab

j

nnnn

DD

nCDD

eCD

eCD

CaD

eCebajba

n

nnn

n

θθ

θ

θθ

−=∠=∠

≠==

=

=

==

∴=+=−

−

−

−−

−

021

Portanto,

21

21)()(

000

tan22


Série de Fourier Exponencial (v)• Série de Fourier Exponencial

– Exemplo: Encontre a série de Fourier exponencial para o sinal periódico x(t), mostrado na figura abaixo.

:por dados são escoeficient cujos )(

rad/seg 22211 figura, Pela

2

000

000

∑∞

−∞=

=

===⇒==⇒=

n

ntjneDtx

Tf

TfT ππω

ππ


Série de Fourier Exponencial (vi)• Série de Fourier Exponencial


.conjugados são e

complexos; são escoeficient Os :sObservaçõe -

411

504.0)()( Portanto,

41504.0

)221(

1̀11

;)(1

2

0

)221(

0

)221(

0

22/

0

0

0

0

nn

n

n

ntj

n

tjnn

tnjtnjntjtn

T

tjnn

DD

D

enj

txeDtx

nje

njdtedteeD

dtetxT

D

−

∞

−∞=

∞

−∞=

−

+−+−−−

−

=

=

+=∴=

+=

+

−===

=

∑∑

∫∫

∫

ω

π

ππ

ω

πππ


Série de Fourier Exponencial (vii)• Série de Fourier Exponencial


K0111

0111

0000

122

96.75122.0)41(17504.0

)1(41504.0

96.75122.0)41(17504.0

)1(41504.0

0504.0504.0)0(41

504.0

:então ,)/(tan;)()(;41

504.0

.polar forma sua em expressos são

escoeficient os opção, Nesta . de ângulo o e magnitude aou , de reale imaginária partes as se-utiliza is,exponencia espectros os traçar Para

=∠=⇒+=−+

=

−=∠=⇒−=+

=

=∠=⇒=+

=

−=∠+=+

=

−−−

−

∠

DDjj

D

DDjj

D

DDj

D

abDbaDnj

D

eD

DD

nnnnnnn

Djn

nn

n


Série de Fourier Exponencial (viii)• Série de Fourier Exponencial

– Exemplo (continuação): Espectros da série de Fourier exponencial.

– O espectro de amplitude é uma função par de ? e o espectro de ângulo é uma função ímpar de ? .

– Consideração de valores negativos de freqüências (? =-n? 0) indica que um componente exponencial (exp (-jn? 0t)) existe na série.


Série de Fourier Exponencial (ix)• Série de Fourier Exponencial

– Exemplo: Dado os espectros de uma série de Fourier trigono-métrica, esboce o espectro da série de Fourier exponencial e verifique os resultados analiticamente.


Série de Fourier Exponencial (x)• Série de Fourier Exponencial

– Exemplo: Os componentes nos espectros trigonométricos geram os mesmos componentes nos espectros exponenciais e seus simétricos com relação à origem. As amplitudes são divididas por dois e os ângulos são os mesmos.


Série de Fourier Exponencial (xi)• Série de Fourier Exponencial


idênticas. são expressões as logo]22[

][4][616)(

]22[

]44[]66[16)(

)( :lexponenciaFourier de série a Para

49cos4

26cos8

43cos1216)(

)cos()( :compacta caigonométriFourier tr de Série

)4/9()4/9(

)2/6()2/6()4/3()4/3(

94/94/

62/62/34/34/

100

0

ππ

ππππ

ππ

ππππ

ω

πππ

θω

−−−

−−−−−−

−−

−−−−

∞

−∞=

∞

=

++

+++++=

++

+++++=

=

−+

−+

−+=

++=

∑

∑

tjtj

tjtjtjtj

tjjtjj

tjjtjjtjjtjj

n

tjnn

nnn

ee

eeeetx

eeee

eeeeeeeetx

eDtx

ttttx

tnCCtx


Série de Fourier Exponencial (xii)• Série de Fourier Exponencial

– Exemplo: encontre a série de Fourier exponencial e trace seus espectros para um trem de impulsos (figura abaixo). A partir deste resultado, esboce os espectros trigonométricos e escreva as séries de Fourier trigonométrica.

∫∑

∑−

∞

−∞=

∞

−∞=

===

=≡−

0

0

0

0

0

0

)(1

onde ,)()( :Série

/2 figura na ,)( :impulsos de Trem

0

000

T

tjnTn

n

tjnnT

Tn

dtetT

DeDttx

TnTt

ωω δδ

πωδδ


Série de Fourier Exponencial (xiii)• Série de Fourier Exponencial


)]3cos2cos(cos21[1

)(

é série a ,03,2,1;2

2;1

;021 :trico trigonoméespectro o Para

11)()( :Fourier de série na doSubstituin

1)(1

:)()( onde /2)/2,(- integração de intervalo o se-Escolhe

0000

0

0000

2

00

0

/2

/2-0

00

0

00

0

0

0

0

0

K

K

++++=

======

=∠≠==

===

=∴=

=

−

∞

−∞=

∞

−∞=

−

∑∑

∫

tttT

t

nT

DCT

DC

DnCDD

eT

eT

ttx

TDdtet

TD

ttTT

T

nnn

nnnnn

n

tT

jn

n

tjnT

n

T

T

tjnn

T

ωωωδ

θ

θ

δ

δ

δδ

πω

ω


Série de Fourier Exponencial (xiv)• Largura de Banda (Bandwidth) de um Sinal:

– A largura de banda (ou de faixa) de um sinal é a diferença entre a menor e a maior componente de freqüência das componentes espectrais do sinal (valores negativos não são considerados).

• Efeito de Simetria em Série de Fourier Exponencial:

– Para x(t) tendo simetria par, bn=0, Dn=an/2 (valor real):

• Ângulo de Dn pode ser 0 ou ±p.

• Calcular Dn só requer integração sobre metade do período.

– Para x(t) com simetria ímpar, an=0, Dn=-jbn/2 (valor imaginário):

• Ângulo de Dn pode ser 0 ou ±p.

• Calcular Dn só requer integração sobre metade do período.


Respostas de Sistemas LTIC a Entradas Periódicas (i)• Definição

– Um sinal periódico pode ser expresso pelo somatório de exponenciais (ou senoidais) não cessantes.

– A maneira conhecida de determinar a resposta em um sistema LTIC pode ser empregada para determinar respostas de um sistema LTIC a entradas periódicas. Assim, um sinal periódico x(t) de entrada com período T0 pode ser expresso como:

4444 34444 2143421saída

n

tjnn

entrada

n

tjnn

n

tjnn

tjtjntj

tyejnHDeD

TeDtx

ejHee

)()( :inferir faz elinearidadA

2,)(por expresso é perídico sinal um Como

)( :par o produz entrada uma LTIC, Sistema

00

0

00

0

00

=⇒

==

⇒

∑∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

ωω

ω

ωωω

ω

πω

ω


Respostas de Sistemas LTIC a Entradas Periódicas (ii)– Exemplo: um retificador de onda completa (figura) produz um

sinal dc a partir de um sinal senoidal. O sinal x(t) retificado (gráfico) é então aplicado à entrada de um filtro RC passa-baixa para supressão da componente ac resultando em um sinal dc com uma ondulação residual. Encontre: a saída do filtro, a saída e o valor rms da ondulação de tensão.

Retificadorde ondacompleta

Filtro RC


Respostas de Sistemas LTIC a Entradas Periódicas (iii)– Exemplo (continuação):

∑

∫∑∞

−∞=

−∞

−∞=

−=

−===

==

n

ntj

ntjn

n

ntjn

en

tx

ndtteDeDtx

Ttx

22

20

22

00

)41(2

)( que se- temLogo

)41(2

sen1

para ,)( Assim,

:2 e período com )( retificado sinal o paraFourier de Série

π

ππ

ωππ


Respostas de Sistemas LTIC a Entradas Periódicas (iv)– Exemplo (continuação):

ondulação. pela isresponsáve termosos são

Fourier de série na termosdos restante o constante, termoo é 2

termoO

:acima equação na )2( e de valoresos se-doSubstituin

)2()()( que se-Lembre

131)( logo ,

131)( é ncia transferêde função sua

)()()13( :RC filtro do Descrição

20

0

π

ω

ωω

ω

njHD

enjHDejnHDty

jjH

ssH

txtyD

n

n

ntjn

n

tjnn ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

==

+=

+=

=+


Respostas de Sistemas LTIC a Entradas Periódicas (v)– Exemplo (continuação): Sinal constante mais ondulação.


Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB

– Todos

• Problemas– 6.1-1 até 6.1-7.

– 6.3-1 até 6.3-7.

– 6.4-1 até 6.4-3.

Análise de Sistemas Contínuos por Série de...

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