Análise de vibrações induzidas por vórtices usando...
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ANÁLISE DE VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR VÓRTICES USANDO
OSCILADORES NÃO-LINEARES
Caio Bromonschenkel Paes
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Rio de Janeiro
Dezembro de 2018
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR VÓRTICES USANDO
OSCILADORES NÃO-LINEARES
Caio Bromonschenkel Paes
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECÂNICO.
Examinado por:
Prof. Marcelo Amorim Savi, D.Sc.
Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.
Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL
DEZEMBRO DE 2018
Bromonschenkel Paes, Caio
Análise de vibrações induzidas por vórtices usando
osciladores não-lineares/Caio Bromonschenkel Paes. Rio
de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2018.
XII, 50 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Projeto de Graduação UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Mecânica, 2018.
Referências Bibliográcas: p. 36 38.
1. Vibração induzida por vórtices. 2. VIV. 3.
Oscilador de van der Pol. I. Amorim Savi, Marcelo. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica,
Curso de Engenharia Mecânica. III. Título.
iii
A Mônica, Jorge e Louise.
iv
Agradecimentos
Gostaria de começar agradecendo aos meus pais, Mônica e Jorge. Não chegaria onde
cheguei, muito menos seria quem sou, se não fosse pelo carinho e pela dedicação que
sempre tive de vocês na minha criação.
A Louise, agradeço por ser minha companheira tanto nas horas de alegria quanto
na hora do desespero. Sem você ao meu lado, não sei o que seria de mim nessa
jornada.
Aos membros do grande DT, obrigado por proporcionarem momentos tão incrí-
veis. A universidade não seria a mesma sem vocês, por bem ou por mal.
Ao meu orientador, Marcelo Savi, agradeço pelos ensinamentos, conselhos e,
principalmente, pelo esforço realizado para me guiar ao longo deste trabalho.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR VÓRTICES USANDO
OSCILADORES NÃO-LINEARES
Caio Bromonschenkel Paes
Dezembro/2018
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Curso: Engenharia Mecânica
Este trabalho apresenta a análise de um modelo para vibrações induzidas por
vórtices que faz uso de osciladores não-lineares para representar a dinâmica na esteira
de vórtices. Foram realizadas simulações numéricas para observar a inuência dos
parâmetros mais importantes do modelo e seus aspectos comportamentais. Com
a nalidade de examinar suas vantagens e limitações, uma calibração foi realizada
através da comparação dos resultados numéricos com dados experimentais. Com
o ajuste empregado, o modelo se mostrou capaz prever a região de saída do lock-
in, mas não foi capaz de prever as amplitudes máximas para diferentes velocidades
reduzidas. Além disso, foi observado que, de acordo com o modelo, a entrada no lock-
in ocorre sempre para a mesma velocidade reduzida nos diferentes casos analisados,
superestimando as amplitudes de vibração para menores velocidades reduzidas.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulllment
of the requirements for the degree of Engineer.
VORTEX-INDUCED VIBRATIONS ANALYSIS USING NONLINEAR
OSCILLATORS
Caio Bromonschenkel Paes
December/2018
Advisor: Marcelo Amorim Savi
Course: Mechanical Engineering
In this work, we present the analysis of a vortex-induced vibrations model which
employs nonlinear oscillators to describe the wake dynamics. Numerical simulations
were performed in order to understand how it's response is aected by the wake
oscilattor parameters. The model was calibrated and it's advantages and limitations
were analysed. It was observed that the proposed model is capable of predicting
the reduced velocity values for which the lock-in ends. However, it fails to predict
the lock-in entry region, which occured for the same reduced velocity in all analysed
situations. Moreover, it overestimates the transverse amplitude values, especially
for low reduced velocity values.
vii
Sumário
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xii
1 Introdução 1
1.1 Organização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Vibrações induzidas por vórtices 4
2.1 Escoamento de uidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Separação do escoamento e formação de vórtices . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Análise dimensional, semelhança e sua aplicação a VIV . . . . . . . . 7
2.4 Interação uido-estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1 Escoamento ao redor de um cilindro . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Vibrações induzidas por vórtices (VIV) . . . . . . . . . . . . . 13
3 Modelagem de VIV através de osciladores não-lineares 16
3.1 Oscilador de van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Modelo 2D para VIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Procedimento numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Simulações numéricas 23
4.1 Dados experimentais para comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Inuência dos parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Calibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Ajuste e vericação dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Conclusão 35
Referências Bibliográcas 36
A Códigos utilizados 39
A.1 Curva de Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.2 Estados de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
viii
A.3 Sistema de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.4 Grácos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.5 Ajuste dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.6 Leitura dos dados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ix
Lista de Figuras
2.1 Demonstração visual de camada limite, adaptado de [17]. . . . . . . . 5
2.2 Ilustração da separação de um escoamento, adaptado de [5]. . . . . . 6
2.3 Ilustração da região de esteira para um cilindro, adaptada de [6]. . . . 7
2.4 Número de Strouhal em função do número de Reynolds para o esco-
amento ao redor de um cilindro circular, adaptado de [3]. . . . . . . . 9
2.5 Distribuição do campo de pressões ao redor do cilindro durante a
formação da esteira de vórtices, adaptado de [3]. . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Coeciente de arrasto no escoamento ao redor de um cilindro circular
em função do número de Reynolds, adaptado de [1]. . . . . . . . . . . 11
2.7 Tipos de escoamento ao redor de cilindro circular para diferentes fai-
xas de número de Reynolds, adaptado de [1]. . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Padrão de emissão da esteira de vórtices para diferentes valores de
velocidades e amplitudes, adaptado de [20]. . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9 Ciclo completo de emissão de vórtices e a variação da força resultante
atuando no cilindro circular [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10 Fenômeno de lock-in, adaptado de [19]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11 Relação dos modos de emissão de vórtices e a amplitude de oscilação
[19]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 Resposta do oscilador de van der Pol para diferentes condições iniciais. 17
3.2 Ilustração do problema analisado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Forças atuantes em um cilindro oscilando com velocidade V imerso
em um escoamento com velocidade U [11]. . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Inuência de CD0 na resposta do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Inuência de εy na resposta do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Resposta do modelo para m∗ = 2, 36 comparada com os dados de [14]. 27
4.4 Resposta do modelo para m∗ = 3, 68 comparada com os dados de [14]. 27
4.5 Resposta do modelo para m∗ = 6, 54 comparada com os dados de [14]. 28
4.6 Resposta do modelo para m∗ = 7, 91 comparada com os dados de [14]. 28
4.7 Resposta do modelo para m∗ = 10, 63 comparada com os dados de [14]. 29
x
4.8 Resposta do modelo para m∗ = 12, 96 comparada com os dados de [14]. 29
4.9 Comparação de estados de fase para o modelo com m∗ = 2, 36 entre
Ured = 4 e Ured = 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.10 Comparação de estados de fase para o modelo com Ured = 7 entre
m∗ = 2, 36 e m∗ = 10, 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.11 Ajuste para os valores de εy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.12 Ajuste para os valores de Ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.13 Resposta do modelo para m∗ = 5, 19 comparada com os dados de [14]. 34
4.14 Resposta do modelo para m∗ = 8, 76 comparada com os dados de [14]. 34
xi
Lista de Tabelas
4.1 Frequências naturais na água, adaptado de [14]. . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Valores de alguns parâmetros do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Parâmetros empregados para cada valor de m∗. . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Parâmetros obtidos através do ajuste empregado. . . . . . . . . . . . 33
xii
Capítulo 1
Introdução
O estudo do fenômeno de vibração induzida por vórtices (VIV) é de extrema impor-
tância em diversas áreas da engenharia. O seu impacto pode ser notado principal-
mente nas indústrias de petróleo e gás, aeronáutica e de estruturas civis.
O petróleo é uma das mais importantes fontes de energia do mundo no cenário
atual. No Brasil, a sua produção está concentrada quase que totalmente nos campos
de petróleo oshore. Cerca de 90% das reservas estão em campos oshore, das quais
a maioria está situada em águas profundas ou ultraprofundas. Nesse sentido, os
dutos submarinos responsáveis pelo transporte de óleo e gás estão constantemente
imersos em escoamentos e são submetidos a vibrações induzidas por vórtices. Além
disso, à medida que maiores profundidades são alcançadas, mais crítico é o estudo
do comportamento da estrutura diante esta situação.
Assim como os dutos submarinos de campos oshore, aeronaves estão sempre
sujeitas à interação do ar com a sua estrutura. Isso é observado principalmente
nas asas, que têm sua integridade afetada pelo mesmo fenômeno. Esse movimento
oscilatório tende a reduzir a vida útil das asas, além de poder causar uma falha
catastróca. Sendo a aviação cada vez mais popularizada e consolidada como o
principal transporte para longas distâncias, é essencial que um destaque seja dado
ao estudo de VIV para permitir performances de voo mais seguras.
Estruturas civis, como pontes e edifícios, estão submetidas ao mesmo problema.
Um dos casos mais famosos de falha estrutural foi ocasionado pela interação uido-
estrutura. Em julho de 1940 foi inaugurada a Tacoma Narrows Bridge, uma ponte
pênsil, em Washington, Estados Unidos. Mesmo durante a sua construção, já havia
sido observado como ela apresentava grandes amplitudes de movimentos por conta
do vento, até que, em novembro do mesmo ano, ocorre o seu colapso.
Nesse contexto, o desao de desenvolver soluções tecnológicas cada vez mais
seguras e ecientes faz com que o estudo dessa interação uido-estrutura seja uma
parte relevante do projeto.
Muitos modelos fenomenológicos para VIV foram desenvolvidos na década de
1
1970 fazendo uso de osciladores não-lineares e focando na análise das vibrações
transversais ao escoamento. A dinâmica da esteira de vórtices formada, que é res-
ponsável pela excitação da estrutura, é descrita por uma variável que modela a
natureza oscilatória do problema. Normalmente, essa variável é dita satisfazer um
oscilador de van der Pol ou de Rayleigh, que modelam oscilações auto-sustentáveis,
estáveis e quase harmônicas com amplitude nita.
Com o aumento do poder computacional, o estudo do problema através do uso
de simulações diretas da equação de Navier-Stokes se tornou uma realidade, possibi-
litando a realização de análises mais detalhadas. Ainda assim, a natureza complexa
desse fenômeno exige um poder computacional ainda muito grande para que seja
possível observar algumas de suas nuances.
O uso de modelos fenomenológicos baseados na representação por osciladores
não-lineares ganha importância ao permitirem considerações analíticas, que procu-
ram esclarecer a física que governa problemas desse tipo [7].
Até então, a maioria dos modelos têm focado no estudo das vibrações transver-
sais da estrutura imersa no escoamento. Apesar disso, pode ser visto através de
experimentos que as vibrações na direção paralela ao escoamento têm papel impor-
tante neste fenômeno. Nesse sentido, alguns modelos que descrevem a dinâmica da
esteira através de duas variáveis (um termo para a componente paralela e um termo
para a componente transversal das oscilações na esteira) que satisfazem a equação
de um oscilador não-linear foram desenvolvidos recentemente, como visto em [8] e
[13].
Apesar dos avanços descritos, todas as modelagens propostas levam em conside-
ração uma estrutura xa na sua dedução, sendo a força resultante uma função da
velocidade do escoamento. Diferente do caso em que se tem uma estrutura estacio-
nária, quando ela está elasticamente suportada, há um movimento relativo entre a
estrutura e o escoamento, o que deve ser levado em consideração ao calcular a força
resultante. Nesse contexto, POSTNIKOV et al. [11] propôs um modelo que leve
esse efeito em consideração. No entanto, ele tem uma dependência da escolha dos
valores dos seus parâmetros para poder se comportar corretamente.
O objetivo deste trabalho é analisar o modelo de VIV utilizando osciladores
não-lineares, conforme proposto por POSTNIKOV et al. [11]. Ele faz uso de duas
variáveis para representar a dinâmica da esteira, tanto na direção transversal ao
escoamento quanto na direção paralela, e leva em consideração o movimento relativo
da estrutura ao calcular a força resultante atuante sobre o corpo imerso. Mais
especicamente, é considerado que a estrutura corresponde a um cilindro circular.
A partir da comparação dos resultados desse modelo com dados experimentais,
pretende-se observar as limitações e as vantagens do seu emprego.
2
1.1 Organização
Este trabalho possui uma estrutura desenvolvida de maneira que o fenômeno de VIV
seja primeiramente introduzido, explorando a sua física. Portanto, a fundamentação
teórica do problema é apresentada no Capítulo 2.
No Capítulo 3, o leitor é apresentado ao oscilador de van der Pol, que corresponde
ao modelo utilizado para representação dos termos da dinâmica da esteira. Em
seguida, a modelagem proposta por POSTNIKOV et al. [11] é introduzida, e as
suas equações governantes são deduzidas.
O Capítulo 4 é dedicado à realização de um processo de calibração dos parâmetros
para avaliação do modelo. Sua resposta é comparada com o caso estudado por
STAPPENBELT et al. [14], para os quais há uma série de dados experimentais.
Através dessa comparação, são avaliados aspectos fenomenológicos da modelagem
proposta.
3
Capítulo 2
Vibrações induzidas por vórtices
Para a compreensão do fenômeno de VIV é preciso entender como essas oscilações são
iniciadas. Nesse sentido, são introduzidos alguns conceitos importantes da mecânica
dos uidos e da interação uido-estrutura.
2.1 Escoamento de uidos
Um escoamento tridimensional, compressível e viscoso de um uido newtoniano é
governado pela equação de Navier-Stokes e pela equação da continuidade. A primeira
é uma representação da 2a Lei de Newton para um elemento innitesimal do uido
e é descrita pelas equações 2.1, 2.2 e 2.3. Já a equação da continuidade descreve o
princípio da conservação de massa ao longo do escoamento, e é dada pela equação
2.4. Os termos u, v e w são as componentes nas direções x, y e z, respectivamente,
do vetor V = V (x, y, z, t), que dá a velocidade em cada ponto do escoamento para
cada instante de tempo. Os termos gx, gy e gz são as componentes do vetor da
aceleração gravitacional, g. O campo de pressão do escoamento é determinado pela
função escalar p = p (x, y, z, t). Os termos ρ e ν são a massa especíca e viscosidade
cinemática do uido em questão, respectivamente.
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y+ w
∂u
∂z= gx −
1
ρ
∂p
∂x+ ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
)(2.1)
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ w
∂v
∂z= gy −
1
ρ
∂p
∂y+ ν
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2+∂2v
∂z2
)(2.2)
∂w
∂t+ u
∂w
∂x+ v
∂w
∂y+ w
∂w
∂z= gz −
1
ρ
∂p
∂z+ ν
(∂2w
∂x2+∂2w
∂y2+∂2w
∂z2
)(2.3)
∂ρu
∂x+∂ρv
∂y+∂ρw
∂z+∂ρ
∂t= 0 (2.4)
Ludwig Prandtl deniu a ideia de camada limite como sendo uma região adja-
4
cente a um sólido imerso no escoamento onde os efeitos viscosos são predominantes.
Portanto, pode-se denir duas regiões: a região interna da camada limite e a região
externa da camada limite, onde o efeito da viscosidade é desprezível e o uido pode
ser tratado como não viscoso.
Pelo efeito de aderência, um fenômeno relacionado à viscosidade, é formada uma
região estreita onde as forças de atrito se fazem importantes. A ação dessas forças
retarda o uido de sua velocidade fora da camada limite para o repouso na parede,
tal como ilustrado na gura 2.1.
No entanto, surge a diculdade associada à determinação adequada do limite
entre essas duas regiões. A denição mais direta é a espessura de perturbação, δ,
denida como a distância da superfície na qual a velocidade situa-se dentro de 1%
da velocidade da corrente livre, isto é, u (δ) ≈ 0, 99U∞, onde u e U correspondem
às velocidades local e de corrente livre do escoamento na direção paralela à parede.
PRANDTL [15] propôs a teoria matemática de camada limite, simplicando as
equações de movimento. Partindo da hipótese de que a espessura da camada limite
é muito menor do que a dimensão característica do corpo em consideração, δ L,
os termos das equações são comparados quanto à ordem de grandeza. Os termos que
possuem ordem de grandeza sucientemente inferior aos demais são desprezados, de
forma que as equações para o escoamento na camada limite são dadas por 2.5, 2.6
e 2.7 para o caso bidimensional, compressível com uido newtoniano.
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 (2.5)
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν
∂2u
∂y2(2.6)
p = p (x, t) (2.7)
Figura 2.1: Demonstração visual de camada limite, adaptado de [17].
5
2.2 Separação do escoamento e formação de vórtices
O movimento do uido numa região próxima à parede é determinado por 3 efeitos
do escoamento: i) ele é retardado pelo atrito na parede; ii) ele é empurrado para
frente pelo escoamento externo pela ação da viscosidade; iii) ele é retardado pelo
gradiente adverso de pressão.
Devido à aderência à parede pelo efeito da viscosidade, a velocidade das partí-
culas de uido próximas à parede varia desde um valor muito pequeno até o valor
predominante no escoamento externo. Portanto, na região adjacente ao sólido, as
partículas possuem energia e quantidade de movimento que podem não ser sucien-
tes para fazê-las resistirem por muito tempo contra um gradiente de pressão adverso.
Isso faz com que, após algum tempo, as partículas sejam levadas ao repouso e a um
escoamento reverso, na direção do gradiente de pressão. Este escoamento reverso
está associado a um considerável aumento da espessura da camada limite e à penetra-
ção de elementos de uido da camada limite no escoamento principal. Tal fenômeno
pode ser visto na gura 2.2 a partir do perl de velocidades do escoamento após o
ponto de separação. A natureza rotacional do escoamento nessa região dá origem
a movimentos circulares, formando núcleos de vorticidade, que é uma medida da
rotação de um elemento de uido conforme ele se move no campo de escoamento.
Esses núcleos de vorticidade são chamados de vórtices e são caracterizados por um
movimento de revolução do uido.
Figura 2.2: Ilustração da separação de um escoamento, adaptado de [5].
BLEVINS [3] descreve a formação dos vórtices a partir do exemplo de um es-
coamento ao redor de um cilindro. As partículas de uido, ao se aproximarem do
bordo de ataque do cilindro, sofrem um aumento de pressão de seu valor para o
escoamento em corrente livre até a pressão de estagnação. A alta pressão no bordo
de ataque impulsiona o uido ao redor do cilindro, e são desenvolvidas camadas
limites em ambos os lados. Sob certas condições, a alta pressão não é capaz de
manter o escoamento aderido à parede da parte de trás do cilindro, ocorrendo a
separação da camada limite em ambos os lados. Como consequência da separação,
são formadas duas camadas cisalhantes, que delimitam uma região de esteira, como
6
pode ser observado na gura 2.3. Então, a jusante do cilindro são formadas trilhas
de vórtices.
Figura 2.3: Ilustração da região de esteira para um cilindro, adaptada de [6].
BEARMAN [2] dene um corpo rombudo ("blu body") como aquele que,
quando imerso em um escoamento, o induz a se separar de uma porção conside-
rável de sua superfície. Em contrapartida, um corpo esbelto seria um corpo alado
no qual as linhas de corrente permanecem aderidas à superfície por todo, ou prati-
camente todo, o corpo.
2.3 Análise dimensional, semelhança e sua aplica-
ção a VIV
A maioria dos fenômenos em mecânica dos uidos apresenta dependência complexa
de parâmetros geométricos e do escoamento. Para contornar esse problema, uma
abordagem muito empregada é a análise dimensional. Ela consiste em agrupar as
principais grandezas físicas de um escoamento em grupos adimensionais utilizando-
se o Teorema Pi de Buckingham ou adimensionalizando-se o problema de valor
de contorno. Dessa forma, o problema passa a ser tratado com base nos grupos
adimensionais que o descreve estudando-se escoamentos semelhantes.
Escoamentos são semelhantes quando possuem semelhança geométrica, seme-
lhança cinemática e semelhança dinâmica. A semelhança geométrica requer que os
escoamentos possuam mesma forma, e que suas dimensões estejam relacionadas por
um fator de escala constante. A semelhança cinemática requer que os campos de
velocidade de ambos os escoamentos estejam relacionados por um fator de escala
constante. Por último, a semelhança dinâmica requer que os grupos adimensionais
do problema tenham os mesmos valores.
Utilizando a análise dimensional, é possível determinar os grupos adimensionais
que governam um problema de vibrações induzidas por vórtices.
7
A geometria da estrutura é caracterizada pelo índice de esbeltez, e é considerada
por BLEVINS [3] como o parâmetro mais importante na determinação das forças
do uido atuando na estrutura. Esse índice é dado pela razão entre a envergadura
do corpo, L, e o seu comprimento característico, D.
índice de esbeltez =L
D(2.8)
As características do movimento oscilatório da estrutura são descritos por dois
grupos adimensionais: a velocidade reduzida, Ured, que relaciona a velocidade do es-
coamento, U , com a frequência natural da estrutura, fn, e a amplitude adimensional,
y.
Ured =U
fnD(2.9)
y =y
D(2.10)
A razão entre as massas da estrutura e do uido dá origem à razão de massa.
Aqui, a massa da estrutura inclui a massa adicionada de uido devido ao movimento
da estrutura. Esse parâmetro fornece uma medida da relação entre os efeitos de
empuxo e da inércia do modelo comparados ao uido. Como, por simplicidade,
costuma-se tratar de problemas bidimensionais, os termos de massa são geralmente
por unidade de envergadura.
µ =m
ρD2(2.11)
Um grupo adimensional de extrema importância, não só no caso de vibrações
induzidas por vórtices, é o Número de Reynolds, Re. Ele representa a razão entre
as naturezas inercial e viscosa do escoamento, sendo essencial para a caracterização
do regime do escoamento. Além disso, a separação do escoamento em um corpo
rombudo é uma função de Re.
Re =UD
ν(2.12)
Por último, o grupo adimensional que descreve o comportamento dos vórtices
desprendidos é o Número de Strouhal, St. Ele relaciona a frequência de emissão
de vórtices,fs, à velocidade de corrente livre e à geometria da estrutura. A gura
2.4 mostra a relação entre o número de Strouhal e o número de Reynolds para o
escoamento ao redor de um cilindro circular xo. Nela, a curva superior indica
a relação para um cilindro com superfície lisa, enquanto a superfície inferior se
refere a uma superfície rugosa. A grande diferença entre os dois comportamentos
8
na faixa de 2 × 105 < Re < 2 × 106 é devida aos efeitos de transição de regime do
escoamento. É possível ver que, para Re < 1 × 105, St permanece praticamente
constante (St ≈ 0, 2).
St =fsD
U(2.13)
Figura 2.4: Número de Strouhal em função do número de Reynolds para o escoa-mento ao redor de um cilindro circular, adaptado de [3].
2.4 Interação uido-estrutura
Conforme um uido escoa ao redor de um corpo, observa-se o surgimento de uma
força resultante atuando sobre este. Esta força ocorre sempre devido às distribuições
de pressão e de tensão cisalhante que o uido impõe ao longo da superfície do corpo,
independendo da complexidade de sua geometria. Então, o uido interage com a
estrutura através desta força, exigindo que tais distribuições sejam conhecidas para
que seja possível determinar o forçamento sobre o corpo. Este, por sua vez, quando
submetido ao forçamento, pode sofrer deformações ou apresentar deslocamentos,
alterando as características do escoamento ao seu redor.
Normalmente, costuma-se separar essa força resultante em duas componentes:
a força de arrasto (FD), que é a componente paralela à direção do escoamento, e
a força de sustentação (FL), que atua na direção transversal ao escoamento. Essa
decomposição da força resultante, bem como a sua relação com as distribuições de
pressão e tensão cisalhante, está exemplicada na gura 2.5.
Seguindo a proposta de adimensionalização, são utilizados coecientes represen-
tativos para a análise dessas componentes da força resultante. São eles o coeciente
de arrasto (CD) e o coeciente de sustentação (CL), denidos a partir das equações
9
2.14 e 2.15, respectivamente, onde o termo 12ρU2 é chamado de pressão dinâmica e
S é uma área de referência.
CD =FD
12ρU2S
(2.14)
CL =FL
12ρU2S
(2.15)
Figura 2.5: Distribuição do campo de pressões ao redor do cilindro durante a for-mação da esteira de vórtices, adaptado de [3].
2.4.1 Escoamento ao redor de um cilindro
Em um escoamento incompressível ao redor de um cilindro circular xo, o coeciente
de arrasto é uma função apenas do número de Reynolds, isto é, CD = f (Re). Neste
caso, as propriedades do uido para o cálculo de Re são tomadas no escoamento de
corrente livre, e o comprimento característico é o diâmetro do cilindro. A gura 2.6
ilustra como se dá essa relação.
10
Figura 2.6: Coeciente de arrasto no escoamento ao redor de um cilindro circularem função do número de Reynolds, adaptado de [1].
Para valores de Re muito baixos, observa-se que CD alcança valores muito ele-
vados, que decrescem até Re ≈ 3 × 105. A partir deste ponto, o valor de Re cai
bruscamente, para então voltar a crescer em um ritmo parecido ate que é alcançado
Re ≈ 107. Esse comportamento é chamado de crise do arrasto.
Essas variações no valor de CD estão associadas a mudanças em aspectos do
campo do escoamento, que podem ser examinadas na gura 2.7.
Para Re pequenos (0 < Re < 4), não ocorre a separação do escoamento (gura
2.7a). Nesse regime, a velocidade é tão baixa que os efeitos de inércia são pequenos,
havendo um equilíbrio entre estes e os efeitos viscosos.
Quando 4 < Re < 40, começa a haver a separação do escoamento na parte
traseira do cilindro (gura 2.7b). Com isso, são formados dois vórtices estáveis.
Ao se aumentar Re além de 40, o escoamento atrás do cilindro se torna instável,
e os vórtices, que antes tinham uma posição xa, são vertidos regularmente (gura
2.7c). A emissão destes vórtices se dá alternadamente, em um modo chamado de 2S,
e à esteira formada pela emissão dos vórtices, damos o nome de esteira de Karman.
Seguindo para maiores valores de Re, a esteira se torna turbulenta, e a emissão
de vórtices assume outros padrões (gura 2.7d). Além disso, a separação da camada
limite, que ainda é laminar, se dá na parte dianteira do cilindro.
Para 3 × 105 < Re < 3 × 106, apesar de ocorrer a separação da camada limite
na parte dianteira do cilindro, o escoamento é capaz de se reconectar à superfície
devido à transição para o regime turbulento (gura 2.7e). Em seguida, na parte
11
traseira do cilindro, o escoamento se separa novamente, dando origem à esteira. No
entanto, esta passa a ocupar uma região menor do escoamento, e isso ocasiona a
crise do arrasto observada na gura 2.6.
Aumentando mais ainda o valor de Re, a transição do regime da camada limite
se dá já na parte dianteira do cilindro, e se separa apenas na sua região traseira.
Apesar disso, o aumento em Re desloca os pontos de separação cada vez mais para
as extremidades superior e inferior do cilindro. Esse efeito tende a aumentar a região
de esteira, que, por sua vez, faz com que CD passe a aumentar.
Figura 2.7: Tipos de escoamento ao redor de cilindro circular para diferentes faixasde número de Reynolds, adaptado de [1].
Observa-se que muito é conhecido sobre o comportamento do escoamento ao
redor do cilindro xo. No entanto, caso ele se encontre livre para se mover, seus
deslocamentos passam a inuenciar nas características da região de esteira. Isto faz
12
com que a análise do problema se torne mais complexa.
O padrão 2S de emissão de vórtices característico do escoamento ao redor de
um cilindro xo é alterado quando este encontra-se livre para oscilar. Um estudo
realizado por WILLIAMSON e ROSHKO [20] permitiu a observação da relação dos
diferentes padrões de emissão de vórtices com velocidade reduzida e a amplitude
reduzida do movimento. Em resumo, os resultados podem ser observados na gura
2.8. Além disso, outros efeitos do movimento do cilindro imerso no escoamento são o
aumento da intensidade dos vórtices, o aumento da força de arrasto e a sincronização
da frequência de emissão de vórtices com a frequência de oscilação do cilindro.
Figura 2.8: Padrão de emissão da esteira de vórtices para diferentes valores develocidades e amplitudes, adaptado de [20].
2.4.2 Vibrações induzidas por vórtices (VIV)
Um dos mecanismos responsáveis pela origem da força resultante que atua sobre
o cilindro é a distribuição de pressão ao longo da dua superfície. Com isso, caso
esta mude devido a alguma modicação no campo do escoamento, a força resultante
também muda. Considerando um caso no qual essa modicação no campo se dê
ciclicamente, o cilindro se encontra sob a ação de um forçamento cíclico e oscila,
caso esteja livre para se movimentar.
13
A emissão de um vórtice é acompanhada da formação de um região de baixa
pressão, gerando assim, uma assimetria na distribuição de pressões. Da análise do
comportamento de escoamentos ao redor de um cilindro, vê-se que a emissão de
vórtices se dá de maneira periódica.
Outro fato que deve ser ressaltado é a diferença entre os ciclos para as forças de
sustentação e de arrasto. Enquanto para cada ciclo de emissão de vórtices a força
de sustentação varia entre o seu máximo e o seu mínimo uma única vez, a força
de arrasto completa um ciclo para cada vórtice emitido. Este comportamento está
ilustrado na gura 2.9.
Figura 2.9: Ciclo completo de emissão de vórtices e a variação da força resultanteatuando no cilindro circular [11].
Para um cilindro elasticamente montado e livre para mover-se em um escoamento
uniforme, à medida que a frequência de desprendimento de vórtices se aproxima da
sua frequência natural, ocorre o fenômeno de ressonância. No entanto, é sabido que a
interação do escoamento ao redor do cilindro com o próprio movimento da estrutura
acarreta em alterações no padrão de emissão de vórtices que, por sua vez, modica
o carregamento uidodinâmico. O que se observa é que, de certa forma, a emissão
de vórtices é capturada pela frequência de oscilação do cilindro, retroalimentando o
sistema e fazendo com que o cilindro ainda responda com grandes amplitudes para
uma faixa de valores de velocidade reduzida. Esse fenômeno é chamado de lock-in
ou sincronização.
14
Figura 2.10: Fenômeno de lock-in, adaptado de [19].
Na gura 2.11 é possível ver a inuência da variação do modo de emissão de
vórtices na amplitude do movimento de oscilação. Os valores indicados por fNmediume
fNvacuum correspondem á frequência natural da estrutura no meio em que se encontra
imersa e no vácuo, respectivamente.
Figura 2.11: Relação dos modos de emissão de vórtices e a amplitude de oscilação[19].
15
Capítulo 3
Modelagem de VIV através de
osciladores não-lineares
A natureza auto-excitatória do fenômeno de vibrações induzidas por vórtices fez com
que surgisse a ideia de uma modelagem através de osciladores não-lineares. Essa
abordagem prevê a interação uido-estrutura, sendo capaz de fornecer resultados
interessantes, reproduzindo dados experimentais.
3.1 Oscilador de van der Pol
O oscilador de van der Pol é um oscilador não-conservativo com dissipação não-
linear, descrito pela equação 3.1. Esse oscilador tem como característica essencial
a existência de um ciclo limite e, com isso, observa-se que o sistema dissipa energia
nas regiões externas ao ciclo limite, enquanto absorve energia dentro do ciclo limite.
y − µ(1− y2
)y + y = 0 (3.1)
A inuência das condições iniciais na resposta do oscilador de van der Pol pode
ser vista na gura 3.1. Nos três casos foram utilizados µ = 0, 2 e y′ (0) = 0, mas y (0)
foi escolhido para variar entre 0, 01, 1, 0 e 5, 0. Para y (0) = 0, 01, µ (1− y2) > 0 no
instante inicial. Então, o sistema absorve energia e é levado a oscilar com amplitudes
cada vez maiores até que é alcançado o ciclo limite, como visto na gura 3.1a.
Quando y (0) = 1, 0, µ (1− y2) = 0 no instante inicial, mas logo em seguida y
alcança um valor inferior a 1,0. Com isso, o sistema começa a oscilar em direção
ao ciclo limite, assim como no caso para y (0) = 0, 01, porém agora isso ocorre mais
rapidamente. Por último, fazendo com que y (0) = 5, 0, observa-se que o oposto
ocorre. Nesse caso µ (1− y2) < 0 e o sistema dissipa energia, tendo a amplitude
de suas vibrações reduzidas até que é alcançado o ciclo limite. A diferença dos
comportamentos pode ser vista tanto através da resposta temporal quanto pelo
16
plano de estados. É possível observar a trajetória do sistema até alcançar o ciclo
limite no plano de estados nas guras 3.1b, 3.1d e 3.1f.
(a) Resposta no tempo para y (0) = 0, 01. (b) Plano de estados para y (0) = 0, 01.
(c) Resposta no tempo para y (0) = 1, 0. (d) Plano de estados para y (0) = 1, 0.
(e) Resposta no tempo para y (0) = 5, 0. (f) Plano de estados para y (0) = 5, 0.
Figura 3.1: Resposta do oscilador de van der Pol para diferentes condições iniciais.
3.2 Modelo 2D para VIV
O modelo a ser estudado neste trabalho é aquele proposto por POSTNIKOV et al.
[11]. Ele descreve o movimento bidimensional de um cilindro circular elasticamente
suportado imerso em um escoamento, tal como na gura 3.2. Nesse sentido, as
equações de movimento no plano xy são dadas pelas equações 3.2 e 3.3. Nessas
17
equações, rs é o amortecimento estrutural, k é a rigidez do suporte, Fx e Fy são as
componentes da força resultante devido ao escoamento nas direções x e y, respecti-
vamente, e m∗ é a massa total por unidade de envergadura. Essa massa total leva
em consideração a massa de uido deslocada por conta do movimento, e é dada por
m∗ = ms + 14πCMρfD
2, onde ms é a massa da estrutura por unidade de enverga-
dura, CM é um fator de forma, ρf é a massa especíca do uido e D é o diâmetro
do cilindro.
Figura 3.2: Ilustração do problema analisado.
m∗x + rsx + kx = Fx (3.2)
m∗y + rsy + ky = Fy (3.3)
As componentes da força resultante atuando na estrutura são descritas em termos
das forças de arrasto e sustentação de acordo com as equações 3.4 e 3.5. Ainda,
é possível escrever as forças de sustentação e arrasto em termos dos coecientes
adimensionais fazendo uso da sua denição, como em 3.6 e 3.7. Nessas equações, o
termo UR é a velocidade relativa dada por UR = U − V, sendo U a velocidade
de corrente livre do escoamento e V a velocidade do cilindro. Além disso, R é um
tensor de rotação usado para dar a direção da força de sustentação, rotacionada de
90 no sentido anti horário em torno do eixo Z em relação a UR. A gura 3.3 ilustra
as forças atuantes no cilindro e suas respectivas direções. Na notação utilizada i, j
e k denotam os vetores unitários nas direções x,y e z, respectivamente. Além disso,
() · () é produto escalar e ()⊗ () é o produto tensorial.
18
Figura 3.3: Forças atuantes em um cilindro oscilando com velocidade V imerso emum escoamento com velocidade U [11].
Fx = (FL + FD) · i (3.4)
Fy = (FL + FD) · j (3.5)
FD =1
2ρfCDD|UR|2
UR
|UR|(3.6)
FL =1
2ρfCLD|UR|2R ·
UR
|UR|(3.7)
R(π
2,k)
= j⊗ i− i⊗ j + k⊗ k (3.8)
Expandindo os termos da forças nas equações de movimento no plano XY, são
obtidas as equações 3.9 e 3.10, onde |UR| =√
(U − x)2 + y2. É importante res-
saltar que, nessas equações, os coecientes adimensionais utilizados correspondem
aos valores totais. No sentido de caracterizar o teor oscilatório do forçamento, é
útil separar os coecientes totais em um termo médio, denido pelo subscrito 0,
correspondente ao caso do cilindro estacionário, e um termo de utuação, denido
pelo sobrescrito fl, como pode ser visto nas equações 3.11 e 3.12. Outro coeciente
importante é o de utuação do arrasto quando o cilindro está livre para oscilar, CflD ,
que difere de CflD0.
19
m∗x + rsx + kx =1
2ρfCLD|UR|y +
1
2ρfCDD|UR| (U − x) (3.9)
m∗y + rsy + ky =1
2ρfCLD|UR| (U − x)− 1
2ρfCDD|UR|y (3.10)
CD = CD0 + CflD (3.11)
CL = CL0 + CflL (3.12)
Os coecientes de arrasto e de sustentação podem ser modelados fazendo o uso
do oscilador de van der Pol através das variáveis q = 2CL/CL0 e w = 2CflD /C
flD0
como
pode ser visto nas equações 3.13 e 3.14. Nessas equações, εx e εy são os parâmetros
de van der Pol, ΩF = 2πSt (U/D) é a frequência de emissão de vórtices e St é o
número de Strouhal. Os termos Sx e Sy são os termos de acoplamento. Aqui é
proposto um acoplamento através da aceleração, de forma que Sx = (Ax/D) x e
Sy = (Ay/D) y, uma vez que esse tem se mostrado mais preciso se comparado aos
resultados experimentais [7].
w + 2εxΩF
(w2 − 1
)w + 4Ω2
Fw = Sx (3.13)
q + εyΩF
(q2 − 1
)q + Ω2
F q = Sy (3.14)
Finalmente, fazendo a substituição das expressões 2.14 e 2.15 em 3.9 e 3.10
seguido da adimensionalização dos termos, são obtidas as equações do modelo. As
equações que governam o problema são dadas pelo sistema composto por 3.15, 3.16,
3.17 e 3.18. As duas primeiras dizem respeito ao movimento do cilindro no plano xy,
enquanto as duas últimas modelam a dinâmica da esteira de vórtices. O sobrescrito
()′ nessas equações denota a diferenciação com relação ao tempo adimensional τ .
Os parâmetros do sistema são denidos pelas expressões de 3.19 a 3.30. Dentre
eles, vale destacar que Ured é a velocidade reduzida, µ é a razão de massa na notação
de [7] e m∗ é a razão de massa na notação de [20].
As equações de movimento descritas, portanto, descrevem a vibração do cilindro
imerso em um escoamento. No entanto, os parâmetros dos osciladores, Ax, Ay, εx e
εy, precisam ser determinados através de uma calibração com dados experimentais.
20
x′′ + 2ζx′ + x =
8π2St2
√(Ured
2π− x′
)2
+ y′2(
1
2MLqy
′ +
(MD +
1
2M fl
Dw
)(Ured
2π− x′
)) (3.15)
y′′ + 2ζy′ + y =
8π2St2
√(Ured
2π− x′
)2
+ y′2(
1
2MLq
(Ured
2π− x′
)−(MD +
1
2M fl
Dw
)y′) (3.16)
w′′ + 2εxΩ(w2 − 1
)w′ + 4Ω2w = Axx
′′ (3.17)
q′′ + εyΩ(q2 − 1
)q′ + Ω2q = Ayy
′′ (3.18)
τ = ωnt (3.19)
x = x/D (3.20)
y = y/D (3.21)
ωn =√k/m∗ (3.22)
ζ = rs/ (2ωnm∗) (3.23)
Ω = ΩF/ωn (3.24)
Ured = 2πU/ (ωnD) (3.25)
µ =
(ms +
1
4πCMρfD
2
)/(ρfD
2)
(3.26)
ML = CL0/(16π2St2µ
)(3.27)
MD = CD0/(16π2St2µ
)(3.28)
M flD = Cfl
D /(16π2St2µ
)(3.29)
m∗ = 4µ/π − CM (3.30)
3.3 Procedimento numérico
O sistema de equações de governo propostas por este modelo descreve um problema
de valor inicial (PVI), como descrito na equação 3.31. Como as equações propostas
não possuem solução exata, empregam-se métodos de aproximação da solução origi-
21
nal para contornar esse problema. Tais métodos não produzem uma aproximação no
contínuo para a solução do problema de valor inicial, mas aproximações encontradas
em determinados pontos especícos espaçados entre si.
dydt
= f (t, y) , a ≤ t ≤ b, y (a) = α (3.31)
Neste trabalho é empregada a biblioteca SciPy, um pacote para análise numérica
em Python, para a implementação do método de solução do problema de valor inicial.
Como as equações do sistema são de segunda ordem, é preciso transformá-las em
equações de primeira ordem, que satisfazem o problema 3.31. Isso é feito através da
denição das novas variáveis do problema, como visto em 3.32 e 3.33. Então, agora
o problema se resume à equação 3.34.
u1 = x, u2 = x′, u3 = y, u4 = y′ (3.32)
u5 = w, u6 = w′, u7 = q, u8 = q′ (3.33)
dundt
= fn (t, u1, u2, · · · , u8) , a ≤ t ≤ b, un (a) = αn (3.34)
A função odeint do SciPy é utilizada para solucionar o problema. Fornecidas as
equações de governo na forma 3.34, com suas devidas condições iniciais, ela faz uso
do método implícito de Adams-Moulton de quatro passos para calcular os valores
aproximados das variáveis nos instantes seguintes.
Esse método consiste em discretizar o domínio do problema de forma que ti =
a + i∆t, onde ∆t = (b− a) /N e i = 3, 4, . . . , N − 1. Seja u a variável a ser
integrada, quando i = 0, u corresponde à condição inicial fornecida, isto é, u0 = α.
Para i = 1, 2 e 3, os termos u1, u2 e u3 são aproximados a partir de um método para
PVI mais simples. Nos demais instantes, a aproximação de u é dada pela solução da
equação 3.35, implícita em u. O erro de truncamento local associado a este método
é τi+1 (∆t) = −3160y(6)µi∆
5t , onde µi ∈ (ti−3, ti+1).
ui+1 = ui +∆t
720[251f (ti+1, ui+1) + 646f (ti, ui)
− 264f (ti−1, ui−1) + 106f (ti−2, ui−2)− 19f (ti−3, ui−3)](3.35)
22
Capítulo 4
Simulações numéricas
A correta determinação dos parâmetros é essencial para descrever o fenômeno. Isso é
uma tarefa importante e requer dados experimentais. Portanto, a etapa de calibração
do modelo é essencial para o uso de osciladores na descrição de VIV. Este capítulo
apresenta uma análise da inuência dos parâmetros dos osciladores na resposta do
sistema. Essa análise é usada como guia para um procedimento de calibração do
modelo. Finalmente, realizada a calibração, alguns aspectos comportamentais do
modelo podem ser observados e comparados com resultados experimentais.
4.1 Dados experimentais para comparação
Os dados para comparação correspondem ao trabalho experimental de STAPPEN-
BELT et al. [14]. O caso em análise é aquele em que um cilindro circular elasti-
camente suportado de diâmetro D = 0, 0554m se encontra imerso em um escoa-
mento. O cilindro tem liberdade para oscilar no plano paralelo ao escoamento. O
amortecimento estrutural medido é ζ = 0, 006. Os valores de m∗ medidos e seus
correspondentes valores de ωn na água são dispostos na tabela 4.1. Além disso, os
valores usados para outros parâmetros do modelo são mostrados na tabela 4.2. Os
resultados correspondem à curva de ressonância, gráco ymax/D por Ured, para cada
valor de m∗ indicado na tabela 4.1.
23
Tabela 4.1: Frequências naturais na água, adaptado de [14].
m∗ m∗ζ fn (Hz) ωn (rad/s)
2,36 0,014 1,711 10,75
3,68 0,022 1,502 9,44
5,19 0,031 1,359 8,54
6,54 0,039 1,261 7,92
7,91 0,047 1,153 7,25
8,76 0,053 1,151 7,23
10,63 0,064 1,084 6,81
12,96 0,078 1,025 6,44
Tabela 4.2: Valores de alguns parâmetros do modelo
CflD0
= 0, 2 εx = 0, 3
CL0 = 0, 3 Ax = 12
St = 0, 2 CM = 1, 0
4.2 Inuência dos parâmetros
Para possibilitar uma calibração do modelo, é necessário conhecer a inuência que
seus parâmetros têm sobre sua resposta.
POSTNIKOV et al. [11] observou que os parâmetros do oscilador para a dire-
ção paralela ao escoamento, εx e Ax, pouco inuenciam na resposta das vibrações
transversais. Além disso, alguns de seus resultados indicaram que o parâmetro Ay
é diretamente proporcional a m∗.
O estudo dos efeitos de εy e CD0 é feito através da análise da curva de ressonância
resultante. Para gerá-las, o sistema de equações é resolvido para diferentes valores de
Ured e o valor máximo de y′ é armazenado. Por m, a curva é produzida superpondo
todos os pares (Ured, y′max) calculados.
As guras 4.1 e 4.2 ilustram a inuência de CD0 e εy, respectivamente. Elas
foram geradas utilizando como base os dados para reproduzir o caso com m∗ = 2, 36
estudado por STAPPENBELT et al. [14]. Foram utilizados εx = 0, 3, Ax = 12 e
Ay = 5, valores sugeridos por POSTNIKOV et al. [11] para esse caso com base em
seus resultados.
Na gura 4.1, foi mantido εy = 0, 0008 enquanto foram usados diferentes valores
de CD0 . Observa-se que o aumento de CD0 leva o sistema a apresentar menores
amplitudes de vibração na região de lock-in. No entanto, esse parâmetro pouco
afeta a extensão desta região, tendo a sincronização e a dessincronização ocorrido
24
para aproximadamente os mesmos valores de Ured.
Figura 4.1: Inuência de CD0 na resposta do modelo.
Na gura 4.2, foi mantido CD0 = 2, 0 enquanto foram usados diferentes valores de
εy. Diferente de CD0 , a variação de εy modica a extensão da região de lock-in. Com
o aumento de εy, a região de lock-in tem sua extensão e as amplitudes de vibração
reduzidas, embora a sincronização comece sempre pelo mesmo valor de Ured.
Figura 4.2: Inuência de εy na resposta do modelo.
Em ambos os casos é feita uma comparação com os resultados experimentais para
a situação representada. Nota-se que o modelo parece adiantar a entrada do sistema
no lock-in, acabando por superestimar a amplitude de vibração para menores valores
de Ured.
25
4.3 Calibração
Analisada a inuência de εy e CD0 , uma calibração pode ser realizada para determi-
nar expressões para seus valores.
POSTNIKOV et al. [11] propôs que, para um caso geral, uma calibração simples
deveria estar associada ao uso de CD0 = 2, 0. Seguindo essa sugestão, os demais
parâmetros do modelo (εy e Ay) são modicados buscando a resposta mais próxima
dos dados experimentais de STAPPENBELT et al. [14] para os diferentes valores de
m∗. No entanto, os casos correspondentes a m∗ = 5, 19 e 8, 76 não são ajustados,
deixando-os como casos de validação da calibração.
É preciso levar em consideração que, como já observado anteriormente, o modelo
tende a apresentar algumas características que divergem do caso real. Uma delas
é a tendência de adiantar a região de lock-in, o que acarreta na previsão de altas
amplitudes para um maior intervalos de velocidades reduzidas. No entanto, ele
parece ser capaz de capturar a região de saída do lock-in com uma precisão razoável.
Nesse sentido, o critério adotado para a determinação do melhor ajuste possível é o
de tentar aproximar o perl da curva de ressonância na saída do lock-in sem exceder
demais a máxima amplitude observada experimentalmente.
Os melhores resultados obtidos para os casos de referência podem ser vistos
nas guras 4.3 a 4.8, e os valores de εy e Ay empregados se encontram na tabela
4.3. É possível ver que, através da abordagem proposta, o modelo diverge bastante
quanto à região de entrada do lock-in e também tende a superestimar os valores
máximos das amplitudes das vibrações. Fica claro que a entrada na região de lock-
in parece sempre ocorrer para os mesmos valores de Ured, independente do valor de
m∗ analisado.
Tabela 4.3: Parâmetros empregados para cada valor de m∗.
m∗ εy Ay
2,36 0,0007 5,5
3,68 0,003 15
6,54 0,019 25
7,91 0,03 30
10,63 0,09 30
12,96 0,14 30
26
Figura 4.3: Resposta do modelo para m∗ = 2, 36 comparada com os dados de [14].
Figura 4.4: Resposta do modelo para m∗ = 3, 68 comparada com os dados de [14].
27
Figura 4.5: Resposta do modelo para m∗ = 6, 54 comparada com os dados de [14].
Figura 4.6: Resposta do modelo para m∗ = 7, 91 comparada com os dados de [14].
28
Figura 4.7: Resposta do modelo para m∗ = 10, 63 comparada com os dados de [14].
Figura 4.8: Resposta do modelo para m∗ = 12, 96 comparada com os dados de [14].
Na gura 4.9 é feita uma comparação entre os estados de fase da simulação uti-
lizado o modelo com m∗ = 2, 36 para dois valores diferentes de velocidade reduzida.
As imagens da esquerda correspondem ao caso com Ured = 4, enquanto as da direita
ao caso com Ured = 7. Os estados de fase correspondem às trajetórias y′ × y,
w′ × w e q′ × q. Em todas as curvas é possível observar o ciclo limite do oscilador
de van der Pol. Como visto na gura 4.3, o sistema com Ured = 4 se encontra na
região de entrada no lock-in, enquanto Ured = 7 já o leva a uma região mais pró-
xima do pico da curva de ressonância. Então, este está relacionado a oscilações com
maiores amplitudes. Além disso, o valor da frequência de emissão de vórtices, ΩF ,
é diretamente proporcional a Ured. Dessa forma, o caso correspondente a Ured = 7
está sujeito a um forçamento com maior frequência de excitação, e também possui
29
um movimento com maior amplitude. Isso explica o perl mais achatado do seu
ciclo limite na curva y′ × y, uma vez que y′ precisa variar mais bruscamente para
proporcionar esses picos altos em alta frequência. O achatamento nas curvas de
w′ × w etão relacionadas a ressonância na direção x, que, como dito anteriormente,
não pode ser corretamente prevista pelo modelo em termos de amplitude.
(a) y′ × y para Ured = 4. (b) y′ × y para Ured = 7.
(c) w′ × w para Ured = 4. (d) w′ × w para Ured = 7.
(e) q′ × q para Ured = 4. (f) q′ × q para Ured = 7.
Figura 4.9: Comparação de estados de fase para o modelo com m∗ = 2, 36 entreUred = 4 e Ured = 7.
Para observar os efeitos da variação de m∗, é feita uma comparação entre os
casos com m∗ = 2, 36 e m∗ = 10, 63 na gura 4.10. Em ambos os casos, o valor da
velocidade reduzida é tal que o sistema se encontra oscilando próximo do pico da
30
sua curva de ressonância. No entanto, quanto menor for o valor de m∗, menores são
os valores de ymax/D que o sistema pode alcançar. O efeito de m∗ na frequência
de emissão de vórtices adimensionalizada, Ω = ΩF/ωn, por sua vez, é fraco, já que
mantido o mesmo valor de Ured, apenas ωn vai variar entre os valores descritos na
tabela 4.1. Por esse motivo, observam-se as discrepâncias entre os ciclos limites de
y′ × y.
(a) y′ × y para m∗ = 2, 36. (b) y′ × y para m∗ = 10, 63.
(c) w′ × w para m∗ = 2, 36. (d) w′ × w para m∗ = 10, 63.
(e) q′ × q para m∗ = 2, 36. (f) q′ × q para m∗ = 10, 63.
Figura 4.10: Comparação de estados de fase para o modelo com Ured = 7 entrem∗ = 2, 36 e m∗ = 10, 63.
31
4.4 Ajuste e vericação dos dados
A partir dos valores da tabela 4.3, procura-se uma correlação entre os dados.
Percebe-se que εy cresce conforme m? aumenta, e que o mesmo ocorre para Ay.
Ainda, parece que, conforme m? aumenta, Ay tende assintoticamente a um dado
valor (neste caso 30). Isso sugere que um ajuste através de uma exponencial pode
ser aplicado. As guras 4.11 e 4.12 mostram as curvas obtidas através do ajuste dos
dados. Para εy, nota-se que, para um gráco log-log, os valores se aproximam muito
de uma relação linear. Da mesma forma, os valores de Ay concordam bastante com
uma curva exponencial. As curvas ajustadas para εy e Ay são dadas pelas equações
4.1 e 4.2, respectivamente. Para obtê-las, é utilizada mais uma vez a biblioteca
SciPy. Dessa vez, a função utilizada é a função curve t, cujo funcionamento é
brevemente descrito no Apêndice.
log εy = 3, 1377 logm∗ − 9, 9227 (4.1)
Ay = 31, 2123 [1− 2, 0362 exp (−0, 3793 m∗)] (4.2)
Figura 4.11: Ajuste para os valores de εy.
32
Figura 4.12: Ajuste para os valores de Ay
Finalmente, usando as relações dadas por 4.1 e 4.2 para obter os valores de εy e
Ay, a resposta do modelo é comparada com os dados experimentais, e é vericado se o
ajuste produz resultados condizentes com o esperado. Os valores calculados através
das curvas ajustadas são exibidos na tabela 4.4, e as curvas de ressonância para
m∗ = 5, 19 e 8, 76 correspondem às guras 4.13 e 4.14, respectivamente. Observa-se
que, apesar de o modelo falhar em prever os valores corretos de ymax/D, a saída da
região de lock-in pôde ser bem reproduzida através da calibração. O ajuste também
conrma a sugestão de que Ay deve crescer com m∗. Isso ocorre até que Ay tende a
um dado valor.
Tabela 4.4: Parâmetros obtidos através do ajuste empregado.
m∗ εy Ay
5,19 0,0086 22,3375
8,76 0,04445 28,9212
33
Figura 4.13: Resposta do modelo para m∗ = 5, 19 comparada com os dados de [14].
Figura 4.14: Resposta do modelo para m∗ = 8, 76 comparada com os dados de [14].
34
Capítulo 5
Conclusão
Este trabalho teve como nalidade analisar a viabilidade do modelo proposto para
VIV com uso de osciladores não-lineares. Nesse sentido, foi realizada uma tenta-
tiva de calibração dos parâmetros do problema, visto que as variáveis do oscilador
carecem de uma relação direta com a teoria de mecânica dos uidos.
A calibração do modelo utilizado foi feita através da comparação da resposta nu-
mérica com dados experimentais de STAPPENBELT [14] para a curva de ressonân-
cia de um cilindro sujeito a VIVs livre para oscilar no plano paralelo ao escoamento.
O critério para a calibração, foi tentar reproduzir a região de saída do lock-in sem
exceder muito a máxima amplitude da curva de ressonância experimental, mantendo
um valor constante de para CD0
Foi vericado que o modelo proposto consegue reproduzir a saída do lock-in com
uma precisão razoável, mas falha em prever a sua entrada, que parece ocorrer sempre
para o mesmo valor de Ured. Além disso, ele acaba por superestimar as amplitudes
de vibração, principalmente para menores valores de Ured.
Para estudos futuros, recomenda-se a realização de uma nova calibração uti-
lizando uma expressão para CD0 em função das amplitudes das oscilações, o que
introduz uma nova não-linearidade no sistema. Outra alternativa, é a proposta de
um novo oscilador, ou uma diferente forma de acoplamento entre as equações da
estrutura e o oscilador.
35
Referências Bibliográcas
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[8] GE, F., LONG, X., WANG, L., et al., 2009, Flow-induced vibrations of long
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China, Series G: Physics, Mechanics and Astronomy, v. 52 (07), pp. 1086
1093. doi: 10.1007/s11433-009-0128-8.
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[10] PERKO, L., 1991, Dierential equations and dynamical systems. Texts in ap-
plied mathematics. Springer-Verlag. ISBN: 9780387974439. Disponível
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[11] POSTNIKOV, A., PAVLOVSKAIA, E., WIERCIGROCH, M., 2017, 2DOF
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8018. doi: https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2012.06.025. Dispo-
nível em: <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
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Based on Lectures of L. Prandtl. N. v. 2, Applied hydro- and ae-
romechanics: based on lectures of L. Prandtl. Dover Publications.
ISBN: 9780486603759. Disponível em: <https://books.google.com.
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[16] TIETJENS, O., PRANDTL, L., 1957, Fundamentals of Hydro- and Aeromecha-
nics. N. v. 1, Dover Books on Aeronautical Engineering. Dover Publica-
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tions. ISBN: 9780486603742. Disponível em: <https://books.google.
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. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=
Camada_limite&oldid=53701839>. [Online; acessado em 30-novembro-
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[18] WIKIPÉDIA, 2018. Ponte de Tacoma Narrows Wikipédia, a enciclopédia
livre. . Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/w/index.php?
title=Ponte_de_Tacoma_Narrows&oldid=52347514>. [Online; aces-
sado em 04-dezembro-2018].
[19] WILLIAMSON, C., GOVARDHAN, R., 2004, VORTEX-INDUCED VIBRA-
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doi: 10.1146/annurev.uid.36.050802.122128. Disponível em: <https:
//doi.org/10.1146/annurev.fluid.36.050802.122128>.
[20] WILLIAMSON, C., ROSHKO, A., 1988, Vortex formation in the wake of
an oscillating cylinder, J. Fluid Struct., v. 2 (07), pp. 355381. doi:
10.1016/S0889-9746(88)90058-8.
38
Apêndice A
Códigos utilizados
Todos os códigos a seguir foram escritos utilizando a linguagem de programação
Python em sua versão 3.7.1. Para que eles sejam executados, é necessária a instalação
de algumas bibliotecas externas. São elas: Scipy, NumPy e Matplotlib
A.1 Curva de Ressonância
A execução deste código leva à geração do gráco para a curva de ressonância.
import numpy as np
from s c ipy . i n t e g r a t e import ode int
import WakeOsci l lator as wo
import Graphs as gp
D = 0.0554
k s i = 0.006
m_star = 2.36
wn = 10.75
Ax = 12
Ay = 5 .5
ex = 0 .3
Cl0 = 0 .3
Cd0f l = 0 .2
ey = 0.0007
Cd0_list = [ 2 ]
St = 0 .2
Omega_F_func = lambda U: 2∗np . p i ∗St ∗(U/D)
Omega_func = lambda U: Omega_F_func(U)/wn
39
Ured_func = lambda U: 2∗np . p i ∗U/(wn∗D)
Cm = 1
mu = (m_star + Cm)∗np . p i /4Ml = Cl0 /(pow(4∗np . p i ∗St , 2 )∗mu)
Md_func = lambda Cd0 : Cd0/(pow(4∗np . p i ∗St , 2 )∗mu)
Mdfl = Cd0f l /(pow(4∗np . p i ∗St , 2 )∗mu)
t = np . arange (0 , 150 , 0 . 01 )
U_list = np . arange (0 , 1 . 8 , 0 . 0 1 )
N = len ( U_list )
Ured_l i st = np . z e r o s (N)
Max_amp = np . z e r o s (N)
gp . yfig_Cd0 ( ey )
for j in range ( len ( Cd0_list ) ) :
Cd0 = Cd0_list [ j ]
Md = Md_func(Cd0)
y0 = np . array ( [ 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ] )
for i in range (N) :
print ( ' / ' . format ( i ,N) )
U = U_list [ i ]
Ured = Ured_func (U)
Omega = Omega_func (U)
par = ks i , St , Ured , Ml ,
Md, Mdfl , Omega , Ax, ex , Ay, ey
s o l = ode int (wo . equacoes , y0 , t , a rgs = par )
maximo = np . amax( s o l [ : , 2 ] )
minimo = np . amin ( s o l [ : , 2 ] )
i f np . abs (minimo ) > np . abs (maximo ) :
maximo = minimo
Max_amp[ i ] = np . abs (maximo)
Ured_l i st [ i ] = Ured
gp . yplot_Cd0 ( Ured_list , Max_amp, Cd0)
gp . csv_plot (m_star )
gp . show ( )
40
A.2 Estados de fases
A execução deste código leva à geração dos grácos dos espaços de fases do modelo.
import numpy as np
import WakeOsci l lator as wo
import Graphs as gp
from s c ipy . i n t e g r a t e import ode int
D = 0.0554
k s i = 0.006
m_star = 2.36
wn = 10.75
Ax = 12
Ay = 5 .5
ex = 0 .3
ey = 0.0007
Cl0 = 0 .3
Cd0f l = 0 .2
Cd0 = 2
Ured = 8
U = Ured∗wn∗D/np . p i /2St = 0 .2
Omega_F_func = lambda U: 2∗np . p i ∗St ∗(U/D)
Omega_func = lambda U: Omega_F_func(U)/wn
Cm = 1
mu = (m_star + Cm)∗np . p i /4Ml = Cl0 /(pow(4∗np . p i ∗St , 2 )∗mu)
Md = Cd0/(pow(4∗np . p i ∗St , 2 )∗mu)
Mdfl = Cd0f l /(pow(4∗np . p i ∗St , 2 )∗mu)
t = np . arange (0 , 150 , 0 . 01 )
y0 = np . array ( [ 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ] )
Omega = Omega_func (U)
par = ks i , St , Ured , Ml , Md, Mdfl , Omega , Ax, ex , Ay, ey
s o l = ode int (wo . equacoes , y0 , t , a rgs = par )
gp . plot_Ured ( t , so l , Cl0 , Cd0 , Cd0f l )
41
A.3 Sistema de equações
O arquivo com este código serve como auxiliar para os códigos que devem ser exe-
cutados. Ele contém as informações do sistema de equações a serem resolvidas no
problema de valor inicial.
import numpy as np
def equacoes (y , t , ∗ args ) :
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 = y
ks i , St , Ured , Ml , Md, Mdfl , Omega , Ax, ex , Ay, ey = args
dx1 = x2
dx2 = −2∗k s i ∗x2 − x1 +
8∗pow(np . p i ∗St , 2 )∗ np . sq r t (pow(Ured /(2∗np . p i ) − x2 , 2 ) +
pow( x4 , 2 ) ) ∗ (Ml∗x7∗x4/2 +
(Md + Mdfl∗x5 /2)∗ (Ured /(2∗np . p i ) − x2 ) )
dx3 = x4
dx4 = −2∗k s i ∗x4 − x3 +
8∗pow(np . p i ∗St , 2 )∗ np . sq r t (pow(Ured /(2∗np . p i ) − x2 , 2 ) +
pow( x4 , 2 ) ) ∗ (Ml∗x7 ∗(Ured /(2∗np . p i ) − x2 )/2 −(Md + Mdfl∗x5 /2)∗x4 )
dx5 = x6
dx6 = Ax∗dx2 −2∗ ex∗Omega∗(pow( x5 , 2 ) − 1)∗x6 − 4∗pow(Omega , 2 )∗ x5
dx7 = x8
dx8 = Ay∗dx4 −ey∗Omega∗(pow( x7 , 2 ) − 1)∗x8 − pow(Omega , 2 )∗ x7
return np . array ( [ dx1 , dx2 , dx3 , dx4 , dx5 , dx6 , dx7 , dx8 ] ,
dtype = np . f l o a t 6 4 )
42
A.4 Grácos
O arquivo a seguir contém o código para a geração de todos os grácos utilizados
neste trabalho.
import matp lo t l i b . pyplot as p l t
import CSV_data
import numpy as np
def yplot_Cd0 (Ured , amp, Cd0 ) :
p l t . p l o t (Ured , amp, l a b e l = r '$C_D_0 =$ '+' ' . format (Cd0 ) )
p l t . l egend ( l o c=' best ' )
def yp lot (Ured , amp ) :
p l t . p l o t (Ured , amp)
def xplot_Cd0 (Ured , amp, Cd0 ) :
p l t . p l o t (Ured , amp, l a b e l = r '$C_D_0 =$ '+' ' . format (Cd0 ) )
p l t . l egend ( l o c=' best ' )
def yplot_ey (Ured , amp, ey ) :
p l t . p l o t (Ured , amp, l a b e l = r ' $\ epsi lon_y =$ '+' ' . format ( ey ) )
p l t . l egend ( l o c=' best ' )
def xplot_ey (Ured , amp, ey ) :
p l t . p l o t (Ured , amp, l a b e l = r ' $\ epsi lon_y =$ '+' ' . format ( ey ) )
p l t . l egend ( l o c=' best ' )
def yfig_Cd0 ( ey ) :
p l t . f i g u r e ( )
p l t . y l ab e l ( ' y/D' )
p l t . x l ab e l ( r '$U_ red $ ' )
p l t . xl im ( [ 1 . 5 , 1 9 ] )
p l t . yl im ( [ 0 , 2 ] )
p l t . t i t l e ( r ' $\ epsi lon_y =$ ' + ' ' . format ( ey ) )
def xfig_Cd0 ( ey ) :
p l t . f i g u r e ( )
43
p l t . y l ab e l ( ' x/D' )
p l t . x l ab e l ( r '$U_ red $ ' )
p l t . xl im ( [ 1 . 5 , 1 9 ] )
p l t . yl im ( [ 0 , 1 ] )
p l t . t i t l e ( r ' $\ epsi lon_y =$ ' + ' ' . format ( ey ) )
def yf ig_ey (Cd, m_star ) :
p l t . f i g u r e ( )
p l t . y l ab e l ( ' y/D' )
p l t . x l ab e l ( r '$U_ red $ ' )
p l t . xl im ( [ 1 . 5 , 1 9 ] )
p l t . yl im ( [ 0 , 2 ] )
p l t . l egend ( l o c=' best ' )
def xf ig_ey (Cd, m_star ) :
p l t . f i g u r e ( )
p l t . y l ab e l ( ' x/D' )
p l t . x l ab e l ( r '$U_ red $ ' )
p l t . xl im ( [ 1 . 5 , 1 9 ] )
p l t . yl im ( [ 0 , 1 ] )
p l t . l egend ( l o c=' best ' )
def xysub (x , y ,U) :
f i g , ( ax1 , ax2 ) =
p l t . subp lo t s ( nrows = 2 , nco l s = 1 , sharex = True )
ax1 . p l o t (U, y )
ax1 . set ( y l ab e l =
' y/D' , yl im = [ 0 , 2 ] , x l ab e l = r '$U_ red $ ' ,
xl im = [ 1 . 5 , 1 9 ] )
ax1 . g r i d ( )
ax2 . p l o t (U, x )
ax2 . set ( y l ab e l =
' x/D' , yl im = [ 0 , 1 ] , x l ab e l = r '$U_ red $ ' ,
xl im = [ 1 . 5 , 1 9 ] )
ax2 . g r i d ( )
p l t . show ( )
def show ( ) :
p l t . g r i d ( )
44
p l t . show ( )
def csv_plot (m_star ) :
f i l ename = CSV_data . g e t_ f i l e (m_star )
x , y = CSV_data . csv_read ( f i l ename )
p l t . s c a t t e r (x , y , l a b e l = " Stappenbelt et a l . , 2017" , c o l o r='k ' )
p l t . l egend ( l o c=' best ' )
def plot_Ured ( t , so l , Cl0 , Cd0 , Cd0f l ) :
x = s o l [ : , 0 ]
dx = s o l [ : , 1 ]
y = s o l [ : , 2 ]
dy = s o l [ : , 3 ]
w = s o l [ : , 4 ]
dw = s o l [ : , 5 ]
q = s o l [ : , 6 ]
dq = s o l [ : , 7 ]
Cl = q∗Cl0/2
Cd = Cd0 + w∗Cd0fl /2
p l t . f i g u r e (1 )
p l t . p l o t ( t , x )
p l t . y l ab e l ( r ' $\ t i l d e x$ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $\ tau$ ' )
p l t . f i g u r e (2 )
p l t . p l o t ( t , y )
p l t . y l ab e l ( r ' $\ t i l d e y$ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $\ tau$ ' )
p l t . f i g u r e (3 )
p l t . p l o t ( t ,w)
p l t . y l ab e l ( r ' $w$ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $\ tau$ ' )
p l t . f i g u r e (4 )
p l t . p l o t ( t , q )
p l t . y l ab e l ( r ' $q$ ' )
45
p l t . x l ab e l ( r ' $\ tau$ ' )
p l t . f i g u r e (5 )
p l t . p l o t ( x [ len ( t ) − 10000 : ] − np . average (x [ len ( t )−1000: len ( t ) − 500 ] ) , y [ len ( t ) − 1 0 0 0 0 : ] )
p l t . x l ab e l ( r ' $\ t i l d e x$ ' )
p l t . y l ab e l ( r ' $\ t i l d e y$ ' )
p l t . f i g u r e (6 )
p l t . p l o t (x , dx )
p l t . x l ab e l ( r ' $\ t i l d e x$ ' )
p l t . y l ab e l ( r ' $\ t i l d e x^\prime$ ' )
p l t . f i g u r e (7 )
p l t . p l o t (y , dy )
p l t . x l ab e l ( r ' $\ t i l d e y$ ' )
p l t . y l ab e l ( r ' $\ t i l d e y^\prime$ ' )
p l t . f i g u r e (8 )
p l t . p l o t (w,dw)
p l t . y l ab e l ( r '$w^\prime$ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $w$ ' )
p l t . f i g u r e (9 )
p l t . p l o t (q , dq )
p l t . y l ab e l ( r ' $q^\prime$ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $q$ ' )
p l t . f i g u r e (10)
p l t . p l o t ( t , Cl )
p l t . y l ab e l ( r '$C_L$ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $\ tau$ ' )
p l t . f i g u r e (11)
p l t . p l o t ( t , Cd)
p l t . y l ab e l ( r '$C_D$ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $\ tau$ ' )
def yplot_trabalho (Ured , amp ) :
p l t . p l o t (Ured , amp, l a b e l = 'wake o s c i l l a t o r ' )
46
p l t . l egend ( l o c=' best ' )
def plot_trabalho ( ) :
p l t . f i g u r e ( )
p l t . y l ab e l ( ' y/D' )
p l t . x l ab e l ( r '$U_ red $ ' )
p l t . xl im ( [ 1 . 5 , 1 9 ] )
p l t . yl im ( [ 0 , 2 ] )
47
A.5 Ajuste dos dados
Esse código é utilizado para realizar o ajuste das curvas para calibração. Ele faz uso
da biblioteca SciPy e a sua função curve t. Para fazer o ajuste, é preciso fornecer
os dados a serem ajustados e a equação cuja forma a curva ajustada deve obedecer.
Por m, a função retorna os parâmetros da equação que a adequam aos dados.
import matp lo t l i b . pyplot as p l t
import numpy as np
import s c ipy . opt imize as opt
m_star = np . array ( [ 2 . 3 6 , 3 . 68 , 6 . 54 , 7 . 91 , 10 .63 , 1 2 . 9 6 ] )
Ae = np . array ( [ 5 . 5 / 0 . 0 0 0 7 , 15/0 .003 , 25/0 .019 ,
30/0 .03 , 30/0 .09 , 3 0/0 . 1 4 ] )
A = np . array ( [ 5 . 5 , 15 , 25 , 30 , 30 , 3 0 ] )
e = np . array ( [ 0 . 0 0 0 7 , 0 . 003 , 0 . 019 , 0 . 03 , 0 . 09 , 0 . 1 4 ] )
def l i n (x , a , b ) :
return a∗x + b
def expo (x , a , b , c ) :
return c ∗(1 − a∗np . exp(−b∗x ) )
xdata = np . l og (m_star )
ydata = np . l og ( e )
x0 = np . array ( [ 0 , 0 ] )
par = opt . curve_f i t ( l i n , xdata , ydata , x0 )
e p s i l o n = par [ 0 ]
p l t . f i g u r e (1 )
p l t . s c a t t e r ( xdata , ydata , c o l o r = 'k ' ,
l a b e l = ' c a l i b r a c a o ' )
p l t . p l o t ( xdata , e p s i l o n [ 0 ] ∗ xdata + ep s i l o n [ 1 ] ,
l a b e l = ' a j u s t e ' )
p l t . y l ab e l ( r ' $ l og \ l e f t (\ eps i lon_y\ r i gh t ) $ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $ l og \ l e f t (m^∗\ r i g h t ) $ ' )
xdata = m_star
ydata = A
x0 = np . array ( [ 0 , 0 , 3 0 ] )
par = opt . curve_f i t ( expo , m_star ,A, x0 )
48
Ay = par [ 0 ]
p l t . f i g u r e (2 )
p l t . s c a t t e r (m_star , A, c o l o r = 'k ' , l a b e l = ' c a l i b r a c ao ' )
p l t . p l o t (np . arange (0 ,m_star [ −1 ] , 0 . 2 ) ,
expo (np . arange (0 ,m_star [ −1 ] , 0 . 2 ) ,∗Ay) , l a b e l = ' a j u s t e ' )
p l t . y l ab e l ( r ' $ A_y$ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $ m^∗$ ' )
x = np . arange ( 2 . 3 6 , m_star [ −1 ] , 0 . 2 )
y = [ expo (x [ i ] ,∗Ay)/np . exp ( l i n (np . l og (x [ i ] ) ,
∗ ep s i l o n ) ) for i in range ( len ( x ) ) ]
p l t . f i g u r e (3 )
p l t . p l o t (x , y , l a b e l = ' a j u s t e ' )
p l t . s c a t t e r (m_star ,Ae , c o l o r = 'k ' , l a b e l = ' c a l i b r a c ao ' )
p l t . y l ab e l ( r ' $ A_y/\ epsi lon_y$ ' )
p l t . x l ab e l ( r ' $ m^∗$ ' )
def get_eps i lon (m_star ) :
return np . exp ( l i n (np . l og (m_star ) ,∗ ep s i l o n ) )
def get_Ay(m_star ) :
return expo (m_star ,∗Ay)
49
A.6 Leitura dos dados experimentais
Esse código é utilizado para a leitura dos dados experimentais de [14].
import csv
def g e t_ f i l e (m_star ) :
f i l ename = str (m_star ) . s p l i t ( ' . ' )
f i l ename = "data"+"_"+"_" . j o i n ( f i l ename)+" . csv "
return f i l ename
def csv_read ( f i l ename ) :
x = [ ]
y = [ ]
with open( " P lot s //Ref //"+f i l ename ) as c s v_ f i l e :
f i l e = csv . r eader ( c sv_f i l e , d e l im i t e r = ' , ' )
l ine_count = 0
for row in f i l e :
i f l ine_count <= 5 :
pass
else :
x . append ( f loat ( row [ 0 ] ) )
y . append ( f loat ( row [ 1 ] ) )
l ine_count += 1
return x , y
50
![equiposnv.files.wordpress.com€¦ · Individual Top Times Times since: 01-Sep-09 Times until: 31-Aug-10 ACUATICA nelson vargas [ANV] Number of Top Times: All Show Short Course Only](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/6011bf8c4e35eb1a286f9e9c/individual-top-times-times-since-01-sep-09-times-until-31-aug-10-acuatica-nelson.jpg)
