ANÁLISE DIMENSIONAL

Grandezas Físicas Fundamentais

Unidade no SI

Comprimento L metro m

Massa M quilograma kg

Tempo T segundo s

kelvin K

I ampère A

candela cd

N mols mol

GrandezaFísica

Símbolo daDimensão

Símbolo da Unidadeno SI

Temperatura termodinâmica

Corrente elétrica

Intensidade luminosa

I0

Quantidade de matéria

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EXEMPLOS

ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS

� Velocidade: [v]=LT-1

� Aceleração: [a]=LT-2

� Força: [F]=MLT-2

� Trabalho: [E]=ML2 T-2

� Energia: [E]=ML2 T-2

� Torque: [E]=ML2 T-2

� Potência: [Pot]=ML2 T-3

� Momento: [Q]=ML T-1

� Velocidade angular: [ω]=T

� Freqüência: [f]=T-1

� Carga elétrica : [q]=IT

� Campo elétrico : [E]=MLT-3I

� Potencial elétrico : [U]=ML2T-3I-1

� Resistência elétrica: [R]=ML2T-3I-2

� Campo magnético: [B]=MT-2I-1

� Fluxo magnético [Ф]=ML2T-2I-1

� Calor específico: [c]=L2 T-2 θ-1

� Coeficiente de dilatação [ α ]= θ-1

� Fluxo de calor: [ Ф ]= ML2 T-3

� Intensidade sonora [I]=MT-3

GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS

� Coeficientes de atrito� Índice de refração� Rendimento� Nível de intensidade sonora

Principais usos:

� Verificação da homogeneidade de fórmulas;

� Previsão de equações físicas;� Mudança de unidades;

TEOREMA DE BRIDGMAN

� Toda grandeza secundária pode ser expressa por um produto de potências das grandezas primárias.

� Suponhamos que uma grandeza secundária G seja uma função das grandezas primárias A, B,C ... Z. O teorema de Bridgman diz que se poderáescrever:

G=KAαBβCγ...Zω

ATENÇÃO!!!

� Todo arco é adimensional.

� Toda função trigonométrica é adimensional� Todo expoente é adimensional.

� Toda grandeza definida pela razão de duas grandezas físicas, de mesma dimensão, éadimensional.

� Só podemos somar e subtrair grandezas físicas de mesma dimensão.

HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL

� Uma equação física verdadeira deve ser dimensionalmente homogênea , isto é, dever ter em ambos os membros a mesma fórmula dimensional.

Homogeneidade das equações

Num movimento oscilatório, a abscissa (x) da partícula é dada em função do tempo (t) por: X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L, obtenha a fórmula dimensional de A, B e C.

Resolução...

� X= A + B cos(Ct)

[ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]

[ ]

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 1

0 0

...

...cos( )

A M LT

sendo Ct M L T

C t M L T C T

C M L T

sendo ct adnensional

B M LT

−

=

=

= =

==

=

exemplos

2 2

0V V 2a S= + ∆

2 2

0[V ] [V ] [2a S]= + ∆

2 2 2 2 2 2L T L T L T− − −= +

2

0 0

aS S V t t

2= + +

2

0 0

a[S] [S ] [V t] [ t ]

2= + +

1 2 2L L LT T LT T− −= + +

L L L L= + +

1 2 1 2 2(LT ) (LT ) LT L− − −= +

exemplos

� Teorema do Impulso

I Q= ∆� ��

F 0F t mV mV∆ = −

F 0[F t] [mV ] [mV ]∆ = −

2 1 1MLT T MLT MLT− − −= −1 1 1MLT MLT MLT− − −= −

Previsão de fórmulas

� A intensidade da resultante centrípeta éfunção apenas da massa, da velocidade e do raio da trajetória. Por análise dimensional obter, a menos da constante adimensional(K), a expressão da intensidade da força centrípeta.

Resolução

( ) ( ) ( )2 1

2

1 2 1

2

1

1 1; 2; 1

2

x y zcp

yx z

x y z y

cp

cp

F Km v r

MLT K M LT L

MLT KM L T

x

y z x y z

y

F Km v r

mvF K

r

− −

− + −

−

=

=

==

+ = ⇒ = = = −− = −

=

=

Previsão de fórmulas

� Um cientista, fazendo experiências em um laboratório, verifica o período(t) de oscilação de um pêndulo simples alterando o comprimento do fio(L), a massa(m) e considerando a gravidade(g) local. Como pode ele, usando análise dimensional, obter uma fórmula para calcular t, isto é, uma função do tipo t=f(L,m,g).

Resolução

1

2

0 0 1 2

0 0 1 2

10 2

g

[ ] ( ) ( ) ( )

1 10 0; ;

2 22 1

g g

x y z

x y z

x y z z

x y z

t Km l

t M L T M L LT

M L T M L T

x o

y z x z y

z

t Km l Km l

lT K

g

−

+ −

−

== =

==

+ = ⇒ = = − =− =

= =

=

EXERCÍCIOS

� (ITA-2009) Sabe-se que o momento angular de uma massa pontual é dado pelo produto vetorial do vetor posição dessa massa pelo seu momento linear. Então, em termos das dimensões de comprimento (L), de massa (M), e de tempo (T), um momento angular qualquer tem sua dimensão dada por dada por

a) L0MT–1. b) LM0T–1. c) LMT–1.

d) L2MT–1. e) L2MT–2.

resolução

EXERCÍCIOS

� (Ita 2008) Define-se intensidade I de uma onda como a razão entre a potência que essa onda transporta por unidade de área perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para uma certa onda de amplitude a, freqüência f e velocidade v, que se propaga em um meio de densidade ›, foi determinada que a intensidade é dada por: Indique quais são os valores adequados para x e y, respectivamente.

a) x = 2; y = 2b) x = 1; y = 2c) x = 1; y = 1d) x = - 2 ; y = 2e) x = - 2; y = - 2

Resolução

Exercícios

� 01- Determine a equação dimensional de Capacitância de um capacitor.

[ ]

[ ]

2 2

2 3 1

1 2 4 22 3 1

QC Q is IT

U

J ML Tw s TPot Ui UA A I

U ML T I

ITC M L T I

ML T I

−

− −

− −− −

= = =

→ = → = = =

=

= =

֏

Exercício 02

(Mackenzie) No estudo de um fenômeno da natureza foram envolvidas as grandezas A, B,C e D, diferentes entre si. A relação entre as grandezas é:

Se B tem dimensão de massa, C de comprimento e D dimensão de tempo, a unidade de medida de A no Sistema internacional de Unidade é:

a)m/s b) N.s c)J/m d)N e)J

2 2A BC D−=

resolução

2 2

2 2

2 2

A=BC D

[A]=[B][C] [D]

[A] ML T

−

−

−=Portanto “A” representa energia e sua unidade no Sistema

Internacional é o Joule (J)Resposta E

Exercício 03

Com relação as grandezas fundamentais MLTθI, determine as equações dimensionais das seguintes grandezas:

a)Constante Universal dos gases perfeitos (R).

b)Resistência elétrica (R).

resolução

2 -2

3

2

-2

2 -2 1 0

a)PV=nRT

[PV]=ML T (trabalho)

ou

F[PV] V(m ) N.m

A(m )

[n] adimensional

PV=nRT

MLT [R]

[R] ML T I−

= = = τ

=

= Θ= Θ

2

2n

2 22

2 3 2 0

P=Ri

ERi

t

ML T[R]I

T

[R] ML T I

−

− −

=∆

=

= Θ

exercício

(FUVEST)Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo da velocidade V de propagação do som, com a pressão P e a massa específica ρ, num gás. No entanto, ele se recorda que a fórmula é do tipo (vide eq. ao lado) , em que C é uma constante adimensional. Após um exame da equação dimensional ele conclui que os expoentes α e β valem respectivamente:

a)1;2 b)1,1 c)2,1 d)2,2 e) 3,2

C.PV

βα =

ρ

resolução

3

21 2

2

1 1 2 3 1

1 3 2

C.PV

[ ] M L

F M L T[P ] M L T

A L

su b s t itu in d o

[L T ] [M L T ] [M L ]

L T M L T

1 0

3 1; 2

2

re sp.C

βα

−

−− −

− α − − β − −

α − α β − − β + − β

=ρ

ρ =

= = =

==

β − = − β + = α ⇒ β = α = − β = − α

ITA-2000A figura abaixo representa um sistema experimental utilizado para determinar o volume de um líquido por unidade de tempo que escoa através de um tubo capilar de comprimento L e seção transversal de área A. Os resultados mostram que a quantidade desse fluxo depende da variação da pressão ao longo do comprimento L do tubo por unidade de comprimento (∆P/L), do raio do tubo (a) e da viscosidade do fluido (η) na temperatura do experimento. Sabe-se que o coeficiente de viscosidade (η) de um fluido tem a mesma dimensão do produto de uma tensão (força por unidade de área) por um comprimento dividido por uma velocidade. Recorrendo à análise dimensional, podemos concluir que o volume de fluido coletado por unidade de tempo éproporcional a

resolução