Encontro Nacional BETÃO ESTRUTURAL - BE2012 FEUP, 24-26 de outubro de 2012

Análise dinâmica em barragens gravidade: Modelação da interacção fluido-estrutura em deslocamentos

Nuno Azevedo1 Romano Câmara2

RESUMO Numa análise dinâmica de uma barragem gravidade é necessário considerar a hipótese de albufeira cheia, que envolve a interacção entre um sólido, barragem e fundação, e um fluido, albufeira. Nesta comunicação opta-se por uma formulação do fluido em deslocamentos: um elemento finito bi-dimensional de 4 nós sub-integrado e um elemento de 4 nós de discretização mista que resulta da sobreposição de quatro elementos triangulares. Apresenta-se a análise do comportamento dinâmico de um perfil gravidade tipo com 120.0 m de altura. Realiza-se uma análise modal e analisa-se o comportamento dinâmico para uma acção equivalente a uma vibração forçada e para uma acção equivalente ao sismo máximo de projecto. A importância do termo de penalização, que minimiza o aparecimento modos de circulação, e a influência da regularidade da malha de elementos finitos que representa o fluido é discutida. Avalia-se o desempenho dos vários modelos adoptados para a formulação em deslocamentos do fluido. Comparam-se os resultados obtidos com os resultados obtidos com um modelo simplificado de massas associadas, e com um modelo aproximado representado por um sólido com um módulo de distorção reduzido. Palavras-chave: Barragem gravidade, Fluido, Interacção, Dinâmica 1. INTRODUÇÃO Numa análise dinâmica de uma barragem gravidade é necessário considerar a hipótese de albufeira cheia. Neste cenário é necessário ter em consideração a interacção entre um sólido, barragem e fundação, e um fluido, albufeira da barragem. A interacção sob excitações dinâmicas do corpo da barragem com a albufeira tem sido feita ao longo dos últimos anos recorrendo a uma das seguintes abordagens: i) massas associadas de Westergaard [1], ii) formulação de Euler em pressões [2], iii) formulação de Lagrange em deslocamentos [3,4 e 5] e iv) modelo aproximado de um sólido com módulo de distorção reduzido [6].

1 Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Departamento de Barragens de Betão, Lisboa, Portugal. nazevedo@lnec.pt 2 Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Departamento de Barragens de Betão, Lisboa, Portugal. romano@lnec.pt

Análise dinâmica em barragens gravidade: Modelação da interacção fluido-estrutura em deslocamentos

2

Na formulação de Lagrange as incógnitas do modelo do fluido são os deslocamentos, assim, a compatibilidade entre o modelo do sólido e o modelo do fluido encontra-se automaticamente satisfeita. Uma formulação do fluido em pressões tem a vantagem de ser computacionalmente mais robusta, mas apresenta uma maior complexidade na sua formulação em especial na compatibilização/sincronização dos dois dominios, o que não é fácil de ser implementado numa solução explicita. Numa formulação de fluido em deslocamentos é necessário garantir que na interface sólido-fluido haja somente interacção na direcção normal, opção corrente em programa de elementos finitos estruturais, e que seja possível reduzir os modos de deformação de “hour-glass” e de circulação, que estão associados ao facto de se estar a modelar um fluido como sendo um sólido com módulo de distorção zero. Nesta comunicação analisam-se várias possibilidades para o modelo do fluido em deslocamentos: i) um elemento finito bi-dimensional de 4 nós sub-integrado e ii) um elemento finito bidimensional de 4 nós de discretização mista, que resulta da sobreposição de quatro elementos triangulares. Apresenta-se a análise do comportamento dinâmico de um perfil gravidade tipo com 120.0 m de altura. Realiza-se uma análise modal e analisa-se, no dominio do tempo, o comportamento da estrutura para uma acção equivalente a um ensaio de vibração forçada, e para uma acção equivalente ao sismo máximo de projecto. Verifica-se quer na análise modal, quer nas análises no dominio do tempo, a importância do termo de penalização, que minimiza o aparecimento modos de circulação, e a influência da regularidade da malha de elementos finitos que representa o fluido. Avalia-se o desempenho dos vários modelos adoptados para a formulação em deslocamentos do fluido. Comparam-se os resultados obtidos com os resultados obtidos com um modelo simplificado de massas associadas de Westergaard, e com um modelo aproximado de sólido com um módulo de distorção reduzido. 2. FORMULAÇÃO DE LAGRANGE DE UM FLUIDO 2.1 Equações fundamentais A equação constitutiva de um fluido não viscoso para pequenas amplitudes de movimento em deslocamentos é dada por [7]:

vp = K vε (1)

onde, pé a pressão no fluido, vK o módulo de deformação volumétrica dado por 2cKv ρ= e vε é a

extensão volumétrica do fluido. Por forma a garantir que no fluido não ocorrem campos de deformação associados a modos de circulação, é necessário incluir a seguinte relação constitutiva:

ˆ ˆp = v xKλ ε (2) em que, λ é o coeficiente de penalização multiplicador do módulo de deformação volumétrica e ˆxε é o rotacional do campo de deslocamentos dado por:

1 2

2 1

1ˆ =

2xu u

x xε

∂ ∂− ∂ ∂ (3)

Em geral é proposto para o coeficiente de penalização um valor de λ = 1000 [4,7]. De modo a modelar ondas de superfície no fluido adopta-se na superficie livre o campo de pressões dado por:

Azevedo e Câmara

3

sugp ρ= (4) em que su é o deslocamento vertical na superfície livre e ρ é a densidade de massa do fluido. A condição anterior é equivalente a admitir-se que a superfície livre se comporta como um apoio elástico de constante elástica igual a gρ . Para um elemento finito plano de 4 nós, duas equações deformações independentes por cada ponto de integração, é usual adoptar esquemas de subintegração, adoptando para um elemento plano um só ponto de Gauss [4, 5], caso contrário, ocorrem problemas numéricos associados a rigidez excessiva. Nesta comunicação adoptam-se, para o modelo do fluido em deslocamentos, duas possibilidades: i) um elemento finito plano de 4 nós sub-integrado, EP-SI, e ii) um elemento finito plano de 4 nós de discretização mista, EP-DM, que resulta da sobreposição de quatro elementos triangulares. No elemento de discretização mista, para cada conjunto de dois elementos triangulares, a extensão volumétrica e o rotacional do campo de deformações são dados pela médias dos valores obtidos nos dois triângulos, Fig. 1.

a) EP-SI 4 nós subintegrado b) EP-DM

Figura 1. Elementos finitos do fluido em deslocamentos. 3. CASO DE ESTUDO 3.1 Introdução O comportamento dinâmico de um perfil gravidade tipo com 120.0 m de altura é avaliado, Fig. 2. Realiza-se uma análise modal, e carateriza-se o comportamento para uma acção equivalente a um ensaio de vibração forçada, e para a acção equivalente ao sismo máximo de projecto, SMP. Na Fig. 3 apresentam-se os modelo numéricos, malha regular e malha irregular, adoptados para a análise modal e para o comportamento em vibração forçada, no qual não se considerou a deformabilidade da fundação. Os dois blocos, albufeira e barragem, interagem entre si através de elementos de junta com rigidez tangencial nula.

Figura 2. Perfil tipo.

Para a acção equivalente ao SMP considerou-se quer na malha de elementos finitos de fluido regular, quer na malha irregular a deformabilidade da fundação através da sua discretização em elementos finitos planos, Fig. 4. O modelo numérico adoptado, consiste em três blocos distintos, corpo da barragem, fundação e albufeira, que interagem entre si nas zonas de interface, através de elementos de junta.

Análise dinâmica em barragens gravidade: Modelação da interacção fluido-estrutura em deslocamentos

4

a) Malha regular b) Malha irregular

Figura 3. Modelo numérico sem fundação.

Figura 4. Modelo numérico com fundação-Malha da albufeira regular.

No Quadro 1 estão definidas as propriedades dos materiais adoptadas para o comportamento da fundação, para o comportamento do betão da barragem e para o comportamento aproximado da albufeira como um sólido com módulo de distorção reduzido, SD. Para as juntas barragem/fundação, barragem/albufeira e fundação/albufeira adoptaram-se, em função dos materiais em contacto, os valores de rigidez normal e tangencial definidos no Quadro 2. Nas interfaces sólido/albufeira garante-se que a interacção somente existe na direcção normal, dado se adoptar rigidez tangencial nula. Para os elementos finitos representativos do fluido, EP-SI e EP-DM, adoptou-se um coeficiente de compressibilidade 2.0vK GPa= próximo do da água e um coeficiente de penalização λ = 1000.

Quadro 1. Propriedades dos materiais.

Barragem Fundação Fluido (SD) Módulo de elasticidade [GPa] 30.0 15.0 6.0

Coeficiente de Poisson 0.20 0.30 0.4995 Massa volúmica [ton/m3] 2.3 2.65 1.0

Quadro 2. Propriedades elásticas das juntas.

Barragem/Fundação Barragem/ Albufeira Fundação/ Albufeira Rigidez normal [GPa/m] 30.0 2.0 2.0 Rigidez tangencial [GPa/m] 12.5 0.0 0.0

3.1 Análise modal Realizou-se uma análise modal com base nos modelos estruturais apresentados na Fig. 2. Analisaram-se os modelos de fluido em deslocamentos referidos na secção 2, elemento plano de 4 nós sub-integrado, EP-SI, e o elementos plano de 4 nós de discretização mista, EP-DM. Analisou-se ainda o modelo aproximado de sólido com módulo de distorção reduzido, EP-SD. Na análise modal considerou-se a base da barragem encastrada. A albufeira interage com a barragem através de elementos de junta verticais só com rigidez normal. Na base da albufeira e na superficie

Azevedo e Câmara

5

vertical a montante impõe-se deslocamento normais nulos. Na superficie livre da albufeira adoptam-se as molas verticais correspondentes às ondas de superficie. Na Fig. 5 apresentam-se os primeiros dois modos de vibração do modelo de barragem encastrada com o modelo simplificado das massas associadas de Westergaard. No Quadro 3, apresentam-se os valores das frequências de vibração obtidos, com os modelos em deslocamentos do fluido e com o modelo aproximado de sólido com módulo de distorção reduzido, que se observam no intervalo entre os dois primeiros modos obtidos com o modelo simplificado de massas associadas de Westergaard. Para a geometria em análise é necessário adoptar um valor não nulo do coeficiente de penalização,λ , nos modelos de fluido em deslocamento de modo a garantir, nas duas malhas, uma matriz de rigidez global definida positiva.

[m]

[m]

a) Modo 1 (2.99 Hz) a) Modo 2 (2.72 Hz)

Figura 5. Modos de vibração com massas associadas de Westergaard (deslocamentos horizontais do modo de vibração escalados para a unidade a meio do coroamento).

Da análise do Quadro 3, verifica-se que para a malha regular os elementos de fluido EP-SI e EP-DM apresentam resultados muito próximos. Para a malha irregular o modelo EP-DM não conduz a uma matriz de rigidez global definida positiva, não sendo possivel calcular os valores independentemente do valor do coeficiente de penalização. O elemento aproximado de sólido com módulo de distorção reduzido, EP-SD, conduz a resultados ligeiramente diferentes dos obtidos com os modelos de fluido. Sendo no entanto de realçar o facto deste último modelo conseguir dar uma resposta independentemente da malha adoptada. Representando a albufeira com um modelo de fluido ou com um modelo aproximado de sólido com módulo de distorção reduzido, obtém-se uma multiplicidade de modos de vibração, ao contrário do modelo simplificado das massas associadas de Westergaard. De acordo com o referido em [7], este facto poderá estar associado com o efeito de compressibilidade do fluido. Este efeito conduz a que a região do fluido apresente várias ressonâncias para o mesmo modo. Para a albufeira em causa, a frequência fundamental é dada por:

4fC

Hω = = 2.95 Hz (5)

É reconhecido que o efeito de compressibilidade do fluido é relevante desde que o quociente entre a frequência fundamental da barragem sem água, 3.99 Hz, e a frequência de vibração fundamental do fluido seja superior a 0.5, neste caso particular tem-se 0.74. Assim para esta geometria o efeito da compressibilidade é relevante, traduzindo-se através de um aumento dos modos de vibração encontrados. Caso se admita um valor do módulo de compressibilidade do fluido mil vezes superior ao equivalente à àgua, a resposta do modelo de elementos de fluido, EP-SI, aproxima-se, conforme expectável, da resposta obtida com o modelo simplificado das massas associadas de Westergaard, quer para a malha

Análise dinâmica em barragens gravidade: Modelação da interacção fluido-estrutura em deslocamentos

6

regular, 3.13 e 6.95 Hz, quer para a malhar irregular, 3.15 e 7.03 Hz, deixando de se obter uma multiplicidade dos modos de vibração.

Quadro 3. Frequências de vibração.

Malha regular Malha irregular EP-SI 2.72;3.17;3.80;4.85;4.93;6.01;6.87 2.72;3.17;3.82;4.99;7.30

EP-DM 2.72;3.17;3.80;4.85;4.93;6.01;6.87 - EP-SD 2.69;2.90;3.40;3.83;4.62;5.85 2.78;3.17;3.48;3.89;4.87;6.51

3.2 Vibração forçada A caracterização do estado de conservação de barragens em serviço é usualmente realizada através de ensaios dinâmicos em vibração forçada. Neste tipo de ensaio aplica-se uma força sinusoidal, com componentes horizontal e vertical, para uma dada gama de frequências. Para cada frequência, regista-se em vários pontos a evolução dos deslocamentos, velocidades ou acelerações. Estes registos são posteriormente analisados de modo a se encontrar as amplitudes máximas em função da frequência da força sinusoidal associada. Deste modo é possível caracterizar de forma indirecta os modos de vibração, através da análise dos picos da função de transferência. Nesta comunicação adoptou-se, nos modelos estruturais definidos na Fig. 3, uma abordagem semelhante. Analisaram-se as amplitudes máximas de deslocamentos para uma força sinusoidal numa gama de frequências entre 2.25 e 7.25 Hz, com um incremento de 0.025 Hz. Optou-se por aplicar a força sinusoidal num ponto a meio do coroamento, sendo registado o valor de deslocamento no mesmo ponto durante 10 s. Para além dos modelos adoptados na secção anterior, analisou-se ainda um modelo aproximado de sólido com módulo de distorção reduzido com base no elemento de 4 nós de discretização mista, EP-SD-DM. Para os elementos de fluido em deslocamentos, EP-SI e EP-DM, foi adoptado um coeficiente de penalização de λ = 1000. O ensaio de vibração forçada foi precedido de uma análise estática na qual se considerou o peso próprio da barragem e da albufeira. Adoptaram-se, quer na análise estática prévia, quer durante o ensaio de vibração forçada as condições de apoio adoptadas na análise modal. Apresentam-se na Fig. 6 os diagramas de transferência força/deslocamento para uma dada gama de frequências, para os vários modelos anteriormente referidos. Da análise da Fig. 6, é possível verificar que o modelo simplificado de Westergaard apresenta dois picos claramente distintos, enquanto quer os modelos de fluido, EP-SI e EP-DM, quer os modelos aproximados de sólido com módulo de distorção reduzido, EP-SD e EP-SD-DM, apresentam vários picos na função de transferência. De referir que estes picos têm menor amplitude que os picos obtidos no modelo simplificado das massas associadas de Westergaard. Numa análise no domínio do tempo, verifica-se uma maior convergência entre os modelos de fluido e os modelos aproximados de sólido com módulo de distorção reduzido, sendo que no caso do modelo de sólido EP-SD-DM, os resultados são próximos, quer na frequência de pico quer na correspondente amplitude. De realçar que, conforme expectável, as frequências correspondentes a picos de amplitude obtidas com os modelos de fluido são praticamente coincidentes com os valores próprios obtidos na análise modal. De referir que dois modos de vibração obtidos com os modelos de fluido na análise modal não são representados neste diagrama de transferência, 6.01 Hz e 6.87 Hz, Quadro 3 e Fig. 6. Com o modelo de malha regular é possível obter o mesmo resultado do obtido com o modelo EP-SI adoptando um multiplicador λ = 0. Este facto poderá estar relacionado com o facto de numa malha regular os modos de circulação para o carregamento em causa não serem activados. Na malha irregular é necessário ter um multiplicador λ = 1000 por forma a haver convergência numa análise

Azevedo e Câmara

7

estática baseada num algoritmo de relaxação dinâmica. No modelo de fluido EP-MD, não houve convergência na análise estática prévia quando se adopta uma malha irregular.

2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 7.250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

WestergaardEP-SIEP-DMEP-SDEP-SD-DM

Frequência [Hz]

Am

plit

ud

e m

áxim

a [m

m/k

N]

a) Malha regular

2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 7.250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

WestergaardEP-SIEP-SDEP-SD-DM

Frequência [Hz]

Am

plit

ud

e m

áxim

a [m

m/k

N]

b) Malha irregular

Figura 6. Função de transferência força/deslocamento (deslocamentos montante/jusante a meio do coroamento). 3.3 Sismo máximo de projecto Na análise da acção equivalente ao sismo máximo de projecto, SMP, consideraram-se como acções estáticas, as acções equivalentes ao peso próprio da barragem. No caso do modelo simplificado de massas associadas de Westergaard, considerou-se ainda a acção da pressão hidrostática no paramento de montante e sob a fundação a montante. Nos modelos de fluido e de modelo aproximado de sólido com módulo de distorção reduzido, considerou-se o peso próprio da água. Para a acção SMP consideraram-se dois registos de aceleração, componente vertical e horizontal, definidos com base num modelo de falha, para uma aceleração de pico em rocha de 0,17 g, ver Fig. 7. Adoptou-se para a aceleração vertical um factor de redução de 2/3. Na análise efectuada adoptou-se um amortecimento de Rayleigh proporcional à massa de 5% na frequência associada ao 1º modo, 2.1 Hz, do modelo simplificado de massas associadas de Westergaard considerando a flexibilidade da fundação, Fig. 4. Na fundação e na albufeira não se adoptou qualquer tipo de amortecimento. Nas fronteiras laterais do modelo adoptaram-se condições de “free-field”. Estes últimos são calculados em paralelo com o modelo estrutural. A acção sísmica é representada por histórias de tensões dinâmicas obtidas a partir dos acelerogramas definidos na Fig. 7. De modo a não haver reflexões na base do modelo e na face lateral da albufeira a montante, adoptou-se nestas zonas uma condição de fronteira infinita através da consideração de elementos viscosos, nas direcções normal e de corte no fundação e na direcção normal no caso da albufeira.

Análise dinâmica em barragens gravidade: Modelação da interacção fluido-estrutura em deslocamentos

8

-150-100-50

050

100150200

0 1 2 3 4 5 6 7

acel

[cm

/s2]

t [s]

SMP-1

-200-150-100-50

050

100150200

0 1 2 3 4 5 6 7

acel

[cm

/s2]

t [s]

SMP-4

a) Componente horizontal (0,17 g) b) Componente vertical (0,17 g)

Figura 7. Acelerogramas adoptados para o SMP (C. Horizontal e C. Vertical).

Apresenta-se na Fig. 8 a evolução da tensão normal dinâmica no pé de montante e no pé de jusante, para os vários modelos e discretizações considerados. Na Fig. 9 apresenta-se a evolução do deslocamento dinâmico montante/jusante no coroamento. Da análise das Figuras 8 e 9 verifica-se que o modelo simplificado das massas associadas de Westergaard é, para esta geometria, mais gravoso que os modelos baseados na discretização da albufeira. Verifica-se ainda que numa a análise dinâmica associada à acção do SMP os modelos de fluido e os modelos aproximados de sólido com módulo de distorção reduzido conduzem a respostas semelhantes.

0 1 2 3 4 5 6 7

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

WestergaardEP-SIEP-DMEP-SDEP-SD-DM

Tempo [s]

Ten

são

nor

mal

[M

Pa]

0 1 2 3 4 5 6 7

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

WestergaardEP-SIEP-DMEP-SDEP-SD-DM

Tempo [s]

Ten

são

norm

al [M

Pa]

a) Malha regular - Montante c) Malha irregular - Montante

0 1 2 3 4 5 6 7

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

WestergaardEP-SIEP-DMEP-SDEP-SD-DM

Tempo [s]

Ten

são

nor

mal

[M

Pa]

0 1 2 3 4 5 6 7

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

WestergaardEP-SIEP-DMEP-SDEP-SD-DM

Tempo [s]

Ten

são

nor

mal

[M

Pa]

b) Malha regular - Jusante d) Malha irregular - Jusante

Figura 8. Evolução da tensão normal (incremento dinâmico)

0 1 2 3 4 5 6 7

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

WestergaardEP-SIEP-DMEP-SDEP-SD-DM

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

mm

]

0 1 2 3 4 5 6 7

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

WestergaardEP-SIEP-DMEP-SDEP-SD-DM

Tempo [s]

Des

loca

men

to [

mm

]

a) Malha regular b) Malha regular

Figura 9. Evolução do deslocamento montante/jusante no coroamento (incremento dinâmico)

Nos Quadros 4 e 5 indicam-se os valores máximos dinâmicos de tensão normal registada no pé de montante e no pé de jusante, respectivamente, para a malha regular. Os valores máximos dinâmicos de tensão normal obtidos com os modelos baseados na discretização da albufeira são cerca de 25% inferiores aos valores de máximos obtidos com o modelo simplificado das massas associadas de Westergaard. Este incremento de tensão máxima obtido com o modelo simplificado de Westergaard pode ter relevância caso se esteja a realizar uma análise não linear e para valores de aceleração de pico em rocha mais elevados.

Azevedo e Câmara

9

Quadro 4. Valores máximos dinâmicos de tensão normal no pé de montante (Malha regular).

Tracção Compressão Westergaard 1.91 2.66

EP-SI 1.98 2.00 EP-DM 1.98 2.00 EP-SD 1.93 2.00

EP-SD-DM 1.99 1.98

Quadro 5. Valores máximos dinâmicos de tensão normal no pé de jusante (Malha regular).

Tracção Compressão Westergaard 0.89 0.75

EP-SI 0.66 0.61 EP-DM 0.66 0.61 EP-SD 0.66 0.59

EP-SD-DM 0.66 0.60 CONCLUSÕES Apresenta-se uma formulação de Lagrange do fluido válida para pequenas amplitudes de movimento, e aplicável a modelos de interacção sólido-fluido do tipo albufeira/barragem. O modelo de elementos finitos do fluido em termos de deslocamentos necessita de um termo correctivo de modo a minimizar o rotacional do campo de deslocamentos. Para o modelo da albufeira analisaram-se várias possibilidades. Uma formulação do fluido em deslocamentos com um elemento finito bi-dimensional de 4 nós sub-integrado, EP-SI e uma formulação do fluido em deslocamentos com um elemento de 4 nós de discretização mista que resulta da sobreposição de quatro elementos triangulares, EP-DM. Adoptou-se ainda um modelo aproximado de sólido com módulo de distorção reduzido, EP-SD, e um modelo aproximado de sólido com módulo de distorção reduzido com base numa numa discretização mista, EP-SD-DM. Por forma a comprovar a robustez dos modelos adoptaram-se dois tipos de malha na discretização da albufeira, malha regular e malha irregular. Na análise modal realizada, verificou-se a necessidade da adopção do coeficiente de penalização, de modo a se obter matrizes de rigidez globais definidas positivas. O modelo de fluido em deslocamentos, EP-SI, apresentou um bom desempenho que quer numa malha regular quer numa malha irregular. Demonstrou-se que o modelo de fluidos em deslocamentos, EP-DM, em malhas regulares conduz praticamente aos mesmos resultados que o modelo EP-SI. Verificou-se que modelo EP-DM não é aplicável em malhas com irregularidade elevada. Foi comprovada a robustez dos modelos aproximados de sólido com módulo de distorção reduzido, dado poderem ser aplicados independentemente da malha adoptada. No entanto é de referir que estes modelos de sólido aproximado conduzem a valores próprios um pouco afastados dos obtidos com o modelo de fluido correcto. É de realçar que no caso em que a compressibilidade do fluido é importante, os modelos com discretização apresentam uma multiplicidade de modos de vibração, ao contrário do que acontece no modelo simplificado das massas associadas de Westergaard. Demonstra-se que ao se aumentar a compressibilidade do fluido perde-se a multiplicidade dos modos de vibração, convergindo-se para a solução de proposta por Westegaard [1]. Para uma acção equivalente a um ensaio de vibração forçada, verifica-se que os modelos de discretização do fluido indicados conduzem a funções de transferência muito próximas, com uma multiplicidade de picos de amplitude inferior aos picos obtidos com o modelo simplificado de massas associadas de Westergaard. O modelo de sólido com discretização mista, EP-SD-DM, apresenta uma função de transferência próxima da obtida com os modelos de fluido, quer em termos de frequência de pico, quer em termos de amplitude. Para acção equivalente ao sismo máximo de projecto, SMP, verifica-se que os modelos que adoptam uma discretização da albufeira, fluido e sólido aproximado com módulo de distorção reduzido,

Análise dinâmica em barragens gravidade: Modelação da interacção fluido-estrutura em deslocamentos

10

conduzem a resultados semelhantes, com picos de tensão na superficie de inserção barragem/albufeira 25% inferiores ao obtidos com o modelo de massas associadas de Westergaard. Para este tipo de acção, em especial para valores de aceleração de pico em rocha elevados, é preferível adoptar modelos com base na discretização da albufeira, em especial caso se esteja a efectuar análise não lineares. REFERÊNCIAS

[1] Westergaard, H. (1931), Water pressures on dams during earthquakes, Transactions of the American Society of Civil Engineers, Vol. 1835, pp. 418-433.

[2] Cervera, M. [et al.] (1995). Seismic evaluation of concrete dams via continuum damage models. Earthquake engineering and structural dynamics, Vol. 24, pp. 1225-1245.[

[3] Wilson, E.; Khalvati, M. (1983). Finite elements for the dynamic analysis of fluid-solid systems. International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 19, pp. 1657-1668.

[4] Calayir, Y.; Dumanoglu, A. (1993), Static and Dynamic Analysis of Fluid and Fluid-Structure Systems by the Lagrangian method, Computers and Structures, Vol. 49, pp. 625-632.

[5] Azevedo, N. [et al.] (2008), Modelação da interacção fluido-estrutura em deslocamentos, BE2008-Encontro Nacional de Betão Estrutural, Guimarães, pp. 197-198.

[6] Faria, Rui (1994). Avaliação do comportamento sísmico de barragens de betão através de um modelo de dano contínuo. Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Tese de doutoramento.

[7] Greeves, E.; Taylor, C. (1992), The use of displacement type fluid finite elements for the analysis of dam reservoir interaction, Dam engineering, Vol. III, pp. 169-200.

[8] Marti, J.; Cundall, P. (1982), Mixed discretization procedure for accurate modelling of plastic collapse, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 6, pp. 129-139.