Análise do Comportamento Viscoelástico de Condutos ...

RBRH — Revista Brasileira de Recursos Hídricos Volume 12 n.4 Out/Dez 2007,147-157

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Análise do Comportamento Viscoelástico de Condutos Plásticos Durante Transitórios Hidráulicos

Alexandre Kepler Soares, Luisa Fernanda Ribeiro Reis

Departamento de Hidráulica e Saneamento — EESC/USP

[email protected], [email protected]

Dídia Isabel Cameira Covas Departamento de Engenharia Civil — Instituto Superior Técnico — Universidade Técnica de Lisboa

[email protected]

Recebido: 20/10/06 - revisado: 10/11/06 - aceito: 10/10/07

RESUMO

Neste trabalho, é apresentado um estudo sobre a ocorrência e a modelagem de transitórios hidráulicos em condutos plásticos, os quais são caracterizados pelo comportamento reológico viscoelástico. Dados de pressão foram coletados em duas instalações experimentais, uma contendo tubos de policloreto de vinila (PVC) e outra com tubos de polietileno de alta densi-dade (PEAD). Testes considerando os efeitos dinâmicos relativos ao fator de atrito variável e à viscoelasticidade do material do tubo foram realizados, na tentativa de reprodução do comportamento hidráulico dos sistemas existentes. Resultados nu-méricos demonstraram que, se somente o fator de atrito variável for considerado nas simulações, a atenuação e dispersão das ondas de pressão observadas nos experimentos não são reproduzidas a contento. A incorporação do comportamento viscoelás-tico do material do tubo resultou em bons ajustes dos valores simulados aos dados de pressão coletados em laboratório. Palavras-chave: transitórios hidráulicos; viscoelasticidade; tubos plásticos.

INTRODUÇÃO

A teoria clássica do golpe de aríete é usual-mente utilizada para a modelação de sistemas de condutos pressurizados, constituindo a base de mui-tos pacotes computacionais. Ela tipicamente consi-dera que a atenuação de uma onda de pressão em um conduto forçado ocorra principalmente pelos efeitos do atrito calculado para condições de escoa-mento permanente. No entanto, para a reprodução do comportamento hidráulico de sistemas existentes (de campo ou laboratório), especial atenção deve ser dada aos diferentes efeitos dinâmicos relaciona-dos à dissipação de energia durante a ocorrência de transitórios hidráulicos. Em sistemas reais, fenôme-nos tais como viscoelasticidade do material do tubo, fator de atrito variável, interação fluido-estrutura devido ao deslocamento do tubo, cavitação, dentre outros, implicam em maior atenuação e dispersão da onda de pressão e, em alguns casos, em aumento nos picos de pressão. Além disso, a teoria clássica é consideravelmente imprecisa para tubos plásticos — como polietileno (PE) e policloreto de vinila (PVC) —, os quais são caracterizados por comportamento

mecânico viscoelástico quando submetidos a uma solicitação (Aklonis e MacKnight, 1983; Ward e Had-ley, 1993). Tal comportamento induz um súbito aumento no pico de pressão inicial, seguido de uma maior dissipação na onda de pressão. Tais efeitos têm sido observados em experimentos de laborató-rio e, para a análise numérica do comportamento viscoelástico de tubos plásticos durante transitórios hidráulicos, duas metodologias têm sido propostas na literatura: (i) métodos baseados na resposta no domínio da freqüência, os quais são caracterizados pela utilização de celeridade dependente da fre-qüência (Meissner e Franke, 1977; Rieutord, 1982; Franke e Seyler, 1983; Suo e Wylie, 1990; Covas et al., 2005a); e (ii) métodos no domínio do tempo, que utilizam o Método das Características (MOC) com um termo viscoelástico adicional na equação da continuidade (Gally et al., 1979; Rieutord e Blan-chard, 1979; Guney, 1983; Rachid e Stuckenbruck, 1990; Rachid et al., 1992; Pezzinga, 2002; Covas et al., 2004; 2005b).

No presente trabalho, um simulador hidráu-lico, que incorpora os efeitos da viscoelasticidade do material da tubulação pela adição de um termo adicional na equação da continuidade, foi utilizado


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para análise de transitórios hidráulicos em um sis-tema experimental composto por tubos de PVC construído no Departamento de Hidráulica e Sane-amento da Escola de Engenharia de São Carlos (E-ESC/USP). O mesmo simulador também foi avalia-do utilizando dados de uma instalação experimental do Imperial College de Londres, Reino Unido, composta por tubos de polietileno de alta densidade (PEAD). ESCOAMENTO TRANSITÓRIO EM CONDUTOS FORÇADOS — MODELO VISCOELÁSTICO LINEAR

O fluxo transitório em um conduto sob pressão é governado pelas equações diferenciais parciais não-lineares de quantidade de movimento (Eq. 1) e da continuidade (Eq. 2) (Chaudhry, 1987; Almeida e Koelle, 1992; Wylie e Streeter, 1993):

0htQ

gA1

xH

f =+∂

∂+

∂

∂ (1)

0xQ

gAa

tH 2

0 =∂

∂+

∂

∂ (2)

sendo x a distância, t o tempo, H(x,t) a carga pie-zométrica e Q(x,t) a vazão, variáveis ao longo do comprimento da tubulação e do tempo, a0 a celeri-dade ou velocidade de propagação da onda elástica, g a aceleração da gravidade, A a área da seção trans-versal do tubo e hf a perda de carga devido ao atrito, dada pela seguinte expressão para escoamento em regime turbulento:

2fgDA2

QfQh = (3)

sendo f o fator de atrito (calculado para condição de escoamento permanente) e D o diâmetro interno da tubulação.

Considerando o comportamento elástico da parede do tubo, a celeridade pode ser estimada por (Wylie e Streeter, 1993):

( )( )[ ]02

20 E/Ke/D1

Ka

ψ+ρ= (4)

sendo K2 o módulo de elasticidade do fluido, ρ a massa específica do fluido, E0 o módulo de elastici-dade do tubo (Young), e a espessura da parede do tubo e ψ um parâmetro adimensional que depende das propriedades elásticas do conduto (dimensões da seção transversal, condições de ancoragem da tubulação, coeficiente de Poisson).

Tal equacionamento é tradicionalmente empregado para a análise de transitórios hidráulicos em tubulações metálicas, as quais possuem relação tensão x deformação linear e elástica, diferentemen-te dos tubos plásticos.

Tubos plásticos, tais como PVC e PE, res-pondem às solicitações de maneira instantânea elás-tica e retardada viscosa (lenta). Assim, a deformação total pode ser decomposta em deformação instantâ-nea elástica, εe, e uma parcela de retardo, εr (Covas et al., 2005b):

( ) ( )tt re ε+ε=ε (5)

A variação da deformação ao longo do tem-po, ε(t), para uma tensão constante σ0, estabelece a função de fluência do material, J(t) = ε(t)/σ0, a qual é dependente da estrutura molecular, temperatura e tensão aplicada. Neste trabalho, a função de fluên-cia J(t) é determinada utilizando um modelo inverso baseado em dados coletados durante o escoamento transitório. Assim, a função de fluência deve ser representada por uma expressão matemática e o modelo generalizado Kelvin-Voigt de um sólido viscoelástico (Figura 1) é utilizado para descrever a função de fluência. Tal modelo consiste de uma combinação de elementos mecânicos — molas e a-mortecedores — que reproduzem o comportamento viscoelástico de um sistema real (Aklonis e MacKni-ght, 1983):

( ) ( )∑=

τ−−+=KV

kN

1k

/tk0 e1JJtJ (6)

sendo J0 a fluência do primeiro elemento mola defi-nida por J0 = 1/E0, Jk a fluência da mola do k-ésimo elemento Kelvin-Voigt definido por Jk = 1/Ek, Ek o módulo de elasticidade da mola do k-ésimo elemen-to, τk o tempo de relaxação do amortecedor no k-ésimo elemento, τκ = µk/Ek, µk a viscosidade dinâmi-ca do amortecedor no k-ésimo elemento, e NKV o número de elementos Kelvin-Voigt. Os parâmetros Jk e τk são calibrados de acordo com dados experimen-tais.


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0E

1E

1µ

2E

2µ

KVNE

KVNµ

Figura 1 — Modelo mecânico generalizado Kelvin-Voigt de

um sólido viscoelástico O conjunto de equações diferenciais parci-

ais hiperbólicas (Eqs. 1 e 2) é utilizado para a des-crição de transitórios hidráulicos em condutos com comportamento elástico linear. No entanto, para a consideração do comportamento viscoelástico do material da parede do tubo, a equação da continui-dade (Eq. 2) deve ser novamente deduzida a partir do teorema de transporte de Reynolds. Assim, as duas componentes de deformação devem ser avalia-das: (i) a deformação elástica, que é incluída no termo derivativo da carga piezométrica em relação ao tempo e na velocidade de propagação da onda elástica, calculada pela Eq. (4), considerando E0 = 1/J0, e (ii) a deformação lenta, que é represen-tada por um novo termo na equação da continuida-de. Assim, a equação da continuidade torna-se:

0dtd

ga2

xQ

gAa

dtdH r

20

20 =

ε+

∂

∂+ (7)

O novo conjunto de equações diferenciais é

resolvido pelo Método das Características, o qual permite a transformação das Eqs. (1) e (7) em um conjunto de equações diferenciais totais válidas ao longo das linhas características com declividades dx/dt = ±a0:

0tg

a2ha

dtdQ

gAa

dtdH

:C r20

f00 =

∂

ε∂+±±± (8)

Utilizando uma malha computacional re-tangular (Figura 2) e desprezando os termos con-vectivos (em condutos forçados, a velocidade de escoamento do fluido é desprezível comparada à celeridade), estas equações simplificadas podem ser resolvidas numericamente pelo seguinte equacio-namento:

( ) ( )

0tg

ta2tha

QQgAa

HH:C

1i,i

r20

f0

tt,1it,i0

tt,1it,i

=

∂

ε∂∆+∆±

−±− ∆−∆−±

m

mm

(9)

válido ao longo de ∆x/∆t = ±a0. Nestas equações, a declividade da linha de energia (terceiro termo) e o termo derivativo temporal da deformação lenta (quarto termo) não podem ser diretamente resolvi-dos e requerem mais uma discretização numérica. Covas (2003) apresenta as bases para o cálculo des-tes termos e o novo método é chamado aqui de Método das Características Híbrido (HMOC).

1−i i 1+i

1 ...2 N... 1+N

A

P

B

+C

−C

t.ax ∆=∆

t

tt ∆+

t

x0=t

0=x Lx =

Figura 2 — Linhas características no plano x-t

Assim, os termos ∂εr/∂t e εr são calculados como sendo a soma dos mesmos termos parciais para cada elemento Kelvin-Voigt k:

( ) ( ) ( )

k

rk

k

krk t,iJt,iF

tt,i

τ

ε−

τ=

∂

ε∂ (10)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )tt,iet

tt,iFt,iFe1J

tt,iFeJt,iFJt,i

rk/t

/tkk

/tkkrk

k

k

k

∆−ε+

+∆

∆−−−τ−

+∆−−=ε

τ∆−

τ∆−

τ∆−

(11)

em que:

( ) ( ) ( )[ ]iHt,iHe2D

t,iF 0−γα

= (12)

sendo γ o peso específico do fluido, H0 a carga pie-zométrica em regime de escoamento permanente e α o coeficiente dependente do tipo de ancoragem do tubo.

A perda de carga devido ao atrito, hf, é cal-culada utilizando a formulação proposta por


150

Vítkovský et al. (2000), segundo a qual a perda por atrito resulta da soma entre as parcelas referentes ao fator de atrito em escoamento permanente e às acelerações local e convectiva do fluido. Assim, a perda de carga devido ao atrito é dada por:

( )

∂

∂+

∂

∂+=

xQ

QSGNatQ

gA'k

gDA2

QfQh 02f (13)

sendo k’ um coeficiente de amortecimento e SGN o operador de sinal do sentido da vazão no tubo.

Neste trabalho, o esquema numérico pro-posto por Covas (2003) é aplicado, segundo o qual um esquema explícito de primeira ordem é utilizado para o cálculo do termo convectivo e um esquema implícito de primeira ordem para o termo local. Aceleração convectiva

x

QQ

xQ

:C tt,1itt,i

∆

−=

∂

∂ ∆−∆−± m (14)

Aceleração local

t

QQ

tQ

:C tt,it,i

∆

−=

∂

∂ ∆−± (15)

Operador de sinal

( ) ( )tt,1iQSGNQSGN:C ∆−± =

m (16)

Os equacionamentos apresentados para a

malha regular permitem a determinação de H, Q e ε nas seções interiores da malha de cálculo. Nos pon-tos extremos, são necessárias equações complemen-tares em termos de H e Q para a obtenção da solu-ção nos contornos, pois se dispõe de apenas uma reta característica em cada extremidade. Equações específicas para cada tipo de fronteira são apresen-tadas por Chaudhry (1987), Almeida e Koelle (1992) e Wylie e Streeter (1993). TESTE DO MODELO HIDRÁULICO PARA O SISTEMA EXPERIMENTAL DO IMPERIAL COLLEGE DE LONDRES

Para a verificação do modelo matemático desenvolvido e implementado, dados apresentados por Covas (2003) foram utilizados. A autora execu-tou ensaios em escoamento transitório em um expe-

rimento de laboratório no Imperial College de Lon-dres, Reino Unido (Figura 3). O sistema em série é composto por tubos de polietileno de alta densidade (PEAD), com 50,6 mm de diâmetro interno e 6,25 mm de espessura. Há um tanque hidropneumá-tico (THP) com 750 L de volume a montante do sistema e uma válvula de globo a jusante, destinada a controlar a vazão e gerar eventos transitórios. O comprimento total é de 271,50 m (comprimento entre o tanque pressurizado e a válvula de globo).

Figura 3 — Sistema de laboratório do Imperial College de

Londres (Covas et al., 2004) Duas hipóteses foram consideradas no teste

do modelo hidráulico desenvolvido. Primeiro, foi considerado que as atenuações de pressão eram devidas ao atrito em escoamento permanente e es-coamento transitório. Por último, o mesmo teste foi efetuado considerando a viscoelasticidade do tubo, mas negligenciando fator de atrito variável.

No primeiro teste, o escoamento transitório foi simulado para condições de regime turbulento (Q0 = 1,008 L/s e Re = 25000), utilizando a formula-ção de Vítkovský et al. (2000). A celeridade e o coe-ficiente de amortecimento foram estimados por Covas (2003) (a0 = 385 m/s e k’ = 0,14).

No segundo teste, o modelo viscoelástico li-near foi empregado. A celeridade foi estimada em 395 m/s (J0 = 0,70 GPa

-1). A função de fluência J(t) foi representada por uma combinação de três ele-mentos Kelvin-Voigt com tempos de relaxação τ1 = 0,05 s, τ2 = 0,50 s e τ3 = 10,0 s, e coeficientes de fluência J1 = 1,04E-10 Pa

-1, J2 = 1,24E-10 Pa-1 e

J3 = 4,10E-10 Pa-1.

Os resultados para um evento transitório de 20 s são apresentados na Figura 4 (em termos das pressões) e na Figura 5 (em termos das medidas de deformação circunferencial lenta e total), para os pontos T1 e SG1, respectivamente (imediatamente a montante da válvula de globo), considerando os seguintes casos: (i) modelo elástico linear (modelo clássico de golpe de aríete); (ii) modelo elástico


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linear considerando fator de atrito variável de Vítkovský et al. (2000) com coeficiente de amorte-cimento k’ constante; e (iii) modelo viscoelástico linear.

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0 5 10 15 20Tempo (s)

Pressão (m)

Elástico (Clássico) Elástico (Fator de Atrito Variável)

Experimental

Viscoelástico

Figura 4 — Pressão no Ponto T1: dados experimentais e resultados numéricos considerando viscoelasticidade e

fator de atrito variável para regime turbulento

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20Tempo (s)

Resultados Numéricos: deformação lenta

Resultados Numéricos: deformação total

Dados Experimentais: deformação total

Deformação Circunferencial (

µµ µµm/m

)

Figura 5 — Deformação circunferencial no Ponto SG1:

dados experimentais e resultados numéricos consideran-do viscoelasticidade

Se somente o fator de atrito variável é con-

siderado nas simulações, uma elevada discordância entre os dados coletados e os resultados numéricos é observada. A pressão coletada no Ponto T1 apresen-ta um súbito decréscimo imediatamente após a ma-nobra da válvula, seguida de uma maior dissipação e dispersão da onda de pressão. Os picos de pressão e a forma das ondas de pressão resultantes das simula-ções numéricas não se ajustam adequadamente aos dados coletados. Já a solução produzida pelo mode-lo viscoelástico linear prevê corretamente a atenua-ção e dispersão das pressões e das deformações cir-cunferenciais, ajustando-se aos dados experimentais.

APLICAÇÃO DO MODELO HIDRÁULICO PARA A REDE EXPERIMENTAL DA EESC/USP Descrição do Sistema e Coleta de Dados

O Painel Hidráulico Experimental (PHE), mostrado na Figura 17 (Apêndice A), possui três sistemas básicos: o sistema de alimentação, o sistema hidráulico de ensaios propriamente dito e o sistema de aquisição de dados. É composto por tubulações de PVC (PN 750 kPa), de comprimento total 203,20 m e possui concepção vertical.

A alimentação do sistema hidráulico é feita através de duas bombas centrífugas de 1 e 5 cv de potência, ligadas em paralelo e com uma válvula de retenção imediatamente a jusante. O sistema de alimentação possui, ainda, três tanques hidropneu-máticos de 135 L cada, e um reservatório mantido com nível constante de 5 m durante os experimen-tos (circuito fechado).

O Sistema Hidráulico de Ensaios é formado, basicamente, por um conjunto de tubulações de 53, 75 e 101 mm de diâmetro interno, e 3,6, 5,2 e 6,5 mm de espessura das paredes, respectivamente. Além de componentes hidráulicos diversos, como tês, cotovelos e reduções, o sistema hidráulico possui um conjunto de 16 válvulas esfera e 16 válvulas de gaveta, destinadas à seleção de topologias e ao con-trole de vazões, e uma válvula automática para o estabelecimento de condições transitórias no siste-ma. O sistema dispõe ainda de 12 pontos laterais com válvulas de gaveta, destinados aos testes de dife-rentes técnicas de detecção de vazamentos.

O sistema de aquisição de dados é constitu-ído de três medidores de vazão eletromagnéticos de 100 mm, nove medidores de vazão tipo roda d’água (hidrômetro) nos pontos de vazamento, 16 transdu-tores de pressão, placa de aquisição de dados, mi-crocomputador, software para registro de pressões e vazões, geração de gráficos, armazenamento de da-dos e controle da válvula automática (tempo de fechamento através do torque do motor).

Neste trabalho, são apresentados os resulta-dos baseados em investigações sobre o circuito sim-plificado do PHE (Figura 18, Apêndice A). Com isto, reduziram-se as incertezas e complexidades envolvidas no isolamento dos diferentes fenômenos e reflexões durante os transitórios hidráulicos.

Considerando a configuração do sistema apresentado na Figura 18, todas as tubulações em série possuem diâmetro interno igual a 75 mm, ex-ceto os tubos a montante e jusante do medidor de


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vazão eletromagnético, com 101 mm, e ramais verti-cais, com 53 mm. Além disso, há uma redução para 15 mm entre a bomba centrífuga e a válvula de re-tenção. O sistema, com a topologia escolhida, possui comprimento total de 97,20 m, sendo 18,10 m do reservatório à bomba, 67,30 m da bomba à válvula de esfera (P07) e 11,80 m ao longo de ramais.

Dados de pressão foram coletados em qua-tro pontos do sistema (Figura 18): P06 — 7,20 m a jusante da bomba; P02 — 32,40 m a jusante da bom-ba; P01 — 46,10 m a jusante da bomba; e P07 — 67,00 m a jusante da bomba e imediatamente a montante da válvula de esfera, a qual é utilizada para promover os eventos transitórios.

Durante os experimentos, a vazão na entra-da do sistema foi medida somente em condições de escoamento permanente, e os conjuntos de dados de pressão foram coletados com uma freqüência de aquisição de 1000 Hz. Neste trabalho, os testes fo-ram realizados para dois valores de vazão em regime de escoamento permanente e turbulento (Q0 = 1,77 L/s — Re ≅ 30000; e Q0 = 1,00 L/s — Re ≅ 17000).

Para a representação matemática da bomba, foram utilizadas curvas características definidas pe-los parâmetros de Suter para carga piezométrica e torque. A válvula de retenção foi modelada como sendo uma válvula em linha, e os valores de fecha-mento relativo, tempo de fechamento e vazão rever-tida foram determinados para cada simulação. Calibração e Validação do Modelo Hidráulico

Estabelecidas as condições de contorno, partiu-se para a calibração e validação do modelo hidráulico desenvolvido. O primeiro parâmetro a ser determinado é a celeridade (velocidade de propa-gação da onda elástica), a qual pode ser estimada a priori por fórmulas teóricas (Chaudhry, 1987; Wylie e Streeter, 1993) com valor tabelado para o módulo de elasticidade do material do tubo. Além disso, a celeridade pode ser estimada com base no tempo de propagação da primeira onda de pressão entre dois transdutores (t*): a0 = LT/t*, sendo LT a distância entre os transdutores.

Considerando valores fornecidos por fabri-cantes, o módulo de elasticidade do PVC varia de 2,40 a 2,75 GPa, equivalente às celeridades de 411 a 438 m/s. Já com a avaliação dos tempos de propaga-ção da onda de pressão entre os transdutores, a velocidade da onda de pressão foi estimada em tor-no de 440 m/s, equivalente a um módulo de elasti-cidade de 2,78 GPa.

No entanto, foi constatado nas simulações numéricas que tais valores para as celeridades não resultavam em bons ajustes entre os valores simula-dos e observados durante os experimentos. A onda de pressão resultante das simulações computacionais apresentava sempre um retardo em relação à varia-ção de pressão levantada nos ensaios, e as sobrepres-sões eram menores que as observadas. Isto se deve ao fato da utilização do módulo de elasticidade está-tico para o material dos tubos e à dispersão da onda de pressão devido ao fator de atrito variável, efeitos inerciais do fluido e à deformação lenta das paredes do tubo. Segundo Covas et al. (2004), a análise de freqüência simplesmente fornece uma estimativa grosseira do valor da velocidade de propagação da onda de pressão, e que, em materiais plásticos, a celeridade é um parâmetro variável ao longo do tempo, ao contrário dos materiais de comportamen-to elástico, para os quais pode ser considerada cons-tante.

Sendo assim, diversas simulações hidráulicas foram realizadas utilizando valores para a celeridade variando de 450 a 520 m/s. Valores entre 450 e 460 m/s mostraram-se satisfatórios na reprodução das sobrepressões, mas não em relação à atenuação e dispersão dos picos de pressão. Tais valores para a celeridade de 450 e 460 m/s conduzem a módulos de elasticidade dinâmicos correspondentes, respec-tivamente, a 2,92 e 3,069 GPa.

Para a reprodução das variações de pressão, duas hipóteses foram consideradas na análise dos efeitos dinâmicos: fator de atrito variável e viscoelas-ticidade.

Na primeira tentativa de calibração do mo-delo hidráulico desenvolvido, foi assumido que os efeitos de dispersão e atenuação da onda de pressão eram devidos ao atrito em escoamento permanente e, também, ao fator de atrito em escoamento transi-tório, o qual é variável. O evento transitório foi si-mulado para condições turbulentas de escoamento (Q0 = 1,77 L/s; Re ≅ 30000) utilizando a formulação de Vítkovský et al. (2000). A celeridade foi estimada em 450 m/s e o coeficiente de amortecimento k’ = 0,004. A Figura 6 possibilita as comparações entre os resultados obtidos para as simulações nu-méricas utilizando fator de atrito variável e os valo-res observados de pressão.

O pico inicial é reproduzido pelo modelo elástico, mas de maneira alguma a atenuação e dis-persão da onda de pressão são ajustadas pelo uso de fator de atrito variável durante as simulações numé-ricas. Ocorre um atraso na onda de pressão, mas a forma desta não é reproduzida. Portanto, o uso de fator de atrito variável nas simulações hidráulicas


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não reproduz os efeitos de atenuação e dispersão durante transitórios hidráulicos em condutos de PVC.

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1 2 3 4 5 6Tempo (s)

Pressão (m)

Experimental

Elástico (Fator de Atrito Variável)

Figura 6 — Pressão no Ponto P07: dados experimentais e resultados numéricos do modelo elástico com fator de

atrito variável (Q0 = 1,77 L/s; Re ΗΗΗΗ 30000) Sendo assim, uma segunda tentativa de cali-

bração do modelo hidráulico partiu da hipótese da consideração do comportamento viscoelástico do PVC durante os transitórios hidráulicos.

O uso do modelo hidráulico viscoelástico requer como dado de entrada a descrição da função de fluência ao longo do tempo J(t), representada pelo modelo generalizado Kelvin-Voigt. O modelo é descrito pelo termo elástico de fluência J0 (em fun-ção de E0 e, portanto, de a0) e pelo termo de defor-mação lenta, representado pelos coeficientes Jk e τk para cada elemento Kelvin-Voigt. Tal função de fluência não é conhecida a priori e deve ser estima-da, seja por um procedimento inverso (calibração) ou por ensaios mecânicos com o uso de corpos de prova do material.

Neste trabalho, um modelo inverso baseado em dados de pressão coletados e em dois métodos de busca direta foi utilizado para a determinação da função de fluência J(t). O valor da celeridade foi estimado em 460 m/s, ou seja, E0 = 3,069 GPa e J0 = 0,3258 GPa

-1. Os coeficientes Jk e τk foram avali-ados primeiro pelo uso de algoritmos genéticos como método de busca no procedimento de cali-bração, considerando a leitura de pressões no Pon-to P07. Fixados os valores de τk, os coeficientes Jk foram reavaliados pelo uso do método de busca local Levenberg-Marquardt.

Nas simulações numéricas iniciais, foram testadas combinações de 1, 2 e 3 elementos Kelvin-Voigt para a representação da função de fluência. A melhor combinação para o ajuste das pressões cole-

tadas durante os experimentos foi de apenas um elemento Kelvin-Voigt. As Figuras 7 a 10 mostram os resultados numéricos do modelo viscoelástico linear produzidos com os valores ajustados de τ1 = 0,05 s e J1 = 0,0225 GPa

-1, bem como dos dados de pressão coletados em escoamento transitório, para os Pontos P06, P02, P01 e P07, considerando o mesmo ensaio anterior (Q0=1,77 L/s; Re ≅ 30000).

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1 2 3 4 5 6Tempo (s)Pressão (m)

Experimental

Viscoelástico

Figura 7 - Pressão no Ponto P06: dados experimentais e

resultados numéricos do modelo viscoelástico (Q0 = 1,77 L/s; Re ΗΗΗΗ 30000)

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1 2 3 4 5 6Tempo (s)

Pressão (m)

Experimental

Viscoelástico



O modelo viscoelástico linear apresenta

bons ajustes aos dados de pressão coletados nos ensaios de laboratório. Reproduz os efeitos de ate-nuação e dispersão observados nos experimentos, bem como o período da onda de pressão. As maio-res discrepâncias são observadas no Ponto P02, onde o transdutor de pressão estava instalado em uma junção em tê, ponto com maiores efeitos de turbu-lência.


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Pressão (m)

Experimental

Viscoelástico



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Pressão (m)

Experimental

Viscoelástico



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300

400

500

600

700

1 2 3 4 5 6Tempo (s)

Resultados Numéricos: deformação total

Deformação Circunferencial (

µµ µµm/m

)

Resultados Numéricos: deformação lenta

Figura 11 — Deformação circunferencial no Ponto P07:


Embora não se disponha de extensômetros

instalados no PHE para a medição de deformações

durante os ensaios, são mostradas na Figura 11 as taxas de deformação circunferencial total e lenta obtidas nas simulações numéricas para o Ponto P07

Os resultados obtidos para o PVC demons-traram que a parcela de deformação lenta represen-ta, em média, 6% da deformação total. A deforma-ção lenta para os tubos de PEAD representou 25% da deformação total.

A função de fluência obtida para Q0 = 1,77 L/s, foi verificada através de testes realiza-dos para outro valor de vazão, também em condi-ções de regime turbulento (Q0 = 1,00 L/s e Re ≅ 17000).

Sendo assim, o modelo viscoelástico linear foi utilizado com a mesma função de fluência de-terminada para o caso de Q0 = 1,77 L/s. As Figu-ras 12 a 15 mostram os valores obtidos nas simula-ções numéricas e os dados coletados de pressão para os Pontos P06, P02, P01 e P07.

30

33

36

39

42

45

48

0 2 4 6Tempo (s)

Pressão (m)

Viscoelástico

Experimental



30

33

36

39

42

45

48

0 2 4 6Tempo (s)

Pressão (m)

Viscoelástico

Experimental




155

30

33

36

39

42

45

48

0 2 4 6Tempo (s)

Pressão (m)

Viscoelástico

Experimental



O modelo hidráulico que leva em conside-

ração o comportamento viscoelástico dos tubos de PVC reproduz a atenuação e dispersão das variações de pressão nos pontos observados durante o evento transitório. A mesma função de fluência determina-da para o caso Q0 = 1,77 L/s foi utilizada com suces-so para o caso de Q0 = 1,00 L/s.

30

33

36

39

42

45

48

0 2 4 6Tempo (s)

Pressão (m)

Viscoelástico

Experimental



A função de fluência determinada no pro-

cesso de calibração é mostrada na Figura 16. Uma comparação entre a função estimada para os tubos de PVC e os valores apresentados por Covas (2003) para os tubos de PEAD é também apresentada. O valor de J(t) para o PVC é estabilizado logo a cerca de 0,25 s. Isto se deve ao fato da utilização de apenas um elemento Kelvin-Voigt nas simulações numéricas e, também, dos baixos valores obtidos para τk e Jk.

0.0E+00

2.0E-10

4.0E-10

6.0E-10

8.0E-10

1.0E-09

1.2E-09

1.4E-09

1.6E-09

1.8E-09

0 1 2 3 4 5 6Tempo (s)

J (Pa-1 )

PEAD

PVC

3.20E-10

3.25E-10

3.30E-10

3.35E-10

3.40E-10

3.45E-10

3.50E-10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4Tempo (s)

J (Pa-1 )

Figura 16 — Funções de fluência calibradas para os tubos

de PEAD (Covas, 2003) e PVC CONCLUSÕES

Uma análise da modelagem de transitórios hidráulicos em condutos plásticos foi apresentada no presente trabalho. Para tanto, um modelo hi-dráulico que considera fator de atrito variável (ter-mo adicional na equação da quantidade de movi-mento) e comportamento mecânico viscoelástico do material do tubo (termo adicional na equação da continuidade) foi proposto.

Dados coletados sob condições turbulentas em duas instalações experimentais foram utilizados, sendo a primeira composta por tubos de polietileno de alta densidade (PEAD) para o teste do modelo hidráulico, e a segunda contendo tubos de policlo-reto de vinila (PVC) para a calibração e verificação do modelo apresentado.

Pode-se dizer que a teoria clássica do golpe de aríete mostrou-se ineficaz na reprodução do comportamento hidráulico dos sistemas analisados. A consideração do efeito dinâmico relativo ao fator de atrito variável também não se mostrou suficiente para a reprodução dos valores de pressão coletados. A solução pelo modelo viscoelástico linear previu corretamente a atenuação e dispersão das ondas de pressão, ajustando-se aos dados experimentais. Para tanto, a função de fluência do PVC foi estimada por um modelo inverso baseado em métodos de busca global (algoritmos genéticos) e local (método Le-venberg-Marquardt). Comparações dos valores obti-dos para as duas instalações mostraram que os tubos de PEAD possuem maiores taxas de deformação lenta do que os tubos de PVC, e a função de fluência do PVC estabiliza-se mais rapidamente do que a do PEAD.


156

AGRADECIMENTOS

À Fundação de Amparo à Pesquisa do Esta-do de São Paulo (FAPESP), pela bolsa de estudos de doutorado concedida ao primeiro autor, à Coorde-nadoria de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pela bolsa de estudos de estágio de doutorando no exterior concedida também ao primeiro autor. Os autores agradecem também ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pela concessão de bolsa de produtividade em pesquisa para o terceiro autor do trabalho. REFERÊNCIAS AKLONIS, J. J.; MACKNIGHT, W. J. (1983). Introduction to

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Hydraulic Transients

ABSTRACT

In this work, it has been presented a study about

the occurrence and modeling of hydraulic transients in


157

plastic pipes, which are characterized by viscoelastic rheological behavior. Transient pressure data were collected in two pipe-rigs, one composed of polyvinyl chloride pipes (PVC) and another consisting of high density polyethylene pipes (HDPE). Attempts using unsteady friction and pipe-wall viscoelasticity effects were performed in order to describe transient pressure data. Obtained numerical results have shown that, if only unsteady friction was considered in the

simulations, the attenuation and dispersion of transient pressures were not properly described. The incorporation of viscoelastic mechanical behavior provided an excellent fitting between numerical results and collected pressure data. Key-words: hydraulic transients; viscoelasticity; plastic pipes.

APÊNDICE A:

Vazamento

Transdutor de pressão

Válvula de gaveta

Válvula esfera

Medidor de vazão

LEGENDA:

THP-1

Reservatório

THP Válvula de retenção

Bomba

Tanque hidropneumático

THP-2 THP-3

Válvula automática

PVC φφφφ 4" PVC φφφφ 3" PVC φφφφ 2"

Figura 17 — Painel Hidráulico Experimental (PHE)

P06

P02

P07

P01

Reservatório

Transdutor de pressão

Válvula de gaveta

Válvula esfera

Medidor de vazão

LEGENDA:

Válvula de retenção

Bomba

PVC φφφφ 4" PVC φφφφ 3" PVC φφφφ 2"

Figura 18 — Configuração simplificada do PHE

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