Análise modal com Elementos Finitos

Larissa Driemeier

Rafael Traldi Moura

Marcílio Alves

1

Algumas questões

• Frequências naturais e modos de vibrar

– para projeto estrutural

– para análise forçada

– resposta estrutural a cargas harmônicas (resposta transiente

ignorada)

• Resposta da estrutura ao longo do tempo devido a carregamentos

repentinos ou não periódicos (integração da equação do

movimento)

– Se apenas baixos modos de vibração são excitados ou tempo

de resposta requerido for longo: usar integração implícita ou

superposição modal

– Se carregamento excita várias frequências e tempo de resposta

for curto: usar integração explícita

• Análise espectral: máxima resposta a cargas não periódicas

2

ESTÁTICO:

•Monta-se a matriz de rigidez

•Monta-se o vetor de carregamento

•Obtém-se o deslocamento u=k-1f

DINÂMICO I:

•Monta-se a matriz de rigidez

•Monta-se a matriz de massa

•Obtém-se as freqüências naturais

e modos de vibrar

DINÂMICO II:

•Monta-se a matriz de rigidez

•Monta-se a matriz de massa

•Monta-se o vetor carregamento

•Obtém-se o deslocamento,

velocidades e acelerações de

mx’’+cx’+kx=f

Algumas estratégias de solução não

montam a matriz de rigidez ou de massa3

Análise modal

• Objetiva determinar as

freqüências naturais de uma

estrutura e os modos de vibrar

associados

4

2

2

1 2 1

1 2

{ } { }sin { } { }sin

[ { }

[ { }

[ [ [ { }

[

t t

D D D D

M]{D}+[K]{D} = 0

M] {D}+[K]{D} = 0

M] M] {D}+ M] [K]{D} = 0

M] [K]{D} = {D}

Sem amortecimento

Problema de auto vetor – auto valor

Procura-se (auto) valores não

triviais associados ao (auto)

vetor {D}

Exemplo

>> M=[3 0;0 7]

M =

3 0

0 7

>> K=[5 -3;-3 2]

K =

5 -3

-3 2

>> [V,W] = eig(K\M)

V =

-0.9676 -0.5202

0.2526 -0.8541

W =

0.5188 0

0 40.4812

>> K\M*V1

-0.5010

0.1326

>> W*V1

-0.5010

0.1326

6

Importância da Análise Modal: método de solução

Modes and frequencies7

Importância da Análise Modal: aplicações

8

Trabalho das forças concentradas externas

=

Trabalho absorvido por forças de inércia,

de amortecimento e internas

1

n

ì iic dV

T T T Tδu p δu u + δu u + δε σ

Forças de corpo e de tração

na superfície são desprezadas aqui

int

int

{ } [ ] [ ] [ ] ] 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } ]

[ ] [ ] [

T T T T

i

T

ext

dV c dV dV

dV c dV dV

T T

{u} = [N]{d} {u} = [N]{d} {u} = [N]{d} {ε} = [B]{d}

d N N d + N] [N d + [B σ p

m N N c N N r [B σ

[m]{d}+ c {d}+{r} = {r} [m]{d}+ c {d}+ k]{d} = { ext

ext

r}

[M]{D}+[C]{D}+[K]{D} = {R}

Exercício em classe: deduza estas equações

Se Rext=0 então a análise é modal.

Se Rext≠0 então a análise é transiente.

nos nós

Se material linearPode-se optar por não montar K

Matriz de massa

[ ] [ ] [ ]dV T

m N N

1 0[ ]

0 12

m

m

Consistente:

Porque é obtida a

partir das funções

de forma

Distribuida nos nós:

Ad hoc

Não diagonal

Diagonal (treliça)

Elemento de viga:

Sem inércia de rotação

Com inércia de rotação

2 2[ ] 1/ 2 1/ 2 1/ 242

[ ] 1/ 2 0 1/ 2 02

mL L

m

m

m

Matriz de massa consistente para viga (sem inércia axial)

0

2 3

2 3

2 3

2 3 2 3 2 3 2 3 2

2 3 2 2 3 2 2 30

2 3

2 3

2

2 2

2

[ ] [ ] [ ]

1 3 2

2

[ ] [1 3 2 2 3 2 ]

3 2

156 22 54 13

4 13 3[ ]

156 22420

4

L

L

A dx

x x

L L

x xx

x x x x x x x x L Lm A x dx

L L L L L L L L x x

L L

x x

L L

L L

L L Lmm

L

L

Tm N N

M=ρ A L

12

Matriz de massa consistente para elemento de barra

• Quando as integrações são feitas utilizando as funções de forma

para elemento de barra a matriz de massa obtida é,

0

2 1 2 1

1 2 1 26 6

LT AL m

A d

m N N

2 1 1 1

1 2 1 16

i i i

j j j

u u fAL AE

u u fL

mu ku f

Portanto, a equação de equilíbrio para o elemento de barra é dada por,

13

2

2

2

1

ALm

ALm

m1 e m2 são obtidos “distribuindo” a massa total da barraigualmente nos dois nós.

1 0 1 0

0 1 0 12 2

AL m

m

1 2

14

13 3

mc

ml

15

• Usando considerações sobre energia, pode-se provar que matrizes de massa se transformam da mesma maneira que matrizes de rigidez.

Matriz de massa para elementos de treliça

T m T mT

0 0

0 0

0 0

0 0

C S

S C

C S

S C

Tcos

sin

C

S

2 0 1 0

0 2 0 1

1 0 2 06

0 1 0 2

m

m

Note que a segunda e quarta linhas da matriz de massa não são nulas porque

elementos de treliça têm resistência inercial a forças perpendiculares a seu eixo

(em contraste à sua rigidez)

16

• Equação de equilíbrio dinâmico para treliça

2 2

2 2

2 2

2 2

2 0 1 0

0 2 0 1

1 0 2 06

0 1 0 2

i i i

i i i

j j j

j j j

u u pC CS C CS

v v qCS S CS SAL AE

u u pL C CS C CS

v v qCS S CS S

17

Exemplo 1: Análise modal de uma barra

• Considere um barra de seçãotransversal A, comprimento L, módulo de Elasticidade E, densidade e com um dos ladosfixos.

• Determine a freqüência natural da barra usando matriz de massaconsistente e diagonal com

a) um elemento de barra

b) dois elementos de barra

• Compare seus cálculos em EF com resultado exato

A, E,

L

18

Item a: Modelo com 1 elemento

(MM Consistente)

• Usando um elemento e matriz de massa consistente, a

estrutura tem dois nós (um fixo), resultando em um sistema

de 1 GL.

1 0u 2u t

1 1

2 2

2 1 1 1 0

1 2 1 1 06

u uAL AE

u uL

2 22

30

Eu u

L

11

3 E

L

19

• Se a matriz de massa diagonal é utilizada,

• Obviamente o uso de matrizes de massa diferentes produzem resultados

diferentes.

1 1

2 2

1 0 1 1 0

0 1 1 1 02

u uAL AE

u uL

2 22

20

Eu u

L

11

2 E

L

Item a: Modelo com 1 elemento

(MM Diagonal)

20

Comparação com resultado exato

Exato 1 elemento

(consistente)

1 elemento

(diagonal)

2 elementos

(consistente)

2 elementos

(diagonal)

-- --

1

2

/2 1.571

3 /2 4.712

1.732 1.414 1.611

5.629

1.531

3.696

1 E

L

21

Discussão de resultados

• As comparações na tabela demonstram que,

a) Maior número de elementos e GL aproximam melhor a aproximação

do resultado exato

b) O uso da matriz de massa consistente produz resultados um pouco

melhores para as freqüências fundamentais

c) Aproximações para freqüências maiores são muito piores em todos os

casos.

d) Necessita-se de um número substancialmente maior de GL que o

número de freqüências e modos de vibrar desejados para ter uma

aproximação razoável para todas as freqüências calculadas (tente

fazer essa análise com vários GL em um programa comercial de EF).

22

Métodos híbridos

Combina os métodos consistente e diagonal paraaproveitar os benefícios de cada um.

Matriz diagonal HRZ (Hinton, Rock, and Zienkiewicz)

(HRZ Lumping)

Para elemento de barra:

30

03

6

2

3

64

21

12

6

LA

s

m

LAs

LAm

LA

m

m

23

HRZ – Elemento de viga

312

420

420312

422313

221561354

313422

135422156

42022

22

s

m

LAs

LAm

LLLL

LL

LLLL

LL

m

m

22

2

2

420156 0 0 0

31239420

0 4 0 0312

420 39420 780 0 156 0

312

4200 0 0 4

312

LLm m

L

L

m

>use matriz consistente

>massa total do elemento é

preservada

>use somente termos da

diagonal

>s=some só termos de

translação m_ii

>multiplique todos os

coeficientes da diagonal por

m/s

Usar esta

24

25

Matrizes de massa

• Produto ma deve resultar no valor correto das forças totais

aplicadas no elemento (F = ma) quando a representa a aceleração

translacional de corpo rígido.

• Matrizes de massa consistentes m e M são positivas definidas.

• Matriz diagonal de massa é positiva semi-definida quando zeros

aparecem na diagonal principal.

• Matriz de massa diagonal é indefinida quando números negativos

aparecem na diagonal principal.

• Ambos os casos anteriores necessitam de tratamento especial…

26

Matrizes consistentessão mais precisas paraproblemas com flexão.

Matrizes consistentesdão limites superiorespara freqüênciasnaturais.

• Matrizes diagonais usualmentedão freqüências naturaismenores que os valoresexatos.

• Matrizes diagonais têm forma mais simples e ocupam menosespaço para armazenamento.

• Matrizes diagonais requeremmenos esforço computacional.

• Usualmente mais importantesem problemas de variáveisdependentes do tempo que emproblemas de vibração.

27

Aspectos computacionais

• Matriz de massa global é montada da mesma forma que a matriz de rigidez

• O problema de auto-valoresé resolvido porprocedimento dedicado

– No Matlab use eig ou eigs

– [modes,omegasquare]=

eig(m_global\k_global)

• Use também tranformaçãode coordenadas, m_e=T'*m_e*T

• Tenha em mente a eficiência do elemento parao caso estático

Programa para análise modal de vigas

function beam

%% A FE programme for static, dynamic and modal analysis of

beams

% Marcílio / Trodenheim and Sao Paulo, Feb-April 2008

set(0,'DefaultFigureWindowStyle','docked');

close all;clc;clear all;format short;

%% Global variables

global analysis nel nno h b In L Em rho m dofg

global gc cm bc nrn k_global m_global f v

global fa bca freq modes mode modef f_dyn beta alpha t_max ni

nd

%% Basic data input and loads

input

%% Mesh and bc

mesh

%% Main loop for global and stiffness matrixes

global_MK

%% Assembling load/bc vector

assembly_load_bc

%% Results

if analysis==1

displacement

elseif analysis==2

eig_problem

elseif analysis==3

dynamic_imp

elseif analysis==4

dynamic_exp

end

%% Plotting

plotting

Escreva um programa de elementos finitos (use elementos

de viga ou plano) para análise modal de vigas

Compare os resultados de seu programa com os dados

experimentais e com resultados teóricos

Obs. As equações teóricas podem ser obtidas diretamente da literatura mas a

dedução das mesmas valoriza o trabalho

Análise modal de vigas

dxxA(x)=b(x)h(x)

v(x,t)

p(x,t)

M(x,t) + M(x,t) dx

x

v(x,t)

dx

x x+dx

M(x,t)

Q(x,t)

Q(x,t) + Q(x,t) dx

x

p(x,t)

31

txvctxvmtxpx

Q,,,

Q

x

M

, e :vEIM

txptxEIvtxvctxvm iv ,,,,

p(x,t) = 0: 0,, 2 txvctxv ivm

EIc

Análise modal (vibração livre)

amortecimento=0

32

tTxtxv ),( separação

de variáveis

22

tT

tT

x

xc

constante

xCxC

xCxCx

xc

x

coshsinh

cossin

0

43

21

2

Ci: determinados a partir das

condições de contorno

cc //2/1

mEIc /22 ou

tBtAtT

tTtT

cossin

02

A,B: determinados a partir das

condições iniciais

Movimento é oscilatório no

tempo e tem freqüência

33

L

EI, A

Viga bi-apoiada...

Viga biapoiada:

i. v(x=0)=0

ii. v(x=L)=0

iii. M(x=0)=EIv”(x=0)=0

iv. M(x=L)=EIv”(x=L)=0

, flecha nula no apoio à esquerda.

, flecha nula no apoio à direita.

, momento nulo no apoio à esquerda.

, momento nulo no apoio à direita.

Exemplo

34

0)0(,0)0()(,0),0( ttTttv

0)0cosh()0sinh()0cos()0sin( 4321 CCCC

0)(,0)()(,0),( LtLtTttLv

0)cosh()sinh()cos()sin( 4321 CCCC

0)0(,0)0()(,0),0( ttTttvEI

0)0cosh()0sinh()0cos()0sin( 4321

2 CCCC

0)(,0)()(,0),( LtLtTttLvEI

0)cosh()sinh()cos()sin( 4321

2 CCCC

1{

2{

3{

4{

0

0

0

0

.

coshsinhcossin

1010

coshsinhcossin

1010

4

3

2

1

)(

C

C

C

C

141444

0.)(xxx

Aplicando as condições de contorno:

L

35

0

coshsenhcossen

1010

coshsenhcossen

1010

)(det

0sinhsin

c2

L

cLc22 /

0sinhsin ii 0sin ,.........2,1,0i

00sinh i 1i

em [Hz] : cL

if ii

2

2)2/(

em [rad/s] : cL

ii

2

-10

0

10

20

0 2 4 6 8 10

sin

sinh

36

0

0

0

0

.

coshsinhcossin

1010

coshsinhcossin

1010

4

3

2

1

)(

C

C

C

C

141444

0.)(xxx

Com , calcula-se C1,...C4

O sistema de equações acima é indeterminado.

É necessário arbitrar um valor, eg c1=1.

)/sinh()/sin()(00

03142

42

42LxCLxCxCC

CC

CCiiiii

00sinhsin

0sinhsin3

31

31

C

CC

CC

e 01 C

)/sin()/sin()( LxiLxx ii

,...,5,4,3,2,1i

37

PRIMEIRO MODO

)/ sin()(1 Lxx

[seg] )/2( 4

1 EImLT

SEGUNDO MODO

)/ 2sin()(2 Lxx

4/12 TT

)/ 3sin()(3 Lxx

9/13 TT

TERCEIRO MODO

38

Procedimento experimental: viga em balanço

L =______m

b =______m

h =______m

Área da secção, A= b*h = __________ m2

Massa distribuída, m= *A = __________ Kg/m

Momento de inércia, I = b*h3/12 = __________ m4

Rigidez à flexão, EI = __________ N.m2

AÇO: E = 210Gpa = 210E9 N/m2

= 7500 Kg/m3

Tabela de Comparação de Resultados

MODO

Freqüências Naturais em Hz Desvio %

Teórico (Ft) Experimental (Fe) 100*(Ft-Fe)/Fe

1

2

3

39

5 10 15 20

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

1+cos(L)cosh(L)

Raízes:

L=1.8751

L=4.694

L=7.854

L=10.9955 ...

Solução teórica: viga em balanço

xx

LL

LLxx

C

x

sinsinh

sinhsin

coshcoscoshcos

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

40