Análise Numérica do Punçoamento em Lajes Fungiformes · PDF...

FACULDADE DE

CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA

ANÁLISE NUMÉRICA DO PUNÇOAMENTO EM

LAJES FUNGIFORMES

Roberto Alves Inácio

Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e Tecnologia

da Universidade Nova de Lisboa para obtenção do grau de

Mestre em Engenharia Civil – Ramo de Estruturas e Geotecnia

Orientador: Doutor António Manuel Pinho Ramos

Júri

Presidente: Doutor Válter José da Guia Lúcio

Vogais: Doutor Mário Vicente da Silva

Doutor António Manuel Pinho Ramos

Lisboa

2010

i

ANÁLISE NUMÉRICA DO PUNÇOAMENTO EM

LAJES FUNGIFORMES

RESUMO

Neste trabalho é efectuada uma análise numérica para estudar o comportamento de lajes

fungiformes sujeitas a esforços de punçoamento. A análise foi realizada com o

programa ATENA 3D, que permite realizar análises não lineares com elementos finitos

tridimensionais. O programa baseia-se essencialmente no comportamento não linear do

betão e permite trabalhar com modelos de fissuração distribuída e leis de aderência.

Realizou-se um estudo comparativo entre modelos numéricos com ensaios

experimentais e feita uma análise referente aos deslocamentos verticais na laje,

extensões na armadura longitudinal superior e cargas de rotura. Foi alterado alguns

parâmetros referentes à modelação da laje, com o objectivo de conseguir aproximar a

simulação numérica do ensaio experimental.

iii

NUMERICAL ANALYSIS OF PUNCHING IN

REINFORCED CONCRETE FLAT SLABS

ABSTRACT

This work aimed to perform a numerical analysis, in order to study the behavior of

punching in reinforced concrete flat slabs. The analysis was performed using ATENA

3D, which enables non-linear analysis with three-dimensional finite elements. The

program is based on nonlinear behavior of concrete and allows the use of smeared crack

models to simulate the cracking of concrete and bond-slip laws for the reinforcement

steel.

A comparative study was made between numerical models and experimental testes, in

which was analyzed the slab deflection, strains in the reinforcement steel and failure

loads. Certain important parameters were changed in the modeling of the slab, in order

to achieve better results of the numerical model.

v

PALAVRAS CHAVE

Punçoamento

Lajes fungiformes

Análise numérica

Betão armado

KEY WORDS

Punching

Flat slabs

Numerical Analysis

Reinforced concrete

vii

AGRADECIMENTOS

Ao Departamento de Engenharia Civil, da Faculdade de Ciências e Tecnologia, da

Universidade Nova de Lisboa, agradeço todo o apoio concedido.

Ao meu orientador, Prof. Doutor António Manuel Pinho Ramos, gostaria de expressar

os meus agradecimentos pela sua inteira dedicação e orientação que me foi prestada.

Pela disponibilidade e valiosa contribuição que levou à realização deste trabalho.

Ao Doutor Dobromil Pryl, da empresa Cervenka Consulting, gostaria de agradecer

assistência técnica que me foi prestada, permitindo-me assim, a possibilidade de ter uma

melhor apreciação do programa ATENA.

À minha família e amigos, agradeço o apoio e incentivo incondicional. Em especial, a

minha mãe, pelo amor e carinho que só uma mãe sabe dar.

Finalmente, guardando o melhor para o fim, quero agradecer do fundo do meu coração,

à minha namorada Sofia, por me tornar no homem, que hoje sou.

ix

ÍNDICE DE MATÉRIAS

Capítulo 1 ........................................................................................................................ 1

1 - Introdução .................................................................................................................. 1

1.1 – Aspectos Gerais ................................................................................................... 1

1.2 – Objectivos ............................................................................................................ 3

1.3 – Organização da Tese ............................................................................................ 4

Capítulo 2 ........................................................................................................................ 5

2 – Mecanismos de Rotura ao Punçoamento................................................................ 5

2.1 – Introdução ............................................................................................................ 5

2.2 – O Fenómeno de Rotura ao Punçoamento ............................................................ 7

2.3 – Métodos Empíricos e Analíticos........................................................................ 10

2.3.1 – Modelo Kinnunen e Nylander (1960) ......................................................... 11

2.3.2 – Modelo Moe (1961) .................................................................................... 13

2.3.3 – Modelo Shehata (1985, 1990) Modificado ................................................. 14

2.3.4 - Modelo de Georgopoulos (1988-1989) ....................................................... 16

2.3.5 – Modelo Analítico de Menétrey (1996) ....................................................... 19

2.3.6 – Modelo Empírico de Staller (2000) ............................................................ 26

2.4 – Métodos Numéricos ........................................................................................... 28

2.4.1 – Ožbolt e Vocke (1999) ............................................................................... 29

2.4.2 – Staller (2000) .............................................................................................. 30

2.4.3 – Trautwein et al. (2006) ............................................................................... 31

Capítulo 3 ...................................................................................................................... 33

3 – Punçoamento de Lajes Fungiformes Maciças Ensaiadas em Laboratório ....... 33

3.1 – Introdução .......................................................................................................... 33

3.2 – Descrição dos Modelos ...................................................................................... 34

3.3 – Caracterização dos Materiais ............................................................................. 37

3.4 – Instrumentação dos Ensaios............................................................................... 39

Capítulo 4 ...................................................................................................................... 43

4 – Conceitos Teóricos do Programa SBETA ATENA 3D ....................................... 43

4.1 – Introdução .......................................................................................................... 43

4.2 – Modelos Constitutivos Do Betão ....................................................................... 44

4.3 – Modelo Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model” ................................. 47

4.4 – Armaduras de Aço e o Modelo de Aderência “Bond Slip” ............................... 49

4.5 – Elementos Sólidos Tri-Dimensionais – Shell vs Brick ..................................... 51

4.6 – O Método Newton-Raphson .............................................................................. 53

Capítulo 5 ...................................................................................................................... 55

5 – Analise Numérica .................................................................................................... 55

5.1 – Introdução .......................................................................................................... 55

x

5.2 – Descritização dos Modelos ................................................................................ 56

5.3 – Análise dos Resultados ...................................................................................... 61

5.3.1 – Extensões na Armadura Longitudinal Superior.......................................... 61

5.3.1.1 – AR2 ...................................................................................................... 62

5.3.1.1.1 – Perfect Bond / Bond-Slip .............................................................. 63

5.3.1.1.2 – Energia de Fractura ....................................................................... 65

5.3.1.1.3 – Elementos Brick / Elementos Laje ............................................... 67

5.3.1.1.4 – Modelos de Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model” ...... 69

5.3.1.2 – AR9 ...................................................................................................... 71





5.3.1.3 – ID1 ....................................................................................................... 89





5.3.2 – Deslocamentos Verticais ............................................................................ 98

5.3.2.1 – AR2 .................................................................................................... 100

5.3.2.1.1 – Perfect Bond / Bond-Slip ............................................................ 101

5.3.2.1.2 – Energia de Fractura ..................................................................... 103

5.3.2.1.3 – Elementos Brick / Elementos Laje ............................................. 105

5.3.2.1.4 – Modelos de Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model” .... 107

5.3.2.2 – AR9 .................................................................................................... 109





5.3.2.3 – ID1 ..................................................................................................... 118





5.3.3 – Cargas de Rotura ...................................................................................... 123

Capítulo 6 .................................................................................................................... 127

6 – Conclusões Finais e Desenvolvimentos Futuros ................................................. 127

6.1 – Introdução ........................................................................................................ 127

6.2 – Conclusões Finais ............................................................................................ 127

6.3 – Desenvolvimentos Futuros .............................................................................. 132

Referências Bibliográficas ......................................................................................... 134

xi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 – Esquema da rotura ao punçoamento numa laje de betão armado, Menétrey

(1996). .............................................................................................................................. 7

Figura 2.2 – Exemplos de roturas por punçoamento em estruturas de lajes fungiformes,

Ramos e Lúcio (2006). ..................................................................................................... 8

Figura 2.3 – Vista da face superior de uma laje após rotura por punçoamento, Ramos e

Lúcio (2006). .................................................................................................................... 8

Figura 2.4 – Mecanismo de resistência ao punçoamento, Ramos e Lúcio (2006). .......... 9

Figura 2.5 – Modelo Mecânico de Kinnunen e Nylander (1960). .................................. 11

Figura 2.6 – Modelo Mecânico Simplificado de Shehata (1990). .................................. 14

Figura 2.7 – a) Modelo Mecânico, b) Distribuição da resistência à tracção na fenda de

corte. ............................................................................................................................... 16

Figura 2.8 – Inclinação α da fenda de corte é uma função que depende da percentagem

mecânica de armadura ω. ................................................................................................ 18

Figura 2.9 – Componentes da resistência ao punçoamento segundo Menétrey (1996). 19

Figura 2.10 – Mecanismo de rotura que considere a armadura específica de

punçoamento a atravessar a fenda de corte, Menétrey (1996). ...................................... 24

Figura 2.11 – Definição das notações ............................................................................. 26

Figura 2.12 – Comparação entre os resultados experimentais com os resultados

calculados. ...................................................................................................................... 27

Figura 2.13 – Comparação entre o modo de rotura da: a) Análise Numérica, b)

Experimental……. .......................................................................................................... 29

Figura 2.14 – Superfície de Rotura obtida numericamente por Staller (2000). .............. 30

Figura 2.15 – a) Modelo constitutivo do betão “tension stiffening”; b) Modelo

axissimétrico……. .......................................................................................................... 31

Figura 2.16 – a) Evolução do diagrama de deslocamento vertical com a carga; b)

Propagação das fendas no modelo axissimétrico. .......................................................... 32

Figura 3.1 – Geometria dos modelos AR2 e AR9, Ramos (2003). ................................ 34

Figura 3.2 – Geometria do modelo ID1, Duarte (2008). ................................................ 35

Figura 3.3 – Armadura Longitudinal dos modelos AR2 e AR9, Ramos (2003). ........... 36

Figura 3.4 – Armadura Longitudinal do modelo ID1, Duarte (2008). ........................... 36

Figura 3.5 – Localização dos deflectómetros para os modelos AR2 e AR9, Ramos

(2003). ............................................................................................................................ 39

Figura 3.6 – Localização dos extensómetros eléctricos colados à armadura longitudinal

superior para o modelo AR9, Ramos (2003). ................................................................. 40

Figura 3.7 – Localização dos deflectómetros para o modelo ID1, Duarte (2008). ........ 41


superior para o modelo ID1, Duarte (2008). .................................................................. 41

xii

Figura 4.1 – Modelo de amolecimento do betão, Hordijk (1991). ................................. 44

Figura 4.2 – Comprimento da banda de fissuração para tracção e compressão, Vos

(1983). ............................................................................................................................ 46

Figura 4.3 – a) Diagrama de tensão-deformação uniaxial equivalente; b) Rotura biaxial

do betão………. ............................................................................................................. 46

Figura 4.4 – Estado de tensão e extensão do “Fixed Crack Model”, Cervenka (2009). 47

Figura 4.5 – Estado de tensão e extensão do “Rotated Crack Model”, Cervenka (2009).

........................................................................................................................................ 48

Figura 4.6 – Lei bilinear do diagrama tensão-extensões das armaduras, Cervenka

(2009). ............................................................................................................................ 49

Figura 4.7 – Lei de “Bond-Slip” do CEB-FIP (1993) e do Bigaj (1999). ...................... 50

Figura 4.8 – Diferença entre um “brick” linear e uma quadrática, Cervenka (2009). .... 51

Figura 4.9 – a) Elemento laje com cinco graus de liberdade por nó, Ahmad (1970); b)

Pressupostos da teoria de lajes finas. .............................................................................. 52

Figura 4.10 – Método Newton-Raphson. ....................................................................... 53

Figura 4.11 – Método Newton-Raphson Modificado. .................................................... 54

Figura 5.1 – Modelação numérica da laje AR2 com elementos “brick”. ....................... 57

Figura 5.2 – Modelação numérica da laje AR2 com elementos “brick” e “shell”. ........ 59

Figura 5.3 – “Softening model”, modelo de amolecimento do betão............................. 60

Figura 5.4 – Evolução das extensões no modelo AR2 na direcção E-W (varões com

maior altura útil) ............................................................................................................. 63



















xiii

Figura 5.9 – Evolução das extensões no modelo AR9 na direcção N-S (varões com

menor altura útil) ............................................................................................................ 75



























Figura 5.16 – Evolução das extensões no modelo ID1 na direcção N-S (varões com












xiv





Figura 5.20 – Referência dos deslocamentos verticais. .................................................. 98

Figura 5.21 – Evolução dos deslocamentos verticais com a carga vertical aplicada no

modelo AR2 na direcção E-W (varões com maior altura útil) ..................................... 101


modelo AR2 na direcção N-S (varões com menor altura útil) ..................................... 102






























modelo ID1 na direcção N-S (varões com menor altura útil)....................................... 119

xv







Figura 6.1 – Diferença do tempo computacional medido em segundos para os diversos

modelos. ........................................................................................................................ 128

Figura 6.2 – Propagação das fendas com espessuras superiores a 1x10-6

m para o

modelo AR2 no momento da rotura: a) Fixed Crack Model e b) Rotated Crack Model

...................................................................................................................................... 130

Figura 6.3 – Fotografia do modelo AR2 após rotura por punçoamento, Ramos (2003): a)

Vista em Planta e b) Vista em Corte ............................................................................ 131

xvi

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 3.1 – Carga de rotura experimental ................................................................... 36

Quadro 3.2 – Caracterização do betão ............................................................................ 37

Quadro 3.3 – Caracterização da armadura longitudinal ................................................. 38

Quadro 5.1 – Valor de Gf0 referente ao tamanho máximo do agregado ......................... 58

Quadro 5.2 – Valor de Gf0 referente ao tamanho máximo do agregado para cada modelo

........................................................................................................................................ 58

Quadro 5.3 – Energia de Fractura ................................................................................... 59

Quadro 5.4 – Comparação entre as extensões experimentais e numéricas para o modelo

AR2 ................................................................................................................................. 62


AR9 ................................................................................................................................. 71


AR9 ................................................................................................................................. 72


ID1 .................................................................................................................................. 89

Quadro 5.8 – Deslocamentos verticais do modelo AR2 e AR9 ..................................... 98

Quadro 5.9 – Deslocamentos verticais do modelo ID1 .................................................. 98

Quadro 5.10 – Comparação entre os deslocamentos verticais experimentais e numéricos

para o modelo AR2 ....................................................................................................... 100


para o modelo AR9 ....................................................................................................... 109


para o modelo ID1 ........................................................................................................ 118

Quadro 5.13 – Comparação entre as Cargas de Rotura experimentais, numéricos e

previstas ........................................................................................................................ 124

Quadro 6.1 – Avaliação do desempenho computacional dos diversos modelos .......... 128

Análise Numérica do Punçoamento em Lajes Fungiformes

1

Capítulo 1

1 - Introdução

1.1 – Aspectos Gerais

Nos tempos que correm, o ramo da engenharia civil encontra-se cada vez mais

complexo. A elevada concorrência do mercado leva a que factores económicos, de

qualidade e ambientais sejam decisivos para vingar. A concepção estrutural encontra-se

cada vez mais ligada à concepção arquitectónica, tornando assim num projecto

multidisciplinar. Um engenheiro hoje em dia não basta ser um técnico especializado.

Tem de ser capaz de prever o futuro, conhecendo o passado. Terá que acompanhar as

evoluções técnicas e tecnológicas, que evoluem cada vez mais rapidamente. Com esta

ideia em mente, pretende-se abordar alguns temas relevantes ao estudo do fenómeno de

punçoamento.

Os diversos métodos de pesquisas para estruturas de betão armado podem ser divididos

em três categorias: métodos experimentais, métodos empíricos/analíticos e métodos

numéricos. As normas e códigos usados pelo mundo fora para a resolução do problema

do punçoamento, são baseadas essencialmente em métodos empíricos e analíticos. Estes

métodos por sua vez não surgiram independentemente. Foram fruto de diversos

trabalhos experimentais realizados desde do inicio do século XX (1917) e que

recolheram os dados necessários para a sua elaboração. Em relação ao punçoamento, as

diversas normas e códigos variam bastante uns dos outros, devido ao uso de diferentes

parâmetros. Não existindo assim, uma concordância entre o mundo científico.

A utilização de lajes fungiformes na construção tem sido bastante frequente ao longo

deste últimos anos. A sua simplicidade na construção, a economia e rapidez de

execução e ainda a sua maior flexibilidade na utilização dos espaços construídos faz

com que o uso de lajes fungiformes seja predominante. No entanto existem algumas

desvantagem quando comparadas com lajes vigadas. As lajes fungiformes podem

apresentar maiores flechas, para um mesmo vão e são mais susceptíveis a sofrer

punçoamento, tornando assim necessário aumentar a espessura da laje. Devido à

ausência de vigas, a estabilidade global da estrutura pode diminuir quando sujeita a

acções sísmicas, sendo necessária a criação de núcleos rígidos.


2

Recentemente, têm sido cada vez mais implementados as análises numéricas. Os

ensaios experimentais de punçoamento são dispendiosos e portanto o uso de simulações

numéricas tornou-se extremamente importante na continuação das pesquisas do

fenómeno de punçoamento. Permitindo assim a verificação dos diversos parâmetros que

influenciam o fenómeno e aprofundar os conhecimentos recolhidos através dos ensaios.

A aplicação de uma análise numérica não linear baseando na teoria do método de

elementos finitos (MEF) permite criar um ensaio virtual do problema. Com esta

simulação é possível explorar o comportamento da estrutura quando sujeito a diversas

cargas e condições, tendo em conta o estado elástico e plástico dos materiais. Permite

analisar também a propagação das fendas, estado de tensões dos materiais,

deslocamentos/extensões, o mecanismo de rotura e as suas consequências. É vital que

antes da realização de uma análise numérica que os resultados obtidos

experimentalmente sejam de confiança. Só assim será possível a sua validação quando

comparada com a análise experimental. Pode-se afirmar que existem diversas

investigações relacionadas com o fenómeno de punçoamento usando MEF. No entanto

é pertinente que haja uma continuação dessas investigações, para o melhor

entendimento desse fenómeno.


3

1.2 – Objectivos

Esta dissertação teve como objectivo a modelação numérica de punçoamento de lajes

fungiformes. A simulação numérica foi realizada através do programa SBETA ATENA

3D, que consiste num programa de Método de Elementos Finitos não lineares e baseado

num método de fissuração distribuída “smeared crack approach”. Todas as lajes que

aqui se encontram modeladas tiveram como referência lajes ensaiadas em laboratório.

Ensaios esses que foram realizados pelo Ramos (2003) e Duarte (2008).

Graças aos dados dos ensaios experimentais foi possível fazer uma comparação com os

modelos simulados. Foram feitas comparações com os deslocamentos verticais da laje,

extensões nas armaduras longitudinais superiores e o valor da carga de rotura.

Para cada uma das lajes foram utilizados modelos numéricos. Pretendeu-se com esses

modelos entender a importância de alguns parâmetros que influenciam na aproximação

da solução numérica com a solução experimental.

Os modelos simulados pretendiam demonstrar as seguintes influências:

O efeito de aderência armadura varão - betão;

A variação da Energia de Fractura;

Diferença entre simulação usando elementos hexaedros “Brick” e/ou elementos

de laje “Shell”;

Diferença entre os dois modelos de fissuração distribuída.

Através desta sequência e análise destes diferentes parâmetros, o objectivo final era de

criar um modelo de base que permitisse garantir com um certo grau de confiança, uma

boa aproximação à solução experimental e uma boa previsão da carga de rotura. Foi

feita também uma análise quanto ao tempo computacional de cada modelo. Avaliando

assim o prós e contras entre os diversos modelos (Eficácia vs Tempo).


4

1.3 – Organização da Tese

É apresentada a seguinte organização desta tese, que é constituído por 6 capítulos,

incluindo a introdução e as conclusões finais.

No Capítulo 2, começa-se por uma breve descrição sobre o mecanismo de rotura ao

punçoamento. De seguida, faz-se uma referência a alguns métodos empíricos e

analíticos realizados por diversos autores, com o objectivo de prever a carga de rotura

ao punçoamento. Nesse capítulo, também são descritos alguns métodos numéricos com

recurso a programas de elementos finitos que reproduziram a rotura de punçoamento em

lajes fungiformes.

Quanto ao Capitulo 3, são apresentados os ensaios experimentais realizados para o

estudo da resistência ao punçoamento de lajes fungiformes maciças. É realizada uma

descrição dos diferentes modelos ensaiados, uma caracterização dos materiais e o

diferente tipo de instrumentação dos ensaios. Os ensaios apresentados foram os que

serviram de referência para esta dissertação, tendo sido usado para a comparação dos

modelos numéricos: a evolução dos deslocamentos verticais, as extensões na armadura

longitudinal superior e a carga de rotura.

O Capítulo 4 pretende-se elaborar uma breve síntese teórica relacionada com o

programa ATENA 3D. Tem como objectivo indicar os tipos de modelos constitutivos

usados para a modelação do betão e do aço; as diferenças entre os dois tipos de modelos

de fissuração distribuída; o conceito de “bond-slip”; os diferentes tipos de elementos

sólidos tridimensionais e por fim indicar o método iterativo usado no programa.

No Capítulo 5, é indicado como foram simulados os diversos modelos e apresentados os

resultados das modelações em forma de tabela e evolução de gráficos. É feita uma

análise global desses valores apresentados e uma síntese das principais conclusões a que

se chegou no decorrer deste trabalho.

Finalmente no Capítulo 6, faz-se uma síntese das principais conclusões a que se chegou

no decorrer deste trabalho e apresentam-se sugestões para futuras investigações.


5

Capítulo 2

2 – Mecanismos de Rotura ao Punçoamento

2.1 – Introdução

O modelo de escoras e tirantes foi dos primeiros modelos a ser proposto para analisar o

efeito do punçoamento. São utilizados escoras inclinadas que encaminham a carga para

os apoios. Tais modelos foram propostos por Al-Nahlawi e Wight (1992) e Reineck

(1982, 1991) e que são válidos para elementos esbeltos. Em geral o modelo de escoras e

tirantes descreve o estado de tensão e o encaminhamento das forças independentemente

de qualquer fenda.

Nos primeiros modelos de punçoamento, foi tido em conta a capacidade à flexão. Isto é,

como em muitos dos ensaios realizados, a carga última não difere substancialmente da

capacidade à flexão logo os modelos de punçoamento para lajes foram derivados a

partir da capacidade à flexão. Tais modelos foram criados por Yitzhaki (1966), Long e

Rankine (1987), Long (1975), Moe (1961) e Gesund et al (1970).

Diversas expressões analíticas para o cálculo da carga de rotura foram derivadas a partir

da teoria da plasticidade. Um modelo mecânico de fractura é assumido e ao equacionar

o trabalho exterior provocado pela carga aplicada com o trabalho interior que é

dissipada pela rotura, obtém-se um valor de limite máximo para a carga de rotura. Esta

aplicação foi utilizada por Braestrup, Nielsen et al (1976), Marti e Thürlimann (1977).

Soluções para um valor mínimo para a carga de punçoamento foram elaboradas por

Regan e Braestrup (1985) e Pralong (1982), em que envolve a resistência de tracção do

betão.


6

Desde 1985 os modelos baseados em mecanismos de rotura têm vindo a ser cada vez

mais utilizados e o mesmo pode ser dito sobre as análises numéricas. Destes modelos,

pode-se referir o modelo de Kinnunen e Nylander (1960), que foi o primeiro modelo

mecânico a conseguir bons resultados e também permite visualizar o encaminhamento

das forças.

Neste capítulo será feita uma breve descrição sobre o mecanismo de rotura ao

punçoamento, e ainda serão mencionados alguns métodos empíricos, analíticos e

numéricos.


7

2.2 – O Fenómeno de Rotura ao Punçoamento

O fenómeno de rotura ao punçoamento em lajes fungiformes é caracterizado como

sendo uma transferência de forças e momentos entre a laje e o pilar. Esta transferência

cria elevadas tensões de corte junto do pilar, provocando assim fendilhação e levando

por fim, à rotura. Esta rotura é uma rotura repentina, caracterizada pelo decréscimo da

capacidade de carga. Contudo, a fenda que causa a rotura não é formada imediatamente,

mas sim, através da formação de micro fendas. A rotura ao punçoamento resulta através

da união dessas micro fendas (uma fase progressiva), dando de seguida origem a uma

fenda propagativa (uma fase repentina). Essa rotura ocorre entre a ligação da laje ao

pilar, formando assim um elemento tronco-cónico conforme ilustrado na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Esquema da rotura ao punçoamento numa laje de betão armado, Menétrey

(1996).

Quanto ao critério de rotura, este é considerado um fenómeno local e a rotura ocorrida é

não dúctil. Mesmo sendo considerado um fenómeno local, poderá ocorrer a ruína da

estrutura. Isto porque, quando ocorre a rotura de punçoamento, deixa-se de existir um

elemento de apoio e os seus esforços são transmitidos para os apoios vizinhos, podendo

assim ocorrer a ruína da estrutura. É possível observar na Figura 2.2, alguns exemplos

de roturas por punçoamento em estruturas de lajes fungiformes.


8

a) Centro Comercial Sampoong – Seul b) Centro Comercial Bullocks

Figura 2.2 – Exemplos de roturas por punçoamento em estruturas de lajes fungiformes, Ramos e

Lúcio (2006).

O mecanismo de rotura ao punçoamento para lajes fungiformes é composto por quatro

fases. Na primeira fase, o betão não tem fendas e o aço não entrou em cedência.

Portanto considera-se que ambos têm um comportamento elástico-linear. A segunda

fase, inicia-se quando surge a primeira fenda de flexão. A fenda é localizada na face

superior da laje e é tangente ao pilar, contornando o seu perímetro. Com decorrer do

aumento da carga vertical, começam a surgir fendas radiais junto do perímetro do pilar.

A Figura 2.3 ilustra as respectivas fendas de flexão tangentes e radiais junto do

perímetro do pilar. Numa terceira fase, deixam de surgir novas fendas de flexão e essas

mesmas fendas, começam abrir cada vez mais formando assim, umas fendas de corte ao

logo da espessura da laje, levando por fim, à rotura por punçoamento. Na quarta fase, a

fenda de corte de punçoamento separa a laje em duas partes e que ficam ligadas entre si,

somente devido à armadura que atravessa a fenda.

Figura 2.3 – Vista da face superior de uma laje após rotura por punçoamento, Ramos e Lúcio

(2006).


9

Os parâmetros que influenciam a resistência ao punçoamento de uma laje fungiforme

são: a área carregada e a localização do pilar (pode-se tratar de um pilar de canto, um

pilar interior ou um pilar de bordo); a espessura e geometria da laje (isto é, aberturas na

laje); a resistência do betão; a quantidade de armadura de flexão e por fim, a existência

de armadura específica de punçoamento ou pré-esforço.

Em regra, para aumentar a resistência ao punçoamento de uma laje fungiforme, recorre-

se ao aumento da espessura da laje, na zona junto do pilar, através do uso de capitéis.

Embora podendo a vir a ser mais caro, também é possível aumentar a resistência ao

punçoamento utilizando betão de alta resistência ou armadura específica de

punçoamento.

Na Figura 2.4 é ilustrado o mecanismo de resistência ao punçoamento, que pode ser

resumido por três forças que equilibram a força de punçoamento. Estas três forças são: o

componente vertical da compressão radial; o componente vertical da força de atrito

entre os inertes na fenda e o componente vertical da força do efeito de ferrolho.

Figura 2.4 – Mecanismo de resistência ao punçoamento, Ramos e Lúcio (2006).


10

2.3 – Métodos Empíricos e Analíticos

Para conseguir perceber o fenómeno de rotura ao punçoamento em lajes, é necessário

ter uma noção do comportamento estrutural desses elementos. Ao longo dos anos,

vários investigadores efectuaram inúmeros ensaios experimentais, para conseguir

entender melhor esse fenómeno. Os diversos ensaios permitiram a elaboração de

fórmulas empíricas e analíticas, que determinam a carga de rotura ao punçoamento.

Algumas dessas fórmulas foram implementados em normas e hoje em dia, já existem

inúmeros modelos, que têm atenção ao comportamento estrutural de lajes quando

sujeitos ao punçoamento. Neste trabalho serão apresentados por ordem cronológica,

alguns métodos empíricos e analíticos.


11

2.3.1 – Modelo Kinnunen e Nylander (1960)

Este modelo foi criado em 1960 e baseou-se em 61 ensaios, utilizando elementos de

lajes circulares, apoiados no centro por um pilar circular e carregado no bordo livre.

Observou-se nos ensaios a formação da fenda de corte, a deformação da laje e as

extensões no betão e aço, que teve como contribuição fundamental à sua teoria. O

modelo consiste em criar um equilíbrio de forças como ilustrado na Figura 2.5. A laje é

constituída por um elemento central tronco-cónico que é confinado por sectores

circulares da laje limitados por fissuras radiais e circulares. Os sectores circulares da

laje são apoiados na parte inferior da laje, por cima do pilar, através de uma biela cónica

comprimida.

Figura 2.5 – Modelo Mecânico de Kinnunen e Nylander (1960).

As forças internas utilizadas são:

R1 = Resultante dos esforços de tracção nas armaduras que cruzam as fissuras radiais

R2 = Resultante dos esforços de tracção nas armaduras que cruzam as fissuras circulares

R4 = Resultante dos esforços de compressão no betão

T = Força de compressão sobre o elemento de casca cónica


12

As forças internas são função do ângulo de rotação e das propriedades mecânicas do

betão e do aço. A carga última é determinada através de um critério de rotura e das

equações de equilíbrio (∑V=0 e ∑M=0). O critério de rotura é verificado através a

extensão tangencial do betão ct , à distância x da face do pilar e atinge os valores dados

pelas seguintes expressões:

1.220122,010035,0

d

Bpara

d

Bct

2.22100196,0 d

Bparact

Nestas expressões o é a percentagem de carga total resistida pelo efeito de membrana

e de ferrolho. Devido à dificuldade de estimar o valor do teoricamente, os autores

adoptaram um valor de igual a 0 para lajes com armadura circular e 0,3 para lajes com

armadura ortogonal. É de referir que este método é capaz de prever a carga última

independentemente do tipo de rotura ser por flexão ou punçoamento e permite também

calcular as deformações da laje na rotura.


13

2.3.2 – Modelo Moe (1961)

O modelo Moe ainda serve de base para o ACI- 318-08 (1995). Este modelo foi baseado

em ensaios de lajes rectangulares no ano 1961. São utilizados dois estados de limite

para descrever a rotura por punçoamento. O primeiro consiste na força máxima Vflex

junto do pilar devido ao momento de flexão. O segundo consiste na capacidade de

esforço transverso Vshear do pilar. Para obter a carga última de punçoamento é utilizada a

seguinte equação (2.3) em que existe uma relação entre a flexão e a capacidade de corte.

)3.2(1flex

u

shear

u

V

VA

V

V

Em que A é obtida a partir dos resultados dos ensaios, tendo assim a equação (2.4) para

a carga última de punçoamento:

4.2

436,01

059,01246,1

ccol

flex

ccol

u

fduV

fduV

d

ce

f

fOnde

fdCV

c

y

cflex

2

2

:

5.259,01

O factor C é a relação entre o momento flector último da laje com a sua força

correspondente junto do pilar Vflex. O valor de C depende do método de determinação

das forças estáticas e o seu valor afecta o Vu. É contabilizado também a percentagem de

armadura e a tensão de cedência do aço.


14

2.3.3 – Modelo Shehata (1985, 1990) Modificado

Através da observação das fendas e deformação dos ensaios realizadas, Shehata

considere que a região de punçoamento da laje é dividida em secções radiais rígidas que

giram à volta de um centro de rotação localizado no pilar. Considerando um segmento

radial da laje, com um ângulo sectorial ΔΦ limitado por duas fendas planas radiais e

uma fenda inclinada plana, Shehata identifica as seguintes forças externas e internas que

actuam segundo um plano radial conforme representado na seguinte Figura 2.6:

Figura 2.6 – Modelo Mecânico Simplificado de Shehata (1990).

A carga externa P(ΔΦ/2π), aplicada num raio r = rp;

A componente radial da resultante das forças de tensão Fst ΔΦ devido à

deformação da laje;

A componente radial da resultante das forças de compressão Fct ΔΦ devido à

deformação da laje;

A força inclinada do apoio dFcr junto do pilar;

A força radial dFsr;

Forças do efeito de ferrolho dD, contudo estas forças são ignoradas porque é

considerado a cedência das armaduras.


15

Shehata define três estados críticos cuja parte frontal do segmento radial deixa de

suportar a força junto da face do pilar:

1) Se o ângulo das forças compressivas atinge 20º, existem tensões principais de

tracção na parte frontal de compressão, o que faz com que ocorra rotura através

da separação do betão;

2) Se em geral a deformação radial na face comprimida atinge um valor

3105,3 , junto da face do pilar, ocorre esmagamento radial do betão;

3) Se a deformação tangencial das faces comprimidas atinge 3105,3 a uma

distância x da face do pilar, ocorre esmagamento tangencial do betão.

Para definir a carga última de punçoamento, é necessário encontrar a rotação ψu e

verificar qual dos três estados críticos se atinge primeiro. Para um dado valor de ψ, a

carga última de punçoamento Pu pode ser obtida através das equações de equilíbrio num

segmento radial:

zFzFmMdFdFH

dFPVFFH

ctstrcrsr

radial

crctst

ring

:ºº10cos:

º10sin2/::

O resultado da carga última de punçoamento pode ser obtido através da seguinte

equação (2.6)

)6.2(º10tan2 0 ccu fnxrP

Onde:

ro = Diâmetro do pilar;

x = Altura da zona comprimida quando ocorre punçoamento;

nc = Factor de tensão concentrada para contabilizar a resistência do betão submetido

num estado multiaxial de tenções;

fc = Resistência cilíndrica do betão.


16

2.3.4 - Modelo de Georgopoulos (1988-1989)

Georgopoulos (1988-1989) desenvolveu um procedimento para calcular a carga última

de punçoamento e o ângulo de punçoamento de uma laje sem armadura específica para

punçoamento. Na sua abordagem, a resistência à tracção do betão 1 e a percentagem

mecânica de armadura ω são os parâmetros principais. A Figura 2.7-a) mostra o modelo

mecânico resistente para uma rotura por punçoamento.

Figura 2.7 – a) Modelo Mecânico, b) Distribuição da resistência à tracção na fenda de

corte.

Georgopoulos considera que a carga última de punçoamento é calculada através da

resistência à tracção do betão, na zona da fenda de corte e devido às forças

compressivas inclinadas encontradas na casca cónica comprimida junto do pilar.

Assume-se que aproximadamente 75% da carga última de punçoamento é devido à

resistência à tracção do betão 1 . Desse modo, essa carga pode ser calculada de acordo

com a equação (2.7), recorrendo assim à componente vertical, da resultante de forças de

tracção ZB na zona da fenda de punçoamento.

7.275.0

cosBu

ZP

Onde:

ZB = Resultante da força de tracção na zona da fenda de punçoamento;

= Inclinação da fenda de punçoamento.


17

Georgopoulos considera que a distribuição da resistência à tracção na zona da fenda de

corte é um polinómio do terceiro grau, conforme a equação representada na Figura 2.7-

b). Ele estima que a altura da zona comprimida é x = 0.2 hm. A integração da resistência

à tracção ao longo da superfície da fenda e o equilíbrio de forças de tracção, na direcção

vertical de acordo com a equação (2.7), dão a equação (2.8) para o cálculo da carga

última de punçoamento.

8.2cot35.020.02

cot13.4 21

mu hP

Onde:

1 = Máxima resistência à tracção na zona da fenda de corte;

= 0.17 (fck,cube)2/3

hm = Altura útil;

= Inclinação da fenda de corte;

λ = dst/hm

dst = Diâmetro do pilar.

De acordo com a equação (2.9), Georgopoulos considera que a inclinação α da fenda de

corte é uma função que depende da percentagem mecânica de armadura ω.

9.23.0056.0

tan

Onde:

ω = Percentagem mecânica de armadura

= ρ1 fyk/fck,cube


18

A Figura 2.8 ilustra que a equação (2.9) está de acordo com os valores dos ângulos de

inclinação α dos ensaios de punçoamento realizados.

Figura 2.8 – Inclinação α da fenda de corte é uma função que depende da percentagem

mecânica de armadura ω.


19

2.3.5 – Modelo Analítico de Menétrey (1996)

A expressão analítica proposta por Menétrey (1996) para obter a carga última de

punçoamento foi desenvolvida a partir de resultados obtidos através de uma simulação

numérica do mecanismo de rotura. É proposto a transferência da carga a partir do ponto

de aplicação até aos apoios, utilizando uma analogia do modelo escoras e tirantes.

Este modelo de escoras e tirantes que se encontra junto do pilar está ilustrada na Figura

2.9 e ilustra o tirante de betão atravessar a fenda de corte. Ideia deste modelo consiste

em assumir que a rotura de punçoamento corresponde à rotura do tirante de betão.

Assim sendo, a resistência do tirante é equivalente à resistência ao punçoamento. A

carga de punçoamento é obtida através da integração dos componentes verticais das

tensões de tracção do betão junto da fenda de corte.

Figura 2.9 – Componentes da resistência ao punçoamento segundo Menétrey (1996).


20

O modelo é generalizado para ter em conta as diversas contribuições de cada reforço

que atravessa a fenda de corte. Bastando assim, adicionar ao integral das tensões de

tracção do betão os respectivos reforços contabilizados. A carga última de punçoamento

é expressa pela equação (2.10):

10.2pswdowctpun FFFFF

Onde:

Fpun = Carga última de punçoamento;

Fct = Componente vertical das tensões à tracção do betão;

Fdow = Força do efeito ferrolho;

Fsw = Componente vertical da força devido às armaduras específicas de punçoamento;

Fp = Componente vertical da força do pré-esforço.

Força de Tracção do Betão

A força de tracção do betão é determinada através da integração das tenções verticais de

tracção σv, que se encontram junto da fenda de corte. É assumido que a fenda de corte

tem a forma de um cone truncado, composto por dois raios r1 e r2 (ilustrado na

Figura2.8). O raio r1 é assumido para corresponder a 1/10 da altura útil da laje, o raio r2

estende-se até às armaduras de flexão e a superfície entre r1 e r2 é:

11.221 srr


21

Sendo assim:

13.29.0

12.2tan

11.2tan10

1

22

12

2

1

drrs

drr

drr

s

s

Onde:

rs = Raio do pilar;

α = Inclinação da fenda de punçoamento;

d = Altura útil da laje;

s = Comprimento da inclinação.

A expressão analítica para obter a força de tracção do betão é dada pela seguinte

equação (2.14):

14.23/2

2121 ctvct fsrrsrrF

A força de tracção é influenciada através da resistência de tracção do betão fct. Os três

parâmetros: ξ, μ e η reproduzem respectivamente a influência da percentagem

geométrica de armadura de flexão, o efeito de escala e do raio de inicio da fenda

inclinada de punçoamento. Estes parâmetros foram determinados com base nos

resultados obtidos através da simulação numérica.

A influência da percentagem geométrica de armadura de flexão ρ, é calculada através da

expressão (2.15):

15.2%287.0

%2035.046.01.0 2


22

A influência do efeito de escala é obtido numericamente e pode ser determinada por:

16.22,116.1

2/1

ad

d

Onde:

d = Altura útil da laje

da = Dimensão máximo do agregado.

A influência do raio de inicio da fenda de punçoamento é essencial na previsão da carga

de rotura para as situações em que exista armadura específica de punçoamento. A

expressão analítica que é proposta para reproduzir a influência do raio de inicio da fenda

de punçoamento é a seguinte:

17.2

5.2625.0

5.2025.15.01.0

2

h

r

h

r

h

r

h

r

s

sss

Onde:

rs = Raio do pilar;

h = Altura da laje.


23

Contribuição do Efeito de Ferrolho

O efeito de ferrolho é um mecanismo de corte e é causado devido às armaduras de

flexão que atravessa a fenda de punçoamento. Este mecanismo aumenta

significativamente a carga de punçoamento para lajes que são armadas em duas

direcções. A força de corte que é transferida através das armaduras de flexão é obtida

através da abordagem proposta pelo CEB-FIP Model Code 1990 (1993), recorrendo à

equação (2.18):

18.2sin12

1 22 tcs

bars

dow ffF

Onde:

Øs = Diâmetro da armadura longitudinal;

fc = Resistência do betão à compressão;

ft = Tensão de cedência do aço;

21 = Interacção parabólica entre a força axial e o efeito ferrolho, t

s

f

;

σs = Tensões axiais de tracção nas armaduras de flexão;

19.2tan/

bars

s

pun

s

A

F

Segundo o autor, o factor 1/2 dá uma melhor aproximação da contribuição do efeito

ferrolho, isto porque as armaduras de flexão não atravessam a fenda num ângulo recto.

É de referir que é necessário calcular o Fdow iterativamente, visto que é necessário usar a

carga de punçoamento para estimar o momento flector e verificar qual a percentagem de

resistência disponível ainda na armadura.


24

Contribuição da Armadura Específica de Punçoamento

Considerando um mecanismo de rotura conforme ilustrado na Figura 2.10, é possível

contabilizar a armadura específica de punçoamento. A contribuição dessas armaduras

para a carga de punçoamento é obtida considerando uma laje com reforço axissimétrico.

Figura 2.10 – Mecanismo de rotura que considere a armadura específica de

punçoamento a atravessar a fenda de corte, Menétrey (1996).

No uso da armadura específica de punçoamento, a força de tracção é transmitida através

das tensões do betão que, actuam sobre um comprimento segundo o qual ocorre

deslizamento entre o betão e o aço, CEB-FIP Model Code 1990 (1993). Se este

comprimento for conhecido, é possível obter a tensão de cedência dessas armaduras e

por sua vez a força máxima, equação (2.20):

20.2sin2

1swswswsw fAF

Onde é feito um somatório de todos os estribos que atravessam a fenda e em que Asw é

área transversal da armadura específica de punçoamento e sw a inclinação do estribo

em relação ao plano da laje. O factor ½ utilizado na expressão é devido ao facto que, a

resistência de pico do betão e da armadura de punçoamento não ocorrem

simultaneamente. Este factor é sugerido pelo ACI 318-08 e segundo Menétrey é o que

dá melhor aproximação.


25

Contribuição dos Cabos de pré-esforço

Para lajes que têm cabos de pré-esforço inclinadas, a sua carga de punçoamento

aumenta através da soma do componente vertical da força do pré-esforço. Esta força é

expressa pela equação (2.21):

21.2sin ppp

cordões

p AF

Onde:

Ap = Área da secção transversal da armadura de pré-esforço;

σp = Tensão aplicada à armadura de pré-esforço;

βp = Inclinação da armadura de pré-esforço no ponto de intersecção da fenda com o

plano da laje (ilustrado na Figura 2.10).

É feito um somatório de todos os cabos que atravessam a fenda, e se as armaduras de

pré-esforço forem aderentes, a percentagem de armadura à flexão utilizada para o

parâmetro ξ na equação (2.15) é modificada:

)22.2(ps

Onde:

ρs = Percentagem de armadura à flexão;

ρp = Percentagem de armadura pré-esforçada;


26

2.3.6 – Modelo Empírico de Staller (2000)

O modelo empírico de Staller é baseado na avaliação dos dados experimentais, com a

ajuda de análises regressivas lineares ou não lineares, singulares ou múltiplas. Sendo

assim, o parâmetro que tem mais influência sobre a capacidade de carga de

punçoamento, será contabilizado nas fórmulas. O objectivo de utilizar uma análise

regressiva é para determinar o parâmetro independente de uma função de modo que os

dados experimentais se melhor aproximem à função. Dai, é importante a escolha do tipo

de função pelo qual a análise regressiva é baseada. Através das observações feitas

durante os ensaios experimentais, modelos mecânicos e análises numéricas, os seguintes

parâmetros podem ser considerados significativos:

Geometria - Espessura da laje; altura útil; vão; dimensões da laje; dimensões e

geometria dos apoios; esbelteza.

Propriedades dos Materiais - Resistência do betão à compressão e tracção;

tensão de cedência do aço; módulo de elasticidade; energia de fractura.

Armadura Longitudinal - Percentagem mecânica de armadura; diâmetro e

disposição das armaduras.

Através dos parâmetros mencionados, são criados funções parciais que depois possam

ser compilados para a fórmula final.

- Efeito de escala: )23.2(/ chldF

- Percentagem mecânica de armadura: )24.2(1

1

c

y

f

f

- Esbelteza da laje: )25.2(2

1

2

1 2121

d

aae

d

cc

Figura 2.11 – Definição das notações

- Resistência do betão à tracção: ctf1


27

Após a obtenção e verificação das diversas funções parciais procede-se à análise

regressiva final. Em que essa mesma análise é determinada segundo uma condição pelo

o qual a relação vexp/vcal é igual a um. A equação (2.26) permite a determinação da

capacidade de carga de punçoamento:

26.215

1

3 dufCV ctcal

Onde:

C = 0.5325 ≈ 0.53

2

1

/1

chld

ω = Percentagem mecânica das armaduras;

λ = Esbelteza;

f1ct = Resistência à tracção do betão;

u = Perímetro critico;

d = Altura útil;

Na Figura 2.12 os resultados experimentais são comparados com os resultados

calculados. É visível que os resultados calculados pela fórmula empírica são bastantes

realísticos em comparação com os resultados experimentais. Sendo assim esta fórmula

empírica representa uma forma prática de prever a carga última de punçoamento.

Figura 2.12 – Comparação entre os resultados experimentais com os resultados

calculados.


28

2.4 – Métodos Numéricos

As simulações numéricas com elementos finitos são actualmente uma importante

ferramenta na análise e previsão do comportamento de estruturas de betão armado. Isto

deve-se ao facto de os ensaios laboratoriais terem um elevado custo e os resultados

obtidos das tensões e deformações, serem apenas monitorizados em pontos. Por outro

lado, numa simulação numérica é possível reproduzir um ensaio de um modo mais

económico e permitindo visualizar as tensões e deformações em toda a estrutura.

Ao longo dos últimos anos muitas investigações têm sido desenvolvidas e aplicadas no

estudo do fenómeno de punçoamento. Nessas investigações são utilizadas as análises

axissimétricas e as análises tridimensionais. Ao utilizar uma análise axissimétrica tem-

se a vantagem de o problema ter simetria rotacional, utilizando assim um menor número

de elementos finitos e reduzindo o esforço computacional. As análises tridimensionais

apresentam resultados realistas no comportamento da estrutura. Entretanto o

processamento deste tipo de análise exige um maior esforço computacional. Contudo,

devido á simetria geométrica da laje, apenas ¼ da laje é modelada, facilitando e

diminuindo assim o esforço computacional exigido numa simulação tridimensional. A

seguir serão apresentados por ordem cronológica alguns estudos numéricos realizados

por diversos investigadores.


29

2.4.1 – Ožbolt e Vocke (1999)

Ožbolt juntamente com Vocke (1999) realizaram uma análise tridimensional utilizando

um programa de elementos finitos “MASA”. Esta análise serviu para demonstrar que os

modelos numéricos do “MASA” podem reproduzir de forma realista, a rotura por

punçoamento em lajes fungiformes sem armadura específica de punçoamento. Para tal,

foi feita uma comparação entre os resultados obtidos com o dos experimentais.

Por razões de simetria geométrica, Ožbolt modelou ¼ da laje e o discretizou o modelo

com elementos sólidos de oito nós. Utilizou elementos barra para simular as armaduras

ordinárias e o modelo adoptado para o aço foi o elasto-plástico. O carregamento foi

aplicado através do incremento de deslocamentos nos nós localizados abaixo do pilar.

Em relação ao modelo adoptado para a resistência à tracção do betão, considerou-se o

“tension softening”. Esta consideração implicou que a energia de fractura dependia do

tamanho do elemento finito.

Baseando-se nas comparações entre os resultados numéricos e experimentais, concluiu-

se que os modelos numéricos do MASA podem prever o comportamento da laje ao

punçoamento. A Figura 2.13 demonstra a comparação entre o modo de rotura da laje

obtida pela análise numérica e do ensaio experimental. São bastante visíveis as

semelhanças da superfície de rotura entre os dois modelos.

a) b)

Figura 2.13 – Comparação entre o modo de rotura da: a) Análise Numérica,

b) Análise Experimental.


30

2.4.2 – Staller (2000)

A análise numérica usada por Staller (2000), serviu para determinar a resistência ao

punçoamento de lajes fungiformes com betão de alta resistência. Usou como referência,

a laje HSC4 de Hallgren (1996), com betão de alta resistência à compressão (91,6 MPa)

e sem armadura específica de punçoamento. O programa de método de elementos

finitos utilizado para realizar a análise numérica foi o “MARC”.

Na modelação da laje foram utilizados elementos tridimensionais isoparamétricos de

oito nós e elementos de barras para simular a armadura longitudinal. Devido à simetria

geométrica da laje, apenas ¼ da laje foi modelada e o carregamento foi aplicado através

do incremento de deslocamento. Foi utilizado o Método de Newton-Raphson para o

método iterativo.

A carga de rotura obtida a partir da simulação, foi superior a do experimental. Segundo

Staller, o comportamento numérico foi bem mais rígido do que no ensaio, havendo

assim 15% de diferença entre o valor de carga de rotura numérico e experimental. A

superfície de rotura obtida por Staller foi bastante próximo da experimental, conforme

ilustrado na Figura 2.14.

Figura 2.14 – Superfície de Rotura obtida numericamente por Staller (2000).


31

2.4.3 – Trautwein et al. (2006)

O trabalho realizado pelos investigadores L. Trautwein, T. Bittencourt, R. Faria,

J.A. Figueiras e R. Gomes teve como objectivo reproduzir alguns ensaios experimentais

recorrendo à análise numérica. Foi realizado um modelo axissimétrico para prever a

carga de rotura de três lajes fungiformes com e sem armadura específica de

punçoamento. A simulação numérica foi executada com o programa “DIANA” e foi

adoptado o modelo de fissuração distribuída “smearred crack approach”.Para a

realização da análise numérica tiveram que recorrer aos modelos experimentais de

Musse (2004). Neste, todos os ensaios tiveram uma rotura por punçoamento.

O modelo axissimétrico foi modelado com elementos finitos isoparamétricos de oito

nós, conforme ilustrado na Figura 2.15-b). As armaduras longitudinais foram embebidas

no modelo, considerando uma aderência perfeita para com o betão e seguindo a lei

constitutiva elasto-plastico. Foi adoptado uma espessura equivalente para a armadura

longitudinal, considerando assim, a área total de todos varões ordinárias em cada

direcção. O carregamento foi através de uma aplicação de uma carga, por baixo do pilar,

tendo este uma altura duas vezes superior a espessura da laje. Quanto ao comportamento

do betão à tracção, este era linear antes de ocorrer fendilhação e bilinear após

fendilhação. Adoptando portanto um modelo constitutivo do betão “tension stiffening”

conforme ilustrado na Figura 2.15-a) e uma energia de fractura de acordo com o CEB-

FIP Model Code 1990 (1993).

Figura 2.15 – a) Modelo constitutivo do betão “tension stiffening”;

b) Modelo axissimétrico.


32

Comparando os resultados dos ensaios com as simulações numéricas, verificou-se que

ambos tiveram o mesmo modo de rotura. As cargas de rotura previstas pela análise

numérica tiveram uma boa aproximação. Foi visível a formação do cone de

punçoamento no modelo numérico e sua inclinação da superfície de rotura era idêntica

ao do experimental. A Figura 2.16 demonstra respectivamente o diagrama carga-

deslocamento e a propagação das fendas no modelo axissimétrico.

Figura 2.16 – a) Evolução do diagrama de deslocamento vertical com a carga;

b) Propagação das fendas no modelo axissimétrico.


33

Capítulo 3

3 – Punçoamento de Lajes Fungiformes Maciças Ensaiadas

em Laboratório


No capítulo que se segue, é referido os ensaios experimentais que foram ensaiados ao

punçoamento. É com base nos resultados desses ensaios que se irá fazer uma

comparação com os valores da análise numérica, que se encontraram no capítulo 4. Os

ensaios experimentais aqui descriminados foram elaborados por Ramos (2003) no

âmbito da sua tese de Doutoramento e por Duarte (2008) no decorrer da sua tese de

Mestrado.


34

3.2 – Descrição dos Modelos

Foram analisados neste trabalho três modelos experimentais, que consistem em lajes

fungiformes maciças e que pretendiam simular exclusivamente a área de laje junto ao

pilar, limitada pelas linhas de inflexão, onde os momentos flectores são nulos.

As lajes AR2, AR9 têm as dimensões em planta de 2300x2300 mm2 e 100 mm de

espessura, a laje ID1 tem as dimensões 1800x1800 mm2 e com uma espessura de 120

mm. Em todas as lajes, o pilar central foi simulada recorrendo a uma placa de aço com

as dimensões em planta de 200x200 mm e 50 mm de espessura.

Para as lajes AR2 e AR9 a carga vertical foi aplicada, sobre oito pontos posicionados na

parte cima da laje, perto dos bordos conforme ilustrado na Figura 3.1. Nesses pontos,

foram colocados oito placas de aço com as dimensões transversais 100x100 mm e 20

mm de espessura e que serviam de ancoragem para os oito cordões de alta resistência

que atravessavam a laje e suspendiam, dois a dois, quatro vigas metálicas. Em cada uma

destas vigas, encontravam-se suspensas outras duas, que por sua vez, era aplicado uma

carga a meio vão. Carga essa que era aplicada com recurso a um macaco hidráulico, que

se encontrava por cima das duas vigas e que tracionava um cordão de alta resistência,

que atravessava as duas vigas e ligava-se à laje do laboratório. Ao todo existiam dois

macacos hidráulicos, ligados ao mesmo circuito hidráulico de forma a garantir a mesma

pressão para ambos. A placa de aço, que simulava o pilar central, servia de apoio à laje

impedindo assim o deslocamento vertical e os bordos da laje eram permitidos rodar, de

modo a simular a linha dos momentos nulos.

Figura 3.1 – Geometria dos modelos AR2 e AR9, Ramos (2003).


35

Quanto à Laje ID1, a carga vertical foi aplicada recorrendo a um macaco hidráulico, que

se encontrava por baixo da laje e que carregava a placa de aço que simulava o pilar

central. Existiam oito pontos posicionados na parte cima da laje, perto dos bordos e que

impediam os deslocamentos verticais. Nesses mesmos pontos, encontram-se oito placas

de aço com as dimensões transversais 100x100 mm e 20 mm de espessura e que

apoiavam, dois a dois, quatro vigas metálicas. As placas de aço e as vigas metálicas,

serviam de ancoragem para os quatro cordões de alta resistência, que atravessavam o

modelo a meio das quatro vigas, ligando por fim à laje do laboratório. O modelo

descrito encontra-se ilustrado na Figura 3.2 e relativamente aos bordos da laje, estes,

também eram permitidos rodar.

Figura 3.2 – Geometria do modelo ID1, Duarte (2008).


36

Todas as lajes tinham como armadura inferior, 12 varões de 6 mm de diâmetro

colocadas em cada direcção, criando assim uma malha ortogonal de Ø6//0.20. Para a

armadura superior, as lajes AR2, AR9 continham varões de 10 mm de diâmetro

espaçados de 60mm em cada uma das direcções (Ø10//0.06); na laje ID1 a sua armadura

superior tinha varões de 10mm de diâmetro espaçados 75 mm em cada uma das

direcções (Ø10//0.075). A altura útil média foi de 80 mm para as lajes AR2, AR9 e 90

mm para a laje ID1.

Figura 3.3 – Armadura Longitudinal dos modelos AR2 e AR9, Ramos (2003).

Figura 3.4 – Armadura Longitudinal do modelo ID1, Duarte (2008).

Todos os modelos foram carregados até se atingir a rotura, tendo este sido sempre por

punçoamento. Os valores das cargas de rotura experimentais referentes a cada modelo

encontram-se no Quadro 3.1.

Quadro 3.1 – Carga de rotura experimental

Modelo VExp (kN)

AR2 258,00

AR9 251,00

ID1 269,00


37

3.3 – Caracterização dos Materiais

Para os modelos experimentais, caracterizou-se a resistência do betão utilizando

provetes cúbicos com 15 cm de lado e ensaiando-os à compressão. Todos os provetes

foram ensaiados no dia da realização do ensaio do respectivo modelo. Todos estes dados

se encontram descriminados no Quadro 3.2.

Quadro 3.2 – Caracterização do betão

Modelo fccm

(MPa)

fcm

(MPa)

fctm

(MPa)

Ec

(GPa)

AR2 48.9 39.1 3 28.8

AR9 46.4 37.1 2.9 28.3

ID1 49.2 39.3 3 28.9

Após a obtenção dos resultados dos ensaios, isto é, o fccm, utilizaram-se as seguintes

expressões de correlação do CEB-FIP MC90 (1993) para determinar o fcm, fctm e o Ec,

nas quais devem ser consideradas em MPa:

1.3)60(8,0 MPafcomff ccmccmcm

2.310

84,1

32

cm

ctm

ff

3.3482,8 3cmc fE

Em que,

fccm é a tensão média de rotura à compressão do betão em provetes cúbicos;

fcm é a tensão média de rotura à compressão do betão em provetes cilíndricos;

fctm é a tensão média de rotura à tracção do betão;

Ec é o módulo de elasticidade do betão.


38

Para determinar as características das armaduras longitudinais, recorreu-se a ensaios de

tracção, utilizando provetes com os diâmetros de 6 mm e 10 mm. O aço utilizado para

os modelos AR2 e AR9 foi o convencionalmente designado por ER (endurecido a frio e

rugoso) e o NR (laminado a quente e rugoso), para o modelo ID1 foi utilizado aço NR.

Na Quadro 3.3 encontram-se os valores da tensão de cedência do aço fsy e da tensão de

rotura à tracção do aço fsu.

Quadro 3.3 – Caracterização da armadura longitudinal

Modelo

Ø 6 Ø 10

Tipo fsy

(MPa)

fsu

(MPa) Tipo

fsy

(MPa)

fsu

(MPa)

AR2 ER 639 732 NR 523 613

AR9 ER 555 670 NR 481 633

ID1 NR 588 697 NR 445 582


39

3.4 – Instrumentação dos Ensaios

As instrumentações utilizadas para as lajes AR2 e AR9 eram diferentes, das utilizadas

para a laje ID1. Conforme ilustrado na Figura 3.5, foram medidos os deslocamentos

verticais das lajes AR2 e AR9, utilizando nove deflectómetros eléctricos, montados em

dois pórticos metálicos, por intermédio de bases magnéticas. Na quantificação da carga

vertical aplicada no modelo, foi utilizada duas células de carga, uma em cada viga

metálica que sofreu a aplicação das cargas.

Figura 3.5 – Localização dos deflectómetros para os modelos AR2 e AR9, Ramos

(2003).


40

Para poder avaliar as extensões das armaduras longitudinais superiores foram instaladas

na laje AR2 dez extensómetros eléctricos, posicionados na direcção E-W e colados em

cinco varões longitudinais superiores. Na laje AR9 foram posicionados vinte

extensómetros, dez dos quais colados em cinco varões longitudinais superiores, com a

direcção ortogonal (N-S e E-W). A Figura 3.6 ilustra a localização dos extensómetros

para a laje AR9.


superior para o modelo AR9, Ramos (2003).

Para a Laje ID1, utilizaram-se cinco deflectómetros eléctricos, montados num pórtico

metálico, por intermédio de bases magnéticas. Para quantificar a carga vertical, foi

utilizada quatro células de carga, uma em cada viga metálica de aplicação de cargas.

Quanto aos extensómetros eléctricos, foram utilizados seis, colados em três varões

longitudinais superiores e posicionados ao longo de uma só direcção. Podem ser

observados a localização dos deflectómetros e as células de carga na Figura 3.7 e os

extensómetros através da Figura 3.8.


41

Figura 3.7 – Localização dos deflectómetros para o modelo ID1, Duarte (2008).


superior para o modelo ID1, Duarte (2008).


42


43

Capítulo 4

4 – Conceitos Teóricos do Programa SBETA ATENA 3D


O programa SBETA ATENA 3D é destinado a realizar análises não lineares, em três

dimensões e foi desenvolvido pela empresa Cervenka Consulting Ltd. Neste capítulo

serão mencionados alguns conceitos teóricos por trás do programa.

Quanto ao modelo SBETA Atena3D, este inclui comportamentos não lineares,

incluindo endurecimento e amolecimento do betão por compressão. A fractura do betão

é baseada num mecanismo de fractura não linear e o critério de rotura do betão é feita

através da resistência biaxial do betão. É considerada uma redução da resistência à

compressão após fissuração e também, o efeito de amolecimento à tracção “tension-

stiffening”, que consiste no comportamento do betão armado fissurado quando à

tracção.

O modelo SBETA permite trabalhar com dois modelos de fissuração distribuída “smeared

crack approach”: o “fixed crack model” e o “rotated crack model”. É também possível

trabalhar com vários modelos de “bond-slip”, para a aderência entre armaduras e o betão. A

modelação é feita com diversos elementos sólidos tri-dimensionais, tais como elementos

“brick” e “shell” para o betão e elementos barra para as armaduras. Por fim é referido

dois métodos incrementais – iterativos para a resolução de equações não lineares,

nomeadamente o método Newton-Raphson e o método Newton-Raphson modificado.


44

4.2 – Modelos Constitutivos Do Betão

O betão é um material complexo devido ao seu comportamento não linear. Portanto

foram criados modelos constitutivos para a análise de elementos finitos. Modelos esses

que são utilizados no modelo SBETA e que serão resumidamente descritos.

O comportamento à tracção do betão é modelado combinando o mecanismo de fractura

não linear com o modelo da banda de fissuração “crack band method”. Recorrendo a

esta combinação o conceito de fissuração distribuída “smeared crack”, pode ser

utilizado e os seus principais parâmetros são, a resistência à tracção, o modelo de

amolecimento “softening model” e a energia de fractura. Utilizando o conceito de

fissuração distribuída, o tamanho da fenda está relacionada com o tamanho do elemento

finito e consequentemente, o modelo de amolecimento em termos de extensões é

calculada individualmente para cada elemento finito, respeitando sempre a propagação

da fenda “crack opening law”. O modelo de amolecimento “softening model” que foi

utilizado para a análise numérica encontra-se ilustrado na Figura 4.1.

Figura 4.1 – Modelo de amolecimento do betão, Hordijk (1991).


45

A função de propagação de fendas foi calculada experimentalmente por Hordijk (1991).

)1.4(,exp1exp1 2

3

12

3

1ćc

w

w

w

wc

w

wc

f ccc

ef

t

)2.4(14.5éf

t

f

cf

Gw

Em que,

w é a propagação da fenda;

cw é a propagação da fenda quando a tensão efectiva à tracção é zero;

é a tensão normal;

ef

tf´ é a tensão efectiva à tracção;

fG é a energia de fractura necessária para criar uma fenda sem transmissão de tensões;

Os valores das constantes são c1 = 3 e c2 = 6.93

A energia de fractura de acordo com Vos (1983) pode ser calculada recorrendo à

expressão (4.3):

)3.4(000025.0 éf

tf fG

A tensão que se encontra no modelo de amolecimento é determinada a partir da

propagação da fenda w , que é calculada através da expressão (4.4), onde cr é a

extensão da abertura da fenda, é um factor que depende na direcção da propagação da

fenda e tL é o comprimento da banda de fissuração que se encontra perpendicular à

fenda.

)4.4(tcr Lw


46

É possível visualizar o comprimento da banda de fissuração para tracção e compressão

na Figura 4.2.

Figura 4.2 – Comprimento da banda de fissuração para tracção e compressão, Vos

(1983).

Antes de ocorrerem fissuras, o betão é um material isotrópico e a relação entre a tensão

e deformação do betão é analisada recorrendo ao diagrama de tensão-deformação

uniaxial equivalente. O comportamento à tracção do betão não fendilhado, é assumido

como sendo elástico linear. Em que cE é o módulo de elasticidade do betão e ef

tf´ a

tensão efectiva à tracção.

)5.4(0; ´ef

tc

eq

c

ef

c fE

Após a fissuração, o betão passa a ser um material ortotrópico que é controlada através

da função de rotura biaxial elaborada por Kupfer (1969). São calculados através dessa

função, os valores máximos da tensão de compressão ef

cf ´ e de tracção ef

tf´ . O

diagrama de tensão-deformação uniaxial equivalente e a rotura biaxial do betão e pode

ser visualizado na Figura 4.3.

a) b)

Figura 4.3 – a) Diagrama de tensão-deformação uniaxial equivalente;

b) Rotura biaxial do betão.


47

4.3 – Modelo Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model”

De acordo com Cervenka (2009), o programa SBETA Atena3D permite a possibilidade

de trabalhar com o modelo de fissuração distribuída “smeared crack model”. Este

modelo permite modelar a propagação das fendas, através de uma actualização da

relação constitutiva (tensão x deformação), dos elementos que se encontram na

proximidade da fenda. A vantagem deste método é a sua simplificação computacional,

contudo, devido ao amolecimento do betão este método depende significativamente no

tamanho do elemento finito. O programa SBETA, de acordo com o conceito de

fissuração distribuída permite utilizar duas opções para modelar a fenda. A abertura e

orientação das fissuras num dado ponto são dadas através de dois modelos: “Fixed

Crack Model” e o “Rotated Crack Model”. Estes dois modelos dependem das

propriedades mecânicas dos materiais e do comportamento do material à tracção e

compressão.

No “Fixed Crack Model” a direcção da fenda é dada através da direcção das tensões

principais, no momento em que se inicia a fenda. Durante o carregamento esta direcção

é fixa. Antes da fissuração do betão a direcção das tensões e extensões principais

coincidem-se devido ao material isotrópico do betão. Após a fissuração o material do

betão passa a ser ortotrópico. O eixo m1 é perpendicular à direcção da fenda e o eixo m2

é paralelo à fenda. O eixo 1 e 2 rodam e criam uma tensão de corte na face da fenda,

conforme ilustrado na Figura 4.4.

Figura 4.4 – Estado de tensão e extensão do “Fixed Crack Model”, Cervenka (2009).


48

O “Rotated Crack Model” permite que a fissura mude a sua inclinação à medida que o

carregamento evolui. Neste modelo a direcção das tensões e extensões principais

coincidem. Desse modo, não existe tensões de corte na face da fenda, conforme

observado na Figura 4.5. À medida que os eixos das tensões e extensões principais

rodam, a direcção da fenda também roda.

Figura 4.5 – Estado de tensão e extensão do “Rotated Crack Model”, Cervenka (2009).


49

4.4 – Armaduras de Aço e o Modelo de Aderência “Bond Slip”

As armaduras longitudinais foram modeladas utilizando elementos barra, utilizado pelo

Editor de Armaduras do ATENA 3D e no qual é possível acrescentarem-se dados

referentes à armadura. O comportamento de tensão - extensão adoptado é elastoplástico

perfeito, conforme representado na Figura 4.6.

Figura 4.6 – Lei bilinear do diagrama tensão-extensões das armaduras, Cervenka (2009).

Existem vários modelos de aderência “bond slip” elaborados por diversos

investigadores com o intuito de simular o mecanismo de aderência entre o betão e as

armaduras. O modelo “bond” serve para transferir as tensões das armaduras para o

betão. O seu mecanismo é bastante complexo e inclui os seguintes comportamentos do

betão: atrito, abertura de fendas devido à tracção e esmagamento do betão através de

compressão.


50

Uma aderência perfeita é usualmente assumida para a análise de estruturas de betão

armado e implica que exista uma compatibilidade das deformações entre as armaduras e

o betão. Isto só é válido na fase inicial do carregamento, em regiões onde a transferência

de tensões entre as armaduras e betão é pequena. À medida que o carregamento

aumenta, ocorre a fissuração no betão e que por sua vez provoca deslizamento na

interface entre as armaduras e o betão (lei bond-slip). Devido a este deslizamento a

distribuição das tensões é afectada e são observadas na zona das fendas, extensões

superiores nas armaduras em comparação com as do betão. ATENA contém os

seguintes três modelos de “bond slip”: o CEB-FIP Model Code 1990 (1993), a lei de

deslizamento “slip law” de Bigaj (1999) e as definições do utilizador. O modelo do

CEB-FIP e do Bigaj encontram-se ilustrados na Figura 4.7

Figura 4.7 – Lei de “Bond-Slip” do CEB-FIP (1993) e do Bigaj (1999).


51

4.5 – Elementos Sólidos Tri-Dimensionais – Shell vs Brick

Os elementos sólidos tri-dimensionais são elementos volumétricos, compostos por um

único material homogéneo ou por várias camadas de diferentes materiais. Estes

elementos podem ser tetraedros (com quatro faces) ou hexaedros (com seis faces).

Embora os elementos tetraedros são fáceis de modelar, os elementos hexaedros obtêm

melhores resultados.

O elemento sólido tri-dimensional conhecido por “Brick” é um elemento hexaedro.

Tanto o tetraedro e o hexaedro podem ser de baixa ordem (lineares) ou de elevada

ordem (quadráticas). Os elementos lineares têm os pontos nodais somente nos vértices

do sólido e os elementos quadráticos têm para além dos vértices uns pontos nodais

adicionais no meio das faces do elemento. Os elementos quadráticos reduzem o erro de

aproximação dos elementos finitos mas, aumentam o tempo de resolução do problema

devido ao seu maior número de nós e de pontos de integração. Na Figura 4.8 ilustra a

diferença entre um “brick” linear e um “brick” quadrático.

Figura 4.8 – Diferença entre um “brick” linear e um quadrático, Cervenka (2009).


52

O elemento “shell”, também conhecido por elemento de casca é um caso particular de

um elemento sólido tri-dimensional. Segundo a hipótese elaborada por Kirchhoff

(1850), o “shell” é um elemento fino, em que a sua espessura é bastante pequena em

comparação com a largura e comprimento. Admite-se ainda que, as fibras rectas

normais ao plano médio do elemento permanecem rectas após a deformação e

perpendicular ao plano médio. Isto implica que a distribuição das extensões ao longo da

espessura é linear e considera-se também que as tensões normais ao shell são assumidas

como sendo zero. Na Figura 4.9 é demonstrado um exemplo de um elemento laje e os

pressupostos da teoria de lajes finas.

Figura 4.9 – a) Elemento laje com cinco graus de liberdade por nó, Ahmad (1970);

b) Pressupostos da teoria de lajes finas.

No modelo SBETA os elementos shell são modelados utilizando elementos finitos de

Ahmad. Estes elementos são criados a partir de um elemento quadrático sólido

designado por “brick” com vinte nós. O elemento “shell” de Ahmad (1970), contém

nove nós de integração em cada uma das camadas do “shell”. Cada nó conte cinco graus

de liberdade, correspondentes a três deslocamentos e a duas rotações.

Embora o elemento “shell” é um elemento quadrático, este contém menor número de

nós de integração em comparação com o elemento “brick” quadrático. Daí se pode

concluir que, o elemento “shell” reduza substancialmente o tempo computacional em

comparação com o elemento “brick”. Contudo os elementos shell utilizados no modelo

SBETA não têm um bom comportamento para o punçoamento de lajes. Isto porque a

sua função de forma para tensões de corte é constante ao longo da espessura do “shell”.

Sendo assim, em zonas onde existe punçoamento é aconselhável utilizar elementos

“brick” embora o tempo computacional seja maior.


53

4.6 – O Método Newton-Raphson

O método iterativo mais utilizado para soluções de equações não lineares é o Newton-

Raphson. O Newton-Raphson é um método incremental - iterativo em que se pesquisa a

solução para cada incremento de carga recorrendo a um processo iterativo. O

incremento de carga mantém-se inalterável e as deformações sofrem um processo de

interacção até que, o critério de convergência se tornar satisfatório consoante uma dada

tolerância. No modelo SBETA este método deve ser utilizado no caso em que exista

uma imposição de um deslocamento “prescribed displacement”. É utilizado a equação

(4.6) para descrever o comportamento estrutural numa dada etapa da solução.

)6.4()( 11 iii pfqppK

Em que,

q é o vector das forças totais;

)( 1ipf é o vector das forças internas;

ip é o incremento da deformação devido ao incremento da carga;

ip é a deformação da estrutura antes do incremento da carga ;

1ipK é a matriz de rigidez, que relaciona o incremento da carga com o incremento da

deformação.

A equação (4.6) é não linear portanto é necessário executar um processo iterativo até

uma certa convergência seja obtida. Existem quatro critérios de convergência: o

incremento da deformação, a força residual absoluta, a força residual relativa e a energia

dissipada e os valores dos limites de convergência são atribuídas como sendo 0.01. O

conceito do método Newton-Raphson está indicado na Figura 4.10.

Figura 4.10 – Método Newton-Raphson.


54

A parcela da equação (4.6), que mais tempo leva a resolver é o recálculo da matriz de

rigidez 1ipK para cada etapa. Para ultrapassar esta dificuldade, pode-se recorrer ao

método Newton-Raphson modificado, que se encontra ilustrado na Figura 4.11. Neste

método a matriz de rigidez é calculada somente na primeira iteração. Isto implica uma

redução significativa de tempo na resolução da expressão (4.6) mas, necessita de um

maior número de iterações para a solução convergir. A simplificação adoptada no

método Newton-Raphson modificado pode ser expressa pela seguinte expressão (4.7):

)7.4(01 pKpK i

Figura 4.11 – Método Newton-Raphson Modificado.

Comparando a Figura 4.10 com a Figura 4.11 é visível que o método Newton-Raphson

modificado converge lentamente, em comparação com o método Newton-Raphson. No

entanto o Newton-Raphson modificado necessita de menor tempo computacional para

obter uma solução, devido à simplificação da matriz de rigidez.


55

Capítulo 5

5 – Analise Numérica


O presente capítulo tem como objectivo analisar o fenómeno de punçoamento de lajes

fungiformes maciças, recorrendo a um programa de elementos finitos não lineares e

fazendo uma comparação desses resultados com os obtidos pelos ensaios experimentais.

As lajes fungiformes são bastante utilizadas devido às suas vantagens económicas e

construtivas, contudo a área entre o pilar e a laje é uma zona crítica porque existe a

possibilidade de ocorrer um mecanismo de rotura por punçoamento. Este mecanismo

leva a que a resistência ao punçoamento seja um factor a ter em conta quando se escolhe

a espessura da laje, sendo frequente o factor mais condicionante na sua escolha.

Hoje em dia existem inúmeros dados experimentais que permitem conhecer os

parâmetros que influenciam o mecanismo de rotura por punçoamento. Para poder

recorrer com confiança a uma análise numérica, estes parâmetros também têm de ser

contabilizados, o que nem sempre é fácil de o fazer, tais como a energia de fractura, o

factor “tension stiffening”, o factor “shear retention”, etc.

Para a realização da análise numérica foi utilizado um programa de elementos finitos

tridimensionais ATENA 3D, que permite executar análises não lineares e neste caso em

particular obter a carga de rotura, as deformações verticais da laje e as extensões das

armaduras. Estes resultados por sua vez serão comparados com os valores obtidos pelos

ensaios experimentais.


56

5.2 – Descritização dos Modelos

As lajes foram modeladas usando elementos tridimensionais isoparamétricos e devido à

simetria da laje, somente um quarto da laje foi modelada, permitindo assim a

simplificação do problema. Para além da laje, também foi modelado a placa de aço que

simulava o pilar e as restantes placas que se encontravam sobre a laje.

Para todos os modelos, a aplicação do carregamento foi introduzido sobre a placa de aço

localizada na zona do pilar, através de um incremento do deslocamento com o valor de

0,0001 m. Quanto às restantes placas de aço, estes eram modeladas com elementos

triangulares e serviam para impedir o deslocamento vertical. As armaduras longitudinais

foram modeladas utilizando elementos barra. Ao modelar um quarto da laje, teve-se que

ter em conta, as condições de fronteira da laje, tendo sido considerado para este efeito,

um encastramento deslizante na fronteira da continuação da laje. Para obter o valor total

da carga, multiplicou-se por quatro o valor da carga.

No que se refere às características do betão e das armaduras longitudinais, foram

adoptados os valores usados nos ensaios experimentais e que se encontram descritos no

Capítulo 3.3.

Na realização da análise numérica, foram elaborados cinco estudos para cada uma das

três lajes ensaiadas, permitindo assim, entender a influência de alguns parâmetros

importantes para o fenómeno de rotura ao punçoamento. Os cinco estudos têm as

seguintes designações: Aderência Perfeita “Perfect Bond”; Aderência-Deslizamento

“Bond-Slip”; Energia de Fractura; Elementos de Laje “Shell Ellements” e Modelo de

Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model”. Para todos os estudos elaborados, a

zona onde ocorre punçoamento foi modelada da mesma forma. Foi considerado uma

distância ligeiramente superior a duas vezes a área útil, contada a partir do perímetro do

pilar. Esta zona da laje tem uma descritização bastante refinada e utilizou-se elementos

“brick” com oito nós. Quanto à descritização exterior da zona onde ocorre

punçoamento, esta era menos refinada.


57

O primeiro estudo, ”Perfect-Bond”, servia como modelo de referência em relação aos

outros estudos, podendo assim fazer uma comparação entre os diversos resultados.

Neste modelo, a laje foi modelada considerando uma aderência perfeita entre o betão e

as armaduras não existindo assim, a influência do “bond-slip”. Foi adoptado a energia

de fractura predefinida do programa ATENA, que é calculada a partir da resistência à

compressão do betão em provetes cúbicos. Os elementos finitos utilizados eram do tipo

“brick” e o modelo de fissuração distribuída era o “fixed crack model”. A Figura 5.1

representa a modelação de um dos modelos usados para a análise numérica.

Figura 5.1 – Modelação numérica da laje AR2 com elementos “brick”.

No estudo “Bond-Slip”, a sua modelação era idêntico ao do primeiro estudo. A sua

única diferença foi alterando o parâmetro de aderência das armaduras, utilizado um

modelo “bond-slip” referente ao CEB-FIP MC90 (1993). Foi considerado que o betão

se encontrava confinado e que existia uma boa aderência entre o betão e as armaduras.


58

O terceiro estudo, Energia de Fractura, serviu para analisar a influência da energia de

fractura. Foram realizados três modelos com energias de fractura diferentes, em que o

primeiro modelo era referente ao estudo “Perfect Bond” e os outros dois foram

determinados de acordo com o CEB-FIP MC 90 (1993) a partir da equação (5.1)

)1.5(/

7,0

0

,

0 mNemf

fGG

cm

cylc

ff

Onde:

Gf = Energia de Fractura;

Gf0 = Valor de base da energia de fractura e depende do tamanho máximo do agregado;

fc,cyl = Resistência à compressão do betão para provetes cilíndricos;

fcm0 = 10 MPa.

Quadro 5.1 – Valor de Gf0 referente ao tamanho máximo do agregado

dmáx

(mm)

GF0

(N/m)

8 25

16 30

32 38

Foram calculados apenas as energias de fractura referentes ao tamanho máximo do

agregado 16 mm e 32 mm e os seus respectivos valores são as seguintes:

Quadro 5.2 – Valor de Gf0 referente ao tamanho máximo do agregado para cada modelo

Modelo dmáx

(mm)

Energia de

Fractura (N/m)

AR2 16 77,92

32 98,70

AR9 16 75,11

32 95,14

ID1 16 78,20

32 99,05


59

As predefinições existentes no programa ATENA para a energia de fractura foram as

seguintes:

Quadro 5.3 – Energia de Fractura

Modelo Energia de

Fractura (N/m)

AR2 80,23

AR9 77,48

ID1 80,56

Relativo ao quarto estudo, “Shell Ellements”, este foi modelado com elementos finitos

do tipo laje com seis camadas, na zona exterior dos modelos. Manteve-se na zona onde

ocorre punçoamento, uma discritização bastante refinada de elementos “brick”. Não foi

possível utilizar elementos “shell” na zona onde ocorre punçoamento, devido aos

elementos “shell” do ATENA não terem um bom desempenho em zonas onde existem

cargas concentradas importantes. Esta modelação procurou reduzir o número de

elementos finitos do modelo, reduzindo assim, o tempo computacional da análise

numérica. Este estudo tinha como base verificar se a redução de tempo compensa em

comparação com a qualidade dos valores obtidos. A Figura 5.2 representa um dos

modelos em que se utilizou elementos shell na sua modelação.

Figura 5.2 – Modelação numérica da laje AR2 com elementos “brick” e “shell”.


60

O quinto estudo, ” Smeared Crack Model”, permite comparar a diferença entre os dois

modelos de fissuração distribuída, “Fixed Crack Model” e o “Rotated Crack Model”.

Para utilizar o “rotated crack model” no programa ATENA, foi necessário alterar o

coeficiente unitário do “fixed crack model” para um valor entre 0 e 1. O valor utilizado

foi de 0,5 e implica que, o “fixed crack” apenas inicia quando a tensão à tracção do

betão atinge tf5,0 como demonstrado na expressão 5.2 e a Figura 5.3.

)2.5(Fixed

f

f

f

w

t

tc

t

Figura 5.3 – “Softening model”, modelo de amolecimento do betão.


61

5.3 – Análise dos Resultados

5.3.1 – Extensões na Armadura Longitudinal Superior

Com o objectivo de conseguir fazer uma comparação entre os resultados experimentais

das extensões na armadura longitudinal superior, foram medidos em todas as

modelações, as respectivas extensões no local exacto onde se encontravam nos modelos

laboratoriais. Conforme já mencionados no Capítulo 3.4.

Para todas as lajes modeladas, foram elaborados gráficos, com a evolução das extensões

nas armaduras longitudinais superiores em função da carga vertical. Foi também

elaborado tabelas para poder fazer uma comparação entre os cinco estudos. Estas

tabelas permitem comparar para diversos níveis de carga, as extensões medidas nos

ensaios experimentais com os obtidos através do método elementos finitos.


62

5.3.1.1 – AR2 Quadro 5.4 – Comparação entre as extensões experimentais e numéricas para o modelo AR2


63

5.3.1.1.1 – Perfect Bond / Bond-Slip

Modelo AR2 – varões na direcção E-W

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

Figura 5.4 – Evolução das extensões no modelo AR2 na direcção E-W (varões com maior altura

útil)


64


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 7+8

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 9+10

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental


maior altura útil)

Analisando os gráficos e Quadro 5.4 verifica-se que, com a introdução de uma lei de

“bond-slip” entre os varões e o betão, os resultados numéricos encontram-se bastante

semelhantes. Verifica-se que para a fase em que o betão ainda não se encontra

fendilhado, uma boa aproximação entre os valores do MEF e do Experimental. No

surgimento das primeiras fendas, começa-se a existir um ligeiro afastamento na

aproximação entre os valores. Contudo, continua existir uma boa aproximação. Já na

fase de cedência, os valores apresentam semelhanças no andamento do gráfico em

comparação com da experimental. Também é visível que a partir desta fase tende a

existir algumas diferenças entre os dois modelos numéricos. É interessante constatar

que, os extensómetros que se encontravam próximos do pilar, nomeadamente o Ext 1+2

e Ext 3+4, obtiveram bons resultados. Enquanto o Ext 9+10, sendo mais distante do

ponto de aplicação da carga e menos susceptível a erros, obteve-se, uma aproximação

inferior. É de salientar que os modelos numéricos iniciaram a fase de formação de

fendas mais tarde que o modelo experimental. Isto deve-se ao facto de os modelos

numéricos terem um comportamento mais rígido.


65

5.3.1.1.2 – Energia de Fractura


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Energia de Fratura 77,92N/m



Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6




Experimental


útil)


66


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 7+8




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 9+10




Experimental


útil)

Fazendo uma leitura da evolução dos gráficos, vê-se que a variação da energia de

fractura não conduziu a alterações radicais no desenvolvimento das extensões na

armadura longitudinal.


67

5.3.1.1.3 – Elementos Brick / Elementos Laje


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental


útil)


68


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 7+8

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 9+10

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental


útil)

A qualidade dos resultados obtidos com a modelação da zona exterior da laje com

elementos do tipo “shell” foi de mesma ordem de grandeza, quando comparado com o

modelo numérico com a laje totalmente descritizada com elementos “brick”. Verifica-se

que, maior parte dos extensómetros simulados tiveram uma boa aproximação do

experimental e o modelo numérico com elementos “shell”, foi a que em maior parte dos

casos obteve uma melhor aproximação. Analisando os dois modelos simulados quanto à

fase de formação de fendas, o modelo de elementos “shell” foi a que iniciou primeiro,

tendo assim uma melhor aproximação ao do modelo experimental. Nesta fase de

formação das primeiras fendas, o modelo de elementos “brick” foi a que teve um

comportamento mais rígido.


69

5.3.1.1.4 – Modelos de Fissuração Distribuída “Smeared Crack Model”


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental


útil)


70


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 7+8

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 9+10

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental


útil)

Verifica-se diferenças pouco significativas entre o “fixed crack model” e “rotated crack

model”. Existem pequenas divergências na fase final da evolução do gráfico e para a

generalidade dos extensómetros, verifica-se que, o “rotated crack model” foi a que

melhor simulou o aparecimento das primeiras fendas. Tendo sido iniciado esta fase mais

cedo, em comparação com o modelo “fixed crack model”.


71

5.3.1.2 – AR9 Quadro 5.5 – Comparação entre as extensões experimentais e numéricas para o modelo AR9


72

Quadro 5.6 – Comparação entre as extensões experimentais e numéricas para o modelo AR9


73



0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental


útil)


74


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 7+8

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 9+10

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental


útil)


75

Modelo AR9 – varões na direcção N-S

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 11+12

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

Figura 5.9 – Evolução das extensões no modelo AR9 na direcção N-S (varões com menor altura

útil)


76


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

Figura 5.9 – Evolução das extensões no modelo AR9 na direcção N-S (varões com menor altura

útil)

Quanto ao modelo AR9, a qualidade dos valores obtidos pelo MEF foram bastante

satisfatórios. Mais uma vez é notório que, a influência do “bond-slip” não veio

introduzir melhorias significativas na aproximação da solução experimental. Tanto um

como o outro são bastante semelhantes na evolução das extensões. Em alguns casos, as

duas simulações numéricas continuam a demonstrar um comportamento ligeiramente

mais rígido ao do experimental. Sendo este facto visível, na fase da formação das

primeiras fendas, nomeadamente no ext.3+4; ext.5+6; ext.11+12; ext.15+16; ext.17+18

e ext.19+20.


77



0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6




Experimental

Figura 5.10 – Evolução das extensões no modelo AR9 na direcção E-W (varões com maior

altura útil)


78


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 7+8




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 9+10




Experimental


altura útil)


79


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)





Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)





Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)





Experimental

Figura 5.11 – Evolução das extensões no modelo AR9 na direcção N-S (varões com menor

altura útil)


80


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)





Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)





Experimental


altura útil)

Tendo no modelo AR9 mais extensómetros para analisar, torna-se visivelmente melhor

que, à semelhança do que tinha já ocorrido para o modelo AR2, a variação na energia de

fractura não conduziu a alterações radicais na evolução das extensões na armadura

longitudinal superior.


81



0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental


altura útil)


82


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 7+8

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 9+10

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental


altura útil)


83


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental


altura útil)


84


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental


altura útil)

Ao utilizar elementos “shell”, foi possível obter uma melhoria na aproximação dos

resultados experimentais. Fazendo uma leitura aos gráficos para os dois modelos de

MEF, verifica-se que, seis extensómetros para o modelo com elementos “shell” obteve

melhores resultados enquanto, para o modelo com elementos brick, este obteve apenas

três. Entre os dois modelos simulados também se verifica que, o modelo de elementos

“shell” começa a fendilhar primeiro.


85



0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental


altura útil)


86


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 7+8

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 9+10

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental


altura útil)


87


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental


altura útil)


88


0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)


Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental


altura útil)

Verificou-se diferenças pouco significativas entre o “fixed crack model” e o “rotated

crack model” quando analisando a evolução das extensões e comparando os dois

modelos de fissuração distribuída através dos Quadros 5.5 e 5.6. As pequenas

divergências ocorrem, na fase final da evolução do gráfico e em alguns casos o “rotated

crack model” inicia primeiro, a fase de fendilhação do betão.


89

5.3.1.3 – ID1

Quadro 5.7 – Comparação entre as extensões experimentais e numéricas para o modelo ID1


90


Modelo ID1 – varões na direcção N-S

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

Figura 5.16 – Evolução das extensões no modelo ID1 na direcção N-S (varões com maior altura

útil)


91


0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental


útil)

Observando a evolução dos gráficos, verifica-se uma boa concordância com os

resultados obtidos. Existem boas semelhanças no decorrer do desenvolvimento dos

gráficos entre o modelo de MEF e do Experimental. Tal como nos modelos AR2 e AR9,

não houve nenhuma alteração significativa com a introdução de “bond-slip” na

modelação da laje. De forma geral a evolução dos gráficos é a mesma, tanto tendo ou

não tendo, uma lei de “bond-slip” ou aderência perfeita entre os varões e o betão. No

modelo AR9 verifica-se que para as duas simulações, ambos tiveram um

comportamento mais rígido em comparação com do experimental, dado que os dois

modelos começaram a fendilhar mais tarde.


92



0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4




Experimental


útil)


93


0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6




Experimental


útil)

Mais uma vez é visível que a variação na energia de fractura não conduziu a alterações

significativas na evolução das extensões na armadura longitudinal superior. Tal como

nos modelos AR2 e AR9, ao aumentar a energia de fractura não existiu uma maior

convergência para a solução experimental.


94



0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental


útil)


95


0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental


útil)

Analisando a evolução dos gráficos verifica-se que são muito semelhantes os resultados

obtidos dum e doutra simulação. Ambos demonstram uma boa convergência ao do

modelo experimental. Existiu uma ligeira alteração no comportamento dos modelos

numéricos na fase de cedência do betão e é também visível que esses modelos tiveram

um comportamento mais rígido, dado que o inicio da fendilhação se deu mais tarde,

quando comparado com o modelo experimental.


96



0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 1+2

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 3+4

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental


útil)


97


0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Carga (kN)

Extensão (x10-6)

Extensómetros 5+6

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental


útil)

Os dois modelos demonstraram uma boa compatibilidade com o modelo experimental.

Também foi notório que os modelos simulados tiveram uma rigidez maior, dado que

iniciaram mais tarde a fase de fendilhação. Entre os dois modelos de fissuração

distribuída verifica-se que, tal como nas lajes AR2 e AR9, o “rotated crack model”

começa a fendilhar primeiro. Os desenvolvimentos das extensões ao longo da análise

são similares para os dois modelos, ocorrendo depois algumas divergências na fase de

cedência do betão.


98

5.3.2 – Deslocamentos Verticais

Devido ao facto de ter sido modelado apenas um quarto da laje, foi só possível obter

quatro deslocamentos verticais, conforme ilustrado na Figura 5.20.

Figura 5.20 – Referência dos deslocamentos verticais.

Estes deslocamentos correspondem à média dos valores obtidos nos ensaios

laboratoriais. Sendo assim, vem referenciado nos Quadros 5.8 e 5.9, a relação entre os

deslocamentos com os deflectómetros usados nos modelos experimentais.

Quadro 5.8 – Deslocamentos verticais do modelo AR2 e AR9

Laje AR2 e AR9

Deslocamento Média

Deslocamento 1 Deflectómetro 1 e Delectómetro 5




Quadro 5.9 – Deslocamentos verticais do modelo ID1

Laje ID1

Deslocamento Média




99

É de referir que todos os valores obtidos para os deslocamentos 1 e 2 são ligeiramente

inferiores aos dos deslocamentos 3 e 4. Isto deve-se ao facto que os deslocamentos 1 e 2

encontram-se na direcção E-W, onde a armadura longitudinal tem maior altura útil,

tendo assim maior rigidez nesta direcção.

Para todas as modelações, foram elaborados gráficos com a evolução dos deslocamentos

verticais em função da carga vertical. Foi também elaborado tabelas, para poder fazer

uma comparação entre os cinco estudos. Estas tabelas permitem comparar para diversos

níveis de carga, os deslocamentos verticais medidos nos ensaios experimentais, com os

obtidos através do método elementos finitos.


100

5.3.2.1 – AR2 Quadro 5.10 – Comparação entre os deslocamentos verticais experimentais e numéricos para o modelo AR2


101


Modelo AR2 – na direcção E-W

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 1

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 2

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

Figura 5.21 – Evolução dos deslocamentos verticais com a carga vertical aplicada no modelo

AR2 na direcção E-W (varões com maior altura útil)


102

Modelo AR2 – na direcção N-S

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental


AR2 na direcção N-S (varões com menor altura útil)

Os valores dos modelos de MEF são bastante satisfatórios quando analisado com o

modelo experimental. Os dois deslocamentos na direcção E-W tiveram uma melhor

aproximação do que os deslocamentos na direcção N-S. Isto porque nos modelos de

MEF, os deslocamentos na direcção N-S eram pouco superiores aos dos deslocamentos

na direcção E-W. O mesmo não aconteceu no modelo Experimental, tendo havido uma

maior diferença entre as duas direcções. Assim sendo a influência dos varões com maior

e menor altura útil tiveram pouca influência nos modelos de MEF, ao contrário do

modelo Experimental. É de salientar que a evolução dos deslocamentos verticais era

idêntica para os dois modelos. A influência de “bond-slip” pouco ou nada teve na

aproximação da solução experimental.


103



0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 1




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 2




Experimental




104


0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4




Experimental



A influência da energia de fractura é visivelmente melhor na leitura dos deslocamentos

do que nos extensómetros. Analisando a evolução dos gráficos verifica-se que à medida

que se aumenta a energia de fractura, aumenta-se a carga ultima e os deslocamentos. Em

termos práticos, são muito semelhantes os três modelos simulados.


105



0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 1

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 2

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental




106


0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental



Ao analisar o Quadro 5.10 e os gráficos, é demonstrado que os elementos “brick”

tiveram uma ligeira convergência para a solução experimental. O modelo com

elementos “brick” conseguiu simular ligeiramente melhor o deslocamento da laje em

questão.


107



0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 1

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 2

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental




108


0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental



Dos dois modelos de fissuração distribuída, o “rotated crack model” foi a que obteve

uma aproximação mais exacta. Os dois modelos tiveram um andamento idêntico e para

cargas próximas de rotura o modelo com recurso a “rotated crack” demonstrou

marginalmente uma maior adequação ao modelo experimental.


109

5.3.2.2 – AR9 Quadro 5.11 – Comparação entre os deslocamentos verticais experimentais e numéricos para o modelo AR9


110



0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 1

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 2

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental




111


0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental



A evolução dos deslocamentos verticais foi idêntica ao do modelo AR2, isto é, a

influência de “bond-slip” pouco ou nada teve na aproximação da solução experimental.

Quanto aos modelos simulados, a qualidade dos valores obtidos foram bastante

aceitáveis quando verificados com os valores experimentais.


112



0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 1




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 2




Experimental




113


0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4




Experimental



Analisando a evolução dos gráficos das três energias apresentadas, é notório que, em

termos práticos elas são idênticas. O que se verifica é à medida que se aumenta a

energia de fractura, aumenta-se também a carga última e os deslocamentos.


114



0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 1

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 2

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental




115


0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental



Ao analisar o Quadro 5.11 e os gráficos, é demonstrado que os elementos “brick”

tiveram uma melhor convergência para a solução experimental. O modelo com

elementos “brick” conseguiu simular melhor o deslocamento da laje em questão,

embora marginalmente.


116



0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 1

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 2

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental




117


0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental



Dos dois modelos de fissuração distribuída, o “rotated crack model” foi a que obteve

uma aproximação mais exacta. Os dois modelos tiveram um andamento idêntico e para

cargas próximas de rotura o modelo com recurso a “rotated crack” demonstrou

marginalmente uma maior adequação ao modelo experimental.


118

5.3.2.3 – ID1


para o modelo ID1


119


Modelo ID1 – na direcção N-S

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4

Perfect Bond

Bond-Slip

Experimental


ID1 na direcção N-S (varões com menor altura útil)

Como verificado nos modelos anteriores e analisando a evolução dos deslocamentos

verticais, a introdução de uma lei de “bond-slip” nada serviu para a aproximação da

solução experimental. A solução final do modelo de MEF teve uma evolução

semelhante ao do Experimental. No Quadro 5.12, verifica-se que os valores do MEF

encontram-se ligeiramente distantes até chegar à carga de 100kN. A partir deste ponto,

o modelo tende a convergir e acaba por ultrapassar a carga última do modelo

Experimental.


120



0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3




Experimental

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4




Experimental



Analisando a evolução dos gráficos verifica-se que à medida que se aumenta a energia

de fractura, aumenta-se a carga ultima e os deslocamentos. Em termos práticos, são

muito semelhantes os três modelos simulados.


121



0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4

Elementos Brick

Elementos Shell

Experimental



Ao analisar o Quadro 5.12 e os gráficos, demonstra-se que, os elementos “shell”

tiveram uma melhor convergência para a solução experimental. Para este caso, o

modelo com elementos “shell” conseguiu simular melhor o deslocamento da laje em

questão.


122



0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 3

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental

0

50

100

150

200

250

300

350

0 5 10 15 20

Carga (kN)

Deslocamento (mm)

Deslocamento 4

Fixed Crack Model

Rotated Crack Model

Experimental



Analisando os dois modelos de fissuração distribuída, verifica-se que ambos tiveram um

andamento idêntico.


123

5.3.3 – Cargas de Rotura

Neste subcapítulo, é apresentado na Quadro 5.13, os resultados obtidos para as cargas

de rotura. Foi também realizado, uma comparação entre os valores da análise numérica,

juntamente com dos ensaios experimentais e dos esforços resistentes previstos pelo

Eurocódigo 2 (EC2). Foi utilizado segundo o EC2 a expressão (5.3), para o cálculo do

valor médio do esforço resistente ao punçoamento sem armaduras especificas. É de

salientar que, no cálculo do valor médio da força resistente ao punçoamento (VRm), não

se considerou os coeficientes parciais de segurança, tendo sido utilizados os valores

médios das características dos materiais na sua determinação.

)3.5(10018,03/1

1, dufkV cmlRm

Em que:

)4.5();(0,2200

1 mmemdd

k

)5.5(02,0 lylxl

Os valores de lx e lx devem ser calculados para uma largura b de laje, igual à largura

do pilar acrescida de 3d para cada lado;

fcm é a tensão média de rotura à compressão do betão em provetes cilíndricos (em MPa);

u é o perímetro do contorno de referência, sendo definido à distância de 2,0d da face do

pilar;

A altura útil determinada como sendo a média das alturas úteis nas direcções x e y, no

ponto de intersecção entre a superfície de rotura e a armadura longitudinal:

)6.5(,2

yx ddd


124

Quadro 5.13 – Comparação entre as Cargas de Rotura experimentais, numéricos e previstas

Fazendo um levantamento global, pode-se concluir que os valores obtidos pela análise

numérica são bastante satisfatórios quando comparados com os valores experimentais.

Para as lajes AR2 e AR9 a razão VExp / VMEF é muito próximo de 1 para todas as

simulações executadas, enquanto para a laje ID1, a razão já é ligeiramente inferior a 1

(entre 0,83 e 0,90).

Analisando os valores previstos pelo EC2, estes também encontravam-se satisfatórios

quando comparados com os valores experimentais. Tendo assim uma razão VExp / VRm

próximo de 1. Contudo, observando as lajes AR2 e AR9 a razão VExp / VRm é

ligeiramente inferior à razão VExp / VMEF, o que implica que, utilizando um método

elementos finitos, é possível obter melhores resultados. A razão VRm / VMEF vem

simplesmente comprovar esta afirmação.


125

Observando para os diversos modelos, é visível que, o parâmetro “bond-slip” não

influenciou os resultados da carga de rotura. As cargas de rotura para os modelos com

“bond-slip” e sem “bond-slip” são bastante próximos um do outro. Quanto aos modelos

da energia de fractura, o primeiro das três, foi a que melhor aproximou da carga de

rotura. É visível que, com o aumento da energia de fractura também se aumenta a carga

de rotura. Os elementos shell tiveram uma pior aproximação em comparação com os

modelos de elementos “brick” e por fim os modelos com “rotated crack model”

obtiveram melhores resultados em comparação com o “fixed crack model”.


126


127

Capítulo 6

6 – Conclusões Finais e Desenvolvimentos Futuros


Neste capítulo apresenta-se uma síntese dos principais resultados a que se chegou no

decorrer deste trabalho, comentando as influências das diversas modelações estudadas.

É evidenciada a influência destes factores nos seguintes aspectos: evolução das

extensões na armadura longitudinal superior, deslocamentos verticais e carga de rotura.

Finalmente apresentam-se sugestões para desenvolvimentos futuros neste tema.

6.2 – Conclusões Finais

Baseando nos resultados obtidos pela análise numérica pode-se concluir que a

modelação dos modelos tridimensionais vão de acordo com os resultados experimentais.

A comparação entre os diversos resultados demonstra que, o método de elementos

finitos é capaz de prever realisticamente o comportamento da capacidade de carga, a

deformação da laje e ainda o seu modo de rotura.

Foi evidenciado que, para a análise das extensões nas armaduras longitudinais

superiores, esta foi pouco fiável. Tanto em simulações numéricas como em ensaios

experimentais, as extensões são difíceis de determinar devido à difícil previsão da

propagação das fendas. Isto é, ao ter os extensómetros localizados muito perto ou dentro

da fenda, pode existir saltos ou descompressões na leitura das extensões e se estiverem

demasiado longe, pode não ser lido as extensões devido às tensões serem propagadas

para o betão.

Fazendo uma leitura à evolução das extensões e deslocamentos verticais foi visível que

os modelos numéricos iniciaram a fase de formação de fendas mais tarde que o modelo

experimental. Isto deveu-se ao facto de os modelos numéricos terem um comportamento

mais rígido.


128

Com o intuito de avaliar o desempenho computacional dos diversos modelos, o Quadro

6.1 indica o tipo e número de elementos finitos, a espessura máxima da fenda e o tempo

de execução de cada modelo. A Figura 6.1 ilustra bem, a diferença do tempo

computacional, medido em segundos para os diversos modelos.

Quadro 6.1 – Avaliação do desempenho computacional dos diversos modelos

Figura 6.1 – Diferença do tempo

computacional medido em segundos para os

diversos modelos.


129

Relativamente às modelações estudadas neste trabalho, pode-se referir que, as

diferenças entre os modelos com “bond slip” e sem “bond-slip” eram insignificantes.

Não existiu uma optimização na modelação quando optado por um “bond-slip” nas

armaduras. Isto porque, a tensão de cedência do betão era inferior à tensão necessária

para ocorrer perda de aderência entre as armaduras com o betão. A tensão necessária

para existir esse deslizamento era elevada devido às propriedades escolhidas para o

“bond-slip”. Foi considerado que existia confinamento do betão e que existiam boas

condições de aderência nas armaduras logo a tensão era elevada.

A análise numérica demonstra que a energia de fractura tem uma influência dominante

na capacidade de carga da laje. Verifica-se que a energia de fractura é aproximadamente

proporcional à carga de rotura. Ao aumentar a energia de fractura, a propagação da

fenda cw também aumenta permitindo assim que o betão resiste mais à tracção levando

por fim, a cargas de rotura e deslocamentos maiores. Observando no Quadro 6.1 é

possível visualizar que a espessura máxima da fenda aumenta à medida que se aumenta

a energia de fractura.

Quanto ao modelo com elementos shell, este teve uma redução drástica no número de

elementos finitos usados para modelação das diversas lajes. Conforme demonstrado no

Quadro 6.1, esta redução levou a um tempo computacional bastante inferior quando

comparado com os outros modelos. O tempo de execução embora sendo reduzido, na

generalidade dos casos houve uma pior convergência à solução experimental.

Analisando os resultados numéricos obtidos com o “rotated crack model” e “fixed crack

model”, verificou-se que ambos tiveram uma boa aproximação dos ensaios

experimentais. Confirma-se que a solução com o “fixed crack model” atingiu valores

superiores em comparação com o “rotated crack model”. Reparando nos valores do

modelo AR2 e AR9 do Quadro 5.13 verifica-se que, a carga de rotura experimental

encontra-se entre os dois modelos de fissuração distribuída. O que indica que, ao utilizar

estes dois modelos, permite a possibilidade de obter uma margem de valores (valores

Máx e Min) para a previsão da carga de rotura. Mas a principal diferença entre estes

dois modelos é na sua forma de propagação das fendas que pode ser visualizada na

Figura 6.2.


130

a) Fixed Crack Model

b) Rotated Crack Model

Figura 6.2 – Propagação das fendas com espessuras superiores a 1x10

-6 m para o modelo AR2

no momento da rotura: a) Fixed Crack Model e b) Rotated Crack Model


131

a) Vista em Planta

b) Vista em Corte

Figura 6.3 – Fotografia do modelo AR2 após rotura por punçoamento, Ramos (2003):

a) Vista em Planta e b) Vista em Corte

Comparando a Figura 6.2 com a Figura 6.3, apercebe-se que o programa numérico

conseguiu simular a superfície de rotura, formando assim um tronco cónico. Como era

de esperar e considerando que ambos os modelos se encontram com o mesmo

deslocamento, a espessura das fendas para o “fixed crack model” davam inferiores em

relação ao “rotated crack model”. É de referir que o Quadro 6.1 indica a espessura

máxima da fenda no ponto de rotura e não quando os modelos se encontra com o

mesmo deslocamento. Dai que, os valores do Quadro 6.1 se encontrem diferentes ao de

esperar.

Para finalizar, demonstrou-se que, o Eurocódigo 2 obteve uma boa previsão para a carga

de rotura, tal como aconteceu na análise numérica. Para conseguir obter os melhores

resultados possíveis para este tipo de análise, foi vital modelar com os elementos mais

apropriados e adoptar as propriedades mais adequadas para os diversos tipos de

materiais. Portanto pode-se assumir que, a utilização de um programa de método de

elementos finitos pode ser bastante vantajoso para futuras pesquisas.


132

6.3 – Desenvolvimentos Futuros

As facilidades existentes actualmente em termos de capacidades de cálculo automático

para a análise numérica, permitiu esclarecer algumas questões relacionadas com o

comportamento do punçoamento de lajes fungiformes maciças. No entanto, no âmbito

da modelação numérica, é de frisar que, deverá ser continuado e aprofundado as

investigações, de forma a ser possível esclarecer questões pendentes e desenvolver

futuros modelos numéricos. Com o desenvolvimento desse tipo de ferramentas,

permitiria executar estudos paramétricos ainda mais exaustivos de uma forma rápida e

económica. Como sugestão são referidas as seguintes temas a ter em conta para futuras

investigações e que seriam de interesse o seu desenvolvimento:

Elaboração de uma análise paramétrica com o auxiliar de uma modelação

numérica permitindo assim estudar a influência dos seguintes parâmetros:

Resistência do betão - Entender até que ordem de grandeza este

parâmetro influência no comportamento ao punçoamento;

Efeito de escala - Proceder a simulações com diferentes espessuras

e analisar este fenómeno;

Efeito da percentagem geométrica de armadura da laje - Variar a

quantidade de armadura com o objectivo de analisar a alteração no

comportamento da laje sujeito a esforços de punçoamento;

Efeito da relação entre o vão e a espessura da laje - Modelar com

vãos e espessuras diferentes de modo analisar qual é a importância

da razão entre momento flector e a carga efectiva na resistência ao

punçoamento.


133

Aplicar a modelação numérica a modelos experimentais que contenham

armadura específica de punçoamento e armadura de pré-esforço, disponíveis no

Departamento de Engenharia Civil, da Faculdade de Ciências e Tecnologia.

Através de um modelo numérico elaborar um método de cálculo que melhor se

aproxima à carga de rotura para diversos tipos de lajes (com ou sem armadura

especifica de punçoamento e pré-esforço).

Análise numérica do punçoamento em laje fungiforme sujeita a um

carregamento cíclico. As forças horizontais (acções sísmicas) podem conduzir à

rotura por punçoamento e como as disposições normativas são baseadas em

estudos experimentais com carregamento monotónico seria importante analisar a

resistência ao punçoamento de lajes fungiformes sujeitas a acções dinâmicas.


134

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