ANÁLISE NUMÉRICA DOS PERFIS DE CHAPA...

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ANLISE NUMRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA

DE SEO TIPO C

MRCIA SARMENTO SANTOS

Tese apresentada ao Centro de Cincias e Tecnologia

da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como

parte das exigncias para obteno de ttulo de Doutor

em Cincias de Engenharia.

Orientador: Prof. Luiz Felippe Estrella Jr.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE UENF

CAMPOS DOS GOYTACAZES RJ MARO 2000

ii

ANLISE NUMRICA DOS PERFIS DE CHAPA DOBRADA

DE SEO TIPO C

MRCIA SARMENTO SANTOS

Tese apresentada ao Centro de Cincias e Tecnologia

da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como

parte das exigncias para obteno de ttulo de Doutor

em Cincias de Engenharia.

Aprovada em 30 de maro de 2000

Comisso Examinadora:

Prof. Pedro Colmar Gonalves da Silva Vellasco, PhD FEN/UERJ

Prof. Sebastio Arthur Lopes de Andrade, PhD FEN/UERJ

Prof. Jos Guilherme Santos da Silva, DSc FEN/UERJ

Profa Vnia Jos Karan, DSc LECIV/UENF

Prof. Luiz Felippe Estrella Jnior, PhD LECIV/UENF

Orientador

iii

AGRADECIMENTOS

minha filha Carolina, meu marido Ubiracy e todos amigos e familiares que compreenderam e ajudaram nas minhas ausncias e nos momentos difceis.

Aos funcionrios da UENF, que sempre foram dedicados e atenciosos para a

melhor realizao deste trabalho.

A todos os membros desta banca, que se dispuseram a comparecer e to

seriamente fizeram seu trabalho.

iv

NDICE

CAPTULO 1 - INTRODUO

1.1. GENERALIDADES............................................................................................1

1.2. REVISO BIBLIOGRFICA..............................................................................4

1.3. OBJETIVOS DA TESE......................................................................................9

1.4. ESCOPO DA TESE.........................................................................................11

CAPTULO 2 - ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS PLACAS

2.1. INTRODUO.................................................................................................13

2.2. O MTODO DAS LARGURAS EFETIVAS......................................................20

2.2.1. Placas Enrijecidas.................................................................................24

2.2.2. Placas No-Enrijecidas.........................................................................27

2.2.3. Carregamento de Compresso Uniformemente Varivel......................28

2.3. PLACAS NO ESTADO DE SERVIO.............................................................34

2.3.1. Aproximao de Thomasson.................................................................35

2.3.2. Aproximao de Mulligan.......................................................................37

2.3.3. Aproximao Utilizada...........................................................................43

2.4. LARGURA EFETIVA SEGUNDO AS NORMAS: AMERICANA E EUROCODE

2.4.1. Introduo..............................................................................................46

2.4.2. Placas Enrijecidas.................................................................................46

2.4.3. Placas No-Enrijecidas.........................................................................52

2.4.4. Enrijecedor do Perfil C..........................................................................56

2.5. A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS

2.5.1. Eurocode 3............................................................................................58

2.5.2. AISI-90.................................................................................................58

2.5.3. AISI-90*.................................................................................................59

2.5.4. BANDA FINITA.....................................................................................59

v

CAPTULO 3 - LARGURA EFETIVA PELO MTODO DA BANDA FINITA

3.1. INTRODUO....................................................................................................60

3.2. DIFERENA ENTRE OS MTODOS.................................................................61

3.3. DESENVOLVIMENTO........................................................................................62

3.4. DISCRETIZAO..............................................................................................74

3.5. ANLISE DA INSTABILIDADE LOCAL.............................................................78

3.6. A LARGURA EFETIVA NO PROGRAMA FINLOC...........................................95

CAPTULO 4 - A INTERAO ENTRE AS FLAMBAGENS LOCAL E GLOBAL

4.1. INTRODUO....................................................................................................98

4.2. DESCRIO DA INTERAO ENTRE OS MODOS DE FLAMBAGEM............98

4.3. O ELEMENTO FINITO......................................................................................102

vi

CAPTULO 5 - RESULTADOS

5.1 INTRODUO...............................................................................................105

5.2 ANLISE DOS RESULTADOS......................................................................110

5.3 A INFLUNCIA DA DEFORMADA INICIAL E DA EXCENTRICIDADE DA

CARGA NO PERFIL DE CHAPA DOBRADA...............................................125

CAPTULO 6 CONCLUSES...............................................................................135

BIBLIOGRAFIA........................................................................................................137

vii

NOTAES

LETRAS DO ALFABETO ROMANO

A rea da seo plena

a comprimento da placa

Ae rea da seo efetiva para carga uniforme igual fy

b largura da placa

b1, b2, b3 larguras de clculo das paredes do perfil C

bc largura comprimida da placa

be largura efetiva

bo - largura tracionada da placa

bp largura plana da placa

bp1 largura plana da placa 1

bp2 largura plana da placa 2

C centro de toro

CG = G centro de gravidade do perfil C

CGe = Ge centro de gravidade efetivo do perfil C

d deslocamento transversal

D rigidez da placa flexo

dy deformada inicial do perfil na direo y

dyL, dzL flechas mximas medidas

dz deformada inicial do perfil na direo z

E mdulo de elasticidade

ep excentricidade da carga

fy limite elstico

H funo de forma

I3 matriz identidade 3 x 3

k coeficiente de flambagem

K - matriz tenso inicial

K0 matriz dos pequenos deslocamentos

k1C coeficiente de flambagem da placa 1 da seo C

k1U coeficiente de flambagem da placa 1 da seo U

viii

k2 coeficiente de flambagem da aba

L comprimento da banda finita

m semi-ondas de flambagem longitudinalmente

Mx, My, Mxy - momentos

n semi-ondas de flambagem transversalmente

NBP nmero de bandas finitas por placa

P ponto de aplicao da carga

Pa caminho de equilbrio adjacente

Pcr carga crtica de flambagem global da coluna

Pcr,s carga crtica de flambagem local da seo

Pexp carga de runa experimental

Pf caminho de equilbrio fundamental

Pf,y carga crtica de flambagem por flexo

Pft1 carga crtica de flambagem por flexo-toro

Pr,th carga terica de runa

Pruna = PR carga de runa numrica

Py carga de runa plstica

R raio interno entre b1 e b2

RI raio interno entre b2 e b3

rmin raio de girao mnimo da seo transversal

t espessura da placa

u campo dos deslocamentos

w deformao transversal da placa

W1, W2, W3 larguras totais das placas

wo - imperfeio inicial

yp - excentricidade da carga aplicada

ix

LETRAS DO ALFABETO GREGO

- deformao longitudinal total

e - deformao longitudinal nos bordos da placa

p deformao para tenso linear plana

b deformao para flexo

pL - parcela no-linear do Tensor de Green

cr,p deformao crtica da placa

- multiplicador crtico (auto-valor)

C multiplicador da tenso crtica de uma seo C

U multiplicador da tenso crtica de uma seo U

p - esbeltez reduzida da placa para o estado de servio

py - esbeltez reduzida da placa na runa

- coeficiente de Poisson

- energia potencial total

- rotaes nos bordos das placas

= be/b coeficiente de reduo da largura efetiva

y - coeficiente de reduo da largura efetiva para uma placa sob fy

- tenso uniaxial de compresso na direo x

1 tenso de compresso de sinal positivo e de maior valor absoluto

2 tenso que pode ser de compresso (positiva) ou de trao (negativa)

cr = cr,p = cr,local tenso crtica de flambagem local

m tenso de compresso uniforme atuante sobre b

emx tenso mxima no bordo no carregado da placa

em tenso mdia no bordo no carregado da placa

x tenso no-uniforme atuante sobre b

e tenso varivel no bordo no carregado

- parmetros nodais

- coeficiente que define o tipo de solicitao ( =2/1)

x

ABREVIAES

AISI American Iron and Steel Institute

PUC-RIO Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro

Tecgraf Grupo de Computao Grfica

SSRC Strutural Stability Research Council

BF-M carga de runa numrica com o MBF e as equaes de MULLIGAN[43]

BF-E - carga de runa numrica com o MBF e as equaes do EUROCODE 3[21]

BF-W carga de runa numrica com o MBF e as equaes de WINTER[74]

MBF Mtodo das Bandas Finitas

EURO - carga de runa numrica com as equaes do EUROCODE[21], segundo

[20]

AISI - carga de runa numrica com as equaes do AISI[1], segundo [20]

AISI* - carga de runa numrica com as equaes do AISI[1] levando em conta a

eficcia do enrijecedor segundo [20]

FINLOC programa computacional [20]

BANFIN programa com o MBF desenvolvido nesta tese

xi

LISTA DE FIGURAS

1.1 Eficincia estrutural x seo transversal, WINTER[74].......................................1

1.2 - (a) Produtos tipo seo;

(b) Produtos tipo chapa.......................................................................................2

1.3 Representao do perfil C..................................................................................9

2.1 Comportamento de uma estrutura perfeita[20]..................................................14

(a) Comportamento no-linear

(b) Comportamento linear

2.2 Placa retangular submetida uma carga de compresso

no seu plano......................................................................................................15

2.3 Os caminhos de equilbrio fundamental e adjacente relativos

equao 2.1 do problema de flambagem das placas.....................................16

2.4 Coeficientes de flambagem para placas enrijecidas e submetida

a uma carga uniaxial de compresso uniforme.................................................17

2.5 Configurao de flambagem para uma placa enrijecida e submetida

a uma compresso uniaxial uniforme................................................................18

2.6 Coeficientes de flambagem mnimo para uma placa enrijecida e

submetida a uma compresso varivel linearmente[7].....................................19

2.7 Coeficiente de flambagem de uma placa no enrijecida e

submetida a uma compresso varivel linearmente[7].....................................19

2.8 Resposta de uma placa real..............................................................................20

2.9 O conceito da largura efetiva.............................................................................22

(a) Placa deformada;

(b) Placa enrijecida;

(c) Placa no-enrijecida

2.10 Curvas de larguras efetivas.............................................................................26

2.11 Comparao de curvas de largura efetiva.......................................................28

2.12 Placa enrijecida submetida a uma compresso excntrica

constante.........................................................................................................29

2.13 Placa enrijecida submetida a uma carga com excentricidade

constante.........................................................................................................30

2.14 Notao e distribuio das larguras efetivas...................................................31

2.15 Distribuio das larguras efetivas....................................................................32

xii

2.16 Largura efetiva da alma da seo submetida flexo pura,

de acordo com DEWOLF e GLADDING[18]....................................................33

2.17 Proposio de THOMASSON[66], para o comportamento de uma

placa no estado de servio ps-crtico............................................................35

2.18 Proposio de THOMASSON[66] para o clculo da largura efetiva...............36

2.19 Proposio de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o comportamento de

uma placa no estado de servio......................................................................38

2.20 Proposio de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o clculo da

largura efetiva..................................................................................................39

2.21 Largura efetiva da placa no enrijecida com b/t=50........................................41

2.22 Largura efetiva da placa no enrijecida com b/t=15........................................42

2.23 Diagrama tenso x deformao da placa no enrijecida com b/t=15.............43

2.24 Largura efetiva da placa enrijecida com b/t=26...............................................45

2.25 Largura plana bp consideradas pelas normas.................................................46

2.26 Notao e representao grfica da distribuio da largura efetiva...............47

2.27 Comparao grfica das frmulas de clculo da largura

efetiva para uma placa enrijecida, com k=4....................................................49

2.28 Comparao grfica das frmulas de clculo de largura

efetiva para uma placa enrijecida, com k=5....................................................50

2.29 - Comparao grfica das frmulas de clculo de largura

efetiva para uma placa enrijecida, com k=6,998.............................................50

2.30 Distribuio da largura efetiva para o Eurocode[21] e o

AISI-90[1].........................................................................................................52

2.31 Comparao do coeficiente de flambagem k para a placa

no-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1]....................................53

2.32 Comparao das aproximaes do clculo de largura efetiva

para a placa no-enrijecida, entre o Eurocode 3[21] e o AISI-90[1]................55

2.33 Comparao entre vrias aproximaes de clculo da largura

efetiva para a placa no-enrijecida..................................................................56

2.34 Nomenclatura do perfil tipo C..........................................................................56

3.1 Perfil C discretizado em bandas finitas.............................................................62

3.2 a Banda finita submetida a um gradiente de tenses....................................63

b Deslocamentos e rotaes elemento finito de viga

3.3 Placa reduzida a um elemento finito de viga.....................................................64

xiii

3.4 Discretizao do perfil tipo C, em bandas finitas...............................................75

3.5 Perfil CLC/3 120x60 estudo da variao do nmero...................................76

de bandas finitas por placa

3.6 Perfil CLC/2.2 120x60 estudo da variao do nmero................................77

de bandas finitas por placa

3.7 A geometria e os modos locais de flambagem de uma seo C,

BATISTA[3]........................................................................................................79

3.8 Influncia do enrijecedor na flambagem da aba de uma seo

C uniformemente comprimida,[43]....................................................................80

3.9 Influncia do enrijecedor na flambagem da aba de uma seo

C uniformemente comprimida,[36]....................................................................81

3.10 Variao da tenso crtica de flambagem da seo e flambagem

global de uma coluna de seo C, sob compresso uniforme,

com o comprimento de semi-onda correspondente, L, obtida por

meio do mtodo das bandas finitas, segundo HANCOCK [27].......................82

3.11 (a) Nomenclatura utilizada na geometria do perfil C......................................86

(b) Seo submetida compresso uniforme.

(c) Seo submetida a uma gradiente de tenso +y.

(d) Seo submetida a uma gradiente de tenso -y.

(e) Seo submetida a uma gradiente de tenso +z.

3.12 Modos de instabilidade do perfil C, sob compresso uniforme,

com diferentes tamanhos de enrijecedores.....................................................88

3.13 Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tenso +y,


3.14 Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tenso -y,


3.15 Modos de instabilidade do perfil C, sob gradiente de tenso +z,


3.16 (a) Modos de instabilidade da srie 75 tipo comercial, de perfil C,

de fabricao Tecnofer.

(b) Caractersticas geomtricas da seo ......................................................93

3.17 (a) Modos de instabilidade da srie 127 tipo comercial, de perfil C,

de fabricao Tecnofer.

(b) Caractersticas geomtricas da seo.......................................................94

xiv

3.18 Clculo das larguras efetivas, considerando as placas associadas................96

4.1 Visualizao da interao entre a flambagem local e a flambagem

global, com auxlio das curvas de flambagem europias [21]...........................99

4.2 Reduo devido a flambagens simultneas [26].............................................101

4.3 Caracterstica da seo assimtrica................................................................104

5.1 As caractersticas geomtricas do perfil C e do contraventamento................108

(a) Caractersticas geomtricas;

(b) Contraventamento das extremidades abertas da coluna.

5.2 Sistema de eixos e o sentido das deformadas iniciais....................................113

(a) Eixos;

(b) Sentido das deformadas.

5.3 Curvas de carga x deslocamentos..................................................................120







5.10 Deformada do perfil CLC/1 90 x 90 na runa para uma

deformada inicial de +L/1000, usando BF-M................................................124

5.11 (a) Deslocamento do centro de gravidade da seo....................................126

efetiva aps a flambagem local.

(b) Perfil com deformada inicial negativa

Flecha mxima no n 3.

5.12 Posio de Ge para uma tenso constante igual a fy para o perfil

CLC/3-120x60...............................................................................................128

5.13 Posio de Ge para uma tenso constante igual a fy para o perfil

CLC/2-180x60...............................................................................................130

5.14 Grfico da carga de runa x ponto de aplicao da carga,

para o perfil CLC/3-120x60...........................................................................133

5.15 Influncia da deformada inicial no comportamento do perfil.........................134

(a) Grfico carga x deformao

(b) Caractersticas geomtricas do perfil

xv

LISTA DE TABELAS

2.1 Clculo e distribuio das larguras efetivas para a placa enrijecida e submetida

a uma carga excntrica.....................................................................................32

2.2 Clculo e distribuio das larguras efetivas de placas enrijecidas...................48

2.3 Clculo das larguras efetivas para a placa no-enrijecida...............................54

5.1 Caractersticas geomtricas e mecnicas das colunas..................................109

5.2 Resultado das colunas com deformaes iniciais medidas............................114

5.3 Resultado comparativo entre os mtodos utilizados......................................115

5.4 Resultado das colunas longas........................................................................116

5.5 Pesquisa da deformada inicial desfavorvel, com a utilizao da orientao do

EUROCODE [21]............................................................................................128

5.6 - Pesquisa da deformada inicial desfavorvel, com a utilizao da orientao da

posio de Ge na runa....................................................................................129

5.7 - Pesquisa da deformada inicial desfavorvel, com a utilizao da orientao do

EUROCODE [21]............................................................................................131

5.8 - Pesquisa da deformada inicial desfavorvel, com a utilizao da orientao da

posio de Ge na runa...................................................................................132

xvi

RESUMO

As pesquisas realizadas nos ltimos anos, na Europa e nos EUA, tem

permitido um maior emprego do uso de chapas dobradas na construo civil.

A expanso de seu uso se deve tambm as suas vantagens econmicas, em

relao aos perfis compactos.

Porm, as formas complexas das sees e a esbeltez de suas paredes

exigem um conhecimento mais profundo de seu comportamento estrutural.

A esbeltez das placas que constituem as suas paredes pode provocar a sua

flambagem local e uma interao entre este modo de instabilidade e o modo de

instabilidade do tipo coluna (flambagem global).

Essa interao exerce um efeito redutor sobre a carga de runa do perfil, tornando-se

necessrio um maior conhecimento da resposta de carga versus deformao de

uma estrutura formada por tais perfis.

Utilizam-se mtodos no-lineares a fim de simular a interao entre o modo local e

global de flambagem que, inclui fatores de no linearidade geomtrica.

Sendo o objetivo desta tese o desenvolvimento de uma ferramenta numrica

capaz de levar em conta a interao entre os modos de flambagem local e global,

sugere-se que a resposta carga versus deformao possa ser obtida por intermdio

do elemento finito no-linear de viga espacial de paredes finas. Considerando que o

perfil seja uma associao de placas, a flambagem local pode ser modelada pelo

mtodo das larguras efetivas. Assim sendo, temos um elemento finito cuja seo

transversal varivel ao longo do carregamento da pea a fim de simular a interao

entre os fenmenos de instabilidade local e global.

A contribuio desta tese consiste no aprimoramento do clculo das larguras

efetivas, para isso, levam-se em conta a influncia que cada placa exerce sobre a

outra, ou seja, o engastamento parcial nos cantos do perfil, atravs do mtodo das

bandas finitas. Desenvolveu-se um programa computacional na linguagem Fortran,

para a introduo da formulao do Mtodo das Bandas Finitas.

Esse estudo, tambm, permite a verificao da influncia da deformada inicial

dos perfis, devido aos processos de fabricao, e o seu comportamento de acordo

com a excentricidade do carregamento aplicado.

xvii

ABSTRACT

The latest researches carried out in Europe and in The United States have allowed a

wider use of cold-formed steel sections in civil edification. This increasing use is also

due to the economical advantages in relation to hot rolled shapes.

However, the complex shapes of the cross sections and the slender of their

walls demand a deeper knowledge of their structural behaviour. The slender of the

plates that constitute the walls may result in a local buckling and an interaction

between this way of instability and the overall buckling way.

This interaction produces a reducing effect over the column collapse load, making

necessary a greater knowledge of the load response versus the strain of a structure

constituted by such profiles.

Non-linear methods are used in order to simulate the interactio between the local and

the overall buckling, that include non-linear geometrical factors.

Being the aim of this thesis the development of a numerical tool able to take

into consideration the interaction between the local and the overall buckling it is

suggested that the load response versus strain may be resulted through the non-

linear finite element of this walled spatial beam. Considering that the profile is an

association of plates, the local bucckling can be shaped by the effective width

method. So we have a finite element, the transversal section of which varies along

with the load of the structure in order to simulate the interaction between the local

and overall instability phenomena.

The contribuition of this thesis consists of the improvement of the effective

width calculus, therefore, it is taken into consideration the influence that each plate

produces over the other, that is the partially fixed joints. A Fortran language computer

program was developed to introduce the finite strip method. This study also permits

the verification of the influence of the initial imperfection of the profiles, due to the

fabrication processes and their behaviour according to the eccentricity of the applied

load.

1

CAPTULO 1

INTRODUO

1.1. GENERALIDADES

Os perfis de chapas dobradas so resultantes da conformao a frio de

chapas finas de ao, de espessura entre 0,4 a 6,4 mm. Esses perfis podem ser

produzidos por dois mtodos de fabricao: a perfilagem - conformao a frio em

mesa de roletes - e a dobragem - processo no contnuo realizado por mquinas

dobradeiras. Como resultado desses processos podem-se produzir economicamente

uma grande variedade de formas de sees transversais, com alta relao

resistncia x peso, visto que a eficincia estrutural de uma seo depende da

maneira com que distribudo o material disponvel, ver figura 1.1.

Figura 1.1 - Eficincia estrutural x seo transversal, WINTER[74].

Quanto ao domnio de aplicao dos perfis dobrados a frio, podem-se

distinguir de uma maneira geral, duas categorias: os produtos do tipo seo, como

mostrados na fig. 1.2 a, e os produtos do tipo painel, mostrados na fig. 1.2 b. Os

produtos do tipo seo tm hoje sua utilizao como elementos principais ou

secundrios de estruturas vigas, colunas e barras de trelias, teras, bem como,

cantoneiras para prateleiras de estocagem industrial, torres de transmisso de

energia eltrica, construo de chassis e estruturas de veculos. Quanto aos perfis

do tipo painel, tem-se sua utilizao como fechamento lateral e cobertura para

edificaes industriais e habitaes, como forma colaborante de vigas mistas em

2

ao-concreto de edificaes e tabuleiros de pontes, e como elemento de

acabamento em painis horizontais e verticais.

(a)

(b)

Figura 1.2 - (a) Produtos tipo seo;

(b) Produtos tipo painel.

O crescente emprego deste tipo de perfil, comparado aos perfis laminados a

quente, se deve a sua grande versatilidade como a variedade de formas, o que

permite a maior adequao da forma sua funo, e a leveza que leva a outras

vantagem como reduo nas fundaes, a facilidade de manuteno, de transporte

e de montagem.

Muitos procedimentos de anlise e clculo que se aplicam s estruturas de

ao laminado so igualmente aplicveis s estruturas de ao leve. Entretanto,

diferenas no comportamento das estruturas sob carregamento so de tal

importncia que se fazem necessrios diferentes mtodos de clculo. As principais

razes so descritas a seguir, segundo WINTER e PEKZ [48]:

1. A variedade de formas dos perfis leves, que j so fabricadas e as que

sero, leva necessidade de procedimentos de anlise to gerais que

3

possam ser aplicados a praticamente qualquer tipo de seo transversal.

Ao passo que os perfis laminados a quente tm relativamente pouca

variedade de forma e, de certa maneira, j preestabelecidas.

2. A relao largura x espessura das placas componentes dos perfis leves

freqentemente muito maior que a mesma relao para as placas dos

perfis laminados. A esbeltez das paredes exige do calculista um

conhecimento mais aprofundado de seu comportamento estrutural , a

esbeltez das paredes pode provocar uma flambagem das placas e uma

interao entre esse modo de instabilidade e os modos de instabilidade do

tipo coluna, por flexo ou flexo-toro. Acrescenta-se a isso o fato de que

os perfis abertos de paredes finas tem baixa rigidez toro.

3. Os processos de produo e fabricao relativos aos dois tipos de

estruturas de ao afetam de modo diferente as propriedades mecnicas

dos materiais, levando a modificao da curva tenso-deformao do ao

em relao ao material virgem. A perfilagem proporciona o aumento da

tenso de escoamento e, algumas vezes, o aumento da tenso ltima, e

relevante nos cantos dobrados e ainda aprecivel nas partes planas do

perfil, enquanto que, aps a dobragem, as modificaes citadas acima so

praticamente desprezveis nas partes planas do perfil.

4

1.2. REVISO BIBLIOGRFICA

O comportamento estrutural deste tipo de perfil tem sido o objetivo do estudo

de vrios pesquisadores, no somente no Brasil mas tambm na Europa e nos

Estados Unidos. A seguir uma breve reviso dos trabalhos nesta rea [44], [57]:

ANO

PESQUISADOR

ALGUMAS CONTRIBUIES

1766

EULER

Primeiro a estudar a Teoria da Membrana

para Placas.

1789

BERNOULLI

Teoria da Flexo.

1807

YOUNG

Mostrou que o comportamento das colunas

reais afetado pelas imperfeies

geomtricas e pela impreciso do ponto de

aplicao da carga.

1826

NAVIER

Mostrou que a frmula clssica de Euler, para

colunas perfeitas, fornecia um limite superior

para as cargas de colapso de colunas reais.

1877

1883

KIRCHHOFF

SAINT VENANT

Teoria combinada dos efeitos da membrana e

da flexo.

1860

1879

GEHRING

BOUSSINESQ

Teoria na qual as placas enrijecidas em graus

diferentes nas direes ortogonais

comportam-se como placas ortotrpicas.

1889

1894

ENGESSER,

CONSIDER e

JASINSKI

Com inteno de correlacionar a teoria da

barra perfeita aos resultados obtidos com

colunas reais, trabalharam com o mdulo de

elasticidade tangente ou intermedirio.

1891

BRYAN

Primeiro a resolver o problema de uma placa

retangular simplesmente apoiada com dois

lados opostos carregados por compresso

uniforme. Primeiro a resolver o problema de

flambagem de placas usando os princpios

energticos.

5

1907

1910

1913

TIMOSHENKO

Analisou placas com diferentes condies de

contorno pelo mtodo energtico e por

integrao.

1910

VON KARMAN

Deduziu as equaes que governam as

placas perfeitas.

1914

HUBER

Equao de Huber - responsvel pelo

carregamento transversal.

1929

WAGNER

Primeiro trabalho sobre flambagem por flexo-

toro em perfis com sees transversais

abertas de paredes finas.

1936

F. BLEICH

H. BLEICH

Estudos mais exatos e aprofundados do

problema de flexo, toro e flambagem de

barras com sees transversais abertas de

paredes finas. Derivaram as equaes

diferenciais fundamentais do problema a partir

do teorema da energia potencial estacionria.

1938 MARGUERRE Equaes para placas imperfeitas.

1940

WINTER

Estudos semi-empricos que constituram a

base da primeira edio do AISI (1946) .

1940

ROSTOVTSEV

A equao de Von Karman para placas

isotrpicas foi modificada para placas

anisotrpicas e introduziu os efeitos das

imperfeies iniciais.

1951

COAN

Estudou o comportamento ps-crtico das

placas usando as equaes de Marguerre.

1953

CHILVER

Estudos de colunas curtas em U e C, com a

considerao da interao entre as placas.

1966

GRAVES SMITH

Teoria para o estudo de colunas fechadas

com sees transversais retangulares e

paredes finas.

6

1968

VAN DER NEUT

Estudos analticos do problema da interao

entre os modos local e global nos perfis leves

comprimidos.

1959

1969

1971

YAMAKI

WALKER

RHODES e HARVEY

Estudaram o comportamento ps-crtico das

placas usando tcnicas diferentes.

1961

VLASSOV

Um dos primeiros a compreender que o

princpio de Bernoulli no se aplica as sees

de paredes finas.

1971

KLOPER e

SHUBERT

Comportamento de estruturas tubulares,

adotando a runa no instante em que as

tenses nas fibras mais comprimidas atingem

o limite de escoamento.

1971

1975

KOITER e KUIKEN

SVENSSON e CROLL

Prosseguiram com os estudos de Van Der

Neut e os ltimos autores incluram nos

estudos o efeito da plasticidade.

1972

WALKER

DAWSON

Discutiram a aplicao da frmula de Winter

para o comportamento ps-crtico antes de se

atingir o colapso.

1973

DEWOLF

Estudou sees de dupla simetria com

elementos comprimidos, enrijecidos e no

enrijecidos, com flambagem local.

1974

BILSTEIN

Empregou as equaes de Marguerre

aplicadas s placas isoladas com imperfeio

inicial.

1960

1968

1970

1971

1979

KLPPEL e SCHEER

KLOPPEL e MOLLER

BULSON

C. R. C. do Japo

WILLIAMS e AALAMI

Utilizando os computadores com as tcnicas

da relaxao, diferenas finitas e elementos

finitos desenvolveram vrias solues para a

equao de Marguerre com uma grande

variedade de formas de placas e distribuio

de tenses.

7

1977

SKALOUD e

NAPRSTEK

Programa de clculo utilizando a frmula de

Winter, levando em conta a variao das

larguras efetivas ao longo da altura da coluna.

1977

REIS

Pesquisas sobre o fenmeno da interao

entre os modos de flambagem global e local

das estruturas elsticas de perfis de paredes

finas.

1978

KALYANARAMAN

Estudo mais aprofundado de perfis

comprimidos de dupla simetria.

1978

THOMASSON

Utilizou diferentes formulaes para a largura

efetiva a fim de estudar o comportamento de

colunas no estado de servio e tambm no

estado limite ltimo.

1979

LOUGHLAN e

RHODES

Comportamento de colunas de perfis U

submetidas compresso e flexo, levando

em conta os efeitos da flambagem local nas

paredes.

1984

MULLIGAN e

PEKOZ

Propuseram uma formulao para larguras

efetivas calculadas no estado ps-crtico e

antes da runa da placa.

1985

PIGNATARO

Estudo da reduo de carga de colapso de

colunas devido interao entre os modos de

instabilidade.

1988

BATISTA

Mtodo baseado na formulao de Mulligan e

Pekoz, utilizando um algortmo de resoluo

numrico do tipo Newton-Raphson e passo-

simples.

8

1989

DE VILLE

Desenvolvimento de um elemento finito de

viga espacial sem os fenmenos de

membrane e bending-locking, que permite

considerar o modo torcional no uniforme, os

fenmenos de instabilidade, a plasticidade e

as tenses residuais.

1993

RODRIGUES

Estudo de perfis C com carga centrada,

considerando as imperfeies iniciais e a

interao entre as placas. Sem considerao

do modo torcional.

1993

ESTRELLA

Estudo de perfis L, U e C, com cargas

centradas e excntricas. Desenvolveu um

software numrico de fcil utilizao onde

tambm levou em conta a interao entre as

flambagens local e global.

Neste trabalho atem-se aos mtodos semi-analticos, a modelagem para a

flambagem local e seus efeitos feita usando o conceito da largura efetiva de placa,

com auxlio do elemento finito de viga espacial. Com a introduo da banda finita

para o clculo da tenso crtica de flambagem, no como placas isoladas mas, como

uma seo completa. O comportamento no-linear da coluna levado em conta pelo

elemento finito no-linear de viga espacial e a interao entre a flambagem local e

flambagem global tratada com ajuda de um algoritmo numrico de resoluo passo

a passo do problema no-linear.

9

1.3. OBJETIVOS DA TESE

Nesta tese realizado um estudo dos modos de instabilidade de perfis de ao

compostos por paredes finas, onde leva-se em conta a interao entre os modos de

flambagem local e global. O que torna imprescindvel o emprego de mtodos no-

lineares a fim de simular a interao que inclui fortemente fatores de no linearidade

geomtrica.

A sugesto deste trabalho que a resposta carga versus deformao possa

ser obtida por intermdio do elemento finito no-linear de viga espacial de paredes

finas. Considerando a flambagem local e utilizando o mtodo das larguras efetivas,

tem-se um elemento finito cuja seo transversal varivel ao longo do

carregamento da pea, a fim de simular a interao entre os fenmenos de

instabilidade local e global.

A contribuio desta tese consiste no aprimoramento do clculo das larguras

efetivas. No trabalho de ESTRELLA[20] foi feita uma simplificao para o clculo das

larguras efetivas, assim como nas normas existentes [1, 21], onde o perfil de chapas

dobradas calculado como uma associao de placas isoladas. Nesta tese leva-se

em conta a influncia que cada placa exerce sobre a outra, ou seja, o engastamento

parcial nos cantos do perfil. Para isso, utiliza-se o Mtodo das Bandas Finitas.

As sees transversais dos perfis aqui analisados so do tipo C.

Figura 1.3 Representao do perfil tipo C.

Alma

Aba

Enrijecedorde bordo

10

O programa, desenvolvido nesta tese, BANFIN um programa de

instabilidade de elementos de banda finita para obteno do multiplicador crtico da

seo, . A partir do multiplicador crtico obtm-se a seo efetiva com auxlio das

formulaes de larguras efetivas. O programa desenvolvido permite a anlise de

carregamentos centrados, bem como carregamentos excntricos.

A introduo das imperfeies iniciais foi feita de duas maneiras: a primeira,

conforme a flecha mxima obtida do perfil em laboratrio [43], ou seja, sua

imperfeio global mxima, a segunda, como para alguns perfis no houve medida

de imperfeio, adotou-se como flecha mxima o valor L/1000, onde L o

comprimento do perfil estudado. Em ambos os casos, adotou-se uma distribuio

senoidal ao longo do comprimento dos perfis, a fim de representar essas

imperfeies quanto retido.

O BANFIN permite alm do estudo das deformadas iniciais, tambm o estudo das

excentricidades da carga de compresso aplicada.

O modo de flambagem por toro foi introduzido segundo os critrios tericos

de VLASSOV[70] e as modificaes introduzidas por De VILLE[15].

Para calibragem do programa computacional desenvolvido foram comparados

os resultados tericos com resultados experimentais de MULLIGAN[43].

Para melhor compreenso das concluses, alm das tabelas comparativas,

foram empreendidas sadas grficas com auxlio do programa Pos-3D para melhor

visualizao dos deslocamentos e tenses. O programa Pos-3D foi desenvolvido

pelo grupo de computao grfica Tecgraf da Pontifcia Universidade Catlica, PUC-

Rio.

11

1.4. ESCOPO DA TESE

No captulo 2 fez-se um estudo do comportamento das placas isoladas,

comeando com o mtodo das larguras efetivas e a introduo ao caso de

carregamentos de compresso uniformemente varivel. Tambm, apresentou-se

algumas aproximaes para as placas no estado de servio e as larguras efetivas

segundo a norma americana, AISI-90[1], e a norma europia, o EUROCODE[21].

Em seguida, apresentado um resumo da introduo das larguras efetivas no

programa preexistente [20], devido a introduo da subrotina aqui desenvolvida,

BANFIN.

O captulo 3 consagrado ao mtodo das bandas finitas, nele encontra-se

todo o desenvolvimento do mtodo, anlises da instabilidade local e sua introduo

no programa de clculo.

No captulo 4 encontra-se o estudo da interao entre a flambagem local e a

flambagem global das colunas comprimidas, as pesquisas realizadas, comparaes

e anlises de resultados encontrados com o mtodo das bandas finitas e uma breve

descrio do elemento finito de DE VILLE[15].

Do captulo 5, dedicado a apresentao dos resultados, apresenta-se estudos

comparativos dos resultados experimentais realizados por MULLIGAN[43] de vigas-

colunas de paredes finas submetidas compresso centrada e excntrica, seo

transversal do tipo C, com os resultados numricos achados com o mtodo das

bandas finitas para o clculo da tenso crtica da seo, considerando a interao

entre as paredes. Neste trabalho foram utilizadas trs possibilidades de curvas de

flambagem, a do EUROCODE, de MULLIGAN e de WINTER, conforme item d do

tem 3.6. Tambm fez-se comparaes com os resultados obtidos por

ESTRELLA[20], onde foi utilizado o programa FINLOC sem a introduo do mtodo

das bandas finitas. Em seu trabalho foram usadas as curvas de flambagem do

EUROCODE [21] e do AISI-90 [1], sendo tambm apresentado um estudo do AISI-

90 com a introduo da eficcia do enrijecedor de bordo, conforme pargrafo 2.4.4,

intitulado AISI-90*.

12

Apresentou-se a influncia do sentido da deformada inicial no valor da carga

de runa, e tambm no comportamento carga x deformao lateral, conforme a figura

5.15. Na figura 5.10 a visualizao em 3-D leva a uma melhor compreenso das

larguras efetivas no instante da runa da pea, bem como suas deformadas.

Foram apresentadas tabelas comparativas entre os mtodos e as curvas carga x

deformao para diversos perfis.

13

CAPTULO 2

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS PLACAS

2.1. INTRODUO

Sendo este trabalho um estudo de colunas constitudas por perfis de ao

dobrados a frio, torna-se necessrio o estudo das placas esbeltas que compem os

mesmos. Uma das principais caractersticas geomtricas das placas que compem

os perfis dobrados a frio a sua relao largura/espessura, b/t. Quanto maior a

relao b/t, menor ser sua tenso crtica de flambagem local, cr. V-se, a seguir,

que a flambagem local das paredes, agindo simultaneamente com a flambagem

global do tipo coluna, conduz a uma reduo da resistncia do perfil. Desta forma, a

runa poder ocorrer atravs de um colapso sbito, o que caracteriza um

comportamento de equilbrio ps-crtico instvel. A sensibilidade para este

comportamento depender da relao cr,global/cr,local e das imperfeies iniciais.

Neste captulo, limita-se ao estudo da flambagem local das placas e deixa-se

o estudo da interao entre os modos de instabilidade para o captulo 4.

As estruturas perfeitas podem desenvolver dois tipos de comportamento:

linear e no-linear, conforme ilustrados na figura 2.1.

14

Figura 2.1- Comportamento de uma estrutura perfeita [20].

(a) Comportamento no-linear;

(b) Comportamento linear.

Nas placas de paredes finas, de se esperar dois tipos de no-linearidade:

- a no-linearidade geomtrica, devido esbeltez da estrutura, conduzindo a uma

estrutura sujeita a grandes deslocamentos, e;

- uma no-linearidade devido ao fenmeno da flambagem local.

Neste captulo, estuda-se a estabilidade de placas retangulares com dois

bordos, paralelos direo da carga de compresso aplicada, simplesmente

apoiados (placas enrijecidas) ou com um lado simplesmente apoiado e o outro livre

(placas no-enrijecidas).

Comea-se pelo estudo das placas perfeitas, a fim de conhecer seu comportamento

terico. Em seguida, passa-se ao estudo no-linear das placas imperfeitas.

Partindo da teoria da conservao da energia potencial total (), SAINT

VENANT[20] deduziu a equao diferencial de equilbrio :

2

2

4

4

22

4

4

4 .2

x

w

D

t

y

w

yx

w

x

w

=

+

+

(2.1)

onde:

d d

Ponto de bifurcao

Ponto limite

(a) (b)

Caminho de equilbrio adjacente

Caminho de equilbrio fundamental

15

t espessura da placa

- tenso uniaxial de compresso na direo x

D rigidez da placa flexo

D = Et3/12(1-2) (2.2)

E mdulo de elasticidade

- coeficiente de Poisson

w(x,y) deformada transversal da placa.

Figura 2.2 Placa retangular submetida a uma carga de compresso uniaxial no

seu plano.

Para uma placa enrijecida, figura 2.2, submetida a uma tenso uniformemente

distribuda , a equao 2.1 tem duas possveis solues:

a) A soluo trivial w(x,y)=0.

b) Substituindo-se, na equao 2.1, o deslocamento transversal w(x,y) por uma

funo que satisfaa as condies de apoio geomtricas e naturais nos quatros

bordos simplesmente apoiados da placa, conforme segue:

w(x,y) = Wmn sen

a

xmsen

b

yn (2.3)

obtm-se:

pcr ,

1

Wmn sen

a

xmsen

b

yn= 0 (2.4)

sendo:

a

b

z,w

x,u

y,v Espessura t

16

a comprimento da placa

b largura da placa

m semi-ondas de flambagem no sentido longitudinal da placa

n - semi-ondas de flambagem no sentido transversal da placa

cr,p = k 2

2

2

)1(12

b

tE

(2.5)

onde:

k coeficiente de flambagem que depende do tipo de carregamento, condies de

contorno e da geometria da placa.

cr,p tenso crtica de flambagem da placa.

com:

k =

++

2

422

2mb

ann

a

mb (2.6)

A anlise da equao 2.4 mostra que s h um meio de achar uma soluo para

w(x,y) no nula, e isto pode ser feito anulando o termo entre parnteses, fazendo:

= cr,p (2.7)

Na condio da equao 2.7, a deformada transversal w(x,y) pode tomar um valor

importante, chamado bifurcao de equilbrio, ilustrado na figura 2.3.

Figura 2.3 Os caminhos de equilbrio fundamental e adjacente relativos

equao 2.1 do problema de flambagem das placas.

w

1

P

P

f

a

Estvel

Instvel

Indiferente

cr,p)min

17

Para se assegurar da estabilidade, necessrio que a segunda variao da

energia potencial total seja positiva, cuja demonstrao facilmente encontrada na

literatura [20]. Com essa demonstrao, tem-se:

< cr,p (2.8)

Para que a desigualdade acima seja satisfeita necessrio tomar o menor valor de k

e, desta forma, faz-se n=1, resultando em:

k = 2

1

+b

a

ma

bm (2.9)

Para o valor de m feito um estudo de curvas dos diferentes modos de instabilidade,

ver figura 2.4, do qual conclui-se que todas as curvas passam por um valor mnimo

de k igual a 4, para uma placa enrijecida e submetida a uma tenso uniforme, e que

a influncia de m sobre o valor do coeficiente de instabilidade menor quanto maior

a relao entre as dimenses da placa.

Figura 2.4 Coeficientes de flambagem para placas enrijecidas e submetida a uma

carga uniaxial de compresso uniforme.

Mostra-se, na figura 2.5, a configurao do modo de flambagem da placa em

estudo.

0

4

8

12

16

k

0 1 2 3 4a / b

m = 1m = 2

m = 3m = 4

18

Figura 2.5 Configurao de flambagem para uma placa enrijecida e submetida

a uma compresso uniaxial uniforme.

O estudo do valor de k para uma placa enrijecida, porm sujeita a um

carregamento varivel linearmente, feito utilizando a relao que define o tipo de

solicitao:

= 2/1 (2.10)

sendo:

1 tenso de compresso de sinal positivo e de maior valor absoluto.

2 tenso que pode ser de compresso (positiva) ou de trao (negativa).

A soluo da equao 2.1, para diferentes valores de , dada na figura 2.6,

segundo BULSON[7], para uma placa enrijecida. Nota-se tambm que o valor da

tenso crtica no caso da flexo pura ( = -1) cerca de 6 vezes o valor da tenso

crtica da compresso pura ( = 1).

Na figura 2.7 obtida de BULSON[7] mostrado o grfico do coeficiente de

flambagem k em relao a a/b para uma placa no-enrijecida e v-se que todas as

curvas tendem assintoticamente a um certo valor (para cada valor de ) quando a

relao entre as dimenses das placas a/b cresce. Desta forma, chega-se ao valor

do coeficiente de flambagem (k) para a compresso pura ( = 1), k = 0,425.

b

a

ab

= 2

19

Figura 2.6 Coeficiente de flambagem mnimo para uma placa enrijecida e

submetida a uma compresso varivel linearmente [7].

Figura 2.7 Coeficiente de flambagem de uma placa no enrijecida e submetida a

uma compresso varivel linearmente [7].

kmin

0

4

8

12

16

20

24

= / 2 1111

0

1111

1111

2222

2222

-1,0 -0,5 0,5 1,0

a / b

k

0

5

10

1 20

Borda livre

a

b

1

1

1

1

2

2

20

2.2. O MTODO DAS LARGURAS EFETIVAS

Contrariamente ao comportamento de colunas, as placas apresentam

resistncia significativa aps a ocorrncia da flambagem. Quando essa resistncia

ps-crtica totalmente utilizada, um projeto estrutural eficiente e econmico pode

ser obtido [43].

A figura 2.8 mostra o comportamento ps-crtico estvel de uma placa sujeita

a compresso uniaxial, o que faz com que ela possa resistir a cargas superiores

carga crtica.

Entretanto, esta reserva ps-crtica no ilimitada, segundo VON KARMAN,

SECHLER e DONNELL[71], de acordo com resultados experimentais, a placa atinge

a runa quando a tenso de compresso mxima nos bordos no carregados atinge

o limite elstico fy.

Figura 2.8 Resposta de uma placa real.

A placa fina enrijecida da figura 2.9 mostra a resposta enquanto aplicada

uma tenso de compresso uniforme m. Enquanto essa tenso permanece menor

que o valor crtico cr, a tenso longitudinal interna uniforme atravs da placa.

Quando a tenso aplicada alcana cr, uma pequena onda de flambagem

desenvolve-se na placa. Quando o carregamento cresce mais, cresce a deformao

fora do plano da placa, porm impedida por tenses atuantes transversais.

Reservaps-crtica

Imperfeio inicial wo

Pa

Pf

iP'

Incio de plastificaocr,p

w

21

Ao mesmo tempo, uma redistribuio da tenso longitudinal interna ocorre, e passa

de uniforme a no-uniforme, onde a maior parte do carregamento suportado pelas

pores menos flambadas da placa. Este processo continua at que o nvel de

tenso emax, para o bordo da placa, alcana o escoamento; aps o qual geralmente

a placa atinge a runa.

Aps a flambagem da placa, o estudo com a distribuio de tenses no-

uniforme iria complicar demasiadamente os clculos prticos. Porm, o conceito de

uma largura efetiva foi introduzido por VON KARMAN [71] e outros em 1932.

VON KARMAN [71] argumentou que na placa carregada acima da tenso crtica, a

parte central flambada no tem qualquer resistncia aprecivel e que a maior parte

do carregamento dever ser suportado pelas duas faixas adjacentes as bordas da

placa.

22

y

a

b

x

m

m

e

em

emax

y

x

m

m

b

m

be/ 2be/ 2 be

m

m

e

mem

m >

(b) (c)

cr,p

cr,p

x

x

Figura 2.9 O conceito da largura efetiva

(a) Placa deformada;

(b) Placa enrijecida;

(c) Placa no-enrijecida.

b

u

m

m

a

w

Espessura t

u / a =

(a)

23

Nesta aproximao, a tenso no-uniforme x, agindo sobre a largura da placa b,

substituda por uma tenso mxima, agindo sobre uma largura efetiva be.

O equilbrio mantido pela definio de largura efetiva:

emx.be.t = x

x dxt0

.. = m.b.t (2.11)

onde:

m tenso atuante sobre b.

emx tenso mxima no bordo no carregado.

x - tenso no-uniforme.

be largura efetiva.

Da equao 2.11, tem-se:

be/b = m/emx emx

m

b

be

== (m>cr,p) (2.12)

sendo:

- coeficiente de reduo da largura efetiva.

A equao acima utilizada para o clculo da largura efetiva na runa da pea,

tambm chamada de largura efetiva de tenses. V-se que a tenso a qual a

largura efetiva be est submetida a tenso mxima do bordo no carregado, isto ,

a pior posio flambada da pea a central.

Porm, quando emx < fy, a formulao acima subestima a rigidez da placa no

estado ps-crtico.

Num estado intermedirio, anterior runa da pea, no estado de servio, a

fim de se achar a rigidez ps-crtica da placa, define-se a largura efetiva de

deformaes. Aqui, a tenso no-uniforme x, agindo sobre a largura da placa b,

substituda pela tenso mdia equivalente do bordo no carregado, agindo sobre

uma largura efetiva be.

Calculando a tenso mdia no bordo no carregado:

em = a

e dxa 0

1 (2.13)

e tenso varivel no bordo no carregado.

24

Assim, temos:

be/b = m/em em

me

b

b

== (m > cr,p ) (2.14)

Define-se a esbeltez reduzida da placa para o estado de servio e na runa,

respectivamente:

p = pcr

e

,

(2.15)

py =pcr

yf

, (2.16)

2.2.1. PLACAS ENRIJECIDAS

A aproximao da largura efetiva, desenvolvida inicialmente por VON

KARMAN [71], baseada em resultados experimentais de ensaios de placas

isoladas, carregadas at a runa, o que permite tirar as seguintes concluses de

seus ensaios:

a) A carga de runa independe da largura da placa;

b) A carga de runa proporcional ao quadrado da espessura t da placa.

A partir dessas concluses, VON KARMAN [71] formulou a hiptese de que a tenso

de flambagem na largura efetiva no estado de runa deve se igualar ao limite elstico

fy. Substituindo-se fy na equao 2.5, temos:

fy = k 2

2

2

)1(12

eb

tE

(2.17)

Combinando-se as equaes 2.5, 2.16 e 2.17 chega-se a:

11

==py

e

b

b

(2.18)

Generalizando a equao 2.18 para o estado de servio, tem-se

11==

p

e

b

b

(2.19)

25

A equao de VON KARMAN 2.18 d a largura efetiva na runa. A equao

2.19 est ligada ao conceito de largura efetiva de deformaes, onde o valor de e

varia entre 0 e fy.

Os trabalhos de pesquisa que sucederam VON KARMAN [71] constataram

duas falhas na sua formulao:

a) Ela superestima a resistncia de placas pouco esbeltas, quando a esbeltez

reduzida py varia em torno de 1;

b) Ela superestima a rigidez da placa para valores de tenses menores que fy.

Nos anos 40, WINTER[74] empreendeu uma srie de ensaios de compresso em

placas, para achar uma frmula mais realista para a largura efetiva. Em seus

ensaios, WINTER [74] baseou-se em placas integrantes de perfis dobrados a frio e

que, consequentemente, estavam submetidos a todas as imperfeies inerentes ao

processo de fabricao. A frmula a seguir foi obtida estatisticamente a partir de tais

ensaios:

125,0

11

==

pp

e

b

b

(2.20)

Apesar das imperfeies, constata-se que se alcana a runa quando a tenso e,

nos bordos no carregados, atinge o limite elstico fy e, neste caso, substitui-se

p por py na equao 2.20.

Nota-se que a expresso entre parnteses do termo a direita da equao 2.20 tende

a valores prximos a 0,75 para valores de p em torno de 1, e tende a 1 para

grandes valores de p .

Essa reduo de 25% da largura efetiva de WINTER [74] em relao a VON

KARMAN [71] na regio p =1 devido aos efeitos negativos das no-linearidades

acarretadas pelas imperfeies, e so mais importantes prximas carga crtica (ver

figura 2.10).

26

Figura 2.10 Curvas de larguras efetivas.

Em 1968, WINTER [74] empreendeu novos estudos experimentais e props

uma frmula menos conservativa para a equao 2.20, substituindo o coeficiente

0,25 por 0,22:

122,0

11

==

pp

e

b

b

(2.21)

As equaes 2.19 e 2.21 esto graficamente representadas graficamente na

figura 2.10. Pode-se constatar um afastamento muito importante entre as duas

curvas na regio de p =1 e, em seguida, a curva de WINTER [74] tende

assintticamente curva de VON KARMAN [71] para as placas mais esbeltas. O

patamar inicial das curvas caracteriza a regio de esbeltezes para as quais a placa

no flamba e totalmente efetiva.

A ttulo de ilustrao, representam-se, na mesma figura, curvas de larguras efetivas

desenvolvidas por outros pesquisadores. Embora a equao de WINTER [74] seja a

mais utilizada e adotada nas normas de diversos pases.

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

p

Von Karman, eq. (2.19)

Winter, eq. (2.21)

Chilver [64]

Grard [65]

Faulkner [66]

27

2.2.2. PLACAS NO-ENRIJECIDAS

O estudo das placas no-enrijecidas foi iniciado por WINTER [74]. Seu

trabalho baseou-se nas abas comprimidas que compem as sees de perfis

dobrados a frio, nos quais, a maior relao para largura x espessura (b/t) igual a

109. Ele sugere que o dimensionamento das abas seja limitado considerao da

tenso de flambagem, a fim de evitar qualquer distoro da extremidade livre visto

que o efeito visual no aceito para o estado de servio. Esta concepo de

dimensionamento adotada em todas as normas americanas desde a norma AISI-

86. Apesar da flambagem das abas, WINTER [74] pde constatar que elas podem

resistir alm da carga crtica, at que a tenso emx, no bordo apoiado, atinja o limite

elstico fy. A partir desta hiptese para a runa, ele deduziu a seguinte frmula para

a largura efetiva:

=

eee

E

b

tEtb

202,018,0 (2.22)

A frmula acima d uma boa aproximao para os pequenos valores de largura

efetiva achados experimentalmente.

O coeficiente de flambagem k de uma placa com um bordo livre pode variar

de 0,425, quando o outro bordo simplesmente apoiado, at 1,277, se o outro bordo

engastado. KALYANARAMAN[31] adotou um valor de k igual a 0,5 e, com esse

valor, ele rescreveu a equao 2.22:

13,0

119,1

==

pp

e

b

b

(2.23)

Posteriormente, baseando-se em resultados experimentais e num estudo analtico

do comportamento ps-crtico, KALYANARAMAN [31] props a seguinte frmula de

largura efetiva:

1298,0

119,1

==

pp

e

b

b

(2.24)

Esta nova equao, mais conservativa, difere da equao 2.23 apenas quanto a

troca do coeficiente 0,3 por 0,298. Uma representao grfica da equao 2.24 e da

equao de WINTER, 2.21, dada na figura 2.11 .

28

Figura 2.11 Comparao de curvas de largura efetiva.

Em seus ensaios experimentais, KALYANARAMAN [31] constatou que o

deslocamento transversal (fora do plano da placa) da extremidade livre das abas

mais esbeltas (b/t 58) no excede 2,5 vezes a sua espessura na runa. Em vista

desta moderada distoro, ele admite o dimensionamento runa por meio da

equao 2.24, sem levar em conta a recomendao, quanto a distoro, para o

estado de servio.

2.2.3. CARREGAMENTO DE COMPRESSO UNIFORMEMENTE VARIVEL

At aqui, tratou-se do caso de placas submetidas a um diagrama de tenses

uniforme e constante. Entretanto, para uma abordagem mais realista, ser

necessrio um estudo de placas submetidas a cargas variveis linearmente ao longo

dos bordos carregados.

RHODES, HARVEY e FOK [56] fizeram o estudo analtico de placas

inicialmente imperfeitas e submetidas a uma carga excntrica. Para uma placa

enrijecida com a carga excntrica apoiada por meio de barras rgidas, como mostra

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

p

Von Karman eq.(2.19)

Kalyanaraman eq.(2.24)

Winter eq.(2.21)

29

a figura 2.12, eles obtiveram a seguinte frmula para o clculo da carga terica de

runa Pr,th:

+

+=

85,36

4,11,

b

ek

k

btf

P

py

y

y

thr (2.25)

onde:

ky = fy b2 t/ 2 D

D = E t2/ 12(1- 2) - rigidez da placa na flexo.

ep excentricidade da carga ver figura 2.12.

A equao 2.25 vlida se:

ky > 8

+

2

13

b

e p (2.26)

indeslocvel

Figura 2.12 Placa enrijecida submetida a uma compresso excntrica constante.

Se a condio 2.26 no for satisfeita, a placa no flamba e atinge a runa por

escoamento plstico. A equao 2.25 estabelecida considerando-se que a runa se

produz quando a tenso mxima no bordo no carregado (emax) atinge o limite

elstico fy. Foi comprovado que esta frmula est em excelente acordo com os

resultados experimentais. Porm, esses autores no desenvolveram uma

aproximao de largura efetiva de modo a representar seus resultados analticos.

RHODES e HARVEY [56] tambm fizeram um estudo sobre os efeitos do modo de

aplicao da excentricidade da carga. Na figura 2.12 foi representada uma placa

P P

eb

p

30

submetida a uma carga de compresso excntrica constante. Os mesmos autores

estudaram os efeitos sobre uma placa submetida a carga com excentricidade

constante, como na figura 2.13, e chegaram s seguintes concluses: na prtica,

espera-se que a condio de carregamento seja algo entre as duas condies

tericas apresentadas e, alm disso, o comportamento das placas submetidas

carga excntrica extremamente sensvel ao mtodo de aplicao.

Figura 2.13 Placa enrijecida submetida a uma carga com excentricidade

constante.

THOMASSON[66] fez uma proposio semi-emprica para o clculo das

larguras efetivas, para uma placa enrijecida e submetida a uma carga excntrica. A

notao utilizada e a distribuio das larguras efetivas so ilustradas na figura 2.14,

onde 1 sempre uma tenso de compresso. Sua formulao baseada nas

seguintes hipteses:

a) A teoria clssica da resistncia dos materiais suposta vlida;

b) As larguras efetivas so determinadas unicamente a partir das tenses nos

bordos, 1 e 2, e;

c) A runa ocorre quando a tenso no bordo mais solicitado compresso atinge fy.

As frmulas propostas por THOMASSON [66] para o clculo e distribuio das

larguras efetivas so dadas na tabela 2.1. Nota-se que a frmula para o clculo de

be/b tem a mesma forma da expresso de VON KARMAN [71] dada a seguir,

partindo da equao 2.19:

1

9,1E

b

t

b

be = (2.27)

P P

eb

p

livre para deslocar

31

com k=4 e =0,3. A nica diferena est no coeficiente de 1,52 (THOMASSON) e

1,9 (VON KARMAN).

sendo:

b0 - largura tracionada da placa.

Figura 2.14 Notao e distribuio das larguras efetivas.

THOMASSON [66] comparou os resultados da carga de runa obtidos com a

sua proposio de larguras efetivas com os resultados obtidos pela equao 2.25.

Ele constatou que seus resultados eram sempre conservativos. E mais, ele tambm

notou que as cargas de runa obtidas com a sua proposio so mais conservativas

quanto maior a excentricidade da carga e maior a esbeltez da placa (>b/t). Com

essas constataes, THOMASSON [66] decidiu modificar sua proposio original e

substituiu por 1,52 o coeficiente de 1,9 na frmula de be/b (ver tabela 2.1), isto ,

utilizou a expresso 2.27 de VON KARMAN [71]. Esta nova proposio est em

melhor acordo com a equao 2.25.

Com o mesmo objetivo, USAMI[68] utilizou uma aproximao analtica da

resoluo do problema das equaes no-lineares de VON KARMAN [71], com

objetivo de deduzir as frmulas de clculo e de distribuio das larguras efetivas

para a placa enrijecida e submetida a uma carga excntrica. Sua proposio dada

na tabela 2.1 com as notaes da figura 2.14.

Uma comparao grfica das distribuies da largura efetiva de acordo com

THOMASSON [66] e USAMI [68] est ilustrada na figura 2.15.

b b

b

b b

b

b

e1 e2 e1 e2

o

1 1

2

2

2

112

/ > 0

> 0 2

1

> 0

< 0

=

32

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

bei / be

be2 / be

Thomasson

Usami

Thomasson e Usami be1/be

Figura 2.15 Distribuio das larguras efetivas

Thomasson [42] Usami [43]

Clculo e distribuio das

larguras efetivas

= 2/1 1

52,1

E

b

t

b

be =

=

pp

e

b

b

22,0

11

, k=4

e

e

b

b 1 2

1

2

1

0 < < 1

be

be2 2

1(1,5 0,5)

2

1(1,44-0,44)

e

e

b

b 1 2

1

2

1

0

be

be2 2

1 1,5

2

1 1,44

Tabela 2.1 Clculo e distribuio das larguras efetivas para a placa enrijecida e

submetida a uma carga excntrica.

33

DEWOLF e GLADDING[18] realizaram uma pesquisa experimental para achar

uma frmula de largura efetiva das almas dos perfis dobrados a frio submetidos a

uma solicitao de flexo pura. Obtiveram a distribuio de tenses mostrada na

figura 2.16, onde se v que a hiptese clssica de BERNOULLI, das sees planas

aps a deformao, no mais vlida. A largura efetiva be da parte comprimida da

alma na runa dada pela seguinte frmula:

pyc

e

b

b

7,0

= (2.28)

onde bc a parte comprimida da alma calculada segundo o eixo neutro da seo

total e py calculada com um coeficiente de flambagem que leva em conta o

gradiente de tenses.

Figura 2.16 Largura efetiva da alma da seo submetida flexo pura, de acordo

com DEWOLF e GLADDING[18].

Apesar das limitaes do trabalho de DEWOLF e GLADDING [18] no contexto

desta tese, eles contriburam para a evoluo do clculo da largura efetiva de placas

submetidas a uma carga excntrica. A largura efetiva be calculada em relao

largura comprimida bc da placa quando

34

Por ltimo, no caso das placas no enrijecidas, a anlise do problema mais

complexa, e existem poucos resultados na literatura. necessrio nos atermos as

proposies semi-empricas dadas nas normas atuais que sero apresentadas.

2.3. PLACAS NO ESTADO DE SERVIO

A frmula de WINTER 2.21 d geralmente boas previses tericas da carga

de runa de colunas curtas e de colunas de perfis dobrados a frio, quando emax = fy.

Entretanto, apesar de WINTER [74] ter utilizado os dados de larguras efetivas

medidas no estado de servio, por ocasio de seus ensaios, para deduzir sua

frmula semi-emprica, os pesquisadores mais recentes mostraram que sua frmula

subestima muito a rigidez da placa no estado de servio (emax < fy). Pesquisadores

como DEWOLF, PEKOZ e WINTER[17], THOMASSON[66], MULLIGAN[43] e,

MULLIGAN e PEKOZ[41,42], simularam a interao entre a flambagem local e a

flambagem global com a ajuda do mtodo das larguras efetivas e seus resultados

confirmaram a inadequao da frmula de WINTER na previso terica do

comportamento de colunas curtas e de colunas no estado de servio.

DAWSON e WALKER[14] abordaram este problema em detalhes e a

discusso a seguir tirada de seu artigo. A frmula de WINTER no deve ser

utilizada para nveis de tenso e menores que fy. Na realidade, a tenso e varia ao

longo dos bordos no carregados (ver figura 2.9) e, assim, a rigidez longitudinal da

placa, que funo do encurtamento da placa na direo da carga, obtida pela

integral ao longo do comprimento da placa e deve, portanto, depender da tenso

mdia em dos bordos no carregados (ver equao 2.14). Por outro lado, a runa

atingida quando a tenso mxima emax nos bordos no carregados (ver figura 2.9)

atinge o limite elstico fy (ver equao 2.12), que um fenmeno local. Parece que

toda diferena entre o conceito de largura efetiva de deformaes (equao 2.14) e

o conceito de largura efetiva de tenses (equao 2.12) foi ignorada nos trabalhos

de WINTER[74].

35

2.3.1. APROXIMAO DE THOMASSON

Para resolver o problema anteriormente exposto, THOMASSON[66] fez uma

nova proposio de curvas de largura efetiva, conforme a figura 2.17, com um

grfico do tipo S em relao a 2p , onde:

S = m/cr (2.29)

2p = e/cr (2.30)

Nesta figura, a curva a a soluo terica de uma placa perfeita e constitui um

limite superior da resposta da placa; a curva pontilhada a soluo exata de

YAMAKI[76] para uma placa com uma imperfeio inicial wo igual a 0,1t; a curva b

uma aproximao da curva pontilhada de YAMAKI [76], e a curva c uma

aproximao da frmula de WINTER [74]. A idia tomar a soluo de YAMAKI [76]

para o comportamento ps-crtico inicial da placa e, ao mesmo tempo, definir a runa

da placa pela frmula de WINTER [74], unindo-se esses dois pontos por uma curva

de transio d.

Figura 2.17 Proposio de THOMASSON [66] para o comportamento de uma

placa no estado de servio ps-crtico.

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12

ab

cd

Soluo terica de Yamaki [76]

para uma placa imperfeita com

p

e

cr p

2 =,

py2 10 24= ,p1

2po2

S = m/cr

Wo / t =0,1.

36

As larguras efetivas associadas so dadas pela figura 2.18 e suas frmulas so as

seguintes:

Curva b: 1827,0)662,0(==

p

e

b

b p > 0,75 (2.31)

Curva c: 178,0)864,0(==

p

e

b

b p > 0,75 (2.32)

Curva d: ( ) 111

11

+== pp

ppy

ye

b

b

pypp

37

Apesar das boas previses tericas dadas por essa proposio, h duas notas a

serem feitas:

a) A curva Sx2p (figura 2.17) apresenta dois pontos de descontinuidade da

derivada de S em relao a 2p ( S/(

2p )), localizados nas abcissas

2p =

2po e

2p =

21p que so os pontos de passagem do estado de pr-flambagem ao

estado ps-flambagem e a transio da curva b para a curva d.

b) A curva d, que faz a transio da curva b para a runa da placa, apresenta seu

vrtice antes da interseo com a curva c e este fato to mais marcante

quanto mais esbelta a placa (maior py ). Nota-se, tambm, que a proposio

de THOMASSON [66] prescreve que a runa da placa se produz em regime

elstico (e

38

Figura 2.19 Proposio MULLIGAN e PEKOZ [41] para o comportamento de

uma placa no estado de servio.

A equao de WINTER 2.21 sob a forma da equao 2.35 toma a seguinte forma:

SW = p - 0,22 (2.37)

Essa aproximao caracteriza-se por fazer passar uma curva que vai da passagem

do estado de pr-flambagem ao estado de flambagem da placa ( po > 0,673), com o

vrtice da runa dado pela frmula de WINTER [74]. Essa curva ser um polinmio

cbico da seguinte forma:

SMW=AW1+AW2 p +AW32p +AW4

3p 0,673< p < py (2.38)

e impondo-se as seguintes condies aos limites em po e py :

SMW( po ) = 2po (2.39a)

SMW( po ) = 2 po (2.39b)

SMW( py ) = SW( py ) (2.39c)

SMW( py ) = 0 (2.39d)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S = m / cr,p

Winter

Mulligan

fy = 200

fy = 300

fy = 400

b / t = 150 k = 4

py py py

po

fy (N/mm)

S = 2p

p = ( e / cr,p )

S W = p - 0,22

S MW

39

Com os quais acham-se os coeficientes da equao 2.38:

AW4 = ( )[ ]( )3

22,012

pypo

pypo

(2.40a)

AW3 = ( )popyWpypo

poA

+

45,1 (2.40b)

AW2 = ( )pyWWpy AA 43 32 + (2.40c) AW1 =

43

22 1 WpoWpo

Wpo AA

A

(2.40d)

Finalmente, combinando-se as equaes 2.35 e 2.38, tem-se a seguinte expresso

para o clculo da largura efetiva:

1432

21 +++== pWW

p

W

p

WeMW AA

AA

b

b

0,673< p < py (2.41)

Por simplificao da linguagem, chama-se daqui por diante a equao 2.41 de

combinao Mulligan+Winter.

Apresenta-se, a seguir, na figura 2.20 uma representao grfica e uma comparao

com a frmula de WINTER [74].

Figura 2.20 Proposio de MULLIGAN e PEKOZ[41] para o clculo da largura

efetiva.

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

l

Winter

Mulligan

fy = 200

fy = 300

fy = 400

b / t = 150 k = 4

fy (N/mm)

p

40

Do mesmo modo, aplicou-se esta nova aproximao para a frmula 2.24 de

KALYANARAMAN [31] para as placas no enrijecidas. Neste caso, da equao 2.24

combinada com 2.35, tem-se:

SK = 1,19 ( p - 0,298) (2.42)

Similarmente ao caso precedente, SMK toma a seguinte frmula:

SMK = AK1 + AK2 p + AK3 2p + AK4

3p 0,673< p < py (2.43)

com as condies nos limites:

SMK( po ) = 2po (2.44a)

SMK( po ) = 2 po (2.44b)

SMK( py ) = SK( py ) (2.44c)

SMK( py ) = 0 (2.44d)

Assim, tem-se, para os coeficientes da equao 2.43:

AK4 = ( )[ ]

( )33546,019,12

pypo

pypo

(2.45a)

AK3 = ( )popyKpypo

poA

+

45,1 (2.45b)

AK2 = ( )pyKKpy AA 43 32 + (2.45c) AK1 =

43

22 1 KpoKpo

Kpo AA

A

(2.45d)

e a largura efetiva dada pela seguinte expresso:

1432

21 +++== pKK

p

K

p

KeMK AA

AA

b

b

0,673< p < py (2.46)

Por simplificao da linguagem, chama-se, daqui por diante, a equao 2.46 de

combinao Mulligan+Kalyanaraman.

41

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

s

Placa no enrijecida

fy = 355 N/mm

Kalyanaraman

Mulligan + Kalyanaraman

Parbola

b / t = 50 k = 0,43

e / fy

Figura 2.21 Largura efetiva da placa no enrijecida com b/t = 50.

Na figura 2.21, acha-se uma comparao entre as curvas de Kalyanaraman,

equao 2.24, e a combinao Mulligan + Kalyanaraman, equao 2.46. A

existncia de uma terceira curva na figura, chamada parbola, explica-se no

prximo subitem.

Infelizmente, a combinao Mulligan+Kalyanaraman apresenta um comportamento

indesejvel quando a placa pouco esbelta, como mostra a figura 2.22, com uma

relao b/t igual a 15. Utilizar esta aproximao adaptada, para a modelagem do

comportamento das placas no-enrijecidas, leva, na verdade, a um patamar = 1,

de placa no flambada, muito maior do que o previsto pela esbeltez limite po .

42

Figura 2.22 Largura efetiva da placa no enrijecida com b/t = 15.

Este fato mais marcante quando a esbeltez reduzida da placa na runa py se

aproxima de po e provm da escolha de uma interpolao cbica para representar

S em funo de p impondo uma derivada nula na runa, como mostra a figura 2.23.

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

s

fy = 355 N/mm b / t = 15 k = 0,43

Kalyanaraman

Placa no enrijecida Parbola

e


/ fy

43

Figura 2.23 Diagrama tenso x deformao da placa no enrijecida com

b/t=15.

2.3.3. APROXIMAO UTILIZADA

Para contornar o problema relativo a aproximao de Mulligan+Kalyanaraman

(equao 2.41), para o clculo e distribuio da largura efetiva de placas no-

enrijecidas, prope-se fazer passar uma curva do segundo grau (uma parbola) para

representar = be/b em funo de p , quando a placa pouco esbelta. V-se a

seguir que esta parbola deve passar pelo ponto ( 1, = po ), final do patamar de

pr-flambagem, e pelo ponto ( kypy , ), runa; onde ky o valor obtido a partir da

equao 2.24 de Kalyanaraman, substituindo-se p por py .

A parbola construda de maneira que seu lado convexo esteja voltado para cima

e portanto o vrtice seja o ponto ( 1, = po ), impondo que ela tenha a seguinte

forma:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

p = ( e / cr,p)

S =m / cr,p

S = p2


Kalyanaraman

Parbola

Placa no enrijecida

fy = 355 N/mm b / t = 15 k = 0,43

44

( ) ( )21 popp C = (2.47)

Com a condio de passagem pelo segundo ponto ( kypy , ), acha-se o valor da

constante C da equao 2.47, que toma finalmente a forma:

( )( ) 11 2

2+

= pop

popy

ky

p

(2.48)

e sua representao grfica est ilustrada nas figuras 2.21, 2.22 e 2.23.

Como no h qualquer semelhana matemtica entre a combinao de

Mulligan+Kalyanaraman, equao 2.46, e a parbola, equao 2.48, ser impossvel

determinar o valor da esbeltez reduzida na runa py onde as duas curvas

coincidem, para saber se deve-

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