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4.1

Capítulo

4 Função quadrática

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f(x) = 2x2 + 3x – 15, em que a = 2, b = 3 e c = –15

Função quadrática

Os números reais a, b e c são os coeficientes da função quadrática.

g(x) = , em que a = – , b = 0 e c = 5

h(x) = –x + , em que a = , b = –1 e c = 0

4.1

Uma função f: ℝ ℝ é função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a 0, tal que f(x) = ax2 + bx + c, para todo x real.   

Exemplos

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Valor de uma função quadrática

Nesse caso, temos ; então:

Logo:

4.2

Dada a função quadrática g(x) = 5x – x2, vamos calcular .

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f(x) = ax2 + bx + c , em que a, b e c ℝ e a ≠ 0

Temos:

Se f(0) = 2, para x = 0, temos f(x) = 2.Portanto: 2 = a ∙ 02 + b ∙ 0 + c c = 2 (I)

Se f(2) = 12, para x = 2, temos f(x) = 12.Portanto: 12 = a ∙ 22 + b ∙ 2 + c 4a + 2b + c = 12 (II)

Se f(–1) = 6, para x = –1, temos f(x) = 6.Portanto: 6 = a ∙ (–1)2 + b ∙ (–1) + c a – b + c = 6 (III)

4.3

Vamos determinar a lei de formação da função quadrática f.

Lei de formação de uma função quadrática

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De (I), (II) e (III), obtemos o sistema:

Pela equação (I), temos c = 2.

Para determinar os valores de a e b, basta resolver o sistema formado pelas equações (II) e (III), substituindo c por 2:

4.3

Lei de formação de uma função quadrática

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Substituindo a por 3 em a – b = 4, temos:Assim, a lei de formação dessa função é: f(x) = 3x2 – x + 2

a = 3b = –1

4.3

Lei de formação de uma função quadrática

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Resolução

R1. Dada a função quadrática g(x) , calcular:

a) g( ) b) x tal que g(x) =

a) g( )

4.4

Exercício resolvido

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b)

x = 0 ou x =

Exercício resolvido

4.4

R1. Dada a função quadrática g(x) , calcular:

a) g( ) b) x tal que g(x) =

Resolução

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a) Escrever a lei que relaciona o raio desse setor e a área da figura.

b) Considerando = 3,14, determinar o raio para que a área da peça seja igual a 25 cm2.

4.5

Exercício resolvido

R2. Projeto. Uma peça metálica é construída conforme o molde de um setor circular.

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Resolução

a) O molde da peça metálica, ou seja, o setor circular, corresponde a do círculo.

b) a Sabendo que a área do círculo é r2, sendo r seu raio, então a área do setor circular é:

4.5

Exercício resolvido

R2.

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b) Para que a área da peça seja igual a 25 cm2, fazemos A = 25; então:

A = 25 r2 =

Logo, o raio do setor circular é aproximadamente 5,64 cm.

Exercício resolvido

4.5

r2 31,85 r 5,64

Resolução R2.

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ExemploGráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3

4.6

x h(x)

–1 8

0 3

1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8

Gráfico da função quadrática – Parábola

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O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

4.6

ExemploGráfico da função quadrática h(x) = x2 – 4x + 3

x h(x)

–1 8

0 3

1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8

Gráfico da função quadrática – Parábola

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f(x) = x2 – 9

4.7

x f(x)

0 –9

1 –8

3 0

–1 –8

–3 0

Exemplo

Gráfico da função quadrática – Parábola

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g(x) = –x2 + 8x – 12

4.7

x g(x)

1 –5

2 0

4 4

6 0

7 –5

Exemplo

Gráfico da função quadrática – Parábola

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Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Como a = 2 > 0, então a concavidade da parábola é voltada para cima. 

j(x) = 2x2 + 4

4.8

Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c)

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Como , então a concavidade da parábola é voltada para baixo.

4.8

Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c)

Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

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a) Analisar a concavidade da parábola em função de m.

b) Existe algum valor para m de modo que o gráfico da função passe pelo ponto (0, –3)?

R3. Seja a função quadrática f(x) = (m – 3)x2 + 2x – m.

Resolução

a) A concavidade da parábola depende do sinal do coeficiente a da função.

Para o gráfico ter a concavidade voltada para cima, o coeficiente de x2 deve ser positivo: m – 3 > 0 m > 3

Exercício resolvido

4.9

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a) Para o gráfico ter a concavidade voltada para baixo, o coeficiente de x2 deve ser negativo: m – 3 < 0 m < 3

b) Substituindo as coordenadas do ponto (0, –3) na lei da função, temos: –3 = (m – 3) ∙ 0 + 2 ∙ 0 – m m = 3

Mas, se m = 3, a função f não é quadrática, pois: a = 3 – 3 = 0

Portanto, não existe m ℝ tal que a parábola passe pelo ponto (0, –3).

Exercício resolvido

4.9

ResoluçãoR3.

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A parábola que representa a função f intercepta o eixo y no ponto (0, –1). A ordenada –1 desse ponto é o coeficiente c da função f.

4.10

O ponto em que a parábola intercepta o eixo y

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A parábola que representa a função g intercepta o eixo y no ponto (0, 3). A ordenada 3 desse ponto é o coeficiente c da função g.

4.10

O ponto em que a parábola intercepta o eixo y

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Considerando uma função quadrática cuja lei é f(x) = ax2 + bx + c, com a 0, as coordenadas do ponto onde a parábola intercepta o eixo y são (0, c).

4.10

O ponto em que a parábola intercepta o eixo y

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em que = b2 – 4ac

4.11

f(x) = ax2 + bx + c(a, b e c ℝ e a 0)f(x) = 0ax2 + bx + c = 0

Zeros da função quadrática

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A parábola intercepta o eixo x em dois pontos: 

4.11

Quando > 0, a função tem dois zeros reais distintos.

e

Zeros da função quadrática

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A parábola intercepta o eixo x em um único ponto: 

Quando = 0, a função tem um zero real duplo. 

4.11

Zeros da função quadrática

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A parábola não intercepta o eixo x:

Quando < 0, a função não tem zeros reais.

4.11

Zeros da função quadrática

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a) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 3 e os pontos em que a parábola intercepta o eixo x

Para isso, vamos resolver a seguinte equação do 2o grau:x2 – 4x + 3 = 0

4.12

= (–4)2 – 4 1 3 = 16 – 12 = 14

x = 3 ou x = 1

Exemplos

Assim, os zeros da função são: x1 = 1 e x2 = 3 

Zeros da função quadrática

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

a) Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x em dois pontos: (1, 0) e (3, 0)

4.12

Exemplos

Zeros da função quadrática

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b) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 4x + 4 e ospontos onde a parábola intercepta o eixo x. Para isso, vamos encontrar as raízes reais da equação:

x2 – 4x + 4 = 0

4.13

= (–4)2 – 4 1 1 = 0

Assim, x1 = x2 = 2 (f(x) possui um zero real duplo)

Exemplos

Zeros da função quadrática

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

b) Logo, o gráfico da função intercepta o eixo x em um único ponto: (2, 0)

4.13

Exemplos

Zeros da função quadrática

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c) Vamos verificar se a função f(x) = –x2 – 4x – 5 tem zeros reais e se a parábola correspondente intercepta o eixo x. 

Para isso, vamos resolver a equação do 2o grau: x2 – 4x – 5 = 0

Como < 0, a equação –x2 – 4x – 5 não tem raízes reais e, portanto, a função f(x) = –x2 – 4x – 5 não tem zeros reais.

= (–4)2 – 4 (–1) (–5) = 16 – 20 = –4

4.14

Exemplos

Zeros da função quadrática

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c) Logo, o gráfico da função não intercepta o eixo x:

4.14

Exemplos

Zeros da função quadrática

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Exercício resolvido

R4. Considerando a função quadrática determinada por f(x) = –2x2 – 6x – k, para quais valores de k a função admite dois zeros reais distintos?

Resolução

Vamos calcular o discriminante da equação –2x2 – 6x – k = 0.

Para a função ter dois zeros, o discriminante deve ser positivo( > 0).

Logo: 36 + 8k > 0 k >

4.15

= (–6)2 – 4 2 (–k) = 36 + 8k

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R5. Determine k para que o gráfico da função quadrática f(x) = kx2 + 2 passe pelo ponto A(1, 5).

Resolução

Substituindo as coordenadas do ponto A na lei da função f, obtemos a equação:

Portanto, a função quadrática que passa pelo ponto A(1, 5) é:

4.16

f(1)= 5 k ∙ 12 + 2 = 5 k = 3

Exercício resolvido

f(x) = 3x2 + 2

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A parábola intercepta o eixo y no ponto (0, –6).

Logo, f(0) = –6; assim, c = –6.Então, temos: f(x) = ax2 + bx – 6

Resolução

4.17

Exercício resolvido

R6. Determinar a lei da função quadrática com base no gráfico.

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A parábola intercepta o eixo x no ponto (3, 0). Isso significa que 3 é zero da função f. Logo: f(3) = 0

Assim: a(–3)2 + b(–3) – 6 = 0 9a – 3b = 6 (I)

Logo: f(3) = 6A parábola passa pelo ponto (3, 6).

Portanto: a(3)2 + b(3) – 6 = 6 9a + 3b = 12 (II)

4.17

Exercício resolvido

ResoluçãoR6.

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Exercício resolvido

Somando, membro a membro, a equação (I) com a equação (II), obtemos:

Substituindo a = 1 na equação (I) ou (II), obtemos: b = 1Portanto, a lei da função quadrática representada pelo gráficoé: f(x) = x2 + x – 6

4.17

R6. Resolução

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Vértice do gráfico da função quadrática

x f(x)

–1 8

0 3

1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8

4.18

f(x) = x2 – 4x + 3

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

Quaisquer dois valores de x equidistantes de xV têm a mesma imagem.f(a) = f(b) = c

4.19

Eixo de simetria

Vértice do gráfico da função quadrática

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

A equação do eixo de simetria é x = 3.

4.20

Exemplos f(x) = –x2 – 6x – 5

Vértice do gráfico da função quadrática

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

A equação do eixo de simetria é x = –2.

4.20

f(x) = x2 + 4x + 10

Vértice do gráfico da função quadráticaExemplos

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A equação do eixo de simetria é x = –1.

4.20

f(x) = 3x2 + 6x + 3

Vértice do gráfico da função quadráticaExemplos

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

As coordenadas do vértice de uma parábola, gráfico da função cuja lei é f(x) = ax2 + bx + c, são dadas por:

xv = e yv =

4.21

Vértice do gráfico da função quadrática

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

Vamos calcular as coordenadas do vértice para g(x) = –x2 – 5x – 7.

Utilizando as fórmulas do vértice, temos:

Portanto, as coordenadas do vértice são:

4.22

= (5 –)2 – 4 (–1) (–7) = –3

Exemplo

Vértice do gráfico da função quadrática

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Conhecendo xv, podemos calcular yv sem utilizar a fórmula. Basta substituir o valor de xV na lei da função. Temos:

Então:

=

4.22

Ou:

Vértice do gráfico da função quadráticaExemplo

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Exercício resolvido

R7. Sabendo que uma função quadrática tem como coordenadas do vértice da parábola (3, 4) e zeros 1 e 5, determinar a lei de formação dessa função. 

Para determinar a lei de uma função quadrática, precisamos encontrar os coeficientes a, b e c da função de modo que f(x) = ax2 + bx + c.

Resolução

4.23

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Exercício resolvido

(I)

(II)

Como 1 é zero da função, f(1) = 0, ou seja:

a 12 + b 1 + c = 0 a + b + c = 0 (III)

4.23

Como o vértice da parábola é (3, 4), temos:

ResoluçãoR7.

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–(–6a)2 + 4a(5a) = 16a –16a2 – 16a = 0 a (a + 1) = 0 a = –1 ou a = 0

Exercício resolvido

Substituindo (I) em (III), obtemos:a – 6a + c = 0 c = 5a

Substituindo b por –6a e c por 5a em (II):

Como a função é quadrática, a = –1 e, portanto, b = 6 e c = –5.Então, a lei é: f(x) = –x2 + 6x – 5

4.23

O coeficiente a não pode ser zero, pois a função é quadrática.

R7.Resolução

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Pontos convenientes para a construção do gráfico de uma função quadrática:A 

ponto onde a parábola intercepta o eixo y, caso exista; ponto(s) onde a parábola intercepta o eixo x (zeros da

função), caso exista(m);  vértice.

4.24

Construção do gráfico da função quadrática

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Gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3

coeficiente c: 3 ponto em que a parábola intercepta o eixo y: (0, 3)

zeros da função: 1 e 3 pontos em que a parábola intercepta o eixo x: (1, 0) e (3, 0)

xv = 2 e yv = –1 vértice da parábola: (2, –1)

Exemplos

4.25

Construção do gráfico da função quadrática

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Gráfico da função h(x) = x2 + 4

coeficiente c: 4 ponto onde a parábola intercepta o eixo y: (0, 4)

zeros da função: não há no conjunto dos reais a parábola não intercepta o eixo x

xv = 0 e yv = 4 vértice da parábola: (0, 4)

(2, 8) e (–2, 8) pontos auxiliares

Exemplos

4.26

Construção do gráfico da função quadrática

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1o caso ( > 0)

2o caso ( = 0)

3o caso ( < 0)

a > 0

a < 0

Estudo do sinal da função quadrática

4.27

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a) Vamos estudar o sinal da função quadrática f(x) = x2 + x – 6.Primeiro, determinamos os zeros de f: x2 + x – 6 = 0 x = –3 ou x = 2

Em seguida, fazemos um esboço do gráfico da função.

Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade é voltada para cima e a função tem dois zeros reais distintos, obtemos o seguinte esboço do gráfico:

4.28

Exemplos

Estudo do sinal da função quadrática

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a) Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas.

Concluímos que:

4.28

Exemplos

Estudo do sinal da função quadrática

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b) Vamos estudar o sinal da função g(x) = –x2 – 2x + 15.

Zeros da função g: –

Como o coeficiente de x2 é negativo, a concavidade é voltada para baixo, obtemos o seguinte esboço do gráfico:

4.29

Exemplos

Estudo do sinal da função quadrática

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

b) Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas.

Portanto:

4.29

Exemplos

Estudo do sinal da função quadrática

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Exercício resolvido

R8. Determinar k real de modo que a função f(x) = x2 – 5x + k seja positiva para todo x real.

Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade da parábolaé voltada para cima.Para que a função seja positiva para todo x real, o discriminante de f deve ser negativo. 

Resolução

4.30

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Assim, como < 0:(–5)² – 4 ∙ 1 ∙ k = 25 – 4k

Como < 0, então: 25 – 4k < 0

Logo:

4.30

Coeficiente de x2 positivo e < 0

Exercício resolvido

R8.Resolução

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yv = 0

4.31

yv é o valor mínimo da função.

Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

yv = 0

4.31

yv é o valor máximo da função.

Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática

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Vamos determinar o valor máximo (ou mínimo) da função

.

Como a > 0, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima. Portanto, a função tem valor mínimo:

Assim, –19 é o valor mínimo dessa função.

4.32

Exemplo

Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática

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Exercício resolvido

R9. Determinar k para que –1 seja valor mínimo da função quadrática y = (k – 1)x2 + kx +(k – 2).

Para que uma função quadrática admita valor mínimo, o coeficiente do termo em x2 deve ser positivo.

Resolução

Então: k – 1 > 0 k > 1

4.33

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Sabendo que o valor mínimo da função quadrática é dado por , temos:

Como k > 1, temos k = 2.

4.33

Exercício resolvido

R9.Resolução

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Exercício resolvido

R10. Navegação. Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminosodescreve é um arco de parábola.A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por: h(t) = 80t – 5t2, sendo h a altura do sinal, em metro, e t o tempo decorrido após o disparo, em segundo.

a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir?b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal

luminoso atingir a altura máxima?

4.34

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

Exercício resolvido

a) Para determinar a altura máxima que esse sinal pode atingir, precisamos encontrar o valor máximo da função. Analisandoo sinal do coeficiente a, podemos concluir que o sinalluminoso descreve um arco de parábola com concavidade voltada para baixo.

4.33

É possível determinar o valor máximo da função usando a fórmula da ordenada do vértice:Logo, a altura máxima que o sinal luminoso pode atingir é 320 metros.

R10.Resolução

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

b) O tempo que o sinal luminoso leva para atingir a altura máxima corresponde ao xv da parábola. Utilizando a fórmula da abscissa do vértice, temos:

8

Logo, o sinal luminoso atinge a altura máxima 8 segundos após o disparo.

4.34

Exercício resolvido

R10.Resolução

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Inequação do 2o grau na incógnita x é toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro membro é um polinômio do tipo ax2 + bx +c (com a ≠ 0) e o segundo membro é zero.a

Inequações do 2o grau

a) 3x² – 8x – 3 ≥ 0

b) –x² + 0,5x ≤ 0

c) 5x² – 2 < 0

d) –4x² + x + > 0

4.35

Exemplos

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

Vamos resolver a inequação 3x² – 8x – 3 ≥ 0 no conjunto dos números reais.

Para encontrar a solução, devemos estudar o sinal da função f:

Primeiro, determinamos os zeros de f:

3x² – 8x – 3 ≥ 0f(x)

4.36

3x2 – 8x – 3 = 0

= 64 + 36 = 100

Inequações do 2o grau

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

Depois destacamos no esboço do gráfico os valores de x para os quais a função f é positiva ou nula.

Assim, o conjunto solução da inequação é:

S =

4.36

Inequações do 2o grau

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Exemplo

Inequação-quociente

f(x) = x – 5 (zero de f: 5)

g(x) = x² – x – 42 (zeros de g: –6 e 7)

4.37

Sinal de f Sinal de g

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

Observe que –6 e 7 não são soluções da inequação.Logo, o conjunto solução da inequação é:

S =4.37

Exemplo

Inequação-quociente

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

f(x) = x (zero de f: 0)

g(x) = –x² – 4

(g não tem zeros)

4.38

–x3 – 4x < 0 x(–x2 – 4) < 0

Sinal de f Sinal de g

Exemplo

Inequação-quociente

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CONEXÕES COM A MATEMÁTICACONEXÕES COM A MATEMÁTICA

ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

Logo, o conjunto solução da inequação é:

S =

4.38

Exemplo

Inequação-quociente

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Exercício resolvido

Atente que o quadro de sinais só pode ser usado quando o segundo membro da inequação-quociente for igual a zero.

Então fazemos:

R11. Resolver a inequação em ℝ.

4.39

Resolução

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Exercício resolvido

f(x) = x² – 9 zeros de f: 3 e –3

g(x) = 2x + 10 zero de g: –5

4.39

Sinal de f Sinal de g

R11.Resolução

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

Logo, o conjunto solução é S =

Observe que –5 não é solução da inequação, pois: 2x + 10 ≠ 0 x ≠ –5

4.39

Exercício resolvido

R11.Resolução

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R12. Geometria. Determinar a área da parte azul da figura em função de x e encontrar o maior valor inteiro que x pode assumir.

Resolução

Indicando a área da parte azul por A, temos A(x) = , ou seja: A(x) = 5 – x2, com 0 < x <

Como x > 0 e , o maior valor inteiro que x pode assumir é 2.

4.40

Exercício resolvido

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Vamos resolver, no conjunto dos números reais, o seguinte sistema de inequações:

Para começar, reduzimos a 2a inequação a uma forma mais simples:

4.41

Inequações simultâneas

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

Zeros de f: –4 e 2 Zeros de g: 1 e 2

4.41

f(x) g(x)

Assim temos:

Sinal de f Sinal de g

S2=S1 =

Inequações simultâneas

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 4 – Função quadrática

A seguir fazemos a intersecção das soluções de cada uma das inequações:

Logo, o conjunto solução do sistema é: S =

4.41

Inequações simultâneas

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Exercício resolvido

Inicialmente reduzimos as inequações a uma forma mais simples:

Resolução

R13. Resolver, em ℝ, a inequação 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4.

(I) 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 22x2 – 4x ≤ 0

(II) 2x2 – 3x + 2 < –3x + 42x2 – 2 < 0

4.42

f(x)

g(x)

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Exercício resolvido

4.42

f(x) = 2x2 – 4x zeros de f: 0 e 2

g(x) = 2x2 – 2 zeros de g: –1 e 1

Sinal de f Sinal de g

R13.Resolução

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Exercício resolvido

Depois fazemos a intersecção das soluções de cada uma das inequações:

Logo, o conjunto solução da inequação simultânea é: S =

4.42

R13.Resolução

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Vamos determinar o domínio da função dada pela lei

Em , devemos ter:

f(x)

h(x)

4.43

Exemplo

Determinação do domínio de uma função por meio de inequações

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Primeiro, vamos resolver a inequação-quociente:

f(x) = x² – 2x + 1 zero real duplo de f: 1

h(x) = 2x – 7 zero de h:

4.43

Sinal de f Sinal de h

Exemplo

Determinação do domínio de uma função por meio de inequações

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O zero da função h não pode ser considerado, pois anula o denominador da inequação:

Logo, D =

4.43

Exemplo

Determinação do domínio de uma função por meio de inequações

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CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

ANOTAÇÕES EM AULACoordenação editorial: Juliane Matsubara BarrosoEdição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael SilvaAssistência editorial: Pedro Almeida do Amaral CortezPreparação de texto: Renato da Rocha CarlosCoordenação de produção: Maria José TanbelliniIconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan ComunicaçãoIlustração dos gráficos: Adilson Secco 

EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia EducacionalEditora executiva: Kelly Mayumi IshidaCoordenadora editorial: Ivonete LucirioEditores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri FernandesAssistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata MichelinEditor de arte: Fabio VenturaEditor assistente de arte: Eduardo BertoliniAssistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí PrazeresRevisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres  

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