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UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para Aplicações em Redes WPAN/WLAN Elder Eldervitch Carneiro de Oliveira Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva Co-orientador: Prof. Dr. Paulo Henrique da Fonseca Silva Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Telecomunicações) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências. Número de ordem PPgEEC: M222 Natal, RN, dezembro de 2008

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UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E

DE COMPUTAÇÃO

Antenas de Microfita com Patch Quase-fractalpara Aplicações em Redes WPAN/WLAN

Elder Eldervitch Carneiro de Oliveira

Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva

Co-orientador: Prof. Dr. Paulo Henrique da Fonseca Silva

Dissertação de Mestrado apresentada aoPrograma de Pós-Graduação em EngenhariaElétrica e de Computação da UFRN (áreade concentração: Telecomunicações) comoparte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre em Ciências.

Número de ordem PPgEEC: M222Natal, RN, dezembro de 2008

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Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Oliveira, Elder Eldervitch Carneiro de.Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para Aplicações em Redes

WPAN/WLAN / Elder Eldervitch Carneiro de Oliveira - Natal, RN, 2008125 p.

Orientador: Sandro Gonçalves da SilvaCo-orientador: Paulo Henrique da Fonseca Silva

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Cen-tro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e deComputação.

1. Antenas de Microfita - Dissertação. 2. Geometria Fractal - Dissertação. 3.Redes Neurais Artificiais - Dissertação. 4. Casamento de Impedância - Disser-tação. 5. Miniaturização - Dissertação. I. Silva, Sandro Gonçalves da. II. Silva,Paulo Henrique da Fonseca. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte.IV. Título.

RN/UF/BCZM CDU 621.396.67(043.3)

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Antenas de Microfita com Patch Quase-fractalpara Aplicações em Redes WPAN/WLAN

Elder Eldervitch Carneiro de Oliveira

Dissertação de Mestrado aprovada em 3 de dezembro de 2008 pela banca examinadoracomposta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva (orientador) . . . . . . . . . . . . . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. Paulo H. da Fonseca Silva (co-orientador) . . . . . . GTEMA/CEFETPB

Prof. Dr. Adaildo Gomes D’ Assunção (Examinador interno) . . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. Ronaldo de Andrade Martins (Examinador interno) . . . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. Alfredo Gomes Neto (Examinador externo) . . . . GTEMA/CEFETPB

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A meu pai, Elder (in memoriam)

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Agradecimentos

A Deus, pois sem ele não sou nada.

Agradeço aos professores Sandro e Paulo pela amizade consolidada e pela orientação aolongo de todo esse trabalho.

Agradeço a todos os professores do PPGEEC, pela ajuda e sugestões para a melhoriadesse trabalho.

Agradeço ao professor Antônio Luiz, com o qual tive o prazer de estudar e trabalhar umtempo ao longo do curso.

Agradeço a todos os funcionários do PPGEEC.

À minha família pelo apoio durante esta jornada.

À CAPES, pelo apoio financeiro em parte desse curso.

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"Jamais considere seus estudoscomo uma obrigação, mas comouma oportunidade invejável (...)

para aprender a conhecer ainfluência libertadora da beleza doreino do Espírito, para seu próprio

prazer pessoal e para proveito dacomunidade à qual seu futuro

trabalho pertencer".Albert Einstein

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Resumo

As antenas de microfita estão em constante evidência nas pesquisas atuais, isso de-vido às inúmeras vantagens que apresentam. A geometria fractal aliada ao bom desem-penho e comodidade das estruturas planares são uma excelente combinação para projetose análise de estruturas cada vez menores e com características multi-ressonantes e bandalarga. Essa geometria tem sido aplicada em antenas tipo patch em microfita para reduzir oseu tamanho e evidenciar o seu comportamento multi-banda. Em comparação com as an-tenas em microfita convencionais, as antenas patch quase-fractais apresentam freqüênciasde ressonância inferiores, possibilitando a fabricação de antenas ainda mais compactas.O objetivo desse trabalho consiste no projeto de antenas patches quase-fractal por meioda utilização de curvas fractais de Koch e Minkowski aplicado às margens radiante enão-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linhade microfita com reentrâncias, inicialmente projetada para a freqüência de 2,45 GHz aser observada. A técnica inset-fed é investigada para o casamento de impedâncias dasantenas fractais, que são alimentadas através de linhas de microfita com reentrâncias. Aeficiência dessa técnica é investigada experimentalmente e comparada com simulaçõesrealizadas pelo software comercial Ansoft Designer, usado para a análise precisa do com-portamento eletromagnético das antenas através do método dos momentos e pelo modeloneural proposto. Nessa dissertação um estudo bibliográfico em teoria de antenas de mi-crofita é realizado, o mesmo estudo é realizado a respeito da geometria fractal, dandoênfase a suas mais diversas formas, técnicas de geração desses fractais bem como suaaplicabilidade. Este trabalho ainda apresenta um estudo em redes neurais artificiais, evi-denciando os tipos/arquitetura de redes utilizadas e suas características, bem como os al-goritmos de treinamento que foram utilizados para sua implementação. As equações dosajustes dos parâmetros para as redes utilizadas nesse trabalho foram deduzidas a partir dométodo do gradiente. Também será realizada uma investigação com ênfase na miniatu-rização dessas novas estruturas propostas, indicando o quanto uma antena projetada comcontornos fractais é capaz de miniaturizar uma antena patch retangular convencional. Oestudo também consiste de uma modelagem por meio de redes neurais artificiais dos maisdiversos parâmetros eletromagnéticos das antenas quase-fractais. Os resultados apresen-tados demonstram a excelente capacidade das técnicas neurais para modelagem de ante-nas de microfita, e todos os algoritmos utilizados nesse trabalho na obtenção dos modelospropostos foram implementados no software comercial de simulação Matlab 7. Com a fi-nalidade de validar os resultados obtidos, vários protótipos de antenas foram construídos,medidos em um analisador de rede vetorial e simulados em software para comparação.

Palavras-chave: Antenas de Microfita, Geometria Fractal, Redes Neurais Artificiais,Casamento de Impedância, Miniaturização.

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Abstract

The microstrip antennas are in constant evidence in current researches due to severaladvantages that it presents. Fractal geometry coupled with good performance and con-venience of the planar structures are an excellent combination for design and analysis ofstructures with ever smaller features and multi-resonant and broadband. This geometryhas been applied in such patch microstrip antennas to reduce its size and highlight itsmulti-band behavior. Compared with the conventional microstrip antennas, the quasi-fractal patch antennas have lower frequencies of resonance, enabling the manufacture ofmore compact antennas. The aim of this work is the design of quasi-fractal patch anten-nas through the use of Koch and Minkowski fractal curves applied to radiating and non-radiating antenna’s edges of conventional rectangular patch fed by microstrip inset-fedline, initially designed for the frequency of 2.45 GHz. The inset-fed technique is inves-tigated for the impedance matching of fractal antennas, which are fed through lines ofmicrostrip. The efficiency of this technique is investigated experimentally and comparedwith simulations carried out by commercial software Ansoft Designer used for preciseanalysis of the electromagnetic behavior of antennas by the method of moments and theneural model proposed. In this dissertation a study of literature on theory of microstripantennas is done, the same study is performed on the fractal geometry, giving more em-phasis to its various forms, techniques for generation of fractals and its applicability. Thiswork also presents a study on artificial neural networks, showing the types/architecture ofnetworks used and their characteristics as well as the training algorithms that were usedfor their implementation. The equations of settings of the parameters for networks used inthis study were derived from the gradient method. It will also be carried out research withemphasis on miniaturization of the proposed new structures, showing how an antennadesigned with contours fractals is capable of a miniaturized antenna conventional rectan-gular patch. The study also consists of a modeling through artificial neural networks ofthe various parameters of the electromagnetic near-fractal antennas. The presented resultsdemonstrate the excellent capacity of modeling techniques for neural microstrip antennasand all algorithms used in this work in achieving the proposed models were implementedin commercial software simulation of Matlab 7. In order to validate the results, severalprototypes of antennas were built, measured on a vector network analyzer and simulatedin software for comparison.

Keywords: Microstrip Antennas, Fractal Geometry, Artificial Neural Networks, ImpedanceMatching, Miniaturization.

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Sumário

Sumário i

Lista de Figuras iii

Lista de Símbolos ix

Lista de Siglas e Acrônimos xi

1 Introdução 11.1 Organização do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Antenas de Microfita 52.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 A Geometria Fractal 113.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Características de um fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 A dimensão fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Método IFS para geração de Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Conjunto de Cantor gerado pelo método IFS . . . . . . . . . . . 173.3.2 Curva de Koch gerada pelo método IFS . . . . . . . . . . . . . . 183.3.3 O Triângulo de Sierpinski gerado pelo método IFS . . . . . . . . 193.3.4 A curva de Peano gerada pelo método IFS . . . . . . . . . . . . . 193.3.5 A curva de Minkowski gerada pelo método IFS . . . . . . . . . . 20

3.4 O sistema L para geração de fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.1 Obtenção da curva de Koch a partir do sistema L . . . . . . . . . 223.4.2 Obtenção do floco de neve a partir do sistema L . . . . . . . . . . 23

3.5 Aplicações da geometria fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Redes Neurais Artificiais 274.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Arquitetura de uma RNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1 Rede Feedforward (FNN) em camada única . . . . . . . . . . . . 294.2.2 Rede Feedforward (FNN) distribuída em múltiplas camadas . . . 294.2.3 Redes recorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Aprendizado supervisionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Modelo não-linear de um neurônio artificial . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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4.5 Rede perceptron de múltiplas camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5.1 Treinamento da rede MLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5.2 Algoritmo de retropropagação do erro (Backpropagation) . . . . . 374.5.3 Algoritmo Resilient backpropagation - RPROP . . . . . . . . . . 39

5 Resultados e Estrutura das Antenas Propostas 415.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Resultados Simulados e Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Modelagem Utilizando Redes Neurais Artificiais 636.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Modelos Neurais de Antenas Patches Quase-Fractais . . . . . . . . . . . 63

6.2.1 Modelagem neural da antena KR1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.2 Modelagem neural da antena KR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2.3 Modelagem neural da antena KT1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2.4 Modelagem neural da antena KT2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.5 Modelagem neural da antena M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.6 Modelagem neural da antena M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Conclusões 91

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Lista de Figuras

2.1 Antena de microfita inset-fed patch retangular. . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Formas geométricas assumida pelo patch irradiante. . . . . . . . . . . . . 62.3 Antena patch alimentada por linha de microfita inset-fed. . . . . . . . . . 82.4 Antena de microfita com patch retangular alimentada por ponta de prova

coaxial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Níveis do triângulo de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Fractais aleatórios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Diferentes níveis para o conjunto de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Diferentes níveis da curva de: (a) Koch e (b) Minkowski. . . . . . . . . . 133.5 Níveis do floco de neve de Koch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6 Níveis da curva de Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.7 Foto ilustrativa da samambaia de Barnsley. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.8 Foto ilustrativa de uma galáxia espiral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.9 Floco de neve Koch vista em uma escala maior. . . . . . . . . . . . . . . 163.10 Regra de formação para obtenção da curva de Koch. . . . . . . . . . . . . 223.11 Curva de Koch com n=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.12 Floco de neve de Koch com n=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Rede FNN com uma camada de neurônios de saída. . . . . . . . . . . . . 304.2 Rede FNN com três camadas, sendo uma camada de neurônios ocultos. . 304.3 Rede recorrente sem neurônios ocultos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Metodologia por aprendizado supervisionado. . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Modelo de um neurônio artificial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.6 Propagação e retropropagação dos sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.7 Modelo de uma rede MLP com três camadas sendo uma camada de neurônios

ocultos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.8 Função de ativação sigmóide com diferentes inclinações. . . . . . . . . . 364.9 Influência da magnitude das derivadas e da taxa de aprendizagem na con-

vergência do algoritmo de treinamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1 Antenas inset-fed patch com contornos fractais de níveis 0, 1 e 2: Kochretangular, Koch triangular e Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Protótipos fabricados: antena inset-fed patch geradora (nível 0) e antenasquase-fractais de níveis 1 e 2, com dimensões de 100, 75 e 50%. . . . . . 44

5.3 Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno daantena geradora tipo inset-fed patch retangular (nível 0). . . . . . . . . . 45

iii

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5.4 Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retornodas antenas tipo patch de Koch retangular (níveis 1 e 2). . . . . . . . . . 45

5.5 Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retornodas antenas tipo patch de Koch triangular (níveis 1 e 2). . . . . . . . . . . 46

5.6 Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retornodas antenas tipo patch de Minkowski (níveis 1 e 2). . . . . . . . . . . . . 46

5.7 Freqüência de ressonância em função das dimensões das antenas quase-fractais de nível 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.8 Freqüência de ressonância em função das dimensões das antenas quase-fractais de nível 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.9 Valores medidos da perda de retorno das antenas quase-fractais de nível 1redimensionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.10 Valores medidos da perda de retorno das antenas quase-fractais de nível 2redimensionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.11 Gráfico da impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antenaA0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.12 Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal KR1 redimensionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.13 Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal KR2 redimensionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.14 Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal KT1 redimensionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.15 Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal KT2 redimensionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.16 Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractal M1 redimensionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.17 Impedância de entrada traçados na carta de Smith para a antena quase-fractal M2 redimensionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.18 Diagramas de radiação 3D das antenas quase-fractais níveis 1 e 2 redi-mensionadas em comparação com a antena A0. . . . . . . . . . . . . . . 55

5.19 Diagrama de radiação medido em 2,46 GHz para a antena A0, plano H,em comparação com o diagrama de radiação simulado. . . . . . . . . . . 56

5.20 Diagrama de radiação medido em 2,44 GHz para a antena KR1 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. 56

5.21 Diagrama de radiação medido em 2,422 GHz para a antena KR2 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. 57

5.22 Diagrama de radiação medido em 2,435 GHz para a antena KT1 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. 57

5.23 Diagrama de radiação medido em 2,448 GHz para a antena KT2 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. 58

5.24 Diagrama de radiação medido em 2,409 GHz para a antena M1 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. 58

5.25 Diagrama de radiação medido em 2,443 GHz para a antena M2 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado. 59

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5.26 Comparação entre os diagramas de radiação medido das antenas: A0,KR1, KT1 e M1, plano H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.27 Comparação entre os diagramas de radiação medido das antenas: A0,KR2, KT2 e M2, plano H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.28 Distribuição de corrente nas antenas quase-fractais de níveis 1 e 2 redi-mensionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1 Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KR1. . . . . 656.2 Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KR1. . . . . . . . . 656.3 Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 7,84 mm). 666.4 Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KR2. . . . . 676.5 Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KR2. . . . . . . . . 676.6 Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 8,71 mm). 686.7 Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do

parâmetro y0 da antena KR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.8 Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não

utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem doparâmetro y0 da antena KR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.9 Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro BW da antena KR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.10 Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75 %) para a modelagem doparâmetro BW da antena KR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.11 Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do Qda antena KR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.12 Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75 porcento) para a mode-lagem do Q da antena KR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.13 Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KT1. . . . . . 736.14 Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KT1. . . . . . . . . 746.15 Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 8,085

mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.16 Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KT2. . . . . . 756.17 Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KT2. . . . . . . . . 766.18 Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 8,105

mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.19 Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do

parâmetro y0 da antena KT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.20 Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não

utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem doparâmetro y0 da antena KT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.21 Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro BW da antena KT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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6.22 Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem doparâmetro BW da antena KT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.23 Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro Q da antena KT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.24 Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem doparâmetro Q da antena KT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.25 Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena M1. . . . . . 826.26 Curva de aprendizagem para o treinamento da antena M1. . . . . . . . . . 826.27 Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 3,4 mm). 836.28 Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena M2. . . . . . 846.29 Curva de aprendizagem para o treinamento da antena M2. . . . . . . . . . 846.30 Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 3,435

mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.31 Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do

parâmetro y0 da antena M2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.32 Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão não

utilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem doparâmetro y0 da antena M2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.33 Evolução do erro durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro BW da antena M2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.34 Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem doparâmetro BW da antena M2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.35 Evolução da rede durante a fase de treinamento da rede para a modelagemdo Q da antena M2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.36 Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do Qda antena M2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

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Lista de Tabelas

3.1 Valores assumidos por ei no processo de geração do conjunto de Cantorpelo método IFS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Valores assumidos por θi, ei, fi no processo de geração da curva de Kochpelo método IFS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Valores assumidos por θi, ei, fi no processo de geração do triângulo deSierpinski pelo método IFS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Valores assumidos por θi, ei, fi no processo de geração da curva de Peanopelo método IFS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Valores assumidos por θi, ei, fi no processo de geração da curva de Minkowskipelo método IFS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Funções de ativação comumente utilizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1 Resultados de simulação para as antenas patches quase-fractais projetadas. 475.2 Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais projetadas. . . 475.3 Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais nível 1 redi-

mensionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4 Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais nível 2 redi-

mensionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.1 Parâmetros das antenas patches quase-fractais de nível 1 e nível 2. . . . . 646.2 Parâmetros das antenas patches quase-fractais de nível 2. . . . . . . . . . 68

vii

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Lista de Símbolos

Letras Gregas

α termo de momentoγ constante de propagaçãoΔ, Δi j valores de ajusteΔL comprimento Fringingεr permissividade elétrica relativaεre f f permissividade elétrica relativa efetivaη taxas de aprendizado globalη+,η− constantes: 1,2 e 0,5 respectivamenteλ0 comprimento de ondaπ constante: 3,1415...ϕ,

j e ϕ,k derivadas de primeira ordem das funções de ativação

ϕ função de ativação

ix

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Letras Romanas

A conjunto do R2

A(%) referente ao tamanho das antenasb biasBW largura de bandac velocidade da luzCF fator de compressãod[n] resposta desejadae[n] erro entre a resposta desejada e a saída da redeE[n] energia total do erroFR freqüência de ressonânciaG1 condutância da abertura radianteG12 condutância mútua entre aberturash espessura do substrato dielétricoi, j indícesK célula matrizL comprimento do patch irradianteL0 comprimento da linha de alimentaçãon nível de um fractalN número total de exemplos de treinamentoNi número de entradas da redenet potencial de ativaçãoNh número de unidades ocultasNs número de saídas da redeq transformação afimR2 espaço bidimensionalRn espaço n-dimensionalRin resistência de entradas fator de escala de interaçãoS11 perda de retornot época de treinamentoT transformação linear não-singularu, v vetoresX0 espessura do inset-fedxi entrada da rede neuralX [n] sinal de entrada da redey[n] saída da rede neuraly j saída da camada ocultay0 comprimento do inset-fedwk j peso sináptico da camada de saída da redewji peso sináptico entre o neurônio i e o neurônio jW largura do patch irradianteW0 espessura da linha de alimentaçãoZ0 impedância

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Lista de Siglas e Acrônimos

A0 patch retangular inset-fed nível 0EM-ANN Electromagnetic - Artificial Neural NetworkFDTD Diferenças Finitas no Domínio do TempoFEM Método do elemento finitoFNN Feedforward Neural NetworkGPS Sistema de Posicionamento GlobalGSM Global System for Mobile CommunicationsIFS Sistema Iterativo de FunçõesKR1 Koch retangular nível 1KR2 Koch retangular nível 2KT1 Koch triangular nível 1KT2 Koch triangular nível 2M1 Minkowski nível 1M2 Minkowski nível 2MLP Multilayer PerceptronMNM Modelo de rede multiportaMoM Método dos momentosMSE Erro médio quadráticoRBF Redes de funções de base radialRFID Identificador por radiofreqüênciaRNA Redes Neurais ArtificiaisRPROP Resilient BackpropagationSFNN Redes de funções sampleSMA Referente ao conector utilizado nas mediçõesTLM Modelo da linha de transmissãoWLAN Wireless Local Area NetworkWPAN Wireless Personal Area Network

xi

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Capítulo 1

Introdução

Os sistemas de comunicação sem fio (wireless) experimentaram um crescimento con-siderável nos últimos anos, exercendo um papel cada vez mais importante na vida daspessoas ao redor do mundo. Com o desenvolvimento das tecnologias de terceira geração(3G), busca-se soluções técnicas que atendam os requisitos de novos e melhores serviços,tais como: Serviços comerciais e os serviços voltado para área militar [1]− [5]. Paralela-mente, surge um crescente mercado para equipamentos que potencializam a qualidade ea capacidade dos serviços necessários para sustentar tal demanda. O constante interessenos últimos anos por dispositivos leves, compactos e com custo reduzido, tem chamadoa atenção de técnicos, engenheiros e pesquisadores da área de engenharia de Telecomu-nicações. Essas características tornam as estruturas planares multi-banda atrativas paraaplicações em sistemas de comunicações móveis, comunicações por satélite e comuni-cações por radar [1]− [3], [5]. Não resta dúvida que a miniaturização e a operação emvárias faixas de freqüências (multi-banda) são requisitos desejáveis aos aparelhos de co-municação modernos. Neste mercado competitivo, o surgimento de novas tecnologiassem fio resulta em demandas crescentes por antenas compactas/multi-banda, que permi-tam, por exemplo, a união de diferentes tecnologias sem fio num único dispositivo portátil.De fato, para a fabricação de um dispositivo sem fio de baixo perfil, baixo custo, aindamenor e mais leve que os atuais, o tamanho da antena ainda é crítico. Várias técnicas deminiaturização têm sido propostas e aplicadas a antenas patch em microfita, tais como:a utilização de substratos dielétricos de alta permissividade elétrica [6]; a aplicação decargas resistivas ou reativas [7]; e o aumento do comprimento elétrico da antena por meiode otimização de sua geometria [8].

Nesse contexto, as antenas de microfita representam um papel fundamental, dada asua aplicabilidade e versatilidade, fortalecendo assim essa área de pesquisa, pois até asegunda geração dos sistemas de comunicação móveis (2G), a atenção estava voltada aodesenvolvimento dos mais diversos protocolos e técnicas de modulação mais eficientes[2]− [5].

Antenas de microfita tornaram-se muito populares na década de 70 [5]. Essas antenasconsistem de um patch metálico, um dielétrico e um plano terra. Além de apresentarcusto de fabricação, volume e dimensões reduzidas, antenas planares são compatíveiscom sistemas embarcados, tais como os existentes nos dispositivos celulares, pagers, entreoutros. Antenas de microfita são ajustáveis a superfícies onduladas, o que torna possível

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2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

aplicação em fuselagens de aviões e mísseis. A faixa de frequência de operação dasantenas de microfita se estende aproximadamente de 100 MHz a 50 GHz e apresentamganho entre 5 e 6 dB, além de apresentarem largura de feixe 3 dB entre 70 e 90 graus.Algumas outras vantagens dessas antenas patches em relação as antenas de microondasconvencionais são [2]− [5]:

• Perfil planar baixo e conformidade a vários tipos de estruturas;• Suporte a polarização circular e linear;• Facilidade de conecção a circuitos integrados de microondas;• Capacidade de operar em múltiplas freqüências;

Antenas dessa natureza também apresentam algumas desvantagens se comparadas aantenas convencionais [2]− [5], tais como:

• Largura de banda estreita;• Baixa eficiência;• Baixo ganho;• Irradiação externa nas linhas e junções;• Baixa capacidade de manejo de potência;• Excitação de ondas de superfície;• São suscetíveis a alterações climáticas.

Em comunicações móveis, mais precisamente em relação aos sistemas celulares, asestações necessitam de antenas com diagramas de radiação setoriais, visando um melhoraumento de capacidade e da utilização dos canais. Estas características podem ser obtidasa partir da construção de arranjos de antenas de microfita.

As estruturas fractais, são alternativas interessantes para projetos de estruturas planaresde tamanho reduzido e que apresentam ressonância multi-banda (dual band, tri band,quad band). Essas estruturas apresentam duas características principais, que são respon-sáveis pelo tamanho reduzido, o baixo perfil, o comportamento multi-banda e banda largaenvolvendo estruturas com geometria fractal, são elas: A propriedade de preenchimentodo espaço e a propriedade de auto-similaridade [9]− [13]. O telefone celular modo dualband é um bom exemplo de dispositivo sem fio multi-freqüência. Essa operação dualband para o caso do GSM, envolve transmissão e recepção em 850 MHz e 1850 MHz.Antenas tradicionais são incapazes de conseguir tal comportamento multi-banda, sendoassim técnicas alternativas são necessárias. Recentes pesquisas em teoria de antenas têmaplicado a geometria fractal em projetos de antenas, resultando em novas antenas fractaiscom múltiplas ressonâncias. A aplicação da geometria fractal em estruturas de antenasconvencionais optimiza a forma da antena com a finalidade de aumentar seu comprimentoelétrico, conseqüêntimente reduzindo todo o seu tamanho [10]− [17].

As ferramentas computacionais têm recebido grande destaque nos últimos anos prin-cipalmente no que diz respeito a projetos e análise dos mais diversos dispositivos, sejameles passivos ou ativos em sistemas de comunicação. A exemplo os softwares que simu-lam técnicas de inteligência artificial e os softwares que simulam dispositivos de microon-das baseados no método dos momentos. Diante de tal fato e constatada a eficiência dessasferramentas, a utilização de redes neurais artificiais para a criação de modelos capazes

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1.1. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO 3

de generalizar os diversos parâmetros eletromagnéticos de antenas planares servem comomotivação para a realização desse trabalho.

O objetivo desse trabalho consiste no projeto de antenas patches quase-fractais pormeio da utilização de contornos fractais de Koch e Minkowski aplicados às margens ra-diante e não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentadapor linha de microfita com reentrâncias, inicialmente projetada para a freqüência de 2,45GHz. Também será realizada uma investigação com ênfase na miniaturização dessas no-vas estruturas propostas, indicando o quanto uma antena projetada com contorno fractal écapaz de miniaturizar uma antena patch retangular convencional. O estudo também con-siste de uma modelagem por meio de redes neurais artificiais dos mais diversos parâme-tros eletromagnéticos das antenas quase-fractais. Os resultados apresentados demonstramuma boa capacidade das técnicas neurais para modelagem de antenas de microfita, e todosos algoritmos utilizados nesse trabalho na obtenção dos modelos propostos foram imple-mentados no software comercial de simulação Matlab 7. Com a finalidade de validaros resultados obtidos, vários protótipos de antenas foram construídos, medidos em umanalisador de rede vetorial e simulados em software para comparação e validação dessesmodelos.

1.1 Organização do texto

Este trabalho encontra-se distribuído em 7 capítulos, buscando-se evidenciar todo oreferencial teórico e bibliográfico para o estudo das estruturas em questão, em seguida,apresenta-se uma análise dos resultados obtidos na caracterização das novas antenas comcontorno fractal proposto.

O Capítulo 2 apresenta um estudo bibliográfico a respeito de teoria de antenas demicrofita, situando-a no contexto histórico de evolução, evidenciando suas características,vantagens e desvantagens em relação às antenas de microondas convencionais, além dastécnicas de alimentação e os métodos gerais de análise.

O Capítulo 3 faz referência ao estudo da geometria fractal, situando-a no contextohistórico de evolução, evidenciando suas características, as mais diversas formas frac-tais existentes, bem como os métodos de construção e geração dessas formas, além deexemplificar sua mais diversa aplicabilidade.

O Capítulo 4 trata de redes neurais artificiais, utilizadas como a principal técnica demodelagem desse trabalho. Será dada ênfase às redes de alimentação direta (FNN), ci-tando suas vantagens, propriedades e principais características bem como os algoritmosde treinamento utilizados, a exemplo do backpropagation e o resilient backpropagation.Também será mostradas as equações de ajuste dos parâmetros livres das redes baseada nométodo do gradiente.

No Capítulo 5 são apresentados os resultados obtidos das antenas quase-fractais após afase de projeto, simulação em software, construção e medição das estruturas no analisadorde rede. Parâmetros como, freqüência de ressonância, perda de retorno, impedância deentrada e o diagrama de radiação dessas antenas são investigados.

No Capítulo 6 são apresentados os resultados referente aos modelos neurais obtidospara essas estruturas de antenas com elementos fractais. A evolução do erro na fase de

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4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

aprendizado da rede e a capacidade de generalização da rede neural dentro de uma regiãode interesse também são investigados.

O Capítulo 7 apresenta as conclusões desse trabalho, fornecendo sugestões para fu-turos trabalhos relacionados a essa linha de pesquisa envolvendo estruturas planares.

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Capítulo 2

Antenas de Microfita

Este capítulo apresenta um estudo bibliográfico a respeito de teoria de antenas emmicrofita. O conceito de uma estrutura planar, as diversas geometrias utilizadas, suasvantagens e desvantagens em relação às antenas de microondas convencionais tambémserão abordados, bem como as técnicas de alimentação e o método de análise utilizado.Essas estruturas planares em microfita são a base para esse trabalho, em que todo o en-tendimento, bem como todos os resultados e simulações serão obtidos por construção dosmesmos.

2.1 Introdução

Devido ao avanço das tecnologias, aliada a construção cada vez mais sofisticada decircuitos integrados de microondas, resulta-se em um maior estudo envolvendo antenasplanares. As primeiras publicações a respeito de antenas patch ocorreram na década de50 com Deschamps [1] nos Estados Unidos e com Gutton e Baissinot na França [2]− [5].No entanto, pesquisas envolvendo antenas planares ganharam força a partir da década de70, com o trabalho de Byron [3].

As antenas de microfita são constituídas basicamente por um condutor irradiante oupatch, impresso sobre uma camada metálica em uma de suas faces e um plano de terra naoutra extremidade, separado por um material dielétrico, conforme iustra a Figura 2.1.

O elemento irradiante patch a priori, pode assumir qualquer forma geométrica. Con-tudo, em termos de análise e previsão do desempenho, normalmente são utilizadas asformas geométricas convencionais, tais como: As retangulares, circulares e mais recen-temente as formas fractais. A Figura 2.2 mostra algumas dessas formas geométricas uti-lizadas.

Quando o patch é excitado por uma alimentação, uma distribuição de carga é esta-belecida na parte inferior do patch metalizado, como também no plano terra. Em uminstante de tempo, a parte de baixo do patch é positivamente carregada e o plano terra énegativamente carregado. A força de atração entre esse conjunto de cargas tende a manteruma grande quantidade de cargas entre as duas superfícies. Contudo a força repulsivaentre cargas positivas no patch puxa algumas dessas cargas em direção a margem, resul-tando em uma grande densidade de carga na margem do patch irradiante. Essas cargassão responsáveis pelo efeito Fringing e a respectiva radiação associada ao mesmo.

5

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6 CAPÍTULO 2. ANTENAS DE MICROFITA

L

Substrato dielétrico

Plano terra

Patch retangularayo

Xo

WLoawo

Z

YX

Figura 2.1: Antena de microfita inset-fed patch retangular.

Figura 2.2: Formas geométricas assumida pelo patch irradiante.

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2.1. INTRODUÇÃO 7

Há inúmeros substratos que podem ser utilizados em projetos de antenas de microfitae suas constantes dielétricas estão normalmente entre 2.2 ≤ εr ≤ 12. Para um bom de-sempenho da antena é desejável substratos finos, cuja constante dielétrica se encontra naparte inferior do intervalo 2.2 ≤ εr ≤ 12, dessa forma pode-se garantir uma melhor efi-ciência, maior largura de banda, dimunição de campo no contorno para irradiação, porémrequerem um elemento de patch maior. Por sua vez, substratos com constante dielétricaelevada são desejáveis para circuitos de microondas, uma vez que eles requerem menorescampos no contorno para minimizar radiações indesejáveis e acoplamento, e tambémrequerem um patch menor. O efeito de uma antena de tamanho finito é menos severono comportamento da impedância, uma vez que antenas de microfita são inerentes à es-trutura ressonante e sua característica de impedância é principalmente determinada pelopatch [1]− [5].

Diversas são as formas de alimentação do patch, destacando-se a alimentação pormeio de ponta de prova coaxial, linhas de microfita, proximidade eletromagnética, acopla-mento por abertura, dentre outras. A forma de alimentação por linha de microfita será autilizada nesse trabalho em virtude de se conseguir um casamento de impedância maisfacilmente. A alimentação por linha de microfita, conforme ilustra a Figura 2.3, foi aprimeira técnica empregada, inicialmente por Munson em 1974, para análise de antenaspatch em microfita [2]− [4]. Neste modelo, a região interior da antena patch é modeladacomo uma seção de linha de transmissão, ou seja, é também uma fita condutora, normal-mente de comprimento menor comparado ao patch. A alimentação por linha de microfitaé de fácil fabricação, de simples casamento de impedância, bastando para isso controlar aposição do inset, também é de fácil modelamento. Contudo à medida que a espessura dosubstrato aumenta, ondas de superfície e um aumento da radiação espúria se fazem pre-sente, o que para projetos práticos limita a largura de banda em torno de 2 a 5% [3]− [5].Neste modelo a impedância característica (Z0) e a constante de propagação (γ) para alinha são determinados pelo tamanho do patch e pelo substrato utilizado. Com relação aradiação, o efeito do substrato e a impedância de entrada não são considerados [5].

Uma outra técnica de alimentação bastante utilizada é a por linha coaxial tambémchamada ponta de prova coaxial, ver Figura 2.4, na qual, o condutor interno do cabo estaconectado diretamente ao patch e o condutor externo conectado ao plano terra. A alimen-tação por ponta de prova coaxial é também de fácil fabricação e casamento de impedância,apresentando baixa radiação espúria. A principal vantagem dessa alimentação é que elapode ser colocada em uma posição desejada dentro do patch para casar com a impedânciade entrada. Contudo, também apresenta baixa largura de banda e é mais complicada demodelar, especialmente para substratos finos em que h > 0,02λ0 [2]− [5].

As antenas de microfita apresentam particularidades geométricas e propriedades elétri-cas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens, dependendo das apli-cações a que se destinam. O modelamento da antena de microfita está relacionado às ca-racterísticas da estrutura, tais como o tipo de substrato, dimensões e geometria do patch.Diversos são os métodos de análise relatados na literatura para a caracterização das an-tenas de microfita. Esses métodos podem ser divididos em dois grupos [4]. No primeirogrupo, os métodos são baseados na distribuição de corrente elétrica no patch condutor eo plano terra (similar a antenas dipolo, usado em conjunto com métodos de análise de

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8 CAPÍTULO 2. ANTENAS DE MICROFITA

Substrato

Plano terra

εr

Figura 2.3: Antena patch alimentada por linha de microfita inset-fed.

Patch

Vistasuperior

Vistalateral

Plano terra Alimentação coaxial

Figura 2.4: Antena de microfita com patch retangular alimentada por ponta de provacoaxial.

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2.1. INTRODUÇÃO 9

onda completa/numérica). Alguns desses métodos numéricos para análise de antenas demicrofita são:

• Método dos momentos (MoM);• Método dos elementos finitos (FEM);• Diferenças finitas no dominío do tempo (FDTD);

No segundo grupo, os métodos são baseados na distribuição de corrente magnéticaequivalente ao redor das margens do patch (similar a antenas slot), também fenômenoscomo a propagação de ondas de superfície e a dispersão não são relevantes ao estudo,podendo assim ser desconsiderado [2]− [5]. Dentre os diversos modelos aproximados,destacam-se:

• O modelo da linha de transmissão (TLM);• O modelo da cavidade;• Modelo de rede multiporta (MNM);

O modelo da linha de transmissão possibilita a determinação de diversos parâmetrosda antena, tais como a freqüência de ressonância, o diagrama de radiação e impedância deentrada. Embora seja um dos métodos mais simples e menos exato, esse método produzresultados satisfatórios e uma facilidade em estabelecer o casamento de impedância daestrutura, bastando para isso controlar o comprimento do inset-fed associado ao projeto daantena. Esse modelo é adequado para análise de antenas de microfita com patch retangularou quadrado. Comparado ao modelo da linha de transmissão o modelo da cavidade é maisexato e ao mesmo tempo mais complexo [4]− [6]

Para outras geometrias do patch, torna-se inviável a análise através deste modelo.Nessa análise, o elemento radiante pode ser modelado por duas aberturas paralelas, dessaforma, representando dipolos magnéticos. O modelo da cavidade, a princípio, pode serempregado para o estudo de antenas com patches de qualquer geometria. Entretanto, omodelamento matemático para patches retangulares é bastante simplificado em relação àanálise de patches com outros formatos.

O modelo da cavidade basicamente trata a antena como uma cavidade, circundada porparedes elétricas, no topo e na base, e por paredes magnéticas nos contornos laterais. Oscampos nas antenas são considerados como os campos da cavidade, sendo expandidosem termos de modos ressonantes na cavidade, cada um com sua freqüência de ressonân-cia. Os modelos aproximados são satisfatoriamente precisos até determinados valores defreqüência. À medida que a freqüência aumenta, a precisão desses modelos é reduzida,tornando-se inaceitável para a faixa de freqüências correspondente às ondas milimétricas.A princípio, as técnicas empíricas podem ser utilizadas para a obtenção da solução inicialpara um problema de projeto, fornecendo uma idéia qualitativa do comportamento da an-tena [3]− [5]. Levando-se em conta as características do substrato dielétrico, a freqüênciade operação e a impedância do sistema de comunicação, o projeto de uma antena patchpode ser dividido em duas partes: (i) projeto da linha de alimentação; (ii) projeto do patchretangular irradiante. Neste trabalho, a linha de alimentação em microfita foi projetadacom 1/8 do comprimento onda, enquanto a sua largura foi calculada conforme o modeloempírico descrito em [18], obtendo-se um valor de w0 = 2,87 mm para um sistema de

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10 CAPÍTULO 2. ANTENAS DE MICROFITA

50 Ω e um substrato de fibra de vidro [21]. As dimensões iniciais (L, W ) de uma antenainset-fed patch retangular foram calculadas através das expressões analíticas, equações2.1 - 2.4.

W =c

2Fr

√2

εr +1(2.1)

εre f f =εr+1

2+

εr−1

2

[1+12

hW

]−12

(2.2)

ΔLh

= 0,412(εre f f +0,300)

(Wh +0,264

)(εre f f −0,258)

(Wh +0,813

) (2.3)

L =c

2Fr√

εr−2ΔL (2.4)

A largura da reentrância (inset) foi considerada igual à largura da linha de microfita,x0 = w0, enquanto o valor inicial de seu comprimento foi calculado através de fórmulasaproximadas [4], equações 2.5 e 2.6.

y0 =Lπ

acos

(√50

Rin(0)

)(2.5)

Rin(0) =1

2(G1 ±G12)(2.6)

Em que, Rin(0) é a resistência de entrada na freqüência de ressonância, G1 é a con-dutância da abertura radiante e G12 é a condutância que leva em conta os efeitos mútuosentre as duas aberturas radiantes da antena patch retangular. Dessa forma, G1 e G12 sãodados respectivamente por:

G1 =W

120λ0

[1− 1

24(k0h)2

](2.7)

G12 =1

120π2

∫ π

0

⎡⎣sin

(k0W

2 cosθ)

cosθ

⎤⎦

2

J0(k0Lsinθ)sin3θdθ (2.8)

Em que, k0 e J0 são respectivamente o número de onda e a função de Bessel de primeiraespécie de ordem zero.

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Capítulo 3

A Geometria Fractal

Este capítulo apresenta um estudo a respeito da geometria fractal, situando-a no con-texto histórico, evidenciando as mais diversas formas fractais existentes, suas caracterís-ticas, além dos métodos de geração de fractais e sua mais diversa aplicabilidade no co-tidiano. Os fractais são figuras de uma beleza diferente e aliadas às estruturas planarescomporão os dispositivos de microondas (antenas) a serem analisadas nesse trabalho nocapítulo posterior.

3.1 Introdução

O termo fractal foi introduzido em 1975 pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot[19], [20]. O termo vem do latim, do adjetivo fractus, derivado do verbo frangere, quesignifica quebrar, fracionar. Fractais são estruturas diferentes das que se costuma observarna natureza, em que governa a geometria euclidiana [19], [20]. Um fractal é uma formageométrica áspera, rúde ou fragmentada, que pode ser subdivida em partes, em que cadapedaço dessa subdivisão é uma cópia exata do todo. Ele é gerado a partir de uma fórmulamatemática, muitas vezes simples, mas que aplicada de forma iterativa, produz resultadosfascinantes e impressionantes. Existem duas categorias de fractais: os geométricos, querepetem continuamente um modelo padrão (Figura 3.1) e os aleatórios (Figura 3.2), quesão construídos por meio de computação [10], [11], [19], [20].

Os Fractais são formas geométricas abstratas de uma forma diferente, com padrõescomplexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área infinita. Repre-sentam funções reais ou complexas. Mandelbrot, constatou ainda que todas estas formase padrões possuíam algumas características comuns (auto-semelhança, dimensão e com-plexidade infinita) e que havia uma curiosa e interessante relação entre estes objetos eaqueles encontrados na natureza. Ele mostrou que existem muitos fractais na naturezae estes por sua vez, são capazes de modelar com exatidão certos fenômenos. Há aindamuitas outras estruturas matemáticas que são consideradas fractais, algumas das estru-turas mais conhecidas são mostradas nas respectivas Figuras 3.3 - 3.7. A galáxia daFigura 3.8 é uma das mais belas formas fractais conhecidas.

11

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12 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL

Figura 3.1: Níveis do triângulo de Sierpinski.

Figura 3.2: Fractais aleatórios.

Nível 0

Nível 1

Nível 2

Nível 3

Nível 4

Figura 3.3: Diferentes níveis para o conjunto de Cantor.

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3.1. INTRODUÇÃO 13

Nível 3Nível 3

Nível 2Nível 2

Nível 1Nível 1

Nível 0Nível 0

(a)A (b)A

Figura 3.4: Diferentes níveis da curva de: (a) Koch e (b) Minkowski.

Figura 3.5: Níveis do floco de neve de Koch.

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14 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL

Figura 3.6: Níveis da curva de Peano.

Figura 3.7: Foto ilustrativa da samambaia de Barnsley.

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3.2. CARACTERÍSTICAS DE UM FRACTAL 15

Figura 3.8: Foto ilustrativa de uma galáxia espiral.

3.2 Características de um fractal

A principal característica de um fractal é a auto-similaridade ou auto-semelhança,com as quais se pode obter réplicas menores da figura através de sua divisão (no caso dageometria fractal, de sua ampliação). A exemplo, todas as formas geométricas ortodoxas,perdem as suas estruturas quando são ampliadas ou diminuídas. Um círculo numa escalamuito maior não é nada mais do que um segmento de reta [12]− [14], [21]− [23].

Existem dois tipos de auto-semelhança: auto-semelhança exata e auto-semelhançaestatística. Os Fractais que possuem auto-semelhança exata são gerados a partir de re-produções exatas de si mesmo em menor escala, conforme ilustra a Figura 3.9. Apesardessas características especiais, estes objetos fractais não permitam escrever inteira ouadequadamente as formas existentes na natureza [9], [10], [19], [20], [24]. Os elementosencontrados na natureza raramente exibem auto-semelhança exata, contudo quase sempreapresentem a chamada auto-semelhança estatística, em relação à qual se aplicam total-mente os mesmos conceitos e definições. Esta classe recebe a denominação de fractaisnão-determinísticos e diferem dos anteriores por incluir um certo grau de aleatoriedadeno cálculo de novos pontos.

3.2.1 A dimensão fractal

Um dado conjunto é fractal, se e somente se sua dimensão fractal definida em termosda dimensão Hausdorff-Besicovitch, excede estritamente sua dimensão topológica [10],[11], [15], [16]. A Dimensão da geometria fractal pode ser definida de várias maneiras. Al-guns exemplos são: a dimensão topológica, dimensão Euclidiana, dimensão auto-similar ea própria dimensão de Hausdoff. A dimensão auto-similar é um caso especial da definiçãode Mandelbrot de dimensão fractal [19], [25], [26]. No espaço euclidiano, um ponto temdimensão 0, uma curva dimensão 1, uma superfície dimensão 2 e uma região do es-paço dimensão 3. Para determinar a dimensão topológica de um objeto, recorre-se aoestabelecimento de uma correspondência unívoca desse objeto com um desses entes ge-

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16 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL

Figura 3.9: Floco de neve Koch vista em uma escala maior.

ométricos fundamentais, ou seja, à medida em que vão se formando objetos decorrentesde várias iterações, o objeto geométrico criado sempre é semelhante aquele que lhe deuorigem. Ao se utilizar esses métodos para o cálculo da dimensão, estará sendo expressoalgo diferente da dimensão topológica. Os métodos que envolvem o conceito de dimensãoespacial referem-se ao espaço ocupado ou preenchido por uma figura. No cálculo efetivoda dimensão de alguns objetos, tais métodos permitem que o resultado seja um númerofracionário. Nem sempre a dimensão espacial dos fractais é fracionária, porém a dimen-são fracionária é uma característica dos fractais e que, por sua vez, as figuras tradicionaisnão possuem [10]. Considere n cópias da escala geométrica original reduzida de um fators, então a dimensão auto-similar é dado por:

D =logn

log 1s

(3.1)

No limite quando n tende a infinito, obtém-se um fractal ideal.

3.3 Método IFS para geração de Fractais

Inicialmente desenvolvido em 1986 pelo matemático inglês Michael Barnsley, o métodoSistema Iterativo de Funções (Iterative Function System - IFS) é um processo de geraçãode fractais baseado em uma série de transformações afins. A geração de fractais, devidoà auto similaridade e independente da escala que esteja, sua geração começa com umaforma geradora, que é a entrada de uma função de mapeamento, e sua saída torna-se a

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3.3. MÉTODO IFS PARA GERAÇÃO DE FRACTAIS 17

entrada da próxima iteração, essa característica aliada às respectivas transformações afinscaracterizam o método IFS para geração de fractais. O método IFS é baseado em transfor-mações matemáticas, tais como: contração, reflexão, rotação e translação. Desta forma,os fractais são definidos como o limite do processo iterativo de um conjunto finito detransformações afins, q(u), que são inicialmente aplicadas em uma figura arbitrária [14],[19].

Considere q : Rn −→ Rn da forma q(u) = T (u)+ v, em que T é uma transformaçãolinear não-singular, u e v são vetores do Rn, dessa maneira q é chamada de transformaçãoafim. Pode-se constatar que uma transformação afim é a soma de uma transformaçãolinear com uma translação, sendo portanto, não-linear. Considere o caso de uma transfor-mação afim q : R2 −→ R2, a mesma pode ser escrita na forma matricial como mostra aequação 3.2.

q(x,y) =

(a bc d

)(xy

)+

(ef

)(3.2)

Em que, a, b, c e d são escalares, e e f são parâmetros relacionados a rotação e translaçãorespectivamente. As seções seguintes exemplificarão alguns fractais gerados por essemétodo.

Considere A ⊂ R2 um conjunto inicial e N contrações q(i):R2 → R2 com fator decontração 0 < αi < 1 (i = 1, ...,N). Definimos q:R2 → R2 como sendo

q(A) =N⋃

i=1

qi(A) (3.3)

Em que, qi(A) = qi(x)|x ∈ A é a imagem da transformação qi, quando aplicada aos vetoresde A.

3.3.1 Conjunto de Cantor gerado pelo método IFS

O conjunto de Cantor é gerado pelo método IFS a partir de duas transformações, dadopelas equações 3.4 e 3.5.

q1(x) =13

x (3.4)

q2(x) =13

x+23

(3.5)

A transformação q1, realiza uma contração de fator 1/3 e q2, por sua vez, além da con-tração de 1/3, realiza uma translação de 2/3 unidades para a direita. Esquematicamenteessas transformações podem ser dadas pela equação 3.6.

qi(x) =13

x+ ei, i = 1,2 (3.6)

Em que, ei assume os valores dados na Tabela 3.1

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18 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL

i ei

1 02 2/3

Tabela 3.1: Valores assumidos por ei no processo de geração do conjunto de Cantor pelométodo IFS.

Dado A ⊂ R, considere q(A) = q1(A)∪q2(A). O conjunto de Cantor é definido por:

limn→∞

qn(A) (3.7)

3.3.2 Curva de Koch gerada pelo método IFS

A curva de Koch, como visto da Figura 3.4(a), é gerado a partir de quatro transfor-mações afins qi : R2 −→ R2, i = 1, 2, 3, 4 da forma:

qi(x,y) =13

(cos(θi) −sen(θi)sen(θi) cos(θi)

)(xy

)+

(ei

fi

)(3.8)

Em que, θi, ei e fi assumem os valores da Tabela 3.2.As quatro transformações fazem a contração de 1/3, q2 faz uma rotação de π/3 rad

e uma translação de uma unidade para a direita, q3 faz uma rotação de −π/3 rad, umatranslação de 3/2 unidades para a direita e

√(3)/2 unidades para cima, por fim, q4 exe-

cuta uma translação de 2 unidades para a direita.

i θi ei fi

1 0 0 02 π/3 1 03 -π/3 3/2

√(3)/2

4 0 2 0

Tabela 3.2: Valores assumidos por θi, ei, fi no processo de geração da curva de Koch pelométodo IFS.

Dado A ⊂ R2, então tem-se que:

q(A) =4⋃

i=1

qi(A) (3.9)

Dessa forma a curva de Koch é dada por:

limn→∞

qn(A) (3.10)

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3.3. MÉTODO IFS PARA GERAÇÃO DE FRACTAIS 19

3.3.3 O Triângulo de Sierpinski gerado pelo método IFS

O triângulo de Sierpinski, Figura 3.1, é obtido diretamente de um triângulo equiláteromediante três transfomações qi : R2 −→ R2, da forma da equação 3.11.

qi(x,y) =12

(1 00 1

)(xy

)+

(ei

fi

)(3.11)

Em que, θi, ei e fi assumem os valores da Tabela 3.3.

i ei fi

1 0 02 1/2 03 1/4 1/2

Tabela 3.3: Valores assumidos por θi, ei, fi no processo de geração do triângulo de Sier-pinski pelo método IFS.

As três transformações fazem a contração de 1/2, q2 faz uma translação de 1/2unidades para a direita, q3 faz uma translação de 1/4 unidades para a direita e 1/2unidades para cima.

Dado A ⊂ R2, considere a equação 3.12

q(A) =3⋃

i=1

qi(A) (3.12)

Dessa forma, o triângulo de Sierpinski é dado por:

limn→∞

qn(A) (3.13)

3.3.4 A curva de Peano gerada pelo método IFS

A curva de Peano, Figura 3.6, é construída pelo método IFS a partir de nove transfor-mações qi : R2 −→ R2 dado pela equação 3.14.

qi(x,y) =13

(cos(θi) −sen(θi)sen(θi) cos(θi)

)(xy

)+

(ei

fi

)(3.14)

Em que, θi, ei e fi assumem os valores da Tabela 3.4. As nove transformações fazema contração de 1/3; q2 faz uma rotação de π/2 rad e uma translação de 1 unidade paraa direita; q3 faz uma translação de 1 unidade para a direita e 1 unidade para cima; q4

faz uma rotação de π/2 rad e uma translação de 2 unidade para a direita; q5 faz umatranslação de 1 unidade para a direita; q6 faz uma rotação de −π/2 rad e uma translaçãode 1 unidade para a direita; q7 faz uma translação de 1 unidade para a direita e 1 unidadepara baixo; q8 faz uma rotação de −π/2 rad e uma translação de 2 unidade para a direita;q9 faz uma translação de 2 unidade para a direita.

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20 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL

i θi ei fi

1 0 0 02 π/2 1 03 0 1 14 π/2 2 05 0 1 06 -π/2 1 07 0 1 -18 -π/2 2 09 0 2 0

Tabela 3.4: Valores assumidos por θi, ei, fi no processo de geração da curva de Peanopelo método IFS.

Dado A ⊂ R2, considere a equação 3.15

q(A) =9⋃

i=1

qi(A) (3.15)

Dessa forma, a curva de Peano é dado por:

limn→∞

qn(A) (3.16)

3.3.5 A curva de Minkowski gerada pelo método IFS

A curva de Minkowski, Figura 3.4(b), é construída pelo método IFS a partir de oitotransformações qi : R2 −→ R2 dado pela equação 3.17.

qi(x,y) =14

(cos(θi) −sen(θi)sen(θi) cos(θi)

)(xy

)+

(ei

fi

)(3.17)

Em que, θi, ei e fi assumem os valores da Tabela 3.5. As oito transformações fazem acontração de 1/4; q2 faz uma rotação de π/2 rad e uma translação de 1 unidade para adireita; q3 faz uma translação de 1 unidade para a direita e 1 unidade para cima; q4 fazuma rotação de π/2 rad e uma translações de 2 unidade para a direita; q5 faz uma rotaçãode −π/2 e uma translação de 2 unidade para a direita; q6 faz uma translação de 2 unidadepara a direita e um deslocamento de 1 unidade para baixo ; q7 faz uma rotação de −π/2 euma translação de 3 unidade para a direita; q8 realiza uma translação de 3 unidade para adireita.

Dado A ⊂ R2, considere a equação 3.18

q(A) =8⋃

i=1

qi(A) (3.18)

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3.4. O SISTEMA L PARA GERAÇÃO DE FRACTAIS 21

i θi ei fi

1 0 0 02 π/2 1 03 0 1 14 π/2 2 05 -π/2 2 06 0 2 -17 -π/2 3 08 0 3 0

Tabela 3.5: Valores assumidos por θi, ei, fi no processo de geração da curva de Minkowskipelo método IFS.

Dessa forma, a curva de Minkowski é dado por:

limn→∞

qn(A) (3.19)

3.4 O sistema L para geração de fractais

Inicialmente apresentado em 1968 pelo então biológo alemão Aristid Lindenmayer,o sistema L é conhecido como um sistema gerador de fractais por cadeia de caracteres,consistia inicialmente como uma teoria capaz de atuar no desenvolvimento de plantas bemcomo prover uma descrição de desenvolvimento de organismos multicelulares e ilustrara reação de vida entre células. Em si tratando de fractais, o sistema L é utilizado emconjunto com elementos gráficos representados por letras do alfabeto. As respectivasregras formativas podem ser representadas por cadeias de caracteres, em que essas cadeiasirão armazenar toda a informação gráfica necessária para a construção do fractal [9]− [11],[19], [20].

Como se sabe o processo de construção de fractais são processos infinitos e normal-mente se faz sua construção até um certo limite para fins práticos e científico [22]. Umavez que toda a informação para construir o fractal se encontra armazenada em uma cadeiade caractere, o passo seguinte é fazer a leitura desta cadeia, transformando os caracteresem comandos gráficos capazes de desenhar os mais diversos fractais a serem construídos.Nessa seção adota-se a seguinte conversão para representação dos comandos gráficos nascadeias de caracteres:

• Segmentos serão adotados por letras maiúsculas do alfabeto;• Um incremento positivo no ângulo, denotado por (+) significa uma mudança de

direção no sentido horário;• Um incremento negativo no ângulo, denotado por (-) significa uma mudança de

direção no sentido anti-horário.

A seção seguinte mostrará dois exemplos de geração de fractais partindo do sistemaL.

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22 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL

3.4.1 Obtenção da curva de Koch a partir do sistema L

Para a construção da curva de Koch a partir do sistema L, deve-se, inicialmete definira célula matriz e em seguida definir a regra de formação que determinará como a cadeiade caracteres irá se proliferar. O passo seguinte é estabelecer um limite n para esta pro-liferação, a qual se deseja construir o fractal. O passo inicial para construção da curva deKoch é estabelecer um segmento de reta de comprimento unitário que representa a célulamatriz, denotada pela letra K. O segundo passo é dividir o segmento de reta em três partesiguais, em que se substitui o segmento do meio por um triângulo eqüilátero sem a base,originando-se assim uma poligonal. Na Figura 3.10 observam-se os detalhes de como aregra de formação é definida para o sistema L com o intuito de obter a poligonal do passoanterior.

K K

K K

Figura 3.10: Regra de formação para obtenção da curva de Koch.

Uma análise para um melhor entendimento desse processo de construção dar-se-á daesquerda para a direita. Primeiramente têm-se um segmento de reta representado por K,em seguida faz-se um incremento no ângulo no sentido anti-horário (-), depois tem-se umsegmento K seguido de dois incrementos de ângulo no sentido horário (++), novamentetêm-se um segmento K seguido de um incremento no ângulo no sentido anti-horário (-) efinalmente um segmento K final. Então uma regra geral para obtenção dessa poligonal é:K-K++K-K.

Como o último passo da construção da curva de Koch é repetir o passo imediatamenteanterior, com todos os segmentos da etapa anterior, conclui-se que a regra de formaçãodar-se-á da seguinte forma: a cada etapa substitua cada célula K da etapa anterior peloconjunto K-K++K-K, conservando os demais caracteres (-) ou (+). Dessa forma tem-se aproliferação da cadeia de caracteres:

• Etapa 1: K;• Etapa 2: K-K++K-K;• Etapa 3: K-K++K-K - K-K++K-K ++ K-K++K-K - K-K++K-K;• .• .

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3.4. O SISTEMA L PARA GERAÇÃO DE FRACTAIS 23

• .• Etapa n: K-K++K-K- ... -K-K++K-K

3.4.2 Obtenção do floco de neve a partir do sistema L

Basicamente o que diferencia o fractal floco de neve da curva de Koch é a figurageradora inicial, que deixa de ser um segmento de reta para a curva de Koch e passa a serum triângulo equiátero para o caso do fractal floco de neve. Sendo assim, para construiresse fractal basta substituir a matriz inicial no algoritimo do sistema L por um triânguloequilátero, dessa forma têm-se a matriz: K++K++K. As Figuras 3.11 e 3.12 mostramrespectivamente a curva de Koch para n = 3 e o floco de neve construído com o sistemaL para também n = 3.

Figura 3.11: Curva de Koch com n=3.

Figura 3.12: Floco de neve de Koch com n=3.

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24 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL

3.5 Aplicações da geometria fractal

Os fractais têm apresentado aplicações em diferentes áreas da ciência, a exemplo dageografia, biologia, artes, ciências humanas, medicina, ciências exatas dentre outras [19],[23]− [29].

Na matemática, a análise de dados caoticamente dispersos impulsionou a evolução dotratamento estatístico e da noção de probabilidade. Por outro lado, a geometria fractalaprofundou a idéia intuitiva de infinito.

Na física, o conceito de caos traz uma nova idéia a respeito de entropia, que estudatambém a complexidade de um sistema, e sobre os fundamentos da mecânica quântica,nomeadamente o princípio da incerteza de Heisenberg.

Na biologia, o caos está a ser usado para identificar processos evolutivos que permitamum novo entendimento do algoritmo genético, simulações realistas de formas de vidaartificiais e uma nova abordagem da atividade cerebral.

Na ecologia e biologia a geometria fractal é usada para tentar resolver problemas dedinâmica do transporte de energia em meios fluidos (hidrodinâmica).

Na Medicina, reconhecem-se características fractais em fenômenos cardíacos e pul-monares. Em que o floco de neve de Koch e a curva de Peano assemelham-se ao movi-mento dos pulmões. Descobertas recentes indicam que o coração bate a um ritmo fractale que um batimento quase periódico é sintoma de insuficiência cardíaca.

Na Economia, a análise das bolsas tem indicado que os valores das ações se com-portam de forma aparentemente aleatória em curto prazo, mas que apresentam um certopadrão a médio e longo prazo. Deve-se notar que a evolução da bolsa no período de ummês, uma semana, um dia ou algumas horas, o gráfico não perde o seu detalhe, tal comoum fractal. No ano de 1997 dois americanos ganharam o Prêmio Nobel da economia,após terem encontrado uma fórmula que permite prever aplicações financeiras.

Na computação gráfica, os fractais são utilizados para representar elementos da na-tureza como crateras, planetas, costas, superfícies lunares, plantas, ondulações em águase representação de nuvens. Também são de grande importância para a criação de efeitosespeciais em filmes.

Em fotografia, a geometria fractal permite criar imagens independentes da resolução,que podem ser ampliadas à dimensão pretendida, sem perda evidente de qualidade, paraque possam ser usadas para imprimir fotografias em papel, em dimensões impensáveis.

Na engenharia as aplicações são as mais diversas possíveis, seja em projeto de ante-nas ou em superfícies seletivas de freqüências. Aplicações em filtros de linha acopladasão bastante atrativas, uma vez que se deseja um dispositivo que possua uma largura defaixa pequena em virtude de seu acoplamento relativamente pequeno. Jaggard et al. teminvestigado os fractais em superfícies seletivas de freqüências, bem como seu efeito deespalhamento. Puente et al. e Romeu et al. tem estudado o comportamento em fre-qüência de antenas com forma fractal. Werner et al. tem investigado as propriedadesde radiação de arranjos fractais. Com relação à teoria de antenas, antenas com formatofractal é uma área de pesquisa relativamente nova. Essas antenas apresentam compor-tamento multi-banda interessantes, com isso deve-se esperar uma antena alto-similar (aqual contém uma cópia de si mesma em várias escalas) para operar de maneira similar em

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3.5. APLICAÇÕES DA GEOMETRIA FRACTAL 25

vários comprimentos de onda, assim, a antena deverá manter características de radiaçãoatravés de várias bandas correspondentes. Várias geometrias de antenas fractais têm sidoapresentada e analisada. A exemplo a curva de Koch e a curva de Minkowski, as quaisserão utilizadas nesse trabalho em projetos de antenas patch de microfita com o intuitode evidenciar o comportamento multi-banda e sua capacidade de miniaturização quandocomparado a um patch retangular convencional. Contudo antenas quase-fractais e frac-tais relacionados à eletrodinâmica são itens em evidência relacionado à pesquisa. Outrosexemplos de aplicações envolvendo a geometria fractal:

• Antenas para redes wireless WPAN/WLAN;• Medidor de leitura automatizado, para conta de água, luz, etc.• Antenas multi-banda para aplicações em celulares, laptops, navegação, serviços de

televisão entre outros;• GPS em aplicações comerciais, por exemplo, rastreamento de automovéis e moni-

toramento em sistemas de segurança;• GPS em aplicações militares, por exemplo, sistemas de radar, captação de disposi-

tivos eletrônicos por parte do inimigo, espionagem etc.• RFID (identificador por radiofrequência) para uso em supermercados, drogarias,

lojas de departamento;

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26 CAPÍTULO 3. A GEOMETRIA FRACTAL

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Capítulo 4

Redes Neurais Artificiais

Este capítulo apresenta os principais tópicos relacionados às redes neurais artifici-ais (RNA), tais como: modelo do neurônio artificial, arquitetura multicamada de rede(MLP), que serão importantes no desenvolvimento deste trabalho, bem como os algo-ritmos de treinamento associado a essa arquitetura de rede. Em especial, dar-se-á umamaior atenção ao algoritmo de retropropagação do erro (backpropagation) e uma de suasvariantes, o resilient backpropagation, também muito utilizado no treinamento de redesneurais artificiais do tipo MLP. Este algoritmo foi um dos principais responsáveis peloressurgimento do interesse da comunidade científica em redes neurais, após um períodode grande ceticismo em relação às suas potencialidades. Apresentar-se-á também as re-des multicamadas como modelos para modelagens dos dispositivos de microondas in-vestigados nesse trabalho, além de uma discussão a respeito da importante propriedadede aproximação e generalização dos modelos propostos apresentados por esta arquiteturautilizada.

4.1 Introdução

Uma das áreas de pesquisa mais interessante no atual momento é a simulação de ca-pacidades cognitivas de um ser humano. Projetam-se máquinas capazes de exibir umcomportamento inteligente, como se fossem reações humanas. A inteligência do ser hu-mano é a mais avançada dentro do universo das criaturas e a região de localização dessainteligência é o cérebro. As entidades básicas são os neurônios, interconectados em redeso que permite a troca de informação entre eles, criando a inteligência biológica [30]− [31].Uma ambição óbvia que surge desses fatos é a tentativa de copiar a estrutura e o funciona-mento do cérebro em um ambiente técnico, isso significa que a pesquisa tenta entendero funcionamento da inteligência residente nos neurônios e mapeá-la para uma estruturaartificial, por exemplo, uma combinação de hardware e software, assim transformandoas redes neurais biológicas em redes neurais artificiais. Redes neurais artificiais têm sidoaplicadas com sucesso nos mais diversos problemas. Dentre as áreas de aplicação maiscomumente utilizadas pode-se citar: sistemas de controle, reconhecimento de padrões,aproximação de funções, além de se mostrar muito eficiente em relação aos modeloseletromagnéticos e os modelos empíricos para projeto de dispositivos de microondas.Embora existam inúmeras arquiteturas de redes neurais, a arquitetura multicamadas é,

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28 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

sem dúvida, a mais freqüentemente encontrada na literatura. Entre as razões para a suapopularidade podemos citar sua capacidade de aproximação universal e sua flexibilidadepara formar soluções de qualidade para uma ampla classe de problemas, a partir de ummesmo algoritmo de aprendizado [30]− [37].

Uma rede neural artificial é uma máquina que é projetada para modelar a maneiracomo o cérebro realiza uma tarefa particular ou função de interesse. A rede é normalmenteimplementada utilizando-se componentes eletrônicos ou é simulada por programaçãoem um computador. Para alcançarem bom desempenho, as redes neurais empregamuma interligação maciça de células computacionais simples denominadas "neurônios"ou"unidades de processamento"[30]. Em geral, os modelos neurais associam a precisão dossimuladores eletromagnéticos (modelos físicos/métodos númericos de onda completa) ea eficiência computacional, que é uma característica dos modelos empíricos [38]. Umavez treinados com um conjunto de dados apropriados os modelos neurais são computa-cionalmente eficientes em relação aos métodos eletromagnéticos e precisos em relaçãoaos métodos empíricos.

A principal função de uma rede neural é armazenar conhecimento experimental etorná-lo disponível para o uso. Ela se assemelha ao cérebro humano em dois aspectos:

• O conhecimento é adquirido pela rede a partir de seu ambiente através de um pro-cesso de aprendizagem;

• Forças de conexão entre neurônios, conhecidas como pesos sinápticos, são uti-lizadas para armazenar o conhecimento adquirido.

Basicamente uma RNA é constituída por neurônios, que são a unidades de processa-mento, e pelas sinapses que fazem a interligação entre esses neurônios. Cada interligaçãodessas apresenta um peso ou parâmetro livre associado. Este peso é usado para amplificarou atenuar o sinal que chega a conexão.

Os neurônios recebem estímulos a partir dos outros neurônios conectados a eles.Os que recebem sinais de fora da rede são chamados de neurônios de entrada, os quefornecem sinais para fora da rede são chamados neurônios de saída e os que recebemestímulos de outros neurônios são conhecidos como neurônios ocultos [30].

A utilização de redes neurais oferece as seguintes propriedades [30]:

1. Não-linearidade: Uma rede neural constituída por conexões de neurônios não-lineares é dita não-linear;

2. Mapeamento de entrada-saída: Esta propriedade é baseada diretamente na apren-dizagem supervisionada;

3. Adaptabilidade: As redes adaptam seus pesos sinápticos de acordo com modifi-cações no ambiente;

4. Informação contextual: Cada neurônio da rede é afetado pela atividade de todos osoutros neurônios da rede;

5. Tolerância à falhas: Falha em um neurônio da rede é cosiderada uma falha suaveem virtude de não prejudicar seriamente a resposta final da rede;

6. Uniformidade de análise e projeto: Por apresentarem neurônios em comum, apli-cações diversas tornam-se possíveis em redes neurais;

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4.2. ARQUITETURA DE UMA RNA 29

7. Analogia neurobiológica: A analogia com o cérebro comprova a capacidade doprocessamento paralelo e distribuído.

Todo o procedimento de aprendizagem segue etapas (algoritmo), cuja função é mo-dificar os pesos sinápticos da rede, de forma conveniente para alcançar um objetivo deprojeto desejado. Existem várias arquiteturas e algoritmos de aprendizagem para o pro-jeto de uma RNA. Nessa dissertação dar-se-á ênfase às redes sem realimentação, comalgoritmos de treinamento supervisionado e com estratégia de aprendizado por correçãode erro. Dentre as mais diversas configurações de redes alimentadas diretamente comaprendizado supervisionado, as mais conhecidas são:

• Redes perceptrons de múltiplas camadas (MLP);• Redes de funções de base radial (RBF);• Redes de funções sample (SFNN);• Redes de Fourier;• Redes wavelet;

4.2 Arquitetura de uma RNA

Geralmente um único neurônio com muitas entradas, não é suficiente para realizaruma tarefa, precisa-se portanto de mais de um neurônio operando em paralelo. Grandeparte das arquiteturas de redes neurais é formada pela organização dos neurônios em ca-madas [36]− [37]. Uma camada deve agrupar neurônios com funções ou propriedadessemelhantes. As características das arquiteturas incluem os tipos de conexões, bem comoos seus esquemas, e as configurações das camadas. Dessa forma, a maneira como umaRNA organiza seus elementos de processamento está intimamente ligada ao algoritmode treinamento associado. Três estruturas são mais comumente usadas, porém nesse tra-balho dar-se-á ênfase as redes alimentadas diretamente (Feedforward). Esse tipo de redesão atualmente as mais populares, principalmente por existirem métodos de aprendizadobastante difundidos e relativamente fácil de usar.

4.2.1 Rede Feedforward (FNN) em camada única

Nessa configurarão de rede mostrado na Figura 4.1, têm-se uma rede com duas ca-madas, sendo uma camada de entrada (nós de fonte) e uma camada de saída, que forneceráa resposta final da rede.

4.2.2 Rede Feedforward (FNN) distribuída em múltiplas camadas

O que caracteriza a rede da Figura 4.2 é a presença de uma ou mais camadas ocultasparticipando na computação no sentido direto, nesse exemplo têm-se uma rede com trêscamadas alimentada diretamente, sendo uma camada de entrada (nós de fonte), uma ca-mada de neurônios ocultos, que recebem o estímulo da camada de entrada, e por fim umacamada de saída.

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30 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

Figura 4.1: Rede FNN com uma camada de neurônios de saída.

Figura 4.2: Rede FNN com três camadas, sendo uma camada de neurônios ocultos.

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4.3. APRENDIZADO SUPERVISIONADO 31

4.2.3 Redes recorrentes

A característica principal de uma rede recorrente, Figura 4.3, é a a presença de pelomenos um laço de realimentação.

(.) (.) (.) Operadores deatraso unitário

(.)-1 -1 -1-1

Figura 4.3: Rede recorrente sem neurônios ocultos.

Uma propriedade importante das redes neurais é a sua habilidade de aprender a partirde um ambiente a qual está inserida, também conhecido como ambiente de aprendizado,e a partir daí, melhorar seu desempenho por meio da aprendizagem. Aprendizagem éum processo pelo qual os parâmetros livres de uma rede neural são adaptados atravésde um processo de estimulação pelo ambiente no qual a rede está inserida. O tipo deaprendizagem é determinado pela maneira pela qual a modificação dos parâmetros ocorre[30]. Com isso a rede é capaz de a partir de exemplos aprender a esse conjunto de dadosfornecido e principalmente, ser capaz de generalizar o conhecimento adquirido quandoativada com novos exemplos de treinamento, uma vez que esta é uma propriedade muitodifícil de se obter a partir dos mais diversos sistemas de computação convencional [30]−[34], [39].

4.3 Aprendizado supervisionado

A mais importante propriedade de uma rede neural artificial é sua capacidade deaprendizado. Uma rede neural aprende através de um processo iterativo de ajustes apli-cados aos seus pesos sinápticos e limiares, o qual pode ser expresso na forma de umalgoritmo computacional. Uma definição interessante de aprendizado é dado por [30], daseguinte forma: "O aprendizado é um processo pelo qual os parâmetros livres de uma

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32 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

rede neural são adaptados através de um processo de estímulo pelo ambiente no qual arede está inserida".

A metodologia de projeto de redes neurais utilizadas nesse trabalho é relacionado àaprendizagem supervisionada (na presença de um "professor"), em que o conhecimentodo ambiente é transmitido a rede por meio de exemplos entrada/saída. A função do "pro-fessor"durante o processo de aprendizado é suprir a rede neural com uma resposta de-sejada a um determinado estímulo apresentado pelo ambiente. A adaptação dos pesosde uma rede neural é realizada por um algoritmo de treinamento baseado no método dogradiente conforme será mostrado em seções posteriores. A Figura 4.4 ilustra o métodoconvencional (EM-ANN) para o desenvolvimento de um modelo neural, em que a rede étreinada com o intuito de minimizar o erro médio quadrático, sendo o sinal erro a dife-rença entre a resposta desejada e a saída da rede neural.

Simulaçãoou

medidas

Algoritmode

treinamento

Rede Neural

X[n] ad[n]

Ay[n]

Ae[n]

Figura 4.4: Metodologia por aprendizado supervisionado.

4.4 Modelo não-linear de um neurônio artificial

O modelo do neurônio artificial utilizado é o de McCulloch e Pitts. Um neurônio éuma unidade de processamento de informação de uma rede neural [30]. A Figura 4.5mostra o diagrama em blocos de um neurônio artificial.

Ele é constituído por um conjunto de pesos sinápticos, um somador que faz uma com-binação linear dos sinais de entrada ponderados pelas sinapses do neurônio e por fim umafunção de ativação que restringe a amplitude de saída de um neurônio. A atividade internado neurônio depende diretamente da saída do combinador acrescido de um valor de limiar

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4.4. MODELO NÃO-LINEAR DE UM NEURÔNIO ARTIFICIAL 33

Função deativação

Ax1

Awj1

AyjAwji

AwjNi

Abias

Axi

AxNi

Anetj

.

.

.

.

.

.

Figura 4.5: Modelo de um neurônio artificial.

(bias) que pode ser positivo ou negativo, utilizado para determinar o limiar de atuação domodelo.

Matematicamente um neurônio j de uma RNA com Ni entradas é expresso por:

net j =Ni

∑i=1

xiw ji +b (4.1)

y j = ϕ(net j) (4.2)

Em que, x1, x2,..., xNi são os sinais de entrada; w1, w2,..., wji são os pesos sináptico entreo neurônio i e o neurônio j; b é um valor de polarização; net j é o potencial de ativação;ϕ(.) é a função de ativação, e y j é o sinal de saída do neurônio. Várias são as funçõesde ativação a serem empregadas na formulação de um neurônio, de uma maneira geral asmais comumentes usadas são listadas na Tabela 4.1.

Função de ativação Modelo matemático

Sigmóide ϕ(x) = sig(x) = 11+exp(−x)

Tangente hiperbólica ϕ(x) = (exp(x)−exp(−x))(exp(x)+exp(−x))

Linear ϕ(x) = ax+b

Arcotangente ϕ(x) = 2πarctan(x)

Tabela 4.1: Funções de ativação comumente utilizadas.

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34 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

4.5 Rede perceptron de múltiplas camadas

Uma rede perceptron de múltiplas camadas (multilayer perceptron - MLP), comomostrado anteriormente na Figura 4.2 é constituída basicamente por neurônios distribuí-dos em distintas camadas em que cada neurônio dessas camadas está diretamente ligadoaos neurônios das camadas anteriores. A propagação dos sinais ocorre no sentido direto,ou seja, da camada de entrada para a camada de saída passando através das camadasocultas da RNA.

Nessa configuração de rede, os neurônios da primeira camada realizarão o produtointerno das entradas aplicadas (xi), com os seus respectivos pesos (wji), sendo adicionadouma polarização (b). O efeito dessa polarização é de fundamental importância quando asoma ponderada dos neurônios da camada anterior for igual a zero [30], [38]. O resultadodessa soma é o potencial de ativação, net j, que por sua vez é aplicado a uma função deativação, ϕ(net j), que normalmente é a saída final da rede ou passa a ser a entrada de umacamada posterior. As seções seguintes descreveram os métodos de treinamento de umarede MLP, a exemplo do algoritmo backpropagation e o resilient backpropagation que éum algoritmo derivado do backpropagation [35].

4.5.1 Treinamento da rede MLP

A rede perceptron de múltiplas camadas têm sido amplamente aplicado em soluçõesde diversos problemas complicados, através de um treinamento supervisionado baseadono algoritmo de retropropagação do erro (backpropagation) e suas derivações, em queesse algoritmo é baseado na regra de aprendizagem por correção de erro.

Neste tipo de rede neural existem dois tipos de sinais: os sinais funcionais e os sinaisde erro. Em linhas gerais, a aprendizagem por retropropagação do erro consiste de doispassos através das diferentes camadas da rede: um passo para frente, a propagação,seguida de um passo para trás, a retropropagação [30]. No passo para frente um vetorde entradas (sinal funcional) é aplicado aos nós sensoriais de entrada da rede e seu efeitose propaga através da rede, camada por camada. Finalmente um conjunto de saídas éproduzido como resposta real da rede. Durante a propagação, os pesos sinápticos da redeestão fixos. Durante o passo para trás, os pesos sinápticos são todos ajustados de acordocom uma regra de correção de erro. Especificamente, a resposta desejada imposta pelo"professor"é subtraída da resposta real da rede, produzindo assim um sinal de erro. Estesinal de erro é então propagado para trás através da rede, contra a direção das conexõessinápticas. Os pesos sinápticos são ajustados de forma que a resposta real da rede seaproxime ao máximo da resposta desejada. A Figura 4.6 mostra uma parte de uma RNAcom uma configuração alimentada diretamente e com os dois tipos de sinais, ou seja, apropagação para frente dos sinais funcionais e a retropropagação dos sinais de erro.

Considere uma rede constituída por três camadas, sendo uma camada de neurôniosocultos, conforme ilustra a Figura 4.7. Matematicamente o processamento do sinal rea-

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4.5. REDE PERCEPTRON DE MÚLTIPLAS CAMADAS 35

Asinais funcionais

Asinais de erro

Figura 4.6: Propagação e retropropagação dos sinais.

lizado em uma rede MLP como a da Figura 4.7 é dado por:

net j(n) =Ni

∑i=0

wji(n)xi(n), j = 1,2, ...,Nh (4.3)

y j(n) = ϕ j(net j(n)) (4.4)

netk(n) =Nh

∑j=0

wk j(n)y j(n), k = 1,2, ...,Ns (4.5)

yk(n) = ϕk(netk(n)) (4.6)

Em que, wji é o peso entre os neurônios i e j; wk j é peso entre os neurônios j e k; xi,y j e yk são os sinais de saída dos neurônios das camadas de entrada, oculta e de saídarespectivamente; ϕ j e ϕk são as funções de ativação das camadas oculta e de saída.

Os neurônios não lineares da rede MLP são definidos por uma função de ativaçãosigmóide, ver Figura 4.8. Particularmente utiliza-se a função logística, dada por:

ϕ(net) =1

1+ exp(−net)(4.7)

Quanto à generalização de uma rede neural para um vetor de dados de entrada qual-quer, diz-se que ela é capaz de generalizar bem, quando o mapeamento de entrada/saídacomputado pela rede for correto ou aproximadamente correto [30], [32]−33]. Uma redeneural é projetada para generalizar bem, produzindo um mapeamento de entrada/saídacorreto, mesmo quando a entrada for um pouco diferente dos exemplos utilizados no

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36 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

......

......

ayNh

Ayj

Ay2

Ay1Ax =+10

Ay =+10

Ax1

Awji AwkjAxi

AxNi

Ay1

Ayk

AyNs

Figura 4.7: Modelo de uma rede MLP com três camadas sendo uma camada de neurôniosocultos.

Figura 4.8: Função de ativação sigmóide com diferentes inclinações.

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4.5. REDE PERCEPTRON DE MÚLTIPLAS CAMADAS 37

treinamento. Esta capacidade de generalização que as redes neurais apresentam, estãodiretamente ligado as condições de treinamento da rede que podem ser classificadas emoverlearning e underlearning.

No processo de overlearning a rede memoriza os dados de treinamento, mas não ge-neraliza corretamente. Neste caso o erro de treinamento é pequeno, mas o erro de va-lidação é maior em relação ao erro de treinamento. O razão para tal acontecimento estádiretamente ligado ao excesso de neurônios ocultos na rede ou dados de treinamento in-suficientes.

Para o caso de underlearning, a rede encontra dificuldade de aprendizado logo notreinamento. Tal fenômeno ocorre provavelmente devido a um número de neurônios in-suficientes nas camadas ocultas, poucos dados de treinamento ou ainda a aprendizagemficou retida em um mínimo local. Três possíveis soluções para esse fenômeno seriam:adicionar mais neurônios ocultos ao projeto da rede, treinar a rede por um período detempo maior e modificar a matriz de pesos com o intuito de "escapar"de algum mínimolocal.

4.5.2 Algoritmo de retropropagação do erro (Backpropagation)

A rede neural mais simples e mais utilizada é a rede MLP treinada com o algoritmobackpropagation [34]. Surgiu pela primeira vez por Werbos em 1974 e durante um tempoficou esquecida da comunidade científica. O seu auge aconteceu durante a década de 80com várias publicações importantes, uma delas foi a de Rumelhart et al (1986).

Devido à natureza não-linear dos neurônios da rede MLP é necessário um conheci-mento prévio das relações de entrada/saída para um treinamento adequado da rede. Con-sidere uma arquitetura de rede conforme ilustrado pela Figura 4.7, um vetor de dados deentrada dado por x = [x0,x1, ...,xNi], o vetor de reposta desejada é d = [d1,d2,d3, ...,dk].O objetivo a ser alcançado no treinamento é que a resposta da rede y = [y1,y2,y3, ...,yk],seja o mais próximo possível do vetor de resposta desejada. Na iteração n, onde o n-ésimopadrão de treinamento é apresentado rede, o sinal de erro na saída da rede é dado por:

e[n] = d[n]− y[n] (4.8)

O valor instantâneo do erro quadrático para o neurônio k é definido por 12e2

k [n]. Asoma de todos os valores instantâneo da energia do erro de todos os neurônios da camadade saída resulta no valor E[n] da energia total do erro, dado por:

E[n] =1

2Ns

Ns

∑k=1

[ek(n)]2 (4.9)

Em que, Ns é o número total de saídas da rede. A energia média quadrática do erro, MSE,é obtida somando-se os E[n] para todas as iterações no final de todas as épocas (t) detreinamento e então normalizando em relação ao número total de exemplos, sendo dadopor 4.10.

MSE =1N

N

∑n=1

E[n] (4.10)

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38 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

Em que, N é o numero total de exemplos de treinamento. A energia média do erro MSE,é uma função de todos os parâmetros livres da rede, em que os pesos sinápticos da redesão ajustados a cada processo de otimização. Uma época de treinamento corresponde aotempo necessário para a apresentação de todos os exemplos de treinamento à rede neural.

Como dito anteriormente, o método de otimização dos pesos de uma rede MLP uti-lizado nesse trabalho é o método do gradiente. O ajuste a ser feito no peso é no sentidooposto ao do vetor gradiente. O gradiente em relação a um peso qualquer da rede é dadopor:

∇E[n]

∣∣∣∣w

=∂E[n]

∂w[n]=

∂E∂w

n (4.11)

Os pesos da rede são adaptados interativamente e em sentido oposto ao do vetor gradiente.Essa expressão é baseada na seguinte relação recursiva 4.12.

w[n] = w[n−1]−η∇E(w[n−1]) (4.12)

Em que, η é o parâmetro taxa de aprendizado. O η se encontra no intervalo 0 < η < 1 enormalmente é um parâmetro difícil de se estabelecer para um perfeito funcionamento darede. Uma escolha de η muito baixo faz o treinamento cair em mínimos locais, por suavez, uma escolha de η muito alto impossibilita a convergência. Jacobs identificou duascausas para tais comportamento [38], [40]:

1. Quando a superfície de erro (E) apresentar uma variação pequena (região flat) comrelação a um dado peso, sua derivada terá uma magnitude pequena e conseqüente-mente o ajuste será pequeno requerendo muitas iterações para a convergência. Se avariação for elevada (região Sharp), o gradiente e o ajuste também serão elevadosacarretando numa ultrapassagem pelo mínimo da superfície de erro.

2. O vetor oposto ao vetor gradiente pode apontar para longe do mínimo da superfíciede erro, fazendo com que os ajustes ocorram numa direção ruim.

A Figura 4.9 exemplifica os possíveis problemas devido a uma má escolha da taxade aprendizagem e a influência direta da magnitude das derivadas na convergência doalgoritmo.

Diante de tal dificuldade em garantir a estabilidade do aprendizado, uma idéia alterna-tiva para reduzir as oscilações dos pesos durante o treinamento da rede MLP, é a inclusãodo termo momento, dado por 4.13.

w[n] = w[n−1]−η∇E(w[n−1])+αΔw[n−1] (4.13)

Em que, o termo momento α, controla a influência do ajuste anterior sobre o ajuste atualdos pesos. Observa-se que apesar de ser bem aplicada em muitas tarefas de aprendizado,esta não é uma técnica geral para ganhos de estabilidade e aceleração da convergência. Émuito comum o uso conjunto do método do gradiente e o termo momento com o intuitode reduzir a taxa de aprendizagem para evitar possíveis instabilidade no treinamento [38].

A solução da equação 4.12 aplicada a uma rede MLP resulta nas seguintes relaçõespara ajuste dos pesos, equações 4.14 e 4.15.

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4.5. REDE PERCEPTRON DE MÚLTIPLAS CAMADAS 39

Figura 4.9: Influência da magnitude das derivadas e da taxa de aprendizagem na con-vergência do algoritmo de treinamento.

wk j[n+1] = wk j[n]+ηek[n]ϕ,ky j[n] (4.14)

wji[n+1] = wji[n]+ηek[n]ϕ,kwk jϕ

,jyi[n] (4.15)

Em que, ϕ,j e ϕ,

k são as derivadas de primeira ordem das funções de ativação da rede MLP.

4.5.3 Algoritmo Resilient backpropagation - RPROP

Criado visando suprir as limitações do algoritmo backpropagation, o algoritmo Rpropé uma das inúmeras variações do backpropagation e caracteriza-se por uma taxa de apren-dizagem adaptativa e individual para cada peso da rede, uma vez que ele elimina a influên-cia prejudicial das derivadas parciais do vetor gradiente na otimização dos pesos em umarede MLP diretamente da informação do gradiente local [35]. O resultado desse efeitoé que o esforço de adaptação não é influênciado pelo comportamento imprevisível dogradiente. Portanto, apenas o sinal do gradiente é considerado no ajuste dos parâmetroslivres. A atualização no Rprop é realizada por época de treinamento, cada peso da rede éatualizado de forma individual, equações 4.16-4.18.

w(t+1)ji = w(t)

ji +Δw(t)ji (4.16)

Δw(t)ji =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−Δ(t)ji , se ∂E

∂w ji

(t)> 0

+Δ(t)ji , se ∂E

∂w ji

(t)< 0

0 , c.c

(4.17)

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40 CAPÍTULO 4. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

Δ(t)ji =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

η+ ∗Δ(t−1)ji , se ∂E

∂w ji

(t) ∗ ∂E∂w ji

(t−1)> 0

η− ∗Δ(t−1)ji , se ∂E

∂w ji

(t) ∗ ∂E∂w ji

(t−1)< 0

Δ(t−1)ji , c.c

(4.18)

Em que, E é o erro médio quadrático; t representa uma época de treinamento; η+ = 1.2 eη− = 0.5 são constantes obtidas empiricamente [35].

Inicialmente pode-se considerar os valores de ajuste iguais a Δ0, que é um dos parâme-tros do Rprop. Uma vez que Δ0 determina diretamente a amplitude do primeiro ajuste dospesos, ele pode ser escolhido de acordo com a magnitude dos pesos iniciais, a exemploΔ0 = 0.1. A escolha deste valor de parâmetro não é considerada crítica, uma vez que seuvalor é adaptado enquanto o treinamento se realiza [35], [38].

Segundo essa regra de aprendizagem, quando a derivada parcial do erro em relaçãoao peso wji muda de sinal, significa que a última atualização foi alta demais e portanto oalgoritmo saltou o mínimo local, dessa forma o valor de adaptação ou de atualização (Δ ji)é decrescido por um fator de η−. Para a situação em que o sinal da derivada permaneça omesmo, o valor de atualização é incrementado com a finalidade de elevar a convergência[35].

Depois de realizada a atualização, cada peso é atualizado da seguinte forma: Se aderivada do erro for positiva, o peso será reduzido pelo seu valor de atualização, por suavez, caso a derivada do erro seja negativa, o valor de atualização é negativo.

Em treinamento de redes do tipo MLP com o algoritmo Rprop, deve-se evitar umavariação excessiva dos pesos, para isso estabeleceu-se um valor máximo de ajuste emΔmax = 50, uma vez que a dependência do algoritmo com relação a esse parâmetro émínima [35], [38]. Em relação ao algoritmo backpropagation, o Rprop apresenta umpequeno aumento no custo computacional.

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Capítulo 5

Resultados e Estrutura das AntenasPropostas

5.1 Introdução

Este capítulo traz os resultados experimentais referente a este trabalho. Baseado nosconceitos discutidos em capítulos anteriores, inicialmente foi realizada uma série de si-mulações referente aos dispositivos de microondas proposto, em que foi utilizado o soft-ware Ansoft Designer que implementa o método dos momentos para resolução dos cam-pos eletromagnéticos associados. Com o intuito de validar os resultados obtidos, algunsprotótipos foram construídos e medidos. O equipamento utilizado nas medições foi oanalisador de rede vetorial modelo N5230A.

5.2 Resultados Simulados e Experimentais

As antenas em microfita abordadas consistem de um elemento radiante tipo patch,montado sobre uma camada dielétrica isotrópica e sobre o plano terra. O substrato dielétricousado é a fibra de vidro (FR-4), com 1,5 mm de espessura e uma permissividade relativade 4,4. Para a alimentação da antena, um cabo coaxial de 50 Ω é conectado a linha demicrofita via um conector SMA. As antenas com contornos fractais foram construídas apartir de um retângulo com a curva de Koch e a curva de Minkowski aplicada a cada con-torno não-radiante e ao contorno radiante, oposto à porta de entrada da antena inset-fedpatch. Portanto, os contornos fractais são aplicados a três lados da antena, ao quarto ladofica reservado à alimentação e a aplicação dos insets, cuja finalidade é o casamento deimpedâncias. O projeto tem início com um patch retangular de comprimento L, larguraW , e dois insets idênticos de comprimento yo e largura xo, que corresponde à antenafractal de nível 0. Estes parâmetros geométricos estão indicados na Figura 2.1.

Três foram os tipos de contorno fractal aplicados às antenas patch, são eles: As curvasde Koch retangular, Koch triangular e a curva de Minkowski. As respectivas antenas pro-postas com contornos fractais estão ilustradas na Figura 5.1 sendo designadas como: A0(patch retangular inset-fed nível 0), KR1 e KR2 (antena patch Koch retangular nível 1 e 2respectivamente), KT1 e KT2 (antena patch Koch triangular nível 1 e 2 respectivamente),M1 e M2 (antena patch Minkowski nível 1 e 2 respectivamente). As suas respectivas

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42 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

dimensões estão em milímetros. Para maximizar o efeito de miniaturização das antenaspropostas, os seguintes fatores de iteração foram aplicados à antena patch retangular parageração das antenas patches quase-fractais propostas: (i) 1/3 em L e 1/4 em W para ge-ração da antena patch fractal Koch retangular; (ii) 1/3 em L e 1/3 em W para geração daantena patch fractal Koch triangular; (iii) 1/4 em L e 1/4 em W para geração da antenapatch fractal Minkowski. Contudo, devido às limitações impostas na etapa de fabricação,apenas duas iterações fractais são consideradas nesta abordagem.

Os efeitos dos diferentes elementos radiantes fractais sobre o desempenho das antenassão caracterizados. Para efetuar este estudo, a ferramenta de análise de onda completaAnsoft Designer foi utilizada. Além de uma antena inset-fed patch retangular projetadapara 2,45 GHz, seis elementos fractais diferentes foram considerados. Os resultados sãousados para reduzir as dimensões das antenas.

Os resultados obtidos para a perda de retorno (S11) fornecem a freqüência de ressonân-cia (Fr) e a largura de banda (BW ) de cada antena fractal, permitindo o cálculo do fator decompressão de freqüência (CF), que é um parâmetro relacionado a capacidade de minia-turização da antena, podendo ser calculado pela equação 5.1.

CF = (Fr(GHz)/2,45(GHz))×100% (5.1)

A partir destes resultados, pode-se observar que a antena quase-fractal de Minkowskinível 2 (M2) apresentou maior fator de compressão, quando comparada às antenas quase-fractais retangulares e triangulares. Contudo, em relação à antena de nível 0, com umalargura de banda de 60 MHz, a análise feita indicou que a aplicação dos contornos fractaisprovoca uma redução da largura de banda.

Após uma série de simulações, alguns protótipos foram construídos e medidos com afinalidade de validar os resultados simulados. O equipamento utilizado nas medições foio analisador de rede vetorial modelo N5230A. A Figura 5.2 apresenta uma foto ilustrativade alguns protótipos fabricados com 100, 75 e 50% de suas dimensões físicas. As Figuras5.3 - 5.6 apresentam uma comparação entre os resultados obtidos por simulação e mediçãopara a perda de retorno das antenas projetadas, cujas dimensões encontram-se ilustradasna Figura 5.1. Em geral, obteve-se boa concordância entre os resultados simulados emedidos. Também se pode constatar que houve um bom casamento de impedância paraessas estruturas em virtude das baixas perdas de retorno obtidas. As pequenas diferençasentre os valores medidos e simulados podem ser atribuídas ao processo de fabricação dasantenas. Estes resultados são resumidos na Tabela 5.1 e 5.2 respectivamente.

As Figuras 5.7 e 5.8 apresentam respectivamente as curvas referente aos valores si-mulados da freqüência de ressonância em função das dimensões de cada antena e do nívelfractal utilizado para as antenas de Koch retangular, Koch triangular e Minkowski, res-pectivamente. Os resultados medidos também são sobrepostos a estas curvas. A boa con-cordância entre os resultados simulados e medidos apontam para a validação da metodolo-gia de projeto/otimização utilizada, bem como, dos procedimentos experimentais realiza-dos durante a medição das antenas.

Com base nestes resultados preliminares, as dimensões das antenas quase-fractais deníveis 1 e 2 foram reduzidas usando os fatores de compressão de freqüência obtidos. Osresultados medidos pelo analisador de rede vetorial para a perda de retorno das estruturas

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 43

29.09

37

.34

37

.34

7.84

8.71

4.66

2.43

1.82

9.70

16.22

9.3

0

12

.41

4.6

5

2.3

3

3.1

0

17.09

2.87

2.87

3.23

29.09

29.09

29.09

29.09

29.0929.09

14.52

6.19

37

.34

37

.34

37

.34

37

.34

37

.34

8.09

8.11

3.24

9.70 7.27

12

.41

9.3

1

16.47 11.78

16.49

2.87

2.87

2.87

2.87

3.4

11.822.87

3.44

A0

K K

K K

R1

R2

T1

T2M2

M1

Figura 5.1: Antenas inset-fed patch com contornos fractais de níveis 0, 1 e 2: Kochretangular, Koch triangular e Minkowski.

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44 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

Figura 5.2: Protótipos fabricados: antena inset-fed patch geradora (nível 0) e antenasquase-fractais de níveis 1 e 2, com dimensões de 100, 75 e 50%.

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 45

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0P

erd

a d

e R

eto

rno

, (d

B)

Freqüência Ressonante, (GHz)

A0 medidoA0 simulado

Figura 5.3: Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno daantena geradora tipo inset-fed patch retangular (nível 0).

1 1.5 2 2.5−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

KR1 medido

KR1 simulado

KR2 medido

KR2 simulado

Figura 5.4: Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno dasantenas tipo patch de Koch retangular (níveis 1 e 2).

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46 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

KT1 medido

KT1 simulado

KT2 medido

KT2 simulado

Figura 5.5: Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno dasantenas tipo patch de Koch triangular (níveis 1 e 2).

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

M1 medido

M1 simulado

M2 medido

M2 simulado

Figura 5.6: Comparação entre os valores simulados e medidos da perda de retorno dasantenas tipo patch de Minkowski (níveis 1 e 2).

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 47

Antenas Fr, (GHz) BW, (MHz) S11, (dB) CF, (%)

A0 2,45 60 −47 −KR1 1,78 29 −28,7 27,3KR2 1,45 21 −24,5 40,8KT1 1,81 29 −27,5 26,1KT2 1,75 27 −30,8 28,6M1 1,62 26 −30,05 33,9M2 1,42 21 −32,81 42

Tabela 5.1: Resultados de simulação para as antenas patches quase-fractais projetadas.

Antenas Fr, (GHz) BW, (MHz) S11, (dB) CF, (%)

A0 2,46 76 −33 −KR1 1,79 30 −36,4 26,9KR2 1,45 23 −43,4 40,8KT1 1,84 35 −42 24,9KT2 1,78 30 −50,7 27,3M1 1,62 26 −54,6 33,9M2 1,42 23 −43 42

Tabela 5.2: Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais projetadas.

50 60 70 80 90 1001

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tamanho da Antena (%)

Fre

ênci

a R

esso

nan

te, (

GH

z)

MoMA0KT1KR1M1Medido

Figura 5.7: Freqüência de ressonância em função das dimensões das antenas quase-fractais de nível 1.

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48 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

50 60 70 80 90 1001

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tamanho da Antena (%)

Fre

ênci

a R

esso

nan

te, (

GH

z)

MoMA0KT2KR2M2Medido

Figura 5.8: Freqüência de ressonância em função das dimensões das antenas quase-fractais de nível 2.

quase-fractais de nível 1 redimensionadas para a freqüência de 2,45 GHz, são mostradosna Figura 5.9. Observa-se uma boa concordância entre os resultados obtidos para a fre-qüência de 2,45 GHz. Também se observa um bom casamento de impedâncias para essasestruturas, onde as perdas de retorno se mostraram <−30 dB. Os resultados se encontramresumidos na Tabela 5.3.

Antenas Fr,(GHz) BW,(MHz) S11,(dB)

A0 2,46 76 −33,0KR1 2,44 40 −48,78KT1 2,435 41 −43,08M1 2,41 38 −33,43

Tabela 5.3: Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais nível 1 redimen-sionadas.

A Figura 5.10 apresenta os resultados medidos para a perda de retorno das estruturasquase-fractais de nível 2 redimensionadas para a freqüência de 2,45 GHz. Novamentese observa uma boa concordância entre os resultados obtidos e um bom casamento deimpedância para essas estruturas. Esses resultados encontram-se resumidos na Tabela5.4.

Para ilustrar o bom casamento de impedâncias obtido com o uso da técnica inset-fed para os resultados mostrados nas Figuras 5.9 e 5.10 anteriores, as cartas de Smith dasFiguras 5.11 - 5.17 apresentam os valores das impedâncias de entrada medidas das antenas

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 49

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

A0 redimensionadoKR1 redimensionadoKT1 redimensionadoM1 redimensionado

Figura 5.9: Valores medidos da perda de retorno das antenas quase-fractais de nível 1redimensionadas.

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

A0 redimensionadoKR2 redimensionadoKT2 redimensionadoM2 redimensionado

Figura 5.10: Valores medidos da perda de retorno das antenas quase-fractais de nível 2redimensionadas.

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50 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

Antenas Fr,(GHz BW,(MHz) S11,(dB)

A0 2,46 76 −33,0KR2 2,422 45 −30,19KT2 2,448 39 −31,29M2 2,443 37 −26,58

Tabela 5.4: Resultados medidos para as antenas patches quase-fractais nível 2 redimen-sionadas.

patches quase-fractais de nível 1 e 2 com contornos de Koch retangular, Koch triangulare Minkowski, respectivamente, numa faixa de freqüência que varia de 2,30−2,601 GHz.

Ch1: start 2.40 GHzh stop 2.52 GHzh

1: 2.465 GHz50.68 Ω

39.63 pH614.0 mΩ

1

Figura 5.11: Gráfico da impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antenaA0.

A Figura 5.18 mostra os resultados obtidos por simulação dos diagramas de radiação3D das antenas patch quase-fractais de níveis 1 e 2 redimensionadas. Observa-se queesses diagramas mostraram-se similares ao de uma antena patch retangular convencional,em que o máximo da concentração de energia no campo distante ilustrada no diagramaocorre na direção perpendicular ao elemento irradiante (broadside). As Figuras 5.19 -5.25 ilustram respectivamente os resultados medidos para os diagramas de radiação re-ferente ao plano H para antenas A0, KR1, KR2, KT1, KT2, M1 e M2 redimensionadasem comparação com os seus respectivos resultados simulados para o diagrama de radi-ação. O campo elétrico total para o resultado medido é plotado normalizado com relaçãoao maior valor do campo para cada antena em questão. Quando comparado ao patch re-tangular convencional (antena A0), as antenas quase-fractais apresentaram características

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 51

Ch1: start 2.410 GHzh

stop 2.458 GHzh

1: 2.440 GHz49.67 Ω

1

453.1 pH-144.4 mΩ

Figura 5.12: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractalKR1 redimensionado.

Ch1: start 2.390 GHzh

stop 2.458 GHzh

1: 2.422 GHz49.21 Ω

1

28.08 pH-2.340 mΩ

Figura 5.13: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractalKR2 redimensionado.

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52 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

Ch1: start 2.300 GHzh

stop 2.601 GHzh

1: 2.436 GHz48.34 Ω

1

58.68 pH-1.116 mΩ

Figura 5.14: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractalKT1 redimensionado.

Ch1: start 2.380 GHzh stop 2.550 GHzh

1: 2.449 GHz46.70 Ω

1

138.8 pH-469.3 mΩ

Figura 5.15: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractalKT2 redimensionado.

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 53

Ch1: start 2.370 GHzh

stop 2.430 GHzh

1: 2.409 GHz50.32 Ω

1

47.90 pH-1.379 mΩ

Figura 5.16: Impedância de entrada traçada na carta de Smith para a antena quase-fractalM1 redimensionado.

Ch1: start 2.400 GHzh

stop 2.480 GHzh

1: 2.443 GHz46.32 Ω

1

17.43 pH-3.738 mΩ

Figura 5.17: Impedância de entrada traçados na carta de Smith para a antena quase-fractalM2 redimensionado.

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54 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

de radiação bastante semelhantes, observando-se pouca degradação em seu diagrama deradiação medido, ver Figuras 5.26 e 5.27. Esses resultados comprovam que as antenasprojetadas com elementos fractais podem muito bem substituir um patch retangular paraa freqüência investigada sem degradar sua performa-se, além de se conseguir dimensõesmenores.

A Figura 5.28 apresenta os resultados de simulação das distribuições de corrente noselementos irradiantes das antenas quase-fractais de níveis 1 e 2 redimensionadas.

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 55

Figura 5.18: Diagramas de radiação 3D das antenas quase-fractais níveis 1 e 2 redimen-sionadas em comparação com a antena A0.

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56 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

Figura 5.19: Diagrama de radiação medido em 2,46 GHz para a antena A0, plano H, emcomparação com o diagrama de radiação simulado.

Figura 5.20: Diagrama de radiação medido em 2,44 GHz para a antena KR1 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado.

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 57

Figura 5.21: Diagrama de radiação medido em 2,422 GHz para a antena KR2 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado.

Figura 5.22: Diagrama de radiação medido em 2,435 GHz para a antena KT1 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado.

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58 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

Figura 5.23: Diagrama de radiação medido em 2,448 GHz para a antena KT2 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado.

Figura 5.24: Diagrama de radiação medido em 2,409 GHz para a antena M1 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado.

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 59

Figura 5.25: Diagrama de radiação medido em 2,443 GHz para a antena M2 redimen-sionada, plano H, em comparação com o diagrama de radiação simulado.

Figura 5.26: Comparação entre os diagramas de radiação medido das antenas: A0, KR1,KT1 e M1, plano H.

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60 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

Figura 5.27: Comparação entre os diagramas de radiação medido das antenas: A0, KR2,KT2 e M2, plano H.

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5.2. RESULTADOS SIMULADOS E EXPERIMENTAIS 61

Figura 5.28: Distribuição de corrente nas antenas quase-fractais de níveis 1 e 2 redimen-sionadas.

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62 CAPÍTULO 5. RESULTADOS E ESTRUTURA DAS ANTENAS PROPOSTAS

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Capítulo 6

Modelagem Utilizando Redes NeuraisArtificiais

6.1 Introdução

Este capítulo mostrará as implementações referentes as redes neurais artificiais, emque foi utilizado o algoritmo Resilient Backpropagation, sendo este uma variante do al-goritmo Backpropagation. A simulações de redes neurais foram implementadas em MAT-LAB 7. Os resultados foram gerados em um computador Mobile AMD Sempron 3400+com 1 Gb de memória RAM. As estruturas modeladas são antenas patches quase-fractais.Uma vez treinada adequadamente, as redes mostrar-se-á bastante eficaz na resolução deproblemas de difícil tratamento matemático.

6.2 Modelos Neurais de Antenas Patches Quase-Fractais

Na análise dos mais diversos parâmetro eletromagnéticos associados a antenas de mi-crofita, optou-se por utilizar valores medidos pelo analisador de rede vetorial, além de va-lores simulados em software que implementa o método dos momentos para o treinamentodas redes neurais artificiais. Os principais parâmetros relacionados ao projeto de uma an-tena patch em microfita, bem como as geometrias das estruturas propostas é mostrado naFigura 5.1. O objetivo principal do modelamento desenvolvido neste trabalho é verificar ainfluência de alguns parâmetros da estrutura no comportamento da resposta final e a par-tir desses dados treinar uma rede neural artificial, para que essa seja capaz de predizer aresposta da estrutura em função da mudança do parâmetro estudado, dentro de uma deter-minada região de interesse. Em todas as modelagens de antenas quase-fractais que serãoapresentados, o algoritmo utilizado foi o Resilient Backpropagation para treinamento dasredes Multilayer Perceptron (MLP).

6.2.1 Modelagem neural da antena KR1

Modelagem do parâmetro |S11|Nesse primeiro exemplo, para o treinamento da rede optou-se por utilizar dados medi-

dos ao invés dos dados simulados em software. Este último foi utilizado para comparação

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64 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

e validação do modelo neural proposto. Para isso, foram construídos quatro protótiposde antenas com as características especificadas na Tabela 6.1. Para cada antena foramseparados 100 valores medidos referentes ao parâmetro de espalhamento |S11| em funçãoda freqüência. Para o treinamento de uma rede MLP com duas camadas ocultas com30 neurônios cada, foram utilizados os dados da antena referente a y0=[7,2 ;7,5 ;8,15],conforme ilustra a Figura 6.1.

Comprimento do patch L = 29,094 mmLargura do patch W = 37,2343 mm

Comprimento do inset para KR1 y0=[7,2 ;7,5 ;7,84 e 8,15] mmComprimento do inset para KR2 y0=[8,2 ;8,45 ;8,71 e 9,0] mmComprimento do inset para KT1 y0=[7,4 ;7,71 ;8,085 e 8,4] mmComprimento do inset para KT2 y0=[7,49 ;7,8 ;8,105 e 8,40] mmComprimento do inset para M1 y0=[2,78 ;3,1 ;3,4 e 3,7] mmComprimento do inset para M2 y0=[2,78 ;3,12 ;3,435 e 3,75] mm

Comprimento da linha de alimentação L0 = 8,3803 mmEspessura do substrato h = 1,50 mm

Permissividade elétrica do substrato εr = 4,4Largura da linha de alimentação w0 = 2,8707 mm

Largura do inset x0 = 2,8707 mm

Tabela 6.1: Parâmetros das antenas patches quase-fractais de nível 1 e nível 2.

Na Figura 6.1, se observa que a principal influência na variação do y0 é com re-lação a perda de retorno da estrutura analisada, dessa forma preservando a freqüênciade ressonância em torno de 1,79 GHz. Para o treinamento dessa estrutura, foi utilizadauma rede MLP treinada com o algoritmo RPROP, com duas entradas: a primeira comrelação a freqüência de operação e a segunda com relação ao valor de y0. A Figura 6.2mostra a evolução durante a fase de treinamento para 10000 épocas. Para um conjuntode valores que não foi utilizado durante a fase de treinamento, a rede apresenta o resul-tado mostrado na Figura 6.3 , nesse caso o valor de y0 = 7,84 mm. Pode-se notar umaexcelente concordância dos dados simulados pela rede com os dados medidos, validandoassim o método utilizado, é importante notar que o resultado da rede não foi afetado nega-tivamente pelo conjunto de treinamento que apresenta alguns padrões que não se repetiamem todas as estruturas como é possível verificar na Figura 6.1.

6.2.2 Modelagem neural da antena KR2

Modelagem do parâmetro |S11|Para a modelagem dessa estrutura, foram construídos e medidos quatro protótipos de

antenas, com as suas características mostradas na Tabela 6.1, das quais três dessas com100 amostras cada foram utilizadas no treinamento da rede MLP (ver Figura 6.4) pormeio do algoritmo RPROP com duas entradas: uma referente à freqüência de operação ea outra referente ao parâmetro y0. Para isso utilizou-se uma rede MLP com duas camadas

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6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 65

1.5 2 2.5 3 3.5 4−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0P

erd

a d

e R

eto

rno

, (d

B)

Freqüência Ressonante, (GHz)

KR1 (yo=7.2mm)

KR1 (yo=7.5mm)

KR1 (yo=8.15mm)

Figura 6.1: Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KR1.

Épocas

Err

om

édio

quad

rátic

o

Figura 6.2: Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KR1.

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66 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

1.5 2 2.5 3 3.5 4−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Freqüência Ressonante, (GHz)

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

ANN

HP 8757D

Simulado

Figura 6.3: Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 7,84 mm).

ocultas, cada uma com 40 neurônios e um nó de saída referente ao parâmetro |S11| a sermodelado. Pela Figura 6.4, novamente se observa que a principal influência na variaçãodo y0 é com relação a perda de retorno da estrutura analisada, em que se observa tambémuma mínima discordância na segunda ressonância, onde a primeira se manteve preservadaem torno de 1,45 GHz. A Figura 6.5 mostra a evolução durante a fase de treinamento para10000 épocas. Com o término do processo de treinamento decorridas 10000 épocas, aresposta da rede ao padrão de y0 = 8,71 mm não utilizado no treinamento é visualizada naFigura 6.6. Novamente se observa uma excelente concordância entre a resposta fornecidapela rede em comparação com o resultado medido e simulado, validando assim o modeloneural utilizado.

Modelagem do parâmetro Inset-Fed

Para a modelagem desse parâmetro, foram utilizados valores simulados da estruturaKR2 obtido por um simulador de onda completa, que implementa o método dos mo-mentos. Para o treinamento, foi utilizada uma RNA com três neurônios de entrada, umacamada oculta com quinze neurônios, e um neurônio de saída. A Tabela 6.2 resume osparâmetros elétricos dessa estrutura simulados pela rede neural.

Para o treinamento da rede são utilizados os resultados referentes a h = [1,5; 3,0;4,5; 6,0; 7,5; 9,0 e 10,5] mm, com uma amostragem de 4 pontos para cada valor de h,totalizando 28 pontos como conjunto de treinamento. A Figura 6.7 mostra a evolução doaprendizado durante a fase de treinamento para 10000 épocas. Observa-se também quenão houve maior dificuldade de aprendizado pela rede neural, constatado pelo comporta-

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6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 67

1 1.5 2 2.5 3 3.5−30

−25

−20

−15

−10

−5

0P

erd

a d

e R

eto

rno

, (d

B)

Freqüência Ressonante, (GHz)

KR2 (yo=8.2mm)

KR2 (yo=8.45mm)

KR2 (yo=9.0mm)

Figura 6.4: Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KR2.

Épocas

Err

om

édio

quad

rátic

o

Figura 6.5: Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KR2.

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68 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

1 1.5 2 2.5 3 3.5−30

−25

−20

−15

−10

−5

0P

erd

a d

e R

eto

rno

, (d

B)

Freqüência Ressonante, (GHz)

ANN

HP 8757D

Simulado

Figura 6.6: Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 8,71 mm).

mento suave da curva que constitui o conjunto de treinamento. A Figura 6.8 apresenta aresposta encontrada pela rede após o treinamento tanto para os valores utilizados duranteo processo de aprendizagem, como para valores não treinados pela rede. A variação doparâmetro h, apresentou pouca influência no comprimento do inset-fed, em que se consta-tou pela pouca variação e pelo comportamento suave das curvas ilustradas na Figura 6.8.Observa-se também uma tendência de elevação do comprimento do inset-fed, seguida deum pequeno declínio em seu comprimento a partir de um h = 7,5 mm. Como ilustrado naFigura 6.8 através dos dados apresentados, o modelo neural aplicado nesse estudo foi ca-paz de extrair e aprender o padrão de variação, tanto da espessura do substrato quanto dasdimensões da antena. O erro de treinamento apresentado na Figura 6.7 apresentou inicial-mente um rápido declínio e uma tendência de estabilização no decorrer do treinamentoapesar de apresentar pequenas flutuações entre uma época e outra.

Comprimento do patch L = 29,094 mmLargura do patch W = 37,2343 mm

Comprimento da linha de alimentação L0 = 8,3803 mmLargura da linha de alimentação w0 = 2,8707 mm

Permissividade elétrica do substrato εr = 4,4Espessura do substrato h=[1,5; 3,0; 4,5; 6,0; 7,5; 9,0; 10,5] mm

Tamanho da antena A(%)=[100; 90; 75; 60; 50]

Tabela 6.2: Parâmetros das antenas patches quase-fractais de nível 2.

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6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 69

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1000010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Épocas

Err

o m

édio

qua

drát

ico

Figura 6.7: Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro y0 da antena KR2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

10

12

Espessura do Substrato (mm)

Inse

t−F

ed (

mm

)

Dados TreinoDados TesteRNA InterpolaçãoRNA Generalização

Figura 6.8: Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro y0 daantena KR2.

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70 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

Modelagem do parâmetro Largura de Banda

Para a modelagem desse parâmetro, novamente foram utilizados valores simulados daestrutura KR2 obtido por um simulador de onda completa, que implementa o método dosmomentos. Para a modelagem desse parâmetro, variou-se a espessura do substrato bemcomo as dimensões da antena, conforme os parâmetros mostrados na Tabela 6.2. Na fasede treinamento da rede neural artificial, foram utilizados 7 pontos por curva, totalizando28 pontos como conjunto de treinamento da rede. Igualmente ao exemplo apresentadoanteriormente, foi utilizada uma rede MLP com três camadas, sendo uma oculta com 15neurônios, três neurônios de entrada e um neurônio de saída referente ao parâmetro BW aser modelado.

A Figura 6.9 apresenta a curva do erro médio quadrático referente à fase de treina-mento para 8000 épocas. Novamente se constata uma facilidade de aprendizado da rede,em virtude de uma curva bem comportada que representa o conjunto de treinamento,como também pela ausência de oscilações no decorrer do treinamento. O resultado al-cançado depois do treinamento é demonstrado na Figura 6.10, em que se observa quea rede aprendeu perfeitamente ao conjunto de treinamento imposto a ela e generalizouperfeitamente dentro de uma região de interesse para padrões como A(%)=[95; 85; 80;70; 65; 55] não utilizado na fase de treinamento. Como se pode observar na Figura 6.10,a variação da espessura do substrato implicou em uma mudança com característica ex-ponencial na largura de banda, o que reforça o conceito que a largura de banda mudabruscamente quando ocorre alguma alteração na espessura do substrato.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 800010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Épocas

Err

o m

édio

qua

drát

ico

Figura 6.9: Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro BW da antena KR2.

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6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 71

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

10

12

14

16

Espessura do Substrato (mm)

Lar

gura

de

Ban

da (

%)

Dados TreinoDados TesteRNA InterpolaçãoRNA Generalização

Figura 6.10: Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75 %) para a modelagem do parâmetro BW daantena KR2.

Modelagem do parâmetro Fator de Qualidade

Para a modelagem do fator de qualidade (Q), utilizou-se valores simulados e os parâme-tros variados foram h, referente a espessura do substrato e A(%) referente as dimensõesda antena que varia de 50 à 100%, conforme mostra a Tabela 6.2. Na fase de treinamentoda RNA, foram utilizados 7 pontos por curva, totalizando 28 pontos como conjunto detreinamento da rede. Novamente foi utilizada uma rede MLP com três camadas, sendouma camada oculta com 15 neurônios, três neurônios de entrada e um neurônio de saídareferente ao parâmetro Q.

A Figura 6.11 apresenta a curva do erro médio quadrático referente à fase de treina-mento para 8000 épocas. A resposta da rede após o treinamento é ilustrado na Figura6.12, em que se observa um perfeito aprendizado da rede aos parâmetros de entrada/saídaimposto a ela, e uma boa generalização dentro de uma região de interesse para padrõesnão utilizado na fase de treinamento. Como se pode observar na Figura 6.12, a variação daespessura do substrato implicou em uma mudança acentuada no fator de qualidade da an-tena, observando uma relação quase linear com o parâmetro h, o que já era esperado, umavez que o fator de qualidade é inversamente proporcional a largura de banda da antena.Este último parâmetro é influênciado diretamente pela espessura do substrato utilizado.

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72 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 800010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Épocas

Err

o m

édio

qua

drát

ico

Figura 6.11: Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem do Q daantena KR2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10

20

30

40

50

60

70

80

Espessura do Substrato (mm)

Fat

or d

e Q

ualid

ade

(Q)

Dados TreinoDados TesteRNA InterpolaçãoRNA Generalização

Figura 6.12: Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75 porcento) para a modelagem do Q da antenaKR2.

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6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 73

6.2.3 Modelagem neural da antena KT1

Modelagem do parâmetro |S11|

Para a modelagem dessa estrutura, foram construídos e medidos quatro protótipos deantenas, com as suas características mostradas na Tabela 6.1, das quais novamente trêsdessas antenas foram utilizadas no treinamento da rede MLP (ver Figura 6.13) por meiodo algoritmo RPROP com duas entradas: uma referente à freqüência de operação e a outrareferente ao parâmetro y0. Para isso utilizou-se uma rede MLP com duas camadas ocultas,cada uma com 28 neurônios e um nó de saída referente ao parâmetro de espalhamento|S11| a ser modelado. Pela Figura 6.13, novamente se observa que a principal influênciana variação do y0 é com relação a perda de retorno da estrutura analisada, em que seobserva alguma diferença na segunda ressonância, onde a primeira se manteve preservadaem torno de 1,83 GHz e a segunda ressonância manteve-se em torno de 3,94 GHz. AFigura 6.14 mostra a evolução do erro durante a fase de treinamento para 8000 épocas.Com o término do treinamento, a resposta da rede ao padrão de y0 = 8,085 mm nãoutilizado no treinamento é visualizada na Figura 6.15.

Novamente observa-se uma excelente concordância entre a resposta fornecida pelarede em comparação com o resultado medido e simulado, validando assim o modelo neu-ral utilizado.

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

KT1 (yo=7.4mm)

KT1 (yo=7.71mm)

KT1 (yo=8.4mm)

Figura 6.13: Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KT1.

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74 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

Épocas

Err

om

édio

quadrá

tico

Figura 6.14: Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KT1.

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

ANN

HP 8757D

Simulado

Figura 6.15: Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 8,085mm).

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6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 75

6.2.4 Modelagem neural da antena KT2

Modelagem do parâmetro |S11|

Para a modelagem dessa estrutura, foram construídos e medidos quatro protótipos deantenas, com as suas características mostradas na Tabela 6.1, das quais novamente trêsdessas antenas foram utilizadas no treinamento da rede MLP, Figura 6.16, por meio doalgoritmo RPROP com duas entradas: uma referente à freqüência de operação e a outrareferente ao parâmetro y0. Para isso utilizou-se uma rede MLP com duas camadas ocultas,cada uma com 40 neurônios e um nó de saída referente ao parâmetro de espalhamento|S11| a qual se deseja modelar. Pela Figura 6.16, se observa uma boa concordância paraa freqüência ressonância entre os resultados medidos para diferentes comprimentos deinset-fed, em que a primeira e a segunda ressonância mantiveram-se preservadas em 1,76GHz e 3,69 GHz respectivamente. Por sua vez, uma variação no comprimento do inset-fed afeta diretamente a perda de retorno da estrutura, alterando a impedância de entradada antena.

A Figura 6.17 mostra a evolução do treinamento para 8000 épocas. Com o término doprocesso de aprendizagem da rede, a resposta a um padrão, y0 = 8,105 mm, não utilizadono treinamento é visualizada na Figura 6.18. Novamente observa-se uma excelente con-cordância entre a resposta fornecida pela rede em comparação com o resultado medido esimulado. Em que, se observa uma melhor concordância da rede com o resultado medido,validando dessa forma o modelo neural utilizado.

1.5 2 2.5 3 3.5 4−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

KT2 (yo=7.49mm)

KT2 (yo=7.8mm)

KT2 (yo=8.4mm)

Figura 6.16: Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena KT2.

Page 94: Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para ... · não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linha ... Fractal geometry coupled with

76 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

Épocas

Err

om

édio

quadrá

tico

Figura 6.17: Curva de aprendizagem para o treinamento da antena KT2.

1.5 2 2.5 3 3.5 4−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

ANN

HP 8757D

Simulado

Figura 6.18: Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 8,105mm).

Page 95: Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para ... · não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linha ... Fractal geometry coupled with

6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 77

Modelagem do parâmetro Inset-Fed

Para a modelagem do inset-fed da antena KT2, foram utilizados valores simuladosdessa estrutura, obtido por um simulador de onda completa que implementa o método dosmomentos. Para o treinamento, foi utilizada uma RNA com três neurônios de entrada,uma camada oculta com quinze neurônios, e um neurônio de saída. A Tabela 6.2 resumeos parâmetros elétricos dessa esturura simulados pela rede neural.

Para o treinamento da rede são utilizados os resultados referentes a h = [1,5; 3,0;4,5; 6,0; 7,5; 9,0 e 10,5] mm, com uma amostragem de 4 pontos para cada valor de h,totalizando 28 pontos como conjunto de treinamento. A Figura 6.19 mostra a evoluçãodurante a fase de treinamento para 8000 épocas. A Figura 6.20 apresenta a resposta en-contrada pela rede após o treinamento tanto para os valores utilizados durante o processode aprendizagem, como para valores não treinados pela rede. Dessa vez, a variação doparâmetro h apresentou alguma influência no comprimento do inset-fed para casamentode impedância da estrutura, em que se constatou pelo comportamento suave das curvasilustradas na Figura 6.20. Observa-se também uma tendência de aumento no compri-mento do inset-fed, seguida de um declínio em seu comprimento a partir de um h = 6,0mm. Como ilustrado na Figura 6.20 através dos dados apresentados, o modelo neuralaplicado nesse estudo foi capaz de extrair e aprender o padrão de variação, tanto da espes-sura do substrato quanto das dimensões da antena. O erro de treinamento apresentado naFigura 6.19, apresenta inicialmente um rápido declínio e uma tendência de estabilizaçãono decorrer do treinamento.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 800010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Épocas

Err

o m

édio

qua

drát

ico

Figura 6.19: Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro y0 da antena KT2.

Page 96: Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para ... · não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linha ... Fractal geometry coupled with

78 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

2

4

6

8

10

Espessura do Substrato (mm)

Inse

t−F

ed (

mm

)

Dados TreinoDados TesteRNA InterpolaçãoRNA Generalização

Figura 6.20: Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro y0 daantena KT2.

Modelagem do parâmetro Largura de Banda

Para a modelagem desse parâmetro, novamente foram utilizados valores simuladosobtido pelo simulador, em que, variou-se à espessura do substrato bem como as dimen-sões da antena, conforme os parâmetros mostrados na Tabela 6.2. Na fase de treina-mento da rede neural artificial, também foram utilizados 7 pontos por curva, totalizando28 pontos como conjunto de treinamento da rede. Igualmente ao exemplo apresentadoanteriormente, foi utilizada uma rede MLP com três camadas, sendo uma oculta com10 neurônios, três neurônios de entrada e um neurônio de saída referente ao parâmetrolargura de banda (BW ) a ser modelado.

A Figura 6.21 apresenta a curva do erro médio quadrático referente à fase de treina-mento para 8000 épocas, em que se observou alguma flutuação no decorrer do treina-mento, caracterizando alguma dificuldade encontrada pela rede no início do aprendizado.O resultado alcançado depois do treinamento é demonstrado na Figura 6.22, novamentese observa que a rede aprendeu perfeitamente ao conjunto de treinamento imposto e ge-neralizou perfeitamente dentro de uma região de interesse para padrões como A(%)=[95;85; 80; 70; 65; 55] não utilizado na fase de treinamento. Como se pode observar na Figura6.22, a variação da espessura do substrato implicou em uma mudança com característicaexponencial na largura de banda, o que reforça o conceito que a largura de banda mudabruscamente quando ocorre alguma mudança na espessura do substrato.

Page 97: Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para ... · não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linha ... Fractal geometry coupled with

6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 79

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 800010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Épocas

Err

o m

édio

qua

drát

ico

Figura 6.21: Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro BW da antena KT2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

10

12

14

16

Espessura do Substrato (mm)

Lar

gura

de

Ban

da (

%)

Dados TreinoDados TesteRNA InterpolaçãoRNA Generalização

Figura 6.22: Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro BW daantena KT2.

Page 98: Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para ... · não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linha ... Fractal geometry coupled with

80 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

Modelagem do parâmetro Fator de Qualidade

Para a modelagem do fator de qualidade da antena KT2, utilizou-se valores simuladose os parâmetros variados para o treinamento da rede foram: h, referente a espessura dosubstrato e A(%), referente as dimensões da antena que varia de 50 à 100%, conformemostra a Tabela 6.2. Na fase de treinamento da RNA, foram utilizados 7 pontos por curva,totalizando 28 pontos como conjunto de treinamento da rede. Novamente foi utilizadauma rede MLP com três camadas, sendo uma oculta com 10 neurônios, três neurônios deentrada e um neurônio de saída referente ao parâmetro Q.

A Figura 6.23 apresenta a evolução do erro médio quadrático referente à fase de treina-mento para 8000 épocas. A resposta da rede após o treinamento é ilustrado na Figura6.24, em que se observa um perfeito aprendizado da rede aos parâmetros de entrada/saídaimposto a ela, e uma boa generalização dentro de uma região de interesse para padrõesnão utilizado na fase de treinamento (curva referente a 75%). Como se pode observar naFigura 6.24, a variação da espessura do substrato implicou em uma mudança acentuadano fator de qualidade da antena, observando uma relação quase linear com o parâmetroh, a exceção das curvas referente a 60 e 50%, em que se observa uma queda mais acentu-ada ainda, conforme mostra a curva com um comportamento em forma de parábola. Estecomportamento acentuado entre os parâmetros de alguma forma era previsto, uma vezque o fator de qualidade é inversamente proporcional a largura de banda da antena. Esteúltimo parâmetro é influênciado diretamente pela espessura do substrato utilizado.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 800010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Épocas

Err

o m

édio

qua

drát

ico

Figura 6.23: Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro Q da antena KT2.

Page 99: Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para ... · não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linha ... Fractal geometry coupled with

6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 81

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10

20

30

40

50

60

70

Espessura do Substrato (mm)

Fat

or d

e Q

ualid

ade

(Q)

Dados TreinoDados TesteRNA InterpolaçãoRNA Generalização

Figura 6.24: Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro Q daantena KT2.

6.2.5 Modelagem neural da antena M1

Modelagem do parâmetro |S11|

Para a modelagem da antena de Minkowski nível 1, foram construídos e medidosquatro protótipos de antenas, com as suas características mostradas na Tabela 6.1, dasquais três dessas antenas foram utilizadas no processo de aprendizagem da rede MLP,conforme ilustra a Figura 6.25, por meio do algoritmo RPROP com duas entradas: umareferente à freqüência de operação e a outra referente ao parâmetro y0. Para isso utilizou-se uma rede MLP com duas camadas ocultas, cada uma com 30 neurônios e um nó desaída referente ao parâmetro de espalhamento |S11| a ser modelado. Pela Figura 6.25,novamente se observa que a principal influência na variação do y0 é com relação a perda deretorno da estrutura analisada, em que se observa uma excelente concordância na primeiraressonância para os resultados medidos e alguma discordância na segunda ressonância,em que a primeira se manteve preservada em torno de 1,62 GHz. A Figura 6.26 mostra aevolução durante a fase de treinamento para 8000 épocas. Com o término do treinamento,a resposta da rede ao padrão de y0 = 3,4 mm não utilizado no treinamento é visualizadana Figura 6.27. Em que se constata uma boa concordância entre a resposta fornecidapela rede em comparação com o resultado medido e simulado, validando dessa forma omodelo neural proposto.

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82 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

M1 (yo=2.78 mm)

M1 (yo=3.1 mm)

M1 (yo=3.7 mm)

Figura 6.25: Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena M1.

Épocas

Err

om

édio

quadrá

tico

Figura 6.26: Curva de aprendizagem para o treinamento da antena M1.

Page 101: Antenas de Microfita com Patch Quase-fractal para ... · não-radiante de uma antena inset-fed patch retangular convencional alimentada por linha ... Fractal geometry coupled with

6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 83

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

ANN

HP 8757D

Simulado

Figura 6.27: Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 3,4 mm).

6.2.6 Modelagem neural da antena M2

Modelagem do parâmetro |S11|Para a modelagem dessa estrutura, foram construídos e medidos quatro protótipos

de antenas, com as suas características mostradas na Tabela 6.1, das quais três foram uti-lizadas no treinamento da rede MLP (ver Figura 6.28) por meio do algoritmo RPROP comduas entradas: uma referente à freqüência de operação e a outra referente ao parâmetroy0. Para isso utilizou-se uma rede MLP com duas camadas ocultas, cada uma com 38neurônios e um nó de saída referente ao parâmetro |S11| a ser modelado. Pela Figura6.28, novamente se observa que a principal influência na variação do y0 é com relação aperda de retorno da estrutura analisada, em que se observa uma concordância na primeiraressonância e alguma discondância na segunda ressonância, onde a primeira se mantevepreservada em torno de 1,42 GHz. A Figura 6.29 mostra a evolução durante a fase detreinamento da rede para 10000 épocas. Com o término do processo de treinamentodecorridas 10000 épocas, a resposta da rede ao padrão de y0 = 3,435 mm não utilizadono treinamento é visualizada na Figura 6.30. Em que se observa uma boa concordânciaentre a resposta fornecida pela rede em comparação com o resultado medido e simulado,validando dessa forma o modelo neural proposto.

Modelagem do parâmetro Inset-Fed

Para a modelagem do inset-fed da antena M2, foram utilizados valores simulados,obtido por um simulador de onda completa que implementa o método dos momentos.

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84 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

M2 (yo=2.78 mm)

M2 (yo=3.12 mm)

M2 (yo=3.75 mm)

Figura 6.28: Conjunto de treinamento utilizado na modelagem da antena M2.

Épocas

Ero

om

édio

quará

tico

Figura 6.29: Curva de aprendizagem para o treinamento da antena M2.

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6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 85

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Per

da

de

Ret

orn

o, (

dB

)

Freqüência Ressonante, (GHz)

ANN

HP 8757D

Simulado

Figura 6.30: Resposta da rede a um padrão não utilizado no treinamento (y0 = 3,435mm).

Para o treinamento, foi utilizada uma rede neural com três neurônios de entrada, umacamada oculta com quinze neurônios, e um neurônio de saída. A Tabela 6.2 resume osparâmetros elétricos dessa esturura simulados pela rede.

Para o treinamento da rede são utilizados os resultados referentes a h = [1,5; 3,0;4,5; 6,0; 7,5; 9,0 e 10,5] mm, com uma amostragem de 7 pontos por curva, totalizando28 pontos como conjunto de treinamento. A Figura 6.31 mostra a evolução da RNAdurante a fase de treinamento para 10000 épocas. A Figura 6.32 apresenta a respostaencontrada pela rede após o treinamento tanto para os velores utilizados durante o pro-cesso de aprendizagem, quanto para valores não treinados pela rede. Novamente umavariação do parâmetro h, apresentou alguma influência no comprimento do inset-fed paracasamento de impedância da estrutura, em que se constatou pelo comportamento suavedas curvas ilustradas na Figura 6.32. Também se observa que para um valor de h = 1,5mm as antenas M2 com diferentes dimensões apresentaram um comprimento de inset-fedmuito próximos, em torno de 3,8 mm. Observa-se também uma tendência de aumento nocomprimento do inset-fed, com um aumento na espessura do substrato, seguida de um de-clínio em seu comprimento a partir de um h = 7,5 mm. Como ilustrado na Figura 6.32 pormeio dos dados apresentados, o modelo neural aplicado nesse estudo foi capaz de extraire aprender o padrão de variação, tanto da espessura do substrato quanto das dimensõesda antena. O erro de treinamento apresentado na Figura 6.31, apresenta inicialmente umrápido declínio e uma tendência de estabilização no decorrer do treinamento.

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86 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1000010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Épocas

Err

o m

édio

qua

drát

ico

Figura 6.31: Evolução da rede durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro y0 da antena M2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

2

4

6

8

10

12

Espessura do Substrato (mm)

Inse

t−F

ed (

mm

)

Dados TreinoDados TesteRNA InterpolaçãoRNA Generalização

Figura 6.32: Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro y0 daantena M2.

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6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 87

Modelagem do parâmetro Largura de Banda

Para a modelagem desse parâmetro, optou-se por valores simulados obtido pelo si-mulador de onda completa, em que, variou-se à espessura do substrato h, e as dimensõesda antena A(%), conforme os parâmetros mostrados na Tabela 6.2. Na fase de treina-mento da rede neural artificial, também foram utilizados 7 pontos por curva, totalizando28 pontos como conjunto de treinamento da rede. Igualmente ao exemplo apresentadoanteriormente, foi utilizada uma rede MLP com três camadas, sendo uma oculta com 10neurônios, três neurônios de entrada e um neurônio de saída referente ao parâmetro BW aser modelado.

A Figura 6.33 apresenta a curva do erro médio quadrático referente à fase de treina-mento da rede para 10000 épocas. O resultado alcançado depois do treinamento é mostradona Figura 6.34, novamente se observa que a rede aprendeu perfeitamente ao conjunto detreinamento imposto e foi capaz de generalizar dentro de uma região de interesse parapadrões como A(%)=[95; 85; 80; 70; 65; 55] não utilizado durante o treinamento. Comose pode observar na Figura 6.34, a variação da espessura do substrato implicou em umamudança com comportamento exponencial na largura de banda, o que reforça o conceitoque a largura de banda é diretamente afetada por uma mudança na espessura do substratoutilizado.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1000010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Épocas

Err

o m

édio

qua

drát

ico

Figura 6.33: Evolução do erro durante a fase de treinamento para a modelagem doparâmetro BW da antena M2.

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88 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

10

12

14

16

Espessura do Substrato (mm)

Lar

gura

de

Ban

da (

%)

Dados TreinoDados TesteRNA InterpolaçãoRNA Generalização

Figura 6.34: Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do parâmetro BW daantena M2.

Modelagem do parâmetro Fator de Qualidade

Para a modelagem do fator de qualidade da antena M2, utilizou-se valores simuladose os parâmetros variados para o treinamento da rede foram: h, referente a espessura dosubstrato e as dimensões da antena variando de 50 à 100%, conforme mostra a Tabela 6.2.Na fase de treinamento da rede, foram utilizados 28 pontos como conjunto de treinamento.Novamente foi utilizada uma rede MLP com três camadas, sendo uma oculta com 12neurônios, três neurônios de entrada e um neurônio de saída referente ao parâmetro Q.

A Figura 6.35 apresenta a evolução do erro médio quadrático da RNA referente àfase de treinamento para 8000 épocas. A resposta da rede após o treinamento é ilustradona Figura 6.36, em que se observa um perfeito aprendizado da rede aos parâmetros deentrada/saída imposto a ela, e uma boa generalização dentro de uma região de interessepara padrões não utilizado na fase de treinamento (curva referente a 75%). Como se podeobservar na Figura 6.36, a variação da espessura do substrato implicou em uma mudançaacentuada no fator de qualidade da antena, observando uma relação quase linear com oparâmetro h. Este comportamento acentuado entre os parâmetros, de alguma forma eraesperado, uma vez que o fator de qualidade aumenta inversamente proporcional a largurade banda da antena. Este último parâmetro é influênciado diretamente pela espessura dosubstrato utilizado.

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6.2. MODELOS NEURAIS DE ANTENAS PATCHES QUASE-FRACTAIS 89

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 800010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Épocas

Err

o m

édio

qua

drát

ico

Figura 6.35: Evolução da rede durante a fase de treinamento da rede para a modelagemdo Q da antena M2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10

20

30

40

50

60

70

80

Espessura do Substrato (mm)

Fat

or d

e Q

ualid

ade

(Q)

Dados TreinoDados TesteRNA InterpolaçãoRNA Generalização

Figura 6.36: Resposta da rede ao conjunto de treinamento imposto e a um padrão nãoutilizado no treinamento (curva referente a 75%) para a modelagem do Q da antena M2.

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90 CAPÍTULO 6. MODELAGEM UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

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Capítulo 7

Conclusões

Nesta dissertação, apresentou-se o uso da geometria fractal aliado à estrutura pla-nar para o projeto de novas antenas patch quase-fractais como uma alternativa para seconseguir antenas compactas, multi-banda e com boas características de radiação. Paraesta realização fez-se uso de três curvas fractais: Koch retangular, Koch triangular eMinkowski. As antenas projetadas com contornos fractais são interessantes no sentido dese conseguir menores dimensões e características multiressonantes quando comparadas aum patch retangular convencional, inicialmente projetado para a freqüência de operaçãoinvestigada. Também se constatou que quando o nível do fractal utilizado aumenta, ocorreum decréscimo na freqüência de ressonância da estrutura. Uma conseqüência direta disso,é que se consegue, dessa forma, uma redução considerável na área da antena. A geometriafractal exibe um bom grau de versatilidade, uma vez que várias formas fractais podem seraplicadas em projetos de antenas, visando à otimização da sua geometria, conseguindodessa forma antenas de tamanho reduzido.

Inicialmente foi projetada uma antena patch retangular de microfita, com alimentaçãodo tipo inset-fed, baseada no modelo TLM, para a freqüência de operação 2,45 GHz.Verificou-se que a aplicação de curvas fractais nas margens não-radiante e radiante dessetipo de estrutura possibilitou uma redução considerável em seu tamanho total. A utiliza-ção da curva de Minkowski possibilitou uma redução em suas dimensões físicas de até42%, quando comparada aos 40,8% obtido pela utilização da curva de Koch retangular eaos 28,6% com a utilização da curva de Koch triangular.

Os resultados obtidos mostraram que a antena com contorno de Minkowski, cujoperímetro é maior em relação à antena com contorno Koch retangular e triangular, a-presentou um comprimento elétrico maior, bem como, um maior fator de compressão defreqüência, aumentando assim a sua capacidade de miniaturização. Todas as estruturasfractais propostas nesse trabalho mostraram-se bastante compactas, podendo também seruma boa escolha para aplicação em dispositivos portáteis, ou ainda em sistemas wireless(WPAN/WLAN) que necessitem de baixo perfil. Os diagramas de irradiação obtidos paraas antenas fractais são similares aos de uma antena patch convencional, indicando que nãohouve a degradação dos mesmos. O uso da técnica inset-fed permitiu a obtenção do casa-mento de impedância, como pode ser comprovado pelas baixas perdas de retorno obtidas,como também pelos resultados medidos das impedâncias de entrada traçados nas cartasde Smith, validando, dessa forma, a técnica de projeto/otimização utilizada. Contudo, aaplicação de curvas fractais a antenas de microfita ocasionou uma redução indesejável de

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92 CAPÍTULO 7. CONCLUSÕES

suas larguras de banda.Este trabalho apresentou também uma modelagem por meio da técnica de redes neu-

rais artificiais (RNA) dos dispositivos de microondas propostos. A motivação para autilização de RNA surgiu da necessidade de encontrar soluções simples e eficazes paraproblemas de difícil tratamento matemático, a exemplo dos modelos apresentados nessetrabalho. Na modelagem das antenas patch quase-fractais, foram utilizados as redes MLP,treinadas pelo algoritmo resilient backpropagation. Os resultados alcançados demons-traram uma boa capacidade de aprendizado da técnica, uma vez que foram efetuadasvalidações das redes implementadas por meio de dados não treinados pela rede, obtidosdentro de uma região de interesse. Para o treinamento das redes utilizadas, optou-se tantopor dados medidos em um analisador de rede vetorial quanto por dados simulados. Osdados simulados foram obtidos de software comercial Ansoft Designer que implementa ométodo dos momentos para a resolução dos campos eletromagnéticos.

No que diz respeito à arquitetura da rede com relação à quantidade de neurônios ocul-tos e épocas de treinamento, as estruturas RNA propostas nesse trabalho, foram obtidaspor meio de uma série de simulações visando à minimização do erro médio quadráticona fase de treinamento da rede neural, garantindo assim um bom aprendizado e uma boacapacidade de generalização dentro de uma região de interesse para os modelos neuraispropostos. Como pode ser visto nos resultados apresentados, houve uma boa eficiên-cia da aplicação de redes neurais artificiais na análise/resolução de estruturas de antenaspatch quase-fractais, uma vez que todos os resultados apresentados nessa dissertação a-presentaram precisão e velocidade de resposta muito boa. A rede foi capaz de aprendero conjunto de dados imposto a ela, aplicando e generalizando o conhecimento adquiridode forma eficiente dentro da região de interesse no ambiente onde estava inserida. Umavez treinada adequadamente por meio de um conjunto de dados representativos do pro-blema a ser investigado, a resposta da rede após a fase de treinamento é da ordem de 10−2

segundos.Seguindo nessa linha de pesquisa de antenas compactas e multi-banda, alguns traba-

lhos futuros que provavelmente podem ser investigados são: emprego de novos materiaisdielétricos em projeto de antenas, a exemplo do plasma, cerâmica, metamaterial, dentreoutros, visando um melhor desempenho dessas antenas e uma melhora na largura de bandada mesma. Também outras técnicas de análise podem muito bem ser utilizadas, tais como:algoritmos genéticos e diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD).

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