aplicação da teoria de placas na análise de estruturas offshore

APLICAÇÃO DA TEORIA DE PLACAS NA ANÁLISE DE ESTRUTURAS OFFSHORE

Bruno Nery Souza Bernardino

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger

Ricardo Valeriano Alves

Rio de Janeiro

Março de 2016

iii

Bernardino, Bruno Nery Souza Aplicação da Teoria de Placas na Análise de Estruturas

Offshore/ Bruno Nery Souza Bernardino. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.

XV, 77 p.: il.; 29,7 cm. Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger e Ricardo

Valeriano Alves Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia Civil, 2016. Referências Bibliográficas: p. 73-76. 1.Teoria de Placas 2.Modelo Analítico 3.Estruturas

Offshore 4.Estabilidade de placas. 5.Modelo Computacional. I. Bruno Ellwanger, Gilberto, et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III. Titulo.

iv

“Porque Dele e por Ele, e para Ele, são todas as coisas”

(Versículo Bíblico - Rm. 11:36)

v

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, a Deus. Pela sua direção, proteção, e graça manifestada ao longo de toda a caminhada.

Aos meus pais, Rosilene e José Carlos, pelo apoio e investimento dados com muito esforço para que eu pudesse ter uma educação de qualidade e um futuro melhor. Vocês fazem parte desta conquista.

Aos meus familiares, que sempre me apoiaram.

Aos meus orientadores, Gilberto Bruno Ellwanger e Ricardo Valeriano Alves, pela paciência e dedicação, tanto para a elaboração deste trabalho, quanto ao longo de toda a minha formação acadêmica. Estendo também um agradecimento a todos os professores da UFRJ que contribuíram para a minha formação como engenheiro.

Ao Programa de Recursos Humanos (PRH-35) da Agência Nacional do Petróleo (ANP) pelo apoio financeiro e incentivo à pesquisa.

Aos meus amigos de faculdade, pela companhia e aprendizado nas horas de estudo, e pelos momentos de diversão. Foi um prazer estar com vocês.

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

APLICAÇÃO DA TEORIA DE PLACAS NA ANÁLISE DE ESTRUTURAS OFFSHORE


Março/2016

Orientadores: Gilberto Bruno Ellwanger


Curso: Engenharia Civil

RESUMO

Este trabalho se propõe a estudar o comportamento estrutural de placas, sem enrijecedores e com enrijecedores, submetidas a diversos tipos de carga, utilizando conceitos de teorias disponíveis, a saber: Teoria de Kirchhoff e de Vón Kármán. Para este fim, foram aplicadas soluções em séries duplas (Navier), e o método de Rayleigh-Ritz, baseado no princípio da energia potencial total estacionária.

Para efeito de comparações e de aprendizado, as placas analisadas foram ainda modeladas em programas computacionais, via Método dos Elementos Finitos.

Com o objetivo de avaliação de carga crítica de flambagem, foram realizadas análises de estabilidade estrutural de placa com método analítico, solução via Método dos Elementos Finitos, e a norma DNV-RP-201. Também foi determinada a carga última para a mesma placa, utilizando somente modelagem computacional e solução analítica.

Palavras-chave: Teoria de Kirchhoff, Teoria de von Kármán, Rayleigh-Ritz, Comportamento de Placas, Estabilidade de Placas.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.

APLICATION OF PLATES THEORY IN THE ANALYSIS OF OFFSHORE STRUCTURES


March/2016

Advisors: Gilberto Bruno Ellwanger


Course: Civil Engineering

ABSTRACT

This project aimed to study the structural behavior of plates with and without stiffeners, subjected to various types of load, using concepts of available theories, namely: Theory of Kirchhoff and von Kármán. To this end, solutions have been applied in double series (Navier), and the Rayleigh-Ritz method, based on the principle of stationary potential total energy.

For purposes of comparison and learning, the plates analyzed were yet modeled in computer programs using the Finite Element Method.

With the objective of evaluating critical buckling load, structural stability analysis plate were performed with analytical method, solution employing the Finite Element Method, and DNV-RP-201 standard. It was also determined to the ultimate load to the same plate, using only computational modeling and analytical solution.

Keyword: Theory of Kirchhoff, Theory de von Kármán, Rayleigh-Ritz, Behaviour of plates, Stability of plates.

viii

Sumário 1� INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 1�

1.1� OBJETIVO ........................................................................................................ 2�

1.2� MOTIVAÇÃO ................................................................................................... 2�

1.3� ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................. 2�

2� REVISÃO DE CONCEITOS E ESTRUTURAS OFFSHORE ........................... 4�

2.1� FORMAS DE ANÁLISE ESTRUTURAL ........................................................ 4�

2.1.1� Análise Linear Elástica ............................................................................... 4�

2.1.2� Análise Não Linear Geométrica ................................................................. 4�

2.2� PLACAS EM ESTRUTURAS OFFSHORE ..................................................... 4�

2.2.1� Casco de Navio ........................................................................................... 4�

2.2.2� Estruturas Topside ...................................................................................... 5�

3� TEORIA DE PLACAS ........................................................................................... 6�

3.1� APRESENTAÇÃO ............................................................................................ 6�

3.2� PRINCIPAIS TEORIAS .................................................................................... 6�

3.3� TEORIA DE KIRCHHOFF ............................................................................... 8�

3.3.1� Relação Deformação-Deslocamento ........................................................ 10�

3.3.2� Relação Deformação-Curvatura ............................................................... 11�

3.3.3� Relação Tensão-Deformação .................................................................... 12�

3.3.4� Solicitações ............................................................................................... 13�

3.3.5� Equações de Equilíbrio ............................................................................. 16�

3.3.6� Força Cortante Efetiva .............................................................................. 17�

3.3.7� Reação de Canto ....................................................................................... 19�

3.3.8� Condições de Bordo ................................................................................. 19�

3.4� MÉTODO DE NAVIER .................................................................................. 22�

3.5� FORMULAÇÃO POR ENERGIA .................................................................. 23�

3.5.1� Energia de Deformação ............................................................................ 23�

3.5.2� Energia Potencial de Cargas ..................................................................... 24�

3.5.3� Energia Potencial Total ............................................................................ 25�

3.5.4� Método de Rayleigh-Ritz ......................................................................... 25�

3.6� ANÁLISE DE PAINEL ................................................................................... 26�

3.6.1� Soluções Analíticas .................................................................................. 26�

3.6.2� Modelagem Computacional ...................................................................... 28�

3.6.3� Resultados Comparativos ......................................................................... 30�

ix

3.6.4� Conclusão Parcial ..................................................................................... 34�

4� PLACAS ORTOTRÓPICAS ............................................................................... 35�

4.1� RELAÇÕES FUNDAMENTAIS .................................................................... 35�

4.1.1� Relação Tensão-Deformação .................................................................... 35�

4.1.2� Solicitações ............................................................................................... 36�

4.1.3� Determinação das Rigezas ........................................................................ 37�

4.2� MÉTODO DE NAVIER .................................................................................. 41�

4.3� MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ .................................................................. 41�

4.4� ANÁLISE DE PAINEL ORTOTRÓPICO ...................................................... 42�

4.4.1� Soluções Analíticas .................................................................................. 44�

4.4.2� Modelagem Computacional ...................................................................... 45�

4.4.3� Estudo Comparativo entre Rigezas........................................................... 48�

4.4.4� Resultados Comparativos ......................................................................... 50�


5� PLACAS COM CARGAS LATERAIS ............................................................... 55�

5.1� EQUAÇÃO FUNDAMENTAL ...................................................................... 55�

5.2� ESTUDO DE FLAMBAGEM ......................................................................... 56�

5.2.1� Imperfeições Geométricas Iniciais ........................................................... 57�

5.2.2� Carga Crítica de Flambagem .................................................................... 58�

5.2.3� Carga Crítica com Imperfeições Iniciais .................................................. 61�

5.3� VERIFICAÇÃO PELA DNV-RP-C201 .......................................................... 63�

5.4� ANÁLISE DE PAINEL SUBMETIDO A CARGA LATERAL .................... 63�


6� TEORIA DE VON KÁRMÁN ............................................................................. 66�

6.1� EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS .................................................................... 66�

6.2� FORMULAÇÃO POR ENERGIA .................................................................. 68�

6.3� ESTUDO DE FLAMBAGEM ......................................................................... 69�

6.4� TENSÃO ÚLTIMA SOB CARGA LATERAL .............................................. 71�


7� CONCLUSÕES ..................................................................................................... 72�

8� REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 73�

ANEXOS ....................................................................................................................... 77�

x

Lista de Figuras Figura 1.1- Navio FPSO (PETROBRÁS, 2016) .............................................................. 1�

Figura 2.1- Seção transversal do casco de um navio (BARROS, 2015) .......................... 5�

Figura 2.2- Modelo representativo de um módulo de produção (SÁ, 2015) .................... 5�

Figura 3.1- Teorias desenvolvidas .................................................................................... 8�

Figura 3.2- Sistema Referencial ....................................................................................... 9�

Figura 3.3- Configuração Deformada ............................................................................... 9�

Figura 3.4-Curvatura da placa no plano xz .................................................................... 11�

Figura 3.5-Convenção de sinais para tensão num elemento infinitesimal de placa ....... 13�

Figura 3.6-Distribuição de tensões e sentidos positivos das solicitações de momento .. 14�

Figura 3.7-Distribuição de tensões e sentidos positivos das solicitações de cortante .... 15�

Figura 3.8- Forças e momentos em um elemento infinitesimal de placa ....................... 16�

Figura 3.9- Torsor substituído por forças equivalentes e as resultantes ......................... 18�

Figura 3.10- Resultante no canto do elemento infinitesimal de placa ............................ 19�

Figura 3.11- Bordos ilustrados com condições geométricas e/ou cinemáticas .............. 20�

Figura 3.12- Diagrama de Tonti ..................................................................................... 21�

Figura 3.13-Placa deformada .......................................................................................... 24�

Figura 3.14 Modelo simplificado da placa em análise ................................................... 26�

Figura 3.15- Gráfico da função w1(x) ............................................................................. 27�

Figura 3.16- Gráfico da função w2(x) ............................................................................. 27�

Figura 3.18- Gráfico da função w2(y) ............................................................................. 27�

Figura 3.17- Gráfico da função w1(y) ............................................................................. 27�

Figura 3.19- Malha da placa no programa AutoCAD .................................................... 28�

Figura 3.20- Definição geométrica da placa ................................................................... 29�

Figura 3.21- Modelo estrutural da placa no programa SAP2000 v.16 ........................... 29�

Figura 3.22-Deslocamentos transversais no meio da placa (direção y) ......................... 30�

Figura 3.23- Momento Mx no meio da placa ................................................................. 31�

Figura 3.24- Momento My no meio da placa ................................................................. 31�

Figura 3.25- Momento Mxy no bordo da placa .............................................................. 32�

Figura 3.26- Tensão normal �x no meio da placa ........................................................... 32�

Figura 3.27- Tensão cisalhante �xy no bordo da placa .................................................... 33�

Figura 3.28- Reação de canto na placa ........................................................................... 33�

Figura 4.1-Estruturas ortotrópicas e suas rigezas (UGURAL, 1981) ............................. 38�

Figura 4.2- Modelo considerado (SZILARD, 2004) ...................................................... 40�

Figura 4.3- Módulo de processamento-vista geral (SÁ, 2015)....................................... 42�

Figura 4.4- Perfil metálico das vigas enrijecedoras ........................................................ 43�

Figura 4.5- Representação esquemática em planta da estrutura. Unidades em metro .... 43�

Figura 4.6- Representação esquemática em corte de parte da estrutura. Unidades em milímetro ........................................................................................................................ 44�

Figura 4.7- Malha da placa no programa AutoCAD ...................................................... 45�

Figura 4.8- Aplicação da ligação rígida entre os nós da viga e da placa ........................ 46�

Figura 4.9- Ligação rígida entre todos os nós da placa e da viga ................................... 46�

Figura 4.10- Aplicação das propriedades geométricas na placa no programa SAP2000 v.16 ................................................................................................................................. 47�

Figura 4.11- Modelo estrutural da placa no programa SAP2000 v16 ............................ 47�

xi

Figura 4.12- Vista frontal da seção retangular fictícia considerada. Unidades em milímetro ........................................................................................................................ 48�

Figura 4.13- Deslocamentos da placa utilizando as rigezas propostas por SZILARD (2004) ............................................................................................................................. 49�

Figura 4.14- Deslocamentos da placa utilizando rigezas propostas por UGURAL (1981) ........................................................................................................................................ 49�

Figura 4.15- Comparação entre as metodologias para deslocamentos transversais (direção x) ..................................................................................................................................... 50�





Figura 4.20- Momento Mxy no bordo da placa .............................................................. 53�

Figura 4.21- Tensão cisalhante �xy no bordo da placa .................................................... 54�

Figura 5.1- Vista em planta de um elemento infinitesimal de placa .............................. 55�

Figura 5.2- Vista frontal do elemento infinitesimal de placa ......................................... 56�

Figura 5.3- Estabilidade estrutural de placas esbeltas (TRAHAIR & BRADFORD, 1988 e SILVA, 2006) .............................................................................................................. 57�

Figura 5.4- Efeito das imperfeições iniciais na estabilidade de placas esbeltas (MAQUOI, 1992 e SILVA, 2006) ..................................................................................................... 58�

Figura 5.5- Placa simplesmente apoiada submetida a carga lateral em seu plano médio ........................................................................................................................................ 59�

Figura 5.6- Relação k x r ................................................................................................ 60�

Figura 5.7- Fatores de carga para condições de contorno usuais em placas (SALMON & JOHNSON, 1990 e SILVA, 2006) ................................................................................. 61�

Figura 5.8- Placa retangular submetida a carregamento lateral...................................... 63�

Figura 6.1- Comportamento pós-flambagem de placas esbeltas (TRAHAIR & BRADFORD, 1988 e SILVA, 2006) ............................................................................. 69�

Figura 6.2- Largura efetiva de placas simplesmente apoiadas em ambas as bordas longitudinais (Fakury, 1989 e SILVA, 2006) ................................................................. 70�

xii

Lista de Tabelas Tabela 4.1- Fator numérico ............................................................................................ 39�

Tabela 4.2- Dimensões da placa do piso ........................................................................ 42�

Tabela 4.3- Dimensões das vigas enrijecedoras ............................................................. 43�

Tabela 4.4- Propriedades físicas do material .................................................................. 43�

Tabela 5.1- Tensão crítica de compressão e modos de flambagem................................ 64�

Tabela 6.1- Tensão última de compressão...................................................................... 71�

xiii

Lista de Siglas CAD Computer Aided Design DNV Det Norske Veritas FPSO Floating, Production, Storage and Offloading FS Fator de Segurança MEF Método dos Elementos Finitos SACS Structural Analysis Computer System SAP Structural Analysis Program TLWP Tension Leg Wellhead Platform UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro

xiv

Lista de Símbolos A Área e um ponto na placa

A’ Ponto na placa deformada

B Ponto na placa

B’ Ponto na placa deformada

a,b Dimensões nas direções x e y, respectivamente

C Constante

D Rigidez flexional da placa

E Módulo de Elasticidade

fy Tensão de escoamento do material

G Módulo de Elasticidade Transversal

k Fator de carga axial para placas delgadas na compressão

m,n Número de meias-ondas nas direções x e y, respectivamente

M Momento fletor por unidade de comprimento

Mx , My Momentos fletores por unidade de comprimento atuantes na face x e direção aaaaaaaaaaa y, e face y e direção x

Mxy Momento volvente por unidade de comprimento atuante na face x

N Força normal por unidade de comprimento

Ncr Força crítica de flambagem por unidade de comprimento

Nx , Ny Forças normais por unidade de comprimento atuantes nas faces x e y, aaaaaaaaaaaa respectivamente

Nxy Força cortante por unidade de comprimento atuante na face x e direção y

O Centro do eixo cartesiano

P Força concentrada

Qx , Qy Forças cortante por unidade de comprimento atuantes nas faces x e y, na aaaaaaaaaaaa direção z, respectivamente

q Intensidade da carga transversal distribuída por área

R Reação de canto

r Raio

rx , ry Raios de curvatura do plano médio nos planos xz e yz, respectivamente

rxy Raio de curvatura do plano médio no plano xy

xv

t Espessura

u,v,w Deslocamentos nas direções x, y e z, respectivamente

�� Deslocamento aproximado na direção z

U Energia de deformação

Vx , Vy Forças cortante efetivas por unidade de comprimento atuantes nas faces x e aaaaaaaaaaaay, na direção z, respectivamente

x,y,z Coordenadas retangulares e distâncias

� Distorção

�xy , �yz , �xz Distorções nos planos xy, yz e xz, respectivamente

� Deflexão

� Deformação normal

�x , �y , �z Deformações normais às direções x, y e z, respectivamente

� Ângulo

� Curvatura

� Coeficiente de Poisson

� Energia Potencial Total

Somatório

Tensão normal

x , y , z Tensões normais nas direções x,y e z, respectivamente

1 , 2 , 3 Tensões normais principais

cr Tensão normal crítica de flambagem

u Tensão normal última

m Tensão média

� Tensão cisalhante

�xy ,�yz ,�zx Tensões cisalhantes nas faces x, y e z, paralelas às direções y,z e x, aaaaaaaaaaaaarespectivamente

�u Tensão cisalhante última

� Função de tensão

�x e �y Ângulo no plano xz e yz, respectivamente

� Energia potencial das cargas

1

1 INTRODUÇÃO

O constante avanço da exploração e produção de petróleo na região do pré-sal, tem gerado o aparecimento de novas e consistentes tecnologias, que reduzem o tempo e o custo para extração do óleo, e aumenta o nível de segurança exigido nas operações relacionadas ao seu tratamento. E além disto, impulsionam a produção de petróleo produzido no país.

A média anual da produção operada na camada pré-sal em 2015 foi a maior da história, atingindo uma média de 767 mil barris por dia, superando a produção de 2014 em 56% (PETROBRÁS, 2016). E com relação aos custos operacionais de produção, a Petrobrás chegou a um patamar em torno de US$ 8 por barril, quando a média das grandes petrolíferas mundiais é de US$ 15 por barril (PETROBRÁS, 2016).

Para atuar em áreas do pré-sal e do pós-sal, diversas plataformas entraram em operação nos últimos anos, como a P-58, a P-62, os FPSOs Cidade de Mangaratiba e Cidade de Ilhabela, entre outros. No campo de Papa-Terra (Bacia de Campos), foram instalados o FPSO P-63 e a P-61 (plataforma do tipo TLWP - Tension Leg Wellhead Platform), plataformas que trabalharão integradas, com capacidade de processamento conjunta de 140 mil bpd (barris por dia) de óleo e um milhão de m³ de gás por dia. Em 2015, também entrou em operação o FPSO Cidade de Itaguaí, dando início à produção do projeto Iracema Norte, no campo de Lula, no pré-sal da Bacia de Santos, na costa do Rio de Janeiro (PETROBRÁS, 2016).

O projeto de uma unidade petrolífera exige muita atenção e qualificação dos projetistas, aliado a um alto nível de segurança. A quantidade de pessoas que trabalham nessas unidades, o nível de periculosidade das operações realizadas em uma plataforma, e a distância da costa onde geralmente é extraído o óleo, são alguns dos fatores que confirmam a importância de um projeto seguro e bem elaborado, do ponto de vista estrutural, para essas unidades.

A Figura 1.1 exibe um navio tipo FPSO (Floating, Production, Storage and Offloading, ou unidade flutuante de produção, armazenamento e transferência de petróleo), muito utilizado na explotação de petróleo.

Figura 1.1- Navio FPSO (PETROBRÁS, 2016)

2

1.1 OBJETIVO

A proposta deste trabalho é analisar o comportamento de estruturas, especificamente, das placas, que são parte componente de estruturas maiores utilizadas na indústria offshore.

Através de métodos analíticos, utilizando a Teoria de Placas, e modelagens computacionais, que consideram o Método dos Elementos Finitos, os deslocamentos previstos, tensões e forças atuantes nas placas são determinados e comparados entre as duas metodologias. Particularmente, a norma da DNV, a DNV-RP-201, é utilizada para comparação da carga crítica de flambagem obtida através dos dois métodos mencionados.

A utilização dos métodos analíticos, abordando a formulação de Navier e Energia, tem por meta fornecer ao projetista, em um dimensionamento local, bons resultados para uma análise prévia do comportamento da estrutura, em adição à modelagem computacional.

1.2 MOTIVAÇÃO

Considerando a relevância do projeto e a atenção que é exigida no dimensionamento das peças utilizadas nas unidades petrolíferas, este trabalho visa fornecer ao engenheiro projetista mais ferramentas que o auxilie na análise comportamental destas estruturas, adicionando segurança ao projeto.

Além disto, o estudo do comportamento estrutural de placas, seja ela enrijecida ou não, é de extrema importância devido à vasta aplicação desta em muitas estruturas civis e militares. Como por exemplo, em uma laje de ponte, ou laje de um edifício, na fuselagem de um avião, no casco de um navio, entre outros.

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

O presente trabalho é composto por 8 capítulos. Após o primeiro capítulo introdutório, o capítulo 2 apresenta uma breve explicação sobre alguns conceitos que são importantes para a análise, e algumas aplicações de placas utilizadas em estruturas offshore.

No capítulo 3, após uma breve apresentação das principais teorias de placas, as equações obtidas considerando a Teoria de Kirchhoff são apresentadas, e, posteriormente, aplicadas na análise de uma placa. Os resultados obtidos na análise são comparados com os fornecidos pelo Método dos Elementos Finitos.

No capítulo 4, as equações que descrevem o comportamento estrutural de uma placa enrijecida são apresentadas. Uma análise também é feita no final do capítulo visando aplicar as equações mencionadas, e os seus resultados são comparados com os obtidos via MEF.

3

No capítulo 5, iniciam-se os estudos de flambagem de placas, e são apresentadas equações analíticas capazes de determinar a carga crítica de flambagem de uma placa. Para aplicá-las, uma análise é realizada, e os resultados de carga crítica são comparados com os obtidos via análise computacional, e pela norma da DNV, a DNV-RP-201.

No capítulo 6, é introduzida a Teoria de von Kármán, e as equações provenientes desta Teoria são apresentadas. Um estudo de pós-flambagem também é realizado neste capítulo, e a carga última de uma placa é determinada utilizando um método analítico e o MEF.

No capítulo 7, são apresentadas as conclusões para este trabalho, e no capítulo 8, são mostradas as referências bibliográficas utilizadas para realização do mesmo.

Por fim, os anexos A, B e C contêm as programações realizadas via MathCad v.14, para os capítulos 3, 4 e 5, respectivamente.

4

2 REVISÃO DE CONCEITOS E ESTRUTURAS OFFSHORE

2.1 FORMAS DE ANÁLISE ESTRUTURAL

2.1.1 Análise Linear Elástica

A forma mais tradicional de se determinar as solicitações em estruturas é através da análise linear elástica ou análise de 1ª ordem, que admite a proporcionalidade entre as ações atuantes e os seus efeitos (PFEIL & PFEIL, 2009).

Alguns sistemas estruturais em aço apresentam comportamento não linear

decorrente da não proporcionalidade das relações tensão x deformação e/ou da não linearidade geométrica da estrutura (PFEIL & PFEIL, 2009). Na análise linear elástica, é válida a Lei de Hooke. O equilíbrio da estrutura é analisado na sua configuração geométrica inicial (indeformada), admitindo uma relação linear entre deformações e os deslocamentos (MACIEL, et al., 2011). Além disto, os deslocamentos são considerados pequenos, de forma que não influenciam na rigidez da estrutura.

2.1.2 Análise Não Linear Geométrica

A consideração do comportamento não linear geométrico de uma estrutura consiste na análise desta a partir de sua configuração deformada, também chamado de efeitos de segunda ordem. Este tipo de análise é mais elaborado, pois leva em conta a não linearidade da relação entre deformação e deslocamento.

Além disto, o cálculo dos deslocamentos da estrutura deve ser iterativo, considerando que as deflexões assumidas, por serem grandes, influenciam na rigidez da estrutura.

2.2 PLACAS EM ESTRUTURAS OFFSHORE

2.2.1 Casco de Navio

A utilização de placas enrijecidas na composição dos cascos dos navios é de extrema importância para a estabilidade e resistência do mesmo. A Figura 2.1 apresenta um modelo simplificado da estrutura interna do casco de navios utilizados na indústria petrolífera.

5

Figura 2.1- Seção transversal do casco de um navio (BARROS, 2015)

2.2.2 Estruturas Topside

Estruturas topside são estruturas presentes no convés de navios tipo FPSO, e se referem a um conjunto de módulos que servem de apoio à operação de diversos sistemas presentes na unidade petrolífera. Um módulo de produção, por exemplo, que é parte componente de uma planta de processo da unidade, é um tipo de estrutura topside. O seu piso é composto de placas com enrijecedores, e pode ser melhor observado na Figura 2.2, onde um modelo representativo de um módulo de produção é mostrado.

Figura 2.2- Modelo representativo de um módulo de produção (SÁ, 2015)

6

3 TEORIA DE PLACAS

3.1 APRESENTAÇÃO

Placas são elementos estruturais bidimensionais inicialmente planos, caracterizados por sua superfície média e ação de cargas transversais, sendo sua espessura bem menor que as demais dimensões.

Para o estudo de placas sob ação de cargas de qualquer natureza, deve- se considerar o esquema estrutural, propriedades geométricas e intensidade do carregamento. Assim pode-se assegurar que o comportamento estrutural real da placa possa ser bem representado, seja através de uma modelagem que utilize o Método dos Elementos Finitos (MEF), ou através de soluções analíticas, que são provenientes da Teoria da Elasticidade.

As placas, em geral, podem ser divididas em três grupos: placas esbeltas com pequenos deslocamentos, placas esbeltas com grandes deslocamentos e placas espessas.

As placas esbeltas são definidas pela relação entre a espessura e a sua menor dimensão ser inferior a 1/20 (UGURAL, 1981).

As placas com grandes deslocamentos são aquelas em que os deslocamentos transversais se aproximam mais do valor da espessura da placa, mas ainda são pequenos se comparado com as demais dimensões (UGURAL, 1981).

Quando a placa possui deslocamentos transversais bem menores que a sua espessura, é classificada como de pequenos deslocamentos.

3.2 PRINCIPAIS TEORIAS

Existem três principais teorias que são amplamente aplicadas no estudo do comportamento estrutural das placas: Teoria de Kirchhoff, Teoria de Mindlin e Teoria de von Kármán.

A Teoria de Kirchoff, também chamada de Teoria Clássica, admite que, na composição dos deslocamentos transversais, apenas as deformações por flexão são consideradas, e os efeitos da carga axial normal podem ser analisados separadamente (KIRCHHOFF,1850 e ALVES, 2015). Esta última consideração só é aceitável se a carga axial normal atuante na placa for muito inferior que a sua força crítica compressiva de resistência. Além disto, a Teoria de Kirchhoff é aplicável para placas esbeltas com pequenos deslocamentos, onde é possível tratar o comportamento da placa como linear-geométrico.

7

Sendo assim, a Teoria de Kirchhoff admite as seguintes hipóteses:

1. O plano médio da placa permanece indeformável após a flexão.

2. Seções planas normais ao plano médio da placa permanecem planas e normais após a flexão. Isto significa que as distorções no plano xz e yz (�yz

, �xz) e a deformação normal �z são desprezadas. A deflexão das placas é então decorrente, exclusivamente, das deformações por flexão. (UGURAL, 1981).

3. A tensão normal na direção z pode ser desprezada (z=0).

Para placas espessas, onde os deslocamentos continuam a ser muito menores se comparado à espessura da placa, a Teoria de Mindlin é a mais indicada. A Teoria considera que os deslocamentos transversais são compostos pelas deformações por flexão e por cisalhamento, e que os efeitos da carga axial normal podem ser analisados separadamente (MINDLIN, 1951 e ALVES, 2015).

Suas principais hipóteses são:

1. O plano médio da placa permanece indeformável após a flexão.

2. Seções planas normais ao plano médio da placa permanecem planas após a flexão, mas não necessariamente normais ao plano médio. Isto significa que as distorções no plano xz e yz não podem ser mais negligenciadas.

3. A tensão normal na direção z pode ser desprezada.

A Teoria de von Kármán pode ser aplicada para placas esbeltas com grandes deslocamentos transversais, onde a composição dos deslocamentos verticais depende das deformações por flexão e da carga axial normal atuante no interior da placa (VON KÁRMÁN, 1910 e ALVES, 2015). Isto quer dizer que o comportamento da placa passa a ser não linear geométrico.

Suas principais hipóteses são:

1. Há deformações no plano médio da placa após a flexão.

2. Seções planas normais ao plano médio da placa permanecem planas e normais ao plano médio após a flexão. Isto significa que as distorções no plano xz e yz são desprezadas (�yz , �xz).

3. A tensão normal na direção z pode ser desprezada.

Soluções a partir da Teoria de von Kármán podem ser aplicadas para análise de estabilidade elástica de placas utilizadas em projetos de estruturas metálicas, frequentemente usadas na indústria naval (OLIVEIRA, 2009).

8

A Figura 3.1 mostra um resumo das teorias apresentadas neste tópico. A carga crítica de flambagem da placa é representada por Ncr.

Visando aproveitar os conceitos e soluções analíticas que possam ser aplicados em muitos dos problemas de engenharia, e especificamente, na indústria naval, são abordadas as Teorias de Kirchhoff, inicialmente, e a Teoria de von Kármán, posteriormente.

3.3 TEORIA DE KIRCHHOFF

Tomando como base as hipóteses preconizadas pela Teoria de Kirchhoff, considera-se uma placa com geometria qualquer, isotrópica, homogênea e de comportamento linear elástico, conforme mostra a Figura 3.2. O plano xy coincide com o plano médio da placa, e o eixo z é perpendicular a esse plano. Os deslocamentos nas direções x, y e z, são dados por u, v, e w, respectivamente, com o mesmo sentido positivo das coordenadas retangulares. Para as rotações, o sentido positivo acompanha a regra da mão direita. Quando a placa é submetida a um carregamento transversal, esta assume a configuração deformada apresentada na Figura 3.3.

Figura 3.1- Teorias desenvolvidas

9

Figura 3.2- Sistema Referencial

Figura 3.3- Configuração Deformada

10

Partindo do princípio que as rotações são pequenas, pode-se escrever que:

��

� � � ��

Assim, da Figura 3.3:

�� !� � �� "��

Analogamente, para a direção y:

#� � ��$ � �"��%

O campo de deslocamento fica expresso por:

! � �"�� %��

# � �"�� %�%

� � �� 3.3.1 Relação Deformação-Deslocamento

Como consequência da hipótese 2 da Teoria de Kirchhoff e da Teoria Linear da Elasticidade, as relações entre deformações e deslocamentos podem ser escritas através de equações geométricas:

& � '!'� � �� '(�'�(

&$ � '#' � �� '(�' (

&) � '�'� � *

��+$ � '!' � '#'� � �,� '-�'�' ��./�0 � 1 +) � '�'� � '!'� � *

+$) � '�' � '#'� � *

Estas equações expressam as deformações em qualquer ponto da placa.

11

3.3.2 Relação Deformação-Curvatura

A curvatura de uma superfície é definida pela taxa de variação da declividade da placa em relação a uma determinada direção. Considerando a hipótese de que a inclinação da superfície média fletida é muito pequena, pode-se admitir que a curvatura �, na superfície média da placa, em seções paralelas aos planos xz, yz e xy, respectivamente, é: �2 � ''� 3'�'�4 � 5 � 676�

�� 2$ � '' 3'�' 4 � 5$ � 67$6 ��./, �2$ � ''� 3'�' 4 � 5$ � 5$ � 676 � 67$6�

onde rx, ry , �x e �y são os raios de curvatura na superfície média, e os ângulos da placa deformada nos planos xz e yz, respectivamente, e rxy é o raio de curvatura no plano xy.

Assim, das equações (3.1a,b,d) e (3.2) a relação entre deformação e curvatura pode ser escrita como:

& � ��5

��&$ � ��5$��./. 8$ � �,�5$

A Figura 3.4 mostra a curvatura de uma placa no plano xz.

Figura 3.4-Curvatura da placa no plano xz

12

3.3.3 Relação Tensão-Deformação

De acordo com a Lei de Hooke generalizada, para materiais isotrópicos, homogêneos e com linearidade física, tensão e deformação se relacionam através de equações constitutivas. Lembrando que a tensão z pode ser desprezada, tem-se:

9 � �: ;< � =<$> 9$ � �: ;<$ � =<>

��9) � �: ;�=�< � <$>��./? 8$ � @$A

8) � @)A

8$) � @$)A

com:

A � :,�� = onde E, � e G são, respectivamente, o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade transversal do material.

Explicitando as tensões da equação (3.4), e, lembrando que as deformações �z , �xz e �yz podem ser negligenciadas, tem-se:

< � :� � =- B9 � =9$C ��<$ � :� � =- B9$ � =9C��./D

��@$ � A8$

Ou ainda, substituindo as equações (3.1a,b,d) nas equações (3.5), tem-se as tensões em termos dos deslocamentos:

< � � :�� =- E'(�'�( � = '(�' (F

��<$ � � :�� =- E'-�' - � = '-�'�-F��./G �@$ � � :�� = E '-�'��' F

13

A Figura 3.5 mostra a concordância adotada para tensões de acordo com a Teoria da Elasticidade. As tensões estão indicadas com os sentidos positivos.

Figura 3.5-Convenção de sinais para tensão num elemento infinitesimal de placa

3.3.4 Solicitações

As tensões, que são distribuídas ao longo da espessura da placa, produzem momentos fletores, torsores e forças de cisalhamento. Estes momentos e forças por unidade de comprimento também são chamados de resultantes de tensões (UGURAL, 1981). Integrando as tensões ao longo da espessura da placa, obtém-se:

H �<6 6� � 6 H �<6�IJ-KIJ-

IJ-KIJ- � L6

��M LL$L$N � H O <<$@$P

IJ-KIJ- �6��./Q

��RSS$T � H U@)@$)VIJ-KIJ- 6��./W

É importante ressaltar que as distorções �xz e �yz são desprezadas, mas as forças cortantes Qx e Qy devem ser consideradas.

Os sentidos positivos das solicitações e a distribuição de tensões no elemento infinitesimal de placa estão representados na Figura 3.6 e Figura 3.7.

14

Substituindo as equações (3.6) ou (3.2) na (3.7), obtém-se as equações para os momentos por unidade de comprimento em termos da deflexão, ou da curvatura da placa:

L � �X E'-�'�- � = '-�' -F � �XBY � =Y$C� ��L$ � �XE'-�' - � = '-�'�-F � �XBY$ � =YC��./Z�

L$ � L$ � �X�� = E '-�'��' F � �X�� =Y$

onde Mxy = Myx, e D é a rigidez flexional da placa, dada por:

��X � :[\�,�� =(��./�*

As tensões x , y e �xy podem ser escritas em termos dos momentos substituindo a equação (3.9) na (3.6), e em seguida, aplicando a equação (3.10):

< � �,L�[\

��<$ � �,L$�[\ ��./�� @$ � �,L$�[\

Figura 3.6-Distribuição de tensões e sentidos positivos das solicitações de momento

15

Figura 3.7-Distribuição de tensões e sentidos positivos das solicitações de cortante

Considerando a hipótese 2 da Teoria de Kirchhoff, não é possível descrever as expressões para �xz e �yz utilizando a Lei de Hooke. Sendo assim, é necessário escrever as equações diferenciais de equilíbrio para o elemento infinitesimal de placa:

'<'� � '@$' � '@)'� � *

��'<$' � '@$'� � '@)$'� � *��./�, '<)'� � '@)'� � '@$)' � *

Substituindo as equações (3.6) nas duas primeiras equações da (3.12), obtém-se por integração as tensões �xz e �yz:

@) � � :,�� =- E[-? � �(F ] ''� E'(�'�( � '(�' (F^ ��@$) � � :,�� =- E[-? � �-F ] '' E'-�'�- � '-�' -F^��./�.

É importante lembrar que a deformação e a tensão em z, �z e z, podem ser determinadas, mas conforme preconizado nas hipóteses da Teoria de Kirchhoff, são desprezadas.

16

3.3.5 Equações de Equilíbrio

A Figura 3.8 mostra os momentos e forças em um elemento infinitesimal de placa submetida a um carregamento transversal distribuído em sua superfície.

Uma componente de momento Mx age na face negativa de x (face esquerda), e varia de valor com relação ao eixo x até a posição da face positiva de x (face direita). Esta variação com a posição pode ser expressa pela série truncada da expansão de Taylor (UGURAL, 1981):

L � 'L'� 6

Figura 3.8- Forças e momentos em um elemento infinitesimal de placa

Verificando o equilíbrio de forças na direção z, e o equilíbrio de momentos em relação ao eixo x e y, tem-se:

Fz=0:

��'S'� � 'S$' � _ � *��./�?0 Mx=0:

��'L$'� � 'L$' � S$ � *��./�?` My=0:

��'L'� � 'L$' � S � *��./�?�

17

Utilizando as equações (3.14b) e (3.14c) na (3.14a):

��'(L'�( � ,'(L$'��' � '(L$' ( � �_��./�D

Esta é a equação diferencial de equilíbrio para flexão de placas esbeltas.

Escrevendo a equação (3.15) em termos de deslocamentos tem-se a equação diferencial bi-harmônica que rege as deflexões para placas esbeltas.

��'a�'�a � , 'a�'�-�' ( � 'a�' a � _X��./�G

Agora, as equações para as forças cortantes podem ser escritas usando as equações (3.9) nas (3.14b) e (3.14c):

S ��X ''� E'-�'�- � '-�' -F

��S$ ��X '' E'-�'�- � '-�' -F��./�Q

3.3.6 Força Cortante Efetiva

A solução da equação diferencial da placa requer que se aplique condições de contorno essenciais (relativos a deslocamentos e/ou rotações) ou naturais (relativos a forças e/ou momentos). Sendo assim, observa-se que nas placas existe a presença dos momentos torsores distribuídos ao longo dos seus bordos. Para considerá-los como parte das condições estáticas, estes são substituídos por um sistema de forças equivalentes (UGURAL, 1981 e ALVES, 2015), conforme mostra a Figura 3.9.

18

Figura 3.9- Torsor substituído por forças equivalentes e as resultantes

Adicionando as resultantes verticais provenientes das forças cortante, tem-se as forças cortante efetivas por unidade de comprimento:

b � S � 'L$' � �X ]'c�'�c � �, � = 'c�'��' (^ ��b$ � S$ � 'L$'� � �X ]'\�' \ � �, � = '\�'�-�' ^��./�W

Algumas observações devem ser mencionadas:

1. A substituição dos momentos torsores distribuídos por binários, e estes por resultantes verticais, provoca alterações nas distribuições de tensões e deformações somente nas proximidades do contorno (Princípio de Saint Venant) (UGURAL, 1981 e ALVES, 2015).

2. As reações de apoio (que são iguais às forças cortante efetivas) não são idênticas às forças cortante, caso existam momentos torsores (ALVES, 2015).

3. Nos bordos livres, a força cortante efetiva se anula, porém, em geral, suas componentes (cortante e torsor), podem apresentar valores não nulos (ALVES, 2015).

19

3.3.7 Reação de Canto

Analisando os binários equivalentes aos momentos torsores em trechos infinitesimais da placa, observa-se que surge uma força concentrada nos cantos (ALVES, 2015), conforme pode ser visto na Figura 3.10.

Figura 3.10- Resultante no canto do elemento infinitesimal de placa

com isto:

��d � �,L$��./�Z

Logo, uma placa retangular plana, com deslocamentos verticais impedidos, apresenta uma reação concentrada nos cantos. Se os deslocamentos verticais estão liberados, os cantos se erguem (ALVES, 2015).

3.3.8 Condições de Bordo

Os bordos de uma placa podem estar engastados, simplesmente apoiados, livres, livres somente para deslizar verticalmente, ou com apoio elástico. Para cada tipo de bordo devem ser determinadas as condições essenciais e/ou naturais a que estão submetidos. A Figura 3.11 exibe os bordos, paralelos à direção y, engastados, simplesmente apoiados e livres, com suas respectivas condições de contorno.

20

Figura 3.11- Bordos ilustrados com condições geométricas e/ou cinemáticas

A Teoria de Kirchhoff pode ser apresentada sob a forma de um Diagrama de Tonti, (físico italiano), conforme ilustrado na Figura 3.12, com todas as principais relações entre deformações, deslocamentos, tensões e forças/momentos.

21

Onde: Relações

Condições de Contorno Incógnitas

Essenciais Dados

w=�e ; �x=7f ; �y=7f$

Deslocamentos e Rotações Eq. Bi-Harmônica Carregamento

w(x,y) ga� � _JX q

�x e �y

Equações Geométricas Equações de Equilíbrio

& � �� h(ih( ; 5 � h(ih( hjkh � hjlh$ � _ � * ; b � S � hmklh$

&$ � �� hnih$n ; 5$ � h(ih$( hmklh � hmlh$ � S$ � * ; b$ � S$ � hmklh

+$ � �,� hnih/h$ ; 5$ � hh ohih$p hmkh � hmklh$ � S � *

Deformações e Curvaturas Equações Constitutivas Tensões e Solicitações

& , &$ , +$ < � qrKsn B9 � =9$C x, y, �xy ; Mx, My, Mxy

5 , 5$ , 5$ <$ � qrKsn B9$ � =9C �xz, �yz ; Vx, Vy

& � ��5 , &$ � ��5$ @$ � A8$

8$ � �,�5$

Cond. de Contorno Naturais

Mx=Lt ; My=Lt$ ; Vx=bu ; Vy=bu$

Figura 3.12- Diagrama de Tonti

Depois que todas as equações para deformação, tensão, forças e momentos foram desenvolvidas em função do deslocamento, basta então que esta função seja determinada para que o comportamento estrutural de uma placa seja conhecido. Para tanto, são utilizados os métodos de Navier e de Rayleigh-Ritz, apresentados a seguir.

22

3.4 MÉTODO DE NAVIER

O comportamento estrutural de uma placa retangular, submetida a uma carga transversal distribuída por área, pode ser conhecido se encontrada uma função w(x,y) que satisfaça à equação diferencial da placa, e que atenda às condição de contorno.

Navier, em 1820, propôs que a equação de deslocamentos transversais w(x,y) fosse uma solução expandida em série dupla de Fourier com senos, como apresentado a seguir. Tal solução atende à equação bi-harmônica da placa e às condições de contorno, essenciais e naturais.

É importante lembrar que a solução desenvolvida por Navier presta-se apenas para placas retangulares simplesmente apoiadas em todos os seus bordos.

�� v v 0wx�yz{|�0}x~r

}w~r �yz z| ` ��./,*

�� *�� '(�'�( � *�� *� � � 0��./,�0 �� *�� '(�' ( � *�� *� � `��./,�`

onde amn é uma constante que depende dos números inteiros m e n, correspondentes ao número de meias-ondas de seno consideradas nas direções x e y, respectivamente. As dimensões a e b são correspondentes aos bordos nas direções x e y, respectivamente.

Analogamente, de forma geral, o carregamento transversal pode também ser decomposto em forma de uma série dupla de Fourier com senos:

��_�� v v _wx�yz{|�0}x~r

}w~r �yz z| ` ��./,,

onde qmn é uma constante que depende dos números inteiros m e n, e do tipo de carregamento aplicado à placa, sendo expresso por:

��_wx � ?0`H H _�� yz{|�0 �yz z| `��

�� 6�6 ��./,.

Substituindo as equações (3.20) e (3.22) na (3.16), e evidenciando amn, tem-se:

��0wx � �|aX _wx�o{0 p- � oz̀p-�- ��./,?

23

Assim, a equação do deslocamento vertical da placa pode ser escrita como:

�� |aXv v _wx�o{0 p- � oz̀p-�- �yz

{|�0}x~r

}w~r �yz z| ` ��./,D

Com isto, basta que o coeficiente qmn seja determinado e substituído na equação (3.25) para que os deslocamentos em qualquer ponto da placa sejam conhecidos. A partir da equação de deslocamentos w(x,y), é possível conhecer o comportamento estrutural da placa em qualquer ponto aplicando as equações desenvolvidas no tópico 3.3 deste trabalho.

3.5 FORMULAÇÃO POR ENERGIA

Como uma alternativa ao método de equilíbrio mostrado na seção 3.3, a análise de deformações e tensões para um sistema estrutural elástico-linear pode ser formulado por energia. Com esta formulação pode-se ainda tratar placas com geometrias irregulares, cargas não uniformes, seções transversais variáveis e materiais anisotrópicos (UGURAL, 1981). Inicialmente, a formulação por energia é aplicada ao problema de placas esbeltas com pequenas deformações transversais.

3.5.1 Energia de Deformação

A energia de deformação é a energia acumulada num corpo, em regime elástico-linear, devido ao trabalho das forças externas. Esta energia é conservada e utilizada, quando da retirada do carregamento, para fazer o corpo voltar ao seu estado inicial.

A energia de deformação para um estado geral de tensões é dada por:

�� ,� B<& � <$&$ � <)&) � @$8$ � @)8) � @$)8$)C6�/ 6 / 6��./,G��

Considerando as hipóteses da Teoria de Kirchhoff, a tensão z e as distorções �xz e �yz podem ser desprezadas. Substituindo as equações (3.5) na (3.26), obtém-se a energia de deformação em termos das tensões:

�� ,� E�<- � <$- � ,=<<$: � @$(A F6�/ 6 / 6��./,Q��

24

Em termos de deslocamentos transversais, e supondo a espessura da placa constante, usando a equação (3.6) e a rigidez à flexão da placa na equação (3.27), tem-se:

�� ,� X �E'-�'�- � '-�' -F- � ,�� =�'-�'�- '-�' - � E '-�'��' F

-��6�/ 6 ��./,W��

onde A é a área da superfície plana da placa.

3.5.2 Energia Potencial de Cargas

Adotando-se a superfície média indeformada como referencial, a energia potencial para uma carga distribuída pela superfície da placa é:

�� _�6�/ 6 ��./,Z��

O sinal negativo é explicado pelo fato do referencial ser a posição inicial indeformada da placa, e os deslocamentos e rotações nas direções das cargas resultam em perda de energia potencial (ALVES, 2015). A Figura 3.13 mostra a posição deformada de uma placa submetida à ação de uma carga distribuída em sua superfície.

Figura 3.13-Placa deformada

25

3.5.3 Energia Potencial Total

A energia potencial total é a soma de todas as energias envolvidas no processo de deformação elástica do corpo, representada pela soma das energias de deformação e potencial das cargas:

�� ./.*

ou:

� �� OX, �E'-�'�- � '-�' -F- � ,�� =�'-�'�- '-�' - � E '-�'��' F

-�� _�P6�/ 6 ��

��./.�

3.5.4 Método de Rayleigh-Ritz

O Método de Rayleigh–Ritz é baseado no princípio da Energia Potencial Estacionária, que diz que dentre todas as configurações cinematicamente admissíveis, aquela que apresentar valor estacionário da Energia Potencial Total corresponde a um ponto de equilíbrio (ALVES, 2015).

Buscando respostas aproximadas para os deslocamentos da placa, uma função aproximada ��(x,y) é escolhida de tal forma que atenda às condições de bordo essenciais. Esta função é então composta por uma família de funções que atendem às condições de contorno essenciais nas direções x e y da placa. A função ��(x,y) é assim substituída na equação da Energia Potencial Total, permitindo sua extremização.

Ao extremizar a Energia Potencial Total, ou seja, buscar a condição de derivada primeira nula, as constantes presentes na função aproximada de deslocamentos transversais ��(x,y) podem ser determinadas. Com isto, a partir da função aproximada, o comportamento estrutural da placa pode ser conhecido com a aplicação da função nas equações desenvolvidas na seção 3.3 deste trabalho.

Uma vantagem da aplicação do Método de Rayleigh-Ritz em comparação com o Método de Navier, é que aquele pode ser aplicado para qualquer condição de bordo da placa, bastando que a função aproximada atenda às condições essenciais de bordo da estrutura. O Método de Navier só pode ser aplicado para placas retangulares simplesmente apoiadas em todos os bordos.

No tópico seguinte, é desenvolvido um exemplo para aplicação das equações apresentadas na seção 3.3 deste trabalho, em conjunto com o uso das formulações propostas por Navier e pelo Método de Rayleigh-Ritz. Visando comparar os resultados, é utilizado o programa SAP2000 v.16, que faz uso do Método dos Elementos Finitos (MEF).

26

3.6 ANÁLISE DE PAINEL

Com base na Teoria de Kirchhoff, é analisado um painel com bordos simplesmente apoiados submetido a um carregamento uniformemente distribuídos em sua superfície (Figura 3.14), utilizando os Métodos de Navier e de Rayleigh-Ritz.

Figura 3.14 Modelo simplificado da placa em análise

Os resultados provenientes das equações analíticas (Métodos de Navier e de Rayleigh-Ritz) são posteriormente comparados com os resultados obtidos através de uma análise computacional (via programa SAP2000 v.16).

3.6.1 Soluções Analíticas

O método de Navier é aplicado utilizando como dados de entrada as propriedades físicas e geométricas apresentadas na Figura 3.14. Além disto, a série dupla foi desenvolvida considerando 20 termos para cada direção da placa.

Na aplicação do método de Rayleigh-Ritz, as funções aproximadas utilizadas para cada direção são as seguintes:

27

• Para a direção x:

�r�� 3,�0 � �4-

��-�� 3,�0 � �4a ��./., onde a=1,0m

• Para a direção y:

�r� � � � 3, ̀ � �4-

��-� � � � 3, ̀ � �4a ��./.. onde b=2,0m

�

��

��

��

��

��

� ��

��

�

�

��

��

��

��

��

� ��

�

�

�

��

��

��

��

��

� ��

��

�

�

��

��

��

��

��

� ��

�

�

Figura 3.15- Gráfico da função w1(x) Figura 3.16- Gráfico da função w2(x)

Figura 3.17- Gráfico da função w2(y) Figura 3.18- Gráfico da função w1(y)

28

Depois de escolhidas as funções aproximadas para cada direção da placa, a função �� torna-se a seguinte:

�� r/ �r��/�r� � �-/ �r��/�-� � �\/ �-��/�r� ��a/ �-��/�-� ��./.? onde C1, C2, C3 e C4 são as constantes a determinar.

Todo o trabalho algébrico, desenvolvido com o auxílio do programa MathCAD v.14, está apresentado no Anexo A.

3.6.2 Modelagem Computacional

Inicialmente, a malha é modelada com o auxílio do programa AutoCAD versão 2014 (vide Figura 3.19), considerando elementos finitos quadrados de dimensões 0,05m por 0,05m. Os elementos são representados por 3DFACES (o comando cria uma superfície no espaço 3D). Em seguida, o desenho é exportado para o programa SAP2000 v.16, e as suas propriedades físicas e geométricas são definidas, inclusive a consideração de placa fina na definição da geometria dos elementos de placa (Figura 3.20). Depois que o carregamento é aplicado ao painel e as condições de bordo são consideradas na estrutura (Figura 3.21), a análise pode ser realizada.

Os resultados comparativos são apresentados adiante por meio de gráficos.

Figura 3.19- Malha da placa no programa AutoCAD

29

Figura 3.20- Definição geométrica da placa

Figura 3.21- Modelo estrutural da placa no programa SAP2000 v.16

30

3.6.3 Resultados Comparativos

As Figuras a seguir exibem os resultados para:

− Deslocamento transversal ao longo da direção y, quando x=0,5m (Figura 3.22);

− Momentos fletores Mx e My ao longo da direção y, quando x=0,5m (Figura 3.23 e Figura 3.24);

− Momento torsor Mxy no bordo apoiado, ao longo da direção x, quando y=0m (Figura 3.25);

− Tensão normal em x �x ao longo da direção y, quando x=0,5m e z=0,015m

(Figura 3.26);

− Tensão cisalhante �xy no bordo apoiado, ao longo da direção x, quando y=0m e z=0,015m (Figura 3.27);

− Reação de canto (Figura 3.28).

��

��

��

��

��

��

� ��

��

�!��"��!��#��

��$%��&�%��!��'��(��#��)��

*+,��

*��-./��0�%

1�&!�%

*��-./��0�%

2��!'3�2!�4

Figura 3.22-Deslocamentos transversais no meio da placa (direção y)

31

��

��

��

��

��

��

��

� ��

5��5��

�617�8�

�!��"��!��#��

5��9��%�5��'��(��#��)��

*+,��

*��-./��(�

1�&!�%

*��-./��0�%

2��!'3�2!�4

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��

��

��

��

��

��

� ��

5��5��

�617�8�

�!��"��!��#��

5��5��'��(��#��)��

*+,��

*��-./��(�

1�&!�%

*��-./��0�%

2��!'3�2!�4

Figura 3.23- Momento Mx no meio da placa

Figura 3.24- Momento My no meio da placa

32

��

��

��

��

��

��

��

� ��

5��5��

�617�8�

�!��"��!��#��

5��$�%��%�5��'��(��:��)��

*+,��

*��-./��0�%

1�&!�%

*��-./��0�%

2��!'3�2!�4

��

7��

�7��

�7��

�7��

�7��

�7��

7��

7��

� ��

$��/��%��

�618�;8�

�!��"��!��#��

$��/��1�%�� '��(��#��)��4)��

*+,��

*��-./��0�%

1�&!�%

*��-./��0�%

2��!'3�2!�4

Figura 3.25- Momento Mxy no bordo da placa

Figura 3.26- Tensão normal �x no meio da placa

33

��7��

��7��

��7��

�7��

��

7��

�7��

�7��

�7��

� ��

$��/��!��3��

�618�;8�

�!��"��!��:��

$��/��<!��3�� '��(��:��)��4)��

*+,��

*��-./��0�%

1�&!�%

*��-./��0�%

2��!'3�2!�4

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

9�%.��61

2��./��(��<��)��)��

*+,��

*��-./��0�%

1�&!�%

*��-./��0�%

2��!'3�2!�4

Figura 3.27- Tensão cisalhante �xy no bordo da placa

Figura 3.28- Reação de canto na placa

34

3.6.4 Conclusão Parcial

Os resultados da análise utilizando a equação analítica proposta por Navier, são praticamente semelhantes aos encontrados pelo programa SAP2000 v.16. Isto vale para todas as análises realizadas.

A solução por Rayleigh-Ritz também obteve resultados muito satisfatórios para todas as análises, exceto para o My, onde nos extremos da placa um momento de 0,2 kN.m/m é encontrado.

A diferença dos resultados para My , comparando a solução por Rayleigh-Ritz frente às demais, deve-se ao fato de que as equações aproximadas consideradas (equações 3.32 e 3.33) não atendem à condição cinemática de contorno (vide Figura 3.11). Entretanto, a utilização destas funções na solução de Rayleigh-Ritz permite distribuir melhor os erros no resultado, pois, caso o momento My fosse nulo nas extremidades, é possível que as diferenças no meio do vão aumentassem.

Para que se obtenha resultados mais aproximados, recomenda-se que a equação (3.34) seja enriquecida com termos de mais alto grau.

Outras funções que podem ser utilizadas, e que atendem às condições geométricas e naturais de contorno, são as trigonométricas. Neste trabalho, estas funções não serão desenvolvidas, mas suas aplicações concedem bons resultados.

Por fim, pode-se dizer que as soluções propostas por Navier e por Rayleigh-Ritz, para placas finas, se constituem em mais duas adequadas ferramentas, além da solução via MEF, que podem auxiliar o engenheiro na obtenção do comportamento estrutural de placas com este perfil.

35

4 PLACAS ORTOTRÓPICAS

Até o momento, as placas consideradas neste estudo eram compostas por material homogêneo, em sua estrutura microscópica, e isotrópico, pois suas propriedades físicas e mecânicas eram iguais em todas as direções da placa. Entretanto, placas de material anisotrópico também possuem muitas aplicações em estruturas utilizadas na engenharia.

Um material anisotrópico apresenta propriedades diferentes em suas diversas direções. Um caso especial de anisotropia, é quando o material apresenta diferentes propriedades ao longo de duas direções mutuamente ortogonais. Neste caso, o material é dito ortotrópico.

Como exemplo de materiais ortotrópicos, tem-se a madeira, chapas de metais corrugados, materiais compósitos, entre outros.

As equações desenvolvidas neste capítulo são para flexão de placas esbeltas ortotrópicas com pequenas deflexões, considerando a Teoria de Kirchhoff.

4.1 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

4.1.1 Relação Tensão-Deformação

Para a resolução dos problemas de flexão de placas esbeltas ortotrópicas, a Lei de Hooke generalizada deve ser reformulada, assumindo a seguinte forma:

& � <: � =$ <$:$

��&$ � <$:$ � = <: ��?/� 8$ � @$A

onde Ex ,Ey ,�x , �y e G são os módulos de elasticidade nas direções x e y, os coeficientes de Poisson nas direções x e y, e o módulo de elasticidade transversal, respectivamente. Todos os módulos são independentes entre si.

O módulo de elasticidade transversal é o mesmo para materiais isotrópicos e ortotrópicos.

Escrevendo as tensões em termos das deformações:

< � :� � ==$ B9 � =$9$C

36

��<$ � :$� � ==$ B9$ � =9C��?/, ��@$ � �8$

A hipótese 2 da Teoria de Kirchhoff continua válida para flexão de placas ortotrópicas, então, as equações (3.1a-f) prosseguem aplicáveis, e as tensões podem ser escritas em função dos deslocamentos transversais da placa:

< � ��E :� � ==$FE'-�'�- � =$ '-�' -F

��<$ � �� E :$� � ==$FE'-�' - � = '-�'�-F��?/.

�@$ � �,A� '-�'��'

4.1.2 Solicitações

As equações para os momentos Mx , My e Mxy podem ser obtidas substituindo as equações (4.3) nas equações (3.7). Depois da integração ao longo da espessura da placa, tem-se:

L � �EX '-�'�- � X$ '-�' -F� ��L$ � �EX$ '-�' - � X$ '-�'�-F��?/?�

L$ � L$ � �,A$ E '-�'��' F

onde Dx, Dy e Dxy representam as rigezas à flexão, e Gxy a rigidez torsional de uma placa ortotrópica, e podem ser expressas por:

��X � :[\�, �� X$ � :$[\�, �� X$ � :$[\�, �� A$ � A[\�, ��?/D

em que Exy é:

��:$ � :=$� � ==$ � :$=� � ==$ ��?/G

37

As equações para as forças cortantes podem ser obtidas substituindo as equações (4.4) nas equações de equilíbrio (3.14b) e (3.14c):

S � � ''� EX '-�'�- � � '-�' -F� ��S$ � � '' EX$ '-�' - �� '-�'�-F��?/Q�

onde H é:

�� X$ � ,A$��?/W

A equação diferencial que rege as deflexões para uma placa ortotrópica pode ser conhecida usando a equação (4.4) na (3.15), logo:

��X �'a�'�a � ,� 'a�'�-�' ( � X$ 'a�' a � _��?/Z

4.1.3 Determinação das Rigezas

4.1.3.1 Abordagem de UGURAL

As rigezas para alguns casos de estruturas ortotrópicas comumente encontradas na engenharia são exibidas na Figura 4.1 (UGURAL, 1981).

38

Figura 4.1-Estruturas ortotrópicas e suas rigezas (UGURAL, 1981)

39

Para a análise que é realizada na seção 4.4 deste trabalho, o caso C da Figura 4.1, onde a placa é reforçada por um conjunto de vigas equidistantes, é o mais aconselhado para aplicação. Então, as rigezas a considerar são:

X � :�[\�, 3� � � � � o [[rp\4

� X$ � :��

� � ,A$� � ��

��X$ � *��?/�*

onde C é a rigidez torsional da viga enrijecedora, I é o momento de inércia sobre o eixo neutro de uma seção T de largura s (como mostrado na Figura 4.1), G'

xy é a rigidez à torção da placa, sem a viga, e E é o módulo de elasticidade do material utilizado.

A incógnita H corresponde à rigidez torsional compatibilizada, e pode ser determinada por meio de um caso geral desenvolvido para uma laje nervurada nas duas direções (SZILARD, 2004). Com a consideração de reforço da placa em apenas uma direção, e desprezando fatores de redução, a equação para rigidez torsional compatibilizada da estrutura se reduz a:

�� :[\�,�� = � A, E��[r � [�\� F��?/��

onde é um fator numérico dependente da relação (t1-t)/h , como mostra a Tabela 4.1, e G pode ser escrito como:

��A � :,�� =��?/�,

Tabela 4.1- Fator numérico

(t1-t)/h 1,00 1,20 1,50 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 8,00 10,00 �

0,140 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333

40

4.1.3.2 Abordagem de SZILARD

O livro de SZILARD (2004) também apresenta valores de rigezas para alguns tipos de estruturas ortotrópicas. A placa que é analisada na seção 4.4 deste trabalho segue a representação do modelo padrão considerado por SZILARD (2004), que é apresentado na Figura 4.2.

Figura 4.2- Modelo considerado (SZILARD, 2004)

As rigezas a considerar são:

X � :�c�,�� =$- � :��-� � =$- � :��r

X$ � :�c�,�� =$- � :��$-� � =$- � :��$�-

�� :�c�,�� =$- � A$G E�6�[�\�r � �6�[�\�- F��?/�.

onde �xy =��==$�= � , Iox e Ioy são os momentos de inércia dos enrijecedores em relação

ao seus eixos neutro, nas direções x e y, respectivamente, ex e ey representam a distância dos eixos neutro dos enrijecedores até o plano médio da placa, c1 e c2 são as distâncias entre os planos verticais de simetria dos enrijecedores, e Gxy é igual ao módulo de elasticidade transversal do material.

É importante lembrar que as rigezas determinadas nas seções 4.1.3.1 e 4.1.3.2 são aproximadas, e que uma análise mais aprofundada de suas aplicações deve ser realizada para melhor conhecer o comportamento estrutural de placas ortotrópicas.

41

Na seção 4.4 deste trabalho, são comparados os resultados de deslocamentos transversais de placas utilizando as rigezas apresentadas por UGURAL (1981) e SZILARD (2004).

Depois de definidas as rigezas, basta que a equação para deslocamentos transversais da estrutura seja encontrada para que o seu comportamento estrutural seja conhecido.

4.2 MÉTODO DE NAVIER

A solução pelo Método de Navier para placas finas ortotrópicas pode ser obtida pela substituição da equação (3.20) na (4.9), e após o desenvolvimento, para uma carga distribuída uniformemente na superfície da placa, tem-se:

�� G_|� v v �yz o{|�0 p �yz oz| ` p{z �3{a0a 4X � ,� 3{-z-0-`- 4 � 3za`a4X$�

}x~r

}w~r ��?/�?

4.3 MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ

A equação de deslocamentos transversais para uma placa ortotrópica, submetida a um carregamento distribuído em sua superfície, pode ser encontrada utilizando o Método de Rayleigh-Ritz, assim como desenvolvido no tópico 3.5 deste trabalho.

A energia de deformação é encontrada substituindo a equação (4.3) na (3.27). Em termos das rigezas definidas na equação (4.5), e considerando espessura constante da placa:

�� ,� �X E'(�'�(F- � ,X$ '(�'�( '(�' ( � X$ E'(�' (F

- � ?A$ E '(�'��' F-� 6�/ 6 ��?/�D�

�

A energia potencial total então é definida por:

� �� O�, �X E'(�'�(F- � ,X$ '(�'�( '(�' ( � X$ E'(�' (F

- � ?A$ E '(�'��' F-� � _�P6�/ 6 ��

�

�?/�G

42

A solução por Navier, especificamente, foi desenvolvida neste tópico com o intuito de obter mais uma ferramenta de análise, além da solução por Rayleigh-Ritz e pelo Método dos Elementos Finitos, para investigação da acurácia das rigezas aproximadas apresentadas nas seções 4.1.3.1 e 4.1.3.2.

4.4 ANÁLISE DE PAINEL ORTOTRÓPICO

A estrutura analisada neste tópico é parte componente de módulos de processamento de óleo, localizado em plantas de processos de plataformas offshore, conforme pode ser visto na Figura 4.3.

Figura 4.3- Módulo de processamento-vista geral (SÁ, 2015)

É analisada uma placa do piso, enrijecida com vigas dispostas na direção do menor comprimento, e espaçadas de 1,0m. As dimensões gerais da placa e das vigas, além das propriedades físicas do material metálico utilizado são apresentadas nas Tabela 4.2, Tabela 4.3 e Tabela 4.4. A Figura 4.4 mostra o perfil utilizado para as vigas enrijecedoras. A placa analisada tem todos os seus bordos simplesmente apoiados, e as Figura 4.5 e Figura 4.6 mostram a representação em planta da estrutura e a representação em corte de parte da estrutura, respectivamente.

Tabela 4.2- Dimensões da placa do piso

Placa do Piso Dimensões em planta(mm) Espessura(mm)

3600 x 5000 8

43

Tabela 4.3- Dimensões das vigas enrijecedoras

Vigas Enrijecedoras do Piso Dimensões

tw (mm) bf (mm) tf (mm) d (mm) 7,6 148 7,6 266

Tabela 4.4- Propriedades físicas do material

Módulo de Elasticidade 200 GPa Coeficiente de Poisson 0,3

Figura 4.4- Perfil metálico das vigas enrijecedoras

Figura 4.5- Representação esquemática em planta da estrutura. Unidades em metro

44

Figura 4.6- Representação esquemática em corte de parte da estrutura. Unidades em milímetro

4.4.1 Soluções Analíticas

O método de Navier é aplicado utilizando as propriedades físicas e geométricas da placa e das vigas como dados de entrada. Além disto, a série dupla é desenvolvida considerando 20 termos para cada direção da placa.

Na aplicação do método de Rayleigh-Ritz, as funções aproximadas utilizadas para cada direção são as mesmas das consideradas no capítulo 3:

• Para a direção x:

�r�� 3,�0 � �4-

��-�� 3,�0 � �4a ��?/�Q onde a=5,00m

• Para a direção y:

�r� � � � 3, ̀ � �4-

��-� � � � 3, ̀ � �4a ��?/�W onde b=3,60m

45

Depois de escolhidas as funções aproximadas para cada direção da placa, a função �� torna-se a seguinte:

�� r/ �r��/�r� � �-/ �r��/�-� � �\/ �-��/�r� ��a/ �-��/�-� ��?/�Z onde C1, C2, C3 e C4 são as constantes a determinar.

Todo o trabalho algébrico, desenvolvido com o auxílio do programa MathCAD v.14, está apresentado no Anexo B.

4.4.2 Modelagem Computacional

A malha é modelada com o auxílio do programa AutoCAD v.2014, considerando elementos finitos quadrados de dimensões 0,10m por 0,10m. Os elementos são representados por 3DFACES. As vigas enrijecedoras são modeladas como elementos de barra, discretos de 0,10m, e distantes da malha de 0,137m na direção de z, para considerar corretamente os baricentros da viga e da placa. A Figura 4.7 mostra o modelo no programa AutoCAD v.2014.

Depois disto, o desenho é exportado para o programa SAP2000 v.16, e todos os nós relativos às vigas e à placa são unificados através de uma ligação rígida, conforme apresentado nas Figura 4.8 e Figura 4.9. As propriedades físicas e geométricas da placa são então definidas, inclusive a consideração de placa fina na definição da geometria dos elementos de placa (Figura 4.10). Após a definição e aplicação do carregamento no painel, os bordos apoiados são considerados na estrutura (Figura 4.11), e a análise pode ser realizada.

Os resultados comparativos são apresentados adiante por meio de gráficos.

Figura 4.7- Malha da placa no programa AutoCAD

46

Figura 4.8- Aplicação da ligação rígida entre os nós da viga e da placa

Figura 4.9- Ligação rígida entre todos os nós da placa e da viga

47

Figura 4.10- Aplicação das propriedades geométricas na placa no programa SAP2000 v.16

Figura 4.11- Modelo estrutural da placa no programa SAP2000 v16

48

4.4.3 Estudo Comparativo entre Rigezas

O estudo comparativo entre as rigezas apresentadas nas seções 4.1.3.1 e 4.1.3.2 deste trabalho, consiste em sua aplicação na análise dos deslocamentos obtidos para o painel enrijecido apresentado neste tópico.

Para aplicar as rigezas propostas por UGURAL (1981), é necessário que a seção transversal da viga enrijecedora, seção em perfil I, seja convertida em uma seção retangular, conforme apresentado na Figura 4.1. Para tanto, a seção retangular fictícia deve manter a mesma área de seção transversal e inércia da seção I. Com isto, a nova seção passa a ter largura de 0,0112m e altura de 0,3706m, conforme evidencia a Figura 4.12.

Figura 4.12- Vista frontal da seção retangular fictícia considerada. Unidades em milímetro

São utilizadas as soluções propostas por Navier, por Rayleigh-Ritz e pelo Método dos Elementos Finitos.

Os resultados obtidos para os deslocamentos transversais do painel enrijecido, considerando as duas definições de rigezas, são apresentados na Figura 4.13 e Figura 4.14. Os deslocamentos ao longo da direção y se referem à posição quando a coordenada x vale 2,5m.

49

Figura 4.13- Deslocamentos da placa utilizando as rigezas propostas por SZILARD (2004)

Figura 4.14- Deslocamentos da placa utilizando rigezas propostas por UGURAL (1981)

Utilizando as rigezas concedidas por SZILARD (2004), as diferenças obtidas entre os deslocamentos transversais máximos são de 7,5% entre a solução por Navier e o programa SAP2000 v.16, e de 5% entre a solução por Rayleigh-Ritz e o mesmo programa.

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50

Considerando as rigezas apresentadas por UGURAL (1981), a diferença para o deslocamento máximo, entre a solução de Navier e o programa SAP2000 v.16 é de 57%, e entre a solução por Rayleigh-Ritz e o mesmo programa é de 39%.

Com isto, conclui-se que, as rigezas apresentadas por SZILARD (2004) resultam em valores de deslocamentos transversais mais próximos da análise via MEF, quando comparados com os resultados obtidos através das rigezas concedidas por UGURAL (1981).

Por fim, a análise do painel é realizada utilizando apenas as rigezas propostas por SZILARD (2004).

4.4.4 Resultados Comparativos

Antes de apresentar os resultados relativos ao comportamento estrutural da placa em análise, é importante dizer que as soluções analíticas forneceram valores de deslocamentos transversais válidos, quando comparados com os obtidos na análise via MEF, tendo em vista o comportamento global da placa (Figura 4.15). Isto acontece pelo fato das equações analíticas considerarem rigezas aproximadas, ou seja, não é possível descrever com exatidão, nestas soluções, a posição das vigas enrijecedoras para que os deslocamentos oscilem, conforme obtido na análise via SAP2000 v.16.

Isto não reduz a importância das soluções propostas por Navier e por Rayleigh-Ritz, uma vez que o conhecimento do comportamento global da placa também é relevante para o dimensionamento desta e da viga enrijecedora.

Figura 4.15- Comparação entre as metodologias para deslocamentos transversais (direção x)

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51

Como os resultados das soluções analíticas, para deslocamentos transversais da placa, descrevem globalmente o comportamento da mesma, os resultados para os esforços solicitantes também assim o farão.

As análises para obtenção dos esforços na placa são feitas utilizando apenas a solução de Rayleigh-Ritz e o MEF.

As figuras a seguir exibem os resultados para:

− Momentos fletores Mx ao longo da direção x, quando y=1,8m (Figura 4.16

e Figura 4.17);

− Momentos fletores My ao longo da direção x, quando y=1,8m (Figura 4.18 e Figura 4.19);

− Momento torsor Mxy no bordo apoiado, ao longo da direção y, quando x=0m (Figura 4.20);

− Tensão cisalhante �xy no bordo apoiado, ao longo da direção y, quando

x=0m e z= - 0,004m (Figura 4.21);


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53


Figura 4.20- Momento Mxy no bordo da placa

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54

Figura 4.21- Tensão cisalhante �xy no bordo da placa


Diante dos gráficos apresentados para momentos e tensões, pode-se dizer que, os resultados obtidos aplicando a solução de Rayleigh-Ritz não foram condizentes com o esperado, apesar dos resultados para deslocamentos transversais estarem próximos dos obtidos pelo programa SAP2000 v.16, numa análise global.

Pode-se observar também que, os resultados para Mxy e �xy , utilizando a solução de Rayleigh-Ritz, numa análise global, acompanharam os resultados obtidos via MEF nas coordenadas centrais de y.

Por fim, tomando como válidas as equações para deslocamento, momentos e tensões na placa, recomenda-se um estudo mais aprofundado na obtenção e aplicação das rigezas utilizadas na solução de Rayleigh-Ritz para placas ortotrópicas, assim como a aplicação de uma função aproximada mais adequada aos deslocamentos transversais assumidos pela mesma.

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55

5 PLACAS COM CARGAS LATERAIS

Este tópico se propõe a estudar a influência da ação de cargas laterais aplicadas em uma placa. Estas cargas podem ser aplicadas diretamente nos bordos da placa, ou podem ser resultado da ação da mudança de temperatura (UGURAL, 1981).

Como dito na seção 1.2 deste trabalho, quando a Teoria de Kirchhof é apresentada, a ação da carga axial normal, no presente tópico, é analisada separadamente, e a sua importância é evidenciada através do estudo de estabilidade elástica da placa.

5.1 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL

Quando a placa é submetida a cargas laterais, o seu plano médio passa a não ser mais indeformável, ou seja, a hipótese 1 da Teoria de Kirchhoff não é mais válida. Entretanto, os deslocamentos transversais assumidos continuam a ser pequenos se comparados com a espessura da placa, e as demais hipóteses da Teoria de Kirchhoff permanecem válidas, assim como as equações para momentos e forças cortante na placa descritas nas equações (3.9) e (3.17) (UGURAL, 1981).

A Figura 5.1 e Figura 5.2 mostram a vista em planta e frontal, respectivamente, de um elemento infinitesimal de placa submetido à ação das forças por unidade de comprimento Nx, Ny, Nxy. As demais resultantes de tensão estão apresentadas na Figura 3.8 da seção 3.3.5.

Figura 5.1- Vista em planta de um elemento infinitesimal de placa

56

Figura 5.2- Vista frontal do elemento infinitesimal de placa

Depois da aplicação de equações de equilíbrio nas direções x, y e z, e da utilização das equações (3.17) para forças cortantes, além da consideração de que os ângulos � e >’ são pequenos, a equação diferencial fundamental para placas finas, submetidas a uma combinação de cargas transversais e laterais, é:

��'a�'�a � , 'a�'�-' ( � 'a�' a � �X E_ � � '(�'�( � �$ '(�' ( � ,�$ '(�'��' F��D/�

Encontrada a equação diferencial que rege os deslocamentos transversais da placa, basta que a equação dos deslocamentos seja aplicada, utilizando a solução proposta por Navier ou por Rayleigh-Ritz, para que o comportamento estrutural da placa seja conhecido.

5.2 ESTUDO DE FLAMBAGEM

A ação de cargas laterais atuando no plano médio da placa pode trazer instabilidade à estrutura, e a partir de uma certa carga compressiva, dita crítica, a placa desenvolve um comportamento em que os seus deslocamentos transversais aumentam rapidamente, mesmo com pequenas variações no carregamento aplicado. A este fenômeno dá-se o nome de flambagem.

Além disto, observa-se também que, após o início da ocorrência da flambagem, a placa apresenta uma resistência pós-flambagem significativa, devido à mudança na distribuição original das tensões no plano médio dos elementos de placa que flambaram. Por esta razão, a carga última de colapso de flambagem é normalmente maior que a sua carga crítica. Para a consideração do comportamento de pós-flambagem, normalmente é utilizado o método da largura efetiva (SILVA, 2006).

57

A determinação analítica da resistência última real de placas esbeltas não é trivial, pois depende do conhecimento da forma de distribuição da tensão não-uniforme atuante (MAQUOI, 1992). Normalmente, o colapso destas estruturas ocorre devido a grandes deslocamentos fora do plano, e ao escoamento (SILVA, 2006).

O estudo de flambagem em placas é de extrema importância nos projetos de engenharia, pois uma vez ocorrido o fenômeno em uma placa componente de uma estrutura maior, como no caso do casco de um navio tipo FPSO (Floating, Production, Storage and Offloading, ou unidade flutuante de produção, armazenamento e transferência de petróleo), ou no caso de uma placa componente da fuselagem de um avião, a estrutura pode apresentar danos irreparáveis, representando riscos à vida de pessoas e ao meio ambiente.

5.2.1 Imperfeições Geométricas Iniciais

A geometria das placas analisadas até então era considerada como plana. Mas, na prática, as placas apresentam pequenas imperfeições, ou curvaturas iniciais, em sua forma. Essa curvatura inicial causa um deslocamento transversal assim que as placas são carregadas, o qual aumenta rapidamente ao se chegar próximo à tensão crítica de flambagem elástica, e em seguida, diminui aproximando-se do comportamento de placas inicialmente planas, próximo do primeiro escoamento e da tensão de colapso (SILVA, 2006), conforme pode ser observado na Figura 5.3.

Figura 5.3- Estabilidade estrutural de placas esbeltas (TRAHAIR & BRADFORD, 1988 e SILVA, 2006)

58

As imperfeições iniciais causam a perda de rigidez das placas, entretanto, para grandes valores de deslocamentos (�J[ � �), o comportamento praticamente não é afetado pelo nível de imperfeições encontrados na prática (MAQUOI, 1992).

Na Figura 5.4, wo é a medida da imperfeição inicial da placa.

Figura 5.4- Efeito das imperfeições iniciais na estabilidade de placas esbeltas (MAQUOI, 1992 e SILVA,

2006)

Nesta seção, os deslocamentos transversais da placa são pequenos se comparados

com sua espessura. Então, o efeito das imperfeições iniciais na estabilidade da estrutura é relevante, dependendo da magnitude destas imperfeições, conforme apresentado na Figura 5.4.

A análise pós-flambagem de placas é apresentada no capítulo 6 deste trabalho. Na seção 5.2.2, a carga crítica de flambagem para uma placa inicialmente plana,

ou seja, sem imperfeição inicial, é apresentada. Posteriormente, na seção 5.2.3, a equação para deslocamentos da placa considerando imperfeições iniciais também é desenvolvida, e servirá de comparação para análises futuras. 5.2.2 Carga Crítica de Flambagem

Considerando uma placa simplesmente apoiada em todos os seus bordos, e submetida a uma carga lateral atuante em seu plano médio no bordo de menor dimensão, conforme pode ser visto na Figura 5.5, uma solução adequada para os deslocamentos transversais pode ser obtida por:

�� v v 0wx�yz{|�0}x~r

}w~r �yz z| ` ��D/,

59

Figura 5.5- Placa simplesmente apoiada submetida a carga lateral em seu plano médio

Substituindo a equação (5.2), proveniente da solução de Navier, na equação (5.1), e considerando Nx= -N e Ny=Nxy=0, tem-se:

��v v �X|a E{(0( � z(`(F- � �|({(0( � 0wx�yz{|�0}

x~r}w~r �yz z| ` � *��D/.

utilizando a solução não trivial:

��X|a E{(0( � z(`(F- ��|({(0( � *��D/?�

evidenciando N:

�� |(X`( E{0̀ � z(0{`F- ��D/D

Percebe-se que o valor mínimo de N ocorre quando n=1, ou seja, quando a placa flamba, a configuração deformada atingida tem apenas uma meia onda de seno na direção y da placa. Então:

�� |(X`( o{2 � 2{p- � ¡ |(X`( ��D/G onde r é a razão entre as dimensões da placa e vale: a/b, e k é o fator de carga associado à flambagem da placa, e vale:

��¡ � o{2 � 2{p- ��D/Q

60

A tensão crítica pode ser obtida dividindo a força crítica por unidade de comprimento pela espessura da placa, denominada t, e expressando a rigidez flexural da placa em termos do módulo de elasticidade do material utilizado na estrutura. Assim:

��<� � ¡ |(:�,�� =- 3[̀4- ��D/W

A Figura 5.6 apresenta um gráfico relacionando o fator de carga com a razão das dimensões da placa.

Figura 5.6- Relação k x r

Como por exemplo, se a razão entre as dimensões da placa é 2,0, o fator de carga atinge o valor mínimo de 4, e a placa tem carga crítica com a formação de duas meias ondas de seno na direção de x. É importante lembrar que são válidos somente os fatores de carga mínimos.

Para placas com outras condições de bordo, a Figura 5.7 apresenta os valores do fator de carga (Kq na figura equivale a k).

�

�

�

� � � � � �

9��

%�(��<

�%'

��6

2�4/��8?��%

2��./��6��%

�)

�)�

�)�

�)�

61

Figura 5.7- Fatores de carga para condições de contorno usuais em placas (SALMON & JOHNSON, 1990 e SILVA, 2006)

As expressões que resultam no gráfico apresentado na Figura 5.6 estão desenvolvidas no Anexo C, e são obtidas com o auxílio do programa MathCAD v.14. Na seção 5.4 deste trabalho, é analisada uma placa para aplicação das equações obtidas neste item.

5.2.3 Carga Crítica com Imperfeições Iniciais

A equação para os deslocamentos transversais de uma placa com curvatura inicial, é uma superposição de duas soluções: wo e w1 (UGURAL, 1981), onde wo representa a equação que descreve a imperfeição inicial da placa, e w1 descreve os deslocamentos transversais provenientes da ação da carga axial atuando nos bordos da placa.

Sendo assim, a equação (5.1) é alterada e assume a seguinte forma:

��'a�r'�a � , 'a�r'�(' ( � 'a�r' a � �X E_ � � '(�'�( � �$ '(�' ( � ,�$ '(�'�' F��D/Z onde w = wo + w1.

62

A equação (5.9) é a equação diferencial que rege as deflexões em placas finas com pequenas curvaturas iniciais. Vale também ressaltar que as imperfeições iniciais devem ser menores que a espessura da placa.

Assumindo, como exemplo, uma placa simplesmente suportada em todos os seus bordos, como a placa que é analisada na seção 5.4 deste trabalho, a equação válida para wo assume a seguinte forma:

�� v v 0wx�yz{|�0}x~r

}w~r �yz z| ` ��D/�*

onde amn , neste caso, é equivalente à equação (3.24), pois a deflexão inicial assumida é proveniente da ação transversal do peso próprio da placa.

Considerando a atuação de uma carga axial de compressão ao longo da direção x de uma placa, ou seja, Nx = -N, e utilizando a equação (5.10) na (5.9), tem-se:

��'a�r'�a � , 'a�r'�(' ( � 'a�r' a � �X E� 0wx|-0- �yz{|�0 �yz z| ` � � '(�r'�( F��D/��

A equação de w1 , que satisfaz a equação (5.11), pode ser representada por:

��r�� v v `wx�yz{|�0}x~r

}w~r �yz z| ` ��D/�,

onde:

��`wx � 0wx�|-XJ0( �{ � 3z(0({`(4�- � ��D/�.

Com isto, a equação que descreve os deslocamentos verticais de uma placa com pequena curvatura inicial, submetida a um carregamento axial na direção x, é:

�� r �v v 0wx� � ¢ o�yz{|�0 p}x~r

}w~r o�yz z| ` p��D/�?

onde:

��¢ � �|-XJ0( �{ � 3z(0({`(4�-

��D/�D

Na seção 5.4 deste trabalho, as equações apresentadas neste tópico são utilizadas e comparadas com as obtidas na seção 5.2.2.

63

5.3 VERIFICAÇÃO PELA DNV-RP-C201

A verificação à flambagem, segundo as determinações da norma DNV-RP-201, é baseada no método da largura efetiva, que considera uma redução da rigidez da placa original, com largura b, por uma de largura efetiva bef (SOLLAND e JENSEN, 2004 e BASTOS, 2012). Sendo assim, o fator de redução da resistência da placa, é dada pela largura efetiva bef, e é multiplicado pela tensão de escoamento do material da placa.

A tensão resistente de projeto é o resultado do produto do fator de redução da resistência com a tensão de escoamento do material da placa, dividido pelo coeficiente de minoração da resistência do material. É importante ressaltar que a norma também leva em consideração, mesmo que não explicitamente, as imperfeições e incertezas do material através dos seus coeficientes (ALLEN & BULSON, 1980).

O painel que é analisado na próxima seção, não apresenta enrijecedores, e tem uma carga compressiva por unidade de comprimento atuante ao longo do eixo de menor comprimento. Os bordos da placa são simplesmente apoiados.

Sendo assim, a tabela de referência utilizada nos cálculos, presente na norma DNV-RP-201, é a 3.1, relacionada à seção 6.2 da norma, e as equações usadas são correspondentes à seção 6.2 da mesma.

Os cálculos para a obtenção da tensão resistente de projeto, segundo a norma da DNV-RP-201, são apresentados no Anexo C, assim como os desenvolvimentos baseados no Método de Navier. Todos os cálculos são feitos com o auxílio do programa MathCad v.14.

5.4 ANÁLISE DE PAINEL SUBMETIDO A CARGA LATERAL

O painel analisado tem todos os seus bordos simplesmente apoiados, e está submetido a uma carga lateral atuante no plano médio de menor dimensão da placa. Suas propriedades geométricas e físicas podem ser vistas na Figura 5.8.

Figura 5.8- Placa retangular submetida a carregamento lateral

64

Para efeito de comparação de resultados, é considerado neste tópico o trabalho realizado pelo Eng.° Eduardo Tenório Bastos, em sua dissertação de mestrado (BASTOS, 2012), onde é feita a análise de estabilidade de uma placa com as mesmas propriedades físicas e geométricas das consideradas nesta seção.

BASTOS (2012) varia a dimensão da placa na direção x de 1,0m até 5,0m, e os resultados de fator de carga (fator pelo qual a carga aplicada deve ser multiplicada para que se atinja a carga crítica da estrutura) e modos de flambagem da placa são determinados.

São realizados dois tipos de análise: sem e com imperfeições iniciais. A análise sem imperfeições iniciais é realizada através do programa ANSYS, utilizando o módulo “Linear Buckling” do programa, que avalia os modos de instabilidade no regime elástico. Já o programa SACS é utilizado para análise sem imperfeições e com imperfeições também.

Apesar das análises feitas na dissertação considerarem o modelo autoequilibrado, a consideração de bordos simplesmente apoiados neste trabalho não influencia de maneira significativa a comparação entre os resultados.

Outro ponto a ser mencionado, é o fato da análise sem imperfeições iniciais realizada na dissertação, através do programa ANSYS, considerar tensões de membrana. Como os deslocamentos tratados, tanto na dissertação quanto neste trabalho, são pequenos se comparados com a espessura, a influência desta tensão na composição dos deslocamentos transversais da placa não é muito significativa.

As tensões de membrana são consideradas no capítulo 6 deste trabalho.

A curvatura inicial da placa assumida nas análises é devida à ação do próprio peso desta.

A análise via SACS, considerando curvatura inicial da placa, é não linear geométrica. Entretanto, como os deslocamentos assumidos até a tensão crítica de flambagem são pequenos, é possível realizar a comparação com a análise linear apresentada nesta seção do trabalho.

Os resultados para as tensões críticas de flambagem encontradas para esta estrutura, assim como os seus modos de flambagem, considerando as três metodologias de cálculo e os resultados apresentados por BASTOS (2012), são apresentados na Tabela 5.1.

Tabela 5.1- Tensão crítica de compressão e modos de flambagem

L(m) Modo

de Flambagem

Solução pela DNV-RP-201

(MPa)

Solução Analítica

Sem Curvatura

Inicial (MPa)

(BASTOS, 2012) Sem

Curvatura Inicial (MPa)

Solução Analítica

Com Curvatura

Inicial (MPa)

(BASTOS, 2012) Com

Curvatura Inicial (MPa)

1,0 1 meia-onda 121,8 116,6 116,6 112,5 122 1,5 2 meias-ondas 121,8 126,5 126,7 122,6 122 2,0 2 meias-ondas 121,8 116,6 116,6 110,2 120

65


Analisando os resultados ponto a ponto, nota-se que as diferenças para tensão crítica de flambagem, entre a solução analítica e a apresentada por (BASTOS, 2012), considerando a placa sem imperfeição inicial, são mínimas, e para algumas dimensões da placa, as soluções se equivalem.

Impondo uma imperfeição inicial à placa, os resultados pela solução analítica e por BASTOS (2012) apresentaram uma diferença máxima de 8,2% para L=2,0m. Esta diferença pode ser justificada pela maneira gráfica de obtenção do resultado de tensão crítica de flambagem para a solução analítica, conforme apresentado no Anexo C.

Comparando as soluções com a norma DNV-RP-201, que considera, implicitamente, as imperfeições e incertezas do material, a solução analítica sem imperfeição inicial resulta numa diferença máxima de 4,3% para menos. Já para a solução analítica considerando curvaturas iniciais na placa, a diferença máxima é de 9,5% para menos. Os resultados de BASTOS (2012) para placa com imperfeição inicial, praticamente coincidiram com os da norma DNV-RP-201.

As diferenças para a tensão crítica de flambagem, entre a consideração ou não das imperfeições iniciais impostas à placa, são muito sensíveis, tanto utilizando a solução analítica quanto os programas computacionais. Isto também se deve à magnitude das curvaturas iniciais consideradas. Caso esta fosse maior, as diferenças cresceriam.

Por fim, pode-se dizer que as soluções analíticas, que são apresentadas nesta seção, obtêm boa correspondência com as soluções via MEF (seja utilizando o programa ANSYS ou SACS) e com a norma DNV-RP-201.

66

6 TEORIA DE VON KÁRMÁN

O comportamento estrutural das placas analisadas até então, têm como base as hipóteses consideradas por Kirchhoff, apresentadas na seção 3.2 deste trabalho. Entretanto, algumas aplicações de placas finas resultam em deslocamentos transversais maiores que sua espessura, mas ainda pequenos se comparados com as demais dimensões da estrutura. Neste caso, a Teoria de von Kármán, apresentada em 1910, é a mais adequada para descrever o comportamento estrutural de placas com grandes deslocamentos.

A composição dos deslocamentos transversais de uma placa fina é agora composta das deflexões devidas à flexão da placa, adicionado da contribuição das tensões normais de tração atuante na superfície média da placa, também chamadas de tensões de membrana.

Mesmo com pequenas deflexões da placa, as tensões normais podem ser notadas. Entretanto, a sua influência na composição dos deslocamentos transversais pode ser desprezada. Quando a estrutura passa a ter deflexões maiores que a sua espessura, a importância das tensões normais de tração se eleva, e a sua consideração na composição dos deslocamentos transversais da placa passa a ser necessária.

6.1 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS

Como apresentado na seção 3.2 deste trabalho, a hipótese 1 da Teoria de von Kármán assume que as deformações no plano médio da placa são relevantes após a flexão. Com isto, as deformações �x , �y e �xy são compostas das deformações de flexão e de membrana:

& � '!'� � �, 3'�'�4- � �� '-�'�- � �, 3'�'�4

-

��&$ � '#' � �, 3'�' 4- � �� '-�' - � �, 3'�' 4

- ��G/� ��+$ � '!' � '#'� � �� % � �,� '-�'�' � �� % ��

A deformação em z e as distorções nos planos xz e yz podem ser desprezadas, com base nas hipóteses da Teoria de von Kármán.

As relações entre tensão e deformação continuam semelhantes às apresentadas na seção 3.3.3 deste trabalho:

9 � �: ;< � =<$>

67

��9$ � �: ;<$ � =<>��G/, 8$ � @$A

As tensões podem ser substituídas por uma função denominada função de tensão de AIRY (1863)*, expressas por:

< � '(7�� ' (

��<$ � '(7�� '�( ��G/. ��@$ � �'(7�� '��'

onde �(x,y) representa a função de tensão de Airy, e quando determinada, é possível conhecer as tensões x , y e �xy em qualquer ponto da placa.

Combinando as equações (6.3) e (6.2) na (6.1), depois de derivações, obtém-se a função que relaciona a função de tensão de Airy com a deflexão da placa:

��'a7'�a � , 'a7'�(' ( � 'a7' a � : �E �(�� %F- � '(�'�( '(�' (��G/?

Para placas finas com espessura constante, é possível escrever que:

��< � �[ �� <$ � �$[ �� @$ � �$[ ��G/D

Substituindo as equações (6.3) e (6.5) na (5.1):

��'a�'�a � , 'a�'�(' ( � 'a�' a � [X E_[ � '(7' ( '(�'�( � '(7'�( '(�' ( � , �(��% '(�'�' F��G/G

As equações (6.4) e (6.6) são as equações diferenciais fundamentais para placas finas com grandes deslocamentos. Com isto, basta que as funções �(x,y) e w(x,y) sejam determinadas, atendendo às condições de contorno da placa e às equações fundamentais, para que o comportamento da estrutura seja conhecido.

As equações diferenciais fundamentais são de quarta ordem e não lineares, sendo, portanto, difíceis de serem resolvidas. Para superar este problema, a análise deste tipo de placa é desenvolvida utilizando a formulação por energia.

68

As seguintes equações continuam aplicáveis: as equações para os momentos e forças cortantes apresentadas nas equações (3.7) e (3.8); a equação (3.18), para a força cortante efetiva, antes da substituição da força cortante e do momento torsor; e a equação (3.19), para a reação de canto.

6.2 FORMULAÇÃO POR ENERGIA

Para o caso considerado neste capítulo, onde as tensões normais atuantes no plano médio da placa têm grande influência na composição dos deslocamentos da estrutura, a energia de deformação da placa é composta de duas parcelas: deformação de flexão e deformação de membrana. Entretanto, neste tópico, é considerado apenas a deformação de membrana.

Sendo assim, substituindo a equação (3.5) e (6.1) na (3.27), e considerando espessura constante, a equação da energia de deformação para placas finas com grandes deslocamentos torna-se:

�m � :[,�� =-� O3'!'�4- � '!'� 3'�'�4

- � 3'#' 4- � '#' 3'�' 4

-��

� �? ]3'�'�4- � 3'�' 4

-^- � ,= ]'!'� '#' � �,'#' 3'�'�4- � �,'!'� 3'�' 4

-^ �� =, ]3'!' 4

- � ,'!' '#'� � 3'#'�4- � ,'!' '�'� '�'

� ,'#'� '�'� '�' ^P 6�6 ��G/Q

Para a energia potencial de cargas, a equação (3.29) pode ser aplicada.

A energia potencial total continua a mesma:

�� G/W

Com isto, assim como apresentado na seção 3.5.4 deste trabalho, o Método de Rayleigh-Ritz pode ser aplicado, bastando que se encontre uma função aproximada ��(x,y) que atenda às condições geométricas de bordo da estrutura.

A solução analítica proveniente do Método de Rayleigh-Ritz não será aplicada neste trabalho. Isto porque esta solução requer uma demanda de cálculos algébricos muito grande, e o programa MathCad v.14, apesar de ser potente, não consegue oferecer. Portanto, recomenda-se que estes cálculos sejam feitos por uma outra ferramenta mais adequada.

69

6.3 ESTUDO DE FLAMBAGEM

Conforme mencionado na seção 5.2 deste trabalho, uma placa submetida a carga axial de compressão, atinge a sua carga crítica de flambagem quando assume grandes deslocamentos, com pequenos incrementos de carga. Mas, isto não significa o colapso da estrutura, pois, após uma redistribuição de tensões no plano médio da placa, a estrutura apresenta uma resistência pós-flambagem. Superada esta resistência, a estrutura colapsa.

A resistência adicional de pós-flambagem de placas, deve-se a diversos fatores, porém, o principal, é que a forma deformada da placa flambada, não pode ser desenvolvida a partir da configuração de pré-flambagem sem que haja uma redistribuição das tensões no plano médio ao longo da placa. Esta redistribuição, que é ignorada na teoria de pequenos deslocamentos em flambagem elástica, normalmente favorece as regiões menos rígidas da placa, e causam um aumento de eficiência desta (SILVA, 2006). A Figura 6.1 apresenta o comportamento de placas pós-flambagem em comparação com a de colunas, que suportam apenas uma pequena carga após flambarem.

Figura 6.1- Comportamento pós-flambagem de placas esbeltas (TRAHAIR & BRADFORD, 1988 e

SILVA, 2006)

O conhecimento do comportamento estrutural da placa pós-flambagem, leva em consideração, normalmente, os grandes deslocamentos assumidos, e podem ser melhor observados na Figura 5.3. A análise pós-flambagem da placa é importante para a determinação da tensão última real de colapso da estrutura, e para a verificação dos deslocamentos transversais gerados pela ação da tensão normal de compressão.

70

Entretanto, a determinação analítica da resistência última real de placas esbeltas não é trivial, pois depende do conhecimento da forma de distribuição da tensão não-uniforme atuante (MAQUOI, 1992). De modo a superar essa dificuldade, von Kármán, em 1932, introduziu o método da largura efetiva (bef), sendo essa largura definida como a largura de uma placa fictícia simplesmente apoiada, com mesma espessura e razão entre os lados da placa real, e que colapsa para uma tensão crítica igual a fy (SILVA, 2006).

Neste caso, o uso do conceito de largura efetiva para uma placa apoiada em ambos

os bordos longitudinais, é feito substituindo-se o valor médio da tensão ��, atuante na largura b, pelo valor de fy , aplicado na largura bef , de modo que a carga última é calculada então com base nessa área efetiva, que é igual a bef vezes t (SILVA, 2006)(Figura 6.2).

Figura 6.2- Largura efetiva de placas simplesmente apoiadas em ambas as bordas longitudinais (Fakury,

1989 e SILVA, 2006)

Com fy tomado igual a tensão de escoamento do material, a tensão média atuante em todo o bordo da placa simplesmente apoiada é:

��<w � `£¤1$` ��G/Z Com base no princípio da largura efetiva, bef é dado por:

��`£¤ � `¥<� 1$ ��G/�* onde cr é a tensão crítica de flambagem da placa.

Uma outra formulação, para bef, foi apresentado por WINTER (1968), e é descrita como:

��`£¤ � `¥<� 1$ �¦� � *�,,¥<� 1$ §��G/��

71

Na seção 6.4 deste trabalho, uma análise de estabilidade é desenvolvida, e os resultados provenientes da tese de BASTOS (2012), e da solução apresentada neste tópico, considerando a largura efetiva concedida por WINTER (1968), são confrontados em relação à tensão última da placa.

6.4 TENSÃO ÚLTIMA SOB CARGA LATERAL

O intuito de desenvolver este tópico é concluir a análise do painel considerado na seção 5.4 deste trabalho, obtendo sua carga última através das equações desenvolvidas em 6.3.

Os resultados para a tensão última encontrados analiticamente são confrontados com os resultados apresentados por BASTOS (2012), que utilizou o programa SACS.

As tensões críticas consideradas, para aplicação da equação (6.9), são as concedidas por BASTOS (2012), e estão presentes na Tabela 5.1.

A Tabela 6.1 apresenta os resultados de tensão última obtidos pelas duas metodologias.

Tabela 6.1- Tensão última de compressão

L(m) Modo

de Flambagem Solução Analítica

(MPa) (BASTOS, 2012)

(MPa) Diferença (%)

1,0 1 meia-onda 142,5 225 36,7 1,5 2 meias-ondas 142,5 200 28,8 2,0 2 meias-ondas 141,5 170 16,8


Apesar dos resultados para tensão última alcançarem uma diferença máxima de 36,7%, para L=1,0m, pode-se dizer que a consideração do método da largura efetiva, utilizando a equação apresentada por WINTER (1968), serve de bom parâmetro para o conhecimento da tensão de colapso de uma placa.

72

7 CONCLUSÕES

O conhecimento do comportamento estrutural de placas, frequentemente usadas em estruturas offshore, é essencial para um dimensionamento que garanta a integridade estrutural dos elementos e, consequentemente, da estrutura como um todo.

Este trabalho se propôs a estudar, para as placas consideradas nas análises, todos os deslocamentos, esforços e deformações que atuam em todos os pontos da estrutura, seja abordando uma metodologia analítica ou computacional.

Apesar das verificações apresentadas não contemplarem a análise global da estrutura, estas propiciam um conhecimento do comportamento estrutural das placas localmente, que é de grande importância.

Além disto, as soluções analíticas desenvolvidas ao longo do trabalho, se constituem em mais uma ferramenta de análise, além dos modelos computacionais, que podem auxiliar engenheiros no estudo do comportamento estrutural das placas.

No capítulo 3, a validade das equações apresentadas foi comprovada utilizando a solução proposta por Navier e por Rayleigh-Ritz. Os seus resultados apresentaram boa correlação entre si e com a solução via MEF, validando também a solução de Navier e de Rayleigh-Ritz.

No capítulo 4, as equações para deslocamentos, momentos e tensões para uma placa ortrotrópica foram apresentadas e aplicadas. Os resultados para deslocamento transversal, utilizando as soluções analíticas e o MEF, foram satisfatórios, para uma análise global. Isto considerando as rigezas propostas por SZILARD (2004). Entretanto, os resultados para momentos e tensões, utilizando a solução de Rayleigh-Ritz e o MEF, foram muito discrepantes, merecendo então um estudo mais aprofundado na obtenção e aplicação das rigezas consideradas na solução analítica, assim como a aplicação de uma função aproximada mais adequada frente aos deslocamentos transversais assumidos pela placa.

No capítulo 5, o tema da estabilidade estrutural das placas foi abordado, e os resultados para carga crítica de flambagem, segundo os métodos analíticos, foram condizentes com os alcançados via MEF, e pelas premissas da norma da DNV, a DNV-RP-201. A consideração de pequenas imperfeições iniciais à estrutura, fez com que os resultados analíticos se distanciassem um pouco do esperado, mas, ainda assim, podem ser considerados como boas aproximações.

No capítulo 6, a determinação da carga última da peça, considerando as soluções analíticas e via MEF, obtiveram resultados próximos, se constituindo então, em boas ferramentas para este tipo de análise.

Por fim, os resultados para o comportamento estrutural das placas, usando as soluções analíticas, se comportaram de maneira satisfatória frente aos resultados obtidos por programas que utilizam o Método dos Elementos Finitos, podendo ser aplicadas por engenheiros para uma análise local de estruturas mais complexas.

73

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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VON KÁRMÁN, T., 1910. Ency. d. Math. Wissenschafen, 4, 349.

WINTER, G., 1968. Prelim. Publication 8th Congress I ABSE. New York: pg.101.

(*) Obras citadas mas não consultadas.

77

ANEXOS

ANEXO A

Planilha MathCAD elaborada pelo autor deste trabalho.

Com o propósito de aplicar as equações desenvolvidas no Capítulo 3 deste trabalho (baseadas na Teoria de

Kirchhoff), é elaborado a seguir um exemplo de uma placa simplesmente suportada em todos os seus

bordos, submetida a uma carga transversal uniformemente distribuída em sua superfície.

A análise é feita utilizando o Método de Navier e o Método de Rayleigh-Ritz.

Fig. 1- Representação em planta da estrutura considerada em análise

Solução por Navier:

Dados de entrada:

E 200 106

⋅kN

m2

:= (módulo de elasticidade)

ν 0.3:= (coeficiente de Poisson)

k 20:= (número de termos presentes na série)

a 1m:= (dimensão da placa no eixo x)

b 2m:= (dimensão da placa no eixo y)

t 0.03m:= (espessura da placa)

q0 10kN

m2

:= (carga uniforme distribuída na placa)

m0 1:= (quantidade de meias-ondas no eixo x)

n0 1:= (quantidade de meias-ondas no eixo y)

A-1

Carga distribuída uniforme na superfície da placa:

p x y, ( ) q0:=

Rigidez a flexão da placa:

DE t

3⋅

12 1 ν2

−( )494.505 kN m⋅⋅=:=

Coeficientes da série:

qmn4

a b⋅0

b

y

0

a

xp x y, ( ) sinm0 π⋅ x⋅

a

��

��

⋅ sinn0 π⋅ y⋅

b

��

��

⋅

��

d

��

d⋅:= (Eq. A.1)

amn1

π4

D⋅

qmn

m0

a

��

��

2n0

b

��

��

2

+

��

��

2⋅:=

Com a carga distribuída uniformemente na superfície da placa, o termo qmn , quando posto na equação dos

deslocamentos transversais, deve assumir somente valores ímpares de m0 e n0, isto porque, desenvolvendo

a equação A.1, com p(x,y)=q0:

qmn

4 q0⋅

π2

m0⋅ n0⋅

1 cos m0 π⋅( )−( )⋅ 1 cos n0π( )−( )⋅=

4 q0⋅

π2

m0⋅ n0⋅

1 1−( )m0

−�

�⋅ 1 1−( )

n0−

�

�⋅=

Esta equação assume o valor zero se m0 e n0 são pares. Assim, somente valores ímpares de m0 e n0 são

admitidos:

qmn

16 q0⋅

π2

m0⋅ n0⋅

= , para m0 e n0= 1,3,5...

Então, a equação de deslocamentos assume a seguinte forma:

wnavier x y, ( )16 q0⋅

π6

D⋅1

k

m0 1

k

n0

sin2m0 1−( ) π⋅ x⋅

a

��

��

sin2n0 1−( ) π⋅ y⋅

b

��

��

⋅

2m0 1−( ) 2n0 1−( )2m0 1−( )

a

��

��

22n0 1−( )

b

��

��

2

+

��

��

2

⋅

�=

�=

⋅:=

A-2

wnavier 0.5m 1m, ( ) 2.048 104−

× m= (Deslocamento máximo na placa)

Depois que a equação da deflexão da placa foi definida, as demais podem ser resolvidas:

Mx_navier x y, ( ) D−2

xwnavier x y, ( )

d

d

2

ν2

ywnavier x y, ( )

d

d

2

⋅+��

��

⋅:=

My_navier x y, ( ) D−2

ywnavier x y, ( )

d

d

2

ν2

xwnavier x y, ( )

d

d

2

⋅+��

��

⋅:=

Mxy_navier x y, ( ) D− 1 ν−( )⋅x y

wnavier x y, ( )d

d

��

��

d

d

��

��

⋅:=

σx_navier x y, z, ( )12 Mx_navier x y, ( )⋅ z⋅

t3

:=

σy_navier x y, z, ( )12 My_navier x y, ( )⋅ z⋅

t3

:=

τxy_navier x y, z, ( )12 Mxy_navier x y, ( )⋅ z⋅

t3

:=

τxz_navier x y, z, ( )

z

t

2

zxσx_navier x y, z, ( )

d

d yτxy_navier x y, z, ( )

d

d+

��

��

��

d:=

τyz_navier x y, z, ( )

z

t

2

zyσy_navier x y, z, ( )

d

d xτxy_navier x y, z, ( )

d

d+

��

��

��

d:=

Qx_navier x y, ( ) D−x 2

xwnavier x y, ( )

d

d

2

2y

wnavier x y, ( )d

d

2

+��

��

d

d

��

��

⋅:=

Qy_navier x y, ( ) D−y 2

xwnavier x y, ( )

d

d

2

2y

wnavier x y, ( )d

d

2

+��

��

d

d

��

��

⋅:=

Vx_navier x y, ( ) Qx_navier x y, ( )y

Mxy_navier x y, ( )d

d+:=

Vy_navier x y, ( ) Qy_navier x y, ( )x

Mxy_navier x y, ( )d

d+:=

A-3

Rx_navier x y, ( ) Vx_navier x y, ( )−:=(Reações de apoio)

Ry_navier x y, ( ) Vy_navier x y, ( )−:=

Fc_navier x y, ( ) 2 Mxy_navier x y, ( )⋅:=

Rc_navier x y, ( ) Fc_navier x y, ( )−:= (Reação de canto)

Solução por Rayleigh-Ritz

ORIGIN 1:=

Dados de entrada:

E 200 106

⋅:=

ν 0.3:=

a 1:=

b 2:=

t 0.03:=

q0 10:=

DE t

3⋅

12 1 ν2

−( )494.505=:=

Primeiramente, são escolhidas funções que obedeçam às condições de bordo nas direções x e y, assim:

- Direção X: Bordos simplesmente apoiados

w1x x( ) 12x

a1−

��

��

2

−:=

w2x x( ) 12x

a1−

��

��

4

−:=

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w1x x( )

x

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w2x x( )

x

A-4

- Direção Y: Bordos simplesmente apoiados

w1y y( ) 12y

b1−

��

��

2

−:=

w2y y( ) 12y

b1−

��

��

4

−:=

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w1y y( )

y

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

w2y y( )

y

* Caso dois dos bordos fossem engastado em uma direção, como por exemplo, dois bordos perpendiculares

ao eixo x, duas das funções aplicáveis seriam as seguintes:

w1x 12x

a

��

��

2

−��

��

2

= e w2x 12x

a

��

��

4

−��

��

2

=

Logo, a função aproximada será a combinação das quatro soluções aproximadas, na direção x e y,

acompanhada de quatro constantes:

wenergia x y, ( ) C1 w1x x( )⋅ w1y y( )⋅ C2 w1x x( )⋅ w2y y( )⋅+ C3 w2x x( )⋅ w1y y( )⋅+ C4 w2x x( )⋅ w2y y( )⋅+:= C1

dxx x y, ( )2

xwenergia x y, ( )

d

d

2

:= wenergia

dyy x y, ( )2

ywenergia x y, ( )

d

d

2

:= wenergia

dxy x y, ( )y x

wenergia x y, ( )d

d

��

��

d

d:= wenergia

A-5

Aplicando-a na equação da Energia Potencial Total:

Π

0

b

0

aD

2dxx x y, ( ) dyy x y, ( )+( )

22 1 ν−( ) dxx x y, ( ) dyy x y, ( )⋅ dxy x y, ( )

2−( )⋅−� �⋅ q0 wenergia⋅−

��

��

��

:= dxx

Depois, extremizando-a:

C1

Πd

d0= 49934.065934065931494 C1⋅ 102239.24646781789091 C4⋅+ 59679.748822605962388 C⋅+→

C2

Πd

d0= 102239.24646781789091 C3⋅ 59679.748822605962388 C1⋅+ 136318.99529042385466 C⋅+→

C3

Πd

d0= 102239.24646781789091 C2⋅ 269985.5572998430002 C3⋅+ 312344.11302982729965 C⋅+→

C4

Πd

d0= 102239.24646781789091 C1⋅ 136318.99529042385466 C2⋅+ 312344.11302982729965 C⋅+→

Com isto:

Given

C1 1:= C2 2:= C3 3:= C4 4:=

49934.065934065931494 C1⋅ 102239.24646781789091 C4⋅+ 59679.748822605962388 C2⋅+ 86806.907378335945297+

102239.24646781789091 C3⋅ 59679.748822605962388 C1⋅+ 136318.99529042385466 C4⋅+ 84315.22762951333957+

102239.24646781789091 C2⋅ 269985.5572998430002 C3⋅+ 312344.11302982729965 C4⋅+ 86806.907378335945297+

102239.24646781789091 C1⋅ 136318.99529042385466 C2⋅+ 312344.11302982729965 C3⋅+ 385670.68849517827178+

C Find C1 C2, C3, C4, ( )

2.588 104−

×

9.453− 106−

×

4.78− 105−

×

6.622 106−

×

��

��

=:=

wenergia x y, ( ) C1 w1x x( )⋅ w1y y( )⋅ C2 w1x x( )⋅ w2y y( )⋅+ C3 w2x x( )⋅ w1y y( )⋅+ C4 w2x x( )⋅ w2y y( )⋅+:=

wenergia 0.5 1, ( ) 2.082 104−

×= (Deslocamento máximo na placa)

A-6

E as equações podem ser resolvidas:

Mx_energia x y, ( ) D−2

xwenergia x y, ( )

d

d

2

ν2

ywenergia x y, ( )

d

d

2

⋅+��

��

⋅:=

My_energia x y, ( ) D−2

ywenergia x y, ( )

d

d

2

ν2

xwenergia x y, ( )

d

d

2

⋅+��

��

⋅:=

Mxy_energia x y, ( ) D− 1 ν−( )⋅x y

wenergia x y, ( )d

d

��

��

d

d

��

��

⋅:=

σx_energia x y, z, ( )12 Mx_energia x y, ( )⋅ z⋅

t3

:=

σy_energia x y, z, ( )12 My_energia x y, ( )⋅ z⋅

t3

:=

τxy_energia x y, z, ( )12 Mxy_energia x y, ( )⋅ z⋅

t3

:=

τxz_energia x y, z, ( )

z

t

2

zxσx_energia x y, z, ( )

d

d yτxy_energia x y, z, ( )

d

d+

��

��

��

d:=

τyz_energia x y, z, ( )

z

t

2

zyσy_energia x y, z, ( )

d

d xτxy_energia x y, z, ( )

d

d+

��

��

��

d:=

Qx_energia x y, ( ) D−x 2

xwenergia x y, ( )

d

d

2

2y

wenergia x y, ( )d

d

2

+��

��

d

d

��

��

⋅:=

Qy_energia x y, ( ) D−y 2

xwenergia x y, ( )

d

d

2

2y

wenergia x y, ( )d

d

2

+��

��

d

d

��

��

⋅:=

Vx_energia x y, ( ) Qx_energia x y, ( )y

Mxy_energia x y, ( )d

d+:=

Vy_energia x y, ( ) Qy_energia x y, ( )x

Mxy_energia x y, ( )d

d+:=

Rx_energia x y, ( ) Vx_energia x y, ( )−:=(Reações de apoio)

Ry_energia x y, ( ) Vy_energia x y, ( )−:=

Fc_energia x y, ( ) 2 Mxy_energia x y, ( )⋅:=

Rc_energia x y, ( ) Fc_energia x y, ( )−:= (Reação de canto)

A-7

ANEXO B


Com o propósito de aplicar as equações desenvolvidas no Capítulo 4 deste trabalho (baseadas na Teoria

de Kirchhoff), é elaborado a seguir um exemplo de uma placa enrijecida, simplesmente suportada em

todos os seus bordos, submetida a uma carga transversal uniformemente distribuída em sua superfície.

A análise será feita utilizando o Método de Navier e Método de Rayleigh-Ritz.


Abordando rigezas segundo R. Szilard, 2004:•

Solução por Navier:

Dados de entrada:

q 10:=kN

mt 0.0076:= m (espessura da viga)

a 5:= m h 0.008:= m (espessura da placa + altura da viga)

b 3.6:= m d 0.2584:= m (espessura da viga + altura da alma da viga)

s 1:= m (espaçamento entre as vigas enrijecedoras)E 2 10

8⋅:=

kN

m2

ey0.266

2

h

2+ 0.137=:= m ( distância entre centróides da viga e

do painel)ν 0.3:=

B-1

I 4.755 105−

⋅:= m4

(Inércia da viga)

GE

2 1 ν+( )7.692 10

7×=:= kN

m2

DxE h

3⋅

12 1 ν2

−( )⋅

9.377=:= kN m⋅

DyE h

3⋅

12 1 ν2

−( )

E h⋅ ey2

⋅

1 ν2

−

+E I⋅

s+ 4.252 10

4×=:= kN m⋅

HE h

3⋅

12 1 ν2

−( )G

6

5 d⋅ t3

⋅

s

��

��

⋅+ 16.649=:= kN m⋅

Dxy 0:= kN m⋅

GxyH

28.324=:= kN m⋅

k 20:=

wnavier x y, ( )16 q⋅

π6

1

k

m 1

k

n

sinmπx

a

��

��

sinnπy

b

��

��

⋅

m n⋅m

4

a4

��

��

Dx⋅ 2 H⋅m

2n

2⋅

a2

b2

⋅

��

��

⋅+n

4

b4

��

��

Dy⋅+��

��

⋅

=

=

⋅:=

B-2

A deformada da placa pode ser vista a seguir:

Deformada da Placa

wnavier

Solução por Rayleigh-Ritz:

Equações de deflexão consideradas nas duas direções, x e y.

w1x x( ) 12x

a1−

��

��

2

−:= w2x x( ) 12x

a1−

��

��

4

−:=

w1y y( ) 12y

b1−

��

��

2

−:= w2y y( ) 12y

b1−

��

��

4

−:=

wenergia x y, ( ) C1 w1x x( )⋅ w1y y( )⋅ C2 w1x x( )⋅ w2y y( )⋅+ C3 w2x x( )⋅ w1y y( )⋅+ C4 w2x x( )⋅ w2y y(⋅+:= C1

dxx x y, ( )2

xwenergia x y, ( )

d

d

2

:= wenergia

dyy x y, ( )2

ywenergia x y, ( )

d

d

2

:= wenergia

dxy x y, ( )y x

wenergia x y, ( )d

d

��

��

d

d:= wenergia

B-3

Considerando a placa ortotrópica, a equação da energia potencial total se resume a:

Π

0

b

0

a1

2Dx dxx x y, ( )( )

2⋅ 2 Dxy⋅ dxx x y, ( )⋅ dyy x y, ( )⋅+ Dy dyy x y, ( )( )

2⋅+ 4 Gxy⋅ dxy x y, ( )( )

2⋅+�

�⋅

��

��

��

:= dxx

C1

Πd

d0= 155598.43153710367497 C1⋅ 311146.8676483139892 C2⋅+ 177837.68697632369658 C⋅+→

C2

Πd

d0= 311146.8676483139892 C1⋅ 1.1199659816242918447e6 C2⋅+ 355609.05835548430851+→

C3

Πd

d0= 177837.68697632369658 C1⋅ 355609.05835548430851 C2⋅+ 207538.7005804471746 C⋅+→

C4

Πd

d0= 355609.05835548430851 C1⋅ 1.2799768113755263215e6 C2⋅+ 414948.35012616708989+→

Given ORIGIN 1:=

C1 1:= C2 2:= C3 3:= C4 4:=

155598.43153710367497 C1⋅ 311146.8676483139892 C2⋅+ 177837.68697632369658 C3⋅+ 355609.05835548430851+

311146.8676483139892 C1⋅ 1.1199659816242918447e6 C2⋅+ 355609.05835548430851 C3⋅+ 1.2799768113755263215e6+

177837.68697632369658 C1⋅ 355609.05835548430851 C2⋅+ 207538.7005804471746 C3⋅+ 414948.35012616708989+

355609.05835548430851 C1⋅ 1.2799768113755263215e6 C2⋅+ 414948.35012616708989 C3⋅+ 1.4933944452080717123e6+

C Find C1 C2, C3, C4, ( )

1.051− 103−

×

1.749 104−

×

1.594 103−

×

2.654− 104−

×

��

��

=:=

wenergia x y, ( ) C1 w1x x( )⋅ w1y y( )⋅ C2 w1x x( )⋅ w2y y( )⋅+ C3 w2x x( )⋅ w1y y( )⋅+ C4 w2x x( )⋅ w2y y(⋅+:=

'b

'

B-4

A deformada da placa pode ser vista a seguir:

Deformada da Placa

wenergia

As equações utilizadas para conhecer o comportamento estrutural da placa foram as seguintes:

Mx x y, ( ) Dx 2x

w x y, ( )d

d

2

⋅ Dxy 2y

w x y, ( )d

d

2

⋅+

��

��

−:= w My x y, ( ) Dy 2y

w x y, ( )d

d

2

⋅ Dxy 2x

w x y, ( )d

d

2

⋅+

��

��

−:= w

Mxy x y, ( ) 2Gxyx y

w x y, ( )d

d

��

��

d

d

��

��

⋅��

��

−:= w

σx x y, z, ( ) z−E

1 ν2

−

��

��

⋅2

xw x y, ( )

d

d

2

ν2

yw x y, ( )

d

d

2

⋅+

��

��

⋅:= w

σy x y, z, ( ) zE

1 ν2

−

��

��

⋅2

yw x y, ( )

d

d

2

ν2

xw x y, ( )

d

d

2

⋅+

��

��

⋅:= w

τxy x y, z, ( ) 2− G⋅ z⋅x y

w x y, ( )d

d

��

��

d

d

��

��

⋅:= w

Qx x y, ( )x

Dx 2x

w x y, ( )d

d

2

⋅ H2

yw x y, ( )

d

d

2

⋅+

��

��

d

d

��

��

−:= w

Qy x y, ( )y

Dy 2y

w x y, ( )d

d

2

⋅ H2

xw x y, ( )

d

d

2

⋅+

��

��

d

d

��

��

−:= w

B-5

ANEXO C


Neste exemplo será abordado a importância de se averiguar as tensões críticas de flambagem no

dimensionamento de uma estrutura, neste caso, uma placa simplesmente apoiada submetida a uma tensão

axial na direção do eixo x.

Serão analisados os casos de uma placa sem imperfeições iniciais e, depois, com uma pequena curvatura

inicial proporcionada pela ação de seu próprio peso.


Dados de entrada:

b 1m:=

t 0.0127m:=

E 200 106

⋅kN

m2

:=

ν 0.3:=

Flambagem em placas inicialmente planas:•

m1 1:= m2 2:= m3 3:= m4 4:= ( Modos de flambagem na direção x)

ra

b= ( Relação entre as dimensões)

r 0 0.1, 6..:=

C-1

k1 r( )m1

r

r

m1

+��

��

2

:= k2 r( )m2

r

r

m2

+��

��

2

:= ( Equações para os diversos

fatores de carga que variam com o

modo de flambagem e a relação

entre as dimensões)k3 r( )

m3

r

r

m3

+��

��

2

:=k4 r( )

m4

r

r

m4

+��

��

2

:=

0 1 2 3 4 5 60

4

8

12

Relação Geometria x Fator de carga

k1 r( )

k2 r( )

k3 r( )

k4 r( )

r

Considerando que a dimensão em x irá variar de 1,0m até 2,0m, o menor fator de carga para cada

caso será:

a1 1m:= a2 1.5m:= a3 2m:=

FC1 k1

a1

b

��

��

4=:= FC2 k2

a2

b

��

��

4.34=:= FC3 k2

a3

b

��

��

4=:=

FC

FC1

FC2

FC3

��

��

4

4.34

4

��

��

=:=

Com base nisto, a equação desenvolvida por Navier considera as seguintes cargas críticas:

Ncr FCπ

2E⋅ t

3⋅

12 1 ν2

−( )⋅ b2

⋅

⋅:=

σcr

Ncr

t

116.62

126.541

116.62

��

��

MPa⋅=:=

C-2

Verificação à flambagem segundo DNV-RP-201:•

fy 235MPa:= s b:=

ε235MPa

fy

1=:=

Verificação_flambagem "desnecessária"s

t42 ε⋅≤if

"necessária" otherwise

:=

Verificação_flambagem "necessária"=

Para placas esbeltas:

E 200000MPa:=

λp 0.525s

t⋅

fy

E⋅ 1.417=:=

Cx 1 λp 0.673≤if

λp 0.22−

λp2

otherwise

:=

Cx 0.596=

Resistência à flambagem da placa submetida à carga lateral compressiva:

γm 1.15:=

σxRd Cx

fy

γm

⋅ 121.821 MPa⋅=:=

A tensão resistente encontrada devido ao fenômeno da flambagem é de 121,821MPa, ou seja,

aproximadamente a metade da tensão de escoamento do aço.

Como a tensão atuante é 100MPa, o fator de segurança, ou fator de carga, segundo as premissas da

norma é:

σ 100MPa:=

FSσxRd

σ1.218=:=

C-3

ORIGIN 1:=Flambagem com curvatura inicial :•

Para este caso, a curvatura inicial se dará pela ação preventiva do peso próprio da placa.

a 1m 1.5m, 2m..:=k 30:= (Número de interações da solução em série)

b 1m:=γaço 76.5

kN

m3

:=t 0.0127m:=

q γaço t⋅ 0.972 kPa⋅=:=

E 200 106

⋅kN

m2

:=

ν 0.3:=

Para o caso de a=1,0m, nota-se, pela figura 5.6 deste trabalho, que a placa flambará, preferencialmente,

com uma meia-onda, ou seja: m=1 e n=1. Para a=1,5m e a=2,0m, tem-se: m=2 e n=1.

a1 1m:= a2 1.5m:= a3 2m:=

m1 1:= m2 2:= m3 2:= (quantidade de meias-ondas no eixo x)

n1 1:= n2 1:= n3 1:= (quantidade de meias-ondas no eixo y)

A carga distribuída é uniforme na superfície da placa:

p x y, ( ) q:=

DE t

3⋅

12 1 ν2

−( )37.516 kN m⋅⋅=:=

Para as equações de deslocamento, assim como o explicado na solução apresentada no Anexo A, os

valores de m0 e n0 devem ser ímpares, logo:

qmn16 q⋅

π2

m0⋅ n0⋅

= , para m0 e n0= 1,3,5...

Então, a equação para os deslocamentos iniciais assumem a seguinte forma:

m0 1:= n0 1:=

qmn a( )4

a b⋅0

b

y

0

a

xp x y, ( ) sinm0 π⋅ x⋅

a

��

��

⋅ sinn0 π⋅ y⋅

b

��

��

⋅

��

d

��

d⋅:=

amn a( )1

π4

D⋅

qmn a( )

m0

a

��

��

2n0

b

��

��

2

+

��

��

2⋅:=

C-4

w0 x y, a, ( )16 q⋅

π6

D⋅1

k

m0 1

k

n0

sin2m0 1−( ) π⋅ x⋅

a

��

��

sin2n0 1−( ) π⋅ y⋅

b

��

��

⋅

2m0 1−( ) 2n0 1−( )2m0 1−( )

a

��

��

22n0 1−( )

b

��

��

2

+

��

��

2

⋅

�=

�=

⋅:=

Os deslocamentos máximos estão localizados no centro da placa, então:

w0a

20.5m, a,

��

��

��

��

��

m

=

( Valores menores que a espessura, OK!)

A equação para deslocamentos finais será a superposição de wo e w1, assim:

w x y, a, N, ( ) w0 x y, a, ( )

1

k

m0 1

k

n0

amn a( ) N⋅

π2

D⋅

a2

m0

n02

a2

⋅

m0 b2

⋅

��

��

+

��

��

2

⋅ N−

�=

�=

+:=

wa

20.5m, a, 0,

��

��

��

��

��

m⋅

=

( Valores de w semelhantes à w0 quando N=0, OK!)

A carga crítica para a=1,0m é apresentada a seguir:

N 1000kN

m1010

kN

m, 1480

kN

m..:=

C-5

0 5 103−

× 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

1 106

×

1.036 106

×

1.071 106

×

1.107 106

×

1.143 106

×

1.179 106

×

1.214 106

×

1.25 106

×

1.286 106

×

1.321 106

×

1.357 106

×

1.393 106

×

1.429 106

×

1.464 106

×

1.5 106

×

N

w 0.5m 0.5m, 1m, N, ( )

w0a

20.5m, a,

��

��

t

��

��

��

=

A carga crítica de flambagem será aquela em que os deslocamentos crescem muito rapidamente com

pequenos incrementos de carga. Sendo assim, pelo gráfico, onde a=1m, percebe-se que para carga de

aproximadamente 1429kN/m, ou para uma tensão de 112,5MPa, a placa flamba.

A obtenção gráfica da carga crítica da placa com imperfeições iniciais pode gerar erros, mas, esses erros

podem ser tolerados.

Os demais valores de carga crítica foram assim também obtidos e são apresentados a seguir:

σcr

112 5,

122 6,

110 2,

��

��

.MPa:=

2

C-6

aplicação da teoria de placas na análise de estruturas offshore

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