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Aplicao do Teoremade Pitgoras

Para pensar

Nossa aula

Uma escada de 5 m de comprimento estapoiada num muro. O p da escada est afastado 3 m da base do muro. Qual a altura, no muro, que a escada alcana?

Para resolver esse problema, usaremos uma propriedade muito importantedos tringulos retngulos que foi estudada na aula anterior. Ela conhecidacomo Teorema de Pitgoras e diz o seguinte:

Em todo tringulo retngulo, o quadrado da medida daEm todo tringulo retngulo, o quadrado da medida daEm todo tringulo retngulo, o quadrado da medida daEm todo tringulo retngulo, o quadrado da medida daEm todo tringulo retngulo, o quadrado da medida dahipotenusa igual soma dos quadrados das medidas doshipotenusa igual soma dos quadrados das medidas doshipotenusa igual soma dos quadrados das medidas doshipotenusa igual soma dos quadrados das medidas doshipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos

catetos.catetos.catetos.catetos.catetos.

Observe o seguinte tringulo retngulo:

A hipotenusahipotenusahipotenusahipotenusahipotenusa o lado maior do tringulo, BC. A hipotenusa pode seridentificada tambm como o lado oposto ao ngulo reto do tringulo. Os outroslados, AB e AC, so chamados de catetoscatetoscatetoscatetoscatetos.

Esses nomes, hipotenusa e cateto, so usados apenas para indicar os lados dotringulo retngulo.

O Teorema de Pitgoras se aplica a todos os tringulos retngulos.Portanto, uma maneira rpida e simples de saber se determinado tringulo retngulo quando conhecemos apenas as medidas de seus lados aplicar oTeorema de Pitgoras.

56A U L AA U L A

AB

C

56A U L AEXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1

Verifique se o tringulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e 26 cm retngulo.

Elevando ao quadrado as medidas dos dois lados menores, os catetos, esomando os resultados, temos:

10 + 24 = 100 + 576 = 676

Elevando tambm ao quadrado a medida da hipotenusa:26 = 676

Verificamos que: 26 = 10 + 24 . Logo, este tringulo retngulo.

Veja, agora, outras aplicaes do Teorema de Pitgoras.

EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2

O lado de um quadrado mede 5 cm. Quanto mede a diagonal desse quadrado?

Voc j sabe que a diagonal do quadrado o segmento de reta que liga doisvrtices no consecutivos. No se esquea tambm de que o quadrado temos quatro lados iguais e os quatro ngulos retos.Ao traar uma diagonal, o quadrado fica dividido em dois tringulos retn-gulos iguais. A diagonal a hipotenusa, e os lados do quadrado, os catetos.

Na figura ao lado, destacamos umdos tringulos. Assinalamos adiagonal com a letra ddddd. Vamosaplicar o Teorema de Pitgoraspara determinar o valor de d d d d d (me-dida da diagonal):

= 5 + 5d = 25 + 25d = 50 _ d = 50

O resultado 50 um nmero irracional: tem uma infinidade de casasdecimais sem ser peridico.No existe nenhum nmero natural que elevado ao quadrado seja igual a 50.Portanto, o resultado do problema ficar indicado por 50 . Usando amquina de calcular, obtemos um resultado aproximado com duas casasdecimais. A diagonal do quadrado de lado 5 cm igual a 50 ou 7,077,077,077,077,07 cm,aproximadamente.

5 cm

5 cm

5 cm

d

d

56A U L A EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3

Num losango, as diagonais medem 16 cm e 12 cm. Determine a medida dolado do losango.

O losango um quadriltero que possui os quatro lados iguais. Suasdiagonais so diferentes entre si e perpendiculares, isto , cortam-se ao meioformando quatro ngulos retos.

Observe na figura acima que, ao se cruzarem, as diagonais dividem olosango em quatro tringulos retngulos. Em cada um deles os catetosmedem 8 cm e 6 cm, pois cada cateto a metade de uma diagonal. Veja quechamamos a hipotenusa do tringulo de xxxxx, representando a medida do ladoladoladoladoladodo losango que vamos calcular. Aplicando Pitgoras, temos:

x = 8 + 6x = 64 + 36x = 100x = 100 x = 10

Logo, o lado do losango mede 10 cm10 cm10 cm10 cm10 cm.

EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4

Um tringulo issceles tem 16 cm de altura e 12 cm de base. Determine amedida dos outros dois lados.

Vamos lembrar que o tringulo issceles possui dois lados iguais e umdiferente, chamado basebasebasebasebase.Quando traamos a altura do tringulo em relao base ela forma doistringulos retngulos iguais, onde um dos catetos a alturaalturaalturaalturaaltura (16 cm), o outromede metade da basemetade da basemetade da basemetade da basemetade da base (6 cm) e a hipotenusa um dos lados iguaislados iguaislados iguaislados iguaislados iguais dotringulo issceles, cuja medida desconhecida (xxxxx).

x8

6

x16

6

12

_

56A U L AAssim, aplicando Pitgoras:

x = 16 + 6x = 256 + 36x = 292x = 292

A medida dos lados iguais do tringulo issceles 292 cm ou 17,08 cm17,08 cm17,08 cm17,08 cm17,08 cmaproximadamente.

EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5

Num tringulo equiltero cujo lado mede 8 cm, quanto mede a altura?

Da mesma forma que no tringulo issceles, ao traarmos a altura formam-se dois tringulos retngulos iguais, onde um dos catetos a alturaalturaalturaalturaaltura (xxxxx) queno conhecemos a medida, o outro mede metade do ladometade do ladometade do ladometade do ladometade do lado (4 cm) e ahipotenusa o ladoladoladoladolado do tringulo equiltero (8 cm). Aplicando o Teoremade Pitgoras:

8 = x + 464 = x + 1664 - 16 = x+ 16 - 16 (lembre-se da Aula52)48 = x

A altura do tringulo retngulo de lado 8 cm , portanto, 48 cm ou 6,926,926,926,926,92cmcmcmcmcm aproximadamente.

Vamos agora resolver o problema sugerido no incio da aula que ,tambm, uma interessante aplicao prtica do Teorema de Pitgoras.Observe:

4 cm

8 cmx

8 cm

5 m

3 m

x5 m

3 m

x

_ x = 48

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(aplicando a operao inversa da adio, a subtrao)

Exerccios

10

8

10 10x

x

x

Ao encostar no muro, a escada forma um tringulo retngulo onde:l o comprimento da escada a hipotenusa do tringulo (5 m);l a distncia do p da escada base do muro a medida de um dos catetos

do tringulo (3 m);l a altura que a escada alcana no muro a medida do outro cateto (xxxxx), que

no conhecemos. Aplicando Pitgoras:

5 = 3 + x 25 = 9 + x 25 - 9 = x x = 16

A altura que a escada alcana no muro de 4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm.

Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Verifique se o tringulo cujos lados medem 13 cm, 12 cm e 5 cm umtringulo retngulo.

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Aplicando o Teorema de Pitgoras, determine as medidas indicadas:

a)a)a)a)a) b) b) b) b) b)

Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Calcule a medida do ladodesse losango.

Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Calcule a medida da diagonal de um retngulo cujos lados medem 36 m e 27 m.

Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Calcule a medida da diagonal do quadrado cujo permetro mede 24 cm.

Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6As diagonais de um losango medem 6 m e 8 m. Qual o permetro desselosango?

_ x = 16 _ x = 4