UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CINCIAS FSICAS E MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS EM ESCOAMENTO DE FLUIDOS

ALOISIO JOS BATTISTI ORIENTADOR: SRGIO EDUARDO MICHELIN

Florianpolis setembro de 2002

0. 268. 1 6 9 - 8

Esta Monografia foi julgada adequada como TRABALHO DE CONCLUSO DE CURSO no curso de Matemtica Habilitaao Licenciatura, e aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora designada pela Portaria n 33 / SCG / 2002.

,gce2u;i4Prof N reu Estanislau Burin Professor da disciplina

Banca Examinadora:

rgio Eduardo Michelin Orientador

Lb

VW,Advmpi.

Antonio Vladimir Martins

Daniel Norberto Kozakevich

II

DADOS GERAIS

Nome do Orientando: Aloisio Jos Battisti Curso: Matemtica / Licenciatura Orientador: Srgio Eduardo Michelin (Depto de Fsica da UFSC)

Monografia apresentada ao Curso de Graduao em Matemtica do Centro de Cincias Fsicas e Matemticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para obteno de Licenciado em Matemtica.

AGRADECIMENTOS

Agradeo principalmente os meus queridos familiares, e tambm as secretrias da coordenadoria, a todos do departamento, os colegas de aula, e meus professores, mais especialmente meu orientador pela sua ateno e bom humor.

IV

DEDICATRIA

Dedico esta monografia a minha sempre querida e amada Fernanda.

V

NDICEPginas

Introduo 1 Equaes Diferenciais 1.1 Introduo as Equaes Diferenciais 1.2 Equaes Diferenciais de l a Ordem com Variveis Separveis

01

03 04

2 Massa Varivel 2.1 Sistema de Massa Varivel 2.2 Momento Linear e Impulso Linear 2.3 Fluxo de Massa Constante 2.4 Lanamento de Partculas 2.4.1 Partcula Projetada Verticalmente para Cima sem Resistncia 2.4.2 Partcula Projetada Verticalmente para Cima com Resistncia

06 07 10 11 13 14

Proporcional a Velocidade2.4.3 Partcula que Escapa da Atrao Gravitacional da Terra 3 Aplicaes 3.1 Sistema de Massa Varivel em Problemas de Lanamento de Foguetes 3.1.1 Lanamento de Foguete na Vertical Desprezando a Fora de Atrito e com a Acelerao da Gravidade Constante 3.1.2 Lanamento de Foguete considerando a Fora de Atrito 3.1.3 Lanamento de Foguete na Horizontal 4 Escoamento de Fluidos 4.1 Escoamento em Hidrodindmica 4.2 Escoamento do Liquido de um Tanque 4.2.1 Escoamento do Liquido de um Recipiente em Forma Cilndrica 4.2.2 Escoamento do Liquido de um Recipiente em Forma de Funil 4.2.3 Escoamento do Liquido de urn Recipiente em Forma de Hemisfrio 4.3 Escoamento em Bacias Hidrogrficas 5 Modelo Terico em Previso de Enchentes 5.1 Modelagem Matemtica 5.2 Escoamento Varivel 5.3 Determinao da Inundao 5.3.1 Fluxo Constante 5.3.2 Fluxo Varivel Concluso

16 18 20 23

26

2729 30 32 33

36 38 40 41 44 45 46

Bibliografia

INTRODUO

No podemos negar, que, em todas as reas das cincias exatas, uma poderosa ferramenta para a descrio e modelao de muitos fenmenos so as equaes diferenciais. Particularmente, na rea das cincias fsicas, a aplicao das equaes diferenciais encontra uma enorme gama de aplicaes, desde sua formulao mais simples, que so as equaes lineares de primeira ordem, at aplicaes em problemas mais complexos envolvendo equaes diferencias no-lineares de altas ordens. Procuraremos, neste trabalho, dar uma viso simplificada da aplicao das equaes diferenciais, em alguns problemas encontrados na Area das cincias fsicas, que possuem solues bastante conhecidas, indo at uma tentativa mais modesta de se descrever alguns fenmenos naturais encontrados na previso de enchentes. Em nosso trabalho, resolvemos analiticamente, e numericamente, as equaes diferenciais que mostram o desempenho dos fenmenos de sistemas de massa varivel. Como exemplos de aplicaes das equaes diferenciais lineares, que envolvam sistemas de massas variveis, abordaremos no presente trabalho, alguns problemas simples, onde as equaes diferenciais so utilizadas para descrever o comportamento de sistemas com massa varivel. Estas equaes buscam descrever matematicamente e fisicamente tais problemas, onde, com base nestas equaes podemos tentar prever o comportamento de tais sistemas.Em especial as equaes diferenciais ordinrias de 1a ordem, que descrevem os fenmenos fisicos, so de grande importncia prtica na resoluo dos problemas em sistemas de massa varivel, o que nos oferece uma compreenso quantitativa e qualitativa de tais experimentos. Nem sempre possvel trabalhar com um modelo matemtico que represente de maneira exata um problema real em toda sua complexidade. Contudo, pode-se tentar uma formulao aproximada, empregando para tal, algumas variveis que so essenciais na formulao do fenmeno fsico. Desta forma, podemos simular tal fenmeno, com o emprego de um modelo matemtico que descreva o seu comportamento. Como exemplo do exposto acima, vamos observar a desintegrao de uma substncia radioativa. Podemos observar, neste caso, que o nmero de desintegraes por unidade de tempo proporcional A. quantidade de substncia presente em cada instante. Se postularmos que; x = x(t) representa a quantidade de substncia presente em cada instante t, a equao matemtica que descreve a taxa de variao instantneadx(t) dt

sofrida pela substncia, pode ser descrita como:dx(t) dt --= a.x.(t)

onde, a o coefi ciente de proporcionalidade, entre o valor inicial e a sua variao instantinea. Esta constante deve ser determinada analiticamente, resolvendo a equao acima formulada, ela depende do material envolvido. No capitulo 2, estudamos conceitos, classi ficao e como resolver as equaes diferenciais envolvidas. Neste item, as aplicaes de tais equaes so de fundamental importncia para modelagem matemtica de problemas de escoamento e lanamento de foguetes. No Capitulo 3, centramos nosso estudo na area da fisica, onde estudamos os conceitos de momento linear, de impulso linear e descrevemos sistemas de massa varivel. Estudamos tambm, neste capitulo, o lanamento de partculas segundo os seguintes aspectos: - sob a ao da fora de gravidade, desprezando a resistncia do ar; - sob a ao da fora da gravidade e considerando a resistncia do ar; - desprezando a fora de gravidade e a resistncia do ar. No capitulo 4, estudamos problemas de escoamento de fluidos que envolvam aplicaes fisicas simples das equaes diferenciais, em que o volume do liquido no recipiente varia como funo da taxa de escoamento do liquido. Como exemplos aplicados, apresentamos a resoluo dos problemas para recipiente com diversas formas: cilndrico, de cone invertido: "funil", e recipiente hemisfrico e escoamento em bacias hidrogrficas. No capitulo 5, estudamos problemas como o do lanamento de foguetes, no qual utilizamos os conceitos utilizados em problemas com sistemas de massa varivel. Nestes estudos, somente analticos, consideramos o foguete nas seguintes situaes: - sob a ao da gravidade; - sob a ao da resistncia do ar; - lanamento na horizontal, onde desprezamos a ao da gravidade. No capitulo 6 estudamos, o problema do escoamento das guas em enchentes, baseados em dados coletados durante o perodo de enchentes em julho de 1983, na bacia hidrogrfica do rio Canoas. Isto foi feito utilizando uma modelagem onde inclumos dados coletados. Neste caso, seguimos um roteiro da forma: - Determinamos a sea responsvel pelo escoamento, em cada momento, conhecidos o volume e altura em funo do tempo. Com o software grfico Origen40, encontramos uma equao polinomial da area, a(t). A partir da equao diferencial estudada para escoamento no capitulo 4, estudamos a taxa de escoamento instantneo da area inundada, no perodo estudado, desprezando qualquer variao no escoamento. Finalmente, com a frmula de modelagem obtemos as vrias fases do comportamento da area inundada. Por ltimo, apresentamos uma pequena concluso sobre este trabalho.

Capitulo 1

EQUAES DIFERENCIAIS

1.1 INTRODUO AS EQUAES DIFERENCIAIS Equaes diferenciais so equaes que envolvem derivadas de uma ou mais variveis dependentes em relao a uma ou mais variveis independentes. [10] So exemplos de equaes diferenciais: d2Y( dY ) 3

dx 2

dx

=0

Xi/dx 3

d2x ln d- 2

(1.1.2)

Enquanto a equao diferencial eq.(1.1.1), que apresenta somente uma varivel independente, x, chamada de ordinria, a segunda eq.(1.1.2), com duas variveis independentes, x e z, denominada como equao diferencial parcial. Para classificar uma equao diferencial segundo a ordem, necessrio comparar os graus dos termos existentes, assim a ordem dada pelo grau da derivada de maior ordem existente, nas equaes apresentadas acima, a ordem da eq.(1.1.1) de grau 2, enquanto que a ordem da eq.(1.1.2) de grau 3. Tambm para diferenciar equao diferencial linear de uma no linear, adota-se alguns critrios, toda equao chamada de linear quando no aparecem os termos tais como: 1 transcendentais: ln y(x) , cos(%) , sen 2 produtos do tipo:a 2 x ax i. i;x(y,z). 8z 2 ay dz dh [Y(X)1 2 ; (dt/ )2 .(1.1.4)

r d2x

ciy z

(1.1.3)

dhi

4

Quando as equaes envolvem termos como os descritos acima, (1.1.4) e (1.1.4), estas equaes so denominadas de equao diferencial no-linear. Toda equao diferencial linear ordinria de ordem n escrita como:a 0 (x).

dy d"y d"-1 y + ...+a_, (x). + a (x).y = b(x) + a,(x). dx dx" dx" -1

(1.1.5)

em que a (x) no identicamente nulo, x a varivel independente e y(x) a nica funo de x. Toda equao diferencial de la ordem escrita na forma dydx

= f(x,

(1.1.6)

tambm possvel reescrever esta equao como f (x, = M(x, y) N(x, y)

(1.1.7)

Que mais bem representada na forma M(x, y).dx N(x, y).dy = 0 (1.1.8)

e pode ser transformada numa equao diferencial separvel nas variveis x e y, como veremos a seguir.

1.2 EQUAES DIFERENCIAIS DE la ORDEM COM VARIVEIS SEPARVEIS Iniciaremos o estudo da aplicao das equaes diferenciais, a partir de um apanhado geral, de como podemos resolver algumas equaes mais simples.[11] Podemos, por exemplo, descrever uma equao diferencial de 1 a ordem, se a colocarmos na forma da equao abaixo M.dx+N.dy=0(1.2.1)

ao supormos que M depende apenas de x, e N apenas de y, diz-se que a equao de variveis separveis e reescreve-se na forma

5

p(x).dx + q(y).dy = 0

(1.2.2)

Sendo p(x) e q(y) funes continuas, para encontrar as primitivas P(x) e 0(x) necessrio fazer a integrao implcita da equao, neste caso escreve-se a equao do seguinte modo (1.2.3) p(x).dx + q(y).dy =0

J

onde para resolvermos esta equao de modo trivial suporemos que p(x) e q(y) simultaneamente sejam iguais a zero, caso contrrio necessrio fazer a integrao, ento tm-se a seguinte soluoP(x) + 0(x) = C

(1.2.4)

Uma equao particular que uma extenso da linear de 1 a ordem a equao de Bernoulli, e aplicada na resoluo de problemas que envolvam lanamento de foguetes.107] A equao de Bernoulli, de certa forma se reduz a uma equao linear, onde por substituio adequada, podemos obtery = p.3) y n

(1.2 5)

onde P = p(x) e Q = q(x) , so funes de x unicamente, em que n no zero nem igual unidade. Divide-se os dois membros da igualdade por yn , e reescreve-se a equao na forma:

(1.2.6)ao fixarmos z =

, e derivarmos em relao a x, a equao (1.2.6) toma a seguinte forma

=0 - 11)..Y -"Se dividirmos a equao, dada acima, por 1-n podemos reescreve-la como

(1.2.7)

y'' de onde

(1n)

(1.2.8)

= (I

n).p.z + (1 n).q

(1.2.9)

que uma equao de 1 a ordem em z, resolvida com o mtodo anterior.

6

Capitulo 2

MASSA VARIVEL

2.1 FLUXO DE MASSA VARIVEL Para estudarmos as situaes onde uma grande massa in apresenta fluxo de partculas, aplicado a qualquer corpo que esteja adquirindo ou perdendo massa.[08] Podemos considerar que as velocidades para a direita so positivas, e qualquer fluxo em sentido contrario sera negativo. Nesta situao, vamos supor as seguintes hipteses: 1 0 ) Aumento da massa m com Ve maior que Vm :VeVm

Como a velocidade do fluxo maior que a velocidade da massa, o fluxo de partculas alcana a massa. 2) Aumento da massaPI

fluxoVe > Vm

massa

Figura I com VM maior que Ve:Vm Ve

Como a velocidade de massa maior que a velocidade do fluxo, e o fluxo est sendo alcanado pela massa.

massa 'in > Ve Figura 2

.flu

As situaes estudadas para problemas que envolvem foguetes, so os casos em que est sendo expelida massa de m: la) Se ocorrer a queima do combustvel de um retrofoguete, in desacelerada.Vm Vm < Ve Ve

massaFigura 3

7

2) Se ocorrer a queima do combustvel do motor de um foguete, m acelerada. 17m > Ve

Ve

Vm

ITuxoFigura 4

2.2

MOMENTO LINEAR E IMPULSO LINEAR

No estudo do momento linear e do impulso linear, devemos definir um referencial a partir do qual possamos fazer uma anlise das grandezas vetoriais requeridas pelo problema.[12] Inicialmente, vamos considerar o movimento curvilneo no espao, de uma partcula de massa m , em que a partcula est localizada por seu vetor posio r, medido a partir de uma origem fixa num referencial no inercial, da forma descrita na figura abaixo

mv

Trajetria da-------------partcula

EF

Figura 5

Para o modelo considerado com n partculas de massa m, limitadas por uma superficie fechada no espao. A resultante de todas as foras que atuam em In, LF , est na direo da acelerao v. Escrevemos ento a equao bsica do movimento com a Segunda lei de Newton generalizada, como

8

d(mv) EF=m.vdi

(2.21)

onde, neste caso, o momento linear das partculas o produto da massa pela velocidade, representado por G G =m.v (2.2.2)

ento, neste caso, a fora que age no sistema dada pela derivada primeira do momento linear

EF,6

(2.2.3)

Esta relao vlida na mecnica desde que a massa m da partcula no esteja variando com o tempo. Tambm estabelece que a resultante de todas as foras atuantes numa partcula a taxa da variao em relao ao momento linear. Procedendo assim, possvel expressar a resultante das foras em funo do momento linear a partir das coordenadas x, y, z, e com estas componentes escalares escrevemos as resultantes da seguinte forma:

_.

=G =m.v., v . (2.2.4) F, =G,..m.v:

Para o estudo do fluxo de massa varivel a resultante das foras externas dada pord(mv )

,

EF=

dt

=m.vt+mt.v

(2.2.5)

que a expresso do somatrio parcial das foras atuantes no sistema. 0 momento linear de uma partcula de massa in, em qualquer instante definido como o produto da massa da partcula pela sua velocidade em qualquer instante, dado por G=m.v 0 momento linear do sistema no tempo t pode ser reescrito como (2.2.6)

9

G(t) = ni.Vm + Am.V,

(2.2.7)

com o tempo (t + At) e Am incorporados a m , o momento linear pode ser dado por G(1 + At)=(m + Am).Vm +(m + Ain).AVmOU

(2.2.8)

G(t + At)=(m + Arn).(Vm + AVm)

(2.2.9)

Como o impulso linear, I, de um sistema de foras agindo sobre um sistema de partculas durante um intervalo de tempo igual a variao do momento linear do sistema de partculas durante este intervalo de tempo, podemos descreve-lo como

=

(2.2.10)

num determinado intervalo de tempo (t + At) ,[08 Sendo o impulso linear das foras externas para o sistema estudado, excluindo as foras internas, igual a variao do momento do sistema. Ento o impulso resultante pode ser colocado como R.At =G(t + At) G(t) (2.2.11)

onde R fora resultante que age sobre o sistema, levando em conta a variao do tempo. Trabalhando esta expresso na forma: R.At =(m+ Am).(Vm + AVm)(m.Vm + Am.Ve) R.At =(m.Vrn + m.AVm + Am.Vm + Ain.AVrn)(m.Vm + Am.Ve) R.At = m.Vm +m.AVm + Am.Vin + Ain.AVm ni.Vm Am.Ve R.A1=m.AVm Am(VeVm)+ Am.AVm

(2.2.12)

Quando At aproxima de zero, e se as quantidades diferenciais so trocadas por di, din e dVm , reescreve-se a equao para resultante, da seguinte forma

R=m.

dVm dm (Ve Vm) di dt

(2.2.13)

Sendo tim.LIVm diferencial de Segunda ordem, com valores que no alteram o resultado, sua contribuio pequena e podemos desconsidera-las.

FLUXO DE MASSA CONSTANTE

10

Os conceitos de momento linear, e de impulso linear, so fundamentais em nossos estudos, fornecem-nos recursos que permitem a anlise da ao de fluxos de massa sobre o conjunto estudado. Na presente seo, faremos a anlise de mquinas com fluxo de massa que incluam a propulso de foguetes. Chama-se fluxo permanente o fluxo de massa no qual a razo em que a massa entra num determinado volume igual a vazo que deixa este mesmo volume. Entende-se por mquinas de fluxo, o volume delimitado por um envoltrio rgido, atravs do qual o fluido esteja escoando permanentemente. Neste tipo de escoamento, considera-se o conjunto formado pelo envoltrio rgido, para o qual existe o fluxo permanente de massa por uma seo de entrada, com area A 1 , e tambm a massa que deixa o envoltrio pela ao de sada, com Area A 2 , com mesma razo din/ 7th Supondo-se que no haja acmulo ou dissipao de massa dentro do envoltrio, sendo a velocidade de corrente que entra v 1 , e que sai v, , perpendiculares a A I e A respectivamente, com p l e p as massas especificas, escreve-se a equao que expressa a taxa do fluxo na forma rn = = p2 .A2 .v2 Como mostra a figura a seguir EF

Figura 6

sendo o somatrio de todas as foras aplicadas externamente, EF , ao sistema isolado que consiste de uma estrutura fixa de envoltrio e do fluido nela contido, num determinado instante de tempo.[12] Considera-se que a resultante de todas as foras externas, seja igual a

a,

G, que a taxa de variao no tempo do momento linear do sistema isolado, para qualquer sistema de massa constante. 0 momento linear do invlucro G, bem como da massa entre as sees A, e A 2 constante em A, e o incremento de G, dado por

11

AG = (Am).v i (Am).v 2 = Am.(v 2 v1 )

(2.3.1)

onde consideramos a massa incremental de entrada e de sada, Am constante. Como a resultante das foras externas em qualquer sistema de massas igual taxa de variao em relao ao tempo do momento linear do sistema, podemos escrever a equao na forma

Eonde

=G =

Av

(2.3.2)

In = lim Ai,o [ Am / = cm de At

(2.3.3)

reescreve-se a equao resultante das foras externas dos sistema enquantoEF=millv (2.3.4)

2.4 LANAMENTO DE PARTCULAS

Vamos considerar que as partculas so lanadas verticalmente para cima, e que as condies iniciais vo sendo modificadas. Inicialmente consideramos o lanamento com resistncia do ar desprezvel, em seguida vamos supor que o sistema se encontra sob a ao da resistncia do ar, e por Ultimo que o influxo gravitacional nulo. [03]

2.4.1 - PARTCULA PROJETADA VERTICALMENTE PARA CIMA SEM RESISTNCIA

Numa partcula projetada verticalmente para cima, o movimento descrito pela segunda lei de Newton, onde a razo da variao do momento da partcula igual fora exercida sobre ela. Se a massa da partcula m , podemos considerar ento que o momento ascendente dado pelo produto, m.v, e a velocidade ascendente v=di

(2.4.1.1)

12

onde y o seu deslocamento e medido verticalmente para cima. Como o momento ascendente igual a m.v, e g (gravidade) a iinica componente responsvel pela fora atuante, a equao que descreve o seu movimento d(rn v)

= m .g

di

(2.4.1.2)

sendo o produto ni.g a nica fora atuante em sentido contrario ao movimento, necessrio colocar o sinal negativo, para indicar este fato, e, sendo m constante, a equao final para o movimento serdvdi

-g

(2.4.1.3)

A velocidade da partcula ento obtida integrando-se a equao acima como

funo do tempo, o que resulta em v = c,g.t

(2.4.1.4)

onde c, a velocidade inicial quando I - O. Assim, a equao para a velocidade como funo do tempo pode ser representada por:v =v0-

(2.4.1.5)

Como a velocidade dada por uma taxa diferencial em funo de y, da forma descrita na eq. (2.4.1.1), por substituio na eq. (2.4.1.5) obtemosdydi

= - g t

(2.4.1.6)

a qual representa uma equao linear de I grau, onde por integrao como funo do tempo, obteremos a coordenada y da partcula, que expressa a distncia de deslocamento do projtil

y c 2 + vo .t

1 2

2

(2.4.1.7)

A equao acima descreve o comportamento da partcula como uma funo do tempo. Usando as condies iniciais; / = O, quando y tambm nulo, ento podemos supor que c, = O, o que resulta na equao final

1 y =v0 .1 --.g.1 2

2

(2.4.1.8)

13

indicando a posio que a partcula se encontra em determinado instante de tempo.

2.4.2 PARTCULA PROJETADA VERTICALMENTE PARA CIMA, COM RESISTNCIA PROPORCIONAL A VELOCIDADE Quando uma partcula projetada verticalmente para cima, a partir da superficie da terra, e, levando-se em conta a resistncia do ar, a forma de expressar a 2' lei do movimento de Newton dada por

d (m v)di

= m.g m.k.v

(2.4.2.1)

onde:- a fora total atuando na particula di (m.k.v) - a resistncia do ar sobre a partcula, proporcional a velocidade e que atua em sentido contrrio ao movimento, indicando fora resistiva. d (m v)

Considerando, neste caso, que a massa in constante, podemos reescrever a eq.

(2.4.2.1) comodv dt =

kv

(2.4.2.2)

que tambm uma equao linear de 1 0 grau com variveis separaveis.[1 1] A resoluo da que.(2.3.2.2), bastante simples, podemos encontrar o fatorintegrante, que dado por

e kte por conseqncia, a soluo passa pela equao(v.e kt )-= g.e 41

dt

(2.4.2.3)

a qual pode ser resolvida diretamente, resultando na equao

g v.e ki =1 - - .e kt

(2.4.2.4)

14

e com o uso das condies iniciais, 1). V 0 . quando r = 0, podemos escrever kt

v.e

= (v 0

g g-)-

k k

.e

(2.4.2.5)

o que resulta ento na equao final

g v (v + ).e -kt g k

(2.4.2.6)

a qual descreve o comportamento para a velocidade do projtil, em qualquer instante t, lanado a partir da superfcie da terra, levando-se em conta a resistncia do ar.

2.4.3 PARTCULA QUE ESCAPA DA ATRAO GRAVITACIONAL DA TERRA

Ao lanarmos uma partcula verticalmente a partir da superfcie da terra, e considerarmos a terra como uma esfera de raio R, onde a fora gravitacional proporcional ao fator r 2 onde r varia numa ordem de grandeza desde o centro da terra, queremos encontrar uma velocidade minima de lanamento v 0 , chamada de velocidade de escape. Seja a atrao gravitacional dada por,

RMg(

2

T ;)

(2.4.3.1)

que atua sobre uma partcula de massa m, e g a gravidade constante nas proximidades da superfcie da terra. Se desconsiderarmos a resistncia do ar, o movimento da partcula satisfaz a seguinte equao d 2 (v.rn)= i) (2.4.3.2) dt

e como m constante, a equao toma a forma

dv

R

(2.4.3.3)

Mediante uma troca de variveis do tipo

15

dr at = 1)

podemos obter a equao

dvv c17: = -

R

(7)2

(2.4.3.4)

e ao integrarmos a eq. (2.4.14), obteremos a soluo geral1 2 g v = c + .R 2

2

(2.4.3.5)

Usando as condies iniciais em que R=r e v v 01 C 12 2 .Vo

(2.4.3.6)

a equao (2.4.3.5) poder ser escrita na forma da soluo particular1 2 .v = 2 1 2

g g.R + .R 2 r - g.R >0

(2.4.3.7)

sendo

2 ()como('

(2.4.3.8)

z2)v 2 no cai a zero, mas diminui conforme r aumenta, podemos ver que para a partcula escapar da atrao gravitacional da Terra necessrio uma velocidade de escape,

igual a

vo =

(2.4.3.9)

16

Capitulo 3

APLICAES

3.1 - SISTEMA DE MASSA VARIVEL EM PROBLEMAS DE LANAMENTO DE FOGUETES

Como j afirmamos anteriormente, as equaes diferenciais so importantes para a resoluo de problemas na fisica, se forem aplicadas da forma mais completa possvel. caminho utilizado parte sempre da demonstrao da equao que rege determinado problema fsico e envolve a resoluo da mesma tentando chegar-se numa soluo satisfatria para o problema em questo. Um exemplo bastante prtico, j com as equaes matemticas definidas, a soluo das equaes nos lanamentos de foguetes. Tais problemas dinmicos, que envolvem lanamentos de foguetes, so caracterizados pela massa do sistema que varia com o tempo, em virtude do nmero de partculas individuais variarem tambm, devido a. queima de combustvel. Neste sistema de massa varivel, que encontrado em problemas envolvendo lanamento de foguetes, considera-se que a massa de partculas liquidas ou gasosas, sempre flua numa vazo em que as distncias entre as partculas variem com o tempo. 0 procedimento geral aplicado para qualquer corpo que adquire ou perde massa, para simplificarmos a derivao da equao diferencial do movimento, pode-se considerar que o movimento do sistema est sobre uma linha reta, e a resultante das foras externas aplicadas ao sistema esta sobre a trajetria do movimento, onde a acelerao da gravidade, g, constante. Primeiro exclui-se qualquer movimento lateral do sistema, mas deixa-se livre a investigao entre as relaes fundamentais, tais como; acelerao, velocidade e distncia percorrida numa determinada trajetria para as equaes fundamentais. Neste estudo das situaes em que uma grande massa, m, apresenta fluxo de partculas ocorre que a mesma expelida, isto 6, diminui a quantidade de partculas do volume inicial. Considerando-se inicialmente, que todas as condies iniciais so conhecidas, podemos definir que: Primeiro ocorre queima do combustvel do motor de um foguete, o que nos d a condio de massa varivel com uma certa acelerao positiva ou negativa. 17

Segundo efetuamos a anlise das equaes do movimento em que encontra-se a resultante das foras que agem sobre o sistema com variao da massa. Em seguida passamos soluo destas equaes. Por exemplo, quando se d o aumento da massa, a resultante das foras Rdt = dV dm + (Ve -V ni ) di di

(3.1.1)

onde fizemos algumas adaptaes desta equao para as novas situaes em que a massa est sendo expelida. dm Se e nega di tiva, quando ocorre uma perda de massa, em conseqncia da queima de combustvel a equao geral, toma a forma Rdt dV d7 dm dt

Onde o enunciado da 2' lei de Newton escrito da formaRd(mV "' ) di

(3.1.3)

e, trabalhando se com a equao (3.1.2), obtemos a seguinte equao diferencial-

dm dV R = .V + m. dt dt

(3.1.4)

a qual idntica as eqs. (3.1.1) e (3.1.2) quando V e for nulo.di combustvel de um foguete com massa inicial m o . Podemos ento considerar a massa do foguete no tempo 1 como

0 fator din negativo ao considerarmos como uma taxa constante da queima de

m = m

dm .t di

(3 1 5)

E neste caso as foras externas atuantes na vertical so dm P = mg =(mo -- t)g dt

(3.1.6)

18

E a fora de empuxo aerodinmico pode ser representada por T, o qual pode ser obtido aplicando-se a equao de impulso do momento . massa Am, onde podemos alocar a grandeza do impulso dado por

T =(Ve foi utilizada a mudana de varivel da forma

dm

'71

- Vi? )

(3.1.7)

(V. V,) = V

(3.1.8)

com V, sendo a velocidade de escape dos gases do foguete.

3.1.1 LANAMENTO DE FOGUETE DESPREZANDO A FORA DE ATRITO E COM A ACELERAO DA GRAVIDADE CONSTANTE

Consideremos inicialmente o foguete sendo impulsionado no espao sem atrito, o que o faz movimentar-se so os gases expelidos gerados pela queima de combustvel. Neste percurso que o foguete descreve considera-se para fins de estudo que a massa do foguete varia, isto 6, caracteriza-se como um sistema de massa varivel. Como o foguete + gases ejetados est livre das foras externas e utilizando a 2" lei de Newton na forma->

R==di

d

(3.1.1.1)

onde neste sistema o momento linear constante. Se o foguete est sujeito a fora de gravidade, ento devemos supor que o seu momento linear no constante e pode ser colocado como

F =

dp di

(3.1.1.2)

A equao do movimento para um sistema cuja massa in varie com o tempo, dada pela 28 lei de Newton

1F R=mv

(3.1.1.3)

19

Sendo que o corpo perde massa como um todo, expelindo-a numa velocidade vo menor que v, a fora R necessria para desacelerar as partculas de uma velocidade v para uma velocidade menor vo, sell R = in '(v - vo) onde in ' - in a taxa de incremento de in, e de sinal negativo, uma vez que est decrescendo. Ento a eq. (3.1.1.3) pode ser escrita como:

R = (v - v ) = dtSubstituimos a expresso de R na eq.(3.1.1 .4), e reescrevemos na forma:

dm

(3.1.1.4)

dv dt

dm

dt

(3.1.1.5)

Sendo o empuxo, T, tratado como uma fora externa ao foguete, dado por

dm

dm u = -di dt T

e a resultante das foras que atuam no sistema escrita como

E

= mg

Ao substituir a expresso do empuxo, 1', e

Edv(3.1.1.6)

1' -mg =m

Se multiplicarmos a eq.(3.1.1.8) por di, e dividirmos por in, reescreveremos a equao da seguinte forma:

dv =

dm gdt

(3.1.1.7)

que ao integrarmos, obtm-se a expresso da velocidade correspondente ao instante /V=U

In 2- gt rn

111

(3.1.1.8)

onde u a velocidade dos gases expelidos. 0 foguete expele certa quantidade de massa dm, como os foguetes so construidos em estgios, aps acabar o combustvel de um estgio, a massa total diminui. 0

20

foguete, nestes casos, no decola at consumir parte do combustvel, o que faz muito rapidamente. Se considerarmos que a taxa de queima de combustvel, cc, uma constante do tipo:

dm a = die expressarmos

dt =

dm a

Ao substituirmos na eq.(3.1.1.8), obtemos a velocidade escrita na forma da variao de massa: v=-- (m mo) +ii. In a in (3.1.1.9)

onde a uma constante, e a altura que o foguete alcana obtida atravs da integrao da eq. (3.1.1.9), o que resulta em

y=

g --

2

t 2 - Ui + ln(mol m) a

mu

(3.1.1.10)

3.1.2 LANAMENTO DE FOGUETE CONSIDERANDO A FORCA DE ATRITO

Neste exemplo o foguete de um estgio est sendo lanado verticalmente a partir do repouso na superficie da Terra, em que se conhece a massa inicial e a quantidade de combustvel dados em Kg, o tempo de consumo do combustvel em segundos, e a velocidade dos gases de escape em relao ao foguete dado em ms. Queremos determinar no instante do trmino da queima, as expresses da equao da acelerao do foguete eq. (3.5.1), em unidades de g; da velocidade do foguete eq. (3.1.2); e da altitude alcanada pelo foguete, eq. (3.1.3). A equao diferencial que expressa o movimento de um foguete nas condies descritas acima dada por

m V" L= mg Fd +1'

dt

(3.1.2.1)

21

onde o peso do foguete P = m g, para baixo, e Fd uma fora que tambm atua para baixo devido ao empuxo aerodinmico. Sendo a massa inicial do foguete, m a , quando ocorre a queima de combustvel, dm diminui a massa do foguete numa taxa constante = , com sinal negativo. Ento a

' dt

massa do foguete no tempo t dada por

m = m0 btComo a grandeza do empuxo, T, oposta a velocidade dos gases queimados vein, , e dado por

11=

dmt V =bV e' de / m

Ao substituir m, e T, dados acima, na eq.(3.1 .2.1), obteremos

(m bt) dv m = ( m bt)g F d + bv M di

(3.1.2.2)

Se desconsiderarmos que o empuxo aerodinmico atua no sistema, a fora de arrasto d sera nula, 1-1 ' = O. Endo a equao para expressar o movimento toma a seguinte forma

(m o bt) dv = (m0 bt)g + bve d

(3.1.2.3)

que uma equao diferencial de 1 8 ordem, com variveis separveis. Vamos em seguida considerar algumas solues para a equao acima obtida.

1) Da eq.(3.1.2.3), encontramos a expresso da equao da acelerao, escrita na forma

a

=

b ye/ nt Mo bt

(3.1.2.4)

onde a acelerao na equao acima da forma

dvdi2) Ao integrarmos a eq.(3.1.2.3), encontramos a equao da soluo geral 22

dv, = v,,de onde

bdt mo b t m o btmo

gdt

(3.1.2.4)

, =

,ln(

) gt

(3.1.2.5)

a expresso final para a velocidade do foguete. 3) Como os foguetes expelem certa quantidade de massa dm , quando a massa total diminui, a taxa de consumo do combustvel dado por b =, Se fizermos di =din

b'

dy sendo v = ao substituirmos dt em v, na eq.(3.1.2.4), obteremosdt '

dy = ye;

bdm gdm mb gdm

(3.1.2.5)

dydm ento

=v

mo ''" in m

(3.1.2.6)

m v m = V el nt In m dY

g (m mo) b

(3.1.2.7)

a expresso da velocidade com massa, in, varivel. Ao substituirmos Vm = i ct equao na eq.(3.1.2.7), e tambm integrarmos a mesma

m fdy=-fin(COM

mo

b.t ).dt g ft.dt

(3.1.2.8)

u=

mo t mo

a integral, direita do sinal da igualdade, ser expressa na forma ln udu = u(ln u 1)

23

se multiplicarmos clt por , e o coeficiente da integral por T , ento poderemos mo reescrever a eq.(3.1.2.8) na formad

b

= rno v' b

f [in( m ht

mo

_g

Id/

(3.1.2.9)

e, que ao integrarmos esta equao obteremosy

m v e ' M 17 m 0 bt mo bt ln b " mo mo

1)+1]

2

gt 2

(3.1.2.10)

que a expresso para a altitude alcanada pelo foguete.

3.1.3 - LANAMENTO DE FOGUETE NA HORIZONTAL

Se o foguete lanado na horizontal sobre um trilho, o peso e a reao do trilho sero normais velocidade, consideramos neste caso o peso ,P= mg , como sendo nulo na direo do lanamento. Endo, podemos escrever a equao do movimento do foguete na formadv m = -Fd +1' dt dv lembrando que v = , podemos colocar a eq.(3.1.3.1) na seguinte forma dt

(3.1.3.1)

m v = Fd + ionde a fora de arrasto

(3.1.3.2)

Fd = kv"a qual nos diz como o atrito com o ar varia em funo da velocidade do foguete. Tambm podemos expressar o empuxo como

T = = bv

24

em funo da taxa de consumo de combustvel como uma constante, m Ao substituirmos Fd , e T na eq.(3.1.3.2), obteremos

.

= bv" bv

(3.1.3.3)

que a equao conhecida como equao de Bernoulli, em sua forma tpica, ela expressa como

dy +Pv =Qy" dtPara facilitar a soluo da equao acima, podemos dividir ambos os membros da igualdade por m , e lembrando que podemos utilizar as seguintes definies

; =L p = b/di '

/m'

o = k/ /m

Desta forma, fazendo as devidas substituies dv b +--v= dim m

(3.1.3.4)

com n#0,e n#1.Podemos resolver a equao acima realizando os seguintes passos:

1 0 ) Dividir ambos os membros da igualdade pr Vndv bdi m

=

n.

(313.5)

2) Fazer

= V in e derivar em relao a I = (1 n)v'

dz di

dv di

(3.1.3.6)

3 0 ) Dividir por 1n

_n dv =

1 dz

di 1 n di

(n#1)

(3.1.3.7)

25

4) Substituir estes valores de

1 _,

V

,eV

_ dv na eq.(3.1.3.5) dt

1

dz

1

-

n di

-

in

(3.1.3.8)

que uma equao linear de 1 grau. 0 resultado expresso em forma de um fator integrante

z = cle

f-1) cit(3.1.3.9)

onde c1 , uma constante de integrao. Ao integrarmos a eq.(3.1.3.9), e substituirmos P, obteremosI

Z

ci e

m

(3.1.3.10)

onde a partir da relao inicial

encontramos que:V --

Z

Utilizando as condies de contorno, v =v0 , e =0, obteremos a equao

t h V = (c 1 eque a soluo procurada.

1

) 1-n

(3.1.3.11)

26

Capitulo 4

ESCOAMENTO DE FLUDOS

4.1 ESCOAMENTO EM HIDRODINMICA

Consideremos um inicialmente um fluido suportado por um recipiente de formato irregular. Como exemplo pratico, podemos supor uma bacia hidrogrfica onde os acidentes geogrficos com curvas de nveis totalmente distintas, definem o formato do recipiente. A anlise do escoamento deste fluido pode ser realizada, se nos preocuparmos apenas com o formato da superficie do liquido, como este fluido escoa atravs de um buraco na base deste mesmo recipiente e conhecendo a Area da seo reta de escoamento. Se a Area da seco no nvel S(y) for conhecida, e a Area seccional a, na base por onde a gua esta sendo drenada tambm conhecida, este problema torna-se relativamente simples para encontrar a altura do nvel da Agua y em funo do tempo. A chave para resoluo do problema uma relao de equilbrio de energia elementar, que d a velocidade do efluente. 0 volume infinitesimal de uma superficie de Agua que drenado para fora do recipiente, no tempo At , dado porV = S(y)Ay (4.1.1)

onde S(y) a Area da superficie e Ay a componente do incremento diferencial em funo dy do tempo .[05] dt Considera-se este volume escoado com uma perda em relao a energia potencial de magnitude Vgy,, onde g a constante da fora de gravidade. Esta perda de energia potencial equilibrada pela energia cintica deste volume de elementos que passam atravs do dreno. Se denotamos a velocidade do efluente por v. Quando a energia cintica my = vv 2 21 2 1,2

(4.1.2)

e relacionarmos esta com a energia potencial que escrevemos como

27

1 Vv 2 = Vgy 2

(4.1.3)

podemos seguir com nosso estudo, lembrando que em queda livre um corpo possui sua velocidade definida por: v = 112gy Se o volume total de agua, V(y), contida no recipiente esta escoando pelo dreno, com velocidade v, atravs de um buraco com seco de area a, quando o equilbrio for atingido, podemos escrever a partir da eq. (4.1.3): dV(y) _ aV(y)= 61 1 10/ di e supondo que:dV(y) di =

(4 1 4)

d y S(Y). dy di

(4.1.5)

obteremos a seguinte equao a ser resolvida dy S(y) dt

(4.1.6)

0 problema direto consiste em determinar o nvel da agua y, isto 6, os valores de y da equao diferencial acima, conhecendo a area de seco S(y) e a profundidade y,.

4.2 ESCOAMENTO DE LQUIDO DE UM TANQUENo presente exemplo, o problema direto consiste em determinarmos o nvel y num momento t ,conhecendo-se y0 [03] Se considerar o problema do liquido escoando de um tanque por uma pequena abertura na base de area a, e verificar que a velocidade de escoamento proporcional a j Jj , o liquido escorre livremente, sob a ao da parte superior. dV Seja a taxa de escoamento, , o elemento de volume que escoa no intervalo di, dt para este problema basta resolver a equao

28

dVdi

= a.v

(4.2.1)

sendo o produto av,, o volume da gua que escoa. 0 volume do liquido que escoa de um tanque pelo orificio igual a

ka1,2, I7y

(4.2.2)

na unidade de tempo, onde k a constante de proporcionalidade em razo da configurao do orificio e do tanque, eaa rea do orifcio de sada do liquido. Da eq.(4.2.1) e eq.(4.2.2), obtemos uma igualdade na forma

dV = ka1127;y.di

(4.2.3)

como o volume decrescente, o sinal negativo. Outra maneira de resolvermos este problema, considerarmos o volume numa dV forma geomtrica conhecida, e desmembrarmos a taxa de escoamento do volume, em ' um produto das taxas de rea e da altura, dado por

dVdi

dV dy dy di

(4.2.4)

onde: = S(y)

dV dy

Sendo a rea da seo transversal do tanque, S(y), numa altura y qualquer, ento no tempo di, a diferena de nvel do liquido que escoa dyS(y) (dy)

dt

=kajiiy

(4.2.5)

Como o volume de liquido no tanque diminui, ento

dy S(y)--=kaAiy uma equao diferencial com as variveis y e t separveis.

(4.2.6)

29

4.2.1 ESCOAMENTO DO LQUIDO DE UM RECIPIENTE EM FORMA CILNDRICA

Para a resoluo deste problema resolve-se a eq.(4.2.6). Sendo S(y) a rea da base do cilindro dado por gi? 2 constante em toda a altura do volume, reescreve-se a eq (4.2.6), na forma,

Irledy = 42gydt sendo que a equao acima pode ser integrada7z-R 2

(4.2.2.3)

f Y

=

(4.2.2.4)

Esta integral pode ser resolvida em funo da varivel y, da altura, o que resulta na seguinte equao geral Y at \f24 , +c 27d?'

=

(4.2.2.5)

Quando as condies iniciais, t=0, e y=yo , so utilizadas, encontra-se:Cl

-=

que, ao substituirmos na eq.(4.2.2.5), obtm-se a equao particular da soluo, escrita na forma:

atji27d? 2

+ YO

(4.2.2.6)

Como a eq.(4.2.2.3), uma equao de variveis separveis em di' e dh, tambm possvel determinarmos a variao de t, em que o tanque esvazia, isto pode ser escrito na seguinte forma:di' =

S(y)dh

a .11T. 1:

(4.2.2.7)

que ao integrarmos, obtm-se a soluo geralt=

2S(y)jaN127g.

+ ci

(4.2.2.8)

30

onde c1 , uma constante de integrao, e a eq.(4.2.2.8) expressa o tempo para esvaziar o tanque de formato cilndrico.

4.2.2 ESCOAMENTO DO LQUIDO DO RECIPIENTE NA FORMA DE UM FUNIL

0 funil est cheio comliquido at a altura h, que escoa atravs de um tubo de raio r. h

dixoFigura 7

Seja S'(y), a rea circular da seo transversal do cone dada pr:

S(y)= ItR 2

(4.2.2.1)

como o raio R, uma varivel ao longo do eixo vertical do cone, e expresso por R = yiga , reescreve-se a eq.(4.2.2.1) na formaS(y)= 7r(ytga)2ao substituirmos na eq.(4.2.6), obtemos a taxa de escoamento do volume, dado por:

(4.2,2.2)

dy S(y) =k(n-r 2 ) 112gy di

(4,2.2.3)

onde a area circular do orificio de sada do liquido, a, dada por r.r2 , quando S(y) diminui, numa diferena qualquer de nvel do liquido. Ao substituirmos S(y), na eq.(4.2.2.3), e simpli fi carmos por 21, em ambos termos da igualdade, obtemos:

31

- (yiga) 2 dy = kr2 112gych

(4.2.2.4)

que uma equao de variveis separveis. Se fizermos as separaes das variveis, membro membro, na eq.(4.2.2.4), obteremos:tg2a = kr 2 A fiidt Ji_dy1/Y (4.2.2.5) (4.2.2.6) (4.2.2.7)

tg 2a jdy = kr2 X-cit % la-Wgdt y dy = tg 2a

ao integrarmos a eq.(4.2.2.7), obteremos:5/ 2

5k.r2t114; 2tg 2 a

(4.2.2.8)

que a equao para a soluo geral da altura como funo do tempo.Quando utilizamos as condies iniciais;y = yo , e t=0C 1 = yo - obteremos a equao particular da soluo, ao substituirmos ci na eq.(4.2.2.8), isto resultar em:5/ y/ 2 =yo 2

5/

5kr 2t.,/g 21g2a

(4.2.2.9)

que uma equao que expressa o deslocamento da altura, y, na medida em que o liquido escoa. Se integrarmos a eq.(4.2.2.6) diretamente, em funo de t, obteremos:dt =

ny 3 2tg 2crdy /kr 2g

(4.2.2.10)

que d a soluo geral da equao acima, na forma:

+ =c 5kr 2 2g

2y % tg 2a

(4.2.2.11)

onde cl uma constante de integrao, e a eq.(4.2.2.11) expressa o tempo da altura, y, do nvel de Agua.

32

4.2.3 ESCOAMENTO DO LIQUIDO DE UM RECIPIENTE EM FORMA DE HEMISFRIOA resoluo deste problema semelhante ao do funil invertido, onde o raio da

superficie r, e a alturay, diminui quando o liquido escoa do recipiente. Dado a eq.(4.2.6), vamos fazer as trocas das variveis para obtermos uma equao que expresse o escoamento do hemisfrio inferior da esfera. Isto ser da forma:

dy S(y) = ka ALTy dtSendo a Area da superficie do hemisfrio uma circunferncia, S(y) dada por:

S(y) = 7rr2

(4.2.3.1)

como o raio, R, o raio da superficie inicial, e uma varivel denotada por r, o raio da superfcie com a circunferncia varivel, quando o liquido escoa, a equao

r2 + (yo y) 2 = R2 yo

Figura 8onde

r2 = R 2 (Y 0 y) 2que ao substituirmos na eq.(4.2.6), obteremos

7r[R2 (y 0 y) 2 ]

= kaV2gy

(4.2.3.2)

que uma equao diferencial com variveis separveis. Ao fixarmos y 0 = R, podemos reescrever a equao acima como:

7r[R2 (R y) 2 ] i= ka Al2gy d c

(4.2.3.3)

33

Resolvendo a eq.(4.2.3.3), e separando membro a membro as variveis, obteremosff

(2Ry - y 2 ) dy 15)

kaV2gdt

(4.2.3.4)

Ao integrarmos a eq.(4.2.3.4), obtemos a equao da soluo geral

(- Ry 3

2

5

-)

,

+

(4.2.3.5)

Nas condies iniciais em que y = y 0 , e t =0, podemos obter a constante cr na forma

4 =u

2

5

3 R.7o

5 Yo

,)

Se substituirmos c1 na eq.(4.2.3.5), e fizermos y = 0, quando o recipiente esta totalmente vazio, com yo = R, obteremos

4 5, = 71- ( R 2 que a equao particular da soluo, onde

2-

5

(4.2.3.6)

=

14I)

.irR 2

5

(4.2.3.7)

e expressa o tempo para esvaziarmos o recipiente.

4.3 ESCOAMENTO EM BACIAS HIDROGRFICAS

Abaixo ilustramos de maneira aleatria o esquema de uma bacia hidrogrfica sem simetria. Nestes casos podemos tentar modelar apenas a altura inicial do liquido conhecendo a vazo de entrada e a vazo de saida.[05]

34

Nvel inicial do liquido

Seo do orificio de sada com area a.Figura 9

Ao considerarmos todos os acidentes topogrficos de uma bacia hidrogrfica com superficie irregular, veri fi cam-se as dificuldades em formular o escoamento em termos do dimensionamento do recipiente, como os exemplos de recipientes em formas geomtricas estudadas nos itens anteriores. Diante deste problema, para estimar valores da altura do nvel de gua, em funo do tempo, necessrio modelar matematicamente as frmulas a partir dos exemplos estudados, e considerar o recipiente mesmo sendo irregular, com a disponibilidade dos dados empricos. Este modelo matemtico consiste em encontrar frmulas que nos conduzam aos clculos de Areas inundadas, conhecendo-se a priori o comportamento da enchente na bacia hidrogrfica estudada. Seja a taxa de precipitao, Q, uma quantidade em M 3 s, na formaQ=a.v

(4.3.1)

onde:

a

seo do orificio de escoamento v velocidade de escoamento

Ao colocarmos o volume precipitado nas chuvas, 0, como o produto da superficie vemos que esta ltima dt expresso a velocidade caracterstica da ocorrncia da enchente, podemos obter

inundada, S'(y), pela variao da altura de liquido acumulada,

dy

35

=

dy

(4.3.2)

e por substituio na eq.(4.3.2.1), obtemos S(y) = av dY dt (4.3.3)

sendo que a superficie, S(y), dada em funo da altura, y, que o nvel do liquido na bacia hidrogrfica. Ainda, ao tomarmos a velocidade, v = 1/2gy , e considerarmos a constante de proporcionalidade, k, dado pela configurao da bacia hidrogrfica, reescrevemos a eq.( 4.3.2), na forma de uma equao diferencial de 10 grau: dy S(y) = ka(t)jii dt (4.3.4)

onde a(t), uma equao polinomial em funo do tempo, t, que descreve a funo da Area de escoamento.

36

Capitulo 5

MODELO TERICO EM PREVISES DE ENCHENTES

5.1 DADOS DO PROBLEMA

Entendemos por modelagem matemtica, a descrio do problema fisico, e das suas variveis, com observaes feitas experimentalmente, onde queremos encontrar uma soluo, para isto, obtemos frmulas matemticas que descrevam o comportamento do fenmeno fisico. No presente estudo, faremos um tratamento matemtico num problema envolvendo escoamento de lquidos, a partir de dados coletados na literatura.[Of I Numa modelao matemtica necessrio percorrer as seguintes etapas: - obter os dados experimentais, e selecionar as variveis essenciais do problema; - montar o modelo matemtico adequado, e comparar os resultados matemticos obtidos como os dados reais. Em geral nos modelos matemticos que servem para estudar a maioria dos fenmenos, devemos estipular alguns dados iniciais. No presente caso, suporemos que para a ocorrncia de cheias, necessrio considerar a vazo de entrada maior que a vazo de sada, isto posto, podemos estipular nossas condies iniciais. Ao analisarmos a variao da populao em um modelo simplificado, observamos que a diferena entre as medidas sucessivas destas populaes proporcional quantidade de elementos existentes, e a equao escrita na formaP(1 +1) P(t) , kP(t)

onde k uma constante de proporcionalidade, P(t) a populao medida no tempo, t, e P(t , I) a medida tomada uma unidade de tempo aps. Em nosso problema, sabemos que as enchentes, em sua grande maioria, so causadas por anomalias climticas, e tambm pela forma irracional como os recursos naturais so utilizados. Os prejuzos por causa das enchentes atingem o desenvolvimento da sociedade que inter-relaciona o homem o meio ambiente e os meios de produo. Uma das metodologias utilizadas para equacionar o problema, o do inventrio de dados, o tratamento dos dados, a caracterizao da onda de cheia, os estudos complementares e as concluses.

37

Inicialmente estudaremos o hidrograma, um levantamento das grandezas envolvidas nestes casos, que nos fornece os dados experimentais para equacionar o problema, os quais so coletados em estaes de medidas.[04] Busca-se com os dados fluviomtrieos uma configurao da passagem da onda de cheia representada pelo hidrograma, obtidos pelas medies da transformao do nvel d'gua em vazes. O hidrograma baseia-se em determinadas propriedades do escoamento superficial. Nas enchentes preponderam os escoamentos superficiais sobre a contribuio subterrnea. [14] No estudo do hidrograma, de forma esquemtica, abaixo, os dados foram coletados durante as enchentes de julho de 83, na bacia hidrogrfica do rio Canoas. Neste diagrama as coordenadas x, e y no grfico, representam respectivamente, o tempo em dias, e a altura do nvel do liquido atingido na bacia hidrogrfica, no hidrograma tambm mostrado o volume precipitado em m 3/s. (v. Fig. lo grfico abaixo)-

h(metros)7

6

5

4

3

2

1

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

t (dias)

Figura 10: Grfico do diagrama hidrogrfico

O grfico do diagrama uma forma esquemtica para estudar os pontos chamados crticos de uma onda do hidrograma, que caracteriza a inundao na bacia geogrfica.

38

Podemos afirmar, com base no grfico acima, que at o sexto dia da medio, o fluxo era constante, todo o liquido que entra tambm escoa, e neste caso o escoamento esta normalizado. No perodo do sexto ao dcimo segundo dia o volume de precipitao, superior ao do escoamento, e ai ocorrem as cheias na bacia hidrogrfica, em que o nvel de gua sobe de 0,8M para 7,5M, a precipitao aumenta para uma taxa volumtrica de 4.900m 3/s, a taxa de escoamento de 3.328m3 /s, e acumula uma diferena de 1.572m 31s. No perodo seguinte at o vigsimo terceiro dia, o escoamento aumenta e baixa o nvel de Agua, a precipitao pelas chuvas cessam, e o escoamento de 3.328m3 /s. A partir do vigsimo terceiro dia, ocorrem os fenmenos do refluxo, as Aguas que foram represadas no lenolfredtico escoam, o que faz subir novamente o nvel da agua. No perodo estudado a taxa do volume de precipitao de 4.900m3 /s, a taxa de escoamento de 3.328m3/s, e a diferena acumulada de liquido que caracteriza a enchente, dado por 1.572m2/s. Praticamente estes so os dados que dispomos, para estudar o comportamento de uma bacia hidrogrfica, diante da inundao. As curvas de contorno, so recursos matemticos, quando expressas por fimes, que nos ajudam a conhecer melhor este comportamento. Nossas ferramentas so os mtodos de resoluo das equaes diferenciais, e as equaes do movimento da Segunda lei de Newton, que nos conduzem as expresses que quantificam o fenmeno fisico, de forma semelhante ao estudado anteriormente, capitulo 3, em recipientes com volume conhecidos.

5.2 ESCOAMENTO VARIVEL

Uma vez que dispomos dos dados, e separamos as variveis do problema, vamos obter uma frmula que expresse o modelo matemitico. Como j encontramos a eq.(4.3.4), que expressa o escoamento em bacias hidrogrficas, de forma genrica, em nosso problema sera necessrio determinar os valores das areas da superfcie inundada, S(y), de escoamentoa(t).

Sendo que a area de escoamento, a(t), passvel de determinao, j que conhecemos os valores do volume precipitado, dados pelo hidrograma da bacia hidrogrfica estudada [14]. Vamos tomar ento a eq.(4.3.4), e substituirmos a expresso (4.3.2), no primeiro membro da igualdade, obtemos com isto:

0(t) = ka(t)112 gydV onde ON, a taxa do volume precipitado dado em m3/s.dt

(5.2.1)

Queremos encontrar a(t), para isso, basta isolar a(t), na eq.(4.3.3.1), o que resulta em: 39

a(t)=

Q(I)

k.V2.g.y

(5.2.2)

onde a acelerao da gravidade, g =9,8m I s 2 , e y dado pela altura. Tambm necessrio atribuir um valor para a constante de proporcionalidade, k, entre a Area de seo da sada, e a configurao da bacia hidrogrfica., com os dados coletados no perodo das cheias, o volume da precipitao de 4793Hm3 , e o volume do escoamento de 3328Hm3 . Ao tomar k como a razo entre o volume acumulado 1475Hm3, O p e o volume precipitado 4793Hm3,0 obtain-se0

k ===.=0,

1475

4793

-03

Como todas as variveis da eq.(5.2.2), so conhecidas, calculamos os valores da Area de escoamento, a(t), de forma discreta, para obter uma seqncia de valores numricos, que caracterizam o comportamento da bacia hidrogrfica, obtemos, assim, a tabela a seguir:

t - dias 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y - altura (m)0,75 2,3 5,4 6,85 7,2 7,5 7,35 7,05 5,6 4,4 3,8 3,4 3,2 2,9 2,7 2,55 2,45 2,2

_ Q(m3/s) 5.000 15.000 36.000 42.000 48.000 49.000 48,000 47.000 37.000 29.000 25.000 22.000 21.000 19.000 18.000 17.000 16.000 14.000

a(t) 4657,5 7978,8 12497,3 12945,5 14430,7 14433,7 14282,7 14279,6 12613,0 11152,0 10345,7 9624,9 9470,1 9000,5 8836,9 8588,0 8246,1 7614,3

_

Tabela I.

40

Desta forma, com os valores de a(t) , calculados, e com o software origen40, encontra-se a expresso polinomial, de grau 4, da forma:

a(1) = 1,2413i 4 + 87,6846/ 3 2231,0720/ 2 + 23926,2057/ 75925,5307

(5.2.3)

que expressa o comportamento da Area da seo de sada do escoamento da bacia hidrogrfica, no perodo estudado. 0 software Origen40, plota o grfico a partir dos pontos que inserimos no sistema cartesiano, com as coordenadas (x,y). No grfico de escoamento (v. fig.11) o nmero de pontos plotados 18, estes dados dos valores da abcissa, x, e da ordenada, y, foram tomados do hidrograma.[14] Quanto maior o grau do polinmio para os pontos plotados, menor o erro de ajuste da curva.(v. fig.11) Notamos que a curva no perpassa exatamente todos os pontos, mas que o ajuste da curva com o polinmio de a(t), para os pontos satisfatrio.(v. 4 0 itm)

5.3 DETERMINAO DA AREA DE INUNDAO

Nesta seo final faremos uma aplicao simples das equaes para fluxo de massa varivel. Tomamos arbitrariamente um levantamento feito durante julho de 1983, de onde foram tomados alguns dados sobre a enchente daquele ano na bacia hidrogrfica do rio canoas [14]. Encontramos a expresso da funo polinomial, que descreve o comportamento do escoamento, a(t), na bacia hidrogrfica. Plotamos ento os dados obtidos da tab. I, com os valores da rea de escoamento, a, dado em in2 , em funo do tempo t, dados em dias.(v. fig.] I grfico abaixo) Sendo conhecida Area de escoamento, a(t), nosso objetivo encontrar valores para uma equao que nos fornea a Area inundada, S(y), na bacia hidrogrfica. Se realizarmos algumas aplicaes de forma simplificada da modelagem matemtica do problema, poderemos obter informaes interessantes pra uma futura previso de enchentes.-

41

1 6x10 4

"icx

1. oxio .

6,0x10

4,0x10'

O

5

10

15

20

25

30

35

t(dias)

Figura 11: Grfico da area de escoamento, a(m2), em funo do tempo t.

5.3.1 FLUXO CONSTANTEInicialmente vamos considerar, que seja possvel estudar a variao da area de superficie, tomando o fluxo de liquido constante. Ao integrarmos a eq. (4.3.4), em funo de dy, e dt, obteremos a soluo geral da equao na forma:

S(y)21; =kA(1) 1,12i +onde A(t) a equao primitiva de a(t), e ci uma constante a determinar. Nas condies iniciais, quando y = yo , e tO, podemos supor que:c1

(5.3.1.1)

= 2s( Y)15T0 .

(5.312)

Ao substituir c, na eq.(5.3.3.1), obtm-se a soluo particular SCO = k,4(1)ji 2(11Y th)N

(5.3.1.3)

42

Ao supormos as condies iniciais, em que o fluxo constante, isto 6, a quantidade de liquido que entra na bacia hidrogrfica igual a quantidade de liquido que sai, ou sejaS(y)=a(t)

No presente estudo faremos esta hiptese no caso em que no exista a possibilidade de acumulo de gua na bacia hidrogrfica aqui estudada. Reescreveremos a eq.(4.3.4), na formady r = k 112gy dt (5.3.1.4)

como uma equao de variveis separveis, ento

dy= ic- 112gydtAo integrarmos a eq.(5.3.1.5), obteremos a soluo geral211.7y = ki l[27g +c,

(5.3.1.5)

(5.3.1.6)

Quando y = y , e t=0 , determinamos a constante ci

= 24T donde substituindoc1

(5.3.1.7)

na eq.(5.3.3.7), resultar:2.1h7=ktX + 2.1. 5 o (5.3.1.8)

ou ento na seguinte forma:2(/:y (5.319)

Se substituirmos a igualdade da eq.(5.3.1.9), na eq.(5.3.1.3), e efetuarmos as simplificaes matemticas necessrias, podemos escrever a mesma equao na forma

s (Y)=

AO

)

(5.3.1.10)

Sendo A(t), a equao primitiva de a(t), dada por:A(/) = 0,248t 5 + 21,921/ 4 743,691t 3 +11.963,1031 2 75.925,5311 (5.3.1.11)

43

Ento a equao S(y) sera da forma:

S(y) = -0,248/ 4 + 21,921P - 743,691/ 2 +11.963,103/ - 75.925,531

(5.3.1.12)

que a equao procurada, a qual fornece a area inundada. Uma vez encontrada a eq.(5.3.3.12), vamos testar com valores dei, para o perodo compreendido entre 6 e 24 dias, de maneira conveniente j que a equao de a(/), no admite valores positivos antes do 6 dia. (v. fig 11 grfico da area de escoamento) Estipulamos para t, os valores mltiplos de 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24. Desta forma calculamos aproximaes para a Area de superfcie, S (y), e n=1,2,3,4,5,6,7:,,

a Para ti = 6d , e

(t) = 4.248,50m"

(y) = 46.195,51m 2 b Para t2 = 9d, e a,(t) =13.581,90m 2 S2(Y) = 61.780,63m 2 c Para t3 =12d , e a3 (t) =14.115,20m 2

AS =15.584,12m' AS = 7.416,88m" AS = 4.334,13m 2S(15) = 73.521,64111 '

S3 (y ) = 69.197,51n/ 2d Para t4 =15d, e a4 =11.609,40m 2 e Para Is =18d , e a5 = 9.462,07m 2

AS = 2.630,80/n 2 SO 8) = 76.162,45m 2 AS =1. 824,24m 2AS =1.431,86,112

f Para i6 = 21d , e a6 (1)= 8.462,07m 2 S(21) = 77.986,68/n 2 g Para t7 = 24d , e a, = 7.280,39m 2 S(24) = 79.418,53m :

Se compararmos estes resultados com os de a(t), notamos que os valores numricos da Area de superfcie, Sn (y) , esto apresentados em uma sequncia (Sn), onde o acrscimo, para S.1 _1 (y) decrescente, enquanto que a(t), no perodo estudado se comporta de forma semelhante 6. taxa de precipitao de Q(m3 /s).[14] Veremos a seguir que a sea de superficie, Sn, tambm acompanha a variao da area de escoamento, a(t).,

5.3.2 FLUXO VARIVEL

44

Ao considerar o fluxo no constante, vamos encontrar S(t), como sendo a area inundada da bacia hidrogrfica para o perodo estudado, entre 6 6. 24 dias. A frmula encontrada para a modelagem matemtica, no perodo estudado, o resultado, da resoluo da integral de fi nida para a equao (3.3.4), onde y e A(t) so as variveis conhecidas.S(y)1 Yt y.Y0

= 1 /f i a(t)d/

(5.3.2.1)

2S,(y)kryr,: io =1[A(t)]Sn (y).2( 15 11T) =

(5.3.2.2) (5.3.2.3)

g.[A() A(t o )]

Considera-se y nulo, na eq.(5.3.2.3), o que implica emSn (y).2jy

A(t o)](5.3.2.4)

obtemos ento a equao procurada, escrita na seguinte formaSn(Y)= 2.11;(5.3.2.5)

Sendo constantes os seguintes valores:A(t 0 )=159.829,42 e 0,664 (5.3.2.6)

2

O que resulta na equao final:

s()=

0,664

.[A(t) 159.829,42]

1,1Y

(5.3.2.7)

Obteremos valores de AO com a equao polinomial (5.3.1.11), sendo y dado pelo grfico do diagrama hidrogrfico.(v.fig.10) Ao efetuarmos os clculos atravs da eq.(5.3.2.7) de S(y), para y e A(t) conhecidos,encontraremos os valores de Sn (y). Sabendo-se que g, na eq.(5.3.2.5), dado em m/s2 , e A(t) em dias, multiplicaremos o resultado encontrado de S(y) , pelo fator 864x102, e aps isso, transformaremos em km2. Desta forma efetuamos os clculos como veremos a seguir: Para ti = 9d, y = 6,30m, e A(t)=127.289,65m 245

= 7.256x10 2 km 2

Para Para

t, =12d, y =7,10m , e A(12) = 80.674,06m 2

S2 (y) = 51.781x10 2 km 213 =15d , y = 5,40m e A(15) = 35. 716,29m 2

S 3 (y) = 48,276x10 2 km 2 Para t4 =18d , y =3,75m e A(18) = 4.745,93m 2S4 (y) = 45.944x102 km Para 1. =21d, y =3,00m e A(21) = 44.330,87m 2,

S5 (y) = 37.438x10 2 km 2

Para t6 = 24d, y =2,30m e A(24) =84.921,14m 2S6 (y) = 32.124x10 2 km'

Com base nestes valores para as areas inundadas, podemos prever quais setores, ouregies prximas da bacia hidrogrfica sero atingidas. Notamos que ao considerar o fluxo varivel, os valores numricos de da superficie de Area inundada, apresentam comportamento semelhante ao da curva de contorno de a(t), no perodo estudado entre 6 e 24 dias. A superficie da Area inundada passa por um mximo por volta 12 dia para em seguida comear a cair, voltando ao seu nvel normal aps o perodo critico da cheia.

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CONCLUSES E PERSPECTIVAS

Neste trabalho, efetuamos um estudo sistemtico sobre algumas aplicaes simples de equaes diferenciais em problemas encontrados na rea da Fsica. Sendo mais especficos, estudamos alguns sistemas simples relacionados com a dinmica de fluidos. Em tais estudos a abordagem das equaes utilizadas bastante simples, visto que a modelagem de tais sistemas envolve somente equaes diferenciais de la ordem. Evidentemente, tal estudo voltado para um maior entendimento da dinmica dos fluidos, do que tentar acrescentar alguma novidade em tal Area j bastante estudada. Notamos que as resolues de algumas equaes, em tais problemas, necessitam de algumas condies iniciais inerentes ao problema para obter-se uma soluo satisfatria. Quando tais solues no so possveis, a idia recorrer a um mtodo denominado "semi emprico", ou seja, podemos utilizar alguns dados experimentais disponveis na literatura e modelar o problema usando dados obtidos por meio de grficos ou constantes. Isto foi aplicado, por exemplo, na modelagem de enchentes. Fizemos tambm uma aplicao mais direta no problema relacionado modelagem de previso de enchentes em bacias hidrogrficas. Nesse caso, tomamos alguns dados coletados durante um certo perodo de enchentes e plotamos estes valores em um grfico, na tentativa de resolvermos indiretamente as equaes envolvidas. Esperamos que este trabalho sirva de roteiro para futuros estudantes de Fsica ou de Matemtica, quando estes necessitarem realizar alguma consulta na rea de fluidos.

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