Aplicaciones Del Axioma de Supremo

51
Axioma del Supremo April 25, 2008 Axioma del Supremo

Transcript of Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Page 1: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Axioma del Supremo

April 25, 2008

Axioma del Supremo

Page 2: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cotas superiores

DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que

∀x ∈ A, x ≤ M.

ObservacionesM se llama cota superior de A.

Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)

también son cotas superiores de A.

Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.

A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M

A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M

Axioma del Supremo

Page 3: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cotas superiores

DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que

∀x ∈ A, x ≤ M.

ObservacionesM se llama cota superior de A.

Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)

también son cotas superiores de A.

Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.

A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M

A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M

Axioma del Supremo

Page 4: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cotas superiores

DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que

∀x ∈ A, x ≤ M.

ObservacionesM se llama cota superior de A.

Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)

también son cotas superiores de A.

Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.

A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M

A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M

Axioma del Supremo

Page 5: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cotas superiores

DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que

∀x ∈ A, x ≤ M.

ObservacionesM se llama cota superior de A.

Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)

también son cotas superiores de A.

Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.

A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M

A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M

Axioma del Supremo

Page 6: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cotas superiores

DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que

∀x ∈ A, x ≤ M.

ObservacionesM se llama cota superior de A.

Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)

también son cotas superiores de A.

Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.

A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M

A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M

Axioma del Supremo

Page 7: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cotas superiores

DefiniciónA ⊆ R es acotado superiormente si existe M tal que

∀x ∈ A, x ≤ M.

ObservacionesM se llama cota superior de A.

Si M es cota superior de A, entonces todos los reales en [M, +∞)

también son cotas superiores de A.

Si M es cota superior de A ¿existen cotas superiores de A menoresque M?.

A es acotado superiormente ssi ∃M, ∀x ∈ A, x ≤ M

A NO es acotado superiormente ssi ∀M, ∃x ∈ A, x > M

Axioma del Supremo

Page 8: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cota inferior

DefiniciónA ⊆ R es acotado inferiormente si existe m tal que

∀x ∈ A, m ≤ x .

Observacionesm se llama cota inferior de A.

Si m es cota superior de A, entonces todos los reales en (−∞, m]

también son cotas inferiores de A.

ObservaciónUn conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.

Axioma del Supremo

Page 9: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cota inferior

DefiniciónA ⊆ R es acotado inferiormente si existe m tal que

∀x ∈ A, m ≤ x .

Observacionesm se llama cota inferior de A.

Si m es cota superior de A, entonces todos los reales en (−∞, m]

también son cotas inferiores de A.

ObservaciónUn conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.

Axioma del Supremo

Page 10: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cota inferior

DefiniciónA ⊆ R es acotado inferiormente si existe m tal que

∀x ∈ A, m ≤ x .

Observacionesm se llama cota inferior de A.

Si m es cota superior de A, entonces todos los reales en (−∞, m]

también son cotas inferiores de A.

ObservaciónUn conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.

Axioma del Supremo

Page 11: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Cota inferior

DefiniciónA ⊆ R es acotado inferiormente si existe m tal que

∀x ∈ A, m ≤ x .

Observacionesm se llama cota inferior de A.

Si m es cota superior de A, entonces todos los reales en (−∞, m]

también son cotas inferiores de A.

ObservaciónUn conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.

Axioma del Supremo

Page 12: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Máximo y Mínimo

Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.

Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.

Notación: u = max A = maxx∈A

x p = min A = minx∈A

x

TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 13: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Máximo y Mínimo

Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.

Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.

Notación: u = max A = maxx∈A

x p = min A = minx∈A

x

TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 14: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Máximo y Mínimo

Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.

Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.

Notación: u = max A = maxx∈A

x p = min A = minx∈A

x

TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 15: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Máximo y Mínimo

Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.

Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.

Notación: u = max A = maxx∈A

x p = min A = minx∈A

x

TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 16: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Máximo y Mínimo

Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.

Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.

Notación: u = max A = maxx∈A

x p = min A = minx∈A

x

TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 17: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Máximo y Mínimo

Definición de Máximou es máximo de A ⊆ R si es cota superior de A y además u ∈ A.

Definición de Mínimop es mínimo de A si es cota inferior de A que pertenece al conjunto.

Notación: u = max A = maxx∈A

x p = min A = minx∈A

x

TeoremaSi el máximo (mínimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 18: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Supremo e Infimo

Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:

1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de

A es mayor que s.

OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.

Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:

1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.

TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 19: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Supremo e Infimo

Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:

1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de

A es mayor que s.

OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.

Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:

1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.

TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 20: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Supremo e Infimo

Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:

1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de

A es mayor que s.

OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.

Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:

1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.

TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 21: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Supremo e Infimo

Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:

1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de

A es mayor que s.

OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.

Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:

1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.

TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 22: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Supremo e Infimo

Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:

1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de

A es mayor que s.

OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.

Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:

1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.

TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)

Axioma del Supremo

Page 23: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Supremo e Infimo

Definición de Supremos = sup A es supremo de A si satisface las dos siguientes condiciones:

1 s es una cota superior de A.2 Si t es cota superior de A, entonces t ≥ s. Cualquier otra cota superior de

A es mayor que s.

OBS: sup(A) es la menor de las cotas superiores.

Definición de Ínfimoi = inf A es ínfimo de A si:

1 i es una cota inferior de A.2 Cualquier otra cota inferior de A es menor o igual que u.

TeoremaSi el supremo (ínfimo) existe, este es único.

Demostración: ver pizarra...

Ejemplos: [0, 1], (0, 1)Axioma del Supremo

Page 24: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Características de intervalos

En el caso de intervalos, dados a, b ∈ R con a < b:

min max inf sup[a, b] a b a b(a, b) @ @ a b[a, b) a @ a b(a, b] @ b a b

(−∞, b] @ b @ b(−∞, b) @ @ @ b(a,∞) @ @ a @[a,∞) a @ a @

Axioma del Supremo

Page 25: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Características de intervalos

En el caso de intervalos, dados a, b ∈ R con a < b:

min max inf sup[a, b] a b a b(a, b) @ @ a b[a, b) a @ a b(a, b] @ b a b

(−∞, b] @ b @ b(−∞, b) @ @ @ b(a,∞) @ @ a @[a,∞) a @ a @

Axioma del Supremo

Page 26: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Axioma del Supremo

Axioma del Supremo:Todo conjunto no vacío y acotadosuperiormente posee un supremo.

ObservacionesSe puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado inferiormentepose ínfimo. Basta verificar que inf(A) = − sup(−A).No es cierta la propiedad si se cambia supremo por máximo.

Axioma del Supremo

Page 27: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Axioma del Supremo

Axioma del Supremo:Todo conjunto no vacío y acotadosuperiormente posee un supremo.

ObservacionesSe puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado inferiormentepose ínfimo. Basta verificar que inf(A) = − sup(−A).

No es cierta la propiedad si se cambia supremo por máximo.

Axioma del Supremo

Page 28: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Axioma del Supremo

Axioma del Supremo:Todo conjunto no vacío y acotadosuperiormente posee un supremo.

ObservacionesSe puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado inferiormentepose ínfimo. Basta verificar que inf(A) = − sup(−A).No es cierta la propiedad si se cambia supremo por máximo.

Axioma del Supremo

Page 29: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Ejercicio de supremos

PropiedadesSean A y B dos conjuntos, definimos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} yA · B = {x · y : x ∈ A, y ∈ B}, entonces

sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

sup(A · B) = sup(A) · sup(B). Para A, B ⊆ [0,∞).

Axioma del Supremo

Page 30: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Ejercicio de supremos

PropiedadesSean A y B dos conjuntos, definimos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B} yA · B = {x · y : x ∈ A, y ∈ B}, entonces

sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

sup(A · B) = sup(A) · sup(B). Para A, B ⊆ [0,∞).

Axioma del Supremo

Page 31: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 1

Parte EnteraLa parte entera de un real x > 0 (denotada [x ]), se definirá como el supremodel conjunto A = {n ∈ N : n ≤ x} .

Observación[x ] es un número natural.Una consecuencia importante de esto último es que [x ] ≤ x < [x ] + 1.

Axioma del Supremo

Page 32: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 1

Parte EnteraLa parte entera de un real x > 0 (denotada [x ]), se definirá como el supremodel conjunto A = {n ∈ N : n ≤ x} .

Observación[x ] es un número natural.Una consecuencia importante de esto último es que [x ] ≤ x < [x ] + 1.

Axioma del Supremo

Page 33: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 2

TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.

Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.

Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.

Axioma del Supremo

Page 34: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 2

TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.

Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.

Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.

Axioma del Supremo

Page 35: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 2

TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.

Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.

Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.

Axioma del Supremo

Page 36: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 2

TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.

Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.

Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.

Axioma del Supremo

Page 37: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 2

TeoremaLos números naturales no son acotados superiormente.

Propiedad ArquimedianaEl conjunto R es arquimediano, es decir, para todo real x > 0, existe unnatural n ∈ N, tal que n · x > 1.

Ejemplo: inf 1n, n ∈ N = 0.

Axioma del Supremo

Page 38: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 2

TeoremaLos racionales son densos en los reales. Esto significa que dados dosreales x , y con x < y , entonces existe un racional r tal que x < r < y .

Axioma del Supremo

Page 39: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 3

El axioma del supremo como constructor de números.

Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.

Consideremos nuevamente el conjunto A ={

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Raíz cuadrada de 2:√

2 = sup{

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Se tiene que√

2 /∈ Q.

Axioma del Supremo

Page 40: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 3

El axioma del supremo como constructor de números.Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.

Consideremos nuevamente el conjunto A ={

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Raíz cuadrada de 2:√

2 = sup{

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Se tiene que√

2 /∈ Q.

Axioma del Supremo

Page 41: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 3

El axioma del supremo como constructor de números.Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.

Consideremos nuevamente el conjunto A ={

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Raíz cuadrada de 2:√

2 = sup{

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Se tiene que√

2 /∈ Q.

Axioma del Supremo

Page 42: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 3

El axioma del supremo como constructor de números.Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.

Consideremos nuevamente el conjunto A ={

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Raíz cuadrada de 2:√

2 = sup{

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Se tiene que√

2 /∈ Q.

Axioma del Supremo

Page 43: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Aplicación 3

El axioma del supremo como constructor de números.Buscaremos un número s > 0 tal que s2 = 2.

Consideremos nuevamente el conjunto A ={

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Raíz cuadrada de 2:√

2 = sup{

r ∈ R : r2 ≤ 2}

.

Se tiene que√

2 /∈ Q.

Axioma del Supremo

Page 44: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Extensiones

Lo anterior permite definir:

Raíz cuadrada de unnúmero real positivo:

√x = sup

{r ∈ R : r2 ≤ x

}.

De manera más general:

Raíz n-ésima de unnúmero real positivo:

n√

x = sup {r ≥ 0 : rn ≤ x} .

ObservaciónEl axioma del supremo hace la diferencia entre R y Q.

Axioma del Supremo

Page 45: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Extensiones

Lo anterior permite definir:

Raíz cuadrada de unnúmero real positivo:

√x = sup

{r ∈ R : r2 ≤ x

}.

De manera más general:

Raíz n-ésima de unnúmero real positivo:

n√

x = sup {r ≥ 0 : rn ≤ x} .

ObservaciónEl axioma del supremo hace la diferencia entre R y Q.

Axioma del Supremo

Page 46: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Extensiones

Lo anterior permite definir:

Raíz cuadrada de unnúmero real positivo:

√x = sup

{r ∈ R : r2 ≤ x

}.

De manera más general:

Raíz n-ésima de unnúmero real positivo:

n√

x = sup {r ≥ 0 : rn ≤ x} .

ObservaciónEl axioma del supremo hace la diferencia entre R y Q.

Axioma del Supremo

Page 47: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Extensiones

Lo anterior permite definir:

Raíz cuadrada de unnúmero real positivo:

√x = sup

{r ∈ R : r2 ≤ x

}.

De manera más general:

Raíz n-ésima de unnúmero real positivo:

n√

x = sup {r ≥ 0 : rn ≤ x} .

ObservaciónEl axioma del supremo hace la diferencia entre R y Q.

Axioma del Supremo

Page 48: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Números irracionales

ObservaciónR \Q se denomina I y se llaman irracionales.

Propiedadesx , y ∈ Q ⇒ x ± y ∈ Q.x ∈ Q, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I.x ∈ Q∗, y ∈ I ⇒ x · y ∈ I.

Un teorema anterior, puede extenderse a I:

Proposición∀x , y ∈ Q, x < y , ∃i ∈ I, x < i < y .

Axioma del Supremo

Page 49: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Números irracionales

ObservaciónR \Q se denomina I y se llaman irracionales.

Propiedadesx , y ∈ Q ⇒ x ± y ∈ Q.x ∈ Q, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I.x ∈ Q∗, y ∈ I ⇒ x · y ∈ I.

Un teorema anterior, puede extenderse a I:

Proposición∀x , y ∈ Q, x < y , ∃i ∈ I, x < i < y .

Axioma del Supremo

Page 50: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Números irracionales

ObservaciónR \Q se denomina I y se llaman irracionales.

Propiedadesx , y ∈ Q ⇒ x ± y ∈ Q.x ∈ Q, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I.x ∈ Q∗, y ∈ I ⇒ x · y ∈ I.

Un teorema anterior, puede extenderse a I:

Proposición∀x , y ∈ Q, x < y , ∃i ∈ I, x < i < y .

Axioma del Supremo

Page 51: Aplicaciones Del Axioma de Supremo

Números irracionales

ObservaciónR \Q se denomina I y se llaman irracionales.

Propiedadesx , y ∈ Q ⇒ x ± y ∈ Q.x ∈ Q, y ∈ I ⇒ x + y ∈ I.x ∈ Q∗, y ∈ I ⇒ x · y ∈ I.

Un teorema anterior, puede extenderse a I:

Proposición∀x , y ∈ Q, x < y , ∃i ∈ I, x < i < y .

Axioma del Supremo