Aplicações da Indução

Sumario

APLICACOES DA INDUCAO

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

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PROFMAT - Colegio Pedro II

23 de setembro de 2016

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Sumario

1 Definicao por Recorrencia

2 Binomio de Newton

3 Aplicacoes Ludicas


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2 Binomio de Newton



Definicao por Recorrencia

Resultado: Para definir uma expressao En para todo n ∈ Ncom n ≥ a, basta definirmos Ea e mostrar como obter En+1 a

partir de En, para todo n ∈ N com n ≥ a

Nesse caso, dizemos que En foi definido por recorrencia

Algumas vezes, definiremos uma expressao En por recorrenciaatraves de uma dada funcao avaliada em varios termosanteriores, En−1, En−2,..., En−r . Isto definira, sem ambiguidade,En, desde que se conhecam as expressoes de E1,...,Er



Exemplo 2.1: Seja (an) uma sequencia de elementos de umconjunto munido de duas operacoes sujeitas as leis basicas daaritmetica. Para dar sentido as somas

Sn = a1 + a2 + ...+ an =n∑

i=1

ai

basta por S1 = a1 e, supondo Sn definido, definir

Sn+1 = Sn + an+1

Exemplo 2.2: Define-se o fatorial de um numero inteiro n ≥ 0,denotado por n!, como:0! = 1! = 1 e (n + 1)! = n!.(n + 1), se n ≥ 1



Exemplo 2.3: Seja a um elemento de um conjunto A munidodas duas operacoes sujeitas as leis basicas da aritmetica.Vamos definir as potencias an, com n inteiro, n ≥ 0, porrecorrencia.Ponhamos a1 = a e a0 = 1, se a 6= 0. Supondo an definido,defina

an+1 = an.a



Proposicao 2.4: Sejam a,b ∈ A e m,n ∈ N. Entao,i) am.an = am+n

ii) (am)n = amn

iii) (a.b)n = an.bn

Lema 2.5: Sejam a e b dois numeros naturais com a > 1.Entao existe um numero natural n tal que an > b


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2 Binomio de Newton



Binomio de Newton

Considere a expressao (1 + X )n, onde X e uma indeterminada e n umnumero natural. O desenvolvimento dessa potencia e um polinomio de graun em X cujos coeficientes sao numeros naturais:

(1 + X )n = a0 + a1X + a2X 2 + ...+ an−1X n−1 + anX n

O coeficiciente ai , i = 0, ..., n, sera denotado pelo sımbolo ai =

(ni

)e

sera chamado de numero binomial

Se X = 1 temos a identidade das linhas:

2n =

(n0

)+

(n1

)+ ...+

(nn

)


Binomio de Newton

Queremos agora determinar formulas explıcitas para esses numerosbinomiais(

n0

)=

(nn

)= 1

Se i > n, e comodo definir(

ni

)= 0

Relacao de Stifel

Lema 2.6: Para todo n ∈ N e todo i ∈ N ∪ {0}, tem-se que

(ni

)+

(n

i + 1

)=

(n + 1i + 1

)


Binomio de Newton

Lema 2.7: Para todos n, i ∈ N, com 1 ≤ i ≤ n, tem-se que

i!(

ni

)= n(n − 1)...(n − i + 1)

Segue-se daı que, para n, i ∈ N com 1 ≤ i ≤ n, vale a seguinte formula paraos coeficientes binomiais(

ni

)=

n(n − 1)...(n − i + 1)i!

=n!

i!(n − i)!

Note que os termos extremos nas igualdades acima tem sentido e sao iguaisquando i = 0

Da formula acima, decorre imediatamente, para todo n ∈ N e todo icom 0 ≤ i ≤ n, a seguinte identidade fundamental:(

ni

)=

(n

n − i

)


Binomio de Newton

Binomio de Newton

Teorema 2.8: Sejam a e b numeros reais e seja n ∈ N. Tem-se que

(a + b)n = an +

(n1

)an−1b +

(n2

)an−2b2 + ... +

(n

n − 1

)abn−1 + bn

Corolario 2.9: Sejam a e b numeros reais e seja n ∈ N. Tem-se que

(a− b)n = an −(

n1

)an−1b +

(n2

)an−2b2 + ... + (−1)n−1

(n

n − 1

)abn−1 + (−1)nbn


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2 Binomio de Newton



A Torre de HanoiExemplo 2.11: A Torre de Hanoi e o Fim do MundoO jogo consiste de n discos de diametros distintos com um furo no seucentro e uma base onde estao fincadas tres hastes. Numa das hastes estaoenfiados os discos de modo que nenhum disco esteja sobre um outro dediametro menor

O jogo consiste em transferir a pilha de discos para uma outra hastedeslocando um disco de cada vez, de modo que, a cada passo, sejaobservada a regra de que nenhum disco esteja acima de um de raio menor

1 O jogo tem solucao para cada n ∈ N?2 Caso afirmativo, qual e o numero mınimo jn de movimentos para

resolver o problema com n discos?


O Enigma do Cavalo de Alexandre, o Grande

Exemplo 2.12: O Enigma do Cavalo de Alexandre, o GrandeNum mosaico romano, Bucefalo, o cavalo de Alexandre, oGrande, e representado como um fogoso corcel cor de bronze.Nesse exemplo vamos “provar” que isso e uma falacia


O Problema da Moeda Falsa

Exemplo 2.12: O Problema da Moeda Falsa

Tem-se 2n moedas, sendo uma delas falsa, com peso menordo que as demais. Dispoe-se de uma balanca de dois pratos,mas sem nenhum peso. Vamos mostrar, por inducao sobre n,que e possıvel achar a moeda falsa com n pesagens


Os Coelhos de FibonacciExemplo 2.12: Os Coelhos de Fibonacci

Problema proposto e resolvido por Leonardo de Pisa em seu livro, LiberAbacci, de 1202: Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pariogerminenturObra responsavel pela introducao na Europa do sistema de numeracaoindo-arabico e pelo posterior desenvolvimento da algebra e da aritmetica noocidente

Um casal de coelhos recem-nascidos foi posto em um lugar cercado.Determinar quantos casais de coelhos ter-se-ao apos um ano, supondo que,a cada mes, um casal de coelhos produz outro casal e que um casal comecaa procriar dois meses apos o seu nascimento


Os Coelhos de Fibonacci

Se denotarmos o numero de coelhos existentes no n-esimomes por un, temos, entao, que

un = un−1 + un−2, u1 = u2 = 1

Tais relacoes definem por recorrencia, uma sequencia denumeros naturais, chamada de sequencia de Fibonacci, cujoselementos, chamados de numeros de Fibonacci, possuempropriedades aritmeticas notaveis


Aplicacoes Ludicas

Quando e dada uma recorrencia, um problema importante edeterminar uma formula para o termo geral da sequencia semrecorrer aos termos anteriores. No caso da sequencia deFibonacci, existe uma formula chamada formula de Binet, queapresentamos a seguir

Formula de BinetProposicao 2.15: Para todo n ∈ N, tem-se que

un =

(1+√

52

)n−(

1−√

52

)n

√5


Aplicacoes Ludicas

A fim de evitar ter que fazer restricoes sobre os ındices nasformulas envolvendo numeros de Fibonacci,convencionaremos que u0 = 0

Proposicao 2.16: Para todo par de numeros n e m, temos que

un+m = unum+1 + un−1um

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