Aplicações de Calculo Integral.pdf

22
Módulo 2 327 Aplicações da Integral Nesta seção vamos abordar uma das aplicações matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que estudamos na Unidade 7 . f ( x ) e g( x ) sejam funções con- a, b e que f ( x ) g( x ) para todo x em a, b . Então, a área da região limitada acima por y f ( x ) , abaixo por y g( x ) , à esquerda pela reta x a e à direita pela reta x b , confor- A f ( x ) g( x ) dx a b . A partir deste momento passaremos a examinar as aplicações do conteúdo estudado na Unidade anterior.

Transcript of Aplicações de Calculo Integral.pdf

Page 1: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

327

Aplicações da Integral

Nesta seção vamos abordar uma das aplicações

matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que

estudamos na Unidade 7.

f (x) e g(x) sejam funções con-

a, b e que f (x) g(x) para todo x em

a, b . Então, a área da região limitada acima por y f (x) , abaixo por

y g(x) , à esquerda pela reta x a e à direita pela retax b , confor-

A f (x) g(x) dxa

b

.

A partir deste momento passaremos a examinar

as aplicações do conteúdo estudado na Unidade anterior.

Page 2: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

328

x0 a b

y

f(x)

g(x)

[ ]

A

Figura 8.1

-

de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos

seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos.

Passo 1.

acima e qual limita abaixo.

Passo 2. a e b serão

as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y f (x)

e y g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz

f (x) g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x.

Passo 3.

curvas.

Observação

f (x) , pelas retasx a e x b e o eixo x, onde f (x) é uma

função contínua sendo f (x) 0 , para todo x em a, b , conforme

Page 3: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

329

x0

a by

f(x)

A

Figura 8.2

O cálculo da área A é dado por:

A f (x) dxa

b

,

Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas:

Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas:

y f (x) x 6 e y g(x) x2 .

Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado

acima, temos os seguintes passos:

Passo 1. Esboço da região

y

x0−1 1 2 3−2

2

4

6

8

10

Figura 8.3

Page 4: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

330

Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos

f (x) g(x) , isto é, x 6 x2 ou x2 x 6, que fornece

x2 x 6 0

da equação acima, x 2 e x 3 , que serão os limites de inte-

gração. Observe, pelo x 6 x2 , para todo

x em 2, 3 .

Passo 3. Calculando a área da região limitada por:

y f (x) x 6 e y g(x) x2 em 2, 3 temos :

A f (x) g(x) dxa

b

= x 6 x2

2

3

dx x 6 x2 dx2

3

=x2

26x

x3

32

3

=32

26 3

33

3

( 2)2

26 ( 2)

( 2)3

3

=9

2+ 18 32 4

212

8

3

=9

2+ 18 9 2 12 +

8

3

9

29 10

8

3

9 18

2

30 8

3

=27

2

22

3

27

2

22

3 =

81 + 44

6

125

6 u.a.

Portanto, a área limitada por

y f (x) x 6 e y g(x) x2 em 2, 3 é 125

6

unidades de área.

Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por

y f (x) 4 e y g(x) x2 .

Page 5: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

331

Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado

acima, temos os seguintes passos:

Passo 1. Esboço da região:

y

x0−1 1 2−2

1

2

3

4

5

Figura 8.4

Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo

f (x) g(x) ,temos,4 x2 ou x2 = 4. Logo,x 4 = 2 , ou seja,

x1

2 e x2

2. Assim,a 2 e b 2 .

Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 ,

em 2, 2 será:

A f (x) g(x) dxa

b

= 4 x2 dx 4xx3

32

2

2

2

= 4 223

34 ( 2)

( 2)3

3

= 88

38

8

38

8

38 +

8

3

= 88

3+ 8

8

3= 16 2

8

3= 16

16

3

=48 16

3

32

3 u.a.

Portanto, a área limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 em

2, 2 é 32

3unidades de área.

Page 6: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

332

Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por

y f (x) 8 x2 e g(x) x2 .

Resolução: Temos os seguintes passos:

Passo 1. Esboço da região:

y

x0−1 1 2−2

1

2

3

4

5

6

7

8

Figura 8.5

Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos

f (x) g(x) , isto é, 8 x2 x2

, que fornece 8 2 x2 e

x1

2 e x2

2 . Assim,a 2 e b 2 .

Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 8 x2 e g(x) x2

será:

A f (x) g(x) dxa

b

8 x2 x2 dx2

2

= 8 2 x2 dx2

2

8 x 2x3

32

2

= 8 2 223

38 ( 2) 2

( 2)3

3

= 16 28

316 2

8

3

Page 7: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

333

= 1616

3+ 16

16

3= 32 2

16

3

= 3232

3=

96 32

3

64

3 u.a.

Portanto, a área limitada por y f (x) 8 x2 e g(x) x2 em

2, 2 é 64

3unidades de área.

Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y f (x) x2 5x ,

o eixo x e as retasx 1 e x 3.

Resolução: Temos os seguintes passos:

Passo 1. Esboço da região.

y

x0

1 1,5 2,52 3

−1

−6

−5

−4

−3

−2

Figura 8.6

Passo 2. Os limites de integração sãoa 1 e b 3 .

Passo 3. A área limitada pela curva y f (x) x2 5x o eixo x

e as retasx 1 e x 3, será:

Page 8: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

334

A x2 5x dx1

3 x3

35

x2

21

3

=33

35

32

2

13

35

12

2

=27

35

9

2

1

35

1

2

= 945

2

1

3

5

2

18 45

2

2 15

6

=27

2

13

6

27

2

13

6

=81 + 13

6

68

6

34

3

34

3u.a.

Portanto, a área limitada pela curva y f (x) x2 5x , o eixo x

e as retas x 1 e x 3 é 34

3unidades de área.

Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva

y f (x) sen x e pelo eixo x de 0 a 2 .

Resolução:

Passo 1. Esboço da região:

0

1

1

y

x2 2

Figura 8.7

Page 9: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

335

Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo

0 , , f (x) sen x 0 e no interva-

lo , 2 , f (x) sen x 0 .

Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x) sen x , e pelo

eixo x de 0 até 2 será:

A sen x dx sen x dx2

cosx0

cosx2

0

= cos ( cos 0) + cos 2 ( cos

= ( 1) ( 1) + 1 ( 1)

= 1 + 1 + 1 1 = 2 + 2 = 2 + 2 = 4 u.a.

Portanto, a área da região limitada pela curva f (x) sen x e pelo eixo

x de 0 até 2 é 4 unidades de área.

Exercícios propostos – 1

a) y

x0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

Figura 8.8

dúvidas, busque orientação junto ao

Page 10: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

336

Onde y f (x) x 1 .

b) y

x0 1 2 3 4

1

2

3

4

Figura 8.9

Onde y f (x) x .

2) Determinar a área da região limitada por:

y f (x) x e y g(x) x2 x .

3) Determinar a área da região limitada por y f (x) x 1, o eixo

x e as retasx 2 e x 0 .

4) D e t e r m i n a r a á r e a d a r e g i ã o l i m i t a d a p o r

y f (x) x2 e y g(x) x2 4x .

5) Calcular a área da região limitada por y f (x)1

x , o eixo x e

as retasx 1 e x 4 .

Volume de sólido de revolução

-

centro de

massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de

um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam

formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução.

Page 11: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

337

Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do pla-

eixo de revolução, contida no plano.

Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada

por y f (x) , o eixox , x a e x b em torno do eixox . Então o

volume V deste sólido é dado por:

V f (x)2

a

bdx.

-

tes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas

x0a b

y

y = f(x)

Figura 8.10

Page 12: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

338

x

y

Figura 8.11

Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a frontei-

ra da região plana é dada pela curva x g(y) e o eixo y entre y c e

y d , então o volume V do sólido de revolução é dado por

V g y2

dy.c

d

x0

c

d

y

x = g(y)

Figura 8.12

Page 13: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

339

Sejam f x e g x funções contínuas no intervalo a,b e su -

mos que f x g x 0 para todo x a,b . Então o volume do sólido

de revolução gerado pela rotação em torno do eixox , da região limitada

pelas curvas y f x e y g x e as retas x a e x b é dado por:

V f x2

g x2

a

bdx.

x0a b

y

y = f(x)

y = g(x)

Figura 8.13

x

y

Figura 8.14

Page 14: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

340

Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y x2 , o eixo x e as retas

x 1 e x 2 , sofrem uma rotação em torno do eixox . Encontre o

volume do sólido de revolução gerado.

Resolução:

x0 1 2

1

4

y

y = f(x)

Figura 8.15

Temos:

V f x2

dxa

bx2

2

1

2

dx

x5

51

2

532 1

31

5, unidades de volume (u.v.).

Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da

região limitada por y x3 , y 0 e x 1 em torno do eixo y .

Page 15: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

341

Resolução:

x0 0,5−0,5−1 1 1,5 2

0,5

−0,5

−1

1,5

2

1

y

y = x3

Figura 8.16

De y x3 temosx y1/3 . Logo, o volume do sólido obtido pela

revolução em torno do eixo y é dado por

V g yc

d 2

dy y2/3dy0

1

3

5y5/3

0

1 3

5u.v.

Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da

região limitada por x2 y 2 , 2y x 2 0 , x 0 e x 1em torno

do eixox .

Page 16: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

342

Resolução:

y

x

5

3

1

−1

4

2

0−2 2 4

x² = y−2

2y−x−2 = 0

Figura 8.17

(a) Volume do sólido em torno do eixox . Neste caso, temos

V f x2

g x2

a

bdx

x2 22 1

2x 1

2

0

1

dx

x4 15

4x2 x 3

0

1

dx

x5

5

5x3

4

x2

23x

0

1

1

5

5

4

1

23

79

20u.v.

Page 17: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

343

Exercícios propostos – 2

1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em

torno do eixox , de região limitada por:

a) y 2x 1, x 0, x 3 e y 0.

b) y x2 1, x 1, x 3 e y 0.

2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação

em torno do eixo y , de região limitada por: y lnx, y 1, y 3

e x 0.

3) Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada

pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado:

a) y 2x2 , y 0, x 0, x 5 ; em torno do eixo dosx .

b) y x2 5x 6, y 0 ; em torno do eixo dosx .

c) y2 2x , x 0 , y 0 e y 3; em torno do eixo dos y .

d) y 2x 1, x 0 , x 3 e y 0 ; em torno do eixo dosx .

Page 18: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

344

Comprimento de arco

A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva

plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no in-

[a,b] y f (x) .

y

xa b

y = ƒ(x)

B = (b,ƒ(b))

A = (a,ƒ(a))

Figura 8.18

Sejam A a, f (a) e B(b, f (b)) dois pontos na curva y f (x) .

Seja s o comprimento da curva ABª y f (x) .

Então, s é dado por

s 1 f '(x)2

a

bdx.

A seguir, apresentaremos alguns exemplos.

Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva yx2

1 ,

0 x 3 .

Resolução: Temos,

yx2

1 y '1

2.

Page 19: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

345

Logo,

s 1 f '(x)2

dxa

b

11

40

3

dx

5

40

3

dx5

4x

0

3 3

25.

Portanto, o comprimento de f (x)x2

1 , para 0 x 3 é dada

por s3

25 u.c.

Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy x4 48

de x 2 a x 4

Resolução: Temos,

24xy x4 48

y1

24x3 2

x

y '3x2

24

2

x2

x4 16

8x2.

Agora,

s 1 y '2

dxa

b1

x4 16

8x2

2

2

4

dx

11

64x4x8 256 32x4

2

4

dx

x8 32x4 256

64x4dx

2

4

(x4 16)2

(32x2 )2dx

2

4 (x4 16)2

(32x2 )2dx

2

4

x4 16

8x22

4

dx

1

8x2 16x 2

2

4

dx1

8

x3

3

16

x2

4

1

8

64

34

8

38

1

8

56

34

17

6u.v.

Page 20: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

346

Exercícios propostos – 3

Determine o comprimento das curvas dadas por:

1) yx2

2

1

4lnx, 2 x 4 .

2) y ln 1 x2 de x1

4 ax

3

4.

3) y1

4x4 1

8x2de x 1 ax 2 .

4) y 1 ln sen x de x6

ax4

.

5) y1

2ex e x de x 0 ax 1.

Saiba Mais...

Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte:

FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Fun-

ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron

Books, 1992.

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed.

São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1.

compreendeu estas importantes

e para isto tente resolver os exercícios propostos a seguir. Se

las antes de seguir adiante.

Page 21: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Módulo 2

347

RESUMO

do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva

utilizando o sistema de coordenadas cartesianas.

Page 22: Aplicações de Calculo Integral.pdf

Curso de Graduação em Administração a Distância

348

RESPOSTAS

Exercícios propostos – 1

1) a) 12 unidades de área. b) 16

3unidades de área.

2) 4

3unidades de área.

3) 4 unidades de área.

4)8

3unidades de área.

5) 2 unidades de área.

Exercícios propostos – 2

1) a) 57 u.v.; b)1016

15u.v.

2) 2

e6 1

e2u.v.;

3) a) 2500 u.v. b)30

u.v.

c)243

20u.v. d) 21 u.v.

Exercícios propostos – 3

1) 6+1

4ln2 6,173u.c.

2) ln21

5

1

2u.c. 3)

123

32u.c.

4) 1

2ln2 ln 2 2 ln 2 3 u.c.

5) 1

2ee2 1 u.c.