Aplicacoes EDOS 2 Ordem Cassius

Modelagem com E.D.O.s de Ordem Superior

(Aplicaes das E.D.O.s)

http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/pendulum-

lab

Aplicaes das E.D.O.s de 2 ordem

1. Sistemas massa-mola: movimento no amortecido livre

Lei de Hooke: Suponha que uma mola flexvel esteja suspensa

verticalmente de um suporte rgido e que uma massa esta conectada sua extremidade livre.

A quantidade de distenso, ou alongamento da mola, depende

claro, da massa. Massas com diferentes pesos esticam a mola em

diferentes quantidades.

Pela Lei de Hooke, a mola por si s exerce uma fora restauradora

oposta direo de alongamento e proporcional quantidade de alongamento . Esta lei definida como :

=

sendo uma constante de proporcionalidade denominada constante da mola. A mola essencialmente caracterizada pelo nmero .

Exemplo: Se uma massa pesando 10 estica uma mola por 0.5 , temos:

10 = 0.5 = 20 /

Logo, uma massa pesando 8 estica a mesma mola por apenas 0.4


Segunda Lei de Newton: Aps uma massa ser conectada a uma mola ela estica a mola em uma

quantidade e atinge uma posio de equilbrio na qual seu peso equilibrado pela fora restauradora . Lembrando que o peso = , onde = 9.8 /2.

A condio de equilbrio :

= = 0

Se a massa for deslocada por uma quantidade a partir de sua posio de equilbrio, a fora

restauradora da massa ser ento:

( + )


Considerando que no haja foras de retardo atuando no sistema e

considerando que a massa oscile livre de foras externas

movimento livre podemos igualar a segunda lei de Newton com a

resultante da fora restauradora e do peso:

2

2= + + = + =

2

2=

2

2+ = 0 ()

Aplicaes das E.D.O.s de 2 ordemc

O sinal negativo indica que a fora restauradora da mola

atua na direo oposta do movimento.

Por conveno, deslocamentos medidos abaixo da

posio de equilbrio so positivos.


Dividindo a expresso (1) pela massa , obtemos a seguinte E.D.O. de segunda ordem:

+ = ()

sendo =

. Esta equao descreve o chamado Movimento

Harmnico Simples (M.H.S.) ou Movimento no Amortecido Simples.

Neste caso, temos obviamente duas condies iniciais:

0 = 0: quantidade de deslocamento inicial

0 = 1: velocidade inicial da massa

Quando 1 = 0 dizemos que a massa liberada a partir do repouso.


A soluo geral da equao (2) dada por:

= 1 cos + 2()

O chamado perodo das oscilaes livres descritas pela soluo

geral, :

=2

A frequncia :

=1

=

2

EXEMPLO:

= 2 cos 3 4(3)


EXERCCIO: Uma massa pesando 0.613 estica uma mola 0.5 . Em

= 0 a massa liberada de um ponto 2

3 abaixo da posio de

equilbrio com uma velocidade para cima de 4

3 /. Sabendo que

= , determine a equao do movimento livre.


Soluo:

= =

=

0.613

9.81

1

16

A partir da Lei de Hooke: = , temos:

0.613 = 1

2 = 1.226

Logo, temos a E.D.O.:

1

16

2

2= 1.226

2

2+ 19.616 = 0

com as condies iniciais:

0 =2

3

0 =4

3


Logo, temos a equao caracterstica:

2 + 19.616 = 0

e portanto, as razes complexas:

1 4.429 e 2 4.429

Neste caso, note que 2 = 19.616 temos: 4.429 e portanto, temos a soluo geral:

= 1 cos 4.429 + 2(4.429)


Determinamos 1 e 2 aplicando as condies iniciais 0 =2

3 e

0 =4

3.

Soluo do P.V.I.:

= 0.6666666667 cos 4.429 0.3010464500(4.429)



2. Sistemas massa-mola: movimento amortecido livre

O movimento descrito pela E.D.O.:

2

2+ = 0

considera que no h foras de retardo atuando sobre a massa em

movimento.

Apesar da massa estar suspensa em um vcuo perfeito, existir ao

menos uma fora de resistncia decorrente do meio que a envolve.

A massa poderia estar suspensa em um meio viscoso ou conectada

a um dispositivo de amortecimento por mbolo.

No estudo da mecnica, foras de amortecimento atuando sobre o

corpo so consideradas como sendo proporcionais a uma potncia

de velocidade instantnea.

Em geral, considera-se que esta fora dada por um mltiplo

constante de:

Quando nenhuma outra fora externa considerada no sistema,

temos a partir da lei de Newton que:

=

sendo uma constante de amortecimento positiva e o sinal negativo uma consequncia do fato de que a fora de amortecimento atua em

direo oposta do movimento.


Logo, dividindo esta ltima E.D.O., por , temos:

2

2+ 2

+ 2 = 0

sendo:

2 =

2 =

Neste caso, temos a equao auxiliar:

2 + 2 + 2 = 0

As razes correspondentes so:

1 = + 2 2 2 =

2 2


Logo, temos trs casos a considerar:

(1) > : Sistema Sobreamortecido. Neste caso, a soluo geral dada por:

= 122 + 2

22

(2) = : Criticamente Amortecido. Neste caso, a soluo geral dada por:

= 1 + 2

(3) < : Sistema Subamortecido. Neste caso, a soluo geral dada por:

= 1 cos 2 2 + 2

2 2


EXEMPLO: Movimento Sobreamortecido. Considere o seguinte P.V.I.:

2

2+ 5

+ 4 = 0

0 = 1 0 = 1

Podemos verificar que a soluo deste problema :

=5

3

2

34

Para traar o grfico de (), vamos determinar o valor de para o qual a funo tem um ponto crtico, ou seja, o valor de para o qual a primeira derivada zero.

= 0 5

3 +

8

34 = 0 0.157



SISTEMA SOBREAMORTECIDO

EXEMPLO DE MOVIMENTO SUBAMORTECIDO: Um peso de

4.905 conectado a uma mola de 7.219 de comprimento. No equilbrio a mola mede 8.2 . Se o peso for empurrado para cima e solto a partir do repouso em um ponto 2 acima da posio de equilbrio, vamos determinar o deslocamento () considerando que se saiba que o meio ao redor oferece uma resistncia numericamente

igual a velocidade instantnea.


Soluo:

A distenso da mola aps o peso ser conectado : 8.2 7.219 =0.981 . Logo, a partir da lei de Hooke que:

4.905 = 0.981 5 /

Alm disso, = 4.905 = 9.81 0.5

Logo, a E.D.O. do movimento dada por:

0.5 2

2= 5

2

2+ 2

+ 10 = 0

Assim, temos a equao auxiliar:

2 + 2 + 10 = 0 1 = 1 + 3 2 = 1 3


A soluo geral desta E.D.O. dada por:

= 1 cos 3 + 2 3

Aplicando as condies iniciais: 0 = 2 e 0 = 0, obtemos a soluo do P.V.I., dada por:

= 2 cos 3 2

3(3)



MOVIMENTO SUBAMORTECIDO

3. Sistemas massa-mola: Movimento Forado

Neste caso, consideramos uma fora externa () atuando sobre uma massa oscilando em uma mola. Por exemplo, () poderia representar uma fora causando um movimento oscilatrio vertical no suporte da

mola. Assim, incluindo (), neste modelo, temos a chamada Equao Diferencial do Movimento Forado:

2

2=

+

2

2+ 2

+ 2 = ()

sendo:

=()

2 =

2 =

Resolvemos esta E.D.O., atravs do mtodo dos coeficientes a

determinar ou variao de parmetros.


EXEMPLO: No caso do P.V.I.,

1

5

2

2+ 1.2

+ 2 = 5cos (4)

0 = 0.5 0 = 0

temos:

um sistema oscilatrio constitudo por uma massa =1

5,

conectado a uma mola com = 2.

A massa liberada a partir do repouso 0.5, abaixo da posio de equilbrio.

O movimento amortecido = 1.2


Soluo:

Para obter a soluo geral da E.D.O. homognea associada,

multiplicamos a E.D.O. homognea por 5:

2

2+ 6

+ 10 = 0

Neste caso, obtemos a soluo geral dada por:

= 3 1 cos + 2()

Para determinar uma soluo particular , utilizamos o mtodo dos

coeficientes a determinar considerando

= 4 + (4)


Calculando ,

e substituindo na E.D.O., no homognea,

obtemos:

=25

102cos 4 +

50

51(4)

Portanto, a soluo geral da E.D.O., no homognea dada por:

= + ()

= 3 1 cos + 2() 25

102cos 4 +

50

51(4)


Aplicando as condies iniciais 0 = 0.5 e 0 = 0, obtemos a soluo do P.V.I., dada por:

= 338

51cos

86

51()

25

102cos 4 +

50

51(4)


MOVIMENTO FORADO

PNDULO SIMPLES: O pndulo simples um caso especial do

pndulo fsico e consiste em uma haste de comprimento na qual uma massa est ligada em uma das extremidades.

O movimento de um pndulo simples de massa comprimento descrito pela funo () que satisfaz a equao diferencial:

2

2+

= 0


Podemos supor que o ngulo seja pequeno o suficiente para que seja

vlida a aproximao . Assim, temos a E.D.O.:

2

2+

= 0

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