APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA · 4.3 Curvas no espaço 4.3.1 Comprimento de uma curva 4.4...

TÓPI

CO

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

4.1 Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas4.2 Superfícies

4.2.1 Superfícies planas4.2.2 Superfícies limitadas e não limitadas

4.3 Curvas no espaço4.3.1 Comprimento de uma curva

4.4 Curvas no plano: Curvas de nível4.5 Retas no espaço

Fund

amen

tos

da M

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a II

Gil da Costa Marques

4APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA

55

Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

4.1 Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas

Como no caso das funções de uma variável, as funções de várias variáveis são muito utiliza-

das na geometria analítica. Neste tópico abordaremos a aplicação de tal conceito no estudo de

superfícies, curvas e retas no espaço.

É bom lembrar que um ponto no espaço será caracterizado por três coordenadas denominadas

cartesianas. Assim, qualquer ponto no espaço é representado por uma terna ordenada (a, b, c) de

números reais.

Um sistema cartesiano consiste de

três eixos ortogonais que se interceptam

num ponto denominado a origem do

sistema. Os três eixos são orientados e

a orientação é indicada por setas como

na Figura 4.1 e o sentido do eixo z é

determinado pela “regra da mão direita”

também ilustrada na Figura 4.2.

Para representar o ponto (a, b, c) no espaço, marcamos as coor-

denadas a e b nos eixos x e y, respectivamente, obtendo o ponto P’ no plano xy, por meio de duas retas tracejadas, paralelas aos eixos

x e y, uma traçada a distância b do eixo x e a outra à distância a do

eixo y (Figura 4.3).

A partir de P’, traçamos uma reta perpendicular ao plano xy,

paralela, portanto, ao eixo z. Tendo marcado a coordenada c no

eixo z, temos um ponto pelo qual traçamos uma reta paralela a OP’.O ponto P = (a, b, c) é a intersecção entre essa última reta e a

perpendicular que foi traçada a partir de P’ (Figura 4.4).

Figura 4.1: Os três eixos orientados. Figura 4.2: O polegar aponta para o sentido positivo do eixo z.

Figura 4.4: O ponto P = (a, b, c) ∈ 3.

Figura 4.3: O ponto P’ é obtido a partir de a e b.

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TÓPICO 4 Aplicações Na Geometria Analítica


Reciprocamente, dado um ponto P no espaço, munido de um sistema de coordenadas,

encontramos a terna ordenada de números reais correspondente a esse ponto. A coordenada z, no sistema cartesiano, é obtida traçando por P, uma reta paralela ao eixo z até encontrar o

plano xy em P’. O comprimento PP’ fornece a coordenada z. Agora traçamos, a partir de P’, duas retas tracejadas, paralelas aos eixos x e y, respectivamente, até elas encontrarem esses eixos.

Os pontos de encontro das retas tracejadas com os eixos definem as coordenadas cartesianas da

posição do ponto dado (Figura 4.5).

4.2 SuperfíciesDe modo geral, definimos superfície como o lugar geométrico dos pontos do espaço cujas

coordenadas obedecem a uma relação da forma:

4.1

Figura 4.5: Dado o ponto P ∈ 3, determinamos suas coordenadas cartesianas.

( ), , 0x y zϕ =

Figura 4.6: Uma superfície arbitrária.

57



Uma superfície denominada elipsóide,

por exemplo, é caracterizada pela relação:

4.2

Convém notar que todos os cortes são elipses.

Uma superfície esférica é um caso particular de um elipsóide,

no qual

4.3

sendo R o raio da superfície esférica:

Nem toda relação é uma função. Como já vimos, funções im-

plícitas são definidas por relações. No caso do elipsóide, podemos

definir duas funções:

4.4

as quais descrevem as calotas superior e inferior do elipsóide.

A relação abaixo define z como uma função das variáveis x e y:

4.5

isto é,

4.6

Figura 4.7: O elipsoide.

Figura 4.8: Superfície esférica e suas duas calotas.

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + =

a b c R= = =

2 2

2 2

2 2

2 2

( , ) 1

( , ) 1

x yz x y ca b

x yz x y ca b

+

−

= − +

= − − +

2 2

2 2

z x yc a b= +

2 2

2 2

x yz ca b

= +

58



cujo gráfico é uma superfície denominada parabolóide de revo-

lução (Figura 4.9). O eixo desse parabolóide é o eixo z e sua

concavidade é para cima se c > 0 ou para baixo se c < 0.

É importante notar que cortes horizontais são elipses e cortes

verticais são parábolas.

A relação:

4.7

onde ϛ = constante define superfícies denominadas hiperbolóide de

revolução, as quais podem ser escritas como:

4.8

E cujos focos estão separados uma quantidade 2a.

4.2.1 Superfícies planas

Uma superfície é dita plana (usualmente utilizamos a palavra plano para designar tal su-

perfície), se os pontos que pertencem a ela forem tais que suas coordenadas obedecem a uma

relação linear:

4.9

onde a, b, c e d são parâmetros que caracterizam o plano.

A partir da equação acima, temos:

4.10

De modo geral, escrevemos

4.11

Figura 4.9: Parabolóide de revolução.

Figura 4.10: O hiperbolóide de uma folha (de revolução).

( ) ( )2 22 2

2z a z a

a+ +ρ − − +ρ

= ς

( )2 2

2 2 2 2 11

za a

ρ− =

λ −λ

ax by cz d+ + =

d a bz x yc c c

= − −

z A Bx Cy= + +

59



Por exemplo, o plano da Figura 4.11 é caracterizado pela

equação: z = 6.

Para esse plano, o parâmetro A = 6 e B = C = 0.

Um plano pode também ser dado por uma equação vetorial:

4.12

onde k

é um vetor de componentes a, b e c, e r = (x, y, z) é o vetor

posição. O vetor k

é o vetor normal à superfície (Figura 4.12).

Dois planos são ditos planos paralelos se, quando escritos sob a

forma 4.9, eles têm iguais valores de a, b e c, diferindo, no entanto,

no valor de d.

Assim, os dois planos descritos pelas equações:

4.13

são planos paralelos.

Dizemos que dois planos são ortogonais se os vetores normais a

eles forem perpendiculares, ou seja, têm produto escalar igual a zero.

Assim, dois planos são ortogonais se

4.14

onde k

1 = (a1, b1, c1) e k

2 = (a2, b2, c2).

Figura 4.11: O plano de equação z = 6.

Figura 4.12: Um plano com o vetor normal.

k r d⋅ =

5 3 2 105 3 2 2

x y zx y z+ + =+ + =

Figura 4.13: Planos perpendiculares.

1 2 1 2 1 2 1 20 0k k a a b b c c⋅ = ⇔ + + =

60



Exemplos

• ExEmplo 1Os planos

4.15

não são ortogonais. No entanto, os planos definidos por:

4.16

são planos ortogonais, uma vez que 2 · 5 + (-5) · 3 + 1 · 5 = 0 ou seja

4.17

4.2.2 Superfícies limitadas e não limitadas

As superfícies tanto podem ser limitadas como não limitadas.

Uma superfície esférica de raio R, definida, por:

4.18

é uma superfície limitada. Uma superfície cilíndrica de raio ρ, defi-

nida pela equação

4.19

é uma superfície não limitada. Vale observar que qualquer corte

horizontal é uma circunferência, enquanto que um corte vertical

é um retângulo.

2 5 105 3 2 2

x y zx y z+ + =+ + =

2 5 105 3 5 2

x y zx y z− + =+ + =

1 2 1 2 1 2 0a a b b c c+ + =

Figura 4.14: Superfície não limitada.

2 2 2 2 0x y z R+ + − =

2 2 2 0x y+ −ρ =

61



Mencionamos ainda o fato de que uma esfera é uma figura formada pelos pontos que

pertencem à superfície esférica bem como todos aqueles contidos no seu interior. Ou seja, essa

figura é constituída pelos pontos (x, y, z) ∈ 3 para os quais x2 + y2 + z2 ≤ R2.

4.3 Curvas no espaçoO uso de funções é muito útil na descrição de curvas no espaço.

O conjunto dos pontos do espaço que satisfazem a duas relações simultaneamente:

4.20

pode ser uma curva no espaço.

Por exemplo, a intersecção de um cone, cuja equação é dada por:

4.21

com a calota esférica superior da esfera, dada pela condição:

4.22

é uma circunferência.

Uma curva pode ser descrita por meio de equações paramétricas, isto é, utilizando um

parâmetro, designado por λ.Assim, define-se uma curva como o lugar geométrico dos pontos do espaço descrito pelas

funções a um parâmetro – o parâmetro λ – dadas por:

4.23

( )( )

, , 0

, , 0

x y z

x y z

ϕ =

φ =

Figura 4.15: Curvas como intersecção de superfícies.

2 2z a x y= +

2 2 2z R x y+ = − −

( )( )( )

x x

y y

z z

= λ

= λ

= λ

62



Sendo funções, estamos nos assegurando que a cada ponto

do espaço corresponde um e apenas um valor do parâmetro λ e ao variá-lo obtemos os diferentes pontos ao longo da curva.

Em particular, aos pontos A e B correspondem os valores

λA e λB tais que suas coordenadas são dadas por:

4.24

4.3.1 Comprimento de uma curva

A um arco de uma curva, ou caminho, podemos

associar o conceito de distância. Mais precisamente,

podemos determinar o comprimento de um dos pos-

síveis caminhos interligando dois pontos A e B que

pertencem a ele.

Consideremos uma linha, ou curva, qualquer. Ela

pode ser subdivida em n partes infinitesimais, consi-

derando n pontos sobre ela (vide Figura 4.17).

Como, para cada tamanho infinitesimal segundo o

qual as coordenadas de pontos consecutivos diferem, a

distância entre quaisquer dois desses pontos é dada por:

4.25

No limite em que o número de divisões tende a infinito, obtemos uma soma de Riemann

e podemos escrever o comprimento da curva entre os pontos A e B como:

4.26

Figura 4.16: Caminhos ligando dois pontos e um dos possíveis caminhos.

( )( )( )

( )( )( )

A A B B

A A B B

A A B B

x x x x

y y y y

z z z z

= λ = λ

= λ = λ

= λ = λ

Figura 4.17: Dividindo uma curva por meio de n pontos.

2 2 2i i i ids dx dy dz= + +

0

limn

in is ds

→∞=

= ∑

63



ou seja,

4.27

Adotando uma das coordenadas como variável, pode-se considerar uma parametrização da forma:

4.28

O comprimento da curva pode então ser escrito como:

4.29

onde xA e xB são as primeiras coordenadas dos pontos A e B, respectivamente.

Em particular, no caso bidimensional o comprimento de uma curva é determinado pela integral:

4.30

4.4 Curvas no plano: Curvas de nívelUma curva num plano nada mais é do que a intersecção de uma superfície com o plano.

Assim, no caso mais geral, a curva resulta da intersecção da superfície dada por:

4.31

com o plano

4.32

2 2 2B B B

A A A

ds dx dx dxs ds d dd d d d

λ λ λ

λ λ λ

= = λ= + + λ λ λ λ λ ∫ ∫ ∫

( )( )

z z x

y y x

=

=

2 2 2

2 2

= 1

B B

A A

B

A

x x

x x

x

x

dx dy dzs ds dxdx dx dx

dy dz dxdx dx

= = + +

+ +

∫ ∫

∫

2

1B B

A A

x x

x x

dys ds dxdx

= = + ∫ ∫

( ), , 0x y zϕ =

0ax by cz d+ + − =

64



Em particular, a intersecção da superfície

4.33

com o plano

4.34

define uma curva. Variando d, obtemos um conjunto de curvas no

espaço, todas elas contidas na superfície. As projeções dessas curvas

no plano z = 0 são as curvas de nível da superfície dada.

Exemplos

• ExEmplo 2As seções transversais da superfície denominada parabolóide são dadas pelas soluções das equações:

4.35

ou seja, para cada di, pela curva

4.36

As curvas de nível correspondentes são pois circunferências concêntricas.

Figura 4.18: Curva de nível.

( ), , 0ix y dϕ =

( ), , 0x y zϕ =

0z d− =

2 2 2

i

z C z x yz d+ = + +

=

2 2 2i id C d x y+ = + +

Figura 4.19: Curva de nível de um parabolóide de revolução.

65



4.5 Retas no espaçoRetas no espaço resultam da intersecção de planos, desde que não paralelos. Ou seja, uma

reta no espaço pode ser descrita como solução de um sistema de duas equações:

4.37

Assim, uma reta no plano z = d, é dada pelas equações:

4.38

ou seja,

4.39

que, como sabemos, é uma equação polinomial do primeiro grau.

1 2 2 1

2 2 2 2

a x b y c z da x b y c z d

+ + =+ + =

1 2 2 1a x b y c z dz d

+ + ==

1 2 2 1a x b y c d d+ + =

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