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TIAGO ALMEIDA COSTA

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) PARA MODELOS DE TESTES DE FORMAÇÃO

EM POÇOS DE PETRÓLEO

CAMPINAS 2013

ii

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaRose Meire da Silva - CRB 8/5974

Costa, Tiago Almeida, 1981- C823a CosAplicação do método dos elementos finitos (MEF) para modelos de testes de

formação em poços de petróleo / Tiago Almeida Costa. Campinas, SP : [s.n.],2013.

CosOrientador: Philippe Remy Bernard Devloo. CosDissertação (mestrado) Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de

Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências.

Cos1. Método dos elementos finitos. 2. Poços de petróleo. 3. Análise e testes. I.

Devloo, Philippe Remy Bernard,1958-. II. Universidade Estadual de Campinas.Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Finite element method application in well test analysisPalavras-chave em inglês:Finite element methodOil wellsAnalysis and testingÁrea de concentração: ExplotaçãoTitulação: Mestre em Ciências e Engenharia de PetróleoBanca examinadora:Philippe Remy Bernard Devloo [Orientador]Rosângela Barros Zanoni Lopes MorenoPaulo Dore FernandesData de defesa: 08-03-2013Programa de Pós-Graduação: Ciências e Engenharia de Petróleo

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vi

vii

AGRADECIMENTOS

Agradeço imensamente a Deus por estar sempre por perto nos momentos mais difíceis,

zelando pela minha vida e cuidando dos meus passos mesmo quando insisto em seguir pelos

caminhos errados.

Agradeço a minha família, principalmente aos meus pais, que sempre foram verdadeiros

heróis presentes em todos os momentos da minha vida.

Agradeço ao meu Professor Orientador Philippe Devloo, pela dedicação, pela paciência, e

pela oportunidade de conviver com um profissional tão inteligente, correto e justo em suas

atitudes.

Agradeço aos colegas do LABMEC, sem os quais não teria alcançado grande partes dos

resultados deste trabalho. Agradeço pela amizade, pelo companheirismo e pelos bons momentos

vividos.

Agradeço a Petrobras, pela oportunidade de realizar este trabalho de Mestrado.

viii

ix

“Para viver em um lugar melhor, é preciso

começar sendo uma pessoa melhor no lugar em que

se vive. A mudança ocorre de dentro pra fora, do

individual para o coletivo, não o inverso.”

Roberto Pereira

x

xi

RESUMO

A análise transiente da Equação da Difusividade Hidráulica (EDH) é de grande importância para a

modelagem e interpretação de testes de formação, onde torna-se necessário captar efeitos da queda

de pressão no reservatório devida a uma produção de curto tempo na vizinhança do poço. O Método

dos Elementos Finitos (MEF) pode ser aplicado para essa finalidade com ganho significativo na

precisão da resposta de pressão do modelo, observando que a capacidade de refinamento da malha

ganha flexibilidade geométrica para a representação do problema, além da possibilidade de

trabalhar com altas ordens polinomiais nas funções de aproximação. Neste trabalho, é apresentada

a formulação variacional do problema a ser resolvido pelo MEF e o algoritmo implementado

computacionalmente para se obter a solução da equação diferencial parabólica (problema em

regime transiente), destacando as etapas adicionais em relação ao que se faz normalmente na

solução da equação diferencial elíptica (problema em regime permanente). As diferenças principais

são: i) a inclusão de uma matriz de massa e ii) a atualização do vetor de cargas a cada passo de

tempo. Estão mostrados exemplos com a resolução do problema para diferentes condições de

refinamento da malha e tamanho do passo de tempo. As respostas obtidas estão comparadas com

as soluções analíticas existentes na literatura, agregando confiabilidade ao método de resolução do

problema. Por fim, são feitos comentários sobre a potencialidade da ferramenta, explorando

cenários mais amplos, tais como: poços construídos com geometria complexa, reservatórios com

heterogeneidades significativas, inserção de fraturas, dentre outros que poderiam ser modelados

utilizando a técnica.

Palavras Chave: , Poços de petróleo, Análises e testes.

xii

xiii

ABSTRACT

The transient analysis of the hydraulic diffusion equation is the basis for modeling a well test. In

order to understand it, it's necessary capture the pressure gradient effects in the well neighborhood

that appear in the early times. The Finite Element Method (FEM) can be applied in order to reach

this objective with significant precision gain in the pressure response of the well test model. The

FEM has a notable refinement capability and in this implementation is possible to use different

polynomial orders for the test and trial functions. It allows an excellent flexible geometric

representation of the reservoir model and accurate numeric solution by using high polynomial

orders. In this paper, the variational formulation and the computational implementation are

presented to solve the parabolic diffusion equation under appropriate boundary conditions. In the

transient solution process, two steps are emphasized; the inclusion of a mass matrix and the update

of the load vector at each time-step. The numerical responses were compared to the available

analytical solutions for vertical and horizontal wells in order to validate the program calculations.

Finally the potential of the numerical tool is explored to analyze different problems, such as:

significant heterogeneous reservoirs, wells with complex geometries and fracture analysis.

Key Word: Finite element method, Oil wells, Analysis and testing.

xiv

xv

SUMÁRIO

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xvii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Exemplo de uma seção sísmica interpretada. .............................................................. 1

Figura 1.2 - Exemplo de perfil a poço aberto. ................................................................................. 2

Figura 1.3 - Exemplo de testemunho. .............................................................................................. 3

Figura 1.4 - Quadros explicativos do processo de interpretação de testes. ..................................... 5

Figura 3.1 – Elemento infinitesimal para representar a conservação de massa. ........................... 11

Figura 3.2 – Gráfico ilustrativo para a queda de pressão (psi) ao longo do poço horizontal

considerando diferentes modelos de fluxo (referência [12]). ........................................................ 19

Figura 3.3 – Gráfico ilustrativo para a entrada de fluido (m3/d/m) ao longo do poço vertical

fraturado considerando diferentes modelos de fluxo. .................................................................... 20

Figura 3.4 – Ponto de equivalência para o fluxo entre os modelos de fluxo uniforme e de

condutividade infinita (referência [14]). ........................................................................................ 22

Figura 3.5 – Esquema simplificado para o modelo de poço horizontal. ....................................... 23

Figura 3.6 – Identificação dos regimes de fluxo para um poço horizontal através do gráfico de

diagnóstico. .................................................................................................................................... 25

Figura 3.7 – Esquema simplificado para o modelo de fluxo do período radial inicial. ................. 25

Figura 3.8 – Esquema simplificado para o modelo de fluxo do período de fluxo linear. ............. 26

Figura 4.1 –Funções de base lineares. ........................................................................................... 32

Figura 4.2 – Aproximação da função f x( ) = sen πx( ) por funções de base lineares. ................... 33

Figura 4.3 – Aproximação da função f x( ) = sen πx( ) por funções de base polinomiais de grau 2.

....................................................................................................................................................... 33

Figura 4.4 – Aproximação da função f x( ) = sen πx( ) por funções de base polinomiais de grau 3.

....................................................................................................................................................... 34

Figura 4.5 – Exemplo de particionamento do domínio e composição das funções de base. ......... 35

Figura 4.6 – Repetição das funções de base lineares. .................................................................... 36

Figura 5.1 – Gráfico de pressão (kgf/cm2) ao longo do reservatório (distância radial do poço, dada

em m) para um tempo de produção fixado em 1 hora. Comparação da resposta do modelo

simplificado com a solução analítica para um poço vertical. ........................................................ 43

Figura 7.1 – Gráfico para a pressão no poço (em Pa) versus a tempo de produção (em s). .......... 48

xviii

Figura 7.2 – Diferença percentual para a pressão no poço entre a solução do programa de

elementos finitos e a solução semi-analítica para poço vertical (caso base). ................................ 49

Figura 7.3 – Detalhe do refinamento direcional da malha aplicado ao poço vertical. .................. 50

Figura 7.4 – Gráfico de diagnóstico onde estão sobrepostas as curvas da queda de pressão e suas

respectivas derivadas para a solução analítica e para a solução do MEF. ..................................... 51

Figura 7.5 – Gráfico para a pressão no poço (em kgf/cm2) versus a tempo de produção (em horas).

....................................................................................................................................................... 53

Figura 7.6 – Gráfico de diagnóstico onde estão sobrepostas as curvas da queda de pressão e suas

respectivas derivadas para a solução semi-analítica e para a solução do MEF. ............................ 54

Figura 7.7 – Diferença percentual para a pressão no poço entre a solução do programa de

elementos finitos e a solução semi-analítica para poço horizontal. ............................................... 55

Figura 7.8 – Gráfico da pressão no calcanhar do poço ao longo do tempo: influência da ordem

polinomial nas funções de aproximação e do tamanho dos elementos. ........................................ 56

Figura 7.9 – Gráfico de diagnóstico onde estão sobrepostas as curvas da queda de pressão e suas

respectivas derivadas: influência da ordem polinomial nas funções de aproximação e do tamanho

dos elementos. ............................................................................................................................... 57

Figura 7.10 – Detalhe do refinamento direcional da malha aplicado ao poço horizontal. ............ 58

Figura 7.11 – Detalhe do refinamento direcional da malha aplicado a partir do poço horizontal,

em direção ao reservatório. ............................................................................................................ 58

Figura 7.12 – Composição da curva final de "pressão no poço x tempo" a partir das simulações de

tempo curto, tempo médio e tempo longo. .................................................................................... 59

Figura 7.13 – Comparação entre a solução numérica adimensional e a solução analítica para poço

vertical. .......................................................................................................................................... 64

Figura 7.14 – Diferença percentual para a pressão adimensional entre a solução do programa de

elementos finitos e a solução analítica para poço vertical. ............................................................ 65

Figura 8.1 – Adaptações na malha para a inserção de elementos que representem as fraturas. .... 69

Figura 8.2 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos e o simulador

comercial para um poço horizontal com 3 fraturas equidistantes: pressão no poço versus tempo.

....................................................................................................................................................... 70

Figura 8.3 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos e o simulador

comercial para um poço horizontal com 3 fraturas eqüidistantes: gráfico de diagnóstico. ........... 71

xix

Figura 8.4 – Diferença percentual para a pressão no poço entre a solução do programa de

elementos finitos e o simulador comercial para um poço horizontal com 3 fraturas eqüidistantes.

....................................................................................................................................................... 72

Figura 8.5 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: pressão no poço versus tempo. Em vermelho, a

solução para o poço horizontal sem fraturas. ................................................................................ 73

Figura 8.6 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: IP versus tempo. Em vermelho, a solução para o

poço horizontal sem fraturas. ........................................................................................................ 74

Figura 8.7 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: gráfico de diagnóstico. ........................................ 75

Figura 8.8 – Solução do programa de elementos finitos para um poço horizontal com 3, 5 e 7

fraturas eqüidistantes: pressão no poço versus tempo para o caso kV = 0,1 kH . ........................... 76

Figura 8.9 – Solução do programa de elementos finitos para um poço horizontal com 3, 5 e 7

fraturas eqüidistantes: gráfico de diagnóstico para o caso kV = 0,1 kH . ........................................ 77

Figura 8.10 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3 fraturas: pressão no poço versus tempo, com variação da permeabilidade

vertical. .......................................................................................................................................... 78

Figura 8.11 – Comparação entre as soluções do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3 fraturas: gráfico de diagnóstico, variando-se a permeabilidade vertical. .......... 79

Figura 8.12 – Perfil de fluxo obtido ao longo do tempo para uma solução de vazão constante

imposta. ......................................................................................................................................... 80

Figura 8.13 – Perfil de fluxo obtido ao longo do tempo para uma solução de vazão constante

imposta para o segundo caso. ........................................................................................................ 82

Figura 8.14 – Perfil de fluxo acumulado após 24 horas de produção. .......................................... 83

xx

xxi

LISTA DE TABELAS

Tabela 7.1 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço vertical. .................... 47

Tabela 7. 2 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal. ............... 52

Tabela 8. 1 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal. ............... 80

Tabela 8. 2 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal. ............... 81

Tabela 8. 3 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal. ............... 83

xxii

xxiii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

MEF Método dos Elementos Finitos

EDH Equação da Difusividade Hidraulica

EBM Equação de Balanço de Massa

xxiv

xxv

LISTA DE SÍMBOLOS

φ porosidade do meio

Q vazão mássica

ρ densidade do fluido

v velocidade

k permeabilidade

K tensor de permeabilidades

Φ potencial

µ viscosidade

cf compressibilidade dos fluidos

cr compressibilidade da rocha

ct compressibilidade total

p pressão

t tempo

td tempo adimensionalizado

q vazão total de fundo de poço na pressão e temperatura do reservatório

qw vazão no poço

qref vazão de referência

pw pressão no poço

pd queda de pressão adimensionalizada

pi pressão inicial

Ei função exponencial integral

L comprimento efetivo do poço horizontal

Ld comprimento efetivo do poço horizontal adimensionalizado

g aceleração da gravidade

h espessura media do reservatório

rw raio do poço

rwd raio do poço adimensionalizado

∆x dimensão do elemento de volume na direção x

xxvi

y∆ dimensão do elemento de volume na direção y

z∆ dimensão do elemento de volume na direção z

A razão de anisotropia

zw posição relativa do poço horizontal em relação ao topo

zwd posição relativa do poço horizontal em relação ao topo adimensionalizada

xf comprimento de uma asa da fratura

yf altura da fratura

xxvii

1

1. INTRODUÇÃO

O trabalho proposto está fortemente relacionado ao processo natural de caracterização de

reservatórios. A modelagem inicial de um reservatório passa por algumas etapas essenciais. Dentre

elas: o mapeamento da área de interesse através da interpretação sísmica; as estimativas iniciais de

permeabilidade através de perfis a poço aberto, testes a cabo, análises de testemunhos e amostras

laterais; testes de formação; análises das amostras de fluido e os ensaios petrofísicos especiais de

laboratório.

A partir da interpretação sísmica, podemos obter informações muito importantes sobre o

volume de um reservatório (ver Figura 1.1). É possível identificar, em muitas situações, o topo, a

base e contatos das camadas produtoras e também é possível associar as assinaturas do mapeamento

sísmico às características geológicas do sistema observado. Decidido pela perfuração do poço

pioneiro, surgem informações mais precisas e é confirmada (ou não) a existência da acumulação

de hidrocarbonetos prevista nos estudos de prospecção sísmica.

Figura 1.1 - Exemplo de uma seção sísmica interpretada.

As estimativas iniciais de permeabilidade, porosidade, saturações são dadas pelos perfis de

poço aberto. São medidas indiretas que, associadas às técnicas adequadas de interpretação,

2

permitem identificar a qualidade inicial do reservatório. Na Figura 1.2, podem ser observados os

perfis de raios gama (fornece uma estimativa de argilosidade da formação), o perfil de resistividade

(importante na identificação de fluidos e no cálculo de saturações) e o cruzamento entre os perfis

de densidade da rocha e de porosidade neutrônica (utilizados para identificação de litologia, além

de ser indicador de zonas com capas de gás).

Figura 1.2 - Exemplo de perfil a poço aberto.

Ainda durante a fase de perfuração do poço, podem ser realizados testes a cabo em

profundidades pré-determinadas do reservatório onde geralmente são coletadas amostras de fluido

para as análises de laboratório. Nestes testes também é possível obter estimativas de

permeabilidade da formação, além da possibilidade de identificação de limites verticais para as

camadas de reservatório interpretadas através de testes de interferência vertical.

3

Sempre que possível, também são coletadas amostras de rocha sob a forma de testemunhos

ou sob a forma de amostras laterais (também chamadas de plugues). São informações de alto custo,

mas que são capazes de agregar muito valor aos estudos de reservatório. São excelentes para

recompor o cenário geológico do reservatório em superfície, permitindo a identificação de fácies

produtoras e das características do selo do reservatório. Ensaios de laboratório com corpos de prova

extraídos de um testemunho ou de uma amostra lateral fornecem também informações ricas sobre

porosidade, permeabilidade e saturações. A Figura 1.3 mostra um exemplo de testemunho disposto

sobre uma bancada.

Figura 1.3 - Exemplo de testemunho.

Por fim, iremos tratar do tema “Testes de Formação”. Nesta etapa, o poço é completado

provisoriamente para produzir, sob uma vazão especificada, durante um tempo suficiente para criar

uma perturbação de pressão no reservatório. Após um tempo determinado, o poço é fechado e um

registrador de pressão observa no fundo do poço tanto a queda de pressão durante a produção,

quanto o retorno ao equilíbrio após o fechamento do poço. O processo pode ser modelado

analiticamente através da equação da difusividade hidráulica observada sob as condições de

contorno para o período transiente (comportamento de reservatório infinito). A questão é tratada

4

como um problema inverso: onde se conhece a resposta de pressão e é preciso determinar o modelo

que, ao receber os mesmos parâmetros de entrada, é capaz de fornecer resposta semelhante à

resposta observada. O parâmetro de entrada é a vazão (medida e controlada em superfície) e a

resposta do modelo é a pressão no fundo do poço. A resposta de pressão gerada pelo modelo deve

ser a mesma observada pelo registrador de pressão posicionado no fundo do poço.

O esquema da Figura 1.4 explica com mais clareza o processo de interpretação de um teste

de formação. Num primeiro momento, dispõe-se das informações de medição de vazão e dos

registros de pressão de um registrador posicionado no fundo do poço, conforme pode-se observar

no primeiro quadro. No segundo quadro, a diferença entre a pressão inicial e a pressão observada

no poço é plotada em função do tempo num gráfico de diagnóstico, com escala logarítmica em

ambos os eixos. Nesse tipo de gráfico, a derivada da queda de pressão com relação ao logaritmo

natural do tempo

t

p

ln∂

∂ é constante para o escoamento radial, caracterizando a assinatura do

regime de fluxo e permitindo sua identificação nos dados observados. Outros regimes de fluxo

também apresentam assinaturas conhecidas e podem ser identificados de modo semelhante.

Identificados os regimes de fluxo, as soluções analíticas apropriadas são empregadas e os

parâmetros do reservatório são obtidos através do ajuste do modelo teórico aos dados observados

(é o que mostra o terceiro quadro). Por fim, os parâmetros ajustados individualmente são

incorporados ao modelo sintético completo, que deve ser capaz de reproduzir o histórico de pressão

observado, conforme observado no quarto quadro.

5

Figura 1.4 - Quadros explicativos do processo de interpretação de testes.

6

Todas as informações mencionadas são reunidas e contextualizadas de modo a formar um

modelo geológico e um modelo de simulação de fluxo onde serão feitas as previsões de

comportamento do reservatório ao longo da sua vida produtiva.

A proposta deste trabalho está voltada para reproduzir o comportamento de testes de pressão

em poços através de modelos baseados no Método dos Elementos Finitos (MEF), validando os

resultados com as soluções analíticas e semi-analíticas disponíveis na literatura.

1.1. Motivação

A motivação para este trabalho surgiu a partir de dois problemas enfrentados numa situação

real de testes de formação.

No primeiro caso, o cenário era o de um poço horizontal multi-fraturado em um reservatório

carbonático de baixa permeabilidade segmentado em camadas com diferentes características

permo-porosas (diferentes níveis de permeabilidade e porosidade) e também caracterizado por

diferentes níveis de depleção nas camadas. Esse fato ocorreu devido à produção de fluido das

camadas do mesmo reservatório em outros poços do campo de petróleo. As camadas do

reservatório estavam inclinadas num ângulo de aproximadamente 30 graus em relação ao plano

horizontal (ângulo de mergulho) e o poço horizontal perfurado atravessou várias dessas camadas

distintas. O poço foi completado de modo a permitir a produção através de fraturas concentradas

nas regiões de interesse comercial produtivo. Foi realizado um teste de pressão nesse reservatório

e a interpretação dependia de um modelo teórico não existente que contemplasse solução para esta

configuração poço/reservatório. A solução utilizada à época foi a de utilizar um simulador

comercial de testes de formação, programado sob a teoria de volumes finitos, para obter uma

resposta aproximada sem considerar de forma rigorosa os diferentes níveis de pressão e as

propriedades médias da rocha de cada camada.

No segundo caso, um poço vertical foi submetido a um fraturamento hidráulico. A fratura

deveria ter sido limitada ao topo e à base da camada de interesse, mas acabou se prolongando e

comunicando o poço com uma outra zona do reservatório. Sob essas condições, o teste de pressão

realizado deveria ser interpretado e, novamente, foi necessário utilizar como recurso um simulador

numérico que atendesse as peculiaridades e objetivos de um teste de poço.

7

Em ambos os cenários, um programa de elementos finitos poderia ser empregado para

modelar o problema. Seriam propostas várias simulações, variando os parâmetros de entrada do

modelo, até que a resposta de pressão do modelo numérico se aproxime da resposta de pressão

observada no poço. Estes modelos numéricos seriam aplicados para os casos específicos, onde não

existe solução analítica para o problema.

1.2. Objetivos

O objetivo do trabalho é o de construir e validar modelos numéricos de simulação de fluxo

que sejam capazes de representar testes de pressão em poços utilizando o MEF. Para tal, faz-se

necessária a implementação da solução da equação da difusividade para fluxo em regime transiente.

O MEF foi escolhido por proporcionar maior grau de flexibilidade para refinamento da malha, além

de permitir a utilização de altas ordens polinomiais para as funções teste (que aproximam a solução

do problema da solução real). Assim, torna-se possível a observação mais detalhada do

comportamento de pressão na região próxima do poço. A aplicação destes modelos pode ser

bastante útil onde não há solução analítica para o problema inverso (interpretação do teste), tal

como o exemplo a ser explorado de um poço horizontal multi-fraturado. Adicionalmente, pode

tornar viável a análise de testes em reservatórios mais complexos, que apresentem

heterogeneidades significativas. Em resumo, o estudo se propõe a resolver problemas de

interpretação de testes em poços de diferentes configurações.

8

9

2. REVISÃO DA LITERATURA

Com relação à formulação e solução de problemas utilizando o Método dos Elementos

Finitos (MEF), as referências [1, 2, 3, 15] foram utilizadas como base. A revisão abordou o estudo

dos tópicos básicos sobre Elementos Finitos, tais como: construção de uma formulação variacional

para um problema; definição da geometria da malha; escolha adequada do espaço de aproximação;

aplicação do método de Galerkin; resolução do sistema algébrico gerado pelo equacionamento da

formulação; análise dos resultados e cálculo das estimativas de erro. Alguns conceitos sobre

notação indicial de operadores matemáticos foram extraídos da referência [4].

Para validar o modelo de fluxo obtido com a aplicação da técnica de elementos finitos na

equação diferencial da difusividade hidráulica (problema transiente), foi utilizada inicialmente a

solução analítica conhecida para poço vertical. A solução e as condições de contorno estabelecidas

são explicitadas a seguir e foram obtidas das referências [5, 6, 8].

Para validar os resultados do modelo numérico obtidos para poço horizontal, o trabalho foi

dividido em duas etapas. Inicialmente, foi comparada a estimativa de produtividade da solução

numérica para regime permanente com as estimativas de produtividade previstas na literatura. Para

validação destes resultados, dado que não existe uma solução analítica fechada, foram consultadas

mais de uma fonte com proposta de solução para o problema: [5, 7, 11]. Foram encontradas grandes

diferenças nas estimativas do índice de produtividade entre as metodologias propostas e, ficou

entendido que a comparação com o índice de produtividade analítico não se mostrava ser uma

forma eficiente de validar a solução numérica. A solução para regime permanente foi considerada

no princípio do trabalho devido a sua simplicidade, por não conter o termo de acumulação

associado à variação temporal da pressão ao longo do reservatório. Numericamente falando, isso

torna o modelo numérico implementado bem mais simples, pois não há necessidade de construir a

matriz de massa nem de utilizar o avanço da solução no tempo. Essa etapa serviria como uma

validação inicial do trabalho que estaria por vir e foi de grande utilidade para revisão dos métodos

disponíveis na literatura para estimativa de produtividade em poços horizontais.

Verificada a compatibilidade das estimativas de produtividade, tornou-se necessário também

verificar a resposta de pressão para o reservatório, em especial na posição do poço em regime

transiente, onde é esperada a identificação dos regimes de fluxo através dos gráficos de diagnóstico.

10

Foi feita uma revisão completa sobre as considerações a respeito da condição de contorno adotada

para obtenção da solução analítica de poço horizontal nos seus três casos principais: i) fluxo

uniforme; ii) condutividade infinita (representa a solução de fluxo uniforme avaliada num ponto

de pressão equivalente) e iii) fluxo uniforme considerando a pressão média do poço. Para fins de

comparação com o modelo numérico, foi utilizada a solução para condutividade infinita. As

referências [7, 9, 14, 13, 12, 10] foram tomadas como base.

A aplicação do programa de elementos finitos para poços horizontais com múltiplas fraturas

teve seus resultados comparados ao modelo numérico do simulador comercial para testes de

formação Saphir da empresa Kappa Engineering, cuja licença para fins educacionais está

disponível para a Unicamp. Também foi consultada a referência [7] para detalhes sobre a

interpretação dos resultados.

Ainda que não tenham sido consideradas neste trabalho, foram consultadas referências para

o ajuste de curvas, visto que trata-se de um problema inverso e requer cuidados no tratamento de

dados sob o ponto de vista matemático.

11

3. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

A Equação Diferencial que rege o problema do escoamento de fluido no meio poroso é

derivada da equação da continuidade, da lei de Darcy e das equações de estado. A equação, escrita

na forma geral descreve o fluxo de fluido levemente compressível em um meio poroso anisotrópico.

Para desenvolver as equações, é adotado um elemento de volume infinitesimal com

dimensões ∆x , ∆y e ∆z e porosidade φ (ver Figura 3.1) por onde ocorre o escoamento do fluido,

aqui assumido como monofásico. A simulação ocorre durante um intervalo de tempo, ∆t , pré-

determinado.

Figura 3.1 – Elemento infinitesimal para representar a conservação de massa.

A equação diferencial que rege esse fenômeno é obtida quando avaliamos esse princípio num

elemento de volume suficientemente pequeno, cujas dimensões tendem para zero. O caso mais

geral ocorre para a movimentação de fluido nas três direções: x, y e z. Na Figura 3.1, observa-se a

movimentação de fluido na direção x, entrando pela face A e saindo pela face oposta A*. As

mesmas considerações podem ser estendidas para as direções y e z.

A lei de conservação da massa estabelece, para um fluxo através de um elemento de volume

num determinado intervalo de tempo, ∆t , que:

massa que entra[ ]− massa que sai[ ]= massa acumulada[ ]. (3.1)

12

A velocidade aparente do fluido, vx na direção x, é definida pela razão entre a vazão

q x,y,z,t( ) m3 /s[ ] e a área que o fluido atravessa:

vx =qx

∆y∆z

e analogamente para as outras direções:

vy =qy

∆x∆zvz =

qz

∆x∆y

Considerando a lei de conservação de massa para escoamento monofásico em três dimensões,

temos para o caso do fluxo de fluido compressível na direção x que:

[ ] ( )( )tzyxvzyentraquemassa x ,,,ρ∆∆= (3.2)

e

[ ] ( )( )tzyxxvzysaiquemassa x ,,,∆+∆∆= ρ . (3.3)

Analogamente, têm-se as equações para as direções y e z.

A massa acumulada no elemento durante o intervalo de tempo ∆t pode ser obtida da relação:

[ ] ( )( ) ( )( )[ ]t

tzyxttzyxzyxacumuladamassa

∆

−∆+∆∆∆=

,,,,,, φρφρ. (3.4)

onde φ é a porosidade do meio.

Substituindo (3.2), (3.3) e (3.4) em (3.1), segue-se que:

( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]tzyxvzxtzyyxvzxtzyxvzytzyxxvzy yyxx ,,,,,,,,,,,, ρρρρ ∆∆−∆+∆∆+∆∆−∆+∆∆

( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]t

tzyxttzyxzyxtzyxvyxtzzyxvyx zz

∆

−∆+∆∆∆=∆∆−∆+∆∆

,,,,,,,,,,,,

φρφρρρ . (3.5)

Dividindo tudo por ∆x∆y∆z , tem-se que:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

∆

−∆++

∆

−∆+

y

tzyxvtzyyxv

x

tzyxvtzyxxv yyxx,,,,,,,,,,,, ρρρρ

13

( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]t

tzyxttzyx

z

tzyxvtzzyxv zz

∆

−∆+=

∆

−∆+ ,,,,,,,,,,,, φρφρρρ. (3.6)

Considerando um elemento de volume infinitesimal, cujas dimensões tendem para zero,

quando ∆x → 0 , ∆y → 0 , ∆z → 0 e ∆t → 0 , temos a equação da conservação de massa na forma

diferencial (equação da continuidade):

( ) ( ) ( ) ( )tz

v

y

v

x

v zyx

∂

φρ∂

∂

ρ∂

∂

ρ∂

∂

ρ∂=−−− . (3.7)

Denominando por Q a vazão mássica ρv( ), a equação assume a forma compacta:

( )0=+

tQdiv

∂

ρφ∂. (3.8)

Q = −ρv . (3.9)

Definindo o potencial como:

gzp ρ+=Φ . (3.10)

Temos, pela Lei de Darcy:

Φ∇−=µ

Kv D (3.11)

onde

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

zk

yj

xi ˆˆˆ D

é o operador gradiente aplicado à função escalar.

Seja K o tensor de permeabilidade nas direções x, y e z e µ a viscosidade, temos:

Q = −ρ

µK∇Φ. (3.12)

O termo fonte da equação pode ser escrito como:

14

( )ttt ∂

φ∂ρ

∂

ρ∂φ

∂

φρ∂+= . (3.13)

( )tpt

p

pt ∂

φ∂

∂

φ∂ρ

∂

∂

∂

ρ∂φ

∂

φρ∂+= . (3.14)

( )t

p

ppt ∂

∂

∂

φ∂

φ∂

ρ∂

ρφρ

∂

φρ∂

+=

11. (3.15)

( ) [ ]t

pcc

trf ∂

∂φρ

∂

φρ∂+= (3.16)

Onde, cf representa a compressibilidade dos fluidos e cr representa a compressibilidade da

rocha. Na equação a seguir, a soma [cf + cr] é definida como a compressibilidade total do sistema,

ct.

( )t

pc

tt

∂

∂φρ

∂

φρ∂= (3.17)

Substituindo (3.12) e (3.17) em (3.8):

0=+

Φ∇−

t

pcKdiv t ∂

∂φρ

µ

ρ. (3.18)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

zk

yj

xidiv ˆˆˆ

é o operador divergente aplicado ao vetor.

Note que, para uma viscosidade constante:

( )[ ] ( ) ( )( )[ ]kgKdivpKdivkgpKdivKdiv ˆ1ˆ1ρρρ

µρρ

µµ

ρ+∇−=+∇−=

Φ∇− . (3.19)

O termo ( )"" pKdiv ∇ρ pode ser expandido da seguinte forma (Referência [4]):

( ) ( ) ( ) ppKpKdivpKdiv ∇⋅∇+∇=∇ ρρ . (3.20)

O segundo termo do lado direito da equação 3.20 pode ser escrito como:

( ) ( )( )

+

+

=∇∇=∇⋅∇

222

.z

pk

y

pk

x

pkcpcpKppK zyxff

∂

∂

∂

∂

∂

∂ρρ . (3.21)

15

Tanto a compressibilidade do líquido como os gradientes de pressão são em geral valores

muito pequenos, de modo que quando elevados ao quadrado resultam em termos menores ainda e,

portanto, desprezíveis quando comparados com os outros termos da equação. Sendo assim, o

termo apresentado pela equação 3.21 pode ser desprezado e a equação 3.19 assume a forma:

div −ρ

µK∇Φ

= −

1

µρdiv K∇p( )+ div ρK ρg ˆ k ( )( )

. (3.22)

ou

div −ρ

µK∇Φ

= −

1

µρdiv K∇Φ( )[ ]. (3.23)

Substituindo 3.23 em 3.18:

( ) 01

=+Φ∇−−t

pcKdiv t

∂

∂φρ

µ. (3.24)

ou, finalmente:

( )t

pcKdiv t

∂

∂φρ=Φ∇− . (3.25)

Com relação às condições de contorno, o potencial de equilíbrio do reservatório define a

condição de tempo inicial:

Φ X,t( ) = Φ X,t( )0= pi + ρgz ),,,( tzyxXX = X ∈Ω, t = 0. (3.26)

As Condições de Contorno Externas (CCE) são classificadas da seguinte forma:

i) Potencial constante na fronteira (condição de contorno do tipo Dirichlet)

Φ X,t( ) = Φ X,t( )0= pi + ρgz X ∈ ΩD . (3.27)

ii) Fluxo zero na fronteira (condição de contorno do tipo Neumann)

∇Φ.n = 0 em NΩ∂ , t > 0. (3.28)

16

iii) Reservatório Infinito

Φ X,t( ) = Φ X,t( )0= pi + ρgz X →∞ , t > 0. (3.29)

As Condições de Contorno Internas (CCI) representam a condição de produção do poço:

i) Potencial constante no poço (condição de contorno do tipo Dirichlet)

Φ X,t( ) = Φ X,t( )w

= pw + ρgz X ∈ Γw , t > 0. (3.30)

Seja pw uma pressão especificada no poço.

ii) Vazão constante imposta no poço (condição de contorno do tipo Neumann)

qw = −K∇Φ⋅ n = constan te X ∈ Γw, t > 0. (3.31)

A solução analítica para o poço vertical produzindo por vazão constante em regime transiente

(reservatório infinito), considerando escoamento radial plano, é dada pela equação (3.32) usando

as condições de contorno (3.29), (3.31):

−=

kt

rcE

kh

qpp wt

iiw 42

1

2

2φµ

π

µ. (3.32)

Onde q é a vazão total do poço (nas condições de pressão e temperatura do reservatório), k

a média geométrica das permeabilidades no plano normal à direção do poço e Ei é a função

exponencial integral, definida como:

E i X( ) = −E i −X( ) =e−ξ

ξX

∞

dξ. (3.33)

Para a análise de poços horizontais, foi utilizada a solução de condutividade infinita dada

pela solução de ponto equivalente da solução de fluxo uniforme apresentada pela referência [9],

representada na equação 3.34 para as mesmas condições de contorno do caso anterior (3.29 e 3.31):

17

pw = pi −qµ

2πkh

π

4

k

ky

1

τ0

t

erf

k

kx

+ xd

2 τ

+ erf

k

kx

− xd

2 τ

exp −yd

2

4τ

×

( ) ( ) ( )[ ] τππτπ dznznLnn

wddd

−+×

∞

=1

222 coscosexp21 (3.34)

Onde,

Ld = L / 2h)( )[ ] kv /kh

xd = 2x /L[ ] kh /kx

yd = 2y /L[ ] kh /ky

zd = z /h

zwd = zw /h

rwd = 2rw /L[ ] kh /kv

td = 4kh t / φµctL2( )

kh = kxky

h = espessura do reservatório (m)

kx = permeabilidade na direção x no plano areal (md)

ky = permeabilidade na direção y no plano areal (md)

kv = permeabilidade na direção z (md)

zw = distância vertical entre o limite inferior do reservatório e o poço (m).

Foi utilizado o valor de xd = 0,732, onde a solução de poço horizontal para fluxo uniforme é

igual à solução para condutividade infinita (refs.: [7] e [9]).

3.1. Considerações sobre Poços Horizontais

As soluções disponíveis na literatura para avaliar o desempenho de poços horizontais durante

o período transiente são, basicamente, de dois tipos: i) fluxo uniforme, que considera constante a

entrada de fluido em qualquer ponto do poço; ii) condutividade infinita, onde a pressão é

18

considerada constante ao longo de todo o poço. Ainda é possível trabalhar com a solução de fluxo

uniforme considerando a pressão média ao longo do poço.

Os modelos mencionados até aqui não consideram a perda de carga por fricção existente no

interior do poço. Isso, para efeitos práticos, é uma consideração coerente com o que ocorre numa

situação real (à exceção de poços com pequenos diâmetros, casos onde o óleo é de alta viscosidade,

ou em casos onde se praticam vazões muito altas). O modelo de condutividade infinita foi utilizado

para validar as soluções numéricas obtidas com o método dos elementos finitos neste trabalho.

Uma solução que levasse em conta os efeitos da perda de carga por fricção, seria um modelo

de condutividade finita (iii), onde nem o fluxo nem a pressão seriam uniformes ao longo do poço

(existe a possibilidade de trabalhar desta forma no programa de elementos finitos utilizado). A

queda de pressão (diferença entre a pressão inicial de equilíbrio e a pressão no poço, (pi - pwf) é

menor na extremidade do poço horizontal, onde a perda de carga é menor, e aumenta no sentido do

calcanhar do poço, onde a perda de carga é máxima.

Na Figura 3.2 (extraída da referência [12]), são comparados os três diferentes modelos em

resultados da queda de pressão ao longo do poço horizontal para três simulações distintas. A figura

foi inserida com o objetivo de ilustrar as feições da resposta esperada, e os resultados completos e

parâmetros de entrada podem ser consultados no texto original. A vazão praticada na simulação

com o modelo de condutividade finita foi bastante alta em relação aos demais modelos, de modo

que pudesse ser ressaltada a assinatura do perfil de pressão esperada ao longo do poço horizontal.

A solução de fluxo uniforme foi pensada inicialmente para poços verticais fraturados e

desenvolvida por Gringarten, Ramey e Raghavan [13]. No caso do poço vertical fraturado, a fratura

estende-se em duas direções diametralmente opostas a partir do centro do poço. Entretanto, a

entrada uniforme de fluido ao longo da fratura requer que a pressão tenha um valor menor no centro

do poço e vá aumentando até atingir seu valor máximo no limite da fratura.

O mesmo raciocínio pode ser estendido ao caso do poço horizontal, pois há equivalência

entre as soluções para poço vertical fraturado e poço horizontal. Observando o exemplo de modelo

de fluxo uniforme para poço horizontal da Figura 3.2, nota-se que a queda de pressão é menor nas

extremidades do poço e maior em direção ao centro, confirmando o comportamento previsto.

Ao trabalhar com o modelo de condutividade infinita (considerando a extensão da solução

de poço vertical fraturado para poços horizontais), a pressão é a mesma em qualquer posição do

poço incluindo a extensão da fratura (observe na Figura 3.2, obtida através do programa de

19

elementos finitos utilizado neste trabalho, o IP3D). Sob essa condição, o perfil de vazão do poço

fraturado apresenta valores mais altos nas extremidades da fratura e valores mais baixos no centro

da fratura, ou seja, no poço. A extensão dessas conclusões pode ser observada na Figura 3.3.

Figura 3.2 – Gráfico ilustrativo para a queda de pressão (psi) ao longo do poço horizontal

considerando diferentes modelos de fluxo (referência [12]).

20

Figura 3.3 – Gráfico ilustrativo para a entrada de fluido (m3/d/m) ao longo do poço vertical

fraturado considerando diferentes modelos de fluxo.

A referência [13] mostrou que, para o caso de poço vertical fraturado considerando fluxo

uniforme, a resposta de pressão adimensionalizada é dada por:

pd =π

4

1

τ0

t

erf1+ xd

2 τ

+ erf

1− xd

2 τ

exp −

yd

2

4τ

(3.35)

Onde, pd é a queda de pressão adimensional

pd =2πkh

qµ∆p (3.36)

Onde, td é o tempo adimensional

td =kt

φµctrw

2 (3.37)

21

xd = x / xf

yd = y / yf

xf = comprimento da asa da fratura (m)

yf = altura da fratura (m)

h = espessura do reservatório (m)

k = permeabilidade areal (m2)

q = vazão (m3/s)

µ = viscosidade (Pa.s)

φ = porosidade (%)

ct = compressibilidade total do sistema (1/Pa )

rw = raio do poço (m)

∆p = pi − pw, é a queda de pressão, ou seja, a diferença entre a pressão inicial e a pressão na

posição de interesse (Pa)

t = tempo (s)

A pressão no poço é obtida avaliando a equação (3.35) em xd = 0 e yd = 0. A referência [14]

também mostrou que a resposta de pressão para o modelo de condutividade infinita pode ser obtida

substituindo o valor de xd = 0,732 e yd = 0 na equação (3.35), onde o modelo de fluxo uniforme

coincide com o modelo de condutividade infinita. A Figura 3.4 mostra o gráfico onde ocorre o

ponto de equivalência dos dois modelos.

22

Figura 3.4 – Ponto de equivalência para o fluxo entre os modelos de fluxo uniforme e de

condutividade infinita (referência [14]).

Os mesmos conceitos aplicados aos poços verticais fraturados podem ser estendidos aos

poços horizontais, de modo aproximado. A referência [7] propõe o uso da solução de fluxo

uniforme dada pela equação (3.38) avaliada no ponto de equivalência entre a solução de fluxo

uniforme e condutividade infinita. A equação que define a queda de pressão para os poços

horizontais de condutividade infinita fica estabelecida como a solução de fluxo uniforme avaliada

no ponto xd = 0,732:

×

−

−

+

+

−= ττττ

π

π

µ

4exp

2

732,0

2

732,01

42

2

0

dxx

t

y

iw

yk

k

erfk

k

erfk

k

kh

qpp

( ) ( ) ( )[ ] τππτπ dznznLnn

wddd

−+×

∞

=1

222 coscosexp21 (3.38)

23

onde

Ld = L / 2h)( )[ ] kv /kh

yd = 2y /L[ ] kh /ky

zd = z /h

zwd = zw /h

rwd = 2rw /L[ ] kh /kv

td = 4kh t / φµc tL2( )

kh = kxky

h = espessura do reservatório

kx = permeabilidade na direção x no plano areal (md)

ky = permeabilidade na direção y no plano areal (md)

kv = permeabilidade na direção z (md)

zw = distância vertical entre o limite inferior do reservatório e o poço (m).

Observe que há um termo discretizado através de um somatório. Este termo é que faz com

que a solução seja semi-analítica, pois terá de ser truncado em algum momento do cálculo da

solução.

Figura 3.5 – Esquema simplificado para o modelo de poço horizontal.

24

É importante observar que:

i) a solução dada é a do modelo de linha fonte, ou seja, o poço tem uma única dimensão;

ii) para poços extensos, onde Ld é muito grande, o termo do somatório na equação (3.38)

tende a zero. Sendo assim, no caso limite, a solução de poço horizontal se reduz a

solução do poço vertical fraturado (o mesmo ocorre para valores muito altos de td;

iii) Com a substituição x = ±L /2 , é possível obter a solução de fluxo uniforme para o

poço produzindo a partir de ambas as extremidades;

iv) Com a substituição xd = 0,732 na equação (3.38), é possível obter uma solução

equivalente a do modelo de condutividade infinita. Observações extraídas da

referência Referência [7].

3.2. Análise Transiente de Testes de Formação em Poços Horizontais

Tal como mencionado na introdução, o objetivo de um teste de formação em um poço

horizontal é a obtenção de parâmetros do reservatório, tais como: permeabilidade horizontal e

vertical, índice de produtividade, pressão estática, identificação de possíveis limites do

reservatório, entre outros. Dentre as incertezas do modelo teórico, há de ser considerado que o

comprimento horizontal do poço que efetivamente produz pode não corresponder ao comprimento

perfurado e completado, e também que a trajetória do poço nunca é perfeitamente horizontal. Além

de todas essas observações, o modelo ainda recebe simplificações para considerar os efeitos do

fluxo semi-esférico que ocorre nas terminações do poço horizontal (conhecidos como end effects).

Submetido o poço a uma taxa de produção especificada (vazão controlada) e, conhecendo a

perturbação imposta e a resposta de pressão do poço, é possível determinar os parâmetros do

modelo teórico que melhor se ajustam aos dados observados.

Com a assinatura da derivada de pressão no poço horizontal plotada contra o tempo num

gráfico log-log (gráfico de diagnóstico), é possível identificar os regimes de fluxo que ocorrem

durante um período de fluxo, como demonstra a Figura 3.6.

25

Figura 3.6 – Identificação dos regimes de fluxo para um poço horizontal através do gráfico de

diagnóstico.

Na etapa seguinte, os regimes de fluxo são analisados de forma isolada através de gráficos

especializados para determinar parâmetros do modelo, como mostrado a seguir:

No período do regime de fluxo denominado radial inicial (que também pode ser entendido

como fluxo radial vertical, ver esquema da Figura 3.7) a solução analítica adimensionalizada para

a queda de pressão no poço (modelo de condutividade infinita, Referência [8]) é dada por:

PDL =2πkLw∆p

qµ=

1

2ln

4tD

γ+ SD (3.39)

Figura 3.7 – Esquema simplificado para o modelo de fluxo do período radial inicial.

26

Num gráfico de Dp contra

€

ln tD, conhecida a inclinação da reta e os valores da vazão q e da

viscosidade µ, é possível estimar o produto

€

kL (seja

€

k = kvkh ). O valor de SD, refere-se à parcela

de dano do poço.

No segundo regime de fluxo observado, denominado linear inicial (ver esquema da Figura

3.8) a solução analítica adimensionalizada para a queda de pressão no poço (modelo de

condutividade infinita, Referência [5) é dada por:

PDL

A1/ 2 = 2 πtD +ST

A1/ 2 (3.40)

sendo A, a razão de anisotropia definida por:

A =kv

kh

(3.41)

Figura 3.8 – Esquema simplificado para o modelo de fluxo do período de fluxo linear.

27

Num gráfico de Dp contra Dt , conhecida a inclinação da reta e a espessura média do

reservatório, é possível estimar o valor da permeabilidade média areal, kh. O valor de ST , refere-

se a parcela de dano do poço acrescida de efeitos de compensação do modelo. De modo

simplificado, fica assim determinada a interpretação de parâmetros do reservatório para a análise

de dados transientes de pressão num modelo de poço horizontal. A partir do conhecimento das

permeabilidades médias horizontal e vertical (kh e kv) e do comprimento do poço que efetivamente

produz Lw, é possível gerar estimativas de produtividade de longos tempos para o reservatório de

interesse.

Finalmente, os parâmetros de reservatório e poço podem ser obtidos através processo de

ajuste das pressões do modelo teórico com os dados de pressão observados através de um

registrador de pressão instalado no fundo do poço.

28

29

4. FUNDAMENTOS TEÓRICOS SOBRE O MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

O método dos elementos finitos é uma técnica numérica para resolver problemas de valor de

contorno. A técnica consiste na divisão do domínio em um número finito de elementos (os quais

chamamos de elementos finitos) e na utilização de funções apropriadas para construir uma

aproximação da solução real sobre esses elementos, utilizando conceitos variacionais. Uma análise

por elementos finitos requer as seguintes etapas:

i) construção de uma formulação variacional para o problema;

ii) definição da geometria da malha, ou seja, de como será a divisão do domínio em

elementos discretos;

iii) escolha do espaço de aproximação (para que se defina a ordem polinomial das

funções de aproximação);

iv) aplicação do método de Galerkin para o espaço de funções adotado;

v) resolução do sistema algébrico gerado pelo equacionamento da formulação;

vi) análise dos resultados e cálculo das estimativas de erro.

4.1. Formulação Variacional

A construção de uma formulação variacional é a ferramenta básica para uma análise por

elementos finitos. Um exemplo hipotético pode ser adotado para demonstrar o conceito, como o

caso do problema descrito pela equação diferencial que segue:

u" x( ) = F x( ), x ∈ (0,10)

u(0) = u(10) = 0(4.1)

Multiplicando-se ambos os lados da equação por uma função teste, aqui especificada como

v(x), e integrando-os sobre o domínio Ω = (0,10), obtém-se a forma:

30

( ) ( ) ( ) ( )dxxvxFdxxvxu Ω

Ω=" ∀v x( ), (4.2)

E integrando por partes, obtém-se a formulação variacional do problema: encontrar u(x) tal

que

( ) ( ) ( ) ( )dxxvxFdxxvxu Ω

Ω='' ∀v x( ), (4.3)

uma vez que a integral no contorno é nula de acordo com as condições de contorno especificadas.

As premissas são válidas desde que u(x) e v(x) sejam pertencentes ao espaço de funções

admissíveis

H01 Ω( ) = v |v e v' ∈ L2 Ω( ), v 0( ) = v 10( ) = 0 . (4.4)

4.2. Aproximação de Galerkin

Na aproximação de Galerkin, as soluções aproximadas são definidas por:

u x( ) = α jϕ j x( )j =1

N

, (4.5)

em sub-espaços V ⊂ H01 Ω( ) de dimensão finita N. As funções teste v(x) aão formadas pela

combinação linear das funções de base v(x) = ϕi x( ). Substituindo essa definição em 4.2, obtém-

se que:

( ) ( ) ( ) ( )dxxxFdxxxN

j

ij

N

j

ij = Ω= Ω

=′′11

ϕϕϕα . (4.6)

O sistema de equações descrito em 4.6 pode ser escrito matricialmente como:

K[ ]⋅ α = F . (4.7)

31

Seja K = K ij[ ] denominada matriz de rigidez, definida por:

( ) ( ) Ω

′′= dxxxK jiij ϕϕ , (4.8)

seja α = α1,α2,...,αN[ ]T

a solução do sistema de equações e F = F1,F2,...,FN[ ]o vetor de

cargas, cujos elementos são definidos por:

( ) ( ) Ω

= dxxxFF ii ϕ , (4.9)

A solução " α " do sistema de equações 4.7 constituirá a aproximação da solução real do

problema definido em 4.2 que é dada por:

u x( ) = α jϕ j x( )j =1

N

. (4.10)

As funções ϕi x( )recebem o nome de funções de base e são escolhidas de modo a produzir

os espaços de interpolação, como funções linearmente independentes. Um conjunto de funções

ϕi x( ),ϕ2 x( ),...,ϕN x( ) é linearmente independente em um intervalo definido (a,b) se a equação:

c1ϕi x( )+ c2ϕ2 x( )+ ...+ cNϕN x( ) = 0,

4.3. Funções de Base

As funções de base são construídas de modo que sejam capazes de produzir espaços de

interpolação, com funções linearmente independentes. Um conjunto de funções base lineares para

o exemplo descrito em 4.1 pode ser visto na Figura 4.1.

32

Figura 4.1 –Funções de base lineares.

As funções de base estão associadas aos nós do domínio. Na Figura 4.1, são nós:

€

x = 0, x =1, x = 2,...x =10. Os nós das extremidades não tem funções associadas, pois o espaço de

funções adotado é o espaço ( ) ( ) ( ) ( ) 0100,'| 210 ==Ω∈=Ω vvLvevvH e as funções devem

valer zero em

€

x = 0 e

€

x =10. A função associada a um nó "n" deve ter valor unitário no próprio nó

e deve ter valor zero nos demais nós do domínio.

Quanto maior a ordem polinomial das funções de base, melhor será a aproximação da solução

real do problema. A seqüência de figuras a seguir (Figuras 4.2, 4.3 e 4.4) ilustra o quanto se pode

melhorar a representação da função "

€

f x( ) = sen πx( )" utilizando funções de base de diferentes

ordens polinomiais.

33

Figura 4.2 –Aproximação da função f x( ) = sen πx( ) por funções de base lineares.

Figura 4.3 –Aproximação da função f x( ) = sen πx( ) por funções de base polinomiais de grau 2.

34

Figura 4.4 –Aproximação da função f x( ) = sen πx( ) por funções de base polinomiais de grau 3.

4.4. Particionamento do Domínio

No método dos elementos finitos, o domínio é dividido em elementos Ω e (que chamamos de

elementos finitos). As funções de base lineares da Figura 4.1 são construídas pela soma das funções

sobre elementos, como pode ser observado na Figura 4.5.

( ) ( ) ( ) ( )dxxvxudxxvxuNelem

ie

′′=′′ = ΩΩ 1

, (4.11)

onde Nelem é o número de elementos do domínio. Assim, a aproximação de Galerkin fica

estabelecida da seguinte forma:

35

Figura 4.5 –Exemplo de particionamento do domínio e composição das funções de base.

Como os valores das funções são nulos em todo o domínio, exceto nos elementos aos quais

as funções estão associadas, a integral de cada função sobre o domínio pode ser substituída pela

integral das funções sobre os elementos:

( ) ( ) ( ) ( ) = = Ω= = = Ω

=′′N

i

Nelem

e

i

N

i

N

j

j

Nelem

e

ij dxxxFdxxx

ee1 11 1 1

ϕϕϕα . (4.12)

4.5. Construção do Sistema de Equações

A aproximação de Galerkin, descrita em 4.12, pode ser escrita sob a forma matricial. A

matriz de rigidez global é construída a partir das matrizes de rigidez locais dos elementos.

Sejam K ij

e e Fi

e

( ) ( )dxxxK jij

e

ij

e

′′= Ω

ϕϕα .

( ) ( )dxxxFF

e

i

e

i Ω

= ϕ (4.13)

a matriz de rigidez e o vetor de carga locais de um elemento e. Observando novamente a

Figura 4.1, fica sugerida a divisão do domínio em 10 elementos Ω1 = 0,1( ) , Ω2 = 1,2( ) , ...,

Ω10 = 9,10( ). Vide Figura 4.6.

36

Figura 4.6 –Repetição das funções de base lineares.

O elemento 1 possui uma única função, a qual compõe, em conjunto com o elemento 2, a

função de base

€

ϕ1. O elemento 2, por sua vez, possui funções pertencentes às funções de base

€

ϕ1 e

€

ϕ2, assim como a seqüência até chegar no décimo elemento. A indexação entre as funções dos

elementos e as funções de base associadas é muito importante para a construção da matriz de

rigidez e do vetor de cargas do sistema. As matrizes de rigidez locais dos elementos são dadas por:

K1 =K1,1

1 0

0 0

,

K2 =

K1,12

K1,22

K2,12

K2,22

,

...,

K10 =0 0

0 K2,210

.

Onde

€

K = K1 + K 2 + ...+ K10.

37

K =

K1,11 + K1,1

2 K1,22 0 0 0 0 0 0 0

K2,12 K2,2

2 + K1,13 K1,2

3 0 0 0 0 0 0

0 K2,13 K2,2

3 + K1,14 K1,2

4 0 0 0 0 0

0 0 K2,14 K2,2

4 + K1,15 ... 0 0 0 0

0 0 0 ... ... ... 0 0 0

0 0 0 0 ... ... ... 0 0

0 0 0 0 0 ... ... ... 0

0 0 0 0 0 0 ... ... K1,29

0 0 0 0 0 0 0 K2,19 K2,2

9 + K2,210

,

K =

F11 + F1

2

F12 + F1

3

F13 + F1

4

...

...

...

...

...

F19 + F1

10

e a solução do sistema linear K[ ]⋅ α = F , leva à aproximação da solução:

u x( ) = α iϕi x( )i=1

9

.

4.6. Estimativas de Erro

O método dos elementos finitos busca uma aproximação para a solução verdadeira procurada,

dentro do subespaço de funções VH escolhido. Caso o subespaço escolhido VH não seja adequado,

a função de aproximação não terá precisão satisfatória para representar a solução real. Neste caso,

uma análise para verificar o erro associado é necessária. De uma forma geral, o erro pode ser

calculado obedecendo a relação simples definida por:

38

e x( ) = u x( )− uh x( ).

onde u x( ) é a solução exata e uh x( ) é a solução aproximada. As principais normas

utilizadas nos estudos de estimativas de erro são:

i) norma de energia - E Ω( ):

eB

2= B u − uh ,u − uh( ),

onde B representa uma forma bilinear;

ii) norma L2 Ω( ):

eL2

2= u − uh

Ω

2dx ;

iii) semi-norma H1 Ω( ):

eH 1

2= ∇u − ∇uh

Ω

2dx ;

iv) norma H1 Ω( ):

eH

1

2= e

L2

2+ e

H1

2;

v) norma L∞ Ω( ):

eL∞ = supx∈Ω u(x) − uh (x) .

Utilizando uma norma e conhecendo-se o resultado analítico do problema em questão, o

cálculo do erro estaria simplificado. Como nem sempre é possível obter solução analítica para um

problema solucionado por método numérico, utilizam-se conceitos onde o erro da aproximação

pode ser estimado.

39

5. APLICAÇÃO DO MEF AO PROBLEMA DE INTERESSE

Este capítulo tem o objetivo detalhar a aplicação da técnica de elementos finitos ao problema

de interesse, a equação da difusividade hidráulica, sujeita às condições de contorno especificadas

no capítulo 3 para o caso de regime transiente (reservatório infinito). A formulação variacional

para o problema foi desenvolvida e está apresentada nas equações que seguem, assim como a

discretização do problema para elementos finitos.

O objetivo é chegar na estrutura do sistema de equações, descrevendo a construção da matriz

de rigidez, da matriz de massa, do vetor de cargas e a imposição das condições de contorno para a

solução do problema.

A equação da diferencial para o problema é dada por:

( )t

pcKdiv t ∂

∂φµ=Φ∇ . (5.1)

Multiplicando ambos os lados da equação 5.1 pelas funções teste e integrando a equação

diferencial, tem-se que:

( )[ ] ΩΩ

Ω=ΩΦ∇ dt

pcdKdiv itI ϕ

∂

∂φµϕ (5.2)

e, integrando por partes, obtém-se a forma fraca para o problema:

( ) ( ) =Ω∇⋅Φ∇−⋅Φ∇ ΩΩ

dKdsnK II ϕϕ∂

Ω

Ωdt

pc it ϕ

∂

∂φµ (5.3)

Seja τ um tempo fixo, mas arbitrário:

( ) ( ) ( )XpXp j

j

j ϕττ =, , onde X = X x,y,z( ), (5.4)

( ) ( ) ( ) ( )( ) +=+=Φj

jj gzXpgzXpX ρϕτρττ ,, , e (5.5)

40

( ) ( ) ( )( ) +∇=Φ∇j

zjj igXpX ρϕττ, (5.6)

Seja o intervalo t n ,t n +1[ ] e trabalhando com o potencial, ao invés da pressão, temos as

definições:

Φn = Φ X,tn( ), e (5.7)

Φn +1 = Φ X,t n +1( ) (5.8)

Discretizando a função incógnita utilizando um método implícito no tempo (utilização de

diferenças finitas para o tempo):

K∇Φn+1ϕI[ ]ds −∂Ω

K∇Φn +1 ∇ϕI( )[ ]dΩΩ

=

φµc t

Φn +1 − Φn

∆t

ϕ

i

dΩΩ

(5.9)

e

[ ] ( )[ ] =∆

Ω∇Φ∇−Φ∇ Ω

+

Ω

+ tdKdsK I

n

I

n ϕϕ∂

11

[ ] [ ]

ΩΦ−ΩΦ ΩΩ

+i

n

ii

n

it ddc ϕϕφµ 1 (5.10)

Tomando as definições:

Φn = Φ j

n

j

ϕ j , e (5.11)

∇Φn = Φ j

n∇j

ϕ j , (5.12)

segue que :

Φ j

n+1 K∇ϕi∇ϕ jdΩΩ

j

∆t + qwϕids

Γw

∆t =

41

=φµc t Φ j

n +1 ϕiϕ jdΩ − Φ j

n ϕiϕ jdΩΩ

Ω

. (5.13)

Lembrando que a parcela da equação que representa as condições de contorno é dada por

(5.14):

qwϕidsΓw

∆t (5.14)

temos que:

=∆

+∆

Ω∇∇Φ

ΓΩ

+ tdsqtdK

w

iw

j

ji

n

j ϕϕϕ1

= φµc t Φ j

n +1 ϕiϕ jdΩ − Φ j

n ϕiϕ jdΩΩ

Ω

j

. (5.15)

Agrupando do lado esquerdo os termos em tn+1, e do lado direito, os termos em tn:

∆t Φ j

n+1 K∇ϕi∇ϕ jdΩΩ

− φµc t Φ j

n +1 ϕiϕ jdΩΩ

j

=

= φµct Φ j

n ϕiϕ jdΩΩ

j

− qwϕidsΓw

∆t , (5.16)

=Φ

Ω−

Ω∇∇∆ +

ΩΩ

1n

j

j

jitji dcdKt ϕϕφµϕϕ

= tdsqdc

w

iw

n

j

j

jit ∆

−Φ

Ω

ΓΩ

ϕϕϕφµ , (5.17)

Resulta num sistema simples do tipo:

KΦ j

n +1 = MΦ j

n + f (5.18)

Os elementos da matriz de rigidez K são calculados uma única vez.

42

kij = ∆t K∇ϕi∇ϕ jdΩΩ

− φµc t ϕiϕ jdΩ

Ω

(5.19)

Pela forma matemática em que o problema ficou estabelecido, o lado direito fica definido

como a multiplicação da matriz de massa M pela solução do problema no tempo anterior, Φn , mais

a parcela de contribuição das condições de contorno f bc

bc

n

iw

n

j

j

jiti fMtdsqdcf

w

+Φ=∆

−+Φ

Ω=

ΓΩ

ϕϕϕφµ , (5.20)

A matriz de massa M reflete o termo de acumulação, que atualiza o vetor de cargas para o

passo seguinte, sem que haja necessidade de modificar a matriz do sistema K. Observe que a

condição de contorno não se modifica com o tempo.

= M ij = φµct ϕiϕ jdΩΩ

j

. (5.21)

O problema plano em coordenadas polares para o poço vertical, pode ser observado como

um problema unidimensional, dada sua condição de axissimetricidade. Essa implementação foi

feita com o software Mathematica assumindo x = r para θ = 0o e substituindo o diferencial dx pelo

jacobiano da tranformação de coordenadas (J = r) multiplicado pelo diferencial dr. O código está

disponível no seguinte endereço eletrônico:

http://www.labmec.org.br/_papers/ACTiago/PaperQualificacao/CodigoArtQualif.zip

A Figura 5.1 a seguir mostra o resultado obtido para o modelo didático simplificado e a

solução analítica para um poço vertical.

43

Figura 5.1 –Gráfico de pressão (kgf/cm2) ao longo do reservatório (distância radial do poço, dada

em m) para um tempo de produção fixado em 1 hora. Comparação da resposta do modelo

simplificado com a solução analítica para um poço vertical.

44

45

6. IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

A implementação foi feita no ambiente de programação orientada a objetos PZ, desenvolvido

para a resolução de problemas de valor de contorno através do MEF, sejam problemas

unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais. O PZ é um código livre, disponível para a

comunidade científica através do endereço http://labmec.fec.unicamp.br/pz/download. O ambiente

PZ é um conjunto de classes em linguagem C++, constituido de módulos bem diferenciados, cada

qual com funções específicas, que quando combinados adquirem as funcionalidades necessárias

para a implementação de métodos de elementos finitos.

O PZ é desenvolvido usando programação orientada a objetos e portanto tem como um de

seus grandes trunfos a reutilização de códigos (objetos e métodos), pois a maioria das partes de um

código de elementos finitos são muito semelhantes de uma formulação para outra. O ambiente PZ

pode ser entendido como um conjunto de ferramentas cuja única interdependência reside na

utilização de suas classes comuns e utilitárias.

De modo geral as ferramentas do ambiente PZ podem ser classificadas nos seguintes grupos:

- módulo para definição do problema a ser solucionado;

- módulo para definição de geometria do problema;

- módulos para definição de espaço das funções de base;

- módulos utilitários, onde são definidas classes de vetores matriciais e métodos de resolução

de sistemas lineares.

O projeto ProdIndex, implementado no PZ, é um simulador numérico que avalia a interação

entre poço e reservatório cuja versão comercial é chamada de IP3D. O código foi desenvolvido em

sua versão inicial pelo LabMec (Laboratório de Mecânica Computacional, pertencente ao

Departamento de Estruturas da Faculdade de Engenharia Civil da Unicamp), atualmente recebe

manutenções e extensões pela empresa SimWorx e é de propriedade da empresa Petrobras S.A.. A

modificação principal realizada no código foi a implementaçao da solução transiente (problema

parabólico), dado que a versão disponível só contemplava a solução para o regime de fluxo

permanente (problema elíptico).

A resolução de problemas que envolvem a dinâmica de fluidos, dentre outros que envolvem

a resolução de sistemas de equações de grande porte, sempre foi dificultada devido a dois motivos

46

principais: capacidade de hardware e contabilidade numérica de processamento. Uma das formas

eficazes de contornar esses pontos é a subestruturação do problema, ou divisão do seu domínio em

problemas de menor porte. Quando levada em consideração a utilização de processamento paralelo,

a subestruturação torna-se, nos problemas de grande porte, ainda mais interessante, pois, além de

reduzir o tamanho do problema, cada subdomínio pode ser analisado segundo uma abordagem

própria em um processo independente. A implementação da subestruturação no PZ possibilita a

resolução de submalhas através da utilização de processamento paralelo e permite o aumento da

flexibilidade para a análise, podendo cada sub-malha ter um método de análise distinto. Para a

análise de poços horizontais, a redução no custo computacional foi bastante significativa com a

utilização da técnica sem o comprometimento das respostas obtidas.

47

7. ANÁLISE DOS RESULTADOS

7.1. Poço Vertical

Para o poço vertical centralizado num reservatório cilíndrico (problema unidimensional

quando observado sob coordenadas cilíndricas, desprezado o efeito das forças de gravidade), foi

obtido um resultado muito próximo do resultado exato. A simetria do problema simplifica a solução

que consegue ser fielmente representada pela formulação do MEF. Os parâmetros utilizados no

exemplo estão listados no quadro abaixo.

Tabela 7.1 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço vertical.

pi = 200 kgf /cm2 ( )Pa300.613.19

rw = 0,108 m

q = 864 m3 /d ( )sm /01,0 3

h = 20 m

k = 100 mD ( )286923,9 m

φ = 0,20

µ = 1 cp ( )sPa.001,0

c t = 200 ×10−6 kgf /cm2( )−1

( )191004,2 −−× Pa

A solução analítica, para esta configuração é dada pela equação (3.32), onde estão aplicadas

a condição de contorno do tipo Dirichlet, correspondente a pressão inicial pi, na fronteira do

reservatório e a condição de contorno do tipo Neumann, correspondente à vazão imposta, na

interface do poço com o reservatório.

A comparação gráfica entre a solução analítica e a solução pelo MEF pode ser observada na

Figura 7.1.

48

Figura 7.1 –Gráfico para a pressão no poço (em Pa) versus a tempo de produção (em s).

O erro diferença percentual entre os valores da pressão no poço obtido pelas duas soluções

está apresentada no gráfico que segue na Figura 7.2.

49

Figura 7.2 –Diferença percentual para a pressão no poço entre a solução do programa de

elementos finitos e a solução semi-analítica para poço vertical (caso base).

Em estudos de simulação de reservatórios de petróleo, o maior problema encontrado é a

diferença de escalas entre o reservatório e o poço, onde o reservatório é da ordem de quilômetros

e o diâmetro dos poços é da ordem de centímetros. Para representar corretamente um teste de

formação, torna-se necessário captar os gradientes de pressão na vizinhança dos poços, e isto requer

uma malha suficientemente refinada de modo que a resposta seja calculada com maior precisão. A

utilização de uma malha muito refinada aumenta a complexidade do problema e,

consequentemente, o custo computacional. O modelo utilizado permite a utilização de malhas

adaptativas com refinamento direcional, de modo a conseguir as melhores respostas com o menor

custo. Os detalhes da malha podem ser observados na Figura 7.3.

A convergência da solução pode ser verificada através do cálculo das normas de energia (ou

outra semelhante), onde ficou constatado que o erro diminui à medida que se aumenta o grau de

refinamento.

50

É apresentada na Figura 7.4 a comparação entre a solução pelo MEF e a solução analítica

para o gráfico de diagnóstico (log-log) da queda de pressão e sua derivada com relação ao logaritmo

natural do tempo. A derivada foi calculada numericamente a partir da relação descrita na equação

(7.1).

∆ ′ p =∂p

∂ ln t,

∆ ′ p t j( )=∆ ′ p t j +1( )− ∆ ′ p t j( )

lnt j +1

t j

lnt j

t j −1

lnt j +1

t j −1

+∆ ′ p t j( )− ∆ ′ p t j −1( )

lnt j

t j −1

lnt j +1

t j

lnt j +1

t j −1

(7.1)

Figura 7.3 –Detalhe do refinamento direcional da malha aplicado ao poço vertical.

51

Figura 7.4 –Gráfico de diagnóstico onde estão sobrepostas as curvas da queda de pressão e suas

respectivas derivadas para a solução analítica e para a solução do MEF.

7.2. Poço Horizontal

Antes da implementação da solução transiente para o poço horizontal, foram simulados

alguns casos para regime permanente. A expectativa era de validar o Índice de Produtividade (IP)

obtido pelo programa com algumas metodologias propostas na literatura. Este caminho não se

mostrou muito eficiente dadas as variações obtidas (algo em torno de 10%) entre os próprios

métodos teóricos (ver referência [11]).

O caso base utilizado para as análises das respostas de poço horizontal compreende um

reservatório retangular com dimensões suficientemente grandes (2500 m de largura - wr , por 2500

m de comprimento - lr ) para garantir o comportamento transiente aproximado da solução.

52

Tabela 7. 2 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal.

pi = 200 kgf /cm2 ( )Pa300.613.19

rw = 0,108 m

Lw = 500 m

q = 432 m3 /d ( )sm /01,0 3

h = 20 m

kh = 50 mD ( )2934615,4 m

kv = 50 mD ( )2934615,4 m

φ = 0,20

µ = 1 cp ( )sPa.001,0

c t = 200 ×10−6 kgf /cm2( )−1

( )191004,2 −−× Pa

A solução analítica, para esta configuração é dada pela equação (3.34), onde estão aplicadas

a condição de contorno do tipo Dirichlet, correspondente à pressão inicial pi, na fronteira do

reservatório e a condição de contorno do tipo Neumann, correspondente à vazão imposta, na

interface do poço com o reservatório.

A comparação gráfica entre a solução analítica e a solução pelo MEF pode ser observada na

Figura 7.5, lembrando que ambos os modelos consideram a condutividade infinita.

53

Figura 7.5 –Gráfico para a pressão no poço (em kgf/cm2) versus a tempo de produção (em horas).

No caso do poço horizontal, a atenção ao refinamento da malha deve ser dedicada não só à

região da vizinhança do poço, mas também deve ser estendida ao reservatório, principalmente na

região de transição do regime radial inicial para o regime linear. Esta observação ficou constatada

nos testes iniciais onde o reservatório apresentava uma malha grosseira. A diferença fica bem

marcada quando se analisa a curva da derivada no gráfico de diagnóstico comparativo da solução

analítica com a solução numérica.

É a apresentada na Figura 7.6 a comparação entre a solução pelo MEF para o caso base e a

solução analítica para o gráfico de diagnóstico (log-log) da queda de pressão e sua derivada com

relação ao logaritmo natural do tempo.

54

Figura 7.6 –Gráfico de diagnóstico onde estão sobrepostas as curvas da queda de pressão e suas

respectivas derivadas para a solução semi-analítica e para a solução do MEF.

O erro diferença percentual entre os valores da pressão no poço obtido pelas duas soluções

está apresentada no gráfico que segue na Figura 7.7.

55

Figura 7.7 –Diferença percentual para a pressão no poço entre a solução do programa de

elementos finitos e a solução semi-analítica para poço horizontal.

São apresentadas nas Figuras 7.8 e 7.9 as comparações que justificam a atenção que deve ser

dada ao refinamento e à ordem polinomial das funções de aproximação utilizadas. Inicialmente,

foi adotado a ordem polinomial de grau 3 para as funções de aproximação dos elementos que

discretizam o reservatório. A curva em azul do gráfico de "pressão no poço x tempo" da Figura 7.8

indica uma resposta muito ruim ao compará-la com a solução analítica (em verde). Por essa razão,

foi adotado o grau 4 para o caso base de análise.

56

Figura 7.8 –Gráfico da pressão no calcanhar do poço ao longo do tempo: influência da ordem

polinomial nas funções de aproximação e do tamanho dos elementos.

Definida a ordem polinomial das funções de aproximação, ainda foi observada uma

dependência do tamanho dos elementos refinados com relação às dimensões do reservatório para

a estrutura atual do programa de elementos finitos. Quanto maior o reservatório, para um número

de divisões do domínio constante, mais grosseiros são os elementos. Nesse ponto, fica caracterizada

a necessidade de uma análise cautelosa para que o refinamento da malha seja adequado, pois o

reservatório precisa ser suficientemente grande para atender a condição de regime transiente ao

mesmo tempo que o elemento deve ter o menor tamanho possível com o objetivo de garantir o

melhor refinamento. As curvas do gráfico da Figura 7.9 mostram que, à medida que se reduz o

tamanho do elemento, se obtém uma resposta mais próxima da solução teórica. Essa característica

57

fica bem marcada na observação da derivada da queda de pressão com relação ao logaritmo natural

do tempo, quando se passa da curva amarela para a vermelha tentando reproduzir a solução

analítica (verde).

Figura 7.9 –Gráfico de diagnóstico onde estão sobrepostas as curvas da queda de pressão e suas

respectivas derivadas: influência da ordem polinomial nas funções de aproximação e do tamanho

dos elementos.

58

Figura 7.10 –Detalhe do refinamento direcional da malha aplicado ao poço horizontal.

Figura 7.11 –Detalhe do refinamento direcional da malha aplicado a partir do poço horizontal,

em direção ao reservatório.

7.3. Considerações sobre a Discretização do Tempo

A maior preocupação com relação ao tempo, para um modelo numérico que represente um

teste de formação, é a de garantir que a resolução dos dados permita a clara identificação dos

59

regimes de fluxo observados durante o período do teste. A resposta de pressão precisa de um

detalhamento maior nos tempos iniciais, onde as variações no gradiente de pressão são mais

expressivas, requerendo um passo de tempo menor. Nos tempos finais, a pressão tende a estabilizar

e as mudanças no gradiente são mais suaves, permitindo um relaxamento no passo de tempo.

Consideradas estas hipóteses, o ideal seria trabalhar com o passo de tempo ∆t variável.

Variar o ∆t , implicaria em ter de reconstruir a matriz de massa M (ver tópico sobre a formulação

variacional) a cada passo de tempo e geraria um alto custo computacional. Para contornar este

problema, decidiu-se trabalhar com 3 diferentes valores fixos de ∆t e também foi verificado que a

solução final não ficaria comprometida ao trabalhar com a composição de 3 simulações distintas:

uma para tempo curto, uma para o tempo intermediário e outra para o tempo longo. Este resultado

pode ser observado no gráfico da Figura 7.12.

Figura 7.12 –Composição da curva final de "pressão no poço x tempo" a partir das simulações de

tempo curto, tempo médio e tempo longo.

Para o caso base analisado, foi adotado para o tempo curto um ∆t de 0,01 hora por 2 horas,

para o tempo intermediário um ∆t de 0,1 hora por 24 horas e para o tempo longo um ∆t de 1 hora

por 200 horas. As 3 simulações puderam ser rodadas em paralelo e os seus resultados foram

60

superpostos. Trabalhando dessa forma, o tempo total de simulação ficou reduzido de cerca de 2

horas para algo em torno de 14 minutos. Testes realizados com o poço vertical, onde a solução

analítica é conhecida, mostram que não há comprometimento da qualidade da solução numérica do

problema ao trabalhar com a superposição dos efeitos de 3 simulações distintas.

A tarefa de definir o ∆t adequado e o tempo de duração de cada período não foi otimizada

neste trabalho, mas sugere-se adotar um critério de senso prático que contemple a solução de um

cenário pessimista, abrangendo por conseqüência, todos os demais casos.

Adimensionalizar os dados do problema também seria uma boa alternativa para determinar

os parâmetros de tempo adequados (o tema será discutido na próxima seção), se não fosse pela

relação de dependência entre o comprimento do poço e a espessura do reservatório no caso do poço

horizontal. Como exemplo, poderíamos citar o caso de um poço horizontal num reservatório de

alta permeabilidade com pequena espessura. O regime de fluxo radial vertical se desenvolveria

rapidamente até atingir o topo e a base do reservatório, exigindo da simulação um ∆t bem pequeno

para que esse efeito pudesse ser observado no gráfico de diagnóstico (log-log). Essa relação Lw /h

não aparece na adimensionalização do tempo e teria de ser inserida como um critério adicional,

assim como a permeabilidade vertical kv. Por essa razão, torna-se mais fácil trabalhar com critérios

empíricos.

7.4. Adimensionalização dos Parâmetros de Entrada

A observação do problema de forma adimensional facilita não só o trabalho com diferentes

sistemas de unidades, como também permite análises qualitativas dos resultados com maior

propriedade.

Os parâmetros da equação diferencial foram adimensionalizados de forma diferente para o

caso de poço vertical e para o caso de poço horizontal. O formato das equações é mostrado a seguir,

juntamente com as considerações à respeito das modificações na formulação original.

7.4.1 Poço Vertical

Foram tomadas as seguintes definições:

i) Pressão adimensional:

61

pd =p

pi

(7.2)

ii) Tempo adimensional:

td =kH

φµc t rw

2 t (7.3)

iii) Vazão adimensional:

qd =q

qref

= qµrw

k H pi

, onde qref =k Hpi

µrw

(7.4)

iv) Coordenadas cartesianas adimensionais:

xd =x

rw

, yd =y

rw

, zd =z

rw

(7.5)

O problema original é dado por:

tct

pQ φ

∂

∂=∇ , (7.6)

que pode ser desmembrado em:

t

pc

z

pk

y

pk

x

pk tVHH ∂

∂φµ

∂

∂

∂

∂

∂

∂=++

2

2

2

2

2

2

. (7.7)

Calculando a derivada d

d

x

p

∂

∂ 2

pela regra da cadeia:

d

d

d

d

x

x

x

p

p

p

x

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

2

, (7.8)

tem-se que:

62

( )x

p

p

rr

x

p

px

p

i

w

w

id

d

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

=

12

, (7.9)

Derivando novamente com relação a xd:

di

w

d

d

x

x

x

p

p

r

x

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂2

2

2

2

= , (7.10)

Substituindo o valor de dx

x

∂

∂:

2

22

2

2

x

p

p

r

x

p

i

w

d

d

∂

∂

∂

∂

= . (7.11)

Ou ainda:

2

2

22

2

d

d

w

i

x

p

r

p

x

p

∂

∂

∂

∂

= . (7.12)

Analogamente:

2

2

22

2

d

d

w

i

y

p

r

p

y

p

∂

∂

∂

∂

= e

2

2

22

2

d

d

w

i

z

p

r

p

z

p

∂

∂

∂

∂

= . (7.13)

Calculando a derivada d

d

t

p

∂

∂ pela regra da cadeia:

d

d

d

d

t

t

t

p

p

p

t

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂= , (7.14)

Substituindo o valor de dt

t

∂

∂ e

p

pd

∂

∂,

=

H

wt

id

d

k

rc

pt

p

t

p 21 φµ

∂

∂

∂

∂, (7.15)

ou ainda:

63

( )

=

2wt

H

i

d

d

rc

kp

t

p

t

p

φµ∂

∂

∂

∂. (7.16)

Substituindo as definições de (7.12), (7.13) e (7.16) no problema (7.7), tem-se que:

( )

=

+

+

22

2

22

2

22

2

2wt

Hi

d

d

t

d

d

w

i

V

d

d

w

i

H

d

d

w

i

Hrc

kp

t

pc

z

p

r

pk

y

p

r

pk

x

p

r

pk

φµ∂

∂φµ

∂

∂

∂

∂

∂

∂. (7.17)

Dividindo toda a equação por kH

pi

rw

2

, fica:

d

d

d

d

H

V

d

d

d

d

t

p

z

p

k

k

y

p

x

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂=++

2

2

2

2

2

2

. (7.18)

Dessa forma, para a estrutura atual do programa de elementos finitos, basta fazer os

coeficientes da equação diferencial serem unitários, impor a vazão adimensional, e substituir na

matriz de permeabilidades o valor da permeabilidade vertical pela razão de anisotropia kV

kH

.

Para o exemplo utilizado, foram adotados uma relação kV /kH = 1 e uma vazão adimensional

de 0,01 correspondente a q /qref . A curva de "pressão adimensional x tempo adimensional" é

mostrada na Figura 7.13 para a solução numérica comparada à solução analítica.

64

Figura 7.13 –Comparação entre a solução numérica adimensional e a solução analítica para poço

vertical.

A solução analítica plotada no gráfico está dada por:

pd = pdi + qd

1

2E i

1

4td

, onde pdi = 1 e qd = 0,01 (7.19)

O erro diferença percentual entre os valores da pressão adimensional obtido pelas duas

soluções está apresentada no gráfico que segue na Figura 7.14.

65

Figura 7.14 –Diferença percentual para a pressão adimensional entre a solução do programa de

elementos finitos e a solução analítica para poço vertical.

7.4.2 Poço Horizontal

Para o caso do poço horizontal, a adimensionalização fica um pouco diferente, dados os

novos parâmetros a serem considerados.

i) Pressão adimensional:

pd =p

pi

. (7.20)

ii) Tempo adimensional:

td =4kH

φµc t Lw

2 t . (7.21)

iii) Vazão adimensional:

66

qd =q

qref

= qµrw

k H pi

, onde qref =k H pi

µrw

. (7.22)

iv) Coordenadas cartesianas adimensionais:

xd =2x

Lw

, yd =2y

Lw

, zd =z

h. (7.23)

v) O raio adimensional é dado por:

rwd =2rw

Lw

kH

kV

. (7.24)

vi) O comprimento do poço adimensional é dado por:

Ld =2L

h

kV

kH

. (7.25)

O problema original é dado por:

∇Q =∂p

∂tφc t , (7.26)

que pode ser desmembrado em:

t

pc

z

pk

y

pk

x

pk tVHH ∂

∂φµ

∂

∂

∂

∂

∂

∂=++

2

2

2

2

2

2

. (7.27)

Calculando a derivada d

d

x

p

∂

∂ 2

pela regra da cadeia:

d

d

d

d

x

x

x

p

p

p

x

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

2

, (7.28)

tem-se que:

67

x

p

p

LL

x

p

px

p

i

ww

id

d

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

=

22

12

. (7.29)

Derivando novamente com relação a xd:

di

w

d

d

x

x

x

p

p

L

x

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂2

2

2

2

2

= , (7.30)

Substituindo o valor de dx

x

∂

∂:

2

22

2

2

4 x

p

p

L

x

p

i

w

d

d

∂

∂

∂

∂

= . (7.31)

Ou ainda:

2

2

22

2 4

d

d

w

i

x

p

L

p

x

p

∂

∂

∂

∂

= . (7.32)

Analogamente:

2

2

22

2 4

d

d

w

i

y

p

L

p

y

p

∂

∂

∂

∂

= e

2

2

22

2 4

d

d

w

i

z

p

L

p

z

p

∂

∂

∂

∂

= . (7.33)

Calculando a derivada d

d

t

p

∂

∂ pela regra da cadeia:

d

d

d

d

t

t

t

p

p

p

t

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂= , (7.34)

Substituindo o valor de dt

t

∂

∂ e

p

pd

∂

∂,

=

H

wt

id

d

k

Lc

pt

p

t

p

4

1 2φµ

∂

∂

∂

∂, (7.35)

ou ainda:

68

( )

=

2

4

wt

H

i

d

d

Lc

kp

t

p

t

p

φµ∂

∂

∂

∂. (7.36)

Substituindo as definições de (7.12), (7.13) e (7.16) no problema (7.7), tem-se que:

( )

=

+

+

22

2

22

2

22

2

2

444

wt

Hi

d

dt

d

diV

d

d

w

iH

d

d

w

iH

Lc

kp

t

pc

z

p

h

pk

y

p

L

pk

x

p

L

pk

φµ∂

∂φµ

∂

∂

∂

∂

∂

∂. (7.37)

Dividindo toda a equação por kH

4 pi

Lw

2

, fica:

d

d

d

dw

H

V

d

d

d

d

t

p

z

p

h

L

k

k

y

p

x

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂=++

2

2

2

2

2

2

2

2

4. (7.37)

Ou ainda, substituindo a definição de Ld:

d

d

d

d

d

d

d

d

d

t

p

z

pL

y

p

x

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂=++

2

22

2

2

2

2

. (7.39)

Dessa forma, para a estrutura atual do programa de elementos finitos, basta fazer os

coeficientes da equação diferencial serem unitários, impor a vazão adimensional, e substituir na

matriz de permeabilidades o valor da permeabilidade vertical pelo quadrado do comprimento do

poço horizontal adimensionalizado.

O ganho que se esperava da adimensionalização da solução para poço horizontal era o de

fixar o tamanho do passo de tempo necessário e a duração de cada período da simulação, que foram

definidos como: tempo curto, tempo intermediário e tempo longo. A solução adimensional depende

do grupo Ld

2 , que está vinculado a uma relação entre muitos parâmetros ( h , Lw, kV

, k H), não

permitindo a criação de uma "curva-tipo" eficiente para o propósito mencionado.

69

8. APLICAÇÃO PARA POÇOS HORIZONTAIS COM

MÚLTIPLAS FRATURAS

Um dos objetivos mencionados no tópico sobre motivação do trabalho era o de realizar a

simulação contemplando um poço horizontal com múltiplas fraturas e comparar a resposta com um

simulador comercial, mostrando assim o potencial da ferramenta para trabalhar com poços de

geometria complexa. As fraturas são representadas por elementos planos, onde a condutividade é

estabelecida como função de um raio. Dessa forma, torna-se possível variar o tamanho e a

condutividade da fratura inserida. Uma representação esquemática da malha do problema com a

disposição de algumas fraturas é apresentada na Figura 8.1.

Figura 8.1 –Adaptações na malha para a inserção de elementos que representem as fraturas.

A solução para o modelo de condutividade infinita, foi concebida tomando como condição

de contorno a pressão constante ao longo do poço e também nos elementos das fraturas. Como não

existe solução analítica para este problema, optamos por comparar a solução às respostas de um

simulador comercial cuja licença está disponível para fins educacionais na UNICAMP. Trata-se do

programa para análise de testes de formação chamado Saphir desenvolvido pela empresa Kappa

Engineering®.

70

Todas as fraturas inseridas nos modelos simulados têm comprimento x f =15m. Este é um

valor usual para a construção de fraturas ácidas em reservatórios carbonáticos de completação

submarina. Cabe observar, neste ponto, que o tamanho da fratura é bem pequeno em relação ao

comprimento do poço horizontal. Para fraturas maiores, há a necessidade de reavaliar a

representatividade do modelo de condutividade infinita.

Foi tomado como referência o mesmo caso base utilizado para análise de poços horizontais

e, inicialmente, foram adicionadas 3 fraturas transversais dispostas ao longo do poço nas posições

x = 0, x = Lw/2 e x = Lw. Ou seja, duas fraturas nas extremidades e uma no meio do poço. Um

estudo mais adequado de otimização de malha precisava ser realizado para garantir o melhor

refinamento do reservatório simulado, mas o aumento da ordem polinomial das funções de

aproximação dos elementos do reservatório (ordem polinomial 4) compensou as possíveis

deficiências da malha. A comparação entre as duas respostas pode ser observada nas Figuras 8.2 e

8.3.

Figura 8.2 –Comparação entre a solução do programa de elementos finitos e o simulador

comercial para um poço horizontal com 3 fraturas equidistantes: pressão no poço versus tempo.

71

Figura 8.3 –Comparação entre a solução do programa de elementos finitos e o simulador

comercial para um poço horizontal com 3 fraturas eqüidistantes: gráfico de diagnóstico.

A diferença percentual entre os valores da pressão no poço obtidos pelas duas soluções está

apresentada no gráfico que segue na Figura 8.4.

72

Figura 8.4 –Diferença percentual para a pressão no poço entre a solução do programa de

elementos finitos e o simulador comercial para um poço horizontal com 3 fraturas eqüidistantes.

Calibrado o modelo com o caso base, foram realizadas novas simulações variando o número

de fraturas. Dessa forma, torna-se possível realizar uma análise de sensibilidade dos

comportamento de pressão, da assinatura da derivada da queda de pressão com relação ao logaritmo

natural do tempo

∆

t

p

ln∂

∂ e do Índice de Produtividade (IP) para as diferentes configurações

impostas. Os gráficos apresentados a seguir trazem algumas conclusões que poderiam ser extraídas

de um estudo desse tipo.

Simulando e comparando casos de poços horizontais com 3, 5 e 7 fraturas, podemos analisar

num primeiro momento o comportamento de pressão no poço e o do IP ao longo do tempo. Essa

comparação traz a informação imediata do ganho de produtividade que se pode obter com o

aumento do número de fraturas. Observe nas Figuras 8.5 e 8.6.

73

Figura 8.5 –Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: pressão no poço versus tempo. Em vermelho, a

solução para o poço horizontal sem fraturas.

74

Figura 8.6 –Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: IP versus tempo. Em vermelho, a solução para o

poço horizontal sem fraturas.

Outro efeito importante observado nos resultados das simulações foi o do comportamento da

derivada da queda de pressão no gráfico de diagnóstico. A Figura 8.7 mostra que, a partir de um

determinado tempo de produção, o comportamento da derivada é o mesmo independentemente do

número de fraturas da simulação. Esse resultado mostra que a assinatura da derivada para um

determinado número de fraturas fica definida nos tempos iniciais e pode ser usada como um critério

adicional para definir o número de fraturas efetivamente realizadas no poço durante sua construção,

baseando-se nos dados de um teste de formação.

75

Figura 8.7 –Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: gráfico de diagnóstico.

Os casos simulados até aqui trataram a permeabilidade do reservatório como homogêneo

com permeabilidade e anisotropia constante, ou seja, permeabilidade horizontal igual à vertical em

todo o reservatório. O programa de elementos finitos permite que sejam incorporadas

heterogeneidades do reservatório tais como: sistemas de multicamadas com permeabilidades e

pressões diferentes, permitindo uma aproximação mais realista do cenário a ser reproduzido. O

caso seguinte mostra a simulação do efeito esperado quando se reduz a permeabilidade vertical à

10% do valor original. Os gráficos, mostrados nas Figuras 8.8 e 8.9 se mostram com uma leve

diferença em relação aos mostrados para kH = kV. Para notar a diferença, é preciso olhar no

detalhe, como mostram as Figuras 8.10 e 8.11 para o caso de 3 fraturas. Conforme esperado, a

76

queda de pressão aumenta um pouco, quando se reduz a permeabilidade vertical para produzir uma

mesma vazão especificada.

Figura 8.8 –Solução do programa de elementos finitos para um poço horizontal com 3, 5 e 7

fraturas eqüidistantes: pressão no poço versus tempo para o caso

€

kV = 0,1 kH .

77

Figura 8.9 –Solução do programa de elementos finitos para um poço horizontal com 3, 5 e 7

fraturas eqüidistantes: gráfico de diagnóstico para o caso kV = 0,1 kH .

78

Figura 8.10 –Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3 fraturas: pressão no poço versus tempo, com variação da permeabilidade

vertical.

79

Figura 8.11 –Comparação entre as soluções do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3 fraturas: gráfico de diagnóstico, variando-se a permeabilidade vertical.

Um outro resultado interessante a ser extraído da utilização de um programa de elementos

finitos é a obtenção de um perfil de distribuição do fluxo ao longo do poço, dada uma distribuição

de permeabilidades. O exemplo abaixo mostra uma configuração sintética criada para representar

o cenário de um poço horizontal atravessando um reservatório estratificado, com camadas sujeitas

a diferentes características petrofísicas indicadas na tabela da Tabela 8.1. O resultado esperado é

um perfil de fluxo distribuído ao longo do poço horizontal que poderia ser útil nas decisões sobre

as técnicas de completação e estimulação a serem empregadas no poço. O exemplo sintético deste

perfil pode ser visto na Figura 8.12.

80

Tabela 8. 1 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal.

Figura 8.12 –Perfil de fluxo obtido ao longo do tempo para uma solução de vazão constante

imposta.

81

Alterando as propriedades do reservatório para os valores indicados na tabela 8.2 e inserindo

3 fraturas nas posições de permeabilidade mais baixa: em x=80m, x=280m e x=480m, foi obtida a

distribuição apresentada na Figura 8.13. Observe o incremento de produção devido às fraturas em

regiões de baixíssimas permeabilidades.

Tabela 8. 2 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal.

82

Figura 8.13 –Perfil de fluxo obtido ao longo do tempo para uma solução de vazão constante

imposta para o segundo caso.

O perfil de vazão acumulada para o caso 2 é mostrado na Figura 8.14, e a partir dessa

informação é possível calcular e comparar a contribuição de fluxo das fraturas e a contribuição de

fluxo das diferentes camadas que o poço horizontal atravessa, mostrada na tabela 8.3.

83

Figura 8.14 –Perfil de fluxo acumulado após 24 horas de produção.

Tabela 8. 3 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal.

84

85

9. CONCLUSÕES

Conforme mencionado ao longo do texto, uma simulação numérica de fluxo para representar

um teste de formação deve ser capaz de captar com precisão os gradientes da pressão, como função

do tempo. Um maior nível de detalhe é exigido nos tempos iniciais. Isso se deve ao fato de que o

gráfico de diagnóstico, utilizado para identificar os regimes de fluxo investigados durante o teste,

é plotado em escala logarítmica e a distribuição de pontos nos tempos iniciais fica mais esparsa

para um passo de tempo muito grande. A segunda grande preocupação é com a discretização do

domínio, que tem grande influência na qualidade da solução aproximada quando comparada à

solução verdadeira para a equação diferencial e suas condições de contorno.

O Método dos Elementos Finitos mostrou-se uma boa escolha para resolver este tipo de

problema. A flexibilidade para o refinamento da malha, adquirida com a capacidade de refinamento

direcional, permite uma dicretização adequada do domínio na vizinhança do poço, gerando ganho

de tempo durante as simulações computacionais quando comparado ao cenário de utilização de

malhas mais rígidas. E como característica mais importante ainda que a capacidade de

detalhamento otimizado da malha, a possibilidade de aumentar a ordem polinomial das funções de

aproximação traz um ganho significativo para a qualidade das respostas, embora aumente o custo

computacional. Isso pôde ser observado ao longo do trabalho nos casos onde havia solução

analítica para comparação (o erro médio ficou menor que 0,1% para a comparação entre a solução

numérica e a solução analítica).

O efeito dos gradiente de pressão nos tempos iniciais pôde ser capturado com boa precisão.

Para realizar o mesmo trabalho com os simuladores convencionais, é necessário um alto grau de

refinamento da malha estruturada e, ainda assim, não é tarefa simples captar nitidamente os efeitos

da queda de pressão nas proximidades do poço. Essa dificuldade fica acentuada quando se tenta

reproduzir numericamente as curvas da derivada da queda de pressão com relação ao logaritmo

natural do tempo, que são tradicionalmente utilizadas na análise de testes de formação e fazem

parte do gráfico de diagnóstico.

O programa de elementos finitos utilizado mostrou-se capaz de representar corretamente a

solução analítica para o poço vertical e a solução semi-analítica para o caso de poço horizontal. A

partir desses resultados, que foram utilizados como forma de validação da técnica, foi adquirida a

86

confiança para testar a ferramenta para os cenários de geometrias complexas de poço e para

considerar heterogeneidades do reservatório, tais como variações de permeabilidade horizontal e

vertical.

Como formas de explorar o potencial de utilização da ferramenta, foram criados alguns

cenários sintéticos buscando situações de problemas reais.

No primeiro caso, foi testada a utilização de um modelo para poço horizontal com múltiplas

fraturas num reservatório homogêneo, e em seguida, foi imposta uma razão de anisotropia

kV = 0,1 kH ao modelo do reservatório. A resposta de pressão para o poço horizontal com três

fraturas transversais equidistantes foi comparada à solução de um simulador numérico comercial,

com uma diferença percentual entre as duas soluções menor que 0,1 %. Um resultado bastante

interessante foi observado com as simulações para poços horizontais com diferentes números de

fraturas transversais: a partir de um determinado tempo de produção, o comportamento da derivada

é o mesmo independentemente do número de fraturas da simulação. Esse resultado mostra que a

assinatura da derivada para um determinado número de fraturas fica definida nos tempos iniciais

(onde as fraturas atuam de forma isolada) e pode ser usada como um critério adicional para definir

o número de fraturas efetivamente realizadas no poço durante sua construção, baseando-se nos

dados de um teste de formação.

No segundo caso, mostra-se que outro resultado interessante a ser extraído da utilização de

um programa de elementos finitos é a obtenção de um perfil de distribuição do fluxo ao longo do

poço, dada uma distribuição de permeabilidades. O exemplo utilizado no trabalho mostra uma

configuração sintética criada para representar o cenário de um poço horizontal atravessando um

reservatório estratificado, com camadas sujeitas a diferentes características petrofísicas. O

resultado obtido foi um perfil de fluxo distribuído ao longo do poço horizontal que poderia ser útil

nas decisões sobre as técnicas de completação e estimulação a serem empregadas no projeto final

do poço.

As respostas de ambos os modelos poderiam ser utilizadas numa análise de dados de pressão

de fundo de poço, cujas soluções analíticas não estão disponíveis para a interpretação dos dados de

forma convencional.

87

10. TRABALHOS FUTUROS

Algumas melhorias ainda precisam ser implementadas no programa de modo a aumentar o

potencial de utilização da ferramenta, tais como: consideração da vazão e do incremento de tempo

como variáveis e a geração de linhas de isopressão que possam mostrar a evolução do raio de

investigação atingido pelo teste. Também deve ser considerada a realização de um estudo dedicado

de otimização da malha geométrica para que se possa reduzir o custo computacional.

A utilização de uma técnica de otimização para ajuste de curvas seria necessária para obter

os parâmetros do modelo que melhor se ajustam aos dados de pressão observados, pois o estágio

atual requer que os parâmetros do modelo numérico sejam ajustados manualmente para que o

modelo seja capaz de representar dados reais observados. As variáveis principais a serem ajustadas

nesse caso são a permeabilidade média do reservatório e a razão de dano, mas uma análise de

sensibilidade poderia mostrar a influência de outros parâmetros tais como: o comprimento efetivo

do poço horizontal, o número de fraturas efetivas, o comprimento dessas fraturas, etc. Agregando

ao modelo informações sobre a perfuração do poço e perfilagens de produção, poderia ser

apresentado um conjunto otimizado de soluções possíveis para o ajuste do modelo numérico aos

dados observados.

88

89

REFERÊNCIAS

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2. REDDY, J.N.; GARTLING, D.K.; "The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid Dynamics". CRC Press, Boca Raton, 1993.

3. ZIENKIENWICZ O. C.; TAYLOR R. L.; "The Finite Element Method", vols. 1 e 2, Ed. McGraw-Hill, 1991.

4. GURTIN, M. E.: "An Introduction to Continuum Mechanics". Academic Press, INC, 1981. Bibliografia LEE, J.; ROLLINS, J. B.; SPIVEY, J. P.: “Pressure Transient Testing”. SPE Textbook Series. 2003. 356 p. Cap. 12.

5. BOURDET, D.: “Well Test Analysis: The Use of Advanced Interpretation Models”. Elsevier Science B. V. 2002. 426 p. Cap. 3.

6. JOSHI, S. D.: “Horizontal Well Technology”. PennWell Publishing Company. 1991. 535 p..

7. ROSA, A. J.; CARVALHO, R. S., XAVIER, J. A. D: “Engenharia de Reservatórios de Petróleo”. Editora Interciência Ltda. 2006. 808 p. Cap. 3. Bibliografia OZKAN, E., RAGHAVAN, R., and JOSHI, S.D.: “Horizontal Well Pressure Analysis” .SPEFE (Dec. 1989) 567; Trans. AIME, 287.

8. BOURDET, D.; AYOUB, J. A.; PIRARD, Y.M.: "Use of Pressure Derivative in Well Test Interpretation". Artigo SPE 12777 apresentado no Encontro Regional da Califórnia, Long Beach, 1984.

9. CHEN, H. Y.; ASSAD, N.: "Horizontal-Well Productivity Equations With Both Uniform-Flux and Uniform-Pressure Wellbore Modes". Artigo SPE 97190 apresentado na Conferência Técnica Anual do SPE, Dallas, 2005.

10. CHENG, Y.; "Pressure Transient Testing and Producttivity Analysis for Horizontal Wells". Tese de Doutorado. Texas A&M University, 2005.

90

11. GRINGARTEN, A. C.; RAMEY, H. J. Jr.; RAGHAVAN, R.: "Unsteady-State Pressure Distributions Created by a Well with Single Infinite-Conductivity Vertical Fracture". Society of Petroleum Engineers Journal, pp. 300-347, Agosto, 1974

12. ROSA, A. J.; CARVALHO, R. S.: "A Mathematical Model for Pressure Evaluationn in an Infinite Conductivity Horizontal Well". SPE Formation Evaluation, pp. 559-566, Dezembro, 1989 Bibliografia LUCCI, P. C. A..; "Descrição Matemática de Geometrias Curvas por Interpolação Tranfinita". Tese de Mestrado. Unicamp, 2009.

91