APLICATIVOS ONDULATÓRIA CARLOS WANDERSON MOURA

INSTITUTO FEDERAL DO MARANHÃO-IFMA

MESTRADO NACIONAL PROFISSIONAL EM ENSINO DE FÍSICA-MNPEF

APLICATIVOS ONDULATÓRIA

CARLOS WANDERSON MOURA

SÃO LUÍS-MA 2020

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INSTITUTO FEDERAL DO MARANHÃO-IFMA MESTRADO NACIONAL PROFISSIONAL EM ENSINO DE FÍSICA-MNPEF

APLICATIVOS ONDULATÓRIA

CARLOS WANDERSON MOURA

Produto Educacional associado à Dissertação de

Mestrado apresentada ao Programa de Pós-

Graduação do Instituto Federal de Educação,

Ciência e Tecnologia do Maranhão no Curso de

Mestrado Profissional em Ensino de Física

(MNPEF), como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Mestre em Ensino de Física.

SÃO LUÍS-MA 2020

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Lista de ilustrações

Figura 1: Página oficial do gnuplot ................................................................................. 3 Figura 2: Pasta gnuplot para windows............................................................................. 4 Figura 3: Ambiente de trabalho do gnuplot ..................................................................... 4 Figura 4: Gráfico de uma função do segundo grau ......................................................... 6 Figura 5: Comandos usados para gerar e configurar a figura 4 ....................................... 7

Figura 6: Tela gráfica mostrando os atributos disponíveis no gnuplot ........................... 8 Figura 7: Gráfico de superfície ........................................................................................ 9 Figura 8:Pasta com os aplicativos do gnuplot e do PowerPoint ................................... 11 Figura 9: Tela principal dos aplicativos ........................................................................ 12 Figura 10: Painel de interação pulso de ondas .............................................................. 13

Figura 11: Aplicativo pulso de ondas ............................................................................ 14 Figura 12: Exemplo de alterações no painel ................................................................. 14 Figura 13: Alterações no painel de interação ................................................................ 15

Figura 14: Painel de interação ondas senoidais ............................................................. 16 Figura 15: Instantâneo do aplicativo ondas senoidais ................................................... 17 Figura 16: Princípio da superposição na formação de ondas estacionárias................... 18

Figura 17: Painel de interação do aplicativo reflexão de pulos ..................................... 19 Figura 18: Instantâneo aplicativo reflexão de pulsos .................................................... 19 Figura 19: Instantâneo com pulsos já refletidos ............................................................ 20

Figura 20:Instantâneo com alterações no painel de interação ....................................... 21 Figura 21: Painel de interação do aplicativo ondas estacionárias ................................. 22

Figura 22: Configuração para o modo harmônico 4 com extremidade fixa .................. 23 Figura 23: Instantâneo de região ventral numa corda com extremidade fixa................ 24

Figura 24: Instantâneo para a frequência fundamental.................................................. 25 Figura 25:Instantâneo de configuração para seis regiões ventrais ................................ 25

Lista de tabelas Tabela 1: Lista de funções matemáticas pré-definidas no gnuplot .................................. 5

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Sumário INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1

GNUPLOT E DOWNLOAD DO MATERIAL ............................................................... 3 Página para download do gnuplot ................................................................................ 3

ALGUMAS ATIVIDADES COM O GNUPLOT ........................................................ 5 COMANDOS E FUNÇÕES BÁSICAS NO GNUPLOT ............................................ 5 PLOTANDO GRÁFICOS SIMPLES .......................................................................... 5

PLOTANDO UMA SUPERFÍCIE .............................................................................. 8 TRABALHANDO COM SCRIPTS ............................................................................. 9

DOWNLOAD DOS APLICATIVOS ............................................................................ 11 APRESENTAÇÃO DOS APLICATIVOS .................................................................... 12

Aplicativo Pulso de ondas ........................................................................................ 12

Aplicativo Ondas Senoidais ..................................................................................... 15

Aplicativo Reflexão de Pulsos .................................................................................. 18 Aplicativo Ondas Estacionárias .............................................................................. 21

PLANO DE ATIVIDADE 1: ......................................................................................... 26 PLANO DE ATIVIDADE 2: ......................................................................................... 29 PLANO DE ATIVIDADE 3: ......................................................................................... 32 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 34

APÊNDICE A - CÓDIGO-FONTE PARA ANÁLISE DA REFLEXÃO DE PULSOS 35 APÊNDICE B - CÓDIGO-FONTE DO PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO PARA

PULSOS DE ONDAS .................................................................................................... 37 APÊNDICE C - CÓDIGO-FONTE PARA O FENÔMENO ONDULATÓRIO ........... 39 APÊNDICE D - CÓDIGO-FONTE DA FORMAÇÃO DE ONDAS

ESTACIONÁRIAS ........................................................................................................ 43

INTRODUÇÃO

Este trabalho objetiva a melhoria na qualidade do ensino e aprendizagem da

disciplina de Física e tem como foco principal a Educação Básica, mas seu conteúdo pode

ser usado em outros níveis de Educação fazendo-se os ajustes ao nível desejado. Dentre

as grandes dificuldades no ensino, uma das maiores é justamente o ensino de Física na

educação básica e portanto a maior parte é dedicada ao ensino médio.

Em sua obra, Informática para o Ensino de Física, Aguiar (2009, p.9) entende que

uma das maiores dificuldades do ensino de Ciências, em particular a Física, é o forte

caráter matemático associado às disciplinas da área. Assim, a disciplina de Física, no

ensino médio em suas três séries, é uma das detentoras da forte resistência, por alunos no

que se refere ao ensino e à aprendizagem. Um problema que se pode verificar é o caráter

empírico da disciplina no sentido de como ela realmente é construída. Aulas se tornam

enfadonhas e alunos e professores acabam se desmotivando em um trabalho que à

princípio deve ser uma construção conjunta. Para os PCN+ (Parâmetros curriculares

Nacionais):

Para que todo o processo de conhecimento possa fazer sentido para os jovens,

é imprescindível que ele seja instaurado por meio de um diálogo constante

entre alunos e professores, mediado pelo conhecimento. E isso somente será

possível se estiverem sendo considerados objetos, coisas e fenômenos que

façam parte do universo vivencial do aluno, seja próximo, como carros,

lâmpadas ou televisões, seja parte de seu imaginário, como viagens espaciais,

naves, estrelas ou o Universo. Assim, devem ser contempladas sempre

estratégias que contribuam para esse diálogo. (BRASIL,2000, p.83)

São muitos os casos onde as aulas são excessivamente teóricas. É necessário

mudar um pouco as mesmas de maneira a introduzir, de maneira sistemática, a Física dos

experimentos, adentrar nos simuladores virtuais, buscar as TICs no dia a dia dessas aulas,

e mostrar o papel fundamental de experimentos e de programas computacionais na

previsão de acontecimentos e fenômenos.

A introdução da modelagem computacional, mesmo que inicialmente, para

estudantes de ensino médio se torna fundamental no despertar do interesse do aluno para

2

a disciplina. A possibilidade da construção de gráficos de funções diversas, elaborar o

movimento retilíneo uniforme, sistemas massa-mola ou mesmo ondas superpostas,

usando o seu smartphone ou computador se torna uma ferramenta fundamental e

poderosa.

Parte grande da resistência, pelo estudante, tem alguns motivos. Um deles é o fato

de que diversas situações explicadas são representadas em um quadro e parecem ser

estáticas, isto é, sem movimento, sem animação. A resolução de problemas e exercícios,

por sua vez, exige muitas vezes situações de movimento e forte visualização. Aliás, a

própria forma de explicar um conteúdo pode exigir a visualização do que está

acontecendo. Sendo assim, foca-se no produto educacional dois fatores importantes: a

visualização de situações em Física nas quais é necessário um forte aparato visual para

que os estudantes entendam com maior facilidade aquilo que se quer ensinar e a interação

do estudante com o produto.

Os computadores, através de seus programas, e suas diversas formas de

apresentação de mídia e também da própria construção das mesmas, passam a ter forte

importância no ambiente educacional.

Nesse sentido é necessário frisar que:

[...]dentre as várias formas em que o computador vem sendo (sub)utilizado nas

práticas de ensino, a modelagem computacional seja a que melhor permita a

interação dos estudantes com o processo de construção e análise do

conhecimento científico, permitindo que compreendam melhor os modelos

físicos e discutam o contexto de validade dos mesmos. (ARAUJO;VEIT;

MOREIRA, 2004)

Assim, trabalharemos com Gnuplot que é um programa no qual os próprios

estudantes, se bem orientados, podem montar suas próprias situações (Físicas,

matemáticas) e a partir daí fazer as modificações de parâmetros que desejarem. No

sentido de modificar apenas parâmetros, existe na rede, o PHET, o MODELUS, no

entanto eles não estão disponíveis para a construção em si. Aprende-se muito mais quando

se constrói. Foram construídos alguns aplicativos. Esses aplicativos visam à melhoria de

se ensinar Física buscando-se inovar a maneira de como essa disciplina vem sendo

ministrada. Essa inovação não é de qualquer forma: ela perpassa o caminho da interação

aluno/produto educacional e isso deve ser fator fundamental no resultado esperado.

3

GNUPLOT E DOWNLOAD DO MATERIAL

Página para download do gnuplot

A página oficial do gnuplot é http://www.gnuplot.info/. A versão mais atual do

gnuplot pode ser encontrada diretamente no link:

https://sourceforge.net/projects/gnuplot/files/gnuplot/5.2.8/ .

O Gnuplot é um utilitário gráfico portátil, baseado em linha de comando, para

Linux, OS/2, MS Windows, OSX, VMS e muitas outras plataformas. O código fonte é

protegido por direitos autorais, mas distribuído gratuitamente. Nesse link são encontrados

os instaladores e especificações para o tipo de computador e sistema operacional. Faça o

download do instalador adequado e execute-o. A instalação será feita. É interessante

deixar o ícone do GNUPLOT como um atalho no desktop do computador.

A figura a seguir mostra a página oficial do gnuplot

Figura 1: Página oficial do gnuplot

Fonte: Página oficial do gnuplot

A figura 2 exibe a pasta do aplicativo gnuplot no menu Iniciar do Windows após a sua

instalação.

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Figura 2: Pasta gnuplot para windows

Fonte: O autor, 2019

Para abrir o aplicativo gnuplot, basta clicar sobre o executável gnuplot 5.2

(versão) que se encontra na pasta gnuplot. Ao fazer isso, o aplicativo inicia com a abertura

da janela denominada ambiente de trabalho (ou terminal) do gnuplot. Nesse ambiente de

trabalho, o usuário interage com a inserção de comandos adequados na chamada "linha

de comando", indicada pelo prompt de entrada "gnuplot>" e pressionando a tecla <Enter>

para ativá-los. A figura 3 exibe a janela ambiente de trabalho do gnuplot na plataforma

do Windows.

Figura 3: Ambiente de trabalho do gnuplot


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ALGUMAS ATIVIDADES COM O GNUPLOT

COMANDOS E FUNÇÕES BÁSICAS NO GNUPLOT

Em geral o gnuplot trabalha com a sintaxe de comandos de linguagem de

programação. Isso significa que aquilo que se pede no terminal deverá ser escrito em

termos de comandos prévios. Um exemplo simples é o comando print que tem a função

de imprimir na tela o resultado de operações como soma, substração, multiplicação,

divisão, etc. Sua sintaxe é simples, tipo: print "expressão numérica". Para situações

práticas, listamos algumas funções simples pré-definidas no programa que podem ser

trabalhadas com as respectivas sintaxes, isto é, com as formas que estas funções devem

ser escritas no ambiente de trabalho do gnuplot.

Tabela 1: Lista de funções matemáticas pré-definidas no gnuplot

FUNÇÃO OPERAÇÃO SINTAXE

sqrt raiz quadrada sqrt(x)

sin seno de um ângulo sin(x)

cos cosseno de um ângulo cos(x)

tan tangente de um ângulo tan(x)

exp exponencial exp(x)

abs valor absoluto abs(x)


PLOTANDO GRÁFICOS SIMPLES

Gnuplot é uma ferramenta poderosa para criação de gráficos e superfícies. Alguns

exemplos bastante simples de gráficos e seus respectivos comandos são dados abaixo.

Na figura 4, temos a representação gráfica de uma função do segundo grau cuja

sintaxe de definição no terminal do gnuplot pode ser:

g(x) = x*x + x - 5 ou g(x) = x**2 + x - 5

6

Figura 4: Gráfico de uma função do segundo grau


Para configurar o gráfico anterior, isto é, nomear a figura, colocar uma grade,

deixar uma escala adequada ou mesmo nomear os eixos, da forma que quisermos,

precisamos trabalhar com os comandos de configuração. Esses comandos são ativados

através do comando set. Assim, por exemplo, para atribuirmos um título ao gráfico da

figura 4, usamos a instrução: set title "título da figura"; se a intenção é

definir um nome para o eixo x, a instrução é: set xlabel "EIXO X". Veja que o

comando set é um comando de definição (ou de alteração) de configuração. Sempre que

quisermos atribuir uma característica àquela figura teremos que especificá-la antes de

plotar o gráfico. Para gerar o gráfico acima, utilizamos a sintaxe de uso geral para o

comando plot com dois atributos:

plot g(x) with lines lc 15

Isso significa: plot g(x) com linhas na cor 15 (vermelha).

Ainda com relação à configuração da figura 4, apresentamos todos os comandos

e suas respectivas sintaxes que foram utilizadas no terminal do gnuplot.

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Figura 5: Comandos usados para gerar e configurar a figura 4


Um comando que fornece informações sobre os diferentes atributos disponíveis

para formatação dos gráficos gerados é o comando test. Ativando esse comando no

terminal do gnuplot, você terá como resultado uma nova janela que apresenta os

diferentes formatos de pontos e de linhas, cores e espessuras que podem ser utilizados na

formatação dos traçados dos gráficos.

Além desses atributos de plotagem dos gráficos, existem também informações

sobre posicionamento de rótulos, estilo de fontes, formas e superfície de objetos. A figura

6, apresenta a tela gráfica como resultado do comando test em ação, após ser ativado

no terminal do gnuplot.

Para maiores informações sobre o uso dos diferentes atributos de plotagem dos

gráficos, recomendamos a referência que acompanha o programa e que se encontra na

pasta de instalação do gnuplot de nome "gnuplot Documentation" ou a referência de

Maurício Galo (GALO, 2017) como um excelente material introdutório.

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Figura 6: Tela gráfica mostrando os atributos disponíveis no gnuplot


PLOTANDO UMA SUPERFÍCIE

Da mesma forma que se pode construir gráficos simples no gnuplot também é

possível plotar gráficos mais complexos. Uma superfície, por exemplo, pode ser gerada

facilmente interagindo com o terminal do gnuplot. No entanto, temos que usar o comando

splot com características de sintaxe muito semelhante a do comando plot, com a

diferença que este comando splot se refere à plotagem de superfícies e curvas no

espaço. Um exemplo bastante simples de uso do comando splot, pode ser obtido com

a definição da função g(x,y)=x**2+y**2, e a visualização da superfície com a

ativação da instrução splot f(x,y) no terminal do gnuplot.

Na figura seguinte temos o gráfico dessa superfície gerada pela instrução acima.

É importante perceber que se pode personalizar o gráfico de maneira semelhante ao que

é feito para o comando plot, isto é, nomear os eixos, alterar o intervalo das escalas,

definir títulos dos gráficos, posicionar rótulos dos traçados, exibir grade.

Com relação às opções de formato de representação, tipos de entidades pontuais,

de cores, larguras, etc, não há diferença alguma dos atributos usados no comando plot.

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Figura 7: Gráfico de superfície


TRABALHANDO COM SCRIPTS

Existem algumas maneiras de se interagir com o gnuplot. Três são citadas por (GALO,

2017) e são:

1- A interação por meio de comandos no ambiente de trabalho. Isso ocorre na

maior parte das linguagens de programação numérica: Matlab, Maple, Scilab, etc.

2 - Interação por meio de arquivos - script, que são programas escritos na

linguagem do gnuplot, os quais podem, posteriormente, ser carregados e executados por

meio do comando load. O carregamento no terminal do gnuplot, é feito através da

sintaxe de ativação: load "nome do arquivo-script".

3 - E, por último, existe a possibilidade de interação com outros programas de

programação computacional. Nesse caso, a interação com o gnuplot não ocorre

diretamente com o usuário porque o último programa desempenha o papel de criar e

executar arquivos-script do gnuplot.

Para interagir com o gnuplot por meio de arquivos-scripts é preciso que todos os

comandos armazenados no arquivo sejam válidos no ambiente do gnuplot. Assim, um

10

arquivo-script do gnuplot é um programa que guarda instruções válidas que geraria um

determinado gráfico. Estes arquivos podem ser criados em qualquer editor de texto puro

como o Gedit no caso do Linux, ou o Bloco de Notas do Windows. Para o carregamento

e execução do arquivo-script no gnuplot, usamos o comando load. Vale salientar que o

arquivo-script deve ser salvo no diretório corrente do gnuplot.

Quando criados em plataformas do Windows, é importante destacar que os script

podem ser salvos na extensão *.plt, que o torna em um arquivo executável do

aplicativo gnuplot podendo ser utilizado em qualquer diretório do sistema operacional do

Windows. Nessa extensão, um clique duplo no script executável é o suficiente para sua

execução.

O texto de um pequeno script é dado abaixo. O script produz o gráfico de uma

função do primeiro grau. Se o arquivo for salvo com extensão *.plt, será produzido um

arquivo identificado como sendo lido pelo gnuplot.

________________________________________________________________

reset

set xrange[-2:10]

set xlabel "Eixo - x"

set ylabel "Eixo - y"

set grid

set title "Função Linear

f(x) = 2*x + 5

plot f(x) linecolor rgb "red" linewidth

________________________________________________________________

Em ambientes de ensino, arquivos-script como este podem ser utilizado

facilmente em atividades do tipo exploratória ou de construção, uma vez que, para a sua

preparação um conhecimento básico sobre noções de programação é o suficiente.

11

DOWNLOAD DOS APLICATIVOS

Este produto educacional, desenvolvido no Polo 63 do MNPEF DEFIS/IFMA-Monte

Castelo, trata-se de um módulo didático constituído por quatro aplicativos

computacionais que pode ser utilizado como material instrucional potencialmente

significativo no processo de ensino e aprendizagem de Física. O download desse material

encontra-se zipado no link "Aplicativos do Gnuplot" localizado na página do programa

do MNPEF do polo 63 (está em construção!).

Faça a extração dos arquivos para uma pasta no desktop.

São 5 arquivos: quatro arquivos-scripts do gnuplot salvos no formato *plt e um arquivo

do PowerPoint que servirá de interface dos aplicativos do gnuplot.

À medida que um aplicativo é aberto através do arquivo slide do PowerPoint será criado

um outro arquivo (de prefixo Inic_ para cada aplicativo) dentro da pasta, de modo que

teremos um total de 8 (oito) arquivos do gnuplot nessa pasta, após a ativação de todos os

aplicativos. A figura abaixo exibe essa pasta no desktop com todos esses arquivos do

gnuplot e com o arquivo do PowerPoint.

Figura 8:Pasta com os aplicativos do gnuplot e do PowerPoint


Esses aplicativos tem por objetivo facilitar a construção do conhecimento por

meio da visualização do fenômeno físico com o auxílio de uma interface simples e

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interativa, podendo ser utilizado por professores e alunos do ensino médio. O tema de

Física escolhido é o de Ondas, de modo que os quatros aplicativos visam ajudar de

maneira significativa nas conceituações matemáticas e na visualização de fenômenos

associados a ondas.

APRESENTAÇÃO DOS APLICATIVOS

Com um clique duplo sobre o arquivo Slide do PowerPoint, abre-se o painel

principal. O mesmo apresenta-se como na figura abaixo:

Figura 9: Tela principal dos aplicativos


Aplicativo Pulso de ondas

A tela principal é bastante intuitiva. Nela, localizam-se quatro botões de comando.

Esses botões de comando são os que abrem cada um dos aplicativos. O primeiro

aplicativo, pulso de ondas, é aberto com um clique único. A imagem seguinte mostra o

painel de interação para esse aplicativo.

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Figura 10: Painel de interação pulso de ondas


As seguintes informações são dadas no painel de interação:

O sentido de propagação da onda é dado pelo tipo de função F(x-vt) ou G(x+vt)

Amplitudes dos pulsos de onda;

Velocidades dos pulsos de onda;

Tipos de pulso:

a. Gaussiano;

b. Retangular ;

c. Triangular;

Pulso invertido;

Iniciar simulação.

Clicando-se no botão Iniciar Simulação no painel de interação do aplicativo, temos como

resultado uma janela do aplicativo gnuplot com a simulação de dois pulsos progressivos

que se interferem de forma construtiva ou destrutiva, dependendo das características dos

pulsos individuais. A região de interferência entre os pulsos depende da velocidade de

propagação dos mesmos. A figura abaixo mostra um instantâneo da simulação de dois

pulsos progressivos do tipo gaussiano que se interferem de forma construtiva.

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Figura 11: Aplicativo pulso de ondas


Diversas alterações podem ser feitas pelos estudantes no painel de interação. A figura a

seguir mostra as seguintes modificações e sua visualização:

Figura 12: Exemplo de alterações no painel


15

Alterações para pulsos 1 e 2, respectivamente

Amplitude: sem mudança;

Velocidades 15 m/s e 10 m/s;

Tipo de pulso: triangular e invertido; Gaussiano e sem inversão;

Figura 13: Alterações no painel de interação


Esse aplicativo conta com algumas teclas de atalho dinâmicas. Essas teclas podem ser

acionadas à medida que a animação avança. As teclas são:

p - para pausar;

g - para mostrar a grade;

r - para inverter o primeiro pulso;

i - para inverter o segundo pulso;

a - para avançar os pulsos na sua propagação;

v - para voltar os pulsos de sua propagação.

Aplicativo Ondas Senoidais

Esse aplicativo exemplifica o fenômeno de superposição de ondas: interferência

construtiva e destrutiva. Tem forte poder de visualização e mostra-se de fácil interação.

16

Para abrirmos esse aplicativo, basta um simples clique sobre o botão de comando

"Aplicativo - Ondas Senoidais" no slide do PowerPoint. A interação usuário-aplicativo

inicia-se com a inserção de parâmetros na tela (ou painel) de interação do aplicativo,

representada pela figura abaixo.

Figura 14: Painel de interação ondas senoidais


As seguintes informações são dadas no painel de interação:

Comprimento de onda

Frequência

Deslocamento máximo

Constante de fase

Propagação da onda

a. Mesmo sentido

b. Sentidos opostos

Clicando-se no botão Iniciar Simulação desse aplicativo Ondas Senoidais, temos como

resultado uma tela do gnuplot que exibe a propagação de duas ondas e o efeito resultante

de acordo com o princípio de superposição de ondas. A figura seguinte mostra um

instantâneo da simulação, com algumas informações sobre os parâmetros de entrada

fornecidos no painel de interação:

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Figura 15: Instantâneo do aplicativo ondas senoidais


Na figura acima, podemos observar também outras informações sobre o tópico,

tais como: o número de onda angular k, a frequência angular w e a velocidade de

propagação de cada uma das ondas. Na animação encontram-se ainda pontos na onda que

apenas oscilam para cima e para baixo, separados por uma distância igual ao comprimento

de onda da onda que se propaga na cor vermelha e na cor verde. Abaixo, percebe-se a

onda resultante, na cor azul.

O usuário pode testar diferentes valores para parâmetros de entradas disponíveis

no painel de interação do aplicativo, de modo a visualizar diferentes comportamentos:

ondas resultantes do tipo progressivas ou do tipo estacionárias.

Para evitar a ocorrência de entradas de parâmetros inadequados, tipo comprimento

de onda e/ou frequência assumindo valores nulo ou negativo, foi pensado a construção de

caixas de mensagens de erros com sugestões de valores para as grandezas físicas.

Facilitando, assim, a interação do usuário com os aplicativos no intuito de melhorar o

processo de ensino e aprendizagem.

A figura 16, obtida com novos valores para os parâmetros de entrada, exibe o

princípio de superposição na formação de ondas do tipo estacionária.

18

Figura 16: Princípio da superposição na formação de ondas estacionárias


Assim como o aplicativo Pulsos de Ondas, o aplicativo Ondas Senoidais também conta

com teclas de atalho, a saber:

f - para mudar a visualização do efeito resultante;

g - para mostrar a grade;

p - para pausar.

Aplicativo Reflexão de Pulsos

Esse aplicativo apresenta dois pulsos de ondas progressivos e objetiva mostrar um

fenômeno que não é tão intuitivo, isto é, a reflexão de um pulso ou um conjunto de pulsos

(uma onda) quando se encontra um obstáculo. A experiência mostra que existe uma

dependência da forma de como o meio está acoplado na extremidade considerada. Assim,

esse aplicativo simula o fenômeno da reflexão de pulsos de ondas em cordas com

extremidades do tipo livre e também do tipo fixa: o pulso de onda 1 se propaga ao longo

de uma corda de extremidade livre; já o pulso 2 propaga-se numa corda cuja extremidade

é fixa.

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O movimento é do tipo bidimensional. A tela de interação apresenta-se como na

figura seguinte:

Figura 17: Painel de interação do aplicativo reflexão de pulos


Os parâmetros que aparecem são:

Amplitude;

Velocidade;

Tipo de pulso: Invertido

A figura a seguir mostra um instantâneo da configuração dada pela figura 17:

Figura 18: Instantâneo aplicativo reflexão de pulsos


20

A figura abaixo mostra um instantâneo do aplicativo com os pulsos após a reflexão. Nesse

caso cabe observar que o pulso com extremidade fixa sofre inversão de fase enquanto o

pulso onde a extremidade é livre o pulso não sofre tal inversão:

Figura 19: Instantâneo com pulsos já refletidos


Nesse aplicativo temos algumas teclas de atalho dinâmicas que permitem que o

usuário análise situações diferentes durante a visualização dos fenômenos. As teclas de

atalho, são:

r - para inverter o pulso na corda de extremidade livre;

i - para inverter o pulso na corda de extremidade fixa;

g - para mostra uma grade;

p - para pausar a simulação.

Mais algumas alterações que podem ser adotadas no painel de interação do aplicativo

"Reflexão de Pulsos" para os pulsos 1 e 2, respectivamente:

Amplitude: A1 = 2 cm; A2 = 1 cm

Velocidade: V1 = 15 m/s; V2 = 10 m/s

Pulso 1 - Extremidade Livre: Pulso Invertido

Pulso 2 - Extremidade Fixa: Pulso Não-Invertido (Direito)

21

Na reflexão de um pulso cuja corda tem extremidade livre o pulso não muda sua

fase ao encontrar a mesma. Portanto, se o mesmo se propaga com amplitude para cima

ele retornará com amplitude para cima. Se caso essa amplitude propagar-se inicialmente

para baixo, após a reflexão esse pulso também retornará com amplitude para baixo. No

caso do pulso que se propaga numa corda cuja extremidade é fixa o pulso se propagando

inicialmente com amplitude para cima, após a reflexão terá inversão de fase, isto é, o

pulso terá amplitude para baixo. A figura seguinte mostra um instantâneo da simulação

dos pulsos de ondas em conformidade com os parâmetros exemplificados acima no painel

de interação do aplicativo Reflexão de Pulsos:

Figura 20:Instantâneo com alterações no painel de interação


Aplicativo Ondas Estacionárias

O aplicativo ondas estacionárias é um dos aplicativos que pode ser explorado com

bastante intensidade. O aplicativo mostra o que pode acontecer quando pulsos são

confinados em uma corda onde uma das extremidades pode ser livre ou fixa. Com a

reflexão dos pulsos começa-se a perceber alguns padrões. Esse padrões ocorrem por meio

de interferências destrutivas e construtivas.

O aplicativo mostra, em geral, como se pode obter esses padrões e quais são os

fatores (parâmetros) que os determinam. Os parâmetros em questão são mostrados no

painel de interação. Para otimizar os efeitos dos mesmos, alguns atalhos via teclado foram

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criados. Os mesmos são interessantes de serem usados porque durante a animação o

estudante pode fazer a modificação e ver o que acontece a medida em que interage com

o produto educacional. A lista de atalhos será dada mais adiante.

A figura a seguir mostra o painel de interação do aplicativo ondas estacionárias

na sua configuração inicial:

Figura 21: Painel de interação do aplicativo ondas estacionárias


Nesse aplicativo os seguintes parâmetros estão disponíveis:

Tração;

Densidade linear de massa;

Modo harmônico (deve ser um número inteiro);

Extremidade: fixa ou livre.

Veja a figura seguinte a qual mostra um instantâneo da animação na configuração dada

pela figura 21:

23

Figura 22: Configuração para o modo harmônico 4 com extremidade fixa


O padrão de onda estacionária observado na figura acima corresponde ao modo

de padrão harmônico igual a 4, ou 4º harmônico vibracional. É fácil perceber que existem

regiões de interferência máxima, conhecido como ventres, e regiões (ou pontos) onde

ocorrem interferência destrutiva máxima, os quais são chamados de nós. A experiência

mostra que a formação dos chamados padrões harmônicos só ocorrem quando a

frequência fn é um múltiplo inteiro da frequência do chamado modo harmônico

fundamental, f1. Ou seja, padrões de ondas estacionárias só ocorrem quando a frequência

é dada por fn = n*f1.

Nesse aplicativo podemos alterar a velocidade de propagação da onda, no meio,

alterando-se a densidade, a tração ou os dois simultaneamente. Isso porque a velocidade,

nesse caso, obedece à relação matemática: 𝑣 = √𝜏

µ , onde 𝜏 representa a tração na corda

e µ a densidade linear de massa da corda.

Como exemplo façamos as seguintes alterações:

Tração = 25 N;

Densidade linear de massa = 0,01kg/m;

Modo harmônico = 4

24

Extremidade = fixa

A partir desses dados teremos a velocidade de 50 m/s e a frequência de 10 Hz.

Isso significa que teremos a formação de 4 regiões ventrais como na figura seguinte:

Figura 23: Instantâneo de região ventral numa corda com extremidade fixa


Observe que se pode encontrar qual a frequência fundamental de oscilação da

onda na corda apenas dividindo-se a frequência mostrada na animação pelo número de

regiões ventrais, nesse caso 4. Assim sendo o estudante apenas precisa clicar algumas

vezes na tecla de atalho d para diminuir a frequência ou a para aumentá-la e ir observando

o padrão de figura formada. Se reduzirmos a frequência para 2,5Hz observaremos a

formação de uma região ventral. Se quisermos observar duas regiões ventrais devemos

ter uma frequência de 5 Hz.

A figura abaixo mostra um instantâneo da simulação para o chamado padrão

harmônico fundamental, caracterizado por uma frequência f1 = 2,5 Hz.

25

Figura 24: Instantâneo para a frequência fundamental


Para ficar mais claro, a figura abaixo apresenta um padrão de onda estacionária

com a formação de seis ventres, de frequência igual ao sêxtuplo da frequência

fundamental, isto é, fn = 15 Hz.

Figura 25:Instantâneo de configuração para seis regiões ventrais


26

PLANO DE ATIVIDADE 1:

CONTEÚDO: Pulsos de Ondas: Fenômenos de Interferência e de Reflexão.

OBJETIVOS:

Definir ondas e pulsos de ondas progressivos;

Caracterizar ondas e pulsos de ondas longitudinais e transversais;

Discutir os fenômenos de interferência para pulsos de ondas;

Discutir o fenômeno de reflexão para pulsos de ondas;

MATERIAIS DIDÁTICOS:

Data Show;

Computador;

Aplicativos:

- Pulsos de Ondas

- Reflexão de Pulsos

Livro didático

Lousa e pincel

Com o auxílio do aplicativo Pulsos de Ondas pode-se exemplificar pulsos de ondas

progressivos, analisar o conceito de velocidade de propagação, discutir os fenômenos de

interferência construtiva e destrutiva para pulsos de ondas, observar os efeitos resultantes

na região de interferência dos pulsos de ondas para diferentes geometrias de pulsos, e

com o aplicativo Reflexão de Pulsos é possível de discutir e exemplificar as características

do fenômeno de reflexão em pulsos de ondas.

É importante que os alunos tenham contato com os aplicativos para que possam

através da interação aluno-aplicativo aprimorar seus conhecimentos acerca desses

tópicos. É interessante também que, em algum momento da aplicação, o professor deixe

os alunos a vontade com os aplicativos para que eles venham analisar situações que

gostariam de visualizar: o confrontamento das hipóteses, muitas das vezes fundamentadas

em concepções prévias não científicas, com os resultados observados a partir da

simulação, enriquece e fundamenta a construção do conhecimento. Esses aplicativos têm

esse objetivo de facilitar essa construção de conhecimento e de melhorar o processo de

ensino-aprendizagem com um ambiente mais participativo por parte dos alunos.

27

Sugestões de Atividades e Questões de Verificação de Aprendizagem

01 – Propomos uma atividade dividindo a turma em pelo menos dois grupos. A tarefa de

cada grupo seria:

a) Apresentar figuras estáticas e dinâmicas (gifs), vídeos, objetos (violão, cuba com

água, tambor, corda elástica) para exemplificar pulsos de ondas, ondas e suas

características;

b) Criar um texto procurando descrever todo o processo de produção, propagação e

suas principais características;

02 – Propomos uma atividade complementar, tipo revisão conceitual com atividades

básicas demonstrativas. Sugere-se realizar atividades com mola slink ou espiral de

encadernação, ou ainda, cordas.

a) apresentando classificação quando às direções de vibração e propagação das

ondas a partir da produção de ondas longitudinais e transversais;

b) apresentando os conceitos de comprimento de onda de uma onda, frequência de

oscilação, período, e velocidade de propagação.

03 – Propomos atividades de pesquisa na internet sobre aplicativos computacionais sobre

a temática ondulatória para apresentar juntamente com os aplicativos desse trabalho.

Sugere-se os aplicativos e as atividades exploratórias do site

https://phet.colorado.edu/pt/simulations/category/physics/sound-and-waves .

04 – Questão: Explique o que é uma onda? Cite exemplos de ondas.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_________________________________________________

05 – Questão: Qual a diferença entre ondas longitudinais e transversais? Cite exemplos

de ondas transversais e longitudinais.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_________________________________________________

28

06 – Questão: Marque a alternativa que apresenta os nomes corretos dos conceitos

descritos abaixo.

1. Tipo de onda que precisa de um meio de propagação;

2. Onda que se propaga em duas dimensões;

3. Onda que possui a direção de propagação perpendicular à vibração.

a) Ondas eletromagnéticas, ondas unidimensionais, ondas transversais.

b) Ondas eletromagnéticas, ondas bidimensionais, ondas transversais.

c) Ondas mecânicas, ondas bidimensionais, ondas longitudinais.

d) Ondas eletromagnéticas, ondas tridimensionais, ondas longitudinais.

e) Ondas mecânicas, ondas bidimensionais, ondas transversais.

07 – Questão: É correto afirmar sobre ondas mecânicas:

a) transportam massa e energia;

b) transportam massa e quantidade de movimento;

c) transportam matéria;

d) transportam energia e quantidade de movimento;

e) NDA

08 – Questão: Marque a alternativa correta a respeito do fenômeno da interferência.

a) O fenômeno da interferência só ocorre com ondas unidimensionais.

b) Na interferência construtiva, as ondas encontram-se com fases invertidas.

c) Na interferência destrutiva, as ondas encontram-se com fases iguais.

d) Quando duas ondas de mesma amplitude sofrem interferência destrutiva, ocorre

aniquilação.

e) Quando duas ondas com amplitudes diferentes sofrem interferência construtiva, as

amplitudes são somadas, e a onda resultante mantém o sentido de propagação da onda

que possuía maior amplitude.

09 – Questão: Considere dois pulsos de ondas idênticos propagando-se ao longo de uma

mesma corda em sentidos opostos: pulso 1 da esquerda para a direita e pulso 2 da direita

para esquerda. Represente esses pulsos (I) antes da interferência, (II) durante a

interferência, e (III) após a interferência, nos seguintes casos:

a) pulso 1 e pulso 2 com fase não invertida;

29

b) pulso 1 com fase direita (não invertida) e pulso 2 com fase invertida;

c) pulso 1 e pulso 2 com fase invertida;

Use o aplicativo para verificar suas respostas.

10 – Questão: Dois pulsos de amplitudes iguais a “A”, propagam-se na mesma corda, em

sentidos contrários, um de encontro ao outro. Nesse caso, com base no Princípio da

Superposição de Ondas, pode-se afirmar corretamente que, no momento que os pulsos

estiverem sobrepostos, o valor da amplitude resultante será:

a) 0,0A b) 0,5A c) 1,0A d) 2,0A

Use o aplicativo Pulso de Ondas para verificar sua resposta.

11 – Questão: Em uma corda esticada é enviado um pulso. Sabe-se que a extremidade da

corda está presa (fixa). Considerando que não há percas de energia durante toda a

observação, descreva o que acontece depois da reflexão do pulso.


CONTEÚDO: Ondas Harmônicas – Princípio de Superposição de Ondas

OBJETIVOS:

Definir ondas harmônicas progressivas;

Definir os parâmetros número de onda κ, frequência angular ω, constante

de fase φ e amplitude de ym;

Discutir alguns casos importantes de superposição de ondas;

Caracterizar ondas estacionárias.


Data Show;

Computador;

Aplicativo – Ondas Senoidais;

Livro didático;

Lousa e pincel

Com o auxílio do aplicativo Ondas Senoidais pode-se exemplificar ondas

progressivas para direita e para a esquerda, apresentar os conceitos de comprimento de

onda, período e velocidade de propagação de ondas, analisar os fenômenos de

interferência construtiva e destrutiva para ondas, observando os efeitos resultantes

30

segundo o princípio de superposição de ondas, e apresentar situações nas quais há

formação de ondas estacionárias.

É importante a participação dos alunos em todos os momentos, nas definições, nas

caracterizações, e nos resultados obtidos. A construção do conhecimento deve ser

conjunta. É interessante também que o professor, no papel de mediador, construa um

ambiente de investigação, com os alunos interagindo com os aplicativos.

Verificação de Aprendizagem

Questão 01 – Qual é a frequência de uma onda que se propaga em um líquido, com

velocidade de 10 cm/s, sabendo-se que o seu comprimento de onda é 2,0 cm?

Questão 02 – Um objeto flutuando na água é atingido por 60 pulsos de uma onda a cada

30 s. Determine:

a) a sua frequência em Hz;

b) o seu período em segundos.

Questão 03 – Calcule o comprimento de onda de uma onda cuja frequência é 60 Hz e se

propaga com velocidade de 3,0 m/s?

Questão 04 – Que distância, em termos de comprimentos de onda, uma onda percorre

durante um período?

Questão 05 – Uma onda periódica se propaga em um certo meio com uma velocidade de

0,20 m/s. Sabendo que um ponto dessa onda oscila com uma frequência de 2 Hz.

Determine:

a) o comprimento de onda e o período;

b) a frequência angular e o número de onda;

31

Questão 06 – Atividade Exploratória com o aplicativo Ondas Senoidais

I - Explore o aplicativo Ondas Senoidais com os seguintes valores para a onda 1:

comprimento de onda = 10 cm, frequência = 2 Hz, amplitude = 4 cm, fase = 0, e compare

com os resultados encontrados na questão 04.

II - Repetindo os mesmos valores citados acima para a onda 2, propagando no mesmo

sentido. Determine:

a) o comprimento de onda da onda resultante;

b) a amplitude, o período e a frequência da onda resultante;

c) a onda resultante é progressiva ou estacionária?

d) alterando o sentido de propagação, para sentidos contrários, a onda resultante é

progressiva ou estacionária?

Questão 07 – Atividade Exploratória com o aplicativo Ondas Senoidais

I - Explore o aplicativo Ondas Senoidais, para analisar os efeitos de interferência

construtiva e destrutiva sobre ondas com mesmo comprimento de onda, mesma

amplitude, mesma frequência, propagando-se nos seguintes casos:

a) no mesmo sentido, com diferença de fase igual a: 0, 90, 180, 270, 360;

b) em sentidos contrários, com diferença de fase igual a: 0, 90, 180, 270, 360;

II – De acordo com as observações, responda:

a) O que aconteceu com as ondas propagando-se no mesmo sentido com diferença

de fase igual a 180? A onda resultante é progressiva ou estacionária? Justifique

sua resposta.

b) A formação de ondas estacionárias independente da diferença de fase entre as

ondas? Justifique sua resposta.

c) Qual a diferença entre a onda resultante observada no item a com as ondas

resultantes vistas no item b?

Questão 08 - A equação de uma onda se propagando em um meio é 𝑦(𝑥, 𝑡) =

0,03. cos(3𝑥 − 9𝑡) onde x e y são medidos em metros e t em segundos. Determine:

a) a amplitude, o comprimento de onda e o período;

b) a velocidade e o sentido de propagação da onda.

32


CONTEÚDO: Ondas Estacionárias

OBJETIVOS:

Definir ondas estacionárias em cordas esticadas;

Discutir a velocidade de ondas em cordas esticadas;

Definir os chamados pontos nós e antinós na formação de ondas

estacionárias;

Caracterizar as frequências de vibrações dos modos harmônicos;


Data Show;

Computador;

Aplicativo – Ondas Estacionárias

Livro didático;

Lousa e pincel

É importante a participação dos alunos em todos os momentos, nas definições, nas

caracterizações, e nos resultados obtidos. A construção do conhecimento deve ser

conjunta. É interessante também que o professor, no papel de mediador, construa um

ambiente de investigação, com os alunos interagindo com os aplicativos.

Verificação de Aprendizagem

Questão 01 – Numa corda vibrante, é possível observar ondas estacionárias. Elas se

formam devido aos fenômenos de:

a) reflexão e refração

b) dispersão e reflexão

c) refração e polarização

d) reflexão e interferência

e) interferência e polarização

Questão 02 – Uma onda estacionária é estabelecida numa corda, de modo a formar três

ventres e quatro nós. Sabendo que a distância entre os nós extremos é de 1,5 m e a

velocidade da onda é de 10 m/s, determine a frequência dessa onda.

Questão 03 – Uma onda estacionária é estabelecida em uma corda esticada cuja densidade

linear de massa é 0,012kg/m. Essa corda está esticada por uma força tensora de módulo

30 N, A corda tem extremidades fixas. A partir desses dados encontre:

33

a) a velocidade de propagação de um pulso, na corda.

b) a frequência para a formação de 5 ventres sabendo que f1 (primeira frequência de

oscilação natural) vale 2,5 Hz.

Questão 04 – Usando o aplicativo ondas estacionárias comprove a formação da

quantidade de ventres formados e a frequência f5, dadas no exercício 04.

Questão 05 – Utilizando as teclas de atalho (a para aumentar a frequência e d para

diminuí-la) do aplicativo ondas estacionários, observe a formação de ventres para a

configuração: tração 10 N; densidade linear de massa 0,1 kg/m; modo harmônico 4;

extremidades fixas. A quantidade de ventres é a mesma se mudarmos para extremidades

livres? O que você pode concluir sobre as velocidades de propagação quando mudamos

a configuração do parâmetro extremidades? Por que?

34

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AGUIAR, C. E. Informática para o ensino de Física. [S.l.: s.n.], 2009.

ARAUJO, I. S.; VEIT, E. A.; MOREIRA, M. A. Atividades de modelagem

computacional no auxílio à interpretação de gráficos da cinemática. Revista Brasileira

de Ensino de Física, v. 26, n. 02, p. 179–184, 2004.

BEICHNER, R. J. The effect of simultaneous motion presentation and graph generation

in a kinematics lab. JOURNAL OF RESEARCH IN SCIENCE TEACHING, v. 27, n. 08,

p. 803–815,1990.

BRASIL, S. de Educação Média e T. PCN Ensino Médio Orientações Educacionais

Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. 2000. Disponível em:

<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>.Acesso em:

05/07/2019

GALO, M. Introdução ao uso do aplicativo Gnuplot. UNESP – Universidade Estadual

Paulista, FCT Campus Presidente Prudente, 2017. Disponível em

<http://www2.fct.unesp.br/docentes/carto/galo/web/gnuplot/gnu_tutorial.htm>, acesso em 02/02/2019.

GNUPLOT HOMEPAGE. Página inicial. Disponível em: <http://www.gnuplot.info/>.

Acesso em: 22/12/2019

WILLIAMS, T; KELLEY, C. gnuplot 5.2: An Interactive Plotting Program. version 5.2.8

(2019). Disponível em <http://www.gnuplot.info/docs_5.2/Gnuplot_5.2.pdf> acesso em

27/12/2019.

35

APÊNDICE A - CÓDIGO-FONTE PARA ANÁLISE DA REFLEXÃO DE PULSOS

# script de análise da reflexão de pulsos progressivos

A1=@ARG1; v1=@ARG2; r1=@ARG3; A2=@ARG4; v2=@ARG5; r2=@ARG6;

##-------------------- Mensagens -------------------------

if(A1<0.0){pause -1 "Assuma um valor não negativo para o

deslocamento máximo do pulso 1"; exit};

if(A2<0.0){pause -1 "Assuma um valor não negativo para o

deslocamento máximo do pulso 2"; exit};

if(A1==0 && A2==0){pause -1 "Assuma pelo menos um pulso com

deslocamento máximo diferente de zero"; exit;}

if(v1<0.0){pause -1 "Assuma um valor não negativo para a

velocidade do pulso 1"; exit;}

if(v2<0.0){pause -1 "Assuma um valor não negativo para a

velocidade do pulso 2"; exit;}

if(v1==0 && v2==0){pause -1 "Assuma pelo menos um pulso com

velocidade diferente de zero"; exit;}

if(r1!=1 && r1!=-1){pause -1 "Assuma os valores -1 ou +1

para os sentidos dos pulsos"; exit;}

if(r2!=1 && r2!=-1){pause -1 "Assuma os valores -1 ou +1

para os sentidos dos pulsos"; exit;}

##---------------------------------------------------------

reset; M1(a,b)=(a>=b)?a:b; M2(a,b)=(a<=b)?a:b;

A=M1(A1,A2);

Vmax=M1(v1,v2); Vmin=(v1==0 ||

v2==0)?M1(v1,v2):M2(v1,v2);

D=20; p(r,a,x)=r*a*exp(-0.5*(x-D)**2); R=1.0*D;

g(r,a,x)=(x<-R)?1/0:p(r,a,x); f(r,a,x)=(x>R)?1/0:p(r,a,-

x);

r1(x,t)=(x>0)?1/0:f(r1,A1,x-v1*t)+g(r1,A1,x+v1*t);

r2(x,t)=(x>0)?1/0:f(r2,A2,x-v2*t)-g(r2,A2,x+v2*t);

## Dimensão da Janela, Aparência dos objetos

aplicativo="Reflexão de Pulsos Progressivos"; set key left;

tam='size 900,450';

36

set term wxt title aplicativo @tam enhanced font

'Helvetica,10' persist ctrl;

unset tics; unset mouse; set colors classic; bind p

'pause -1 "continuar?"';

st1='t "Móvel" lc "red" lw 2'; st2='t "Fixa" lc "blue" lw

2'; t=0; N=100;

st3='boxed center tc lt -1 font ",14"'; bind r 'r1=-r1';

bind i 'r2=-r2';

st4='fc "sandybrown" fs pattern 1 border lc "black"';

t_obs=2.0*D/Vmin;

##---------------------------------------------------------

set xr[-R:0.1*R]; set yr[-4*A:4*A]; set xtics 0.2*D

nomirror; set mxtics 2;

dt=1.0*t_obs/N;

while(t<t_obs){

if(A1!=0){set label 1 sprintf("V_{1} = %.2f m/s", v1) at -

0.5*R,2.7*A @st3;}

if(A2!=0){set label 2 sprintf("V_{2} = %.2f m/s", v2) at -

0.5*R,-0.7*A @st3;}

set arrow 1 from 0,-1*A to 0,4*A nohead;

set object 1 rect from 0.01*R,-1*A to 0.1*R,4*A @st4;

set object 2 rect from 0,-4*A to 0.1*R,-1*A @st4;

p r1(x,t)+1.25*A @st1, r2(x,t)-2.25*A @st2; t=t+dt; pause

0.1;} reread;

37

APÊNDICE B - CÓDIGO-FONTE DO PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO PARA

PULSOS DE ONDAS

# script do princípio da superposição para pulsos de ondas

A1=@ARG1; v1=@ARG2; A2=@ARG3; v2=@ARG4; P1=@ARG5;

P2=@ARG6; inv_r=@ARG7; inv_i=@ARG8;

##-------------------- Mensagens -------------------------

if(v1==0.0 && v2==0){pause -1 "Assuma pelo menos um pulso

em movimento"; exit;}

if(A1<0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a

amplitude de deslocamento A_{1}"; exit};

if(A2<0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a

amplitude de deslocamento A_{2}"; exit};

if(A1==0.0 && A2==0){pause -1 "Assuma pelo menos um pulso

com amplitude diferente de zero"; exit;}

if(P1!=1 && P1!=2 && P1!=3){pause -1 "Assuma um dos tipos

de pulsos disponíveis para o pulso 1"; exit};

if(P2!=1 && P2!=2 && P2!=3){pause -1 "Assuma um dos tipos

de pulsos disponíveis para o pulso 2"; exit};

##---------------------------------------------------------

reset; M1(a,b)=(a>=b)?a:b; M2(a,b)=(a<=b)?a:b; A=M1(A1,A2);

Vmax=M1(v1,v2); Vmin=(v1==0.0 ||

v2==0.0)?M1(v1,v2):M2(v1,v2);

s=1.0; s2=s*s; xs=4.0*s; p1(amp,x)=amp*exp(-

0.5*(x)**2/s2);

p2(amp,x)=(abs(x)>=xs)?0:amp;

p3(amp,x)=(abs(x)>=xs)?0:amp*(1-abs(x)/xs);

p(tp,amp,x)=(tp==1)?p1(amp,x):(tp==2)?p2(amp,x):p3(amp,x);

dy=0.02;

Pulso(tp)=(tp==1)?"Gaussiano":(tp==2)?"Retangular":"Triangu

lar";

f(x,t)=inv_r*p(P1,A1,x-v1*t+R)-dy;

g(x,t)=inv_i*p(P2,A2,x+v2*t-R)+dy;

R=8*xs; t_obs=1.0*R/Vmin; linha=2.0*R*v1/(v1+v2)-R;

linha1=linha-xs;

linha2=linha+xs; r(x,t)=(x>=linha1 &&

x<=linha2)?f(x,t)+g(x,t):1/0;

38

##Dimensão da Janela, Aparência dos objetos

aplicativo="Pulsos de Ondas Progressivos"; bind v 't=t-

2*dt'; bind a 't=t+2*dt';

set term wxt title aplicativo size 800,500 enhanced font


unset tics; unset mouse; set colors classic; set xzeroaxis;

set samples 300;

bind p 'pause -1 "continuar?"'; bind r 'inv_r=-inv_r';

bind i 'inv_i=-inv_i';

st1='t "f(x-v.t)" lc "red" lw 2'; st2='t "g(x+v.t)" lc

"green" lw 2'; t=0; N=200;

st3='t "f+g" lc "blue"'; ft1='tc lt 1 font ",14"'; ft2='tc

lt 3 font ",14"';

##---------------------------------------------------------

xp=R-xs; yp=2.2*A; set xtics 0.25*xp; set mxtics 2; set

ytics 0.5*A;

set xr[-xp:xp]; set yr[-yp:yp]; lx1=-0.9*xp; lx2=0.3*xp;

dt=2.0*t_obs/N;

while(t<N*dt){

set arrow 1 from linha1,-yp to linha1,yp nohead linestyle

0;

set arrow 2 from linha2,-yp to linha2,yp nohead linestyle

0;

set label 1 "Pulso 1 - " . Pulso(P1) at lx1,-1.2*A @ft1;

set label 2 sprintf("Amplitude - A_{1} = %.2f cm", A1) at

lx1,-1.6*A @ft1;

set label 3 sprintf("Velocidade - V_{1} = %.2f m/s", v1) at

lx1,-1.9*A @ft1;

set label 4 "Pulso 2 - " . Pulso(P2) at lx2,-1.2*A @ft2;

set label 5 sprintf("Amplitude - A_{2} = %.2f cm", A2) at

lx2,-1.6*A @ft2;

set label 6 sprintf("Velocidade - V_{2} = %.2f m/s", v2) at

lx2,-1.9*A @ft2;

p f(x,t) @st1, g(x,t) @st2, r(x,t) @st3; t=t+dt; pause

0.1;} reread;

39

APÊNDICE C - CÓDIGO-FONTE PARA O FENÔMENO ONDULATÓRIO

# script do fenômeno ondulatório

c_onda_1=@ARG1; freq_1=@ARG2; y_M_1=@ARG3; a_f_1=@ARG4;

c_onda_2=@ARG5;

freq_2=@ARG6; y_M_2=@ARG7; a_f_2=@ARG8; sentido=@ARG9;

N_Ciclos=8;

##-------------------- Mensagens -------------------------

if(c_onda_1<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para o

comprimento de onda"; exit};

if(freq_1<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a

frequência"; exit};

if(y_M_1<0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a

amplitude de deslocamento"; exit};

if(c_onda_2<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para o

comprimento de onda"; exit};

if(freq_2<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a

frequência"; exit};

if(y_M_2<0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a

amplitude de deslocamento"; exit};

if(sentido!=1 && sentido!=-1){pause -1 "Assuma o valor 0

(mesmo sentido) ou 1 (sentido oposto)"; exit};

if(y_M_1==0 && y_M_2==0){pause -1 "Assuma pelos menos uma

onda com deslocamento maximo diferente de zero"; exit}

#----------------------------------------------------------

reset; M(a,b)=(a>=b)?a:b; lbd_1=c_onda_1*0.01; ymax_1 =

y_M_1*0.01;

lbd_2=c_onda_2*0.01; ymax_2 = y_M_2*0.01;

a_f_1=a_f_1*pi/180; a_f_2=a_f_2*pi/180;

K1=2*pi/lbd_1; W1=2*pi*freq_1; T1=1.0/freq_1;

K2=2*pi/lbd_2; W2=2*pi*freq_2; T2=1.0/freq_2;

D=sentido; direcao=(D==1)?"Mesmo Sentido":"Sentidos

Opostos";

y1(x,t) = ymax_1*sin(K1*x-W1*t+a_f_1); V1=W1/K1;

x1(t)=V1*t;

40

y2(x,t) = ymax_2*sin(K2*x-D*W2*t+a_f_2); V2=D*W2/K2;

x2(t)=V2*t;

y3(x,t) = y1(x,t)+y2(x,t);

#Dimensão da Janela, Aparencia dos objetos solidos

aplicativo="Superposição de Ondas"; bind p 'pause -1

"continuar?"';

set term wxt title aplicativo size 1000,550 enhanced font


unset key; unset tics; unset mouse; set colors classic;

st1='tc lt 3 font ",14"'; st2='tc lt 1 font ",14"'; set

border 31 lc -1 lw 2;

st3='fc rgb "yellow" front fs solid 1.0 border lt -1';

INICIO='pause -1 "p - Pausar ; g - Grade. Iniciar

movimento?"';

#----------------------------------------------------------

Periodo=M(T1,T2); ymax=ymax_1+ymax_2; t=0; N=50;

dt=1.0*Periodo/N;

do for[i=0:N_Ciclos*N]{ set multiplot;

set origin 0.0,0; set size 0.37,1.0; set xr[0:1]; set

yr[0:1];

set label 1 sprintf("Superposição de Ondas") at 0.5,0.97

center @st1;

set label 2 "Onda 1" at 0.5, 0.90 center @st1;

set label 3 "l" at 0.05,0.83 tc lt 3 font "Symbol,14";

set label 4 sprintf(" = %.3f m -->", lbd_1) at 0.1,0.83

@st1;

set label 5 sprintf("f = %.3f Hz -->", freq_1) at 0.05,0.76

@st1;

set label 6 sprintf("y_{max} = %.3f m", ymax_1) at

0.05,0.69 @st1;

set label 7 "f" at 0.05,0.62 tc lt 3 font "Symbol,14";

set label 8 sprintf(" = %.2f rad", a_f_1) at 0.1,0.62 @st1;

41

set label 9 "Onda 2" at 0.5, 0.52 center @st1;

set label 10 "l" at 0.05,0.45 tc lt 3 font "Symbol,14";

set label 11 sprintf(" = %.3f m -->", lbd_2) at 0.10,0.45

@st1;

set label 12 sprintf("f = %.3f Hz -->", freq_2) at

0.05,0.38 @st1;

set label 13 sprintf("y_{max} = %.3f m", ymax_2) at

0.05,0.31 @st1;

set label 14 "f" at 0.05,0.24 tc lt 3 font "Symbol,14";

set label 15 sprintf(" = %.2f rad", a_f_2) at 0.1,0.24

@st1;

set label 16 sprintf("k_{1} = %.2f rad/m", K1) at 0.5,0.83

@st2;

set label 17 sprintf("w_{1} = %.2f rad/s", W1) at 0.5,0.76

@st2;

set label 18 sprintf("k_{2} = %.2f rad/m", K2) at 0.5,0.45

@st2;

set label 19 sprintf("w_{2} = %.2f rad/s", W2) at 0.5,0.38

@st2;

set label 20 direcao at 0.5,0.12 center @st2;

p 0.94 w l lc -1 lw 2; unset label;

#-------------------------- Ondas -------------------------

set zeroaxis lw 2; set key; set yr[-1.1*ymax:1.1*ymax]; set

ytics 0.5*ymax;

set origin 0.36,0.67; set size 0.6,0.33; set xr[-

0.5*lbd_1:3.0*lbd_1];

set xtics 0.5*lbd_1; xp1=x1(0); xp11=xp1+lbd_1;

set label 1 sprintf("V_{1} = %.2f m/s", V1) at xp1,0.9*ymax

@st2;

set object 1 circle at xp1, y1(xp1,t) size 0.015*ymax @st3;

set object 2 circle at xp11, y1(xp11,t) size 0.015*ymax

@st3;

p y1(x,t) t "onda 1" lc 1 lw 3; unset object; unset label;

42

set origin 0.36,0.34; set size 0.6,0.33; set xr[-

0.5*lbd_2:3.0*lbd_2];

set xtics 0.5*lbd_2; xp2=x2(0); xp22=xp2+lbd_2;

set label 1 sprintf("V_{2} = %.2f m/s", V2) at xp2,0.9*ymax

@st2;

set object 1 circle at xp2, y2(xp2,t) size 0.015*ymax @st3;

set object 2 circle at xp22, y2(xp22,t) size 0.015*ymax

@st3;

p y2(x,t) t "onda 2" lc 2 lw 3; unset object; unset label;

set origin 0.36,0.0; set size 0.6,0.34;

p y1(x,t) t "" lc 1, y2(x,t) t "" lc 2, y3(x,t) t "onda

resultante" lc 3 lw 3;

unset zeroaxis; unset tics; unset key;

#----------------------------------------------------------

if(t==0){unset multiplot; @INICIO;}

pause 0.01; t=t+dt; unset multiplot;

}

pause -1 "Simular novamente?"; reread

43

APÊNDICE D - CÓDIGO-FONTE DA FORMAÇÃO DE ONDAS ESTACIONÁRIAS

# script da reflexão de ondas senoidais

# para a formação de ondas estacionárias

F=@ARG1; mi=@ARG2; n=@ARG3; ext=@ARG4;

##-------------------- Mensagens -------------------------

if(F<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a tração

na corda esticada"; exit;}

if(mi<=0.0){pause -1 "Assuma um valor positivo para a

densidade linear da corda"; exit;}

if(ext!=1 && ext!=-1){pause -1 "Assuma os valores -1 ou +1

para os tipos de extremidades"; exit;}

if(n<=0 || n>10){pause -1 "Assuma um valor inteiro positivo

para n entre n=1 e n=10"; exit;}

##---------------------------------------------------------

reset; A=2; R=10.0; v=sqrt(1.0*F/mi); f1=0.5*v/R; fn=n*f1;

bind a 'fn=(fn<=10*f1)?fn+0.05*f1:fn'; bind d

'fn=(fn>0)?fn-0.05*f1:0';

p(f,x)=A*sin((pi*f*(x))/(R*f1)); F(f,x)=(x>=-R)?0:p(f,x);

G(f,x)=(x<=R)?0:p(f,ext*x); r(x,t)=(x>0)?1/0:F(fn,x-

v*t)+G(fn,x+v*t);

##Dimensão da Janela, Aparência dos objetos

aplicativo="Ondas Estacionárias"; set samples 140;

tam='size 900,450';

set term wxt title aplicativo @tam enhanced font


unset mouse; unset tics; set colors classic; bind p

'pause -1 "continuar?"';

st1='t "F(x-v.t)" lc 1'; st2='t "G(x+v.t)" lc 3'; st3='t

"(F+G)(x,t)" w lp ls 7 lc -1';

st4='boxed center tc lt -1 font ",13"'; RE=1; bind f 'RE=-

RE';

st5='front fc "sandybrown" fs pattern 1 border lc "black"';

st6='front fc "slategrey" fs solid 0.1 border lc "black"';

44

st7='front fc "red" fs solid 1.0 border lt -1';

set key at -0.5*R,-5*A center horizontal box font

"arial,13";

informe = "Aumentar f_n: a \nDiminuir f_n: d \nPausar: p:

\nCurvas: f";

##---------------------------------------------------------

set xr[-R:0.1*R]; ymin=-6*A; ymax=5*A; set yr[ymin:ymax];

set zeroaxis;

t=0; T=1.0*R/v; N=24; dt=1.0*T/N;

while(t<50*T){ N=int(fn/f1); m=3; n=2;

set label 1 sprintf("V = %.3f m/s : f_n = %.4f Hz", v,

fn) at -0.5*R,4*A @st4;

set label 2 informe at -0.91*R,-4.0*A @st4;

set object 1 rect from -R,ymin to 0,ymax fc "cyan" fs

transparent solid 0.1;

if(ext!=1){set object 2 rect from 0.01*R,ymin to 0.1*R,ymax

@st5;

set object 3 rect from 0,ymin to 0.01*R,ymax

@st6;

if(fn>0 && t>2*T){lb=1.0*v/fn; Xno(i)=-(2*i-1)*lb/4.0;

do for[i=1:N+1]{m=m+1; set object m circle at Xno(i),0

size 0.005*R @st7;

n=n+1; set label n "nó" at Xno(i),-0.3*A

front left;}

}

}

else{set object 2 rect from 0,ymin to 0.1*R,ymax @st5;

set object 3 circle at 0,0 size 0.005*R @st7;

if(fn>0 && t>2*T){lb=1.0*v/fn; Xno(i)=-i*lb/2.0;

do for[i=0:N+1]{m=m+1; set object m circle at Xno(i),0

size 0.005*R @st7;

n=n+1; set label n "nó" at Xno(i),-0.3*A

front left;}

45

}

}

if(RE==1){

p F(fn,x-v*t) @st1, G(fn,x+v*t) @st2, r(x,t) @st3, r(x,t)

notitle w i lc rgb "gray";

}

else{p r(x,t) @st3, r(x,t) notitle w i lc rgb "gray";}

t=t+dt; pause 0.05; unset object; unset label;

}

pause -1 "Deseja simular novamente?"; reread;

APLICATIVOS ONDULATÓRIA CARLOS WANDERSON MOURA

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