APÊNDICE 1 - CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS DE

COORDENADAS

Este Apêndice apresenta expressões para a conversão entre coordenadas esféricas e

cartesianas, bem como expressões para a conversão entre o sistemas fixo à antena

transmissora e o sistema fixo ao cenário. O uso de qualquer das três Seções que serão

apresentadas é dependente da forma de implementação escolhida.

Sejam os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, apresentados abaixo.

coordenadas cartesianas coordenadas esféricas

Figura A.1.1 - Sistemas de coordenadas esféricas e cartesianas

X

Y

Z

x

y

z

X

Y

Z

φ

θr↔V

&

xa yaza V

&

φa

θa

ra

397

A.1.1. Conversão entre coordenadas cartesianas e esféricas

Relações entre os vetores unitários :

θ

φθ

φθ

θ−θ=

φ+φθ+φθ=

φ−φθ+φθ=

asenacosa

acosasencosasensena

asenacoscosacossena

rz

ry

rx

(A.1.1)

yx

zyx

zyxr

acosasena

asenasencosacoscosa

acosasensenacossena

φ+φ−=

θ−φθ+φθ=

θ+φθ+φθ=

φ

θ (A.1.2)

que levam a:

e

z

y

x

0cossen

sensencoscoscos

cossensencossenr

φφ−θ−φθφθ

θφθφθ=

φθ (A.1.3)

φθ

θ−θφφθφθφ−φθφθ

=

r

0sencos

cossencossensen

sencoscoscossen

z

y

x

(A.1.4)

A.1.2. Conversão entre coordenadas esféricas e sistema fixo ao

raio

Essa Seção tem utilidade quando o Método das Imagens é implementado segundo a forma

apresentada em [1], onde o sistema de coordenadas da antena transmissora é refletido no

ponto imagem, substituindo o problema real. Essa não foi a metodologia apresentada na Seção

4.2.3.1 (reflexão) pois, como visto naquela Seção, a abordagem do problema da reflexão foi

feita apenas através da determinação de sistemas fixos aos raios incidente e refletido. A seguir

é apresentada a conversão entre vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas fixo à

antena transmissora e as componentes soft e hard do campo incidente, conforme apresentado

em [1]

398

Para a reflexão e transmissão :

1hˆa a β=→θ - componente hard relativo à Figura 4-4, onde

1s ˆa- a α−=→φ - componente soft em F é inserido o sistema de

coordenadas esféricas

Para a difração :

'ˆa- a s β−=→θ - componente soft referente à Figura 4-9, onde

'ˆa- a h φ−=→φ - componente hard em F insere-se o sistema de

coordenadas esféricas

A conversão de sistema fixo ao raio para coordenadas cartesianas pode ser feita convertendo-

se de fixo ao raio para esféricas e então de esféricas para cartesianas..

A.1.3. Conversão de componentes de campo do raio oriundo da

antena transmissora para o sistema fixo ao cenário

A formulação que se segue deve ser utilizada quando o raio originário da antena transmissora

intercepta um obstáculo, para que o vetor campo elétrico esteja representado nas coordenadas

do sistema fixo ao cenário e, dessa forma, possa ser decomposto segundo os vetores unitários

dos sistemas fixos ao raio (que foram obtidos a partir das coordenadas do sistema fixo ao

cenário).

Para campo expresso em componentes θ ou φ , ou ambas :

'y cos'x senˆ

'z sen'y sencos'x coscosˆ

φ+φ−=φ

θ−φθ+φθ=θ(A.1.5)

399

onde o sistema (x’, y’, z’) é o sistema fixo à antena transmissora, ilustrado na Figura

A.1.2.

Usando as expressões que forem necessárias entre as duas apresentadas, o campo lançado

expresso originalmente em coordenadas esféricas estará convertido para o sistema cartesiano

fixo à antena transmissora. A conversão para o sistema fixo ao cenário é realizada da maneira

descrita adiante.

O vetor de campo no sistema cartesiano fixo à antena transmissora é, como ilustra a Figura

A.1.2 :

'zc'yb'xa ++ (A.1.6)

Figura A.1.2 - Sistema de coordenadas fixo à antena transmissora

Devem ser determinados os pontos (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c) no sistema cartesiano fixo ao

cenário. Para tanto, são utilizadas as expressões (5-1). As coordenadas obtidas, agora

expressas no sistema fixo ao cenário, são denominadas (ac,0,0), (0,bc,0) e (0,0,cc),

respectivamente.

x’

y’

z’

Tx(x0, y0, z0)

..

.(0, b, 0)

(0, 0, c)

(a, 0, 0)

400

Então, no sistema de coordenadas fixo ao cenário :

vetor (ac,0,0) - vetor (x0, y0 , z0) → gera a componente 'xa de (A.1.6) expressa no

sistema fixo ao cenário;

vetor (0,bc,0) - vetor (x0, y0 , z0) → gera a componente 'yb de (A.1.6) expressa no

sistema fixo ao cenário;

vetor (0,0,cc) - vetor (x0, y0 , z0) → gera a componente 'zc de (A.1.6) expressa no

sistema fixo ao cenário.

A expressão final do vetor convertido é dada pela soma das três componentes calculadas. O

vetor de campo estará, então, expresso em coordenadas x, y, z do sistema fixo ao cenário.

A.1.4. Referências Bibliográficas

[1] - Manuel F. Cátedra and Jesús Pérez-Arriaga, “Cell Planning for Wireless

Communications,” Artech House - Mobile Communications Series, 1999.

APÊNDICE 2 - DETERMI NAÇÃO DE INTERVALO

ANGULAR DE LANÇAMENTO DE RAIOS,

ESFERA DE RECEPÇÃO E PAR (θ,φ)

O intervalo angular de lançamento de raios (α) é, naturalmente, determinado apenas para o

Método SBR (Shooting and Bouncing Rays), uma vez que o conceito de esfera de recepção

(onde o conhecimento do ângulo α se faz necessário) só é definido para este método. Embora

o interesse neste trabalho recaia sobre os modelos em três dimensões, são também

apresentados procedimentos para propagação em duas dimensões, na Seção A.2.1.

A.2.1. Para propagação em duas dimensões, no plano xy

A.2.1.1. Determinação de α

O lançamento de raios é feito ao longo de uma circunferência. O valor de α pode ser

estipulado ou calculado. Estipular um valor qualquer não é recomendado, pelo fato de que na

maior parte das vezes não será obtido um lançamento uniforme, ou seja, os raios não

representarão porções iguais da frente de onda cilíndrica.

O cálculo de α é baseado no número de raios que se deseja lançar, e provê um lançamento

uniforme.

raios de desejado número

2π=α (A.2.1)

402

A.2.1.2. Mapeamento dos intervalos de lançamento e determinação de (θ,

φ) do sistema de coordenadas esféricas fixo à antena

A.2.1.2.1. Para o Método SBR

Cada raio estará espaçado de seu vizinho de um ângulo α. A representação em coordenadas

polares é apropriada para a determinação da direção dos raios e de (θ, φ), como se segue.

Coordenadas polares :

x = r.cosβ

y = r.senβ

Figura A.2.1 - Coordenadas polares para lançamento de raios em duas dimensões

Nas equações de conversão entre coordenadas cartesianas e polares, apresentadas na Figura

A.2.1, é feito r = 1 e o ângulo β é variado em intervalos α de lançamento de raios. Para cada

valor de β obtido :

− o par (θ, φ), para a entrada na tabela do diagrama de radiação, é dado por (π/2, β);

− calcula-se as componentes x e y através das expressões de coordenadas polares

apresentadas. A coordenada (x, y, 0) do vetor diretor do raio lançado é convertida

para o sistema de coordenadas fixo ao cenário através das expressões (5-1), para

que se determine o vetor u , na direção do raio, no sistema fixo ao cenário.

XY

Z

αα

X

Y

rβ

403

Na recepção também é necessário a obtenção do par (θ, φ), em relação ao sistema da

antena receptora. O procedimento é semelhante ao realizado para a antena transmissora,

com a diferença de que, conhecidos x e y do ponto origem do raio que chega ao receptor

(expressos no sistema de coordenadas fixo à antena receptora, através de conversão usando

expressões (5-3)), obtém-se φ. Ao realizar o procedimento de forma análoga ao que foi

feito para o lançamento de raios, é assumido que o raio recebido atinge exatamente a

origem do sistema de coordenadas da antena receptora. Deve-se ter atenção à correta

determinação de quadrantes em todos os cálculos efetuados que envolvam arcos cosseno.

A.2.1.2.2. Para o Método das Imagens

Uma vez determinado o unitário u na direção do raio que parte da antena transmissora, o par

(θ,φ) é determinado da seguinte forma :

θ = π/2

φ = ( )u'.xarccos (A.2.2)

onde :

'x - vetor unitário na direção do eixo x do sistema de coordenadas fixo à

antena transmissora;

u deve estar expresso no sistema de coordenadas fixo à antena transmissora.

Antes do cálculo de φ, deve ser observada a metodologia descrita para a correta determinação

do quadrante de φ, apresentada após o final da Seção A.2.2.3.2.

Na recepção também é necessário a obtenção do par (θ, φ), em relação ao sistema da antena

receptora. O procedimento é o mesmo realizado para a antena transmissora, com atenção para

a necessidade de se inverter a orientação do vetor unitário diretor do raio recebido a ser

utilizado na expressão de φ, para que a geometria fique como a da antena transmissora.

404

A.2.2. Para lançamento em três dimensões

A.2.2.1. Descrição da metodologia de lançamento e recepção para o

Método SBR

O objetivo do lançamento de raios é que se gere tubos de raios iguais em todas as direções do

espaço, ou seja, devem ser lançados raios com igual espaçamento angular entre si. A técnica

proposta foi extraída da referência [1] e consiste em se inscrever um icosaedro regular

(poliedro com vinte faces que são triângulos equiláteros) em uma esfera unitária centrada na

antena transmissora.

Na Figura A.2.2 são ilustrados a esfera centrada na antena transmissora e o icosaedro regular.

icosaedro regular

Figura A.2.2 - Esfera e icosaedro de lançamento (Método SBR)

Os raios são lançados através dos doze vértices do poliedro de forma que cada raio representa

uma frente de onda pentagonal, como ilustrado na Figura A.2.2. Na verdade, o formato da

frente de onda assim gerada é obtido pela projeção do pentágono na superfície esférica, que

.Txr = 1

raio lançado

elemento de frente deonda esférica(tubo de raios)

frente de ondapentagonal

405

corresponde à forma real da frente de onda. Os raios assim lançados estarão espaçados de 63o

entre si. [1]

Para que sejam lançados mais do que doze raios, deve ser realizado o seguinte procedimento.

Cada face do icosaedro é subdividida por linhas paralelas aos lados da face, gerando

triângulos equiláteros menores, como ilustrado na Figura A.2.3.

Figura A.2.3 - Aumento da resolução de raios lançados através do icosaedro (Método SBR)

Os raios são lançados passando por todos os vértices criados. As frentes de onda de raios que

passam pelos doze vértices originais continuam pentagonais. As frentes de onda dos raios que

passam por vértices interiores ou por vértices que estão nas arestas das faces do icosaedro são

hexagonais, como ilustra a Figura A.2.3. Com essa técnica, todos os raios gerados terão,

aproximadamente, o mesmo espaçamento angular entre si. [1]

Seja N a freqüência de subdivisão das faces (N = 4, na Figura A.2.3), o número de raios

lançados é dado por :

número de raios lançados = 10N2 + 2

1

2

3

4

vértice original da face

vértice sobre aresta da face

vértice interior à face

frente de onda

face do icosaedro, subdivididapara aumentar a resolução deraios lançados

406

Assim, seja n o número desejado de raios a serem lançados :

10

2 - nN = (A.2.3)

O valor de N a ser utilizado deverá ser o inteiro que mais se aproximar do valor de N

calculado por (A.2.3).

Como se observa pela Figura A.2.3, o número de frentes de onda hexagonais predominará na

propagação em relação a frentes de onda pentagonais. A obtenção do raio da esfera de

recepção se baseia na geometria hexagonal, como apresentado a seguir. Sejam dois raios

vizinhos cujas frentes de onda são apresentadas no plano perpendicular à propagação,

conforme ilustrado na Figura A.2.4.

Figura A.2.4 - Geometria para a obtenção do raio da esfera de recepção (Método SBR)

projeção de um raio

projeção do raio vizinhoα/2

d

rR

300

407

Na Figura A.2.4, as frentes hexagonais estão inscritas em círculos que constituem-se na

representação em duas dimensões de esferas de recepção. Na geometria auxiliar desenhada na

figura, d é a distância unfolded já definida no Capítulo 5, r é a distância perpendicular entre o

centro de um hexágono e um de seus lados e α é a separação angular entre raios vizinhos.

Pela geometria da Figura A.2.4 :

/2)d.tg(r d

r)2/(tg α≅∴≅α (A.2.4)

Como α/2 é um ângulo pequeno, (A.2.4) pode ser reescrita por :

2dr

α≅ (A.2.5)

O raio R da esfera de recepção pode, então, ser determinado :

2

3Rr

2

3

R

r30cos o =∴== (A.2.6)

Igualando (A.2.5) e (A.2.6), chega-se a :

3

d R

2

3R

2d

α=∴=α(A.2.7)

Como observado na Figura A.2.4, a geometria pressupõe superposição entre as esferas dos

raios adjacentes. Dessa forma, evita-se que um ponto de recepção seja perdido (não seja

englobado pelo tubo de raios de nenhum dos raios vizinhos). Porém, essa particularidade da

geometria pode gerar dupla recepção, ou seja, um mesmo ponto de recepção ser atingido por

raios vizinhos, o que, como já mencionado, não é desejado já que fisicamente tubos de raios

não se superpõem. Sugestões para a solução do problema foram apresentadas no Capítulo 5,

na Seção 5.4.2.3 (Recepção).

408

Para raios vizinhos oriundos de um ponto de difração, a dedução não é válida pelo fato de não

se poder associar um formato hexagonal (ou pentagonal) à frente de onda difratada.

A.2.2.2. Determinação de α

A determinação de α é realizada através do produto escalar entre raios vizinhos. Uma vez

desenhado o icosaedro, são escolhidos dois vértices vizinhos (a inclusão dos vértices na tabela

de vértices do icosaedro pode ser feita de forma que vértices vizinhos estejam em alocações

consecutivas, para facilitar a escolha). Escolhidos os vértices, é feito produto interno entre os

unitários dos dois vetores que unem a origem do sistema de coordenadas da antena

transmissora a cada um dos dois vértices escolhidos. O procedimento é como se segue.

Sejam :

vértices escolhidos : A e B

vetores unitários correspondentes : B

BB e

A

AA

&

&

&

&

==

( )B.Aarccos=α (A.2.8)

Deve-se atentar para a correta determinação do quadrante do ângulo assim obtido.

A.2.2.3. Mapeamento dos intervalos de lançamento e determinação de (θ,

φ) do sistema de coordenadas esféricas fixo à antena

A.2.2.3.1. Para o Método SBR

Serão lançados raios através dos vértices do icosaedro, cujas coordenadas cartesianas são

conhecidas. A obtenção do par (θ, φ) à partir das coordenadas cartesianas dos vértices é

realizada da seguinte maneira.

409

=φ

++=θ

x

yarctan

zyx

zarccos

222

(A.2.9)

onde :

(x, y, z) - é a coordenada do vértice (a rigor, poderia ser a coordenada de

qualquer ponto posterior à origem do raio. Porém, o ponto no

vértice é o primeiro ponto conhecido). O ponto (x, y, z) deverá

estar, naturalmente, no sistema de coordenadas da antena

transmissora.

Também aqui deve ser verificada a correta determinação dos ângulos θ e φ, no que diz

respeito aos quadrantes obtidos no cálculo dos arcos cosseno e tangente.

Assim como para o lançamento em duas dimensões, as coordenadas dos vértices do icosaedro

deverão ser convertidas para o sistema de coordenadas fixo ao cenário (expressões (5-1)),

para que se obtenha o vetor u , na direção do raio.

Na recepção também é necessária a obtenção do par (θ, φ), em relação ao sistema da antena

receptora. O procedimento é o mesmo realizado para a antena transmissora, com a observação

de que o ponto (x, y, z) das expressões (A.2.9) é o ponto origem do raio que chega ao receptor

e também deve, naturalmente, estar expresso nas coordenadas do sistema fixo à antena

receptora (conversão através das expressões (5-3)).

A.2.2.3.2. Para o Método das Imagens

As expressões para obtenção do par (θ, φ) são iguais às descritas para o método SBR. É

importante atentar para o fato de que o ponto de destino do raio originário na antena

transmissora (ou seja, o ponto onde ocorre a primeira reflexão ou difração) deverá estar

expresso no sistema de coordenadas fixo à antena transmissora, para a determinação do par

(θ, φ).

410

Para a recepção, é válida a mesma observação feita para o Método SBR.

Tanto para o Método SBR quanto para o Método das Imagens, o procedimento a seguir deve

ser utilizado, para a certificação do quadrante dos ângulos θ e φ calculados.

O seguinte teste deve ser realizado antes do cálculo de φ :

se a componente y = 0

se a componente x > 0 , então φ = 0

se a componente x < 0 , então φ = π

caso contrário, deve ser utilizado o procedimento de determinação de quadrante

descrito a seguir. Para a determinação do ângulo θ, sempre deve ser utilizado o

procedimento de determinação de quadrante descrito a seguir.

Para a correta determinação de θ

se θ calculado estiver no intervalo π < θ ≤ 2π , o valor de θ a ser utilizado (valor

corrigido) é dado por : θ = 2π - θ calculado ;

caso contrário, o valor calculado de θ deve ser utilizado.

Para a correta determinação de φ

se a componente y > 0 :

se φ calculado estiver no intervalo 0 < φ < π , o valor calculado de φ deve ser

utilizado ;

caso contrário, o valor de φ a ser utilizado é dado por : φ = φ calculado - π .

se a componente y < 0 :

411

se φ calculado estiver no intervalo π < φ < 2π , o valor calculado de φ deve ser

utilizado ;

caso contrário, o valor de φ a ser utilizado é dado por : φ = π + φ calculado.

Alternativamente ao uso das expressões (A.2.9), pode-se usar as seguintes expressões para a

determinação do par (θ, φ), tanto para o Método SBR como para o Método das Imagens :

( )( )'x.uarccos

'z.uarccos

=φ=θ

(A.2.10)

onde :

u - vetor unitário diretor do raio

'x e 'z - vetores unitários dos eixos z e x, respectivamente, do sistema fixo à

antena transmissora

Antes do cálculo de φ, deve ser feita a verificação já apresentada.

A.2.3. Referências Bibliográficas

[1] - Scott Y. Seidel and Theodore S. Rappaport, “Site-Specific Propagation Prediction for

Wireless In-Building Personal Communication System Design,” IEEE Trans. on Veh.

Technol., vol. 43, no. 4, Nov. 1994.

APÊNDICE 3 - DETALHAMENTOS RELATIVOS AO

CÁLCULO DA DIFRAÇÃO

Nesse Apêndice são apresentados detalhamentos relativos ao uso das expressões envolvidas

no cálculo da difração e listadas na Seção 4.2.3.3.3 do Capítulo 4. Serão tratadas :

− a Função de Transição de Fresnel;

− a reciprocidade na escolha das faces “0” e “n” de uma aresta;

− a correta determinação de quadrantes dos ângulos φ e φ’.

A.3.1. Função de Transição de Fresnel

Quando o argumento da Função de Transição de Fresnel é maior que 10, aproximadamente, a

função pode ser substituída pelo valor unitário. Para valores inferiores, especialmente para

kLa < 2π, o cálculo da função de transição passa a ser importante por se tratarem de regiões

de transição.

As seguintes aproximações podem ser utilizadas em substituição à expressão exata da Função

de Transição de Fresnel, F(x), apresentada em (4-73). Tais aproximações não envolvem o

cálculo de integral, podendo ser vantajosas no que se refere à velocidade de computação. A

seguir, são apresentadas as diferentes aproximações, conforme o intervalo de argumentos da

Função de Transição de Fresnel. [1]

para x > 5,5 :

432 x16

75

x8

15j

x4

3

x2

j1)x(F +−−+≅ (A.3.1)

para 0,3 < x ≤ 5,5 , é usado o esquema de interpolação abaixo :

( ) ( )[ ]( ) ( )i

i1i

i1ii xx

xx

xFxF)x(F)x(F −

−−

+≅+

+ (A.3.2)

413

com xi , F(xi) e [F(xi+1) - F(xi)] / (xi+1 - xi) apresentados na Tabela A.3.1 a

seguir.

xi F(xi) [F(xi+1) – F(xi)] / (xi+1 – xi)

0,3 0,5729 + j0,2677 0

0,5 0,6768 + j0,2682 0,5195 + j0,0025

0,7 0,7439 + j0,2549 0,3355 – j0,0665

1,0 0,8095 + j0,2322 0,2187 – j0,0757

1,5 0,8730 + j0,1982 0,1270 – j0,0680

2,3 0,9240 + j0,1577 0,0638 – j0,0506

4,0 0,9658 + j0,1073 0,0246 – j0,0296

5,5 0,9797 + j0,0828 0,0093 – j0,0163

Tabela A.3.1 - Valores para interpolação da expressão (A.3.2)

Observação a respeito da Tabela A.3.1 :

A referência [1] apresenta a segunda e terceira colunas erroneamente invertidas. A correção

foi feita com base nos algoritmos apresentados na própria referência e em [2]. Da mesma

forma, os valores complexos da primeira coluna para xi = 1,0 e da segunda coluna para xi =

1,5 foram corrigidos baseados nos mesmos algoritmos.

Dando prosseguimento à definição das aproximações para F(x) :

para 0 ≤ x ≤ 0,3 :

( )4/xj4/j2

4/j e3

ex2xe2x)x(F π+

π−π

−−π= (A.3.3)

para x < 0 :

F[x] = F* [|x|] , onde “*” indica o complexo conjugado (A.3.4)

414

A seguir é apresentado o resultado da execução do programa que compara a expressão exata

da Função de Transição de Fresnel com as aproximações para essa função. A listagem do

programa é apresentada na Seção A.11.1 do Apêndice 11.

No programa, a integral que faz parte da Função de Transição de Fresnel foi expressa de

forma diferente da apresentada na expressão (4-73). Isso foi feito para que se eliminasse o

limite superior infinito da integração naquela expressão. A transformação foi realizada como

explicado a seguir.

Sabendo-se que :

( ) ( ) ( ) I duusenjduucosdujuexpx x x

222 =−=−∫ ∫ ∫∞ ∞ ∞

Prosseguindo no desenvolvimento :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∴−−−π=+

+−π=

−π−−π=

=

−−−=

∫∫∫

∫∫

∫∫∫∫∞∞

duusenjucosj122

1duusenjduucos-

j122

1duusen

22

1jduucos

22

1

duusenduusenjduucosduucosI

x

0

22x

0

2x

0

2

x

0

2x

0

2

x

0

2

0

2x

0

2

0

2

( ) ( )∫ −−−π=x

0

2 dujuexpj122

1I (A.3.5)

415

Figura A.3.1 - Função de Transição de Fresnel, exata e aproximada

função F(x) exata : linhas contínuas;

função F(x) aproximada : linhas “-.-.”

A Figura A.3.1 obtida pelo cálculo da expressão exata é como a figura apresentada em [1],

Ap. B], e a função aproximada a reproduz com fidelidade, como pode ser observado.

Caso se opte por usar a Função de Transição de Fresnel F[x] na sua forma exata, deve ser

inserido no algoritmo que, se x > 5x102, então F[x] = 1. Tal teste é necessário pelo fato de ter

sido observado na plotagem de F(x) que, para valores do argumento que excedam 5x102

(aproximadamente), o comportamento de F(x) exata é errôneo (passa a não tender a um).

Possivelmente, o problema observado é causado pelo algoritmo usado (Método dos Trapézios

amplitude

fase(rad)

kLa±(β)

416

Repetidos) no cálculo da integral envolvida na expressão da Função de Transição de Fresnel.

O uso de um método numérico mais eficiente resolveria o problema, sem necessidade de

efetuar o teste de condição.

Se for feita a opção pelo uso das expressões aproximadas, não é necessário inserir o teste de

condição. As próprias aproximações geram F[x] = 1 para x > 10 (aproximadamente).

A.3.2. Independência dos cálculos em relação à escolha das faces

“0” e “n”

Na Seção A.11.3 do Apêndice 11, é apresentado um programa que determina os coeficientes

de difração Ds,h de um raio difratado. Serão apresentadas duas execuções do programa, onde

apenas uma das faces é iluminada. As duas execuções representam a mesma situação física,

ou seja, ambas analisam o mesmo raio incidente e o mesmo raio difratado. Porém, na primeira

execução, a face onde o raio incide é denominada face “0”; na segunda execução, a

denominação de faces é invertida.

A situação de iluminação de ambas as faces simultaneamente também foi testada, gerando,

assim como nas outras situações, resultados iguais de Ds,h independente da denominação das

faces. Para evitar repetição, são apresentadas apenas as execuções para uma face iluminada.

No exemplo que será apresentado, foi feita incidência segundo o plano normal à aresta (a

aresta é reta por simplicidade e por ser essa a situação de interesse no método de traçado de

raios), ou seja, o problema foi resumido a duas dimensões para simplificar a implementação

do cálculo de θi , embora as conclusões obtidas sejam gerais. Em duas dimensões, θi pode ser

obtido da seguinte maneira, com o auxílio da Figura A.3.2.

417

a - apenas face “0” iluminada b - apenas face “n” iluminada

c - ambas as faces iluminadas

Figura A.3.2 - Determinação de ângulos de incidência em duas dimensões

Apenas face “0” iluminada

Seja a Figura A.3.2a :

'2

: para0hs, ii0 φ−π=θ=θΓ (A.3.6)

o módulo é necessário devido à situação em

que φ’ > π/2 (quando o raio incidente passou

por 0n , no sentido horário da ilustração ao lado)

“0”“n”

θi0,nθin,0

“n”“0”

n,0n

0,nnnπ

“0” “n”

θi0

θin nπ

φ’

3π/2

0n

nn−

f

“0”“n”

θin

θi0nπ

φ’

prolongamentodo raio

normal àface “0”

θi0

nn

0n−

f

418

2

3'n : para

nhs, iin

π−φ−π=θ=θΓ (A.3.7)

o módulo é necessário devido à situação em que

φ’ > (nπ - 3π/2) (quando o raio incidente passou

por nn− , no sentido horário da ilustração ao lado)

Apenas face “n” iluminada

Seja a Figura A.3.2b :

π−φ−π=θ=θΓ

2' : para

0hs, ii0 (A.3.8)

o módulo é necessário devido à situação em que

φ’ > 3π/2 (quando o raio incidente passou por 0n− ,

no sentido anti-horário da ilustração ao lado).

Essa situação é a representada na ilustração ao lado.

( )'n2

: paranhs, iin φ−π−π=θ=θΓ (A.3.9)

o módulo é necessário devido à situação em que

φ’ < (nπ - π/2) (quando o raio incidente passou por nn ,

no sentido horário da ilustração ao lado)

Ambas as faces iluminadas

Seja a Figura A.3.3c :

'2

: para0hs, ii0 φ−π=θ=θΓ (A.3.10)

vale o mesmo comentário feito para a

situação em que apenas a face “0” é iluminada

419

2'n: para

nh,s iin

π−φ−π=θ=θΓ (A.3.11)

vale o mesmo comentário feito para a

situação em que apenas a face “n” é iluminada

A.3.3. Conferência de quadrantes dos ângulos φ e φ’

Na definição dos ângulos φ e φ’ em (4-81) e (4-79), respectivamente, foi utilizada uma

metodologia para verificação se a função arco cosseno utilizada gera o ângulo correto, ou

seja, gera um ângulo no quadrante correto. A obtenção da metodologia é simples, como

descrito a seguir.

Pela análise da Figura 4-10, verifica-se que :

se 0 ≤ φ’ ≤ π

o cosseno do ângulo formado entre os vetores 0'

.proj n e s&

será negativo ou nulo, de

forma que ( ) 0n.s 0'

.proj ≥−&

se π < φ’ < 2π

o cosseno do ângulo formado entre os vetores 0'

.proj n e s&

será positivo, de forma que

( ) 0n.s 0'

.proj <−&

se 0 ≤ φ ≤ π

o cosseno do ângulo formado entre os vetores 0.proj n e s&

será positivo ou nulo, de

forma que ( ) 0n.s 0'

.proj ≥&

se π < φ < 2π

o cosseno do ângulo formado entre os vetores 0.proj n e s&

será negativo, de forma que

( ) 0n.s 0'

.proj <&

420

Dessa forma, são definidos os valores :

( )0.proj

0'

.proj

n.sT

n.s'T&

&

=

−=(A.3.12)

Se T’ ≥ 0 e o ângulo φ’ obtido pela função arccos não atender a 0 ≤ φ’ ≤ π, o ângulo obtido,

embora possua o mesmo cosseno do ângulo correto, está no quadrante errado. O mesmo é

válido para T, em relação ao ângulo φ. O mesmo raciocínio deve ser aplicado na situação

onde T’ (T) < 0, quando então devemos ter π < φ’ (φ) < 2π.

Se é verificado que o ângulo calculado não está correto, a correção de quadrante é feita

subtraindo-se o ângulo calculado de 2π (ângulo correto = 2π - ângulo calculado).

A.3.4. Referências Bibliográficas

[1] - D. A. McNamara, C. W. I. Pistorius and J. A. G. Malherbe, “Introduction to the

Uniform Geometrical Theory of Diffraction,” Artech House, 1990.

[2] - Constantine A. Balanis, “Advanced Engineering Electromagnetics,” John Wiley &

Sons, 1989.

[3] - Robert G. Kouyoumjian and Prabhakar H. Pathak, “A Uniform Geometrical Theory os

Diffraction for an Edge in a Perfectly Conducting Surface,” Proceedings of the IEEE,

vol. 62, no. 11, Nov. 1974.

[4] - Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, “Handbook of Mathematical Functions,”

Dover Publications, Inc., 1970.

APÊNDICE 4 - INTERSEÇÃO ENTRE RAIO E FACE E

BACKFACE CULLING

Este Apêndice apresenta o detalhamento relativo ao teste de sombreamento, envolvendo

também a técnica básica Backface Culling. Em conjunto com o Capítulo 5, o presente

Apêndice fornece as metodologias necessárias à determinação de interseções entre raios e

faces planas.

A.4.1. Backface Culling

Essa técnica permite que seja verificado se determinada face de um sólido pode ser atingida

por um dado raio, ou se a face está encoberta por outras do sólido. O teste é feito verificando-

se a relação entre o vetor diretor do raio e o vetor normal à face analisada, orientado para fora

do sólido do qual a face faz parte. A Figura A.4.1 ilustra o procedimento de Backface Culling.

Figura A.4.1 - Backface Culling

u

1n

2n

422

Uma face pode ser atingida pelo raio se a seguinte condição for satisfeita :

0n.u < (A.4.1)

onde u é o vetor diretor do raio propagante e nˆ é a normal à face analisada.

O Backface Culling determina, portanto, se a face está “de frente” para o raio. Caso a

condição não seja atendida, a face pode ser descartada em verificações de obstrução. O teste

também pode ser utilizado para que seja verificado se um raio que parta de determinada

origem pode atingir a face. Nesse caso (muito útil para o Método das Imagens), o vetor u do

teste é o vetor com origem no ponto fonte em questão e fim em um dos vértices da face a ser

analisada.

A.4.2. Interseção entre raio e face (teste de sombreamento)

A verificação de interseção raio-face é um procedimento primordial em uma técnica de

traçado de raios e deve ser utilizada sempre que for necessário testar o bloqueio de um raio

por determinada face. No Método SBR, o teste de sombreamento é realizado no percurso de

todos os novos raios gerados, para determinar se alguma face é interceptada. Caso sejam

utilizadas técnicas de aceleração apropriadas, será menor o número de faces para as quais seve

ser aplicado o teste de sombreamento. No Método das Imagens, as metodologias descritas

nesse Apêndice podem ser utilizadas na sua totalidade, para o teste de sombreamento em um

determinado percurso (Tx - face, face - face, ou face - Rx) já definido, como também pode ser

utilizada apenas a porção deste Apêndice relativa à verificação se um determinado ponto do

plano da face está sobre a face (Seção A.4.2.3 do Apêndice). O uso apenas da Seção A.4.2.3 é

necessário quando se deseja verificar se um possível ponto de reflexão determinado em um

plano pelo Método das Imagens é, de fato, um ponto de reflexão (está sobre uma face do

plano).

Da mesma forma, a implementação da busca por pontos de difração em conjunto com o

Método das Imagens também requer a realização de testes de sombreamento nos percursos

definidos pelas classes de trajetórias de raios.

423

O teste de sombreamento consiste de duas etapas básicas :

− verificação da interseção entre o raio e o plano que contém a face;

− verificação se o ponto de interseção pertence à face.

Para a execução do teste é necessário que se conheça a respeito de cada face :

− equação do plano que contém a face (descrita na Seção A.4.2.1 deste Apêndice);

Embora haja mais de uma maneira de se definir o plano, a definição através do uso

do vetor unitário normal é mais conveniente;

− vetor normal à face (detalhamento apresentado no Apêndice 7, Seção A.7.2).

Uma forma de acelerar a busca por faces para a realização do teste de sombreamento (na

ausência de uma técnica de aceleração específica para tal), ao invés de se testar todas as faces,

é realizar antes o teste Backface Culling. Seja uma determinada face, define-se :

b&

- vetor ligando a origem do raio a qualquer vértice da face analisada

n - normal à face

Se b&

. n < 0 , é possível que a face seja atingida pelo raio; caso contrário, a face não precisa

ser testada quanto ao sombreamento. A aplicação do Backface Culling, embora não garanta a

eliminação de todas as faces, já que podem existir faces situadas atrás do raio (sem interesse,

portanto) que atendam à inequação do produto escalar, permite que se elimine faces

localizadas à frente do raio que nunca poderiam ser atingidas por não estarem voltadas para

ele.

A.4.2.1. Plano que contém a face

A determinação das equações dos planos das faces do cenário é um procedimento que ocorre

uma única vez na execução do programa de traçado de raios.

424

A equação de um plano é escrita da forma Ax + By + C z + D = 0. Embora a forma de se

determinar a equação de um plano não seja única, é apresentada a maneira usual, através do

vetor unitário normal ao plano. Conhecendo-se o vetor unitário normal à face, os coeficientes

são dados por :

)CzByAx(D

n)C,B,A(

111 ++−==

(A.4.2)

onde :

(x1 , y1 , z1) - qualquer ponto da face (um vértice, por exemplo)

A.4.2.2. Verificação de interseção entre o raio e o plano da face

Primeiramente deve ser definida a reta que contém o raio. As equações paramétricas de uma

reta no espaço são [1] :

x = x0 + λa

y = y0 + λb (A.4.3)

z = z0 + λc

onde :

(a,b,c) = u - vetor unitário diretor do raio

(x0, y0, z0) - ponto qualquer conhecido, sobre a reta

(x, y, z) - ponto sobre a reta, para um dado valor de λ

λ - parâmetro que, ao percorrer os números Reais, descreve a reta. O parâmetro λ

é positivo se o ponto (x, y, z) é posterior ao ponto (x0 , y0 , z0), no sentido do

vetor diretor (a, b, c); equivalentemente, λ será negativo para pontos anteriores

à (x0 , y0 , z0).

A verificação da interseção propriamente dita é efetuada pelo produto escalar nˆ.u , onde u é o

vetor unitário diretor do raio e nˆ é a normal à face em questão.

Se n.u = 0 , há duas possibilidades de interesse. São elas :

425

− o raio é paralelo ao plano e, portanto, não há interseção;

− raio está sobre o plano. Para isso, também é necessário que

0Dn.r0 =+&

(A.4.4)

onde :

0r&

- vetor que une a origem do sistema de coordenadas fixo ao cenário à

origem do raio (ponto onde o raio surge)

D - um dos coeficientes da equação do plano, como já descrito

Nesse caso, é possível que o raio propagante atinja um lado da face, causando

difração (método SBR). No Método das Imagens, uma ocorrência desse tipo (raio

sobre um plano e que intercepta uma aresta nesse plano) é também considerada

obstrução, e conclui-se que o percurso analisado não pode existir. Para que seja

feita essa verificação, são utilizadas as expressões de verificação de cruzamento

entre uma linha orientada (o raio sobre o plano, nesse caso) e um segmento (cada

lado da face sobre o plano), (A.4.7). Basta que seja verificada a existência de um

cruzamento com um lado qualquer de uma face para que se conclua que o

percurso analisado não existe (Método das Imagens).

A expressão (A.4.4) é compreendida através da explicação que se segue. Em equações de

plano representadas da forma Ax + By + Cz + D = 0, onde (A, B, C) é o vetor unitário normal

ao plano, o coeficiente D é a distância perpendicular entre a origem do sistema de

coordenadas e o plano (D é positivo se a orientação da normal é voltada para a origem e é

negativo em caso contrário). O produto nˆ.r0&

fornece a distância perpendicular entre a origem

do raio e a origem do sistema de coordenadas, como ilustra a Figura A.4.2.

426

Figura A.4.2 - Raio sobre o plano da face

Pela Figura A.4.2 é observado facilmente que, se Dn.r0 −=&

, o ponto origem do raio estará

sobre o plano. Como a condição 0n.u = já havia sido atendida, conclui-se que o vetor está

sobre o plano.

Por outro lado, se 0n.u ≠ há interseção entre o plano da face e a reta que contém o raio. A

determinação do ponto de interseção entre a reta que contém o raio e o plano que contém a

face é feita da forma que se segue.

Um ponto de interseção reta-plano corresponde ao valor de λ : [1]

( )CcBbAa

DCzByAx 000

+++++

−=λ (A.4.5)

onde :

(x0 , y0 , z0) - ponto origem do raio, que é um ponto conhecido da reta

A, B, C e D - coeficientes da equação do plano

(a, b, c) - vetor unitário diretor do raio

Só interessam valores positivos de λ, pois valores negativos correspondem a faces

interceptadas pela reta do raio, mas que estão atrás do ponto origem do raio, (x0 , y0 , zo).

origem do sistema decoordenadas

0r&

n

raio paralelo aoplano

D(negativo)

427

Uma vez calculado o valor de λ, se este é maior que zero, são usadas as equações (A.4.3), e o

ponto de interseção (xi , yi , zi) é determinado.

Para cada face testada quanto à interseção com o raio, será obtido um valor de λ (poderá

haver valores iguais, para faces situadas em um mesmo plano). O valor de λ é maior para

pontos mais afastados do ponto origem (x0 , y0 , z0), na direção do unitário diretor do raio.

Para o Método das Imagens, como o raio para o qual será aplicado o teste de sombreamento já

possui pontos origem e fim conhecidos, primeiramente são determinados os valores de λ para

esses dois pontos. Os valores de λ de interesse (válidos) serão apenas os que estiverem entre

os dois valores limite obtidos.

Para ambos os métodos (SBR e Imagem), todos os valores válidos de λ obtidos são então

dispostos em ordem crescente. É então verificado se os pontos de interseção correspondentes

a cada valor de λ armazenado (seguindo a ordenação crescente) pertencem a uma face contida

em cada plano, ou se pertencem apenas ao plano (situação em que não há interesse). Tão logo

seja encontrado um ponto de interseção pertencente a uma face, o processo de busca é

interrompido e a interseção raio-plano é confirmada. É interessante atentar para o fato de que,

em implementações baseadas no Método das Imagens, não importa qual é a primeira face

interceptada, e sim, apenas se alguma face é interceptada ou não (o que é suficiente para que

se decida se determinado percurso existe ou não). Portanto, nesse tipo de implementação, não

é necessário que se ordene λ.

Outra solução possível seria calcular λ para todas as faces (independente de orientação da

face em relação ao raio) e, após eliminadas todas as faces que apresentassem λ < 0, aplicar o

Backface Culling para eliminar faces à frente do raio mas que não poderão ser atingidas por

ele. A implementação de ambas as soluções pode indicar qual abordagem é a mais eficiente.

Alternativamente, quando os pontos origem e fim do raio (pontos 10 r e r&&

, respectivamente)

são conhecidos, o que ocorre em implementações baseadas no Método das Imagens, a

428

expressão (A.4.6) a seguir pode ser utilizada em lugar do tratamento apresentado até aqui

(envolvendo o parâmetro λ).

( ) n.rr

Dn.rt

01

0i &&

&

−+−= (A.4.6)

onde, há interseção raio-plano se 0 ≤ ti ≤ 1

Pela Figura A.4.3 é possível compreender o significado da expressão (A.4.6).

Figura A.4.3 - Interseção raio plano da face

Na expressão (A.4.6), ( ) n.rr 01

&&

− é o comprimento do raio projetado perpendicularmente ao

plano, enquanto que ( )Dn.r0 +&

é a soma da distância perpendicular ao plano entre a origem do

sistema de coordenadas e a origem do raio com a distância perpendicular entre a origem do

sistema e o plano (D). Sempre que ( ) n.rr 01

&&

− for maior que ( )Dn.r0 +&

, o raio terá atravessado

o plano. O sinal negativo em (A.4.6) serve para inverter o sinal da razão entre as projeções e,

assim, tornar ti positivo caso haja interseção, de forma que seu valor seja usado na equação

paramétrica do raio ( )010 rrtr)t(r&&&&

−+= para determinar o ponto de interseção.

0r&

1r&

n

origem do sistemade coordenadas

D(negativo)

n.r0

&

( ) n.rr 01

&& −

429

A determinação do ponto de interseção raio-plano através de (A.4.6) e da equação paramétrica

do raio é interessante para se calcular pontos de reflexão no Método das Imagens, por

exemplo, onde são conhecidos a origem e o fim do raio.

O processo de determinação se um ponto de interseção raio-plano pertence a uma face do

plano é descrito no item seguinte.

A.4.2.3. Verificação se o ponto de interseção raio-plano pertence a uma

face

O procedimento, conhecido por Jordan Curve, é apresentado a seguir (Figura A.4.4). [2]

− a partir do ponto de interseção, é traçada uma semi-reta orientada (linha orientada) em

qualquer direção, sobre o plano da face;

− é então computado o número de cruzamentos da linha orientada com os lados da face.

• se o número for par, o ponto de interseção está fora da face

• se o número for ímpar, o ponto de interseção está dentro da face

Figura A.4.4 - Teste Jordan Curve

(pontos ir&

são exemplos de pontos de interseção)

.ir*

.

3 cruzamentos → dentro da face

2 cruzamentos → fora da face

X

Yir*

430

Aqui é importante atentar para a situação em que um mesmo plano contenha mais de uma

face. Na contagem do número de interseções entre a linha orientada e os lados de face, deve

ser verificado se todos os lados interceptados pertencem a uma mesma face. A contagem não

deve misturar interseções em lados de faces distintas situadas em um mesmo plano.

A.4.2.3.1. Cruzamento da linha orientada com os lados da face

− é inserido um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional sobre o plano (para

simplificar, um dos eixos pode ser um dos lados da face, e o outro, naturalmente,

perpendicular ao primeiro);

− para simplificar e otimizar o algoritmo, a linha traçada a partir do ponto de interseção é

paralela ao eixo x (Figura A.4.4). A aplicação dos procedimentos que serão

apresentados depende desse detalhe, como ficará claro.

Os lados da face são segmentos com extremos dados por

( ) ( )2s2ss21s1s1s y,xr e y,xr ==&&

, no sistema de coordenadas do plano. Cada segmento

tem a seguinte equação paramétrica :

( ) 1t0 , rrtrr 1s2s1s ≤≤−+=&&&&

Ocorre interseção linha orientada-segmento se as condições seguintes forem

satisfeitas :

ys1 ≠ ys2 ;

0 ≤ ts ≤ 1 , onde 1s2s

1sis yy

yyt

−−= ; (A.4.7)

xi ≤ xs1 + ts(xs2 – xs1) .

A primeira condição em (A.4.7) assegura que a linha orientada e o segmento não são

paralelos; a segunda, garante que a reta que contém a linha orientada efetivamente

intercepta o segmento, e não apenas a reta que contém o segmento; e a terceira

condição certifica que a linha orientada não está cruzando o segmento em um ponto

situado antes do primeiro ponto da linha orientada, ou seja, assegura que a interseção

431

ocorre efetivamente entre o segmento e a linha orientada, e não apenas entre o

segmento e a reta que contém a linha orientada.

A situação em que ( )1s2ss1si xxtxx −+= corresponde à difração (método SBR) ou,

evidentemente, ao descarte do percurso analisado, no Método das Imagens.

− uma situação particular ocorre quando o segmento está total ou parcialmente contido

na linha orientada. Para isso, as condições (A.4.8) a seguir devem ser satisfeitas :

ys1 = ys2 = yi ; (A.4.8)

xi < xs1 ou xi < xs2 . (xi não pode ser menor que ambos xs1 e xs2)

A primeira condição em (A.4.8) garante que o segmento está na reta que contém a

linha orientada; e a segunda, assegura que há pelo menos uma porção (e apenas uma

porção) do segmento à frente da origem da linha orientada. Se essa situação ocorrer,

não serão realizadas as verificações de interseção entre a linha orientada e os outros

segmentos. O ponto de interseção pertence à face (está sobre uma aresta do sólido), e

ocorre difração (método SBR) ou conclui-se que o percurso não existe, no Método das

Imagens.

Um problema verificado no algoritmo da Jordan Curve é a situação em que a linha orientada

cruza apenas vértice (um ou mais de um) e nenhum lado da face pois, nesse caso, a linha pode

entrar ou sair da face e o algoritmo não perceberá. Uma alternativa de solução seria a

seguinte. Ao se verificar que essa situação ocorreu, é feito com que o sistema de coordenadas

criado sobre o plano mude de orientação. Como a linha orientada é paralela a x, ela também

terá sua direção alterada e a verificação de cruzamento recomeça, possivelmente, sem o

cruzamento de vértices apenas. A translação do eixo x também é uma solução possível, desde

que se garanta que a linha orientada seja criada sobre este eixo (e não apenas paralela a ele),

de forma que ela seja também transladada. A referência [3] propõe um método muito mais

elaborado e que, segundo a própria referência, é o método ótimo para se resolver o problema.

432

A.4.2.4. Sumário do procedimento

Os diagramas a seguir sumarizam o procedimento de teste de interseção raio-face (teste de

sombreamento).

Figura A.4.5 - Sumário do procedimento de teste de interseção raio-face (I)

reta que contém o raioplano

raio e plano são paralelos ?

raio no plano ?

raio rasante aoplano

não há interseçãoraio-plano

SIM

SIM

NÃO

NÃO

face

determinação do planoda face

determinação do ponto deinterseção reta-plano

plano a frente do raio(λ > 0) ?

SIM NÃO

não há interseçãoraio-planoarmazenamento da posição da

face segundo ordenaçãocrescente de valores de λ

realizado uma únicavez na execução

interseção com ladode face, no plano ?

SIM NÃO

Método SBR : difração

Método das Imagens :percurso analisado nãoexiste

não há interseçãoraio-plano

433

Uma observação a ser feita é de que, no Método das Imagens, o teste “plano a frente do raio

(λ > 0) ?” é substituído por “plano entre início e fim do raio ?”. A resposta ao teste é obtida

pela comparação entre λ obtido e os valores de λ do ponto origem do raio (λ = 0) e do ponto

fim do raio, como já explicado (a menos que se use a expressão alternativa apresentada,

através do parâmetro ti de interseção raio-plano).

Figura A.4.6 - Sumário do procedimento de teste de interseção raio-face (II)

Vale ressaltar que o procedimento de determinação se o ponto de interseção pertence

efetivamente a uma face do cenário é executado uma vez apenas por plano, independente do

plano possuir mais de uma face.

procedimento é repetido paratodos os planos a serem

analisados

ponto de interseção (segundoordenação feita) pertence a

face do plano ?

SIM NÃO

há interseção raio-face eo teste é terminado

plano testado era oúltimo da lista

ordenada ?

SIM NÃO

o raio não interceptanenhuma face

é testado o próximoelemento da lista

ordenada

434

A.4.2.5. Otimização do algoritmo de interseção raio-face, para faces

especiais

Uma proposta de otimização dos procedimentos descritos é apresentada em [2] e parte do

princípio de que muitas das faces do cenário serão verticais. Para essas faces, pode-se utilizar

um outro algoritmo de teste de interseção raio-face, cuja implementação é descrita adiante.

− o eixo z do sistema de coordenadas fixo ao cenário deve ser orientado verticalmente

(embora essa seja uma escolha natural, aqui é uma obrigatoriedade). Dessa forma, o

plano xy corresponde ao plano horizontal do cenário, perpendicular, portanto, às faces

verticais. Esse sistema é o ilustrado na Figura 5-1, no Capítulo 5;

− no plano horizontal (plano xy), as faces verticais são representadas por segmentos, que

correspondem à projeção horizontal da face. Dessa maneira, a análise da interseção

raio-face é dividida em duas etapas :

• a reta que contém o raio propagante é projetada sobre o plano horizontal (anulando

a componente z da reta). É determinado se há interseção da reta projetada com o

segmento (projeção da face). Esse primeiro passo é reduzido a um teste de

interseção em duas dimensões;

• caso seja encontrado um ponto de interseção, a componente z do raio deve ser

determinada. O valor de z é comparado com os valores de z dos vértices da face

analisada, determinando se o ponto efetivamente está sobre a face.

O procedimento apresentado a seguir descreve como se determina interseção entre

segmentos em um plano (plano xy, no caso), e é necessário para se determinar a

interseção entre a projeção do raio e a projeção da face, no plano xy.

A.4.2.5.1. Interseção entre segmentos no plano xy

Os dois segmentos envolvidos são determinados pelos seus extremos

( ) ( ) ( ) ( )4s4ss43s3ss32s2ss21s1s1s y,xr , y,xr e y,xr , y,xr ====&&&&

, respectivamente.

435

Na reta que contém o raio, um dos pontos (xs , ys) é a própria origem do raio, sem a

componente z, (x0 , y0). O outro ponto (xs , ys) da reta do raio (referente ao extremo oposto à

origem do raio), no Método das Imagens é o ponto fim do raio (já conhecido), sem a

componente z. No método SBR, entretanto, esse ponto (xs , ys) deve ser determinado da

seguinte maneira :

• no início da execução, deve ser estipulado um par (xM , yM), fixo, limite para o

cenário;

• a equação da reta que contém o raio, projetada em xy é :

x = x0 + λa’ (A.4.9)

y = y0 + λb’

onde :

x0 e y0 - componentes x e y da origem do raio

(a’, b’) - vetor diretor (u ) do raio projetado em xy

projeção de u em xy : ( )zz.uuP −=&

, onde zˆ é o unitário do

eixo z

unitário : )'b,'a( P

P'u == &

&

λ - parâmetro que, percorrendo os números Reais, descreve a projeção

da reta

• nas equações (A.4.9) é feito x = xM e y = yM

Serão obtidos então, dois valores para λ (será obtido um mesmo valor para λ

apenas se, por coincidência, o par (xM , yM) pertencer à reta). Deve ser escolhido o

menor valor, positivo, de λ. Com o valor escolhido de λ, é calculado xs (ou ys)

oposto à origem do raio. A outra componente (ys , ou xs , respectivamente) será o

próprio yM ou xM , conforme o λ escolhido tenha sido obtido à partir de yM ou de

xM , respectivamente.

436

Se os dois λ’s obtidos forem negativos, deve ser estipulado (xM , yM) = (0, 0). Essa

nova coordenada é então levada às equações (A.4.9) e o menor valor, positivo de λ

deve ser tomado, como já descrito para par (xM , yM) original.

Uma observação a ser feita é que, para o funcionamento do procedimento descrito,

é necessário que o posicionamento da origem do sistema de coordenadas fixo ao

cenário seja da forma ilustrada na Figura 5-1, em um extremo do cenário.

Obtidos os dois pontos extremos de ambos os segmentos, o teste de interseção continua

através da definição dos seguintes coeficientes :

A = ys2 – ys1 , A’ = ys4 – ys3 , B = xs1 – xs2 , B’ = xs3 – xs4 ,

C = ys1xs2 – ys2xs1 , C’ = ys3xs4 – ys4xs3 (A.4.10)

Se AB’ – A’B = 0, os segmentos são paralelos, e não há interseção, a menos que o raio esteja

no plano da face, quando então deve ser verificado se há interseção; caso contrário, as retas

que contêm os segmentos se interceptam no ponto :

B'A'AB

A'C'CAy

B'A'AB

C'B'BCx II −

−=−−= (A.4.11)

Deve ainda ser verificado se o ponto (xI , yI) efetivamente pertence aos dois segmentos. Para

isso, as condições a serem atendidas são :

1yy

yy0 ou 1

xx

xx0

; 1yy

yy0 ou 1

xx

xx0

3s4s

3sI

3ss4

3sI

1ss2

1sI

1s2s

1sI

≤−−

≤≤−−

≤

≤−−

≤≤−−

≤(A.4.12)

Não foi investigada a situação em que o raio está no plano da face. Nessa situação, caso os

dois segmentos tenham pelo menos um ponto em comum, há possibilidade de interseção raio-

face.

437

A.4.2.5.2. Determinação da componente z

Verificado que o ponto de interseção (xI , yI) pertence a ambos os segmentos, deve ser

determinada a componente z correspondente a esse ponto. Sejam :

(xi , yi , zi) - coordenada do ponto inicial (Pi) do segmento de reta que contém o raio

(xf , yf , zf) - coordenada do ponto final (Pf) do segmento de reta que contém o raio

(xI , yI , zI) - coordenada do ponto de interseção (PI) entre o segmento de reta que

contém o raio e o plano da face

A - distância entre as projeções de PI e Pi no plano xy. Deve ser utilizada

expressão de distância do Apêndice 7 (Seção A.7.1), com (x1 , y1 , z1) =

(xi , yi , 0) e (x2 , y2 , z2) = (xI , yI , 0)

B - distância entre as projeções de Pf e Pi no plano xy. Cálculo da mesma

forma de A, porém (x1 , y1 , z1) = (xi , yi , 0) e (x2 , y2 , z2) = (xf , yf , 0)

Obtém-se ( )

B

A.zz'z if −= , e a coordenada zI é dada por z = zi + z’.

É verificado se a componente zI corresponde a um ponto sobre uma face do plano, através da

comparação de zI com as componentes z dos vértices da face (ou das faces) do plano. Se é

verificado que o ponto de interseção pertence a uma face do plano, é feita a ordenação

segundo λ conforme já apresentado na metodologia de cálculo de interseção anterior. A

ordenação basear-se-á nos valores de λ dos pontos de interseção obtidos por (A.4.5) quando

levados às expressões (A.4.3), onde é feito x = xI e y = yI .

Caso o ponto de interseção não pertença a nenhuma face, não é necessário incluir o respectivo

plano interceptado na lista ordenada de valores de λ, naturalmente.

É importante observar que a implementação de Técnicas de Aceleração conforme as

propostas no Capítulo 5, por exemplo, pode implicar em adaptações em alguns procedimentos

do teste de sombreamento proposto nesse Apêndice. Deve ser feita uma análise cuidadosa

para que as técnicas de aceleração se adequem ao método de forma coerente.

438

A.4.3. Referências Bibliográficas

[1] - Luiz Adauto Medeiros, Nirzi Gonçalves de Andrade e Augusto Maurício Wanderley,

“Álgebra vetorial e Geometria”, Editora Campus, 1981.

[2] - Manuel F. Cátedra and Jesús Pérez-Arriaga, “Cell Planning for Wireless

Communications,” Artech House - Mobile Communications Series, 1999.

[3] - A. S. Glassner, (Ed.), “An Introduction to Ray Tracing,” San Diego, CA, Academic

Press, 1989.

APÊNDICE 5 - RECEPÇÃO - ESFERA DE RECEPÇÃO

(MÉTODO SBR)

Esse Apêndice apresenta o método de determinação da recepção de um raio por um ponto de

recepção, através do conceito de esfera de recepção, apresentado na Seção 5.4.2.3 do Capítulo

5 e na Seção A.2.2.1 do Apêndice 2. Antes, porém, é descrito um breve procedimento para a

escolha dos pontos de recepção a serem analisados quanto à recepção de determinado raio.

Esse procedimento pode ser entendido como uma técnica de aceleração para a determinação

dos pontos de recepção relevantes para determinado raio propagante, no Método SBR

(Shooting and Bouncing Rays).

Para cada raio propagante deve ser verificado onde o raio termina, ou seja, primeiramente

devem ser realizados os testes de sombreamento, para verificar se o raio é obstruído. Esse

procedimento é exatamente o procedimento usual a ser adotado com todo raio a partir de sua

geração, como já descrito. Caso o raio seja obstruído, o plano que contém a face interceptada

dividirá o cenário em duas partes. Só deverão ser analisados quanto à recepção os pontos de

recepção localizados antes do plano (em relação à normal ao plano).

A etapa seguinte consiste na definição da posição relativa entre todos os pontos de recepção e

o plano interceptado. Sejam :

P&

- vetor ligando o ponto de recepção ao ponto de interseção

n - normal à face interceptada (orientada para fora do sólido do qual a face faz parte,

como definição usual da normal)

Se 0P.n <&

, o ponto de recepção está à frente do plano em relação à normal ao plano.

A verificação é feita para todos os pontos de recepção, até que se determine quais estão antes

(à frente) do plano. Dentre os pontos situados à frente do plano de interseção, devem ser

escolhidos para verificação de recepção apenas aqueles que estejam também à frente da

origem do raio. Sejam :

440

u - vetor unitário diretor do raio

RP&

- vetor com origem na origem do raio e extremo no ponto de recepção

Se RP.u&

< 0 , o ponto de recepção está após o início do raio e deverá, então, ser considerado.

Os dois produtos escalares apresentados, aplicados a todos os pontos de recepção, permitem

que se limite o número de pontos de recepção a serem examinados quanto à recepção. Caso o

raio não seja obstruído, é feito apenas o segundo produto escalar, evidentemente.

Definidos os pontos de recepção a serem analisados quanto à recepção do raio, as seguintes

etapas devem ser realizadas para que se determine a recepção. Sejam :

u - unitário diretor do raio

P0 - ponto de recepção

W - ponto origem do raio

− é definido o vetor ( )WP0

&&

− , onde :

0P&

- vetor que une a origem do sistema de coordenadas fixo ao cenário ao ponto P0

W&

- vetor que une a origem do sistema de coordenadas fixo ao cenário ao ponto W

− é calculada a distância d’ entre o ponto W e a projeção perpendicular do ponto de

recepção sobre a reta que contém o raio (Figura A.5.1). A distância d’ é dada por :

( ) u. WP'd 0

&&

−= (A.5.1)

Figura A.5.1 - Geometria auxiliar para verificação de recepção (Método SBR)

.uP0.

W

raio

WP0

&&

−

.d’

PI

441

− o comprimento unfolded será a soma de d’ com a distância total percorrida pelo passado

do raio (família de raios que lhe deu origem), de acordo com sua fonte, como já explicado

no Capítulo 5, na sua Seção 5.4.2.3.

− é determinado o ponto de interseção entre a reta do raio e a reta perpendicular a ela e que

passa pelo ponto de recepção, Po . Ou seja, é determinado o ponto de recepção projetado

sobre a reta que contém o raio (Figura A.5.1). Esse ponto é determinado da seguinte

forma. Sejam :

zzyyxxW

e zzyyxxu'd'd

WWW

'd'd'd

++=

++==&

&

(A.5.2)

O vetor que une a origem ao ponto de interseção PI é dado por ( )W'd&&

+ e, então o ponto de

interseção PI é dado por : PI = (xd’ + xW , yd’ + yW , zd’ + zW) .

− a última etapa consiste na verificação se a projeção perpendicular do ponto de recepção

sobre o raio, PI , pertence à esfera de recepção. Sejam :

(xI , yI , zI) - ponto de interseção (PI)

(x0 , y0 , z0) - ponto de recepção (P0)

3

dR

α= - raio da esfera de recepção centrada no ponto de recepção

• verificação :

(xI - x0)2 + (yI - y0)

2 + (zI - z0)2 ≤ R2 (A.5.3)

Se o resultado da verificação (A.5.3) for verdadeiro, o raio é recebido.

APÊNDICE 6 - DETERMI NAÇÃO DO RAIO

TRANSMITIDO - PONTO DE GERAÇÃO

DO RAIO E DIREÇÃO DE PROPAGAÇÃO

A.6.1. Direção do raio refratado

Baseado no desenvolvimento apresentado em [1, Sec. 5.4.2] e em [2, Sec. 9.8], é apresentado

a seguir o procedimento de cálculo do ângulo real de refração na primeira interface de uma

estrutura atravessada (Figura 4-6 e Figura 5-5), cujo resultado consta no Capítulo 4,

expressões (4-37) a (4-42). Seja a Figura A.6.1.

a b

Figura A.6.1 - Geometria para cálculo de ângulo de refração

Na Figura A.6.1a, o meio 1 é o ar e o meio 2 é o meio que compõe a estrutura. Define-se,

então :

γ1 = α1 + jβ1 = jβ1 (A.6.1-a)

γ2 = α2 + jβ2 (A.6.1-b)

z

xmeio 1 meio 2

face(primeira interface daestrutura)

θi

θt

z

x

θx

θz

443

Pela Lei de Snell da Refração (4-25) :

i22

1i

2

1t sen

j

jsensen θ

β+αβ

=θγγ

=θ (A.6.2)

( )ν+ν==θ

β+α

β−±=θ−±=θ ν senjcosssesen

j

j1sen1cos j

i2

2

22

1t

2t

(A.6.3)

A expressão do campo refratado para o meio 2 pode ser escrita da seguinte forma :

2E&

= 2E&

exp[-γ2(x.senθt + z.cosθt)] = 2E&

exp[-(α2 + jβ2)(x.senθt + z.cosθt)] (A.6.4)

Substituindo (A.6.2) e (A.6.3) em (A.6.4) :

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]{ }νβ+να+θβ−νβ−να−=

=

ν+ν+θ

β+αβ

β+α−=

cossens.zsenxjexpsencoss.zexpE

senjcoss.zsenj

j.xjexpEE

22i1222

i22

12222

&

&&

(A.6.5)

Fazendo :

p = s(α2 cosν - β2 senν) (A.6.6-a)

q = s(α2 senν + β2 cosν) (A.6.6-b)

E levando em (A.6.5), tem-se :

2E&

= 2E&

exp(-zp)exp[-j(β1 x.senθi+zq)] (A.6.7)

Deseja-se escrever a segunda exponencial de (A.6.7) da forma exp[-j(β’ z z + β’ x x)], onde :

β’ z = β’cosθz - constante de propagação da onda em z (Figura A.6.1b)

'

'cos z

z ββ=θ (A.6.8)

444

β’ x = β’cos θx = β’sen θz - constante de propagação da onda em x (Figura A.6.1b)

'

'sen x

z ββ=θ (A.6.9)

Como 22z

2x ''' β=β+β :

2z

2x

zz

''

'cos

β+β

β=θ ;

2z

2x

xz

''

'sen

β+ββ=θ (A.6.10)

Comparando a segunda exponencial de (A.6.7) com exp[-j(β’ z z + β’ x x)], é obtido :

β’ x = β1 senθi e (A.6.11)

β’ z = q (A.6.12)

que, levados a (A.6.10), fornecem :

( ) 22i1

z

qsen

qcos

+θβ=θ ;

( ) 22i1

i1z

qsen

sensen

+θβ

θβ=θ (A.6.13)

O ângulo θz é o ângulo real entre 0 e π/2 que se deseja determinar. Para isso, é necessário que

se obtenha o parâmetro q, o que é feito conforme descrito a seguir.

O parâmetro q fica definido ao se calcular s e ν de (A.6.3). Para isso, as expressões (A.6.2) e

(A.6.3) serão apresentadas de uma forma mais conveniente aos cálculos.

Multiplicando e dividindo (A.6.2) por (α2 - jβ2) é obtido :

( ) ( )

( ) it

i2222

22

1i222

222

1t

senjbasen

senjsenjj

sen

θ+=θ

∴θα+ββ+α

β=θβ−αβ+α

β=θ(A.6.14)

onde :

22

22

21aβ+α

ββ= e 22

22

21bβ+α

αβ= (a > 0 e b > 0) (A.6.15)

445

A expressão (A.6.3) fica :

( ) ( ) ν=θ+−−=θ+−=θ−=θ ji

222i

22t

2t sesenjab2ba1senjba1sen1cos

(A.6.16)

A expressão (A.6.16) é elevada ao quadrado e os termos reais e imaginários são agrupados,

chegando a um sistema de duas equações e duas incógnitas :

1 - (a2 - b2 + 2jab) sen2θi = s2 e2jν = s2[cos(2ν) + jsen(2ν)] ∴

1 - (a2 - b2)sen2θi = s2 cos(2ν) (A.6.17-a)

-2ab sen2θi = s2 sen(2ν) (A.6.17-b)

Dividindo (A.6.17-b) por (A.6.17-a) :

( ) ( )( )

( ) (cte.) Asenba1

senab2

sen21

sen1sen2

sen21

sen1sen2

sencos

cossen2

2cos

2sen2tg

um para

dadoi

222i

2

2

2

2

2

22

iθ=

θ−−θ−

=ν−

ν−ν±

∴ν−

ν−ν±=ν−ν

νν=νν=ν

(A.6.18)

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1A4

Acos.sen

1A4

Asen1sen

1A4

Asensen

A1Asen41Asen4senA4senA4Asen4sen4

Asen4sen41

sen4sen4A

sen21

sen1sen4A

sen21

sen1sen2

2

222

2

222

2

242

224224222242

242

422

22

222

2

2

2

+=νν∴

+=ν−ν∴

+=ν−ν

∴=+ν−+ν∴ν+ν−=ν−ν

∴=ν+ν−

ν−ν∴=ν−

ν−ν∴=

ν−

ν−ν±

(A.6.19)

Sabendo que sen(2ν) = 2senνcosν :

sen2(2ν) = 2sen2νcos2ν ∴ ( )

4

2sencossen

222 ν=νν (A.6.20)

Levando (A.6.20) a (A.6.19), chega-se a :

446

( )( ) ( )

1AA

2sen1A4

A4

2sen2

2

2

22

+±=ν∴

+=ν

(A.6.21)

Da equação (A.6.17-b), sabemos que sen(2ν) ≤ 0. Então :

( )1A

A2sen 2

2

+−=ν (A.6.22)

O módulo de cosθt , s, é determinado à partir de (A.6.17-b) e (A.6.22), como se segue (na

verdade, é obtido s2 , necessário ao cálculo de q2, como será visto) :

-2ab sen2θi = s2 sen(2ν) ∴ ∴

+−=θ−

1A

Assenab2 2

22

i2

1AA

senab2s

2

2

i2

2

+

θ= (A.6.23)

De (A.6.6-a) e (A.6.6-b) :

( )( )νβ+ννβα+να=

νβ+ννβα−να=22

22222

222

22222

222

22

coscossen2sensq

sencossen2cossp(A.6.24)

Sabendo que :

2senνcosν = sen(2ν) , (A.6.25-a)

( )ν−=ν 2cos2

1

2

1sen2 e (A.6.25-b)

( )ν+=ν 2cos2

1

2

1cos2 (A.6.25-c)

( ) ( ) ( )

ν+β+νβα+

ν−α= 2cos

2

1

2

12sen2cos

2

1

2

1sq 2

22222

22 (A.6.26)

447

Da equação (A.6.17-a) é obtido :

( ) ( )2

i222

s

senba12cos

θ−−=ν (A.6.27)

que, substituido em (A.6.26), fornece q2 em função de valores conhecidos.

( )( ) ( )( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )

νβα+

θ−−+β+

θ−−−α=

=

νβα+ν+β+ν−α=

2sens

senba11

s

senba11

2

1s

2sen2cos12cos12

1sq

222i

222222

i222

22

2

2222

22

22

(A.6.28)

No numerador da expressão de cosθz , em (A.6.13), deve ser utilizado o resultado positivo da

raiz quadrada de (A.6.28), já que cosθz é positivo (0 < θz < π/2).

A.6.2. Ponto de saída e direção do raio transmitido

A seguir é apresentado o desenvolvimento para a determinação do ponto de saída S do raio

transmitido por uma estrutura, bem como sua direção. A Figura 5-5 auxilia na visualização

dos vetores e projeções apresentados desse ponto em diante. Seja iˆ o vetor unitário diretor do

raio incidente, é determinada a projeção de iˆ sobre face que o obstrui :

( )nn.iii f −=&

(A.6.29)

onde :

n - vetor unitário normal à estrutura (orientado para fora, como usual)

O vetor unitário de fi&

é dado por : f

ff

i

ii

&

&

=

O vetor que une a origem à projeção do ponto de incidência na face oposta à face de

incidência (ponto I’ na Figura 5-5, localizado na face por onde o raio transmitido sai da

estrutura) é dado por :

( ) Indd&&

+−= (A.6.30)

448

onde :

I&

- vetor ligando a origem ao ponto de incidência

d - espessura do obstáculo

n - vetor unitário normal à estrutura (orientado para fora, como usual)

Denominando :

( )nd − = (xd , yd , xd) e (A.6.31-a)

I&

= (xI , yI , zI) (A.6.31-b)

a projeção do ponto de incidência na face de saída do raio transmitido é dada por :

I’ = (xd + xI , yd + yI , zd + zI) (A.6.32)

O vetor que liga a origem ao ponto em que o raio transmitido emerge (S) é obtido da seguinte

forma :

fiade +=&

&

(A.6.33)

onde :

a = d.tanθz como ilustrado na Figura 5-5

demais elementos são como já determinados

Fazendo novas denominações :

d&

→ (xI’ , yI’ , zI’ ) e (A.6.34-a)

( )fff aiaiaif z,y,xia → (A.6.34-b)

o ponto em que o raio transmitido emerge é dado por

( )fff ai'Iai'Iai'I zz,yy,xxS +++= (A.6.35)

Deve ser verificado se o ponto S está efetivamente sobre a face oposta à de incidência, e não

apenas sobre o plano que contém a face. O procedimento de verificação é o descrito na Seção

449

A.4.2.3 do Apêndice 4 (Jordan Curve), onde o ponto de interseção raio-plano a que o

procedimento se refere é o próprio ponto S.

A direção do raio transmitido é dada pelo vetor iˆ (pois os meios 1 e 3 são iguais). Este será o

unitário diretor (u ) do raio transmitido.

A.6.3. Referências Bibliográficas

[1] - Constantine A. Balanis, “Advanced Engineering Electromagnetics,” John Wiley &

Sons, 1989.

[2] - Julius Adams Stratton, “Electromagnetic Theory,” McGraw-Hill Book Company, Inc.,

1941.

APÊNDICE 7 - DISTÂNCIA ENTRE PONTOS E NORMAL

À FACE

A.7.1. Distância entre dois pontos quaisquer

Utilizada em qualquer cálculo ao longo do texto principal ou Apêndices, que necessite da

determinação da distância entre dois pontos quaisquer. Sejam os dois pontos dados por :

(x1 , y1 , z1) e (x2 , y2 , z2)

A distância entre os dois pontos é obtida pela expressão :

( ) ( ) ( )212

212

212 zzyyxxd −+−+−= (A.7.1)

A.7.2. Vetor normal à face

A seguir são apresentadas duas maneiras de se determinar o vetor normal a uma superfície

plana, necessário em diversas equações ao longo dos Capítulos 4 e 5.

Primeira forma

Seja a Figura A.7.1 seguir, representativa de uma face. São escolhidos dois vetores sobre o

plano da face, como mostrado. Estando os vértices da face tabelados, a partir dos três

primeiros da tabela, por exemplo, são criados os vetores :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zzzyyyxxxp

e zzzyyyxxxp

2323232

2121211

−+−+−=−+−+−=

&

&

(A.7.2)

O vetor normal é dado por 21 p x pn&&&

= (produto vetorial) e, então, o vetor unitário normal é

n

nn

&

&

= .

451

Figura A.7.1 - Geometria para determinação de vetor normal à face plana (forma I)

O problema com essa definição é que ela é muito genérica. A maior parte dos cálculos

envolvendo o vetor normal exige que sua orientação seja voltada para fora do sólido do qual a

face faz parte. A segunda forma, apresentada a seguir, garante a orientação da normal, a

menos de situações especiais.

Segunda forma

Seja a Figura A.7.2 adiante.

Figura A.7.2 - Geometria para determinação de vetor normal à face plana (forma II)

.

.. .P1

P2

P3

origem

2p&

1p&

21p

&

12p

&

i

452

O vetor normal à superfície da Figura A.7.2 é dado por 21 px pn&&& = , onde os vetores 21 p e p

&&

são também dados por (A.7.2). O vetor n&

obtido poderá estar orientado para dentro ou para

fora do sólido. Para verificar a orientação da normal, e corrigi-la se for o caso, o procedimento

é como se segue. Seja :

an.i =&

(A.7.3)

se a < 0 , a normal está para fora do sólido;

se a > 0 , a normal está para dentro do sólido. Então o sentido de n&

deverá ser

invertido;

se a = 0 , o raio incidente é rasante ao plano da face. Não é possível verificar o

sentido da normal.

Esse método tem a desvantagem de necessitar de um raio incidente na face para que o sentido

correto da normal seja determinado. Outra alternativa de cálculo é através da determinação do

centro de massa do sólido do qual a face faz parte. Essa solução é válida para sólidos

convexos apenas, para os quais é possível garantir que o centro de massa é um ponto interior

ao sólido e, então aproveitar esse fato para determinar a normal com o sentido correto.

Na implementação do algoritmo de traçado de raios proposto, os arquivos de entrada que

descrevem o cenário (arquivos de extensão DXF) já fornecem as normais às faces orientadas

para fora dos sólidos.

APÊNDICE 8 - PONTO IMAGEM E PONTO DE

REFLEXÃO

A.8.1. Determinação do ponto imagem

Para a determinação da imagem de uma fonte (real ou virtual) em relação a um plano

qualquer, deve ser conhecida a distância perpendicular da fonte ao plano, para que a mesma

distância seja adotada entre o plano e a imagem I. São agora apresentadas duas formas de se

calcular a distância da fonte F ao plano da face.

1. conhecendo um ponto no plano (primeiro vértice da tabela de vértices da face, por

exemplo), seja a Figura A.8.1 :

− o ponto é denominado Q;

− o vetor que une a origem a Q é Q&

;

− denominando F&

o vetor posição da fonte, cria-se o vetor ( )QF&&

−

− sendo nˆ o unitário normal à face contida no plano, a distância perpendicular da

fonte F ao plano é dada por :

( )n.QFd&&

−= (A.8.1)

Figura A.8.1 - Geometria auxiliar para a determinação da distância da fonte ao plano da face

.Q

.origem

.F

d

Q&

F&

( )QF&&

−n

454

2. conhecendo a equação do plano que contém a face. Sejam :

(x0 , y0 , z0) - coordenada da fonte F

Ax + By + Cz + D = 0 - equação do plano da face

A distância perpendicular da fonte F ao plano é dada por :

222

000

CBA

DCzByAxd

+++++= (A.8.2)

Sejam, conforme a Figura A.8.2 :

F&

- vetor unindo a origem à fonte F : (xS , yS , zS)

N&

- vetor ligando F a I : (xN , yN , zN)

nd2N −=&

(A.8.3)

onde :

d - distância calculada no sub-item anterior, dada por (A.8.1) ou (A.8.2)

Figura A.8.2 - Geometria auxiliar para a determinação do ponto imagem

.origem

.FF

&

nd

.d

I

N&I

&

455

O vetor posição da imagem I é dado por :

NFI&&&

+= (A.8.4)

Então, o ponto I é : I = (xF + xN , yF + yN , zF + zN) = (xI , yI , zI) (A.8.5)

A.8.2. Ponto de reflexão

A.8.2.1. Verificação se F e O (observador) estão no mesmo lado do plano

A verificação é necessária pois se a fonte F e o observador O não estiverem no mesmo lado

do plano (à frente ou atrás) que contém uma face refletora, não poderá haver reflexão.

Sejam :

v&

- vetor que une um ponto do plano (um vértice da face, por exemplo) ao ponto O

n - normal à face

Deve se atendido, além do backface culling :

0n.v >&

(A.8.6)

para que ambos os pontos (F e O) estejam no mesmo lado do plano.

A.8.2.2. Determinação do Ponto de Reflexão

O ponto de reflexão é determinado através da interseção entre o segmento que une I a O e o

plano. Na verdade, como já salientado no Capítulo 5, o ponto R pode estar apenas no plano da

face (e não na face) e, então, não ser um ponto de reflexão.

456

− vetor ligando I a O ( R&

)

(xo - xI , yo - yI , zo - zI)

onde :

(xo , yo , zo) - ponto de observação

(xI , yI , zI) - ponto imagem

unitário diretor do raio refletido : R

Ru

&

&

=

O ponto de reflexão é determinado pela interseção de R&

com o plano da face refletora. Pode

ser utilizada a expressão (A.4.5) do Apêndice 4 para obter o parâmetro λ. Na expressão, (xo ,

yo , zo) é o ponto imagem e o vetor (a, b, c) é o vetor diretor u . Obtido λ, o ponto de

interseção é determinado pela expressão (A.4.3) do mesmo Apêndice. Outra forma é, como

dito no Apêndice 4, utilizar a expressão (A.4.6) em conjunto com a equação paramétrica do

vetor R&

, ( )IOtI)t(R&&&&

−+= .

Determinado o ponto de interseção, é feita a verificação se o ponto pertence a uma face do

plano, através de procedimento apresentado no Apêndice 4, Seção A.4.2.3.

APÊNDICE 9 - DEDUÇÃO DE EXPRESSÕES DE BUSCA

POR PONTOS DE DIFRAÇÃO

Nesse Apêndice serão deduzidas as expressões de busca por pontos de difração utilizadas nas

Seções 5.4.3.3.3 a 5.4.3.3.5 (classes de percursos de propagação envolvendo difração), do

Capítulo 5.

A.9.1. Difração simples

Seja a Figura 5-21, reproduzida na Figura A.9.1, ilustrando um raio incidente em uma aresta.

Figura A.9.1 - Geometria para determinação do ponto de difração Q em uma difração

simples

Da Figura A.9.1 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )112111

2

111

21

21f

21

2f

21

pF . pFd pF . pFpFpFd

'ddd 'ddd

&&

&&

&&

&&

&&

&&

−−=∴−−=−=−=

−=∴+=(A.9.1)

..

.. .df

do

aresta

d1 d2

Q&

1p&

2p&

O&

F&

iu

du

1'd 2'd

458

A dimensão d’1 é a projeção do vetor ( )1pF&

&

− na direção do vetor unitário sobre a aresta. O

vetor unitário sobre a aresta é dado por :

( )( )12

12

pp

ppe

&&

&&

−−= (A.9.2)

de forma que a projeção d’1 é calculada por :

( ) ( ) ( )( )12

121111 pp

pp . pFd' e . pF'd

&&

&&

&

&

&

&

−−

−=∴−= (A.9.3)

Então :

( ) ( )( )

2

12

121

21 pp

pp . pF'd

−−

−=&&

&&

&&

e

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

12

12111f pp

pp . pFpF . pFd

−−

−−−−=&&

&&

&&

&&

&&

(A.9.4)

Seja novamente a Figura A.9.1.

( ) ( ) ( )112212

22

22o

22

2o

22

pO . pOd pOd

'ddd 'ddd&

&&

&&

&

−−=∴−=

−=∴+=(A.9.5)

A dimensão d’2 é a projeção do vetor ( )1pO&

&

− na direção do vetor unitário sobre a aresta, eˆ .

Ou seja :

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2

12

121

22

12

1212 pp

pp . pOd'

pp

pp . pO'd

−−

−=∴−−

−=&&

&&

&

&

&&

&&

&

&

e

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

12

12111o pp

pp . pOpO . pOd

−−

−−−−=&&

&&

&

&

&

&

&

&

(A.9.6)

459

Sejam rf(t) e ro(t) as projeções do vetor ( )F)t(Q*&

− e do vetor ( ))t(QO&&

− , respectivamente, na

aresta.

( ) ( )( )12

12f pp

pp . F)t(Qr

&&

&&

&&

−−

−= (A.9.7)

( ) ( )( )12

12o pp

pp . )t(QOr

&&

&&

&&

−−

−= (A.9.8)

Embora a referência [1] apresente rf,o sem módulo, nas suas expressões (3C.4) e (3C.5), o

módulo permite que o resultado seja correto (positivo) independente da escolha dos pontos

extremos da aresta , 1p&

e 2p&

.

Seja agora a seguinte geometria, que pode ser extraída da Figura A.9.1.

Da teoria de difração (cone de Keller), expressa através de (4-62), na Seção 4.2.3.3, é sabido

que β0 = β1 e, então, tan(β0) = tan(β1). Pela ilustração anterior :

∴= r

d

r

d

o

o

f

f

o

o

f

f

d

r

d

r = (A.9.9)

Levando as expressões (A.9.7) e (A.9.8) a (A.9.9), obtém-se :

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )∴

−−

−

=−−

−

d

pp

pp . )t(QO

d

pp

pp . F)t(Q

o

12

12

f

12

12&&

&&

&&

&&

&&

&&

Q

FO

β0 β1

df do

rf roaresta

460

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) f12

12o

12

12 dpp

pp.)t(QOd

pp

pp.F)t(Q

&&

&&

&&

&&

&&

&&

−−−=

−−− (A.9.10)

Como as projeções dos vetores ( ) ( )(t)Q-O e F)t(Q&&&'

− sobre a aresta têm a mesma direção, o

módulo de (A.9.10) pode ser eliminado e, desta forma :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )∴+−=+−

∴−−−=−−−

∴−−=−−

dFd.O . ppddpp).t(Q

dpp).t(Qdpp.Odpp.Fdpp).t(Q

dpp . )t(QOdpp . F)t(Q

of12fo12

f12f12o12o12

f12o12

&&

&&&&

&

&&

&

&&

&

&&

&

&&

&

&&

&&

&&

&&

( ) ( ) ( )fo

of1212 dd

dFd.O . pppp).t(Q

++

−=−&&

&&&&&

(A.9.11)

Sabendo que Q(t) é escrito por sua equação paramétrica da forma :

( )121 pptp)t(Q&&&

&

−+= (A.9.12)

Levando a expressão (A.9.12) em (A.9.11) e fazendo ( )

fo

of

dd

dFdO

++

&&

= A&

, tem-se :

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1212

12112

1212121211212121

pp . pp

pp.pA.ppt

A.pppp.pptpp.p A.pppp . pptp

&&&&

&&&

&

&&

&

&&&&&&&&&

&

&&&&&&&

−−−−−

=

∴−=−−+−∴−=−−+

(A.9.13)

No denominador de t :

( ) ( ) ( ) 2

121212 pppp . pp&&&&&&

−=−− (A.9.14)

Então, chega-se à expressão final para o parâmetro t do ponto de difração.

( )( )

( )

−

++

−−= 1

fo

of2

12

12 pdd

dFdO.

pp

ppt

&

&&

&&

&&

, 0 ≤ t ≤ 1 , para que o ponto efetivamente

pertença à aresta.

(A.9.15)

461

A.9.2. Difração dupla

A seguir serão deduzidas as expressões utilizadas na busca por difração dupla (classe 4). Seja

a Figura 5-22, reproduzida na Figura A.9.2, ilustrando uma situação de dupla difração.

Figura A.9.2 - Geometria para determinação dos pontos Q1 e Q2 da difração dupla

Pela teoria da difração (cone de Keller) e conforme a Figura A.9.2, sabe-se que :

2d2d

1d1i

e.ue.u

e.ue.u

21

1

=

=(A.9.16)

onde :

2

2d

12

12d

1

1i

QO

QOu ;

)t(Q)t(Q

)t(Q)t(Qu ;

F)t(Q

F)t(Qu

21&&

&&

&&

&&

&&

&&

−−=

−−=

−−= (A.9.17)

Substituindo os pontos Q por suas respectivas equações paramétricas, as duas equações de

(A.9.16) podem ser reescritas da forma :

( )( )

( ) ( )( ) ( ) 0e.

etpetp

etpetp

Fetp

Fetp1

111223

111223

111

111 =

+−++−+

−−+−+

&&&&

&&&&

&

&&

&&&

(A.9.18)

.... F

&

1Q&

2Q&

O& 1p

*

2p&3p

&

4p&

iu

1du

2du

1a aresta

2a aresta

1e&

2e&

462

( ) ( )( ) ( )

( )( )

0e.etpO

etpO

etpetp

etpetp2

223

223

111223

111223 =

+−+−−

+−++−+

&&

&

&&

&

&&&&

&&&&

(A.9.19)

As incógnitas do problema são os dois pontos de difração Q1(t) e Q2(t). Como os pontos são

definidos por seus parâmetros t, o sistema possui duas incógnitas e duas equações. A solução

do sistema é numérica, através do Método iterativo de Newton para duas equações. A solução

através do método iterativo é apresentada a seguir.

Segundo o Método iterativo de Newton, sejam duas equações [2] :

F(t1 , t2) = 0 (A.9.20)

G(t1 , t2) = 0 (A.9.21)

As soluções são buscadas iterativamente através das equações (5-25), na Seção 5.4.3.3.4,

onde as derivadas envolvidas são as já apresentadas na própria Seção 5.4.3.3.4. O processo é

interrompido quando determinado valor de erro máximo estipulado é atingido, como também

apresentado na mesma Seção.

A.9.3. Referências Bibliográficas

[1] - Manuel F. Cátedra and Jesús Pérez-Arriaga, “Cell Planning for Wireless

Communications,” Artech House - Mobile Communications Series, 1999.

[2] - Notas de Aula do Curso de Métodos Assintóticos em Teoria Eletromagnética -

Professor Flávio José Vieira Hasselmann, CETUC - PUC/Rio.

APÊNDICE 10 - REFLEXÃO E REFRAÇÃO EM

SUPERFÍCIES CURVAS

A.10.1. Definições Gerais

São apresentados neste Apêndice o cálculo dos raios e direções principais de curvatura das

frentes de onda refletida e refratada em uma superfície dielétrica curva, bem como a

determinação dos campos refletido e refratado, seguindo os desenvolvimentos listados em [1].

A Figura A.10.1 ilustra os parâmetros geométricos relevantes ao problema em questão.

Figura A.10.1 - Reflexão e refração em uma interface dielétrica curva Σ

(vista do plano de incidência, perpendicular a 3,2,13,2,1 zy = × 3,2,1x )

Σn1

n2

. θz

0

(fonte)

a θi

θi

1

.3

c b

θr

.2

1z

n

3z

2z

1z

1x

3z

3x2z

2x

n

u

464

A superfície Σ é a interface entre dois meios infinitos, dielétricos, de índices de refração n1 e

n2 , e pode ser escrita por uma função da forma :

z = f(x,y) (A.10.1)

onde a origem do sistema (x, y, z) coincide com a posição da fonte (centro de fase da

onda incidente) em 0

Para o caso de a fonte emitir ondas esféricas, o campo elétrico em um ponto r = (r, θ, φ)

relacionado ao sistema da fonte é dado por (assumindo variação no tempo da forma ejwt) :

( ) ( )[ ]φθ+φθ= φθ

−

,Qa,Par

e)r(E

rjki

1

(A.10.2)

onde :

c

wn2k 1

11 =

λπ=

com :

w = 2πf [rd/s]

c ≅ 3x108 m/s

n1 - índice de refração do meio 1 = rε

Para as decomposições perpendiculares e paralelas em relação ao plano de incidência (plano

que contém o vetor diretor do raio incidente na interface e a normal a esta), é definido o

escalar ui, da forma :

incidência de plano aoparalela opolarizaçãpara , Eu

incidência de plano aolar perpendicu opolarizaçãpara , Eui//

i

ii

=

= ⊥ (A.10.3)

Decomposições similares são aplicadas ao campo refletido Er e ao campo transmitido Et. Os

dois campos de interesse podem, então, ser escritos da forma :

)1(uTe)DF()2(u ibjk2

t 2−= (A.10.4-a)

)1(uRe)DF()3(u icjk3

r 1−= (A.10.4-b)

465

onde :

b e c - distâncias ilustradas na Figura A.10.1

c

wn2k 2

22 =

λπ=

com elementos como já definidos na expressão de k1

DF - fator de divergência, apresentado adiante

T e R - coeficientes de transmissão e reflexão de Fresnel, respectivamente,

definidos, para uma interface plana, por :

Y1

Y1 Re

Y1

2T

+−=

+= (A.10.5)

onde :

( )( )

θθ

θθ=

paralela opolarizaçãpara , cos/cosn

larperpendicu opolarizaçãpara , cos/cosnY

ir1-

ir(A.10.6)

com :

n = n2 / n1 - índice de refração relativo

θi,r - ângulos de incidência e refração, respectivamente,

conforme definidos em (4-15) e (4-36)

Os índices n1 e n2 são relacionados pela lei de Snell da refração :

n1senθi = n2senθr ∴ ir senn

1sen θ=θ (A.10.7)

O fator (DF)2 é denominado fator de divergência do tubo de raios transmitido, calculado no

ponto 2, referente ao ponto 1. Esse fator é dado por :

( ) ( ) ( )2221

2R/b1

1

R/b1

1DF

++= (A.10.8)

onde :

466

R21 e R22 - raios principais de curvatura da frente de onda refratada, no ponto

1

A convenção de sinais para R21,22 é a seguinte : R21 (R22) é positivo se o tubo de raios

refratado é divergente e negativo se o tubo é convergente. As raízes em (A.10.8) podem ser

reais ou imaginárias, de forma que (DF)2 seja real (positivo ou negativo) ou imaginário

positivo.

O fator (DF)3 é o fator de divergência do tubo de raios refletidos, calculado no ponto 3,

referente ao ponto 1. É dado por :

( ) ( ) ( )3231

3R/c1

1

R/c1

1DF

++= (A.10.9)

O problema a ser resolvido é a determinação dos quatro raios principais de curvatura acima

mencionados, bem como as direções principais de curvatura das frentes de onda refletida e

refratada. O procedimento de obtenção destes parâmetros relativos às frentes de onda refletida

e refratada pode ser sumarizado da seguinte forma. A partir da expansão da representação das

frentes de onda nas vizinhanças do ponto especular, o casamento dos termos lineares reproduz

a lei de Snell e o dos termos quadráticos fornece equações matriciais cuja solução gera as

matrizes de curvatura das frentes de onda refletida e refratada. No caso geral, as matrizes

assim obtidas deverão ser diagonalizadas, para que se obtenha os raios principais de curvatura

(autovalores das matrizes) e as direções principais de curvatura (autovetores das matrizes).

A.10.2. Cálculo das curvaturas das frentes de onda

Sistema de coordenadas no ponto 1 :

Seja um raio que parte de 0, na direção (θ, φ) e intercepta a superfície Σ, descrita por (A.10.1),

em 1. A distância a é dada por :

a.cosθ = f(x = a.senθ.cosφ, y = a.senθ.senφ) (A.10.10)

467

O vetor diretor do raio incidente é, também no sistema de coordenadas esféricas centrado na

fonte 0, escrito da forma :

θ+φθ+φθ= cosasensenacossenaz zyx1 (A.10.11)

A normal à superfície em 1 é :

( )zyyxx aafaf1

n +−−∆

= (A.10.12)

onde :

( ) 2/12y

2x ff1 +++=∆

fx - derivada parcial de f(x,y) em relação a x

fy - derivada parcial de f(x,y) em relação a y

Definindo ∆ como sendo positivo, significa escolher a orientação de nˆ acompanhando a

orientação do raio incidente.

No ponto 1 são introduzidos quatro sistemas ortonormais de vetores base : ( )111 z,y,x , para o

raio incidente 01; ( )222 z,y,x , para o raio refratado 12; ( )333 z,y,x , para o raio refletido 13; e

( )n,v,u para a superfície Σ.

Foi escolhido

1321 z x nvyyy ==== (A.10.13)

que é igual a um vetor unitário normal ao plano de incidência. Obtém-se :

3. 2, 1, npara zx yx ; nx vu nnn === (A.10.14)

A direção dos raios incidente, refratado e refletido é dada, respectivamente, por :

ii1 cosnsenuz θ+θ= (A.10.15-a)

rr2 cosnsenuz θ+θ= (A.10.15-b)

468

ii3 cosnsenuz θ−θ= (A.10.15-c)

onde :

senθr = n-1senθi , 0 ≤ θi , θr ≤ π/2 (A.10.15-d)

Observar que, pela escolha feita em (A.10.13), θi e θr terão valores entre 0 e π/2 .

A.10.3. Matriz de curvatura da superfície Σ, representando a

interface

No ponto 1, os seguintes vetores definem o plano tangente à superfície Σ.

zyy1yzxxx1 afar afar +=+=&&

(A.10.16)

onde :

( )111 z,y,x

111x1 x

z,

x

y,

x

xr

∂∂

∂∂

∂∂

=&

( )111 z,y,x

111y1 y

z,

y

y,

y

xr

∂∂

∂∂

∂∂

=&

derivada das componentes do vetor posição do ponto 1 em relação às

coordenadas (x, y, z) do sistema centrado na fonte 0, no ponto (x1 , y1 , z1)

(x1 , y1 , z1) - coordenada do ponto 1

fx,y - como já definidos na apresentação de (A.10.12)

Em relação aos vetores (A.10.16), a matriz de curvatura de Σ é da seguinte forma :

−−−−

∆=Σ

11111111

11111111

2 FfEgFgGf

FeEfFfGe1Q~

(A.10.17)

onde :

469

( )

yy1

1

xy1

1

xx1

1

2y1

yx1

2x1

2/12y

2x

fg

ff

fe

f1G

ffF

f1E

ff1

−

−

−

∆−=

∆−=

∆−=

+=

=+=

+++=∆

(A.10.18)

a derivada em relação a (x, y, z) é sempre calculada no ponto 1

Agora, a matriz de curvatura expressa em relação a ( )y1x1 r,r&&

é transferida para ( )v,u , da

seguinte forma :

AQ~

AQ 1Σ

−Σ = (A.10.19)

onde :

=

v.ru.r

v.ru.rA

y1y1

x1x1&&

&&

(A.10.20)

A.10.4. Matrizes de curvatura das frentes de onda

Para o caso de onda esférica incidente, a matriz de curvatura Q1 em relação aos vetores

( )11 y,x ou a qualquer outra base de vetores ortonormais é dada por :

Q1 = a-1I (A.10.21)

onde :

a - raio da esfera

I - matriz identidade

Para o caso mais geral de uma frente de onda incidente astigmática, sua matriz principal de

curvatura é dada por :

470

=

i2

i1

1R/10

0R/1Q (A.10.22)

onde i2,1R denotam os raios principais de curvatura da frente de onda incidente

As matrizes de curvatura das frentes refratada (Q2) e refletida (Q3) são expressas em relação

aos pares respectivos de vetores paralelos ao plano de incidência, ( ) ( )3322 y,x e y,x . A

solução de Q2 é encontrada através da seguinte equação matricial :

( ) Σθ−θ+= QcoscosnBQBBQnB ir11T122

T2 (A.10.23)

onde :

1,2. n ,10

0cos

v.yu.y

v.xu.xB n

nn

nnn =

θ=

= (A.10.24)

com :

θ1 ≡ θi

θ2 ≡ θr

A solução para Q3 é dada, analogamente, pela equação matricial

( ) Σθ−= Qcos2BQBBQB i11T133

T3 (A.10.25)

onde :

θ−=

=10

0cos

v.yu.y

v.xu.xB i

33

333 (A.10.26)

A.10.5. Raios principais de curvatura das frentes de onda

Diagonalizando as matrizes Q2,3 , obtém-se seus autovalores, correspondendo aos raios

principais de curvatura. Os raios principais de curvatura da frente de onda refratada (R21 e

R22) ou refletida (R31 e R32) são as raízes da seguinte equação quadrática :

471

( ) 0QdetQ traçoR

1

R

13,22,32

=+− (A.10.27)

onde :

traço - soma dos elementos da diagonal principal da matriz

det - determinante da matriz

A.10.6. Direções principais de curvatura de uma frente de onda

Também a partir das matrizes de curvatura Q2 e Q3 diagonalizadas, é possível se obter as

direções principais de curvatura das frentes de onda refratada e refletida, que correspondem

aos autovetores das matrizes e cujas expressões finais são apresentadas adiante. Sejam

21 x e x as direções principais de curvatura de uma frente de onda. [2], [3]

[ ]wt1

1 rr1

x&& α+

γ= (A.10.28)

[ ]wt2

2 rr1

x&& +β

γ= (A.10.29)

onde :

fFK

GKg

eEK

FKf

gGK

FKf

fFK

EKe

2

2

2

2

1

1

1

1

−−

=−

−=β

−−

=−

−=α

(A.10.30)

com :

( )( )( )∆=

∆=∆=

===

wtww

wttw

wttt

ww

wt

tt

rxr.rg

rxr.rf

rxr.re

r.rG

r.rF

r.rE

&&&

&&&

&&&

&&

&&

&&

(A.10.31)

2FEG−µ=∆ (A.10.32)

472

onde :

µ = ±1 , de forma que a normal nˆ aponte sempre para a

fonte, como é usual convencionar-se

wt r e r&&

- duas direções de curvatura ortogonais da frente de

onda, correspondendo às derivadas dos vetores

posição do raio com relação a t e w.

com :

t e w - coordenadas de parametrização da frente de

onda. Definem planos ortogonais entre si (e à

frente de onda)

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂=

∂∂

∂∂

∂∂

=

2z

2

2

y2

2x

2

ww

z2

y2

x2

tw

2z

2

2

y2

2x

2

tt

w

r,

w

r,

w

rr

wt

r,

wt

r,

wt

rr

t

r,

t

r,

t

rr

&

&

&

(A.10.33)

GF2E

GF2E

22

21

+β+β=γ

α+α+=γ(A.10.34)

Se f = F = 0, a matriz Q2,3 calculada já é diagonal, significando que as linhas de curvatura

(t,w) escolhidas são as próprias linhas de máxima e mínima curvaturas (curvaturas principais),

ou seja, os vetores unitários tangentes à (t,w) definem as direções principais de curvatura da

frente de onda. Os vetores são apresentados em (A.10.35) :

w

w2

t

t1 r

rx ;

r

rx

&

&

&

&

== (A.10.35)

473

A.10.7. Referências Bibliográficas

[1] - Shung-Wu Lee, Mysore S. Sheshadri, Vahraz Jamnejad and Raj Mittra, “Refraction at a

Curved Dieletric Interface : Geometrical Optics Solution,” IEEE Trans. on Microwave

Theory and Techniques, vol. MTT-30, no. 1, Jan. 1982.

[2] - S. W. Lee, “Differential Geometry for GTD applications,” Technical Report, no. EM

77-21;UILU-ENG-77-2264, University of Illinois at Urbana-Champaign, Out. 1977.

Seção A.9.

[3] - Notas de Aula do Curso de Métodos Assintóticos em Teoria Eletromagnética -

Professor Flávio José Vieira Hasselmann, CETUC - PUC/Rio.

APÊNDICE 11 - LISTAGENS DE PROGRAMAS

A.11.1. Expressões exata e aproximada da Função de Transição

de Fresnel

Nesta Seção é apresentado o programa que plota as expressões exata da Função de Transição

de Fresnel, dada pela expressão (4-73), e aproximadas, apresentadas na Seção A.3.1 do

Apêndice 3 para as três faixas distintas de valores do argumento de F(x). O programa foi

executado no software MatLab for Windows, versão 4.2c.1.

% Programa para a comparação entre as expressões exata e aproximadas da Função de

% Transição de Fresnel F(x)

clear all; % limpa registros

x=logspace(-3,1,500); % cria eixo X, em escala logarítmica, com 500

% pontos entre 0.001 e 10

% Definição de valores úteis para o cálculo de F(x) pela expressão exata

x0=0; % limite inferior da integral de 0 a sqrt(x)

a0=1; % valor do integrando no limite inferior (x0=0)

dx=2000; % número de subdivisões entre os limites inferior

% e superior da integral, para aplicação

% do Método dos Trapézios Repetidos

% Laço que calcula F(x) (exata e aproximada), para cada valor de x (500 valores)

475

for i=1:500

% Início do cálculo de F(x) pela expressão exata

% É utilizado o Método numérico dos Trapézios Repetidos

xm=sqrt(x(i)); % limite superior da integral

h=(xm-x0)/dx; % dimensão de cada subdivisão (base dos trapézios)

xint=linspace(x0+h,xm-h,dx-1); % definição de pontos entre os limites

% de integração, para aplicar o método

a=0;

for t=1:(dx-1) % laço que calcula o integrando, segundo o método

a=a+exp(-(xint(t)^2)*j);

end

am=exp(-(xm^2)*j); % valor do integrando no limite superior (xm)

% Integral pelo Método dos Trapézios Repetidos

I(i)=(1/2)*sqrt(pi/2)*(1-j)-((h/2)*(a0+2*a+am));

% Função de Transição de Fresnel

f(i)=2*sqrt(x(i))*exp(x(i)*j)*I(i)*j;

% Início do cálculo de F(x) pelas expressões aproximadas

if (x(i)<=0.3)

apr(i)=(sqrt(pi*x(i))-(2*x(i)*exp((pi/4)*j))-(2/3)*(x(i)^2)*exp(-

(pi/4)*j))*exp(((pi/4)+x(i))*j); % expressão para argumentos x <= 0,3

else

if (x(i)<=5.5) % expressões para argumentos 0,3 < x <= 5,5

if (x(i)<0.5)

476

apr(i)=(0.6768+0.2682*j)+((0.5195+0.0025*j)*(x(i)-0.5));

end

if ((x(i)>=0.5) & (x(i)<0.7))

apr(i)=(0.7439+0.2549*j)+((0.3355-0.0665*j)*(x(i)-0.7));

end

if ((x(i)>=0.7) & (x(i)<1.0))

apr(i)=(0.8095+0.2322*j)+((0.2187-0.0757*j)*(x(i)-1.0));

end

if ((x(i)>=1.0) & (x(i)<1.5))

apr(i)=(0.8730+0.1982*j)+((0.1270-0.0680*j)*(x(i)-1.5));

end

if ((x(i)>=1.5) & (x(i)<2.3))

apr(i)=(0.9240+0.1577*j)+((0.0638-0.0506*j)*(x(i)-2.3));

end

if ((x(i)>=2.3) & (x(i)<4.0))

apr(i)=(0.9658+0.1073*j)+((0.0246-0.0296*j)*(x(i)-4.0));

end

if (x(i)>=4.0)

apr(i)=(0.9797+0.0828*j)+((0.0093-0.0163*j)*(x(i)-5.5));

end

else % expressão para argumentos x > 5,5

apr(i)=1+(j/(2*x(i)))-(3/(4*x(i)^2))-((15*j)/(8*x(i)^3))+(75/(16*x(i)^4));

end

end

end % fim do laço principal

famp=abs(f); % amplitude de F(x) exata

ffase=angle(f); % fase de F(x) exata

apramp=abs(apr); % amplitude de F(x) aproximada

aprfase=angle(apr); % fase de F(x) aproximada

% Plota amplitude e fase de F(x) exata em traço contínuo e

477

% plota amplitude e fase de F(x) aproximada em “-.-.” .

semilogx(x,famp,'w-',x,ffase,'w-',x,apramp,'w-.',x,aprfase,'w-.');

A.11.2. Programas referentes às regiões de transição

Nesta seção são apresentados os dois programas referentes ao comportamento de expressões

da difração nas regiões de transição, como apresentados no item “Fronteiras e Regiões de

Transição”, da Seção 4.2.3.3.3. Os programas são os seguintes :

− Prog1 : apresenta o comportamento das funções cotangente e de Transição de

Fresnel (expressões (4-70)), nas proximidades de uma fronteira (foi escolhida a

fronteira ISB0 para a plotagem);

− Prog2 : verifica a validade da aproximação (4-99) de acordo com os argumentos

da função cotangente e da Função de Transição de Fresnel. O programa plota as

expressões exata e aproximada de cot(x).F(y) (embora o cálculo de F no produto

denominado exato tenha sido efetuado através das aproximações apresentadas em

A.3.1).

Ambos os programas foram executados no software Mathcad, versão 5.0 Plus.

478

479

480

Os gráficos finais são os apresentados na Figura 4-18 do Capítulo 4, onde F1amp(ε) é plotada

na Figura 4-18a e c1(ε) na Figura 4-18b.

4-1 4

481

(4-99)

482

483

Os gráficos finais são os apresentados na Figura 4-19 do Capítulo 4, onde :

− X11(L) e X12(L) são plotadas na Figura 4-19a;

− R11amp(L), ap1amp(L), R12amp(L) e ap2amp(L) são plotadas na Figura 4-19b;

− R11fase(L), ap1fase(L), R12fase(L) e ap2fase(L) são plotadas na Figura 4-19c.

Para ε = 0,01o , a listagem é análoga e as plotagens são apresentadas na Figura 4-20a, Figura

4-20b e na Figura 4-20c.

A.11.3. Cálculo dos coeficientes de difração para teste de

reciprocidade de escolha de faces “0” e “n”

Nesta seção é apresentado o programa Prog3 (Prog31 e Prog32), que calcula a porção dos

coeficientes de difração Ds,h (expressão (4-69)) que é dependente dos ângulos φ e φ’

(expressões (4-81) e (4-79), respectivamente), para que se verifique a irrelevância na escolha

da face “0” para a medição desses ângulos. Como se observa nas duas execuções (Prog31 e

(4-99)

(4-99)

(4-99)

484

Prog32), os valores de Ds e de Dh gerados por cada uma são iguais entre si. O programa foi

executado no software Mathcad, versão 5.0 Plus.

485

486

487

488

489

ângulo entre o raio incidente e a aresta (escolhido para simplificar a implementação do cálculo de θi)

δπ2

slinha 1.5 distância entre a antena transmissora e a aresta, em metros

s 2 distância entre a aresta e a antena receptora, em metros

fator de distância L, em metros. Foi analisada uma situação simples (percurso Tx-aresta-Rx), para simplificar o cálculo de L

L ..s slinha

s slinhasin( )δ 2

Nmais1π βmais

..2 n πNmais2

π βmenos..2 nπ determinação dos fatores N+ e

N- para β+ e β- (quatro combinações)

Nmenos1βmais π

..2 nπNmenos2

βmenos π..2 n π

490

491

492

F( )x3 1j.2 x3

3

.4 x32

15j

.8 x33

75

.16 x34=F( )x3 0.999754 + 0.009053i

F( )x4 1j.2 x4

3

.4 x42

15j

.8 x43

75

.16 x44=F( )x4 0.992211 + 0.050618i

Porção do coeficiente de difração "soft" dependente da escolha de φ e φ'

Ds1 .G0s .cotπ βmenos

.2 nF( )x1 ..R0s cot

π βmais.2 n

F( )x2

Ds2 .Gns .cotπ βmenos

.2 nF( )x3 ..Rns cot

π βmais.2 n

F( )x4

Ds Ds1 Ds2 =Ds 0.729144 0.015309i