APONTAMENTOS - Cálculo Infinitesimal II

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Cálculo Infinitesimal II 2010/2011

Capitulo 1

1.1. Equações Diferenciais Lineares de 1.º ordem

Definição: Uma equação diferencial de 1.ºordem diz-se linear se se puder escrever na forma:

Onde P e Q são funções continuas de variável .

Teorema 1.1.1: A solução geral da equação é dada por

Onde é o chamado factor integrante. Demonstração: A ideia é multiplicar a equação por para que o primeiro membro seja a derivada do produto

.

Ou seja, pare resolver a equação de 1.º ordem basta multiplicar ambos os membros pelo facto integrante. Se for dada uma condição inicial pode-se descobrir c substituindo essa condição na equação y(x).

1.2. Equações Diferenciais de Variáveis separadas Definição: Equação diferencial de variáveis separadas é uma equação diferencial de 1.º ordem que se pode escrever da forma:

- Função que depende apenas da variável

– Função que depende apenas da variável Teorema 1.2.1: A solução geral é dada por:

Demonstração: Considerar as funções:

Note-se que e . Então pode escrever-se a equação da forma: o que é equivalente, atendendo ao

teorema da função composta a: , pelo que:

1.3. Equações Diferenciais Lineares de 2.ºordem (homogéneas) Definição: Uma equação diferencial de 2.º ordem diz-se linear se for da forma:

Se diz-se equação homogénea

Se diz-se equação não homogénea Teorema 1.3.1: Se e são soluções da equação linear homogénea:

E se e são constantes arbitrárias, então a função é ainda solução da mesma equação. Qualquer combinação linear de soluções da equação homogénea é ainda uma solução da mesma equação.

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Teorema 1.3.2: Se e são soluções linearmente independentes (ou seja, nenhuma das funções ou é o produto de uma constante pela outra) da equação diferencial:

Então a solução geral desta equação é dada por: , e constantes arbitrárias (que podem ser determinadas num problema com condições iniciais. Teorema 1.3.3: A função (onde r é uma constante) é solução da equação diferencial se

e só se r for uma raiz da equação (equação característica da equação diferencial).

Demonstração: Se tem-se e . Substituindo na equação temos:

Pois nunca se anula

Portanto é solução da equação se e só se

Nota: É bem conhecido que para a equação do 2.º grau podemos distinguir 3 casos, consoante o

sinal de :

Se a equação tem 2 raízes reais distintas

Se a equação tem 2 raízes complexas

Se a equação tem 1 raiz real dupla Teorema 1.3.4: Consideremos a equação diferencial e a respectiva equação característica

:

1) Se a equação tiver 2 raízes reais distintas, e , a solução geral da equação diferencial é:

, e constantes

2) Se a equação tiver 1 raiz real dupla, , a solução geral da equação diferencial é:

, e constantes

3) Se a equação tiver 2 raízes complexas conjugadas, e , a solução geral da equação diferencial é:

, e constantes

1.4. Equações Diferenciais Lineares de 2.º ordem (não homogéneas)

Definição: A equação chama-se equação homogénea associada à equação:

, a, b e c constantes, é uma função contínua. Teorema 1.4.1:

1) Se e são soluções da equação então é solução da equação

2) A solução geral da equação não homogénea é dada por:

Onde é uma solução particular da equação e é a solução geral da equação

homogénea associada a . Demonstração:

1) e são soluções da equação temos:

e Pelo que:

2) y é solução de . Como também é solução da equação, por 1) tem-se que:

onde e são soluções linearmente independentes de

Portanto donde se conclui que a solução geral da equação é dada por:

Como determinar ?

Quando é um polinómio de grau n

Quando

Quando ou

Para determinar A, B, C… calcula-se a 1.º e 2.º derivada de e substitui-se na equação .

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Nota: Se a solução de prevista for solução da equação homogénea associada não pode, portanto, ser solução da

equação não homogénea. Deve-se, então, multiplicar por uma potência apropriada de x de tal forma que nenhum

termo deste produto seja solução da equação homogénea. Teorema 1.4.2 (Princípio da sobreposição): Se é solução da equação e é solução da

equação então a função é solução da equação:

Capitulo 2

2.1. Revisão dos conceitos de produto interno e norma em Definição: Norma de um vector :

, quando diz-se vector unitário.

Propriedades: 1) e se e só se

2) 3) , Definição: e são paralelos quando existir um tal que .

e com a mesma direcção e sentido;

e com a mesma direcção e sentido oposto. Definição: e . A distância entre P e Q é dada por:

Definição: Produto interno: Dois vectores são perpendiculares se o produto interno entre eles for 0. Propriedades: 1)

2)

3) 4) 5)

6) e se e só se Definição: Desigualdade de Cauchy-Schwarz:

Definição: ) e

O plano Ʊ é o conjunto dos pontos P que satisfazem a seguinte equação:

equação vectorial do plano Equação cartesiana do plano

2.2. Funções vectoriais de uma variável: limites, continuidade, derivadas e integrais

Definição: Uma função vectorial de variável real é uma função:

é um vector de com n componentes.

são funções componantes da função Nota: O domínio da função é a intersecção dos domínios das suas funções componantes. Definição: Seja e L um vector de . Dizemos que

se e só se , ou seja, se e só se:

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O limite de é igual ao limite das suas funções componantes. Se o limite de uma delas não existir o limite de não existe. Definição: Seja e seja um ponto do domínio de . Diz-se que a função é contínua em se e só se:

Definição: Dada uma função contínua a derivada de no ponto é dada por:

Calcular a derivada de uma função é calcular as derivadas das suas funções componantes. Definição: Dada uma função definimos:

O integral duma função vectorial da variável real é o vector cujas componentes são os integrais das funções , .

2.3. Curvas no plano e no espaço, parametrização de curvas Suponhamos que n=3 e consideremos um a função contínua.

A cada valor de t no intervalo , fazemos corresponder um vector vector posição de um certo ponto P. Às equações:

Chamam-se equações paramétricas da curva e a variável t chama-se parâmetro. Os pontos e são os pontos inicial e final da curva,

respectivamente. Se forem iguais, dizemos que a curva é fechada.

Capitulo 3

3.1. Funções reais de n variáveis: domínios, curvas de nível, limites e continuidade Definição: Se é uma função de duas variáveis com domínio , o gráfico de é o conjunto:

Definição: As linhas, ou curvas, de nível de uma função de duas variáveis são as curvas de equação

onde é uma constante Definição: Dado um ponto ) e um número real chama-se vizinhança de centro em e raio ao conjunto: Definição: Dado um conjunto , um ponto diz-se interior a se existe tal que (ou seja, se

existe uma vizinhança de totalmente contida em ).

Um ponto diz-se um ponto fronteiro de se qualquer vizinhança de contem pontos de e do seu complementar. Um conjunto diz-se aberto se todos os seus pontos forem pontos interiores. Um conjunto diz-se fechado se contiver todos os seus pontos fronteiros.

Nota: Muitos conjuntos não são abertos nem fechados. Exemplo: e

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Definição: Seja uma função que está definida numa vizinhança dum ponto excepto possivelmente no

ponto . Então: se e só se: Para determinar se existe limite num dado ponto, deve-se tentar várias funções que passem por esse ponto. Se se obtiver sempre o mesmo valor começasse a suspeitar que existe limite e recorre-se à definição acima para o provar. Se se obtiver valores diferentes pode-se concluir de imediato que o limite não existe. Definição: Seja e seja . A função diz-se contínua no ponto se diz-se

continua num conjunto aberto se for contínua em todos os pontos de . Usando as propriedades dos limites pode mostrar-se que somas, produtos e compostas de funções contínuas são funções contínuas nos seus domínios.

3.2. Derivadas parciais A derivada parcial de em ordem a no ponto ( é denotada por

Pela definição de limite: A derivada parcial em ordem a no ponto ( é denotada por:

A derivada parcial em ordem a no ponto ( é denotada por:

Estas derivadas parciais obtêm-se derivando a função f em ordem a uma delas, mantendo a outra fixa (considera-se que é uma constante). As regras de derivação já conhecidas mantêm-se válidas. Definição: Seja . A derivada parcial de em ordem á variável é dada por:

Definição: Uma função diz-se de classe se e todas as suas derivadas parciais até à ordem (inclusive) forem funções contínuas em .

Definição: Uma função diz-se de classe se .

Teorema 3.2.1: Seja uma função de classe numa vizinhança do ponto ( , então:

Este teorema generaliza-se de forma natural a funções .

3.3. Funções diferenciáveis, noção de gradiente Definição: Seja uma função definida numa vizinhança do ponto . A função diz-se diferenciável

ponto se existir um vector tal que:

Se o vector existe, é único. Ao único vector que satisfaz a condição acima chamamos gradiente de no ponto

e denotamo-lo por: . Teorema 3.3.1: Se a função tem derivadas parciais continuas numa vizinhança do ponto então é diferenciável

em e

Teorema 3.3.2: Se a função é diferenciável no ponto então é contínua em

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Demonstração: O objectivo é provar que:

Como é diferenciável em temos que:

Donde:

E logo,

Concluímos assim que

Ou seja, que é contínua no ponto .

3.4. Derivadas direccionais

Definição: A derivada direccional ou dirigida de no ponto e na direcção do vector unitário é dada por:

Se este limite existir. Se é uma função de duas variáveis e fizermos na definição anterior obtemos

Ou seja, a derivada parcial é igual à derivada direccional de na direcção do eixo dos . Se considerarmos o vector

concluímos que

, ou seja, a derivada parcial é igual à derivada direccional de na

direcção do eixo dos . Analogamente para funções de três ou mais variáveis.

Teorema 3.4.1: Seja uma função diferenciável no ponto . Então tem derivada direccional na

diracção de qualquer vector unitário e tem-se

Demonstração:

Seja onde . Note-se que . Como é diferenciável em sabemos que:

Como (porque o vector é unitário) a igualdade anterior implica que:

Se obtemos:

Se obtemos:

Pelo que:

Portanto,

A igualdade

é válida sempre que é diferenciável.

Teorema 3.4.2: Se é diferenciável em então existem todas as derivadas parciais de no ponto e tem-se:

Demonstração:

Sejam os vectores da base canónica de . Recordemos que para todo o vector se tem

Como é diferenciável em , pelo teorema 11 existe

para todo o vector unitário . Considerando cada um dos

vectores , resulta então que existe:

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Por outro lado, já sabemos que

, pelo que:

Teorema 3.4.3: Seja uma função diferencial. Então o valor máximo da derivada direccional é dado por

e ocorre quando tem a direccção e sentido do vector Demonstração: Se todas as derivadas direccionais

são nulas, pelo que podemos supor que

e

consideremos o ângulo entre os vectores e . Então podemos escrever

pois é unitário. Isto diz-nos que

é a componente do vector na direccção do vector .

Uma vez que o valor máximo de é 1, e que este valor ocorre quando ,

concluímos que o valor máximo de é dado por e que ocorre quando tem a direcção e o sentido do

vector Assim, dá-nos o valor máximo da taxa de variação de no ponto e esse máximo ocorre na direcção e sentido do vector . Esta é então a direcção e sentido em que a função aumenta mais rapidamente no ponto

3.5. Derivação da função composta Teorema 3.5.1: Suponhamos que é uma função diferenciável das variáveis e onde e são funções diferenciáveis de variável . Então é diferenciável como função de e tem-se:

Se pusermos teremos

O resultado do teorema anterior pode ser escrito da forma: Teorema 3.5.2: Suponhamos que é uma função diferencial das variáveis e onde e

são funções das variáveis e tais que as derivadas parciais

existem. Então existem as derivadas

parciais

e

e tem-se:

e são variáveis independentes; e são variáveis intermédias; é variável dependente. Teorema 3.5.3: Suponhamos que é uma função diferencial das variáveis onde cada é função das

variáveis tal que todas as derivadas parciais

existem ( ). Então é uma função

das variáveis e

Para cada .

Note-se que existem tantas derivadas parciais da função quanto o numero de variáveis independentes . Cálculo de derivadas parciais de ordem superior a 1, faz-se de modo análogo, aplicando o teorema as vezes necessárias.

3.6. Plano tangente e recta normal

Teorema 3.6.1: Seja uma função de classe numa vizinhança dum ponto . Então o vector é perpendicular à linha de nível da função , , que passa nesse ponto.

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Demonstração:

Suponhamos que a linha de nível é representada parametricamente pela função tal que e . Nesta curva tem-se:

Pelo que . Mas, atendendo à regra da derivação da função composta, vem

No ponto obtém-se então:

Definição: O plano tangente à superfície de equação no ponto dessa superfície é o plano de equação:

O vector (ou qualquer múltiplo deste) diz-se um vector normal à superfície no mesmo ponto. Definição: A recta normal à superfície de equação no ponto dessa superfície é a recta que

passa em e que tem a direcção do vector . Assim, as equações paramétricas da recta normal são:

Há casos em que a equação que define a superfície pode ser resolvida em ordem a uma das variáveis como função umas das outras. Se, por exemplo, tivermos a equação da superfície pode ser escrita na

forma: Onde

Assim, a equação do plano tangente à superfície num ponto dessa superfície vem dada por:

Sendo a recta normal dada por:

3.7. Funções Implícitas Teorema 3.7.1 (Teorema da função implícita): Seja um subconjunto aberto de e seja:

Onde uma função que verifica as seguintes condições:

i.

ii.

iii.

(derivada parcial de f em ordem à variável que se pretende escrever como função das

restantes).

3.8. Extremos locais e absolutos

Definição: Seja e seja um ponto interior de . A função tem um máximo (respectivo mínimo)

local ou relativo no ponto se existe uma vizinhança do ponto tal que:

Respectivamente:

Em qualquer destes casos dizemos que tem um extremo local ou relativo no ponto

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Teorema 3.8.1: Se tem um extremo local no ponto então ou não existe.

Definição: Chama-se ponto crítico de a um ponto do interior de para o qual

ou não existe. Se o ponto diz-se um ponto de estacionaridade de .

Os únicos pontos que podem dar origem a extremos locais são os pontos críticos. Note-se que no entanto nem todos

os pontos críticos correspondem a extremos locais.

Definição: Chama-se ponto sela a um ponto de estacionaridade de que não corresponde a um extremo local.

Teorema 3.8.2 (Teste da segunda derivada): Seja e seja um ponto interior de tal que

. Consideremos a matriz (matriz hessiana):

E seja . Então:

i. Se é um ponto de sela.

ii. Se e

tem um mínimo local em .

iii. Se e

tem um máximo local em .

iv. Se o teste é inconclusivo.

Definição: A função tem um máximo (respectivo mínimo) absoluto no ponto se

Respectivamente:

Definição: Um subconjunto diz-se limitado se existe tal que (ou

seja, se existe um circulo de centro na origem e raio que contem o conjunto ).

Teorema 3.8.3: Se é contínua num conjunto limitado e fechado então atinge um

máximo e um mínimo absolutos em .

Para determinar o máximo e o mínimo absoluto de uma função num conjunto limitado e fechado

i. Determinar os pontos críticos de , isto é, os pontos do interior de para os quais ou

não existe.

ii. Determinar os pontos da fronteira de S que podem dar origem a extremos – parametrizar a fronteira de S

através de uma função vectorial e reduzir o problema ao estudo da função de uma só variável .

iii. Calcular o valor de nos pontos determinados em i) e ii). O maior destes valores é o máximo absoluto de em

S, o menor é o mínimo absoluto.

3.9. Extremos condicionados, multiplicadores de Lagrange Proposição: Suponhamos que onde I é aberto e seja uma curva contida em definida pela função

vectorial , e tal que . Se é extremo de em então é perpendicular a em .

Demonstração: Suponhamos que é extremo de em e seja tal que . Então tem um

extremo em pelo que

Tem que se anular em , isto é:

O que significa que os vectores e são ortogonais. Como é tangente a em resulta que é

perpendicular a em .

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Teorema 3.9.1: Seja uma função de duas ou três variáveis e suponhamos que está definido e é de classe num

subconjunto do domínio de . Se é extremo de sujeito à condição então e são paralelos.

Assim se existe tal que:

Ao escalar dá-se o nome de multiplicador de Lagrange.

3.10. Funções vectoriais de n variáveis Considerando a função:

Às funções chama-se funções componentes de . O domínio de é a intersecção dos domínios de cada uma das suas funções componentes. Definição: Seja e suponhamos que está definida numa vizinhança do ponto , excepto

possivelmente em . Dizemos que se e só se:

é a norma em

é a norma em Teorema 3.10.1: Seja e . Então:

De acordo com este teorema os limites das funções vectoriais de variável vectorial calculam-se componente a componente, tal como acontecia para as funções vectoriais de variável real. Definição: Seja e suponhamos que está definida numa vizinhança do ponto . A função diz-se contínua em se e só se

Teorema 3.10.2: Seja definida numa vizinhança do ponto do ponto . Então é contínua em

se e só se é contínua em ,

Definição: Seja . A função diz-se de classe em , , , se . Definição: Dada uma função definida numa vizinhança dum ponto , a derivada de no ponto

segundo o vector é dada por:

Se este limite existir. Se o vector foi unitário, isto é, se , a derivada de segundo o vector diz-se derivada direccional de na

direcção de .

é um vector de que tem como componentes as derivadas das funções no ponto .

Onde

Supondo que todas as funções são diferenciáveis sabemos que: .

Pelo que:

Usando a notação matricial pode-se escrever:

Definição: Seja e seja tal que as derivadas parciais

, existem no

ponto . À matriz

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Dá-se o nome de matriz jacobiana de no ponto . Quando o determinante da matriz no ponto diz-se o

jacobiano da função no ponto e representa-se por

Teorema 3.10.3 (teorema das funções implícitas): Seja um subconjunto aberto de e seja:

Onde , , uma função que verifica as seguintes condições: i.

ii. , isto é,

iii.

(jacobiano da função em ordem às variáveis que queremos escrever como função das

restantes)

Então o sistema de equações:

permite definir implicitamente e como funções de

numa vizinhança do ponto , isto é, existe um aberto e existe uma função de classe :

Tal que:

a)

b)

Como:

e ,

Derivando estas equações em ordem à variável usando regra da derivação da função composta

obtemos:

Ou seja:

Capitulo 4

4.1. Integrais duplos: definição, propriedades e aplicações Definição: Chama-se soma superior (respectivamente inferior) de Darboux de relativa à partição à soma:

Respectivamente:

Tal como no caso das funções de uma só variável pode-se mostrar que se é contínua então existe um e um só

número real que satisfaz as desigualdades:

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Se existir um número nestas condições a função diz-se integrável.

Definição: Seja uma função contínua num rectângulo fechado . Chama-se integral (duplo) de em , e escreve-

se:

Ao único numero real que satisfaz as desigualdades:

Proposição: Seja uma função constante em . Então:

Onde

Teorema 4.1.1: Seja uma função limitada num rectângulo tal que é contínua em excepto possivelmente num

número finito de curvas de classe . Então é integrável em .

Definição: Definimos

Note-se que uma vez que prolongámos a função por zero fora de é indiferente

qual o rectângulo que se considera, desde que contenha

Proposição:

1. Se é integrável em o volume do sólido limitado inferiormente pela região do plano e

superiormente pela superfície e dado por:

2. Se tem-se donde:

3. A massa da placa que ocupa a região do plano e que tem densidade é dada por:

Teorema 4.1.2 (Propriedades do integral duplo): Sejam e duas funções integráveis em .

i. Se e são constantes reais, a função é integrável em e tem-se:

ii. Se em então

iii. Se então

iv. A função é integrável em e tem-se:

v. Se em , onde é constante, então:

vi. Existe um ponto tal que:

A damos o nome de valor médio de em .

Teorema 4.1.3: Seja onde e suponhamos que , e são limitados por um número finito

de curvas de classe . Se é integrável em e em então é integrável em e tem-se:

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Teorema 4.1.4 (Fubini): Se a função é contínua na região dada por

onde e são da classe em então:

Se a função é contínua na região dada por onde e são de

classe em então:

4.2. Cálculo de integrais duplos usando coordenadas polares

Onde e

Teorema 4.2.1. Seja uma transformação injectiva, de classe e de jacobiano não nulo e

suponhamos que transforma a região do plano na região do plano . Seja uma função contínua em .

Então:

Fazendo no teorema anterior conclui-se que:

Dado um ponto de coordenadas cartesianas vamos agora definir as suas coordenadas polares

é a distância do ponto à origem, ou seja:

O ângulo é o angulo que o vector faz com o semi-eixo positivo dos :

Assim, um ponto de coordenadas polares tem coordenadas cartesianas:

onde

Reciprocamente para passarmos das coordenadas cartesianas para coordenadas polares fazemos:

Estas coordenadas são muito úteis para integrar em regiões circulares ou quando na função integranda intervem a

expressão .

é o jacobiano da transformação.

4.3. Integrais triplos Definição: Chama-se soma superior (respectivamente inferior) de Darboux de relativa à partição à soma:

Respectivamente:

Se é contínua então existe um e um só número real que satisfaz as desigualdades:

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Se existir um número nestas condições a função diz-se integrável.

Definição: Seja uma função contínua definida num paralelepípedo fechado . Chama-se integral (triplo) de em ,

e escreve-se:

Ao único numero real que satisfaz as desigualdades:

Proposição:

1. Se a função representar a densidade (massa por unidade de volume) de uma material que ocupa a

região do espaço, então a massa de é dada por:

2. Se em o integral triplo de em dá-nos o volume de :

3. A massa da placa que ocupa a região do plano e que tem densidade é dada por:

No cálculo do integral

Integra-se primeiro em ordem a , mantendo e constantes, depois em ordem a , mantendo constante, e

finalmente em ordem a .

4.4. Cálculo de integrais triplos usando coordenadas cilíndricas e esféricas Teorema 4.4.1. Seja uma transformação injectiva, de classe e de

jacobiano não nulo e suponhamos que transforma a região do plano na região do plano . Seja

uma função contínua em . Então:

Coordenadas cilíndricas

As coordenadas cilíndricas de um ponto são onde são as coordenadas polares de

ou seja,

O nome de coordenadas cilíndricas vem do facto que nestas coordenadas a equação do

cilindro se escreve simplesmente

Onde é a imagem da região por meio da transformação para coordenadas cilíndricas.

Coordenadas esféricas

Dado um ponto vamos agora definir as suas coordenadas esféricas

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Definimos como a distância do ponto à origem, ou seja,

O ângulo é o mesmo que em coordenadas polares e cilíndricas, isto é, é o ângulo

entre o semi-eixo positivo dos e a projecção do segmento no plano ,

O ângulo é o ângulo entre o semi-eixo positivo dos e o segmento ,

A relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas do ponto

:

Onde:

Capitulo 5

5.1. Integral de linha Definição: O integral de linha (relativamente ao comprimento de arco) da função ao longo da curva é dado

por:

Se este limite existir. Sabendo que os pontos determinam uma partição da curva em n sub-arcos de comprimentos

, ,…, . A norma da partição é o maior destes comprimentos.

Pode mostrar-se que se é uma função contínua então o limite anterior existe e é dado por:

Pode mostrar-se que o integral de linha é independente da parametrização da curva escolhida. Note-se que se

ou obtemos:

Onde é o comprimento da curva .

Se a curva é uma união de curvas de classe :

Também se pode definir integrais de linha relativamente às variáveis e do seguinte modo

Onde a curva é dada pela função vectorial com .

Definição: Seja uma curva de classe dada pela função vectorial , com , e seja

uma função contínua cujo domínio contém . Então o integral de linha de ao longo de

é dado por:

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Analogamente em .

Se a função representar um campo de forças contínuo, o trabalho realizado por este campo de forças no

deslocamento de uma partícula ao longo da curva é definido como:

Independência de caminho

Teorema 5.1.1: Seja uma curva de classe dada pela função vectorial com . Seja uma função de

classe em ( ou ). Então:

Definição: Um campo vectorial de diz-se conservativo se existe na função escalar tal que . A função diz-

se uma função potencial (de )

Definição: Seja um campo vectorial contínuo. Dizemos que o integral de linha

é independente de caminho

se:

Para quaisquer curvas e com os mesmos pontos iniciais e finais.

Definição: Uma curva diz-se fechada se o seu ponto terminal coincide com o seu ponto inicial, isto é, se

Teorema 5.1.2: Seja um campo vectorial contínuo definido em ou . Então


se e só se

para toda a curva fechada , seccionalmente de classe .

Teorema 5.1.3: Seja um campo vectorial contínuo definido em ou . Se


então é um campo conservativo.

Teorema 5.1.4: Seja um campo vectorial de classe definido em . Então é

conservativo se e só se:

Seja um campo vectorial de classe definido em . Então é

conservativo se e só se:

Se , para provar a condição necessária em basta ver que se é conservativo então: , ou

seja,

Como

vem

.

5.2. Teorema de Green Definição: Uma curva , dada uma função vectorial com , diz-se uma curva simples se não se

intersectar excepto possivelmente nos seus extremos.

Orientação positiva de é no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio – neste sentido a região interior (D) fica do

lado esquerdo. Notação:

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Teorema 5.2.1 (Teorema de Green): Seja uma curva seccionalmente de classe , simples e fechada do plano,

com orientação positiva e seja a região do plano limitada por . Se e são funções de classe num aberto que

contém então:

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