Apontamentos Introdução Capítulo1 Física Radiações

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UNIVERSIDADE DO ALGARVE APONTAMENTOS DE FÍSICA DAS RADIAÇÕES Curso de Radiologia Escola Superior de Saúde de Faro 2008/2009 – 1º semestre Docente (aulas teóricas): Carla Quintão Silva Docente (práticas laboratoriais): José Mariano DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

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Transcript of Apontamentos Introdução Capítulo1 Física Radiações

  • UNIVERSIDADE DO ALGARVE

    APONTAMENTOS DE FSICA DAS RADIAES

    Curso de Radiologia

    Escola Superior de Sade de Faro

    2008/2009 1 semestre

    Docente (aulas tericas): Carla Quinto Silva

    Docente (prticas laboratoriais): Jos Mariano

    DEPARTAMENTO DE FSICA

    DA FACULDADE DE CINCIAS E TECNOLOGIA

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    PROGRAMA DA DISCIPLINA DE FSICA DAS RADIAES

    CURSO DE RADIOLOGIA

    1 SEMESTRE 2008/2009

    Docente: Carla Quinto Silva

    1. Reviso de alguns conceitos de electricidade 1.1. Fora de Coulomb 1.2. Campo elctrico 1.3. Diferena de potencial 1.4. Campo magntico 1.5. Corrente elctrica 1.6. Lei de Faraday 1.7. Componentes elctricos 1.8. Transformadores

    2. Equipamentos,

    2.1. Sistemas de medida e de controlo 2.2. O uso de computadores nos equipamentos mdicos

    3. Estrutura atmica da matria

    3.1. Breve contextualizao histrica do aparecimento dos modelos atmicos 3.2. Os modelos atmicos desde o de Thomson at actualidade 3.3. O espectro electromagntico 3.4. Interaco da radiao com a matria 3.5. Atenuao da radiao ao atravessar os tecidos humanos 3.6. O espectro de raios-X 3.7. Lei do inverso do quadrado

    4. Grandezas e unidades utilizadas em Radiologia

    5. Equipamentos de raios-X

    5.1. O tubo de raios-X 5.2. Os detectores 5.3. Grelhas ou colimadores 5.4. Filmes 5.5. Cintiladores 5.6. Radiografia digital

    6. Qualidade das imagens

    5.1. Factores geomtricos 5.2. Factores referentes ao sujeito 5.3. Factores relativos ao receptor 5.4. Movimentos indesejveis

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    7. Imagens radiolgicas especiais 6.1. Mamografia 6.2. Fluoroscopia 6.3. Radiologia interventiva 6.4. TAC/CT

    8. Radioactividade

    7.1. Ncleos instveis 7.2. Lei do decaimento radioactivo 7.3. Leis de atenuao e do inverso do quadrado revisitadas 7.4. Produo de radioistopos 7.5. Tipos de decaimento radioactivo

    9. Tomografia Laser

    9.1 Princpios fsicos do funcionamento dos lasers 9.2 Interaco da luz laser com os tecidos 9.3 Princpios fsicos da tomografia laser

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    FSICA DAS RADIAES

    Introduo

    A disciplina de Fsica das Radiaes do curso de Radiologia tem como principal objectivo assegurar que os alunos ficam com uma adequada formao referente aos conceitos, leis e natureza das radiaes electromagnticas, com especial destaque, dado o enquadramento do curso, gama dos raios-X, radioactividade e lasers. No plano de estudos, ela segue-se s disciplinas de Fsica Aplicada onde so ministradas algumas das reas mais relevantes da Fsica Bsica e disciplina de Biofsica onde algumas dessas noes so aplicadas especificamente ao corpo humano e onde so abordadas tambm algumas novas matrias como a Termodinmica, a Acstica e a ptica (ou seja, onde j discutido parte do espectro electromagntico infravermelho, visvel e ultravioleta e onde so referidas as formas de representao das ondas). Assim, pressupe-se que os alunos esto j familiarizados com a linguagem cientfica relacionada com a Fsica e com as ferramentas matemticas necessrias compreenso dos contedos que se seguem.

    Espera-se que a leitura destes apontamentos permita uma primeira abordagem aos temas discutidos nas aulas, abrindo perspectivas para exploraes mais aprofundadas de cada um deles. Ou seja, assume-se que a sua leitura no o suficiente para ter sucesso na disciplina e ser desejvel que os alunos consultem a bibliografia recomendada.

    1. Reviso de alguns conceitos de electricidade Dada a importncia que se reveste a compreenso detalhada do funcionamento

    de um transformador na construo de um tubo de raios-X, este primeira captulo uma reviso sobre alguns conceitos de electricidade, culminando, precisamente, na compreenso do funcionamento de um transformador

    1.1. Fora de Coulomb

    Pode dizer-se que os fenmenos elctricos comearam a ser estudados a partir da observao das foras existentes entre materiais electrizados1. A origem destas foras compreendida aceitando a presena de cargas elctricas que podero ser positivas ou negativas. Duas cargas de igual sinal repelem-se, enquanto que cargas de sinal contrrio se atraem (ver Figura 1), sendo a intensidade da fora entre duas cargas pontuais dada pela Lei de Coulomb:

    221

    r

    qqkF e= ,

    Equao 1

    onde q1 e q2 representam o valor das cargas em coulomb (C), r a distncia entre as cargas em metros (m) e ke a constante de Coulomb: 8.9875 x 10

    9 N m2 C-2.

    1 do conhecimento geral, que uma vara de borracha friccionada com um pano de seda exibe a capacidade de atrair pequenos pedaos de papel, por exemplo. Esta observao deu origem definio de carga elctrica e classificao dos materiais que apresentam excesso de cargas (positivas ou negativas), como materiais electrizados.

  • 4

    Figura 1 Ilustrao da Lei de Coulomb: q1 e q2 so duas cargas genricas, onde em (a) tm ambas o mesmo sinal e em (b) tm sinais contrrios eF1,2 e F2,1 so respectivamente as foras que a carga 2

    exerce sobre a carga 1 e que a carga 1 exerce sobre a carga 2. (Retirado de R.A. Serway, 1996.)

    1.2. Campo elctrico Embora os efeitos dessas foras s possam ser sentidos quando duas ou mais

    cargas se encontram na presena umas das outras, admite-se que uma nica carga cria um campo em seu redor, cuja expresso :

    2r

    qkE e= ,

    Equao 2

    onde q a carga geradora do campo, considerada pontual, e r a distncia entre a carga e o ponto de medida (ver Figura 2). Os efeitos deste campo podem, pois, ser interpretados da seguinte forma: uma carga de 1 C que seja colocada numa regio na qual est estabelecido um campo de 1 N C-1, fica sujeita a uma fora de 1 N.

    Uma forma simples de idealizar um campo elctrico pensar-se que este mede o efeito que a presena de uma carga provoca num qualquer ponto do espao. Ou seja, pode entender-se como uma fora em potncia, no sentido em que se for colocada uma outra carga elctrica nesse ponto do espao, esta sofrer uma fora, qual no ficaria sujeita se a primeira carga no tivesse sido l colocada. E, neste contexto evidentemente, uma grandeza vectorial, tal como as foras.

    Quanto relao existente entre o campo elctrico e a fora elctrica ela vem dada pela Equao 3:

    EqFrr

    = .

    Equao 3

  • 5

    Figura 2 Ilustrao do vector campo elctrico (E), onde q a carga geradora do campo e q0 a carga de prova. Em (a) a carga geradora positiva, enquanto que em (b) negativa. r o versor da direco do campo, enquanto que P um ponto genrico no espao. (Retirado de R.A. Serway, 1996.)

    Uma forma de representar o campo elctrico atravs das suas linhas de campo,

    as quais cumprem uma srie de regras: O vector campo elctrico tangente s linhas de campo. O n de linhas de campo por unidade de rea que atravessam uma

    superfcie perpendicular ao campo proporcional amplitude do campo nessa regio.

    As linhas comeam nas cargas positivas e terminam nas negativas (ou ento comeam ou acabam no infinito se a carga total no for nula).

    O n de linhas que chegam ou partem de uma carga proporcional sua amplitude.

    As linhas no se cruzam.

    Figura 3 Ilustrao de como se representam as linhas de campo elctrico no espao. Atravs da imagem e tendo em conta o que foi escrito acerca das mesmas possvel concluir que a intensidade do campo elctrico na superfcie B menor do que na superfcie A (uma vez que o seu nmero por unidade de rea maior na primeira) e que as cargas positivas se encontram esquerda da imagem ou, o que equivalente, as cargas negativas se encontram direita. (Retirado de R.A. Serway, 1996.)

  • 6

    1.3. Diferena de potencial Uma outra grandeza importante no estudo da electricidade a diferena de

    potencial ou, tambm denominada, tenso. A diferena de potencial uma medida da energia necessria para mover uma carga no interior de um campo elctrico e tem como unidade no SI o volt (V). Se o campo elctrico for uniforme a diferena de potencial dada pela expresso:

    dEV .= ,

    Equao 4

    onde E a intensidade do campo e d a distncia entre os dois pontos, medida perpendicularmente ao campo. Ou seja, tomando como referncia a Figura 4, a diferena de potencial entre A e B dada pelo produto do campo, pela distncia entre A e C2. Ao recordar o que foi escrito relativamente s linhas de campo fcil concluir que na Figura 4 o campo representado uniforme, que as cargas positivas se encontram do lado esquerdo e, portanto, o potencial em A positivo relativamente a B ou a C.

    Figura 4 - Representao de um campo elctrico uniforme e da grandeza d a que a Equao 4 alude. (Retirado de R.A. Serway, 1996.)

    Observe-se que, deste modo, o campo elctrico, para alm de poder apresentar unidades N C-1, tambm pode apresentar V m-1.

    Um outro aspecto importante da diferena de potencial que pode ser vista como a energia elctrica de uma carga pontual. Ou melhor, a expresso matemtica que relaciona a diferena de potencial, V, e a energia elctrica, U, de uma determinada carga q0 :

    0q

    UV =

    Equao 5

    1.4. Campo magntico A observao da existncia de certos materiais, aos quais se veio a chamar

    magnticos, que possuam a capacidade de atrair espontaneamente outros corpos, veio a fazer desabrochar uma nova rea da Fsica denominada Magnetismo.

    Actualmente, sabe-se que existem essencialmente duas formas de gerar campos magnticos3: ou atravs dessas substncias mans; ou atravs de cargas em movimento. Esta ltima observao foi responsvel por fazer juntar duas reas at ento separadas que eram a electricidade (relacionada com as cargas) e o magnetismo (relacionado com a propriedade anteriormente referida).

    2 Repare-se que o campo elctrico, tal como a fora, uma grandeza vectorial exibindo, portanto, uma direco e um sentido. 3 Grandeza semelhante ao campo elctrico, mas cuja natureza magntica.

  • 7

    Tambm a existncia de campos magnticos comprovada atravs da presena de um objecto de prova. Neste caso, no basta colocar uma partcula carregada em determinado local, mas necessrio que esta se encontre em movimento. Se, nestas circunstncias, a carga ficar sujeita a uma fora magntica, ento possvel dizer-se que se est na presena de um campo magntico4. Na verdade, colocando uma carga elctrica em movimento no interior de um campo magntico, observou-se o seguinte:

    A amplitude da fora magntica a que a partcula fica sujeita proporcional sua carga e sua velocidade.

    A amplitude da fora magntica proporcional amplitude do campo magntico.

    Se a velocidade da partcula for paralela direco do campo, a fora ser nula.

    A fora perpendicular ao plano formado pela velocidade da partcula e pelo campo magntico.

    O sentido da fora sobre uma carga positiva o oposto ao que fica sujeita uma carga negativa.

    A amplitude da fora proporcional ao seno do ngulo formado pela velocidade e pelo campo magntico.

    Do a iluso de que o campo elctrico descontnuo.

    Aparecem como uma representao bi-dimensional de uma realidade tri-dimensional.

    Ou seja, se as propriedades do produto externo entre vectores for recordado (ver ANEXO A) facilmente se conclui que estas observaes conduzem expresso:

    BvqFmagrrr

    = ,

    Equao 6

    sendo magFr

    a fora magntica a que fica sujeita uma partcula de carga q, animada de

    uma velocidade vr

    , sob a aco de um campo magntico Br

    .

    Figura 5 a) Relao entre os vectores velocidade da carga, campo magntico e fora magntica a que a carga fica sujeita. b) Alterao da velocidade da carga por aco dessa mesma fora. (Retirado de R.A. Serway, 1996.)

    4 A unidade de campo magntico no SI o Tesla (T).

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    A fora magntica e o resultado dessa fora em termos de modificao da velocidade da carga esto representados na Figura 5.Figura 5 a) Relao entre os vectores velocidade da carga, campo magntico e fora magntica a que a carga fica sujeita. b) Alterao da velocidade da carga por aco dessa mesma fora.

    Deve reparar-se que quando se compara a fora elctrica com a fora magntica: i) a primeira paralela ao campo elctrico, a fora magntica perpendicular ao campo magntico; ii) a fora elctrica actua sobre cargas em repouso, enquanto que a fora magntica actua sobre cargas em movimento; iii) a fora elctrica realiza trabalho ao deslocar uma partcula, a fora magntica no (desde que o campo seja estacionrio).

    1.5. Corrente elctrica Ao movimento ordenado de um conjunto de cargas d-se o nome de corrente

    elctrica. Esta grandeza tem como unidade do SI o ampre (A) e definida atravs da expresso:

    t

    qI

    = ,

    Equao 7

    ou seja, tem o significado de quantidade de carga, q, que passa num determinado ponto, por unidade de tempo, t.

    Por conveno, estipulou-se que o sentido da corrente elctrica aquele que corresponde ao movimento das cargas positivas. Ou seja, nos metais, por exemplo, onde a corrente elctrica se deve ao movimento de electres livres, o sentido da corrente tem precisamente o sentido inverso ao do movimento das cargas.

    A este respeito, deve referir-se que no que toca capacidade de transportar cargas elctricas, os materiais dividem-se em: i) condutores, como sendo aqueles que possuem cargas elctricas livres; isolantes, os que tm dificuldade em transportar carga elctrica e semi-condutores, aqueles que possuem propriedades intermdias.

    Quando o estudo se centra nas correntes que so transportadas em condutores (em geral, metais que exibem electres livres) estas podem ser essencialmente de dois tipos: contnua e ou alternada. Na primeira, o fluxo de electres dirige-se sempre no mesmo sentido e designada em muita bibliografia como corrente DC5. No segundo caso, a corrente diz-se alternada, o movimento dos electres circulam ora num sentido ora noutro e muitas vezes designada por corrente AC6. Um caso particular, e o mais vulgar no uso dos equipamentos elctricos, aquele que se obtm nas nossas casas ao qual se d o nome de corrente alternada sinusoidal, dado que pode ser representada por uma funo seno (Figura 6). Repare-se que ao valor absoluto mximo da corrente d-se o nome de amplitude ou pico e ao dobro da amplitude denomina-se valor pico a pico. Em determinados contextos ainda importante saber-se que o valor efectivo da corrente

    sinusoidal7 dado por 70.7% do seu valor mximo, ou seja (valor mximo/ 2 ): e que o seu valor mdio de 63.6%.

    1.6. Lei de Faraday

    Na seco 1.4. foi referido que cargas em movimento criam um campo magntico no espao. Ou seja, tendo em conta a definio de corrente elctrica

    5 Do ingls Direct Current. 6 Do ingls Alternating Current. 7 O valor efectivo da corrente aquele que produz os mesmos efeitos do ponto de vista de potncia que provocaria uma corrente contnua de igual valor.

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    anteriormente dada, possvel dizer-se que uma corrente gera em torno de si um campo magntico. Este efeito observou Oersted pela primeira vez na sua clebre experincia, onde fez com que uma agulha magntica se orientasse noutra direco que no a do plo norte quando colocada prxima de um circuito elctrico atravs do qual passava uma corrente (ver Figura 7). Uma outra ilustrao deste fenmeno encontra-se na Figura 8, onde mostrado um dispositivo que serve para mostrar um campo magntico gerado a partir de uma corrente. Nesta experincia observa-se limalhas de ferro espalhadas num plano perpendicular ao fio atravs do qual a corrente passa e que formam circunferncias em torno desse mesmo fio. Assim, mesmo sem recorrer a expresses matemticas, fcil aceitar, observando estas demonstraes, que uma corrente elctrica cria sua volta um campo magntico cuja geometria circular em torno da mesma. Sendo que o seu sentido o seguinte: se uma corrente elctrica percorrer um condutor linear de cima para baixo, gera-se um campo magntico cujo sentido o contrrio ao dos ponteiros do relgio (ver Figura 9).

    Figura 6 Representao de uma corrente sinusoidal. No eixo dos xx est representada a corrente em termos percentuais, enquanto que no eixo dos yy o tempo. Na figura esto ainda ilustrados os valores da amplitude (pico); da corrente pico a pico; o valor mdio da corrente e o seu valor efectivo (adapt. de: http://www.novaeletronica.net/curso/cap04.htm, a 24/9/2008)

    Pode ainda acrescentar-se que, em termos de amplitude, o valor do campo varia

    inversamente distncia ao fio condutor. Em particular, se esse fio for considerado

    infinito a amplitude do campo Br

    , num determinado ponto vir dada pela Equao 8:

    R

    IB

    2

    0=r

    ,

    Equao 8

    onde 0 a permeabilidade do vcuo e tem o valor: Tm/A 104 -7 , I a corrente que percorre o fio e R a distncia do ponto ao fio.

    EFECTIVO

    MDIO

  • 10

    Figura 7 Ilustrao da Experincia de Oersted. (retirada de: http://arc.iki.rssi.ru/mirrors/stern/Education/whmfield.html, a 25 de Setembro de 2008)

    Figura 8 Dispositivo para observar as linhas de campo provocadas por uma corrente que percorre um fio condutor, a partir da observao de limalhas de ferro espalhadas no plano perpendicular ao fio. (retirado de: http://www.dkimages.com/discover/Home/Technology/Electronics/Components/Electrical-Circuits/Unassigned/General-09.html, a 25 de Setembro de 2008.

    Figura 9 Ilustrao do sentido do campo criado por uma corrente que atrqavessa um fio condutor. (retirado de: http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/images/cap9f01.gif, a 25 de Setembro de 2008).

    o momento de referir que um dos encantos do electromagnetismo a sua

    reciprocidade, se assim se pode chamar! Se, como se acabou de discutir, uma corrente elctrica cria na sua proximidade um campo magntico, o contrrio tambm vlido. Ou seja, a Lei de Faraday (descoberta por este cientista) descreve como que a presena de campos magnticos pode conduzir ao surgimento de correntes elctricas.

  • 11

    Para compreender a essncia desta lei pense-se no seguinte: se um condutor, no interior do qual no circulam cargas, se deslocar relativamente a um campo magntico esttico, as suas cargas vo sofrer uma fora que as impelir a mover-se. Ou seja, cria-se uma corrente elctrica, durante o tempo em que o condutor se estiver a mover. Atendendo a que o que importa a velocidade relativa entre entidades, evidente que a mesma corrente criada se for o campo magntico que se mova relativamente ao condutor (ver Figura 10 e Figura 13). A este fenmeno d-se o nome de Induo Magntica.

    Figura 10 Ilustrao da Lei de Faraday. O movimento do man na proximidade de um condutor provoca nele uma corrente. Observa-se ainda que a direco da corrente dependente do sentido do movimento (Lei de Lenz). (Retirado de R.A. Serway, 1996.)

    Com o intuito de matematizar a Lei de Faraday necessrio introduzir o conceito de fluxo de campo magntico atravs de uma superfcie. Antes de mais, e alis como tambm j foi abordado no que toca ao campo elctrico, possvel representar o campo magntico a partir das suas linhas. A partir da definio de linhas de campo define-se uma outra grandeza qual se d o nome de fluxo de campo e que definido como o n de linhas de campo que a atravessam. Matematicamente este representado pela Equao 9:

    = AdBmagrr

    . ,

    Equao 9

    onde Br

    o campo magntico, A a superfcie considerada e o vector ao qual esta grandeza est associado tem a direco perpendicular a superfcie no ponto que se estiver a considerar e o sentido de dentro para fora dessa mesma superfcie. Do ponto de vista de unidades no SI o fluxo magntico vem dado em Weber (Wb), pelo que tambm possvel considerar a unidade de campo como Wb/m2.

    Com base no conceito de fluxo magntico a Lei de Faraday pode ser reformulada dizendo-se que aos terminais de um condutor se gera uma diferena de potencial (e por conseguinte, uma corrente atravessa esse condutor) se o fluxo de campo magntico atravs da rea circunscrita por esse condutor variar. Ou, matematicamente:

  • 12

    dt

    dfem

    mag= ,

    Equao 10 ou, mais precisamente, considerando a Equao 10, pode ainda ser enunciada da seguinte forma: A fora electromotriz (diferena de potencial) gerada por induo iguala, em valor absoluto, a taxa de variao do fluxo de campo magntico atravs da superfcie delimitada pelo circuito. Repare-se, por fim, no sinal - na expresso. Este indica que a fem se ope causa que lhe deu origem. Que a conhecida Lei de Lenz. Na verdade, possvel compreender que a corrente elctrica gerada por induo a partir da variao do fluxo de campo magntico cria, ela prpria, um campo, que se ope variao do primeiro.

    1.7. Componentes elctricos Neste ponto deste primeiro captulo torna-se importante introduzir alguns dos principais componentes utilizados em electricidade. Para tanto, a primeira constatao a fazer que a intensidade de corrente que flui entre dois pontos num determinado material proporcional diferena de potencial entre esses dois pontos e dependente das propriedades desse material. Neste contexto, os materiais podem apresentar essencialmente trs comportamentos8: resistivo, capacitivo e indutivo. A resistncia, R, de um material mede a oposio que este faz passagem da corrente elctrica, tem como unidade SI o ohm () e define-se como a constante de proporcionalidade entre a diferena de potencial, V, e a corrente elctrica, I:

    RIV = .

    Equao 11

    Equao 11 d-se o nome de Lei de Ohm e, conjuntamente com as suas generalizaes e a Lei da Conservao da Carga, encerra, certamente, a essncia de todas as aplicaes da electricidade e dos circuitos elctricos9. As componentes elctricas podem associar-se basicamente de duas formas: em srie ou em paralelo (ver Figura 11). Prova-se que o resultado RT da associao de duas resistncias, R1 e R2, em srie, simplesmente a soma dessas duas resistncias (Equao 12):

    21 RRRT += .

    Equao 12

    Este resultado obtido considerando que a corrente a mesma em todo o circuito (conservao da carga) e a aplicao da lei de Ohm. Da mesma forma possvel provar que a associao de duas resistncias em paralelo cumpre a Equao 13:

    21

    111

    RRRT+= .

    Equao 13

    8 Na realidade, cada material exibe, numa certa medida, os trs comportamentos, no entanto, em geral, um deles predominante. 9 Para a maioria dos autores, toda a teoria da electricidade se encontra resumida na expresso mais geral da Lei de Ohm, na Lei das Malhas e na Lei dos Ns, sendo estas duas ltimas consequncias directas da lei de conservao da carga.

  • 13

    Figura 11 - Esquemas de a) um circuito formado por duas resistncias em srie b) de um circuito formado por duas resistncias em paralelo.

    Sempre que uma corrente elctrica atravessa um material resistivo, uma parte da sua energia transformada em calor. A potncia dissipada por esta via depende linearmente da resistncia do material, R, e quadraticamente da corrente que o atravessa, cumprindo-se a Equao 14:

    2RIP = .

    Equao 14

    Um condensador um outro componente elctrico cuja principal caracterstica armazenar cargas elctricas. O condensador mais simples formado por duas placas condutoras entre as quais se encontra um material isolante (ver Figura 12). Verifica-se que, quando se estabelece uma diferena de potencial entre os condutores, V, existe uma acumulao de cargas em cada uma das placas (positivas numa delas e negativas na outra). Se Q for a quantidade de carga acumulada em cada uma das placas, cumpre-se a Equao 15:

    CVQ = ,

    Equao 15

    onde a constante de proporcionalidade C a capacidade do condensador, cuja unidade o farad (F).

    Figura 12 - Esquema de um condensador de placas.

    No que respeita associao de condensadores, e utilizando o raciocnio anteriormente referido, CT, de dois condensadores C1 e C2 dispostos em srie, cumpre a relao:

    21

    111

    CCCT+= .

    Equao 16

    +

    R1

    R2

    a)

    R1 R2

    b)

  • 14

    Enquanto que a capacidade associada a dois condensadores dispostos em paralelo igual soma das capacidades de cada um deles. A energia armazenada num condensador , como seria de esperar, funo da sua capacidade e da diferena de potencial entre os condutores:

    22

    1CVE = .

    Equao 17

    O indutor, por sua vez, um componente que se ope a mudanas na intensidade de corrente, de modo que a indutncia, L, que mede essa oposio, definida atravs da relao:

    t

    ILV

    = .

    Equao 18

    Onde V a diferena de potencial nos terminais do indutor e a razo t

    I

    mede a

    variao da corrente num intervalo de tempo t . A unidade SI da indutncia o henry (H) e a associao de indutores segue as mesmas regras que a associao de resistncias.

    1.8. Transformadores A Lei de Faraday no teve apenas um enorme impacto ao nvel conceptual,

    demonstrando, claramente, uma reciprocidade entre a possibilidade de uma corrente elctrica gerar um campo magntico e este poder tambm gerar uma corrente elctrica, mas tambm revolucionou a tecnologia permitindo a construo de geradores e motores elctricos.

    No contexto desta disciplina, uma das principais aplicaes da induo magntica a construo de transformadores (dispositivos que, basicamente, transformam uma dada diferena de potencial, noutra). Na Figura 13 encontra-se representado o princpio fsico de um transformador. Se no solenide da esquerda for introduzida uma corrente alternada i1, o fluxo de campo que atravessa o solenide da direita vai, tambm ele se alterando, criando uma nova corrente alternada i2 nesse segundo solenide. chegado o momento de fornecer mais algumas informaes sobre o campo magntico criado por um solenide e a forma como esse campo pode ser modificado. Antes de mais, atravs da Lei de Ampre (lei cuja deduo a aplicao a este caso em particular se encontra para alm do que se pensa ser os objectivos desta disciplina) possvel deduzir o campo magntico criado no interior de um solenide, com n espiras percorrido por uma corrente I e no interior do qual se encontra um meio com susceptibilidade magntica (Equao 19):

    l

    nIB

    = .

    Equao 19

  • 15

    Figura 13 Demonstrao da forma como uma corrente elctrica num solenide pode gerar outra corrente elctrica. (Retirado de: http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/inducao/inducao_mut_entre_dois_circ/, em 28 de Setembro de 2008.)

    Cumpre tambm dizer que quanto maior a susceptibilidade magntica de um meio, maior o seu poder de captar as linhas de fora magnticas, da que quanto maior esta for, maior ser o campo magntico produzido pelo solenide no seu interior.

    Imagine-se, ento o dispositivo representado na Figura 14 conhecido como transformador. De um dos lados de um toro de material com elevada susceptibilidade magntica (ncleo) so enroladas Np espiras aos terminais das quais aplicada uma corrente alternada, o que corresponde a uma diferena de potencial alternada (o chamado primrio do transformador). Do outro lado so enroladas Ns espiras. Como a corrente alternada o fluxo magntico altera-se ao longo do tempo, induzindo uma corrente alternada no secundrio (ver Equao 10).

    Figura 14 - http://br.geocities.com/saladefisica7/funciona/transformador41.jpg

  • 16

    Admitindo que o fluxo magntico circula apenas no ncleo do transformador, uma vez que este tem uma susceptibilidade magntica muito maior do que a do ar e aplicando a

    l

    nIB

    = .

    Equao 19, facilmente se verifica que:

    s

    p

    p

    s

    I

    I

    N

    N= .

    Equao 20

    Por outro lado, atendendo Equao 10 e generalizando-a para n espiras, obtm-se:

    dt

    dnfem

    mag= ,

    Equao 21

    logo:

    p

    s

    p

    s

    V

    V

    N

    N= .

    Equao 22

    Dos resultados provenientes da Equao 20 e da Equao 22, conclui-se que a resistncia equivalente do primrio do transformador ser diferente da resistncia equivalente do secundrio.

    Resumindo, pode concluir-se que um transformador ideal um equipamento que consegue aumentar ou reduzir a diferena de potencial, sem perda de potncia.

  • 17

    Z

    X

    Y

    Az

    Ax

    Ay

    ANEXO A Reviso de alguns conceitos de Clculo Vectorial

    Como foi estudado em anteriores nveis de escolaridade Um vector caracterizado por uma amplitude, uma direco e um sentido, ao contrrio de um escalar que definido apenas por um nmero (amplitude). Ou seja, a distncia percorrida, a temperatura e a massa so exemplos de escalares, enquanto que o deslocamento, a velocidade e a fora so exemplos de vectores.

    Sempre que necessrio localizar pontos no espao, necessrio usar um sistema de coordenadas que envolve: uma origem (ponto fixo); um sistema de eixos e instrues para definir um ponto relativamente origem e aos eixos. No sistema de coordenadas cartesianas (que aquele que se torna mais intuitivo aos nossos sentidos

    possvel descrever um vector Ar

    esquematicamente:

    Figura 15 Representao de um vector no espao.

    Ou analiticamente: zzyyxx uAuAuAArrrr

    ++=

    Relativamente s caractersticas dos vectores ainda essencial lembrar que dois vectores so iguais se tiverem a mesma amplitude, direco e sentido e que a adio de dois vectores BAR

    rrr+= segue as regras grficas do tringulo ou do paralelograma, que

    podem ser usadas indiscriminadamente, consoante o gosto do aluno.

    Regra do tringulo: Regra do paralelograma:

    Figura 16 Representao grfica da regra do tringulo e da regra do paralelograma na adio de vectores

    rA

    rR

    rR

    rA

    rA

    rB

    rB

  • 18

    tambm sabido que a adio de vectores comutativa: ABBArrrr

    +=+ e associativa: )()( CBACBA

    rrrrrr++=++ . E que o vector A

    r o vector que tem a mesma

    amplitude e direco que Ar

    , mas sentido contrrio:

    Ar

    Ar

    Figura 17 Representao do simtrico de um vector.

    O que permite na subtraco usar as mesmas regras que na soma. Ainda com o objectivo de recapitular algumas noes sobre vectores, refira-se

    que multiplicar um escalar por um vector equivale a multiplicar a sua amplitude por esse escalar (se o escalar for negativo, o vector resultante tem o sentido contrrio ao do vector inicial). E que, atendendo a que um vector pode ser expresso atravs das suas componentes:

    zzyyxx uAuAuAArrrr

    ++=

    Equao 23

    A soma (subtraco) de Ar

    com Br

    pode ser calculada atravs da expresso:

    zzzyyyxxx uBAuBAuBARrrrr

    )()()( ++=

    Equao 24

    O produto interno entre dois vectores um escalar dado por:

    cos. ABBA =rr

    Equao 25

    sendo, A e B, as amplitudes dos vectores e o menor ngulo entre eles. Ou seja, o produto interno de A

    r com B

    r a amplitude de A

    r multiplicada pela projeco de B

    r

    em Ar

    . Tendo em conta a sua definio possvel demonstrar facilmente que o produto interno comutativo: ABBA

    rrrr.. = , associativo: )..()..( CBACBA

    rrrrrr= e distributivo

    relativamente soma: CABACBArrrrrrr

    ..).( +=+

    Alm disso, como facilmente se verifica, o produto interno entre dois vectores paralelos o produto das suas amplitudes e o produto interno entre dois vectores perpendiculares zero:

    Temos tambm que se Ar

    e Br

    forem descritos como:

    zzyyxx uAuAuAArrrr

    ++= zzyyxx uBuBuBBrrrv

    ++=

    o produto interno ente esses dois vectores calculado atravs da expresso:

  • 19

    zzyyxx BABABABA ++=rr

    .

    Equao 26

    Define-se versor, como o vector unitrio relativo a uma dada direco. Ou seja, o versor do vector A

    r tem a expresso:

    zz

    y

    y

    xx u

    A

    Au

    A

    Au

    A

    A

    A

    AA

    rr

    rr

    rrr

    rr

    vers ++==

    Equao 27

    onde as quantidades A

    A

    A

    A

    A

    A zyxrrr ; ; so os cossenos directores do vector Ar (cos,

    cos, cos).

    Quanto ao produto externo de dois vectores um vector cuja amplitude dada por:

    senABBA =rr

    Equao 28

    sendo, A e B, as amplitudes dos vectores e o menor ngulo entre eles.

    Quanto sua direco sabe-se que se: BACrrr

    = , ento: BACrrr

    e

    Como propriedades importantes do produto vectorial pode apontar-se:

    1. )( ABBArrrr

    =

    2. 0// = BABArrrr

    3. BABABA .=rrrr

    4. distributivo relativamente soma:

    As coordenadas cartesianas cumprem-se as seguintes regras:

    yzxxz

    xyzzy

    zxyyx

    zzyyxx

    uuuuu

    uuuuu

    uuuuu

    uuuuuu

    rrrrr

    rrrrr

    rrrrr

    rrrrrr

    ==

    ==

    ==

    === 0

  • 20

    Existindo uma regra prtica, bastante til no clculo do produto externo entre dois vectores que se representa da seguinte forma:

    zyxyxyzxxzxyzzy

    zyx

    zyx

    zyx

    uABBAuBABAuBABA

    BBB

    AAA

    uuu

    BA

    rrr

    rrr

    rr

    )()()( ++=

    ==