Apost estatistica

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E.E. "Professor Astor Vianna" APOSTILA DE ESTATÍSTICA
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1. E.E. "Professor Astor Vianna" APOSTILA DE ESTATSTICA 2. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA 1.1 Conceito, Origem e Desenvolvimento da Estatstica. Vamos estudar o conceito de estatstica a partir de trs vertentes. Chama-se de estatstica: 1. O conjunto de elementos numricos relativos a um fato. 2. O conjunto de tcnicas para fazer predies com base em probabilidades. 3. O conjunto de tcnicas para fazer inferncias com base em amostras. Estatstica a cincia que investiga os processos de obteno, organizao e anlise de dados sobre uma populao e os mtodos para tirar concluses e fazer predies com base nesses dados. 1.2 Um Pouco de Histria No sculo XI, Guilherme, o conquistador, ordenou que fosse feito um censo das propriedades No princpio a estatstica referia-se apenas a informaes de interesse do estado (nao) para exercer controle fiscal ou para segurana nacional. Por isso o nome estatstica: cincia do estado. 1.3 Porque Utilizar Estatstica A estatstica est presente no nosso dia a dia. A todo o momento fazemos estimativas e predies com base em informaes que dispomos. Esta cincia til para conhecer determinada situao. uma forma de representar e simplificar determinada realidade, a partir de dados nela coletados com a finalidade de planejar e tomar decises. 1.4 Estatstica nas Empresas No mundo atual, a empresa uma das vigas-mestras da economia dos povos. A direo de uma empresa exige de seu(s) administrador(es) a importante tarefa de tomar decises. O conhecimento e o uso da estatstica facilitaro esse trabalho. Por meio de experimentos, sondagens, coleta de dados ou opinies; podemos conhecer a realidade geogrfica e social, os recursos naturais, humanos e financeiros; estabelecer metas e objetivos. Fatores muito importantes e muito utilizados por EMPREENDEDORES e pelos GOVERNOS. Exerccios: 1. Cite exemplos de utilizao da estatstica. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 2. Voc utiliza ou j utilizou estatstica em sua vida acadmica ou profissional? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 2 3. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA 2. Variveis Varivel , convencionalmente, o conjunto de resultados possveis de um fenmeno e se dividem em QUALITATIVAS E QUANTITATIVAS. 2.1 Varivel Qualitativa quando se refere qualidade, estar sempre associada a um atributo e podem ser nominais e ordinais. Varivel qualitativa nominal quando respostas podem ser encaixadas em categorias, independentes uma das outras, sem nenhuma relao com as outras. Ex: Time de futebol (flamengo, Vasco, fluminense, etc), Causa morte (cncer, tuberculose, etc) Varivel qualitativa ordinal mantm uma relao de ordem uma com as outras. Ex: Classe social (alta, mdia, baixa), Conceitos obtidos em uma disciplina (A, B, C, D). 2.2 Varivel Quantitativa Quando se refere quantidade, seus valores so expressos por nmeros e podem ser discreta ou contnua. Varivel quantitativa discreta relacionada a contagens ou enumeraes, no admite decimais. Ex: Quantidade de alunos, Nmero de cadeiras, etc. Varivel quantitativa contnua Relacionada a medies, onde a varivel pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo. Ex: Altura, idade, etc. Exerccios 1. Classifique as variveis: ) Nmero de clientes. ) Produo agrcola de arroz. ) Sexo. ) Raa de ces. ) Grupo sanguneo. ) Velocidade de um veculo. ) Partido poltico. 3 4. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA h) N de hemcias por mm 2 ) Didtica de um professor. ) Temperatura. ) Salrio. 2. D exemplos de: a) Varivel qualitativa nominal b) Varivel quantitativa contnua c) Varivel quantitativa discreta d) Varivel qualitativa ordinal 3 - POPULAO E AMOSTRA 3.1 Populao Estatstica o conjunto de indivduos portadores de pelo menos uma caracterstica comum, onde sempre possvel considerar todos os elementos. O pesquisador quem define a populao estatstica principalmente pela atribuio de caractersticas a essa populao. 3.2 Amostra o subconjunto finito de uma populao, isto , uma pequena parte do todo. Mas para que as inferncias sejam corretas necessrio que tenhamos uma amostra significativa da populao e que as amostras sejam obtidas por processos adequados. Assim, pode-se dizer que trabalhar com amostras bem mais fcil, mais econmico e mais rpido. A amostra deve representar fidedignamente a populao, por isso, exigi-se certas tcnicas para a obteno de amostras no tendenciosas e imparciais, como deve ser todo trabalho estatstico, estas tcnicas so obtidas atravs da amostragem. 4 - PRINCIPAIS TCNICAS DE AMOSTRAGEM 4.1 Amostra Casualizada quando todos os elementos da populao tem a mesma probabilidade de participarem da amostra. Equivalente a um sorteio. Por exemplo, uma clnica com 100 pacientes, onde se deseja uma amostra de 20 elementos. Colocamos todos os nomes em uma urna e aleatoriamente retiramos os 20 nomes 4 5. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA 4.2 Amostra Sistemtica aquela que se adota um sistema intervalar (tempo ou espao) para a obteno dos dados, ou seja, quando os elementos da populao j se acham ordenados e o pesquisador determina o sistema. Por exemplo, Pronturios mdicos, 1 a cada 5; Linhas de produo 1 a cada 100. 4.3 Amostra Estratificada Ocorre quando dividimos a populao em sub populaes (estratos), e dentro de cada estrato retiramos uma certa quantidade de elementos. Essa retirada pode ser casualizada ou sistemtica. Por exemplo, supondo que dos 100 pacientes do primeiro exemplo utilizado, 60 sejam homens e 40 mulheres so, portanto dois estratos (masculino e feminino). Se queremos uma amostra de 20%, logo: Amostragem masculina = 12 elementos; Amostragem feminina = 8 elementos. 4.4 Amostra por Conglomerado aquela onde dividimos a populao em conglomerados (sees) e sorteamos uma certa quantidade de conglomerados, trabalhando com todos os elementos das sees sorteadas. Por exemplo, estudo sobre a estatura dos alunos da UCB, dividiramos a populao em sees (cursos) e realizaramos um sorteio para saber com que cursos iriam trabalhar. 4.5 Amostra por Convenincia aquela que se obtm os dados por comodidade. Por exemplo, para realizar uma pesquisa com alunos do curso de Educao Fsica. Realizaramos em nossa instituio. Exerccios 1. A carteira de clientes de uma agncia est organizada em um arquivo, por ordem alfabtica. Qual o tipo de amostra e a maneira mais simples de amostrar 1/ 3 dos clientes? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 2. Defina populao estatstica, exemplifique e atribua TRS caractersticas a essa populao. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 3. Relacione: 1. Amostra sistemtica. 2. Amostra por conglomerado. 3. Amostra estratificada. 4. Amostra casualizada. 5. Amostra por convenincia. ( ) Quando divide a populao em sub populaes. ( ) Quando a populao j se acha ordenada. ( ) Quando se obtm por comodidade. ( ) Quando se assemelha a um sorteio. ( ) Quando se seleciona apenas parte da populao. 5 6. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA ( ) Quando dividimos a populao em conglomerado 4. Alunos de uma universidade resolveram realizar uma pesquisa de inteno de votos para a eleio de um novo reitor daquela instituio. O trabalho foi realizado no perodo de 10 a 15 de junho de 2012 com toda a comunidade acadmica. Foram ouvidos, de forma aleatria, 236 eleitores sendo o mesmo percentual para alunos e funcionrios. Responda: a) A populao estatstica; ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ b) A tcnica de amostragem utilizada. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 5. MTODO ESTATSTICO O mtodo estatstico compreende um ciclo que vai da concepo do problema at as concluses. Realiza-se pela aplicao do mtodo cientifico, pelas fases a seguir: Definio do __ Coleta de __ Anlise de __ Concluses Problema Dados Dados Vejamos cada fase. 5.1 Definio do Problema Esta fase a mais importante. Onde claramente definido o problema e o objetivo a ser alcanado. Hipteses so levantadas. Essas definies iro conduzir as fases subseqentes. Para estatstica, o produto importante da definio do problema a delimitao da populao. Outro aspecto importante da definio de problema o levantamento de hipteses. Fazem-se perguntas ou afirmaes sobre a populao, originadas em conhecimentos anteriores ou na percepo dos pesquisadores. Definida a populao e formuladas as hipteses precisamos elaborar um instrumento para coleta de dados. 5.2 Coleta de Dados H vrias maneiras de coletar dados. O meio mais comum o uso de questionrios ou formulrios, compostos por perguntas. Elaborar um questionrio uma das tarefas mais importantes em um trabalho de pesquisa, por meio deles que os dados sero obtidos e registrados. Ele precisa ser claro, objetivo e no dar margem a dvidas ou a m interpretao. O questionrio pode ser preenchido pelo entrevistador ou pelo entrevistado. A maior vantagem no uso do questionrio o anonimato do entrevistado o que possibilita respostas muito mais verdadeiras. As partes que compem um questionrio so: 1. Cabealho Serve para identificar quem promove a pesquisa; 6 7. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA 2. Textos de instrues e apresentao do entrevistador Contm orientaes e avisos para o entrevistado. 3. Variveis de identificao da unidade pesquisada ou da entrevista Localizar a unidade amostral ordenando os questionrios. 4. Perguntas - Conjunto de questes. 5. Agradecimento Agradecer a contribuio do entrevistado para o trabalho. 5.3 Anlise de dados Analisar dados consiste em aplicar tcnicas estatsticas para interpretar os resultados obtidos. Nesta fase procura-se responder s perguntas de pesquisa e confirmar ou refutar as hipteses, para isso utilizam representaes dos dados em tabelas e/ou grficos. 5.4 Concluses Feita a anlise dos dados coletados, chega-se ltima fase de um trabalho de pesquisa. As concluses so feitas na forma de afirmaes sobre os dados, baseada nas anlises. Nessa etapa as hipteses sero confirmadas ou refutadas. As concluses baseiam-se nos resultados das anlises e de conhecimentos anteriores sobre o tema. No podem decorrer de interpretaes subjetivas. 6. TABELAS Tem o objetivo de sintetizar os valores que uma ou mais variveis podem assumir, para que tenhamos uma viso global da avaliao dessa ou dessas variveis. Fornecendo rpidas e seguras informaes. Uma tabela compe-se de: Ttulo Explica o que o trabalho contm, devendo responder as seguintes perguntas: O que?, Onde? e Quando? Cabealho especifica o contedo das colunas. Corpo Formado por linhas e colunas de dados. Rodap Pode apresentar chamadas e notas, alm da Fonte que no deve deixar de ser exibida j que Identifica o responsvel (is) pelo trabalho. 7 8. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA A tabela deve ser delimitada por traos horizontais, traos verticais somente para separar colunas, nunca para delimitar a tabela. Observe o modelo: Ttulo Cabealho Cabealho C o r p o Rodap 7. GRFICOS Os resultados de uma pesquisa podem ser apresentados por meio de grficos, porm estes devem ser: simples, bonitos e fceis de serem interpretados. Caso contrrio, a apresentao a apresentao por meio de grfico no faz sentido. Os grficos mais comuns so: EM COLUNAS, BARRAS, LINHAS E REA ou PIZZA. 7.1 Normas de Representao Grfica No h normas rgidas para a representao grfica de dados. So indispensveis apenas ttulo e fonte dos dados, recomendando-se a adequao ao tipo de varivel. 7.2 Construo de grficos utilizando o programa Microsoft XP 1 Passo Clicar em INICIAR; PROGRAMAS; EXCEL ou atalho EXCEL na rea de trabalho. 2 Passo Inserir dados. 3 Passo Selecionar as clulas utilizadas. 4 Passo Clicar ASSISTENTE DE GRFICO na barra de ferramentas. 5 Passo Escolher o tipo de grfico e AVANAR. 6 Passo Verificar se as sries esto em colunas e AVANAR. 8 9. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA 7 Passo TTULO digitar o ttulo do grfico e se necessrio informaes para o eixo de categorias e valores. 8 Passo EIXOS a opo de apresentao de identificao das categorias e valores. 9 Passo LINHAS DE GRADE opo de retirar ou inserir linhas para auxlio na leitura de grficos. 10 Passo LEGENDA quando houver necessidade de informaes quanto as colunas. 11 Passo RTULO DE DADOS para que o valor referente a cada categoria aparea. 12 Passo TABELA DE DADOS no utilizar. 13 Passo POSICIONAR COMO PLANILHA OU COMO OBJETO planilha o grfico a exibio se da em tela inteira e como objeto se da como janela. 14 Passo CONCLUIR. * Para trocar a cor de todas as colunas, clicar uma vez sobre uma das colunas em seguida dois cliques sobre qualquer coluna e abrir um menu de cores. Selecionar a cor e clicar OK. ** Para trocar a cor de cada coluna individualmente, clicar uma vez sobre qualquer coluna em seguida um clicar sobre a coluna que deseja alterar a cor e dois cliques para abrir o menu de cores. Selecionar a cor desejada e clicar OK. *** Para voltar em OPES DE GRFICO depois de concludo, clicar com o boto direito sobre rea do grfico. 8. ARREDONDAMENTO DE DADOS Arredondar um nmero significa reduzir a quantidade de algarismos aps a vrgula, deste nmero. O arredondamento de dados ocorre de duas formas, a saber: a) Quando o algarismo a ser abandonado 0,1, 2, 3 ou 4. ex: 2,764 para centsimos 2,76 b) Quando o algarismo a ser abandonado 5,6,7,8 ou 9. ex: 8,957 para centsimos 8,96 Obs: No devemos realizar arredondamentos sucessivos. ex de arredondamentos sucessivos: 0,2685485 para centsimos 0,26859 0,2686 0,269 0,27 Nesses casos devemos conservar apenas o primeiro algarismo aps a unidade que deseja arredondar e desprezar as demais, em seguida aplicar uma das tcnicas informadas anteriormente. 9 10. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA ex: 0,2685485 para centsimos 0,27 NOSSAS ATIVIDADES DEVERO SER ARREDONDADAS PARA DCIMOS Exerccio Aplique o arredondamento: a) 15,2586 b) 4.056 c) 1,3333333... d) 29,899 e) 8,964012 f) 9.95 9. DISTRIBUIO DE FREQNCIA Determinamos distribuio de freqncia o nmero que fica relacionado a um determinado valor da varivel. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de DISTRIBUIO DE FREQUNCIA. 9.1 Mtodos Para a Distribuio de Freqncia Tabela primitiva a tabela cujos elementos no foram numericamente organizados. Exemplo: Estatura, em cm, de participantes do projeto Micro Escola da UCB jul / 2011. 166 160 161 150 162 160 163 162 161 168 163 156 170 155 152 190 189 155 190 154 161 156 172 153 181 Rol a maneira mais simples de organizar os dados atravs de uma ordenao CRESCENTE OU DECRESCENTE. Exemplo: Estatura, em cm, de participantes do projeto Micro Escola da UCB jul / 2011. 150 155 160 161 163 172 190 152 155 160 162 166 181 153 156 161 162 168 189 154 156 161 163 170 190 Freqncia de uma classe O nmero de valores da varivel pertencente classe. O que passar a se chamar distribuio de freqncia com intervalos de classe. Exemplo: Tabela 1 1 11. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA Estatura, em cm, de participantes do projeto Micro Escola da UCB jul / 2011. Estatura (cm) Freqncia 150 158 8 158 166 9 166 174 4 174 182 1 182 !--! 190 3 Total 25 Nota: Os intervalos devem ser escritos de acordo com a resoluo do IBGE, em termos de: DESTA QUANTIDADE AT MENOS AQUELA ( incluso excluso). 9.2 Frequencia Absoluta F(abs) o nmero de vezes que cada varivel estatstica assume, o mesmo que freqncia. 9.3 Frequencia Relativa - F(%) Calculada a partir da diviso de freqncia absoluta pelo N multiplicado por 100, pois o resultado em percentual mais fcil de ser interpretado. F(%)= F (abs) . 100 N Estatura, em cm, de participantes do projeto Micro Escola da UCB jul / 2011. Estatura (cm) F (abs) F (%) 150 158 8 32 158 166 9 36 166 174 4 16 174 182 1 4 182 !--! 190 3 12 Total 25 100 9.4 Freqncia Acumulada (Fac) Freqncia Acumulada Crescente (ou Freqncia acumulada abaixo de, ou Freqncia acumulada at) que representaremos por Fac a soma das freqncias absolutas anteriores de uma determinada classe. 1 12. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA Por exemplo, na tabela acima, a Freqncia acumulada crescente : 8+9=17; 17+4=21; 21+1=22; 22+3=25 Estatura, em cm, de participantes do projetoMicro Escola da UCB jul / 2011. Estatura (cm) F (abs) F (%) Fac 150 158 8 32 8 158 166 9 36 17 166 174 4 16 21 174 182 1 4 22 182 !--! 190 3 12 25 Total 25 100 --- 10. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIA 10.1 Classes So intervalos de variao da varivel. Representadas por i. Sendo i = 1, 2, 3, ... , k 10.2 Como determinar o nmero de classes para agrupamento de dados. Sendo: k Nmero de classes; n Nmero de dados da varivel. Frmula para quantidade de classes: nk = Recomenda-se que o nmero de classes esteja entre 5 e 15. Exemplo: Utilizando dados do exemplo anterior: n = 25 25=k 5 logo k = 5 classes Se k for maior que 15, use k=15. Caso seja menor que 5 usar k=5. 10.3 Como determinar a amplitude dos limites de classes. Sendo: Max: Menor dado da srie Min: Maior dado da srie Frmula para limite de classe: lim classe = (max min) k Exemplo: 1 13. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA Aplicando a frmula utilizando dados da tabela 1: lim classe = 191 150 = 41 / 5 = 8,2 5 Os limites das classes devero apresentar amplitude de 8 cm Limite de classe So os limites de cada classe. Sendo o menor nmero limite inferior da classe e o maior nmero limite superior da classe. 10.4 Amplitude 10.4.1 Do intervalo de classe a medida do intervalo de cada classe, obtida pela diferena entre os limites, SUPERIOR e INFERIOR da classe representada por h. Assim: h = L l 10.4.2 Total da distribuio a diferena entre o limite superior mximo e o limite inferior mnimo, ou seja, o maior e o menor valor da varivel. Representada por AT, pode ser calculada por AT = L(Max) l(min) 10.4.3 Amplitude amostral (AA) a diferena entre o valor mximo e o valor mnimo da amostral AA= x(Max.) x(min.) EXERCCIOS 1. A tabela abaixo apresenta o nmero de atendimentos na clnica bela no ms de maio / 2011: 14 21 11 13 14 13 12 14 13 20 11 12 06 10 09 18 15 19 16 12 11 14 14 13 15 12 14 08 11 14 Construa uma DISTRIBUIO DE FREQNCIA com intervalo de classe CINCO 2. A tabela abaixo apresenta a IDADE de alunos da turma 502 da Escola Municipal Par Cidade do Rio de Janeiro 2010: 14 12 11 13 14 13 12 09 13 20 11 12 17 13 10 18 15 19 16 12 11 14 14 08 15 12 14 08 11 14 Construa uma distribuio de freqncia, calcule os limites de classe, amplitude do intervalo, amplitude total da distribuio, amplitude amostral e uma distribuio de freqncia. 3. Conhecidas as notas em uma avaliao de ESTATSTICA: 85, 75, 25, 45, 10, 55, 50, 55, 80, 55, 40, 60, 50, 45, 45, 35, 90, 70, 85, 80, 70, 45, 30,100, 30. Obtenha uma DISTRIBUIO DE FREQNCIA. 1 14. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA 4. Crie uma situao problema e construa: a. Uma tabela primitiva; b. Um ROL; c. Uma distribuio de freqncia. 11. Medidas de Tendncia Central Para uma Amostra Os dados quantitativos, apresentados em tabelas e grficos, constituem a informao bsica do problema em estudo. Mas conveniente apresentar, alm dos dados, medidas que mostrem a informao de maneira resumida. As medidas de tendncia central do valor ao ponto em torno do qual os dados se distribuem. So as medidas de tendncia central, MDIA ARITMTICA, MEDIANA E A MODA. 11.1 Mdia ( x ) A mdia uma medida de tendncia central que caracteriza, em parte, uma distribuio de dados. 11.1.1 Mdia Aritmtica Simples - o quociente da diviso da soma dos valores da varivel pelo nmero deles. Representada por x Exemplo: A = {2, 3, 4, 5, 6} x = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 / 5 = 4 5 Frmula da Mdia Simples: x = n xi n i =1 11.1.2 Mdia Aritmtica Ponderada o quociente da soma dos produtos desses nmeros pela soma das respectivas freqncias ou pesos. Exemplo: xi 0 1 2 3 4 5 fi 2 3 5 4 0 1 x = (2 x 0) + (3 x 1) + (5 x 2) + (4 x 3) + (0 x 4) + (1 x 5) = 2 + 3 + 5 + 4 + 0 + 1 x = 0 + 3 + 10 + 12 + 0 + 5 = 30 = 2 15 15 Logo: x = 2 1 15. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA Frmula da mdia aritmtica ponderada: = = = n i i n i ii p p px m 1 1 11.1.3 Desvio em Relao Mdia a diferena entre cada elemento de um conjunto de valores e a mdia aritmtica desse conjunto. Desvio = xxi Lembrando que a soma dos desvios ser sempre igual a zero. Exemplo: C = {2, 3, 4, 5, 6} x = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 / 5 = 4 5 Desvios em relao mdia: D1 = 2 4 = -2 D2 = 3 4 = -1 D3 = 4 4 = 0 D4 = 5 4 = 1 D5 = 6 4 = 2 Soma dos desvios: (-2) + (-1) + (0) + ( 1) + (2) = 0 0)( 1 == n i xxi A mdia utilizada quando: a) Desejamos uma medida de posio que possui maior estabilidade; b) Houver necessidade de um tratamento algbrico. 11.2 Mediana Representada por Md, a mediana definida como sendo a realizao que ocupa a posio central de uma srie de observaes quando estas esto ordenadas segundo as suas grandezas. Para determinar a mediana temos dois casos: 11.2.1 Quando a varivel apresentar uma quantidade MPAR de parcelas devemos identificar o valor que ocupa posio central dessa distribuio. Frmula: Md = 2 1+n Exemplo: {2, 3, 4, 5, 6} 1 16. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA n = 5 Md = 3 2 15 = + * Md = 4 *A aplicao da frmula indicar a posio da parcela mediana e no o valor. 11.2.2 Quando a varivel apresentar uma quantidade PAR de parcelas, no teremos UM valor para representar a mediana e sim DOIS valores. Devemos ento, identificar os valores que ocupam a posio central dessa distribuio e calcular a mdia aritmtica desses valores. Frmula: Md = 1 22 + n e n Exemplo: {2, 3, 4, 5, 6, 7} n = 6 Md = 1 2 6 2 6 +e Md = 3 e 4 ** Md = 4 e 5 4 + 5 = 4,5 2 ** A aplicao da frmula indicar a posio da parcela mediana e no o valor. Empregamos a mediana quando: a) Desejamos obter o ponto que divide a distribuio em partes iguais; b) H valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a mdia. 11.3 Moda Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqncia em uma srie de valores. Representada por Mo Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqncia em uma srie de valores. Representada por Mo Ela pode ser: Modal, quando apresenta apenas uma moda (freqncia); Exemplo: {2, 1, 7, 6, 9, 2, 3, 2} Mo = modal em 2 Amodal, quando no tem moda (freqncia); Exemplo: {5, 3, 9, 8, 2, 10, 1} Mo = amodal Bimodal, quando tem duas modas (freqncias); Exemplo: {8, 6, 2, 5, 15, 7, 2, 1, 5} Mo = bimodal em 2 e 5 1 17. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA Multimodal, quando apresenta trs ou mais modas. Exemplo: {8, 6, 2, 5, 15, 7, 2, 1, 5, 3, 8} Mo = Multimodal em 2, 5 e 8 EXERCCIOS 1. Sabendo que a freqncia de pacientes em uma determinada semana na clnica up foi de 15, 17, 25, 12, 19, 11, 12. Calcule: a) Mdia; b) Mediana; c) Moda d) Desvio em relao mdia. 2. Determinar a moda, mdia e mediana nos seguintes casos: ) 3, 5, 15, 4, 9, 10, 6. ) 1, 7, 7, 9, 8, 3, 7, 9, 5, 6, 4. ) 28, 11, 65, 48, 100, 51, 78, 24. 3. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7; 7,2. Sabendo-se que as TRS primeiras apresentam peso 2 e as TRS ltimas peso 3. Determine: a) Nota mdia; b) Nota mediana; c) Nota modal; d) Desvio em relao mdia. 12. Medida de Disperso Para uma Amostra As medidas de disperso indicam a variao dos dados, demonstrando se os elementos esto prximos entre si ou no. Algumas medidas de disperso do uma idia do quanto mdia adequada para representar um conjunto. Quando um conjunto de dados varia pouco em relao Mdia, ela representa bem o conjunto. Ao contrrio, se os elementos de um conjunto so muito dispersos a Mdia no uma boa representante. Exemplo: A = {50, 55, 65, 65, 70, 75} Mdia = 63,3 (Indicado para medida de tendncia central) B = {9, 9, 40, 80, 81, 88, 100} Mdia = 58,1 (Indicado para medida de disperso) A Mdia 63,3 representa os valores do conjunto A. A Mdia 58,1 representa os valores do conjunto B. razovel pensar que esta Mdia inclui dados como o 9 ou o 100? No, pois esses nmeros esto distantes da Mdia. Com isso fica demonstrado que preciso medir essa disperso, para dar mais informaes sobe o conjunto. S a Media no basta. Ela deve ser apresentada em conjunto com alguma MEDIDA DE DISPERSO, que vai indicar o quanto ela representativa do conjunto de dados. 1 18. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA Conhecendo as medidas de disperso em relao Mdia aritmtica: Amplitude Varincia Desvio padro Coeficiente de variao Entendendo melhor as medidas de disperso: Nota de quatro alunos em cinco provas NOME NOTAS MDIA Antnio Joo Jos Pedro 5 6 10 10 5 4 5 10 5 5 5 5 5 4 5 0 5 6 0 0 5 5 5 5 Todos obtiveram MDIA igual a cinco, mas a disperso das notas em torno da mdia no a mesma para todos os alunos. a) As notas de Antnio no variam (disperso nula) b) As notas de Joo variam menos que as de Jos (disperso de Joo menor que a disperso de Jos) c) As notas de Pedro variam mais do que as notas de todos (maior disperso) 12.1 AMPLITUDE Amplitude a diferena entre o maior e o menor dado observado. Dados da tabela acima: Exemplo: (a) Amplitude das notas de Antnio a) = 5 5 = 0 b) Amplitude das notas de Joo a = 6 4 = 2 c) Amplitude das notas de Jos a = 10 0 = 10 d) Amplitude das notas de Pedro a = 10 - 0 = 10 1 19. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA A Amplitude no mede bem a disperso, porque seu clculo usa valores extremos. Mesmo assim muito usado por ser fcil de calcular e interpretar. 12.2 VARINCIA Calculados os desvios em relao Mdia, varincia a diferena entre cada dado e a Mdia. Para evitar que a soma dos desvios seja nula, podemos usar o quadrado dos desvios. Lembrando que h desvios positivos e negativos, pois a mdia fica no centro do conjunto. Se elevarmos os desvios ao quadrado, eliminaremos todos os sinais negativos. E assim definimos a varincia ( s 2 ) como a mdia do quadrado do desvios. Exemplo: Dados: 0, 4, 6, 8, 7 Mdia: 5 Desvios: -5, -1, 1, 3, 2 Clculo da soma de quadrados dos desvios Dados (X) Desvios (X - X ) Quadrado dos desvios (X - X ) 2 0 4 6 8 7 -5 -1 1 3 2 25 1 1 9 4 X =5 x( x )=0 40)( 2 = xx A soma do quadrado dos desvios no usada como medida de disperso. Frmula para clculo da varincia: 1 )( 2 2 2 = n n x x s 1 20. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA Aplicando a frmula: x x 2 0 4 6 8 7 0 16 36 64 49 Substituindo: n = 5 10 4 40 4 125165 4 5 625 165 4 5 25 165 2 2 == = = =s Para entender melhor a varincia: ) Para as notas de Antnio que no variam, 0 2 =s ) Para as notas de Joo, que variam menos que as notas de Jos, 1 2 =s , menor que a varincia das notas de Jos, que .5,12 2 =s ) Para as notas de Pedro, que variam mais do que as outras, a varincia 25 2 =s , maior que todas as outras varincias. Aluno Notas Mdia Varincia Antnio Joo Jos Pedro 5 6 10 10 5 4 5 10 5 5 5 5 5 4 5 0 5 6 0 0 5 5 5 5 0 1 12,5 25 12.3 DESVIO PADRO 2 21. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA Como medida de disperso, a varincia tem a desvantagem de apresentar unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Por exemplo, se os dados esto em metros a varincia fica em metros ao quadrado. Mas existe uma medida de disperso que apresenta as propriedades da varincia e tem a mesma unidade de medida dos dados. o desvio padro definido como RAIZ QUADRADA DA VARINCIA, com sinal positivo. O desvio padro representado por s. Frmula do desvio padro: ss 2 = , ou seja, 1 )( 2 2 = n ns xx Para as notas do aluno Jos, cuja varincia j foi calculada, tem-se o DESVIO PADRO: 5,12=S = 3,54 12.4 Coeficiente de Variao O Coeficiente de Variao a razo entre o desvio padro e a Mdia. O resultado multiplicado por 100, para que o coeficiente de variao seja dado em porcentagem. CV = 100. X S Para se entender como se interpreta o coeficiente de variao, imagine dois grupos de pessoas. No primeiro grupo, as pessoas tm idades: 3, 1 e 5 E no segundo grupo as pessoas tm idades: 55, 57 e 53 No primeiro grupo a mdia 3 anos, e no segundo grupo mdia 55 anos. Com a mesma disperso, A varincia de ambos 4 2 =s . Vejamos os coeficientes de variao: No primeiro grupo, o Coeficiente de Variao : CV = 6,66100. 3 2 = 7% No segundo grupo, o Coeficiente de Variao : CV = 64,3100. 55 2 = % 2 22. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA Um coeficiente de variao igual a 66,67% indica que a disperso dos dados em relao mdia muito grande. J um coeficiente de variao 3,64% indica que a disperso dos dados em relao mdia pequena. Em outras palavras, diferenas de 2 anos so relativamente mais importantes no primeiro grupo, que tem mdia 3 (coeficiente de variao 66,67%0 do que no segundo grupo, que tem mdia 55 (o coeficiente de variao 3,64%). Ento coeficiente de variao mede DISPERSO EM RELAO MDIA. EXERCCIOS 1. Calcule a amplitude total dos conjuntos de dados: a) 1, 3, 5, 9. b) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20. c) 10, -6, 2, 3, 7, 9, 10. 2. Sabendo que um conjunto de dados apresenta para mdia aritmtica e para desvio padro, respectivamente, 18,3 e 1,47, calcular o COEFICIENTE DE VARIAO. 3. Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura mdia de 163,8 cm, com um coeficiente de variao de 3,3%. Calcular o desvio padro. 4. Dada a distribuio relativa de 100 notas de avaliao realizada por um fisioterapeuta, segundo critrios prprios, para o desempenho de atletas. Notas (xi) 0 1 2 3 4 5 Freqncia (yi) 4 14 34 29 16 6 Calcule o desvio padro. 2 23. CURSO TCNICO EM INFORMTICA - PRONATEC ESTATSTICA PROF. AMANDA CRISTINA REFERNCIAS VIEIRA, Sonia. Introduo bioestatstica, 3ed, Rio de Janeiro, 2004. MARIA, Inez M. Estatstica Bsica. Braslia, MSD, 2005. RODRIGUES, Pedro C. Bioestatstica. Niteri: EDUFF, 1983. CRESPO, Antonio A. Estatstica Fcil. So Paulo, ed Saraiva, 2001 2