1

Condutos Livres (Canais)

2

1- Conceito

Canais são condutos nos qual a água escoa apresentando superfície sujeita à pressão atmosférica. O movimento não depende como nos condutos forcados da pressão existente, mas da inclinação do fundo do canal e da superfície da água. Seu estudo é mais complexo devido a grande variabilidade que estes podem se encontrar. Sua forma, por exemplo, varia desde os condutos circulares a formas irregulares dos cursos de água naturais.

Exemplos: condutos de drenagem subterrânea, condutos de esgoto e de um modo geral as canalizações fechadas onde o liquido não enche completamente a seção do escoamento.

2- Elementos Geométricos da Seção do Canal

Yn

B

z=cotgz=tgz

1

2.1) Profundidade de Escoamento (y): É a distância entre o ponto mais baixo da seção e a superfície livre. 2.2) Área Molhada (A): É toda seção perpendicular molhada pela água. 2.3) Perímetro Molhado (P): É o comprimento da linha de contorno molhada pela água. 2.4) Raio Hidráulico (R): Ë a relação entre a área e o perímetro molhado. 2.5) Profundidade Média ou Profundidade Hidráulica (ym): É a relação entre a área molhada (A) e a largura da superfície líquida (B). 2.6) Declividade de Fundo (I): É dada pela tangente do ângulo de inclinação do fundo do canal. 2.7) Declividade de superfície (J): É dada pela tangente do ângulo de inclinação da superfície livre da água. 2.8) Talude (Z): É a tangente do ângulo (α) de inclinação das paredes do canal.

3- Classificação dos Escoamentos

3.1) Em relação ao tempo Fixa o espaço e varia o tempo. a) Permanente ou Estacionário Quando não há variação das grandezas num ponto ao longo do tempo.

3

0=t∂

V∂ 0=t∂

P∂ 0=t∂

ρ∂ b) Não Permanente ou Transitório Quando as grandezas dependem do tempo.

0≠t∂

V∂ 0≠

t∂

P∂ 0≠

t∂

ρ∂

3.2) Em Relação ao Espaço Fixa o tempo e varia o espaço a) Uniforme A velocidade é constante em qualquer ponto ao longo do escoamento, para um determinado tempo.

0=L∂

V∂

b) Não Uniforme ou Variado

0≠L∂

V∂

3.3) Exemplos: a) Água escoando por um conduto longo, de seção constante com carga constante ⇒ Escoamento Permanente e Uniforme. b) Água escoando por um conduto de seção constante com carga decrescente ⇒ Escoamento Não Permanente e Uniforme. c) Água escoando por um conduto de seção crescente com vazão constante ⇒ Escoamento Permanente e Não Uniforme. d) Esvaziamento de um reservatório através de um tubo de seção constante ⇒ Escoamento Não Permanente e Uniforme. e) Água escoando através de um canal de mesma seção reta, mesma declividade de fundo e mesma rugosidade das paredes ⇒ Escoamento Permanente e Uniforme. Estes são chamados canais prismáticos.

4- Escoamento Permanente e Uniforme

Do ponto de vista cinemático duas condições devem ser satisfeitas:

0∂

∂

t

V 0=L∂

V∂

Este escoamento só ocorre em canais prismáticos de grande comprimento. Nesse caso a superfície da água, a linha de energia e o fundo do canal são paralelos (I=J). Quando a declividade (I) é forte, o escoamento uniforme permanente só é atingido após passar um trecho denominado zona de transição, cujo comprimento dependera principalmente das resistências oferecidas ao escoamento. Havendo queda na extremidade final, o escoamento deixa de ser uniforme e passa novamente a não uniforme ou variado, em se tratando de declividade fraca. A figura a seguir esclarece melhor o que foi dito.

4

Zona de transição

Permanente e Uniforme Transição

Permanente e não Uniforme

Permanente e não Uniforme

Fg > Ft

Fg = Ft

Fg > Ft

Fg

P

Ft

Queda

Observação: Quando a declividade (I) é fraca, o regime uniforme tem início a partir da seção (A), aparecendo à zona de transição apenas no seu final; em caso contrario, ou seja: declividade (I) forte, a zona de transição aparece no inicio do canal e não no final.

5

Pela ação da gravidade, a velocidade cresce a partir da seção (A) para jusante e cresceria indefinidamente na ausência do atrito entre as paredes do canal e o líquido. O atrito, entretanto dá origem à forca de atrito ou tangencial que se opõe ao escoamento; essa forca de atrito é proporcional ao quadrado

da velocidade. (Ft=f8

Vα

2

)

Ë de se esperar, portanto que a velocidade ao atingir certo valor, ocasione um equilíbrio entre as forcas de atrito (Ft) e a gravitacional (Fg); daí para frente, o escoamento é dito uniforme. Havendo uma queda, uma mudança de seção, da declividade etc (o que provoca uma mudança na velocidade) o escoamento deixa novamente de ser uniforme, passando a não uniforme.

4.1) Fórmulas para cálculo da velocidade média (V) e da vazão (Q)

Fórmula de CHÉZY

I R C=V

R→ Raio hidráulico (R=A/P)

I→ Declividade do fundo do canal

Fórmula de BAZIN

R+j

R 87=C

Fórmula de MANNING

n

1/6R =C

n (coeficiente de rugosidade) e j são tabelados e dependem da natureza das paredes dos canais (tabela XIII e XIV) Para a fórmula de Manning, a equação da velocidade é escrita como:

1/2I 2/3R n

1=V

n

IRR=RI

n

R=V

2/12/16/16/1

n

IR=V

2/13/2

Para a vazão

Q= AV= 1/2I 2/3R n

A (Equação da Continuidade)

Observação: C, n e j são grandezas dimensionais, dependendo os seus valores numéricos do sistema de unidades adotado. As fórmulas apresentadas anteriormente são para o sistema SI e MKgfS.

6

4.2) Seções Transversais Usuais 4.2.1) Para canais de Seção Qualquer

Seção Área (A) Perímetro

Molhado(P)

Raio Hidráulico

(R)

Largura Superficial

(B)

Profundida- de

Média (ym)

b

Yn

B

z

1

yn (b + z yn) b + 2 yn 12 z P

A b + 2z yn

B

A

B

1

zYn

b = 0

z yn2 2yn 1+z2

12 2 z

zyn 2zyn 2

ny

Yn

b

B

Z =0

byn b+2yn P

A b yn

Yn

D

B NM

180°= π rd

( )θsenθ8

D2

θ=rd

2

Dθ

θ=rd

senD1

4

θ =rd

2

senD

θ =rd

28

sen

senD

θ =rd

Yn

D

8

2D

2

D

4

D ou

2

yn D ou 2yn

8

D ou

4

ny

Ainda para o canal circular

2cos1

2

Dyn

D

yn21arccos2

7

4.2.2) Para Canais de máxima vazão

Seções Área (A) Perímetro

Molhado(P)

Raio Hidráulico

(R)

Largura Superficial

(B)

Profundidade Média (ym)

Largura de Fundo (b)

b

Yn

B

zzyn 2212 zzyn 2122

2

ny 212 zyn

2

2

12

12

z

zzyn

zzyn 212

Yn

b

B

Z =0

22 ny ny4

2

ny ny2 ny ny2

B

Yn

=45°

2

ny ny22 22

ny

ny2 2

ny b=0

8

Canais de máxima vazão (também chamado de canal de mínimo perímetro molhado, de seção econômica, de seção de máxima eficiência e seção de mínimo custo) são aqueles que transportam a máxima vazão tendo um menor custo. Limitação: Seus elementos geométricos não podem ser modificados Canais circulares e semicirculares já são de máxima vazão (possuem menor área e maior volume). 2.3) Velocidades aconselháveis e inclinações admissíveis para os taludes (Fonte: Hidráulica Geral - Paschoal Silvestre)

No dimensionamento dos canais, devemos levar em consideração certas limitações impostas pela qualidade da água transportada e pela natureza das paredes.

Assim, a velocidade média V do escoamento deve enquadrar-se em certo intervalo:

V máx>V>V mín.

Determinamos à velocidade mínima permissível tendo em vista o material sólido transportado pela água. É definida como sendo a velocidade abaixo da qual o material sólido contido na água decanta, produzindo assoreamento no leito do canal.

A velocidade máxima permissível é determinada tendo em vista a natureza das paredes do canal. É definida como sendo a velocidade acima da qual ocorre erosão das paredes do canal.

O controle da velocidade, no dimensionamento das seções, pode ser feito pela fixação da relação entre as dimensões da seção ou pela mudança da declividade.

Assim, por exemplo, podemos evitar velocidades excessivas, fazendo variar a declividade com a formação de degraus (Fig. a) ou construção de muros de fixação do fundo (Fig. b).

(a) (b)

A necessidade de evitarmos pequenas velocidades ocorre, geralmente, em canais com grande descarga sólida (exemplos dos coletores de esgotos sanitários) ou em canais submetidos a grandes variações de vazões (exemplo dos canais de retificação dos cursos de água naturais).

Neste último caso, devendo a seção do canal ser dimensionada para suportar a vazão máxima (vazão de cheia ou enchente), pode acontecer que, com vazões menores, a velocidade se torne inferior ã mínima permitida. Conseguimos obviar este inconveniente adotando formas de seção especiais como às indicadas nas figuras seguintes:

9

N A máx

N A mín

N A máx

N A mín

N A máx

N A mín

A tabela a seguir apresenta os limites aconselháveis para a velocidade média nos canais.

Material das Paredes do Canal Velocidade (m/s)

Média Máxima

Areia muito fina 0,23 a 0,30 Areia solta-média 0,30 a 0,46 Areia grossa 0,46 a 0,61 Terreno arenoso comum 0,61 a 0,76 Terreno silt-argiloso 0,76 a 0,84 Terreno de alivião 0,84 a 0,91 Terreno argiloso compacto 0,91 a 1,14 Terreno argiloso, duro, solo cascalhento 1,22 a 1,52 Cascalho grosso, pedregulho, piçarra 1,52 a 1,83 Rochas sedimentares moles-xistos 1,83 a 2,44 Alvenaria 2,44 a 3,05 Rochas compactas 3,05 a 4,00 Concreto 4,00 a 6,00

Velocidades médias mínimas para evitar depósitos: Águas com suspensões finas 0,30 m/s Águas transportando areias finas 0,45 m/s Águas residuárias (esgotos) 0,60 m/s Velocidades práticas: Canais de navegação, sem revestimento até 0,50 m/s Aquedutos de água potável 0,60 a 1,30m/s Coletores e emissários de esgoto 0,60 a 1,50m/s

Outra limitação pratica que devemos levar em consideração, ao

definirmos a forma da seção do canal, principalmente no caso das seções trapezoidais, é a inclinação das paredes laterais. Esta inclinação depende, principalmente, da natureza das paredes, estando indicados na tabela abaixo valores máximos aconselháveis para o caso das seções trapezoidais.

10

Natureza das Paredes z=tgθ θ

Canais em terra sem revestimento 2,5 a 5 68,2° a 78,7° Canais em saibro, terra porosa 2 63,4°. Cascalho roliço 1,75 60,2° Terra compacta sem revestimento 1,5 56,3° Terra muito compacta, paredes rochosas 1,25 51,4°. Rocha estratificada, alvenaria de pedra bruta 0,5 26,5°. Rocha compacta, alvenaria acabada, concreto 0 0°.

4.2.4) Folga dos canais.

Na prática é sempre conveniente reforçar, por medida de segurança as dimensões do canal. Depois de dimensionado o canal para escoar a vazão de projeto, é usual estabelecer uma folga de 20 a 30% na sua capacidade. Esta folga além de contrabalancear a diminuição de sua capacidade, causada pela deposição de material transportado pela água e crescimento da vegetação (caso de canais de terra), evita também transbordamento causado por água de chuva, obstrução do canal etc.

O procedimento adotado; é o seguinte: -traça o canal conforme o cálculo, isto é, conservam-se os valores de b, z, yn; -aumenta-se yn de 20 a 30% e traça uma paralela ao fundo do canal, passando pelo novo valor de yn; -prolonga-se a reta correspondente ao talude do canal até tocar a paralela. Deste modo, somente a largura da superfície do canal (B) é alterada. 4.3) Velocidade Máxima e Vazão Máxima em Canal Circular

Sabe-se que:

2/13/21IR

nV (1)

2/13/2 IRn

AQ (2)

senDR 1

4 (3)

senD

A 8

2

(4)

Substituindo (3) em (1), vem:

3/2

3/2

2/13/22/1

3/2

14

14

1

sen

n

IDI

senD

nV

Derivando V em relação à para D, n, I constantes:

11

0cos

13

2

4 2

3/1

3/2

2/13/2

sensen

n

IDV

0cos sen (: cos )

tg

25749,4 rd Para V máximo.

Sabe-se que:

2

257cos1

2

2cos1

2

Dy

Dy

n

n

Dy 81,0 Para V máximo.

Substituindo agora (3) e (4) em (2), vem:

3/2

3/5

3/13

2/13/83/2

3/13

2/13/8

2/1

3/22

21

2

148

1

sen

n

IDsensen

n

IDQ

IsenD

senD

nQ

Derivando Q em relação à para D, n, I constantes e fazendo as devidas

simplificações, chega-se à seguinte expressão:

0cos32 sen , cuja solução é:

= 5,379 rd = 308° para Q máximo

Usando novamente a expressão:

2cos1

2

Dyn , vem:

2

308cos1

2

Dyn

Dyn 95,0 Para Q máximo

Resumindo, vem:

a) Para V máximo 257 e Dyn 81,0

b) Para Q máximo 308 e Dyn 95,0

Explicação:

12

A partir de yn=0,95D, pequenos acréscimos em yn ocasionam pequenos

acréscimos na área molhada e maiores acréscimos no perímetro molhado, o que diminui o R, diminuindo conseqüentemente a vazão.

Por exemplo: Mantendo-se, n, I constantes e D = 1 m

2/13/2 IRn

AQ

Fazendo: Kn

I

2/1

3/2KARQ

Para y n= 0,95D = 0,95m tem-se:

KKQ

mP

AR

mD

P

msenD

A

rdD

yn

335,0287,0771,0

287,0

689,22

771,08

308379,52

1arccos2

3/2

22

Aumentando o valor de ny para 0,98m

KKQ

msenD

R

msenD

A

mD

P

rdD

yn

329,0273,0781,0

273,014

781,08

855,22

71,55,32721arccos2

3/2

2

Observações: a) Nas condições se máxima vazão, o escoamento é hidraulicamente instável,

podendo trabalhar como conduto forçado para um acréscimo de ny , o que seria

desastroso no caso de uma rede de esgoto. Por medida de segurança, se

aceita como limite prático a relação: 75,0D

yn ou ny =0,75 D.

b) A vazão escoada para ny = 0,82D igualá-se a vazão para o canal a seção

plena (ver figura 9 do apêndice)

13

c) a velocidade média a plena seção é igual à velocidade a meia seção porque o raio hidráulico é o mesmo; em razão disto a vazão a seção plena é o dobro da vazão a meia seção.

4.4-Diagrama Para Canais Circulares Funcionando Parcialmente Cheio

Este estudo é de grande importância, pois como os canais circulares dificilmente funcionam a plena seção (seção cheia), os cálculos da velocidade, raio hidráulico, vazão etc.à seção parcialmente cheia, são facilmente obtidos com o uso desses diagramas.

4.4.1) Relação Entre Uma Área Molhada Qualquer (A) e a Área Molhada a

Seção Plena ( 0A ) ou a Seção Cheia.

senD

A 8

2

4

2

0

DA

2

1

0

A

A sen Sendo

D

ny2-12arccos

4.4.2) Relação Entre o Raio Hidráulico(R) e o Raio Hidráulico Pleno ( 0R )

senDR 1

4

4

4

2

0

D

D

D

R

sen

R

R1

0

4.4.3) Relação Entre V e V0

3/23/2

2/12/13/2 14

11

senDI

nIR

nV 2/1

3/2

04

1I

D

nV

3/2

0

1

sen

V

V

4.4.4) Relação entre Q e Q0

3/222/1

2/13/2 148

senDsen

D

n

IIR

n

AQ

3/222/1

044

DD

n

IQ

3/53/2

0

12

12

1

sensensen

Q

Q

4.4.5) Relação entre P e P0

14

2

DP

DP 0

20

P

P ( = rd)

De posse dessas equações

etc

R

R

Q

Q

00

, , traçam-se gráficos que facilitam

grandemente os trabalhos de cálculo dos elementos hidráulicos (Fig. 9 do apêndice)

4.5-Dimensionamento das Seções dos Canais (Uso da fórmula de Manning) A fórmula de Manning para o cálculo da vazão é dada por:

2/13/2 IRn

AQ

Sendo p

AR , a equação acima fica escrita como:

2/1

3/2

3/52/1

3/21

IP

A

nI

P

A

n

AQ

Separando as variáveis de projeto, supostamente conhecidas (n, Q, I), vem:

3/2

3/5

P

A

I

nQ , onde segundo membro depende somente da geometria da seção

do canal. 4.5.1) Seções Circulares

3/2

3/5

P

A

I

nQ (1)

senD

A 8

2

(2)

2

DP

(3)

Substituindo (2) e (3) em (1), vem:

3/23/13

3/53/8

3/2

3/52

2

2

8

senD

D

senD

I

nQ

(4)

Supondo conhecido D, além de n, Q, I, a expressão (4) pode ser escrita como:

15

3/23/13

3/5

3/8 2

sen

ID

nQ (5)

A profundidade normal (y n) pode ser calculada por:

2cos1

2

Dyn ou

D

yn21arccos2 (6)

Atribuindo-se valores a D

yn, calcula-se pela equação (6) e

conseqüentemente ID

nQ3/8

, pela equação (5). Assim é possível construir parte

do ábaco XI.

Por outro lado, se conhece ny além de n, Q, I e dividindo-se ambos os

membros da equação (4) por ny8/3, tem-se:

3/23/13

3/53/8

3/8 2

sen

y

D

Iy

nQ

nn

ou

3/23/13

3/53/8

3/8 2

-

sen

D

y

Iy

nQ n

n

(7)

Novamente, atribuindo-se valores a D

yn calcula-se pela equação (6);

com estes dois valores (D

yn e ) calcula-se Iy

nQ

3/8n

pela equação (7). Assim,

é possível construir a outra parte do ábaco XI. Com o auxilio do ábaco XI a solução dos problemas para escoamento

uniforme em condutos circulares, quando se deseja conhecer ny ou D,

simplifica muito. 4.5.2) Seções Trapezoidais e Retangulares 4.5.2.1) Determinação da Largura de Fundo (b)

Neste caso supõem-se conhecidos n, Q, I, z ny e tomando-se a

expressão geral para o cálculo da vazão, ou seja:

3/2

3/5

P

A

I

nQ E substituindo A e P pelas fórmulas:

nn zybyA e 12 2 zybP n , tem-se:

16

3/2

2

3/5

3/8

3/2

2

3/5

3/2

3/10

3/2

23/2

3/5

3/5

3/22

3/5

1212

1212

zy

b

zy

b

y

zy

b

zy

b

y

y

I

nQ

zy

by

zy

byy

zyb

zyby

I

nQ

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

nn

3/2

2

3/5

3/8

12

zy

b

zy

b

Iy

nQ

n

n

n

(8)

Fixando-se z e atribuindo-se valores a b

yn , pode-se calcular Iy

nQ

n

3/8

pela equação (8) e deste modo construir o ábaco VIII; neste ábaco, m=z.

4.5.2.2) Determinação da Profundidade Normal ( ny )

Supõem-se conhecidos agora: n, Q, I, z e b. Retornando-se a expressão geral para cálculo da vazão:

3/2

3/5

P

A

I

nQ e procedendo-se analogamente ao que foi feito para a equação (8),

tem-se:

3/2

2

3/5

3/22

3/5

121

1

12

zb

yb

b

yzby

zyb

zyby

I

nQ

n

n

n

n

nn

3/2

23/2

3/5

3/10

3/2

2

3/5

2

121

1

121

1

zb

yb

b

yz

b

yb

zb

yb

b

yz

b

yb

I

nQ

n

nn

n

nn

3/2

2

3/5

3/8

121

1

zb

y

b

yz

b

y

Ib

nQ

n

nn

(9)

17

Fixando-se z e atribuindo-se valores a b

yn , pode calcular Ib

nQ3/8

pela

equação (9), construindo-se assim o ábaco VII; neste ábaco, m=z.

4.5.3) Seção Triangular

Supõem-se conhecidos n, Q, I e z, onde a incógnita do problema é a

profundidade normal ( ny ).

Procedendo-se analogamente ao que foi feito para as seções anteriores, tem-se:

3/2

3/5

P

A

I

nQ (a)

2

nzyA e 12 2 zyP n (b)

Substituindo-se (a) em (b), vem:

3/2

2

3/53/8

3/2

3/10

3/22

3/5

3/22

3/52

121212

z

zy

y

y

z

z

zy

zy

I

nQn

n

n

n

n

3/22

3/5

3/8

12

z

z

Iy

nQ

n

(10)

Atribuindo-se valores a z, pode-se calcular Iy

nQ

n

3/8 pela equação (10),

construindo-se assim o ábaco VI.

4.6-Exercícios de Aplicação 4.6.1) Quando se Conhece as Dimensões do Canal

É o caso do canal já construído; neste caso, o que se faz é utilizar as fórmulas:

2/13/21IR

nV

AVQ , onde R e A são tirados das tabelas correspondentes aos itens 4.2.1 e

4.2.2. a) Tem-se um canal de seção trapezoidal com talude 1:1, executando em concreto não muito liso, com declividade de 0,4%. Determinar qual a vazão capaz de escoar em regime uniforme, com uma profundidade da água de 0,40 m e uma largura de fundo de 0,30 m.

18

Solução: n = 0,014 (tabela XIV) z = 1 b = 0, 30 m y n = 0,40 m I = 0, 4% = 0,004 m/m

43,1=1+zy2+b=P 2n m

28,0 nn zybyA m2

196,0P

AR m

51,11 2/13/2 IRn

V m/s

AVQ 0,28×1,51 = 0,423 m3/s

Q = 0,423 m3/s = 423 L/s b) Calcular a vazão de uma calha de seção triangular de estrada de rodagem para: z = 2; n = 0,017; y n = 0,07 m e I = 0,03 m/m. Qual é a perda de carga no canal (h f) para um comprimento de 500 m? Solução:

2

nzyA = 0,0098 m2

12 2 zyP n = 0,313 m

P

AR = 0,03131 m

2/13/21IR

nV = 1,01 m/s

Q = AV= 0,0098×1,01 = 0,010 m3/s Q = 0,010 m3/s = 10 L/s h f = IL = 0,03×500 = 15 m c) Um canal de drenagem de seção trapezoidal, de taludes inclinados de 45° e de declividade de fundo de 40 cm/km, foi dimensionado para uma determinada vazão Q0, tendo-se chegado às dimensões da figura. Nestas condições pede-se para n = 0,02: c.1) O valor da vazão de projeto Q0;

c.2) Examinar se o canal será de mínimo custo caso o nível da água atingir o limite de transbordamento; c.3) Supondo que o projeto venha a ser refeito com a vazão de Q1 = 8 m3/s e que a seção deva ser retangular, qual a sua profundidade a fim de que seja de mínimo custo?

19

Solução: c.1- Valor da vazão de projeto Q0 n = 0,02 z = tg = 1

I = 40 cm/km = 0,0004 m/m y n = 1, 50 m b = 1, 66 m

12 2 zybP n = 1, 66 + 2×1, 5× 11 = 5,903 m

nn zybyA = 1, 5(1, 66 + 1×1, 5) = 4, 74 m2

803,0P

AR m

2/13/22/13/2 0004,0×803,002,0

1=IR

n

1=V = 0,864 m/s

Q = AV = 4, 74× 0,864 = 4,095 m3/s c.2- Verificar se o canal é de mínimo custo

0,2ny m

n = 0,02 z = 1 I = 0,0004 m/m B = 1,66 m

Como o canal de mínimo custo é aquele que apresenta um mínimo perímetro molhado, se o cálculo de P1 feito com a fórmula do item 4.2.1, coincidir com o calculo de P2 feito com a fórmula do item 4.2.2, o canal será de mínimo custo. Senão, vejamos:

12 2

1 zybP n = 1,66 + 2×2 11 = 7,31 m

zzyP n

2

2 122 2×2 1112 = 7,31 m

O canal será, portanto de mínimo custo. c.3-Cálculo da nova profundidade Q1 = 8 m3/s

20

y n = ? n = 0,02 z = 0 I = 0,0004 m/m B = ? OBS: Este cálculo será feito no bloco de exercícios do item 4.7.2, à frente. 4.6.2-Quando se deseja conhecer as dimensões do canal

Neste caso se conhece a vazão de projeto (Q), a declividade de fundo (I), a rugosidade das paredes do canal (n) e o talude das paredes do canal (z).

A solução desse tipo de problema é bastante simplificada com o uso dos ábacos VI, VII, VIII, XI. a) Resolver o item c.3 do exercício c, do item 4.7.1. Solução: Trata-se de um canal retangular de máxima vazão.

Para z = 0, 5,0=b

yn (tabela do item 4.2.2)

Levando o valor de 5,0b

yn no ábaco VII, tem-se:

Ib

nQ

3/8= 0,2 ou b=

8/3

2/12,0

I

nQ

b=

8/3

2/10004,02,0

802,0

= 4 m

ny = 0,5 b ny = 2 m

b) Um canal de seção triangular de mínimo perímetro molhado, revestido de tijolos rejuntados com argamassa de cimento, tem uma descarga de 4 m3/s. Supondo que a declividade seja de 0,0016, calcular a altura de água no canal. Solução: z = 1 (mínimo perímetro molhado). n = 0,013 (tabela XIV) Q = 4 m3/s I = 0,0016 m/m y n = ? Pelo ábaco VI, tem-se, para z=1:

Iy

nQ

n

3/8= 0,5 ou Y n = 431,1

0016,05,0

4013,0

5,0

8/3

2/1

8/3

2/1

I

nQ m

21

c) Uma manilha de concreto é assentada em um declive de 0,0002 e deve transportar uma vazão de 2365 L/s quando estiver 75% cheia. Que diâmetro deverá ser usado? Solução: n = 0,016 (tabela XIV) I = 0,0002 m/m Q = 2,365 m3/s

75,0=D

yn

Pelo ábaco XI, tem-se para D

yn = 0,75

ID

nQ

3/8= 0,28

33,20002,028,0

365,2016,0

28,0

375,0

5,0

375,0

2/1

I

nQD m

d) Para abastecer Belo Horizonte, a adutora do Rio das Velhas tem um trecho em canal com seção circular, construído em concreto moldado no local, por meio de formas metálicas. Os dados deste trecho são: D = 2,40 m; I = 1 m/km n = 0,012 O abastecimento foi previsto para três etapas: 1ª etapa: Q1 = 3 m3/s; 2ª etapa: Q2 = 6 m3/s 3ª etapa: Q3 = 9 m3/s Pede-se: a) A velocidade máxima e a vazão máxima. b) Os valores das alturas de lâmina de água em cada etapa. Solução: a) Velocidade máxima e a vazão máxima:

Para 95,0=D

yn, tem-se: 075,1=

Q

Q

0

máx (Fig. 9).

Para 81,0=D

yn, tem-se: 139,1

0

V

Vmáx (Fig. 9)

52,44

2

0 D

A

m2

60,04

0 D

R m

22

473,8001,04

60,0

012,0

52,4 5,0

3/2

2/13/2

0

0

0

IR

n

AQ m3/s

87,14,2

473,842

0

0

0

A

QV m/s

Q máx = 1,075 Q0 Q máx = 9,092 m3/s V máx= 1,139 V0 V máx = 2, 13 m/s

b) 354,0473,8

3

0

1 Q

Q 409,01

D

yn (Fig. 9) 1ny = 0, 98 m

708,0473,8

6

0

2 Q

Q 61,02

D

yn (Fig. 9) 2ny = 1, 46 m

06,1473,8

9

0

3 Q

Q 86,03

D

yn (Fig. 9) 3ny = 2,06 m

23

Apêndice 1

Deduções das Fórmulas Para Cálculo das Grandezas Geométricas das Seções dos Canais

24

1-Seções Quaisquer

A - Seção Trapezoidal

tg=zz

1

a) Área (A)

A= b yn + 22

xyn = b yn + yn x

tg = n

n

yy

zxx

A= byn + z yn2

A= yn (b + z yn)

b) Perímetro Molhado (P)

P= b + 2T T2= x2 + yn2 = z2 yn

2 + yn2 T= yn 12 z

P= b + 2 yn 12 z

c) Raio Hidráulico (R)

R=P

A=

12 2

zyb

yby

n

nn

d) Largura da Superfície (B)

B= b + 2 B= b + 2z yn

B-Seção Retangular

25

b

Yn

0 tg = z = 0 Basta fazer z = 0 nas fórmulas deduzidas para canal trapezoidal a) Área (A) A= b yn

b) Perímetro Molhado (P) P= b+ 2 yn

c) Raio Hidráulico (R)

R= n

n

yb

by

2

C) Seção Triangular

b= 0 A= z yn

2

P= 222

nyz

R= P

A=

12 2 z

zyn

D) Seção Circular

26

B NM

a) Perímetro Molhado (P)

P= 2

Dθ ( em radiano)

b) Profundidade Normal (yn) Pelo triângulo retângulo O B N

B N

D/2Yn - D/2

O 2 - /2 =

2cos-0

22-

2cos

2-

2cos

222-

coscos-

2-

2222-

2

-

22

2-

22--

4

2

DDy

sensenDD

y

asenbbsenabasen

senD

senDD

y

n

n

n

22

º

2360

DPDP

nP

rdD

27

2cos2-1

22

cos-1⇒2

cos-12

D

y

D

yDy

n

nn

D

yn2-1arccos2

c) Largura (B)

D/2

B/2

Yn - D/2

2cos1

22

2cos

222

22cos

2222

22cos1

222

222

2

22

2

222

222

222

222

DB

DBD

DDDBD

DDBD

Dy

BDn

2

222222

2

22

DsenB

senDB

senDB

d) Área (A)

A= 4

2D área hachureada (A1)

A1= Área do setor (A2) – área do triângulo (A3)

2cos

24

1-

2cos

222

1 2

3

senD

DDsenA

28

2

24

2

2

A

D

242

-2

4

22

2

DDA

2

θcos

2

θsenD

4

1-)

2

θ-π(

4

D=A 2

2

1

2cos

22

8

2cos

24

1

8442

2222

senD

A

senDDDD

A

22cos

2

sensen (tabelas trigonométricas)

A= senD

-8

2

( em radiano)

e) Raio Hidráulico (R)

senDR

Dsen

D

P

AR

-14

2-

8

2

E - Canal Semicircular

Yn = D/2

2

Dyn

a) Perímetro Molhado(P)

222

DP

DDP

b) Profundidade Normal (yn)

2yn

2cos1

22cos1

2yn

D

DD

29

c) Largura (B)

DB

DsenDsenB

22

d) Área (A)

8

882

22

DA

senD

senD

A

e) Raio Hidráulico (R)

4

2-1

42-1

4

DR

senDsenDR

Observação: O raio hidráulico do canal semicircular é igual ao raio hidráulico do canal circular funcionando a plena seção.

2- Seções de Máxima Eficiência (Seções de Mínimo Perímetro Molhado, Máxima Vazão ou Seção Econômica) Analisando a fórmula:

2/13/2 IRn

AQ

Uma maior vazão(Q) poderá ser conseguida: -aumentando a área (A) o que implica em maiores custos

-aumentando a declividade de fundo (I) perigo de erosão além de perda de

altura -diminuindo a rugosidade (n) o que implica em paredes e fundo do canal

revestido aumentando os custos.

A solução viável é o aumento do raio hidráulico(R) mantendo-se as outras grandezas constantes, ou seja: para uma mesma área, uma mesma declividade de fundo e a mesma rugosidade(n), uma maior vazão é conseguida com um aumento do raio hidráulico(R). Como R=A/P, já que A deverá ser mantida constante, o perímetro molhado deverá ser diminuído.

Quando o perímetro molhado for mínimo, R será máximo e Q também.

30

A- Seção Trapezoidal de Máxima Eficiência

1

z

12 2 zybP n (1)

nn zybyA (2)

nzyb = n

nn

zyy

Ab

y

A (3)

(3) em (1)

2

2

2

2

2

12

012

12

n

nn

nn

n

y

Azz

zzy

A

y

P

zyzyy

AP

)12( 22zzyA n (4)

(4) em (3)

zzyb

zyzzyb

n

nn

2

2

12

12

(5) em (1)

22 1212 zyzzyP nn

zzyP n 2122 (6)

2122

12

2

22

n

n

n yR

zzy

zzyR

(7)

OBS: Havendo a possibilidade de escolher o valor de z (z é função da natureza das paredes) para a seção de máxima eficiência, este será substituído, yn de (4) em (6):

31

zzzz

AP

zz

Ayn

2

2/1

2

2/1

2

1212

2

12

2/122/1 122 zzAP ( )2

zzAP 5,022 124 Derivando, vem:

303

113

14

12

011

2

01

11

22

11

242

2

22

2

2

2

2

zz

zz

zz

z

z

Pz

zA

z

P

z

zA

z

PP

O canal trapezoidal de máxima eficiência, quando z puder ser fixado, é um semi-hexágono.

nn

nn

n

ni

nSi

263

223

1202180

2180

n= 6 lados Semi-hexágono. B-Seção Retangular de Máxima Eficiência

b

Yn

Z=0, que levando às expressões (4), (5), (6) e (7), fornecem:

32

2

y=R

y4=P

y2=b

y2=A

n

n

n

2n

C-Seção Triangular de Máxima Eficiência

2

nzyA (1)

212 zyP n (2)

z

Ayn , que substituindo em (2), fornece:

zz

Azz

AP

zz

AP

141

4

12

22

2

Derivando P em relação à z, vem:

902

4511

01

142

2

2

zz

zA

z

PP

Levando às expressões (1) e (2), tem-se:

n

n

yP

yA

22

2

Pela definição de raio hidráulico, chega-se a:

22

nyR

33

D - Seção Circular de Máxima Eficiência

2

DP

e sen

DA

8

2

sen

A

sen

AP

sen

AD

1

1

2

8

2

8

8

0

P

Efetuando a derivada e simplificando, vem:

cos12 sen

A solução da equação acima é:

180 , que levada às expressões de A e P fornece,

2

DP

e

8

2DA

Deste modo pode-se observar que o canal circular de máxima

eficiência trabalha a meia seção (o canal é chamado de semicircular).

34

Apêndice 2 Ábacos, Figuras e Tabelas.

35

36

37

38

39

40

41

42

Regime Uniforme Canais: trapezoidais, retangulares: z=0, triangulares: b= 0. Q(m3/s), I(m/m), n(coef. De Manning)

b= K1 Z

z

1

z

1 Y =KZ

Valores de K e K1

Y/b Z=0 (retang.) Z=0,25 Z=0,50 Z=0,75 Z=1,00 Z=1,25

K K1 K K1 K K1 K K1 K K1 K K1

0,01 0,178 17,871 0,178 17,845 0,178 17,825 0,178 17,809 0,177 17,796 0,177 17,784 0,02 0,232 11,644 0,232 11,611 0,231 11,585 0,231 11,564 0,230 11,546 0,230 11,531 0,03 0,272 9,080 0,271 9,042 0,270 9,011 0,269 8,986 0,268 8,966 0,268 8,149 0,04 0,304 7,621 0,303 7,579 0,301 7,544 0,300 7,515 0,299 7,493 0,298 7,473 0,05 0,333 6,660 0,330 6,613 0,328 6,575 0,327 6,546 0,326 6,520 0,324 6,493 0,06 0,358 5,969 0,355 5,919 0,352 5,878 0,350 5,846 0,349 5,819 0,347 5,795 0,07 0,382 5,445 0,377 5,391 0,374 5,348 0,371 5,314 0,369 5,285 0,368 5,260 0,08 0,402 5,031 0,397 4,974 0,394 4,929 0,391 4,892 0,388 4,862 0,386 4,835 0,09 0,422 4,694 0,417 4,634 0,412 4,587 0,409 4,548 0,406 4,516 0,404 4,489 0,10 0,441 4,413 0,435 4,351 0,430 4,301 0,426 4,261 0,422 4,228 0,419 4,199 0,15 0,524 3,494 0,513 3,421 0,504 3,362 0,497 3,315 0,491 3,276 0,486 3,242 0,20 0,594 2,974 0,578 2,891 0,565 2,825 0,554 2,772 0,545 2,729 0,538 2,691 0,25 0,668 2,632 0,635 2,540 0,617 2,469 0,602 2,411 0,591 2,364 0,581 2,324 0,30 0,716 2,386 0,686 2,287 0,663 2,211 0,645 2,150 0,630 2,100 0,617 2,053 0,35 0,770 2,200 0,733 2,094 0,704 2,013 0,682 1,949 0,664 1,897 0,648 1,353 0,40 0,821 2,053 0,776 1,941 0,742 1,856 0,715 1,789 0,694 1,735 0,676 1,691 0,45 0,870 1,933 0,817 1,815 0,777 1,726 0,746 1,658 0,721 1,603 0,700 1,557 0,50 0,917 1,834 0,855 1,710 0,809 1,618 0,773 1,547 0,746 1,492 0,722 1,445 0,55 0,962 1,749 0,891 1,620 0,838 1,525 0,799 1,453 0,768 1,396 0,742 1,350 0,60 1,005 10675 0,925 1,542 0,866 1,444 0,823 1,371 0,788 1,314 0,760 1,268 0,65 1,047 1,611 0,957 1,473 0,893 1,374 0,844 1,299 0,807 1,242 0,777 1,195 0,70 1,088 1,555 0,988 1,412 0,917 1,311 0,865 1,236 0,824 1,178 0,792 1,132 0,75 1,128 1,505 1,018 1,358 0,941 1,254 0,884 1,179 0,841 1,121 0,806 1,075 0,80 1,167 1,459 1,047 1,308 0,963 1,203 0,902 1,127 0,856 1,070 0,819 1,024 0,85 1,206 1,418 1,074 1,263 0,984 1,157 0,919 1,081 0,870 1,023 0,831 0,977 0,90 1,243 1,381 1,100 1,223 1,003 1,115 0,934 1,033 0,883 0,981 0,842 0,935 0,95 1,280 1,347 1,126 1,185 1,022 1,076 0,949 0,999 0,895 0,942 0,852 0,897 1,00 1,316 1,316 1,150 1,150 1,040 1,040 0,964 0,964 0,907 0,907 0,862 0,862 1,10 1,386 1,260 1,197 1,088 1,074 0,977 0,990 0,900 0,928 0,843 0,880 0,800 1,20 1,453 1,211 1,240 1,033 1,105 0,921 1,013 0,844 0,947 0,789 0,.895 0,746 1,30 1,519 1,167 1,281 0,985 1,134 0,872 1,035 0,796 0,961 0,741 0,909 0,699 1,40 1,583 1,131 1,320 0,943 1,160 0,829 1,055 0,753 0979 0,699 0,922 0,650 1,50 1,646 1,097 1,357 0,904 1,185 0,790 1,073 0,715 0,993 0,662 0,933 0,622 1,60 1,707 1,067 1,391 0,869 1,208 0,755 1,089 0,681 1,006 0,629 0,944 0,590 1,70 1,767 1,039 1,424 0,838 1,229 0,723 1,104 0,649 1,018 0,598 0,953 0,500 1,80 1,825 1,014 1,455 0,808 1,249 0,694 1,119 0,621 1,029 0,571 0,962 0,534 1,90 1,882 0,991 1,485 0,762 1,268 0,667 1,132 0,596 1,039 0,546 0,970 0,510 2,00 1,939 0,969 1,514 0,757 1,286 0,643 1,144 0,572 1,048 0,524 0,977 0,488 2,20 2,048 0,931 1,567 0,712 1,318 0,599 1,167 0,530 1,065 0,484 0,990 0,450 2,40 2,154 0,897 1,616 0,673 1,347 0,561 1,186 0,494 1,079 0,449 1,002 0,417 2,60 2,257 0,868 1,661 0,639 1,373 0,528 1,204 0,463 1,092 0,420 1,012 0,389 2,80 2,358 0,842 1,703 0,608 1,397 0,499 1,219 0,455 1,103 0,394 1,021 0,364 3,00 2,455 0,818 1,742 0,580 1,418 0,472 1,234 0,411 1,114 0,371 1,028 0,342 3,20 2,551 0,797 1,778 0,555 1,438 0,449 1,246 0,389 1,123 0,350 1,035 0,323 3,40 2,644 0,777 1,812 0,533 1,456 0,428 1,258 0,370 1,131 0,332 1,042 0,306 3,60 0,979 0,272 0,926 0,257 0,882 0,245 0,845 0,234 0,814 0,226 0,787 0,218 3,80 0,983 0,258 0,929 0,244 0,885 0,233 0,848 0,233 0,816 0,214 0,789 0,207 4,00 0,987 0,246 0,932 0,233 0,888 0,222 0,850 0,212 0,818 0,204 0,790 0,197 b=0

triang. 1,065 - 0,998 - 0,942 - 0,897 - 0,859 -

43

Seções Circulares Parcialmente Cheias Regime Uniforme Tabela 18.3

y/D A/A0 R/R0 U/U0 Q/Q0

0,10 0,052 0,254 0,401 0,0201

0,15 0,094 0,327 0,517 0,049

0,20 0,142 0,482 0,615 0,087

0,25 0,196 0,586 0,700 0,137

0,30 0,252 0,684 0,776 0,196

0,35 0,312 0,774 0,843 0,263

0,40 0,374 0,857 0,902 0,337

0,45 0,437 0,932 0,954 0,417

0,50 0,500 1,000 1,000 0,500

0,55 0,564 1,060 1,040 0,587

0,60 0,627 1,111 1,073 0,673

0,65 0,688 1,153 1,100 0,757

0,70 0,748 1,185 1,120 0,838

0,75 0,805 1,207 1,134 0,913

0,80 0,858 1,216 1,139 0,978

0,81 0,868 1,217 1,140 0,990

0,85 0,906 1,213 1,137 1,030

0,90 0,948 1,192 1,124 1,066

0,95 0,982 1,146 1,095 1,075

1,00 1,000 1,000 1,000 1,000

44

Regime Uniforme Canais: trapezoidais, retangulares: z=0, triangulares: b= 0 Q(m3/s), I(m/m), n(coef. De Manning)

b= K1 Z

z

1

z

1 Y =KZ

Valores de K e K1

Y/b Z=1,5 Z=1,75 Z=2,00 Z=2,25 Z=2,50 Z=2,75

K K1 K K1 K K1 K K1 K K1 K K1

0,01 0,177 17,774 0,177 17,765 0,177 17,757 0,177 17,749 0,177 17,741 0,177 17,734 0,02 0,320 11,518 0,230 11,506 0,229 11,495 0,229 11,484 0,229 11,474 0,229 11,464 0,03 0,267 8,933 0,267 8,913 0,257 8,905 0,266 8,392 0,266 8,890 0,266 8,863 0,04 0,298 7,456 0,297 7,440 0,296 1,424 0,296 1,410 0,275 1,396 0,295 1,392 0,05 0,323 6,473 0,323 6,461 0,322 6,444 0,321 6,428 0,320 6,412 0,319 6,397 0,06 0,346 5,774 0,345 5,775 0,344 5,737 0,343 5,719 0,342 5,703 0,341 5,686 0,07 0,366 5,237 0,365 5,217 0,363 5,197 0,362 5,179 0,361 5,161 0,360 5,144 0,08 0,384 4,811 0,383 4,790 0,381 4,769 0,380 4,750 0,378 4,731 0,377 4,712 0,09 0,401 4,464 0,399 4,441 0,397 4,419 0,395 4,399 0,394 4,373 0,392 4,360 0,10 0,417 4,173 0,414 4,149 0,412 4,127 0,410 4,105 0,408 4,085 0,406 4,065 0,15 0,481 3,312 0,477 3,184 0,473 3,158 0,470 3,133 0,466 3,110 0,463 3,087 0,20 0,531 2,656 0,523 2,627 0,519 2,599 0,514 2,572 0,509 2,547 0,504 2,523 0,25 0,572 2,288 0,564 2,256 0,556 2,226 0,549 2,199 0,543 2,173 0,537 2,148 0,30 0,606 2,020 0,596 1,987 0,587 1,957 0,578 1,928 0,570 1,902 0,563 1,877 0,35 0,635 1,815 0,623 1,781 0,612 1,750 0,602 1,722 0,593 1,695 0,584 1,670 0,40 0,660 1,652 0,647 1,617 0,634 1,586 0,623 1,558 0,612 1,532 0,603 1,507 0,45 0,683 1,518 0,667 1,483 0,653 1,452 0,641 1,424 0,629 1,398 0,618 1,374 0,50 0,703 1,406 0,686 1,372 0,670 1,341 0,656 1,313 0,643 1,287 0,632 1,264 0,55 0,721 1,311 0,702 1,276 0,685 1,246 0,670 1,718 0,658 1,193 0,643 1,170 0,60 0,737 1,228 0,716 1,194 0,698 1,164 0,682 1,137 0,667 1,113 0,654 1,090 0,65 0,751 1,156 0,730 1,123 0,710 1,093 0,693 1,066 0,677 1,043 0,666 1,021 0,70 0,765 1,093 0,741 1,059 0,721 1,030 0,703 1,994 0,636 0,981 0,672 0,960 0,75 0,777 1,036 0,732 1,003 0,731 0,975 0,712 0,949 0,695 0,926 0,679 0,906 0,80 0,788 0,966 0,762 0,953 0,740 0,925 0,720 0,900 0,702 0,878 0,686 0,857 0,85 0,799 0,940 0,772 0,909 0,746 0,980 0,727 0,856 0,709 0,634 0,692 0,814 0,90 0,808 0,873 0,780 0,867 0,756 0,840 0,734 0,816 0,715 0,795 0,698 0,775 0,95 0,817 0,860 0,788 0,830 0,763 0,803 0,741 0,780 0,721 0,759 0,703 0,740 1,00 0,826 0,826 0,795 0,795 0,769 0,769 0,746 0,746 0,726 0,726 0,708 0,708 1,10 0,841 0,764 0,809 0,735 0,781 0,710 0,757 0,688 0,735 0,669 0,716 0,651 1,20 0,854 0,712 0,820 0,683 0,791 0,659 0,766 0,636 0,744 0,620 0,724 0,603 1,30 0,866 0,666 0,830 0,639 0,800 0,615 0,774 0,595 0,751 0,577 0,730 0,562 1,40 0,877 0,626 0,839 0,599 0,808 0,577 0,781 0,558 0,757 0,541 0,736 0,525 1,50 0,886 0,591 0,849 0,565 0,815 0,543 0,787 0,525 0,763 0,508 0,741 0,494 1,60 0,895 0,559 0,855 0,594 0,822 0,513 0,793 0,495 0,768 0,480 0,745 0,466 1,70 0,903 0,531 0,862 0,507 0,827 0,486 0,798 0,469 0,772 0,454 0,749 0,441 1,80 0,910 0,505 0,858 0,432 0,833 0,462 0,802 0,446 0,776 0,431 0,753 0,418 1,90 0,916 0,482 0,873 0,459 0,837 0,440 0,807 0,424 0,780 0,410 0,756 0,383 2,00 0,922 0,461 0,878 0,439 0,842 0,421 0,810 0,405 0,783 0,391 0,759 0,379 2,20 0,933 0,424 0,897 0,403 0,849 0,386 0,817 0,371 0,789 0,359 0,765 0,347 2,40 0,943 0,392 0,895 0,373 0,856 0,356 0,823 0,343 0,794 0,331 0,769 0,320 2,60 0,951 0,365 0,902 0,347 0,862 0,331 0,828 0,318 0,799 0,307 0,773 0,297 2,80 0,958 0,342 0,905 0,324 0,867 0,309 0,932 0,297 0,803 0,286 0,777 0,277 3,00 0,964 0,321 0,913 0,304 0,871 0,290 0,836 0,278 0,806 0,269 0,780 0,260 3,20 0,970 0,303 0,918 0,286 0,875 0,273 0,840 0,262 0,809 0,252 0,782 0,244 3,40 0,975 0,286 0,922 0,271 0,879 0,258 0,843 0,247 0,812 0,238 0,785 0,230 3,60 0,979 0,272 0,926 0,257 0,882 0,245 0,845 0,234 0,814 0,226 0,787 0,218 3,80 0,983 0,258 0,929 0,244 0,885 0,233 0,848 0,223 0,816 0,214 0,789 0,207 4,00 0,987 0,246 0,932 0,233 0,888 0,222 0,850 0,212 0,818 0,204 0,790 0,197 b=0

triang. 1,065 - 0,998 - 0,942 - 0,897 - 0,859 - 0,826 -

45

Tabela 18.7 Dimensionamento de Canais Circulares Escoamento Uniforme

D = K1 Z

Yn

yn/D K1

0,02 24,076

0,04 13,806

0,06 9,962

0,08 7,888

0,1 6,624

0,12 0,725

0,14 5,086

0,16 4,568

0,18 4,18

0,2 3,863

0,22 3,59

0,24 3,354

0,26 3,164

0,28 3

0,3 2,85

0,32 2,721

0,34 2,608

Z=prof. Hidráulica(m) N=coef. de perda de carga(formula de Manning) Q=vazão (m3/s) I=declividade (m/m)

Z=

8/3

I

nQ

yn/D K1

0,36 2,503

0,38 2,412

0,4 2,326

0,42 2,252

0,44 2,184

0,46 2,118

0,48 2,06

0,5 2,008

0,52 1,95

0,54 1,914

0,56 1,872

0,58 1,832

0,6 1,797

0,62 1,764

0,64 1,734

0,66 1,705

0,68 1,678

yn/D K1

0,7 1,656

0,72 1,636

0,74 1,612

0,76 1,592

0,78 1,577

0,8 1,561

0,82 1,549

0,84 1,536

0,86 1,526

0,88 1,518

0,9 1,511

0,92 1,508

0,94 1,506

0,96 1,508

0,98 1,517

1 1,547