Apostila 1-PA e PG Corrigido

LGEBRA

Bruno Fraga

NDICE

NDICE - APOSTILA 1

Pgina

Orientaes para o aluno

02Material de Aula

Aula 1: Definio de PA

03

Aula 2: Exerccios de PA

03

Aula 3: Soma dos termos da PA finita

03Aula 4: Definio de PG

04

Aula 5: Exerccios de PG

04Aula 6: Soma dos termos da PG finita

04Aula 7: Soma dos termos da PG infinita

04Aula 8: Exerccios mistos de PA e PG

05Teoria

Captulo 1. Seqncias Numricas

05Exerccios

07Capitulo 2. Progresso Aritmtica

08Exerccios

10Captulo 3. Progresso Geomtrica

13Exerccios

16Complemento 1: Matemtica Financeira

19Exerccios

22Complemento 2: PA de ordem superior

24

Exerccios

25Complemento 3: Outras seqncias numricas

26

Exerccios

27Questes para reviso

28

LGEBRA

Bruno Fraga

RECOMENDAES

RECOMENDAES PARA O USO DO MATERIAL

Este material (bem como os demais desta frente) so divididos em duas partes. A primeira delas denominada material de aula, e seu objetivo facilitar a vida do aluno ao acompanhar as aulas. Alm do apontamento do que ser tratado em aula, h o enunciado das questes que sero resolvidas e um pequeno espao para anotaes ou questes extras. Na parte inferior da pgina h as orientaes do aluno. Nelas esto explicitadas as sugestes de como o aluno deve manusear o material de casa. Essas orientaes so divididas por reas e devem ser seguidas conforme as instrues abaixo:

- Tarefa Bsica: aquilo que deve ser feito por todos os alunos. No caso daqueles que trabalham no ser possvel fazer muito mais do que isso, mas ao executar ao menos essa tarefa, ele se manter em dia com a matria. Os alunos que tiverem maior tempo disponvel devem prosseguir para as prximas instrues.

- Humanas/Biolgicas: Alguns vestibulares destas reas cobram matemtica nas fases dissertativas, geralmente com peso inferior s demais matrias. Isso quer dizer que o aluno precisa ter alguma noo de como se expressar matematicamente em uma prova aberta e o objetivo desta tarefa garantir a ele esse mnimo conhecimento.

- Exatas: Sendo matemtica um dos tpicos fundamentais nessa rea, o aluno ter no s contato com questes dissertativas mas tambm outras que exijam profundo conhecimento do tema, como as demonstraes.

- ITA/IME: Provas de matemticas destes institutos e de alguns outros (Escola Naval, por exemplo) so reconhecidas por seu alto grau de exigncia. Assim, o aluno ter contato com questes dissertativas, demonstraes e tpicos especficos, que geralmente no esto nos cronogramas de outros vestibulares.

primordial ao aluno ter pacincia e seguir as instrues de maneira que facilite seu aprendizado. Comeando sempre pela matria bsica, ele deve seguir para as orientaes de Hum/Bio ou Exa, de acordo com sua rea de preferncia. Finalmente, se tiver interesse e tempo disponvel ( importante que no se atrase em outras matrias) ele pode se dedicar s atividades focadas no IME e ITA.

Uma ltima recomendao: o aluno precisar sempre de bom senso no uso do material. A existncia de textos complementares no faz com que eles sejam imprescindveis. O aluno da rea de humanas, por exemplo, tem muito mais a ganhar, pensando em termos do seu vestibular, lendo um texto complementar de Geografia do que um de Matemtica. Isso no impede, por outro lado, que algum aluno desta rea venha a se interessar por um ou outro tpico posto nos textos complementares e invista tempo neles para maior esclarecimento. O importante, fique bem frisado, que isso no pode atrapalh-lo em outra matria que lhe seja prioritria.

SUGESTES PARA O ESTUDO

As orientaes passadas ao fim de cada aula tm como objetivo melhorar o rendimento do estudo do aluno, fazendo-o aprender o mximo de contedo em um mnimo de tempo.

Porm, para aqueles alunos que necessitarem de mais contedo terico ou de exerccios, duas so as sugestes:

I) Em bibliotecas (como a do prprio Casd) ou em sebos, o aluno pode encontrar materiais de qualidade e acessveis. As seguintes colees so as mais consagradas:

1. Fundamentos de Matemtica Elementar Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e outros - 10 volumes Atual Editora.

Expondo de maneira bem didtica os diversos contedos, e com muitos exerccios resolvidos e propostos, essa coleo uma das mais elogiadas no ensino de matemtica. Interessar para essa frente, os volumes 4 e 5.

2. Coleo do Professor de Matemtica Elon Lages, Augusto Morgado e outros IMPA e VITAE

Apesar de serem voltados para aperfeioamento dos professores e no especificamente para o vestibular, o contedo da coleo excelente. Interessam para essa frente os livros Progresses e Matemtica Financeira e Anlise Combinatria e Probabilidade.

3. Matemtica Manoel Paiva 3 volumes

Apesar do detalhamento muitas vezes exagerado da matria, apresenta um contedo bem completo. O nvel dos exerccios deixa um pouco a desejar (destaque somente para os complementares). Interessar para essa frente o volume 2 somente.

4. Outras colees com diversos volumes tambm so bem-vindas, pois costumam apresentar o contedo de maneira mais completa que os similares em 3 volumes ou volume nico.

II) Necessitando o aluno de material especfico (teoria e/ou exerccios) que no encontre em nenhuma destas referncias, ou mesmo se desejar provas anteriores completas de alguma faculdade em especfico, poder solicit-lo junto ao professor que, na medida do possvel, procurar atend-lo.

LGEBRA

Bruno Fraga

MATERIAL DE AULA

PROGRESSO ARITMTICA (PA)

AULA 1

Tpicos de Aula

1. O que uma Seqncia Numrica

2. O que uma Progresso Aritmtica (PA)

3. Lei de Formao da PA

Exerccios de Aula

01. O preo de um carro novo R$ 15000,00 e diminui de R$ 1000,00 a cada ano de uso. Qual ser o preo com 4 anos de uso?

02. Em uma progresso aritmtica, o quinto termo vale 30 e o vigsimo termo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progresso?

03. Formam-se n tringulos com palitos, conforme a figura abaixo:

Figura 1 Tringulos formados com palitos

a) Qual o nmero de palitos usados para construir 10 tringulos?

b) Qual o nmero de palitos usados para construir n tringulos?


1. Tarefa Bsica:

2. Humanas/Biolgicas:

3. Exatas:

4. ITA/IME:


AULA 2

Tpico de Aula

1. Exerccios de PA

Exerccios de Aula

01. Se ,... uma progresso aritmtica, determine x e calcule o quinto termo.

02. Determine uma PA crescente de trs termos, sabendo que a soma destes termos 3 e que o produto deles 8.

03. (VUNESP-adaptado) Duas pequenas fbricas de calados, A e B, tm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por ms. Se, a partir de janeiro, a fbrica A aumentar sucessivamente a produo em 70 pares por ms e a fbrica B aumentar sucessivamente a produo em 290 pares por ms, a partir de que ms a produo de B superar a produo de A?

04. Pedro emprestou a Joo uma quantia de R$ 5000,00 com juros simples de 2% ao ms. Se a dvida s for quitada 2 anos depois, qual ser o valor pago por Joo?


1. Tarefa Bsica:


3. Exatas:

4. ITA/IME:


AULA 3

Tpico de Aula

1. Soma dos Termos de uma PA Finita

Exerccios de Aula

01. Calcule a soma dos termos da progresso aritmtica 2, 5, 8, 11... desde o 25 at o 41 termo (incluindo este ltimo),

02. Calcule a soma de todos os inteiros compreendidos entre 1 e 300, que sejam mltiplos de 11.

03. (Puccamp 99) Um pai resolve depositar todos os meses certa quantia na caderneta de poupana de sua filha. Pretende comear com R$5,00 e aumentar R$5,00 por ms, ou seja, depositar R$10,00 no segundo ms, R$15,00 no terceiro ms e assim por diante. Aps efetuar o dcimo quinto depsito, a quantia total depositada por ele ser de

a) R$150,00

d) R$520,00

b) R$250,00

e) R$600,00

c) R$400,00


1. Tarefa Bsica:


3. Exatas:

4. ITA/IME:

PROGRESSO GEOMTRICA (PG)

AULA 4

Tpicos de Aula

1. O que uma Progresso Geomtrica (PG)

2. Lei de Formao da PG

Exerccios de Aula

01. Determine o 14 termo da PG de razo q = 3, sabendo que a9 = 2.

02. Qual o quarto termo da PG?03. Interpole quatro meios geomtricos entre 3 e 96, nesta ordem.


1. Tarefa Bsica:


3. Exatas:

4. ITA/IME:


AULA 5

Tpico de Aula

1. Exerccios de PG

Exerccios de Aula

01. Determinar a PG de trs termos, sabendo que o produto desses termos 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo 10.

02. (ITA-88) Suponha que os nmeros 2, x, y e 1458 esto, nesta ordem, em progresso geomtrica. Desse modo o valor de x + y :

a) 90 b) 100 c) 180 d) 360 e) 1460

03. O aumento anual da produo de automveis de uma fbrica de 3%. Em 1990, produziu 1 milho de veculos. Qual foi a produo de 1993?

04. Calcular o montante de um capital de R$ 1000,00, aplicado taxa de 4% ao ms, durante 3 meses.Orientaes para o aluno

1. Tarefa Bsica:


3. Exatas:

4. ITA/IME:


AULA 6

Tpico de Aula

1. Soma dos termos de uma PG finita

2. Produto dos termos da PG finita

Exerccios de Aula

01. A soma dos n primeiros termos de uma PG 5115. Determine n sabendo que a1 = 5 e q = 2.03. O crescimento anual nas vendas de calculadoras de uma fbrica de 20%. No ano de 1986 a fbrica vendeu 20000 unidades. Qual foi o total de vendas no qinqnio de 1986 a 1990? Dado: (1,2)5 = 2,4883203. Calcule o produto dos dezoito primeiros termos da PG .Orientaes para o aluno

1. Tarefa Bsica: 2. Humanas/Biolgicas: 3. Exatas: 4. ITA/IME:


AULA 7

Tpico de Aula

1. Soma dos termos de uma PG infinita

Exerccios de Aula

01. Calcular a soma dos infinitos termos da PG

02. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 m na segunda, 64 m na terceira e assim sucessivamente. Determinar o tempo (em horas) necessrio para completar um percurso de:a) 480 m

b) 500 m

c) 600 m

03. Uma importante aplicao da soma infinita de PG a determinao da frao geratriz de uma determinada dzima peridica. O objetivo deste exerccio voc determinar por meio desta aplicao, a frao geratriz da dzima 0,141414...


1. Tarefa Bsica:


3. Exatas:

4. ITA/IME:PROGRESSES (PA e PG)

AULA 8

Tpico de Aula

1. Exerccios mistos de PA e PG

Exerccios de Aula

01. (Uel 94) Uma progresso aritmtica de n termos tem razo igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem mpar, os de ordem par formaro uma progresso

a) aritmtica de razo 2

b) aritmtica de razo 6

c) aritmtica de razo 9

d) geomtrica de razo 3

e) geomtrica de razo 6

02. Trs nmeros formam uma progresso aritmtica de razo 11. Se ao primeiro termo somado 6, ao segundo subtrado 1 e o terceiro dobrado, o resulta agora em uma progresso geomtrica. Determine os termos da progresso aritmtica

03. (Ufscar 2000) A condio para que trs nmeros a, b e c estejam, simultaneamente, em progresso aritmtica e em progresso geomtrica que

a) ac = b2b) a + c = 2bc) a + c = b2d) a = b = ce) ac = 2b

04. (FUVEST-98) A seqncia an uma PA estritamente crescente, de termos positivos. Ento, a seqncia, n ( 1, uma:

a) PG crescente

b) PA crescente

c) PG decrescente

d) PA decrescente

e) seqncia que no uma PA e no uma PG


1. Tarefa Bsica:


3. Exatas:

4. ITA/IME:

LGEBRABruno FragaCAPTULO 1

SEQNCIAS NUMRICAS

1. DEFINIO

A idia mais intuitiva de seqncia numrica a de um agrupamento numrico com alguma regra em sua formao. Assim, consideremos o conjunto dos nmeros mpares maiores que 11:

(13, 15, 17, 19, 21, 23...)

Trata-se de uma seqncia numrica, onde observamos que a partir do primeiro nmero escrito, basta somar duas unidades para obtermos o prximo nmero, e assim sucessivamente.

Outro exemplo de seqncia seria a dos chamados nmeros primos (divisveis apenas por 1 e por eles mesmos): (2, 3, 5, 7, 11...) que possui tambm uma regra lgica na sua formao.

2. FUNES

Vamos elaborar melhor o conceito de seqncia atravs de mais um exemplo:

ER 01. Construir a seqncia que representa em ordem crescente os 5 primeiros nmeros pares positivos.

Resoluo

Tal seqncia facilmente obtida: (2, 4, 6, 8, 10)

Diremos que essa seqncia possui 5 termos (nmeros que a compe) e utilizaremos a seguinte conveno de simbologia:

O primeiro termo, que o 2, ser representado por a1 (l-se: a ndice 1). Ou seja, a1 = 2.

Para os demais termos, teramos:

a2 = 4, a3 =6, a4 = 8, a5 = 10.

Os ndices indicam a posio do termo: a1 o primeiro termo, a2 o segundo termo, etc.

Poderamos representar esta relao entre a posio e o valor do termo por meio de uma estrutura chamada diagrama de Venn (ser vista com maiores detalhes na frente de Funes):

Figura 2 Diagrama de Venn para a seqncia dos nmeros pares

Na figura acima, a flecha que une o nmero 4, do conjunto A, ao nmero 8 do conjunto B, nos informa que o termo que ocupa a posio de nmero 4, ou seja, o 4 termo da seqncia, vale 8.

Pensando analogamente no caso da seqncia de nmeros primos (2, 3, 5, 7, 11, ...) teramos o seguinte diagrama de Venn:

Figura 3 Diagrama de Venn para a seqncia dos nmeros primosMais uma vez estamos associando as posies dos termos aos seus valores (o termo da posio 1 vale 2, o da posio 6 vale 13, etc.)

Tal tipo de relao constitui o que chamamos de funo (ser visto com mais detalhes na frente de Funes) sendo o conjunto A chamado de domnio da funo e o conjunto B de contradomnio da funo.

No nosso caso, o domnio (conjunto A) constitudo apenas de nmeros naturais, infinitos ou apenas parte deles, pois se tratam das posies dos termos. Da notamos a importncia da ordem em que os termos esto dispostos j que a inverso da ordem entre dois termos quaisquer alteraria a relao acima.

J o conjunto B, no caso de seqncias numricas, pode conter quaisquer valores reais.

Sintetizando:

Seqncias numricas so funes, cujo domnio o conjunto dos naturais (ou um subconjunto dele) e o contradomnio um subconjunto dos reais.

3. TIPOS DE LEI DE FORMAO

A partir da idia de seqncia como funo, podemos muitas vezes obter uma frmula geral (ou regra) que nos permite obter os termos dessa seqncia. Sendo assim, nos casos a seguir usaremos a seguinte notao:

an representa o ensimo termo da seqncia

an+1 representa o prximo termo aps o ensimo, tambm chamado de consecutivo.

uma maneira abreviada de representar a seqncia (a1, a2, a3, ..., an, ...) expressando a idia de que os ndices dos termos so sempre nmeros naturais. Algumas vezes utiliza-se simplesmente o smbolo (an).

Seqncia obtida por recorrncia

Muitas seqncias so definidas recursivamente (isto , por recorrncia), ou seja, por intermdio de uma regra que permite calcular qualquer termo em funo do(s) antecessor(es) imediato(s).

Exemplos

a) A seqncia (an) dos nmeros naturais mpares 1, 3, 5, 7... pode ser definida por an+1 = an + 2 (), com x1 = 1. Essa seqncia um exemplo de progresso aritmtica e ser estudada no Captulo 2.

b) A seqncia (an) dos nmeros 3, 9, 27, 81,....; pode ser definida por an+1 = 3.an, (), com a1 = 3. Essa seqncia um exemplo de progresso geomtrica e ser estudada no Captulo 3.

c) A seqncia (an) dos nmeros 1, 1, 2, 3, 5, 8..., pode ser definida por an+2 = an + an+1 (), com a1 = a2 = 1. Essa chamada seqncia de Fibonacci e ser detalhada no Complemento 3.

Observe que para definir uma seqncia por recorrncia no basta conhecer a lei de formao. Por exemplo, a recorrncia do exemplo (a) an+1 = an + 2 satisfeita no apenas pelos nmeros naturais mpares mas tambm pela seqncia 4, 6, 8, 10,... dos pares comeados por 4, ou 7, 9, 11, 13... dos mpares a partir do 7 e para mais uma infinidade de seqncias onde a diferena entre um termo e o seu antecessor igual a 2. Sendo assim, para determinarmos uma seqncia preciso alm de sua lei de formao, do conhecimento do(s) seu(s) primeiro(s) termo(s).

Seqncia em funo da posio

o caso da seqncia que fica determinada se cada an expresso em funo de sua posio.

Exemplo

Consideremos a seqncia tal que an = n + 3. Para determinar os termos desta seqncia, basta atribuirmos a n os valores 1, 2, 3,... na igualdade an = n + 3:

n = 1 a1 = 12 + 3 a1 = 4

n = 2 a2 = 22 + 3 a2 = 7

n = 3 a3 = 32 + 3 a3 = 12

n = 4 a4 = 42 + 3 a4 = 19

Portanto a seqncia (4, 7, 12, 19, ...)

Seqncia atravs de uma propriedade

Uma propriedade p determina uma seqncia somente se existe uma nica seqncia cujos termos satisfazem p.

Exemplo

Considere os nomes dos alunos de sua sala de aula escritos em ordem alfabtica. A propriedade p, ser nome de um aluno de sua classe e obedecer a ordem alfabtica, determina uma seqncia.

Observao

Os termos como os da seqncia dos nmeros primos no possuem uma formula geral para serem obtidos. Nesse caso, ainda que conheamos o critrio para compor a seqncia (o nmero deve ser primo) no possumos uma funo que nos permita obt-los.

ER 02. Se xn+1 = xn + 3 e x1 = 2, determine xn.

Resoluo

Vamos substituir na frmula dada, diversos valores para n:

x1 = 2

x2 = x1 + 3

x3 = x2 + 3

x4 = x3 + 3

xn-1 = xn-2 + 3

xn = xn-1 + 3

Observe agora o que ocorre se somarmos todas essas equaes resultantes:

O x1 da primeira equao ser cancelado pelo x1 da segunda (que est no outro membro), o x2 da segunda ser cancelado pelo x2 da terceira equao, e assim sucessivamente, at que o xn-1 da penltima equao ser cancelado pelo xn-1 da ltima.

O que sobra, portanto? No primeiro membro apenas o xn no foi cancelado. No segundo membro, o 2 e todos os 3 no foram cancelados. Chegamos em:

xn = 2 + = 2 + (n-1)3

Logo, xn = 2 + 3.(n1)

ER 03. A soma Sn dos n primeiros termos da seqncia (a1, a2, a3, a4,...) dada por Sn = 2n + 5.

Assim, por exemplo:

S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3Sn = a1 +a2 + a3 + ... +an

a) Determinar a soma dos seis primeiros termos da seqncia.

b) Determinar o primeiro termo da seqncia.

c) Determinar o stimo termo da seqncia.

Resoluo

a) Para obter a soma dos seis primeiros termos, que o valor de S6, basta substituir n por 6 na frmula dada:

S6 = 2(6) + 5 = 17

Logo S6 = 17

b) Dos exemplos do enunciado, verifica-se que S1 = a1. Ou seja, para obter o primeiro termo, basta calcular S1:

S1 = 2(1) + 5 = 7

Logo a1 = S1 = 7

c) Como S6 = a1 + a2 +a3 + a4 + a5 + a6 e

S7 = + a7 perceba que

S7 = S6 + a7Logo: a7 = S7 S6O valor de S6 foi calculado no item (a).

Calculando S7, obtemos S7 = 2(7) + 5 = 19.

Assim: a7 = S7 S6 = 19 17 = 2

EXERCCIOS01. Na seqncia (3, 2, 5, 9, 6, 6, ...) identifique os termos a1, a2, a3, a6, a7.

02. Obtenha o valor de a1, a2 e a3 de uma seqncia (an) dada por an= 5n + 3.

03. Obtenha o 10 termo da seqncia an tal que

an = n + 2n.

04. Para a seqncia definida por an+2 = 2.an+1 + an, a0 = a1 = 1, determine a5.

05. Se an+1 = 2an e a1 = 3, determine an.

06. (FGV) A seqncia (yn) tal que yn yn-1 = 2n, para todo n natural, . Sabendo-se que y1 = 1, o termo y4 igual a:

a) 21 b) 17 c) 27 d) 31e) 51

07. A soma Sn dos n primeiros termos da seqncia (a1, a2, a3,...,) dada por Sn = n + 4 para todo n natural.

a) Calcule a soma dos dez primeiros termos da seqncia.

b) Determine o primeiro termo da seqncia.

c) Determine o sexto termo da seqncia.

08. (Cesgranrio) A soma dos n primeiros termos de uma seqncia dada por Sn= n(n+1). Ento o vigsimo termo da sucesso :

a) 420 b) 380 c) 60d) 40 e) 20


PROGRESSES ARITMTICAS

1. INTRODUO

Progresso aritmtica uma seqncia de nmeros, denominados termos, tais que a diferena entre cada termo, a partir do segundo, e o precedente um valor constante chamado razo.

ER 04. Nas progresses aritmticas a seguir, obtenha o valor da razo.

a) (1, 6, 11, 16, ...)

b) (9, 7, 5, 3, ....)

c) (3, 3, 3, 3,...)

Resoluo

a) Fazendo a subtrao de um termo qualquer pelo seu anterior (antecedente), encontramos a razo:

r = 16 11 = 5

Comumente chamamos as progresses com razo positiva de crescentes.b) r = 7 9 = 2

As progresses aritmticas de razo negativa so chamadas de decrescentes.

c) r = 3 3 = 0

As progresses aritmticas de razo nula so chamadas de constantes ou estacionrias2. TERMO GERAL

Sabemos que em uma PA obtemos um determinado termo a partir da soma do anterior com uma constante, chamada razo. Tal fato est esquematizado abaixo:

Assim, para passar do a1 para o a2 devemos somar uma razo, ou seja:

a2 = a1 + r

Por outro lado, observe que para passar do a1 para o a3, devemos somar duas razes:

a3 = a1 + 2r

Para passar do a2 para o a5 devemos somar trs razes:

a5 = a2 + 3r

Raciocinando analogamente, para passar do a3 para o a10 deveramos somar sete razes:

a10 = a3 + 7r

Sendo assim, para passar de um termo ap qualquer para um termo an, devemos somar (n p) razes:

an = ap + (n p)rr

Essa frmula denominada termo geral da PA. Porm, como comentamos anteriormente, geralmente definimos uma PA a partir da razo e de seu primeiro termo. Assim, alternativamente, teramos:

an = a1 + (n 1)rrER 05. Exerccio resolvido perguntando nmero de termos

ER 06. Determinar a razo de uma PA cujo 4 termo 7 e cujo 14 termo 47.Resoluo

Temos: a14 = 47 e a4 = 7

Da frmula do termo geral, temos:

a14 = a4 + (14 4)r

47 = 7 + 10r

r = 4ER 07. Se a, b e c so, nesta ordem, termos consecutivos de uma PA, calcule o valor de b em funo de a e c.

Resoluo:

Sendo a o primeiro dos termos e r a razo desta progresso, teremos:

b = a + r b a = r

c = b + r c b = r

Se r = b a e r = c b, ento:

b a = c b 2b = a + c

b =

Concluso: Em uma PA de trs termos consecutivos, o termos do meio a mdia aritmtica dos outros dois.

ER 08. Inserir 5 meios aritmticos entre 2 e 3.

Resoluo

Inserir 5 meios aritmticos entre 2 e 3 significa formar uma PA de 7 termos onde o primeiro 2, o stimo 3, e os cinco do meio precisam ser determinados.

Para isso, basta descobrirmos a razo desta progresso:

(2, __, __, __, __, __, 3)a7 = a1 + 6r ( 3 = 2 + 6r (

Logo a seqncia pedida :

ER 09. (ENCE) A soma de 3 nmeros em PA 6 e seu produto 24. Escrever a progresso.

Resoluo

Um truque para problemas onde dada a soma de um dos termos de uma PA limitada com um nmero mpar de termos (e com poucos termos, preferencialmente) escrev-la em funo do termo do meio. Neste caso, como so trs termos, a PA ficaria (x r, x, x + r)

Assim, como a soma destes termos 6, temos:

x r + x + x + r = 6

3x = 6 x = 2

Agora a PA fica (2 r, 2, 2 + r)

Como o produto vale 24:

(2 r).2.(2+r) = 24

4 r = 12 r = 16 r =

So duas as PAs possveis: (6, 2, 2) e (2, 2, 6)

Observao: Para o caso de uma PA de nmero par de termos, digamos quatro, usa-se um procedimento semelhante: (a 3r, a r, a + r, a + 3r). Atente para o fato de que aqui a razo 2r.ER 10. Verifique se a seqncia dada por an = 3n+1 forma uma PA.

Resoluo

Devemos calcular o valor de an an-1 =

3n +1 3(n-1) 1 = 3n + 1 3n + 3 1 = 3

Como a diferena entre um termo e seu antecessor constante, trata-se realmente de uma PA 3. SOMA DOS TERMOS

Histrico

Quando o grande matemtico alemo Carl Gauss (1777-1855) tinha sete anos de idade, seu professor de matemtica, chamado Bttner, incomodado com o barulho que a turma estava fazendo, props aos alunos que calculassem o resultado da soma de todos os nmeros inteiros de 1 at 100, como forma de mant-los ocupados por algum tempo.

Trs minutos se passaram e Gauss apresentou ao professor a resposta correta para a soma: 5050. Curioso, o professor lhe questionou como ele conseguira realizar o clculo to rapidamente.

Gauss explicou que calculara inicialmente a soma do primeiro termo com o ltimo, ou seja, 1 + 100, depois a soma do segundo com o penltimo, 2 + 99, do terceiro com o antepenltimo 3 + 98, e assim por diante at fazer 50 + 51, calculando um total de 50 somas, todas com resultado igual a 101.

Portanto o resultado seria 50 101 = 5050

Frmula da Soma

Com raciocnio anlogo ao de Gauss, podemos obter a soma dos n primeiros termos da PA (a1, a2, a3...). Chamemos de Sn tal soma. Assim:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an (I)

Como a adio uma operao comutativa, podemos reescrever a soma como:

Sn = an + an-1 + an-2 +... + a1 (II)

Somando as equaes (I) e (II) termo a termo:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) +...+ (an + a1)

No 2 membro observe que ao passarmos de um parnteses para o seguinte, a primeira parcela aumente de r e a segunda diminui de r, de modo que a soma permanece constante. Assim, todos os resultados so iguais ao primeiro, e como temos n parnteses:

2Sn = (a1 + an)n

Sn =

ER 11. Qual o valor da soma dos 20 primeiros termos da progresso aritmtica 2, 6, 10,...?

Resoluo

Trata-se de uma PA de razo r = 4 e a1 = 2.

A frmula da soma procurada S20 =

Temos: a20 = a1 + 19r = 2 + 194 = 78

Portanto: S20 = = 800

ER 12. Calcule a soma dos n primeiros nmeros mpares.

Resoluo

Os n primeiros nmeros mpares formam a seguinte PA de razo 2: (1, 3, 5,..., 2n 1).

A frmula da soma procurada Sn =

Como a1 = 1 e an = 2n 1, temos:

Sn = = = n2Esse resultado est exemplificado abaixo:

S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42Notao de somatrio

Em alguns exerccios de somas (de termos de uma PA ou PG, por exemplo), comum que aparea o smbolo (sigma), que significa somatrio.

Tal simbologia tem como objetivo tornar mais sucinta a representao de uma soma que, se escrita por extenso, tomaria um espao maior.

Para melhor compreenso desta notao, iniciaremos com um exemplo.

Exemplo

Observe a expresso . Ela lida como somatrio de 2j, com j variando (dentro dos nmeros naturais) de 1 at 5. Para calcul-la devemos substituir a varivel j por 1, 2, 3, 4 e 5 na expresso 2j que est no somatrio e somar os resultados obtidos no final.

Assim:

j = 1 2j = 2

j = 2 2j = 4

j = 3 2j = 6

j = 4 2j = 8

j = 5 2j = 10

Agora basta somar os resultados obtidos:

= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Entre as propriedades do somatrio que podem ser teis neste momento esto:

P1. O ndice do somatrio uma varivel que pode ser substituda por qualquer letra

Exemplo

=

P2. O somatrio de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somatrios:

Exemplo

= +

c) Se no termo geral do somatrio aparece um produto, em que um fator no depende do ndice do somatrio, ento este fator pode sair do somatrio.

Exemplo

=

ObservaoNa apostila 2, ao estudarmos as matrizes, recor-daremos tais propriedades e introduziremos mais uma alm destas.

4. INTERPRETAO GRFICA DA PA

Se construirmos os grficos an n, de uma progresso aritmtica, verificaremos que trata-se de uma reta, com o seguinte aspecto:

Figura 4 Grfico geral de uma progresso aritmticaExemplo

Na PA (2, 5, 8, 11), temos:

a1 = 2, a2 = 5, a3 = 5, a4 = 11

Traando o grfico, teramos:

Figura 5 Grfico da PA (2, 5, 8, 11)Como o grfico uma reta, deduzimos que a PA um caso de funo afim, tipo de funo que ser estudada com detalhes na frente de Funes.

EXERCCIOS DE APLICAO

09. Determinar o 61 termo da PA (9, 13, 17, 21,...)

10. Determinar a razo da PA (a1, a2, a3,...) em que

a1 = 2 e a8 = 3.

11. Determinar o nmero de termos da PA (4, 7, 10,..., 136)

12. Obtenha o primeiro termo da PA tal que a1 + a7 = 10 e a3 + a4 = 5.

13. Verifique se o no uma progresso aritmtica as seguintes seqncias:

a) an = 1 3n,

b) an = ,

14. Interpole seis meios aritmticos entre 4 e 67 nessa ordem.

15. Determine x, , de modo que a seqncia

(1 x, x 2, 2x 1) seja PA

16. Qual a soma da PA finita (30, 21, 12, ..., 213)?

17. Encontre a soma dos mltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 300.

18. Determine o quinto termo da PA cuja soma dos n primeiros termos dada por Sn = 2n2 + 6n

TREINAMENTO 1 FASE

19. (Uel - 95) Interpolando-se 7 termos aritmticos entre os nmeros 10 e 98, obtm-se uma progresso aritmtica cujo termo central

a) 45b) 52c) 54d) 55e) 57

20. (EFOA) Se e so nmeros inteiros e esto, nesta ordem, em progresso aritmtica, ento o produto vale:

a) b) c) d) e)

21. (Fuvest-95) Em uma progresso aritmtica de termos positivos, os trs primeiros termos so (1 a ), ( a) e. O quarto termo desta P.A. :

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

22. (Vunesp 92) Um estacionamento cobra R$1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor R$1,00 at a dcima segunda, cujo valor R$ 0.40, os preos caem em progresso aritmtica. Se um automvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastar seu proprietrio?

a) R$ 4,58

d) R$ 4,85

b) R$ 5,41

e) R$ 5,34

c) R$ 5,14

23. (AFA-90) Quantos nmeros NO mltiplos de 11 h no conjunto {x (| 51 < x < 1500} ?

a) 1210

d) 1412

b) 1318

e) nra

c) 1406

24. (AFA-88) A soma dos 15 primeiros termos da seqncia (-2, 1, 4, 7, ...) vale:

a) 260 b) 285 c) 330 d) 345

25. (UFF) Numa progresso aritmtica com 51 termos, o 26o 2. A soma dos termos dessa progresso :

a) 13b) 52c) 102d) 104e) 112

26. (Uel - 96) Numa progresso aritmtica de primeiro termo 1/3 e razo 1/2, a soma dos n primeiros termos 20/3. O valor de n :

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9

27. (Ufscar 2002) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos zero. Sendo a razo da PA um nmero inteiro e positivo, o segundo termo dessa seqncia vale:

a) 0.b) 1.c) 2.d) 3.e) 4

28. (Ufrn 2001) A direo de uma escola decidiu enfeitar o ptio com bandeiras coloridas. As bandeiras foram colocadas em linha reta, na seguinte ordem: 1 bandeira vermelha, 1 azul, 2 vermelhas, 2 azuis, 3 vermelhas, 3 azuis, e assim por diante.

Depois de colocadas exatamente 99 bandeiras, o nmero das de cor azul era:

a) 55 b) 60c) 50 d) 45

29. (Uel 99) O nmero 625 pode ser escrito como uma soma de cinco nmeros inteiros mpares e consecutivos. Nessas condies, uma das parcelas dessa soma um nmero:

a) menor que 120d) divisvel por 9

b) maior que 130e) mltiplo de 15.

c) quadrado perfeito

30. Considere um conjunto de circunferncias cujas medidas dos raios, em milmetros, formam a progresso aritmtica 20,21, 22, 23, ... , 150. A respeito dessas circunferncias, correto afirmar:

(I) O total de circunferncias 130.

(II) O comprimento da maior dessas circunferncias 15 vezes o comprimento da menor.

(III) As medidas dos dimetros dessas circunferncias, em milmetros, da menor para a maior, formam uma progresso aritmtica de razo 2.

(IV) A soma dos comprimentos de todas as circunferncias, em centmetros, 2227(31. (Mackenzie 96) A soma dos elementos comuns s seqncias (3, 6, 9, ...) e (4, 6, 8, ...), com 50 termos cada uma, :

a) 678b) 828c) 918d) 788e) 598

32. (Mackenzie 98) Sabendo que 3, 39 e 57 so termos de uma progresso aritmtica crescente, ento os possveis valores naturais da razo r da progresso so em nmero de:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

TREINAMENTO 2 FASE

33. (UNIFEI) Numa progresso aritmtica o quinto termo excede o primeiro de 36 e o stimo termo a mdia aritmtica dos nmeros 58, 82 e 76. Calcule a soma dos 10 primeiros termos dessa progresso.

34. (Fuvest 93) Seja A o conjunto dos 1993 primeiros nmeros inteiros estritamente positivos.

a) Quantos mltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A?

b) Quantos nmeros de A no so mltiplos inteiros nem de 3 nem de 5?

35. (Fuvest 98) 500 moedas so distribudas entre trs pessoas A, B e C, sentadas em crculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C trs, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, at no haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, ento, receber as moedas restantes.

a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explcito como voc obteve a resposta.)

b) Quantas moedas receberam cada uma das trs pessoas?

36. (UFRJ) Um painel contm lmpadas vermelhas e azuis. No instante to = 0, acendem-se, simultaneamente, uma lmpada vermelha e 43 azuis. A partir da, de 2 em 2 segundos, acendem-se as lmpadas vermelhas e apagam-se as azuis. O nmero de lmpadas vermelhas acesas cresce em progresso aritmtica de razo 4 e o de azuis decresce em progresso aritmtica de razo -3. Em um determinado instante t1 , h o mesmo nmero de lmpadas azuis e vermelhas acesas.

a) Quantas lmpadas azuis esto acesas nesse instante t1 ?

b) Determine t1 .

37. (Vunesp 98) Imagine os nmeros inteiros no negativos formando a seguinte tabela:

a) Em que linha da tabela se encontra o nmero 319? Por qu?

b) Em que coluna se encontra esse nmero? Por qu?

38. (UFRJ-98) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalvel pacincia, deseja bater o recorde mundial de construo de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que esto apoiadas em uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com trs nveis.

Figura 6 Esboo do castelo de cartas

Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 nveis.

Determine o nmero de cartas que ele vai utilizar.39. (Fuvest 97) Do conjunto de todos os nmeros naturais n, n 200, retiram-se os mltiplos de 5 e, em seguida, os mltiplos de 6. Calcule a soma dos nmeros que permanecem no conjunto.

40. (FGV-94) As progresses aritmticas a1, a2, ... e b1, b2, ...... tm razes respectivamente iguais a 3 e a 7.

a) Sabendo-se que a5 = b3, qual o menor valor de r, superior a 5, para o qual existe s tal que ar = bs ?

b) Se os elementos comuns a essas duas progresses forem colocadas em ordem crescente eles formaro uma P.A. Calcule a razo desta P.A.

41. O menor ngulo de um polgono convexo de 139( e os outros ngulos formam com o primeiro uma PA cuja razo 2 graus. Demonstrar que o polgono possui 12 lados

43. Os nmeros que exprimem o lado, a diagonal e a rea de um quadrado esto em PA, nessa ordem, ento, qual o permetro do quadrado?

44. Insira n meios aritmticos entre 1 e . Determine a razo da PA

TREINAMENTO IME/ITA

45. (ITA-00) O valor de n que torna a seqncia (2 + 3n,

5n, 1 4n) uma progresso aritmtica pertence ao intervalo

a) [-2, -1]

d) [1, 2]

b) [-1, 0]

e) [2, 3]

c) [0, 1]

46. (IME-02) Calcule a soma dos nmeros entre 200 e 500 que so mltiplos de 6 ou de 14, mas no simultaneamente mltiplo de ambos.

47. (AFA-88) O termo geral de uma progresso aritmtica . A soma dos n primeiros termos da progresso vale:

a) b) c) d)

48. (IME-75) A soma dos 50 primeiros termos de uma progresso aritmtica igual a 200 e a soma dos 50 seguintes igual a 2700. Calcule a razo da progresso e o seu primeiro termo.

49. (IME-90) Os lados de um tringulo esto em progresso aritmtica e o lado intermedirio mede l. Sabendo que o maior ngulo excede o menor em 90, calcule a razo entre os lados.

50. (ITA-93) Numa progresso aritmtica com 2n + 1 termos, a soma dos n primeiros termos igual a 50 e a soma dos n ltimos 140. Sabendo-se que a razo desta progresso um inteiro entre 2 e 13, ento seu ltimo termo ser igual a:

a) 34

b) 40

c) 42

d) 48

e) 56

51. (ITA-58) Provar que se em uma P.A. tal que a soma dos n primeiros termos igual a (n + 1) vezes a metade do ensimo termo ento r = a1.

52. (ITA-80) Considere a progresso aritmtica (x1, x2, , xn) de n termos, n ( 2, cuja soma de seus termos K. A soma da seqncia dos n valores y1, y2, , yn definidos por yi = axi + b, i = 1, 2, , n, onde a e b so nmeros reais com a ( 0, dada por:

a) K c) aK + nb e) anK

b) aK + b d) anK + nb

53. (IME-82) O quadrado de qualquer nmero par 2n pode ser expresso como a soma de n termos em progresso aritmtica. Determine o primeiro termo e a razo desta progresso

54. (IME-99) Determine as possveis PAs tais que o resultado da diviso da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja independente de n.

55. Prove que para os temos de uma PA em que 0 no participa, tm-se a seguinte relao:

56. Prove que se os nmeros a, b e c formam uma progresso aritmtica ento os nmeros tambm formam uma progresso aritmtica.

57. So dados a soma S de trs nmeros em PA e a soma S dos quadrados desses nmeros. Demonstre que os nmeros so: , e

58. Prove que , e no podem ser termos de uma mesma progresso aritmtica.59. Se, calcule o valor de A+B.

60. Se numa PA a soma dos m primeiros termos igual a soma dos n primeiros termos, m(n, mostre que a soma dos m+n primeiros termos zero


PROGRESSES GEOMTRICAS

1. INTRODUOProgresso geomtrica uma seqncia de nmeros, denominados termos, tais que a razo entre cada termo, a partir do segundo, e o precedente um valor constante chamado razo.

ER 13. Nas progresses geomtricas a seguir, obtenha o valor da razo.

a) (1, 2, 4, 8, ...)

b) (81, 27, 9, 3, ....)

c) (3, -6, 12, 24, 48,...)

c) (3, 3, 3, 3,...)

d) (8, 0, 0, 0,...)

Resoluo

a) Fazendo a diviso de um termo qualquer pelo seu anterior (antecedente), encontramos a razo:

q = = 2

As progresses geomtricas onde cada termo, a partir do segundo, maior que o anterior so chamadas crescentes.b) q =

As progresses geomtricas onde cada termo, a partir do segundo, menor que seu antecessor so chamadas decrescentes.

c) q = = 2

A razo negativa faz com que os termos oscilem entre positivos e negativos. Por tal motivo, essa progresso geomtrica recebe o nome de oscilante.

c) q = = 1

As progresses geomtricas de razo unitria so chamadas de constantes ou estacionrias.d) q = = 0.

Esse tipo de progresso geomtrica (somente o primeiro termo no-nulo) chamada de quase nula.2. TERMO GERALA abordagem feita aqui bem semelhante realizada na obteno do termo geral da PA.

Sabemos que em uma PG, obtemos um determinado termo pela multiplicao de seu antecessor por uma constante chamada razo. Tal fato est esquematizado abaixo:

Assim, para passar do a1 para o a2 devemos multiplicar uma vez a razo, ou seja:

a2 = a1.q

Por outro lado, observe que para passar do a1 para o a3 voc deve multiplicar duas vezes a razo:

a3 = a1.q.q = a1.q2Para passar do a2 para o a5 deve multiplicar trs vezes a razo:

a5 = a2.q3Raciocinando analogamente, para passar do a3 para o a10 deveramos multiplicar a razo sete vezes:

a10 = a3.q7Sendo assim, para passar de um termo ap qualquer para um termo an devemos multiplicar a razo (np) vezes:

an = ap.qnprEssa frmula denominada termo geral da PG.

Como geralmente a seqncia definida a partir da razo e do seu primeiro termo, teramos alternativamente:

an = a1.qn-1rER 14. Obter o 10 e o 13 termos da P.G. (1, 2, 4,.8, ...).

Resoluo

Para obter a razo basta dividir um termo pelo seu antecessor: q = 2.

Da frmula do termo geral temos:

a10 = a1 . q9 = 1 . 29 = 512

a13 = a1 . q12 = 1 . 212 = 4 096

ER 15. Calcular o nmero de termos de uma PG onde a1 = 3, q = 2 e an = 1536.Resoluo

Sendo an = a1 . qn1, vem:

1536 = 3. 2n1 ( 512 = 2n1 ( 29 = 2n1 ( n 1 = 9 ( n = 10

ER 16. Qual o nmero que deve ser somado a 1, 9 e 15 para que se tenha, nessa ordem, trs nmeros em P.G.?Resoluo

Para que (x + 1, x + 9, x + 15) formem uma P.G., devemos ter

(a diviso de um termo pelo seu antecedente a razo) Logo:

(x + 9)2 = (x + 1) (x + 15) ( x2 + 18x + 81 = x2 + 16x + 15 ( 2x = ( 66 ( x = (33.

ER 17. Inserir 3 meios geomtricos, entre 3 e 48.Resoluo

Inserir 3 meios geomtricos entre 3 e 48 significa formar uma PG onde o primeiro termo 3, o quinto termo 48 e os trs termos do meio precisam ser determinados.

Para isso, basta obter a razo desta PG.

(3, __, __, __, 48)Tem-se: a1 = 3 e a5 = 48, logo:

48 = 3 . q4 ( q4 = 16 ( q = ( 2.

Logo, as progresses formadas so:

(3, 6, 12, 48) e (3, 6, 12, 24, 48)

ER 18. Verifique se a seqncia an = , forma uma progresso geomtricaDevemos calcular a razo entre an e an-1.

Como a razo dada no constante, ento no se trata de uma PG.3. SOMA DOS TERMOS DA PG FINITASuponhamos uma PG de n termos e razo q:

(a1, a2, a3,...,an)

Calculemos a soma Sn dos seus n termos:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an (I)Multiplicando ambos os membros pela razo q:

Snq = a1q + a2q + a3q + ... +anq

Como a1q = a2, a2q = a3, a3q = a4 e assim sucessivamente, teremos:

Snq = a2 + a3 + a4 + ... + an+1 (II)

Fazendo (II) (I):

Snq Sn = an+1 a1 (observe que os demais termos foram cancelados na subtrao)

Sn (q 1) = a1qn a1

Sn=

ER 19. Calcule a soma das potncias de 5 com expoentes inteiros consecutivos, desde 52 at 526.

Resoluo

As potncias referidas formam a seguinte P.G. (52, 53, 54, ..., 526).

A soma desta PG finita dada por:

S =

4. PRODUTO DOS TERMOS DA PGSuponhamos uma PG de n termos e razo q:

(a1, a1q, a1q2, ..., a1qn-1)

Calculemos o produto destes termos:

Pn = a1.a1q.a1q2.a1q3....a1qnComo h n fatores iguais a a1 e utilizando propriedades das potncias para os produtos das razes termos:Pn =

Observe que o expoente de q apresenta uma PA de primeiro termo igual a um e razo igual a um tambm, possuindo n -1 termos.

A soma 1 + 2 + 3 + ... + (n 1) vale, portanto = . Assim:P =

ER 20. Calcule o produto dos 11 primeiros termos da P.G. (1, (3, 9, ...)

Resoluo

Do enunciado, temos:

a1 = 1; q = (3

A partir da frmula do produto, obtemos:

P = = =

= = 3555. SOMA DOS TERMOS DA PG INFINITAO clculo da soma dos infinitos termos de uma PG requer um cuidado especial, por lidar com conceitos comumente no abordados no ensino mdio.

Iniciaremos com uma anlise do comportamento da expresso quando vamos variando o valor de n dentro do conjunto dos nmeros naturais:

= 0,5; = 0,25; = 0,125

= 0,0625; = 0,03125; = 0,015625

S com esse exemplos, j comeamos a perceber que medida que o expoente n vai aumentando, o valor da expresso vai diminuindo e se tornando cada vez mais prximo de zero.

Calculando para n = 10, por exemplo, temos:

= 0,0009765625

Assim, podemos nos aproximar do valor zero o quanto quisermos, bastando para isso tomar um valor de n suficientemente grande.

Dizemos, matematicamente, que quando n tende para o infinito, a expresso tende para zero. (Tender aqui sinnimo de se aproximar o quanto quisermos)

Feita esta introduo, vamos calcular o valor aproximado da soma dos infinitos termos da PG (a1, a2, a3,...) de razo q, com 1 < q < 1.

Sabemos que a soma dos n primeiros termos da PG dada por:

Sn= = =

Como 1 < q < 1, vimos (atravs do exemplo anterior) que qn tende para zero, na medida em que n tende para o infinito. Assim tambm tender para zero. Portanto, medida que eu aumento o valor de n, Sn tende para .

Simbolicamente, escrevemos que:

=

Observao: o smbolo para infinito

ER 21. Calcular a soma dos termos da P.G. .

Resoluo

Calculando a razo, obtemos.

Como , vlida a frmula da soma dos infinitos termos da PG.

Da decorre:

ER 22. Resolver a equao: 2x+

Resoluo

Trata-se de uma PG, onde a1 = 2x e q = .

Como , vale a frmula da soma dos infinitos termos da PG:

2x + = 381

= 381

3x = 381 ( x =1

6. INTERPRETAO GRFICA DA PGDe maneira semelhante ao que fizemos no caso das progresses aritmticas, podemos traar o grfico

an n no caso das progresses geomtricas.

Exemplo

Supondo a PG (1, 3, 9, 27), temos:

a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9, a4 = 27

Traando o grfico, teramos:

Figura 7 Grfico da PG (1, 3, 9, 27)Esse grfico tem um formato de exponencial, um tipo de funo que ser estudado com detalhes na frente de Funes.

EXERCCIOS DE APLICAO

61. Determine o 10 termo da PG (3, 6, 12,..)

62. Calcule a razo da PG tal que a1 = 4 e a6 = 128.

63. Qual o nmero de termos da PG (512, 256, 128,..., )?

64. Obtenha o primeiro termo da PG tal que a1 + a4 = 28 e a2 + a5 = 84.

65. Insira cinco meios geomtricos entre 1 e 2, nesta ordem.

66. Qual o valor de x para que a seqncia (x 2, 2x 4, x + 4) seja PG?

67. Verifique se ou no uma progresso geomtrica cada uma das seqncias a seguir:

a) an = 4.3n,

b) an = 3n,

68. Determine a soma dos dez primeiros termos da PG (2, -4, 8, -16,....)

69. Calcule o produto dos dez primeiros termos da PG (, , ,...)

70. Qual a soma dos infinitos termos da PG (32, 8, 2, ...)?TREINAMENTO 1 FASE

71. (FATEC) O 10 termo da seqncia (3645, 1215, 405, ...) :

a) 5.3-3

b) 3.5-3

c) (5.3)-3

d) 5-1.33

e) 10935

72. O nmero de termos da P.G. (,, ..., 16) :

a) 9 b) 10c) 11 d) 12

e) 13

73. (AFA) Quanto devemos adicionar a cada um dos nmeros k + 3, k, k 2 para que, nesta ordem, formem uma Progresso Geomtrica?

a) 6 k b) 6 + k c) 1 - 6k d) 1 + 6k

74. O nmero que se deve adicionar a 2, 7 e 17 para que se tornem termos de uma P.G., nesta ordem, :

a) 1 b) 3c) 5d) 7 e) (2

75. (MACK) Numa progresso geomtrica de 50 termos, a soma dos termos de ordem mpar o triplo da soma dos termos de ordem par. Se o primeiro termo 9, o terceiro termo :

a) 1b) 3c) 9 d) 18 e) 27

76. (Unb) Conta uma lenda que o rei de certo pas ficou to impressionado ao conhecer o jogo de xadrez que quis recompensar seu inventor, dando-lhe qualquer coisa que ele pedisse. O inventor, ento, disse ao rei: "D-me simplesmente 1 gro de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 gros pela segunda casa, 4 gros pela terceira, 8 gros pela quarta e assim sucessivamente, at a 64. casa do tabuleiro". O rei considerou o pedido bastante simples e ordenou que fosse cumprido. Supondo que um gro de trigo tem massa igual a 0,05 g e que a produo mundial de trigo em 1997 foi de 560 milhes de toneladas, julgue os itens abaixo.

(1) O nmero de gros de trigo devido ao inventor apenas pela 11 casa do tabuleiro menor que 1.000.

(2) At a 30 casa, seriam devidas ao inventor mais de 50 toneladas de gros.

(3) A quantidade de trigo devida apenas pela 31 casa corresponde quantidade recebida at a 30 casa acrescida de um gro.

(4) Seriam necessrias mais de 1.000 vezes a produo mundial de trigo de 1997 para recompensar o inventor.

77. (AFA-86) Se , ento x igual a :

a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2

78. (UFMG-2004) A populao de uma colnia de bactrias E. Coli dobra a cada 20 minutos. Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1000 bactrias por mililitro. Assim sendo, o tempo do experimento foi de:

a) 3 horas e 40 minutos

b) 3 horas

c) 3 horas e 20 minutos

d) 4 horas

79. (UEL) Na figura abaixo, o lado do quadrado maior mede 1 e os outros quadrados foram construdos de modo que a medida do respectivo lado seja a metade do lado do quadrado anterior.

Figura 8 Quadrados em PGImaginando que a construo continue indefinida-mente, a soma das reas de todos os quadrados ser:

a) 4/3b) 2c) 3/2d) 3e) 15/8

80. (FUVEST 2003) No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que comea na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progresso geomtrica de razo p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos so sempre perpendiculares. Ento, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:

Figura 9 Poligonal com segmentos em PGa)

d)

b)

e)

c)

81. (AFA-90) O produto dos 15 primeiros termos da progresso geomtrica, de primeiro termo 1 e razo 10, vale:

a) 10105 b) 10115 c) 10125 d) 10135

82. (FUVEST) Uma progresso geomtrica tem primeiro termo igual a 1 e razo igual a . Se o produto dos termos dessa progresso 239, ento o nmero de termos igual a:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

83. (FATEC) Se, em uma progresso geomtrica, x o primeiro termo, y o termo de ordem 2n + 1, e z o termo de ordem 3n + 1, ento verdade que

a) z3 = yx2 b) x3 = yz2 c) x3 = zy2

d) y3 = xz2 e) y3 = zx284. A seqncia (a, a + b, 2a, ...) uma P.A. e a seqncia (a, a + b, 2a + 4, ...) uma P.G. O dcimo termo da P.A. :

a) 88 b) 80c) 96 d) 40e) 48

85. (VUNESP) A seqncia de nmeros reais a, b, c, d forma, nessa ordem, uma progresso aritmtica cuja soma dos termos 110; a seqncia de nmeros reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma progresso geomtrica de razo 2. A soma d + f igual a:

a) 96 b) 102 c) 120 d) 132 e) 142

86. (CESGRANRIO) O professor G. Ninho, depois de formar uma progresso aritmtica de 8 termos, comeando pelo nmero 3 e composta apenas de nmeros naturais, notou que o 2, o 4 e o 8 termos formavam, nessa ordem, uma progresso geomtrica. G. Ninho observou ainda que a soma dos termos dessa progresso geomtrica era igual a:

a) 42 b) 36 c) 32 d) 28 e) 24

TREINAMENTO 2 FASE

87. (UFBA) Numa progresso geomtrica, o primeiro termo igual a 7500, e o quarto termo igual a 20% do terceiro. Determine o quinto termo da progresso

88. Seja a1, a2, a3, a4, a5, a6 uma progresso geomtrica de razo r. Se a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 3124, e a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2343 , determinar r e a3

89. (FUVEST-99) Seja (an) uma progresso geomtrica de primeiro termo a1 = 1 e razo q2, onde q um nmero inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progresso geomtrica cuja razo q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso:

a) Determine o primeiro termo b2 em funo de q

b) Existe algum valor de n para o qual an = bn?

c) Que condio n e m devem satisfazer para que an = bm?90. A soma de trs nmeros positivos em progresso aritmtica 30. Se esses nmeros forem aumentados de 1, 4 e 14, respectivamente, os novos nmeros estaro em progresso geomtrica. Achar esses nmeros.

91. (Unicamp) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questo, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questo anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questes, exceto a ltima, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questes, exceto as duas ltimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule:

a) O nmero total de questes da referida prova.

b) O tempo necessrio para que aquele aluno resolva todas as questes da prova.

92. (UFPB-97) Seja an uma progresso geomtrica cuja soma dos n primeiros termos Sn = 3(2)n 3. Determine o quarto termo dessa progresso.

93. (COVEST-99) Na ilustrao abaixo, cada nova etapa obtida conectando-se os pontos mdios de lados adjacentes do quadrado menor obtido na etapa anterior. Se o lado do quadrado maior mede 20 cm, qual o nmero inteiro que melhor aproxima a rea, em cm2, do quadrado menor na quinta etapa.

Figura 10 Descrio da obteno dos quadrados94. (Covest-2000) Suponha que a populao humana ser de 6 bilhes de habitantes no final do ano 2000. Sabendo que a estimativa do crescimento populacional nas prximas dcadas de 1,8% ao ano, calcule o primeiro ano N em que a populao ultrapassa 7 bilhes de habitantes. Indique o resto da diviso de N por 100.

95. Um micrbio, que se encontra na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, desloca-se de uma forma estranha: inicialmente, move-se retilineamente at o ponto (1,0). A seguir, dobra 90 esquerda e caminha a metade do que andou anteriormente, atingindo o ponto. Ento, gira 90 esquerda novamente e, caminhando sempre a metade do que andou anteriormente, atinge o ponto.

Deslocando-se, indefinidamente, dessa maneira, a posio do micrbio tender para o ponto P desse sistema cartesiano. Determine as coordenadas desse ponto.

96. (FGV-96) Um terreno vale hoje A reais e esse valor fica 20% maior a cada ano que passa (em relao ao valor de um ano atrs).

a) Qual o seu valor daqui a n anos? Qual a valorizao sofrida ao longo do ensimo ano expressa em reais?

b) Daqui a quantos anos aproximadamente o valor do terreno triplica?

Nota: no obrigatrio efetuar os clculos, basta deix-los indicados.

97. (FGV-95) A produo brasileira , hoje, de 150 milhes de pessoas. Prev(se que ser de 250 milhes de pessoas daqui a 55 anos, em 2050.

Calcule a taxa anual mdia de crescimento da populao brasileira no perodo mencionado, em percentagem ao ano. Observe que a taxa de crescimento de um ano se aplica sempre populao do ano anterior e que constante durante todo o perodo considerado.

TREINAMENTO IME/ITA

98. (EN-81) O valor de, n ( N, :

a) b) 1. c) d)

e)

99. (EN-90) O limite da soma 1/31 + 2/32 + 1/33 + 2/34 + 1/35 + 2/36 + ... :

a) 1/2 b) 5/8 c) 7/8 d) 8/9e) 1

100. (IME-66) A soma de trs nmeros que formam uma P.A. crescente 36. Determine esses nmeros, sabendo que se somarmos 6 unidades ao ltimo, eles passam a constituir uma P.G.

101. (ITA-71) O produto dos termos da seguinte P.G.: , 3, 3, , 81 :

a)

d)

b)

e) n.d.r.a

c)

102. (ITA-53) Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a metros, consideremos os quadrados Q2, Q3, Q4, ..., Qn tais que os vrtices de cada quadrado sejam os pontos mdios dos lados do quadrado anterior. Calcular, ento, a soma das reas dos quadrados Q1, Q2, Q3, ..., Qn.

103. (ITA-74) Seja a > 0 o 1( termo de uma progresso aritmtica de razo r e tambm uma progresso geomtrica de razo A relao entre a e r para que o 3( termo da progresso geomtrica coincida com a soma dos 3 primeiros termos da progresso aritmtica :

a) r = 3a

d) r =

b) r = 2a

e) nda

c) r = a

104. (ITA-81) Se os trs lados de um tringulo esto em progresso geomtrica, ento a razo desta progresso est compreendida necessariamente entre os valores:

a) e

b) e

c) e

d) e

e) 0 e 1

105. (ITA) Seja (a1, a2, a3, ..., an) uma progresso geomtrica com um nmero mpar de termos e razo q > 0. O produto de seus termos igual a 225 e o termo do meio 25. Se a soma dos (n 1) primeiros termos igual a 2(1+q)(1+q), ento:

a) a1 + q = 16

b) a1 + q = 12

c) a1 + q = 10

d) a1 + q + n = 20

e) a1 + q + n = 11

106. (ITA-85) Seja f: ((( uma funo satisfazendo f(x + (y) = f(x) + (f(y) para todo (, x, y ( (. Se {a1, a2, a3, , an} uma progresso aritmtica de razo d, ento podemos dizer que (f(a1), f(a2), f(a3), , f(a4))

a) uma progresso aritmtica de razo d.

b) uma progresso aritmtica de razo f(d) cujo termo primeiro a1.

c) uma progresso geomtrica de razo f(d).

d) uma progresso aritmtica de razo f(d).

e) Nada se pode afirmar.

107. (IME-66) Entre os nmeros 3 e 192 insere-se igual nmero de meios aritmticos e geomtricos com razes r e q respectivamente. Sabe-se que o terceiro termo do desenvolvimento (1 + 1/q)8 em potncias de 1/q r/9q. Pede-se determinar as progresses.

108. (IME-81) Trs progresses geomtricas tm mesma razo q e primeiros termos diferentes a, b, c. A soma dos n primeiros termos da primeira igual a soma dos 2n primeiros termos da segunda e tambm igual a soma dos 3n primeiros termos da terceira. Mostrar que a relao que liga as razes b/a e c/a, em funo somente de a, b, c .

109. (IME-85) Mostre que os nmeros 12, 20 e 35 no podem ser termos de uma mesma progresso geomtrica.

110. (IME-88) Trs nmeros cuja soma 126, esto em progresso aritmtica e outros trs em progresso geomtrica. Somando os termos correspondentes das duas progresses obtm-se 85, 76 e 84 respectivamente. Encontre os termos destas progresses.

111. (IME-88) Para cada n inteiro, n ( 1, defini-se a equao En por x2 15.22nx + 36.24n = 0.

a) Mostre que a seqncia, cujo k-simo termo a menor raiz da equao Ek, uma progresso geomtrica.

b) Calcule a razo desta progresso.

c) Calcule a soma dos i primeiros termos desta progresso.

112. Provar que se uma P.G. apresenta am = x, an = y e ap = z, ento se verifica a relao:

x(n p).y(p m).z(m n) = 1.

113. Provar que se a, b, c formam nesta ordem uma P.A. e uma P.G., ento a = b = c.

114. Provar que se os nmeros a, b, c, d formam nesta ordem uma P.G. ento vale a relao (b c)2 + (c a)2 + (d b)2 = (a d)2.

115. Provar que em toda PG:

116. Prove que os nmeros 49, 4489, 444889, ... obtidos inserindo 48 no meio do termo anterior so quadrados de nmeros inteiros.

LGEBRABruno Fraga COMPLEMENTO 1

MATEMTICA FINANCEIRA

1. DEFINIES

A operao bsica da matemtica financeira o emprstimo. Algum que dispe de um capital C empresta-o para outra pessoa por certo perodo de tempo e, aps esse perodo, recebe de volta seu dinheiro acrescido de uma remunerao J pelo emprstimo. Essa remunerao chamada de juro. Seria uma espcie de aluguel pago pelo emprstimo do dinheiro.

A soma C + J ser denominada montante, repre-sentada pela letra M. A razo i = , que a taxa de crescimento do capital, ser sempre referida ao perodo da operao e chamada de taxa de juros.

Exemplo

Lcia tomou um emprstimo de R$ 100,00. Dois meses depois, pagou R$ 140,00. Os juros pagos por Lcia foram de R$ 40,00 e a taxa de juros de = 0,40 = 40% ao bimestre. Observe que nesse problema, o capital de R$ 100,00 e o montante, que a dvida na poca do pagamento de R$ 140,00.

O possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprest-lo para algum, deve atentar para os seguintes fatores ao avaliar a taxa de remunerao para os seus recursos:

a) Risco: probabilidade de o tomador do emprstimo no resgatar (devolver) o dinheiro.

b) Despesas: todas as despesas operacionais, con-tratuais e tributrias para a formalizao do emprstimo e efetivao da cobrana;

c) Inflao: ndice de desvalorizao do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do emprstimo;

d) Ganho (lucro): fixado em funo das demais oportunidades de investimentos (custo de oportunidade); justifica-se pela privao, por parte do seu dono, da utilidade do capital.

2. JUROS SIMPLESEm problemas de juros simples considera-se que a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial. So comuns em questes de vestibulares ainda que sejam praticamente inexistentes na vida real. O motivo ser visto mais a frente.

Na resoluo dos problemas a seguir, observe que necessrio to somente a aplicao de algumas regras de trs para obteno das solues.

ER 24. Qual o valor dos juros simples correspondentes a um emprstimo de R$ 100, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobra de 3% ao ms?

Resoluo

No primeiro ms, observamos a seguinte evoluo do capital.

Ou seja, no incio do 2 ms, o valor do montante de R$ 103.

Ao longo de todo o perodo do emprstimo, a taxa de juros (3%) incidir sempre sobre o capital inicial (R$ 100,00), ou seja, o valor do juro mensal ser sempre 3% de 100,00 = R$ 3,00

Assim, teremos na seqncia:

Como os juros em um ms so de R$3,00, ento em 15 meses totalizaro R$ 45,00.

Observe que os montantes parciais esto em uma progresso aritmtica de razo igual a R$ 3,00. Assim, se quisssemos obter o valor do montante final, bastaria aplicar a frmula an = a1 + (n 1)r para a1 = 100, n = 15, r = 3, e calcular o valor de a15.

ER 25. Um capital de R$ 2500,00 aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 500. Determinar a taxa mensal de juros correspondente.

Resoluo

Se em 10 meses, o juro foi de R$ 500,00, ento em 1 ms o juro foi de R$50,00. Como i = , ento:

i = = 0,02 = 2% ao ms.

ER 26. Qual o capital que, taxa de 2,5% ao ms, rende juros de R$ 18000,00 em 3 anos?

Resoluo

Como 3 anos = 36 meses, ento os juros foram de R$ 18000,00 em 36 meses. Isso equivale a um juro de R$ 500,00 por ms. Como i = , ento:

0,025 =

Logo C = R$ 200000,00. A partir dos exemplos anteriores, sendo J os juros simples obtidos por meio do emprstimo de um capital C por um perodo t, a uma taxa i de juros, temos:

No clculo do montante aps o perodo t, observamos que a evoluo do dinheiro no caso dos juros simples se d de maneira linear, e ser modelada por uma progresso aritmtica.

M = C(1+ it)

3. JUROS COMPOSTOSProblemas de matemtica financeira do cotidiano so em sua grande maioria problemas de juros compostos. Nesse caso, conforme natural, os juros no incidem sobre o capital inicial, e sim sobre o valor atual da dvida.

Exemplo

Manuel tomou um emprstimo de R$ 100,00, a juros de 10% ao ms. Aps um ms, a divida de Manuel ser acrescida de 10% de 100 = R$ 10,00, ou seja, ser de R$ 110,00. No segundo ms, se Manuel ainda no tiver efetuado o pagamento, sua dvida ser acrescida de 10% de 110 (valor atual da dvida) = R$ 11,00, ou seja passar a R$110,00 + R$11,00 = R$121,00. Finalmente se a dvida se estender por mais um ms, a dvida ser acrescida de 10% de 121 = R$ 12,10 passando a R$ 133,10

Esquematicamente, teremos:

121

Nesse caso, o montante ao fim de trs meses dado por M = 100.(1+ 0,1)3 = 100.(1,1)3 = R$ 133,10. Mais genericamente, um capital C emprestado por t perodos de tempo ao uma taxa i de juros compostos se transformar em um montante M dado por:

M = C.(1+ i)tPortanto, os valores do capital crescem segundo uma progresso geomtrica de razo (1+ i).ER 27. Um capital de R$ 1000,00 rende R$ 300,00 aps 5 meses. Qual a taxa de juro composto da operao financeira?

Resoluo

Se J = R$ 300,00 ento

M = 1000 + 300 = R$ 1300,00

Como M = C(1 + i)t, ento:

(1+i)5 = (1+i)5 = 1,3

1+i =

1,0539

Logo: i 0,0539 = 5,39% ao msEsse exerccio mostra como, na maioria das vezes, ao resolver um problema de juros compostos, recamos em contas difceis de serem feitas sem calculadoras. Esse , possivelmente, um dos motivos que leva a quase inexistncia de problemas como esse em provas de vestibulares.

Nos casos a seguir, ser til a seguinte consi-derao:

A partir da frmula M = C(1+i)t,visualizamos que uma quantia, hoje igual a C (presente), ser transformada em M aps t perodos de tempo (futuro). Ou seja, se quisermos calcular o valor futuro M de uma quantia C, basta calcularmos M(1+i)t, onde t o tempo corrido da operao e i sua taxa de juros. Por outro lado, a partir do valor futuro M, obtemos o valor atual C pela diviso de M por (1+i)t.

Observe algumas aplicaes importantes dessa idia a seguir.

ER 28. Pedro tomou um emprstimo de 300 reais, a juros de 15% ao ms. Dois meses aps, Pedro pagou 150 reais e, um ms aps esse pagamento, Pedro liquidou seu dbito. Qual o valor desse ltimo pagamento?

Resoluo

Observe os dois esquemas de pagamento abaixo. No primeiro deles a dvida quitada no momento em que contrada. O outro representa a opo escolhida por Pedro. Dizemos que esses dois esquemas so equivalentes.

Isso quer dizer que, para o dono do dinheiro, 300 reais na data 0 tm o mesmo valor que 150 reais dois meses depois, mais P reais no terceiro ms.

Figura 11 ER 28: Pagamentos equivalentesPensando em termos da data presente (data 0):

- No primeiro pagamento o valor do dinheiro hoje de R$ 300,00.

- No segundo pagamento precisamos calcular o valor atual dos R$ 150,00 e dos P reais. Como vimos antes, isso pode ser feito por:

C = e C =

Assim:

300 = +

P = R$ 283,76Esse problema resume, por assim dizer, todos os problemas de matemtica financeira da vida real.

ER 29. Suponhamos que, por meio de aplicaes, o seu dinheiro rende em mdia 25% ao ms. Ao entrar em uma loja, voc se depara com trs opes de pagamento para a compra de um vesturio:

I) vista, com 30% de desconto

II) Em duas prestaes mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um ms aps a compra

III) Em trs prestaes mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.

Resoluo

Trata-se de um exerccio de grande importncia na vida real. Como escolher adequadamente entre essas trs propostas? A escolha ao acaso, pode trazer srios prejuzos para a pessoa. Alm disso, preciso saber como incluir na sua operao, o valor que o dinheiro tem pra voc (dado pelo rendimento mensal que ele possui).

Fixemos o preo do bem em R$ 30,00. Os esquemas de pagamento esto esquematizados abaixo:

Figura 12 ER 29. Pagamentos equivalentesNo perodo 0, os valores do dinheiro para Pedro seriam os seguintes, em cada uma das opes:

Opo 1 R$ 21,00

Opo 2 Como o rendimento do dinheiro de Pedro de 25%, ento R$ 15,00 daqui a ms valem = R$ 12,00 hoje, e R$ 15 daqui a dois meses valem R$ 9,60 hoje. Ou seja, nessa segunda opo o valor atual do dinheiro que ele gastar nas duas parcelas dado por R$ 21,60.

Opo 3 O valor atual do dinheiro gasto no pagamento dessas trs parcelas dado por 10 + + = R$ 24,40.

Assim sendo, observamos que a opo em que ele est gastando menos dinheiro a primeira, enquanto a que ele est gastando mais dinheiro a ltima.3. COMPARAES ENTRE OS JUROSEncerrada a discusso preliminar de juros simples e compostos, faremos uma breve comparao entre os dois, considerando alguns poucos quesitos.

Importncia

O vestibulando que estuda pensando exclusivamente nas provas que ir fazer, concluir, sem muito pensar, que os juros simples so mais importantes para ele, que os compostos. De fato, conforme comentado anteriormente, os juros simples so muito mais comuns em provas do que os compostos.

Por outro lado, aquele que se preocupa em tomar decises conscientemente em sua vida cotidiana, precisar cedo ou tarde aprender algo sobre juros compostos, uma vez que a forma como o mercado lida com operaes financeiras.

Clculo

Por meios dos exemplos dados, ficou claro que os clculos realizados na resoluo de problemas de juros simples so muito mais rpidos e fceis de serem feitos que os de juros compostos. Essa uma das explicaes para o fato destes ltimos serem to raros em provas de vestibular. Porm, preciso se atentar que, como alguns vestibulares comeam a admitir o uso de calculadoras, a freqncia de questes de juros compostos tende a aumentar.

Taxas equivalentes

Em juros simples, uma taxa mensal de 10% equivalente a uma taxa anual de 120%. Ou seja, a equivalncia obtida por regra de trs. No caso de juros compostos, diferente. Rendimentos mensais de 10% geram (1+0,1)12 de juros anuais.

Logo se I a taxa anual ento:

1 + I = (1,1)12Rendimento

Comparando-se a frmula de obteno do montante no caso de juros simples, M = C + e no caso de juros compostos, M = C(1+i)t, podemos traar os grficos equivalentes a cada um deles em um plano carte-siano. Um esboo deste grfico segue abaixo:

Figura 13 Grfico comparativo dos juros simples e compostosO grfico tem o seguinte significado: se a taxa de juros em questo mensal, ento em operaes que durem menos de uma unidade de tempo (no caso, um ms), o montante por juros simples maior que por juros compostos. A partir da, o montante por juros compostos ser sempre maior que o de juros simples. Por esse motivo, as operaes financeiras na vida real so sempre de juros compostos, a menos que o prazo combinado para o pagamento do emprstimo seja inferior uma unidade do tempo em questo.

EXERCCIOS117. Calcule a que taxa mensal um capital de R$ 600,00 produziu juros simples de R$ 720,00 em 2 anos?

a) 5%b) 8%c) 9% d) 2%e) 15%

118. Qual o juro simples produzido por um capital de R$ 50.000,00, taxa de 2% ao ms, durante 1 ano?

a) R$ 10.000,00

d) R$ 15.000,00

b) R$ 11.000,00

e) R$ 8.000,00

c) R$ 12.000,00

119. (Unicap-94) Determine a taxa anual para que um capital de CR$ 9.000.000,00 (nove milhes de cruzeiros reais) renda, em 5 meses, juros de CR$ 450.000,00 (quatrocentos e cinqenta mil cruzeiros reais).

120. Cr$ 15.000,00 foram empregados taxa de 10% ao ano e Cr$ 18.000,00 foram empregados taxa de 5% ao ano. No fim de quantos anos os montantes sero iguais?

a) 2 anos

d) 5 anos

b) 3 anos

e) 6 anos

c) 4 anos

121. Um comerciante, ao atender um cliente, sabia com antecedncia que este iria pedir um desconto de 20% no preo da mercadoria. Como no era possvel o desconto e para no deixar de atender o cliente, o comerciante raciocinou do seguinte modo: - Fornecerei o preo aumentado de 20% do seu valor e, em seguida, darei o desconto que o cliente deseja.

O comerciante, desta maneira, vendeu a mercadoria:

a) pelo valor inicial

b) 4 % mais caro que o valor inicial

c) com um desconto de 2 % de seu valor inicial.

d) com um desconto de 24 % de seu valor inicial

e) com um desconto de 4 % de seu valor inicial.

122. (Unicamp) Uma pessoa investiu R$ 3000,00 em aes. No primeiro ms ela perdeu 40 % do total investido e no segundo ela recuperou 30% do que havia perdido.

a) Com quantos reais ela ficou aps os dois meses?

b) Qual foi seu prejuzo aps os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimento inicial?

123. (FGV) No Brasil, quem ganha um salrio mensal menor ou igual a R$ 900,00 est isento do pagamento de imposto de renda (IR). Quem ganha um salrio mensal acima de R$ 900,00 at R$1800,00 paga um IR igual a 15% da parte de seu salrio que excede R$ 900,00; quem ganha um salrio mensal acima de R$ 1800,00 paga um IR igual a R$ 135,00 (correspondente a 15% da parte do salrio entre R$ 900,00 e R$ 1800,00) mais 27,5% da parte do salrio que excede R$ 1800,00.

a) Qual o IR pago por uma pessoa que recebe um salrio mensal de R$1 400,00?

b) Uma pessoa pagou um IR de R$ 465,00 em um determinado ms. Qual o seu salrio nesse ms?

124. (UFMG-04) Um capital de R$ 30000,00 foi dividido em duas aplicaes: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros anuais; a outra aplicao, de risco, pagou uma taxa de 12% anuais. Ao trmino de um ano, observou-se que os lucros obtidos em ambas as aplicaes foram iguais. Assim sendo, a diferena dos capitais aplicados foi de:

a) R$ 8000,00

b) R$ 4000,00

c) R$ 6000,00

d) R$ 10000,00

125. (EN-87) Aes de certa companhia valorizam-se 10% ao ms durante cinco meses consecutivos. Quem investiu nessas aes obteve, durante esses cinco meses, um lucro aproximadamente igual a:

a) 40% b) 50% c) 55% d) 60% e) 70%

126. Uma loja oferece duas formas de pagamento a seus clientes: 10% de desconto sobre o preo anunciado se o pagamento for vista, ou o preo anunciado, dividido em duas parcelas iguais: a primeira no ato da compra e a segunda no trigsimo dia aps a compra.

A taxa mensal de juros efetivamente cobrada, no pagamento parcelado, de:

a) 10% b) 15% c) 25% d) 30% e) 50%

127. Imagine uma pessoa que comumente investe seu dinheiro em uma caderneta de poupana, cujos rendimentos so de 5% ao ms. Para essa pessoa, qual seria a melhor entre as duas opes:

a) Receber hoje R$ 100.000,00

b) Receber daqui a seis anos R$ 140.000,00

128. (FGV-97) Um terreno vendido atravs de um plano de pagamentos mensais onde o primeiro pagamento de R$ 500,00 feito um ms aps a compra, o segundo de R$ 550,00 feito 2 meses aps a compra, o terceiro de R$ 600,00 feito 3 meses aps a compra e assim por diante (isto , cada pagamento mensal igual ao anterior acrescido de R$ 50,00).

a) Qual o total pago por um cliente que comprou o imvel em 20 pagamentos?

b) Se o cliente tivesse pagado um total de

R$ 86250,00, qual teria sido o nmero de pagamentos?

129. (FGV-99) Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores pagando uma entrada de R$ 200,00 mais uma parcela de R$ 450,00 dois meses aps a compra. Sabendo-se que o preo vista do aparelho de R$ 600,00:

a) Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

b) Aps quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$ 450,00 para que a taxa de juros simples do financiamento fosse de 2,5% ao ms?

130. (FGV-97)

Chama-se preo justo de uma ao (P) a uma taxa de retorno de 10% ao ano expresso:

P =

onde:

D1 o dividendo esperado daqui a 1 ano

D2 o dividendo esperado daqui a 2 anos

...................................................................

Dn o dividendo esperado daqui a n anos

a) Qual o preo justo se os dividendos esperados forem todos iguais entre si e iguais a R$ 5,00?

b) Qual o preo justo se D1 = 5 e em cada ano o dividendo esperado for 7% superior ao dividendo esperado do ano anterior?

131. (FGV-00)

a) O saldo devedor de um emprstimo de uma empresa A junto a um banco hoje R$ 200 000,00. Este saldo diminui R$ 2500,00 por ms.

Qual o saldo devedor daqui a t meses?

b) Uma empresa B tem hoje um saldo devedor de R$ 300 000,00 e uma outra empresa C tem hoje um saldo devedor de R$ 250 000,00. O saldo devedor de B diminui R$ 6 000,00 por ms e o de C diminui R$ 2500,00 por ms. A partir de quantos meses (contados de hoje) o saldo devedor de B ficar menor que o de C?

132. (FGV-00) O salrio lquido do Sr. Ernesto R$ 3000,00 por ms. Todo ms ele poupa 10% de seu salrio lquido e aplica essa poupana num fundo que rende juros compostos taxa de 2% ao ms.

a) Qual seu saldo no fundo, no dia que fez o 2 depsito?

b) Quantos depsitos dever fazer para ter um saldo de R$ 7289,00, no dia do ltimo depsito?

(indique apenas o resultado; no preciso fazer os clculos)

133. (FGV-96) Um vendedor recebe mensalmente um salrio fixo de R$ 800,00 mais uma comisso de 5% sobre as vendas do ms.

Em geral, cada duas horas e meia de trabalho, ele vende o equivalente a R$ 500,00.

a) Qual seu salrio mensal em funo do nmero x de horas trabalhadas por ms?

b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por ms, o que prefervel: um aumento de 20% no salrio fixo, ou um aumento de 20% (de 5% para 6%) na taxa de comisso?

134. (UFMG-99) Um consumidor adquiriu deter-minado produto em um plano de pagamento de 12 parcelas mensais iguais de R$ 462,00, a uma taxa de juros de 5% ao ms. Ele pagou as 10 primeiras prestaes no dia exato do vencimento de cada uma delas. Na data do vencimento da 11 prestao, o consumidor decidiu quitar a ltima tambm, para liquidar sua dvida. Ele exigiu, ento, que a ltima prestao fosse recalculada, para a retirada dos juros correspondentes ao ms antecipado, no que foi atendido.

Depois de recalculado, o valor da ltima prestao passou a ser de:

a) R$ 438,90

b) R$ 441,10

c) R$ 440,00

d) R$ 444,00

135. (UFMG-98) Um televisor estava anunciado por R$ 500,00 para pagamento vista ou em trs prestaes mensais de R$ 185,00 cada; a primeira delas a ser paga um ms aps a compra.

Paulo, ao invs de pagar vista, resolveu depositar, no dia da compra, os R$ 500,00 numa caderneta de poupana, que lhe renderia 2% ao ms, nos prximos trs meses. Desse modo, ele esperava liquidar a dvida, fazendo retiradas de R$ 185,00 daquela caderneta nas datas de vencimento de cada prestao.

Mostre que a opo de Paulo no foi boa, calculando quanto a mais ele teve de desembolsar para pagar a ltima prestao.

136. (Unesp) O preo de tabela de um determinado produto R$1000,00. O produto tem um desconto de 10% para pagamento vista e um desconto de 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindo que o valor a ser desembolsado no pagamento vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicao de 30 dias, com um rendimento de 3%, determine:

a) quanto o comprador teria ao final da aplicao;

b) qual a opo mais vantajosa para o comprador, pagar vista ou aplicar o dinheiro e pagar em 30 dias (justifique matematicamente sua resposta).

137. (Unicamp) Um vendedor prope a um comprador de um determinado as seguintes alternativas de pagamento:

a) pagamento vista com 65% de desconto sobre o preo de tabela;

b) pagamento em 30 dias com desconto de 55% sobre o preo de tabela.

Qual das duas alternativas mais vantajosa para o comprador, considerando-se que ele consegue, com uma aplicao de 30 dias, um rendimento de 25% ?

138. Pedro tem trs opes de pagamento na compra de vesturio.

a) vista, com 3% de desconto.

b) Em duas prestaes mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um ms aps a compra.

c) Em trs prestaes mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.

Qual a melhor opo para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 2,5% ao ms?


PA DE ORDEM SUPERIOR

1. DEFINIES

Vamos inicialmente definir o operador diferena, simbolizado por. Sendo uma seqncia numrica (an) qualquer, definimos.

PA de 1 Ordem

Quando as diferenas entre os termos consecutivos de uma seqncia numrica forem constantes, ento tal seqncia uma Progresso Aritmtica de 1 ordem, ou apenas Progresso Aritmtica.

Exemplo

(1, 4, 7, 10)

a1 = 1; a2 = 4, a3 = 7; a4 = 10

Efetuando-se as diferenas:

= a2 a1 = 4 1 = 3

= a3 a2 = 7 4 = 3

= a4 a3 = 10 7 = 3Anteriormente chamamos de razo essa diferena constante entre um termo e o seu antecedente. Esse foi o objeto de estudo do captulo 2 desta apostila.

PA de 2 Ordem

Quando as diferenas entre os termos consecutivos de uma seqncia numrica formam uma PA no estacionria, ento tal seqncia denominada Progresso Aritmtica de 2 ordem.

Exemplo

(1, 4, 9, 16, 25)

a1 = 1; a2 = 4; a3 = 9; a4 = 16; a5 = 25

= a2 a1 = 4 1 = 3

= a3 a2 = 9 4 = 5

= a4 a3 = 16 9 = 7

= a5 a4 = 25 16 = 9Observe agora que as quatro diferenas calculadas no so constantes, e formam a PA (3, 5, 7, 9). Portanto a seqncia original (1, 4, 9, 16, 25) uma Progresso Aritmtica de 2 ordem

PA de Ordem k

Se as diferenas entre os termos consecutivos de uma seqncia numrica formarem uma PA de ordem k 1, ento tal seqncia denominada Progresso Aritmtica de ordem k.

Exemplo

(1, 3, 19, 61, 141)

a1 = 1; a2 = 3; a3 = 19; a4 = 61; a5 = 141

= a2 a1 = 3 1 = 2

= a3 a2 = 19 3 = 16

= a4 a3 = 61 19 = 42

= a5 a4 = 141 61 = 80Observe que as quatro diferenas calculadas formam a seqncia (2, 16, 42, 80). Para esta seqncia temos:

= a2 a1 = 16 2 = 14

= a3 a2 = 42 16 = 26

= a4 a3 = 80 42 = 38Agora as trs diferenas formam a seqncia (14, 26, 38). No difcil verificar que se trata de uma progresso aritmtica de 1 ordem de razo 12.

Assim, constatamos o seguinte:

I) A seqncia (2, 16, 42, 80) uma PA de 2 ordem porque as diferenas entre seus termos consecutivos formam a seqncia (14, 26, 38) que uma PA de 1 ordemII) A seqncia original (1, 3, 19, 61, 141) uma PA de 3 ordem porque as diferenas entre seus termos consecutivos formam a seqncia (2, 16, 42, 80) que, como vimos, uma PA de 2 ordem.

ER 30. Verifique se a seqncia (3, 58, 15, 32, 68) aritmtica e obtenha a sua ordem.Resoluo

preciso calcular as diferenas entre os termos consecutivos da seqncia dada. Se os resultados formarem uma PA no estacionria, ser uma PA de 2 ordem. Se no for, prossegue-se at que isso eventualmente ocorra.

O processo est descrito abaixo:

Figura 14 Clculo das diferenasComo foram preciso trs passos at obtermos a PA no estacionria (3, 6 ,9), trata-se uma PA de 4 ordem

2. TERMO GERAL

Assumiremos, sem demonstrao, a validade do seguinte teorema:

Os termos gerais da PA de ordem superior so polinmios em n, de grau igual sua ordem:

PA de 3 ordem ( an = an2 + bn + c

PA de 4 ordem ( an = an3 + bn2 + cn + d

...

PA de k ordem ( an = ank + bnk 1 + ... + pn + q.

ER 31. Determine o 40 termo da seqncia 2, 5, 11, 20. 32, ...

Formemos as diferenas entre os termos consecutivos:

2 5 11 20 32 ..

3 6 9 12 .... (PA no estacionria).

Logo, a seqncia dada uma PA de 2 ordem e seu termo geral da forma an = an2 + bn + c.

Para determinar as constantes a, b, e c faamos n = 1, n = 2 e n = 3. Teremos:

Portanto, se o termo geral da seqncia dada :

O 40 termo ser:

ER 32. Achar o termo geral da seqncia (1, 3, 11, 31, 69, ....)

Resoluo

Iniciaremos novamente pelo clculo das diferenas do termos consecutivos:

1 3 11 31 69 ....

2 8 20 38 ....

6 12 18 .... (PA no estacionria).

A seqncia dada , ento, uma PA de 3 ordem e seu termo geral da forma

an = an3 + bn2 + cn + d.

n = 1 ( a + b + c + d = 1

n = 2 ( 8a + 4b + 2c + d = 3

n = 3 ( 27a + 9b + 3c + d = 11

n = 4 ( 64a + 16b + 4c + d = 31

Resolvendo o sistema composto por essas quatro equaes, encontraremos:

a = 1, b = 3, c = 4 e d = 1.

Logo, an = n3 3n2 + 4n 1.

EXERCCIOS139. Uma seqncia de nmeros reais dita uma progresso aritmtica de segunda ordem quando a seqncia formada pelas diferenas entre termos consecutivos for uma progresso aritmtica. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progresso aritmtica de segunda ordem.

a) (0, 5, 12, 21, 23)

b) (6, 8, 15, 27, 44)

c) (-3, 0, 4, 5, 8)

d) (7, 3, 2, 0, -1)

e) (2, 4, 8, 20, 30)

140. (MACK) Na seqncia numrica ( 4 , 7 , a3 , a4 , a5 , ...) , sabe-se que as diferenas bn = an+1 an , n 1 , formam uma progresso aritmtica de razo 2. Ento a15 igual a:

a) 172

b) 186

c) 200

d) 214

e) 228

141. A seqncia de nmeros: 1, 4, 10, 19, ... satisfazem a condio de que a diferena de dois termos subseqentes formam uma progresso aritmtica. Encontre o n-simo termo e a soma dos n primeiros termos dessa seqncia.

142. Os nmeros 1, 3, 6, 10, 15,... so chamados de nmeros triangulares, nomenclatura esta justificada pela seqncia de tringulos.

Figura 15 Nmeros Triangularesa) Determinar uma expresso algbrica para o n-simo nmero triangular;

b) Provar que o quadrado de todo nmero inteiro maior que 1 a soma de dois nmeros triangulares consecutivos.

143. Na questo anterior, vimos o que so os nmeros triangulares. Alm deles, existem tambm os nmeros tetraedrais que so a seqncia (1, 4, 10, 20, 35,...). Qual seria o centsimo nmero tetraedral?


OUTRAS SEQNCIAS NUMRICAS

1. PROGRESSO MISTA

Progresso mista ou progresso aritmtico-geomtrica (PAG) qualquer seqncia do tipo:

[a1, (a1+ r).q, (a1 + 2r).q2, (a1 + 3r).q3, ..., (a1 + (n - 1).r).qn-1]

Exemplo

(1, 2x, 3x2, 4x3, ... , nxn-1)

Um exerccio interessante o clculo da soma dos termos acima. Para efetu-la, basta multiplicar a soma pelo oposto da razo e somar o resultado obtido soma j existente. Essa questo aparecer como exerccio na lista subseqente.

2. PROGRESSO HARMNICA

Se os termos de uma seqncia esto em P.A., ento os seus inversos formaro uma seqncia chamada de Progresso Harmnica (PH).

P.A.(a1, a2, a3, a4, ...) PH =

Exemplos

a) (2, 4, 6, 8, 10) uma P.A., logo (1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10) forma uma P.H.

b) No caso de uma progresso harmnica de trs termos a, b e c, teremos:

P.H: (a, b, c)PA

EMBED Equation.3

EMBED Equation.DSMT4 (o termo mdio da PA a mdia aritmtica dos extremos)

Logo:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.DSMT4 Assim, numa progresso harmnica de trs termos, o termo mdio a mdia harmnica dos extremos.

3. SEQNCIA DE FIBONACCI

Em 1202 Leonardo de Pisa, tambm conhecido por Fibonacci, formulou o seguinte problema:

A partir de um casal de coelhos recm-nascidos, quantos casais de coelhos existiro aps 12 meses, supondo-se que: nenhum coelho morre, todo casal de coelhos tem um primeiro casal de filhotes com dois meses de idade e, aps ter o primeiro casal de filhotes, gera um novo casal todo ms.

Figura 16 Crescimento do nmero de coelhos no tempoExpandindo essa figura para os meses seguintes, no se torna difcil constatar que o nmero de casais de coelhos a cada ms dado pela seqncia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Indicando por Fn o nmero de casais de coelhos no ensimo ms, vale a seguinte frmula de recorrncia:

EMBED Equation.DSMT4 Se observarmos a razo entre um termo e o anterior, na seqncia de Fibonacci, obteremos os seguintes resultados:

; ; ; ; ;

; ;

Continuando a calcular, verificaremos que essa razo tende a ficar em torno de um mesmo nmero. Tal nmero, conhecido como (phi) vale:

Para verificao, basta supor que, como a razo entre um termo e seu anterior aproximadamente constante, a seqncia de Fibonacci tem um comportamento semelhante ao de uma PG.

Supondo a1 = 1 e uma razo q para essa PG de Fibonacci e sabendo que an = an-1 + an-2 teramos:

an-2q2 = an-2q + an-2, ou seja:

q2 = q + 1, cuja raiz positiva :

Essa constante aparece, curiosamente, em vrios outros lugares aparentemente desconexos com a seqncia de Fibonacci.

Segmento ureo

Dado um segmento AB qualquer, sempre possvel obter um D entre suas extremidades de tal modo que:

O segmento AD assim determinado o que denominamos de segmento ureo.

O tringulo abaixo foi obtido atravs do corte de cada segmento na chamada razo urea.

A riqueza esttica desta diviso tal que comum encontr-la em diversas situaes: obras de arte, arquitetura, ou at mesmo na natureza:

a) O animal abaixo chamado de Nautilus. As propores de seu caracol seguem as razes ureas, como pode ser verificado na figura abaixo.

Figura 17 Nautilus (Razo urea na natureza)No Parthenon Grego, o formato geral da construo de um retngulo ureo.

Figura 18 Parthenon GregoNa figura a seguir, as diversas dimenses esto relacionados entre si de maneira constante igual a 0,618 (inverso do)

Figura 19 (Razo urea nas artes)A seqncia de Fibonacci tem sido objeto de continuada ateno na literatura matemtica. Ainda hoje existe uma revista intitulada The Fibonacci Quarterly que trata de problemas que, de uma forma ou de outra, esto relacionados com esses nmeros de Fibonacci.

EXERCCIOS144. (MACK.-79) Sendo S = 1 + 2x + 3x2 + ...

(0 < x < 1), pode-se afirmar que:

a) S =

d) S =

b) S =

e) S =

c) S =

145. (ITA-77) Sendo Sk = 1 + 2x + 3x2 + ... +

+ (k + 1)xk, onde x > 1 e k um inteiro maior que 2, ento, se n um inteiro maior que 2,

a)

b)

c)

d)

e) nenhuma das respostas anteriores.

146. (UNIFOR) Chama-se progresso harmnica uma seqncia de nmeros tais que seus inversos constituem uma progresso aritmtica. Assim sendo, se os trs primeiros termos de uma progresso harmnica so 8, 5 e, o seu sexto termo

a) 4b)

c) 3d)

e) 2

147. Se os termos de ordem p, q, r de uma P.H. so a, b, c, respectivamente, demonstre que:

(q ( r)bc + (r ( p)ac + (p ( q)ab = 0

148. (Unesp 2002) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamferos. Considere uma colnia de coelhos que se inicia com um nico casal de coelhos adultos e denote por an o nmero de casais adultos desta colnia ao final de n meses. Se a0 =1, a1 =1 e, para n 2, an = an-1 + an-2, o nmero de casais de coelhos adultos na colnia ao final do quinto ms ser

a) 13 b) 8c) 6 d) 5

e) 4

149. (Unicamp) Considere uma progresso geomtrica de termos no-nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, igual soma dos dois termos imediatamente anteriores.

a) Calcule os dois valores possveis para a razo q dessa pr

Apostila 1-PA e PG Corrigido

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