Inversão de Matrizes e DeterminantesCapitulo 2

2.1 Matriz inversa Todo número real não nulo, possui um inverso ( multiplicativo ), ou seja existe um número tal que Este número é único e o denotamos por

Apesar da álgebra matricial ser semelhante á álgebra dos

números reais, nem todas as matriz não nulas possuem inversa, ou seja, nem sempre

existe uma matriz tal que = . De início para que os produtos estejam

definidos e sejam iguais é preciso que as matrizes sejam quadradas. Portanto, somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que já diferencia do caso dos números reais, pois todo número não nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas não possuem inversa, apesar do conjunto das que não tem inversa ser bem menor do que o conjunto das que tem.

Definição 2.1. Uma matriz quadrada. é invertível ou não singular, se existe

uma matriz tal que

(2.1)em que é a matriz identidade. A matriz é chamada de inversa de . Se não tem

inversa, dizemos que é não invertível ou singular.

Exemplo 2.1. Considere as matrizes

e .

A Matriz é inversa da matriz , depois = =

Teorema 2.1. Se uma matriz possui inversa, então a inversa é única

Demonstração. Suponhamos que e sejam inversas de . Então,

e assim.

Denotamos a inversa de uma matriz de , quando ela existe, por . Devemos chamar atenção para o fato de que o índice superior -1, aqui não significa uma potência, tampouco uma divisão. Assim como no caso da transposta, em que significa a transposta de e aqui,

significa a inversa de

2.1.1.Propriedade da Inversa Teorema 2.2 Se é invertível, então também o é e = ;

Se e são matrizes invertíveis, então é invertível e

Se é invertível, então também é invertivel e

1

Demonstração. Se queremos mostrar que uma matriz é a inversa de uma outra, temos que mostrar que os produtos das duas matrizes são iguais á matriz identidade.

Uma matriz é inversa de se

Mas, como é a inversa de então

Como a inversa é única então é a inversa de , ou seja,

Temos que mostrar que a inversa de é , ou seja, mostrar que os produtos

e são iguais á matriz identidade. Mas pelas propriedades

e do Teorema 1.1 na página 4 da Apostila 1:

Queremos mostrar que a inversa de é Pela Propriedade do Teorema 1.1 na

página 4 da Apostila 1:

O teorema seguinte, cuja será demonstração será omitida no momento , garante que basta verificarmos uma das duas igualdade em ( 2.1) para sabermos se uma matriz é inversa de outra .Teorema 2.3. Sejam e matrizes

Se , então ;

Se , então :

Assim, para verificar que uma matriz é invertível, quando temos uma matriz que é candidata a inversa de , basta fazer um dos produtos ou e verificar se um deles é

iguais a .O próximo exemplo ilustra este fato.

Exemplo 2.2. Seja uma matriz tal que

ATENÇÃO: ( pode não ser a matriz nula !).

Vamos mostrar que a inversa de é . Para provar isto, devemos multiplicar a

matriz pela matriz que possivelmente seja a inversa dela, aqui , e verificar se

o produto das é igual a matriz identidade .

Aqui

foram usadas as propriedades e do Teorema 1.1 na página 4 da Apostila 1.

2.1.2 Matrizes Elementares e Inversão ( opcional ) As matrizes elementares têm um papel importante no estudo da inversão de matrizes e da solução de sistemas lineares.

Proposição 2.4. Toda Mariz elementar é invertível e sua inversa é também uma matriz elementar. Assim, temos:

Para

Demonstração. Seja uma matriz elementar. Esta matriz é obtida de aplicando-se uma

operação elementar. Seja a matriz elementar correspondente a operação que transforma

2

de volta em . Agora pelo Teorema 1.8 na página 22 da Apostila 1, temos que

. Portanto, é a inversa de .

Teorema 2.5. Seja uma matriz As seguintes afirmações são equivalentes:

Existe uma matriz tal que

A matriz é equivalente por linhas á matriz identidade .

A matriz é invertivel.

Demonstração. Se então o sistema tem somente a solução trivial,

pois Isto implica que a matriz é equivalente por linhas á matriz

identidade , pois caso contrário a forma escalonada reduzida de teria uma linha nula (Proposição 1.5 na página 18 da Apostila 1.)

A matriz ser equivalente por linhas á significa, pelo Teorema 1.8 na página 22

da Apostila 1, que existem matrizes elementares tais que

(2.2)

(2.3)

Aqui, usamos o fato de que as matrizes elementares são invertíveis (Proposição 2.4). Portanto, é invertível como produto de matrizes invertíveis.

Claramente.

Se é invertível, então multiplicando-se ambos membros de (2.2) á direita por obtemos

Assim, a mesma seqüência de operações elementares que transforma a matriz na matriz

identidade transforma também em A demonstração do Teorema 2.3, agora é uma simples conseqüência do Teorema anterior.

Demonstração do Teorema 2.3. Vamos mostrar que se então é invertível e

Se , então pelo Teorema 2.5, é invertível e

Logo,

Se então pelo item anterior é invertível e . Portanto .

Segue da demonstração, do Teorema 2.5 (equação (2.3)) o resultado seguinte.

Teorema 2.6. Uma matriz é invertível se, e somente se, ela é produto de matrizes elementares.

Exemplo 2.3. Vamos escrever a matriz do exemplo 2.5 na página __ como o produto de matrizes elementares. Quando encontramos a inversa da matriz , aplicamos uma seqüência

de operações elementares em até que encontramos a matriz Como as

operações são por linha, esta mesma seqüência de operações elementares transforma em

Isto corresponde a multiplicar a matriz

à esquerda pelas matrizes elementares

3

, ,

, ,

, , ,

Ou seja,

Multiplicando à esquerda pelas inversas das matrizes elementares correspondentes obtemos

2.1.3 Método para Inversão de matrizes

O exemplo seguinte mostra, 2 , não somente uma forma de descobrir se uma matriz tem inversa mas também, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou seja, escalonamos a matriz e encontramos a sua forma escalonada reduzida .

Se então a matriz é invertível e a inversa

Caso contrário, a matriz não é invertível.

Exemplo 2.4. Seja . Devemos procurar uma matriz tal que =

Ou seja,

Este sistema pode ser desacoplado em dois sistemas independente que possuem a mesma matriz, que é a matriz . Podemos resolvê-los simultaneamente. Para isto basta escalonarmos a matriz aumentada

Os dois sistemas têm solução única se, e somente se, a forma escalonada reduzida da matriz

for da forma (verifique, observando o que acontece se

4

a forma escalonada reduzida da matriz não for igual a Neste caso, e

ou seja, a matriz possuirá inversa, .

Teorema 2.7. Uma matriz é invertível se, é equivalente por linhas `a matriz

identidade .

Demonstração. Pelo Teorema 2.3.na página 2, para verificarmos ser uma matriz é invertível, basta verificarmos se existe uma matiz , tal que

. (2.4)

Vamos denotar as colunas de por ou seja,, em que

, ,

e as colunas da matriz identidade por ou seja , = em que

, , .

Assim, a equação (2.4) pode ser escrita como , pois a

-ésima coluna do produto é igual a vezes a -ésima coluna

da matriz . Analisando coluna a coluna a equação anterior vemos que encontrar B é

equivalente a resolver sistemas lineares para Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o método de Gauss-Jordan. Para isso,

formaríamos as matrizes aumentadas Entretanto, como as

matrizes dos sistemas são todas iguais à , podemos resolver todos os sistemas

simultaneamente formando a matriz

Transformando na sua forma escalonada reduzida, que vamos denotar por ,

vamos chegar a duas situações possíveis: ou a matriz R é a matriz identidade, ou não é.

Se , então a forma escalonada reduzida da matriz é da forma . Se

escrevemos a matriz em termos das suas colunas , então as

soluções dos sistemas são e assim é tal que e pelo

Teorema 2.3 , é invertível.

Se , então a matriz não é equivalente por linhas à identidade . Então, pela proposição 1.5 a matriz R tem uma linha nula. O que implica que cada um dos sistemas ou não tem solução única ou não tem solução. Isto implica que a

matriz não tem inversa, pois as colunas da (única) inversa seriam , para

Observação. Da demonstração do teorema 2.7 obtemos não somente uma forma de descobrir se uma matriz tem inversa mas também, como encontrar a inversa, no caso em que ela

5

exista. Ou seja, escalonamos a matriz e encontramos a sua forma escalonada reduzida

. Se , então a matriz é invertível e a inversa Caso contrário, a matriz

não é invertível. Vejamos os exemplos seguintes.

Exemplo 2.5. Vamos encontrar, se existir, a inversa de

1ª Eliminação:

2ª Eliminação:

3ª Eliminação

.

Assim, a matriz é equivalente por linhas à matriz acima, que é da forma ,

portanto a matriz é invertível e sua inversa é a matriz , ou seja,

.

Exemplo 2.6. Vamos determinar se existir, a inversa da matriz

6

.

Para isso devemos escalonar a matriz aumentada

1ª Eliminação:

2ª Eliminação:

Assim, a matriz é que equivalente por linhas á matriz acima, que é forma , com

Assim, a matriz não é equivalente por linhas á matriz identidade e portanto não é invertível.

Se um linear tem o número de equação iguais ao número de incógnitas, então o

conhecimento da inversa da matriz do sistema , reduz o problema de resolver o sistema a simplesmente fazer um produto de matrizes, como está enunciado no próximo teorema.

Teorema 2.8. Seja uma matriz n .

O sistema associado tem solução única se, e somente se, é invertivel. Nesse

caso a solução é

O sistema homogêneo tem não trivial se, e somente se, é singular (não invertivel ).

Demonstração. Se a matriz é invertivel, então multiplicando por por à esquerda em ambos os membros os obtemos

7

Aqui foram usadas as propriedades e do teorema 1.1. Portanto, é a única

solução do sistema Por outro lado, se o sistema possui solução única,

então a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema é da forma ,

em que . Pois a matriz é quadrada e caso fosse diferente da identidade possuirá

uma linha de zeros (Proposição 1.5) o que levaria a que o sistema ou não tivesse solução ou tivesse infinitas soluções. Logo a matriz é equivalente por linhas à matriz identidade o que pelo teorema 2.7 implica que é invertível.

Todo sistema homogêneo possui pelo menos a solução trivial. Pelo item anterior, estar será

a única solução se, e somente se, for invertível.

Vamos ver no próximo exemplo que se conhecemos a inversa de uma matriz, então a produção de uma indústria em vários períodos pode ser obtida apenas multiplicamos-se a inversa por matrizes colunas que contentam a arrecadação e as quantidades dos insumos utilizados em casa período.

Exemplo 2.7. Uma indústria produz três produtos, utilizamos dois tipos de insumo, e .Para a manufatura de cada kg de são utilizadas 1 grama do insumo e 2 gramas

do insumo para cada kg de 1 grama de insumo e 1 grama de insumo e, para cada kg de 1 grama de e 4 grama de . O preço de venda do kg de cada um dos produtos

é de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Como vimos no Exemplo 1.6, usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma:

No exemplo 2.5 determinamos a inversa da matriz

que é

Sabendo- se a inversa da matriz podemos saber a produção da indústria sempre que soubermos quando foi gasto do insumo ; do insumo e a arrecadação.

Se em um período com a venda de toda a produção de manufaturada com 1 kg

de e 2 Kg de , essa indústria arrecadou R$ 2500,00, então para determinar quantos kg de

cada um dos produtos foram vendidos simplesmente multiplicamos pela matriz

8

Ou seja,

Portanto, foram produzidos 700 kg do produto , 200 kg de e 100 Kg de

Se em outro período com a venda de toda a produção de manufaturada

com 1 kg de e 2,1 kg de essa indústria arrecadou R$ 29000,00, então para determinar quantos kg de cada um dos produtos foram vendidos simplesmente multiplicamos

pela matriz

ou seja,

= =

Portanto, foram produzidos 500 kg do produto 300 kg e 200 kg de

Vamos mostrar a recíproca do item do teorema 2.2. Este resultado será útil na demonstração de que determinante do produto de matrizes é o produto de matrizes é o produto dos determinantes.

Proposição 2.9 Se são matrizes com invertível, então e são invertíveis Demonstração. Considere o sistema . Se não fosse invertível, então

existiria tal que (Teorema 2.8) . Multiplicando-se por , teríamos o que novamente pelo Teorema 2.8, contradiz o fato de ser invertível.

Portanto, é invertível. Agora, se e são invertíveis, então também é invertível, pois

= que é o produto de duas matrizes invertíveis.

2.1.4 Aplicação: Interpolação Polinomial

Sejam número distintos. Considere o problema

de encontrar um polinômio de grau

Que interpola os dados no sentido que de que

Por exemplo, se os pontos são

então o problema consiste em encontrar um polinômio de grau 3 que interpola os pontos dados .

Vamos mostrar que existe, um e somente um polinômio de grau no máximo igual a que interpola pontos, com abscissas distintas.

9 30

20 100 -10 -20-30

Substituindo os pontos no polinômio obtemos um sistema linear em que

, e

A Matriz é chamada matriz de Vandermonde Vamos mostrar que tem somente uma solução. Pelo teorema 2.8 na página 8, um sistema de equações e incógnitas tem solução única se, e somente se, o sistema

homogêneo associado, , tem somente a solução trivial. é solução do

sistema homogêneo se, e somente se, o polinômio de grau

se anula em pontos distintos. O que implica que o polinômio é o polinômio com todos

os seus coeficiente iguais a zero. Portanto, o sistema homogêneo tem somente a solução trivial. Isto prova que existe, um e somente um polinômio de grau no máximo igual a

que interpola pontos, com abscissas distintas.

Assim a solução do sistema linear é .Como a matriz dependente apenas das

abscissas dos pontos, tendo calculado a matriz podendo determinar rapidamente os polinômios que interpolam vários conjuntos de pontos, desde que os pontos de todos os conjuntos tenham as mesmas abscissas dos pontos do conjunto inicial.

2.1.5 Aplicação: Criptografia

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-2 -1 0 1 2 3 4 5

Vamos transformar uma mensagem em uma matriz da seguinte forma. Vamos quebrar a mensagem em pedaços de tamanho 3 e cada pedaço será convertido em uma matriz coluna usado a tabela 2.1 de conversão entre caracteres e números.

Considere a seguinte mensagem criptografada 1 (2.5) Quebrando a mensagem criptografada em pedaços de tamanho 3 e convertendo cada pedaço para uma coluna de números usando a tabela 2.1 obtemos a matriz

=

Sabendo-se que estar mensagem foi criptografada fazendo o produto da mensagem inicial pela matriz

=

Então será a mensagem convertida para números, ou seja;

=

Convertemos para texto usando novamente a tabela 2.1 obtemos que a mensagem que foi criptografada é Tudo bem? (2.6)

Exercícios Núméricos

2.1.1 Seja uma matriz Suponha que é solução do sistema

homogêneo A matriz é singular ou não? Justifique.

2.1.2. Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:

,

, ,

11

2.1.3 Encontre todos os valores de para os quais a matriz tem

inversa.

2.1.4 Se E = , encontre

2.1.5. Resolva o sistema = se e

2.1.6. Seja e, como mostraremos adiante que

e são tais que , determine para

2.1.7.( Relativo á Subseção 2.1.2) Encontre matrizes elementares tais que

para

.

2.2 Determinantes

Vamos inicialmente definir o determinantes de matrizes . Para cada matriz

definimos o determinante de , indicado por Vamos, agora definir o

determinante de matrizes e a partir daí definir para matrizes de ordem maior. Cada matriz associamos um número real, denominado determinante de por:

Det

Para definir o determinante de matrizes quadradas maiores, precisamos definir o que são os

menores de uma matriz. Dada uma matriz o menor do elemento denotado

por é a submatriz de obtida eliminado-se a -ésima linha e a -ésima

coluna de que tem o seguinte aspecto:

j

12

Exemplo 2.8. Para uma matriz =

= =

Agora, vamos definir os cofatores de uma matriz quadrada O cofator do

elemento denotando por é definido por

Ou seja, o cofator do elemento é igual a mais ou menos o determinante do menor

sendo o mais e o menos determinados pela seguinte disposição:

Exemplo 2.9. Para uma matriz =

= =

Vamos, agora, definir o determinante de uma matriz Se

, então, o determinante de é á soma dos produtos dos elementos da 1ª, linha pelos seus cofatores.

Da mesma forma que a partir do determinante de matrizes definimos o determinante de matrizes podemos definir o determinante de matriz quadradas de ordem maior.

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Supondo que sabemos como calcular o determinante de matrizes vamos

definir o determinante de matriz .

Vamos definir , agora os cofatores de uma matriz quadrada O cofator do

elemento denotado por definimos por

Ou seja, o cofator do elemento é igual a mais ou menos o determinante do menor sendo O mais e o menos determinados pela seguinte disposição

Definição 2.2 Seja O determinante de , denotado por det , é definido

por

det = (2.7)

em que é o cofator do elemento . A expressão (2.7) é chamada

desenvolvimento em cofatores do determinante de em termos da primeira linha .

Exemplo 2.10. Seja

.

Desenvolvendo-se o determinante de em cofatores, obtemos

det = .

Mas o det também pode ser calculado usado cofatores,

det =

= det

= det

=

=

14

Portanto

Exemplo 2.11. Usando a definição de determinante, vamos mostrar que o determinante de uma matriz triangular inferior ( isto é, os elementos situados acima da diagonal principal são iguais azero ) é o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos mostrar inicialmente para matriz Seja

Desenvolvendo-se o determinante de em cofatores obtemos

det =

Vamos supor termos provado que para qualquer matriz triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então vamos provar que isto também vale para matrizes Seja

Desenvolvendo-se determinante de em cofatores, obtemos

det

Pois o determinante acima é de uma matriz triangular inferior. Em particular,

para a matriz identidade, det

2.2.1 Propriedades do Determinante

Vamos provar uma propriedade importante do determinante . Para isso vamos escrever a

matriz em termos das suas linhas

15

em que é a linha da matriz , ou seja, = . Se a linha é escrita

na forma em que são matrizes linha , então o determinante pode ser decomposto como mostra o resultado seguinte.

Teorema 1.10. Seja escrita em termos das linhas denotadas por , ou seja;

. Se para algum a linha em que

e são escalares , então:

det =

Aqui, =

Demonstração. Vamos provar aqui somente para (Para será demonstrado

oportunamente.) Se em que e são

escalares, então:

det = =

= +

Exemplo 2.12. O cálculo do determinante da matriz a seguir pode ser feito da seguinte forma:

det = 2 det + det =3

Pela definição de determinante, o determinante deve ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores segundo a 1ª linha. O próximo resultado, que não vamos provar

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neste momento, afirma que o determinante pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna .

Teorema 2.11. Seja uma matriz O determinante de pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna.

det = para (2.8)

= para (2.9)

em que é o cofator do elemento . A expressão (2.8) é chamada

desenvolvimento em cofatores do determinante de em termos da - ésima linha e (2.9) é chamada desenvolvimento em cofatores do determinante de em termos da -ésima coluna.

Temos a seguinte conseqüência deste resultado. Corolário 2.12. Seja uma matriz . Se possui duas linhas iguais, então det =0 .

Demonstração. O resultado é claramente verdadeiro para matrizes 2 .Supondo que o

resultado seja verdadeiro para matrizes , vamos provar que ele é verdadeiro

para matrizes . Suponhamos que as linhas e sejam iguais, para Desenvolvendo o determinante de em termos de uma linha obtemos

det

Mas, cada é uma matriz com duas linhas iguais. Como estamos supondo

que o resultado seja verdadeiro para estas matrizes, então det

Isto implica que det

No próximo resultado mostramos como varia o determinante de uma matriz quando aplicamos operações elementares sobre sua linha.

Teorema 2.13. Sejam matrizes

Se é obtida de multiplicando-se um escalar então det =

Se resulta de pela troca da posição então

Se é obtida de substituindo a linha por ela somada a um múltiplo escalar de uma

linha , então det

Demonstração. Segue diretamente do teorema 2.10.

Sejam

e .

17

Agora, pelo Teorema 2.10 e o Corolário 2.12 , temos que

0 =det = det + det +det + det

= 0 + det + det +0.

Portanto, det

Novamente, pelo teorema 2.10, temos que

det = det + = det

Exemplo 2.13. Vamos calcular determinante da matriz

Usando operações elementares para transformá-la numa matriz triangular superior e aplicando o Teorema 2.13.

det

= det

= det

= det

=

Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar o determinante de nova matriz é igual a multiplicado pelo determinante da matriz antiga. Mas o que estamos

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calculando aqui é o determinante da matriz antiga, por isso ele é igual a multiplicando pelo determinante da matriz nova.

Para se calcular o determinante de uma matriz pela expansão em cofatores, precisamos

fazer produtos e calcular determinantes de matrizes , que por sua vez vai

precisar de produtos e assim por diante. Portanto, ao todo são necessários da ordem de produtos. Para se calcular o determinante de uma matriz , é necessário se realizar

produtos. Os computadores pessoais realizam da ordem de produtos por

segundo. Portanto, um computador pessoal precisaria de cerca de segundos ou

anos para calcular o determinante de uma matriz usando a expansão em cofatores. Entretanto usando o método apresentado no exemplo anterior para o cálculo do determinante, é necessário apenas da ordem de produtos. Ou seja, para calcular o determinante de uma

matriz usando o método apresentado no exemplo anterior um computador pessoal um computador pessoal gasta muito menos de um segundo. A seguir estabelecemos duas propriedades do determinante que serão demonstradas somente mais à frente.

Teorema 2.14. Sejam matrizes

O determinante do produto de por é igual ao produto dos seus determinantes

det

Os determinantes de e de sua transposta são iguais,

det

Observação. Como o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta ( teorema 2.14(b) ), segue-se que todas as propriedades que se referem a linha são válidas com relação ás colunas.

Exemplo 2.14 Seja Vamos mostrar que se é invertível, então

det

Como aplicando-se o determinante a ambos os membros desta igualdade e usado

o teorema 2.14. Obtemos

det

Mas, det ( Exemplo 2.11 , a matriz identidade também é triangular inferior !).

Logo, det

Exemplo 2.15. Se uma matriz quadrada é tal que , então vamos mostrar que

det . Aplicando-se o determinante a ambos os membros da igualdade acima, e usando novamente o Teorema 2.14 e o resultado do exemplo anterior, obtemos

Logo, (det . Portanto, det

O resultado seguinte caracteriza em termos do determinante as matrizes invertíveis e os sistemas lineares homogêneos que possuem solução não trivial.

Teorema 2.15. Seja uma matriz .

19

A matriz é invertivel se, e somente se, det

O sistema homogêneo tem solução não trivial se, somente se,

det

Demonstração. Seja a forma escalonada reduzida da matriz . A demonstração deste item segue-se de três observações:

Pelo teorema 2.13, det se, o somente se, det .

Pela proposição 1.5, ou ou a matriz R tem uma linha nula. Assim,

se, e somente se,

Pelo Teorema 2.7, se, e somente se, é invertível

(b) Pelo Teorema 2.8, o sistema homogêneo tem solução não trivial se, e somente se, a matriz não é invertível. E, pelo item anterior, a matriz é não invertível se, e

somente se,

Exemplo 2.16. Considere a matriz

(a) Determinar os valores de tais que exista que satisfaça .

(b) Para cada um dos valores de encontrados no item anterior determinar todos os

tais que

Solução: (a) Como a matriz identidade é o elemento neutro do produto, então

Subtraindo-se obtemos

Agora, este sistema homogêneo tem solução não trivial se, e somente se,

Mas se, e somente se, ou .

Assim, somente para existem vetores

(b) Para

que tem solução o conjunto dos

, para todos os valores de

20

Para

que tem solução o conjunto

dos para todos os valores de

Exemplo 2.17 A matriz é invertível se, e somente se, .

Neste caso a inversa de é dada por , como pode ser verificado

multiplicando-se a candidata a inversa pela matriz .Observe que este exemplo fornece uma regra para se encontrar a inversa de uma matriz : troca-se a posição dos elementos da diagonal principal, troca-se o sinal dos outros elementos e divide-se todos os elementos pelo determinante de .

Exemplo 2.18 Considere o sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas

A matriz deste sistema é . Se , então a solução do sistema é

Ou seja,

Esta é a chamada Regra de Cramer para sistema de 2 equações e 2 incógnitas. A Regra de Cramer para sistemas de n equações e n incógnitas será apresentada adiante.

2.2.2. Matrizes Elementares e o Determinante

Relembramos que uma matriz elementar é uma matriz que se obtém aplicando-se uma operação elementar na matriz identidade. Assim, aplicando-se o Teorema 2.13, obtemos o resultado seguinte.Proposição 2.16 a) Se é a matriz elementar obtida trocando-se as linhas da matriz

identidade, então .

b) Se é a matriz elementar obtida da matriz identidade, multiplicando-

se a linha , então

c) Se é a matriz elementar obtida da matriz identidade, somando-se à

linha vezes a linha , então

Lembramos também que uma matriz é invertível se, e somente se, ela é o produto de matrizes elementares(Teorema 2.6). Além disso, o resultado da aplicação de uma operação elementar

21

de uma matriz é o mesmo que multiplicar a matriz à esquerda pela matriz elementar correspondente.

Usando matrizes elementares podemos provar o Teorema 2.14.

Demonstração do Teorema 2.14a) Queremos provar que . Vamos dividir a demonstração deste

item em três casos:Caso 1: Se é uma matriz elementar. Este caso segue-se diretamente da proposição anterior e do Teorema 2.13.

Caso 2: Se é invertível, então pelo Teorema 2.6 , ela é o produto de matrizes

elementares, . Aplicando-se o caso anterior sucessivas vezes, obtemos

Caso 3: Se é singular, pela Proposição 2.9, também é singular. Logo,

b) Queremos provar que . Vamos dividir a demonstração deste item em

dois casosCaso 1: Se é uma matriz invertível, pelo Teorema 2.6, ela é o produto de matrizes

elementares, . É fácil ver que se é uma matriz elementar, então

(verifique). Assim,

Caso 2: Se não é invertível, então também não o é, pois caso contrário, pelo

Teorema 2.2, também seria invertível. Assim, neste caso,

2.2.3. Matriz Adjunta e Inversão

Vamos definir a adjunta de uma matriz quadrada e em seguida enunciar e provar um teorema sobre a adjunta que permite provar vários resultados sobre matrizes, entre eles um que fornece uma fórmula para a inversa de uma matriz e também a Regra de Cramer. Tanto a adjunta quanto os resultados que vem a seguir são de importância teórica.Definição 2.3 Seja uma matriz . Definimos a matriz adjunta(clássica) de , denotada

por , como a transposta da matriz formada pelos cofatores de , ou seja,

em que é o

cofator do elemento .

22

Exemplo 2.19 Seja . Vamos calcular a adjunta de .

,

,

,

,

e, assim, a adjunta de é

Na definição do determinante são multiplicados os elementos de uma linha pelos cofatores da mesma linha. O teorema seguinte diz o que acontece se somamos os produtos dos elementos de uma linha com os cofatores de outra linha ou se somamos os produtos dos elementos de uma coluna com os cofatores de outra coluna.

Lema 2.17 Se é uma matriz , então

em que, é o cofator do elemento

Demonstração. Para demonstrar a equação 2.10 , definimos a matriz como sendo a matriz obtida de substituindo a linha de por sua linha, ou seja,

Assim, possui duas linhas iguais e pelo Corolário 2.12 , . Mas, o determinante

de desenvolvido segundo sua linha é exatamente a equação 2.10A demonstração de 2.11 é feita de forma análoga, mas usando o item (d) do Teorema 2.13, ou

seja, que .

Teorema 2.18 Se é uma matriz , então

Demonstração. O produto da matriz pela matriz adjunta de é dada por

23

O elemento da posição é

Pelo Lema 2.17, equação (2.10) e do Teorema 2.11, segue-se que

Assim, .

Analogamente, usando Lema 2.17, equação (2.11), se prova que .

Exemplo 2.20 Vamos mostrar que se uma matriz é singular,

então também é singular. Vamos separar em dois casos:

a) Se , então também é a matriz nula, que é singular.

b) Se , então pelo Teorema 2.18, . Mas, então, se fosse

invertível, então seria igual à matriz nula(por que?), que estamos assumindo não

ser este o caso. Portanto, tem que ser singular.

Corolário 2.19. Seja uma matriz . Se , então

Demonstração. Se , então definindo , pelo Teorema 2.18

temos que

Aqui, usamos a propriedade (j) do Teorema 1.1. Portanto, é invertível e B é a inversa de .

Exemplo 2.21. No exemplo 2.17 mostramos como obter rapidamente a inversa de uma matriz .

Usando o Corolário 2.19 podemos também obter a inversa de uma matriz ,

Ou seja, a inversa de uma matriz é facilmente obtida trocando-se a posição dos elementos da diagonal principal, trocando-se o sinal dos outros elementos e dividindo todos os elementos pelo determinante de .

Exemplo 2.22 Vamos calcular a inversa da matriz

24

A sua adjunta foi calculada no exemplo 2.19. Assim,

Corolário 2.20(Regra de Cramer). Se o sistema linear é tal que a matriz e invertível, então a solução do sistema é dada por

, em que é a matriz que se

obtem de , substituindo-se a sua coluna por , para

Demonstração. Como A é invertível, pelo Corolário 2.19,

A entrada é dada por em que é a matriz

que se obtém de substituindo-se a sua coluna por

foi calculado fazendo o desenvolvimento em cofatores em relação a coluna de .

Se a matriz não é invertível, então a Regra de Crames não pode ser aplicada.

Pode ocorrer que , para e o sistema não tenha

solução(verifique). A Regra de Cramer tem um valor teórico, por fornecer uma fórmula para a solução de um sistema linear, quando a matriz do sistema é quadrada e invertível.Existem sistemas equações e incógnitas, com , em que

e o sistema não tem solução. Por exemplo o sistema

é tal que mas ele não

tem solução(verifique!).

Exercícios Numéricos2.2.1. Se , encontre (a) (b) (c) (d)

2.2.2. Se A e B são matrizes n x n tais que det(A) = -2 e det(B) = 3, calcule .

2.2.3. Seja tal que . Calcule o determinante das matrizes a seguir:

(a) (b)

2.2.4. Calcule o determinante das matrizes a seguir:

(a) (b)

2.2.5. calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.

25

(a) (b)

2.2.6. Determine todos os valores de para os quais , em que

(a) (b)

(c) (d)

2.2.7. Determine os valores de tais que existe que satisfaz

(a) (b) (c) (d)

2.2.8.. Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de encontrados, encontre a

solução geral do sistema , ou equivalente, do sistema homogêneo

Demonstração do Teorema 2.10 para k >1.Deixamos como exercício para o leitor a verificação de que para matrizes 2 x 2 o resultado é verdadeiro. Supondo que o resultado seja verdadeiro para matrizes (n - 1) x (n - 1), vamos provar para matrizes n x n .

Sejam , e

Suponha que k = 2, ..., n. As matrizes só diferem na (k – 1) ésima linha

(lembre=se que a primeira linha é retirada!). Além disso, a ( k – 1) ésima linha de é igual

a vezes a linha correspondente de vezes a linha correspondente de (esta

é a relação que vale para a k-ésima linha de ). Como estamos supondo o resultado

verdadeiro para matrizes (n – 1) x ( n – 1 ), então Assim,

26

pois ,para

Lema 2.21. Sejam Se é uma matriz n x

n , cuja i-ésima linha é igual a ,para algum , então

Demonstração.É fácil ver que para matrizes 2 x 2 o lema é verdadeiro. Suponha que ele seja verdadeiro para matrizes (n – 1) x (n – 1) e vamos provar que ele é verdadeiro para matrizes n x n.Podemos supor que

Seja a matriz (n – 2) x (n – 2) obtida de eliminando-se as linhas e as colunas

, para

Para , a matriz éuma matriz (n – 1) x (n – 1) cuja linha é igual a .

Para , a matriz é uma matriz (n – 1) x (n – 1) cuja linha é igual a .

Como estamos supondo o lema verdadeiro para estas matrizes e como pelo Teorema 2.10 se

uma matriz tem uma linha nula o seu determinante é igual a zero, então , segue-

se que

(2.12)

Usando (2.12), obtemos

Por outro lado, temos que

É simples a verificação de que as duas expressões acima são iguais.

Demonstração do Teorema 2.11Pelo Teorema 2.14 basta provarmos o resultado para o desenvolvimento em termos das linhas

de . Sejam Observe que a linha

de pode ser escrita como Seja a matriz obtida de substituindo-se

a linha por Pelo Teorema 2.10 e o Lema 2.21 segue-se que

2.3 Matrizes Particionadas em Blocos

2.3.1. Operações Matriciais em Blocos As matrizes podem ser subdivididas em blocos, por exemplo a matriz

27

Pode ser dividida em quatro submatrizes,

.

Dependendo das subdivisões feitas, as matrizes podem ser operadas em termos dos seus blocos. Com relação à soma, duas matrizes podem ser somadas por blocos se os blocos correspondentes nas matrizes forem do mesmo tamanho, ou seja, se os blocos correspondentes podem ser somados. Seja uma matriz e

uma matriz .Podemos particionar em blocos e expressar o produto em termos de submatrizes de

. Considere os seguintes casos:Caso 1:

Se , em que é uma matriz e é uma matriz , então

.

Caso 2:

Se , em que é uma matriz e é uma matriz , então

Caso 3.

Se , em que é uma matriz e é uma matriz e , em

que é uma matriz e é uma matriz , então

Portanto,

Caso 4:Sejam as matrizes particionadas em blocos comomsegue:

,

t p-t s n-sSejam

.

Segue do Caso 3 que .

Agora, segue-se dos Casos 1 e 2 , que

28

Portanto,

.

Observe que para que seja possível fazer o produto por blocos é necessário que o número de colunas dos blocos da primeira matriz seja igual ao número de linhas dos blocos correspondentes da segunda matriz. O que fizemos acima pode ser generalizado para um número qualquer de blocos. Se os blocos possuem os tamanhos adequados, a multiplicação por blocos pode ser feita da mesma forma como é feita a multiplicação usual de matrizes.

Exemplo 2.23. Sejam .

Usando o particionamento das matrizes em blocos é mais simples fazer o produto .

2.3.2 Inversa de Matrizes em Blocos

Proposição 2.3.2 Sejam matrizes p x p e (n – p) x (n – p), respectivamente.

A matriz é invertível se, e somente se, são invertíveis. No caso em

que M é invertível, então (2.13)

Demonstração. Se são invertíveis é fácil verificar que a matriz dada em (2.13) é a

inversa de . Reciprocamente, suponha que é invertível. Seja .

Vamos particionar a matriz da mesma maneira que , ou seja, .

Como , então .

E segue-se que, e assim, é invertível. Além disso, e

portanto é invertível.

2.3.2. Determinante de Matrizes em BlocoProposição 2.23. Sejam matrizes p x p , p x (n – p) e (n – p) x (n – p),

respectivamente. Seja . Então, .

29

Demonstração. O resultado é claramente verdadeiro para n=4. Supondo que o resultado seja verdadeiro para matrizes (n – 1) x (n – 1), Vamos provar para matrizes n x n. Expandindo o

determinante em termos da primeira coluna da matriz , obtemos

Como estamos supondo o resultado verdadeiro para matrizes (n – 1) x (n – 1) , então

Exercícios Numéricos

2.3.1. Sejam

Realize os seguintes produtos em blocos:

(a) (b) (c)

(d)

Teste do Capítulo1. Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para

transformá- la em uma matriz triangular superior.

2. Se possível, encontre a inversa da seguinte matriz

3. Encontre todos os valores de para os quais a matriz 4IA tem inversa, em que

4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:

(a) Se , então

(b) Se é não singular, então determinante de .

(c) Se , então

(d)

30