Apostila 2011

FACULDADE DE ENGENHARIA

ARQUITETURA E TECNOLOGIA

NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A DISCIPLINA DE CÁLCULO III

Prof ª. Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido

Marília - SP 1º Semestre de 2011

Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011

Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTON, H. Cálculo – um novo horizonte. V. 1. 6 ª ed. Bookman: Porto Alegre. 2.000.

EDWARDS JR., C.H. & PENNEY, D.E. Cálculo com geometria analítica. V. 1 e 2. 4ª ed. Prentice Hall: Rio de Janeiro. 1997.

FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo A. 5ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1992. FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo B. 2ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1999.

GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 1. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.



LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. Harbra: São Paulo. 1986.

P I S K U N O V , N . C á l c u l o d i f e r e n c i a l e i n t e g r a l . V . 1 e 2 . 6 ª e d . M I R : M o s c o u . 1 9 7 7 .

SWOKOWSKI. Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. McGraw-Hill: São Paulo. 1984. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

- Aplicações da Integral Definida Cálculo da área em coordenadas cartesianas Cálculo de comprimento de arco Cálculo da área de um sólido de revolução Cálculo do volume de um sólido de revolução Coordenadas polares: gráficos Cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares Cálculo de áreas planas em coordenadas polares - Funções de várias variáveis Definição Representação geométrica de uma função de duas variáveis Derivadas parciais da função de várias variáveis Interpretação geométrica da função de várias variáveis Derivação da função composta. Derivada total Derivada parcial de ordem superior - Integrais múltiplas Integral dupla Cálculo da integral dupla Cálculo de áreas e volumes utilizando integrais duplas Integral dupla em coordenadas polares Substituição de variáveis em uma integral dupla Integral tripla Cálculo da integral tripla Mudança de variáveis em uma integral tripla



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1. Aplicações da Integral Definida

Estudamos a integral definida e analisamos uma importante aplicação que é o cálculo de Área de regiões planas. Agora, outras aplicações da integral definida serão discutidas. 1.1 Comprimento de arco em coordenadas cartesianas

Seja f uma função suave (f e sua derivada f ’ são contínuas) em [a,b]. O comprimento de arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por:

b

a

2dxx'f1L

Obs: Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = g(y) em vez de y = f(x). Neste

caso, o comprimento do arco da curva de A(g(c),c) até B(g(d),d) é dado por:

d

c

2dyy'g1L



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Exercícios 1) Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8]. (Resp. L 9,0734 u.c.)

2) Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4). (Resp. L 7,6 u.c.)

3) Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x -2 do ponto onde x = 1 ao ponto x = 2. (Resp. L = 33/16 u.c)

1.2 Comprimento de arco uma curva plana dada por suas Equações Paramétricas Vamos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma paramétrica pelas equações.

10 t,tt),t(yy

)t(xx

onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas contínuas e x’(t) 0 para todo 10 t,tt

Neste caso, conforme vimos, estas equações definem uma função y = f(x), cuja

derivada é dada por .)t('x

)t('y

dx

dy)x('f Segue então, através de uma substituição, que:

1

0

t

t

2b

a

2dt)t('x

)t('x

t'y1dxx'f1L ,

onde t0 = a e t1 = b. Portanto,

1

0

t

t

22dtt'y)t('xL .

Exercícios

1) Ache o comprimento de arco da curva paramétrica x = t³/3 e y = t²/2 no intervalo [0,1].

(Resp. L = (2.2 – 1)/3 0,61 u.c.)

2) Calcular o comprimento de arco da hipociclóide x = 2.sen³t e y = 2.cos³t. (Resp. L = 12 u.c.)



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1.3 Área de uma região plana

Vamos calcular área de uma região plana, sendo que as curvas que delimitam a região são dadas na forma paramétrica. Conforme vimos anteriormente, a área é dada por:

b

a

b

a

dxydx)x(fA .

Fazendo a substituição x = x(t) e dx = x’ (t) dt, obtemos:

1

0

t

t

dt)t('x).t(yA .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios 1) Determine a área da região compreendida entre a curva paramétrica x = t³, y = 2t² + 1,

- 1 t 1 e o eixo x. (Resp. A = 22/5 u.a.)

2) Calcular a área entre as elipses

senty

tcos.2xe

sent4y

tcos.2x. (Resp. A = 6 u.a.)

1.4 Volume de um Sólido de Revolução

Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado eixo de revolução. Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone.



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Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y, obtemos um cilindro.

Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região plana R.

Seja f contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por:

b

a

2dxxf.V . (*)

A fórmula (*) pode ser generalizada para outras situações:



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I – A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b.

Supondo f(x) g(x), x [a,b], o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em

torno do eixo dos x, é dado por:

b

a

22dxxgxf.V .

II – Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y.

Neste caso, temos:

d

c

2dyyg.V .

III – A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos:

b

a

2dxLxf.V .



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Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos:

d

c

2dyMyg.V .

Exercícios

1) A região R, limitada pela curva y = 2x

4

1, o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno

do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. (Resp. V = 1023 /80 u.v.)

Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.



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2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada

pela parábola y = 2x134

1 e pela reta y = )5x(

2

1 .(Resp. V = 64 /5 u. v.)


3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o

gráfico da função y = senx e o eixo dos x, de 2

e até

2

3. (Resp. V = ² u.v.)


4) A região R, delimitada pela parábola x = 1y2

1 2 e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em

torno da reta x = -1. Desenhe e determinar o volume do sólido de revolução obtido. (Resp. V = 448 /15 u.v.)

1.5 Área de uma Superfície de Revolução

Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície de revolução. Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S, obtida quando uma curva C, de equação y = f (x), x [a,b], gira em torno do eixo dos x (ver Figura a

seguir).



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Definição: Seja C uma curva de equação y = f (x), onde f e f ’ são funções contínuas em [a,b] e

f (x) 0, x [a,b]. A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C

ao redor do eixo dos x, é definida por

b

a

2dxx'f1).x(f.2A .

OBS: Se a curva girar em torno do eixo dos y, a área será dada por:

d

c

2dyy'g1).y(g.2A

Exercícios

1) Ache a área do parabolóide, obtido pela revolução do arco de parábola y = x², 0 x 2, em

torno do eixo do x. (Resp. A = 13 / 3 u.a.)

2) Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0 x 9, em torno do

eixo do y. (Resp. A 258,8468 u.a.)

1.6 Coordenadas Polares

No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares.



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O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r,), onde r representa a

distância entre a origem e o ponto P, e representa a medida, em radianos do ângulo

orientado AÔP. OBS: (i) > 0 o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário.

(ii) < 0 o ângulo AÔP está descrito no sentido horário.

(iii) (0, ), , representa o pólo ou origem.

As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma

grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semi-retas partindo de O:



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Exercício Marque o ponto tendo o conjunto dado de coordenadas polares:

(a)

3

2,3 (b)

6

5,4 (c)

4

5,4 (d)

3

4,2

1.6.1 Conversão de coordenadas polares

y

x Ás vezes pode ser necessário converter a representação cartesiana para a polar; ou vice-versa. Para visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do

segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual 2

com o eixo

positivo y. Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, ), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante.

Observemos que:

1) r > 0 cos = r

x

h

ca e sen =

r

y

h

co

(*)sen.ry

cos.rx

2) r < 0 cos = r

x

r

x

h

ca

e sen =

r

y

r

y

h

co

(x,y) : coordenadas cartesianas

(r,) : coordenadas polares



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Elevando (*) ao quadrado e somando ambos temos:

x² + y² = r².cos² + r².sen² = r².(cos² + sen²) = r².

r = 22 yx .

OBS : tg = y / x = arct (y/x).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios 1) Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes pontos cujas

coordenadas polares são dadas:

(a) (4, 6

1) (b) (2,

4

3) (c) (- 4,

3

2) (d) (- 2,

4

7 )

Resp. (23, 2) Resp. (-1,-1) Resp. (2, -23) Resp. (- 2, 22)

2) Encontre um conjunto de coordenadas polares para cada um dos seguintes pontos cujas

coordenadas cartesianas retangulares são dadas. Tome r > 0 e 0 < 2.

(a) (1, - 1) (b) (- 3, 1) (c) (2,2) (d) (- 2,- 23 )

Resp. (2, 315º) Resp. (2, 150º) Resp. (22, 45º) Resp. (4, 240º)

3) Marque o ponto (2, 2

1) tendo o conjunto dado de coordenadas polares; depois encontre

outro conjunto de coordenadas polares para o mesmo ponto, tal que: (a) r < 0 e 0 < 2 (b) r > 0 e - 2 < 0 (c) r < 0 e - 2 < 0

Resp. (-2, 2

3) Resp. (2,

2

3) Resp. (-2,

2

1)

4) Obtenha uma equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar r² = 2.sen2.

(Resp. (x² + y²)² = 4xy)

5) Encontre a equação polar do gráfico tendo a equação cartesiana (x² + y²)² = 4.( x² - y²).

(Resp. r² = 4.cos2 )



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1.6.2 Gráficos de Equações com Coordenadas Polares O gráfico de F(r, ) = 0 é formada por todos os pontos cujas coordenadas polares

satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita; isto é, r = f ().

Os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do gráfico:

(i) Construir uma tabela a partir de valores de (0, 6

, 4

, 3

, 2

, ... ) selecionados;

(ii) Encontrar os valores de para os quais a curva passa pelo pólo;

(iii) Verificar simetria. A simetria do gráfico de uma equação polar pode ser freqüentemente

constatada fazendo-se substituições convenientes na equação e testando para ver se a nova equação é equivalente à original. A tabela seguinte mostra algumas substituições que acarretam a simetria indicada.

Substituições Simetria

(r, ) por (r, - ) Eixo - x

(r, ) por (- r, ) Origem

(r, ) por (r, - ) Eixo - y

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios Esboçar o gráfico das seguintes funções:

1) r = 2 4) r = 1- 2.cos

2) r = 1 +

6 5) r = 4.cos2

3) r = 3 + 2.sen

1.6.3 Comprimento de arco em coordenadas polares O comprimento de arco da curva por r = f () entre = e = é dado por

df)('fL22

desde que f ’ exista e seja contínua no intervalo [,].



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Exercícios 1) Encontre o comprimento de arco de = 0 a = da cardióide r = 2.(1 - cos ).

(Resp. L = 16 u.c.) 2) Determine o comprimento da espiral de equação r = e/2, de = 1 a = 2.

(Resp. L 2,4 u.c.)

1.6.4 Áreas em Coordenadas Polares

Queremos encontrar a área A, da Figura delimitada pelas retas = e = e ela

curva r = f (), que é dada por:

df.2

1A

2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios 1) Encontre a área da região limitada pela cardióide r = 2 + 2 cos.

(Resp. A = 6 u.a.)

2) Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3.

(Resp. A 3 /4 u.a.)

3) Encontrar a área da região entre os laços interno e externo da limaçon r = 1 - 2.sen.

(Resp. A 8,34 u.a.)

4) Encontre a área da região comum limitadas pelo círculo r = - 6.cos e pela cardióide

r = 2- 2.cos.

(Resp. A = 5 u.a.)

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