Apostila Algebra Vetores

Álgebra Linear – Vetores em Rn 81

Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira

UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE

ÁLGEBRA LINEAR

CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO IIIIII

VVEETTOORREESS EEMM RRNN

esta unidade, vamos abordar a álgebra dos vetores no enfoque algébrico e geométrico. Como afirma Winterle1 (2000), a grande vantagem da abordagem geométrica é possibilitar a visualização dos conceitos, o que favorece seu entendimento.

Essencialmente, toda a geometria pode ser desenvolvida em linguagem algébrica. Como afirmam Kaplan2 e Lewis (1975, p.57) “em vez de combinar pontos e retas na maneira geométrica usual, nós realizamos operações algébricas em certos objetos denominados vetores”. As leis algébricas que os orientam são similares às aplicadas aos números. Por exemplo, se u e v são vetores então u+v = v+u. De forma similar, os teoremas da geometria, tornam-se teoremas da álgebra dos vetores com ênfase nas equações, identidades e desigualdades ao invés de ênfase nos conceitos geométricos como congruência, semelhança e interseção de linhas.

Os temas abordados neste capítulo são: 1 Introdução: Retas e Segmentos Orientados ................................................................. 82 2 Vetores: Definições ................................................................................................... 84 2.1 Grandezas Escalares e Vetoriais ........................................................................... 84 2.2 Proposições: Vetores opostos, nulos, iguais, colineares e livres ................................ 86 Lista 1 de Atividades ............................................................................................. 88

3 Vetores no Plano e Vetores no Espaço ......................................................................... 88 3.1 Expressão analítica de um vetor no plano (R2)........................................................ 88 3.2 Vetor Definido por Dois Pontos: Vetor Livre............................................................ 89 3.3 Expressão analítica de um vetor no espaço (R3) ..................................................... 90 Lista 2 de Atividades ............................................................................................. 93

4 Operações com Vetores ............................................................................................. 93 4.1 Adição e Subtração de Vetores ............................................................................. 93 4.2 Multiplicação de escalar por um vetor.................................................................... 94 4.3 Análise Geométrica da Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar ........................ 95 4.4 Aplicações de Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar ....................................101 4.4.1: Combinação Linear de vetores .....................................................................101 4.4.2: Dependência e Independência Linear de Vetores ............................................102 4.4.3: Bases do Plano de do Espaço .......................................................................103 Lista 3 de Atividades ............................................................................................104

5 Produto Interno (ou Produto Escalar), Vetorial e Misto..................................................106 5.1 Produto Interno (ou escalar) ...............................................................................106 5.2 Produto Vetorial ................................................................................................107 5.2.1 Propriedades...............................................................................................108

5.3 Produto Misto....................................................................................................108 5.3.1 Propriedades...............................................................................................109

5.4 Aplicações de Produto de Vetores: Interpretação Geométrica ..................................110 5.4.1 Produto Vetorial e Área de Paralelogramo.......................................................110 5.4.2 Produto Misto e Volume do Paralelepípedo ......................................................111 5.4.3 Produto Misto e Vetores Coplanares ...............................................................112

6 Módulo ou Norma de um Vetor ..................................................................................113 6.1 Definição de módulo do vetor:.............................................................................113 6.2 Proposições: .....................................................................................................114

1 WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. SP: Makron Books, 2000. 2 KAPLAN, Wilfred; LEWIS, Donald J. Cálculo e Álgebra Linear. RJ: LTC, 1975.

N



6.3 Vetor Unitário e Versor de um Vetor: ...................................................................115 6.4 Módulo de Vetor Livre ........................................................................................116 Lista 4 de Atividades ............................................................................................118

7 Ângulos e Vetores: Paralelismo e Ortogonalidade.........................................................119 7.1 Ângulo de dois vetores:......................................................................................119 7.2 Decomposição de um vetor v = P(x,y) .................................................................122 7.3 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor .............................................122 7.4 Paralelismo de dois vetores.................................................................................123 7.5 Ortogonalidade de dois vetores ...........................................................................125 Lista 5 de Atividades ............................................................................................125 Atividade Complementar.......................................................................................126

Bibliografia ................................................................................................................127

1 Introdução: Retas e Segmentos Orientados

ara compreender o conceito de vetores vamos rever alguns conceitos básicos de reta orientada e segmentos:

1.1 Reta Orientada: Eixo

Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.

r

O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada de eixo.

1.2 Segmento Orientado

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos. O primeiro é chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B é representado por AB e, é geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento.

1.3 Medida de um Segmento

Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação aquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do

segmento AB é indicado por AB . Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento (u.c.):

AB = 5 u.c.

Observe que: Os segmentos podem ser também, nulos ou opostos: • Segmento Nulo: Quando a extremidade do segmento coincide com a origem. Os

segmentos nulos têm comprimento igual a zero.

P



• Segmentos Opostos: Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é

oposto de AB. Note que, a medida dos segmentos opostos é a mesma, AB = BA .

1.4 Direção e Sentido do segmento orientado

Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se, as retas suportes desses segmentos, são paralelas ou coincidentes.

Retas paralelas: segmentos com mesma

direção e sentido Retas paralelas: segmentos com mesma

direção e sentido contrário

Retas coincidentes: segmentos com mesma direção e sentido

Retas coincidentes: segmentos com mesma direção e sentido contrário

Observações:

• Podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados somente quando eles têm mesma direção.

• Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 1.5 Segmentos Eqüipolentes

Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Para que AB seja eqüipolente a CD é necessário que AB//CD (// significa paralelos) e AC//BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.

Observações:

• Dois segmentos nulos são sempre eqüipolentes. • A eqüipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD.

Propriedades da Eqüipolência

(1) AB ~ AB (reflexiva). (2) Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica). (3) Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva). (4) Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que

AB~CD.



Fig.1

2 Vetores: Definições

2.1 Grandezas Escalares e Vetoriais

xistem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As grandezas escalares são determinadas por um valor (número) e uma unidade. Exemplo: comprimento, área, volume, etc. Quando afirmamos que a altura de um

quadro é de 1,5 m ou que o volume da caixa é de 20 dm3 estamos determinando a grandeza escalar. Em várias aplicações físicas, por exemplo, existem determinadas grandezas, como temperatura e pressão, que possuem somente “magnitude” e podem ser representadas por números reais (grandezas escalares).

Entretanto, existem outras grandezas, como força, velocidade, aceleração, deslocamento e impulso que, para serem completamente identificadas, precisam, além da “magnitude” (módulo), da “direção” e do “sentido”. Estes são exemplos grandezas vetoriais ou vetores.

Definição 1: Vetores são grandezas que, para serem identificadas, precisam da magnitude, da direção e do sentido.

Assim, um vetor tem três características: módulo (ou magnitude), direção e sentido. • A direção é dada pela reta que contém o segmento. • O sentido é dado pelo sentido do movimento do segmento. • A magnitude (ou módulo) é o comprimento do segmento. Indicamos por duas

barras verticais: |v| (Lê-se: módulo de v)

A representação geométrica de um vetor é um segmento orientado de reta: AB, CD, ...

Definição 2: Vetor é um conjunto de todos os segmentos orientados

eqüipolentes3 a um segmento AB ou seja, com mesma direção, comprimento e sentido.

Note que neste conceito, desconsideramos a idéia de grandezas vetoriais e o vetor é compreendido a partir de um segmento orientado4. Onde, dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor v. (Fig.1)

Na Figura 2, os vetores u e v são iguais (eqüipolentes) e

representam um mesmo vetor. Idem para os vetores x e w. O mesmo não ocorre com os vetores s, t e m, n. Todos têm o mesmo comprimento, mas não tem a mesma direção e sentido.

3 Equivalentes.

4 Um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo.

E



Fig.2 Note que:

• Os vetores u e v têm a mesma direção e o mesmo sentido. • Os vetores w e x têm a mesma direção e o mesmo sentido. • Os vetores s e t têm a mesma direção e sentidos contrários. • Os vetores m e n têm diferente direção.

Observe que, vetores paralelos têm a mesma direção e que cada direção pode ser associada a dois sentidos: sentidos iguais ou sentidos contrários.

Definição 3: Um vetor é um conjunto de números que pode ser escrito como v = (v1, v2,..., vn). O vetor v é um vetor de dimensão n, ou seja, têm n elementos (escalares).

Esta lista ordenada de n escalares pode ser representada na forma de linha

v = (v1, v2, v3,.... vn) ou em forma de coluna (matriz):

v =

nv

v

v

...

2

1

O termo escalar é usado com o significado de um número real. Os escalares v1, v2, v3,..., vn são chamados de coordenadas ou componentes do vetor v.

Vetores são geralmente representados por letras minúsculas em negrito (v), e seus elementos são geralmente representados em letras minúsculas com um subscrito (vi). A letra usada para os elementos é normalmente a mesma letra utilizada para o vetor. O subscrito representa o índice do elemento do vetor. Por exemplo, v2 é o segundo elemento do vetor. A notação vi indica o i-ésimo elemento do vetor.

Note que: Podemos representar um vetor de duas formas:

(1) Geometricamente: vetor é um segmento de reta orientada.

(2) Algebricamente: vetor é um par ordenado (plano) ou uma terna ordenada (espaço tridimensional) ou ainda uma n-úpla ordenada (espaço n-dimensional) de números reais.

221 ),( IRxxv ∈=

3321 ),,( IRxxxv ∈=

44321 ),,,( IRxxxxv ∈=

..................................... n

n IRxxxxxv ∈= ),...,,,( 4321

• Somente os vetores em R2 e R3 podem ser representados geometricamente. • Em geral, consideramos apenas os segmentos orientados como ponto inicial na

origem (0,0) ou (0,0,0), denominados “vetores do plano” e “vetores no espaço”.

É importante notar que os vetores no plano e no espaço são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, pois o ponto inicial é fixo na origem.

B

A Indica-se por v = AB



Exemplo 1: Uma fábrica produz 4 tipos diferentes de artigos. Numa semana são vendidas 300 unidades do artigo A, 400 unidades do artigo B, 200 unidades do artigo C e 250 unidades do artigo D. Os preços de venda por unidade de artigo são, respectivamente, R$ 25,00, R$ 32,00, R$ 12,00 e R$ 41,00. A quantidade total dos artigos, na ordem A, B, C e D, vendidos numa semana, pode ser representada pelo vetor q = (300, 400, 200, 250) e, o vetor p = (25, 32, 12, 41) indica o preço (em reais, R$) de venda por unidade de artigos, na ordem dada. Exemplo 2: O vetor u = (2,3,4) tem dimensão 3, então dizemos que v ∈ R3; O vetor v =

(2,3,4,-3,5) tem dimensão 5, então dizemos que v ∈ R5; Os vetores w = ( 1, 3, 3 , -4) e z = ( -3, 5, -1, 0) têm quatro componentes e portanto são vetores do R4.

2.2 Proposições: Vetores opostos, nulos, iguais, colineares e livres

Proposição 1: Dado um vetor v= AB , o vetor BA é o

oposto de AB e indicamos por (- AB ) ou (-v). Todo vetor v não nulo, tem um vetor oposto (-v)=(-v1,-v2) com mesmo módulo e mesma direção, porém com sentido contrário. Exemplo: Se u=(2,-4), então –u=(-2,4)

Proposição 2: Se todas as componentes do vetor são nulas, o vetor é dito nulo5 ou vetor zero indicado por 0 = (0,0,0,...,0).

Proposição 3: Dois ou mais segmentos orientados representam o mesmo vetor (vetores iguais) se têm o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido, independente de ter ou não, origens em pontos diferentes. Por exemplo, num paralelogramo ABCD, os segmentos orientados AB e CD determinam o

mesmo vetor v, onde v CDAB ==

O ponto A é denominado ponto inicial ou origem do vetor v e o ponto B é denominado ponto final ou extremidade do vetor. Idem para os pontos C e D. Assim, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor v.

O vetor v é chamado vetor livre porque o segmento que o representa pode ter sua origem colocada em qualquer ponto do plano. Algebricamente, dois vetores são iguais (ou eqüipolentes), se todas as componentes do vetor são iguais. Assim, u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são iguais se, e somente se x1 = x2 e y1 = y2 e escreve-se u=v.

Exemplo 1: Os vetores u= (3,5) e v = (a, 5) são iguais se a = 3. Exemplo 2: Determinar o valor de x e y para u=v, com u=(x+1, 4) e v=(5, 3y-8). Resolução: Devemos fazer x+1 = 5 e 3y – 8 = 4 e obtemos x = 4 e y = 4.

5 Vetor nulo: Os segmentos nulos, por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por 0 ou v=0 = (0,0,0,...,0). É o vetor cuja origem coincide com a extremidade, não tem direção e sentido definidos. Segundo Winterle (2000) o vetor nulo é considerado paralelo a qualquer vetor. Em IR2 e IR3, o vetor nulo indica a origem do sistema plano e espacial, respectivamente.



A B

C

F E

H G

D

Proposição 4: Dois vetores →

u e →

v com a mesma direção são chamados de

vetores colineares ou paralelos. Assim, →

u e →

v são colineares se tiverem representantes

AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou em retas paralelas.

Proposição 5: Dois vetores →

u e →

v ou mais, são vetores coplanares se pertencerem a um mesmo plano π.

Fig.(a): →

v ,→

u e →

w são coplanares

Fig.(b): →

v ,→

u e →

w são coplanares Fig.(c):→

v , →

u e →

w não são coplanares Exemplo6 Observe o paralelepípedo retângulo: Podemos afirmar que:

(a) BFDH =

(b) FGAB, e EG são coplanares

(c) AE e BF são colineares

(d) AB é ortogonal ao plano BCG

(e) DC é paralelo ao plano HEF

WINTERLE, 2000, p.6

Importante: dois vetores →

v e →

u quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os

dois representantes de →

v e →

u pertencendo a um plano π que passa por esse ponto. Três vetores poderão ser coplanares ou não (Fig c).

π

α

→

u

→

v

→

w

→

w

→

u→

v

π

π →

v→

w

→

u



AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! Resolva as atividades

Lista 1 de Atividades7

1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (do mesmo tamanho). Verifique se as igualdades são verdadeiras. Analise e justifique.

a) AB = OF b) AM = PH c) BC = OP d) BL = - MC e) DE = - ED f) AO = MG g) KN = FI h) AC // HI

i) JO // LD j) AJ // FG k) AB ⊥ EG l) AM ⊥ BL m) PE ⊥ EC n) PN ⊥ NB o) PN ⊥ AM p) AC = FP

2. A partir do paralelepípedo retângulo podemos afirmar que:

a) AB = -HG b) AB ⊥ CG c) AF ⊥ BC d) AC=HF e) AG=DF f) BG // ED

g) AB, BC e CG são coplanares. h) AB, BG e CF são coplanares. i) AB é ortogonal ao plano BCG j) DC é paralelo ao plano HEF k) AC, DB e FG são coplanares.

3) Encontre se possível os valores de x e y tais que: a) (2,x,1,3) = (2,5,y,3) c) (1,x,-3) = (2,3) b) (1,2x-12) = (1,-5) d) (x,x+y) = (y-2,6) 4) Determine os valores de x e y, de forma que os vetores sejam iguais.

(a) (4x-5, 7) = (2x – 4, y+2

13 ) (b) (x2 – 5x + 4, 2x – 2) = (0, 6)

(c) ( x , 7) = (2, 3y-5) (d) ( x , 2x+5) = (4, 5x-1) Respostas: 1) São verdadeiros: a, b, d, e, f, h, j, k, l, n, o e p. São falsos, c, g, i, m; 2) As afirmações são verdadeiras, exceto (a), (c), (g) e (h); 3a) x=5 e y=1; b) x = 7/2; c) Não ∃ solução pois os vetores pertencem a dimensões diferentes; d) x=2 e y=4; 4a) x = y= 0,5; b) x = 4; c) x = 4 = y; d) não existe x

3 Vetores no Plano e Vetores no Espaço

estudo dos vetores em geral é relacionado a sua representação geométrica que se caracteriza num segmento de reta orientado como vimos até aqui. Mas, há outra forma de representá-los. Assim, vamos estudar os segmentos orientados relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano (R2) e do espaço (R3).

3.1 Expressão analítica de um vetor no plano (R2)

O conjunto R2 = R x R = {(x,y), ∀ x, y ∈ R} é interpretado geometricamente como sendo o plano xOy do sistema cartesiano ortogonal. É o conjunto formado por todos os vetores com duas coordenadas reais x e y. Vetores que pertencem ao R² são conhecidos como pares ordenados de números reais. Geometricamente, todo 7 (WINTERLE, 2000, p.6)

O

A B

C

F E

H G

D

paralelos

perpendiculares

módulo



vetor v= AB desse plano, tem sempre um representante equivalente OP , cuja origem é a origem do sistema cartesiano (0,0).

No estudo algébrico dos vetores, utiliza-se em geral, os vetores v=OP , ditos vetores no plano e que são vetores definidos por um ponto extremo do segmento com origem no ponto (0,0). Exemplo 1: Representação no plano do vetor v e do ponto P(x,y). Todo ponto P(x,y) do

plano, está associado a um único vetor v = OP com v = (x, y) sendo x e y as coordenadas de P e as componentes do vetor v, também denominadas de coordenadas do vetor. Exemplo 2: Representação no plano cartesiano do vetor v = (3,2) ∈

R2. Note que, v = (3, 2) ou v =

2

3∈ R², são formas de

representação do vetor v. OBS: Na Geometria Analítica analisa-se o vetor e sua representação a partir de uma base

},{ ji = {(1,0), (0,1)} onde é estabelecida a correspondência biunívoca entre vetores no plano

e os pares ordenados (x, y) de números reais. Nestas condições, a cada vetor v do plano pode-se associar um par (x, y) de números reais que são suas componentes na base dada, razão porque se define:

Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais e se representam por

),( yxv = que é a expressão analítica de v. A primeira componente x é chamada

abscissa e a segunda y, ordenada. Exemplo 3: Podemos escrever v = (3,-5) ou v = 3i-5j. Veja outros exemplos:

)0,0(0

)1,0(

)0,1(

)0,10(10

)3,0(3

)1,1(

=

==

−=→−==→=

−=→+−=

j

i

menteParticular

viv

vjv

vjiv

Desta forma, o plano pode ser compreendido como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores.

3.2 Vetor Definido por Dois Pontos: Vetor Livre

númeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema. Nestes casos, temos os vetores livres.

Por exemplo, consideramos o vetor AB de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade em

B(x2,y2). O vetor AB é um vetor livre. Como, já se afirmou anteriormente, no estudo algébrico dos vetores, utiliza-se em geral, os vetores definidos por um ponto que é o extremo do segmento com origem no ponto (0,0).

A partir de um vetor livre v = AB podemos encontrar o seu vetor equivalente, definido por um ponto, que parte da origem do sistema (0,0). Para isso, fazemos:

ABAB −=

),(),( 1122 yxyxAB −=

I



),( 1212 yyxxAB −−= = v (vetor definido por um ponto)

Representação Geométrica

Vetor Livre Vetor definido por um ponto extremo com origem em (0,0).

Exemplo 1: Para A = (-3,2) e B = (-1,4). O

segmento AB é um vetor livre. Fazendo AB = B-A

= (-3,2)-(-1,4) = (-3+1,2-4) = (-1, -2) = v

O vetor v = (-1,-2) é equivalente ao vetor livre

AB e parte da origem (0,0) do sistema.

Assim, obtemos um vetor v a partir do vetor livre AB, subtraindo as coordenadas do ponto B das coordenadas do ponto A, ou seja, v = B-A. O vetor v encontrado representa o mesmo vetor AB. É importante lembrar que um vetor tem infinitas representações que são os segmentos orientadores com mesmo comprimento, direção e sentido. Entretanto, dentre estas infinitas representações, o que melhor caracteriza o vetor é aquele que tem sua origem no ponto O (0,0) e extremidade em P(x,y). Exemplo 2: Dados os pontos A=(0,1) e B=(1,2), determine o vetor v que

parte da origem e é equivalente ao vetor livre AB .

Resolução: v = AB = B – A = (1,2) – (0,1) = (1, 1)

3.3 Expressão analítica de um vetor no espaço (R3)

a Geometria Analítica analisa-se o vetor e sua representação a partir de uma base8

},{→→

ji = {(1,0), (0,1)} quando os vetores são vetores do plano e a partir de uma base

canônica representada por },,{→→→

kji = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}quando os vetores são

vetores do espaço, onde é estabelecida a correspondência biunívoca entre vetores no espaço com o vetor (x, y,z) de números reais.

8 Você sabia que: No plano R2 qualquer conjunto {v1, v2} de dois vetores, não colineares, é uma base. E, todo vetor v deste plano é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem os números a1 e a2 reais tais que v = a1 v1 + a2 v2. No espaço R3 qualquer conjunto {v1, v2, v3} de vetores não coplanares é uma base. Assim, sempre existem números reais a1, a2 e a3 tais que: v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 onde a1, a2 e a3 são componentes de v em relação à base considerada. Todo espaço tem infinitas bases e uma base canônica. Por exemplo, em R3 a base canônica é {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.

N



Consideremos estes três vetores representados com origem no mesmo ponto O e por este ponto três retas como mostra a figura abaixo.

A reta com a direção do vetor i é o eixo dos x

(abscissa), a reta com direção do vetor j é o eixo do

y (ordenada) e a reta com a direção do vetor K é o

eixo dos z (das cotas: significa altura no espaço). As setas indicam o sentido positivo de cada eixo, que são chamados eixos coordenados.

Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xy, xz ou yz. As figuras abaixo dão uma idéia dos planos.

Estes três planos se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões.

A cada ponto do espaço vai correspondendo uma terna (a,b,c) de números reais, chamadas coordenadas de P. Exemplo 1: Observe a projeção do ponto P(2,4,3) no espaço.

Escrevemos v=xi+yj+zk, onde x, y, z são os componentes de v na base canônica {i, j, k} e v = (x, y, z) é a expressão analítica de v. Assim, se v = 2i+4j+3k indicamos v = (2, 4, 3)

y

z

0

z

x

y

0

z

x

y

V

0

A B

C

DE F P

Com base nesta figura, temos: A (2,0,0) → x = 2, y = 0, z = 0 B (2,4,0) → x = 2, y = 4, z = 0 C (0,4,0) → x = 0, y = 4, z = 0 D (0,4,3) → x = 0, y = 4, z = 3 E (0,0,3) → x = 0, y = 0, z = 3 F (2,0,3) → x = 2, y = 0, z = 3 P (2,4,3) → x = 2, y = 4, z = 3

XZ

z

x

y

x

YZ

y

y

z

XY

y

x z



Portanto: O conjunto R3 = R x R x R = {(x, y, z) ∀ x, y, z ∈ R} é interpretado geometricamente como sendo o espaço tridimensional 0xyz, onde P(x,y,z) é o ponto associado ao único vetor v =

OP = (x,y,z) e as coordenadas x, y e z, de P são as componentes de v. A Fig.(a) representa o ponto P = (x,y,z) ∈ R3 e a Fig. (b) representa o vetor v = (x,y,z) ∈ R3.

Fig.(a): Representação

geométrica do ponto P, no plano tri-dimensional

Fig.(a): Representação geométrica do ponto P, no plano

tri-dimensional

Fig.(b): Representação geométrica do vetor v, no plano

tri-dimensional Exemplo 2: Representação geometricamente o vetor v = (1,2,3) e P = (4,-2,3) .

Exemplo 3: Representação dos vetores no espaço, sendo:

u =→

A (-1,4,3), v = →

B (5,-2,3) e w =→

C (-3,-5,4).

→

C (-3,-5,4)

→

A

y

z

0

- x

z

-y

B x

- z yz

xz

- y

xy - x

c

C

y x

z

v = (1,2,3 ) = OP

(0,2,0)

(0,0,3)

(1,0,0)

v

0

u=→

A (-1,4,3)

v=→

B (5,-2,3)

0

0





1) Dê as coordenadas dos pontos: (a) A = _______________ (b) B = _______________ (c) C = _______________ (d) D = _______________ (e) E = _______________ (f) F = _______________ (g) O = _______________ (h) P = _______________

2) Represente no plano e/ou no espaço tridimensional os vetores:

(a) u = -i-2j (b) w = (5, -3) (c) s = (-2, 4) (d) v = i+2j+5k (e) t = (1, 4, 3) (f) r = (-3, 2, 5) (g) m = (3, -2, 6) (h) n = (1, 3,-4) (i) j = -2i+3j-4k

3) Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientando AB que não parte da origem do sistema cartesiano. Considere os segmentos orientados AB e CD com A = (-1,2) e B = (2,-3), C = (1, 3, 5) e D = (-1, 2, -4). Assim:

(a) Encontre o vetor u, definido por um ponto, eqüipolente ao segmento orientado AB; (b) Encontre o vetor v, definido por um ponto, eqüipolente ao segmento orientado CD; (c) Represente geometricamente o segmento AB e o vetor u. Analise o resultado e

comente o que você observou. Respostas parciais: (1a) A=(4,0,0); © C = (0,0,3); (e) E (4,-2,0); (g) O=(0,0,0); 3) a) u=(3,-5); b) v=(-2,-1,-9); c) AB é equivalente ao vetor u. São eqüipolentes porque tem a mesma direção, sentido e magnitude (módulo). AB é vetor livre e u tem origem no sistema (xOy).

4 Operações com Vetores

4.1 Adição e Subtração de Vetores

lgebricamente a adição de dois vetores se define pela adição de seus componentes (coordenadas), um a um. Por sua vez, a diferença de dois vetores se define pela adição do primeiro vetor pelo oposto do segundo vetor.

Observe que: Dois vetores podem ser adicionados se e somente se eles tiverem a mesma dimensão. Para somar dois vetores, basta somar individualmente cada elemento deles. O vetor resultante será da mesma dimensão dos vetores originais. Simbolicamente, temos que, se v = u+ w, então vi = ui + wi, para todo i.

Assim, para os vetores u e v de R2 com u = (x1,y1), v = (x2,y2) temos:

u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e u + (-v) = (x1 - x2, y1 - y2) Se u e v são vetores de Rn com u = (x1,x2,x3, ....,xn), v = (y1,y2,y3, ....,yn) temos:

u + v = (x1 + y1, x2 + y2, ... , xn + yn)

Exemplo 1: Se u = (1, 7) e v = (2, 5) então: (a) u + v = (1+2, 7+5) = (3, 12) e (b) u – v = u + (-v) = (1,7) + (-2,-5) = (1-2, 7-5) = (-1,2).

9 (WINTERLE, 2000, p.6)

A



Exemplo 2: Se u = (1, 7, 3), v = (-1,4,6) e w = (2, 5, 4, -1) então:

(a) u + v = (1-1, 7+4, 3+6) = (0, 11, 9) (b) u – v = u + (-v) = (1,7,3) + (1, -4, -6) = (2, 3, -3) (c) u + w? Não é possível computar u + w, nem v + w porque u e v são de 3ª dimensão e w é de 4ª dimensão.

4.2 Multiplicação de escalar por um vetor

A multiplicação de um escalar por um vetor se define pelo produto do escalar (número) por cada componente do vetor. Ou seja, um vetor pode ser multiplicado por um escalar, multiplicando-se cada elementos do vetor por este escalar. Assim, para o vetor u de Rn com u = (x1,x2, ..., xn) e k ∈ R (k escalar) temos:

ku = k(x1,x2, ..., xn) = (kx1,kx2, ..., kxn)

Exemplo 1: Se u = (1, 7) e v = (2, 5), vetores de R2 então para k = 5, temos: (a) ku = 5(1, 7) = (5.1, 5.7) = (5, 35) e (b) kv = 5(2, 5) = (5.2, 5.5) = (10, 25).

Exemplo 2: Se u = (1, 7, 8,-1) e v = (2, 5, 0, 0), vetores de R4 então para k = -2, temos: (a) ku = -2(1, 7, 8, -1) = (-2, -14, -16, 2) (b) kv = -2(2, 5, 0, 0) = (-4, -10, 0, 0) (c) ku + kv = k(u+v) = -2(u+v) = -2(3,12,8,-1) = (-6, -24, -16, 2)

Exemplo 3: Sejam u = (2,3,4,5) e v = (2,1,0,2) vetores de R4 então, temos que:

(a) u + v = (4, 4, 4, 7) (b) u – v = (0, 2, 4, 3) (c) 3u – 2v = (6, 9, 12, 15) – (4, 2, 0, 4) = (2, 7, 12, 11)

Exemplo 4: Dados os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores u = (-2,-1,1), v= (3,0,-1) e w

= (-2,2, 2). Verificar se existe números a1, a2 e a3 tais que w=a1AB+a2u+a3 v. Resolução: AB = B – A ⇒⇒⇒⇒ (1, 2, -1) – (0, 1, -1) = (1, 1, 0)

w = a1 AB + a2 u + a3 v. (-2,2,2) = a1 (1, 1, 0) + a2 (-2,-1,1)+ a3 (3,0,-1) Aplicando as operações de produto de escalar por vetor, soma de vetores e igualdade de vetores, encontramos como resposta: a1= 3; a2 = 1; a3 = -1 Portanto, w = a1 AB + a2 u + a3 v para a1 = 3, a2 = 1 e a3 = -1

Propriedades dos vetores Para qualquer vetor u, v e w vetores de R2 (podemos generalizar para Rn) e k, k′∈ R (k é um escalar = número real), temos: (i) u + v = v + u (comutativa) (ii) (k + k′ ) u = k u + k′ u (iii) (u+v )+w = u+(v+w) (associativa) (iv) k (u + v ) = k u + k v (v) u + 0 = 0 + u = u (elemento neutro) (vi) k (k′ .u) = (k k′ ) .u (vii) u + (-u) = 0 (elemento simétrico) (viii) 1.u = u; -1.u = -u e 0.u = 0.

Obs A igualdade de vetores é definida igualmente para R2, R2, ..., como já vimos: Assim, por exemplo, os vetores u = (8,b,-2) e v= (8,5,a) são iguais se a=-2 e b= 5. Se u = ( x – y, x + y, z – 1) e v = ( 4, 2, 3 ), podemos afirmar que:



u = v ⇔

=−=

=≅

+==−

=−≅

=−=+=−

4

1

3

13

220

4

31

2

4

z

y

x

z

yx

yx

z

yx

yx

⇔ Portanto, u = v se x = 3, y = -1 e z =4.

Importante: Quando o vetor v estiver representado por v = a1 v1 + a2 v2, dizemos

que v é combinação linear v1 e v2. O par de vetores v1 e v2 não colineares são chamados de base do plano. Veja mais sobre isso, nas aplicações de adição de vetores e multiplicação por escalar.

4.3 Análise Geométrica da Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar

A adição de dois vetores →

v e →

u é analisada, geometricamente, a partir dos segmentos que contém os vetores. Este movimento se caracteriza por decomposição de vetores no plano.

ecomposição de vetores no plano: Dados dois vetores v1 e v2 não colineares, qualquer vetor v (coplanar com v1 e v2) pode ser decomposto segundo as direções de v1 e v2. O problema consiste em determinar dois

vetores cujas direções sejam as de v1 e v2 e cuja soma seja v. Em outras palavras, buscam-se determinar dois números reais a1 e a2 tais que:

2211 vavav +=

1º caso A ADIÇÃO DOS DOIS VETORES →

v e →

u representados pelos segmentos

orientados AB e BC se definem pelo vetor resultante →

s representado pelo segmento

AC . Regra do polígono ou triangulação: Ligam-se os vetores, origem com extremidade por deslocamento. O vetor soma (ou vetor resultante) é aquele que tem origem, na origem do 1º vetor e extremidade, na extremidade do último vetor.

Assim, os pontos A e C determinam um vetor que é a soma dos vetores →

u e →

v onde: B

→

v →

u

→

s A C

Exemplo 1: →

s = →

u + →

v ou →

u + →

v = AC ou

AB + BC = AC

Exemplo 2: →

s = →

u + →

v

Exemplo 3: →

s = →

u + →

v ou →

u + →

v = AC ou

AB + BC = AC

Na SUBTRAÇÃO DE VETORES, adicionamos um deles ao oposto do outro: →

s = →

u - →

v . Vetores u e v Adição de vetores u+v Subtração u+(-v)

D



2º caso A adição dos dois vetores →

v e →

u paralelos (→

v ⁄ ⁄ →

u): A adição de vetores representados por segmentos paralelos10 orientados AB e BC se

define da mesma forma anterior, pelo vetor resultante →

s, representado pelo segmento

AC . Assim, os pontos A e C determinam um vetor que é, por definição, a soma dos vetores →

u e →

v onde, para →

s = →

u + →

v .

Exemplo 1: Na figura (a), temos a resultante →

s de vetores →

u e →

v com o mesmo

sentido e na figura (b), temos a resultante →

s de vetores →

u e →

v com o sentido contrário (equivale a s = u - v).

Vetores →

u e →

v Adição de vetores →

s = →

u + →

v Subtração →

s = →

u + (- →

v )

Fig.(a) Fig.(b)

3º caso A adição dos dois vetores →

v e →

u não paralelos pode ocorrer a partir do

deslocamento dos vetores para uma mesma origem A. Assim, representa-se o vetor →

v

= AB e o vetor →

u = AD . Regra do paralelogramo: A partir da origem A, projetamos um vetor no extremo do outro (mesma direção e mesmo sentido). Assim, construímos o paralelogramo ABCD. Exemplo 1: (Figuras c, d) O segmento orientado de origem em A que equivale à

diagonal do paralelogramo, é o vetor resultante →

s= →

u +→

v . A diagonal secundária do

paralelogramo equivale a resultante da diferença entre os vetores, ou seja, →

s=→

u -→

v .

Adição de vetores →

s = →

u + →

v Subtração →

s = →

u + (- →

v )

10

Quando os segmentos têm a mesma direção – sobre as mesmas retas ou paralelas



Fig (c) u+v é a diagonal principal do paralelogramo ABCD.

Fig (d) u+v →diagonal principal do paralelogramo u-v →diagonal secundária

Exemplo 2

Vetores →

u e →

v Adição →

s = →

u + →

v Subtração →

s = →

u -→

v

4º caso A adição dos três vetores ou mais ocorre de forma análoga aos casos anteriores. No caso particular da extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro a soma deles será o vetor zero ou nulo. Exemplo de adição de três ou mais vetores livres

Exemplo 1 →

s = →

u + →

v + →

w

Exemplo 2 →

s = →

u + →

v + →

w

Exemplo 3 →

s = →

u + →

v + →

w +→

t =→

0

Exemplo de adição de vetores que partem de uma origem: Situação comparativa de soma com dois e com três vetores



Exemplo 1 →

s = →

u + →

v

Exemplo 2 →

s = →

u + →

v + →

w

eometricamente, o PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR, é representado por um novo vetor que se expande, contrai ou inverte o sentido, conforme o valor de k. O produto de um número real k por um vetor v, resulta em

um vetor s com sentido igual ao de v se k for positivo ou sentido oposto ao de v se k for negativo. O módulo do vetor s é igual a k x |v|.

1º caso Se k = 0 ou v = 0, então o vetor kv = 0.

Exemplo: Para u = (1,2) e k = 0 temos ku = 0.u= (0.1,0.2) = (0,0).

2º caso Se k= -1, o vetor (-1)v é o oposto de v. Exemplo: Para u=(1,2) e k=-1 temos ku=(-1).u=(-1.1, -1.2) = (-1, -2)

3º caso Se k > 0, então (k.v) permanece com o mesmo sentido de v, se

k < 0, kv tem sentido contrário de v. Exemplos: Para u = (1,2) e k = 2 temos

ku = 2u = (2.1, 2.2) = (2, 4) Para u = (1,2) e k = -2 temos

ku = -2u= (-2,-4).

Exemplos Complementares Exemplo 1: Dados os vetores u=(4,1) e v = (2, 3). Determinar geometricamente e

algebricamente as resultantes de u+v e 2u.

G



Resolvendo: • u+v = (4,1) + (2,3) = (6, 4) e • 2 u = 2 (4,1) = (8,2).

Representação geométrica de u+v Representação geométrica de 2u Exemplo 2: Consideremos os vetores de R2 definidos em u = (1,2) e v = (3,-3). Determine, algébrica e geometricamente, as resultantes:

(a) →

s = →

u + →

v ; (b) →

s = →

u - →

v ; (c) →

s = →

v - →

u

Resolução: Algebricamente

(a) →

s = →

u + →

v

= (1,2) + (3,-3)

= (1+3, 2-3) = (4, -1).

(b) →

s = →

u - →

v

= (1,2) - (3,-3)

= (1-3, 2+3)

= (-2, 5)

(c) →

s = →

v - →

u

= (3,-3) - (1,2)

= (3-1,-3-2)

= (2, -5)

Geometricamente (a)

Geometricamente (b)

Geometricamente (c)

Exemplo 3: Dados os vetores u, v e w, de acordo com a figura, construir graficamente o vetor →

s = 2u - 3v+ 1/2w Resolução: Vetores Resultante s = 2u - 3v+ 1/2w



Exemplo 4: Efetuar as operações com os vetores sabendo que u = (5

3,

3

1− ) e v= (

5

2,

3

1).

� u+v = (5

2

5

3,

3

1

3

1+−+ ) = (

5

1,

3

2− )

� 15u = 15 (5

3,

3

1− ) = (5, -9)

� 4

3− v -

3

1 u =

4

3− (

5

2,

3

1) -

3

1(

5

3,

3

1− ) =(

10

3,

4

1−− ) + (

5

1,

9

1− ) =(

10

1,

36

13−− )

Exemplo 5: Para u = (-2,2) e v = (3,2) represente no plano u+v, 2u e u + (-v).

u + v = (-2,2) + (3,2) = (-2+3, 2+2) = (1,4) 2u = 2(-2,2) = (-4,4)

u +(-v) = (-2,2) – (3,2) = (-5,0)

Exemplo 6: Determinar o vetor w na igualdade 3w+2u=2

1v+w, sendo u=(3,-1) e v=(-2,4).

Resolvendo: 3w+2(3,-1)=2

1(-2,4)+w ⇔ 3w + (6,-2) = (-1,2) + w

3w –w = (-1,2) - (6,-2) ⇔ 2w = (-7, 4) ⇔ w = ( 2,2

7−).

Exemplo 7: Encontrar os números a1 e a2 tais que VaUaW 21 += sendo

)2,4(...)..2,1(),8,1( −==−= VeUW



)22,4()8,1(

)2,4()2,()8,1(

)2,4()2,1()8,1(

2121

2211

21

aaaa

aaaa

aa

−+=−−+=−

−+=−

822

14

21

21

=−−=+

aa

aa

1

3

2

1

21

−==

a

a⇒ logo VUW −= 3

Note que: Ao trabalharmos geometricamente com a soma de vetores e a multiplicação de escalar por vetores, operamos pela decomposição de vetores. Em outras palavras, buscam-se determinar dois números reais a1 e a2 tais que:

2211 vavav +=

Exemplo 1: Dados dois vetores v1 e v2 não colineares e v (arbitrário), a figura mostra como é possível formar um paralelogramo em que os lados são

determinados pelos vetores 11va e 22va e, portanto, a soma deles é o vetor v, que

corresponde à diagonal desse paralelogramo:

Exemplo 2: Na figura seguinte os vetores v1 e v2 são 22va mantidos e

consideramos um outro vetor v.

4.4 Aplicações de Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar

4.4.1: Combinação Linear de vetores

ejam u1, u2, ...,un vetores do espaço vetorial V e a1, a2, ..., an escalares de IR ou C.

Qualquer vetor u de V, escrito na forma u = a1u1 + a2u2 + ... + an un é uma combinação linear dos vetores ui.

Exemplo 1: A operação 2(3,-4,5) + 3(-1,1-2) = (6,-8,10)+(-3,3,-6) = (3,-5,4) se caracteriza como uma combinação linear. Neste caso, o vetor resultante (3,-5,4) é uma combinação linear dos outros vetores adicionados e multiplicados pelos respectivos escalares; Da mesma forma, o vetor u = (-1,-1,-3) é resultado da combinação linear dos vetores u1 = (3,2,-1) e u2 = (4,3,2) porque u = u1 - u2 = (3,2,-1) - (4,3,2) = (-1,-1, -3).

Exemplo 2: Verifique se o vetor w=(1, 2) de IR2 pode ser resultado da combinação linear dos vetores u=(1,3) e v=(-1, 2).

S

v1

-a1v1 a2v2 v

v2

v = - a1 v1 + a2v2

2211 vavav += v1

v2

11va

22va2v

1vv (arbitrário)

v

V1

V2

Nesta figura a2 > 0 e a1 < 0



Resolução: Um vetor w é uma combinação linear de outros vetores u e v se e somente se, existe solução para a equação matemática w = x.u + y.v ou, se existe valores reais para x e y de modo que w = x.u + y.v

Assim, fazemos w= x.u + y.v. Substituindo w, u e v pelos seus respectivos valores, temos:

w = x (1,3) + y (-1,2) (1,2) = x (1,3) + y (-1,2)

(1,2) = (x–y,3x+2y) ⇔

=+=−

223

1

yx

yx ⇔

−=+=−

150

1

yx

yx⇔

==

−5

1

54

y

x.

Resposta: O sistema resultante da equação matemática w=x.u+y.v é consistente e determinado. Assim, w é uma combinação linear de u e v e pode ser escrito como: w =

54 u + 5

1− v.

Exemplo 3: Verifique se os vetores u = (1,2,-1), v = (1,3,1) e w = (0, 1, 2), vetores de IR3 podem ser escritos como combinação linear do vetor t = (2,7,4).

Resolução: Os vetores u, v e w podem ser escritos como uma combinação linear do vetor t se a equação xu + yv + zw = t, tem solução real.

xu + yv + zw = t x(1,2,-1) + y(1,3,1) + z(0,1,2) = (2, 7, 4) (x, 2x, -x) + (y, 3y, y) + (0z, z, 2z) = (2, 7, 4) (x + y, 2x + 3y + z, -x + y + 2z) = (2, 7, 4)

⇔

=++−=++

=+

42

732

2

zyx

zyx

yx

≅

=++=++

=+

6220

30

2

zyx

zyx

yx

≅

=++=++

=+

0000

30

2

zyx

zyx

yx

≅

−=+−=zy

zx

3

1.

S={(-1+z, 3-z, z) ∀ z∈IR} O sistema é consistente e indeterminado. Portanto, tem diversas soluções. Então, t é

combinação linear de u, v e w e pode ser escrito como: t = (-1+z)x + (3-z)y + zw para ∀ z∈IR.

4.4.2: Dependência e Independência Linear de Vetores

m conjunto de vetores u1,u2,...,un é dito linearmente independentes (LI) se escritos como combinação linear do vetor nulo, resultam em todos os coeficientes nulos. Caso contrário os vetores são linearmente dependentes (LD).

Ou, um conjunto de vetores u1,u2,...,un é independentes (LI) se e somente se, para todo ai real, temos:

01

=∑=

n

i

iiua para todo 0=ia

Onde ia são quantidades escalares.

Se ocorrer 01

=∑=

n

i

iiua para algum 0≠ia , os vetores são ditos dependentes (LD).

Geometricamente, vetores linearmente independentes têm representação geométrica em direção distinta (vetores colineares). Em caso contrário, se tem a mesma direção (vetores paralelos) são linearmente dependentes.

Exemplo 1: Os vetores u = (1,2) e v = (3,3) são vetores linearmente independentes (LI) porque existe somente 0=ia para os quais,

v = a1u+a2v = 0 ou 0u+0v = 0(1,2)+0(3,3)=(0.0)= 0. E, os vetores u = (1,2) e v = (2,4) são vetores linearmente dependentes (LD) porque existe

2=ia e 1−=ia para os quais,

v = a1v1+a2v2 = 0 ou 2v1+(-1)v2 = (2,4)-(2,4)=(0.0)= 0.

U



Exemplo 2: Os vetores de R3, u1 =(1,2,3), u2 =(-1,2,4) e u3 =(2,-1,5) são LI ou LD?

Resolução: Os vetores são LI se existem escalares ia tais que 0332211 =++ vavava para

0=ia . Do contrário, são vetores LD. Para facilitar o procedimento de cálculo podemos

substituir os escalares ia por x, y e z. Assim,

x u1 + y u2 + z u3 = 0 ⇔ x (1,2,3) + y (-1,2,4) + z (2,-1,5) = (0,0,0) ⇔ (x, 2x, 3x) + (-y, 2y, 4y) + (2z, -z, 5z) = (0,0,0) ⇔ [(x – y + 2z), (2x + 2y – z), (3x + 4y + 5z)] = (0,0,0) ⇔

=++=−+

=+−

0543

022

02

zyx

zyx

zyx

≅

=+=+

=+

0 z -7y

0 5z -4y

0 2z y - x

≅

==+

=+

0 z 31

0 5z -4y

0 2z y - x

⇔ z = y = x = 0

Isto significa dizer que x u1 + y u2 + z u3 = 0 ⇔ 0u1 + 0u2 + 0u3 = 0. Portanto os vetores u1, u2 e u3 são linearmente independentes.

Você pode verificar a linearidade de um conjunto por outro procedimento. Forme uma matriz A, cujas colunas são os vetores dados. Reduza a matriz a sua forma escalonada mais simples e analise-a. Se a quantidade de linhas não nulas for inferior ao número de vetores dados então os vetores correspondentes, u1, u2 e u3 são LD. Caso contrário (quantidades iguais) são LI.

A =

−−

543

122

211

≅

−−

−

170

540

211

≅

−−

−

3100

540

211

Observe que a matriz A, na sua forma escalonada, não apresenta linhas nulas. Neste caso, podemos afirmar que os vetores correspondentes de A, que são os vetores u1, u2 e u3, são LI.

Exemplo 3: Mostre que o vetores de R3, u1 = (1,-2,3), u2 = (-1,0,-2) e u3 = (-2,0,-4) são LD.

Resolução: xu1 + yu2 + z u3 = 0 ⇔ x(1,-2,3) + y(-1,0,-2) + z(-2,0,-4) = (0,0,0) ⇔

=−−=++−

=−−

0423

0002

02

zyx

zyx

zyx

≅

=++=+

=

0 z 2 y

0 4z--2y

0 z 2-y - x

≅

==−=−

0 0

0 z 42y -

0 z 2y - x

⇔ -2y=4z⇔y=-2z.

Logo, para x – y – 2z = 0⇔ x–(-2z)– 2z=0 ⇔ x=0. A combinação dos vetores em relação ao vetor nulo, resulta em escalar y não nulo. Logo, os vetores são LD. Temos como solução do sistema, o conjunto S = {(0,-2z,z) ∀ z∈R}. Podemos escrever a combinação linear como: 0u1 + (-2z)u2 + zu3 = 0.

4.4.3: Bases do Plano de do Espaço

Linhas não-nulas

Vetores LI Vetores LD



par de vetores v1 e v2 de 2ª dimensão, não colineares (linearmente independentes) é chamado de base do plano. Aliás, qualquer conjunto {v1 , v2} de vetores não colineares constitui uma base no plano. Os números a1 e a2 são chamados

componentes v em relação a base {v1 , v2}.

O conjunto de vetores v1, v2 e v3 de 3ª dimensão, não colineares (linearmente independentes) é chamado de base do espaço. Exemplo 1: Os vetores u = (1,2) e v = (3,3) são vetores linearmente independentes (LI) e, portanto, formam uma base B = {(1,2), (3,3)} do plano ou de R2. Os vetores u = (1,2) e v = (2,4) não formam uma base do plano porque são vetores linearmente dependentes (LD). Exemplo 2: Os vetores de R3, u1 =(1,2,3), u2 =(-1,2,4) e u3 =(2,-1,5) são LI, portanto

formam uma base B = {(1,2,3), (-1,2,4), (2,-1,5)} do espaço ou de R3.

A =

−−

512

421

321

≅

− 250

740

321

≅

4300

740

321



1. A Figura é constituída de nove quadrados congruentes (do mesmo tamanho). Determine os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A.

a) AC + CN b) AB + BD c) AC + DC d) AC + AK e) AC + EO f) AM + BL

g) AK + AN h) AO - OE i) MO - NP j) BC - CB k) LP + PN l) LP + PN + NF m) BL + BN + PB

2. Considere dois vetores quaisquer, u e v, não paralelos. Construa num plano as resultantes, s=u+v, w=u-v, t=v-u, m=(-u) e n=–v.

3. Determine, algébrica e geometricamente o vetor resultante w, para u = (-1,2) e v = (2,-1): (a) u + v

(b) u – v (c) v - u (d) 3u– 3u

(e) u – 2v (f) 2u + v g) 0,5 u + 3v h) 0,5 u – 0,5 v

4. Dados os vetores →

v , →

u e →

w , de acordo com a figura, construir graficamente o vetor →

s =

3→

u - 2→

v + 1/2→

w

5. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores →

AB e →

AB , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Completar convenientemente e fazer a representação geométrica. D M C

a) →

AD + →

AB =

b) →

BA + →

DA =

c) →

AC - →

BC =

d) →

AN + →

BC =

e) →

MD+ →

MB =

f) →

BM - 2

1 →

DC =

11

(WINTERLE, 2000, p.6)

O

→

w

→

v

→

u

Linhas não-nulas



A N B

6 Dados os vetores →

u e →

v da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor:

→

u

→

v

7 Dados os vetores →

a , →

b e →

c , como na figura, apresentar um representante de cada um dos vetores:

→

a

→

b

→

c

8) Dados os vetores →

u e →

v determinar: u→

(a) →

u + →

v (b) →

u - →

v v→

9. Considere os vetores livres definidos por dois pontos A e B. Em cada caso, determine o vetor equivalente v (não livre). (a) A(1,3) e B(2,-1); (b) A(-1,5) e B = (-4,-2); (c) A(8,-15) e B (-2,0)

10. Determinar o vetor w na igualdade 3w+2u= 4v -w, sendo u=(1,-1) e v=(-3,2). 11) Dados u=(1,-2), v=(2,4) efetuar (a) u+v; (b) u-v; (c) 3u+2v.

12) Dados A=(-1,2), B=(1,-2) e C=(3,3) determinar: (a) ABAB −= ; (b) ACAC −= ;

(c) BCBC −= ; (d) ACAB + ; (e) ACAB − .

13) Dados )1,3

1(),..1,

2

1( −−= VU , calcular: (a) VU 32 + ; (b) VU 64 − .

14) Dados A = (1,-2), B = (-2,3) e C = (-1,-2), determinar x = (a,b), de forma que:

a) ABCx = b) ABCx3

2−= c) AxBC =

15. Dados os vetores u = (1,3,0,-1) e v = (3,0,2,1) encontre: a) u+v b) u-v c) 3u

d) 2

1u - v

e) x se x+u=0 f) 2u + 2v

16. Encontre os valores de a e b para os quais, w seja uma combinação linear de u e v ou seja, w = au + bv, sendo w = (-2,7), u = (1,3) e v = (-1,4).

17) Verifique se existem escalares x, y e z tais que (1,5,7) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) ou seja, verifique se o vetor (1,5,7) é combinação linear dos demais vetores e para quais valores de x, y e z.

18) Verifique se são combinações lineares, encontrando x, y, z:

a) x ( 1,1,1) + y (1,2,0 ) + z ( 2,0,0 ) =( 1,-2,5 ) b) x (2,1,3 ) + y ( 3,-1,0 ) + z ( 6,0,0 ) =( 3,-1,4 ).

19) Considere os conjuntos A = {u,v,w} e B = {v, w, s}, com u = (1,1,-1), v = (2,-1,0), w =

(3,2,0) e s = (4, -2,0): (a) O conjunto A é formado por vetores LI ou LD? (b) O conjunto B é LD? Justifique. (c) Os conjuntos A e B formam bases de R3? Justifique

20) Verifique se o conjunto S = {(0,2), (0,4)} é base de R².

a) →

u - →

v

b) →

v - →

u

c) -→

v -2→

u

d) 2→

u - 3→

v

a) 4→

a - 2→

b - →

c

b) →

a + →

b + →

c

c) 2→

b - (→

a +→

c )



Respostas: 1) NA; AD; AB; AO; AM; AH; AI; AC; AC;AC; AI; BA

2)

3) Resultado algébrico

4)

5)

6)

7c)

9)

10) w=(-7/2,5/2); 11ª) (3,2); b) (-1,-6); c) (7,2); 12ª) (2,-4); b) (4,1); © (2,5); (d) (6,-3); (e) (-2,-5). 13) (a) (2,-1); (b) (-4,10); 14a) (-4,3); b) (1, -16/3); c) (2,-7); 15ª) (4,3,2,0); b) (-2,3,-2,-2); c) (3,9,0,-3); d) (-5/2,3/2,-2,-3/2); e) (-1,-3,0,1); f) (8,6,4,0); 16) w=-u/7+13v/7; 17) Sim, para x = 1, y = 5 e z = 7; 18) Sim para x = 5, y=-7/2 e z=-1/4; b) Sim para x = 4/3, y = 7/3 e z = -10/9; 19) a) LI; B) LD por os vetores de B combinados com o vetor nulo resulta em solução indeterminada.; c) A é base porque é LI e B não é base porque é LD; 20) S não é base porque é LD. 5 Produto Interno (ou Produto Escalar), Vetorial e Misto

5.1 Produto Interno (ou escalar)

efini-se como Produto Interno (ou Escalar) entre vetores de um Espaço Vetorial V, a uma aplicação de V x V em R, que a todo par de vetores (u,v) ∈ V x V, associa um número real (u.v) ou <<<<u,v>>>> (lê-se: u escalar v) e que satisfazem os seguintes

axiomas: u . v = v. u; u . (v + w) = u . v + u . w; (k.u) . v = k . (u . v) para todo número real k; u . v ≥ 0 e u .u = 0 se, e somente se, u = 0.

Assim, para os vetores u e v de R2 com = (x1,y1), v = (x2,y2), denomina-se produto escalar o número real u . v ou < u, v > definido por:

u . v = (x1 . x2 ) + (y1 . y2) = < u, v > (lê-se: u escalar v) De forma similar podemos operar com vetores de Rn. Assim, para u = (u1, u2,..., un ) e v = (v1, v2, ..., vn) vetores de R

n temos,

D



u . v = (u1 . v1+ u2 . v2 + ... + un . vn) Exemplo 1: Se u=(2,3) e v=(4,-1) então o produto escalar de u com v é igual a 5 porque

fazendo <u,v> temos u . v = 2.4 + 3.(-1) = 5 portanto, o Exemplo 2: O produto interno usual em R2 dos vetores u = (-2,6) e v = (3,-4) é: < u, v > = u . v = -2.(3) + 6.(-4) = -6-24 = -30.

Observe que: Se →

u = x1 +y1 + z1 e →

v = x2 + y2 + z2 então o produto escalar (ou

produto interno) dos dois vetores que é representado por →

u .→

v é o número real obtido multiplicando as componentes correspondentes do vetor e somando os produtos obtidos. Assim,

→

u .→

v = (x1.x2 + y1.y2 + z1.z2)

Exemplo 3: Se →

u = 3x – 5y + 8z e →

v = 4x - 2y – z o seu produto escalar é: →

u .→

v= (3,-5,8).(4,-2,-1) = (12 + 10 – 8) ⇒ →

u .→

v = 14

Tente você! Dados os vetores →

u = (4,α , -1) e →

v = (α , 2, 3) e os pontos A = (4. –1, 2) e B

= (3, 2, -1), determinar o valor de α tal que →

u .(→

v + →

BA ) = 5

5.2 Produto Vetorial

produto vetorial tem como resultado um vetor, por isso é nomeado de produto vetorial. Este produto tem aplicação, por exemplo, na Física: a força exercida sobre uma partícula carregada, mergulhada num campo magnético, é o vetor resultante do produto vetorial

entre o “vetor velocidade da partícula” pelo “vetor campo magnético”, desde que a carga seja unitária e o campo seja constante. Definição I: Seja u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), vetores do espaço tridimensional.

Definimos como produto vetorial, ao vetor u x v, tal que:

u x v =

+

−

22

11

22

11

22

11det,det,det

yx

yx

zx

zx

zy

zy

Definição II: Ou, dados dois vetores →

u e →

v , tomados nesta ordem, chama-se produto

vetorial dos vetores →

u e →

v e se representa por →→

× vu ao vetor,

=×→→

vu

222

111

zyx

zyx

kyi→→→

O produto vetorial de →

u por →

v é também indicada por →

u ^→

v e se lê: →

u vetorial →

v .

Exemplo 1: Calcular o produto vetorial dos vetores →

u = 5→

i + 4→

j + 3→

k e →

v =→

i +→

k .

Resolução:

O



u= ( 5,4,3 ) e →

v = ( 1,0,1 ) então →→→→→

→→→

→→

−−=×==× kjivu

kji

vu 424

101

345 = (4, -2,-4)

Exemplo 2: Sejam os vetores de R3, u = (1,-1,2) e v=(0,3,4), então,

u x v =

−−

−30

11,

40

21,

43

21 = ((-4-6), -(4-0), (3-0)) = (-10, -4, 3).

Logo, o produto vetorial de u com v é u x v = (-10, -4, 3).

Ou u x v=

430

211 −kji

= -4i+0j+3k-0k-6i-4j = -10i – 4j + 3k = (-10, -4, 3) = u x v.

5.2.1 Propriedades

s propriedades do produto vetorial se definem em:

(i) →→

× vu =0, se um dos vetores é nulo ou se →→

veu são colineares.

(ii) →→

× vu ≠→→

× uv . Se trocarmos à ordem dos vetores →→

× vu e →→

× uv verifica-se que é oposto, o que significa que o produto vetorial não é comutativo.

(iii) →→

× vu = -→

v→

× u

(iv) =

+×→→→

wvu→→

× vu + →→

× wu

(v) (m→

u )→

× v =m (→→

× vu )

(vi) →→

× vu é ortogonal simultaneamente aos vetores →→

veu .

Exemplo 1: (Propriedade vi) Dados os vetores →

u = 3→

i +2→

y - 4→

k e →

v = 2→

i - 2→

y + →

k , seu

produto vetorial é kyi

kyi

vu 10116

122

423 −−=−

−=×→→

→→→

→→

.

Sabemos que, se o produto escalar dos vetores →

u e →

v for zero, eles são ortogonais,

ou seja, →

u .→

v = 0 090=⇒ θ . Então:

a) (→→

× ).vu→

v ( )( )1,2,2.10,11,6 −−−−⇒ = 12+22-10=0.

b) (→

u ×→

v ).→

u ( )( )4,2,3.10,11,6 −−−−⇒ = -18-22+40=0

Logo →→

× vu é ortogonal simultaneamente as vetores →

u e →

v .

5.3 Produto Misto

A



produto misto tem como resultado um escalar, obtido a partir da utilização do produto escalar e do produto vetorial. Pode ser utilizado, por exemplo, para encontrar o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores.

Definição I: Sejam →

u , →

v e →

w , vetores do espaço, com →

u = (x1, y1, z1); →

v = (x2, y2, z2) e →

w

= (x3, y3, z3). Defini-se como produto misto de →

u , →

v e →

w , indica-se por →

u (→

v x→

w ) ao escalar resultante de:

→

u (→

v x→

w ) = det

333

222

111

zyx

zyx

zyx

Definição II: Dados os vetores →

u , →

v e →

w , tomados nesta ordem, chama-se produto misto

dos vetores →

u , →

v e →

w ao número real →

u (→

v x →

w ). Indica-se produto misto por (→

u , →

v ,→

w ). Exemplo 1: Calcular o produto misto dos vetores u, v e w para

→

u =2→

i +3→

y +5→

k , →

v =-→

i +3→

y +3→

k e →

w= 4→

i - 3→

y + 2→

k

Resolução: →

u (→

v x →

w ) =

234

331

532

−− = 27 =

→

u (→

v x→

w ) .

Resposta: O produto misto dos vetores é 27. Ou, podemos resolver por aplicação de produto interno e produto vetorial:

→

u (→

v x →

w ) = →

u . 234

331

−−

kji

= →

u .(15i+14j-9k) = (2,3,5).(15,14,-9)=30+42-45=27

Exemplo 2: O produto misto dos vetores u = (-1,2,3), v = (1,1,-1) e w = (2,4,-6) é

→

u (→

v x →

w ) = det =−−

−=

−−

−

642

111

321

642

111

321

(6-4+12)-(6+4-12) = 16 .

Resposta: O produto misto dos vetores é 16.

Ou, podemos resolver por aplicação de produto interno e produto vetorial:

→

u (→

v x →

w ) = →

u .

642

111

−−kji

= →

u .(-2i+4j+2k) = (-1,2,3).(-2,4,2)=2+8+6=16

5.3.1 Propriedades

s propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes.

(→

u , →

v ,→

w ) = 0 → O produto misto é nulo se um dos vetores é nulo, se dois são colineares, ou se três são coplanares.

(i) Se →

u é nulo as suas componentes são (0,0,0 ) então (→

u , →

v ,→

w ) = 0.

Assim, (→

u , →

v ,→

w ) = 0

000

333

222 =zyx

zyx .

O

A



Exemplo 1: Se →

u = (0,0,0), →

v = (2,3,1) e →

w= (4,2,2) então,

(→

u , →

v ,→

w ) =

224

132

000

=0+0..+0=0

(ii) Se nem →

u , nem →

v , nem→

w são nulos, mas →

u e →

v são colineares (ou paralelos) então (→

u , →

v ,→

w ) = 0. Note que, neste caso, →

u = m.→

v

Exemplo 1: Se →

u = (1,2,3), →

v = (2,4,6) e w = (-1,2,7) então,

(→

u , →

v ,→

w ) ( ) 0122812121228

721

642

321

⇒++−−+−=−

.

Observe que →

u = 2.→

v portanto, u e v são colineares.

(iii) Se nenhum vetor é nulo e os vetores não são dois a dois colineares (ou paralelos) então

os vetores são coplanares se (→

u , →

v ,→

w ) = 0.

Exemplo 1: Se →

u = (-2,-2,-6), →

v = (-1,0,-2) e w = (-3,-1,-7) então,

U(vxw) = 0

713

201

622

=−−−−−−−−

. Logo são coplanares.

Note que:

• Produto interno (ou escalar) é o produto entre dois vetores que gera um escalar (escalar é um número).

• Produto Vetorial é o produto entre dois vetores que gera um vetor. • Produto Misto é o produto entre três vetores que combina produto interno com

produto vetorial e gera um escalar.

5.4 Aplicações de Produto de Vetores: Interpretação Geométrica

5.4.1 Produto Vetorial e Área de Paralelogramo

eometricamente, o módulo (magnitude, comprimento) do vetor resultante do produto

vetorial de dois vetores →

u e →

v equivale a medida da área do paralelogramo ABCD

determinado pelos vetores →

u =→

AC e →

v = →

AB

C D

→

u

A →v B

Área = →→

× vu (módulo do produto vetorial)

Exemplo 1: Dados os vetores u = (1,2,4) e v = (-1,2,3). Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v.

Resolução: (a) Encontrando o produto vetorial e u e v

G



→→→→→→

→→→

→→

+−−+−=−

=× kyikji

kji

vu 238246

321

421 =→→→

+−− kji 472 = (-2,-7,4)

(b) Encontrar o módulo do vetor resultante (-2,-7,4). →→

× vu = )4,7,2( −− = 222 )4()7()2( +−+− = 16494 ++ = 69 .

Resposta: A Área = →→

× vu = 69 u.a. (unidade de área)

Exemplo 2: Dados os vetores u = (1,2,-1) e v = (0,-1,3). Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores 3u e u-v.

Resolução:

Área =

−×

→→→vuu3 =?

Temos que 3u = (3,6,-3 ) e u-v = ( 1,3,-4 ) ⇒

⇒ 3u x (u-v) = →→→

→→

++−=−− kji

kji

3915

431

363 = (-

15,9,3). Portanto,

Área = ( ) ( ) ua3533153915 222 ==++−

5.4.2 Produto Misto e Volume do Paralelepípedo

eometricamente o produto misto →

u (→

v × →

w ) é igual, em modulo, ao volume do

paralelepípedo com arestas determinadas pelos vetores →

u =→

AD , →

v =→

AB e →

w=→

AC .

Assim, a área da base do paralelepípedo é |vxw|. Seja θ o ângulo entre os vetores u e v x w. Sendo v x w um vetor ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto, h=|u|.|cosθ|. u v w

Portanto, v = | (u, v, w)|

v=

→→→

wv ,,u

v=

×

→→→

wvu

Exemplo 1: Qual o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u = (3,-12, -2), v = (1, -

1, 0) e w= (2, -1, 2)?

G



Resolução: Sabemos que o volume do paralelepípedo é igual ao módulo do número resultante do produto misto dos três vetores. Assim, (a) vamos encontrar o produto misto dos vetores u, v e w ou

u(vxw)=

212

011

2123

−−

−−=-6+0+2-(4)-(0)-(-24) = -6+2-4+24= 16.

(b) como o volume do paralelepípedo é igual ao )(vxwu temos:

|u(vxw)| = |16| = 16. Resposta: O volume procurado é 16 u.v. (unidade de volume)

Exemplo 2: Sejam os vetores u = (3, m, -2), v = (1, -1, 0) e w= (2, -1, 2). Calcular o valor

de m para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja igual a 16 unidades de volume. Resolução: Sabemos que o volume do paralelepípedo é igual ao módulo do número resultante do produto misto dos três vetores, ou seja, V = |u(vxw)| e, neste caso, devemos ter |u(vxw)| = 16. Assim, (a) vamos encontrar o produto misto dos vetores u, v e w ou

u(vxw)=

212

011

23

−−

−m

=-6+0+2-(4)-(0)-(2m) = -2m-8.

(b) como o volume do paralelepípedo é 16, temos: |u(vxw)| = 16 |(-2m - 8)| = 16.

Por definição de equação modular se ax = , então x = - a ou x = a. Assim,

|(-2m - 8)| = 16 então

−=−−=−−

1682

1682

m

m.

Resolvendo o sistema encontramos m = -12 ou m = 4 que é a solução do problema.

Exemplo 3: Dados os vetores →

u = (x,5,0) , →

v = (3,-2,1) e →

w= (1,1,-1), calcular o valor de x

para que o volume do paralelepípedo determinados por →

u ,→

v e →

w seja 24 u.v. (Unidades de Volume).

Resolução: v=→

u (→

v × →

w ) = 24 20

111

123

05

+=−

−⇒ x

x

v= (→

u ,→

v ,→

w ) Então

−=⇒−=+

=⇒=+⇒=+

442420

42420

2420

xx

ou

xx

x .

Portanto, os valores de x para os quais o volume do paralelepípedo seja igual a 24 u.v., é x = 4 ou x = -44.

5.4.3 Produto Misto e Vetores Coplanares

rês vetores →

u , →

v e→

w são coplanares se o produto escalar →

u (→

v x→

w ) é nulo. Ou seja, se

→

u , →

v e →

w são coplanares, o vetor →

v x→

w por ser ortogonal aos

T



vetores →

v e→

w , é ortogonal ao vetor →

u . Portanto se →

u e (→

v x→

w ) são ortogonais. É fácil

identificar que reciprocamente, se nenhum dos vetores →

u ,→

v ,→

w é nulo e se dois quaisquer

deles não são colineares, o anulamento (→

u , →

v ,→

w ) significa que →

u , →

v e→

w são coplanares.

Portanto, se (→

u , →

v ,→

w )= 0 os vetores →

u , →

v e →

w são coplanares (estão no mesmo plano).

Exemplo 1: Verificar se são coplanares os vetores →

u = (3,-1,4), →

v = (1,0,-1) e →

w= (2,-1,0) Resolução:

(→

u , →

v ,→

w )= 05

012

101

413

≠−=−

−−

.

Os vetores não são coplanares porque seu produto misto é diferente de zero.

Exemplo 2: Encontre o valor de m para que todos os vetores →

a = (m,2,-1), →

b = (1,-1,3) e →

c = (0,-2,4) sejam coplanares.

Resolução: (→

a ,→

b ,→

c ) = 0

3

62

02864

0

420

311

12

==

=+−+−⇒=

−−

−⇒

m

m

mmm

Exemplo 3: Verificar se os pontos A (1,2,4 ) , B (-1,0,-2 ) , C (0,2,2 ) e D (-2,1,-3) estão no

mesmo plano.

Resolução: Os quatro pontos dados são coplanares se os vetores →

AB , →

AC e →

AD

têm produto misto nulo. (Dica: →

AB =B-A =(-1,0,-2)-(1,2,4)=(-2,-2,-6). Idem para →

AC e →

AD ).

Assim, (→

AB , →

AC ,→

AD ) = 0 ⇔ 0

713

201

622

=−−−−−−−−

. Logo são coplanares.

Exemplo 4: Verificar se são coplanares os vetores u = (2,-1,1), v=(1,0,-1) e w = (2,-1,4).

Resolução: Como (u,v,w) =

412

101

112

−−

−=3≠ 0 os vetores não são coplanares.

6 Módulo ou Norma de um Vetor

6.1 Definição de módulo do vetor:

norma de v ou módulo de v é o comprimento do vetor v, representado por v ou v .

O módulo de um vetor é calculado por meio de um produto interno, onde v = vv. .

Assim, o módulo ou norma de um vetor v é o número real não negativo, resultante da raiz quadrada do produto interno (ou escalar) do vetor v com ele próprio ou "v escalar v".

A



� Se v é vetor do plano tal que v = (x,y) ∈ R2 então:

O módulo do vetor v no plano é dado por vvv .= = 22yx + (Teor.12 de Pitágoras)

� Se v é vetor do espaço que v = (x,y,z) ∈ R3 então:

O módulo de um vetor v é dado por v = 222zyx ++

Geometricamente, temos:

Módulo de vetor no plano Módulo de vetor no plano Módulo de vetor no espaço A demonstração é simples: Por exemplo, aplicando o Teorema de Pitágoras, se v é vetor do plano tal que v = (x1,y1) então,

v2 = (x1-0)2 + (y1-0)

2 = (x1)2 + (y1)

2 = 2

1

2

1 yx + = v

Note que, o módulo de um vetor é um número real não negativo representado por

→→→→

== vvvv .)( 2

Exemplo 1: Se v=(2,1) ∈ R2, então v = 22 )1()2( + = 14 + = 5 u.m.(unidade de medida)

Exemplo 2: Se v = (-3,5), vetor do plano, então v = 22 )5()3( +− = 259 + = 34 u.m.

Exemplo 3: Se v=(2,1,-2), vetor do espaço, então

v = 222 )2()1()2( −++ = 414 ++ = 9 =3 u.m.

6.2 Proposições: � Para um vetor v = AB com extremidades nos pontos A(x1,y1) e B = (x2,y2), o módulo

de v será: v = AB = 2

12

2

12 )()( yyxx −+− = AB − (mesma fórmula da distância

entre dois pontos A e B).

� Se u, v são vetores de Rn então, d(u, v) = 2

12211 )(...)()( nvuvuvu −++−+− =

vu − , sendo u= (u1, u2, ... , un) e v = (v1, v2, ... , vn).

� Dados os vetores u, v, w de Rn e k, um escalar real, tem-se: (i) u . v = v . u (ii) u (v+w) = uv + uw (iii) k (u.v) = (ku).v = u.(kv)

12 Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

(x1- 0)

(y1- 0)

y1

| v |

v=(x1,y1)

x1 0



(iv) v.v > 0 qualquer que seja u e u.u = 0 se u = 0 = (0,0,...,0)

(v) v.v = 2

v

Conseqüência das proposições:

(1) 2

vu + = 2

u + 2uv + 2

v

(2) 2

vu − = 2

u - 2uv + 2

v

6.3 Vetor Unitário e Versor de um Vetor:

� Se v é um vetor tal que v =1 então v é

denominado vetor unitário. Por exemplo, os

vetores u = (1,0), v = (0, -1) e w = (5

4,

5

3−) são

vetores unitários. � A partir de qualquer vetor v, podemos encontrar um vetor unitário w (nomeado de

versor de v). Para isso usamos a fórmula matemática w=v

v pois w= w = ||.

1 vv

=1.

� Todo vetor unitário w de mesma direção e mesmo sentido de um vetor não nulo →

v é

chamado de versor de →

v . Por exemplo, veja figura:

→

v

→

1u é o versor de →

v

→

2u não é o versor de →

v

� A todo vetor →

v é possível associar dois vetores unitários w e (-w) de mesma direção de

v pois →→

−= uu = 1.

Exemplo 1: O vetor v=(0,-1) é um vetor unitário porque v = 22 )1()0( −+ = 10 + = 1= 1.

Exemplo 2: O vetor v = (1,1) não é unitário porque v ≠1.

Exemplo 3: A partir do vetor v = (1,1) não unitário encontrar um vetor unitário w.

Resolução: w=v

v=

22 )1()1(

)1,1(

+=

2

1,

2

1.

O vetor w encontrado é nomeado de versor de v e é unitário porque w = 1.

Exemplo 4: A partir do vetor encontre um vetor unitário, ou determine um vetor unitário u na direção do vetor v = (2,-2, 1).

Resolução: Observe que o vetor v = (2,-2,1) não é um vetor unitário pois o seu

comprimento é diferente de 1 ou seja, 3 9 1(-2)(2) v 222 ==++= ≠ 1.

Obtemos o vetor unitário u a partir de v, aplicando a fórmula,

Os vetores →

1u e →

2u da figura ao lado são vetores

unitários, pois têm módulo igual a 1. No entanto, apenas →

1u tem a mesma direção e o mesmo sentido de →

v . →

2u

→

1u



u =v

v=

222 )1()2(2

)1,2,2(

+−+

−=

9

)1,2,2( − ou

9

1. ( )1,2,2 − =

−3

1,

3

2,

3

2 = u.

O vetor u encontrado é um vetor unitário pois seu módulo (ou norma) é igual a 1. Fazendo a verificação!

u = ( ) ( ) ( )2223/13/23/2 +−+ =

9

1

9

4

9

4++ =

9

9= 1= 1

6.4 Módulo de Vetor Livre

omo já vimos, um vetor pode ser representado por um segmento orientado que não parte

da origem do sistema. Neste caso, o vetor é representado por um segmento AB (Fig.a) de origem no ponto A(x1,y1) e extremidade em B(x2,y2) e para determinar sua representação algébrica fazemos:

AB = B – A

),(),( 1122 yxyxAB −=

),( 1212 yyxxAB −−= = v (vetor)

O módulo deste vetor é determinado a partir do cálculo da distância entre dois pontos AB (Fig.b), definido por: Assim,

DistAB = →

AB = AB −

B – A = (x2,y2) – (x1,y1) B – A = (x2 - x 1, y2 - y1)

DistAB = AB − = 2

12

2

12 )()( yyxx −+−

De forma similar, em R3 A distância entre dois pontos P = (x1, y1, z1) e Q = (x2, y2,

z2) é igual a norma do vetor →

PQ . Observe a Fig.(c).

Como →

PQ= →→

− OPOQ = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), então a distância de P a Q é dada por:

dist (P, Q) = | →

PQ | = 2

12

2

12

2

12 )()()( zzyyxx −+−+−

Fig.(a) Fig.(b) Fig.(c) v =

→→− OPOQ

Exemplo 1: A norma (ou módulo) de v = (-1, - 3, 4) é |v|= 222 )4()3()1( +−+− = 26 .

Exemplo 2: A distância entre os pontos P = (-1, - 3, 4) e Q = (-1, 2, -2) é:

dist (P, Q) = |→

PQ | = 222 )42())3(2())1(1( −−+−−+−−− = 36250 ++ = 61 .

C



Exemplo 3: Sabendo que a distância entre os pontos A(-1,2,3) e B(1,-1,m) é 7, calcular o valor de m.

Resolução:

A 7 B ou seja →

AB = 7

→

AB = B – A ⇒ (1,-1,m) – (-1,2,3) = (2,-3,m-3) →

AB = 222 )3()3(2 −+−+ m = 7 ⇒ m = 9 ou m = -3

Exemplo 4: Determinar o valor de a para que o vetor →

V = (a,4

1,

2

1−) seja unitário.

Resolução: Vetor unitário ⇒ →

V = 1

→

V = 16

1

4

12 ++a = 1 ⇒ 16 = 16 2a + 5 ⇒ a = ±

4

11

Exemplo 5: Dados os vetores u= (2,n,-1) e v= (n,5,-1) e os pontos A(1,-1,2) e B(1,2,-1), determinar o valor de n tal que u(v+AB) = 5

Resolução: AB= B-A =(1,2,-1)- (1,-1,2)=(0,3,-3) Se u(v+AB)= 5⇔ (2,n,-1).[(n,5,-1)+(0,3,-3)]=5 ⇔ (2,n,-1).(n,8,-4)=5

⇔ 2n+8n+4=5 ⇔ 10n+4=5 ⇔ 10n=5-4 ⇔ n= 10

1

Exemplo 6: Dados os pontos P(-3,4) e Q = (-4,-1), determine o vetor u = PQ, o módulo de u, a distância entre P e Q e encontre um versor w de u. Resolução:

• u = PQ ⇒ u = (-4,-1) – (-3,4) = (-1, -5)

• u = 26)5()1( 22 =−+−

• DPQ= 26251)41())3(4( 22 =+=−−+−−−

• w = u

u =

−−=

−−=

−−26

265,

26

26

26

5,

26

1

26

)5,1(. Note que w é um vetor unitário

obtido a partir de u, portanto w é versor de u. Exemplo 7: A partir do vetor u = (3, 4) encontre o versor v de u (ou encontre um vetor unitário v na direção do vetor u)

Resolução: Observe que o vetor u = (3, 4) não é um vetor unitário, pois o seu comprimento é diferente de 1 ou seja,

152543 22 ≠==+=u

Obtemos o vetor unitário v a partir de u, aplicando a fórmula:

v = uu

.||

1

Assim, v = uu

.||

1

= ( ) ( )

=

=

+ 5

4,

5

34,3.

5

14,3.

43

1

22. Observe o vetor projetado no

plano. Seu módulo (comprimento) é igual a 1 u.m.(unidade de medida)




Lista 4 de Atividades

1) Dados os vetores: →

u = ( 2, -1, 1 ), →

v = ( 1, -1, 0 ) e →

w= ( -1, 2, 2) , calcular :

a) <→

w ,→

v >; b) →

v . (→

u -→

w ); c) ( 2→

u ).(3→

v ); d) (→

u +→

v ).(→

u -→

v )

e) →

w ×→

v ; f) →

v ×→

w ; g) →

u x→

v ; h) (→

u ×→

v ).(→

u ×→

v )

i) →

w (→

u ×→

v ); j) →

u (→

w x→

v ); k) →

v (→

w x→

u ); l) →

v ×(→

u -→

w )

2) Dados os pontos A(2,-1,2), B(1,2,-1) e C(3,2,1), determinar o vetor

−×→→→

CABCCB 2 .

3) Considere os vetores do espaço, u = (2,-4,5), v = (1/2, -2, -1) e w = (1,1,1).Demonstre a propriedade de produto interno (ou escalar) definida em: (i) u.v=v.u (ii) u(v+w)=u.v +u.w

4) Dados os vetores →

u = (4, ∝,-1) e →

v = (∝,2,3) e os pontos A(4,-1,2) e B(3,2,-1),

determinar o valor de ∝ tal que →

u .(→

v + →

BA) = 5

5) Sejam u = ( 2, 3, 4, 0), v = ( 1, 2 , 3, 2) e w = ( 3, 2 , -1, -1), vetores de R4. Encontre: a) < u, v> b) <u, w> c) v.w

6) Determine o valor de x de modo que (x, 1, 3, 2).(2, x, 0, x) = 3 7) A partir do produto interno, vetorial e misto, podemos resolver alguns problemas. Por

exemplo, calcular o módulo de vetor, a área de paralelogramo e triângulos e, o volume de paralelepípedo. Aplicando estes conceitos, determine:

7.1) Sejam os vetores →

u ( 3,1,-1 ) e →

v = ( a,0,2 ).Calcular o valor de a para que a área

do paralelogramo determinado por →

u e →

v seja igual a 62 . 7.2) Calcular a área do triângulo cujos vértices são os pontos A=(1,-2,1); B=(2,-1,4) e

C=(-1,-3,3). (Dica: Fórmula da Área do triângulo é S∆ =→→

× vu2

1)

7.3) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos

vetores →

1v , →

2v e →

3v seja igual a 10 para: →

1v =2→

i - →

y , →

2v =6→

i +m→

y -2→

k e →

3v =4→

i +k.

7.4) Os vetores →

a = (2,-1,-3 ), →

b = (-1,1,-4 ) e →

c = (m+1, m, -1) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular m. 7.5) Encontre o módulo dos vetores u = (2,4,5) e v = (-1, 3,4).

8) Verifique se os vetores u = (-1,3), v = (1,1) e w = (2,4) são unitários. 9) Encontre o versor w, dos vetores: (a) u = (1,2,3); (b) v = (-1,3,2); (c) s = (0,2,1).

10)Determinar ∝ para que o vetor →

v = (∝,2

1,

2

1−) seja unitário.

11) Sabendo que a distância entre os pontos A(-1,2,3) e B(1,-1,m) é 7, calcular m.

12) Determinar x para que o vetor →

v = (x,2

1,

3

1) seja unitário.

13) Dados os vetores de lR2, definidos por u= (1,2,3), v=(-1,1,4) e w = (1,1,3), encontre: (a) O produto interno entre v e w (b) vx(u-w) (c) O produto misto entre w, u e v (d) O volume do paralelepípedo formado por w, u e v

(em m3). (e) <u,v> (f) ux(v-w) (g) u(vxw) (h) O volume do paralelepípedo formado por u, v e w.



αααα

(i) u.w (j) ux(w-v) (k) O produto misto entre v, u e w. (l) O volume do paralelepípedo formado por v, u e w. (m) A área do paralelogramo formado por u e v (em m2) (n) A área do paralelogramo formado por v e w (o) A área do paralelogramo formado por u e w (p) A quantidade de papelão gasto para construir um paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w em m2 (desconsidere as bordas para colar as laterais e bases do objeto). Respostas: 1a) -3; b) 6; c) 18; d) 4; e) 2i+2j-k ou (2,2,-1); f) -2i-2j+k; g) i+j-k; h) 3; i) -1; j) 1; k) -1; l) i+j ou (1,1,0); 2) (12,-8,-12) ou 12i-8j-8k; 3) (i) provar que u.v=4=v.u; (ii) provar que u(v+w)=7=u.v+u.w; 4) x = 7/3;

5(a) 14 + 3. 21/2 (b) 2+ 3. 21/2 (c)0; 6) x = 3/5; 7.1) a=-2 ou a = -4; 7.2) S= au.2

103; 7.3) m=-2 ou m = -12;

7.4) m=2 ou m=-8/3; 7.5) 53=u e 26=v ; 8) Os vetores u, v e w não são unitários pois tem módulo diferente

de 1 unidade ou seja, 10=u , 2=v e 52=w ; 9) Os versores procurados são: (a) w =

14

3,

14

2,

14

1;

(b) w =

−

14

2,

14

3,

14

1;(c) w =

5

1,

5

2,0 ; 10) ∝ =

2

2± ; 11) m = -3 ou m = 9; 12) ∝ =

6

23± ; 13)

(a) <v,w> = 12 (b) vx(u-w)= -4i – k ou (-4,0,-1) (c) w(uxv) = 7 (d) O volume do paralelepípedo formado por w, u e v é 7m3. (e) <u,v> = 13 (f) ux(v-w) = 2i-7j+4k = (2,-7,4) (g) u(vxw) = 7 (h) O volume do paralelepípedo formado por u, v e w é 7m3. (i) u.w = 12 (j) ux(w-v) = -2i+7j-4k ou (-2,7,-4) (k) v(uxw) = -7 (l) O volume do paralelepípedo formado por v, u e w é 7m3.

(m) A área do paralelogramo formado por u e v é S= 17 m2

(n) A área do paralelogramo formado por v e w é S=3 6 m2

(o) A área do paralelogramo formado por u e w é S= 10 m2 (p) A quantidade de papelão gasto para construir um paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w em m2 é de

2( 17 +3 6 + 10 ) m2= 29,26m2 considerando 17 =4,12, 6 =2,45 e 10 =3,16

7 Ângulos e Vetores: Paralelismo e Ortogonalidade

7.1 Ângulo de dois vetores:

produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma u.v = |u| |v| cos αααα onde αααα é o ângulo formado pelas semi-retas que contém u e v

tal que 0 ≤ v ≤ 180º. A partir desta definição de produto escalar, podemos obter o ângulo entre dois vetores genéricos u e v, não-nulos, fazendo

cos αααα = vu

vu

.

., para os vetores u ≠ 0 e v ≠ 0.

Após encontrar o valor do cos αααα , encontramos o ângulo αααα na tabela de cossenos.

Ou: O ângulo de dois vetores →

u e →

v não nulos é o ângulo αααα formado pelas semi-retas AO e OB e tal que 0 πα ≤≤ . Demonstração: Sejam os vetores u e v abaixo e αααα o ângulo entre eles

O



Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC tem:

αcos..2222

vuvuvu −+=− . Lembrando que →→

−+=− vuvuvu 2222

Então comparando as duas equações temos:

αcos222222

vuvuuvvu −+=−+

uv2− = -2 αcosvu ⇔ -2 αcosvu = uv2− ⇔ αcos = vu

uv

2

2

−−

vu

vu.=

Portanto, cos ααααvu

vu.=

PROPOSIÇÕES

(a) Se α = π, →

u e →

v têm a mesma direção e sentidos contrários.

(b) Se α = 0, →

u e →

v têm a mesma direção e mesmo sentido.

(c) Se α = 2

π,

→

u e →

v são ortogonais e

indica-se: →

u ⊥ →

v .

Neste caso o ∆ OBC permite escrever: (teorema de Pitágoras) =+→→ 2

vu22 →→

+ vu

(d) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor.

(e) Se →

u é ortogonal a →

v e m é um número real qualquer, →

u é ortogonal a m→

v .

(f) O ângulo formado pelos vetores →

u

e (-→

v ) é o suplemento do ângulo de →

u e →

v .

Exemplo 1: Se u = (-2,-2) e v = (0, -2) então o ângulo ß entre os vetores u e v é de 45°.

Verificando: cos ß = vu

vu

.

.=

2222 )2()0(.)2((-2)

,-2)(-2,-2).(0

−+−+

αααα αααα

αααα = 0

αααα = ππππ

ππππ-αααα αααα



cos ß = 2

2

2

1

24

4

32

4

4.8

40====

+

cos ß = 2

2então ß = 45o

Exemplo 2: Calcular o ângulo entre os vetores →

u = (1,1,4) e →

v= (-1,2,2)

Resolução: cosθ = →vu

vu

.

.23181611 ==++=u → 39441 ==++=v

cosθ = ( )( )

2

2

2

1

29

9

29

821

3.23

2,2,1.4,1,1===

++−=

−

cosθ = 045

2

2=→ θ

Exemplo 3: Sabendo que o vetor →

v= (2,1,-1) forma um ângulo de 60° com o vetor →

AB determinado pelos pontos A (3,1,-2) e B (4,0,m), calcular m.

Resolução: →

AB = B – A � ( 4,0,m ) – (3,1,-2 ) � ( 1,-1,m+2)

644411 22____

++=++++= mmmmAB

6114 =++=v

... θ = 60° � cos 60 ° = 2

1

cos θ = ( )( )

( )646

2,1,11,1,2

2

1

.

.

2 ++

+−−=→

mm

m

vu

vu⇒ ( ) ( )2122646 2 −−−=++ mmm

( )646 2 ++ mm =[2(-1-m)] 2 ⇒6m² +24m + 36 = (-2 – 2m)² ⇒ 6m ² +24m + 36= 4 + 8m + 4m²⇒ m²+8m+16=0⇒

∆=(8)2-4.1.16=0⇒m= 42

8

2

08−=

−=

±−

Portanto, m = -4

Exemplo 4: Determinar os ângulos internos do triangulo ABC, sendo A(3,-3,3); B (2, -1, 2) e C ( 1, 0, 2) e seus lados são respectivamente AC, AB e BC.

Resolução: Calcular cos ¬¬ BA cos, e cos ¬C

( ) ( ) ( )1,2,13,3,32,1,2 −−⇒−−−=−=→

ABAB

( ) ( ) ( )1,3,23,3,32,0,1 −−⇒−−=−=→

ACAC

( ) ( ) ( )0,1,12,1,22,0,1 −⇒−−=−=→

BCBC

6141 =++=→

AB

14194 =++=→

AC

211 =+=→

BC

0

^^

10,19

9449,0

28

5

2.14

032

.

.cos

±≅

=++

⇒==

→→

BCAC

BCACCC . Portanto, 0

^

1928

5arccos ==C

De forma similar, encontramos os Exemplo 5: Provar que o triangulo de vértices A ( 2,3,1 ) , B ( 2,1,-1 ) e C ( 2,2,-2 ) é um triangulo retângulo. Obs.: Quando o produto escalar de dois vetores for igual a zero ele é retângulo.



Resolução:

( )2,2,0 −−⇒−=→

ABAB

( )3,1,0 −−⇒−=→

ACAC

( )1,1,0 −⇒−=→

BCBC

( )( ) 086,203,1,02,2,0. ≠=++=−−−−⇒→→

ACAB

( )( ) 02201,1,02,2,0. =+−=−−−⇒→→

BCAB

Logo o triangulo ABC é retângulo.

7.2 Decomposição de um vetor v = P(x,y) A decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo do vetor resultante. Observe a

seqüência de ações nas figuras (a), (b) e (c). • (a) Consideremos o vetor v = P(x,y) nomeado de F sendo F o vetor força e α o ângulo

entre F e o eixo x. • (b) Vamos decompor o vetor F em outros dois vetores Fx e Fy. • (c) Agora, vamos trocar o vetor Fy de posição para formarmos um triângulo

retângulo. (a) (b) (c)

Note que, para determinar o valor de Fx e Fy basta resolvermos o triângulo retângulo

Portanto: ⇒=F

Fysenα Fy = F senαααα

⇒=F

Fxαcos Fx = F cosαααα

7.3 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor

eja o vetor →→→→

++= zkyjxiv .

� Ângulos diretores de →

v são os ângulos γβα ,, que →

v forma com os vetores →→→

kji ,,

respectivamente.

→K

→v

α β

Observação: os vetores da base canônica

{→

i = ( 1,0,0 ), →

y = (0,1,0), →

k = ( 0,0,1 ) }

são ortogonais entre si.

0... ===→→→→→

kykiyi e são unitários

S

αααα αααα

αααα αααα

Fx = vetor força no eixo x Fy = vetor força no eixo y

F = vetor força

αααα = ângulo entre F e o eixo x

Lembrando da trigonometria: hip

ocsen

..=α e

hip

ac ..cos =α

Neste caso: Fx é o cateto adjacente (c.a.) do ângulo, Fy é o cateto oposto (c.o.) do ângulo e F é a hipotenusa.

αααα



∂ →

j

→I

111 =====→→→

kyi

� Cossenos diretores de →

v são os cossenos de seus ângulos diretores isto é, cos γβα cos,cos, .

Para o cálculo dos cossenos diretores, utilizamos a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Demonstração: seja →

v = ( x, y, z ) , →

i = ( 1, 0, 0 ) , →

y = ( 0, 1, 0 ) e →

k = ( 0, 0, 1 ) então:

( )( )→→

→→

=++

==v

x

zyx

zyx

iv

iv

222

0,0,1.,,

.

.cosα

cos→

=v

yγ e cosv

z=β

Exemplo 1:

Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor →

v = ( 6,-2,3 )

cos 0317

6cos

7

6====

=

→ααα

v

x

cos 0107286,0cos7

2=−==

−= βββ

cos 065428,0cos428,07

3===== γγγ

Exemplo 2: Dados os pontos A ( 2,2,-3 ) e B ( 3,1,-3 ). Calcular os cossenos diretores e os ângulos

diretores do vetor →

AB . →

AB = B – A = ( 1,-1,0 )

cos 0452

2

2

1=== αα

cos 01352

2

2

1=

−=

−= ββ

cos 0900cos02

0===== γγγ

Observação Importante: Sempre que um vetor tem nula uma de suas componentes, a sua correspondente é ortogonal (exemplo acima).

7.4 Paralelismo de dois vetores ois vetores u = (u1, u2, ..., un ) e v = (v1, v2, ..., vn) são paralelos (ou colineares) indica-se u//v quando suas coordenadas são proporcionais ou seja:

u ⁄⁄⁄⁄ ⁄⁄⁄⁄ v se n

n

v

u

v

u

v

u=== ...

2

2

1

1 = k , k real.

Os vetores paralelos têm a mesma direção, independe do sentido. Note que u // v // w.

D



Exemplo 1: Considere u = (2,3,-7), v = (-4,-6,14). Verifique se são vetores paralelos. Resolução:

Por definição, u ⁄⁄⁄⁄ ⁄⁄⁄⁄ v se n

n

v

u

v

u

v

u=== ...

2

2

1

1 = k. Fazendo u//v = 14

7

6

3

4

2 −=

−=

− obtemos

u//v = 2

1 . Note que as componentes são proporcionais porque a razão entre elas é k =

21 . Assim, u e v são vetores paralelos.

Exemplo 2: Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores

)1,3,1( += mU e )12,2,4( −= nV

Resolução: ⇒−

==+

1

12

2

3

4

1 nm

4

55432412

2

3

510212222

3

4

1

=⇒=⇒=−⇒−=

=⇒=⇒=+==+

nnnn

mmmm

Exemplo 3: Dados os pontos P(1,2,4), Q(2,3,2) e R(2,1,-1), determinar as coordenadas de um ponto S tal que, P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo.

Resolução: Basta usar uma igualdade para achar as coordenadas de S.

)1,0,1(

121

011

112

)2,1,1()1,1,2(

)2,1,1()4,2,1()2,3,2(

)1,1,2(),,()1,1,2(

==⇒−=−−

=⇒=−=⇒=−

−=−−−−⇒=

−⇒−=−=

−−−−⇒−−=−=

S

zz

yy

xx

zyxPQSR

PQPQ

zyxzyxSRSR

Exemplo 4: Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores U = (m +1,

3,1) e V = (4,2,2n – 1). Solução: A condição de paralelismo de dois vetores permite escrever:

12

1

2

3

4

1

−==

+n

m ou

=−=+

2)12(3

12)1(2

n

m ⇒

=−=+

236

1222

n

m

A solução do sistema permite dizer que m = 5 e n = 5/6

Lembre-se que: • Um vetor v = (x1, y2, z3) pode ter a sua origem em qualquer ponto. Normalmente,

situamos o ponto de origem, na origem do sistema (0,0,0). Quando não é situado a partir da origem, o vetor é livre, ele não tem posição fixa, ao contrário do ponto.

• Ponto Médio de um segmento: É possível determinar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremidades A(x1,y1) e B(x2,y2).

Solução: O ponto médio M é tal que →→

= MBAM ou M – A = B – M. Sendo M(x,y), vem então: (x – x1,y – y1) = (x2 – x,y2 – y) e dai temos x – x1 = x2 – x e y – y1 = y2 – y, por tanto: 2x = x2 + x1 e 2y = y2 + y1



Logo: x = 22

2112 xxxx +=

+ e y =

22

2112 yyyy +=

+

7.5 Ortogonalidade de dois vetores

ois vetores u = (u1, u2, ..., un ) e v = (v1, v2, ..., vn) são ortogonais (ou perpendiculares), quando o ângulo ß por eles formado é de 90° (ângulo reto). Neste caso, cos ß=

cos 90° = 0, o que implica, pela fórmula do cálculo de ângulos de vetores, que o produto interno usual entre eles é zero ou seja,

u . v = 0 Indica-se u ⊥⊥⊥⊥ v.

Podemos afirmar também que cos λλλλ = 0.

.=

vu

vu

Exemplo 1: Considere u = (2,3), v = (-3,2) e w = (-6,4). Verifique se os vetores, dois a dois, são ortogonais. Resolução: u.v= (2,3). (-3,2) = -6 + 6 = 0 logo u e v são ortogonais. u.w= (2,3). (-6,4) = -12 + 12 = 0 logo u e w são ortogonais v.w= (-3,2). (-6,4) = 18 + 8 = 26 ≠ 0 logo v e w não são ortogonais Projete-os no plano cartesiano e verifique se, geometricamente, os vetores ortogonais formam entre si, ângulo reto.

Exemplo 2: Verifique se os vetores u = (-3, 2) e v = (4,3), eles são ortogonais no espaço vetorial V = R2 em relação ao produto interno não usual definido em:

(x1, y1) . (x2, y2) = x1 . x2 + 2 y1 . y2 . Resolução: u.v= (-3,2) . (4,3) = -3.4 + 2.2.3 = -12 + 12 = 0 logo u e v são ortogonais.

Exemplo 3: Verifique se os vetores u = (1,2) e v = (-2,1), são ortogonais no espaço vetorial V = R2 em relação ao produto interno usual.

Resolução: u.v= -2+2=0. Logo u e v são ortogonais.

Ou cos λλλλ = 0.

.=

vu

vu→→→→ cos λλλλ=

5.5

)1,2).(2,1( −→→→→ cos λλλλ=

25

22 +−→→→→ cos λλλλ=0. Se cos λλλλ=0, então

λλλλ=90º, portanto os vetores são perpendiculares ou ortogonais.


Lista 5 de Atividades

1) Sejam u = ( 2, 3, 4, 0), v = ( 1, 2 , 3, 2) e w = ( 3, 2 , -1, -1), vetores de R4. Verifique quais vetores são ortogonais dois a dois e justifique.

2) Considere os vetores u = (-1, 2, 5, 3), v = (3, -6, -15, -9) e w = (0, 1, -1, 1), vetores de R4. Determine: (a) Os vetores são paralelos (verifique dois a dois)? Justifique. (b) Os vetores são ortogonais (verifique dois a dois)? Justifique.

3) Existem valores para k, de modo que u=(2k, 6, 0, 1, 8) e v=(3, 2k, 1, 0, 2) sejam ortogonais?

D



4) Sabendo que o ângulo entre os vetores →

u e →

v é de 600, determinar o ângulo formado pelos vetores:

a) →

u e -→

v

b) - →

u e →

v

c)- →

u e - →

v

d)2→

u e 3→

v 5) Encontre os ângulos diretores e cosseno diretor do vetor u = (-2, 3). 6) Encontre os ângulos diretores do vetor u = (1,3,2). 7) Determinar a e b de modo que os vetores u = (4,1,-3) e v = (6,a,b) sejam paralelos. Respostas: 1) v e w são ortogonais pois v . w = 0; 2) u e v são paralelos pois u/v=k=-1/3; u e w não são paralelos

pois não se define k para -1/0; v e w não são paralelos pois não se define k=3/0; 2b) os vetores u e w, v e w são ortogonais pois seu produto interno é nulo e os vetores u e v não são ortogonais pois seu produto é -127.;

3) Sim, u e v são ortogonais para k = -8/9; 4) a) 120º b) 120º c) 60º d) 60º ; 5) cos α = 13

132−então α =

....; cos β = 13

133então β = ....; 6) cos α =

14

14então α = ....; cos β =

14

143então β = ....; cos λ=

14

142então λ =... 7) u e v são paralelos para a=3/2 e b=-9/2.

Atividade Complementar 1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor V = (2,-5), sabendo

que sua origem é o ponto A(-1,3).

2) Dados os vetores U = (3,-1) e V = (-1,2), determinar o vetor W tal que:

a) 4(U - V ) + 1/3W = 2U - W

b) 3W - (2W - W ) = 2(4W - 3U )

3) Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular →→

− ABOA , →→

− BCOC e →→

− CBBA 43 .

4) Dados os vetores U = (3,-4) e V = (-9/4,3), verificar se existem números a e b

tais que U = a V e = V = b U . 5) Dados os vetores u = (2,-4) e v = (-5,1) e v = (-12,6), determinar K1 e K2 tal que v =

K1u + K2v.

6) Dados os pontos A(-1,3), B(1,0), C(2,-1), determinar D tal que →→

= BADC .

7) Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que →→

= PBAP .

8) Dados os pontos A(-1,2,3) e B(4,-2,0), determinar o ponto P tal que →→

= ABAP 3 . 9) Determinar o vetor v sabendo que (3,7,1) + 2v = (6,10,4) - v. 10) Encontrar os números a1 e a2 tais que w = a1v1 + a2v2, sendo v1 = (1,-2,1), v2 = (2,0,-

4) e w = (-4,-4,14). 11) Verificar se são colineares os pontos:

a) A(-1,5,0), B(2,1,3) e C(-2,-7,-1) b) A(2,1,-1), B(3,-1,0) e C(1,0,4) 12) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3,1,-2), B(1,5,1) e C(a,b,7). 13) Mostrar que os pontos A(4,0,1), B(5,1,3), C(3,2,5) e D(2,1,3) são vértices de um

paralelogramo. 14) Verifique se o vetor u = (1,4) é unitário. 15) A partir dos vetores u = (2,1), v = (-1,3) e w = (1,1) encontre os vetores u´, v´, w´

que sejam unitários.

16) Dados os pontos A(-1,2), B(3,1) e C(-2,4), determinar D(x,y) de modo que ABCD2

1=

17) Sabendo que a distância entre os pontos A(-1,2,3) e B(1,-1,m) é 7, calcular m. Respostas: 1) (1,-2); 16) D = (0,7/2).17)m=-3 ou m = 9.



Bibliografia KAPLAN, Wilfred; LEWIS, Donald J. Cálculo e Álgebra Linear. RJ: LTC, 1975. KUHLJAMP, Nilo. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2007. LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2.ed Rio de Janeiro: LTC, 1999. 504 p. LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. 4.ed Rio de janeiro: LTC, 1999. 390 p. LINS, Romulo Campos e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. São Paulo, Papirus, 1997. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Makron Books, 1987. 581 p. STEINBRUCH, Alfredo. Álgebra linear e geometria analítica. São Paulo: Ed. McGraw-Hill, 1975. 518 p. WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. SP: Makron Books, 2000.

Apostila Algebra Vetores

Documents

Transcript of Apostila Algebra Vetores