Apostila Básica Topografia - C.O.A.C

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AUTOR: Carlos Orestes A. Cavalcante

Março, 2010

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TOPOGRAFIA - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

1. Histórico:

A topografia teve suas raízes no antigo Egito, quando após as cheias os medidores de terra, agrimensores da época, tinham necessidade de restituírem as divisas de propriedades, que eram sazonalmente destruídas por ocasião das cheias periódicas e benfazejas nas suas margens.

No decorrer dos tempos as técnicas utilizadas pelos antigos egípcios, para demarcação de terras, foram se aperfeiçoando e hoje a agrimensura, e a topografia além de dedicar-se a demarcação e divisão de terra (Agrimensura), atua nas mais variadas atividades da engenharia tais como:

• Estradas - ferrovias e rodovias; • Transportes; • Portos e canais; • Irrigação e drenagem; • Cadastro técnico municipal, urbano e rural; • Mapeamento urbano; • Saneamento básico; • Abastecimento d’água; • Urbanização - planejamento urbano; • Projeto de loteamento; • Levantamento planialtimétrico de lotes; • Traçado de cidades; • Locação industrial; • Mineração e pesquisas minerais; • Linhas de transmissão e redes de distribuição de energia elétrica; • Aerofotogrametria; • Geodesia por satélite; • Geoprocessamento; • Montagem de aviões e navios; • Etc.

2. Objetivo

A Topografia tem por objetivo o conhecimento dos instrumentos e métodos que se destinam a efetuar a representação do terreno sobre uma superfície plana denominada de plano topográfico.

O plano topográfico é um plano perpendicular a direção do fio de prumo num determinado ponto da superfície terrestre. O plano topográfico não deverá exceder a 25 km.

Divisão da Topografia:

A Topografia divide-se em:

a ) Topometria

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b ) Topologia

c ) Taqueometria

d ) Fotogrametria

e ) Agrimensura

a) A Topometria tem por objetivo o estudo e aplicação dos processos de medidas, baseado na geometria aplicada, onde os elementos geométricos (ângulos e distâncias) são obtidos através de instrumentos topográficos tais como teodolitos, taqueômetros, estações totais, níveis, receptores GPS, trenas, miras, etc.

A Topometria divide-se em:

a .1 - Planimetria ou placometria;

a .2 - Altimetria ou Hipsometria;

a .1) Planimetria consiste em obter os ângulos e as distâncias horizontais para a determinação das projeções dos pontos do terreno para a representação no plano topográfico.

A Planimetria atua no plano horizontal (plano topográfico) e não leva em consideração o relevo. Os trabalhos provenientes da Planimetria dão origem às plantas planimétricas.

a .2) A Altimetria determina medições que são efetuadas num plano vertical, onde se obtém os ângulos verticais e as diferenças de níveis.

Enquanto a Altimetria dá origem ao perfil e as seções transversais, os processos de medida altimétrico e planimétrico juntos dão origem às plantas planialtimétricas.

A Planimetria e Altimetria utilizam para o seu desenvolvimento a goniologia que é parte da topografia que trata do estudo dos ângulos. A goniologia divide-se em:

* Goniometria que tem por objetivo a medição do ângulo horizontal (no plano do horizonte) e do ângulo vertical (no plano vertical). * Goniografia que trata do transporte do ângulo para o desenho (planta). Ângulo horizontal: é o ângulo medido no plano horizontal (topográfico)

Ângulo vertical: é o ângulo medido no plano vertical (plano perpendicular ao plano topográfico).

O ângulo vertical pode ser:

• Zenital: origem no zênite • Nadiral: origem no nadir • Horizontal: origem no horizonte

Zênite é a direção contrária a direção do Fio de prumo prolongada ao infinito.

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Nadir é a direção do fio de prumo.

b) Topologia: é a parte da topografia que estuda as formas exteriores da terra (relevo) e as leis que regem o seu modelado. (Leia-se os princípios de Brisson e Boulanger)

Ex: 2° princípio de Boulanger - “Quanto mais próximo for o rio da montanha esta é mais escarpada, e quanto mais longe, menos escarpada”.

c) Taqueometria: É a parte da topografia que trata da medida indireta da distância horizontal e diferença de nível. Os aparelhos usados na Taqueometria chamam-se “taqueômetros” que são teodolitos providos de fios estadimétricos e ângulo vertical.

Equipamentos usados na Taqueometria:

• Trânsito - O trânsito dispõe de uma luneta que gira em torno de seu eixo suporte, mede ângulo vertical e ângulo horizontal. As leituras dos ângulos são efetuadas através de limbos externos auxiliados por uma lupa. Também possui fios estadimétricos. O prumo é de cordão.

• Teodolito - O teodolito mede ângulo horizontal e vertical, que são medidos através de um sistema de prismas (leitura Interna). Nos teodolitos eletrônicos os ângulos são lidos num visor de cristal líquido. Possui fios estadimétricos e o prumo pode ser de cordão ou ótico (através de um sistema de prismas).

d) Fotogrametria: é a parte da topografia que tem por objetivo a confecção de cartas topográficas ou geográficas, a partir de fotos aéreas ou terrestres de uma superfície terrestre.

d.1 - Fotogrametria aérea : a Fotogrametria aérea ou aerofotogrametria utiliza-se de câmara especial, acoplada em avião especialmente adaptado para esta finalidade.

d.2 - Fotogrametria terrestre : a câmara especial é acoplada ao teodolito, que recebe o nome de fototeodolito.

Método:

• Definição da área a ser fotografada; • Vôo e sobrevôo; • Apoio topográfico e geodésico de campo; • Reambulação; • Restituição e desenhos; • Impressão em offset das cartas;

Aplicação da Aerofotogrametria: Como o produto final do processo é uma carta topográfica, a mesma pode ser aplicada em estudos e projetos de barragens, estradas,

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portos, reflorestamento, cadastro técnico municipal (rural e urbano), projetos fundiários, etc.

GEODÉSIA: É a ciência aplicada que tem por objetivo o estudo da forma e dimensões da terra.

• Geodésia superior: a geodésia superior, de cunho meramente científico, estuda a forma e dimensões da terra, gravimetria, deslocamento dos continentes, estuda e monitora falhas geológicas que provocam os terremotos. A geodésia utiliza-se de satélites para obtenção de medidas de alta precisão. (Geodésia Celeste).

• Geodésia elementar: a geodesia elementar ou aplicada, procura determinar, com precisão, a posição de pontos sobre a superfície terrestre, levando em consideração a sua forma, fornecendo para a topografia uma rede de pontos de apoio aos levantamentos topográficos. Os vértices da rede geodésica podem ser de 1a, 2a e 3a ordem (em função da precisão) e estão amarrados num ponto chamado DATUN (ponto de partida de uma rede geodésica. No Brasil o Datun está localizado em Chuá no Estado de Minas Gerais).

Distinção entre Topografia e Geodesia:

A geodesia, em seus trabalhos, leva em consideração a forma da terra (curvatura), enquanto a topografia, que tem a sua atuação restrita a pequenos trechos da superfície da terrestre, considera este trecho como sendo plano (plano topográfico).

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Forma e dimensões da terra:

A Terra tem a forma aproximada de um esferóide com achatamento nos pólos, que foi denominada de “GEÓIDE” (etmologicamente significa forma da terra).

Geóide: superfície teórica ou ideal da terra que se obteria considerando o mar em repouso e prolongada através dos continentes, sem serem submetidas ao fenômeno das marés, ondas, diferenças de temperatura, nem movimento algum. A superfície do geóide corta perpendicularmente em todos os seus pontos a vertical.

a = semi eixo equatorial

b = semi eixo polar

Coordenadas Geográficas:

Latitude (ϕ) de um lugar A é o ângulo formado pela superfície do Elipsóide e o equador. A latitude deste ponto corresponde ao arco, da linha meridiana, medida na meridiana do lugar, que vai do equador até o ponto.

Relevo

Geóide

Elipsóide: É uma figura matemática, gerada pela rotação de uma semi elipse em

torno do seu eixo menor, que imita a forma da terra. É o sólido imaginário que mais se aproxima da

forma do geóide. O Elipsóide é conhecido da matemática onde seus elementos são perfeitamente

dedutíveis.

Elipsóide

terrestre

PN

PS

b

a

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Variação da latitude: A latitude varia de 0 a ± 90°, contados a partir do equador. É positiva no hemisfério norte e negativa no hemisfério sul.

Longitude (λ) de um lugar A é o arco, de equador, medido do meridiano de origem (meridiano de Greenwich) até o meridiano do lugar prolongado até o equador.

• Variação da longitude: A longitude varia de 0 a ± 180° contados a partir da meridiana de origem. É positiva a leste de Greenwich e negativa a oeste. O sinal pode ser substituído pelas letras E ou W respectivamente.

e) Agrimensura: Parte da Topografia que trata da medida e da representação planimétrica de superfícies, bem como sua divisão em parcelas, de acordo com condições preestabelecidas.

ORIENTAÇÃO DAS PLANTAS

1. Definições

Norte Magnético: Direção determinada através da direção fornecida pela agulha imantada da bússola.

Norte Geográfico ou Verdadeiro: Direção determinada pelo deslocamento do sol.

Importância da orientação das plantas: No estudo da insolação e ventilação para projetos de edificações

Meridiano Magnético: Círculo máximo que passa pelos pólos magnéticos terrestres e que contém o eixo longitudinal da agulha magnética.

Meridiano Geográfico ou Verdadeiro: Círculo máximo que passa pelos pólos geográficos terrestres e o local da observação.

Ângulos Horizontais:

a - Ângulo Externo (Ae): É o ângulo contado a partir do alinhamento anterior para o posterior, externamente a poligonal. ∑∑∑∑ Ae = (n+2).180°°°°

b - Ângulo Interno (Ai): É o ângulo contado a partir do alinhamento anterior para o posterior, internamente a poligonal. ∑∑∑∑ Ai = (n-2).180°°°°

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c - Deflexão: É o ângulo contado a partir do prolongamento do alinhamento anterior, para o posterior, podendo ser deflexão à direita (Dd) ou esquerda (De). ∑∑∑∑ Dd - ∑∑∑∑ De = 360°

d - Azimute (Az): É o ângulo orientado, contado da direção norte para o alinhamento posterior, variando de 0° a 360° no sentido horário. e - Rumo (R): é o ângulo orientado contado a partir da direção norte ou sul em direção ao alinhamento, variando de 0° a 90°, recebendo as letras correspondentes ao quadrante que pertence.

Primeiro Quadrante: NE; Segundo Quadrante: SE; Terceiro Quadrante: SO; Quarto Quadrante: NO

Calculo do Rumo em função do Azimute, e do Azimute em função do Rumo:

Quadrante Az p/ Rumo Rumo p/ Az

01 R = Az Az = R

02 R = 180° - Az Az = 180° - R

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03 R = Az - 180° Az = R + 180°

04 R = 360° - Az Az = 360° - R

CONVERSÃO ENTRE RUMO E AZIMUTESempre que possível é

recomendável a transformação

dos rumos em azimutes, tendo

em vista a praticidade nos

cálculos de coordenadas, e

também para a orientação de

estruturas em campo. Para

entender melhor o processo de

transformação, observe a

seqüência indicada.

No Primeiro quadrante:R1 = Az1

No Segundo quadrante:R2 = 180º - Az2

No Terceiro quadrante:R3 = Az3 - 180º

No Quarto quadrante:R4 = 360º - Az4

Calcular os Rumos em função dos Azimutes dados:

1 - 45° 16’ 35”

2 - 122° 59’ 18”

3 - 259° 44’ 55”

4 - 348° 02’ 07”

5 - 90° 01’ 09”

Calcular os Azimutes em função dos Rumos dados:

1 - 88° 43’ 25” NE

2 - 1° 27’ 12” SE

3 - 16° 00’ 52” SO

4 - 89° 59’ 47” NO

5 - 26° 32’ 16” SO

Declinação Magnética:

Meridiano Geográfico: O Meridiano Geográfico de um lugar corresponde ao plano que contém este ponto e o eixo de rotação da terra.

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Meridiano Magnético: O Meridiano Magnético de um lugar corresponde ao plano que contém o eixo longitudinal de uma agulha imantada em equilíbrio, sobre o ponto, e a vertical do lugar.

Em geral, o MM e o MG não coincidem, formando entre eles uma diferença angular chamada de Declinação magnética. A diferença pode aumentar até certo limite para Oeste, e retroceder em seguida para Leste, também até certo limite. Com isto podemos dizer que determinado Azimute de um alinhamento em determinada localidade e data, varia com o tempo. Por isso quando temos um Azimute lido em uma época remota, e há a necessidade de restabelecer o alinhamento definido por este Azimute, precisamos reconstituí-lo para os dias de hoje. Esse trabalho chama-se Aviventação de Azimutes ou Rumos.

A Declinação Magnética não é igual para todos os pontos da superfície terrestre, nem mesmo é constante em um mesmo lugar, sofrendo variações diárias, mensais, anuais e seculares.

As cartas que ligam os pontos de mesma Declinação Magnética são chamadas de Cartas Isogônicas, e as que ligam os pontos de mesma variação anual de declinação são chamadas de Cartas Isopóricas. Estas cartas são fornecidas pelos anuários dos observatórios astronômicos. Para obter o valor da declinação e da variação anual, necessita-se conhecer as coordenados do ponto em questão.

Existem outros meios de determinarmos a declinação de certa região da superfície terrestre, tais como o do processo do estilete vertical e o processo das alturas correspondente com observação ao sol através do teodolito.

Exemplo de aviventação de Rumos e Azimutes:

- O Rumo Magnético do alinhamento 1-2 era de 45° 15’ 00” SE em 01/07/87. Calcular o Rumo e Azimute Verdadeiros. Por um anuário constataram-se os seguintes dados: δ = 1° 40’ 00” E em 01/01/85 e ∆δ = 8’ 00” E.

Entre 01/01/85 e 01/07/87 temos 2 anos e 6 meses, corresponde a 2,5 anos.

Neste período o Norte Magnético variou 20’ = 2,5 x 8’ para Leste.

Portanto a Declinação Magnética em 01/07/87 era de 2° = 1° 40’ 00” + 20’ 00”

Assim, o Azimute Geográfico será de 136° 45’ 00” = 134° 45’ 00” + 2° 00’ 00”.

O Rumo Geográfico será de 43° 15’ 00” SE = 45° 15’ 00” SE - 2° 00’ 00”.

Declinação magnética: é o ângulo formado pelo meridiano geográfico com o meridiano magnético, ou o ângulo horizontal medido da direção do pólo norte geográfico às projeções das linhas de força do campo magnético terrestre.

Declinação magnética Este, Oriental ou Negativa (E): Quando o meridiano magnético está à direita do Meridiano Verdadeiro. (15°46’E)

Declinação magnética Oeste, Ocidental ou Positiva (W): Quando o meridiano magnético está à esquerda do meridiano verdadeiro. (09°56’W)

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Variações da Declinação magnética:

• Regulares

a) Com o lugar geográfico: variam com a latitude e longitude

b) Com o tempo: numa mesma localidade a agulha magnética não aponta constantemente para uma mesma direção através do tempo. (variações seculares, anuais, mensais e diárias)

PARIS

Ano Declinação

1580 11°30’E

1663 0°

1700 08°10’W

1814 22°34’W

1825 22°22’W

1854 19°36’W

1875 19°21’W

1892 15°18’W

RIO DE JANEIRO

NG

SG

NM

SM

NG

SG

NM

SM SM

Declinação magnética Oriental (E) Declinação magnética Ocidental (W)

δm δm

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Ano Declinação

1670 12°10É

1850 0°

1925 12°00’W

1947 15°40’W

• Variações Irregulares

c) Local: causada pela presença de massa de material magnético que deforma o campo magnético terrestre. Fenômeno também conhecido como atração local, citando-se como exemplo as massas de ferro, minerais que contém ferro (magnetita e pirrotita), algumas rochas eruptivas vegetais (pau d’ alho) e subestações de energia elétrica.

d) Acidental: causada pelas tempestades magnéticas.

2. Determinação da Declinação Magnética

2.1- Processo de Interpolação das Curvas Isogônicas e Isopóricas

Através da consulta ao Mapa Magnético do Brasil, que é publicado pelo Observatório Nacional, é possível a determinação da declinação magnética e da variação de declinação de determinado local, fazendo-se uma interpolação gráfica com as curvas Isogônicas e Isopóricas existentes no mapa.

Linhas Isogônicas - lugar geométrico dos pontos de uma região que tem a mesma declinação magnética.

Linhas Isopóricas - lugar geométrico dos pontos de uma região que tem a mesma variação de declinação.

Linha Agônica - lugar geométrico dos pontos de uma região que tem declinação magnética nula.

A declinação será então calculada através da expressão abaixo, derivada da expressão do termo genérico de uma progressão aritmética.

δδδδm = δδδδi + v (t - 1980), onde:

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δδδδm: valor da declinação desejada;

δδδδi: valor da declinação consultada no mapa do Observatório Nacional - 1980;

v: valor da variação de declinação consultada no mapa;

t: ano e fração decimal do ano;

Exercício:

01) Calcular a declinação magnética em São Luís em Março/97.

Consultando o Mapa Magnético de Jan/80, verifica-se que a dm está compreendida entre 19° e 20°, enquanto que a linha Isopóricas de 5’passa exatamente na Ilha. Portanto deve-se interpolar graficamente a posição de São Luís em relação às duas linhas conforme exposto abaixo:

a) Determinação de δi no mapa (1980)

10 mm --------- 1°

4 mm --------- x° x = ( 4 x 1 )/10 = 0,4° = 0,4 x 60’= 24’

δi = 21° - 24’= 19°36’W

b) Determinação de v no mapa (consultando o mapa, verificou-se que a linha isopórica de 5’passa sobre São Luís).

Portanto v = 5’

c) Determinação de t para março/97

12 meses ---------- 1 ano

3 meses ---------- y

y = (3 x 1)/12 = 0,24 logo t = 1997,25

d) Cálculo da declinação desejada δm

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δm = δi + v (t - 1980)

δm = 19°36’+ 5’ (1997,25 - 1980) = 19°36’ + 86,25’= 19°36’+ 1°26’15”= δδδδm = 21°°°°02’15” W

Obs: Através de uma carta geográfica, também é possível a obtenção da declinação magnética atual em qualquer região do país, a fim de determinar-se a direção do Norte Verdadeiro. Para isto deve-se consultar na carta a declinação e a variação indicadas, bem como a data da confecção da mesma com a finalidade da determinação do tempo t. Em seguida calcula-se a δδδδm pela expressão já conhecida.

Entretanto, a Norma NBR 13133, somente admite a determinação do NG para a orientação de plantas topográficas, que deve ser obtido através do Método da Distância Zenital Absoluta do Sol, que prevê trabalhos de campo, seguido de cálculos complexos de Geodésia ou a aplicação de programa de micro computador específico tipo GEOLINDES ou similar.

Exercícios:

1 - O Rumo Geográfico do alinhamento 2-3 é de 80° 15’ 00” NO. Calcular o Rumo e Azimute magnéticos deste alinhamento em 1995. Das cartas isogônicas e Isopóricas de 1983, constatou-se que a Declinação Magnética era 13°00’ 00” O e a variação anual de 11’ 00” O.

2 - O Azimute magnético do alinhamento 0=PP - 1 era de 123° 12’ 00” em 18/11/92. Calcular o Rumo e Azimute Geográficos deste alinhamento, sabendo-se que a Declinação Magnética em 18/05/90 era 7° 12’ 00” E a variação anual de 6’ 00” E.

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3 - O azimute verdadeiro do alinhamento 6-7 de uma poligonal, é de 238° 16’ 40”, Calcular o Azimute magnético deste alinhamento em 22/06/95, sabendo-se que em 22/06/93 δ = 2° 20’ 20” O e ∆δ = 4’ E.

MÉTODOS DE LEVANTAMENTO

1. Generalidades

• Fatores a serem considerado: tipo do equipamento; tamanho da área; precisão do levantamento, etc.

• Medições: ângulos; distâncias: processo direto (trena) e processo indireto (Estadimetria)

• Métodos: Caminhamento, Irradiação, Intercessão e Triangulação.

2. Método do Caminhamento

2.1 - Processo das Deflexões e Rumos

Azn = Azn-1 ±±±± D onde

Azn = azimute no vértice desejado

Azn-1 = azimute anterior

N

0

1

2

3

4

5

D0

D1

D2

D3

D4

D5

(+) Deflexões à direita

(-) Deflexões à esquerda

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2.2 - Processo dos ângulos externos

Cálculo dos azimutes:

Azn = Azn-1 + Ae -180°°°°, quando: 180°< Azn-1 + Ae < 540°

Azn = Azn-1 + Ae + 180°°°°, quando: Azn-1 + Ae < 180°

Azn = Azn-1 + Ae - 540°°°°, quando: Azn-1 + Ae > 540°

Erro angular de fechamento:

Eaf = Sai - ∑∑∑∑ai, onde ∑ai é a soma dos ângulos internos medidos no campo.

Pode ser obtido fazendo-se Ai = 360° - Ae.

Para a determinação do Eaf no processo das deflexões, quando ∑Dd - ∑De ≠ 360°,

Eaf = 360°°°° - (∑∑∑∑Dd - ∑∑∑∑De)

3. Método da Irradiação

Esse método tem sua maior utilização no levantamento de detalhes

(edificações, muros, cercas, postes, árvores, etc.), com a finalidade de cadastrar os

• Soma dos ângulos internos de uma poligonal fechada: Sai = 180° (n-2), onde n = n° de v

• Verificação do fechamento pelas deflexões: ∑ Dd - ∑de = 360° Obs: a) numa poligonal aberta não é feito o controle de fechamento angular;

b) o erro angular encontrado deve ser distribuído proporcionalmente nas deflexões ou ângulos externos ou internos, desde que o mesmo não ultrapasse os limites previstos.

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referidos detalhes nas plantas topográficas, quer sejam planimétricas ou

altimétricas.

O processo consiste em irradiar para os diversos pontos desejados, com o

teodolito estacionado num único ponto, medindo-se o ângulo formado entre o

ponto e uma referência qualquer (visada de ré) e medindo-se a distância entre o

ponto e a estação através dos processos diretos ou indiretos de medida. Os ângulos

então serão transportados para a planta com o uso de transferidor e as distâncias

medidas em escala.

No cadastramento urbano o método necessita antes de uma linha poligonal

aberta ou fechada (no caso de quadras) pelo eixo ou bordo das ruas, seguido então

das irradiações que se fizerem necessárias.

3. Método da Intercessão

Este método consiste na visada de um só ponto, com o aparelho estacionado

em duas posições distintas (pólos). O processo consiste na obtenção de dois ângulos

de visada formados a partir da visada à ré em um dos pólos e na Vante no ponto,

alternando-se as posições de estacionamento do aparelho. O segmento de reta

entre os pólos é conhecido com a denominação de base e tem a sua medida

determinada inicialmente. Tal como o método anterior, este tem seu uso no

levantamento de detalhes, quando não é possível obter-se a medida das distâncias

até o ponto visado. Outra importante utilização é no apoio topográfico em serviços

de Batimetria, sendo os pólos ocupados por dois teodolitos que assim fazem leituras

ininterruptas dos pontos.

base

β1

β2

α1

α2

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4. Método da Triangulação

Esse método consiste na implantação de uma malha de triângulos, que se

desenvolve a partir dos lados de medidas já conhecidas. O primeiro triângulo inicia-

se com um lado de medida estipulada pelo operador. O terceiro ponto é então

visado e os dois ângulos da base são assim determinados. Através de cálculos os

outros dois lados são conhecidos, o que permite que seja iniciado um segundo

triângulo e assim sucessivamente.

A principal utilização do método é em levantamentos de grandes superfícies,

com a finalidade de implantação de pontos de apoio geodésico na execução de

levantamentos aerofotogramétricos para a confecção de cartas geográficas.

Atualmente esse método está caindo em desuso, em virtude da utilização do

GPS (iniciais da tradução inglesa de Sistema de Posicionamento Global), que fornece

de forma precisa e instantânea as coordenadas (geográficas e métricas) de qualquer

ponto da superfície terrestre.

Materiais Topográficos:

Trenas: São instrumentos utilizados para medição direta de distâncias. São graduadas em múltiplos e submúltiplos do metro, com comprimento variando de 20m a 50m. São fabricadas em fiberglass (fibra de vidro) ou aço, com carretéis fechados ou abertos.

α

β A

B

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Piquetes: São estacas de madeira com secção transversal quadrada de 4 cm X 4cm, com comprimento de 20cm a 25cm , apontados em uma das extremidades. Tem por finalidade a materialização de um ponto topográfico, sendo cravado no solo, ficando apenas 1 cm ou 2cm para fora, sem possíveis movimentos laterais.

Estaca Testemunha: São estacas de madeira com secção transversal de 4 cm X 4cm e com 50cm de comprimento, com um chanfro na parte superior, onde é colocado o nome ou número do piquete a que esta estaca se refere. Tem por finalidade, possibilitar a identificação e localização do piquete, ficando a mesma cravada a uma distância de 50 cm do referido piquete, com o chanfro voltado para o mesmo.

Balizas: São hastes metálicas ou de madeira de secção transversal circular ou oitavada, respectivamente, com 2m de comprimento, pintadas de branco e vermelho alternadamente em faixas de 50cm. Servem para materializar a vertical nos pontos topográficos (piquetes).

Bússolas: Dentro de uma grande variedade de tipos, são constituídas basicamente de uma agulha magnética e um círculo graduado etipo americano (Rumos), e tipo francês (Azimutes). Tem por finalidade a orientação do alinhamento em relação ao Norte Magnético.

Estádias: São construídas em forma de paralelepípedos em alumínio oucom 4m de comprimento, graduadas em metros e centímetros, nos tipos de encaixar e telescópica. Servem para as leituras estadimétricas na determinação dos desníveis e distâncias indiretas.

Bússolas: Dentro de uma grande variedade de tipos, são constituídas basicamente de uma agulha magnética e um círculo graduado em limbo fixo ou móvel. Dividetipo americano (Rumos), e tipo francês (Azimutes). Tem por finalidade a orientação do alinhamento em relação ao Norte Magnético.

Estádias: São construídas em forma de paralelepípedos em alumínio oucom 4m de comprimento, graduadas em metros e centímetros, nos tipos de encaixar e telescópica. Servem para as leituras estadimétricas na determinação dos desníveis e

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Bússolas: Dentro de uma grande variedade de tipos, são constituídas basicamente m limbo fixo ou móvel. Divide-se em

tipo americano (Rumos), e tipo francês (Azimutes). Tem por finalidade a orientação do

Estádias: São construídas em forma de paralelepípedos em alumínio ou madeira, com 4m de comprimento, graduadas em metros e centímetros, nos tipos de encaixar e telescópica. Servem para as leituras estadimétricas na determinação dos desníveis e

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Níveis: São aparelhos óticos destinados a determinação de desníveis entre pontos os topográficos, de amarrações, etc.

Dividem-se em:

1 - Níveis baseados na diferença de densidade entre dois líquidos, ou entre um líquido e um gás.

2 - Níveis automáticos, baseados no equilíbrio dos corpos suspensos.

3 - Níveis baseados na horizontalidade de uma superfície líquida em repouso.

Nível Digital Nível Ótico

Níveis de cantoneira: São níveis de bolha esféricos destinados a proporcionar a verticalização das estádias e/ou balizas.

Teodolito: São goniômetros apropriados para a determinação numérica dos ângulos verticais e horizontais, bem como a determinação direta de distâncias (distanciometro eletrônico) e indireta (Taqueometria); estas horizontais e verticais (distâncias reduzidas e desníveis). Divide-se em:

1 - Teodolito de leitura direta de ângulos.

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2 - Teodolito prismático.

3 - Teodolito auto-redutor.

4 - Teodolito eletrônico.

5 - Estação Total (teodolito com distaciômetro eletrônico integrado)

Estação Total Prismas Teodolito Prismático Teodolito de Leitura Direta

Constituição dos teodolitos:

1 - Partes Principais:

1.1 - Círculos graduados.

1.2 - Alidade.

1.3 - Luneta.

1.4 - Eixos.

2 - Acessórios:

2.1 - Parafusos calantes ou niveladores.

2.2 - Parafusos de fixação e aproximação do movimento geral.

2.3 - Parafusos de fixação e aproximação do movimento particular.

2.4 - Nônio ou Verniers.

2.5 - Parafusos de fixação e aproximação da luneta.

2.6 - Parafusos ou anéis de focalização da objetiva e ocular.

2.7 - Parafusos retificadores dos níveis de bolha, retículos, eixo transversal e círculo vertical.

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2.8 - Níveis de bolha.

2.9 - Tripé, fio de prumo e prumo ótico.

2.10 - Bússola ou declinatória.

2.11 - Display de cristal líquido.

2.12 – Memória interna de gravação.

Tripé de Madeira Tripé de Alumínio

Nomenclatura em Topografia:

1 - Ponto topográfico: Ponto escolhido no terreno e materializado pelo piquete e individualizado pela tachinha, colocada na parte superior do piquete.

2 - Alinhamento topográfico: É a linha que une dois pontos topográficos materializados, medido no plano horizontal de projeção, são os lados da poligonal.

3 - Ponto de partida: É o ponto onde tem início o levantamento, também chamado de estação zero (0=PP).

4 - Estação: São os demais vértices da poligonal.

5 - Amarração de detalhes: É o relacionamento dos detalhes artificiais e naturais da região levantada, com os lados e vértices da poligonal.

6 - Plano topográfico: É o plano horizontal de projeção, no qual todos os detalhes naturais e artificiais, bem como os elementos da poligonal, são projetados, ortogonalmente a este.

7 - Planta topográfica: É a representação gráfica de parte da superfície terrestre a que se refere o levantamento.

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Métodos de Levantamento Topográfico Planimétrico:

1 - Decomposição em triângulos ou triangulação: É utilizado em levantamento de pequenas áreas e amarrações de detalhes naturais e artificiais, é um método pouco preciso. Utiliza-se trena e balizas. Consiste em decompor com o auxílio de um ou mais pontos instalados no interior da poligonal (piquetes), em triângulos a área a ser levantada, medindo-se os lados de cada triângulo.

A área de cada triângulo será calculada pela seguinte fórmula: A = √ p(p - a)(p -b) (p - c), onde p = a + b + c

2

A área da poligonal será a soma das áreas dos triângulos. A representação gráfica se faz com o auxílio do compasso e escalímetro, ficando a poligonal sem orientação.

2 - Irradiação ou Coordenada Polar: Aplica-se a qualquer levantamento de áreas pequenas ou amarrações de detalhes artificiais e naturais. Utiliza-se teodolito, trena e balizas. Consiste em instalar um ponto no interior da área a ser levantada, e com o teodolito calado neste ponto (zerado no Norte), determina-se Azimutes e distâncias para CAD um dos vértices da área

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x1 = x0 + d1 . sen Az1

y1 = y0 + d1 . cos Az1

x2 = x0 + d2 . sen Az2

y2 = y0 + d2 . cos Az2

.

.

.

xN = x0 + dN . Sen AzN

Quando da amarração de pontos a partir de pontos de uma poligonal, temos:

Az8-1 = Az7-8 + H1 - 180°

x1 = x8 + d1 . Sen Az8-1

y1 = y8 + d1 . Cos Az8-1

Az8-2 = Az7-8 + H2 -180°

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x2 = x8 + d2 . Sen Az8-2

y2 = y8 + d2 . Cos Az8-2

Onde: Az7-8 = Azimute do vértice 07 para 08

Az8-1 = Azimute do vértice 08 para o ponto de amarração 01

x1 , y1 = coordenadas x e y do ponto 01 das amarrações...

O cálculo da área será dado pela seguinte fórmula: A= Σ((xn + xn-1) . (yn - yn-1))

2

A representação gráfica, tanto da área, quanto das amarrações, será feita em um par de eixos cartesianos em escala apropriada. O eixo y será a direção Norte.

3 - Interseções ou Coordenadas Bipolares: Este método é utilizado para medições de pontos inacessíveis ou de difícil acesso. São utilizados teodolito, trena e balizas. Este método consiste em definir dois pontos no terreno com visibilidade entre si e para o ponto a medir. Instala-se o teodolito em um dos pontos, zerando-se no outro ponto, mede-se o ângulo horizontal ao ponto inacessível. Repete-se a operação instalando-se o teodolito no outro ponto. Conhecendo-se os dois ângulos e a distância entre os pontos onde se instalou o teodolito, determina-se os demais elementos deste triângulo.

γ = 180° - α - β

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D = d1 = d2 .

Sen γ sen β sen α

A representação gráfica se faz com o auxílio de compasso e escalímetro.

4 - Ordenadas ou Coordenadas Retangulares: Este método é pouco preciso por exigir um grande número de medidas diretas no terreno, por este motivo costuma-se empregá-lo em operações que não demandem grande exatidão. É um método muito utilizado para efetuar amarrações de detalhes naturais e artificiais, como rios e caminhos sinuosos. São utilizados teodolito, trena e balizas. Consiste em determinar um alinhamento (abscissa) mais ou menos paralelo ao detalhe a ser levantado, e com distâncias tomadas perpendiculares a este alinhamento (ordenadas), amarramos os detalhes.

Como se pode verificar, entre as ordenadas, formam-se trapézios. Desta maneira podemos aplicar a fórmula para o cálculo da área:

A = (B + b). h

2

Para os trapézios teremos:

A1 = ( y0 + y1 ). (x1 – x0)

2

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E assim sucessivamente para os demais trapézios, e ao final somamos todas as áreas: At = A1 + A2 + ...

5 - Caminhamento: É o método de levantamento mais utilizado para qualquer tipo de área e relevo. Utiliza-se teodolito, trena e balizas. Consiste nas seguintes operações de campo e escritório:

5.1 - Campo:

5.1.1 - Reconhecimento da área a ser levantada: Partindo-se de um ponto tomado como origem (0=PP), percorre-se a área, caminhando sobre as divisas ou o mais próximo possível delas, materializando os vértices da poligonal com piquetes, os quais deverão se intervisíveis na ordem que seguem, ou na necessidade procede-se abertura de picadas na mata, para a visibilidade entre eles. Quando da não possibilidade de coincidir o alinhamento da poligonal com a divisa do terreno, procedemos a partir dos vértices da poligonal a amarração desta divisas.

5.1.3 - Medição das distâncias horizontais: Podem ser diretas, indiretas ou eletrônicas. Na determinação direta das distâncias devemos ter o cuidado de manter sempre a trena na horizontal, evitando-se tomar medidas inclinadas e evitando-se também à catenária.

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A determinação indireta das distâncias é feita através de Taqueometria e a eletrônica através de distanciômetros eletrônicos e prismas.

5.1.4 - Amarração de detalhes naturais e artificiais: Poderá ser feita por qualquer processo de levantamento planimétrico já descrito, sendo o mais utilizado a irradiação.

5.1.5 - Anotações de caderneta de campo: Na caderneta de campo deverão constar os seguintes itens:

5.1.5.1 - Número da estação.

5.1.5.2 - Ângulo horizontal na estação.

5.1.5.3 - Azimute ou Rumo inicial.

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5.1.5.4 - Distancias horizontais.

5.1.5.5 - Croqui.

5.1.5.6 - Ângulo e distância das amarrações.

Nas estações totais todos os dados são armazenados na memória interna (ângulos, distâncias horizontais, desníveis, descrição dos pontos, altura do instrumento, altura do prisma e outros).

5.2 - Trabalho de escritório:

5.2.1 - Cálculo: Compreende o cálculo da planilha através do uso de computadores ou com o auxílio de calculadoras científicas, bem como o cálculo das amarrações para a obtenção das coordenadas de todos os pontos e posterior representação gráfica.

5.2.2 - Representação gráfica: Poderá ser realizada em computadores com programas de CAD, ou manualmente em par de eixos cartesianos na escala adequada.

Planilha Topográfica:

Est. Ang. Ext. corr

Ang. Ext.

Azimute

Dist. (m)

Sen. Cos Proj. X Proj. Y

0=PP

45°01’20”

84,85 0,7074

0,7068

60,02 59,97

01 243°26’10”

-1’ 243°25’10”

108°26’30”

63,25 0,9486

-0,3163

60,00 -20,01

02 251°33’50”

-1’ 251°32’50”

179°59’20”

40,10 0,0002

-0,9999

0,01 -40,10

03 270°01’0 270°01’ 270°00’2 119,92 -0,999

0,000 -119,92 0,01

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0” 00” 0” 9 1

0=PP

315°01’00”

315°01’00”

45°01’20”

Σ = 0,11 Σ = - 0,13

[Σ] = 239,95

[Σ] = 120,09

Kx = 0,11 / 239,95 = 0,00045842883934

Ky = 0,13 / 120,09 = 0,00108252144225

Corr. X Corr. Y Proj. X Proj. Y Coord. X

Coord. Y

ΣX ΣY ΣX.Proj.Y ΣY.Proj.X

-0,03 0,07 59,99 60,04 0,00 0,00 59,99

60,04

3601,7996

3601,7996

-0,03 0,02 59,97 -19,99 59,99 60,04 179,95

100,09

-3597,2005

6002,3973

0,04 0,01 -40,06 119,96 40,05 239,93

40,04

-9611,5958

0,4004

-0,05 -119,97 0,01 119,97 -0,01 119.97

-0,01 1,1997 1,1997

0,00 0,00

Σ = -0,11

Σ = 0,13

Σ= -9605,797

Σ= 9605,797

ÁREA = 4802,8985 m2

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A representação gráfica se faz em um par de eixos cartesianos, através das coordenadas (X,Y) da planilha.

Altimetria:

Topologia: Para possibilitar o traçado da planta planialtimétrica, o levantamento de obter dados que permitam marcar no desenho um número de pontos cotados capaz de caracterizar o relevo da superfície topográfica através das curvas de nível que melhor o represente. Esses pontos notáveis são os pontos onde o terreno apresenta uma mudança acentuada de declividade em relação as suas proximidades.

A união de pontos notáveis de mesma categoria, da origem as linhas notáveis que se classificam em:

1 - Linhas de cumeada, de espigão ou divisórias de águas, que são linhas formadas pela sucessão de pontos notáveis mais altos. As águas das chuvas que caem sobre uma linha de cumeada se dividem, caindo uma parte em cada uma das superfícies laterais, chamadas de vertentes das águas.

2 - Linhas de talvegue são formadas pela sucessão de pontos notáveis mais baixos, em relação as suas proximidades. Ao longo das linhas de talvegue reúnem-se as águas das vertentes, formando os cursos d’água.

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3 - Linhas notáveis intermediárias, sem nome próprio, caracteriza a forma de sua superfície topográfica.

A construção das curvas de nível é feita através de pontos cotados, criteriosamente levantados no local, marcados e cotados no desenho. A Caderneta de campo, além das anotações correspondentes ao levantamento dos pontos, deve descrever o aspecto geral do terreno, e indicação de linhas notáveis. Na confecção da planta planialtimétrica, com curvas de nível, deve-se marcar inicialmente os pontos cotados conhecidos, procurando visualizar, a seguir o relevo do terreno, delineando as linhas notáveis, os vales e os espigões. Em seguida são determinadas as cotas cheias entre cada par de pontos, em um processo gráfico. Finalmente, unem-se criteriosamente os pontos de mesma cota cheia (inteira), dando a cada curva um aspecto compatível com as formas naturais do terreno.

A experiência conseguida por constantes observações permite que se chegue a algumas conclusões a respeito das curvas de nível:

1 - As curvas de nível, nos terrenos naturais, tendem a certo paralelismo e são isentas de ângulos vivos e curvas bruscas.

2 - As curvas de nível não se cruzam.

3 - Uma curva de nível não tangência a si mesma.

4 - As curvas de nível cortam perpendicularmente as linhas de água.

5 - As curvas de nível formam linhas fechadas em torno das elevações e depressões.

6 - As curvas de nível tendem a serem paralelas as linhas de fundo de vale.

7 - As curvas de nível são contínuas e não se interrompem bruscamente.

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Métodos para a determinação do desnível entre dois pontos.

1 - Nivelamento Geométrico.

2 - Nivelamento Trigonométrico.

3 - Nivelamento Barométrico.

4 – GPS (Sistema de Posição Global)

GPS

O nivelamento geométrico é baseado na diferença de leituras feitas em miras graduadas. É de grande precisão, sendo muito utilizado em levantamentos de 1a ordem com erros em milímetros.

O nivelamento trigonométrico é baseado na resolução de triângulos retângulos, com precisão inferior ao nivelamento geométrico.

O nivelamento barométrico é baseado no decréscimo da precisão com a altitude, sendo de apenas alguns metros, tendo como vantagem a independência das observações, não necessitando de visibilidade entre os pontos.

Nivelamento Geométrico:

Como considerado anteriormente, o processo consiste na diferença de leituras feitas sobre as miras graduadas, utilizando níveis de luneta. Conhecendo-se a altitude ou

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cota do primeiro ponto, determina-se a altitude ou cota do segundo. Os pontos de altitudes conhecidas são encontrados no IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) e na D.S.G. (Diretoria de Serviço Geográfico). Esses pontos são denominados de RN (Referência de Nível), baseados no Datun altimétrico de Imbituba - SC.

O nivelamento geométrico é classificado segundo o seu erro de fechamento, no nivelamento e contra nivelamento:

1a Ordem - erro < 4 mm.

2a Ordem - erro < 6 mm.

Topográfico - erro < 3 cm

Dependendo do tipo de levantamento e do tipo de terreno, as operações de campo podem ser feitas utilizando um dos métodos a seguir:

1 - Visadas iguais.

2 - Visadas extremas.

3 - Visadas recíprocas.

4 - Visadas eqüidistantes.

O método das visadas iguais é o mais utilizado, empregando-se o nível de luneta afastado igualmente de ambas as miras sobre os pontos dos quais se deseja definir o desnível.

Assim: ∆H = R - V

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A maior vantagem do processo, sem considerar a sua extrema simplicidade, é de que os erros provocados pela curvatura da terra, refração atmosférica e colimação vertical, ficam eliminados na diferença de leituras.

Se dois pontos dos quais se deseja conhecer o desnível, estão muito afastados, haverá a necessidade de mudar o nível várias vezes até obtermos o desnível.

Assim: ∆H = Σ (R -V)

Se tivermos a altitude ou cota de um dos pontos, ao somarmos o desnível entre os mesmos com esta, teremos a cota ou altitude do outro ponto.

A igualdade das distâncias do nível de luneta para as miras é obtida contando-se os passos da mira a ré ao nível, e do nível a mira a Vante, com uma tolerância de erro aproximadamente de 2 metros.

Os demais métodos de nivelamento geométrico citados anteriormente, não são usuais, portanto não os descreveremos aqui.

Nivelamento Trigonométrico:

O nivelamento trigonométrico pode ser dividido em:

1 - Nivelamento trigonométrico de curto alcance.

2 - Nivelamento trigonométrico de longo alcance.

O nivelamento trigonométrico de curto alcance é normalmente usado em levantamentos topográficos por caminhamento, ficando o de longo alcance, para triangulações fundamentais ou secundárias, e poligonais com distanciômetros eletrônicos. O segundo caso não será descrito aqui.

O nivelamento trigonométrico baseia-se na resolução de triângulos retângulos, determinando assim, não só o desnível entre os pontos, bem como a distância entre eles.

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Assim: D = (S -I). Kcos2 (90° - z) ou D = (S - I).Kcos2 α

∆H = D.tg (90° - z) + hi - M ou ∆H = D.tg α + hi - M

Onde: α = ângulo vertical ao horizonte.

z = ângulo zenital.

hi = altura do teodolito.

D = distância entre os pontos.

∆H = desnível entre os pontos.

S = leitura estadimétrica no retículo superior.

M = leitura estadimétrica no retículo médio.

S = leitura estadimétrica no retículo inferior.

K = constante do aparelho igual a 100.

Exemplo: Determinar a distância e desnível entre os postos 1 e 2, para os seguintes dados obtidos em um levantamento trigonométrico:

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z = 92° 16’20” S = 1,000 M = 0,801 I = 0,600 hi = 1,685 K = 100

D = (1,000 - 0,600).100.cos2 (90° - 92,272222°)

D = 40,00 . 0,998428

D = 39,937 m

∆H = 39,937 . tg (90° - 92,27222°) + 1,685 - 0,801

∆H = 39,937 . tg (-2,27222°) + 1,685 - 0,801

∆H = - 0,7006 m

Devemos tomar cuidado quando da utilização do ângulo vertical ao horizonte (α), quanto ao sinal positivo ou negativo, se o mesmo for medido acima ou abaixo do horizonte respectivamente.

Se tivermos a cota ou altitude do ponto onde está instalado o aparelho, e somarmos ao desnível, obteremos a cota ou desnível onde está mira.

Terraplenagem Para Plataformas

Nesta parte abordaremos os trabalhos de terraplenagem para construção de plataformas horizontais.

Para melhor planejarmos devemos ter conhecimento da Altimetria, por pontos cotados em uma malha, ou pelas curvas de nível, isto é obtido pelo levantamento planialtimétrico do local onde se realizará a terraplenagem.

Esta malha anteriormente citada será quadrada de 20 X 20 metros, podendo ser reduzida em função da área, para 10 X 10 metros ou ainda 5 X 5 metros para lotes urbanos e pequenos.

A terraplenagem é feita para uma determinada finalidade ou objetivo como segue:

1a hipótese: o plano horizontal sem imposição de uma cota final determinada.

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2a hipótese: o plano horizontal com imposição de uma cota final determinada.

Sabemos que o custo da terraplenagem compõe-se basicamente pelo custo do corte e transporte. O aterro é uma conseqüência do corte e transporte, como tal não é pago. Baseado nisso a topografia poderá escolher uma altura do plano final que determine volumes iguais de corte e aterro ou o mínimo de transporte possível, solução, portanto mais econômica. Caso o projeto obrigue a uma determinada altura do plano, restará a topografia a sua aplicação e cálculo dos volumes de corte e aterro, os quais serão diferentes.

Para exemplificarmos as duas hipóteses usaremos o mesmo modelo de terreno, um quadrado de 30 X 30 metros como segue:

1 - Calcular a cota final para um plano horizontal, de forma que os volumes de corte e aterro sejam iguais.

2 - Calcular o volume de bota-fora para que a cota final do plano horizontal fique em 4,60 m.

Resolução:

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1 - determinação da cota em função dos pesos:

Peso 1 peso 2 peso 4 Número de pesos:

4,2 3,0 4,0 peso 1 = 4

4,4 2,8 3,5 peso 2 = 8

7,4 5,1 4,7 peso 4 = 4

7,0 6,3 5,0

6,0 total = 16

6,2

6,1

5,0

23,0 40,5 17,2

x 1 x 2 x 4 cota final = (23,0 + 81,0 + 68,8) / 16

23,0 81,0 68,8 cota final = 4,8 metros

2 - determinação do volume de bota fora para cota final de 4,6 m.

Diferença entre a cota 4,8 m (cota para corte = aterro) e cota final de 4,6 m, é de 0,20 m, em uma área de 900 m2 (30m X 30m), teremos um volume de bota-fora iguala 180 m3.

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1o perfil

Área de aterro = 43,00 m2

Área de corte = 00,00 m2

2o perfil



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3o perfil



4o perfil



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Vc12 = 2,40 m3 Va12 = 309,90 m3

Vc23 = 78,40 m3 Va23 = 95,90 m3

Vc34 = 326,00 m3 Va34 = 1,00 m3

Volume de corte = Volume de aterro = 406,80 m3

Locação de Obras.

Locação de uma obra é a operação inversa de um levantamento, também chamado de medição, aonde o profissional vai ao campo obter dados para cálculo e desenho. Na locação também chamada de marcação, os dados foram processados no escritório para posteriormente serem implantados no campo através de um projeto. O sucesso de uma obra depende das duas atividades bem executadas.

A locação poderá se efetuada de duas maneiras diferentes:

1 - Através de um sistema de coordenadas cartesianas.

2 - Através de um sistema de coordenadas polares.

Dos dois sistemas o mais utilizado para determinação de alinhamentos é o cartesiano e na determinação de pontos, o melhor é o de coordenadas polares.

Poderemos locar uma obra, através das estacas ou dos alinhamentos das paredes.

Locação de estacas:

Com o projeto do estaqueamento em mãos, escolhemos a origem do sistema cartesiano que pode ser um ponto do alinhamento predial ou uma das estacas previstas no projeto. Definido o sistema, instala-se o teodolito na origem deste, e define-se os alinhamentos e distâncias para as outras estacas. Para se evitar a perda

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deste piqueteamento, procede-se a marcação dos alinhamentos em tábuas ou sarrafos nivelados e colocados em torno de toda a obra a ser executada.

Os alinhamentos a qualquer momento poderão ser materializados através de linhas de nylon esticadas a partir destes sarrafos, podendo assim recuperar os posicionamentos das estacas, os quais estarão localizados no cruzamento das linhas e definidos no solo (ou sobre os piquetes) através de um prumo de centro.

Locação de Paredes:

Esta locação é similar a feita para estacas, diferindo apenas que ao invés de marcarmos o centro das estacas, marcamos os eixos da paredes ou uma das faces das mesmas, principalmente para as paredes externas. Neste caso também faremos uma amarração em tábuas ou sarrafos colocados ao redor de toda a obra a ser executada.

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Referências Bibliográficas:

• Topografia, volumes 1 e 2, de Alberto de Campos Borges. • Topografia – autor Rogério de carvalho veras • Apostila Básica de topografia – Professor: Ozório Florêncio de C. Neto • Fundamentos da Topografia – autores: Luis Augusto Koenig Veiga, Maria

Aparecida Z. Zanetti, e Pedro Luis Faggion • Topografia – autor: Mccormac, Jack C.

Apostila Básica Topografia - C.O.A.C

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