Apostila Calculo

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  • 5/13/2018 Apostila Calculo

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    cALCULO II

    FVN(:AO DE DUAS V ARIA VEIS aula 1Dominio e grafico prof. FecchioD ef.l) C ham a-se plano cartesiano Oxy 0 plano form ado pelo conjunto todas as duplas ordenadas (x.y) denum eros reais. lndica-se por R 2 = {(x,y) I x E R e Y E R}.Def.2) Seja 0 urn subconjunto do R2, CD < : ; ; ; R2). Uma co rr espondenci a f que associa a cada par (x.y) E Durn unico numero Z E R, indicada por z = f(x.y), chama-sefimqao de dUGS variaveis.

    Em geral um a funcao de duas variaveis e dada por lim a formula onde as variaveis x e y sa o chamadas devariaveis independentes e z de variavel dependente.O ef.3 ) C hama-s e dominio Dr de um a funcao f de dua s v aria ve is 0 conjunto m ais am plo possivel de todos ospares (x,y) E R 2 para os quais as operacoes indicadas na formula z = f(x,y) s ejam re al iz av eis , ou seja,resultem em numeros reais. lndica-se por: I),= ((x,y) E R 2 [ z = lex. y) E R } .D efA ) Seja z = f(x,y) uma funcao de duas variaveis definida nUI11 dominio D, < : ; ; ; R1 .0 conjunto de todoso s p onto s P = (x,y, f(x,y do espaco trid im ensional indicado por It', sendo (x , y) E DI chama-se graficoda funcao de duas variaveis. Indica-se por: G, = (cx,Y.I(x,y E R " ' l (x,y) E D } .

    Funcao z= f tx .y ) Dominic de z o o f(x,y) Dom inic e grafico d e z = f(x ,y )

    x (x,y)dominic

    grafico

    x

    EXER('iCIOS

    I) Esbocar 0 dominic e 0 grafico d a fu nc ao z = f(x,y) = ~2S - Xl _ y"

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    2) Determine 0 domlnio das funcoes e represente-e n o plan o OxyJy-x2a) z = f(x,y) =-'-,,--.5X - Y

    b)z=ln(x-2y)y-2x

    3) Determine 0 dorninio e esboce os graficos das funcoesa) z;:;:f(x,y)=8-x-2y b) z=f(x,y)=4-x2

    TAREFAI) Determine o dominic e represente-e no plan o Oxy- J y -xa) z= f(x,y) = Resp: a)x

    b) z=f(x,y)=j;+y2c) z = f(x,y) = sen (x + 2y)

    In(x + y)

    b) .J

    X

    2) Determine 0 dominic e esboce a grafico das funcoesz z z

    a) z = 6 - 2x - 3y Resp: a) b)b) z = Xl + yl - 9

    2 yIc) z = 2 2

    X + Yx x

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    CALCULO II

    FVN

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    EXERCICIOS1 ) C alcu lar as derivadas parcia is das funcoes abaixo, uti Iizando a reg ra pratica.

    a) z -:0: l(x,y) = x"e2Y b) z = x3y2 +E+ In y + 2 c) l(x,y) = sen(x 2 y)

    e) z = l(x,y) =Qrctg(Y)x f) z= l(x,y)= 1.. ~)'x -y

    2) A equacao da superficie de urna rnontanha e z = 5200 - x J - 3y 2 com distancias em m etros e os pontosdo eixo x rra direcao leste e os do eixo y na direcao norte. Um alpinists esta no ponto P , correspondente aop on to Q ~(5 , 12) d o p lan o Oxy.a) Em que altura 0 a lp in is ts s e e nc on tra ?b) Se ele cam inhar na d irey 30 norte,ele estara subindo ou descendo?N este caso, qual sera a taxa de variacao?c) Se ele cam inhar na direyao leste, ele estara subindo ou descendo?N este caso, qual sera a taxa de variacao?

    (leste) x

    TAREYA1 ) Para cada uma das funcoes abaixo, calcule as derivadas parciais em relacao a x e em relacao a y) _ 3 __ 1_ R' a z _ " 2. o z 3 b) . _ x + YR ' o z _ - 2y. O Z _ _ 2_x_a z - Xl' - JX ,= Z - . - , , =y ox o-v Y~ x-y ox (x-y)- oY (X_y)2

    O Z G Zc) z=senx.cosy R: -= cosX .cosv; -= -senx.senyox . ~.') ? OZ) ') 2e) z = sen (x- y) R: ox = 2.x.y cosec y );

    , 2) Sendo z = In Jx2 + y2 , ealcular 0 valor de x . . g ; + y.~G Z 7 ) 2~ . = 2x- y.cosCcy )R: !

    3) Uma plaea de metal aquecida esta no plano Oxy, de m odo que a tem peraturaem graus Celcius para x e y em metros e dada par Tt;x, y) = (1 6 - x2 + yo)2 .

    : " C i T "TCalcule a) (_)o e b) (_)o, onde Q = (3,2) e interprete a resultado.a x - oy -R: a) A partir do ponto Q, a tem peratura dim inui 180C p or m etro de sloc ado paralelarnente ao eixo x.

    b) A partir do ponte Q, a tem peratura aum enta 360(" par m etro desloeado paralelam ente 0.0 eixo y

    z2

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    CALCULO II

    FUNyAO DE DUAS VARlA VEISRegra da Cadeia e Derivada Implicita prof. FecchioTeo.I) l" REGRA DA CADEIA , Se z=f(x,y) e um a funcao diferenciavel, on de x=g(t) e y=h(t) tambern saodiferenciaveis, entao a funca o z=f(g(t),h(t)) e um a com posicao de variavel !. A derivada total de z em relacao atedada por:

    Ex 1 ) Ca1 cular ~~ , on d e z = x,y e X = = t 2 + 1 e y = In I, util izando a I R eg ra da C adeia,Solucao: Temos 0: = y' < Ix = = 2/ ' / ' 1 : : = x' Ii!, = !a \' ''/1 '0)' , ill I ' Substitui ndo na form L Ila aei rna, tern os

    ~~= g ~ ,~ ! t+ :' ~' = y,21 + x . + = (In 1),(21) + (t 2 + 1).(+)Teo.Z) 2a REGRA DA CADEJA , Se z=fl x.y) e um a funcao diferenciavel, onde x=g(u,v) e y=h(u,v) tarnbern saod ife re nc ia ve is, e nta o a funcao z= t~g(u ,v ), h(u, v) ) e LIma cornposicao de variaveis u e v, com as derivadas parciaisdadas por:

    e

    E 2) C 1 I 8- &: d 2 2 2 2 2 " " ili do s 2' F-' d Cadeia ell ar a ; , e J 7 , se n 0 Z = X + Y e x = = u - v e y = e ' , un izan 0 a " < egra a a eraSolucao: Temos &: = a~.oz+ &:, ? ' = 4 x,2 u + 2 y. v,e u,r = 4(u 2 -v2)2u+2(e/l" ')ve"\ ' = 8u 3 -8uv2 + 2ve2 U 1all cr O il 0/ 01(

    e 0:=f};_.ax+3~,(;' = -8u2v+8v'+2ue21 1 1'a .. & a ., O F a .Teo.J) DERlV ADA IMPLicITA, Se z=f{x,y) e LIma funcao diferenciavel que pode ser escrita na formaim plic ita c omo F(x,y,z)=O, entao, aplicando-se a 2 1 1 Regra da Cadeia podem os obter as derivadas parciais dez=f(x,y) em relacao a x e em relacao a y', au seia, sendo of, ,}, + 0F , "',' + JF ,0: = O. onde 0' = 0 e of o j : . 0-r -r J arox C"i)x Oea,' o r 0;'obtemos e de modo analogo obtemos ~ or'oz = _ 6)'o yEx3)Sendo x.y+x.z+y.z=l,calcular (~~),' e (~~,)", onde P=(2,3,-I)SOILlyBO:Temos F(x, y, z) = x.y + x.z + y.z = 0 e aplicando as formulas acrrna no ponto P, obtemos

    .., of/ "2oz = _ 0 { 5 " = _Y+z => (oz)/, = - - e de modo analogo,ox /0; x + y ox 5 G Z = _ a i D , ' = _ x + z = > (oz) = _ ~0/,'1 I'o y /D: X + Y c y 5EXERCicIOS

    ,2, ..2 dw1 ) S en do w = e '., ,onde x = cost e y = se n I, calcular a de ri vada total dl

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    2 J " ' . O Z O Z2) Se z = x + xy - y-, onde x = r + s e y = r - s, calcular as den vadas pm'clatS- eo r o s

    2) J J ml' Ow3)Se w=x +y,onde x=r-u~ e y=2.l.u,ca1cule- eO r ou

    22) 2 O Z O Z4)Sendo x + y- +3z -6=0 e P=(I,I,-I),caicular (-)}' e (-)/'a x q J i

    5) 0 volume Y de urn monte de areia em forma de cone cresce a razao de 240 W I % e 0 raio r da base cresce a razaode 6 < '1 1 . . Calcule a taxa de variacao da altura h do cone (em relacac ao tempo), no instante em que Y=60 e r=6.

    v = 1,(.If.r 2h1. 1

    TAREFA1 ' '2 o w O W1) Se Hi = r + s', onde r = i- e s = p sen q, calcule - eo p a qx & &2)Se Z=-2 ,onde x=u+v-l e y=u-v-I,calcule - ey ~ ~a z o z .3) Calcular --- e - nos casas abaixo, o x a y

    R: y-2xy ey+2x

    y

    )' 5 2 '\ I"x z + yz + xy = j. R: - :; \~ ;-_~~~:e -~::~::: b) Inz-z-2y+3x=0. R' ], e 20. ;-1 1-:4) A altura de urn cone circular reto e de 15 em e esta aumentando a raZ30 de 0,2 ( 1 % ) il 1 ' 0 raio da base e de 10em e esta dirninuindo a razao de 0,3 ' - ' % i l1 ' Qual e a taxa de variacao d o volume (em relacao ao tempo).Interprete 0 resultado. R: 0 volume esta dim inuindo a taxa de 7 0 . ; ; " " ' ; ; ' ; i l 1

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    FUN\=AO DE DUAS VARlA VEIS aula4Plano Tangente, Reta Normal e Derivadas SucessivasCharna-se Plano Tangente n , num ponto P = (X o ,JiO ' zo ) de limasuperflcie z=f(x,y) diferenciavel, 0 plano que contem todas asretas tangentes a superficie que passam por P, inclusive as retasII e '2' conforrne indica a figura ao lado. Prova-se que a equacaogeral do plano J[ e dada por:

    prof. Fecchio

    \!tr - --,!x/'

    Charna-se Reta Normal n ou reta perpendicular ao plano tangenten no ponto P , a reta perpendicular a todas as retas do plano que pas-sam por P, inclus ive as retas t] e t 2 conforrne indica a figura aolado.

    As equacoes pararnetricas da reta n sao dadas porf~ :xO +(~)I'.a ..

    n lY - y~ + (~ ..) ,> .a , a E Rz - Zo a

    Ex.I) De a equacao do plano tangente e da reta normal a superficiez = f(x,y) = x 2 + 2y2 no ponto P = (2,-1,6).

    Temos ~o=2x::::::>(;:;) =4 e J ;;= 4y ::::::>(a Z) = -4 .ill ~ I' ~ ~ I'Logo, n{4(x - 2) - 4( y + 1 ) - (z - 6) = O. Entao, n{4.x - 4y - z - 6 = 0 e {

    X = 2+4a! y = -1- 4a, a E R

    z=6-a

    Def Seja z=fix.y) um a funcao diferenciavel de duas variaveis e ~.~ e g suas derivadas parciais, tam berndiferenciaveis de duas variaveis. As derivadas parciais das duas ultimas sao charnadas de derivadas parciaisd e 2" ordem ou derivadas parciais segundas d a fu nc ao . i - l a 4 derivadas parciais de 2" o rde rn :

    a) Derivadas parciais de 2" ordempuras b) Derivadas parciais de 2" ordem mistasa 2 f a O f a 2 l a a l .~ = -::;-(~) = j .(x,y) r i . , a = ::h. ( - a ' ) = . fx, .(x,y)ox ox ox '''Y x uy Xa 2 l a a f a 2 l a O f .a ; 2 = = a y (a y) = lJ ) '(x ,y ) ax~ ' = ax (~ ) = . /p.(x,y)

    De modo a na lo go , v eriflc am os que a funcao z=ftx.y) tern 8 derivadas parciais de 3" ordern.T d d . d '. S . f ~ f( ) o r elf ,/ reo . as cenva as nustas: ejam as uncoes z = x,Y , a t ' 0" JH~' e ~~; de d ua s v aria ve is, co ntin ua sn,uma reg iao aberta R , nas p rox imidades de um ponto Q=(x,y). Entao J'/ = (hem toda a reuiao R., a v o , ' e r o x 0Urna generalizacao deste teorem a pode ser resurnida na seguinte frase: Nas derivadas de ordem superior, 0que importa eo numero de vezes que se deriva em relacao a cada variavel e na o a ordern de derivacao,E 2) S d f() x .. . J~} a~rx . en o z : : " " : x, Y = e .sen y + In(x.y), calcule ~ e ~o:_..;'(CL' ( ! \ - u ' (

    Solucao: : = r , (x, y) = e ' .sen y +~ = > ~ , ~ : ,= I;x, y) = = eX .cos ye r-L. = l (x y) = e' .cos v + _La J " . Y , "' )" (