Apostila Calculo B - Ufba

Calculo Diferencial e Integral II(Calculo II A, MAT 042)

Adriano Pedreira Cattaihttp://www.alunospgmat.ufba.br/adrianocattai/

clicar em ensino

Universidade Federal da Bahia UFBA

Semestre 2006.2

Sumario

1 Apresentacao 2

1.1 Ementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Sugestao Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Conteudo Programatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.6 Recomendacoes (Dicas) do Professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Integracao 4

2.1 Antidiferenciacao: A Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Regras Basicas de Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Propriedades Operatorias da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Versao simples de Equacoes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.4 Mudanca de Variavel na Integral Indefinida: Integracao por substituicao . 13

3 Tecnicas de Integracao 18

3.1 Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Integrais do tipo:Z

Ax+B

ax2 + bx+ cdx e

Z

Ax+Bax2 + bx+ c

dx . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Integrais de Funcoes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Integrais de Funcoes Racionais Improprias . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2 Integrais de Funcoes Racionais Proprias: Metodo da Decomposicao em

Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

3.4 Integrais de Expressoes Racionais Contendo sen(x) e/ou cos(x) . . . . . . . . . . 37

3.5 Integrais de Algumas Funcoes Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6 Integracao Trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6.1 Integracao de potencias do Seno e do Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6.2 Integracao de Potencias das demais Funcoes Trigonometricas . . . . . . . 42

3.6.3 Integrais Envolvendo Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6.4 Integrais por Substituicao Trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1 Apresentacao

1.1 Ementa

Nocoes de primitiva de uma funcao: Processos gerais de integracao: integral definida e

aplicacoes. Estudo das funcoes reais de varias variaveis: limite, continuidade, derivadas parciais

e derivada total; aplicacoes. Integrais duplas.

1.2 Objetivos

Estudo do Calculo Integral para funcoes de uma variavel real e suas aplicacoes geometricas

e fsicas bem como o estudo do Calculo Diferencial e Integral para funcoes reais de 2 variaveis.

1.3 Metodologia

Aulas expositivas

1.4 Sugestao Bibliografica

1. Calculo A e Calculo B. FLEMMING, D. M. e GONCALVES, M. B.

2. Calculo com Geometria Analtica. Earl W. Swokowski, Volumes 1 e 2

3. Calculo Diferencial e Integral. Piskunov, Volumes 1 e 2

4. Calculo - Funcoes de Mais de Uma Variavel. Nilson J. Machado

5. Calculo. Munem-Foulis, Volumes 1 e 2

6. O Calculo com Geometria Analtica. Louis Leithold, Volumes 1 e 2

7. Um curso de Calculo. Guidorizi, H., Volumes 1 e 2

1.5 Conteudo Programatico

1. A integral indefinida

Processos elementares de integracao: substituicao, partes, funcoes racionais, irra-

cionais e trigonometricas.

2. A integral definida

Definicao e propriedades basicas;

Teorema fundamental do calculo.

3. Aplicacoes da integral definida

Calculo de area, volume, comprimento de arco

Algumas aplicacoes a` Fsica;

Integrais improprias;

UFBA Calculo II 2006.2 Apresentacao

4. Funcoes de duas ou mais variaveis

Definicao, domnio, curvas de nvel e representacao grafica;

Nocoes sobre limite e continuidade;

Derivadas parciais e suas aplicacoes;

Diferencial e suas aplicacoes;

Derivacao composta; Derivacao implcita;

Derivada direcional, gradiente, plano tangente e reta normal a uma superfcie;

Derivadas parciais de ordem superior - Teorema de Schwartz.

5. Integrais Duplas

Definicao, propriedades basicas e interpretacao geometrica;

Calculo da integral dupla; Aplicacoes.

1.6 Recomendacoes (Dicas) do Professor

1a. Evite fazer segunda chamada. Estude logo para se dar bem nas primeiras provas. Evite

tambem a final, mas saiba que a prova final faz parte do processo de avaliacao. Guarde

suas provas, elas garantirao seu conceito.

2a. Estude a teoria e resolva muitos exerccios. Nao se aprende calculo fazendo um ou dois

exemplos e nem estudando na vespera de prova. Nao faca so os propostos nas listas,

busque mais em livros de calculo.

3a. Preste bem atencao na aula, meu quadro nao e dos mais belos e organizados. Nao falte

aula, a presenca e indispensavel para a compreensao da teoria.

4a. Se acostume com a notacao utilizada no calculo. A matematica possui uma linguagem

propria, por isso, aprenda-a.

5a. As Tres Regras de Ouro para se dar bem em Calculo

R1. Estude a teoria e faca muitos exerccios de Calculo;

R2. Se a regra 1 nao for suficiente, estude mais a teoria e faca ainda mais exerccios

de Calculo;

R3. Se as regras 1 e 2 nao tiverem o efeito desejado, faca um numero monstruosamente

grande de exerccios de Calculo.

Texto composto em LATEX2, APC, Agosto/2006

Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 4

UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

2 Integracao

O Calculo Diferencial lida com o problema de se determinar a taxa de variacao de uma

quantidade com relacao a outra. Iniciaremos o estudo de uma outra parte do calculo, conhecida

como Calculo Integral. Aqui estamos interessados precisamente no problema oposto:

Se conhecemos a taxa de variacao de uma quantidade em relacao a outra, podemos

determinar a relacao entre essas quantidades?

A ferramenta principal utilizada no estudo do calculo integral e a antiderivada de uma

funcao, e desenvolvemos regras para a antiderivacao, ou integracao, como e chamado o processo

de encontrar a antiderivada ou integral indefinida. A derivada foi motivada por problemas

de determinacao do coeficiente angular de uma reta tangente e definicao de velocidade. A

integral definida, como veremos, surge de modo natural quando consideramos o problema da

determinacao da area de uma regiao curvilnea. Esta e, entretanto, apenas uma das aplicacoes.

Veremos que o conceito de integral, que e formado totalmente independente do conceito de

derivada, guarda com este uma relacao muito importante. Esta relacao entre os dois conceitos

foi estabelecida por Newton e Leibniz no seculo XVII, sendo hoje conhecida como o Teorema

Fundamental do Calculo.

Assim, alem de introduzirmos tecnicas de integracao (antidiferenciacao), o conceito de in-

tegral e tratarmos das propriedades e de suas relacoes com a derivada, apresentaremos algumas

aplicacoes do calculo de comprimentos, areas, volumes e equacoes diferenciaveis com variaveis

separaveis, onde esta ultima, na versao bem leve, pois equacoes diferenciaveis sera uma unidade

da disciplina Calculo III.

2.1 Antidiferenciacao: A Integral Indefinida

Em estudos anteriores resolvemos problemas do tipo: Dada uma funcao f , determinar sua

derivada f . Estudaremos agora um problema relacionado: Dada uma funcao f , achar uma

funcao F tal que F = f . Ou seja, a operacao inversa da derivada.

2.1 Definicao. Uma funcao F sera chamada de antiderivada ou primitiva de uma funcao f

num intervalo I se F (x) = f(x) para todo x no intervalo I.

Exemplo 2.1. Se F for definida por F (x) = x2, entao F (x) = 2x. Assim, se f for a funcao

definida por f(x) = 2x, entao f e a derivada de F e F e uma antiderivada, ou primitiva, de f .

Note que, se G for a funcao definida por G(x) = x2+3 entao, G tambem sera uma primitiva



de f , pois G(x) = 2x. Na verdade, ha uma infinidade de primitivas para 2x. De modo geral, se

K e uma constante arbitraria, entao x2 +K e uma primitiva de 2x, do fato em que a derivada

de uma constante e zero, ou seja

Dx(x2 +K) = 2x+ 0 = 2x.

Assim, existe uma famlia de antiderivadas de 2x. Resumimos nos seguintes teoremas.

2.2 Teorema. Seja F uma antiderivada de f num intervalo I. Se G e uma outra antiderivada

de f em I, entao

G(x) = F (x) +K

para alguma constante arbitraria K e para todo x em I.

Demonstracao. Seja H a funcao definida em I por H(x) = G(x) F (x). Entao, paratodo x em I temos que H (x) = G(x)F (x). Mas, por hipotese, G(x) = F (x) para todo x emI, logo H (x) = 0 para todo x em I. Portanto H e uma funcao constante, digamos H(x) = K,

assim G(x) = F (x) +K, para todo x em I.

2.3 Teorema. Seja F uma antiderivada particular de f num intervalo I. Entao, toda an-

tiderivada de f em I sera da forma

F (x) +K

onde K e uma constante arbitraria e todas as antiderivadas de f em I poderao ser obtidas

atribuindo-se certos valores a K.

Demonstracao. Suponha que G represente qualquer antiderivada de f em I, entao

G(x) = f(x), para todo x em I.

Mas, F e uma antiderivada particular de f em I, entao F (x) = f(x) para todo x em I. Segue

portanto que G(x) = F (x) para todo x em I. Logo, pelo teorema anterior, existe uma con-

stante K, tal que G(x) = F (x) +K para todo x em I.

Como G representa qualquer antiderivada de f em I, segue que toda antiderivada de f pode ser

obtida de F (x) +K, onde K e uma constante arbitraria.

2.4 Definicao (A Integral Indefinida). O processo de se determinar todas as antiderivadas de

uma funcao e chamado de antidiferenciacao ou integracao. Usamos o smboloZ

, chamado de

sinal da integral, para indicar que a operacao de integracao deve ser executada sobre uma funcao

f . AssimZ

f(x)dx = F (x) +K

nos diz que a integral indefinida de f e a famlia de funcoes dada por F (x)+K, onde F (x) = f(x).

A funcao f a ser integrada e chamada de integrando, e a constante K e chamada de constante

de integracao.



2.5 Observacao. A expressao dx que segue ao integrando f(x) lembra-nos de que a operacao

e executada com respeito a x. Se a variavel independente e t, escrevemosZ

f(t)dt. Neste caso,

dizemos que tanto t quanto x sao variaveis mudas.

Exemplo 2.2.

(a)Z

3x2dx = x3 +K pois (x3 +K) = 3x2

(b)Z

cos(t)dt = sen(t) +K pois (sen(t) +K) = cos(t)

(c)Z

eudu = eu +K pois (eu +K) = eu

(d)Z

1

xdx = ln (x) +K pois (ln (x) +K) =

1

x

O seguinte teorema, estabelece que diferenciacao e integracao indefinida sao processos in-

versos porque, de certo modo, um desfaz o outro.

2.6 Teorema.(i)

Z

Dxf(x)

dx = f(x) +K

(ii) Dx

Z

f(x)dx

= f(x)

Demonstracao. (i) Obvio!

(ii) Suponha que F e uma antiderivada de f , ou seja, F = f . Assim,

Dx

Z

f(x)dx

= Dx

F (x) +K

= Dx

F (x)

+ 0 = f(x)

2.1.1 Regras Basicas de Integracao

Acabamos de ver queZ

f (x)dx = f(x) + K. E isto permite usarmos qualquer formula

de derivada para obter uma formula correspondente de integral indefinida, que chamamos de

integral imediata, como na tabela a seguir.

Derivada Integral Indefinida

f (x)Z

f (x)dx = f(x) +K

(x) = 1Z

dx = x+K

xn+1

n+ 1

= xnZ

xn dx =xn+1

n+ 1+K

(ln (x)) =1

x

Z

1

xdx = ln |x|+K

(ax) = ax ln aZ

ax dx =1

ln a ax +K

(ex) = exZ

ex dx = ex +K



2.7 Observacao. A formula dada na 3a linha, e chamada de regra da potencia para integral

indefinida, para tanto, e preciso que tenhamos n 6= 1. Como se ve no exemplo a seguir,frequentemente e preciso modificar a forma de um integrando para aplicar a regra da potencia,

ou uma identidade trigonometrica.

Exemplo 2.3.

(a)Z

x3 x2 dx =Z

x5 dx =x5+1

5 + 1+K =

1

6x6 +K

(b)Z

1

x2dx =

Z

x2 dx =x2+1

2 + 1 +K = 1

x+K

(c)Z

3x dx =

Z

x1

3 dx =x

1

3+1

13 + 1

+K =3

4x

4

3 +K

(d)Z

tg(x)

sec(x)dx =

Z

cos(x) sen(x)cos(x)

dx =Z

sen(x) dx = cos(x) +K

(e)Z

1

cos(u) cotg(u) du =Z

sec(u) tgu du = sec(u) +K

Prosseguindo, como na tabela acima, temos as seguintes integrais imediatas:

1.Z

xndx =xn+1

n+ 1+K, n 6= 1;

2.Z

1

xdx = ln |x|+K;

3.Z

ax dx =ax

ln a+K, 0 < a 6= 1;

4.Z

ex dx = ex +K;

5.Z

sen(x)dx = cos(x) +K;

6.Z

cos(x)dx = sen(x) +K;

7.Z

sec2(x)dx = tg(x) +K;

8.Z

cossec2(x)dx = cotg(x) +K;

9.Z

sec(x) tg(x)dx = sec(x) +K;

10.Z

cossec(x) cotg(x)dx = cossec(x) +K;

11.Z

dx1 x2 = arcsen(x) +K;

12.Z dx

1 x2 = arccos(x) +K;

13.Z

dx

1 + x2= arctg(x) +K;

14.Z dx

1 + x2= arccotg(x) +K;

15.Z

dx

xx2 1 = arcsec(x) +K;

16.Z dx

xx2 1 = arccossec(x) +K;

2.8 Observacao. A` medida que avancamos, novas integrais imediatas serao apresentadas. Para

tanto, precisaremos de algumas tecnicas (ou metodos). Os exemplos (integrais) contendo o

smbolo , serao chamados de exemplos estrela. Esses exemplos irao completar nossa tabela de

integrais imediatas, mas nao na sua totalidade.



2.1.2 Propriedades Operatorias da Integral Indefinida

Resumimos no seguinte teorema, de facil verificacao.

2.9 Teorema. Sejam f e g duas funcoes com primitivas num intervalo I e c uma constante

qualquer, entao

(i)Z

c f(x) dx = cZ

f(x) dx;

(ii)Z

f(x) g(x)

dx =Z

f(x) dxZ

g(x) dx;

Demonstracao. (i) Seja F (x) uma primitiva de f(x). Entao, c F (x) e uma primitiva de

c f(x), pois

(c F (x)) = k F (x) = c f(x).

Portanto,Z

c f(x) dx = c F (x) +K

= c F (x) + c K1, onde K = c K1

= c (F (x) +K1)

= cZ

f(x) dx.

(ii) Sejam F (x) e G(x) duas primitivas quaisquer das funcoes f(x) e g(x), respectivamente.

Entao, F (x) +G(x) e uma primitiva da funcao f(x) + g(x), pois

F (x)G(x)

= F (x)G(x) = f(x) g(x).

Portanto,Z

f(x) g(x)

dx =

F (x)G(x)

+K

=

F (x)G(x)

+K1 +K2, onde K = K1 +K2

=

F (x) +K1

G(x) +K2

=Z

f(x) dxZ

g(x) dx.

Este ultimo teorema estabelece que para determinar uma antiderivada de uma constante

vezes uma funcao, achamos primeiro uma antiderivada da funcao, multiplicando-a, em seguida,

pela constante. E, para determinar uma antiderivada da soma (ou subtracao) de duas funcoes,

achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funcoes separadamente e entao, somamos (ou

subtraimos) o resultado.

O teorema seguinte, de prova analoga, estende para um numero qualquer, finito, de funcoes.



2.10 Teorema. Se f1, f2, . . ., fn estao definidas num intervalo, entao

Z

c1f1(x) c2f2(x) . . . cnfn(x)

dx = c1

Z

f1(x)dx c2Z

f2(x)dx . . . cnZ

fn(x)dx,

onde c1, c2, . . . , cn sao constantes.

2.11 Observacao. Nao ha uma propriedade analoga para o produto entre funcoes, ou seja,

Z

f(x) g(x) dx 6=Z

f(x) dx Z

g(x) dx,

como ilustra o seguinte exemplo.

Exemplo 2.4. Como Dx1

3(1 + x2)3

= (1 + x2)2 2x, entaoZ

1 + x22 2xdx = 1

3(1 + x2)3 +K =

1

3+ x2 + x4 +

1

3x6 +K.

Calculando a integral de cada fator, temos:

(i)Z

1 + x22

dx =Z

(1 + 2x2 + x4) dx = x+2

3x3 +

1

5x5 +K1

(ii)Z

2x dx = x2 +K2.

E portanto,Z

1 + x22 2x dx 6=

Z

1 + x22

dx Z

2x dx, pois o produto entre (i) e (ii) sera

um polinomio de grau 7.

Exemplo 2.5. Vejamos algumas integrais indefinidas.

(a)Z

(5x4 8x3 + 9x2 2x+ 7) dx = 5Z

x4 dx 8Z

x3 dx+ 9Z

x2 dx 2Z

x dx+Z

7 dx

= 5 15x5 8 14x4 + 9 33x3 2 12x2 + 7x+K= x5 2x4 + 3x3 x2 + 7x+K

(b)Z

x

x+1

x

dx =Z

x1

2

x+ x1

dx =Z

x3

2 + x1

dx =Z

x3

2 dx+Z

x1 dx

=x

5

2

52

+x

1

2

12

+K =2

5x2x+ 2

x+K

(c)Z

2x3 + 1

x2dx =

Z

2x3

x2+

1

x2

dx =Z

2x3

x2dx+

Z

1

x2dx = 2

Z

x dx+Z

x2 dx

= 2 12x2 +

x1

1 +K = x2 1

x+K

(d)Z

3sec(x) tg(x) 5cossec2(x)

dx = 3Z

sec(x) tg(x) dx 5Z

cossec2(x) dx

= 3sec(x) 5(cotg(x)) +K = 3sec(x) + 5cotg(x) +K



(e)Z

2cotg(x) 3sen2(x)sen(x)

dx = 2Z

1

sen(x) cotg(x) dx 3

Z

sen2(x)

sen(x)dx

= 2Z

cossec(x) cotg(x) dx 3Z

sen(x) dx

= 2(cossec(x)) 3(cos(x)) +K = 3cos(x) 2cossec(x) +K

(f)Z

tg2(x) + cotg2(x) + 4

dx =Z

(sec2 1) + (cossec2(x) 1) + 4

dx

=Z

sec2 dx+Z

cossec2(x) dx+ 2Z

dx

= tg(x) cotg(x) + 2x+K

Note que neste ultimo exemplo, usamos as identidades tg2(x) + 1 = sec2(x) e cotg2(x) +

1 = cossec2(x). As identidades trigonometricas sao frequentemente usadas quando calculamos

integrais envolvendo funcoes trigonometricas. As oito identidades fundamentais a seguir sao

cruciais.

cossec(x) =1

sen(x)sec(x) =

1

cos(x)cotg(x) =

1

tg(x)tg(x) =

sen(x)

cos(x)

cotg(x) =cos(x)

sen(x)sen2(x) + cos2(x) = 1 tg2(x) + 1 = sec2(x) cotg2(x) + 1 = cossec2(x)

2.1.3 Versao simples de Equacoes Diferenciais

Um problema aplicado pode ser enunciado em termos de uma equacao diferencial, isto

e, um equacao que envolve derivadas de uma funcao incognita. Uma funcao f e solucao de

uma equacao diferencial se verifica a equacao, isto e, se a substituicao da funcao incognita por

f resulta em uma identidade. Resolver uma equacao diferencial significa achar todas as suas

solucoes. Em alguns casos, alem da equacao diferencial, podemos conhecer certos valores de f ,

chamados condicoes iniciais.

As integrais indefinidas sao uteis para a resolucao de certas equacoes diferenciais, porque,

dada uma derivada f (x), podemos integra-la e usar o Teorema 2.9 para obter uma equacao

envolvendo a funcao incognita f :Z

f (x) dx = f(x) +K

Dada uma condicao inicial para f , e possvel determinar f(x) explicitamente, como no exemplo

a seguir.

Exemplo 2.6. Resolva a equacao diferencial

y = 6x2 + x 5

sujeita a` condicao inicial y(0) = 2.



Resolucao: Notemos primeiro que y =dy

dx. Assim

dy

dx= 6x2 + x 5, e escrevemos

dy = (6x2 + x 5)dx

portanto

y =Z

dy =Z

(6x2 + x 5) dx

= 2x3 +1

2x2 5x+K

Fazendo x = 0 e utilizando a condicao inicial y(0) = 2, temos y(0) = 0 + 0 0 +K = 2. Logo asolucao da equacao diferencial dada, com a condicao inicial y(0) = 2, e

y = 2x3 +1

2x2 5x+ 2

Exemplo 2.7. Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma

inclinacao igual a 4x 5. Se a curva contem o ponto (3, 7), ache sua equacao.

Resolucao: Como a inclinacao da reta tangente e uma curva em qualquer ponto (x, y) e

o valor da derivada nesse ponto, temosdy

dx= 4x 5, e entao

y =Z

dy =Z

(4x 5) dx

= 4 x2

2 5x+K

= 2x2 5x+K

A equacao y = 2x25x+K representa uma famlia de curvas. Como queremos determinar umacerta curva dessa famlia que contenha o ponto (3, 7), substitumos x por 3 e y por 7, obtemos

K = 4, e portanto y = 2x2 5x+ 4 e a equacao da curva pedida.

Exemplo 2.8 (Interpretacao Cinetica). Do estudo da cinetica sabemos que a posicao de um

ponto material em movimento, sobre uma curva C (trajetoria) conhecida, pode ser determinada,em cada instante t, atraves de sua abscissa s, medida sobre a curva C. A expressao que nos das em funcao de t e s = s(t), e e chamada equacao horaria.

Sendo dado um instante t0 e sendo t um instante diferente de t0, chamamos velocidade

media do ponto entre os instantes t0 e t o quociente

vm =s(t) s(t0)

t t0 =s

t,

e chamase velocidade escalar do ponto no instante t0 o limite

v(t0) = limtt0vm = lim

tt0

s(t) s(t0)t t0 = limt0

s

t= s(t0).

Em outras palavras, a derivada da funcao s = s(t) no ponto t = t0 e igual a` velocidade escalar

do movel no instante t0.



Sabemos ainda que a velocidade v de um ponto material em movimento pode variar de

instante para instante. A equacao que nos da v em funcao do tempo t e v = v(t), e e chamada

equacao da velocidade do ponto. Chamase a aceleracao media do ponto entre os instantes t e

t0 o quociente

am =v(t) v(t0)

t t0 =v

t,

e chamase aceleracao escalar do ponto no instante t0 o limite:

a(t0) = limtt0am = lim

tt0

v(t) v(t0)t t0 = limt0

v

t= v(t0).

Em outras palavras, a derivada da funcao v = v(t) no ponto t = t0 e igual a` aceleracao escalar

do movel no instante t0.

Suponha que um ponto percorre uma curva obedecendo a` equacao horaria s = t2 + t 2(Unidades SI). No instante t0 = 2 a velocidade e dada pela derivada s

no ponto 2, ou seja,

v(2) = s(2) = lim

t2

s(t) s(2)t 2 = limt2

(t2 + t 2) (22 + 2 2)t 2

= limt2

t2 + t 6t 2 = limt2

(t 2)(t + 3)t 2 = 5 m/s.

No entanto, podemos, por meio da integracao indefinida, percorrer o caminho inverso,ou

seja, dada a aceleracao a(t), temos v(t) =Z

a(t) dt, e entao s(t) =Z

v(t) dt.

Suponhamos que uma pedra tenha sido lancada verticalmente para cima de um ponto

situado a 45 m acima do solo e com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistencia do

ar, determine (a) a distancia da pedra ao solo apos t segundos; (b) o intervalo de tempo durante

o qual a pedra sobre; e (c) o instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.

Vejamos como. Primeiramente, notemos que o movimento da pedra pode ser representada por

um ponto numa coordenada vertical com origem no solo e direcao positiva para cima.

(a) A distancia da pedra ao solo no instante t e s(t) e as condicoes iniciais sao s(0) = 45 e

v(0) = 30. Como a velocidade e decrescente, v(t) < 0, isto e, a aceleracao e negativa.

Logo, pelas observacoes descritas acima, a(t) = v(t) = 9, 8, e entao

v(t) =Z

a(t) dt =Z

9, 8 dt = 9, 8t+K1

Como v(0) = 30, temos que K1 = 30, e consequentemente, v(t) =Z

9, 8 dt = 9, 8t+30.Obtemos agora, s(t) da seguinte forma:

s(t) =Z

v(t) dt =Z

(9, 8t + 30) dt = 4, 9t2 + 30t+K2

Como s(0) = 45, temos que K2 = 45. E portanto a distancia ao solo no instante t e dado

por s(t) = 4, 9t2 + 30t+ 45.


UFBA Calculo II 2006.2 Integracao por substituicao

(b) A pedra subira ate que v(t) ate que v(t) = 0, isto e, 9, 8t+ 30 = 0, ou t 3.

(c) A pedra atingira o solo quando s(t) = 0, isto e, quando 4, 9t2 + 30t + 45 = 0. Dondet = 1, 24 ou t = 7, 36. Como t e nao-negativo, temos que quando t = 7, 36s a pedraatingira o solo, sob velocidade v(7, 36) = 9, 8(7, 36) + 30 42, 13m/s.

2.1.4 Mudanca de Variavel na Integral Indefinida: Integracao por substituicao

As formulas para integrais indefinidas que estabelecemos ate aqui tem objetivo limitado,

por que nao podemos usa-la diretamente para calcular integrais como

Z

cos(3x) dx,Z

4x+ 1 dx ouZ

tg(x) dx.

Veremos um simples metodo, mas poderoso, para mudar a variavel de integracao de modo que

essas integrais (e muitas outras) possam ser calculadas por meio de uma integral imediata. Esta

tecnica de integracao decorre da regra da cadeia.

Suponhamos que conhecemos uma primitiva, F , para a funcao f (isto e, F = f) e que g e

uma funcao derivavel. Denotando por h a funcao composta de F e g, entao h(x) = F

g(x)

e

da formulaZ

Dx

h(x)

dx = h(x) +K temos

Z

Dx

F

g(x)

dx = F

g(x)

+K.

Aplicando a regra da cadeia no integrando Dx

F

g(x)

e do fato que F = f obtemos

Dx

F

g(x)

= F

g(x)

g(x) = f

(x)

g(x)

e portantoZ

f

(x)

g(x) dx = F

g(x)

+K. (1)

Podemos rememorar a formula (1) usando o seguinte artifcio:

Faca u = g(x). Assimdu

dx= g(x) e logo du = g(x)dx. Entao, podemos reescrever (1) da

seguinte forma:Z

f(u) du = F (u) +K,

e portanto, se conhecemos uma primitiva da funcao f , conhecemos tambem uma primitiva para

(f g) g que e F g.

Este metodo de calcular integrais indefinidas e conhecido como Mudanca de Variavel ou

Metodo da Substituicao, e resumimos da seguinte forma.



2.12 Teorema (Regra da Cadeia para Antidiferenciacao). Se F e uma antiderivada de f ,

entaoZ

f

g(x)

g(x) dx = F

g(x)

+K.

Se u = g(x) e du = g(x)dx, entao

Z

f(u) du = F (u) +K.

Exemplo 2.9. Determinaremos as integrais indefinidas exibidas no comeco desta secao

(a)Z

cos(3x) dx (b)Z

4x+ 1 dx (c) ()Z

tg(x) dx

Resolucao:

(a) Fazendo a substituicao u = 3x e du = 3dx, temosZ

cos(3x) dx =Z

cos(u)du

3=

1

3

Z

cos(u) du =1

3sen(u) +K =

1

3sen(3x) +K

(b) Fazendo a substituicao u = 4x+ 1 e du = 4dx, temosZ

4x+ 1 dx =Z

udu

4=

1

4

Z

u1

2 du =1

4

u3

2

32

+K =1

6u

3

2 +K =1

6

(4x+ 1)3 +K

(c) Como tg(x) =sen(x)

cos(x), fazendo a mudanca de variavel u = cos(x) e du = sen(x) dx, temos

Z

tg(x) dx =Z

sen(x)

cos(x)dx =

Z

du

u= ln |u|+K = ln |cos(x)|+K = ln |sec(x)|+K

2.13 Observacao. Analogamente ao item (c) deste ultimo exemplo, temos que

()Z

cotg(x) dx = ln |sen(x)|+K

De fato, como cotg(x) =cos(x)

sen(x), facamos a substituicao u = sen(x) e du = cos(x) dx, logo

Z

cotg(x) dx =Z

cos(x)

sen(x)dx =

Z

du

u= ln |u|+K = ln |sen(x)|+K.

2.14 Observacao. Nem sempre e facil decidir a substituicao u = g(x) necessaria para trans-

formar uma integral indefinida em uma forma que possa ser facilmente calculavel. A`s vezes e

preciso tentar varias possibilidades diferentes ate achar uma substituicao adequada. Na maio-

ria dos casos, nenhuma substituicao simplificara propriamente o integrando. Vejamos algumas

diretrizes.



Diretrizes para a substituicao da variavel:

1. Decidir por uma substituicao favoravel u = g(x);

2. Calcular du = g(x) dx;

3. Com auxlio de 1. e 2., transformar a integral em uma forma que envolva apenas a

variavel u. Se qualquer parte do integrando resultante ainda contiver a variavel x,

usar uma substituicao diferente em 1., ou outro metodo, caso a variavel x persista em

aparecer;

4. Calcular a integral obtida em 3., obtendo uma antiderivada envolvendo u;

5. Substituir u por g(x) na antiderivada obtida na diretriz 4. O resultado deve conter

apenas a variavel x.

Exemplo 2.10. Calcular, com uma mudanca de variavel, as seguinte integrais

(a)Z

xex2

dx (b)Z

2x+ 5

3x 1 dx

Resolucao: (a) Fazendo u = x2, temos que du = 2xdx donde 12du = xdx. Logo

Z

xex2

dx =Z

ex2

x dx =1

2

Z

eu du =1

2eu +K =

1

2ex

2

+K

(b) Fazendo u = 3x 1, temos que du = 3dx, donde 13dx, x = u+13 e 2x+5 = 23(u+1)+5.Logo

Z

2x+ 5

3x 1 dx =1

3

Z 23(u+ 1) + 5

udu+K =

1

9

Z

2u+ 17

udu+K

=1

9

Z

2 du+1

9

Z

17

udu =

2

9u+

17

9ln |u|+K

=2

9(3x 1) + 17

9ln |3x 1|+K

2.15 Observacao. Na verdade, este ultimo exemplo, e um caso particular de uma situacao

mais geral, que fica como exerccio a sua verificacao. Sejam a, b, c e d numeros reais, tal que

c 6= 0, entaoZ

ax+ b

cx+ ddx =

a

c2(cx+ d) +

bc adc2

ln |cx+ d|+K.

2.16 Teorema. Se f e derivavel com antiderivada F e se n 6= 1 e um numero racional, entao

(i)Z

f(x)nf (x) dx =

f(x)n+1

n+ 1+K

(ii)Z

f(ax+ b) dx =1

aF (ax+ b) +K, a 6= 0



Demonstracao. Basta fazer a mudanca de variavel u = f(x) e du = f (x)dx para (i), e

u = ax+ b edu

a= dx para (ii).

Exemplo 2.11. CalculeZ

tg(x) sec2(x)dx por dois metodos: (a) substituicao u = tg(x), (b)substituicao u = sec(x), e (c) compare as respostas entre (a) e (b).

Resolucao:

(a) Fazendo u = tg(x), temos que du = sec2(x)dx, logoZ

tg(x) sec2(x) dx =Z

u du =u2

2+K =

1

2tg2(x) +K

(b) Fazendo u = sec(x), temos que du = sec(x) tg(x)dx, logoZ

tg(x) sec2(x) dx =Z

sec(x) sec(x) tg(x) dx =Z

u du =u2

2+K =

1

2sec2(x) +K

(c) Como sec2(x) = 1 + tg2(x), as funcoes definidas por 12tg2(x) e 12sec

2(x) diferem por uma

constante, e assim sendo cada uma serve como antiderivada de tg(x) sec2(x), pois1

2sec2(x) +K =

1

2(tg2(x) + 1) +K

=1

2tg2(x) +

1

2+K

=1

2tg2(x) +K1, onde K1 =

1

2+K.

Algumas vezes e possvel obter uma primitiva apos efetuarmos a mudanca de uma variavel,

mesmo nao sendo tao explicito como no Teorema 2.12. Vejamos o seguinte exemplo como

ilustracao desse fato.


x21 + x dx

Resolucao:

1a Forma. Fazendo u = 1 + x, temos que du = dx e x = u 1. Assim temosZ

x21 + x dx =

Z

(u 1)2u 12 du =Z

u5

2 du 2Z

u3

2 du+Z

u1

2 du

=u

7

2

72

2 u5

2

52

+u

3

2

32

+K

=2

7(1 + x)

7

2 45(1 + x)

5

2 +2

3(1 + x)

3

2 +K.

2a Forma. Fazendo v =1 + x, temos que v2 1 = x e 2vdv = dx. Entao

Z

x21 + x dx =

Z

(v2 1)2 v 2v dv = 2Z

v6 dv 4Z

v4 dv + 2Z

v2 dv

=2

7v7 4

5v5 +

2

3v3 +K

=2

7(1 + x)

7

2 45(1 + x)

5

2 +2

3(1 + x)

3

2 +K.



Exemplo 2.13 (). Obter formulas para (a)Z

sec(x) dx e (b)Z

cossecx dx

Resolucao:

(a) Multiplicando o numerador e o denominador por sec(x) + tg(x), temosZ

sec(x) dx =Z

sec(x)(sec(x) + tg(x))

sec(x) + tg(x)dx =

Z

sec2(x) + sec(x) tg(x)sec(x) + tg(x)

dx

e mudando de variavel, u = sec(x)+tg(x), temos du = (sec(x)tg(x)+sec2(x))dx obtem-seZ

sec(x) dx =Z

1

udu = ln |u|+K

= ln |sec(x) + tg(x)|+K

(b) Multiplicando o numerador e o denominador por cossec(x) cotg(x), temosZ

cossec(x) dx =Z

cossec(x)(cossec(x) cotg(x))cossec(x) cotg(x) dx =

Z

cossec2(x) cossec(x) cotg(x)cossec(x) cotg(x) dx

e mudando de variavel, u = cossec(x) cotg(x), temos du = (cossec(x) cotg(x) +cossec2(x))dx obtem-se

Z

cossec(x) dx =Z

1

udu = ln |u|+K

= ln |cossec(x) cotg(x)|+K

Exemplo 2.14 (). Mostre, por uma mudanca de variavel, que

(a)Z

1a2 x2 dx = arcsen

x

a

+K;

(b)Z

1

a2 + x2dx =

1

aarctg

x

a

+K;

(c)Z

1

xx2 a2 dx =

1

aarcsec

x

a

+K;

(d)Z

1x2 a2 dx = ln

x+

x2 a2

+K;

(e)Z

1

x2 a2 dx =1

2aln

x ax+ a

+K;

(f)Z

1

a2 x2 dx =1

2aln

x+ a

x a

+K.

Resolucao:

(a) Notemos primeiro queZ

1a2 x2 dx =

Z

1q

a2

1 x2a2

dx =1

a

Z

1q

1

xa

2dx.

Fazendo u =x

a, temos que adu = dx e logo

Z

1a2 x2 dx =

1

a

Z

a1 u2 du = arcsenu+K = arcsen

x

a

+K.

(b) ComoZ

1

a2 + x2dx =

Z

1

a2

1 + x2

a2

dx =1

a2

Z

1

1 +

xa

2 dx,

fazendo u =x

a, temos que adu = dx e logo

Z

1

a2 + x2dx =

1

a2

Z

a

1 + u2du =

1

aarctgu+K =

1

aarctg

x

a

+K.


UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

(c) ComoZ

1

xx2 a2 dx =

Z

1

xq

a2

x2

a2 1

dx =1

a

Z

1

xq

xa

2 1,

fazendo u =x

a, temos que adu = dx, onde x = au, e logo

Z

1

xx2 a2 dx =

1

a

Z

a

auu2 1 du =

1

aarcsecu+K =

1

aarcsec

x

a

+K.

(d) ComoZ

1x2 a2 dx =

Z

1x2 a2

x+x2 a2

x+x2 a2 dx,

fazendo u = x +x2 a2, temos que du =

1 +2x

2x2 a2

dx =

x2 a2 + xx2 a2 dx,

portanto

Z

1x2 a2 dx =

Z

1

udu = ln |u|+K = ln |x+

x2 a2|+K.

(e) ComoZ

1

x2 a2 dx =Z

1

(x+ a)(x a) dx =Z

1

(x+ a)2(x a)(x+ a)

dx,

fazendo u =x ax+ a

e pela regra da derivada do quociente, temos que

du =1 (x+ a) 1 (x a)

(x+ a)2dx =

2a

(x+ a)2dx, donde,

du

2a=

dx

(x+ a)2

e portanto

Z

1

x2 a2 dx =Z

1

u

du

2a=

1

2a

Z

1

udu =

1

2aln |u|+K = 1

2aln

x ax+ a

+K.

(f) Idem (e).

3 Tecnicas de Integracao

Ate aqui, estabelecemos formulas para o calculo de integrais indefinidas a partir da formula

Z

Dx

f(x)

dx = f(x) +K

e pelo metodo da substituicao de variavel, que possibilita transformar uma integral em outra

mais simples, que possa ser facilmente calculada.

Desenvolveremos entao, outras maneiras de simplificar integrais, entre elas a integracao por

partes. Este poderoso dispositivo permite-nos obter integrais indefinidas de ln (x), arctg(x) e

outras expressoes transcendentes importantes. Desenvolveremos ainda, tecnicas para simplificar

integrais que contenham: potencia de funcoes triogonometricas; radicais; expressoes racionais ea2 x2,a2 + x2 e x2 a2.



A`s vezes pode ser prefervel fazer uso de uma tabela de integrais, em vez de efetuar uma

integracao complicada. Tabelas desse tipo pode-se encontrar em quase todos os livros de calculo.

Algumas vezes e necessario empregar tecnica de integracao para expressar o integrando na forma

em que ele aparece na tabela, exigindo que reconheca qual tecnica a ser empregada numa dada

integral. Quase rodas as formulas nas tabelas de integrais, sao desenvolvidas a partir das tecnicas

de integracao, por essa razao, aconselhamos o uso das tabelas de integrais somente depois que

voce dominar a integracao.

Na pratica, nao e sempre possvel calcular uma integral indefinida, isto e, o integrando nao

tem uma antiderivada que possa ser expressa em termos das funcoes elementares. Um exemplo

de tal integral eZ

ex2

dx.

3.1 Integracao por Partes

Da formula da derivada do produto de duas funcoes obtemos um metodo de integracao

muito util, chamado Integracao por Partes, que e estabelecido da seguinte forma.

Se f e g sao duas funcoes diferenciaveis, entao

Dx

f(x) g(x)

= f (x) g(x) + f(x) g(x)

ou equivalentemente

f(x) g(x) = Dx

f(x) g(x)

f (x) g(x).Integrando ambos os membros em relacao a x, obtemos

Z

f(x) g(x) dx =Z

Dx

f(x) g(x)

dxZ

f (x) g(x) dx

e escrevemos esta ultima equacao da seguinte forma:

Z

f(x) g(x) dx = f(x) g(x)Z

f (x) g(x) dx (2)que e chamada de formula de Integracao por Partes. Esta formula pode ser simplificada fazendo

u = f(x) dv = g(x)dx

du = f (x)dx v = g(x)

resultando na seguinte versao da formula de integracao por partesZ

u dv = u v Z

v du (3)

Observe, que esta formula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de outra

que pode ser mais facil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv. O termo por partes e do



fato que este processo separa o integrando em duas partes. E importante a escolha adequada

de dv, que em geral fazemos representar a parte mais complicada do integrando que possa ser

prontamente integrada, pois v sera uma primitiva de dv.

Resumimos este processo de integracao da seguinte forma:

Olhamos uma funcao h que queremos integrar, como o produto de duas funcoes, uma das

quais e a derivada de uma funcao ja conhecida, isto e,

h(x) = f(x) g(x),

com g sendo uma funcao conhecida. Como vimos, temos que

Z

h(x) dx =Z

f(x) g(x) dx = f(x) g(x) Z

g(x) f (x) dx.

Esperamos, entao, que nossa escolha para as funcoes f e g tenham sido boa de maneira que

conhecamos uma primitiva para g f .Usando novas variaveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma mais

simples: fazendo

u = f(x) dv = g(x)dx

du = f (x)dx v = g(x)

e, portanto, nessas novas variaveis, a formula que obtivemos acima,

Z

f(x) g(x) dx = f(x) g(x)Z

g(x) f (x) dx

se reduz a resultando na seguinte versao da formula de integracao por partes

Z

u dv = u v Z

v du.

A seguir, exemplos ilustrando este metodo de integracao.

Exemplo 3.1. CalcularZ

xln (x) dx.

Resolucao: Para determinar quais as substituicoes para u e dv, devemos ter em mente

que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Isso sugere que u = ln (x) e dv = x dx.

Entao,

du =1

xdx e v =

x2

2+K1.



Da formula (3)

Z

xln (x) dx = ln (x)

x2

2+K1

Z

x2

2+K1

dx

x

=x2

2ln (x) +K1ln (x) 1

2

Z

x dxK1Z

dx

x

=x2

2ln (x) +K1ln (x) x

2

4K1ln (x) +K2

=x2

2ln (x) x

2

4+K2.

3.1 Observacao. Neste ultimo exemplo, note que a primeira constante de integracao K1,

nao aparece na resposta final. K1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de

v da forma 12x2 + K1 produzem o mesmo resultado para

Z

xln (x) dx. Essa situacao vale

em geral e provamos isso da seguinte forma:

Escrevendo v +K1 na formula (3), temos

Z

u dv = u(v +K1)Z

(v +K1) du

= uv +K1uZ

v duK1Z

du

= uv +K1uZ

v duK1u

= uv Z

v du.

Assim sendo, e desnecessario escrevermos a constante de integracao quando calculamos v a

partir de dv.


x3ex2

dx.

Resolucao: Usando integracao por partes, com u = x2 e dv = xex2

, temos entao que

du = 2xdx e v =1

2ex

2

em que v foi obtido pelo metodo de mudanca de variavel. Da formula (3) temos

Z

x3ex2

dx = x2

1

2ex

2

Z

1

2ex

2

2x dx

=1

2x2ex

2 Z

xex2

dx

=1

2x2ex

2 12ex

2

+K.

Exemplo 3.3. Pelo metodo de integracao por partes, calcule as seguintes integrais.

(a)Z

xcos(x) dx (b)Z

(x2 + 3x)sen(x) dx



Resolucao:

(a) Seja u = x e dv = cos(x) dx. Entao du = dx e v = sen(x). Pela formula (3)Z

xcos(x) dx = xsen(x)Z

sen(x) dx

= xsen(x) + cos(x) +K.

(b) Fazendo u = x2 + 3x e dv = sen(x) dx, temos du = (2x + 3)dx e v = cos(x). Portanto,pela formula (3), temos

Z

(x2 + 3x)sen(x) dx = (x2 + 3x)cos(x)Z

(cos(x))(2x + 3) dx

= (x2 + 3x)cos(x) +Z

(2x+ 3)cos(x) dx.

A integral do segundo membro e semelhante a` primeira integral, exceto que em vez de sen(x)

temos cos(x). Aplicando a integracao por partes novamente, sendo

u = 2x+ 3 dv = cos(x)

du = 2dx v = sen(x)

teremosZ

(x2 + 3x)sen(x) dx = (x2 + 3x)cos(x) +

(2x+ 3)sen(x)Z

2sen(x) dx

= (x2 + 3x)cos(x) + (2x+ 3)sen(x) + 2cos(x) dx+K= (x2 + 3x 2)cos(x) + (2x+ 3)sen(x) +K.

3.2 Observacao. De modo geral, as integrais

Z

f(x) cos(x) dx ouZ

f(x) sen(x) dx

onde f(x) e um polinomio, usamos a integracao por partes, tomando

8

:

Z

2xln (x) dx = x2ln (x)Z

x21

xdx

= x2ln (x)Z

x dx

= x2ln (x) x2

2+K.



3.3 Observacao. De modo geral, nas integrais da forma

Z

f(x) ax dx ouZ

f(x) loga(x) dx

onde f(x) e um polinomio e a e uma constante, usamos integracao por partes, fazendo

8

>

:

u = f(x) dv = axdx

du = f (x)dx v =ax

ln (a)

ou

8

0, fazendo k2 = 4a2

temos

Z

1

ax2 + bx+ cdx =

Z

1

ah

x+ b2a

2+ k2

i dx =1

a

Z

1

x+ b2a

2+ k2

dx.



Pela mudanca de variavel u = x+ b2a e du = dx, e pelo Exemplo () 2.14(b) temos

Z

1

ax2 + bx+ cdx =

1

a

Z

1

u2 + k2du =

1

a 1k arctg

u

k

+ C.

(ii) Se > 0, entao < 0, fazendo k2 = 4a2

temos

Z

1

ax2 + bx+ cdx =

Z

1

ah

x+ b2a

2 k2i dx =

1

a

Z

1

x+ b2a

2 k2dx.

Pela mudanca de variavel u = x+ b2a e du = dx, e pelo Exemplo () 2.14(e) temos

Z

1

ax2 + bx+ cdx =

1

a

Z

1

u2 k2 du =1

a 12k

ln

u ku+ k

+ C.

(iii) Se = 0, entao

Z

1

ax2 + bx+ cdx =

1

a

Z

1

x+ b2a

2 dx,

e pela mudanca de variavel u = x+ b2a e du = dx, temos

Z

1

ax2 + bx+ cdx =

1

a

Z

1

u2du = 1

au+C.


1

2x2 + 8x+ 20

Resolucao: Notemos primeiramente que 2x2 + 8x+ 20 = 2(x2 + 4x+ 10). Assim

x2 + 4x+ 10 = (x2 + 4x+ 4) + 10 4 = (x+ 2)2 + 6,

e entaoZ

1

2x2 + 8x+ 10dx =

1

2

Z

1

(x+ 2)2 + 6.

Pela mudanca de variavel u = x+ 2 e du = dx temos

Z

1

2x2 + 8x+ 20dx =

1

2

Z

1

u2 + 6du

=1

2

16arctg

u6

+K

=1

26arctg

x+ 26

+K.



Caso 2

Considere um tipo de integral mais geral:Z

Ax+B

ax2 + bx+ cdx

ComoZ

Ax+B

ax2 + bx+ cdx = A

Z

x

ax2 + bx+ cdx+B

Z

1

ax2 + bx+ cdx

precisamos calcular apenas a primeira integral do lado direito, visto que, acabamos de resolver

integral do tipo da segunda.

Observe, que se u = ax2 + bx+ c entao du = (2ax+ b)dx. Assim

Z

x

ax2 + bx+ cdx =

1

2a

Z

2ax+ b bax2 + bx+ c

dx

=1

2a

Z

2ax+ b

ax2 + bx+ cdx b

2a

Z

1

ax2 + bx+ cdx.

A primeira integral do segundo membro, e facilmente calculada pela mudanca de variavel

u = ax2 + bx+ c e du = (2ax+ b)dx, deste modo

Z

2ax+ b

ax2 + bx+ cdx =

Z

1

udu = ln |u|+K1

= ln |ax2 + bx+ c|+K1.

Voltando a` integral precedente, temosZ

Ax+B

ax2 + bx+ cdx = A

Z

x

ax2 + bx+ cdx+B

Z

1

ax2 + bx+ cdx

=A

2a

ln |ax2 + bx+ c|+K1 bZ

1

ax2 + bx+ cdx

+BZ

1

ax2 + bx+ c

=A

2aln |ax2 + bx+ c|+

B Ab2a

Z

1

ax2 + bx+ cdx+K,

onde, K = A2aK1.

Exemplo 3.8. Calcule a seguinte integralZ

x+ 3

x2 2x 5 dx.

Resolucao: ComoZ

x+ 3

x2 2x 5 dx =Z

x

x2 2x 5 dx+ 3Z

1

x2 2x 5 dx,

resolvendo a primeira integral do lado direito, temosZ

x

x2 2x 5 dx =1

2

Z

2x 2 + 2x2 2x 5 dx

=1

2

Z

2x 2x2 2x 5 dx+

1

2

Z

2

x2 2x 5 dx

=1

2ln |x2 2x 5|+

Z

1

x2 2x 5 dx+K1.



Agora, comoZ

1

x2 2x 5 dx =Z

1

(x2 2x+ 1) 1 5 dx =Z

1

(x 1)2 6 dx

=1

26ln

(x 1)6(x 1) +6

+K2,

temos finalmenteZ

x+ 3

x2 2x 5 dx =Z

x

x2 2x 5 dx+ 3Z

1

x2 2x 5 dx

=1

2ln |x2 2x 5|+K1 + 4

Z

1

x2 2x 5=

1

2ln |x2 2x 5|+K1 + 4

26ln

(x 1)6(x 1) +6

+ 4K2

=1

2ln |x2 2x 5|+

6

3ln

x (1 +6)x 1 +6

+K,

onde K = K1 + 4K2.

Caso 3

Considere o tipo de integralZ

1ax2 + bx+ c

dx.

Com ajuda da mudanca de variavel indicada no Caso 1, essa integral reduz a uma integral

do tipo:

Z

1u2 k2 du, se a > 0 ou

Z

1k2 u2 du, se a < 0

que sao facilmente calculadas com auxlio das formulas dadas no Exemplo() 2.14(a) e (d).

Exemplo 3.9. Calcule a seguinte integralZ

1

x

ln 2x+ 2ln (x) + 5dx.

Resolucao: Pela mudanca de variavel u = ln (x) e du =dx

x, temos

Z

1

x

ln 2x+ 2ln (x) + 5dx =

Z

1u2 + 2u+ 5

du =Z

1

(u+ 1)2 + 4du.

Novamente, mudando variavel, agora, t = u+ 1 e dt = du, temosZ

1

(u+ 1)2 + 4du =

Z

1t2 + 4

dt

= ln

t+

t2 + 4

+K

= ln

(u+ 1) +

(u+ 1)2 + 4

+K

= ln

ln (x) + 1 +

(ln (x) + 1)2 + 4

+K.



Portanto,

Z

1

x

ln 2x+ 2ln (x) + 5dx = ln

ln (x) + 1 +

(ln (x) + 1)2 + 4

+K

Caso 4

Integral do tipoZ

Ax+Bax2 + bx+ c

dx.

Calculamos integrais deste tipo, usando transformacoes analogas a`s consideradas no Caso

2, pois:

Z

Ax+Bax2 + bx+ c

dx = AZ

xax2 + bx+ c

dx+BZ

1ax2 + bx+ c

dx,

onde que a segunda integral do lado direito e justamente do caso imediatamente anterior a este.

Entao

Z

xax2 + bx+ c

dx =1

2a

Z

2ax+ b bax2 + bx+ c

dx

=1

2a

Z

2ax+ bax2 + bx+ c

dx b2a

Z

1ax2 + bx+ c

dx

e assim,

Z

Ax+Bax2 + bx+ c

dx =A

2a

Z

2ax+ bax2 + bx+ c

dx+

B b2a

Z

1ax2 + bx+ c

dx.

Com a mudanca de variavel u = ax2 + bx+ c e du = (2ax+ b)dx, calculamos

Z

2ax+ bax2 + bx+ c

dx =Z

1udu

= 2u+K1

= 2

ax2 + bx+ c+K1.

Portanto,

Z

Ax+Bax2 + bx+ c

dx =A

a

ax2 + bx+ c+

B b2a

Z

1ax2 + bx+ c

dx+K,

onde K =A

aK1.


sen(2x)

2 + cos(x) cos2(x)dx.



Resolucao: Inicialmente, pela seguinte mudanca de variavel u = cos(x) e du = sen(x) dx,e do fato que sen(2x) = 2sen(x)cos(x), temos

Z

sen(2x)

2 + cos(x) cos2(x)dx =

Z 2u2 + u u2 du =

Z 2u+ 1 12 + u u2 du

=Z 2u+ 1

2 + u u2 duZ

12 + u u2 du.

Para a primeira integral do lado direito, fazemos t = 2 + u u2 e dt = (2u+ 1)du, onde queZ 2u+ 1

2 + u u2 du =Z

1tdt

= 2t+K1 = 2

2 + u u2 +K1= 2

2 + cos(x) cos2(x) +K1.

Para a segunda integral, escrevemosZ

12 + u u2 du =

Z

1

(u2 u 2)du =

Z

1

(u2 u+ 14 14 2)du

=Z

1

h

u 122 94

i

du =Z

1q

94

u 122

du,

fazendo v = u 12 e dv = du, temosZ

12 + u u2 du =

Z

1

94 v2

dv = arcsen

v

3/2

+K2

= arcsen

2

3v

+K2 = arcsen

2

3

u 12

+K2

= arcsen

2cos(x) 13

+K2.

Portanto,

Z

sen(2x)

2 + cos(x) cos2(x)dx =

Z 2u+ 12 + u u2 du

Z

12 + u u2 du

= 2

2 + cos(x) cos2(x) +K arcsen

2cos(x) 13

+K,

onde K = K1 K2.

3.3 Integrais de Funcoes Racionais

3.5 Definicao (Funcao Polinomial). Uma funcao polinomial e uma funcao da forma

f(x) = anxn + an1x

n1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0

tal que an, an1, . . . , a2, a1, a0 R. Se an 6= 0, dizemos que grau de f e n, e denotamos porgr(f) = n.



3.6 Definicao (Funcao Racional). Uma funcao racional e uma funcao da forma f(x) =p(x)

q(x)em que p(x) e q(x) sao funcoes polinomiais e q(x) 6= 0 para todo x.

As funcoes racionais podem ser classificadas em proprias ou improprias. Dizemos que uma

funcao racional f e propria se gr(p) < gr(q), caso contrario, isto e, se gr(p) gr(q) dizemos quef e impropria.

Exemplo 3.11.

(a) Sao funcoes racionais proprias: f(x) =x2 1

2x3 3x2 + x 1 e g(x) =x 1

x2 3x+ 1.

(b) Sao funcoes racionais improprias: f(x) =x2 1

1 x 3x2 e g(x) =x3 8x2 + 1

.

3.3.1 Integrais de Funcoes Racionais Improprias

Seja f(x) =p(x)

q(x)uma funcao racional impropria. Assim, temos que gr(p) gr(q), e

entao podemos dividir p(x) por q(x) e obtermos um quociente Q(x) e um resto R(x), em que

gr(R) < gr(q). Em smbolos, escrevemos:

p(x) = q(x) Q(x) +R(x).

Desta forma, procedemos da seguinte forma para o calculo da integral:

Z

f(x)dx =Z

p(x)

q(x)dx =

Z

q(x) Q(x) +R(x)q(x)

dx

=Z

q(x) Q(x)q(x)

+Z

R(x)

q(x)dx

=Z

Q(x)dx+Z

R(x)

q(x)dx

Como gr(R) < gr(q), observemos o seguinte:

3.7 Observacao. Para o calculo da integral de uma funcao racional impropria, dividindo-se

o numerador pelo denominador, escreve-se a funcao como soma de uma funcao polinomial e

uma funcao racional propria.

Exemplo 3.12. Para obter a integral da funcao f(x) =2x2 + 2x+ 1

x2 + 1, dividimos os polinomios

p(x) = 2x2 + 2x+ 1 e q(x) = x2 + 1, e escrevemos

p(x) = 2x2 + 2x+ 1 = 2(x2 + 1) + 2x 1.



Desta forma,

Z

2x2 + 2x+ 1

x2 + 1dx =

Z

2(x2 + 1) + 2x 1x2 + 1

dx

=Z

2(x2 + 1)

x2 + 1+ dx

Z

2x 1x2 + 1

dx

=Z

2dx+Z

2x

x2 + 1dx

Z

1

x2 + 1dx

= 2x+ ln (x2 + 1) arctg(x) +K.

Vimos assim, que o calculo da integral de funcoes racionais resume-se em obter integrais

para funcoes racionais proprias.

3.3.2 Integrais de Funcoes Racionais Proprias: Metodo da Decomposicao em

Fracoes Parciais

O Metodo da Decomposicao em Fracoes Parciais consiste em escrever uma funcao racional

propria como soma de fracoes parciais que dependem, principalmente, da fatoracao do denomi-

nador da funcao racional em R.

Seja f(x) =p(x)

q(x)uma funcao racional propria, isto e, gr(p) < gr(q), entao

f(x) =p(x)

q(x)= F1 + F2 + . . .+ Fr

em que cada Fk (k = 1, . . . r) tem uma das formasA

(ax+ b)nou

Ax+B

(ax2 + bx+ c)n.

A soma F1+F2+ . . .+Fr e a decomposicao em fracoes parciais de f(x) =p(x)

q(x)e Fk e uma

fracao parcial.

Exemplo 3.13. Se f(x) =2

x2 1 podemos expressar2

x2 1 como2

(x+ 1)(x 1) , ou ainda1

x 1 1

x+ 1. A ultima expressao e a decomposicao em fracoes parciais de

2

x2 1.

Desta forma, para obterZ

2

x2 1dx, integramos cada uma das fracoes que constituem adecomposicao, obtendo

Z

2

x2 1dx =Z

1

x 1dxZ

1

x+ 1dx = ln |x 1| ln |x+ 1|+K = ln

x 1x+ 1

+K.

Afirmamos que toda funcao racional possui uma decomposicao em fracoes parciais. Uma

demonstracao deste fato, encontra-se no captulo II do livro Algebra: Um Curso de Introducao

de Arnaldo Garcia e Yves Lequain, publicado pelo IMPA.



Diretrizes para a Decomposicao em Fracoes Parciais

Seja f(x) =p(x)

q(x)uma funcao racional propria. Veremos quatro casos, nos dois primeiros,

q(x) e decomposta em fatores lineares; e nos dois ultimos, q(x) e decomposta em fatores lineares

e quadraticos.

(1) Os fatores de q(x) sao todos lineares e nenhum repetido, isto e,

q(x) = (a1x+ b1) (a2x+ b2) (anx+ bn)

em que nao ha fatores identicos. Neste caso escrevemos:

f(x) =p(x)

q(x)=

A1a1x+ b1

+A2

a2x+ b2+ + An

anx+ bn,

em que A1,A2, . . . ,An sao constantes reais a serem determinadas.

Exemplo 3.14. Seja f(x) =x 1

x3 x2 2x , calcularZ

f(x)dx.

Resolucao: Fatorando o denominador temos que f(x) =x 1

x3 x2 2x =x 1

x(x 2)(x+ 1).Desta forma,

x 1x(x 2)(x+ 1) =

A

x+

B

x 2 +C

x+ 1 x 1 = A(x 2)(x+ 1) +Bx(x+ 1) + Cx(x 2).

Pela igualdade acima entre funcoes polinomiais temos que A =1

2,B =

1

6e c = 2

3.

Portanto,

Z

x 1x3 x2 2xdx =

Z

1

2x+

2

6(x 2) 2

3(x+ 1)

dx

=1

2

Z

1

xdx+

1

6

Z

1

x 2dx2

3

Z

1

x+ 1dx

=1

2ln |x|+ 1

6ln |x 2| 2

3ln |x+ 1|+K

=1

6ln

x3(x 2)(x+ 1)4

+K.

Exemplo 3.15. Integrando por fracoes parciais, mostre que

Z

1

x2 a2 dx =1

2aln

x ax+ a

+K.

Resolucao: Escrevendo a fracao do integrando como soma de fracoes parciais, temos:

1

x2 a2 =A

x a +B

x+ a.



Ou ainda, temos 1 = A(x+a)+B(xa) = (A+B)x+AaBa. Da igualdade entre polinomios,temos o seguinte sistema:

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

sen(a)cos(b) =1

2

sen(a+ b) + sen(a b)

cos(a)sen(b) =1

2

sen(a+ b) sen(a b)

cos(a)cos(b) =1

2

cos(a+ b) + cos(a b)

sen(a)sen(b) =1

2

cos(a b) cos(a+ b)

que sao facilmente obtidas pelas formulas do seno e cosseno da soma,

sen(a+ b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)

cos(a+ b) = cos(a)cos(b) sen(a)sen(b)Exemplo 3.36.

Z

sen(3x)cos(4x)dx =1

2

Z

(sen(3x+ 4x) + sen(3x 4x)) dx

=1

2

Z

sen(7x)dx 12

Z

sen(x)dx = ...

3.6.4 Integrais por Substituicao Trigonometrica

As substituicoes trigonometricas nos permitem substituir os binomios a2 x2, a2 + x2 ex2 a2 pelo quadrado de um unico termo e, portanto, transformar varias integrais que contemrazes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente.

As substituicoes mais comuns sao x = a sen(), x = a tg() e x = a sec(). Elas podem ser

visualizadas nos seguintes triangulos retangulos:

a

a2 x2

x

x = a sen()a2 x2 = a|cos()|

x2 + a2

a

x

x = a tg()a2 + x2 = a|sec()|

x

a

x2 a2

x = a sec()x2 a2 = a|tg()|



1. Com x = a sen(), temos dx = a cos()d e

a2 x2 = a2 a2sen2() = a2

1 sen2()

= a2cos2().

2. Com x = a tg(), temos dx = a sec2()d e

a2 + x2 = a2 + a2tg2() = a2

1 + tg2()

= a2sec2().

3. Com x = a sec(), temos dx = a sec()tg()d e

x2 a2 = a2sec2() a2 = a2

sec2() 1

= a2tg2().

Resumimos assim:

Substituicao Trigonometrica

1. x = a sen() substitui a2 x2 por a2cos2()2. x = a tg() substitui a2 + x2 por a2sec2()

3. x = a sec() substitui x2 a2 por a2tg2()

Quando fazemos uma substituicao, queremos que a mesma seja revertida de maneira que

possamos voltar para a variavel original posteriormente. Por exemplo, se x = a sen(), queremos

poder estabelecer que = arcsen

xa

apos a integracao ter ocorrido. Se x = a tg(), queremos

poder estabelecer que = arctg

xa

no final, o mesmo valendo para x = a sec().

Para a reversibilidade precisamos que esteja no contradomnio da funcao trigonometrica

inversa correspondente, vejamos:

Reversibilidade na Substituicao Trigonometrica

1. x = a sen() exige = arcsen

xa

com 2

2logo cos() 0

2. x = a tg() exige = arctg

xa

com 2

2logo sec() 0

3. x = a sec() exige = arcsec

xa

com

8

0, em geral e possvel efetuar a integracao atraves de uma substituicaotrigonometrica. Que levara a uma integral envolvendo funcoes trigonometricas.

Exemplo 3.37. Calcular as seguintes integras por substituicao trigonometrica.

(a)Z

1

x216 x2 dx (b)

Z

14 + x2

dx (c)Z

x2 9x

dx (d)Z

(1 x2)3x6

dx

Texto composto em LATEX2, APC, Abril/2006


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