Apostila Calculo B - Ufba

of 47 /47
C ´ alculo Diferencial e Integral II (C ´ alculo II – A, MAT 042) Adriano Pedreira Cattai http://www.alunospgmat.ufba.br/adrianocattai/ “clicar em ensino” Universidade Federal da Bahia — UFBA Semestre 2006.2 Sum´ ario 1 Apresenta¸ ao 2 1.1 Ementa ......................................... 2 1.2 Objetivos ........................................ 2 1.3 Metodologia ....................................... 2 1.4 Sugest˜ ao Bibliogr´ afica ................................. 2 1.5 Conte´ udo Program´ atico ................................ 2 1.6 Recomenda¸ oes (Dicas) do Professor ......................... 3 2 Integra¸ ao 4 2.1 Antidiferencia¸ ao: A Integral Indefinida ....................... 4 2.1.1 Regras B´ asicas de Integra¸ ao ......................... 6 2.1.2 Propriedades Operat´ orias da Integral Indefinida ............... 8 2.1.3 Vers˜ ao simples de Equa¸ oes Diferenciais ................... 10 2.1.4 Mudan¸ ca de Vari´ avel na Integral Indefinida: Integra¸ ao por substitui¸ ao . 13 3 ecnicas de Integra¸ ao 18 3.1 Integra¸ ao por Partes ................................. 19 3.2 Integrais do tipo: Ax + B ax 2 + bx + c dx e Ax + B ax 2 + bx + c dx ............ 26 3.3 Integrais de Fun¸ oes Racionais ............................ 31 3.3.1 Integrais de Fun¸ oes Racionais Impr´ oprias ................. 32 3.3.2 Integrais de Fun¸ oes Racionais Pr´ oprias: etodo da Decomposi¸ ao em Fra¸ oes Parciais ................................ 33 1

Embed Size (px)

Transcript of Apostila Calculo B - Ufba

  • Calculo Diferencial e Integral II(Calculo II A, MAT 042)

    Adriano Pedreira Cattaihttp://www.alunospgmat.ufba.br/adrianocattai/

    clicar em ensino

    Universidade Federal da Bahia UFBA

    Semestre 2006.2

    Sumario

    1 Apresentacao 2

    1.1 Ementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.4 Sugestao Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.5 Conteudo Programatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.6 Recomendacoes (Dicas) do Professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Integracao 4

    2.1 Antidiferenciacao: A Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2.1.1 Regras Basicas de Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.1.2 Propriedades Operatorias da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.1.3 Versao simples de Equacoes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.1.4 Mudanca de Variavel na Integral Indefinida: Integracao por substituicao . 13

    3 Tecnicas de Integracao 18

    3.1 Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.2 Integrais do tipo:Z

    Ax+B

    ax2 + bx+ cdx e

    Z

    Ax+Bax2 + bx+ c

    dx . . . . . . . . . . . . 26

    3.3 Integrais de Funcoes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.3.1 Integrais de Funcoes Racionais Improprias . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.3.2 Integrais de Funcoes Racionais Proprias: Metodo da Decomposicao em

    Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    1

  • 3.4 Integrais de Expressoes Racionais Contendo sen(x) e/ou cos(x) . . . . . . . . . . 37

    3.5 Integrais de Algumas Funcoes Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.6 Integracao Trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.6.1 Integracao de potencias do Seno e do Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.6.2 Integracao de Potencias das demais Funcoes Trigonometricas . . . . . . . 42

    3.6.3 Integrais Envolvendo Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.6.4 Integrais por Substituicao Trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  • 1 Apresentacao

    1.1 Ementa

    Nocoes de primitiva de uma funcao: Processos gerais de integracao: integral definida e

    aplicacoes. Estudo das funcoes reais de varias variaveis: limite, continuidade, derivadas parciais

    e derivada total; aplicacoes. Integrais duplas.

    1.2 Objetivos

    Estudo do Calculo Integral para funcoes de uma variavel real e suas aplicacoes geometricas

    e fsicas bem como o estudo do Calculo Diferencial e Integral para funcoes reais de 2 variaveis.

    1.3 Metodologia

    Aulas expositivas

    1.4 Sugestao Bibliografica

    1. Calculo A e Calculo B. FLEMMING, D. M. e GONCALVES, M. B.

    2. Calculo com Geometria Analtica. Earl W. Swokowski, Volumes 1 e 2

    3. Calculo Diferencial e Integral. Piskunov, Volumes 1 e 2

    4. Calculo - Funcoes de Mais de Uma Variavel. Nilson J. Machado

    5. Calculo. Munem-Foulis, Volumes 1 e 2

    6. O Calculo com Geometria Analtica. Louis Leithold, Volumes 1 e 2

    7. Um curso de Calculo. Guidorizi, H., Volumes 1 e 2

    1.5 Conteudo Programatico

    1. A integral indefinida

    Processos elementares de integracao: substituicao, partes, funcoes racionais, irra-

    cionais e trigonometricas.

    2. A integral definida

    Definicao e propriedades basicas;

    Teorema fundamental do calculo.

    3. Aplicacoes da integral definida

    Calculo de area, volume, comprimento de arco

    Algumas aplicacoes a` Fsica;

    Integrais improprias;

  • UFBA Calculo II 2006.2 Apresentacao

    4. Funcoes de duas ou mais variaveis

    Definicao, domnio, curvas de nvel e representacao grafica;

    Nocoes sobre limite e continuidade;

    Derivadas parciais e suas aplicacoes;

    Diferencial e suas aplicacoes;

    Derivacao composta; Derivacao implcita;

    Derivada direcional, gradiente, plano tangente e reta normal a uma superfcie;

    Derivadas parciais de ordem superior - Teorema de Schwartz.

    5. Integrais Duplas

    Definicao, propriedades basicas e interpretacao geometrica;

    Calculo da integral dupla; Aplicacoes.

    1.6 Recomendacoes (Dicas) do Professor

    1a. Evite fazer segunda chamada. Estude logo para se dar bem nas primeiras provas. Evite

    tambem a final, mas saiba que a prova final faz parte do processo de avaliacao. Guarde

    suas provas, elas garantirao seu conceito.

    2a. Estude a teoria e resolva muitos exerccios. Nao se aprende calculo fazendo um ou dois

    exemplos e nem estudando na vespera de prova. Nao faca so os propostos nas listas,

    busque mais em livros de calculo.

    3a. Preste bem atencao na aula, meu quadro nao e dos mais belos e organizados. Nao falte

    aula, a presenca e indispensavel para a compreensao da teoria.

    4a. Se acostume com a notacao utilizada no calculo. A matematica possui uma linguagem

    propria, por isso, aprenda-a.

    5a. As Tres Regras de Ouro para se dar bem em Calculo

    R1. Estude a teoria e faca muitos exerccios de Calculo;

    R2. Se a regra 1 nao for suficiente, estude mais a teoria e faca ainda mais exerccios

    de Calculo;

    R3. Se as regras 1 e 2 nao tiverem o efeito desejado, faca um numero monstruosamente

    grande de exerccios de Calculo.

    Texto composto em LATEX2, APC, Agosto/2006

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 4

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

    2 Integracao

    O Calculo Diferencial lida com o problema de se determinar a taxa de variacao de uma

    quantidade com relacao a outra. Iniciaremos o estudo de uma outra parte do calculo, conhecida

    como Calculo Integral. Aqui estamos interessados precisamente no problema oposto:

    Se conhecemos a taxa de variacao de uma quantidade em relacao a outra, podemos

    determinar a relacao entre essas quantidades?

    A ferramenta principal utilizada no estudo do calculo integral e a antiderivada de uma

    funcao, e desenvolvemos regras para a antiderivacao, ou integracao, como e chamado o processo

    de encontrar a antiderivada ou integral indefinida. A derivada foi motivada por problemas

    de determinacao do coeficiente angular de uma reta tangente e definicao de velocidade. A

    integral definida, como veremos, surge de modo natural quando consideramos o problema da

    determinacao da area de uma regiao curvilnea. Esta e, entretanto, apenas uma das aplicacoes.

    Veremos que o conceito de integral, que e formado totalmente independente do conceito de

    derivada, guarda com este uma relacao muito importante. Esta relacao entre os dois conceitos

    foi estabelecida por Newton e Leibniz no seculo XVII, sendo hoje conhecida como o Teorema

    Fundamental do Calculo.

    Assim, alem de introduzirmos tecnicas de integracao (antidiferenciacao), o conceito de in-

    tegral e tratarmos das propriedades e de suas relacoes com a derivada, apresentaremos algumas

    aplicacoes do calculo de comprimentos, areas, volumes e equacoes diferenciaveis com variaveis

    separaveis, onde esta ultima, na versao bem leve, pois equacoes diferenciaveis sera uma unidade

    da disciplina Calculo III.

    2.1 Antidiferenciacao: A Integral Indefinida

    Em estudos anteriores resolvemos problemas do tipo: Dada uma funcao f , determinar sua

    derivada f . Estudaremos agora um problema relacionado: Dada uma funcao f , achar uma

    funcao F tal que F = f . Ou seja, a operacao inversa da derivada.

    2.1 Definicao. Uma funcao F sera chamada de antiderivada ou primitiva de uma funcao f

    num intervalo I se F (x) = f(x) para todo x no intervalo I.

    Exemplo 2.1. Se F for definida por F (x) = x2, entao F (x) = 2x. Assim, se f for a funcao

    definida por f(x) = 2x, entao f e a derivada de F e F e uma antiderivada, ou primitiva, de f .

    Note que, se G for a funcao definida por G(x) = x2+3 entao, G tambem sera uma primitiva

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 5

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

    de f , pois G(x) = 2x. Na verdade, ha uma infinidade de primitivas para 2x. De modo geral, se

    K e uma constante arbitraria, entao x2 +K e uma primitiva de 2x, do fato em que a derivada

    de uma constante e zero, ou seja

    Dx(x2 +K) = 2x+ 0 = 2x.

    Assim, existe uma famlia de antiderivadas de 2x. Resumimos nos seguintes teoremas.

    2.2 Teorema. Seja F uma antiderivada de f num intervalo I. Se G e uma outra antiderivada

    de f em I, entao

    G(x) = F (x) +K

    para alguma constante arbitraria K e para todo x em I.

    Demonstracao. Seja H a funcao definida em I por H(x) = G(x) F (x). Entao, paratodo x em I temos que H (x) = G(x)F (x). Mas, por hipotese, G(x) = F (x) para todo x emI, logo H (x) = 0 para todo x em I. Portanto H e uma funcao constante, digamos H(x) = K,

    assim G(x) = F (x) +K, para todo x em I.

    2.3 Teorema. Seja F uma antiderivada particular de f num intervalo I. Entao, toda an-

    tiderivada de f em I sera da forma

    F (x) +K

    onde K e uma constante arbitraria e todas as antiderivadas de f em I poderao ser obtidas

    atribuindo-se certos valores a K.

    Demonstracao. Suponha que G represente qualquer antiderivada de f em I, entao

    G(x) = f(x), para todo x em I.

    Mas, F e uma antiderivada particular de f em I, entao F (x) = f(x) para todo x em I. Segue

    portanto que G(x) = F (x) para todo x em I. Logo, pelo teorema anterior, existe uma con-

    stante K, tal que G(x) = F (x) +K para todo x em I.

    Como G representa qualquer antiderivada de f em I, segue que toda antiderivada de f pode ser

    obtida de F (x) +K, onde K e uma constante arbitraria.

    2.4 Definicao (A Integral Indefinida). O processo de se determinar todas as antiderivadas de

    uma funcao e chamado de antidiferenciacao ou integracao. Usamos o smboloZ

    , chamado de

    sinal da integral, para indicar que a operacao de integracao deve ser executada sobre uma funcao

    f . AssimZ

    f(x)dx = F (x) +K

    nos diz que a integral indefinida de f e a famlia de funcoes dada por F (x)+K, onde F (x) = f(x).

    A funcao f a ser integrada e chamada de integrando, e a constante K e chamada de constante

    de integracao.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 6

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

    2.5 Observacao. A expressao dx que segue ao integrando f(x) lembra-nos de que a operacao

    e executada com respeito a x. Se a variavel independente e t, escrevemosZ

    f(t)dt. Neste caso,

    dizemos que tanto t quanto x sao variaveis mudas.

    Exemplo 2.2.

    (a)Z

    3x2dx = x3 +K pois (x3 +K) = 3x2

    (b)Z

    cos(t)dt = sen(t) +K pois (sen(t) +K) = cos(t)

    (c)Z

    eudu = eu +K pois (eu +K) = eu

    (d)Z

    1

    xdx = ln (x) +K pois (ln (x) +K) =

    1

    x

    O seguinte teorema, estabelece que diferenciacao e integracao indefinida sao processos in-

    versos porque, de certo modo, um desfaz o outro.

    2.6 Teorema.(i)

    Z

    Dxf(x)

    dx = f(x) +K

    (ii) Dx

    Z

    f(x)dx

    = f(x)

    Demonstracao. (i) Obvio!

    (ii) Suponha que F e uma antiderivada de f , ou seja, F = f . Assim,

    Dx

    Z

    f(x)dx

    = Dx

    F (x) +K

    = Dx

    F (x)

    + 0 = f(x)

    2.1.1 Regras Basicas de Integracao

    Acabamos de ver queZ

    f (x)dx = f(x) + K. E isto permite usarmos qualquer formula

    de derivada para obter uma formula correspondente de integral indefinida, que chamamos de

    integral imediata, como na tabela a seguir.

    Derivada Integral Indefinida

    f (x)Z

    f (x)dx = f(x) +K

    (x) = 1Z

    dx = x+K

    xn+1

    n+ 1

    = xnZ

    xn dx =xn+1

    n+ 1+K

    (ln (x)) =1

    x

    Z

    1

    xdx = ln |x|+K

    (ax) = ax ln aZ

    ax dx =1

    ln a ax +K

    (ex) = exZ

    ex dx = ex +K

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 7

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

    2.7 Observacao. A formula dada na 3a linha, e chamada de regra da potencia para integral

    indefinida, para tanto, e preciso que tenhamos n 6= 1. Como se ve no exemplo a seguir,frequentemente e preciso modificar a forma de um integrando para aplicar a regra da potencia,

    ou uma identidade trigonometrica.

    Exemplo 2.3.

    (a)Z

    x3 x2 dx =Z

    x5 dx =x5+1

    5 + 1+K =

    1

    6x6 +K

    (b)Z

    1

    x2dx =

    Z

    x2 dx =x2+1

    2 + 1 +K = 1

    x+K

    (c)Z

    3x dx =

    Z

    x1

    3 dx =x

    1

    3+1

    13 + 1

    +K =3

    4x

    4

    3 +K

    (d)Z

    tg(x)

    sec(x)dx =

    Z

    cos(x) sen(x)cos(x)

    dx =Z

    sen(x) dx = cos(x) +K

    (e)Z

    1

    cos(u) cotg(u) du =Z

    sec(u) tgu du = sec(u) +K

    Prosseguindo, como na tabela acima, temos as seguintes integrais imediatas:

    1.Z

    xndx =xn+1

    n+ 1+K, n 6= 1;

    2.Z

    1

    xdx = ln |x|+K;

    3.Z

    ax dx =ax

    ln a+K, 0 < a 6= 1;

    4.Z

    ex dx = ex +K;

    5.Z

    sen(x)dx = cos(x) +K;

    6.Z

    cos(x)dx = sen(x) +K;

    7.Z

    sec2(x)dx = tg(x) +K;

    8.Z

    cossec2(x)dx = cotg(x) +K;

    9.Z

    sec(x) tg(x)dx = sec(x) +K;

    10.Z

    cossec(x) cotg(x)dx = cossec(x) +K;

    11.Z

    dx1 x2 = arcsen(x) +K;

    12.Z dx

    1 x2 = arccos(x) +K;

    13.Z

    dx

    1 + x2= arctg(x) +K;

    14.Z dx

    1 + x2= arccotg(x) +K;

    15.Z

    dx

    xx2 1 = arcsec(x) +K;

    16.Z dx

    xx2 1 = arccossec(x) +K;

    2.8 Observacao. A` medida que avancamos, novas integrais imediatas serao apresentadas. Para

    tanto, precisaremos de algumas tecnicas (ou metodos). Os exemplos (integrais) contendo o

    smbolo , serao chamados de exemplos estrela. Esses exemplos irao completar nossa tabela de

    integrais imediatas, mas nao na sua totalidade.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 8

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

    2.1.2 Propriedades Operatorias da Integral Indefinida

    Resumimos no seguinte teorema, de facil verificacao.

    2.9 Teorema. Sejam f e g duas funcoes com primitivas num intervalo I e c uma constante

    qualquer, entao

    (i)Z

    c f(x) dx = cZ

    f(x) dx;

    (ii)Z

    f(x) g(x)

    dx =Z

    f(x) dxZ

    g(x) dx;

    Demonstracao. (i) Seja F (x) uma primitiva de f(x). Entao, c F (x) e uma primitiva de

    c f(x), pois

    (c F (x)) = k F (x) = c f(x).

    Portanto,Z

    c f(x) dx = c F (x) +K

    = c F (x) + c K1, onde K = c K1

    = c (F (x) +K1)

    = cZ

    f(x) dx.

    (ii) Sejam F (x) e G(x) duas primitivas quaisquer das funcoes f(x) e g(x), respectivamente.

    Entao, F (x) +G(x) e uma primitiva da funcao f(x) + g(x), pois

    F (x)G(x)

    = F (x)G(x) = f(x) g(x).

    Portanto,Z

    f(x) g(x)

    dx =

    F (x)G(x)

    +K

    =

    F (x)G(x)

    +K1 +K2, onde K = K1 +K2

    =

    F (x) +K1

    G(x) +K2

    =Z

    f(x) dxZ

    g(x) dx.

    Este ultimo teorema estabelece que para determinar uma antiderivada de uma constante

    vezes uma funcao, achamos primeiro uma antiderivada da funcao, multiplicando-a, em seguida,

    pela constante. E, para determinar uma antiderivada da soma (ou subtracao) de duas funcoes,

    achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funcoes separadamente e entao, somamos (ou

    subtraimos) o resultado.

    O teorema seguinte, de prova analoga, estende para um numero qualquer, finito, de funcoes.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 9

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

    2.10 Teorema. Se f1, f2, . . ., fn estao definidas num intervalo, entao

    Z

    c1f1(x) c2f2(x) . . . cnfn(x)

    dx = c1

    Z

    f1(x)dx c2Z

    f2(x)dx . . . cnZ

    fn(x)dx,

    onde c1, c2, . . . , cn sao constantes.

    2.11 Observacao. Nao ha uma propriedade analoga para o produto entre funcoes, ou seja,

    Z

    f(x) g(x) dx 6=Z

    f(x) dx Z

    g(x) dx,

    como ilustra o seguinte exemplo.

    Exemplo 2.4. Como Dx1

    3(1 + x2)3

    = (1 + x2)2 2x, entaoZ

    1 + x22 2xdx = 1

    3(1 + x2)3 +K =

    1

    3+ x2 + x4 +

    1

    3x6 +K.

    Calculando a integral de cada fator, temos:

    (i)Z

    1 + x22

    dx =Z

    (1 + 2x2 + x4) dx = x+2

    3x3 +

    1

    5x5 +K1

    (ii)Z

    2x dx = x2 +K2.

    E portanto,Z

    1 + x22 2x dx 6=

    Z

    1 + x22

    dx Z

    2x dx, pois o produto entre (i) e (ii) sera

    um polinomio de grau 7.

    Exemplo 2.5. Vejamos algumas integrais indefinidas.

    (a)Z

    (5x4 8x3 + 9x2 2x+ 7) dx = 5Z

    x4 dx 8Z

    x3 dx+ 9Z

    x2 dx 2Z

    x dx+Z

    7 dx

    = 5 15x5 8 14x4 + 9 33x3 2 12x2 + 7x+K= x5 2x4 + 3x3 x2 + 7x+K

    (b)Z

    x

    x+1

    x

    dx =Z

    x1

    2

    x+ x1

    dx =Z

    x3

    2 + x1

    dx =Z

    x3

    2 dx+Z

    x1 dx

    =x

    5

    2

    52

    +x

    1

    2

    12

    +K =2

    5x2x+ 2

    x+K

    (c)Z

    2x3 + 1

    x2dx =

    Z

    2x3

    x2+

    1

    x2

    dx =Z

    2x3

    x2dx+

    Z

    1

    x2dx = 2

    Z

    x dx+Z

    x2 dx

    = 2 12x2 +

    x1

    1 +K = x2 1

    x+K

    (d)Z

    3sec(x) tg(x) 5cossec2(x)

    dx = 3Z

    sec(x) tg(x) dx 5Z

    cossec2(x) dx

    = 3sec(x) 5(cotg(x)) +K = 3sec(x) + 5cotg(x) +K

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 10

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

    (e)Z

    2cotg(x) 3sen2(x)sen(x)

    dx = 2Z

    1

    sen(x) cotg(x) dx 3

    Z

    sen2(x)

    sen(x)dx

    = 2Z

    cossec(x) cotg(x) dx 3Z

    sen(x) dx

    = 2(cossec(x)) 3(cos(x)) +K = 3cos(x) 2cossec(x) +K

    (f)Z

    tg2(x) + cotg2(x) + 4

    dx =Z

    (sec2 1) + (cossec2(x) 1) + 4

    dx

    =Z

    sec2 dx+Z

    cossec2(x) dx+ 2Z

    dx

    = tg(x) cotg(x) + 2x+K

    Note que neste ultimo exemplo, usamos as identidades tg2(x) + 1 = sec2(x) e cotg2(x) +

    1 = cossec2(x). As identidades trigonometricas sao frequentemente usadas quando calculamos

    integrais envolvendo funcoes trigonometricas. As oito identidades fundamentais a seguir sao

    cruciais.

    cossec(x) =1

    sen(x)sec(x) =

    1

    cos(x)cotg(x) =

    1

    tg(x)tg(x) =

    sen(x)

    cos(x)

    cotg(x) =cos(x)

    sen(x)sen2(x) + cos2(x) = 1 tg2(x) + 1 = sec2(x) cotg2(x) + 1 = cossec2(x)

    2.1.3 Versao simples de Equacoes Diferenciais

    Um problema aplicado pode ser enunciado em termos de uma equacao diferencial, isto

    e, um equacao que envolve derivadas de uma funcao incognita. Uma funcao f e solucao de

    uma equacao diferencial se verifica a equacao, isto e, se a substituicao da funcao incognita por

    f resulta em uma identidade. Resolver uma equacao diferencial significa achar todas as suas

    solucoes. Em alguns casos, alem da equacao diferencial, podemos conhecer certos valores de f ,

    chamados condicoes iniciais.

    As integrais indefinidas sao uteis para a resolucao de certas equacoes diferenciais, porque,

    dada uma derivada f (x), podemos integra-la e usar o Teorema 2.9 para obter uma equacao

    envolvendo a funcao incognita f :Z

    f (x) dx = f(x) +K

    Dada uma condicao inicial para f , e possvel determinar f(x) explicitamente, como no exemplo

    a seguir.

    Exemplo 2.6. Resolva a equacao diferencial

    y = 6x2 + x 5

    sujeita a` condicao inicial y(0) = 2.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 11

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

    Resolucao: Notemos primeiro que y =dy

    dx. Assim

    dy

    dx= 6x2 + x 5, e escrevemos

    dy = (6x2 + x 5)dx

    portanto

    y =Z

    dy =Z

    (6x2 + x 5) dx

    = 2x3 +1

    2x2 5x+K

    Fazendo x = 0 e utilizando a condicao inicial y(0) = 2, temos y(0) = 0 + 0 0 +K = 2. Logo asolucao da equacao diferencial dada, com a condicao inicial y(0) = 2, e

    y = 2x3 +1

    2x2 5x+ 2

    Exemplo 2.7. Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma

    inclinacao igual a 4x 5. Se a curva contem o ponto (3, 7), ache sua equacao.

    Resolucao: Como a inclinacao da reta tangente e uma curva em qualquer ponto (x, y) e

    o valor da derivada nesse ponto, temosdy

    dx= 4x 5, e entao

    y =Z

    dy =Z

    (4x 5) dx

    = 4 x2

    2 5x+K

    = 2x2 5x+K

    A equacao y = 2x25x+K representa uma famlia de curvas. Como queremos determinar umacerta curva dessa famlia que contenha o ponto (3, 7), substitumos x por 3 e y por 7, obtemos

    K = 4, e portanto y = 2x2 5x+ 4 e a equacao da curva pedida.

    Exemplo 2.8 (Interpretacao Cinetica). Do estudo da cinetica sabemos que a posicao de um

    ponto material em movimento, sobre uma curva C (trajetoria) conhecida, pode ser determinada,em cada instante t, atraves de sua abscissa s, medida sobre a curva C. A expressao que nos das em funcao de t e s = s(t), e e chamada equacao horaria.

    Sendo dado um instante t0 e sendo t um instante diferente de t0, chamamos velocidade

    media do ponto entre os instantes t0 e t o quociente

    vm =s(t) s(t0)

    t t0 =s

    t,

    e chamase velocidade escalar do ponto no instante t0 o limite

    v(t0) = limtt0vm = lim

    tt0

    s(t) s(t0)t t0 = limt0

    s

    t= s(t0).

    Em outras palavras, a derivada da funcao s = s(t) no ponto t = t0 e igual a` velocidade escalar

    do movel no instante t0.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 12

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integral Indefinida

    Sabemos ainda que a velocidade v de um ponto material em movimento pode variar de

    instante para instante. A equacao que nos da v em funcao do tempo t e v = v(t), e e chamada

    equacao da velocidade do ponto. Chamase a aceleracao media do ponto entre os instantes t e

    t0 o quociente

    am =v(t) v(t0)

    t t0 =v

    t,

    e chamase aceleracao escalar do ponto no instante t0 o limite:

    a(t0) = limtt0am = lim

    tt0

    v(t) v(t0)t t0 = limt0

    v

    t= v(t0).

    Em outras palavras, a derivada da funcao v = v(t) no ponto t = t0 e igual a` aceleracao escalar

    do movel no instante t0.

    Suponha que um ponto percorre uma curva obedecendo a` equacao horaria s = t2 + t 2(Unidades SI). No instante t0 = 2 a velocidade e dada pela derivada s

    no ponto 2, ou seja,

    v(2) = s(2) = lim

    t2

    s(t) s(2)t 2 = limt2

    (t2 + t 2) (22 + 2 2)t 2

    = limt2

    t2 + t 6t 2 = limt2

    (t 2)(t + 3)t 2 = 5 m/s.

    No entanto, podemos, por meio da integracao indefinida, percorrer o caminho inverso,ou

    seja, dada a aceleracao a(t), temos v(t) =Z

    a(t) dt, e entao s(t) =Z

    v(t) dt.

    Suponhamos que uma pedra tenha sido lancada verticalmente para cima de um ponto

    situado a 45 m acima do solo e com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistencia do

    ar, determine (a) a distancia da pedra ao solo apos t segundos; (b) o intervalo de tempo durante

    o qual a pedra sobre; e (c) o instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.

    Vejamos como. Primeiramente, notemos que o movimento da pedra pode ser representada por

    um ponto numa coordenada vertical com origem no solo e direcao positiva para cima.

    (a) A distancia da pedra ao solo no instante t e s(t) e as condicoes iniciais sao s(0) = 45 e

    v(0) = 30. Como a velocidade e decrescente, v(t) < 0, isto e, a aceleracao e negativa.

    Logo, pelas observacoes descritas acima, a(t) = v(t) = 9, 8, e entao

    v(t) =Z

    a(t) dt =Z

    9, 8 dt = 9, 8t+K1

    Como v(0) = 30, temos que K1 = 30, e consequentemente, v(t) =Z

    9, 8 dt = 9, 8t+30.Obtemos agora, s(t) da seguinte forma:

    s(t) =Z

    v(t) dt =Z

    (9, 8t + 30) dt = 4, 9t2 + 30t+K2

    Como s(0) = 45, temos que K2 = 45. E portanto a distancia ao solo no instante t e dado

    por s(t) = 4, 9t2 + 30t+ 45.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 13

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integracao por substituicao

    (b) A pedra subira ate que v(t) ate que v(t) = 0, isto e, 9, 8t+ 30 = 0, ou t 3.

    (c) A pedra atingira o solo quando s(t) = 0, isto e, quando 4, 9t2 + 30t + 45 = 0. Dondet = 1, 24 ou t = 7, 36. Como t e nao-negativo, temos que quando t = 7, 36s a pedraatingira o solo, sob velocidade v(7, 36) = 9, 8(7, 36) + 30 42, 13m/s.

    2.1.4 Mudanca de Variavel na Integral Indefinida: Integracao por substituicao

    As formulas para integrais indefinidas que estabelecemos ate aqui tem objetivo limitado,

    por que nao podemos usa-la diretamente para calcular integrais como

    Z

    cos(3x) dx,Z

    4x+ 1 dx ouZ

    tg(x) dx.

    Veremos um simples metodo, mas poderoso, para mudar a variavel de integracao de modo que

    essas integrais (e muitas outras) possam ser calculadas por meio de uma integral imediata. Esta

    tecnica de integracao decorre da regra da cadeia.

    Suponhamos que conhecemos uma primitiva, F , para a funcao f (isto e, F = f) e que g e

    uma funcao derivavel. Denotando por h a funcao composta de F e g, entao h(x) = F

    g(x)

    e

    da formulaZ

    Dx

    h(x)

    dx = h(x) +K temos

    Z

    Dx

    F

    g(x)

    dx = F

    g(x)

    +K.

    Aplicando a regra da cadeia no integrando Dx

    F

    g(x)

    e do fato que F = f obtemos

    Dx

    F

    g(x)

    = F

    g(x)

    g(x) = f

    (x)

    g(x)

    e portantoZ

    f

    (x)

    g(x) dx = F

    g(x)

    +K. (1)

    Podemos rememorar a formula (1) usando o seguinte artifcio:

    Faca u = g(x). Assimdu

    dx= g(x) e logo du = g(x)dx. Entao, podemos reescrever (1) da

    seguinte forma:Z

    f(u) du = F (u) +K,

    e portanto, se conhecemos uma primitiva da funcao f , conhecemos tambem uma primitiva para

    (f g) g que e F g.

    Este metodo de calcular integrais indefinidas e conhecido como Mudanca de Variavel ou

    Metodo da Substituicao, e resumimos da seguinte forma.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 14

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integracao por substituicao

    2.12 Teorema (Regra da Cadeia para Antidiferenciacao). Se F e uma antiderivada de f ,

    entaoZ

    f

    g(x)

    g(x) dx = F

    g(x)

    +K.

    Se u = g(x) e du = g(x)dx, entao

    Z

    f(u) du = F (u) +K.

    Exemplo 2.9. Determinaremos as integrais indefinidas exibidas no comeco desta secao

    (a)Z

    cos(3x) dx (b)Z

    4x+ 1 dx (c) ()Z

    tg(x) dx

    Resolucao:

    (a) Fazendo a substituicao u = 3x e du = 3dx, temosZ

    cos(3x) dx =Z

    cos(u)du

    3=

    1

    3

    Z

    cos(u) du =1

    3sen(u) +K =

    1

    3sen(3x) +K

    (b) Fazendo a substituicao u = 4x+ 1 e du = 4dx, temosZ

    4x+ 1 dx =Z

    udu

    4=

    1

    4

    Z

    u1

    2 du =1

    4

    u3

    2

    32

    +K =1

    6u

    3

    2 +K =1

    6

    (4x+ 1)3 +K

    (c) Como tg(x) =sen(x)

    cos(x), fazendo a mudanca de variavel u = cos(x) e du = sen(x) dx, temos

    Z

    tg(x) dx =Z

    sen(x)

    cos(x)dx =

    Z

    du

    u= ln |u|+K = ln |cos(x)|+K = ln |sec(x)|+K

    2.13 Observacao. Analogamente ao item (c) deste ultimo exemplo, temos que

    ()Z

    cotg(x) dx = ln |sen(x)|+K

    De fato, como cotg(x) =cos(x)

    sen(x), facamos a substituicao u = sen(x) e du = cos(x) dx, logo

    Z

    cotg(x) dx =Z

    cos(x)

    sen(x)dx =

    Z

    du

    u= ln |u|+K = ln |sen(x)|+K.

    2.14 Observacao. Nem sempre e facil decidir a substituicao u = g(x) necessaria para trans-

    formar uma integral indefinida em uma forma que possa ser facilmente calculavel. A`s vezes e

    preciso tentar varias possibilidades diferentes ate achar uma substituicao adequada. Na maio-

    ria dos casos, nenhuma substituicao simplificara propriamente o integrando. Vejamos algumas

    diretrizes.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 15

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integracao por substituicao

    Diretrizes para a substituicao da variavel:

    1. Decidir por uma substituicao favoravel u = g(x);

    2. Calcular du = g(x) dx;

    3. Com auxlio de 1. e 2., transformar a integral em uma forma que envolva apenas a

    variavel u. Se qualquer parte do integrando resultante ainda contiver a variavel x,

    usar uma substituicao diferente em 1., ou outro metodo, caso a variavel x persista em

    aparecer;

    4. Calcular a integral obtida em 3., obtendo uma antiderivada envolvendo u;

    5. Substituir u por g(x) na antiderivada obtida na diretriz 4. O resultado deve conter

    apenas a variavel x.

    Exemplo 2.10. Calcular, com uma mudanca de variavel, as seguinte integrais

    (a)Z

    xex2

    dx (b)Z

    2x+ 5

    3x 1 dx

    Resolucao: (a) Fazendo u = x2, temos que du = 2xdx donde 12du = xdx. Logo

    Z

    xex2

    dx =Z

    ex2

    x dx =1

    2

    Z

    eu du =1

    2eu +K =

    1

    2ex

    2

    +K

    (b) Fazendo u = 3x 1, temos que du = 3dx, donde 13dx, x = u+13 e 2x+5 = 23(u+1)+5.Logo

    Z

    2x+ 5

    3x 1 dx =1

    3

    Z 23(u+ 1) + 5

    udu+K =

    1

    9

    Z

    2u+ 17

    udu+K

    =1

    9

    Z

    2 du+1

    9

    Z

    17

    udu =

    2

    9u+

    17

    9ln |u|+K

    =2

    9(3x 1) + 17

    9ln |3x 1|+K

    2.15 Observacao. Na verdade, este ultimo exemplo, e um caso particular de uma situacao

    mais geral, que fica como exerccio a sua verificacao. Sejam a, b, c e d numeros reais, tal que

    c 6= 0, entaoZ

    ax+ b

    cx+ ddx =

    a

    c2(cx+ d) +

    bc adc2

    ln |cx+ d|+K.

    2.16 Teorema. Se f e derivavel com antiderivada F e se n 6= 1 e um numero racional, entao

    (i)Z

    f(x)nf (x) dx =

    f(x)n+1

    n+ 1+K

    (ii)Z

    f(ax+ b) dx =1

    aF (ax+ b) +K, a 6= 0

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 16

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integracao por substituicao

    Demonstracao. Basta fazer a mudanca de variavel u = f(x) e du = f (x)dx para (i), e

    u = ax+ b edu

    a= dx para (ii).

    Exemplo 2.11. CalculeZ

    tg(x) sec2(x)dx por dois metodos: (a) substituicao u = tg(x), (b)substituicao u = sec(x), e (c) compare as respostas entre (a) e (b).

    Resolucao:

    (a) Fazendo u = tg(x), temos que du = sec2(x)dx, logoZ

    tg(x) sec2(x) dx =Z

    u du =u2

    2+K =

    1

    2tg2(x) +K

    (b) Fazendo u = sec(x), temos que du = sec(x) tg(x)dx, logoZ

    tg(x) sec2(x) dx =Z

    sec(x) sec(x) tg(x) dx =Z

    u du =u2

    2+K =

    1

    2sec2(x) +K

    (c) Como sec2(x) = 1 + tg2(x), as funcoes definidas por 12tg2(x) e 12sec

    2(x) diferem por uma

    constante, e assim sendo cada uma serve como antiderivada de tg(x) sec2(x), pois1

    2sec2(x) +K =

    1

    2(tg2(x) + 1) +K

    =1

    2tg2(x) +

    1

    2+K

    =1

    2tg2(x) +K1, onde K1 =

    1

    2+K.

    Algumas vezes e possvel obter uma primitiva apos efetuarmos a mudanca de uma variavel,

    mesmo nao sendo tao explicito como no Teorema 2.12. Vejamos o seguinte exemplo como

    ilustracao desse fato.

    Exemplo 2.12. CalculeZ

    x21 + x dx

    Resolucao:

    1a Forma. Fazendo u = 1 + x, temos que du = dx e x = u 1. Assim temosZ

    x21 + x dx =

    Z

    (u 1)2u 12 du =Z

    u5

    2 du 2Z

    u3

    2 du+Z

    u1

    2 du

    =u

    7

    2

    72

    2 u5

    2

    52

    +u

    3

    2

    32

    +K

    =2

    7(1 + x)

    7

    2 45(1 + x)

    5

    2 +2

    3(1 + x)

    3

    2 +K.

    2a Forma. Fazendo v =1 + x, temos que v2 1 = x e 2vdv = dx. Entao

    Z

    x21 + x dx =

    Z

    (v2 1)2 v 2v dv = 2Z

    v6 dv 4Z

    v4 dv + 2Z

    v2 dv

    =2

    7v7 4

    5v5 +

    2

    3v3 +K

    =2

    7(1 + x)

    7

    2 45(1 + x)

    5

    2 +2

    3(1 + x)

    3

    2 +K.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 17

  • UFBA Calculo II 2006.2 Integracao por substituicao

    Exemplo 2.13 (). Obter formulas para (a)Z

    sec(x) dx e (b)Z

    cossecx dx

    Resolucao:

    (a) Multiplicando o numerador e o denominador por sec(x) + tg(x), temosZ

    sec(x) dx =Z

    sec(x)(sec(x) + tg(x))

    sec(x) + tg(x)dx =

    Z

    sec2(x) + sec(x) tg(x)sec(x) + tg(x)

    dx

    e mudando de variavel, u = sec(x)+tg(x), temos du = (sec(x)tg(x)+sec2(x))dx obtem-seZ

    sec(x) dx =Z

    1

    udu = ln |u|+K

    = ln |sec(x) + tg(x)|+K

    (b) Multiplicando o numerador e o denominador por cossec(x) cotg(x), temosZ

    cossec(x) dx =Z

    cossec(x)(cossec(x) cotg(x))cossec(x) cotg(x) dx =

    Z

    cossec2(x) cossec(x) cotg(x)cossec(x) cotg(x) dx

    e mudando de variavel, u = cossec(x) cotg(x), temos du = (cossec(x) cotg(x) +cossec2(x))dx obtem-se

    Z

    cossec(x) dx =Z

    1

    udu = ln |u|+K

    = ln |cossec(x) cotg(x)|+K

    Exemplo 2.14 (). Mostre, por uma mudanca de variavel, que

    (a)Z

    1a2 x2 dx = arcsen

    x

    a

    +K;

    (b)Z

    1

    a2 + x2dx =

    1

    aarctg

    x

    a

    +K;

    (c)Z

    1

    xx2 a2 dx =

    1

    aarcsec

    x

    a

    +K;

    (d)Z

    1x2 a2 dx = ln

    x+

    x2 a2

    +K;

    (e)Z

    1

    x2 a2 dx =1

    2aln

    x ax+ a

    +K;

    (f)Z

    1

    a2 x2 dx =1

    2aln

    x+ a

    x a

    +K.

    Resolucao:

    (a) Notemos primeiro queZ

    1a2 x2 dx =

    Z

    1q

    a2

    1 x2a2

    dx =1

    a

    Z

    1q

    1

    xa

    2dx.

    Fazendo u =x

    a, temos que adu = dx e logo

    Z

    1a2 x2 dx =

    1

    a

    Z

    a1 u2 du = arcsenu+K = arcsen

    x

    a

    +K.

    (b) ComoZ

    1

    a2 + x2dx =

    Z

    1

    a2

    1 + x2

    a2

    dx =1

    a2

    Z

    1

    1 +

    xa

    2 dx,

    fazendo u =x

    a, temos que adu = dx e logo

    Z

    1

    a2 + x2dx =

    1

    a2

    Z

    a

    1 + u2du =

    1

    aarctgu+K =

    1

    aarctg

    x

    a

    +K.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 18

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    (c) ComoZ

    1

    xx2 a2 dx =

    Z

    1

    xq

    a2

    x2

    a2 1

    dx =1

    a

    Z

    1

    xq

    xa

    2 1,

    fazendo u =x

    a, temos que adu = dx, onde x = au, e logo

    Z

    1

    xx2 a2 dx =

    1

    a

    Z

    a

    auu2 1 du =

    1

    aarcsecu+K =

    1

    aarcsec

    x

    a

    +K.

    (d) ComoZ

    1x2 a2 dx =

    Z

    1x2 a2

    x+x2 a2

    x+x2 a2 dx,

    fazendo u = x +x2 a2, temos que du =

    1 +2x

    2x2 a2

    dx =

    x2 a2 + xx2 a2 dx,

    portanto

    Z

    1x2 a2 dx =

    Z

    1

    udu = ln |u|+K = ln |x+

    x2 a2|+K.

    (e) ComoZ

    1

    x2 a2 dx =Z

    1

    (x+ a)(x a) dx =Z

    1

    (x+ a)2(x a)(x+ a)

    dx,

    fazendo u =x ax+ a

    e pela regra da derivada do quociente, temos que

    du =1 (x+ a) 1 (x a)

    (x+ a)2dx =

    2a

    (x+ a)2dx, donde,

    du

    2a=

    dx

    (x+ a)2

    e portanto

    Z

    1

    x2 a2 dx =Z

    1

    u

    du

    2a=

    1

    2a

    Z

    1

    udu =

    1

    2aln |u|+K = 1

    2aln

    x ax+ a

    +K.

    (f) Idem (e).

    3 Tecnicas de Integracao

    Ate aqui, estabelecemos formulas para o calculo de integrais indefinidas a partir da formula

    Z

    Dx

    f(x)

    dx = f(x) +K

    e pelo metodo da substituicao de variavel, que possibilita transformar uma integral em outra

    mais simples, que possa ser facilmente calculada.

    Desenvolveremos entao, outras maneiras de simplificar integrais, entre elas a integracao por

    partes. Este poderoso dispositivo permite-nos obter integrais indefinidas de ln (x), arctg(x) e

    outras expressoes transcendentes importantes. Desenvolveremos ainda, tecnicas para simplificar

    integrais que contenham: potencia de funcoes triogonometricas; radicais; expressoes racionais ea2 x2,a2 + x2 e x2 a2.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 19

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    A`s vezes pode ser prefervel fazer uso de uma tabela de integrais, em vez de efetuar uma

    integracao complicada. Tabelas desse tipo pode-se encontrar em quase todos os livros de calculo.

    Algumas vezes e necessario empregar tecnica de integracao para expressar o integrando na forma

    em que ele aparece na tabela, exigindo que reconheca qual tecnica a ser empregada numa dada

    integral. Quase rodas as formulas nas tabelas de integrais, sao desenvolvidas a partir das tecnicas

    de integracao, por essa razao, aconselhamos o uso das tabelas de integrais somente depois que

    voce dominar a integracao.

    Na pratica, nao e sempre possvel calcular uma integral indefinida, isto e, o integrando nao

    tem uma antiderivada que possa ser expressa em termos das funcoes elementares. Um exemplo

    de tal integral eZ

    ex2

    dx.

    3.1 Integracao por Partes

    Da formula da derivada do produto de duas funcoes obtemos um metodo de integracao

    muito util, chamado Integracao por Partes, que e estabelecido da seguinte forma.

    Se f e g sao duas funcoes diferenciaveis, entao

    Dx

    f(x) g(x)

    = f (x) g(x) + f(x) g(x)

    ou equivalentemente

    f(x) g(x) = Dx

    f(x) g(x)

    f (x) g(x).Integrando ambos os membros em relacao a x, obtemos

    Z

    f(x) g(x) dx =Z

    Dx

    f(x) g(x)

    dxZ

    f (x) g(x) dx

    e escrevemos esta ultima equacao da seguinte forma:

    Z

    f(x) g(x) dx = f(x) g(x)Z

    f (x) g(x) dx (2)que e chamada de formula de Integracao por Partes. Esta formula pode ser simplificada fazendo

    u = f(x) dv = g(x)dx

    du = f (x)dx v = g(x)

    resultando na seguinte versao da formula de integracao por partesZ

    u dv = u v Z

    v du (3)

    Observe, que esta formula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de outra

    que pode ser mais facil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv. O termo por partes e do

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 20

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    fato que este processo separa o integrando em duas partes. E importante a escolha adequada

    de dv, que em geral fazemos representar a parte mais complicada do integrando que possa ser

    prontamente integrada, pois v sera uma primitiva de dv.

    Resumimos este processo de integracao da seguinte forma:

    Olhamos uma funcao h que queremos integrar, como o produto de duas funcoes, uma das

    quais e a derivada de uma funcao ja conhecida, isto e,

    h(x) = f(x) g(x),

    com g sendo uma funcao conhecida. Como vimos, temos que

    Z

    h(x) dx =Z

    f(x) g(x) dx = f(x) g(x) Z

    g(x) f (x) dx.

    Esperamos, entao, que nossa escolha para as funcoes f e g tenham sido boa de maneira que

    conhecamos uma primitiva para g f .Usando novas variaveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma mais

    simples: fazendo

    u = f(x) dv = g(x)dx

    du = f (x)dx v = g(x)

    e, portanto, nessas novas variaveis, a formula que obtivemos acima,

    Z

    f(x) g(x) dx = f(x) g(x)Z

    g(x) f (x) dx

    se reduz a resultando na seguinte versao da formula de integracao por partes

    Z

    u dv = u v Z

    v du.

    A seguir, exemplos ilustrando este metodo de integracao.

    Exemplo 3.1. CalcularZ

    xln (x) dx.

    Resolucao: Para determinar quais as substituicoes para u e dv, devemos ter em mente

    que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Isso sugere que u = ln (x) e dv = x dx.

    Entao,

    du =1

    xdx e v =

    x2

    2+K1.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 21

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Da formula (3)

    Z

    xln (x) dx = ln (x)

    x2

    2+K1

    Z

    x2

    2+K1

    dx

    x

    =x2

    2ln (x) +K1ln (x) 1

    2

    Z

    x dxK1Z

    dx

    x

    =x2

    2ln (x) +K1ln (x) x

    2

    4K1ln (x) +K2

    =x2

    2ln (x) x

    2

    4+K2.

    3.1 Observacao. Neste ultimo exemplo, note que a primeira constante de integracao K1,

    nao aparece na resposta final. K1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de

    v da forma 12x2 + K1 produzem o mesmo resultado para

    Z

    xln (x) dx. Essa situacao vale

    em geral e provamos isso da seguinte forma:

    Escrevendo v +K1 na formula (3), temos

    Z

    u dv = u(v +K1)Z

    (v +K1) du

    = uv +K1uZ

    v duK1Z

    du

    = uv +K1uZ

    v duK1u

    = uv Z

    v du.

    Assim sendo, e desnecessario escrevermos a constante de integracao quando calculamos v a

    partir de dv.

    Exemplo 3.2. CalcularZ

    x3ex2

    dx.

    Resolucao: Usando integracao por partes, com u = x2 e dv = xex2

    , temos entao que

    du = 2xdx e v =1

    2ex

    2

    em que v foi obtido pelo metodo de mudanca de variavel. Da formula (3) temos

    Z

    x3ex2

    dx = x2

    1

    2ex

    2

    Z

    1

    2ex

    2

    2x dx

    =1

    2x2ex

    2 Z

    xex2

    dx

    =1

    2x2ex

    2 12ex

    2

    +K.

    Exemplo 3.3. Pelo metodo de integracao por partes, calcule as seguintes integrais.

    (a)Z

    xcos(x) dx (b)Z

    (x2 + 3x)sen(x) dx

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 22

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Resolucao:

    (a) Seja u = x e dv = cos(x) dx. Entao du = dx e v = sen(x). Pela formula (3)Z

    xcos(x) dx = xsen(x)Z

    sen(x) dx

    = xsen(x) + cos(x) +K.

    (b) Fazendo u = x2 + 3x e dv = sen(x) dx, temos du = (2x + 3)dx e v = cos(x). Portanto,pela formula (3), temos

    Z

    (x2 + 3x)sen(x) dx = (x2 + 3x)cos(x)Z

    (cos(x))(2x + 3) dx

    = (x2 + 3x)cos(x) +Z

    (2x+ 3)cos(x) dx.

    A integral do segundo membro e semelhante a` primeira integral, exceto que em vez de sen(x)

    temos cos(x). Aplicando a integracao por partes novamente, sendo

    u = 2x+ 3 dv = cos(x)

    du = 2dx v = sen(x)

    teremosZ

    (x2 + 3x)sen(x) dx = (x2 + 3x)cos(x) +

    (2x+ 3)sen(x)Z

    2sen(x) dx

    = (x2 + 3x)cos(x) + (2x+ 3)sen(x) + 2cos(x) dx+K= (x2 + 3x 2)cos(x) + (2x+ 3)sen(x) +K.

    3.2 Observacao. De modo geral, as integrais

    Z

    f(x) cos(x) dx ouZ

    f(x) sen(x) dx

    onde f(x) e um polinomio, usamos a integracao por partes, tomando

    8

    :

    Z

    2xln (x) dx = x2ln (x)Z

    x21

    xdx

    = x2ln (x)Z

    x dx

    = x2ln (x) x2

    2+K.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 23

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    3.3 Observacao. De modo geral, nas integrais da forma

    Z

    f(x) ax dx ouZ

    f(x) loga(x) dx

    onde f(x) e um polinomio e a e uma constante, usamos integracao por partes, fazendo

    8

    >

    :

    u = f(x) dv = axdx

    du = f (x)dx v =ax

    ln (a)

    ou

    8

    0, fazendo k2 = 4a2

    temos

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx =

    Z

    1

    ah

    x+ b2a

    2+ k2

    i dx =1

    a

    Z

    1

    x+ b2a

    2+ k2

    dx.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 27

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Pela mudanca de variavel u = x+ b2a e du = dx, e pelo Exemplo () 2.14(b) temos

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx =

    1

    a

    Z

    1

    u2 + k2du =

    1

    a 1k arctg

    u

    k

    + C.

    (ii) Se > 0, entao < 0, fazendo k2 = 4a2

    temos

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx =

    Z

    1

    ah

    x+ b2a

    2 k2i dx =

    1

    a

    Z

    1

    x+ b2a

    2 k2dx.

    Pela mudanca de variavel u = x+ b2a e du = dx, e pelo Exemplo () 2.14(e) temos

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx =

    1

    a

    Z

    1

    u2 k2 du =1

    a 12k

    ln

    u ku+ k

    + C.

    (iii) Se = 0, entao

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx =

    1

    a

    Z

    1

    x+ b2a

    2 dx,

    e pela mudanca de variavel u = x+ b2a e du = dx, temos

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx =

    1

    a

    Z

    1

    u2du = 1

    au+C.

    Exemplo 3.7. CalcularZ

    1

    2x2 + 8x+ 20

    Resolucao: Notemos primeiramente que 2x2 + 8x+ 20 = 2(x2 + 4x+ 10). Assim

    x2 + 4x+ 10 = (x2 + 4x+ 4) + 10 4 = (x+ 2)2 + 6,

    e entaoZ

    1

    2x2 + 8x+ 10dx =

    1

    2

    Z

    1

    (x+ 2)2 + 6.

    Pela mudanca de variavel u = x+ 2 e du = dx temos

    Z

    1

    2x2 + 8x+ 20dx =

    1

    2

    Z

    1

    u2 + 6du

    =1

    2

    16arctg

    u6

    +K

    =1

    26arctg

    x+ 26

    +K.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 28

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Caso 2

    Considere um tipo de integral mais geral:Z

    Ax+B

    ax2 + bx+ cdx

    ComoZ

    Ax+B

    ax2 + bx+ cdx = A

    Z

    x

    ax2 + bx+ cdx+B

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx

    precisamos calcular apenas a primeira integral do lado direito, visto que, acabamos de resolver

    integral do tipo da segunda.

    Observe, que se u = ax2 + bx+ c entao du = (2ax+ b)dx. Assim

    Z

    x

    ax2 + bx+ cdx =

    1

    2a

    Z

    2ax+ b bax2 + bx+ c

    dx

    =1

    2a

    Z

    2ax+ b

    ax2 + bx+ cdx b

    2a

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx.

    A primeira integral do segundo membro, e facilmente calculada pela mudanca de variavel

    u = ax2 + bx+ c e du = (2ax+ b)dx, deste modo

    Z

    2ax+ b

    ax2 + bx+ cdx =

    Z

    1

    udu = ln |u|+K1

    = ln |ax2 + bx+ c|+K1.

    Voltando a` integral precedente, temosZ

    Ax+B

    ax2 + bx+ cdx = A

    Z

    x

    ax2 + bx+ cdx+B

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx

    =A

    2a

    ln |ax2 + bx+ c|+K1 bZ

    1

    ax2 + bx+ cdx

    +BZ

    1

    ax2 + bx+ c

    =A

    2aln |ax2 + bx+ c|+

    B Ab2a

    Z

    1

    ax2 + bx+ cdx+K,

    onde, K = A2aK1.

    Exemplo 3.8. Calcule a seguinte integralZ

    x+ 3

    x2 2x 5 dx.

    Resolucao: ComoZ

    x+ 3

    x2 2x 5 dx =Z

    x

    x2 2x 5 dx+ 3Z

    1

    x2 2x 5 dx,

    resolvendo a primeira integral do lado direito, temosZ

    x

    x2 2x 5 dx =1

    2

    Z

    2x 2 + 2x2 2x 5 dx

    =1

    2

    Z

    2x 2x2 2x 5 dx+

    1

    2

    Z

    2

    x2 2x 5 dx

    =1

    2ln |x2 2x 5|+

    Z

    1

    x2 2x 5 dx+K1.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 29

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Agora, comoZ

    1

    x2 2x 5 dx =Z

    1

    (x2 2x+ 1) 1 5 dx =Z

    1

    (x 1)2 6 dx

    =1

    26ln

    (x 1)6(x 1) +6

    +K2,

    temos finalmenteZ

    x+ 3

    x2 2x 5 dx =Z

    x

    x2 2x 5 dx+ 3Z

    1

    x2 2x 5 dx

    =1

    2ln |x2 2x 5|+K1 + 4

    Z

    1

    x2 2x 5=

    1

    2ln |x2 2x 5|+K1 + 4

    26ln

    (x 1)6(x 1) +6

    + 4K2

    =1

    2ln |x2 2x 5|+

    6

    3ln

    x (1 +6)x 1 +6

    +K,

    onde K = K1 + 4K2.

    Caso 3

    Considere o tipo de integralZ

    1ax2 + bx+ c

    dx.

    Com ajuda da mudanca de variavel indicada no Caso 1, essa integral reduz a uma integral

    do tipo:

    Z

    1u2 k2 du, se a > 0 ou

    Z

    1k2 u2 du, se a < 0

    que sao facilmente calculadas com auxlio das formulas dadas no Exemplo() 2.14(a) e (d).

    Exemplo 3.9. Calcule a seguinte integralZ

    1

    x

    ln 2x+ 2ln (x) + 5dx.

    Resolucao: Pela mudanca de variavel u = ln (x) e du =dx

    x, temos

    Z

    1

    x

    ln 2x+ 2ln (x) + 5dx =

    Z

    1u2 + 2u+ 5

    du =Z

    1

    (u+ 1)2 + 4du.

    Novamente, mudando variavel, agora, t = u+ 1 e dt = du, temosZ

    1

    (u+ 1)2 + 4du =

    Z

    1t2 + 4

    dt

    = ln

    t+

    t2 + 4

    +K

    = ln

    (u+ 1) +

    (u+ 1)2 + 4

    +K

    = ln

    ln (x) + 1 +

    (ln (x) + 1)2 + 4

    +K.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 30

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Portanto,

    Z

    1

    x

    ln 2x+ 2ln (x) + 5dx = ln

    ln (x) + 1 +

    (ln (x) + 1)2 + 4

    +K

    Caso 4

    Integral do tipoZ

    Ax+Bax2 + bx+ c

    dx.

    Calculamos integrais deste tipo, usando transformacoes analogas a`s consideradas no Caso

    2, pois:

    Z

    Ax+Bax2 + bx+ c

    dx = AZ

    xax2 + bx+ c

    dx+BZ

    1ax2 + bx+ c

    dx,

    onde que a segunda integral do lado direito e justamente do caso imediatamente anterior a este.

    Entao

    Z

    xax2 + bx+ c

    dx =1

    2a

    Z

    2ax+ b bax2 + bx+ c

    dx

    =1

    2a

    Z

    2ax+ bax2 + bx+ c

    dx b2a

    Z

    1ax2 + bx+ c

    dx

    e assim,

    Z

    Ax+Bax2 + bx+ c

    dx =A

    2a

    Z

    2ax+ bax2 + bx+ c

    dx+

    B b2a

    Z

    1ax2 + bx+ c

    dx.

    Com a mudanca de variavel u = ax2 + bx+ c e du = (2ax+ b)dx, calculamos

    Z

    2ax+ bax2 + bx+ c

    dx =Z

    1udu

    = 2u+K1

    = 2

    ax2 + bx+ c+K1.

    Portanto,

    Z

    Ax+Bax2 + bx+ c

    dx =A

    a

    ax2 + bx+ c+

    B b2a

    Z

    1ax2 + bx+ c

    dx+K,

    onde K =A

    aK1.

    Exemplo 3.10. CalculeZ

    sen(2x)

    2 + cos(x) cos2(x)dx.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 31

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Resolucao: Inicialmente, pela seguinte mudanca de variavel u = cos(x) e du = sen(x) dx,e do fato que sen(2x) = 2sen(x)cos(x), temos

    Z

    sen(2x)

    2 + cos(x) cos2(x)dx =

    Z 2u2 + u u2 du =

    Z 2u+ 1 12 + u u2 du

    =Z 2u+ 1

    2 + u u2 duZ

    12 + u u2 du.

    Para a primeira integral do lado direito, fazemos t = 2 + u u2 e dt = (2u+ 1)du, onde queZ 2u+ 1

    2 + u u2 du =Z

    1tdt

    = 2t+K1 = 2

    2 + u u2 +K1= 2

    2 + cos(x) cos2(x) +K1.

    Para a segunda integral, escrevemosZ

    12 + u u2 du =

    Z

    1

    (u2 u 2)du =

    Z

    1

    (u2 u+ 14 14 2)du

    =Z

    1

    h

    u 122 94

    i

    du =Z

    1q

    94

    u 122

    du,

    fazendo v = u 12 e dv = du, temosZ

    12 + u u2 du =

    Z

    1

    94 v2

    dv = arcsen

    v

    3/2

    +K2

    = arcsen

    2

    3v

    +K2 = arcsen

    2

    3

    u 12

    +K2

    = arcsen

    2cos(x) 13

    +K2.

    Portanto,

    Z

    sen(2x)

    2 + cos(x) cos2(x)dx =

    Z 2u+ 12 + u u2 du

    Z

    12 + u u2 du

    = 2

    2 + cos(x) cos2(x) +K arcsen

    2cos(x) 13

    +K,

    onde K = K1 K2.

    3.3 Integrais de Funcoes Racionais

    3.5 Definicao (Funcao Polinomial). Uma funcao polinomial e uma funcao da forma

    f(x) = anxn + an1x

    n1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0

    tal que an, an1, . . . , a2, a1, a0 R. Se an 6= 0, dizemos que grau de f e n, e denotamos porgr(f) = n.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 32

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    3.6 Definicao (Funcao Racional). Uma funcao racional e uma funcao da forma f(x) =p(x)

    q(x)em que p(x) e q(x) sao funcoes polinomiais e q(x) 6= 0 para todo x.

    As funcoes racionais podem ser classificadas em proprias ou improprias. Dizemos que uma

    funcao racional f e propria se gr(p) < gr(q), caso contrario, isto e, se gr(p) gr(q) dizemos quef e impropria.

    Exemplo 3.11.

    (a) Sao funcoes racionais proprias: f(x) =x2 1

    2x3 3x2 + x 1 e g(x) =x 1

    x2 3x+ 1.

    (b) Sao funcoes racionais improprias: f(x) =x2 1

    1 x 3x2 e g(x) =x3 8x2 + 1

    .

    3.3.1 Integrais de Funcoes Racionais Improprias

    Seja f(x) =p(x)

    q(x)uma funcao racional impropria. Assim, temos que gr(p) gr(q), e

    entao podemos dividir p(x) por q(x) e obtermos um quociente Q(x) e um resto R(x), em que

    gr(R) < gr(q). Em smbolos, escrevemos:

    p(x) = q(x) Q(x) +R(x).

    Desta forma, procedemos da seguinte forma para o calculo da integral:

    Z

    f(x)dx =Z

    p(x)

    q(x)dx =

    Z

    q(x) Q(x) +R(x)q(x)

    dx

    =Z

    q(x) Q(x)q(x)

    +Z

    R(x)

    q(x)dx

    =Z

    Q(x)dx+Z

    R(x)

    q(x)dx

    Como gr(R) < gr(q), observemos o seguinte:

    3.7 Observacao. Para o calculo da integral de uma funcao racional impropria, dividindo-se

    o numerador pelo denominador, escreve-se a funcao como soma de uma funcao polinomial e

    uma funcao racional propria.

    Exemplo 3.12. Para obter a integral da funcao f(x) =2x2 + 2x+ 1

    x2 + 1, dividimos os polinomios

    p(x) = 2x2 + 2x+ 1 e q(x) = x2 + 1, e escrevemos

    p(x) = 2x2 + 2x+ 1 = 2(x2 + 1) + 2x 1.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 33

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Desta forma,

    Z

    2x2 + 2x+ 1

    x2 + 1dx =

    Z

    2(x2 + 1) + 2x 1x2 + 1

    dx

    =Z

    2(x2 + 1)

    x2 + 1+ dx

    Z

    2x 1x2 + 1

    dx

    =Z

    2dx+Z

    2x

    x2 + 1dx

    Z

    1

    x2 + 1dx

    = 2x+ ln (x2 + 1) arctg(x) +K.

    Vimos assim, que o calculo da integral de funcoes racionais resume-se em obter integrais

    para funcoes racionais proprias.

    3.3.2 Integrais de Funcoes Racionais Proprias: Metodo da Decomposicao em

    Fracoes Parciais

    O Metodo da Decomposicao em Fracoes Parciais consiste em escrever uma funcao racional

    propria como soma de fracoes parciais que dependem, principalmente, da fatoracao do denomi-

    nador da funcao racional em R.

    Seja f(x) =p(x)

    q(x)uma funcao racional propria, isto e, gr(p) < gr(q), entao

    f(x) =p(x)

    q(x)= F1 + F2 + . . .+ Fr

    em que cada Fk (k = 1, . . . r) tem uma das formasA

    (ax+ b)nou

    Ax+B

    (ax2 + bx+ c)n.

    A soma F1+F2+ . . .+Fr e a decomposicao em fracoes parciais de f(x) =p(x)

    q(x)e Fk e uma

    fracao parcial.

    Exemplo 3.13. Se f(x) =2

    x2 1 podemos expressar2

    x2 1 como2

    (x+ 1)(x 1) , ou ainda1

    x 1 1

    x+ 1. A ultima expressao e a decomposicao em fracoes parciais de

    2

    x2 1.

    Desta forma, para obterZ

    2

    x2 1dx, integramos cada uma das fracoes que constituem adecomposicao, obtendo

    Z

    2

    x2 1dx =Z

    1

    x 1dxZ

    1

    x+ 1dx = ln |x 1| ln |x+ 1|+K = ln

    x 1x+ 1

    +K.

    Afirmamos que toda funcao racional possui uma decomposicao em fracoes parciais. Uma

    demonstracao deste fato, encontra-se no captulo II do livro Algebra: Um Curso de Introducao

    de Arnaldo Garcia e Yves Lequain, publicado pelo IMPA.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 34

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Diretrizes para a Decomposicao em Fracoes Parciais

    Seja f(x) =p(x)

    q(x)uma funcao racional propria. Veremos quatro casos, nos dois primeiros,

    q(x) e decomposta em fatores lineares; e nos dois ultimos, q(x) e decomposta em fatores lineares

    e quadraticos.

    (1) Os fatores de q(x) sao todos lineares e nenhum repetido, isto e,

    q(x) = (a1x+ b1) (a2x+ b2) (anx+ bn)

    em que nao ha fatores identicos. Neste caso escrevemos:

    f(x) =p(x)

    q(x)=

    A1a1x+ b1

    +A2

    a2x+ b2+ + An

    anx+ bn,

    em que A1,A2, . . . ,An sao constantes reais a serem determinadas.

    Exemplo 3.14. Seja f(x) =x 1

    x3 x2 2x , calcularZ

    f(x)dx.

    Resolucao: Fatorando o denominador temos que f(x) =x 1

    x3 x2 2x =x 1

    x(x 2)(x+ 1).Desta forma,

    x 1x(x 2)(x+ 1) =

    A

    x+

    B

    x 2 +C

    x+ 1 x 1 = A(x 2)(x+ 1) +Bx(x+ 1) + Cx(x 2).

    Pela igualdade acima entre funcoes polinomiais temos que A =1

    2,B =

    1

    6e c = 2

    3.

    Portanto,

    Z

    x 1x3 x2 2xdx =

    Z

    1

    2x+

    2

    6(x 2) 2

    3(x+ 1)

    dx

    =1

    2

    Z

    1

    xdx+

    1

    6

    Z

    1

    x 2dx2

    3

    Z

    1

    x+ 1dx

    =1

    2ln |x|+ 1

    6ln |x 2| 2

    3ln |x+ 1|+K

    =1

    6ln

    x3(x 2)(x+ 1)4

    +K.

    Exemplo 3.15. Integrando por fracoes parciais, mostre que

    Z

    1

    x2 a2 dx =1

    2aln

    x ax+ a

    +K.

    Resolucao: Escrevendo a fracao do integrando como soma de fracoes parciais, temos:

    1

    x2 a2 =A

    x a +B

    x+ a.

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 35

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    Ou ainda, temos 1 = A(x+a)+B(xa) = (A+B)x+AaBa. Da igualdade entre polinomios,temos o seguinte sistema:

    8

    >

    >

    >

    >

    >

    >

    >

    >

    >

    >

    >

    >

    :

    sen(a)cos(b) =1

    2

    sen(a+ b) + sen(a b)

    cos(a)sen(b) =1

    2

    sen(a+ b) sen(a b)

    cos(a)cos(b) =1

    2

    cos(a+ b) + cos(a b)

    sen(a)sen(b) =1

    2

    cos(a b) cos(a+ b)

    que sao facilmente obtidas pelas formulas do seno e cosseno da soma,

    sen(a+ b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)

    cos(a+ b) = cos(a)cos(b) sen(a)sen(b)Exemplo 3.36.

    Z

    sen(3x)cos(4x)dx =1

    2

    Z

    (sen(3x+ 4x) + sen(3x 4x)) dx

    =1

    2

    Z

    sen(7x)dx 12

    Z

    sen(x)dx = ...

    3.6.4 Integrais por Substituicao Trigonometrica

    As substituicoes trigonometricas nos permitem substituir os binomios a2 x2, a2 + x2 ex2 a2 pelo quadrado de um unico termo e, portanto, transformar varias integrais que contemrazes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente.

    As substituicoes mais comuns sao x = a sen(), x = a tg() e x = a sec(). Elas podem ser

    visualizadas nos seguintes triangulos retangulos:

    a

    a2 x2

    x

    x = a sen()a2 x2 = a|cos()|

    x2 + a2

    a

    x

    x = a tg()a2 + x2 = a|sec()|

    x

    a

    x2 a2

    x = a sec()x2 a2 = a|tg()|

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 46

  • UFBA Calculo II 2006.2 Tecnicas de Integracao

    1. Com x = a sen(), temos dx = a cos()d e

    a2 x2 = a2 a2sen2() = a2

    1 sen2()

    = a2cos2().

    2. Com x = a tg(), temos dx = a sec2()d e

    a2 + x2 = a2 + a2tg2() = a2

    1 + tg2()

    = a2sec2().

    3. Com x = a sec(), temos dx = a sec()tg()d e

    x2 a2 = a2sec2() a2 = a2

    sec2() 1

    = a2tg2().

    Resumimos assim:

    Substituicao Trigonometrica

    1. x = a sen() substitui a2 x2 por a2cos2()2. x = a tg() substitui a2 + x2 por a2sec2()

    3. x = a sec() substitui x2 a2 por a2tg2()

    Quando fazemos uma substituicao, queremos que a mesma seja revertida de maneira que

    possamos voltar para a variavel original posteriormente. Por exemplo, se x = a sen(), queremos

    poder estabelecer que = arcsen

    xa

    apos a integracao ter ocorrido. Se x = a tg(), queremos

    poder estabelecer que = arctg

    xa

    no final, o mesmo valendo para x = a sec().

    Para a reversibilidade precisamos que esteja no contradomnio da funcao trigonometrica

    inversa correspondente, vejamos:

    Reversibilidade na Substituicao Trigonometrica

    1. x = a sen() exige = arcsen

    xa

    com 2

    2logo cos() 0

    2. x = a tg() exige = arctg

    xa

    com 2

    2logo sec() 0

    3. x = a sec() exige = arcsec

    xa

    com

    8

    0, em geral e possvel efetuar a integracao atraves de uma substituicaotrigonometrica. Que levara a uma integral envolvendo funcoes trigonometricas.

    Exemplo 3.37. Calcular as seguintes integras por substituicao trigonometrica.

    (a)Z

    1

    x216 x2 dx (b)

    Z

    14 + x2

    dx (c)Z

    x2 9x

    dx (d)Z

    (1 x2)3x6

    dx

    Texto composto em LATEX2, APC, Abril/2006

    Adriano Pedreira Cattai [email protected] Pagina 47