s

Clculo Diferencial e Integral II

Sandra Regina Leme Forster

Sandra Regina Leme Forster

Clculo Diferencial e Integral IIEducao a Distncia

LISTA DE TABELAS OU DE ILUSTRAESTabela 1.1 Figura 1.1 Figura 1.2 Figura 1.3 Figura 1.4 Figura 1.5 Figura 1.6 Figura 1.7 Figura 1.8 Figura 1.9 Figura 1.10 Figura 1.11 Figura 2.1 Figura 2.2 Figura 2.3 Figura 2.4 Distncias de So Paulo a Extrema Grfico representando Velocidades Mdias Taxa de variao Inclinao da reta secante e taxa mdia de variao Velocidade Mdia de SP a Extrema Velocidade Mdia de SP at o quilmetro 100 Grfico da funo s(t) = -t + 4t Reta secante a s(t) = -t + 4t e a Vm Reta tangente a s(t) = -t + 4t e a Vinstantnea Reta tangente ao grfico de y = f(x) exemplos de retas tangentes e retas no tangentes circunferncia exemplos de retas tangentes e retas no tangentes Funo Composta Funo do 1 grau bijetora Funo do 2 grau bijetora e no bijetora Grficos de funes, suas inversas e a relao com a funo identidade Figura 4.1 Figura 4.2 Figura 4.3 Figura 4.4 Grficos de funes crescentes em seu intervalo Retas tangentes s curvas crescentes so crescentes Funo decrescente em seu intervalo Retas tangentes s curvas decrescentes so decrescentes Figura 4.5 Tabela 4.1 Figura 4.6 Pontos crticos de uma funo Algumas coordenadas da f(x) = x A importncia da derivada primeira para o esboo de grficos Figura 4.7 Curvas crescentes com concavidades diferentes em um mesmo intervalo Figura 4.8 Figura 5.1 Concavidade de uma funo Representao geomtrica do TVM 88 98 87 84 86 86 78 79 81 81 9 9 11 12 13 13 15 18 18 18 19 19 49 51 52 53

3

SUMRIOAPRESENTAO INTRODUO 1 1.0 1.1 1.1.1 1.2 1.2.1 1.3 1.3.1 A DERIVADA E SUA INTERPRETAO GEOMTRICA E FSICAINTRODUO

6 7 8 8 8 8 10 11 12 18 20 21 23 24 25 26 27 30 32 32 32 33 33 34 35 35 36 38 38 40

TAXA MEDIA DE VARIAO EXEMPLO TAXA MDIA DE VARIAO E RETAS SECANTES EXEMPLO TAXA INSTANTNEA Reta Tangente

1.3.1.1 A idia de reta tangente 1.3.1.2 Inclinao de um grfico - Exemplo 1.3.1.3 Equao da reta tangente Exemplo 1.4 1.4.1 1.5 1.5.1 1.6 2 2.0 2.1 2.1.1 2.2 2.2.1 2.3 2.3.1 2.4 2.4.1 2.5 2.5.1 A DERIVADA DE UMA FUNO Exemplos DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Exemplos EXERCCIOS DO CAPTULO ALGUMAS REGRAS DE DERIVAO INTRODUO REGRA DA CONSTANTE Exemplos REGRA DA POTNCIA Exemplos MLTIPLO CONSTANTE Exemplos REGRA DA SOMA E DA DIFERENA Exemplos REGRA DO PRODUTO Exemplos

4

2.6 2.6.1 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.9.1 2.9.2 2.9.3 2.10 2.10.1 2.11 2.11.1 2.12 2.12.1 2.13 2.13.1 2.14 3 3.0 3.1 3.1.1 3.1.2

REGRA DO QUOCIENTE Exemplo DERIVADA DAS FUNES TRIGONOMTRICAS Derivada da funo seno Derivada da funo cosseno Derivada das funes tangente, cotangente, secante e cossecante DERIVADA DA FUNO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) Funo composta Regra da Cadeia FUNO INVERSA Funo bijetora Funo inversa Derivada da funo inversa DERIVADA DA FUNO EXPONENCIAL Exemplos DERIVADA DA FUNO LOGARTMICA Exemplos DERIVADAS DE ORDEM SUPEROR Exemplos DERIVADA DA FUNO IMPLCITA Exemplos EXERCCIOS DO CAPTULO ALGUMAS APLICAES DA DERIVADA INTRODUO A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAO EM DIVERSOS CASOS Aplicaes em Fsica - Exemplos Aplicaes em Economia (funes marginais)

41 43 44 44 46 46 46 47 47 49 49 50 50 51 51 53 56 57 58 60 60 61 62 62 63 64 67 67 67 68 69

2.7.1.1 Exemplo

2.7.3.1 Exemplo

2.8.1.1 Exemplos 2.8.2.1 Exemplos

5

3.1.2.1 Exemplos 3.2 3.2.1 3.3 4 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.4 4.4.1 4.5 4.5.1 4.6 4.6.1 4.7 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 TAXAS RELACIONADAS Exemplo EXERCCIOS DO CAPTULO SIGNIFICADO DO SINAL DAS DERIVADAS PRIMEIRA E SEGUNDA INTRODUO SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA - CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DEUMA FUNO

70 72 74 75 78 78 78 83 84 87 88 90 90 92 93 96 98 98 98 98 99 101 102 103 103 104 105

PONTOS CRTICOS Exemplo SINAL DA DERIVADA SEGUNDA DETERMINAO DA CONCAVIDADE Exemplo DERIVADA SEGUNDA PONTO DE INFLEXO Exemplos APLICAES - ESBOO DE GRFICOS UMA APLICAO DE LIMITE E DASDERIVADAS PRIMEIRA E SEGUNDA

Exemplo EXERCCIOS DO CAPTULO TEOREMA DO VALOR MDIO (TVM) Introduo O TVM Interpretao do TVM APLICAES DO TVM EXERCCIOS DO CAPTULO CONSIDERAES FINAIS REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS (ESPECFICAS DOS EXERCCIOS) ANEXO - TABELA DE DERIVADAS

APRESENTAO

com satisfao que a Unisa Digital oferece a voc, aluno, esta apostila de Clculo Diferencial e Integral II, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltados ao aprendizado dinmico e autnomo que a educao a distncia exige. O principal objetivo desta apostila propiciar aos alunos uma apresentao do contedo bsico da disciplina. A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidisciplinares como chats, fruns, Aulas web, Material de Apoio e email. Para enriquecer o seu aprendizado, voc ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informao e documentao. Nesse contexto, os recursos disponveis e necessrios para apoi-lo no seu estudo so o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formao completa, na qual o contedo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. A Unisa Digital assim para voc: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

Unisa Digital

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INTRODUOEsta apostila destina-se aos alunos dos cursos Engenharia Ambiental e Engenharia de Produo com a finalidade de servir de orientao aos estudos da disciplina de Clculo Diferencial e Integral II. Ela foi elaborada com o objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e de auxiliar o aluno do ENSINO A DISTNCIA (EaD). Em sua elaborao, procurou-se criar uma linguagem diferenciada daquela que normalmente aparece nos livros a fim de proporcionar uma melhor compreenso para os alunos do ENSINO A DISTNCIA. A apresentao dos contedos est estruturada em partes tericas, aplicaes em forma de exerccios resolvidos que aparecem como exemplos, exerccios de aprendizagem para melhor compreenso dos assuntos abordados. Espera-se com este material, contribuir de forma expressiva no aprendizado dos alunos, porm sua participao nas aulas ao vivo, realizao das atividades e interao no correio, fruns de discusses e chats so fundamentais para o seu sucesso. Os tpicos apresentados so essenciais para entendermos o conceito e as aplicaes das derivadas, embora no incio dessa disciplina ainda sero estudados alguns tpicos sobre limites de uma funo. No captulo 1 apresentada a interpretao geomtrica e fsica da derivada e a sua definio; no captulo 2 so demonstradas as principais frmulas de derivao; no captulo 3 so dados alguns exemplos de aplicaes das derivadas em diversas reas; no captulo 4 aplicamos a derivada na Matemtica, ou seja, usamos a 1 derivada e a 2 derivada nos esboos e interpretao de grficos de diversas funes; para finalizar, no captulo 5 apresentado o teorema do Valor Mdio e suas aplicaes na demonstrao da utilizao das derivadas no estudo dos grficos das funes. Caso discorde de algo apresentado nessa apostila, comunique ao professor da disciplina, pois desejamos ouvi-los para que possamos melhorar o curso a cada trimestre. Sandra Regina Leme Forster

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1 A DERIVADA E SUA INTERPRETAO GEOMTRICA E FSICA1Web

1.0 INTRODUO

Derivada como taxa de variao

A derivada mede a taxa de variao de uma funo e um conceito muito importante do clculo, pois utilizada com freqncia em diversas cincias. A derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinao de uma curva e, fisicamente, como uma taxa de variao.

1.1 TAXA MEDIA DE VARIAO

Um exemplo comum de taxa mdia de variao a velocidade mdia e voc deve estar lembrado que estudou esse assunto em Fsica. A velocidade mdia de um corpo em movimento durante um intervalo de tempo obtida dividindo-se a distncia percorrida pelo tempo gasto para percorr-la. A unidade de medida o comprimento por unidade de tempo, como por exemplo: quilmetros por hora.

1.1.1 Exemplo

Suponha que voc faa uma viagem da Capital de So Paulo a Extrema (MG) pela Rodovia Ferno Dias. Quando parte de So Paulo voc zera o velocmetro e comea a cronometrar o tempo. Considere s a distncia percorrida pelo carro, dada em km, como uma funo do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a tabela 1 a qualOs tpicos 1.1, 1.2 e 1.4 foram adaptados de SANTOS, A.R e BIANCHINI, W. Aprendendo Clculo com Maple. Disponvel em:HTTP://WWW.im.ufrj.br//dmm/projeto/calculo1/cap2_3/html.1

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indica, para algumas localizaes do carro durante o percurso, o tempo transcorrido e a distncia percorrida.Percurso So Paulo Atibaia Bragana Paulista Extrema (MG)

t s(t)

0 0

1 67

1,2 88

1,6 110

Tab. 1.1 Distncias de So Paulo a Extrema

A partir dos dados desta tabela possvel calcular a velocidade mdia desta viagem. Lembramos que a velocidade mdia definida como:

Velocidade Mdia =

s , onde, t

s a variao do espao, ou seja, espao final menos o espao inicial, e t a variao do tempo, ou seja, tempo final menos o tempo inicial.

Neste caso, portanto, a velocidade mdia desenvolvida pelo automvel, no percurso completo de So Paulo a Extrema, foi de110 68,75 km/h. 1,6

Faamos uma anlise da viagem estudando o grfico da distncia como funo do tempo, traado na figura 1.1.

s(t)100(1,2;88)

(1,6;110)

80(1,67)

60

40

20

t0.4 0.8 1.2 1.6 2.

Fig. 1.1 Grfico representando Velocidades Mdias

10

Note que estas velocidades mdias correspondem inclinao das retas que, no grfico acima, ligam os pontos (0,0) a (1,67); (1,67) a (1,2; 88); (1,2; 88) a (1,6; 110), cujas coordenadas fornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a distncia percorrida pelo automvel, para cada cidade assinalada no percurso. Por exemplo, no percurso de So Paulo - que corresponde no grfico ao ponto (0,0) = (0,s(0)) - a Atibaia - ponto (1,67) = (1, s(1)), no grfico - a velocidade mdia, desenvolvida pelo automvel, foi de 67 km/h pois,s s(1) s(0) 67 = = = 67 km/h 1 1 t

geometricamente, este valor representa a inclinao da reta que liga os pontos (0,0) a (1,67). De modo geral, a velocidade mdia, desenvolvida pelo automvel, no percurso So Paulo, ponto (t0, s(t0)), a cada uma das cidades destacadas na tabela, ponto (t, s(t)), dada pela frmula:s( t ) s( t 0 ) s = t t0 t

vm =

A velocidade mdia nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida pelo automvel durante todo o trajeto, ou parte dele. Mas como determinar a velocidade que o velocmetro do automvel indicava no exato instante em que ele passava por um determinado ponto do percurso? A leitura do velocmetro mede o que chamamos de velocidade instantnea, ou simplesmente, velocidade do automvel e este conceito que abordaremos no exemplo estudado no tpico 1.3.

1.2 TAXA MDIA DE VARIAO E RETAS SECANTES

11

Dada a funo arbitrria y = f(x), calculamos a taxa mdia de variao de y em relao a x no intervalo [a,b] dividindo a variao do valor de y, y = f(b) f(a), pelo comprimento x = b a = h do intervalo ao longo do qual a variao ocorre.

Definio de Taxa Mdia de Variao:

A taxa mdia de variao de y = f(x) em relao a x no intervalo [a,b]

y f (b) f (a) f (a + h) f (a) = = ,h 0. x ba h

Observe na figura 1.2 que a taxa de variao de f no intervalo [a,b] o coeficiente angular da reta que passa nos pontos P(a, f(a)) e Q(b, f(b)). A reta que passa por esses dois pontos est sendo denominada de s e trata-se de uma reta secante a curva y = f(x). Portanto, a taxa mdia de variao de f desde a at b igual ao coeficiente angular da secante PQ, ou seja, secante s.a(b a ) = x = h f(b) f(a) = y f(a)P

yf(b)Q

s y = f(x)

b

x

Fig. 1.2 Taxa de variao

1.2.1 Exemplo

Determine a taxa mdia de variao da funo f(x) = 2x - 5 no intervalo [0,3].

Resoluo: A taxa mdia de variao dada por y f (b) f (a) f (3) f (0) = = . x ba 30

Como, f(3) = 2.3 - 5 = 18 - 5 = 13 e f(0) = 2.0 - 5 = 0 - 5 = - 5, vamos ter que a taxa mdia de variao ser:

12

y f (3) f (0) 13 ( 5) 13 + 5 18 = = = = =6 x 30 3 3 3 Tambm podemos observar isso por meio do grfico dessa funo e da reta secante a essa curva pelos pontos P(0,-5) e Q(3,13). A taxa mdia de variao dessa funo no intervalo [0,3] dada pela inclinao da reta secante que se calcula pelo quociente da variao do y pela variao do x. Essas variaes podem ser observadas na altura e na base do retngulo em cinza da figura 1.3

PQs: reta secante14 12 10 8 6 4 2 4 2 2 4 6 y 14 y

Q

12 10

Q

observe a inclinao da secante

8 6

13 (-5)4

2 4

x 4 2

2

2 4

= 18x

2

P

ngulo que fornece a inclinao da secante

4 6

P

3 0 =3

Fig. 1.3 Inclinao da reta secante e taxa mdia de variao

1.3 TAXA INSTANTNEA

Um exemplo de taxa instantnea a velocidade de um mvel em um determinado ponto. Vamos observar isso no exemplo 1.1.1. Na viagem de So Paulo a Extrema.

13

Para calcular a velocidade mdia realizada na viagem em questo, de So Paulo a Extrema, devemos pegar o ponto final (1,6;110) e o ponto inicial (0,0). Veja essa distncia representada no grfico da figura 1.4 com o segmento pontilhado. A Velocidade mdia ser dada por: s s( f ) s(i) 110 0 110 = = = = 68,75 km / h t t( f ) t(i) 1,6 0 16 , . Para So Paulo at calcular 100 a km velocidade percorridos,0.4 0.8 1.2 1.6

s(t)100(1,2;88)

(1,6;110)

80(1,67)

60

s

40

mdia realizada na viagem em questo, de podemos observar no grfico da figura 1.5 (a) o tempo utilizado para percorrer essa quilometragem e anotar esse ponto

20

t2.

tFig- 1.4 Velocidade Mdia de SP a Extrema

(1,4;100) e o ponto inicial (0,0). Observando o grfico da figura 1.5 (b) podemos calcular essa velocidade, a qual ser dada por: s s( f ) s(i) 100 0 100 = = = = 71,43 km / h . t t( f ) t(i) 14 0 , 1,4s(t)100(1,2;88) (1,6;110)

s(t)100(1,2;88)

(1,6;110)

80(1,67)

80(1,67)

60

60

s

40

40

20

20

t0.4 0.8 1.2 1.6 2. 0.4 0.8 1.2 1.6

t2.

t(a)Fig- 1.5 Velocidade Mdia de SP at o quilmetro 100

(b)

14

Mas o fato que queremos calcular a velocidade em pontos especficos, por exemplo, a velocidade do automvel exatamente no quilmetro 100 dessa viagem. Note que em cada trecho apresentado na tabela 1.1 e grfico da figura 1.1, ou seja, se So Paulo a Atibaia, de Atibaia a Bragana Paulista e de Bragana Paulista a Extrema, os segmentos de retas apresentam inclinaes diferentes. Isso significa que em cada um desses trechos as equaes das retas que passam por esses segmentos so diferentes e consequentemente vamos ter que observar cada um desses trechos para determinar a velocidade mdia entre os trechos. Como o ponto que estamos querendo determinar a velocidade instantnea (velocidade no ponto) est entre Bragana Paulista e Extrema, ento devemos fazer esse clculo tendo como referncia a equao da velocidade entre os pontos (1,2;88) e (1,6; 110). Vamos tentar entender esse conceito de velocidade instantnea por meio de um novo exemplo, adaptado de Santos e Bianchini citados no incio desse captulo.: Suponha que uma bola lanada verticalmente para cima. Sua distncia at o solo em cada instante t (em segundos) conhecida e dada por s(t) = - t + 4t metros. Antes de determinarmos os espaos percorridos pela bola devemos lembrar que no existe espao negativo, ou seja, s(t) 0. Como s(t) = - t + 4t, ento - t + 4t 0. Ao resolvermos essa inequao, vamos ter todos os possveis valores de t para que essa situao exista. - t + 4t 0 t(-t + 4) 0 Estamos querendo determinar os valores de t que tornem esse produto positivo ou igual a zero. A raiz de cada fator : t = 0 e t = 4. Para determinar em quaist -t + 4

valores de t esse produto positivo ou igual a zero, devemos estudar o sinal de cada um dos fatores e em seguida multiplic-los.

------- 0 ++++++++++++++ ++++++++++++ 4 -------

t (-t + 4)

------0

+++++++4

-------

15

Esse estudo nos evidencia que esse produto positivo ou igual a zero para os valores de t entre zero e 4, incluindo essess(t)4 3 2 1

extremos, isso significa que a funo s(t) = -t + 4t ocorrer apenas em 0 t 4. O grfico dessa funo pode ser observado na figura 1.6.t1 2 3 4 5

Trata-se

de

uma

parbola

com

concavidade para baixo, pois uma funo do 2 grau com o coeficiente que multiplica o t igual a -1, ou seja, coeficiente negativo.

Fig. 1.6 Grfico da funo s(t) = -t + 4t

O problema que queremos resolver o de determinar a velocidade da bola em cada instante de tempo t, isto , determinar a velocidade instantnea da bola, para cada t fixado, por exemplo em t0 = 1 segundos. J que no sabemos, at o momento, como calcular velocidades instantneas e nem mesmo como definir matematicamente este conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma resposta aproximada para este problema. Parece ser razovel tomar como aproximao para a velocidade da bola no instante t0 = 1, a velocidade mdia calculada sobre um intervalo de tempo t = t t0, com t prximo de t0. Por exemplo, para t = 2 segundos temos t = 1 e s(1 + t ) s(1) = s(2) s(1) t

vm =

Calculando este valor, obtemos: S(2) = -(2) + 4.2 = -4 + 8 = 4 e s(1) = -(1) + 4.1 = -1 + 4 = 3. Substituindo na Vm, teremos:vm = 4 3 = 1m / s .

Para t = 1,5 segundos temos t = 0,5 e

16

vm =

s(1 + t ) s(1) s(1,5) s(1) = 0,5 t

Calculando este novo valor, obtemos: S(1,5) = -(1,5) + 4.(1,5) = -2,25 + 6 = 3,75 e s(1) = 3 Substituindo na Vm, teremos:s(15) s(1) 3,75 3 0,75 , = = = 15 m / s , 0,5 0,5 0,5

vm =

Para t = 1,01 segundos temos t = 0,1 es(1 + t ) s(1) s(1,1) s(1) = t 0,1

vm =

e da, obtemos: S(1,1) = -(1,1) + 4.(1,1) = -1,21 + 4,4 = 3,19 e s(1) = 3 Substituindo na Vm, teremos:s(1,1) s(1) 3,19 3 0,19 = = = 1,9 m / s 0,5 0,1 0,1

vm =

Prosseguindo com este raciocnio, tomando valores de t cada vez mais prximos de 1, isto , fazendo t se aproximar cada vez mais de zero, obteremos uma seqncia de valores para Vm que parece convergir para dois, como mostra a tabela abaixo: t Vm1,5 1,5 1,25 1,75 1,125 1,875 1,0625 1,9375 1,03125 1,96875 1,0156 1,9843 1,0078 1,9921 1,0039 1,9960 1,0019 1,9980 1,0009 1,9990

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Para obter aproximaes cada vez melhores para a velocidade instantnea em t = 1, basta calcularmos a velocidade mdia sobre intervalos de tempo progressivamente mais curtos. Estas observaes indicam que possvel definir a velocidade em t = 1 como o limite destas velocidades mdias. Assim, temos: s( t ) s(1) s( t + t ) s( t ) ou v(1) = lim t 0 t 1 t

v(1) = limt 1

e este limite precisamente a derivada da funo s(t) calculada em t = 1. Assim, podemos escrever, simplesmente: s t

v( t ) = s' ( t ) = lim

t 0

onde s(t) significa a derivada da funo s(t), a qual significa velocidade instantnea, ou seja, velocidade da funo em um determinado ponto. Portanto, no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 1 segundo dada por v(t) = s(t) = -2t +4. No ponto t = 1, vamos ter v(1) = -2.1 + 4 = 2. Veja que esse valor coincide com o valor que estvamos nos aproximando. Porm, aprenderemos um pouco mais adiante como derivar a funo s(t) = -t + 4t para chegarmos em v(t) = -2t + 4. De um modo geral, a velocidade instantnea em um ponto t0 qualquer definida por: s( t 0 + t ) s( t 0 ) s( t ) s( t 0 ) = lim = s' ( t 0 ) t t0 t 0 t t t0

v( t 0 ) = lim

Como vimos na resoluo desse exemplo, conhecendo-se a funo s(t), que fornece para cada instante de tempo t, a distncia percorrida por uma partcula em movimento, a velocidade mdia desta partcula, calculada em um intervalo de tempo t = t t0, coincide com a inclinao da reta secante ao grfico da funo s(t) que passa

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pelos pontos (t0,s(t0)) e (t,s(t)). Acompanhe essa situao na figura 1.7 para (2,s(2)) e (1,s(1)).

s(t)4 3 2 1

s(t)4 3 2 1

t1 2 3 4 5 1 2 3 4

t5

1.7 Reta secante a s(t) = -t + 4t e a Vm

1.8 Reta tangente a s(t) = -t + 4t e a Vinstantnea

Sabemos que medida que estes dois pontos se aproximam, isto , quando t 0, a inclinao da reta secante ao grfico de s(t) se aproxima da inclinao da reta tangente curva em t = t0 (veja isso na figura 1.8). Assim, o valor da velocidade instantnea coincide com o coeficiente angular da reta tangente ao grfico de s(t) no instante t = t0. Resumindo, se a funo s(t) fornece, para cada instante de tempo t0, a distncia percorrida por uma partcula em movimento, a sua derivada s'(t0) fornece a velocidade da partcula neste instante e, esta velocidade pode ser interpretada, geometricamente, como a inclinao da reta tangente ao grfico da funo s no ponto t 0.y = f(x)y

1.3.1 Reta Tangente

O problema bsico do clculo diferencial o problema das tangentes: calcular o coeficiente angular da reta tangente ao grfico num ponto dado P.

f(x)

P

x

x

t: Reta tangente

Fig. 1.9 Reta tangente ao grfico de y = f(x)

19

Mas o que uma reta tangente?

(a)

(b)

Fig. 1.10 exemplos de retas tangentes e retas no tangentes circunferncia

No caso de uma circunferncia no h dificuldade. Uma tangente a uma circunferncia (ver figura 1.10 (a)) uma reta que intercepta a circunferncia em apenas um ponto, chamado o ponto de tangncia; as retas no tangentes (ver figura 1.10(b)) ou interceptam a circunferncia em dois pontos diferentes ou no interceptam. Os matemticos antigos afirmavam que uma reta tangente a uma curva num dado ponto como sendo uma reta que toca a curva naquele ponto. Sugeriam tambm a possibilidade de definir uma tangente a uma curva como uma reta que intercepta a curva em apenas um ponto. Essa definio foi usada com sucesso pelos gregos ao tratarem de circunferncias e algumas outras curvas especiais, mas, para curvas em geral, ela totalmente insatisfatria. Para compreender o porqu, considere a curva mostrada na figura 1.11. Ela tem uma tangente perfeitamente aceitvel (a reta a), que essa definio rejeitaria. J, a reta b no tangente.

b a

Fig. 1.11 exemplos de retas tangentes e retas no tangentes

20

1.3.1.1 A idia de reta tangente

yf(x)P

f(a)

Considere uma curva y = f(x) e P um dado ponto fixo sobre essa curva.

a

x

yf(b)P

Q

Considere Q um segundo ponto sobre a curva dada por f(x)

f(a)

a yf(b) f(b) f(a) = y f(a)P

b

x

Reta secanteQ

Desenhe a reta secante PQ. A distncia da abscissa b do ponto Q em relao a abscissa a do ponto P dada por (b-a) ou por x. A distncia da ordenada f(b) do ponto Q em relao ordenada f(a) do ponto P dada por f(b) f(a) ou por y.

a

b

x

(b a ) = x

Para determinarmos a reta tangente em P devemos aproximar o ponto Q do ponto P, observe:yQ

Conforme aproximamos o ponto Q de P a inclinao da reta secante tambm se altera. A abscissa b se aproxima da abscissa a e conseqentemente a distncia entre elas diminui, ou seja, o x diminui.

f(b) f(b) f(a) = y f(a)P

a

b

x

(b a ) = x

21

y

Aproximando mais ainda o ponto Q de P, podemos notar que a reta secante PQ tende reta tangente em P. A reta tangente em P pode agora ser encarada como a posio limite da secanteab x

f(b) f(a) = y

f(b) f(a)

Q P

varivel quando Q desliza ao longo da curva em direo a P. Essa idia qualitativa leva, pelo menos a um mtodo quantitativo para o

(b a ) = x

x0

clculo do coeficiente angular exato da tangente em termos da funo f(x) dada. Como a tangente a aproximao linear de um grfico em um ponto, o problema da determinao da inclinao de um grfico se reduz ao achar o coeficiente angular da tangente naquele ponto, desta forma, defini-se a inclinao de um grfico:

A inclinao m de um grfico de f no ponto (x,f(x)) igual ao coeficiente angular da tangente em (x,f(x)) e dado por m = lim msec = limx 0 x 0

f ( x + x) f ( x) . x

1.3.1.2 Inclinao de um grfico - Exemplo Determine a frmula para a inclinao do grfico de f(x) = x + 2. Qual a inclinao nos pontos (1,3) e (0,2)? Resoluo: O grfico da funo f(x) = x + 2 est representado ao lado. Como essa funo tem como domnio todos os nmeros reais, ela apresenta uma quantidade infinita de pontos e, desta forma, essa curva apresenta infinitas5 4 3 2 1 3 2 1 1 2 1 2 3

y

x4

22

inclinaes, pois em cada ponto h uma inclinao diferente. Veja algumas inclinaes apresentadas por retas tangentes a alguns dos pontos dessa curva. Cada inclinao pode ser representada por uma reta tangente curva pelo ponto em que se deseja analisar essa inclinao. Isso significa, que ao calcularmos a inclinao da reta tangente curva por um determinado ponto, estamos determinando a inclinao da curva naquele ponto. Como vimos, a inclinao m de um grfico de f no ponto (x,f(x)) igual ao

coeficiente angular da tangente em (x,f(x)) e dado por f ( x + x ) f ( x ) . x 0 x

m = lim msec = limx 0

Isso significa que se quisermos determinar a inclinao em um ponto qualquer, devemos fazer: f ( x + x ) f ( x ) lim x 0 x [( x + x ) 2 + 2] ( x 2 + 2) x 0 x lim x 2 + 2 xx + ( x ) 2 + 2 x 2 2 x 0 x lim 2 xx + ( x ) 2 x 0 x lim x ( 2 x + x ) x 0 xlimx 0

Para determinar o coeficiente angular da tangente, ou seja, a inclinao da reta tangente em um ponto qualquer da curva. Fazer f(x) = x + 2.

Desenvolver.

Simplificar.

Fatorar e cancelar.

lim 2 x + x, x 0x0

Simplificar.

m = lim(2 x + x) = 2 x

Resolver o limite.

23

m = 2x a inclinao da curva em qualquer um de seus pontos, ou seja, pode-se dizer que se trata de uma frmula para determinar as inclinaes da curva f(x) = x + 2 em seus infinitos pontos. Aplicando a frmula m = 2x, podemos determinar a inclinao em pontos especficos. Em (1,3), m = 2.1 = 2. Em (1,0), m = 2.0 = 0. pelos pontos (1,3) e (0,2).4 3 2 1 1y = 2 (reta tangente)

y

y = x + 2

5 4 3 2 1x

(1,3) y = 2x + 1 (reta tangente)

1

2

3

4

5

Observe acima o grfico da funo f(x) = x + 2 e das reta tangentes a ele

1.3.1.3 Equao da reta tangente Exemplo

Web

Eq. Reta Tangente

Para determinarmos a equao da reta usamos a frmula:

y

y 0 = m( x

x0 )

ou

f ( x ) f ( x 0 ) = m( x

x0 )

onde m o coeficiente angular

a) Determine as equaes das retas tangentes curva f(x) = x + 2, nos pontos (1,3) e (0,2). Resoluo: Para determinarmos a equao da reta tangente a curva f(x) = x + 2 pelos pontos (1,3) e (0,2), fazemos: y y0 = m(x x0 ) Para o ponto (1,3) (1)

Frmula da equao da reta.

24

y0 = 3 m=2

e

x0 = 1

(2) (3)

Dados do problema. Coeficiente angular determinado no tpico 1.3.1.2. Substituindo (2) e (3) em (1). Aplicando a distributiva. Resolvendo e simplificando. Equao da reta tangente ao grfico da funo f(x) pelo ponto (1,3).

y 3 = 2(x 1)

y 3 = 2x 2

y = 2x 2 + 3y = 2x + 1

Para o ponto (0,2)

y0 = 2m=0

e

x0 = 0

(4) (5)

Dados do problema. Coeficiente angular determinado no tpico 1.3.1.2. Substituindo (4) e (5) em (1). Aplicando a distributiva. Equao da reta tangente ao grfico da funo f(x) pelo ponto (0,2).

y 2 = 0( x 0)

y2 =0y=2

1.4 A DERIVADA DE UMA FUNO

No tpico 1.3.1.2 partimos da funo f(x) = x + 2 e utilizamos o processo de limites para deduzir outra funo m = 2x, que representa a inclinao do grfico de f no ponto (x,f(x)). Essa funo chamada a derivada de f em x. Defini-se, como pode ser observado no prximo quadro.

A derivada de f em x dada por f '(x) = lim

f(x + x) f(x) x 0 x

desde que o limite exista. Uma funo diferencial em x se sua derivada existe em x. O processo de clculo de derivada chamado de diferenciao.

25

Notaes: f(x),

d dy , y, D[x]y, ou [f(x)] . dx dx

Leitura: f linha de x, ou derivada da funo f em relao a x. importante saber que a partir da definio de derivada, demonstramse todas as regras de derivao e as frmulas de derivao, das quais apresentaremos algumas no prximo captulo e no anexo derivadas de funes elementares que usaremos para derivar as funes que sero apresentadas ao longo desse curso.Web

1.4.1 Exemplos

Derivabilidade Exemplos-Cap. 1

1) Verifique se a funo f definida por f(x) = x2 + 3x, derivvel em 2. Resoluo: A funo f derivvel no ponto a = 2 se existir o lim f(2 + h) - f(2) = f ' (2) . Por x 0x

efeito de facilitar as notaes, substituiremos o x por h e passaremos a escrever:h0

lim

f(2 + h) - f(2) = f ' ( 2) . h

Resolvendo por partes, vamos fazer: i) f(a + h) = (a + h) + 3(a + h) = f(2 + h) = (2 + h) + 3(2 + h) = f(2 + h) = 2 + 2.2.h + h + 3.2 + 3h = f(2 + h) = 4 + 4h + h + 6 + 3h = f(2 + h) = h + 7h + 10 ii) f(x) = x + 3.x, ento f(2) = 2 + 3.2 f(2) = 4 + 6 = f(2) = 10

iii) Substituindo (i) e (ii) em f' (2) = lim f(2 + h) - f(2) , vamos obter:h0

h

26

f ' (2) = lim

h(h + 7) h2 + 7h (h2 + 7h + 10 ) (10 ) f(2 + h) - f(2) = lim = lim = lim = lim (h + 7) = 7 h0 h 0 h0 h0 h h h h h0h 0

Como f(2) = 7, podemos afirmar que f' (2) = lim f(2 + h) - f(2) e portanto essa funo h

derivvel em a = 2.

2) Verifique se a funo f definida por f(x) = 1 3x3 derivvel em a = 1. Resoluo: A funo f derivvel no ponto a = 1 se existir o lim f(1 + h) - f(1) = f ' (1) . h0h

Resolvendo por partes, vamos fazer: i) f(1 + h) = 1- 3(a + h) = f(1 + h) = 1 - 3(1 + h) = f(1 + h) = 1 3(1 + 3.1.h + 3.1.h + h ) = f(1 + h) = 1 - 3(1 + 3h + 3h + h ) = f(1 + h) = 1 - 3 - 9h - 9h + 3h = f(1 + h) = -2 - 9h - 9h - 3h ii) f(x) = 1 - 3x, ento f(1) = 1 3.1 f(1) = 1 - 3 = f(1) = - 2

iii) Substituindo (i) e (ii) em

f ' (1) = limh 0

f(1 + h) - f(1) , h

vamos obter:

f ' (1) = lim

9h 9h 2 3h 3 3h (3 3h 3h 2 ) f(1 + h) - f(1) (2 9h 9h 2 3h 3 ) (2) = lim = lim = lim = 9 h 0 h 0 h 0 h 0 h h h hh

Como f(1) = - 9, podemos afirmar que f ' (1) = lim f(1 + h) - f(1) e, portanto essa funo h0 derivvel em a = 1.

1.5 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE

27

Teorema: Se f(x) derivvel em a, ento f(x) contnua em a.Hiptese: f(x) derivvel em a Tese: f(x) contnua em a Rascunho Se uma funo derivvel em a, ento existe f(a), tal que lim f (a + h) f (a) = f ' (a)h0

h

Quando uma funo contnua em a, conforme estudamos no curso de Clculo: Limites e Continuidade, temos que lim f ( x ) = f (a) . Isso tambm pode ser reescrito comox ah0

lim f (a + h) = f (a)

h 0

lim f (a + h) f (a) = 0 f (a + h) f ( a ) .h = 0 h zero

Demonstrao

Por hiptese lim

f ( a + h) f ( a ) = f ' (a ) h0 h

mas f (a + h) f (a) =

f ( a + h) f ( a ) h h

Pela propriedade de limite do produto, vem:h0

lim(a + h) f (a) = limou seja:

f ( a + h) f ( a ) lim h = f ' (a).0, h 0 h0 h

h0

lim(a + h) f (a) = 0 lim(a + h) = f (a), isto , f(x) contnua em a.h0

Observao: A recproca falsa, isto , nem toda funo contnua em a derivvel em a.

1.5.1 Exemplos

Estude a continuidade e a derivabilidade das funes: a) f(x) = 5x + 3 Resoluo:

28

i) Domnio de f o conjunto dos nmeros reais. ii) Vamos verificar se a funo f derivvel em R. f ( x + h) f ( x ) f ' ( x ) = lim h 0 h f ' ( x ) = lim

5( x + h)2 + 3 (5 x 2 + 3) f ' ( x ) = lim h0 h

5 x 2 + 10 xh + 5h2 + 3 5 x 2 3 5( x 2 + 2xh + h2 ) + 3 5 x 2 3 f ' ( x ) = lim h0 h0 h h

f ' ( x ) = lim

10 xh + 5h2 h(10 x + 5h) f ' ( x ) = lim 10 x + 5h = 10 x f ' ( x ) = lim h0 h 0 h0 h h

f ' ( x ) = 10 x

Como o domnio de f o conjunto de todos os nmeros reais, e f(x) = 10x existe se x for um nmero real qualquer, f uma funo derivvel. iii) Note tambm que lim(5 x 2 + 3) = 5a2 + 3 = f (a) , para aR, ou seja, essax a

funo continua para qualquer x real.Interpretao

O grfico ao lado representa a funo f definida por f(x) = 5x + 3 e conforme foi estudado na disciplina de Clculo: Limites e continuidade, observa-se tratar-se de um grfico de uma funo contnua em R. Observe tambm que em todos os pontos desse grfico possvel traar uma reta tangente, como a inclinao da2 1

8 6 4 2

y

1 2

2

x 3

reta tangente curva por um determinado ponto x = a fornece a derivada da funo em x = a, pode-se afirmar que a funo derivvel em todos os pontos de seu domnio.Concluso

f contnua em todos os valores do domnio; f derivvel em todos os valores do domnio.x +1

b) f(x) =

3

Resoluo:

29

i) Domnio de f o conjunto dos nmeros reais. ii) Vamos verificar se a funo f derivvel em R.f ( x + h) f ( x ) f ' ( x ) = lim h0 h1 1 1

( x + h) 3 + 1 ( x 3 + 1) f ' ( x ) = lim h0 h1 1 1

( x + h) 3 + 1 x 3 1 ( x + h) 3 x 3 f ' ( x ) = lim f ' ( x ) = lim h0 h 0 h h

Racionalizando o numerador para obter um fator comum h no numerador e no denominador, vamos obter f ' ( x ) = lim [( x + h) 3 x 3 ][( x + h) 3 + ( x + h) 3 x 3 + x 3 ] h[( x + h) 3 + ( x + h) 3 x 3 + x 3 ] ( x + h) 3 ( x + h) 3 + ( x + h) 3 ( x + h) 3 x 3 + ( x + h) 3 x 3 x 3 ( x + h) 3 x 3 ( x + h) 3 x 3 x 3 x 3 ] h[( x + h ) 3 + ( x + h ) 3 x 3 + x 3 ] ( x + h) + ( x + h) 3 x 3 + ( x + h) 3 x 3 ( x + h) 3 x 3 ( x + h) 3 x 3 x ] h[( x + h) 3 + ( x + h) 3 x 3 + x 3 ]2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

h0

f ' ( x ) = lim

h0

f ' ( x ) = lim

h0

f ' ( x ) = lim

( x + h) x h[( x + h) + ( x + h) x + x ]2 3 1 3 1 3 2 3

h0

f ' ( x ) = lim

h h[( x + h) + ( x + h) 3 x 3 + x 3 ]2 3 1 1 2

h0

f ' ( x ) = lim

1 [( x + h) + ( x + h) x + x ]2 3 1 3 1 3 2 3

h0

f ' (x) =

1 [( x + 0 ) + ( x + 0 ) 3 x 3 + x 3 ]2 3 1 1 2

f ' (x) =

1 [x + x x + x ]2 3 1 3 1 3 2 3

=

1 x +x +x2 3 2 3 2 3

=

1 3x2 3

f ' (x) =

1 33 x 2

y Como o domnio de f o conjunto de todos os nmeros reais, e f ' ( x ) =1 33 x 23 2 1

existe se x pertencer ao

R*, ou seja, for qualquer nmero real com exceo do zero, f no derivvel apenas em x = 0.2 1

1

2

x

3

30

iii) Mas note que lim 3 x + 1 = 3 a + 1 = f (a) , para aR, ou seja, essa funo x a

continua para qualquer x real.Interpretao

O grfico ao lado representa a funo f definida por f ( x ) = 3 x + 1 e trata-se de um

grfico de uma funo contnua em R. Observe tambm que em todos os pontos desse grfico, com exceo de x = 0 possvel traar uma reta tangente, como a inclinao da reta tangente curva por um determinado ponto x = a fornece a derivada da funo em x = a, pode-se afirmar que a funo derivvel em todos os pontos de seu domnio com exceo do x = 0. Veja que em x = 0, a reta tangente curva forma um ngulo de 45 com o eixo Ox e como a tag 45 no existe, a derivada para esse pinto no existe.Concluso

f contnua em todos os valores do domnio; f derivvel em todos os valores do domnio com exceo do x = 0; o grfico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x = 0.

1.6 EXERCCIOS DO CAPTULO

Nos exerccios 1 a 3, determine, uma equao da tangente ao grfico de f no ponto indicado. Verifique ento seu resultado esboando o grfico de f e da tangente. (observao: use a definio de derivada) 1) f(x) = - x + 1 em (2,-3) 2) f(x) = 2x 3 em (3,3) 3) f(x) =

x +1 em (4,3)

Nos exerccios 4 ao 11, determine, usando a definio, a derivada de f(x) em x = a. 4) f(x) = 2x + 3 , em a = 2 5) f(x) = x2 + 2x + 5, em a = 1

Web

Derivabilidade Exemplos

31

6) f(x) = x3 , em a = -1 8) f(x) = x , em a = 0 10) f(x) =x , em a = 1

7) f(x) = x , em a = 1 9) f(x) = cos x , em a = 11) f(x) =3

4

x , em a = 2

Nos exerccios 12 a 15, use a definio de derivada para mostrar que: 12) Se f(x) = 6x + 4, ento f(x) = 6 14) Se f ( x ) = x + 1, ento f ' ( x ) = 13) Se f(x) = -3x + 3x 2, ento f(x) = -6x + 3 1 15) Se f(x) = 4x+4x, ento f(x) = 12x + 8x 2 x +1

16) Determine a equao da reta tangente curva y = 2x + 3 que paralela reta 8x y+3=0(Lembrete: retas paralelas apresentam o mesmo coeficiente angular)

Nos exerccios 17 a 19, mostre que a funo contnua no domnio dado e demonstre se a funo derivvel em todos os valores do intervalo: 17) f(x) = 2x - 4, em R; 18) f(x) =x + 2 , em [-2, 8[ ; 19) f(x) = |x + 2|, em R;

Algumas respostas1 x+2 4

1) y = -4x + 5 ou y + 4x 5 = 0 2) y = 2x 3 3) y =

4) 2

5) 4

6) 3

8) no existe

9) -

2 2

11)

1 3 43

32

2 ALGUMAS REGRAS DE DERIVAO

2.0 INTRODUO

Como vimos no captulo anterior, as derivadas so calculadas por processos de limites e isso muito trabalhoso. Para facilitar podemos calcular as derivadas por meio de algumas regras, ou seja, por frmulas que nos so oferecidas em tabelas de derivadas. Mas como que essas frmulas so encontradas? Todas essas frmulas so demonstradas usando a definio da derivada. Este captulo tem por objetivo demonstrar algumas regras de derivao, apresentar regras e frmulas de derivao e resolver derivadas por meio dessas regras, ou seja, de trabalhar com tcnicas de derivao.

2.1 REGRA DA CONSTANTE

A derivada de uma funo constante zero.

Demonstrao: Seja f(x) = c, onde c = constante, ou seja, c R. f ( x + h) f ( x ) h (2)

Pela definio de derivada, escrevemos que: f ' ( x ) = limh0

(1)

Como a funo constante, ento temos que f(x+h) = c e f(x) = c 0 c c = lim = lim 0 = 0 h0 h h0 h

Substituindo (2) em (1), vem que: f ' ( x ) = lim

h 0

Portanto, se f(x) = c a f(x) =

33

f (x) = c

f ' (x) =

d [c ] = 0 dx

2.1.1 Exemplos

Derive as funes: a) f(x) = 5 Resoluo: Como f(x) = 5 uma funo constante, temos que s sua derivada dada por f(x) = 0. b) f(x) = - 3 f(x) = 0. Isso tambm pode ser representado usando outra notao, veja: d [ 3] = 0 dx 1 f ' (x) = 0 5

c) f ( x ) =

2.2 REGRA DA POTNCIA A derivada da funo f(x) = xn f ' ( x ) = nx n 1

Demonstrao: Para n Z*. Pela definio de derivada, escrevemos que: f ' ( x ) = lim f ( x + h) f ( x ) h0 h (1) (2)

Como f(x) = xn, ento temos que f(x+h) = (x + h)n e f(x) = xn Substituindo (2) em (1), vem que: f ' ( x ) = lim ( x + h) n ( x ) n h 0 h

Aplicando o desenvolvimento binomial, temos:f ' ( x ) = limh0

x n + nx n1h +

n(n 1)x n2 2 h + ... + h n x n 2 h

34

f ' ( x ) = limh0

nx n1h +

n(n 1)x n2 2 h + ... + h n 2 h

(simplificando x e x )

n

n

n(n 1)x n2 h nx n1 + h + ... + h n1 2 f ' ( x ) = lim h0 h n(n 1)x n2 f ' ( x ) = lim nx n1 + h + ... + h n1 h0 2

(colocando h em evidncia)

(Simplificando o h)

f ' ( x ) = nx n1 Portanto, se f(x) = xn a f ' ( x ) = nx n1

(Resolvendo o limite para h 0)

f (x) = x n

f ' ( x) =

d n [ x ] = nx n1 dx

2.2.1 Exemplos

Derive as funes: a) f(x) = x. Resoluo: Observe que a funo f(x) = x uma funo potncia e, desta forma, podemos derivla usando a regra acima. f (x) = x 3

f ' ( x ) = 3 x 3 1

f ' ( x ) = 3x 2

b) f(x) = - x

f ' (x) =

d [ x 2 ] = 2.x 21 = 2x dx

35

2.3 MLTIPLO CONSTANTE

Se f uma funo diferencial de x e c um nmero real, ento

d [ cf ( x )] = cf ' ( x ) , com c constante. dxDemonstrao: Pela definio de derivada, temos que: f ' ( x ) = lim f ( x + h) f ( x ) h0 h (1)

Web

Propriedades de derivao

Como a funo dada por cf(x), ento temos que f(x+h) = c.f(x + h) e f(x) = c.f(x) c.f ( x + h) c.f ( x ) h 0 h (2)

Substituindo (2) em (1), vem que: h' ( x ) = lim h' ( x ) = lim c.h0

f ( x + h) f ( x ) h f ( x + h) f ( x ) h

(Colocando o c em evidncia)

h' ( x ) = c. lim

h0

(pela propriedade do limite do produto da funo pelo mltiplo constante) (Pela definio de derivada)

h' ( x ) = c.f ' ( x )

Portanto, se h(x) = cf(x) a h' ( x ) = c.f ' ( x )

h( x ) = cf ( x )

h' ( x ) =

d [cf ( x )] = c.f ' ( x ) dx

2.3.1 Exemplos

Derive as funes:

36

a) f(x) = 5x Resoluo: Observe que temos a funo x sendo multiplicada pela constante 5. Ento, pela regra acima, vamos ter: f(x) = 5. (x) = 5.3x3-1 = 15xDerivada da potncia Mltiplo Constante Derivada da funo

b) g( x ) =

1 5 d 1 1 5 x g' ( x ) = [ x 5 ] = .5 x 5 1 = x 4 3 dx 3 3 3

2.4 REGRA DA SOMA E DA DIFERENA

Se f e g so funes diferenciveis de x entod [ f ( x ) + g( x )] = f ' ( x ) + g' ( x ) dx e d [ f ( x ) g( x )] = f ' ( x ) g' ( x ) dx

Demonstrao: (A derivada da soma a soma das derivadas) Por hiptese e pela definio de derivada, temos que: f ( x + h) f ( x ) g( x + h) g( x ) e g' ( x ) = lim h0 h0 h h

f ' ( x ) = lim

(1)

Seja t(x) = f(x) + g(x), ento t(x) = [f(x) + g(x)] Por definio, vamos ter que:

37

t' ( x ) = lim

h 0

t( x + h ) t ( x ) , h

(2)

mas

t(x + h) = f(x + h) + g(x + h) e t(x) = f(x) + g(x) f ( x + h) + g( x + h) [ f ( x ) + g( x )] h f ( x + h) + g( x + h) f ( x ) g( x ) h f ( x + h) f ( x ) + g( x + h) g( x ) h f ( x + h) f ( x ) g( x + h) g( x ) + lim h0 h h

(3)

t' ( x ) = lim

h0

(Substituindo (3) em (2))

t' ( x ) = lim

h 0

(Aplicando a distributiva)

t' ( x ) = lim

h 0

(Reagrupando)

t' ( x ) = lim

h 0

(Propriedade Limite as soma igual a soma dos limites)

t(x) = f(x) + g(x)

(Em (1) pela hiptese, ou pela definio de derivada)

Portanto, se t(x) = f(x) + g(x) a t' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x )

t( x ) = f ( x ) + g( x )

t' ( x ) =

d [ f ( x ) + g( x )] = f ' ( x ) + g' ( x ) dx

A regra da diferena demonstrada de forma anloga.Web

t( x ) = f ( x ) g( x )

t' ( x ) =

d [ f ( x ) g( x )] = f ' ( x ) g' ( x ) dx

Propriedades de derivao

Observao: As regras da soma e da diferena podem ser estendidas para a soma ou diferena de um nmero finito arbitrrio de funes, desde que cada uma dessas

38

funes sejam derivveis, ou seja, se t(x) = f(x) + g(x) h(x) + m(x), ento a t(x) = f(x) + g(x) h(x) + m(x).

2.4.1 Exemplos

Derive as funes: a) f(x) = 3x + 5x - 3x + 2 Resoluo: Observe que a funo f(x) a soma de outras funes. Como vimos na regra anterior a derivada da (soma e diferena) (a soma e a diferena) das derivadas, ou seja: se f(x) = 3x + 5x - 3x + 2, ento f(x) = (3x) + (5x) (3x) + (2). Derivando cada uma dessas funes, aplicando as regras anteriormente demonstradas: f(x) = 3.3x-1 + 5.2x-1 3 + 0 f(x) = 9x2 + 10x 3 1 6 1 3 x x + 2x 4 3 4

b) m( x ) =

Resoluo: m' ( x ) = 1 1 .6.x 5 .3.x 2 + 2 0 3 4 m' ( x ) = 2x 5 3 2 x + 2 4

2.5 REGRA DO PRODUTO

Se f e g so funes diferenciveis de x ento d [ f ( x ).g( x )] = f ' ( x ).g( x ) + f ( x ).g' ( x ) dx

39

A derivada do produto de duas funes igual ao produto da derivada da primeira funo pela segunda funo mais o produto da segunda funo pela derivada da segunda funo.

Demonstrao: Por hiptese e pela definio de derivada, temos que: f ( x + h) f ( x ) g( x + h) g( x ) e g' ( x ) = lim h0 h0 h h

f ' ( x ) = lim

(1)

Seja t(x) = f(x) . g(x), ento t(x) = [f(x).g(x) + f(x).g(x) ] Por definio, vamos ter que: t( x + h ) t ( x ) , h 0 h

t' ( x ) = lim

(2)

mas

t(x + h) = f(x + h).g(x + h) e t(x) = f(x).g(x)

(3)

t' ( x ) = lim

h 0

f ( x + h).g( x + h) [ f ( x ).g( x )] h f ( x + h).g( x + h) + f ( x + h).g( x ) f ( x + h).g( x ) [ f ( x ).g( x )] h

(Substituindo (3) em (2))

t' ( x ) = limh 0

(Somando e subtraindo termos iguais)

t' ( x ) = lim

f ( x + h).g( x + h) f ( x + h).g( x ) + f ( x + h).g( x ) f ( x ).g( x ) h 0 h

(Reagrupando)

t' ( x ) = lim f ( x + h)h0

g( x + h) g( x ) f ( x + h) f ( x ) + lim g( x ) (Colocando termos em evidncia e usando a h0 h h propriedade Limite da soma a soma dos limites)

40

t' ( x ) = lim f ( x + h). limh 0

h0

g( x + h) g( x ) f ( x + h) f ( x ) + lim g( x ). lim h 0 h0 h h

(Propriedade Limite do produto o produto dos limites)

t(x) = f(x) g(x) + g(x).f(x) t(x) = f(x) g(x) + f(x).g(x)

(Em (1) pela hiptese, ou pela definio de derivada) (A ordem das parcelas e a ordem dos fatores no altera o resultado)

Portanto, se t(x) = f(x).g(x) a t' ( x ) = f ' ( x ).g( x ) + f ( x ).g' ( x )

t( x ) = f ( x ).g( x )

t' ( x ) =

d [f ( x ).g( x )] = f ' ( x )g( x ) + f ( x )g' ( x ) dx

Observao: A regra do produto pode ser estendida para o produto de um nmero finito arbitrrio de funes, desde que cada uma dessas funes seja derivvel, ou seja, se t(x) = f(x).g(x).h(x).m(x), ento a t(x) = f(x).g(x).h(x).m(x) + f(x).g(x).h(x).m(x) + f(x).g(x).h(x).m(x) + f(x).g(x).h(x).m(x)

2.5.1 Exemplos

a) f(x) = (3x + 5x).(3x + 2) Resoluo: Observe que a funo f(x) o produto de dois fatores. Como vimos na regra anterior a derivada do produto igual ao produto da derivada da primeira funo pela segunda funo mais o produto da segunda funo pela derivada da segunda funo, ou seja: se f(x) = (3x + 5x).(3x + 2), ento f(x) = (3x + 5x).(3x + 2) + (3x + 5x).(3x + 2)1 termo vezes a derivada do 2 termo Derivada do 1 termo vezes o 2 termo

Derivando cada uma dessas funes, aplicando as regras anteriormente demonstradas:

41

f(x) = [(3x) + (5x)].(3x + 2) + (3x + 5x).[(3x) + (2)] f(x) = (9x + 10x).(3x + 2) + (3x + 5x).(3 + 0) f(x) = (9x + 10x).(3x + 2) + (3x + 5x).3 (pode parar a, mas se for continuar aplique a distributiva) f(x) = 27x - 18x + 30x + 20x + 9x + 15x f(x) = 36x + 12x + 20x b) g(x) = (x -1).(x + 3) Resoluo: d d [g( x )] = [( x 1).( x 2 + 3)] = ( x 1)' ( x 2 + 3) + ( x 1)( x + 3)' = 1.( x 2 + 3) + ( x 1).2x dx dx = x + 3 + 2x - 2x = 3x -2x + 3

2.6 REGRA DO QUOCIENTE

Se f e g so funes diferenciveis de x ento com g(x) 0.

f ' ( x ).g( x ) f ( x ).g' ( x ) d f(x) , [ g( x ) ] = dx g2 ( x )

A derivada do quociente de duas funes igual ao produto do denominador pela derivada do numerador menos o produto do numerador pela derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.

Demonstrao: Por hiptese e pela definio de derivada, temos que: f ( x + h) f ( x ) g( x + h) g( x ) e g' ( x ) = lim h0 h h

f ' ( x ) = limh0

(1)

42

Seja t(x) =

f (x) f ' ( x ).g( x ) f ( x ).g' ( x ) , g(x) 0 ento t(x) = g( x ) g2 ( x )

Por definio, vamos ter que: t( x + h ) t ( x ) , h 0 h

t' ( x ) = lim

(2)

mas

t(x + h) =

f ( x + h) f (x) , com g( x + h) 0 e t(x) = , com g( x ) 0 (3) g( x + h) g( x )

f ( x + h) f ( x ) g( x + h) g( x ) t' ( x ) = lim h0 h f ( x + h)g( x ) f ( x )g( x + h) g( x + h)g( x ) t' ( x ) = lim h 0 h t' ( x ) = lim f ( x + h)g( x ) f ( x )g( x + h) h 0 h[g( x + h)g( x )]h0

(Substituindo (3) em (2))

(transformando as fraes do numerador em fraes equivalentes)

(Diviso de fraes)

t' ( x ) = lim

f ( x + h)g( x ) + f ( x )g( x ) f ( x )g( x ) f ( x )g( x + h) h[g( x + h)g( x )]

(Somando e subtraindo termos iguais)

t' ( x ) = limx 0

f ( x + h)g( x ) f ( x )g( x ) f ( x )g( x + h) + f ( x )g( x ) h[g( x + h)g( x )]f ( x + h) f ( x ) g( x + h) g( x ) lim f ( x ) h 0 h h lim[g( x + h)g( x )]h0

(Reagrupando)

t' ( x ) =

lim g( x )h 0

(Colocando termos em evidncia e usando a propriedade Limite da diferena a diferena dos limites e o limite do quociente o quociente dos limites) (Propriedade limite do produto o produto dos limites e resoluo do limite do denominador)

t' ( x ) = t' ( x ) =

lim g( x ) limh 0

f ( x + h) f ( x ) g( x + h) g( x ) lim f ( x ) lim h 0 h0 h 0 h h 2 g (x)

g( x )f ' ( x ) f ( x )g' ( x ) g2 ( x )

(Em (1) pela hiptese, ou pela definio de derivada)

43

t' ( x ) =

f ' ( x )g( x ) f ( x )g' ( x ) g2 ( x )

(A ordem dos fatores no altera o produto)

Portanto, se t( x ) =

f ( x) f ' ( x ).g( x ) f ( x ).g' ( x ) , com g( x ) 0 a t' ( x ) = g( x ) g2 ( x )

t( x ) =

f (x) , com g( x ) 0 g( x )

t' ( x ) =

d f(x) f ' ( x )g( x ) f ( x )g' ( x ) [ g( x ) ] = dx g2 ( x )

2.6.1 Exemplo

Derive a funo: f(x) =

3x3 + 5x 2 3x + 2

Resoluo: Observe que a funo f(x) um quociente. Como vimos na regra anterior a derivada do quociente igual ao produto da derivada da primeira funo pela segunda funo menos o produto da segunda funo pela derivada da segunda funo tudo isso dividido pelo quadrado de denominador, ou seja:Derivada do numerador vezes o denominador Numerador vezes a derivada do denominador

Se f ( x ) =

3x3 + 5x2 (3 x 3 + 5 x 2 )' (3 x + 2) (3 x 3 + 5 x 2 )(3 x + 2)' , ento f ' ( x ) = 3x + 2 (3 x + 2)2O quadrado do denominador

Derivando cada uma dessas funes, aplicando as regras anteriormente demonstradas:f ' (x) = [(3 x 3 )'+(5 x 2 )' ](3 x + 2) (3 x 3 + 5 x 2 )[(3 x )'+(2)' ] (3 x + 2)2

44

f ' (x) =

[9 x 2 + 10 x ](3 x + 2) (3 x 3 + 5 x 2 )[3 + 0] (pode parar a, mas se for continuar (3 x + 2)2

aplique a distributiva).27 x 3 + 18 x 2 + 30 x 2 + 20 x 9 x 3 15 x 2 ) f ' (x) = (3 x + 2)2

f ' (x) =

18 x 3 + 33 x 2 + 20 x (3 x + 2)2

2.7 DERIVADA DAS FUNES TRIGONOMTRICAS

2.7.1 Derivada da funo seno

A derivada da funo seno igual a funo cosseno.

Demonstrao: Seja f(x) = sen(x). Pela definio de derivada, escrevemos que: f ' ( x ) = lim f ( x + h) f ( x ) h0 h (1)

Como f(x) = sen(x), ento temos que f(x+h) = sen(x+h) e f(x) = sen(x)sen( x + h) sen( x ) h0 h

(2)

Substituindo (2) em (1), vem que: f ' ( x ) = lim

(3)

Aplicando a identidade trigonomtrica em sen(x + h), temos que: sen( x + h) = sen( x ) cos(h) + cos( x )sen(h) (4)

45

Substituindo (4) em (3), vamos fazer:sen( x ) cos(h) + cos( x )sen(h) sen( x ) h0 h sen( x ) cos(h) sen( x ) + cos( x )sen(h) h0 h sen( x )[cos(h) 1] + cos( x )sen(h) h

f ' ( x ) = lim

f ' ( x ) = lim

(Reagrupando)

f ' ( x ) = limh0

(Evidenciando o sen(x))

f ' ( x ) = lim

sen( x )[cos(h) 1] cos( x )sen(h) + lim h 0 h0 h h

(Propriedade Limite da soma a soma dos limites)

f ' ( x ) = lim

[cos(h) 1] sen(h) lim sen( x ) + lim lim cos( x ) h 0 h 0 h0 h h h0

(Propriedade Limite do produto o produto dos limites)

f ' ( x ) = lim

[1 cos(h)] sen(h) lim sen( x ) + lim lim cos( x ) h0 h0 h0 h h h0

(Reorganizando)

(5)

Por teoremas de limites (ou limites fundamentais), temos que:[1 cos(h)] =0 h0 h lim e sen(h) =1 h 0 h lim

(6)

De (5) e (6), vem que:

0.sen( x ) + 1. cos x = cos( x )

Portanto, se f(x) = sen(x) a f(x) = cos(x)

f ( x ) = sen( x )

f ' (x) =

d [sen( x )] = cos( x ) dx

46

2.7.1.1 Exemplo

Derive a funo f(x) = 3x4.sen(x). Resoluo: Observe que se trata do produto de uma funo potncia e da funo seno. Primeiramente devemos aplicar a regra do produto para derivaes, ou seja: f(x) = (3x4).sen(x) + 3x4.(sen(x))1 termo vezes a derivada do 2 termo Derivada do 1 termo vezes o 2 termo (Regra do produto)

f(x) = 3.4.x4-1.sen(x) + 3x4.cos(x) f(x) = 12x3.sen(x) + 3x4.cos(x)

(Regra da potncia e do mltiplo constante e derivada da funo seno)

2.7.2 Derivada da funo cosseno

Por procedimentos parecidos ao tpico 2.7.1, demonstra-se que:

f ( x ) = cos( x )

f ' (x) =

d [cos( x )] = sen( x ) dx

2.7.3 Derivada das funes tangente, cotangente, secante e cossecante

Usando as identidades trigonomtricas e os resultados obtidos em 2.7.1 e 2.7.2, demonstra-se que:

47

f ( x ) = tg( x )

f ' ( x) =

d [ tg( x )] = sec 2 ( x ) dx

f ( x ) = cot g( x )

f ' (x) =

d [cot g( x )] = cos ec 2 ( x ) dx d [sec( x )] = sec( x )tag( x ) dx

f ( x ) = sec( x )

f ' (x) =

f ( x ) = cos ec( x )

f ' ( x) =

d [cos ec( x )] = cos ec( x ) cot ag( x ) dx

2.7.3.1 Exemplo

Derive a funo f(x) = 3sen(x) + xsec(x) +

2x cos( x )

Resoluo: Observe que temos a soma do produto e do quociente de funes algbricas com funes trigonomtricas. Portanto, para realizar essa derivada vamos usar as regras da soma, do produto, do quociente e das derivadas das funes trigonomtricas. Ento, vamos ter: f '(x) = 3[sen(x)] +[ xsec(x) + x(sec(x)) ]+(2x )' cos( x ) 2x.(cos( x ))' cos2 ( x ) 2 cos( x ) 2x.( sen( x )) cos2 ( x )

f '(x) = 3cos(x) +[ 1.sec(x) + x.sec(x).tg(x)]+ f '(x) = 3cos(x) + sec(x) + xsec(x)tg(x)+

2 cos( x ) + 2xsen( x ) cos2 ( x )

2.8 DERIVADA DA FUNO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA)

48

Com as regras que temos nossa disposio at o presente momento, no sabemos, por exemplo, derivar a funo f(x) = (x - 2x + 1) se no a reescrevermos como um produto de trs fatores iguais. O resultado dessa derivada pode ser obtido usando a regra da cadeia, conforme veremos a seguir. Para calculard [( x 2 2x + 1)3 ] procedemos do seguinte modo: dx

i) Escrevemos f(x) = (x - 2x + 1). Com a esperana de usar a derivada da potncia, faremos: u = x - 2x + 1 ii) Calculamosd d 2 (u) = ( x 2x + 1) = 2x 2 dx dx d d 3 [ f ( x )] = (u ) = 3u2 du du

f(x) = u

(1)

e

iii) Usamos a seguinte regra, chamada de regra da cadeia, cujo primeiro membro a derivada procurada:d d d [ f ( x )] = [ f ( x )]. (u) dx du dx

ou seja, multiplicamos as derivadas obtidas no passo anterior:d [ f ( x )] = (2x 2).3u2 dx

Usamos agora a expresso de u, dada em (1), para obter:d [ f ( x )] = (2x 2).3( x 2 2x + 1)2 dx

A funo j est derivada. Podemos deixar o resultado como apresentado acima ou podemos calcular os produtos. O procedimento usado acima pode ser abreviado e para isso faremos: Sendo f(x) = (x - 2x + 1), fazendo u = x - 2x + 1, temos f(x) = u. Ento,

49

d d d [ f ( x )] = [ f ( x )]. (u) = 3u2 (2x 2) = 3( x 2 2x + 1)2 (2x 2) du dx dx

Vamos arriscar a dizer que voc nem precisa chamar algum de u, pensando da seguinte forma: Como f(x) = (x - 2x + 1), queremos derivar (em x) a funo potncia ao cubo de algum, esse algum sendo naturalmente (x - 2x + 1). Sabemos que a derivada da potncia cbica de algum 3 vezesalgum ao quadrado, ou seja 3.(algum). Basta ento multiplicar 3.(algum) pela derivada do algum, ou seja,d d [ f ( x )] = [( x 2 2x + 1)3 ] = 3( x 2 2x + 1)2 (2x 2) dx dx

2.8.1 Funo composta

Para demonstrarmos a regra da cadeia com mais rigor necessrio que se entenda o que a funo composta. Sejam f e g funes tais que para todo x do domnio A de g, g(x) est no domnio de f. Define-se a composta de f e g, indicada por f o g , como sendo a funo de domnio A, dada por

( f o g)( x ) = f (g( x ))x g f ogFig. 2.1 Funo Composta

g(x) f

f(g(x))

2.8.1.1 Exemplos

50

a) Se f(x) = x e g(x) = x - 2x + 1, ento ( f o g)( x ) = f (g( x )) = f ( x 2 2x + 1) = ( x 2 2x + 1)3 b) Se f ( x ) = x e g(x) = x+1, ento ( f o g)( x ) = f (g( x )) = f ( x + 1) = x + 1 c) Se f(x) = x e g(x) = x - 2x + 1, ento (g o f )( x ) = g( f ( x )) = f ( x 3 ) = ( x 3 )2 2( x 3 ) + 1 = x 6 2x 3 + 1 d) Se f(x) = x, ento ( f o f )( x ) = f ( f ( x )) = f ( x 3 ) = ( x 3 )3 = x 9

2.8.2 Regra da Cadeia

Se a funo g for derivvel em x e a funo f for derivvel em g(x), ento a funo composta f o g ser derivvel em x, e ( f o g)' ( x ) = f ' (g( x ))g' ( x ) , ou seja,Web

h( x ) = f (g( x ))

h' ( x ) =

d [ f (g( x ))] = f ' (g( x ))g' ( x ) dx

Regra da Cadeia e Exemplos

2.8.2.1 Exemplos

Derive as funes a) h(x) = (5x +3)4 Resoluo (1): Seja h(x)= f(g(x)). Ento, f(g(x)) = (g(x))4 e g(x) = 5x + 3 Como h(x) = f (g(x)).g(x) h(x) = 4(5x +3).(5x +3) = 4(5x +3).15x = 60x(5x +3) Resoluo (2): Seja u = 5x +3 e h(x) = u4

51

Ento:

d (u) = 15 x 2 dx

e

d [ h ( x )] = u 2 du

Como h(x) =

d d d [h( x )] = [h( x )]. (u) , vamos ter que: dx dx du

h' ( x ) = 4u3 .15 x 2 = 60 x 2 (5 x 3 + 3)

b) f(x) = sen(4x + 1) Resoluo: Seja f(x)= t(g(x)). Ento, t(g(x)) = sen(g(x)) e g(x) = 4x + 1 Como f (x) = t (g(x)).g(x) f (x) = cos(g(x)).g(x) = cos(4x + 1).(4x + 1) = 4cos(4x + 1) c) t(x) = cos-2(x) Resoluo: t(x) = cos-2(x) t(x) = [cos(x)]-2 Seja t(x)= f(g(x)). Ento, f(g(x)) = (g(x))-2 e g(x) = cos(x) Como t(x) = f (g(x)).g(x) t (x) = -2(g(x))-3.g(x) = -2cos-3(x).[-sen(x)] = 2sen(x)cos-3(x) Podemos continuar se optarmos em fazer as substituies pelas identidades trigonomtricas: t(x) = 2sen(x)cos-3(x) = 2sen( x ) 1 = 2sen( x ) sec 3 ( x ) 3 cox ( x )

2.9 FUNO INVERSA

yf(x4) f(x3)

2.9.1 Funo bijetorax1 x2

f(x2)

x3 f(x1)

x4

Se em uma relao de dois conjuntos A e B, cada elemento em sua imagem B corresponder exatamente a um elemento em seu domnio A, ouf(x) = ax + b

x

Fig. 2.2 Funo do 1 grau bijetora

52

seja, para todo x1 e x2 no domnio se x1 x2, ento f(x1) f(x2) dizemos que essa relao uma funo bijetora. Uma funo do 1 grau uma funo bijetora, pois o seu domnio o conjunto dos nmeros reais e sua imagem tambm, porm para cada x1 x2 do domnio da funo, temos f(x1) f(x2) em sua imagem, veja a figura 2.2: Observe que x1 x2 x3 x4 e (x1) f(x2) f(x3) f(x4) Uma funo do 2 grau com domnio em todos os nmeros reais no bijetora e isso pode ser observado na figura 2.3 (a). J, se redefinirmos o domnio dessa funo e admitirmos o domnio sendo, por exemplo, os nmeros reais maiores que a abscissa do vrtice da parbola da funo do 2 grau ela passa a ser uma funo bijetora, veja isso na figura 2.3 (b).y yf(x) = ax2 + bx +c

f(x1) f(x4)

f(x2)

x1

x2

x3 x4

x1 x2

f(x2) f(x3) f(x) = ax2 + bx +c

x

x

f(x1)

(a)

(b)

Fig. 2.3 Funo do 2 grau bijetora e no bijetora

Observe que a funo representada na figura 2.3 (a) x1 x2 x3 x4 e f(x1) = f(x4) e f(x2) f(x3) e na figura 2.3 (b) x1 x2 e f(x1) f(x2). Acima apresentamos dois exemplos bsicos de funes para explicarmos a funo bijetora, pois necessrio que o leitor entenda essa ideia para compreender a definio da funo inversa. importante compreender que esses exemplos so os mais bsicos.

53

2.9.2 Funo inversa

Para entendermos o que uma funo inversa vamos pensar em duas operaes inversas, temos que uma desfaz a outra. Por exemplo, a adio e a subtrao so operaes inversas: se 2 for adicionado a x, a soma ser x + 2; ento se 2 for subtrado dessa soma, a diferena ser x. Vamos estudar trs casos. a) Seja f(x) = x + 2 e g(x) = x 2 Note que em f(x) foi adicionado 2 a x e em g(x) foi subtrado 2 de x. Observe o que ocorre ao compormos as duas funes, ou seja, ao determinarmos a f(g(x)) e a g(f(x)). f(g(x)) = f(x-2) = (x-2) + 2 = x g(f(x)) = g(x+2) = (x+2) 2 = x b) Seja f(x) = x para x 0 e g(x) = f (g( x )) = f ( x ) = ( x )2 = x g( f ( x )) = g( x 2 ) = x 2 = x

x

c) Seja f(x) = 5x e g(x) = x x f (g( x )) = f = 5. = x 5 5 5x g( f ( x )) = f (5 x ) = = x 5

x 5

Nos trs casos podemos observar que f(g(x)) = g(f(x)) = x, para o x de cada uma das funes. Essa relao ocorre apenas para funes inversas. Observe na figura 2.4 os grficos de cada um desses casos.

54

yf(x) = x2 x

y

f(x) = x+2

y

f(x) = 5x x

x

f(x) = x

xf(x) = x-2

x

f(x) = x/5

x

(a)

(b)

(c)

Fig. 2.4 Grficos de funes, suas inversas e a relao com a funo identidade

Nos trs grficos das funes com suas inversas temos que: o grfico da funo identidade um eixo de simetria entre o grfico da funo f(x) e de sua inversa g(x). Isso nos leva a afirmar que os grficos de duas funes inversas so simtricos em relao a bissetriz dos quadrantes mpares. a funo f definida pela f(x) so funes bijetoras. O Domnio A da funo f (Dom(f)) a imagem da funo g (Im(g)), ou seja, o domnio de uma funo a imagem de sua inversa e a imagem B da funo f (Im(f)) o domnio da funo g (Dom(g)). A partir de agora, a funo g que estamos chamando de funo inversa passar a ser representada por f -1. Portanto, dizemos que uma funo inversa de f: A B ser f-1: B A.

Ento, se f bijetora, podemos definir uma funo, indicada por f-1, do seguinte modo: se y est na Im(f), f-1 leva o y no nico x de Dom(f) tal que y = f(x), ou seja, f-1(y) = x.

Combinando y = f(x) e f-1(y) = x, obtemos y = f(f-1(y)) e f-1(f(x)) =x, o que refora a nossa escrita do incio do tpico 2.9.2 que o que uma funo faz a outra desfaz.

55

Mas a partir de uma funo bijetora, o que devemos fazer para determinar a sua inversa? Vamos ver isso em mais trs casos: a) Vamos escrever a inversa da funo f dada por f(x) = x + 2. y=x+2 x=y-2 f-1(y) = y - 2 f-1(x) = x - 2(Introduzimos a varivel y) (Isolamos o x) (Pois, na definio temos que f (y) = x) (Trocamos y por x, pois costume indicar a varivel independente por x)-1

b) Vamos escrever a inversa de f dada por f(x) = x para x 0 y = xx= y x= y(Introduzimos a varivel y) (Isolamos o x) (Pois, pelo enunciado x 0)

f-1(y) = f-1(x) =

y x

(Pois, na definio temos que f (y) = x) (Trocamos y por x, pois costume indicar a varivel independente por x)

-1

c) Vamos escrever a inversa de f dada por f(x) = 5x y = 5x x= y 5y 5 x 5

(Introduzimos a varivel y)

(Isolamos o x)

f-1(y) = f-1(x) =

(Pois, na definio temos que f (y) = x)

-1

(Trocamos y por x, pois costume indicar a varivel independente por x)

Observaes:

i) Se f bijetora, ela tem inversa f-1. Conforme vimos, o que uma faz a outra desfaz. Isso nos leva a concluir que a inversa de f-1 a f, pois f desfaz o que f-1 faz. Ou seja,

56

(f-1)-1 = f ii) O smbolo f-1 no o mesmo de 1/f. Vamos ilustrar isso por meio de um exemplo. Se f(x) = x -2, para x R, podemos considerar a funo1 , definida por f

1 1 1 = . Como a f(x) = x - 2 no bijetora, ela no apresenta inversa, ( x ) = f (x) x 2 f1 logo no existe f-1. Isso evidencia que f 1 . f

2.9.3 Derivada da funo inversa

Web

Se uma funo y = f(x) admite uma funo inversa x = f-1(y), ento a funo inversa tem derivada dada por

Funo inversa e sua derivada

( f 1 )' ( y ) =

1 , f ' (x)

f ' ( x) 0

Demonstrao: Pela definio de funo inversa temos que f-1(y) = x, ou seja f-1(f(x)) = x. Vamos derivar os dois membros. Como o primeiro membro dessa igualdade uma funo composta, iremos deriv-lo usando a regra da cadeia. Como o segundo membro a funo identidade, temos que sua derivada igual a 1. Ento: f-1(f(x)) = xd 1 d [ f ( f ( x ))] = (x) dx dx

(Definio de inversa)

(Derivando os dois membros) (Derivada da funo composta no 1 membro foi usada a regra da cadeia e no 2 membro derivada da funo identidade)

(f-1)(f(x)).f(x) = 1

57

( f 1 )' ( f ( x )) = ( f 1 )' ( y ) =

1 f (x)'

Dividimos os dois membros por f (x)

1 f (x)'

y = f(x)

2.9.3.1 Exemplo2

A funo f(x) = x5 + 2x + 2x + 3 admite inversa. Determine (f-1)(8). Resoluo: O enunciado afirma que a funo f(x) tem inversa, desta forma no necessrio provar e determinar a inversa, pois a derivada da funo inversa dada por ( f 1 )' ( y ) = 1 . Para usar essa frmula devemos derivar a funo f(x). f (x)'

Como f(x) = 5x4 + 6x + 2, temos que ( f 1 )' ( y ) =

1 . 5x + 6x 2 + 24

Como pretendemos determinar a (f-1)(8), temos que o y = 8. Para determinarmos o valor do x a ser substitudo em ( f 1 )' ( y ) = para y = 8. Ento faremos: x5 + 2x + 2x + 3 = 8. possvel adivinhar que para essa igualdade o x = 1. Desta forma, ( f 1)' (8) =1 1 1 = = 2 5.1 + 6.1 + 2 5 + 6 + 2 134

1 , devemos determinar o valor do x 5x + 6x 2 + 24

2.10 DERIVADA DA FUNO EXPONENCIAL

Se f(x) = ax (a > 0 e a 1), ento a f(x) = axln(a)

2

Este exemplo foi elaborado e resolvido por BOULOS, (1999, P.158).

58

Demonstrao: Pela definio de derivada, temos que: f ' ( x ) = limh0

f ( x + h) f ( x ) h

(1)

Como a funo dada por f(x) = ax, ento temos que f(x+h) = a(x + h) e f(x) = ax ax +h ax h0 h (2)

Substituindo (2) em (1), vem que: f ' ( x ) = lim f ' ( x ) = lim a x .ah a x h0 h

(Propriedade de potncia Produto de mesma base)

a x (ah 1) f ' ( x ) = lim h0 h f ' ( x ) = lim a x limh0

(Colocando o a em evidncia)

x

(ah 1) h0 h

(Propriedade limite do produto o produto dos limites)

f ' ( x ) = a x ln(a)

(Limite fundamental:

limh0

) (a h 1) = ln(a) h

Portanto, se f(x) = ax, com a f ' ( x ) = a x ln(a)

f ( x ) = a x , (a > 0 e a 1)

f ' (x) =

d x [a ] = a x ln(a) dx

Caso particular:

f ( x ) = ex

f ' ( x) =

d x [e ] = e x ln(e) = e x dx

2.10.1 Exemplos

Derive as funes: a) f(x) = 5x

59

Resoluo: Observando a regra acima, temos que se f(x) = 5x f (x) = 5xln(5) b) f(x) = 53x Resoluo: Observe que a f(x) uma funo composta e uma das formas de resolver essa derivada reescrever a funo como f(x) = (5x)3.d [(5 x )3 ] dx

f ' (x) =

(Representando a derivada de duas formas)

f ' ( x ) = [(5 x )3 ]'.(5 x )' f ' ( x ) = 3.(5 x )2.(5 x ) ln(5) f ' ( x ) = 3.53 x ln(5)

(Aplicando a regra da cadeia) (Regra da potncia e a regra da exponencial) (Propriedade de produto de potncia de mesma base)

Tambm podemos resolver por outro procedimento. Veja: f(x) = 53x Seja Ento: u = 3xd (u) = 3 dx

e e

h(x) = 5u

d [ h ( x )] = 5 u ln( 5 ) du

Como f(x) =

d d d [ f ( x )] = [h( x )]. (u) , vamos ter que: dx du dx

f ' ( x ) = 5u ln(5).3 f ' ( x ) = 3.53 x ln(5)

c) f(x) = e Seja Ento:

x

u=

x u = x1/2

e e

h(x) = eud [h( x )] = eu du

d 1 1 1 1 1 (u) = x 2 = x 2 dx 2 2

Como f(x) =

d d d [ f ( x )] = [h( x )]. (u) , vamos ter que: dx du dx

60

1 1 f ' ( x ) = eu . x 2 2

f ' (x) = e x . f ' (x) = 1 2 x

1 2x 2 e1

x

2.11 DERIVADA DA FUNO LOGARTMICA

Se f(x) = loga(x)(a > 0 e a 1) ento f ' ( x ) =

1 . x ln(a)

Demonstrao: A funo logartmica y = f(x)=loga(x) a inversa da funo exponencial x = f-1(y) = ay. Podemos ento, usar o resultado da derivada da funo inversa para determinar f(x), assim:f '(x) = 1 1 1 = y = , portanto: ( f )' ( y ) a ln(a) x ln(a)1

f ( x ) = loga ( x ), (a > 0 e a 1)

f ' ( x) =

1 d [loga ( x )] = x ln(a) dx

Caso particular:

f ( x ) = loge ( x ) = ln( x )

f ' ( x) =

1 1 d = [ln( x )] = x ln(e) x dx

2.11.1 Exemplos

61

Derive as funes: a) f(x) = log5(x) Resoluo: Observando a regra acima, temos que se f(x) = log5(x) f (x) = 1 x ln(5)

b) f ( x ) = ln(2x 2 + 3 x ) Resoluo: Seja Ento: u = (2x + 3x)d (u) = 4 x + 3 dx

e e

h(x) = ln(u)d 1 [h( x )] = du u

Como f(x) =

d d d [ f ( x )] = [h( x )]. (u) , vamos ter que: dx du dx

1 f ' ( x ) = .( 4 x + 3) u

f ' (x) =

1 .( 4 x + 3) (2x + 3 x )2

f ' (x) =

( 4 x + 3) (2x 2 + 3 x )

2.12 DERIVADAS DE ORDEM SUPEROR

A derivada de f a derivada segunda de f e se representa por f, ou seja,

d [f' (x)] = f" (x). dxA derivada de f a derivada terceira de f e se representa por f, ou seja,

d [f' ' (x)] = f" ' (x). dxContinuando esse processo, obtm-se as derivadas de ordem superior de f.

62

2.12.1 Exemplo

Determine as derivadas primeira, segunda e terceira da funo f(x) = 3x4 5x. Resoluo: f(x)= f(x)= f(x)=

d d [f(x)] = [3x 4 5x2 ] = 12x3 10x dx dx d d [f' ' (x)] = [12x3 10x] = 36x2 10 dx dx d d [f' (x)] = [36x2 10] = 72x dx dx

Web

2.13 DERIVADA DA FUNO IMPLCITA

Derivada da Funo Implcita

Se f(x) = {(x,y) / y = 3x - 2x + 6}, ento a equao y = 3x - 2x + 6 define a funo f explicitamente. Mas, nem todas as funes esto definidas dessa forma. Por exemplo, se tivermos a equao x + 2x = 2y + y - 2 (1) no poderemos resolver y em termos de x; alm disso, podem existir uma ou mais funes f, para as quais y = f(x), a equao (1) estar satisfeita, isto , tais que a equao x + 2x = 2[f(x)] +[f(x)] - 2 seja vlida para todos os valores de x do domnio de f. Nesse caso, a funo est definida implicitamente pela equao dada. Com a hiptese de que (1) define y como uma funo derivvel de x, a derivada de y em relao a x pode ser determinada por derivao implcita. A equao (1) envolve x e y, pois pode ser escrita de forma que todos os termos envolvendo x estejam em um membro e os termos envolvendo y estejam no outro termo da equao.

63

O lado esquerdo de (1) uma funo de x e o lado direito uma funo de y. Seja F uma funo definida pelo lado esquerdo e G uma funo definida pelo lado direito. Assim, F(x) = x + 2x G(x) = 2y + y - 2 onde y uma funo de x, digamos y = f(x). Desta forma, (1) pode ser escrita como F(x) = G(f(x)) essa equao est satisfeita por todos os valores de x no domnio de f para os quais G(f(x)) existe. Ento, para todos os valores de x para os quais f derivvel,d 3 d ( x + 2x ) = ( 2 y 3 + y 2 2) dx dx

(2)

A derivada do primeiro membro de (2) dada pord 3 ( x + 2x ) = 3 x 2 + 2 dx d (2y 3 + y 2 2) = 6 y 2 y'+2yy' dx

(3)

A derivada do segundo membro ser determinada usando a regra da cadeia (4)

Substituindo os valores de (3) e (4) em (2), obtemos 3 x 2 + 2 = 6 y 2 y'+2yy' colocando o y em evidncia 3 x 2 + 2 = ( 6 y 2 + 2 y )y '

E isolando o y, vamos ter 3x 2 + 2 = y' (6 y 2 + 2y ) Observe que ao usarmos a derivao implcita, obtivemos uma expresso para y oudy que envolve ambas as variveis, x e y. dx

2.13.1 Exemplos

64

a) Dada (x + y)4 - (x - y)4 = x6 + y6, determine Resoluo: dy = y' = f ' ( x ) dx 4( x + y )3

dy dx

d d dy ( x + y ) 4( x y )3 ( x y ) = 6x 5 + 6y 5 dx dx dx

(Aplicar a regra da cadeia, tendo como referncia a funo potncia) (Propriedade derivada da soma a soma das derivadas) ( dx fica dessa forma pois nody

d d dy d d 4( x + y )3 x+ y 4( x y )3 x y = 6x 5 + 6y 5 dx dx dx dx dx

dy dy 3 5 5 dy 4( x + y ) 1 + 4( x y ) 1 = 6x + 6y dx dx dx 3

podemos determinar o y em funo sua do x, portanto fica no sabemos quem o y. Logo, derivada apenas indicada)

4( x + y )3 + 4( x + y )3 + 4( x + y )3

dy dy dy 4( x y )3 + 4( x y )3 = 6x 5 + 6y 5 dx dx dx

(Distributiva da multiplicao em relao a adio e a subtrao) (Colocar no 1 membro todos os fatores com dx ) (Colocar dx em evidncia) (Isolar dx , ou seja, apresentar a derivada dx )dy dy dy

dy dy dy + 4( x y )3 6y5 = 6 x 5 4( x + y )3 + 4( x y )3 dx dx dx + 4( x y )3 6 y 5

[+ 4( x + y)

3

] dy = 6x dx

5

4( x + y )3 + 4( x y )3

dy

dy 6 x 5 4( x + y )3 + 4( x y )3 = dx + 4( x + y )3 + 4( x y )3 6 y 5Web

2.14 EXERCCIOS DO CAPTULO

Tcnicas de derivao (parte 1 e 2)

Nos exerccios de 1 a 20, derive a funo dada, aplicando as regras de derivao demonstradas nesse captulo. 1) f(x) = 5x 3 5) f ( x ) = 2) f(x) = 6 3) g(x) = -7x + 2x 1 4) h(x) = x10 3x8 + 6x 37) t( x ) = 1 x x

1 4 2 3 1 2 x x + x +3 4 3 2

6) m( x ) = 2x 3 + 2x 2 + 2x + 2

65

8) v(x) = x 9) u( x ) = 12) p( x ) = 5x2 + 3 5x 2 3

4 1 + 4 2 x 4x 13) n( x ) =

10) d(x) = (3x + 1)(4x + 2x + 3) 2x + 3 (2x 6) x4 14) b( x ) =

11) l( x ) =

x 2x

x 2 + 4x 1 ( x 3 x 1 + 2 ) x3

15) z( x ) =

2 cos( x ) sen( x ) + 1 cot g( x ) 16) r( x ) = 17) s( x ) = cos( x ) + 1 1 sen( x ) x +1 2 cos sec( x ) 1 20) g( x ) = ln x + e x + e 19) j( x ) = log3 ( x ) + 3 x 18) f ( x ) = cos sec( x ) + 2

Nos exerccios 21 a 29 derive as funes compostas: 21) f(x) = (3x + 5x + 1) 24) m(x) = cos(x+3) 22) g( x ) = x + 3 25) t(x) = sen(x+3) 23) h( x ) = 3 x 2 3 x + 1 26) p(x) = (3x + 1)(4x-5)1

( x + 3 )2 [cot g( x )]2 (ln( x + 3))2 (e x ) 3 27) q( x ) = ( x + 2) 28) t( x ) = 29) u( x ) = ( 2 x + 3 ) 30) k( x ) = 2 ( x 3 )2 [sec( x )]2 ln (2x 1) e4

Nos exerccios 31 a 34, determine se a funo dada biunvoca. Faa o esboo do grfico da funo. 31) f(x) = 2x + 3 32) g(x) = 4 x 33) h(x) = 4 x 34) t(x) = x+3

Nos exerccios 35 a 38, determine se a funo dada tem uma inversa. Se a inversa existir, determine-a e faa o seguinte: (a) determine o domnio e a imagem; (b) faa o esboo dos grficos das funes e de sua inversa no mesmo conjunto de eixos; (c) e a funo no tiver uma inversa, mostre que uma reta horizontal intercepta o grfico da funo em mais de um ponto. 37) h( x ) = 3 x + 1

35) f(x) = 2x + 3

36) g(x) = 1 x

38) m(x) = |x| + x

Nos exerccios 39 a 41, determine (f-1)(a):

66

39) f(x) = x - 16, x 0; a = 9

40) f(x) = x + 1; a = 2

41) f(x) = 2x + 4; a = -3

Nos exerccios 42 a 45, determine y por derivao implcita: 42) x + y = 16 43) 4x - 9y = 1 44) xy = x + y 45)xy + 2x = y

Algumas respostas 1) 5 2) 0 3) -14x + 2 4) 10x9 24x7 + 6 5) x - 2x + x

6) m( x ) = 2 (3 x 2 + 2x + 1) 11)

7)

-1

x

2

-1

8) 2 x

1 8 9) 3 + 5 x x 16)1 + cos x + senx (cos x + 1) 2

1 4x x

12) 0

15)

2[( x + 1)senx + cos x ] ( x + 1) 2

17)

1 + cos x + senx (1 senx ) 2 sen 2 x

18)

3 cos sec 2 x cot x + cos sec x cot x (cos sec x + 2) 2

19)

1 + 6 x 2 ln 3 x ln 3

21) 3(3x +5x +1)(9x +5)

22)

1 2 x+3 ( x + 2) 4 3 x 2 + 16 x 122 27) ( x 3) 2 ( x 3) 2

24) -2cos(x+3)sen(x+3) 25) 6xsen(x+3)cs(x+3)x 1 2x e 2e 3 29) 3 e 2 x +3 1

32)No

33) Sim

34) Sim, para x -3

x(1 y 2 ) 44) y' = x( x 2 1)

67

3 ALGUMAS APLICAES DA DERIVADA

3.0 INTRODUO

Com este captulo objetivamos apresentar algumas aplicaes das derivadas. No captulo 2 resolvemos muitas derivadas por meio de suas regras e nesse captulo usaremos essas regras para facilitar a resoluo de cada problema, porm nada impede o leitor de resolver essas derivadas por meio da definio.

3.1 A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAO EM DIVERSOS CASOS

Em geral, quando uma grandeza y depende de outra grandeza x, y = f(x), se define a taxa de variao mdia da primeira relativa a uma variao x de x como sendo y/x, onde y a correspondente variao de y, ou seja, y =f(x + x) f(x); fazendo x tender a 0, obtm-se a taxa de variao em x. Conforme estudamos no primeiro captulo, usamos a seguinte nomenclatura:

Taxa de variao mdia

Taxa de variao em x

f ( x + x ) f (x ) x

d f (x + x ) f (x ) ' [ f ( x )] = lim = f (x ) x 0 dx x

Algumas taxas de variao tm nomes especiais. Por exemplo,

Velocidade: taxa de variao do espao em relao ao tempo

ds dt dv dt

Acelerao: taxa de variao da velocidade em relao ao tempo

68

Densidade linear: taxa de variao da massa em relao ao espao Vazo: taxa de variao do volume em relao ao tempo dV dt

dm dx

Receita Marginal: taxa de variao da receita em funo da quantidade Custo Marginal: taxa de variao do custo em funo da quantidade Lucro Marginal: taxa de variao do lucro em funo da quantidade dC dx dL dx

dR dx

3.1.1 Aplicaes em Fsica - Exemplos3

1) Uma torneira lana gua em um tanque. O volume de gua nele, no instante t, dado por V(t)=5t3+3t litros, t sendo dado em minutos. Calcule a vazo da gua, no instante t = 3 minutos. Resoluo: A vazo a taxa de variao do volume do lquido em relao ao tempo, ou seja, dV/dt. Isso quer dizer, a derivada do volume em funo do tempo. Ento: dV = 15t 2 + 3 dtLogo, a vazo para t = 3 Derivada da funo 5t + 3t

dV (3) = 15 3 2 + 3 = 138 l/min dt 2) Se um objeto solto em queda livre de uma altura de 100 m e se a resistncia do ar pode ser desprezada, a altura h do objeto no instante t em segundos) dada por h = 16t + 100.

3

O exemplo 1 foi elaborado e resolvido por BOULOS, (1999, P.110).

69

a) Determine a velocidade mdia no intervalo [1,2]; b) Determine a velocidade do objeto, quando t = 1. Resoluo: a) A velocidade mdia a variao do espao em funo do tempo, a qual ser dada por v m = h hf hi = t t f t 0

hf = s(2) = 16.22 + 100 = 64 + 100 = 36 hs = s(1) = 16.12 + 100 = 16 + 100 = 84

Ento,

vm =

36 84 = 48 m / s 2 1

(a velocidade mdia negativa, pois o objeto est se deslocando para baixo)

b) A velocidade instantnea dada pela derivada da funo no ponto, nesse caso no ponto t = 1, ou seja v(1) = dh (1) = f ' (1) , como f(h) = - 32t f(1) = -32.1 = -32 m/s dt

3.1.2 Aplicaes em Economia (funes marginais)

Em Larson (1998, p. 107), pode-se estudar algumas aplicaes importantes de taxas de variao no campo de economia, conforme descrito a seguir. Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como as taxas de variao do lucro, da receita e do custo em relao ao nmero x de unidades produzidas ou vendidas. A equao que relaciona essas trs grandezas

L=R-C

Onde L, R e C representam: L = lucro total, R = receita total, C = custo total.

70

As derivadas dessas grandezas chamam-se de lucro marginal, receitamarginal e custo marginal, respectivamente.

dL = lucro m arg inal dx

dR = receita m arg inal dx

dC = custo m arg inal dx

Em muitos problemas de economia e administrao, o nmero de unidades produzidas ou vendidas est restrito a valores inteiros positivos (naturalmente, uma venda pode envolver metade ou outra frao de unidades, mas difcil conceber uma venda que envolva2

unidades). A varivel que denota tais unidades, chamada

varivel discreta. Para analisar uma funo de varivel discreta x, podemos admitir

provisoriamente que x seja uma varivel contnua, capaz de tornar qualquer valor real em um dado intervalo. Utilizamos ento os modelos do clculo para determinar o valor do x que corresponde receita marginal, ao lucro mximo, ao custo mnimo ou o que quer que seja. Finalmente devemos arredondar a soluo para o valor mais prximo cabvel de x - centavos, reais, unidades, ou dias, dependendo do contexto do problema.

3.1.2.1 Exemplos4

1) O lucro (em reais) resultante da venda de x unidades de um artigo dado por P = 0,0001x + 20x. a) Determine o lucro marginal (em reais) para um nvel de produo de 30 unidades. b) Compare (o resultado de a) com o aumento do lucro decorrente do aumento da produo de 30 para 31 unidades. Resoluo: a) Como o lucro P = 0,0001x + 20x, o lucro marginal dado pela derivada

4

O Exemplo 1 uma adaptao de LARSON (1998, p.110)

71

dP = 0,0003x2 + 20. dxQuando x = 30, o lucro marginal

dP = 0,0003.(30)2 + 20 = 0,0003.900 + 20 = 20,27 dxOu seja, o lucro marginal para x = 30 de R$ 20,27 por unidade. b) O lucro efetivo para x = 30 dado por: P = 0,0001x + 20x = 0,0001.(30) + 20(30) = 0,0001.900 + 600 = 600,09 e para x = 31 igual: P = 0,0001x + 20x = 0,0001.(31) + 20(31) = 0,0001.961 + 620 = 620,09 e Assim, o lucro adicional obtido pelo aumento do nvel de produo de 30 para 31 unidades : 620,09 - 600,09 = 20,00 Dessa forma, pode-se afirmar que o lucro extra para uma unidade de aproximadamente R$ 20,00. Note que o aumento efetivo de lucro de R$ 20,00 (quando x aumenta de 30 para 31 unidades) pode ser aproximado pelo lucro marginal de R$ 20,27 por unidade, quando x = 30.2) O gerente de uma lanchonete constatou que a demanda mensal por seus sanduches

dada por p =

60000 x . Tendo essa informao como referncia5: 20000

a) Esboce o grfico da funo demanda e analise o comportamento da mesma. b) Determine o aumento na receita por sanduches para uma venda mensal de 20.000 unidades. Em outras palavras, ache a receita marginal, quando x = 20.000. Resoluo a) O grfico mostra que a medida em que o preo cai, a quantidade vendida aumenta. Note que para o preo de R$ 3,00 no ser vendido sanduche algum. J, medida que diminumos o preo, a quantidade vendida aumenta. Quando5

Exemplo adaptado de LARSON (1998, p. 110).

72

nos aproximamos do valor de zero reais, nos aproximamos tambm de uma quantidade de 60 000 sanduches mensais. b) Como a demanda dada por:p= 60000 x , a receita dada por R = xp, e temos 200003.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

y Preo

1 60000 x R = xp = x (60000 x x 2 ) . = 20000 20000 Diferenciando, obtemos a receita marginal

x

2 0.00

4 0.00

6 0.00

unidade s

dR 1 = (60000 2x ) Assim, quando x = 20000, a receita marginal dx 20000

dR 1 = (60000 2.(20000)) = 1 dx 20000

3.2 TAXAS RELACIONADAS

Em Boulos (1999, p. 114) pode-se estudar uma boa explicao para taxas relacionadas, veja: A rea A de um crculo de raio r A = r. Vamos supor que o raio r, por sua vez, varia com o tempo t. Por exemplo, r = t3. Ento a rea A passa a ser funo do tempo t, no caso, A =(t)2 = t6. Pode-se querer ento a taxa de variao de A com o tempo, ou seja, dA dt , que no nosso exemplo 6t5. Acontece que nem sempre se d a expresso de r como funo de t. Vejamos o que se pode fazer nesse caso, para o clculo de dA/dt. Temos dA dr 2 dr 2 = = dt dt dt

A = r 2

Aqui no devemos esquecer que r funo de t. Usaremos a regra da cadeia (da funo composta), vista no clculo 2. Usando um palavreado informal,

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queremos derivar "algum" ao quadrado. O resultado duas vezes "algum" vezes a derivada do "algum". Ou seja,dr dr 2 = 2r dt dtDerivada de algum ao quadrado Duas vezes algum Algum derivado

Vamos substituir este resultado na expresso anterior, ou seja: dr 2 dr dr dA = = 2r = 2r dt dt dt dt Ento, mesmo no se conhecendo a expresso de r em funo de t, se dermos, em um instante t0, o valor de r e a taxa de variao de r com o tempo (ou seja, dr/dt), poderemos calcular dA/dt nesse instante t0. O exemplo seguinte ilustra. Antes, porm, uma observao.Observao. Muitas pessoas gostam de usar a vantagem da notao de Leibniz, e em

vez de ficar falando "algum" como fizemos acima, eles fazem assim, usando a derivada como se fosse frao: dr 2 dr 2 dr dr = = 2r dt dr dt dt (1)

como se tivssemos reescrito a frao dr/dt, ou seja

dr 2 dr dr 2 = dt dr dtMas em (1), lemos que estamos derivando r em funo de r e multiplicando este resultado por dr/dtE dr/dt a taxa de variao do raio em funo do tempo

Procederemos desse modo nos exemplos a seguir.

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3.2.1 Exemplo 6

Uma pedra jogada em um lago, provocando uma onda circular de raio r, o qual varia com o tempo a uma taxa constante de 3 cm/s. Calcule a taxa de variao, com o tempo, da rea do crculo limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20 cm. Resoluo: A rea de um crculo de raio r A = r . Ento dA d dr 2 dr dr 2 dr = ( r 2 ) = = = 2r = 2r 3 = 6r dr dt dt dt dt dt Esta frmula vale para qualquer instante, pois a taxa dr/dt vale 3 em qualquer instante. No instante em que r = 20, teremos: dA = 6 20 = 120 cm 2 s dtObservao. Suponha que a taxa de variao de r com o tempo valesse 3 cm/s

apenas no instante em que o raio vale 20 cm. Nesse caso, escreveramos que em um instante qualquer do intervalo de tempo do movimento vale:

dA d dr 2 dr dr = ( r 2 ) = = 2r dt dr dt dt dt

Agora, particularizando para o referido instante, temos r = 20, dr/dt = 3, e a frmula acima nos fornecer 120. Apesar do resultado ser o mesmo do exemplo, a situao diferente, pois em um dos casos dr/dt vale sempre 3, e no outro s vale 3 em um instante especfico.

6

Elaborado e resolvido por BOULOS, (1999, P.116).

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3.3 EXERCCIOS DO CAPTULO

Observao * 7 e **8

*1) Supondo o custo da produo de sanduches seja C = 5000 + 0,56x, para 0 x 30000, para o problema do exemplo 2 de (5.6.2.1). Determine o lucro marginal para os seguintes nveis: a) x = 100000 b) x = 22.400 c) x = 30.000

Determine a receita marginal da produo de x unidades, nos exerccios 2 e 3. 2) R = 50x 0,6x 3) R = - 3x + 5x - 150x

Nos exerccios 4 e 5, determine o lucro marginal na produo de x unidades (o lucro dado em reais) 4) P = - 2x + 60x 120 *5) P = - 0,25x + 2000x 1.250.000

*6) A receita (em reais) da produo de x unidades de um produto R = 125x 0,002x. a) Determine a receita adicional quando a produo aumenta de 20.000 para 20.001 unidades. b) Determine a receita marginal quando x = 20.000. c) Compare os resultados de (a) e (b). *7) O custo do controle de estoque para um fabricante c =1.008.000 + 6,3Q , onde Q Q

o vulto do pedido quando se repe. Ache a variao anual quando Q aumentado de 350 para 351, e compare o resultado com a taxa instantnea de variao quando Q = 350. 8) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2 000 cm. O material da tampa e da base deve custar R$ 3,00 por centmetro quadrado e o material para o7 8

Retirado ou adaptado de LARSON (1998) Retirado ou adaptado de BOULOS (1999)

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lado custa R$ 1,50 por centmetro quadrado. Queremos encontrar as dimenses da caixa cujo custo total do material seja mnimo. 9) Uma lata fechada com volume de 16 cm deve ter a forma de um cilindro circular reto, determine a altura e o raio, se um mnimo de material deve ser usado em sua fabricao. 10) A parte lateral de uma caixa obtida dobrando-se uma faixa retangular de papelo, de comprimento 60 cm e largura 20 cm. Determine as dimenses dos lados dessa caixa, para que o seu volume seja mximo. **11) Um balo esfrico, que est sendo inflado, mantm sua forma esfrica. Seu raio aumenta a uma taxa constante de 0,05 m/s. Calcule a taxa de variao do seu volume, no instante em que seu raio vale 2 m. (Volume de uma esfera de raio r. V= 4nr/3.)

**12) Um cubo de metal, que est sendo aquecido, mantm sua forma. Uma aresta aumenta a uma taxa que, no instante t0, vale 0,05 cm/s, instante no qual a aresta mede 10 cm. Calcule a taxa de expanso do volume do cubo no instante t0.

**13) Uma moeda que est sendo aquecida, mantm sua forma. Calcule o quociente entre a taxa de variao com o tempo da rea de uma face e a taxa de variao com o tempo do dimetro, num instante em que o dimetro mede l cm.

**14) Uma escada de 4 m de comprimento, apoia-se, durante seu movimento, no cho e na parede vertical. Em um instante t0, o seu topo dista 1,8 m do cho, e a sua base afasta-se da parede vertical taxa de 1m/s. Calcule a velocidade escalar do topo no instante t0.

77

**15) Uma escada, apoia-se, durante seu movimento, no cho e na parede vertical. a) Mostre que as velocidades do topo e da base tm (quando no-nulas), sinais contrrios. b) Em um certo instante, as velocidades do topo e da base so, ao menos de sinal, iguais. Determine a medida do ngulo agudo que ela faz, no instante considerado, com o cho.

16) A altura em metros de um objeto lanado por uma mquina do nvel do solo diretamente para cima, com uma velocidade inicial de 50 m/s, dado por s = - 16t + 50t, onde t o tempo em segundos. a) Qual a velocidade do objeto em t = 1s? b) Durante qual intervalo de tempo a velocidade est decrescendo? c) Em qual momento o objeto para? d) Durante qual intervalo de tempo a velocidade est crescendo?

Algumas respostas

2) 50 1,2x

3) -9x + 10x -150

4) -4x + 60 11) 0,8m/s

5) 0,5x + 2000 12) 15cm/s

7) C(351) C(350) - 1,91 e C(350) = -1,93 13) (/2)cm.

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4 SIGNIFICADO DO SINAL DAS DERIVADAS PRIMEIRA E SEGUNDA

4.1 INTRODUO

Esse captulo tambm apresenta mais algumas aplicaes das derivadas, porm tem como objetivo aplicar a derivada na prpria matemtica e no se preocupar com outras cincias, pois mostraremos qual a utilidade da funo primeira derivada e segunda derivada para o esboo e anlise de grficos de diversas funes.Web

4.2 SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA - CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMAFUNODerivada Primeira Aplicao

Observe as funes e as figuras 4.1. As trs funes, medida que o valor de x aumenta o grfico sobe, ou seja, o grfico cresce. (a)4

(b)y 4 3 2 1 x1 2 3 4 5

(c)y 4 3 2 1 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

3 2 1

4

3

2

1 1 2 3 4

2

1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

f(x) = x+1 para x R

f(x) = x - 4 para x ]0,[

f(x) =

x3 + 2 para x R 3

Fig. 4.1 Grficos de funes crescentes em seu intervalo

Observe ainda, que para qualquer ponto pertencente a estes grficos, se traarmos uma reta tangente a este grfico por este ponto, esta reta tambm ser

79

crescente (ver figura 4.2). Isso quer dizer que para qualquer ponto desta funo, nos intervalos dados, a derivada positiva, pois como j vimos anteriormente, a derivada representa a inclinao da reta tangente ao grfico, no ponto (x,(f(x)). (a)4

(b)y 4 3 2 1 x1 2 3 4 5

(c)y 4 3 2 1 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

3 2 1

4

3

2

1 1 2 3 4

2

1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

f(x) = x+1 para x R

f(x) = x - 4 para x ]0,[

f(x) =

x3 + 2 para x R 3

Fig. 4.2 Retas tangentes s curv