Apostila - Cálculo Diferencial e Integral III

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NOTAS DE AULAS PARA ACOMPANHAR A DISCIPLINA DE CÁLCULO II Prof ª. Drª. Fátima Ahmad Rabah

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Apostila de Cálculo Diferencial e Integral III aplicado à Engenharia Civil. Funções de Várias Variáveis, Integrais Múltiplas, Integrais de Linha, Derivadas Parciais, Teorema de Green e Stokes. Prova de Cálculo III, utilizado no curso de Administração. Funções de Várias Variáveis.Prova de Cálculo III, utilizado no curso de Administração. Funções de Várias Variáveis.Prova de Cálculo III, utilizado no curso de Administração. Funções de Várias Variáveis.Prova de Cálculo III, utilizado no curso de Administração. Funções de Várias Variáveis.Prova de Cálculo III, utilizado no curso de Administração. Funções de Várias Variáveis.Prova de Cálculo III, utilizado no curso de Administração. Funções de Várias Variáveis.Prova de Cálculo III, utilizado no curso de Administração. Funções de Várias Variáveis.

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UNIMAR UNIVERSIDADE DE MARLIA

PAGE 8573 Apostila de Clculo II Unimar

NOTAS DE AULAS PARA ACOMPANHAR A DISCIPLINA DE CLCULO IIProf . Dr. Ftima Ahmad RabahMarlia

2 Semestre de 2009EMENTA

* Aplicaes de Derivada

* Integrais

OBJETIVO

* Raciocinar lgica e organizadamente;

* Aplicar com clareza e segurana os conhecimentos adquiridos;

* Utilizar estes conhecimentos em outras situaes que surgiro a longo de sua atividade acadmica.

MTODO DE AVALIAO

* Atividade (Sala de Aula) + Parcial 1 + P1 = 10 pontos* Atividade (Sala de Aula) + Parcial 2 + P2 = 10 pontos

DATAS DE PROVAS

Parcial 1: P1:

Parcial 2: P2:

Substitutiva: Exame:

REFERNCIAS BIBLIOGRFICA BSICA FLEMMING, Diva Marlia, GONALVES, Mirian Buss. Clculo A.: funes, limites, derivao e integrao. So Paulo: Makron Books, 1992.

LARSON, Roland E., HOSTETLER, Robert P., EDWARDS, Bruce H. Clculo com geometria analtica. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

SWOKOWSKI, Earl William. Clculo com geometria analtica. Rio de Janeiro:LTC, 1994.

APLICAES DA DERIVADA

Voc ver como a derivada pode ser interpretada como taxa de variao. Assim sendo, a derivada pode representar conceitos como taxa de crescimento populacional, custo marginal do produtor, velocidade de um objeto mvel, taxa de inflao ou taxa com a qual os recursos naturais esto se esgotando.

Voc provavelmente j percebeu a relao entre derivadas e taxa de variao. A derivada o coeficiente angular da tangente e o coeficiente angular de qualquer reta um nmero que mede sua maior ou menor inclinao em relao ao eixo horizontal.

A anlise do comportamento das funes ser feita detalhadamente usando definies e teoremas que envolvem derivadas.

1. TAXA DE VARIAO E ANLISE MARGINAL

1.1 Velocidade Mdia e Instantnea

Vamos iniciar com uma situao prtica que servir como modelo para uma discusso mais geral.

Imagine um carro se movendo numa estrada reta, sendo S(t) sua distncia aps t horas do ponto de partida. Suponha que voc deseje determinar a velocidade do carro num certo tempo t, mas no possui acesso ao velocmetro do carro. Eis o que voc pode fazer.

Voc precisa conhecer, primeiro, a posio do carro no tempo t e, depois, no tempo t + (t, isto , determinar S(t) e S(t + (t).

Calcule, ento, a velocidade mdia do carro entre t e t + (t como se segue.

Velocidade mdia = =

Como a velocidade do carro varia durante o intervalo de tempo t e t + (t, a velocidade no ser igual velocidade instantnea (a velocidade mostrada no velocmetro) no tempo t. Entretanto, quando (t pequeno, pequena a possibilidade de variaes drsticas de velocidade. Ento, a velocidade instantnea ser uma boa aproximao da velocidade mdia.

Pode-se calcular a velocidade instantnea no tempo t fazendo (t tender a zero na expresso da velocidade mdia.

Note que a expresso da velocidade mdia exatamente a razo incremental encontrada na definio de derivada. Quando (t tende a zero, este quociente tende ao valor da derivada de S. Segue-se que a velocidade instantnea no tempo t justamente a derivada S(t) da funo-distncia.

Definio: A velocidade instantnea de um objeto mvel a derivada S(t) de sua

funo-distncia, isto ,Velocidade = derivada da distncia

Exemplo Encontre a velocidade mdia nos instantes t = 1 e t = 2 de um objeto em queda livre cuja funo posio dada por S(t) = - 4,9t2 + 30, onde S est em metros e t em segundos.

Soluo Derivando, temos que a funo velocidade v(t) = S(t) = - 9,8t.

Portanto, a velocidade em t = 1 v(1) = - 9,8m/s e a velocidade em t = 2 v(2) = 19,6m/s.

Definio: Se S a funo posio de um objeto se movendo em linha reta, ento a acelerao do objeto no instante t dada por

Acelerao =

ou ainda

a(t) = v(t),

onde v(t) a velocidade no instante t.Exemplo Ache a acelerao de um objeto em queda livre cuja funo posio S(t) = - 4,9t2 + 30.

Soluo Do Exemplo anterior sabe-se que a funo velocidade desse objeto v(t) = - 9,8 t. Portanto, a acelerao dada por:

a(t) = v(t) = s(t) = - 9,8 m/s2.

1.2 Taxa de Variao Mdia e Instantnea

Estas idias podem ser usadas em situaes mais gerais. Imagine y sendo uma funo de x, ou seja, y = f(x). Para uma variao de x a x + (x, a variao de y correspondente ser de (y = f(x + (x) f(x).

Assim, a razo incremental:

= =

representa a taxa de variao mdia de y em relao a x.

medida que o intervalo de variao torna-se menor (isto , quando (x tende a zero), a taxa mdia de variao tende ao que voc intuitivamente poderia chamar de taxa de variao instantnea de y em relao a x, e a razo incremental tende derivada .

Logo, a taxa de variao instantnea de y em relao a x justamente a derivada .

Definio: Sendo y = f(x), a taxa de variao instantnea de y em relao a x dada pela derivada f, isto ,

Taxa de variao = Exemplo Se um objeto cai de uma altura de 30m, sua altura S no instante t dada pela funo posio S(t) = - 4,9t2 + 30, onde S medido em metros e t em segundos. Encontre a taxa de variao mdia da altura nos intervalos:(a) [1,2] (b) [1;1,5]

Soluo (a) Para o intervalo [1,2] temos:

t = 1 ( S(1) = - 4,9(1)2 + 30 = - 4,9 + 30 = 25,1

t = 2 ( S(2) = - 4,9(2)2 + 30 = - 19,6 + 30 = 10,4

O objeto cai de uma altura de 25,1m para 10,4m, logo, a taxa de variao mdia

.

(b) Para o intervalo [1;1,5] temos:

t = 1 ( S(1) = - 4,9(1)2 + 30 = - 4,9 + 30 = 25,1

t = 1,5 ( S(1,5) = - 4,9(1,5)2 + 30 = - 11,025 + 30 (19

A taxa de variao mdia

.

OBS: Note que as velocidades mdias no Exemplo anterior so negativas, indicando que o objeto est se movimentando para baixo.

Exemplo: Estima-se que daqui a x meses a populao de uma certa comunidade ser de P(x) = x2 + 20x + 8000.

(a) Daqui a 15 meses, qual ser a taxa de variao da populao desta comunidade?

(b) Qual ser a variao real sofrida durante o 16 ms?Soluo (a) A taxa de variao da populao a derivada da funo-populao, ou seja,

Taxa de variao = P(x) = 2x + 20.

Como

P(15) = 2.15 + 20 = 30 + 20 = 50,

conclui-se que, daqui 15 meses, a populao crescer de 50 habitantes por ms.

(b) A variao real sofrida durante o 16 ms ser a diferena entre a populao ao final dos 16 meses e a populao ao final dos 15 meses, isto ,

Variao da populao =

= [(16)2 + 20.16 + 8000] - [(15)2 + 20.15 + 8000]

= 51 habitantes.

No exemplo anterior, a razo da diferena entre a variao real da populao durante o 16 ms [item (b)] e a taxa mensal de variao da populao [item (a)] no incio daquele ms que a taxa de variao da populao se modificou durante o ms. A taxa de variao no item (a) pode ser considerada como a variao ocorrida durante o 16 ms, caso a taxa de variao da populao permanea constante.

1.3 Anlise Marginal em Economia

Estamos supondo que, quando se comea um processo produtivo, visa-se o maior lucro possvel. Ainda no sabemos o que quer dizer o maior possvel, mas intuitivo que estamos querendo maximizar lucro.

Um dos conceitos mais importantes da microeconomia o conceito de custo marginal(Cmg). Podemos, de forma bem simples, dizer que custo marginal a variao no custo total devido a um pequeno acrscimo na quantidade produzida. Mas formalmente temos:

Definio: Dada C(x) uma funo custo, o custo marginal : Cmg (x) = .

Vamos entender melhor este conceito com um exemplo.

Exemplo 1 Suponha que uma firma possui uma mquina produzindo 1.000 unidades de um produto por dia.

Se a mquina tem seu custo marginal igual a 5, para se produzir mais uma unidade, a 1.001, necessrio um custo adicional (C. Como Cmg(x) = = C(x), temos que para (x = 1, (y = C(x). Portanto, o custo adicional (C, no nosso caso, para se produzir a 1.001 unidade, 5.

Obs: Custo marginal medida em reais por unidade e, freqentemente, uma boa aproximao do custo de produo de uma unidade adicional.

Exemplo 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de C(q) = 3q + 5q + 10.

(a) Deduza a frmula do custo marginal.

(b) Qual o custo marginal de 50 unidades produzidas?

(c) Qual o custo real de produo da 51 unidade?

Soluo (a) O custo marginal a derivada C(q) = 6q + 5.

(b) Quando so produzidas 50 unidades, q = 50 e o custo marginal de C(50) = 305 reais por unidade.

(c) O custo real de produo da 51 unidade a diferena entre o custo de produo de 51 unidades e o custo de produo de 50 unidades, ou seja,

Custo da 51 unidade = [C(51) C(50)]/(51 50) = 8068 7760 = R$ 308,00.

1.4 Porcentagem de Variao

Em muitas situaes prticas, a taxa de variao de uma quantidade no to significativa quanto sua porcentagem de variao. A taxa de variao anual de uma parcela de 500 pessoas numa cidade de 5 milhes de habitantes, por exemplo, nada representar em relao populao, enquanto que a mesma taxa poderia causar um enorme impacto numa cidade de 2000 habitantes. A porcentagem de variao compara a taxa de variao de uma quantidade com o valor desta quantidade:

Porcentagem de variao de Q = 100.

A taxa de variao de 500 pessoas por ano na populao de uma cidade de 5 milhes de habitantes acarreta uma porcentagem de variao de somente da populao por ano. Porm, a mesma taxa de variao numa cidade de 2000 habitantes acarreta uma porcentagem de variao de da populao por ano.

Eis a frmula da porcentagem de variao escrita em termos de derivadas.

Definio: Sendo y = f(x), a porcentagem de variao de y em relao a x dada pela frmula Porcentagem de variao = 100 .

Exemplo O produto nacional bruto de um certo pas era de N(t) = t + 5t + 100 bilhes de dlares t anos aps 1970.

(a) Qual a taxa de variao do produto nacional bruto, em 1975?

(b) Qual a porcentagem de variao do produto nacional bruto, em 1975?

Soluo (a) A taxa de variao ser a derivada N(t) = 2t + 5. A taxa de variao, em 1975, de N(5) = 2(5) + 5 = 15 bilhes de dlares por ano.

(b) a porcentagem de variao, em 1975, de ao ano.

EXERCCIOS1. Estima-se que daqui a t anos a circulao de um jornal local ser de C(t) = 100t + 400t + 5000.

(a) Deduza a expresso da taxa de variao da circulao do jornal daqui a t anos.

(Resp. C(t) = 200t + 400)

(b) Qual ser a taxa de variao da circulao daqui a 5 anos? A circulao aumentar ou diminuir? (Resp. crescendo com uma taxa de 1 400 por ano)

(c) Qual ser a variao da circulao durante o 5 ano? (Resp. 1 300)2. Um estudo sobre a eficincia do turno da manh de uma fbrica indica que, em mdia, um operrio, chegando ao trabalho s 8 horas, montar f(x) = - x + 6x + 15x rdios x horas depois.

(a) Deduza a expresso da taxa qual o operrio montar rdios x horas depois.

(Resp. f(x) = -3x2 + 12x + 15)

(b) A que taxa o operrio estar montando rdios s 9 horas da manh?

(Resp. 24 rdios por hora)(c) Quantos rdios sero montados pelo operrio entre 9 e 10 horas da manh?(Resp. 26 rdios)3. Estima-se que daqui a t anos a populao de uma certa comunidade suburbana ser de P(t) = 20 6/ (t + 1) milhares de habitantes.

(a) Deduza a expresso da taxa de variao da populao em relao ao tempo.

(Resp. P(t) = 6/ (t + 1)2 milhares por ano)(b) Qual ser a taxa de crescimento da populao daqui a 1ano? (Resp. 1 500 por ano)(c) Qual ser o crescimento da populao durante o 2 ano? (Resp. 1 000)(d) Qual ser a taxa de crescimento da populao daqui a 9anos? (Resp. 60 por ano)4. O ganho total de fabricao de um certo produto de R(q) = 240q + 0,05q reais, onde q o nmero de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante est produzindo 80 unidades por dia e pretende elevar este nmero de 1 unidade.

(a) Use anlise marginal para estimar o ganho adicional produzido pela 81 unidade. (Resp. R$ 248,00)(b) Use a funo de ganho para calcular o ganho adicional real produzido pela 81 unidade. (Resp. R$ 248,05)-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. REGRA DA CADEIA

Em muitas situaes prticas, a quantidade em estudo dada como funo de uma varivel que, por sua vez, uma funo de uma outra varivel. Nesse caso, a taxa de variao da quantidade em relao segunda varivel igual taxa de varivel da quantidade em relao primeira varivel multiplicada pela taxa de variao da primeira varivel em relao segunda.

Suponha que, por exemplo, o custo total de produo de uma certa fbrica seja funo do nmero de unidades produzidas que, por sua vez, funo do nmero de horas de funcionamento da fbrica. Sejam C, q e t o custo (em reais), o nmero de unidades e o nmero de horas, respectivamente. Ento,

e

Como a taxa de variao do custo em relao ao tempo tambm dada pela derivada , segue-se que

Esta frmula um caso particular de uma regra importante denominada regra da cadeia.

Definio: Seja y funo de u e u funo de x. Ento, y pode ser considerado como funo de x e

ou seja, a derivada de y em relao a x a derivada de y em relao a u multiplicada pela derivada de u em relao a x.2.1 Taxas Relacionadas

Em muitos problemas, uma quantidade dada como funo de uma varivel que, por sua vez, pode ser reescrita como funo de uma segunda varivel. O objetivo calcular a taxa de variao da quantidade original em relao segunda varivel. Estes problemas so, s vezes, denominados problemas de taxas relacionadas e podem ser resolvidos com auxlio da regra da cadeia. Eis um exemplo.

Exemplo Um estudo do meio ambiente de uma comunidade suburbana conclui que a taxa mdia diria de monxido de carbono no ar de C(p) = partes por milho, quando a populao de p milhares. Estima-se que daqui a t anos a populao ser p(t) = 3,1 + 0,1 t milhares. Qual ser a taxa de variao, em relao ao tempo, da taxa de monxido de carbono daqui a 3anos?

Soluo O objetivo calcular , quando t = 3. Calcule primeiro as derivadas.

e

Quando t = 3,

p = p(3) = 3,1 + 0,1. (3) = 4

logo,

e

.

Usando a Regra da Cadeia conclumos que:

partes por milho por ano.

EXERCCIOS1. Suponha que x e y so funes diferenciveis de t, relacionadas pela equao y = 5x2 + 1. Encontre dy/dt quando x = 2, sabendo que dx/dt = 3 quando x = 2.

(Resp. 60)

2. Estima-se que daqui a t anos a populao de uma certa comunidade suburbana ser de p(t) = 20 6/(t + 1) milhares. Um estudo do meio ambiente indica que a taxa mdia do monxido de carbono no ar de partes por milho, quando a populao de p milhares. Qual ser a taxa de variao, em relao ao tempo, da taxa de monxido de carbono, daqui a 2 anos? (Resp. 0,31 partes por milho por ano)3. Diferenciao Implcita e Taxas Relacionadas

Vimos anteriormente como usar a regra da cadeia para resolver certos tipos de problemas de taxas relacionados. Nestes problemas, uma varivel era dada como funo de uma segunda varivel que, por sua vez, poderia ser escrita como funo de uma terceira. Neste tpico, voc aprender uma tcnica ligeiramente diferente de resoluo de problemas de taxas relacionadas, dos quais voc possui apenas informaes sobre a taxa de variao de algumas variveis e, no, frmulas explcitas relacionando todas as variveis. Esta tcnica est ilustrada no exemplo a seguir.

Exemplo Um estudo do meio ambiente de uma comunidade indica que existiro Q(p) = p + 3p + 1 200 unidades de substncias poluindo o ar, quando a populao for de p milhares de habitantes. A populao atual de 30 000 habitantes e est crescendo numa taxa de 2 000 habitantes por ano. De quanto o nvel de ar poludo est aumentando?

Soluo Sendo t a medida de tempo (em anos), a taxa de variao do nvel de poluio em relao ao tempo e a taxa de variao da populao em relao ao tempo . Neste problema, voc sabe que = 2 e o objetivo calcular , quando p = 30. Voc consegue isto, derivando em relao a t ambos os membros da equao:Q = p + 3.p + 1 200.

Para no se esquecer de p uma funo de t, substitua temporariamente p por p(t) e reescreva a equao sob a forma:Q = [p(t)] + 3.p(t) + 1 200.

Derive agora ambos os membros em relao a t (diferenciao implcita), usando a regra de cadeia para potncias, quando derivar [p(t)] e, usando a regra da constante multiplicada, quando derivar 3.p(t). Voc obter

ou simplesmente,

.

Substitua agora, na equao, os valores p = 30 e = 2, obtendo

Assim, a taxa de crescimento atual do nvel de ar poludo de 126 unidades por ano.

Exemplo 2 Um menino de 1 m de altura caminha se afastando de um poste de luz de 6 m de altura, numa velocidade de 0,7 m/s. Qual a taxa de crescimento da sombra do menino?

Soluo Seja x o comprimento (em metros) da sombra do menino e y a distncia entre o menino e o poste, como mostra a figura, e seja t o tempo (em segundos).

Fig. Posies relativas do poste e do meninoSabe-se que = 0,7 e o objetivo calcular . Pela semelhana dos tringulos ABC e DEC, obtm-se a proporo , ou seja, x = .Derivando ambos os lados desta equao em relao a t, obtm-se

.

Substituindo= 0,7 na igualdade, tem-se:

,

ou seja, a taxa de crescimento da sombra do menino de 0,14m/s.

Exemplo 3 Um tanque de gua tem o formato de um cone invertido de 20 metros de altura e 5 metros de raio da base circular. O tanque tem vazamento constante de 2m de gua por minuto. Com que velocidade o nvel da gua estar descendo, quando a profundidade da gua for de 8 metros?

Soluo Seja V0 volume de gua no tanque aps t minutos, h o nvel de gua correspondente e r o raio da superfcie de gua, como mostra a figura.

Voc sabe que ( o sinal negativo indica que o volume decrescente) e o objetivo calcular , quando h = 8.

Comece com a frmula, do volume do cone:

Da semelhana de tringulos, voc obtm a proporo

,

resultando numa expresso de r em funo de h,

.

Substituindo esta expresso na equao do volume, voc obtm

Derive ambos os membros desta equao em relao a t. Voc obter

Substitua na equao os valores h = 8 e e resolva a equao em , obtendo

Fig. Tanque de gua com formato de um coneVoc pode concluir, ento, que o nvel da gua est descendo numa taxa de metros por minuto.Exerccios1. Uma pedra jogada em um laguinho de guas calmas, gerando ondas em forma de crculos concntricos. O raio r da onda exterior aumenta a uma taxa constante de 0,3 metro por segundo. A que taxa a rea da gua perturbada est aumentando quando o raio exterior de 1 metro? (Resp. 0,6(m2/s)2. Bombeia-se ar em um balo esfrico a uma taxa de 75 centmetros cbicos por minuto. Encontre a taxa de variao do raio quando seu valor de 5 centmetros. (Resp. 0,24cm/min)3. Um avio est voando a uma altitude de 10 quilmetros em uma trajetria que o levar a passar diretamente acima de uma estao de radar. Seja s a distncia (em quilmetros) entre a estao de radar e o avio. Se s est decrescendo a uma taxa de 650 quilmetros por hora quando s 16 quilmetros, qual a velocidade do avio? (Resp. 833km/h)4. Cascalho est sendo empilhado em uma pilha cnica a uma taxa de 3 metros cbicos por minuto. Encontre a taxa de variao da altura da pilha quando a altura 3 metros.(Suponha que o tamanho do cascalho tal que o raio do cone igual sua altura.) (Resp. 0,106m/min)5. Uma cmera de televiso no nvel do solo est filmando a subida de um nibus espacial que est subindo verticalmente de acordo com a equao s = 15t2, onde s medido em metros e t em segundos. A cmera est a 600 metros do local do lanamento. Encontre a taxa de variao da distncia entre a cmera e a base do nibus espacial 10 segundos aps o lanamento. (Suponha que a cmera e a base do nibus espacial esto no mesmo nvel quando t = 0.) (Resp. 278,54m/s)4. Mximos e Mnimos Relativos em um Intervalo

Grande parte do esforo do clculo dirige-se determinao do comportamento de uma funo f em um intervalo I. Por exemplo, estamos interessados nas seguintes perguntas: f atinge um valor mximo em I ?; Atinge um mnimo em I ?; Onde ela decrescente?. Vamos mostrar neste item, como a derivada pode ser usada para responder essas perguntas. Vamos mostrar tambm, por que essas perguntas so importantes em aplicaes.

4.1 Mximos e Mnimos Relativos

Um mximo relativo de uma funo um pico, o ponto mximo do grfico da funo em relao a qualquer outro ponto vizinho a ele no grfico. Um mnimo relativo um fundo de vale, o ponto mnimo do grfico em relao a qualquer outro vizinho. A funo representada na Fig. 4.1 possui um mximo relativo em x = b e mnimos relativos em x = a e x = c. Note que o mximo relativo no precisa ser o ponto mais alto do grfico, mximo somente em relao aos pontos vizinhos. Da mesma forma, o mnimo relativo no o ponto mais baixo do grfico.

4.2 Funes Crescentes e Decrescentes

Uma funo crescente quando seu grfico cresce medida que x aumenta de valor. Caso contrrio, a funo decrescente. A funo da Fig.4.2 crescente, quando a < x < b e x > c. decrescente, quando x < a e b < x < c.

Fig.4.1 Mximos e Mnimos Relativos

Fig.4.2 Funo Crescente e Decrescente

Conhecendo-se os intervalos nos quais a funo crescente ou decrescente, pode-se facilmente identificar os mximos e mnimos relativos da funo. O mximo relativo ocorre quando a funo deixa de crescente e passa a ser decrescente. Na Fig.4.2, isto ocorre quando x = b. O mnimo relativo ocorre quando a funo deixa de ser decrescente e passa a ser crescente. Na Fig.4.2, isto ocorre quando x = a e x = c.

4.3 Sinal da Derivada

Pode-se reconhecer quando uma funo diferencial crescente ou decrescente atravs do sinal de sua derivada, porque a derivada o coeficiente angular da tangente. Quando a derivada positiva, o coeficiente angular da tangente positivo e a funo crescente. Caso contrrio, quando a derivada negativa, o coeficiente angular negativo e a funo decrescente. A Fig. 4.3 ilustra esta situao.

4.3.1 Significado Geomtrico do Sinal da Derivada

Se f(x) > 0 para todo x em (a, b), ento f crescente em (a, b).

Se f(x) < 0 para todo x em (a, b), ento f decrescente em (a, b).

Se f(x) = 0 para todo x em (a, b), ento, f constante em (a, b).

Fig. 4.3 Significado Geomtrico do Sinal da Derivada

4.4 Pontos Crticos

Como a funo crescente quando sua derivada positiva e decrescente quando sua derivada negativa, os nicos pontos nos quais a funo pode possuir mximos ou mnimos relativos so aqueles nos quais as derivadas so nulas ou indefinidas. O ponto crtico da funo aquele no qual a derivada nula ou indefinida. Todo extremo relativo um ponto crtico, mas nem todo ponto crtico , necessariamente, um extremo relativo.

Fig. 4.4 Trs pontos crticos

4.4.1 Teste da Derivada Primeira

Seja c um nmero crtico de uma funo f contnua em um intervalo aberto I que contm c. Suponha que f diferencivel em todo o intervalo I, exceto possivelmente em c. Ento: 1. Se o sinal de f muda no ponto c, passando de negativo positivo, f(c) um mnimo relativo de f;

2. Se o sinal de f muda no ponto c, passando de positivo negativo, f(c) um mximo relativo de f;

3. Se f no muda de sinal no ponto c, ento f(c) no mximo relativo nem mnimo relativo de f. A Fig. 4.4 ilustra a situao.

Exemplo 1 Determine onde a funo f(x) = 2x + 3x - 12x 7 crescente e onde decrescente, calcule seus extremos relativos e construa o grfico correspondente.

Soluo Comece, calculando e fatorando a derivadaf(x) = 6x + 6x 12 = 6(x + x 2) = 6(x 1)(x + 2)

Atravs da forma fatorada da derivada, voc percebe que f(x) = 0, quando x = - 2 e x = 1. Como f(- 2) = 13 e f(1) = - 14, segue que os pontos crticos so (- 2, 13) e (1, - 14). Inicie a construo do grfico, colocando estes pontos crticos (Ver Fig. 3.5).

Para determinar onde a funo crescente e onde decrescente, observe os sinais da derivada, quando x < - 2, - 2 < x < 1 e x > 1.

Quando x < - 2, tanto (x 1), quanto (x + 2) so negativos; logo, a derivada f(x) = 6(x 1)(x + 2) positiva. Portanto, f crescente, neste intervalo.

Quando - 2 < x < 1, o termo (x 1) negativo, enquanto (x + 2) positivo. Logo, a derivada negativa e f decrescente, neste intervalo.

Finalmente, x > 1, tanto (x 1), quanto (x + 2) so positivos. Logo, a derivada positiva e f crescente, neste intervalo.

Eis uma tabela que resume estas observaes.

Intervalo Sinal de f(x) Funo Crescente ou Decrescente

x < - 2+Crescente

- 2 < x < 1-Decrescente

x > 1+Crescente

Fig. 4.5 Construo do GrficoExemplo 2 Determine onde a funo f(x) = 2 + (x 1) crescente e onde decrescente, calcule seus extremos relativos e construa o grfico correspondente.

Soluo Para conhecer os pontos crticos, calcule a derivada

f(x) = 3(x 1),

que igual a zero, quando x = 1. O ponto crtico correspondente (1, 2).

Para determinar onde a funo crescente e onde decrescente, observe o sinal da derivada, quando x < 1 e x > 1.

IntervaloSinal de f(x)Funo Crescente ou Decrescente

x < 1+Crescente

x > 1+Crescente

Construa o grfico usando esta informao, como mostra a Fig. 4.6. Note que, como f crescente em ambos os lados do ponto crtico (1, 2), este ponto no mximo nem mnimo relativo.

Fig. 4.6 Grfico de y = 2 + (x 1)

5. Mximos e Mnimos Absolutos

Na maioria dos problemas prticos de otimizao, o objetivo calcular o mximo absoluto ou o mnimo absoluto de uma certa funo num intervalo e, no, o mximo relativo. O mximo absoluto de uma funo num intervalo o maior valor da funo neste intervalo. O mnimo absoluto o menor valor.

Freqentemente, os extremos absolutos coincidem com os relativos. No intervalo a ( x ( b, o mximo absoluto e o mximo relativo da Fig. 5.1 coincidem, porm o mnimo absoluto ocorre na extremidade x = a, que no um mnimo relativo.

Mnimo Absoluto

Fig. 5.1 Extremos absolutos

5.1 Extremos Absolutos em Intervalos Fechados

Um intervalo fechado um intervalo da forma a ( x ( b, ou seja, um intervalo que contenha suas duas extremidades. Uma funo contnua num intervalo fechado alcana um mximo absoluto e um mnimo absoluto no intervalo. O extremo absoluto pode coincidir com o extremo relativo ou ocorrer no extremo x = a ou x = b. A Fig.5.2 ilustra estas possibilidades.

O Mnimo Absoluto coincide O Mnimo Relativo ocorrecom o Mnimo Relativo numa extremidade

Mximo Absoluto coincide O Mximo Absoluto ocorrecom o Mximo Relativo numa extremidade

Fig. 5.2 Extremos absolutos de uma funo contnua num intervalo fechado 5.1.1 Roteiro para calcular Extremos Absolutos de uma funo Contnua f num Intervalo fechado a ( x ( b.

1 Passo: Encontre os nmeros crticos de f no intervalo a ( x ( b (ou seja, f(x) = 0)

2 Passo: Calcule f(x) em cada um dos nmeros crticos e nas extremidades x = a e x = b.

3 Passo: O maior desses valores o mximo absoluto e o menor o mnimo absoluto.

Exemplo 1 Encontre o mximo e o mnimo absoluto de f(x) = 3x4 4x no intervalo [- 1, 2].

Soluo Para encontrar os nmeros crticos, derivamos, obtendo

f(x) = 12x 12x = 0 Faa f(x) = 0

12x(x 1) = 0 Fatore

x = 0 e x = 1 Nmeros crticos

Como f(x) est definida para todo x, esses so os nicos nmeros crticos de f. Finalmente, calculando f nesses pontos crticos e nos extremos do intervalo, temos que o mximo f(2) = 16 e que o mnimo f(1) = - 1.

Exemplo 2 Por vrias semanas, o Servio de Trnsito vem pesquisando a velocidade do trfego numa auto-estrada. Verificou-se que num dia normal de semana, tarde, entre 1 e 6 horas, a velocidade do trfego de aproximadamente v(t) = 2t3 21t2 + 60t + 40 quilmetros por hora, onde t o nmero de horas transcorridas aps o meio-dia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o trfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente?

Soluo O objetivo calcular o mximo absoluto e o mnimo absoluto da funo V(t) no intervalo [1, 6]. Da derivada V(t) = 6t - 42t + 60 = 6(t 2).(t 5), voc obtm as coordenadas t dos pontos crticos t = 2 e t = 5, ambas pertencendo ao intervalo [1, 6].

Calcule agora V(t) para estes valores de t para as extremidades t = 1 e t = 6, obtendoV(1) = 81 V(2) = 92 V(5) = 65 V(6) = 76.

Como o maior destes valores V(2) = 92 e o menor V(5) = 65, voc pode concluir que o trfego se move mais rapidamente s 2 horas da tarde, com velocidade de 92km/h, e mais devagar s 5horas da tarde, com velocidade de 65km/h.

6. Derivada Segunda

Em muitos problemas prticos, procura-se determinar quando a taxa de variao de uma certa quantidade a maior ou a menor possvel. Um fabricante, por exemplo, deseja saber quando o operrio estar trabalhando mais eficientemente, ou seja, quando a produo deste operrio ser a maior possvel. O Servio de Trnsito deseja determinar quando o trfego numa certa estrada o mais intenso possvel. Um economista deseja predizer o pico da taxa de inflao.

Para determinar quando a taxa de variao de uma funo a maior ou a menor possvel, calcule primeiro a derivada da funo para obter sua taxa de variao.

Feito isto, maximize ou minimize esta taxa, usando as tcnicas de otimizao aprendidas nos itens anteriores. Para isto, voc precisa derivar novamente e trabalhar com a derivada da derivada da funo original. Esta derivada da derivada a derivada segunda da funo. Eficincia Mxima de um Operrio

Eis uma situao prtica que pode ser analisada com a ajuda da derivada segunda. O nmero de unidades que um operrio pode produzir em x horas usualmente dado por uma funo igual a do grfico. Produo Total

n de horas

O grfico mostra que, no incio, a taxa de produo baixa, porm, quando o operrio se acostuma rotina, a taxa aumenta, chegando a um tempo de eficincia mxima, aps o qual a fadiga faz com que a taxa de produo decresa.

O momento de eficincia mxima (s vezes chamado de ponto de retornos reduzidos) o tempo no qual maior a taxa de produo do operrio. Em termos geomtricos, o ponto no qual a curva da funo de unidades produzidas mais ngreme. O prximo exemplo mostra como calcular o ponto mximo de eficincia usando a derivada segunda.

Exemplo Um estudo da eficincia do turno da manh de uma fbrica indica que um operrio mdio, chegando ao trabalho s 8 horas, ter montado Q(t) = - t + 9t + 12t unidades t horas depois. A que horas da manh o operrio trabalha mais eficientemente?

Soluo

A taxa de produo do operrio a derivada

R(t) = Q(t) = - 3t + 18t +12.

Supondo que o turno da manh seja de 8 horas ao meio-dia, o objetivo maximizar a funo R(t) no intervalo 0 ( t ( 4. A derivada de R

R(t) = Q(t) = - 6t +18,

que nula, quando t = 3. Comparando

R(0) = 12 R(3) = 39 R(4) = 36

voc pode concluir que a taxa de produo ser maior e que o operrio trabalhar mais eficientemente quando t = 3, ou seja, s 11 horas.

Fig. 6.0 Curva de produo e mdia de produo correspondente

O grfico do nmero de unidades produzidas Q(t) e de sua derivada, a mdia de produo R(t), est ilustrado na Fig. 6.0. Note que a curva de produo mais ngreme quando t = 3.

6.1 Concavidade

O ponto de retornos reduzidos da curva de produo da Fig. 6.0 (a) ocorre quando t = 3. Antes deste ponto, a taxa de produo do operrio crescente e aps este ponto, decrescente. Em termos geomtricos, o sentido da curva de produo contrrio ao movimento dos ponteiros do relgio, em t < 3, e a favor, em t > 3. Usam-se as seguintes noes de concavidade para descrever o sentido da curva.

6.1.1 Definio de Concavidade

Uma curva dita ter concavidade para baixo (cncava), quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros do relgio, ao percorrer a curva da esquerda para direita.

Uma curva dita ter concavidade para cima (convexa), quando sua tangente se move no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio, ao percorrer a curva da esquerda para direita.

A curva da Fig. 6.1, por exemplo, tem concavidade para cima, quando x < a e concavidade para baixo, quando x > a.

Concavidade

para Baixo

Concavidade

para CimaFig. 6.1 Concavidades

Quando a curva tem concavidade para cima (Fig. 6.2a), o coeficiente angular de sua tangente cresce, quando x aumenta de valor. Quando a curva tem concavidade para baixo (como na Fig. 6.2b), o coeficiente angular decresce, quando x aumenta de valor.

Fig. 6.2 Concavidades e coeficiente angular da tangente

6.1.2 Sinal da Derivada Segunda

A relao entre concavidades e coeficiente angular da tangente determina uma caracterizao simples de concavidades em termos de sinal da derivada segunda.

Suponha que a derivada segunda f seja positiva num intervalo. Logo, a derivada primeira f crescente no intervalo. Mas f o coeficiente angular da tangente, portanto, crescente e a curva do grfico de f tem concavidade para cima no intervalo. Por outro lado, se f negativa no intervalo, ento, f decrescente. Logo, o coeficiente angular da tangente decrescente e a curva do grfico de f tem concavidade para baixo no intervalo.

6.1.2.1 Significado Geomtrico do Sinal da Derivada

Se f(x) > 0 para todo x em I, ento o grfico de f convexo em I.

Se f(x) < 0 para todo x em I, ento o grfico de f cncavo em I.

Exemplo Determine os intervalos abertos nos quais o grfico de f(x) = 6.(x + 3) - 1 cncavo (f(x) < 0) ou (f(x) > 0) convexo .

Soluo Observe em primeiro lugar, que f contnua em toda a reta real. A segunda derivada de f

f(x) = (-6).(2x).(x + 3) - 1 = -12x.(x + 3) - 2 .

.

Como f(x) = 0 em x = (1 e f est definida em toda a reta, os intervalos para teste so (-(, -1), (-1, 1) e (1, (). A tabela a seguir apresenta os resultados do teste.

Intervalo- ( < x < - 1- 1 < x < 11 < x < (

Valor para testex = - 2x = 0x = 2

Sinal de f(x)f(- 2) > 0f(0) < 0f(2) > 0

ConclusoConvexaCncavaConvexa

6.2 Pontos de Inflexo

Na Fig. 6.1 possui um ponto x = a onde a concavidade muda. Um ponto deste tipo chamado um ponto de inflexo.

6.2.1 Definio de Pontos de Inflexo

Seja f uma funo cujo grfico tem reta tangente no ponto (c, f(c)). O ponto (c, f(c)) um ponto de inflexo se o grfico muda de concavidade neste ponto.

NOTA: Seja (c, f(c)) um ponto de inflexo. Ento, ou f(c) = 0, ou fno est definida em x = c.

Exemplo Determine os pontos de inflexo discuta a concavidade do grfico de f(x) = x4 4x.

Soluo Diferenciando duas vezes, temosf(x) = 4x - 12x

f(x) = 12x - 24x = 12x(x 2).

Os possveis pontos de inflexo esto localizados em x = 0 e x = 2. Efetuando testes nos intervalos por eles determinados, conclumos que ambos so pontos de inflexo. A tabela a seguir, mostra o resumo dos testes.Intervalo- ( < x < 00 < x < 22 < x < (

Valor para testex = - 1x = 1x = 3

Sinal de f(x)f(- 1) > 0f(1) < 0f(3) > 0

ConclusoConvexaCncavaConvexa

6.3 Teste da Derivada Segunda

Eis um teste simples, envolvendo o sinal da derivada segunda, que auxiliar voc na classificao dos pontos crticos de primeira ordem.

Seja f uma funo tal que f(c) = 0 e cuja derivada segunda existe em um intervalo aberto contendo c.

1. Se f(c) > 0, ento c um mnimo relativo.

2. Se f(c) < 0, ento c um mximo relativo.

3. Se f(c) = 0, nada se pode afirmar.

A Fig. 6.3(a) mostra como, num mximo relativo, f possui concavidade para baixo; logo f(c) ( 0.

A Fig. 6.3 (b) mostra como, num mnimo relativo, f possui concavidade para cima; logo f(c) ( 0. As Figs. 6.3 (c) e 6.3 (d) mostram que, se em algum ponto f(c) = 0 no for um extremo relativo, ser, ento, um ponto de inflexo. Neste caso, se f(c) for definida, ento, ser nula. Segue-se que, se f(c) = 0 e f(c) < 0, o ponto crtico correspondente ser um mximo relativo, enquanto que, f(c) = 0 e f(c) > 0, o ponto crtico correspondente ser um mnimo relativo.

Fig. 6.3 Comportamento da curva do grfico, quando a derivada primeira nula.

Exemplo Use o teste da derivada segunda para calcular o mximo e o mnimo relativos da funo f(x) = 2x + 3x - 12x 7.

Soluo Como a derivada

f(x) = 6x + 6x 12 = 6(x 1)(x + 2)

nula em x = - 2 e x = 1, os pontos correspondentes (- 2, 13) e (1, - 14) so pontos crticos de primeira ordem de f. Para testar estes pontos, calcule a derivada segunda

f(x) = 12x + 6

e calcule seu valor, para x = - 2 e x = 1. Comof(- 2) = -18 < 0,segue-se que (- 2, 13) um mximo relativo, e como f(1) = 18 > 0,

segue-se que (1, - 14) um mnimo relativo.

Exerccios1. Determine onde a funo dada crescente e onde decrescente, calcule seus extremos relativos e construa o grfico correspondente.

(a) f(x) = x3 + 3x2 + 1 (b) f(x) =

2. Determinar as dimenses de um retngulo de rea mxima, a ser construdo com arame de 100 cm de comprimento. (Resp. l = 25 cm)3. Uma empresa tem acompanhado a resposta do mercado para diversas quantidades oferecidas de um produto, e chegou concluso de que o preo evolui com a quantidade oferecida, segundo o modelo: p = 100 0,2q, 200 ( q ( 300. Que quantidade dever ser oferecida ao mercado para que a receita seja mxima? (Resp. q = 250)Obs: Receita = preo x quantidade de produtos, ou seja R = p.q)

4. Uma empresa tem acompanhado o custo devido produo e comercializao de q unidades de seu produto e conclui que seu modelo que descreve aproximadamente o comportamento do custo em funo da quantidade produzida de C(q) = q - 2.650q + 1.000 para 0 < q < 45 unidades. Se a empresa vende a unidade de seu produto a R$ 50,00, qual a quantidade que deve ser comercializada para ter lucro mximo? (Resp. q = 30).5. Um dos parmetros de custo em uma empresa o custo mdio por unidade produzida. Um objetivo a ser perseguido encontrar a quantidade a ser produzida dentro de determinadas condies, de tal forma que o custo mdio de produo () seja o menor possvel.

Suponha que o custo de produo de um bem em uma empresa possa ser descrito pela equao C(q) = q - 50q + 2.500, 40 < q < 80. Calcule a quantidade q a ser produzida para que o custo mdio de produo seja mnimo.(Resp. q = 50)6. Calcule o mximo e o mnimo absolutos (se existentes) da funo dada no intervalo especificado.(a) f(x) = x2 + 4x + 5 ; [-3, 1] (b) f(x) = 2x3 + 3x2 12x 7; [-3, 0]7. Determine onde a funo dada crescente, decrescente, onde tem concavidade para cima e para baixo. Calcule os extremos relativos e os pontos de inflexo; construa o grfico correspondente.

(a) f(x) = x3 9x + 2 (b) f(x) = x4 - 4x3 + 10

INTEGRAO

Sabemos que, dada uma funo f(x) = 3x2, ao derivarmos f(x) obtemos f(x) = 6x. Digamos que temos f(x) = 6x, podemos afirmar que f(x) = 3x2 pois (3x2) = 6x; a este processo damos o nome de ANTIDERIVAO, ou seja, o processo que determina a funo original (Primitiva) a partir de sua derivada.

Vamos utilizar a notao F(x) como antiderivada de f(x).

OBS: Seja F(x) uma antiderivada de f(x), ento F(x) + C tambm o , onde C uma Constante de Integrao, por exemplo:

F(x) = x4, G(x) = x4 + 3, H(x) = x4 5 so antiderivadas de 4x3, pois a derivada de cada uma delas 4x3. Logo, todas as antiderivadas de 4x3 so da forma x4 + C. Da o processo de antiderivao nos dar uma famlia de funes que se diferenciam pela constante.

NOTAES:

O processo de antiderivao a operao inversa da derivao e tambm chamada de INTEGRAO e indicamos pelo smbolo ( Integral Indefinida ), como tal indica uma famlia de antiderivadas de f(x), temos :

Lembrando que F(x) uma funo tal que F(x) = f(x) e C uma constante arbitrria, smbolo de integral, dx diferencial, f(x) integrando.

Exemplos :

Clculo de Antiderivadas (Integrais)

A diferenciao o inverso da integrao.

A integrao o inverso da diferenciao.

Frmulas fundamentais de Integrao

a ) com k : cte. ( Regra da Constante )

b ) ( Regra do Mltiplo constante )

c ) ( Regra da Soma )

d ) ( Regra da Diferena )

e ) com n -1 ( Regra Simples da Potncia )

Obs. : com x > 0.

Exemplos :

Acompanhe os passos bsicos para uma boa integrao :

1 ) .

x = x1 e Simplificando

2 ) .

3 ) .

OBS.: Para verificarmos se o resultado est correto, basta deriva-lo e tentar obter o Integrando.Exerccios:

Resolva as Integrais :

1 ) 2 ) 3 )

4 ) 5 ) 6 )

7 ) 8)

9) 10)

11) O custo marginal da fabricao de x unidades de um produto tem como modelo a seguinte equao ( Custo Marginal ). A produo da primeira unidade custa $ 50. Ache o Custo Total da produo de 200 unidades.

12) Ache a Funo Custo correspondente ao custo marginal com custo de $ 750 para x = 0.

13) Uma indstria fez uma anlise de suas instalaes de produo e de seu pessoal. Com o atual equipamento e nmero de trabalhadores, a indstria pode produzir 3000 unidades por dia. Estima-se que sem qualquer mudana nas instalaes a taxa de variao do nmero de unidades produzidas por dia em relao variao no nmero de trabalhadores adicionais 80 6x1/2, onde x o nmero de trabalhadores adicionais. Encontre a produo diria, caso se admita mais 25 trabalhadores.

14) Depois de uma experincia, um certo fabricante determinou que se produzissem x unidades de um determinado produto por semana;o custo marginal seria dado por 0,3x 11 onde o custo de produo em reais. Se o preo de venda do produto fixado em R$ 19,00 por unidade, e o custo fixo por semana R$ 100,00, encontre o lucro semanal mximo que pode ser obtido.

15) Ache a equao da funo f(x) cujo grfico passa pelo ponto P ( 4, 2 ) e possui derivada f(x) = .

PS: Resolva Lista de Exerccios Extra Vide Anexo (seo 6.2)

Mtodo da Substituio ou Mudana de Varivel para integrao

Muitas vezes a simples identificao das funes permite fazer a substituio mentalmente; na mudana de varivel, no entanto, escrevemos os clculos intermedirios.

O papel da substituio na integrao comparvel ao da Regra da Cadeia na diferenciao. Lembre-se de que, se y = F(u) e u = g(x) so funes diferenciveis, a Regra da Cadeia diz que

Da nossa definio de antiderivada, segue que

Enunciamos esse resultado no teorema abaixo.

Teorema: (Antiderivada de uma Funo Composta) Sejam f e g funes tais que fog e g so contnuas em um intervalo I. De F uma antiderivada de f em I, ento

Existem diversas tcnicas para aplicar a substituio, cada uma ligeiramente diferente da outra. O objetivo, no entanto, o mesmo com qualquer tcnica estamos tentando encontrar uma antiderivada do integrando.

Observe que o teorema no diz como distinguir entre f(g(x)) e g(x) no integrando. medida que voc adquire experincia em integrao, sua habilidade em identificar as funes aumenta. claro que familiaridade com derivadas fundamental.

Os Exemplos a seguir mostram como aplicar o teorema diretamente, reconhecendo a presena de f(g(x)) e de g(x) da funo interna da composio.

OBS: Se u = g(x), escrevemos du = g(x) dx e a integral no teorema fica na forma

Por exemplo ... Sabemos que a Regra Simples da Potncia dada por com n -1, usada quando a funo expressa como potncia de x somente.

Vejamos outros tipos de funes:

Para calcular temos que encontrar f(x) tal que f(x) = 2x.( x2 + 1 )3, da :

( Regra da Cadeia ).

( Dividir ambos os membros por 4 ). ( Integrando ). Note 2x no integrando ele exatamente ( x2 + 1 ) .

Fazendo x2 + 1 = u, temos du = 2x dx, logo :

.

Da a Regra Geral da Potncia para u funo diferencivel de x ser ...

, com n - 1 .Exemplos : Calcule as seguintes integrais indefinidas :

a ) .

b)

EMBED Equation.3 c)

d)

Exerccios : Calcule as seguintes integrais indefinidas :

1 )

2 )

3 )

4 )

5 )

6)

7)

8)

9)

10)

PS: Resolva Lista de Exerccios Extra Vide Anexo (seo 6.4) Mtodo Integrao por Partes

Tomando como ponto de partida a Derivao pela Regra do Produto temos ...

( Regra do Produto )

( Integrando ambos os lados )

( Reescrevendo a expresso )

( Escrevendo na forma diferencial )

Da temos ...

Integrao por Partes com u e v funes diferenciveis de x.

Ao aplicarmos esta tcnica devemos separar o integrando em duas partes, u e dv, levando em conta duas diretrizes :

1 ) A parte escolhida como dv deve ser facilmente integrvel.

2 ) deve ser mais simples do que .

Exemplos:

1 ) Determine .

Resoluo: a ) u = senx ; dv = xdx Temos basicamente trs sadas : b ) u = x.senx ; dv = dx c ) u = x ; dv = senx dx

Na sada a obtemos du = cosx dx e v = = dv = xdx , logo temos :

, a nova integral que mais complicada do que a original.

du = senx + x.cosxdx

Em b temos :logo, .

v = dv = dx = x

Tentemos pois a sada c ...

Em c temos :

du = 1dx

logo,

v = dv = senx dx = - cosx,

Lembrando ... .

2 ) Idem para .

u = x2 du = 2xdx

Resoluo:

dv = exdx v = ex

Portanto:

.

u = x du = dx

* Da ...

dv = exdx v = exExerccios : Calcule as seguintes integrais indefinidas :

1 )

2 )

3 )

4 )

5 )

6)

7)

8)

PS: Resolva Lista de Exerccios Extra Vide Anexo (seo 6.6)reas e Integral Definida

Podemos determinar a rea de regies simples como polgonos e crculos usando frmulas geomtricas conhecidas.

E para as demais regies, como podemos calcular?

A sada utilizarmos o conceito de Integral Definida, que nada mais do que a rea da regio delimitada pelo grfico de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b onde a notao :

a = Limite inferior de integrao.

, com

b = Limite superior de integrao.

Veja o grfico. . .

y

A

x

ab

Exemplo :

Calcule a rea da figura formada sob a curva da funo f(x) = 3x no intervalo x [ 0, 3 ] .

Resoluo :

y

9

A = 13,5 u.a .

A

x 3

Neste exemplo, no utilizamos o conceito de integral, pois a rea era um tringulo, portanto

.

Veja o desenvolvimento a seguir . . .

y = f(x)

y

Regio sob o grfico de f .

A

0 a b x

Vamos tentar preencher esta rea com retngulos ...

y = f(x)

y

A

0 x0 x1 x2 ............... ................................. xn x

a b

Temos um polgono no regular, que quase preenche a rea A, formado por retngulos de base e altura f(xi), portanto Aretngulo = f(xi)..

Note que quanto menor , maior o nmero de retngulos ( n ) e mais prximo da rea sob a curva vai estar a rea do polgono, logo quando , temos n e Apolig. A .

Da, vamos expandir o conceito de Integral Definida para ...

.

Ou seja, a rea sob a curva a somatria das reas dos retngulos de rea f(xi)., quando e n ( n de retngulos ) .Teorema Fundamental do Clculo

Seja f uma funo contnua em [ a, b ] e A(x) a rea compreendida entre a e x, temos :

y

A(x)

x

ax b

( x +)

Temos: f(x) = A(x) (Def. pelo limite) --- f(x) derivada da integral A(x) .

A(x) = F(x) + C (Def. de Integral).

F(x) = f(x) (Derivada da Integral).

A(a) = 0 , portanto 0 = F(a) + C C = -F(a) .

Da , A(x) = F(x) + C A(x) = F(x) F(a) .

Logo A(b) = F(b) F(a) , portanto temos ...

Teorema Fundamental do Clculo Notao mais comum...

Com F a integral de f(x).

Propriedades das Integrais Definidas

1 ) ; k : cte.

2 ) .

3 ) ; a < c < b .

4 ) .

5 )

Exemplos:

1 ) = 1

2 )

3)

45.

Exerccios : Calcule as seguintes integrais definidas :

1 )

2 )

3 )

4 )

5) onde f(x) =

6)

7) onde f(x) =

PS: Resolva Lista de Exerccios Extra Vide Anexo (Seo 6.10)

Clculo de rea usando o Teorema Fundamental do Clculo

Caso I - Clculo da rea da figura plana limitada pelo grfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f contnua e f(x) ( 0, (x ( [a,b].

y

A

x

a b

Neste caso, a rea dada por

A = Exemplo : Calcule a rea sob a curva y = x2, no intervalo [ 2, 3 ] .

y

y = x2

x

0 2 3

Caso II - Clculo da rea da figura plana limitada pelo grfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos x, onde f contnua e f(x) ( 0, (x ( [a,b].

fcil constatar que neste caso basta tomar o mdulo da integral , ou seja,

A = y

a b x

A

y = f(x)

Exemplo : Encontre a rea limitada pela curva y = x2 - 4x, o eixo x, e as retas x = 1 e x = 3. y

0 1 3 y = x2 - 4x

A

A = u.aCaso III - Clculo da rea da figura plana limitada pelos grficos de f e g, pelas retas x = a, x = b, onde f e g so funes contnuas em [a,b] e f(x) ( g(x), (x ( [a,b].

Neste caso pode ocorrer uma situao particular onde f e g assumem valores no negativos para todo x ( [a,b].

y

y = f(x)

A y = g(x)

a b x

Ento a rea calculada pela diferena entre a rea sob o grfico de f e a rea sob o grfico de g, ou ainda,

Exemplo : Encontre a rea da regio limitada pelas curvas y = x 1 e y = x + 1.

y y = x + 1

y = x2 1 As curvas interceptam-se nos pontos de abscissa 1 e 2.

A

x

No intervalo [-1, 2], x + 1 ( x - 1. Logo,

A = u.aExerccios

1) Encontre a rea da regio limitada pela curva y = x - 2x - 5x + 6, o eixo dos x e as retas x = -1 e x = 2. (Resp. 157/12 ua)2) Encontre a rea da regio limitada pela parbola y = 2x 2 e a reta y = x 5. (Resp. 18 ua)

3) Encontre a rea da regio limitada pelas curvas y = x e y = - x + 4x. (Resp. 8/3 ua)4) Encontre a rea da regio limitada pelas curvas y = x - 6x + 8x e y = x - 4x. (Resp. 71/6 ua)

5) Encontre a rea da regio limitada pelas curvas y - x = 6 e y x = 0 e 2y + x = 0. (Resp. 22 ua)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PS: Resolva Lista de Exerccios Extra Vide Anexo (seo 6.12)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Integrao de Funes Trigonomtricas

Comecemos com uma pequena tabela de Integrais Trigonomtricas ...

Recordando algumas das principais Identidades Trigonomtricas ...

1 Caso As integrais e , e , e .

As integrais indefinidas dessas funes esto indicadas na tabela.

Exemplos Achar as integrais indefinidas :

1 ) =

2 ) =

3 )

4 )

2 Caso As integrais e .

Nestas integrais, podemos usar artifcios de clculo com auxlio das identidades trigonomtricas (ou usar as Frmulas de Recorrncia)

(1)

(2)

(3)

visando a aplicao do mtodo da substituio. Os exemplos que seguem ilustram os dois possveis casos: n um nmero mpar ou n um nmero par.

Estas integrais tambm podem ser resolvidas com auxlio das frmulas de reduo ou recorrncia.

Exemplos Achar as integrais indefinidas :

1) .

( Usando o mtodo da substituioVamos inicialmente preparar o integrando, observando que o artifcio que usaremos vlido sempre que n for um nmero mpar.

Fatorando convenientemente o integrando e aplicando a identidade (1), temos:

cos5 x = (cosx).cosx

= (1 senx) .cosx

= (1 2senx + sen4 x) . cosx

= cosx 2senx.cosx + sen4 x.cosx.

Portanto,

EMBED Equation.3

.

(

( Usando frmulas de reduo ou recorrncia.

2) .

( Usando o mtodo da substituioNeste exemplo n um nmero par. Na preparao do integrando, usamos agora as identidades (2) e (3). Temos:

sen4 x = (senx)

Portanto,

EMBED Equation.3

(

( Usando frmulas de reduo ou recorrncia.

3 Caso A integral , onde m e n so inteiros positivos.

Nestas integrais, a preparao do integrando deve ser feita visando aplicao do mtodo da substituio.

Quando pelo menos um dos expoentes mpar usamos a identidade (1) e quando os dois expoentes so pares usamos (2) e (3) e eventualmente, tambm (1).

Exemplos

Achar as integrais indefinidas :

1)

(

EMBED Equation.3 2)

(

EMBED Equation.3 OBS: Quando m = n usamos a identidade . (4) 4 Caso As integrais , , e onde n inteiro positivo.

Na preparao do integrando, usamos as identidades:

ou

ou .

Os artifcios so semelhantes aos usados nos casos anteriores. Temos,

e

.

Exemplo Achar a integral indefinida:

( Usando o mtodo da substituio

(

OBS: Lembrando que pode ser resolvida usando as frmulas de reduo ou recorrncia.

5 Caso As integrais e , onde m e n so inteiros positivos.

Quando m for mpar ou n for par, podemos preparar o integrando para aplicar o mtodo da substituio.

Quando m for par e n for mpar a integral deve ser resolvida por integrao por partes.

Exemplos

Achar as integrais indefinidas:

( Usando o mtodo da substituio (m mpar e n par)

1)

(

( Usando o mtodo de integrao por partes (m par e n mpar) ou frmulas de recorrncia

2)

.

OBS: Numa situao como essa, aplica-se recorrncia na maior integral (), conservando a menor integral (), para que no final, possa ser subtrada e aplicar novamente a recorrncia, caso seja necessrio.

Exerccios :

1 ) 2 ) 3)

4) 5 )

6 )

7 )

8 ) PS: Resolva Lista de Exerccios Extra Vide Anexo (seo 7.4 1 parte)Mtodo Substituies Trigonomtricas

Vamos estudar agora integrais que apresentem as formas, e .

Podemos express-las sem os radicais, utilizando a chamada Substituio Trigonomtrica conforme a tabela:

CasoRadicalSubst. TrigonomtricaTransformadaTrigonometria no Tringulo Retngulo

I

II

III

Demonstraremos o desenvolvimento do radical , os demais casos so anlogos ...

(

Obs. : Repare que a varivel final . A expresso correspondente, na varivel original,

obtida usando-se um tringulo retngulo.

Exemplos :

1 ) Achar a integral

...

= .

Devemos agora voltar varivel original x ...

Como logo x

2

Da , ,

Portanto , .

2 ) Achar a integral

EMBED Equation.3

.

Voltando para a varivel original x ...

Como logo

x

Da , ,

Portanto , .

3 )

Achar a integral

* Por Partes

...

...

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Portanto,

OBS: Podemos resolver essa integral, usando as frmulas de recorrncia.

Voltando para

EMBED Equation.3 .

Voltando para a varivel original x ...

Como ,

Logo temos ...

x

Da,

Portanto, .

Exerccios:

Achar as integrais:

1 ) 2 ) 3 )

PS: Resolva Lista de Exerccios Extra Vide Anexo (seo 7.4 2 parte)

Integrao de Funes Racionais por Fraes ParciaisSeja f(x) uma funo racional do tipo , onde p(x) e q(x) so funes polinomiais.

1 Caso: Os fatores de q(x) so lineares e distintos, ou seja:

q(x) = (x a1) . (x a2) ... (x an) , onde os a j so distintos.

A decomposio da funo racional em fraes mais simples dada por

,

onde A1 , A2 , ... , An so constantes que devem ser determinadas.Exemplo Calcular I = .

Soluo: Fatoramos o denominador e temos

Assim, escrevemos

(1)

A equao acima uma identidade para todo x (exceto x = 0, 2, - 1). De (1) obtemos

x 1 = A1(x 2).(x + 1) + A2 x. (x + 1) + A3 x. (x 2) (2)

A equao (2) uma identidade verdadeira para todos os valores de x, incluindo 0, 2, - 1. Queremos encontrar as constantes de A1, A2 e A3 . Substituindo x por 0 em (2) obtemos

- 1 = - 2 A1 ou A1 = 1/2.

Substituindo x por 2 em (2) obtemos

1 = 6 A2 ou A2 = 1/6.

Substituindo x por - 1 em (2) obtemos

- 2 = 3 A3 ou A3 = - 2/3.

Existe outro mtodo para encontrar os valores de A1, A2 e A3 . Se no membro direito de (2) combinarmos termos, temos

x 1 = (A1 + A2 + A3 ) x + (- A1 + A2 - 2A3 ) x - 2 A1 (3)

Para (3) ser uma identidade, os coeficientes da esquerda devem se igualar aos coeficientes correspondentes da direita. Portanto,

A1 + A2 + A3 = 0

- A1 + A2 - 2A3 = 1

- 2 A1 = - 1

Resolvendo estas equaes simultaneamente, obtemos A1 = 1/2, A2 = 1/6 e A3 = -2/3. Substituindo estes valores em (1), temos

Assim, nossa integral pode ser expressa como segue:

.2 Caso: Os fatores de q(x) so lineares sendo que alguns deles se repetem. Se um fator linear (x ai) de q(x) tem multiplicidade r, a esse fator corresponder uma soma de fraes parciais da forma:

,

onde B1 , B2 , ... , Br so constantes a determinar.

Exemplo Calcular I = .

Soluo : A frao do integrando escrita como uma soma de fraes parciais como segue:

(4)

A identidade acima vlida para todo x (exceto x = 0, 2). Achando o mmc de ambos os membros de (4) obtemos

x 1 = B1(x 2) + B2 x. (x - 2) + B3 x2 + B4 x2 (x 2) + B5 x (x 2)

oux 1 = B1(x - 6x + 12x 8) + B2 x. (x - 6x + 12x - 8) + B3 x + B4 x - 2B4 x +

B5 x (x 4x + 4)

ou

x 1 = (B2 + B5).x4 + (B1 6B2 + B4 - 4 B5).x3 + (- 6B1 + 12B2 + B3 2B4 + 4 B5).x2 +

(12B1 - 8B2).x 8 B1.

Igualando os coeficientes das potncias iguais de x, obtemos

B2 + B5 = 0

B1 6B2 + B4 - 4 B5 = 1

- 6B1 + 12B2 + B3 2B4 + 4 B5 = 0

12B1 8B2 = 0

8 B1 = -1

Resolvendo, obtemos B1 = 1/8, B2 = 3/16, B3 = 7/4, B4 = 5/4 e B5 = - 3/16.

Substituindo estes valores em (4), temos:

Assim, nossa integral pode ser expressa como segue:

.

3 Caso: Os fatores de q(x) so lineares e quadrticos irredutveis, sendo que os fatores quadrticos no se repetem.

A cada fator quadrtico x + bx + c de q(x), corresponder uma frao parcial da forma:

Exemplo Calcular I = .

Soluo : A frao no integrando escrita como uma soma de fraes parciais como segue:

(5)

A identidade acima vlida para todo x (exceto x = 1). Achando o mmc de ambos os membros de (5) obtemos

x - 2x 3 = (Ax + B).(x 1) + C(x +2x +2)

ou

x - 2x 3 = (A + C).x + (B A + 2C).x + (2C - B)

ou

Igualando os coeficientes das potncias iguais de x, temos

A + C = 1

B A + 2C = - 2

2C B = -3

Resolvendo, obtemos A = 9/5, B = 7/5 e C = - 4/5.

Substituindo estes valores em (5), obtemos:

Assim, nossa integral pode ser expressa como segue:

Ao integrar vemos que o diferencial do denominador 2.(x + 1) dx. Assim, adicionamos e subtramos 1 no numerador, resultando desta forma.

.

Logo temos

.

4 Caso: Os fatores de q(x) so lineares e quadrticos irredutveis, sendo que alguns dos fatores quadrticos se repetem.

A cada fator quadrtico x + bx + c de q(x) tem multiplicidade s, a esse fator corresponder uma soma de fraes parcial da forma:

.

Exemplo Calcular I = .

Soluo : O integrando pode ser escrito na forma

(6)

A identidade acima vlida para todo x (exceto x = 0). Achando o mmc de ambos os membros de (6) obtemos

x + 1 = A.(x + 2x + 3) +x.(Bx + C) + x.( x + 2x + 3).(Dx + E)

= (A + D) x4 + (4A + 2D + E).x + (10A + B + 3D + 2E).x + (12A + C + 3E).x + 9A.

Igualando os coeficientes das potncias iguais de x, temos:

A + D = 0

4A + 2D + E = 0

10A + B + 3D + 2E = 0

12A + C + 3E = 1

9A = 1.

Resolvendo o sistema, obtemos A = 1/9, B = -1/3, C = 1/3, D = -1/9 e E = -2/9.

Substituindo estes valores em (6), obtemos:

Portanto,

,onde

Para resolver a integral I2, completamos o quadrado do denominador e fazemos uma substituio conveniente. Temos,

Fazendo a substituio u = x + 1 e du = dx, vem:

.

Uma integral como I1 no foi vista anteriormente. Para calcul-la, inicialmente, completamos o quadrado do denominador e fazemos a mesma substituio que fizemos para calcular I2. Temos,

(onde u = x + 1)

(usando recorrncia)

.

Substituindo os resultados obtidos para I1 e I2 na integral inicial, obtemos:

+

PS: Resolva Lista de Exerccios Extra Vide Anexo (seo 7.6)

Eficincia

Mxima

EMBED Equation.3

0

A

y = f(x)

0

* Apesar do grfico no demonstrar, (devido a problemas tcnicos) todos os retngulos tocam a curva f(x) em um ou dois pontos. E nunca a ultrapassam.

0

A

y = f(x)

EMBED Equation.3

0

A

y = f(x)

A

A = EMBED Equation.3

A = EMBED Equation.3 u.a

EMBED Equation.3

II

EMBED Equation.3

.

EMBED Equation.3

I

III

*

*

2

EMBED Equation.3

.

EMBED Equation.3

Ver incio do exerccio:

EMBED Equation.3

EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8

Mnimo

relativos

Mnimo

relativos

Mximo

relativos

Decrescente

Crescente

Decrescente

Crescente

Mximo

Absoluto

Concavidade

para baixo

Coef. Angular Nulo

Coef. Angular Nulo

Coeficiente Angular

Positivo

Coeficiente Angular

Positivo

Coeficiente Angular

Negativo

Coeficiente Angular

Negativo

Mximo Relativo (a)

Mnimo Relativo (b)

Ponto de Inflexo (c)

Ponto de Inflexo (d)

4

.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Prof Dr Ftima Ahmad Rabah

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