Apostila Calculo i
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SUMÁRIO
PARTE I - 1 FUNÇÕES ......................................................................................................................3
1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO ..........................................................................................3 1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ...............................................................................................................4 1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO ................................................................................................................5 1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ............................................................6 1.5 FUNÇÃO COMPOSTA....................................................................................................................7 1.6 FUNÇÃO INVERSA .......................................................................................................................8
2 FUNÇÃO POLINOMIAL ..............................................................................................................10
2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU ............................................................................................10
2.1.1 Função linear....................................................................................................................10 2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1
o grau...............................12
2.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau.............................................................13
2.2.1 Resolução de inequações do 1o grau ................................................................................15
2.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau ...................................................................................15
2.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente ......................................................................16
2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU ............................................................................................18
2.3.1 Gráfico de uma função quadrática ...................................................................................18 2.3.2 Concavidade......................................................................................................................19 2.3.3 Zeros de uma função quadrática ......................................................................................19 2.3.4 Vértice da parábola ..........................................................................................................20 2.3.5 Gráfico de uma parábola..................................................................................................20 2.3.6 Estudo do sinal da função quadrática ..............................................................................21
2.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU..........................................................................................................22
2.4.1 Resolução de inequações do 2o grau ...............................................................................22
2.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau ...................................................................................23
2) Inequação-produto e inequação-quociente .......................................................................25
3 FUNÇÃO EXPONENCIAL ...........................................................................................................27
3.1.1 Potências com expoente natural .......................................................................................27 3.1.2 Potências com expoente inteiro ........................................................................................27 3.1.3 Potências com expoente racional .....................................................................................27 3.1.4 Potências com expoente real............................................................................................27
3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS........................................................................................................28 3.2.1 Resolução de equações exponenciais ...............................................................................29 3.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios ..........................................30
3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL .............................................................................................................30 3.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano .......................................................31 3.3.2 Características da função exponencial.............................................................................32
3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS .....................................................................................................32 3.4.1 Resolução de inequações exponenciais ............................................................................32
4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA ...........................................................................................................35
4.2 - CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO .............................................................................................36 4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS .............................................................................................36 4.4 COLOGARITMO ..........................................................................................................................36 4.5 MUDANÇA DE BASE ..................................................................................................................37 4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA .............................................................................................................38
4.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano.........................................................38 4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS....................................................................................................39
2
5 FUNÇÃO MODULAR...................................................................................................................41
PARTE II - 1 LIMITES .....................................................................................................................44
1.1 NOÇÃO INTUITIVA E PROPRIEDADES .........................................................................................44 1.2 LIMITES LATERAIS ..............................................................................................................46 1.3 LIMITES INFINITOS E ASSÍNTOTAS.......................................................................................47 1.4 FUNÇÕES CONTÍNUAS .........................................................................................................49 1.5 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS ...............................................................................................49 1.6 LIMITES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA .........................................................50
2 DERIVADAS.............................................................................................................................52
2.2 A DERIVADA COMO FUNÇÃO ..............................................................................................52 2.3 A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO ...........................................................................52 2.4 A REGRA DA CADEIA ..........................................................................................................57 2.5 DERIVADAS FUNÇÕES ALGÉBRICAS....................................................................................57 2.6 DERIVADAS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS................................................58 2.7 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ....................................................................58 2.8 DERIVADAS SUCESSIVAS ....................................................................................................58 2.9 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA .......................................................................................................59 2.10 REGRA DE L’HOSPITAL ..........................................................................................................59 2.11 TAXAS DE VARIAÇÃO RELACIONADAS ...............................................................................60
3 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS..........................................................................................62
3.1 EXTREMOS DE FUNÇÕES............................................................................................................62 3.2 TEOREMA DO VALOR MÉDIO ..............................................................................................66 3.2 CONSTRUINDO GRÁFICOS ...................................................................................................66 3.3 MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO ..............................................................................................66
4 INTEGRAÇÃO..........................................................................................................................67
4.1 INTEGRAIS INDEFINIDAS .....................................................................................................67 4.2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO .................................................................................................67 4.3 INTEGRAIS DEFINIDAS - SOMAS DE RIEMANN......................................................................71
5 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA ................................................................................75
5.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA .............................................................................75 5.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES ......................................................................77 5.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: ..................................................................................78
LISTAS...............................................................................................................................................80 PLANO DE ENSINO.......................................................................................................................103
3
PARTE I - 1 FUNÇÕES
1.1 Conceito matemático de função
Definição: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente.
Definição: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos.
Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos.
Definição: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produto cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .
A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.
Definição: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B a qualquer subconjunto de A × B .
r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B .
Exemplo Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que
y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r . Como x ∈ A : x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ;
x =1 ⇒ y =2 ⇒ (1,2)∈ A × B ;
x =2 ⇒ y =4 ⇒ (2,4)∈ A × B ;
x =3 ⇒ y =6 ⇒ (3,6)∈ A × B .
Então, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.
3210
123456
y
x
789
10
Representação da relação por diagrama.
Representação da relação por sistema cartesiano.
00A B
123
246810
r
4
Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos pares ( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma lei de associação
(no caso, y =2 x ).
1.2 Definição de função
Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B . Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relação.
Exemplos
1) Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈ B .
0
0A B
515
510152025
x =0 ⇒ y =5 ⇒ (0,5)∈ A × B ;
x =5 ⇒ y =10 ⇒ (5,10)∈ A × B ;
x =15 ⇒ y =20 ⇒ (15,20)∈ A × B .
• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 é uma função de A em B .
2) Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .
0
A B
25
0251020
-2
x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ;
x =2 ⇒ y =2 ⇒ (2,2)∈ A × B ;
x =5 ⇒ y =5 ⇒ (5,5)∈ A × B .
• O elemento −2 de A não está associado a nenhum elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
5
3) Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa pela
fórmula y =2x , com x ∈ A e y ∈ B .
A B
13
1369
-3-1
x =−3 ⇒ y =9 ⇒ (−3,9)∈ A × B ;
x =−1 ⇒ y =1 ⇒ (−1,1)∈ A × B ;
x =1 ⇒ y =1 ⇒ (1,1)∈ A × B ;
x =3 ⇒ y =9 ⇒ (3,9)∈ A × B .
• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y =2x é uma função de A em B .
4) Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula 4y = x , com x ∈ A e y ∈ B .
A B
81
-2
2
3
16
x =16 ⇒ y =−2 ou y =2 ⇒ (16,−2) e (16,2)∈ A × B ;
x =81 ⇒ y =3 ⇒ (81,3)∈ A × B .
• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
• O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
1.3 Notação de Função Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:
f : A → B (lê-se: função de A em B )
x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y ∈ B ) A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc.
Numa função g : R → R , dada pela fórmula y =2x −8, podemos também escrever g ( x )= 2x −8.
Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6.
6
1.4 Domínio, contradomínio e imagem de uma função Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
f : A → B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )
x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B ) O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da
função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são
imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.
f : A → B
x a y = f ( x )
D = A , CD = B , Im ={ y ∈CD / y é correspondente de algum valor de x }.
Exemplos
1) Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem da função f : A → B definida por f ( x )= x +2.
f (−3)=(−3)+2=−1
f (−1)=(−1)+2=1
f (0)=(0)+2=2
f (2)=(2)+2=4
A B
02
01234
-3-1
-1
Im ={−1,1,2,4}
2) Dada a função f : R → R definida por f ( x )= a x +b , com a ,b ∈ R , calcular a e b , sabendo
que f (1)=4 e f (−1)=−2. A lei de formação da função é f ( x )= a x +b ou y = a x +b .
f (1)=4 ⇒ x =1 e y =4 ⇒ 4= a ⋅1+b (i)
f (−1)=−2 ⇒ x =−1 e y =−2 ⇒ −2= a ⋅(−1)+b (ii) De (i) e (ii), temos:
a + b = 4
− a + b = −2
2b = 2 ⇒ b =1 e a =3 a =3 e b =1 ⇒ f ( x )=3 x +1.
7
1.5 Função Composta
Tome as funções f : A → B , definida por f ( x )=2 x , e g : B →C , definida por g ( x )= 2x . Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .
f : A → B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B , tal que y =2 x .
g : B →C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈C , tal que z = 2y .
Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A →C , que faz a composição entre as funções f e g :
A B C
g
h
f
xy z
Função composta
h : A →C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈C , tal que z = 2y = 22 )( x =4 2x .
Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 2x , é denominada função composta de g e f .
De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈C é determinado de modo único pelo elemento x ∈ A , escrevemos:
z = g ( y )= g ( f ( x )) Notação: A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f )
( g o f )( x )= g ( f ( x ))
Exemplos
1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e g ( x )=2 2x −3. Determine:
a) f ( g ( x )).
f ( g ( x ))= f (2 2x −3)=2 2x −3+1=2 2x −2
f ( g ( x ))=2 2x −2.
b) g ( f ( x )).
g ( f ( x ))= g ( x +1)=2 21)( +x −3=2( 2x +2 x +1)−3=2 2x +4 x +2−3=2 2x +4 x −1
g ( f ( x ))=2 2x +4 x −1.
c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )).
f ( g ( x ))= g ( f ( x ))
2 2x −2=2 2x +4 x −1 −2=4 x −1 4 x =1−2
x =−4
1.
8
3210
123
4y
x-1-2
-1-2 4
f
f
-1
2) Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ).
Como f ( x )=3 x −1, então f ( g ( x ))=3⋅ g ( x )−1.
Como f ( g ( x ))=6 x +8, então 3⋅ g ( x )−1=6 x +8.
3⋅ g ( x )−1=6 x +8
3⋅ g ( x )=6 x +8+1
g ( x )=3
96 +x
g ( x )=2 x +3.
1.6 Função Inversa
Definição: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições abaixo:
• 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.
• 2. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.
Definição: Diz-se que uma função f possui inversa 1−f se for bijetora. 1.6.1 Determinação da Função Inversa
Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida “isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa.
É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.
Exemplo
1) Obter a lei da função inversa 1−f da função f dada por y = x +2.
y = x +2 ⇒ função f .
x = y +2 ⇒ trocando a variável x por y e y por x .
y = x −2 ⇒ isolando y .
Então, y = x −2 é a lei da função inversa da função dada por y = x +2.
Logo:
f ( x )= x +2 e 1−f ( x )= x −2
2) Construir os gráficos das funções f e 1−f do exercício anterior, num mesmo sistema de coordenadas.
x f ( x ) x 1−f ( x )
−1 1 1 −1
0 2 2 0
1 3 3 1
2 4 4 2
Note que os gráficos
das funções f e 1−f são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes.
9
3) Determinar a função inversa 1−g da função g ( x )=32
5
−
+
x
x, cujo domínio é D = R −
2
3.
y =32
5
−
+
x
x ⇒ função g .
x =32
5
−
+
y
y ⇒ trocando a variável x por y e y por x .
(2 y −3) x = y +5 ⇒ isolando y .
2 x y −3 x − y =5
y (2 x −1)=3 x +5
y =12
53
−
+
x
x ⇒ 2 x −1≠0 ⇒ x ≠
2
1.
Logo, 1−g : R −
2
1→ R −
2
3 dada por y =
12
53
−
+
x
x é a função inversa procurada.
Lista 1
10
2 FUNÇÃO POLINOMIAL
Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.
2.1 Função polinomial do 1o grau A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio
de grau 1. Representação da função polinomial do 1o grau:
f ( x )= a x +b , com a ,b ∈ R ( a ≠0). a e b são os coeficientes e x a variável independente.
Exemplo:
Em uma função polinomial do 1o grau, y = f ( x ), sabe-se que f (1)=4 e f (−2)=10. Escreva a
função f e calcule f
−
2
1.
Se f é polinomial do 1o grau, então podemos escrever: y = a x + b . Usando os dados do problema: f (1)=4 ⇒ x =1 e y =4. Então, a ⋅1+ b =4 ⇒ a + b =4 (i).
f (−2)=10 ⇒ x =−2 e y =10. Então, a ⋅(−2)+ b =10 ⇒ −2 a + b =10 (ii). Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = 4 a + b = 4
(ii) −2 a + b = 10 ⋅(−1) 2 a − b = −10
3 a = −6 ⇒ a =−2 Se a =−2, então −2+ b =4 ⇒ b =6. A função f é dada por f ( x )=−2 x +6.
Cálculo de f
−
2
1:
f
−
2
1=−2⋅
−
2
1+6=1+6=7
A função é f ( x )=−2 x +6 e f
−
2
1=7.
2.1.1 Função linear
Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b . No caso de b =0, temos f ( x )= a x , e ela recebe o nome especial de função linear.
Obs.: Se, em uma função linear tivermos a =1, teremos f ( x )= x ou y = x , que se dá o nome de função identidade.
11
2.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1o grau Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do
domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens. Exemplo:
Construir o gráfico da função real f dada por y =2 x −1.
x y Par ordenado
−2 −5 (−2,−5)
−1 −3 (−1,−3)
0 −1 (0,−1)
1 1 (1,1)
2 3 (2,3)
3 5 (3,5)
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
Definição 9: O gráfico da função linear y = a x ( a ≠0) é sempre uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.
Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o grau y = a x + b ( a ≠0) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, b ). 2.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico
Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )= a x + b .
Exemplo
1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
12
Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:
x =−1 e y =−1 ⇒ −1= a ⋅(−1)+ b ⇒ − a +b =−1 (i).
x =1 e y =3 ⇒ 3= a ⋅(1)+ b ⇒ a + b =3 (ii).
(i) − a + b = −1
(ii) a + b = 3
2 b = 2
⇒ b =1
Se b =1, então a + b =3 ⇒ a +1=3 ⇒ a =2 Logo: A função é f ( x )=2 x +1.
2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:
x =1 e y =1 ⇒ 1= a ⋅(1)+ b ⇒ a + b =1 (i).
x =2 e y =−2 ⇒ −2= a ⋅(2)+ b ⇒ 2 a + b =−2 (ii).
(i) a + b = 1 ⋅(−1) − a − b = −1
(ii) 2 a + b = −2 2 a + b = −2
a = −3 ⇒ a =−3 Se a =−3, então −3+ b =1 ⇒ ⇒ b =4 Logo: A função é f ( x )=−3 x +4.
2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau
Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x )= a x + b . Podemos determinar que:
• i) A função f é crescente se o coeficiente a >0;
• ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0.
13
Exemplo
Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir:
i) f ( x )=2 x +1 ii) g ( x )=−2 x +1
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
i) Aumentando os valores atribuídos a x , aumentam também os valores
correspondentes da imagem f ( x ).
ii) Aumentando os valores atribuídos a x , diminuem os valores correspondentes
da imagem g ( x ).
2.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau
Definição: Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x temos
f ( x )>0, f ( x )<0 ou f ( x )=0.
2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1o grau
Definição: Denomina-se zero ou raiz da função f ( x )= a x + b o valor de x que anula a função,
isto é, torna f ( x )=0.
Definição: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b , a ≠0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .
Exemplo
Dada a lei de formação da função y =−2 x −4, construir o gráfico e determinar os valores
reais de x para os quais: a) y =0; b) y >0 e c) y <0.
Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0. O zero da função é: −2 x −4=0 ⇒ −2 x =4 ⇒ 2 x =−4 ⇒ x =−2. Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa x =−2. A solução do problema é:
• a) f ( x )=0 ⇒ { x ∈ R ; x =−2};
• b) f ( x )>0 ⇒ { x ∈ R ; x <−2};
• c) f ( x )<0 ⇒ { x ∈ R ; x >−2}.
3210
1
234
y
x-1-2
-1-2 4
5
-3-4
-5
5-3-4-5
14
2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau
f ( x )= a x + b , a ≠0
Zero da função: a x + b =0 ⇒ x =−a
b
a >0 a <0
x
xf ( )>0xf ( )<0x
ab
ab
axb
xf ( )<0xf ( )>0x
ab
f ( x )= 0 ⇒ x = −a
b f ( x )= 0 ⇒ x = −
a
b
f ( x )> 0 ⇒ x > −a
b f ( x )> 0 ⇒ x < −
a
b
f ( x )< 0 ⇒ x < −a
b f ( x )< 0 ⇒ x > −
a
b
2.2 Inequações do 1o grau
Definição: Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:
• a x + b ≥0;
• a x + b >0;
• a x + b ≤0;
• a x + b <0. com a , b ∈ R e a ≠0.
Exemplo
Verificar se 4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau.
4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1)
4 x −4−2x ≥3 x −
2x − x 4 x −3 x + x −4≥0 2 x −4≥0
Logo, 2 x −4 é um polinômio do 1o grau, então 4( x +1)− 2x ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau.
15
2.2.1 Resolução de inequações do 1o grau
Definição: Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplos
1) Resolver a inequação seguinte: 4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1). Represente a solução na reta real.
4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1)
4 x −4−2x ≥3 x −
2x − x 4 x −3 x + x −4≥0 2 x ≥4 x ≥2
S={ x ∈ R ; x ≥2} x
2
2) Resolver a inequação seguinte: 3
1−x+
2
14 )( x−>
4
x+
6
2 x−. Represente a solução na reta real.
3
1−x+
2
14 )( x−>
4
x+
6
2 x−
Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum:
12
242444 xx −+−>
12
243 xx −+
Simplificando: −20 x +20> x +4 −20 x − x >−20+4 −21 x >−16 Multiplicando por (−1): 21 x <16
x <21
16
S={ x ∈ R ; x <21
16}
x1621
2.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau
Definição: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo:
Resolver a inequação −1<2 x −3≤ x . Apresente o conjunto solução S e represente na reta real. Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:
x
x
x1 3
(i)
(ii)(i) ∩
(ii)
S={ x ∈ R ; 1< x ≤3}
16
2.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente
Uma inequação do 2o grau do tipo 2x +2 x −8≥0 pode ser expressa por um produto de inequações do 1o grau, fatorando o 1o membro da desigualdade:
2x +2 x −8≥0 ⇒ ( x −2)⋅( x +4)≥0.
Definição: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Exemplos
1) Resolver a inequação ( 2x + x −2)⋅(− x +2)≤0.
( 2x + x −2)⋅(− x +2)≤0 ⇒ ( x +2)⋅( x −1)⋅(− x +2)≤0
x
-2 2
( )g
x( )f
x( )h
x( )x( )x( )f g h1
S={ x ∈ R ; −2≤ x ≤1 ou x ≥2}
2) Resolver a inequação 2
13
−
+−
x
x≥0.
x
2
( )g
x( )f
x( )x( )f
g 13
S={ x ∈ R ; 3
1≤ x <2}
3) Resolver a inequação 2
92
−
−
x
x≤0.
2
92
−
−
x
x≤0 ⇒
2
33
−
−⋅+
x
xx )()(≤0
x
-3 3
( )g
x( )f
x( )h
x( )x( )x( )f g
h 2 S={ x ∈ R ; x ≤−3 ou 2< x ≤3}
17
4) Determine o domínio da função y =5
322
−
−+
x
xx.
5
322
−
−+
x
xx≥0 ⇒
5
13
−
−⋅+
x
xx )()(≥0
x
-3 5
( )g
x( )f
x( )h
x( )x( )x( )f g
h 1 D={ x ∈ R ; −3≤ x ≤1 ou x >5}
Lista 2
18
2.3 Função polinomial do 2o grau
Definição: A função f : R → R dada por f ( x )= a 2x +b x + c , com a , b e c reais e a ≠0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a =0 temos uma função do 1o grau ou uma função constante. Exemplo
Considere a função f do 2o grau, em que f (0)=5, f (1)=3 e f (−1)=1. Escreva a lei de formação dessa função e calcule f (5). Resolução
Tome f ( x )= a 2x +b x + c , com a ≠0.
f (0) = 5 ⇒ a (0)2+b (0)+ c = 5 ⇒ c = 5 c = 5
f (1) = 3 ⇒
a (1)2+b (1)+ c
= 3 ⇒ a +b = −
2 i)
f (−1) = 1 ⇒
a (−1)2+b (−1)+
c = 1 ⇒ a −b =
−
4 ii)
Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = −2
(ii) a − b = −4
(i)+(ii) 2 a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1
A lei de formação da função será f ( x )=−3 2x + x +5
f (5)=−3(5)2+(5)+5
f (5)=−65.
2.3.1 Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada
parábola. Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa
representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função quadrática:
(i)
Concavidade
(ii)
Zeros ou raízes
(iii)
Vértice
19
2.3.2 Concavidade
A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( x )= a 2x +b x + c do 2o grau depende do sinal do coeficiente a :
a >0: concavidade para CIMA a <0: concavidade para BAIXO
[Fig.4]: Concavidade de uma função quadrática.
2.3.3 Zeros de uma função quadrática
Definição: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x )= a 2x +b x + c são as raízes da equação
do 2o grau a 2x +b x + c =0, ou seja:
Raízes: x =a
acbb
2
42−±−
.
Considerando ∆=2b −4 a c , pode-se ocorrer três situações:
• i) ∆>0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes: 1x =a
b
2
∆+− e 2x =
a
b
2
∆−−.
• ii) ∆=0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): 1x = 2x =−a
b
2.
• iii) ∆<0 ⇒ não há raízes reais.
Obs.: Em uma equação do 2o grau a 2x +b x + c =0, a soma das raízes é S e o produto é P tal que:
S= 1x + 2x =−a
b e P= 1x ⋅ 2x =
a
c.
Definição: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o grau são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x .
20
2.3.4 Vértice da parábola
Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( Vx , Vy ) em cada uma:
x
y
x
y
x2x1
x1 x2
V( ),xV yV
V( ),xV yV
Eixo de simetria
Vértice de parábolas (∆>0 para as duas). Uma forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é:
• Vx =2
21 xx +, já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;
• Vy = a 2Vx +b Vx + c , já que o Vx foi obtido acima.
Outra forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é aplicando as fórmulas:
• Vx =−a
b
2 e Vy =−
a4
∆.
2.3.5 Gráfico de uma parábola Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com
mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Exemplos
1) Construir o gráfico da função y =2x +2 x , determinando sua imagem.
a =1>0 ⇒ concavidade voltada para cima.
Zeros da função: 2x +2 x =0 ⇒ x ( x +2)=0 ⇒ 1x =0 e
2x =−2.
Ponto onde a parábola corta o eixo y :
x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)
Vértice da parábola: Vx =−
a
b
2=−
2
2=−1
Vy =−a4
∆=−
4
4=−1
⇒ V (−1,−1)
Imagem: y ≥−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≥−1}
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
5-3-4-5
V
21
2) Construir o gráfico da função y =−2x +4 x −5, determinando sua imagem.
a =−1<0 ⇒ concavidade voltada para baixo.
Zeros da função: −2x +4 x −5=0 ⇒ ∆=−4. ∃/ zeros reais.
Ponto onde a parábola corta o eixo y :
x =0 ⇒ y =−5 ⇒ (0,−5)
Vértice da parábola: Vx =−
a
b
2=−
2
4
−=2
Vy =−a4
∆=−
4
4
−
−=−1
⇒ V (2,−1)
Imagem: y ≤−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≤−1}
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
5-3-4-5
V
2.3.6 Estudo do sinal da função quadrática Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo.
f ( x )= a 2x +b x + c com ( a , b e c ∈ R e a ≠0)
a >0 a <0
xx2x1
x
x1 x2
f ( x )>0 para x < 1x ou x > 2x f ( x )<0 para x < 1x ou x > 2x
f ( x )<0 para 1x < x < 2x f ( x )>0 para 1x < x < 2x
f ( x )=0 para x = 1x ou x = 2x f ( x )=0 para x = 1x ou x = 2x
xx2x1
x
x2x1
f ( x )>0 para x ≠ 1x f ( x )<0 para x ≠ 1x
f ( x )<0 ∃/ x real f ( x )>0 ∃/ x real
f ( x )=0 para x = 1x = 2x f ( x )=0 para x = 1x = 2x
22
x
x
f ( x )>0 ∀ x real f ( x )<0 ∀ x real
f ( x )<0 ∃/ x real f ( x )>0 ∃/ x real
f ( x )=0 ∃/ x real f ( x )=0 ∃/ x real
2.4 Inequações do 2o grau Definição: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:
• a 2x +b x + c ≥0;
• a 2x +b x + c >0;
• a 2x +b x + c ≤0;
• a 2x +b x + c <0. com a , b , c ∈ R e a ≠0.
2.4.1 Resolução de inequações do 2o grau Definição: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplo
1) Resolver a inequação 2x −3 x +2>0. Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x −3 x +2.
a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.
2x −3 x +2=0
∆=1>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes.
1x =1 x =
2
13 ±±±±
2x =2
x21
S={ x ∈ R ; x <1 ou x >2}. Obs: somente valores positivos.
23
2) Resolver a inequação 2x −10 x +25≥0. Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x −10 x +25.
a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.
2x −10 x +25=0
∆=0 ⇒ Raiz dupla (única).
1x = 2x =
2
10
x =5
x5
S= R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero.
3) Resolver a inequação −2 2x +5 x −6≥0. Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x )=−2 2x +5 x −6.
a =−2<0 ⇒ Concavidade para baixo.
−2 2x +5 x −6=0
∆=−23<0⇒ Não possui zeros reais.
∃∃∃∃//// x real
x
S=∅. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero.
2.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau
Definição: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo 1) Resolver o sistema de inequações
<<<<++++
−−−−≥≥≥≥++++
05
682 22
x
xxx.
Resolução
(i) ⇒ 2 2x +8≥2x −6 x ⇒ 2 2x +8−
2x +6 x ≥0 ⇒ 2x +6 x +8≥0. (ii) ⇒ x +5<0.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x +6 x +8.
a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.
2x +6 x +8=0
∆=4>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes.
1x =−4 x =
2
26 ±−
2x =−2
x-2-4
24
S(i)={ x ∈ R ; x ≤−4 ou x ≥−2}. Reta real: x-2-4
Resolução de (ii): x +5<0 ⇒ x <−5.
S(ii)={ x ∈ R ; x ≤−5}. Reta real: x-5
Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii):
x-5
x-5
x-2-4(i)
(ii)
(i) (ii)∩ S={ x ∈ R ; x <−5}.
2) Resolver a inequação x −4<2x −4≤ x +2.
Resolução
1) ⇒ x −4<2x −4 ⇒ x −4−
2x +4<0 ⋅(−1) ⇒ 2x − x >0.
(ii) ⇒ 2x −4≤ x +2 ⇒ 2x −4− x −2≤0 ⇒ 2x − x −6≤0.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= 2x − x .
a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.
2x − x =0 x ( x −1)=0 ⇒ Zeros={0,1}.
∆=1>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes.
1x =0 x =
2
11±±±±
2x =1
x10
S(i)={ x ∈ R ; x <0 ou x >1}. Reta real: x10
Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( x )= 2x − x −6.
a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.
2x − x −6=0
∆=25>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes.
1x =−2 x =
2
51±±±±
2x =3
x3-2
S(ii)={ x ∈ R ; −2≤ x ≤3}. Reta real: x3-2
Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii):
x-2
x
x10(i)
(ii)
(i) (ii)∩
3
-2 0 1 3 S={ x ∈ R ; −2≤ x <0 ou 1< x ≤3}.
25
2) Inequação-produto e inequação-quociente
Definição: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Exemplos
3) Resolver a inequação ( 2x −2 x −3)⋅(− 2x −3 x +4)>0. Resolução
x
-4
( )g
x( )f
x( )x( )f g1 3-1
S={ x ∈ R ; −4< x <−1 ou 1< x <3}.
4) Resolver a inequação 16x
6x5x2
2
−
+−≥0.
Resolução
f(x) = 2x −5 x +6 ⇒ a > 0 ⇒ ∆=1 > 0 ⇒ 1x = 2 e 2x = 3
g(x) = 2x −16 ⇒ a > 0 ⇒ ∆=64 > 0 ⇒ 1x = −4 e 2x = 4
f(x) g(x)
x32
x4-4
x32
x4-4
f(x) = 2x −2 x −3 ⇒ a > 0 ⇒ ∆=16 > 0 ⇒ 1x =
-1 e 2x =
3
g(x) = −2x −3 x +4 ⇒ a < 0 ⇒ ∆=25 > 0 ⇒ 1x
= −4 e 2x = 1
f(x) g(x)
x3-1
x1-4
x3-1
x1-4
26
x
-4
( )g
x( )f
x( )x( )f
g 3 42 S={ x ∈ R ; x <−4 ou 2≤ x ≤3 ou x >4}.
5) Determine o domínio da função f ( x )=6
1032
−
−−
x
xx.
Resolução
f só representa um número real se 6
1032
−
−−
x
xx≥0.
F(x) = 2x −3 x −10 ⇒ a > 0 ⇒ ∆=49 > 0 ⇒ 1x = −2 e 2x = 5
g(x) = x −6 ⇒ a > 0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 6
f(x) g(x)
x5-2
x6
x5-2
x6
x
-2
( )g
x( )f
x( )x( )f
g 5 6 D ={ x ∈ R ; −2≤ x ≤5 ou x >6}.
Lista 3
27
3 Função Exponencial 3.1 Revisão de Potenciação
3.1.1 Potências com expoente natural
Sendo a um número real e n um número natural, com n ≥2, definimos:
na = 43421 K
fatores n
aaaa ⋅⋅⋅⋅ .
Para n =1 e n =0 são definidos:
1a = a .
0a =1 ( a ≠0).
3.1.2 Potências com expoente inteiro
Se a é um número real não-nulo ( a ≠0) e n um número inteiro e positivo, definimos:
na−=
na
1.
3.1.3 Potências com expoente racional
Se a é um número real positivo e n
m um número racional, com n inteiro positivo,
definimos:
nm
a =n m
a .
3.1.4 Potências com expoente real Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos números
reais. Temos, por exemplo: 210 =25,954553519470080977981828375983.
3.1.4.1 Propriedades Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:
• ma ⋅na =
nma + .
• ma :na =
nma − ( a ≠0).
• nma )( =nma ⋅ .
• nba )( ⋅ =na ⋅
nb .
• n
b
a
=
n
n
b
a (b ≠0).
28
Exemplos
1) Dê o resultado mais simples de ( 35 ⋅65 ): 105 .
Resolução
Usando as propriedades, temos:
( 35 ⋅65 ): 105 =( 635 + ): 105 =
95 :105 =
1095 −=
15−=
5
1.
2) Calcule o valor da expressão 2
3
2−
+
3
2
1
−
06 .
Resolução 2
3
2−
+
3
2
1
−
06 =
2
2
3
+
3
2
1
−1=
4
9+
8
1−1=
8
8118 −+=
8
11.
3) Simplifique x
xx
2
22 25 ++−
.
Resolução
x
xx
2
22 25 ++−
=x
xx
2
2222 25⋅−⋅
=x
x
2
222 25 )( −⋅= 52 − 22 =28.
4) Calcule 34
8 . Resolução
• Primeira resolução: 34
8 =3 48 = 3 4096 =16.
• Segunda resolução: 34
8 = 34
32 )( = 343
2⋅
= 42 =16.
5) Determine o valor de 7081 ,:
2081 , .
Resolução 7081 ,
:2081 ,
=207081 ,, −
=5081 ,
= 5043 ,)( =23 =9.
10) Qual o valor de 2210 )( : 510 ),( ?
Resolução 2210 )( : 510 ),( =
2210 ⋅: 5110 )( − =
210 :510−
=)( 5210 −−=
710 =10000000.
3.2 Equações exponenciais
Definição: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente. Exemplo:
• x2 =16.
• 13 +x . 23 −x=9.
29
• 13 −x=27.
• 10⋅ x22 −5⋅ x22 −1=0.
3.2.1 Resolução de equações exponenciais Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências
de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato:
Definição: Se a >0, a ≠1 e x é a incógnita, a solução da equação xa =pa é x = p .
Exemplos
1) Resolver a equação x4 =512. Resolução
Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2o membros da equação em potências de mesma base:
x4 =512 ⇒ x)( 22 = 92 ⇒ x22 = 92 ⇒ 2 x =9 ⇒ x =2
9.
S=
2
9.
2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um aumento anual de produção de 50%, pergunta-se:
• a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois?
• b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?
Resolução
• a) Obs: 50%=100
50=0,5
Um ano depois: 8000+0,5⋅8000=8000⋅(1+0,5)=8000⋅1,5
Dois anos depois: (8000⋅1,5)⋅1,5=8000⋅ 251 ),(
Três anos depois: (8000⋅ 251 ),( )⋅1,5=8000⋅ 351 ),(
Produção P, t anos depois: P=8000⋅ t),( 51
• b) Fazendo P=40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:
40500=8000⋅ t),( 51 Resolvendo a equação:
40500=8000⋅ t),( 51
⇒ t),( 51 =8000
40500. Obs: 1,5=
2
3.
⇒ t
2
3=
16
81
⇒ t
2
3=
4
4
2
3
⇒ t
2
3=
4
2
3
⇒ t =4.
Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos.
30
3) Determine o conjunto solução da equação 281 +x=1 no universo dos números reais.
Resolução
Sabendo que 081 =1, temos: 281 +x
=1 ⇒ 281 +x=
081 ⇒ x +2=0 ⇒ x =−2. S={−2}.
3.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas
transformações e artifícios. Exemplos
1) Resolver a equação x4 −5⋅ x2 +4=0. Resolução
Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: x4 −5⋅ x2 +4=0 ⇒ x)( 22 −5⋅ x2 +4=0 ⇒ 22 )( x −5⋅ x2 +4=0.
Fazendo x2 = y , temos a equação do 2o grau em y :
2y −5 y +4=0 ⇒ y =2
16255 −± ⇒ 1y =4 e 2y =1.
Voltando à igualdade x2 = y :
1y =4: x2 = y ⇒ x2 =4 ⇒ x2 = 22 ⇒ x =2.
2y =1: x2 = y ⇒ x2 =1 ⇒ x2 = 02 ⇒ x =0.
S={0,2}.
2) Determine o conjunto solução da equação x5 −x−25 =24.
Resolução
Preparando a equação, temos: x5 −
x−25 =24 ⇒ x5 −25 ⋅
x−5 =24 ⇒ x5 −25⋅x5
1=24 ⇒ x5 −
x5
25=24.
Fazendo x5 = y , temos:
y −y
25=24 ⇒ 2y −25=24 y ⇒ 2y −24 y −25=0 ⇒
−=
=
1
25
2
1
y
y
Voltando à igualdade x5 = y :
1y =25: x5 = y ⇒ x5 =25 ⇒ x5 =
25 ⇒ x =2.
2y =−1: x5 = y ⇒ x5 =−1 ⇒ Esta equação não tem raiz em R , pois x5 >0, para todo x real.
S={2}.
3.3 Função exponencial
Definição: A função f : R → R dada por f ( x )= xa (com a >0 e a ≠1) é denominada função exponencial de base a .
31
3.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano
Dada a função f : R → R , definida por f ( x )= xa (com a >0 e a ≠1), temos dois casos para
traçar seu gráfico: (i) a >1 e (ii) 0< a <1.
• (i) a >1.
1) Traçar o gráfico de f ( x )= x2 .
x f ( x )= x2
−2 4
1
−1 2
1
0 1
1 2
2 4
3 8
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
OBS.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência xa , ou seja, se a >1 a função f ( x )= xa é crescente.
• (ii) 0< a <1.
2) Traçar o gráfico de f ( x )=x
2
1.
x f ( x )=x
2
1
−3 8
−2 4
−1 2
0 1
1 2
1
2 4
1
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
32
Obs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência xa , ou seja, se 0< a <1 a função f ( x )= xa é decrescente. Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:
3.3.2 Características da função exponencial
Seja f : R → R , definida por f ( x )= xa (com a >0 e a ≠1).
• Domínio da função f são todos os números reais ⇒ D = R .
• Imagem da função f são os números reais positivos ⇒ Im = ∗+R .
• A curva da função passa pelo ponto (0,1).
• A função é crescente para a base a >1.
• A função é decrescente para a base 0< a <1.
3.4 Inequações exponenciais
Definição: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.
3.4.1 Resolução de inequações exponenciais Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:
• 1) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
• 2) Verificar a base da exponencial, a >1 ou 0< a <1, aplicando as propriedades abaixo.
Caso (i): a >1 Caso (ii): 0< a <1
ma >na ⇒ m > n ma >
na ⇒ m < n
As desigualdades têm mesmo sentido As desigualdades têm sentidos
diferentes
Exemplos:
1) Resolva a inequação x2 >32.
Resolução
Como 52 =32, a inequação pode ser escrita: x2 > 52 ⇒ Caso (i): a >1.
⇒ x >5. S={ x ∈ R ; x >5}.
2) Resolva a inequação xx 23 2
3 +)( ≥1.
Resolução xx 23 2
3 +)( ≥1 ⇒ xx 23 2
3 +)( ≥ 03)( ⇒ Caso (i): a >1.
⇒ 3 2x +2 x ≥0
Tome f ( x )=3 2x +2 x
f ( x )=0 ⇒ 3 2x +2 x =0 ⇒
=
−=
03
2
2
1
x
x
x023 S={ x ∈ R ; x ≤−2/3 ou x ≥0}.
33
3) Resolva a inequação 3
2
1+
x
<
72
2
1−
x
.
Resolução 3
2
1+
x
<
72
2
1−
x
⇒ Caso (ii): 0< a <1.
x +3>2 x −7 ⇒ − x >−10 ⋅(−1) ⇒ x <10. S={ x ∈ R ; x <10}.
34
Lista 4
35
4 Função Logarítmica 4.1 Definição de Logaritmo
Definição: Dados dois números reais positivos, a e b , com a ≠1, existe um único
número real x de modo que xa =b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se balog .
Podemos então, escrever:
xa =b ⇔ x = balog (1≠ a >0 e b >0).
Na igualdade x = balog , temos:
• a é a base do logaritmo;
• b é o logaritmando ou antilogaritmo;
• x é o logaritmo. Exemplos
Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:
1) 322log = x .
x2 =32 ⇒ x2 = 52 ⇒ x =5.
2) 164log = x .
x4 =16 ⇒ x4 = 24 ⇒ x =2.
3) x8log =1.
18 = x ⇒ x =8.
4) 813log = x .
x3 =81 ⇒ x3 =
43 ⇒ x =4.
5) 15log = x .
x5 =1 ⇒ x5 =
05 ⇒ x =0.
OBS. 1: blog ⇒ significa b10log . Quando não se indica a base, fica
subentendido que a base é 10.
36
4.2 - Conseqüências da definição
Tome 1≠ a >0, b >0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se verificar que:
• 1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.
1alog =0, pois 0a =1.
• 2) O logaritmo da própria base é igual a 1.
aalog =1, pois 1a = a .
• 3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. m
a alog = m , pois ma =ma .
• 4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b .
baalog
=b , pois xa =b ⇔ x = balog .
4.3 Propriedades dos logaritmos
1) Logaritmo de produto )(log yxa ⋅ = xalog + yalog (1≠ a >0, x >0 e y >0).
2) Logaritmo de quociente
y
xalog = xalog − yalog (1≠ a >0, x >0 e y >0).
3) Logaritmo de potência m
a xlog = m ⋅ xalog (1≠ a >0, x >0 e m ∈ R ).
4.4 Cologaritmo
Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1≠ a >0) é o logaritmo do inverso desse número b na base a .
bco alog =
ba
1log ⇒ bco alog =− balog (1≠ a >0 e b >0).
Exemplo
Sabendo que log 3= a e log 5=b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b .
a) log 15
log 15= log (3⋅5)= log 3+ log 5= a +b .
b) log 675
log 675= log ( 33 ⋅25 )= log 33 + log 25 =3 log 3+2 log 5=3 a +2b .
c) log 2
37
log 2= log 510 = log 10− log 5=1−b .
4.5 Mudança de base As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por
isso, em muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única base.
A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base. Seja:
balog = x ⇒ xa =b .
Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos:
xc alog = bclog ⇒ x ⋅ aclog = bclog ⇒ x =
a
b
c
c
log
log, mas x = balog .
Então:
balog =a
b
c
c
log
log (1≠ a >0, 1≠ c >0 e b >0).
Exemplos
1) Sendo log 2=0,3 e log 3=0,4, calcule 62log .
62log =2
6
loglog
=2
32
log)log( ⋅
=2
32
logloglog +
=30
4030
,,, +
=30
70
,,
=3
7.
2) Resolva a equação x2log + x4log + x16log =7.
A condição de existência é x >0. Transformando para a base 2: x2log + x4log + x16log =7
x2log +42
2
loglog x
+162
2
loglog x
=7
x2log +2
2 xlog+
42 xlog
=7
4
24 222 xxx logloglog ++=
4
28
7 x2log =28
x2log =4 42 = x
x =16 ⇒ 16 satisfaz a condição de existência. Logo, o conjunto solução é:
S={16}.
3) Resolva a equação 2log ( x +2)+ 2log ( x −2)=5.
38
Condições de existência são: x +2>0 e x −2>0 ⇒ x >−2 e x >2. Então: x >2.
2log ( x +2)+ 2log ( x −2)=5
2log [( x +2)⋅( x −2)]=5
( x +2)⋅( x −2)= 52 2x −4=32 2x =36 2x =±6 ⇒ −6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz.
Logo, o conjunto solução é: S={6}.
4.6 Função logarítmica
A função exponencial g : R → ∗+R definida por g ( x )= xa (com 1≠ a >0) é
bijetora. Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo.
Definição: A função f : ∗+R → R definida por f ( x )= xalog (com 1≠ a >0) é chamada
função logarítmica de base a .
4.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos
quadrantes ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico da função exponencial.
Seja f : ∗+R → R , tal que y = xalog e 1−f : R → ∗
+R , tal que y =xa . Os gráficos de f
e 1−f serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.
(i) a >1.
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
=y x
log xa=y
=y xa
Gráfico da função logarítmica e exponencial ( a >>>>1).
(ii) 0< a <1.
39
3210
67
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
=y xa=y x
log xa=y
Gráfico da função logarítmica e exponencial (0<<<< a <<<<1).
4.7 Inequações logarítmicas Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com
a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos
1) Resolva a inequação 21log ( x −3)≥
21log 4.
Condição de existência: x −3>0 ⇒ x >3 (i). Base: (0< a <1). Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos. x −3≤4 ⇒ x ≤3 (ii). A solução da inequação deve satisfazer as duas condições:
x
x
x
7
3(i)
(ii)
(i) (ii)∩ 73
S={ x ∈ R ; 3< x ≤7}.
2) Resolva a inequação 4log ( 2x − x )≥ 4log (2 x +10).
1a Condição de existência:
2x − x >0 ⇒ x <0 ou x >1 (i). 2a Condição de existência:
40
2 x +10>0 ⇒ x >−5 (ii). Base: ( a >1).
2x − x ≥2 x +10 ⇒ 2x − x −2 x −10≥0 ⇒ 2x −3 x −10≥0 ⇒ x ≤−2 ou x ≥5 (iii). A solução da inequação deve satisfazer as três condições:
x
x
x(i)
(ii)
(iii)
x(i) (ii)∩ -2
(iii)∩ -5 0 1
5
-5
-2
0 1
S={ x ∈ R ; −5< x ≤−2 ou x ≥5}.
3) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use 10log 2=0,3)
p = 0p (1−0,2) t ⇒ p = 0p (0,8) t ⇒ p = 0p
t
10
8 ⇒
Procura-se p =20p
, logo:
20p
= 0p
t
10
8 ⇒ ( 0p ≠0) ⇒
2
1=
t
10
23
⇒ 12− = t32 ⋅t−10
Aplicando 10log em ambos os membros, temos:
10log 12− = 10log ( t32 ⋅t−10 )
10log 12− = 10log ( t32 ⋅t−10 )
10log 12− = 10log t32 + 10log t−10
− 10log 2=3 t 10log 2− t 10log 10
−0,3=3 t ⋅0,3− t −0,3=0,9 t − t −0,3=−0,1 t t =3
O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de 3 anos
Lista 5
41
5 FUNÇÃO MODULAR
Dependendo dos valores de x uma função f pode ser definida por duas ou mais
sentenças. Como exemplo podemos ter uma função de IR em IR definida por:
f(x) =
A função modular apresenta a característica de valor absoluto, isto é, o que está
em modulo é considerado em valor absoluto e conseqüentemente, sem sinal.
Define-se módulo ou valor absoluto de x e indica-se por | x |.
Uma função é modular se a cada x associa | x | , f(x) = | x | , onde:
| x | =
Portanto, a função modular pode ser transformada em duas possibilidades, a saber:
quando a função que está no módulo for positiva ( + ), ela permanece como está e
quando a função que está no módulo for negativa ( – ), troca-se o sinal da função.
NOTA: O domínio dessa função f são todos os reais e a imagem [0, + ] ou
simplesmente: D(f) = IR e Im(f) = IR+
Obs.:
O gráfico de uma função modular pode ser esboçado mediante a separação em
sentenças, isto é, dada a funçãof(x) = |x – 1|, vamos transformá-la em uma função
determinada por mais de uma sentença. Estudando o sinal da função que está no
módulo, ou seja, achando a raiz da função que está no módulo, x – 1 = 0; e portanto x
= 1. Logo, temos:
– 1 +
42
<+−
≥−
=
1,1
1,14
)(
xsex
ou
xsex
xf
Basta atribuir valores convenientes a x e verificar a imagem em f(x). Fazendo isso
estaremos obtendo pontos que determinam o traçado do gráfico, observe:
x y
-1 2
0 1
1 0
2 1
Equações Modulares
Nas equações modulares, usa-se a mesma idéia, isto é, o que está em módulo ou
é positivo ou é negativo, e isto pode ser alterado multiplicando-se a equação negativa
por –1.
Ex1.: | x – 2 | = 3
Temos então duas opções:
x – 2 = 3 ou – (x – 2) = 3 e daí, x – 2 = –3
então: ou x = 3 + 2 = 5 ou x = –3 + 2 = –1
S = {–1,5}
43
Ex2: | 3x + 2 | = 5x – 8
Neste caso deve-se impor que: 5x – 8 ≥ 0 → x ≥ .5/8 3x + 2 = 5x -8 ou 3x + 2 = - 5x + 8
x = 5 x = 3/4
Como, pela condição inicial,
S = {5}
Inequações Modulares
Resolver as inequações modulares:
a) | 2x + 4 | > 2
b) | 3x + 9 | ≤≤≤≤ 6
a) Resolver a equação | 2x + 4 | > 2 é equivalente resolver as equações: 2x + 4 > 2 ou 2x
+ 4 < –2 e daí, na primeira equação tem-se x > –1, na segunda equação tem-se x < –3; e
portanto a solução é a união entre as duas respostas, ou seja,
S = {x ∈∈∈∈ IR ; x < –3 ou x > –1}.
b) E resolver | 3x + 9 | ≤≤≤≤ 6 é o mesmo que resolver: 3x + 9 ≤≤≤≤ 6 e 3x + 9 ≥≥≥≥ –6, e portanto
na primeira tem-se x ≤≤≤≤ –1 e na segunda tem-se x ≥≥≥≥ –5; e portanto a solução é a
intersecção, ou seja, S = {x ∈∈∈∈ IR ; –5 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ –1}
44
PARTE II - 1 LIMITES
1.1 Noção Intuitiva e Propriedades 1.1.1 Noção Intuitiva
Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela
sua direita (valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e
calcular o valor correspondente de y.
x y = 2x + 1 x y = 2x + 1 1,01 3,02 0,6 2,2 1,02 3,04 0,7 2,4 1,03 3,06 0,9 2,8 1,04 3,08 0,95 2,9 1,1 3,2 0,98 2,96 1,2 3,4 0,99 2,98
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja,
quando x tende para 1 (x →1), y tende para 3 (y → 3), ou seja, 3)1x2(lim 1x =+→
De forma geral, escrevemos:
b)x(flim ax =→
1.1.2 Propriedades
1. )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[lim axaxax →→→ ±=±
2. )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[lim axaxax →→→ ⋅=⋅
3. )x(glim
)x(flim
)x(g
)x(flim
ax
axax
→
→→ =
4. )x(flimk)]x(kf[lim axax →→ =
5. ( ) *,)(lim)(lim Nnxfxfn
ax
n
ax ∈= →→
6. *nax
nax Nn,)x(flim)x(flim ∈= →→
45
Exemplos
1) =+→ )x3x(lim 321x
2) =π→ )xcosx(lim 3x
3) =+
→10x
xcoslim
20x
4) =+→22
1x )3x(lim
5) =−+→ 1xxlim 232x
6) =+→ )x3x(senlim 21x
7) =−+→ )4x3x2(lim 22x
8) =−
−→ 2x
4xlim
2
2x
9) =−
+−→
9x
3x4xlim
2
2
3x
10) =−
+−→ 1x
4x5xlim
2
1x
11) =−
+−→
1x
2x3xlim
2
3
1x
12) =−+
→ x
33xlim 0x
13) =++−→ )4x3x(lim 31x
14) =+→ )senxx(coslim 0x
15) =−
−→
4x
8xlim
2
3
2x
16) =−
−→ 1h
1hlim 1h
17) =−+
→ t
5t325lim 0t
18) =−+
→ t
16)t4(lim
2
0t
19) =−
++−→
1x
2x3xlim
2
2
1x
20) =−−+
→ x
x1x1lim 0x
21) =−
−→
1x
1xlim
5
4
1x
46
x a
?
y
1.2 Limites Laterais Consideramos uma função y = f(x), da qual queremos achar os limites laterais
para x tendendo a a, ou seja, queremos calcular:
Limite lateral à direita
?)x(flim ax =−→
Limite lateral à esquerda
Vejamos como proceder em cada caso:
� Limite a direita (quando x → a+)
Exemplo:
=++→ )4x3(lim 2x 10
� Limite a esquerda (quando x → a-)
Exemplo:
=+−→ )4x3(lim 2x 10
O Limite de uma função existe quando )x(flim)x(flim axax +→−→ =
x
?
y
a
?)x(flim ax =+→
47
1.3 Limites Infinitos e Assíntotas 1.3.1 Limites Infinitos
Quando os valores assumidos pela variável x são tais que |x|> N, sendo N tão
grande quanto se queria, então se diz que o limite da variável x é infinito.
+∞=+∞→ xlimx ou −∞=−∞→ xlimx
Igualdades Simbólicas
Tipo Soma:
a. (3) + ( ∞± ) = ∞±
b. (+ ∞ ) + (+ ∞ ) = + ∞
c. - ∞ + (- ∞ ) = - ∞
d. ∞ - ∞ = indeterminado
Tipo Produto:
a. 5 x ( ∞± ) = ∞±
b. (-5) x ( ∞± ) = ∞m
c. (+ ∞ )x(+ ∞ ) = + ∞
d. (+ ∞ )x(- ∞ ) = - ∞
e. ± ∞ x 0 = indeterminado
Tipo Quociente:
a. 0c
=∞
b. ∞=∞
c
c. 00
=∞
d.0
0 e =
∞
∞ indeterminado
Tipo Potência:
a. +∞=+∞c (c>1)
b. 0c =+∞ (0<c<1)
c. 00 =∞
d. 0c =−∞
e. +∞=+∞ +∞)(
f. −∞=−∞ c)( (se c for ímpar)
48
g. +∞=−∞ c)( (se c for par)
h. 0)( =+∞ −∞
i. 0)( c =±∞ −
j. 00 = indeterminado
k. =±∞ 0)( indeterminado l. =±∞1 indetermindado
Obs.: O limite de uma função polinomial quando x tende ao infinito, é o limite do termo
de maior grau.
Exemplos
1) =−++∞→ )13(lim 2xxx
2) =−+
−+−+∞→
4x3x2
1x2x4x5lim
2
2
x
3) =+−
−+−∞→
3xx
5x4x3lim
2
2
x
4) −∞→xlim =+
34
5
6x
x2
5) =−+
++∞→
1x3x2
xx18lim
4
4
x
6) =−−−+++∞→ )1xx1xx(lim 22x
1.3.2 Assíntotas Horizontais e Verticais
Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as
assíntotas horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.
Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para
traçarmos a função, onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da
assíntota, porém não "toca " esta reta, pois a assíntota são os limites laterais vertical e
horizontal da função
49
Assíntota Vertical
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos
uma das afirmações seguintes for verdadeira:
i. ∞=+→
)(lim xfax
ii. −∞=+→
)(lim xfax
iii. ∞=−→
)(lim xfax
iv. −∞=−→
)(lim xfax
Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo
menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:
i. b)x(flimx =+∞→
ii. b)x(flimx =−∞→
1.4 Funções Contínuas Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes
condições:
i. ∃ )(af
ii. ∃ )x(flim ax→
iii. )a(f)x(flim ax =→
Exemplos: Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado:
1) x35x2)x(f +−= em x = 4
2)
>−
=
<−
=
3xsex3
3xse2
3xse1x
)x(f
2
em x = 3
1.5 Limites Trigonométricos
1x
senxlim 0x =→
50
Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que:
Exemplos
1) =→ x
x3senlim 0x
2) =→ x2sen
x5senlim 0x
1.6 Limites da Função Exponencial e Logarítmica
ex
11lim
x
x =
+∞→ (1)
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se
do número irracional e, cujo valor aproximado é 2,7182818
Propriedades:
P1)
( ) [ ] )(lim)( )(lim)(lim xg
ax
xg
axaxxfxf →
→→ =
P2) ( ) )(limlog)(loglim xfxf axax →→ =
P3) ( ) )(lim)(lim xfxf
axaxee →=→
x sen x
0,008 0,008
0,006 0,006
0,004 0,004
0,002 0,002
0,001 0,001
x
x
x
11
+
1 2
2 2,25
3 2,3703
10 2,5937
100 2,7048
1000 2,7169
10000 2,7181
100000 2,7182
51
Nota-se que a medida que x ∞→ , x
x
11
+ → e
De forma análoga, efetuando a substituição yx
=1
e y
x1
=
temos: e)y1(lim y1
0y =+→ (2)
Ainda de forma mais geral, temos:
(3) klyl
0y e)ky1(lim =+→
(4) kllx
x ex
k1lim =
+∞→
(5) alnx
1alim
x
0x =−
→
(6) 1x
1elim
x
0x =−
→
Exemplos
1) =
−∞→
x
x x
11lim
2) =+
∞→x
x )1x
x(lim
3) ( ) =+→x/1
0x x1lim
4) =−
→ x
1elim
x2
0x
Lista 6
52
2 DERIVADAS
2.2 A Derivada como Função O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII
tornou-se logo de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de
vários problemas relativos à Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para
investigação não-elementar tanto nas ciências naturais como humanas.
O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e
fora da realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas
em geral na resolução de problemas cotidianos.
2.3 A Derivada como Taxa de Variação Determinação do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função em
um determinado ponto deste gráfico:
Seja f uma função representada no gráfico abaixo:
y
xx
f x( )
Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um
determinado ponto, vamos supor P(x, f(x)).
53
Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo
assim, devemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em
P (x, f(x)).
y
xx
f x( )
Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a
diferença entre as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta
PQ utilizando os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo.
Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q.
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
R
Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado por
PR
QRtgmm sPQ =α==
h
)x(f)hx(fms
−+= (i) inclinação da reta secante
54
Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos
de P, a reta s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h,
tende a zero.
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
RQ3
Q2
Q1
Logo:
h
)x(f)hx(flimm
mlimm
0xt
s0xt
−+=
=
→
→
onde m representa o coeficiente angular da reta tangente.
Esse limite quando existe é chamado Derivada de t
Definição
Seja uma função f: D → R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que
exista f’(x).
Chama-se função derivada de f a função f’ : D’ → R tal que:
x
)x(f)xx(flim)x('f 0x
∆
−∆+= →∆
Exemplo
1) Seja a função f: R → R tal que f(x) = x2. Obter a função derivada de f: 2) Utilizando a definição calcule a derivada da função f(x)=x3
Outras notações para a função derivada:
� y’ (lê-se: derivada de y)
� y’x (lê-se: derivada de y em relação a x)
� dx
dy (derivada de y em relação a x)
� Df (derivada de f)
55
2.2.1 Significado físico da derivada
A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de
um móvel em um instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou
seja, a expressão que nos dá o espaço (posição) em função do tempo, s=f(t).
Quantitativamente a velocidade exprime em geral, a razão de variação do espaço
em relação ao tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou
seja, se o móvel percorre um espaço S∆ em um intervalo de tempo t∆ , a velocidade é
dada pelo quociente t
Sv
∆
∆= , que é uma razão constante.
Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços
diferentes em tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média
da velocidade instantânea.
Se um automóvel percorre 120 km em 2 horas, não podemos concluir deste fato
que sua velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao
velocímetro constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora
para menos. Portanto a velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 120km pelo
tempo de 2 horas gastos em percorrê-los é o que chamamos de velocidade média. A
velocidade que observamos a cada instante no velocímetro do veículo denominamos
velocidade instantânea.
Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma
trajetória retilínea de origem O e que em um instante t1 ocupe uma posição S1 e num
instante t2 ocupe uma posição S2.
Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é
12 SSS −=∆ ou )()( 12 tftfS −=∆ e que o tempo gasto para percorrê-lo é 12 ttt −=∆ .
Logo, sua velocidade média neste percurso é:
12
12
12
12m tt
)t(f)t(f
tt
SS
t
SV
−
−=
−
−=
∆
∆=
0 S1 S2
56
Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo
tendendo a zero podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t1,
dada por:
12
120t tt
)t(f)t(flim
t
SlimV
−
−=
∆
∆= →∆
Mas tttttt ∆+=⇒∆=− 1212 e considerando t1 um instante genérico t, temos
ttt ∆+=2 , logo:
t
)t(f)tt(flimV 0t
∆
−∆+= →∆
que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja:
Se S = f(t) então S’(t) = v
Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do
móvel, v= f(t), o que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração
do móvel em um instante qualquer, isto é:
Se v = f(t) então v’(t) = a
Onde a é a aceleração instantânea do móvel.
2.2.3 Regras de derivação:
Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo
das derivadas.
1) f(x) = c f’(x) = 0
2) f(x) = xn f’(x) = n.xn-1
3) f(x) = k g(x) f’(x) = k g’ (x)
4) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’
5) v
uxf =)(
2
'')('
v
uvvuxf
−=
6) f(x) = gn f’(x) = n.gn-1.g’
7) f(x) = au f’(x) = au.ln a.u’
8) f(x) = eu f’(x) = eu
57
9) f(x) = ln u u
1)x('f =
10) f(x) = log a u aln.u
1)x('f =
11) f(x) = cos u f’(x) = - sen u
12) f(x) = sen u f’(x) = cos u
13) f(x) = tg u f’(x) = sec2 u
14) f(x) = cotg u f’(x) = - cossec2u
15) f(x) = sec u f’(x) = sec u. tg u
16) f(x) = cossec u f’(x) = - cossec u. cotg u
17) f(x) = arc sen u 2u1
1)x('f
−
=
18) f(x) = arc cos u 2u1
1)x('f
−
−=
19) f(x) = arc tg u 2u1
1)x('f
+=
2.4 A Regra da Cadeia Derivada de uma função composta f(x) = g(f(x)) f’(x) = g’(u) . u’ u
2.5 Derivadas Funções Algébricas Exemplos
1) y = 4x2 – 2x
2) 7
3
5
x7y
2−−=
3) 3 2xy =
4) 1
2
+=
x
xy
5) )xx1)(3x2(y 2+−+=
6) 52 )3x(y +=
58
7) 2x1y −=
8) 3x4
2y
+=
2.6 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas Exemplos
1) x3y =
2) xey =
3) x22xey +=
4) ax2 exy ⋅=
5) 1e
1ey
x
x
+
−=
6) xlogy 3=
2.7 Derivadas de Funções Trigonométricas Exemplos 1) y = sen 5x 2) y = 3cos 2x 3) y = tg 3x 4) y = sec 4x 5) y = tg x3 6) y = tg2 x 7) y = cotg(1 – 2x2) 8) y = x2cosx 9) y = sen2x.cosx
10) x
xcosy =
11) x2
xarccosy
−=
2.8 Derivadas Sucessivas Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo
A ⊂ I. Vimos que a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um
intervalo B, B ⊂ A, a esta derivada de f’ denotamos por f” denominamos derivada
segunda de f.
Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras,
quarta,...,enésimas.
59
Exemplo
1) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x5 – 3x3
2) Dada a função f(x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, pede-se calcular f”(-1) e f(6)(15)
2.9 Derivação Implícita A derivação implícita requer quatro passos:
1) Derive os dois lados da equação em relação a x, considerando y como uma
função derivável de x.
2) Reúna os termos que contêm dy/dx.
3) Fatore isolando dy/dx.
4) Encontre dy/dx.
Exemplo
1) Determine dy/dx em: a) 2x3y + 3xy3 = 5 b) (x + y)2 – (x – y)2 = x3 + y3
2.10 Regra de L’Hospital Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo
0
0 ou
∞
∞. Esse método é dado pelas regras de L’Hospital.
Regras de L’Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I.
Suponhamos que g’(x) ≠ 0 para todo x ≠ a em I.
i). Se 0)x(glim)x(flim axax == →→ e L)x('g
)x('flim ax =→ então:
L)x('g
)x('flim
0x(g
)x(flim axax == →→
ii). Se ∞== →→ )x(glim)x(flim axax e L)x('g
)x('flim ax =→ então:
L)x('g
)x('flim
)x(g
)x(flim axax == →→
Obs.: A regra de L’Hospital continua válida se +∞=→ )x('g
)x('flim ax ou
−∞=→ )x('g
)x('flim ax . Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no
infinito.
60
Exemplos
1) 30lim
x
tgxxx
−→
2) x33x exlim −
∞→
2.11 Taxas de Variação Relacionadas Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma
terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual
dependem também estarão.
Estratégia para a resolução de problemas de Taxas Relacionadas
Se y depende de x e x depende de t, temos: dt
dx
dx
dy
dt
dy⋅=
61
Exemplos
1) Esvaziando um tanque
A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical se
bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3.000 L/min?
2) Um balão subindo
Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um
telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto de decolagem. No momento em
que o ângulo de elevação do telêmetro é π/4, o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14
rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?
62
3 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
3.1 Extremos de Funções Máximos e Mínimos
Suponha que o gráfico abaixo tenha sido feito por um instrumento registrador
usado para medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso,
o eixo dos x representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da
quantidade f(x).
Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas,
pressão, corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de
um produto químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc.
Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela
é decrescente.
y
xa b c d e
M
N
P
A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[,
crescente ]c, d[ e decrescente de ]d, e[.
Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade
atingiu seu máximo (maior valor) em d e seu mínimo em c.
Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos.
O ponto M da curva, de abscissa x = b, situa-se exatamente no ponto onde a
função passa de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um
máximo local em x = b, ou que f(b) é um máximo local da função. Isto é, o valor de f(b)
é o maior valor que a função assume para valores de x, próximos de b.
Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o
ponto mais alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”.
63
Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de
]c, d[. O ponto N da curva, situa-se exatamente no ponto em que a função passa de
decrescente para crescente e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo
ponto entre os que lhe são próximos. Dizemos que a função apresenta ai um mínimo
local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor de f(c) é o menor valor que a função
assume para valores próximos de x, próximos de b.
Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais.
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então:
i). f(x) é máximo de f em l se f(x) ≤ f(c) para todo x em l
ii). f(x) é mínimo em f em l se f(x) ≥ f(c) para todo x em l
Definição: Seja c um valor do domínio de uma função f
i). f(c) é máximo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que
f(x) ≤ f(c) para todo x em (a,b)
ii). f(c) é mínimo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que
f(x) ≥ f(c) para todo x em (a,b)
Teorema: Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f’(c) = 0 ou f’(c)
não existe.
Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite
tangente em cada ponto, conforme o gráfico abaixo.
No ponto B, de máximo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma
reta horizontal, paralela ao eixo x. Logo f’(a) = f’(b) = 0 pois o coeficiente angular da
reta tangente é a derivada da função no ponto.
A
B
64
Se f é uma função derivável e xo ponto tal que f’(xo) = 0 ou não exista, dizemos
que x0 é um ponto crítico da função f.
Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de
uma função ocorrem em pontos críticos da função.
A condição f’(x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no
ponto x, mas não é suficiente.
Seja por exemplo a função f(x) = x3. Derivando temos: f’(x) = 3x2, logo f’(x) = 0
e o ponto de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função.
Definição: Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou
f’(c)=0 ou f’(c) não exista.
Exemplo
Determine os pontos críticos da função f(x) = 4x2 – 3x + 2
Determinação dos Máximos e Mínimos locais:
1º) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f’(x)=0,
cujas raízes são as abscissas dos pontos críticos de f.
2º) Examinamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se
de extremo ou não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira
ou o teste da derivada segunda.
Crescimento e Decrescimento de funções:
Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no
intervalo aberto (a, b).
i). Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a, b]
ii). Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a, b]
Teste da Derivada Primeira:
Suponhamos que para x = x0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b
muito próximos de x0 tais que a<x0<b, então:
i). Se tivermos que f’(a) > 0 e f’(b) < 0, então, nesse caso a função passa de
crescente a decrescente e podemos afiram que f(x0) é um máximo local da
função.
65
ii). Se tivermos que f’(a) < 0 e f’(b) > 0, então, nesse caso a função passa de
decrescente a crescente e podemos afirmar que f(x0) é um mínimo local da
função.
Exemplos
1) Seja a função f(x) = x2 -4. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se existirem.
2) Seja a função f(x) = - x3 + 8x2 + 12x – 5. Determine os pontos de máximo, de
mínimo e de inflexão se existirem. Concavidade e Teste da Derivada Segunda:
Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto
contendo c, então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é:
i). Côncavo para cima se f”(c) > 0
ii). Côncavo para baixo se f”(c) <0
Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e
f’(c)=0.
i). Se f”(c) < 0, então f tem máximo local em c
ii). Se f”(c) > 0, então f tem mínimo local em c
Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta
seja contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto
crítico e classificá-lo.
Seja x0 a abscissa de um ponto crítico, se f”(x0) > 0, o gráfico de f côncavo para
cima para x próximo de x0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f(x0) é
um mínimo local de f.
Se f”(x0) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo pra x próximo de x0, isto é, f
tem concavidade voltada pra baixo, e nesse caso, f(x0) é um máximo local de f.
Resumindo:
Mínimo Local:
>
=
0)x("f
0)x('f
0
0
Máximo Local:
<
=
0)x("f
0)x('f
0
0
66
Exemplo
Determinar os pontos máximos ou mínimos da função f(x) = - x3 – 3x2 + 9x – 5, se existirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA.
3.2 Teorema do Valor Médio Teorema de Rolle
Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a,b] e derivável em todos
os pontos de (a,b). Se f(a)=f(b)=0, então há pelo menos um número c em (a,b) onde
f’(c)=0.
Teorema do Valor Médio
Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável no
intervalo aberto (a,b). Se f(a)=f(b)=0, então há pelo menos um ponto c em (a,b) em que
f’(c) = ab
)a(f)b(f
−
−
3.2 Construindo Gráficos Exemplos
Esboçar o gráfico de:
a) y = x3 – x
b) y = x4 – 5x2 + 4
3.3 Modelagem e Otimização Exemplos:
1) Confeccionando uma caixa
Uma caixa sem tampa será feita recortando-se pequenos quadrados congruentes dos
cantos de uma folha dde estanho medindo 12 x 12 pol e dobrando-se os lados para
cima. Que tamanho os quadrados das bordas devem ter para que a caixa chegue à
capacidade máxima?
2) Projetando uma lata de óleo
Pediram para você projetar uma lata de óleo com s forma de um cilindro reto. Que
dimensões exigirão menos material?
67
4 INTEGRAÇÃO Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A
partir de agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é
derivada?
A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de
antidiferenciação ou anti-derivada.
Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo
l se F’(x) = f(x) para todo x em l.
4.1 Integrais Indefinidas A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais
geral de uma função encontrada. O símbolo ∫ denota a operação de integral, e
escrevemos:
∫ += C)x(Fdx)x(f
A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos
a expressão antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a
expressão Integração Indefinida.
Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função,
temos algumas regras, que veremos a seguir.
4.2 Técnicas de Integração 4.2.1 Fórmulas de integração básica - Integrais imediatas
∫ += cxdx
∫ += caxadx
∫ ++
=+
c1n
xdxx
1nn
∫ += cxlnx
dx
∫ += caln
adxa
xx
68
∫ += cedxe xx
∫ += csenxxdxcos
∫ +−= cxsenxdx cos
∫ += ctgxxdxsec2
∫ += cxsecdx.tgx.xsec
∫ +−= cgxcotxdxseccos 2
∫ +−= cxseccosgxdxcot.xseccos
carctgxdxx1
12
+=+
∫
cxarccosdxx1
12
+=
+
−∫
c1xxlndxx1
1 2
2+++=
+
−∫
cx1
x1ln
2
1dx
x1
12
+−
+=
−∫
4.2.2 Integração por Substituição
Em muitos casos, a integral não se apresenta a primeira vista como podendo ser
resolvida por aplicação das fórmulas de integrais imediatas. Basta, no entanto, fazer
uma substituição de variável e isso se tornará possível.
Exemplo
1) ∫ =xdx2cos2
2) ∫ =+ xdx)x1( 32
3) ∫ =+1x
dx2
4) =+
∫xcos2
senxdx
5) ∫ =xdx2sec.x2tg 22
6) =∫ dxe x3
69
7) ∫ =+
+
dx1x
e 1x
8) ∫ =senx
xdxcos
4.2.3 Integração por Partes ∫ ∫−= du.vv.udv.u
Exemplo
1) ∫ =dxe.x x
2) ∫ =dx.senx.x
3) ∫ =dxex2x3
4) ∫ =dxxln 3
5) ∫ =+ dx)1xln( 2
4.2.4 Integração com aplicação de identidades trigonométricas
As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais
trigonométricas do presente capítulo:
i). 1xcosxsen 22=+
ii). xsecxtg1 22 =+
iii). xseccosxgcot1 22 =+
iv). )x2cos1(2
1xsen2
−=
v). )x2cos1(2
1xcos2
+=
vi). x2sen2
1xcossenx =⋅
vii). [ ])yx(sen)yx(sen2
1ycossenx ++−=⋅
viii). [ ])yxcos()yxcos(2
1senysenx +−−=⋅
ix). [ ])yxcos()yxcos(2
1ycosxcos ++−=⋅
70
x). x2
1sen2xcos1 2
=−
xi). x2
1cos2xcos1 2
=+
xii).
−π±=± x
2
1cos1senx1
Exemplos
1) ∫ =xdxsen3
2) ∫ =xdxcos5
3) ∫ =xdxsen2
4) ∫ =xdxcos2
4.2.5 Integração por frações parciais
Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da
forma )(
)(
xg
xf, onde f e g são polinomiais e o grau de f(x) é menor que o grau de g(x). A
idéia é desdobrar o integrando em uma soma de funções racionais mais simples, que
podem ser integradas.
CASO 1: Fatores de g(x) lineares e distintos
Exemplo: Calcule ∫ =−12
x
dx
CASO 2: Fatores lineares repetidos
Exemplo: Calcule ∫ =−−
+dx
xx
x
)2()1(
)1(2
71
X=1 X=3
y
x
4.2.6 Integrais Impróprias
Integrais Impróprias com Limites de Integração Infinitos
1) Se f(x) é contínua em [a, ∞), então ∫∫∞
∞→=
b
aab
dxxfdxxf )(lim)(
2) Se f(x) é contínua em (- ∞, b], então ∫∫∞−
−∞→=
b
a
b
adxxfdxxf )(lim)(
3) Se f(x) é contínua em (- ∞, ∞), então ∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
+=c
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
onde c é qualquer número real.
4.3 Integrais definidas - Somas de Riemann Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma
função tal que g’(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b].
Então ∫ −==b
a
b
a afbfxFdxxf )()()()( .
A expressão ∫ba dx)x(f é chamada de Integral Definida de f de a até b.
Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f,
então a integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) – g(a).
Os valores de a e b são chamados de limites de integração.
Exemplos
1) Calcule ∫ =31
2dxx
2) Calcule ∫ =31 dx5
3) Calcule ∫ =70 xdx
4.3.1 Interpretação geométrica
1) Seja f(x) = 5. Tomemos a região delimitada por (x), o eixo x e as retas x = 1 e x = 3.
72
Temos um retângulo de base 2 e altura 5, cuja área é dada por:
A1 = b.h = 2x5 = 10u.a (como no exemplo 2)
2) Seja f(x) = x (exemplo 3). Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x)
= x e as retas x = 0 e x = 7.
Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por
auA .2
49
2
772 =
⋅= .
Os fatos observados nestes exemplos não são mera coincidência. Na verdade, se
f(x)>0 para x ∈ [a,b], então ∫b
adxxf )( nos fornece a área limitada por f(x) pelas retas x
=a e x = b e o eixo x.
3) Tomemos agora um exemplo em que f(x) < 0 em [a, b]
∫−
−=+
13 dx)1x(
( ) ( )2)3(
2
3)1(
2
1x
2
x 2213
2−=
−+
−−
−+
−=+
−
−
1 3 7 x
y
1
3
f(x)=x
7
73
A região delimitada por y = (x+1), pelo eixo x e as retas x = - 3 e x = - 1 é
apresentada
abaixo:
Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura 2, assim, .a.u2
22A3
⋅=
Assim, vemos que ∫−
−=
133 dx)x(fA .
Em geral se f(x)<0 em [a, b] a área delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = a e
x=b é dada por ∫=ba dx)x(fA .
4.3.2 Propriedades das integrais definidas
1. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma
constante qualquer, então:
∫ ∫=ba
ba dx)x(fkdx)x(f.k
Exemplo: Calcule o valor da integral ∫ =30 xdx5
2. Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f +
g é integrável em [a, b] e:
1
-1
-2
-3 -1 x
y
74
∫ ∫ ∫+=+ba
ba
ba dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[
Exemplo: Calcule o valor da integral ∫ =
+
53
2 dxx
1x
3. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então:
∫ ∫ ∫+=ba
ca
bc dx)x(fdx)x(fdx)x(f
Exemplo: Calcule o valor da integral ∫− =32 xdx
75
5 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
5.1 Cálculo de áreas de uma região plana Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f(x) ≥ 0 para
todo x em [a, b], então temos que o número que expressa a área da região limitada pela
curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x = b é dada por, em unidades quadradas:
∫=ba dx)x(fA
Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até
b.
y
x
a b
Exemplos
1) Encontre a área limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.
x x=1 x=2
y
Área = R
76
-4
x
y
-2 2
2) Encontre a área limitada pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas x = - 2 e x = 2
3) Calcule a área limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = - x2 - 1 e as retas x = -1 e x = 3.
4) Calcule a área da região def. pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas x = -4 e x = 2
y
x
-10
10
3 -1
A1
A2
y
2
-4
-2 -4
12
x
A2
A1
77
x a b
y
g(x)
5.2 Área da região limitada por duas funções Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções.
Se f e g são contínuas em f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então a área A da
região R, limitada pelos gráficos de f, g, x =a e x = b, pode ser calculada subtraindo-se a
área da região sob o gráfico de g (fronteira inferior de R) da área da região sob o gráfico
de f (fronteira superior de R):
∫ ∫−=ba
ba dx)x(gxdx)x(fA ou ∫ −
ba dx)]x(g)x(f[
Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f(x) e g(x)
e as retas x = a e x = b, como ilustra a figura abaixo:
Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A1 – A2
Sendo ∫=ba1 dx)x(fA e ∫=
ba2 dx)x(gA
A = A1 – A2
x a b
y f(x)
g(x)
y f(x)
a b x
78
=A ∫ba dx)x(f ∫−
ba dx)x(g ∫ −=
ba dx)]x(g)x(f[A
Assim verificamos que é válido o teorema a seguir:
Teorema: se f e g são contínuas e f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então a área A
da região delimitada pelos gráficos de f, g, x = a e x = b é:
∫ −=ba dx)]x(g)x(f[A
Diretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções:
� Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira superior e por y = g(x) a
fronteira inferior.
� Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de
equações)
� Calcular a integral ∫ −=ba dx)]x(g)x(f[A
Exemplos
1) Encontre a área A da região limitada pelas curvas y = x2 e y = -x2 + 4x.
5.3 Volume de um sólido de revolução: Definição: Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do
plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixo de revolução.
Exemplo: Ao girarmos o triângulo abaixo em torno do eixo x, obtemos um cone de
revolução.
y
x
y
x
79
Definição: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido
obtido pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e
as retas x = a e x = b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então:
∫π=ba
2dx)]x(f[V
Definição: Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de x = a, x = b e
pelos gráficos de duas funções contínuas f e g, com f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x
em [a, b]. Então o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do
eixo x é dado por:
[ ]∫ −π=ba
22 dx)x(g)x(fV
Lista 8
80
Lista 1: Funções 1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2
– 4x + 3. Faça o diagrama de g e verifique se g é uma função de A em B. Em caso afirmativo escreva o conjunto imagem.
2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em R definida por f(x) = (x – 2)(x – 4). Determine o seu conjunto imagem.
3) Sejam f e g funções reais definidas, para todo o número real não nulo, por:
( )25
83)( −
+−= x
xxxf e ( )23
31
3
5)( 2
+−
−= xx
xxg
Se a e b são números reais distintos tais que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + b
4) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine o valor de f(0)
5) Determine o domínio das seguintes funções:
a) 54)( −= xxf
b) 1
3)(
2−
=x
xf
c) xy 21−=
d) 2
7
4
1
3
1)(
−−
−+
+
+=
x
x
xx
xxf
6) Sendo 1
1)(
−=
xxf , x≠ 1 e 42)( −= xxg , ache o valor de
+
2
1))2(( fggf .
7) Se 1
1)(
−=
xxf , qual o valor de x para que f(f(x)) = 1?
8) Dada a função 5
62)(
−
+=
x
xxf com x ≠ 5. calcule:
a) f-1(x) b) f-1(4)
Respostas: 1) sim, Im{0, 3} 2) Im = {-1, 0, 3} 3) 3 4) 29 5) a) D = R b) D = R – {-1, 1}
c)
≤∈=2
1| xRxD
d) { }2,,43| ≠<<−∈= xexRxD
6) – 9
7) 2
3=x
8) a) 2
65
−
+
x
x
b) 13
81
Lista 2: Função Polinomial do 1º grau
1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine: a) f(2) b) o valor de x para que f(x) = 0 2) Em uma função polinomial do 1o grau, y = f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) =
10. Escreva a função f e calcule
−
2
1f
3) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$900,00 e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expressar a lei da função que representa seu salário mensal b) Calcular o salário do vendedor que durante um mês ele vendeu R$ 50.000,00 em produtos 4) Num determinado país, o gasto governamental com educação, por aluno em escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de 1985, e de 3.600 dólares em 1993. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja constituído de pontos de uma reta: a) Obtenha a lei que descreve o gasto por aluno (y) em função do tempo (x), considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1 para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987 e assim por diante. b) Em que ano o gasto por aluno será o dobro do que era em 1985? 5) Considere as funções f e g definidas em R por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x a) Ache as raízes das funções f e g b) Sabendo que os gráficos de f e g são retas concorrentes, calcule as coordenadas do ponto de intersecção. 6) Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) ≤ 0
7) Determinar o conjunto verdade da inequação: 6
2
42
)1(4
3
1 xxxx −+>
−+
−
8) Resolver o sistema
<−−
≥−
03
512
x
x
9) Determinar o domínio da função 3
1
+−
−=
x
xy
Respostas: 1) a) 8 b) 2/5 2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7 3) a) y = 900 + 0,08x b) R$ 4900,00 4) a) y = 75x + 3000 b) 2025 5) a) 8 e 0 b) (2, 6)
6)
≥∈=2
1| xRxS
7)
<∈=21
16| xRxS
8) { }3| ≥∈= xRxS
9) { }31| <≤∈= xRxD
82
Lista 3: Função Polinomial do 2º grau 1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0) = 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de formação dessa função e calcule f(5). 2) Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função y = 3x2 – x + m passe pelo ponto (1, 6) 3) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x – 5 4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. Sabendo que essa função possui dois zeros reais iguais, determine o valor real de k. 5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas raízes reais, m e n, de modo que
12
511=+
nm. Determine o valor de f(-1) nessa função
6) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = - 5x2 + 3x – 1. 7) Determinar a e b de modo que o gráfico da função definida por y = ax2 + bx – 9 tenha o vértice no ponto (4, - 25) 8) Determinar o conjunto imagem da função f(x) = x2 – 3x + 2 9) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 10) Considerar todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre esses retângulos, determinar aquele que terá área máxima. Qual será essa área? 11) Determinar p de modo que a função f(x)= px2 + (2p – 1)x + p assuma valores positivos para todo x real. 12) Resolver a inequação –x2 + 1 ≤0 13) Determinar o conjunto solução da inequação x2 – 10x + 25 ≥ 0 14) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4 ≤ x + 2
15) Resolver a inequação 13
12
<+
+
x
x
Respostas 1) f(x) = - 3x2 + x + 5 f(5) = - 65 2) 4 3) 5 e -1 4) 1/3 5) 52
6)
−
20
11,
10
3V
7) a = 1 e b = - 8
8)
−≥∈=4
1/Im yRy
9) O valor mínimo da função é y = - 25/4 10) O retângulo que terá a maior área será o de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima será de 400 cm2.
11)
<∈4
1/ pRp
12) { }1,,1| ≥−≤∈= xouxRxS
13) S = R
14) { 02| <≤−∈= xRxS ou }31 ≤< x
15) S = {x ∈ R| x < - 3 ou -1< x <2}
83
Lista 4: Função exponencial 1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora. a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial? b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias? 2) Resolva as equações:
a) 72821=+
+x
b) 081
34 4
=−−
xx
3) Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a) 0273.2832=+−
xx
b) xx 2.123222
=+
c) 14
5
6416 +=
+ xx
4) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3x, determine x para que f(g(x)) = 2. 5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 1 m3 e, inicialmente, esta cheio. a) Após o 5o golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no tanque? b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes? 6) Resolva as inequações:
a) ( ) ( )4355
2
≥− xx
b)
513
3
1
3
1+−
<
xx
C) 1275,02 222 <⋅− ++ xX
7) Determine o domínio da função 12 2 −= −xy
Respostas: 1) a) 800 bactérias b) 9 horas 2) a) 3/2 b) 4 3) a) {0, 3} b) {2, 3} c) {1, 2} 4) x = 0 5) a) 0,59m3 b) f(n) = 1 . (0,9)n
6) a) }4,,1/{ ≥−≤∈ xouxRx
b) }3/{ >∈ xRx
c) }0/{ <∈ xRx
7) }2/{ ≥∈ xRx
84
Lista 5: Função logaritmica 1) Resolva as seguintes equações: a) log2 (x – 4) = 3 b) logx (3x
2 – x) = 2 c) (log3x)
2 – log3x – 6 = 0 d) log5(log3x) = 1 2) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule: a) log 6 b) log 5
c) log 2,5 d) log 3 3) Qual o conjunto solução da equação
2loglog 10010 =+ xx
4)Determine o campo de existência da função
)2510(log)12(log)( 23
23 +−−−−= xxxxxf
5) Resolva as inequações: a) log3(5x – 1) > log3 4 b) log2(x – 4) > 1 c) log12(x – 1) + log12(x – 2) ≤ 1
6) Desenvolva a expressão ln
( )
+3
2
BA
B.A
7) Resolva o sistema
=+
=+
3ylogxlog
9yx
22
8) Sabendo que log 2 (a + b) = 2 e (a - b) = 2 2 , calcular log 2 (a2 - b2)
9) Dados log 2 = a e log 3 = b, expressar log 9 20 em função de a e b.
10) Na figura está representado o gráfico de f (x) = log 2
+ bax
1. Qual é o
valor de f (1)?
85
Respostas: 1) a) 12 b) ½ c) {1/9, 27} d) 243 2) a) 0,778 b) 0,699 c) 0,398 d) 0,2385 3) 100
4) }5,,4,,3/{ ≠>−<∈ xexouxRx
5) a) }1/{ >∈= xRxS
b) }6/{ >∈= xRxS
c) }52/{ ≤<∈= xRxS
6) 2 ln A + ½ ln B – 3 ln (A +B) 7) {(1;8), (8;1)}
8) 3
322 +
9) b2
1a +
10) - 2
86
Lista 6: Limites Calcule os limites laterais:
1) =−−+→
)13(lim 2
2xx
x
2) =+
−+
→ 2
43lim
3 x
xx
3) =−
+−−
→ 13
235lim
2
1 x
xxx
4) =+−
+−−
→ 23
105lim
2
2
3 xx
xxx
5) =−++→
)31(lim3
xx
6) Calcule os limites laterais solicitados.
a)
<+
=
>−
=
1x se14x
1x se 2
x se x
xf
123
)( )(lim1
xf x
+→
, )(lim1
xf x
−→
, )(lim1
xfx →
b)
>
=
<−
=
2 x se1-x
2x se 0
x se x
xf
21
)(
2
)(lim2
xf x
+→
, )(lim2
xf x
−→
e )(lim2
xfx →
c)
>+
=
<
=
2 x se7-6xx-
2x se 1
x se 1-3x-x
xf
2
22
)(
2
)(lim2
xf x
+→
, )(lim2
xf x
−→
e )(lim2
xfx →
7) Calcule os limites:
1) =+++→ )15(lim 231 xxxx
2) =+−−−→ )342(lim 231 xxxx
3) =−−−−→
)1224(lim 23
2xxx
x
4) =−
−+→ 5
45lim
2
2
2x
xxx
5) =−
+−→ 2
107lim
2
2x
xxx
6) =+
−+−→ 3
32lim
2
3x
xxx
7) =+−
+−→ 12
34lim
5
3
1xx
xxx
8) =−
−→ 6
36lim
2
6x
xx
87
9) =+
+−→ 2
32lim
5
2x
xx
10) =+−+−
−+−→ 27543610
27188lim
234
234
3xxxx
xxxx
11) =−
−→
42
2lim 2
x
xx
12) =−
−→
2
4lim 4
x
xx
13) =−−
→x
xx
42lim 0
14) =−
+−→ 1
32lim 1
x
xx
15) =−+
→11
lim 0x
xx
16) =−
−+→
2
321lim 4
x
xx
17) =−−−
−+−→
1153
2232lim
2
2
2xx
xxx
8) Calcule os limites infinitos:
1) =−−−+∞→ )1235(lim 23xxxx
2) =−+−−∞→ )122(lim 245xxxx
3) =−+−−∞→ )123(lim 24xxx
4) =+++∞→ )853(lim 24xxx
5) =−+−−∞→ )235(lim 3xxx
6) =−+−+∞→ )23(lim 2xxx
7) =−+
−+−+∞→ 3
132lim
2
23
xx
xxxx
8) =−
+−∞→ 1
12lim
2
2
x
xx
9) =−
−∞→ 3
3lim
2x
xx
10) =−+−
++−−∞→ 359
1253lim
23
23
xxx
xxxx
11) =+−
−+−∞→ 784
852lim
5
23
xx
xxx
12) =+
+−−∞→ 7
125lim
23
x
xxx
88
13) =−+
++−∞→ 33
2
)1(
1lim
xx
xxx
14) =+
−−+∞→
1
532lim
4
2
x
xxx
15) =+
−−−∞→
1
532lim
4
2
x
xxx
16) =−+++∞→ )43(lim 2xxxx
17) =−++−∞→ )43(lim 2xxxx
9) Calcule os limites trigonométricos:
1) =→x
xsenx 2
3lim 0
2) =→x
senxx 4
lim 0
3) =→x
xtgx 3
2lim 0
4) =→xsen
xsenx 3
4lim 0
5) =→xtg
xtgx 5
3lim 0
10) Calcule os limites (função exponencial e logarítmica):
1) =−
−
→2
4
2
2
3lim x
x
x
2) =−
−
→1
1
1lim x
x
x e
3) =
−
+−
→
2
45
4
2
1lim
x
xx
xe
4) =++
++−→ 45
23loglim
2
2
31xx
xxx
5) =−+
−→
21
3lnlim 3
x
xx
6) =+
−→
xx
xxx 2
3
0 loglim
7) =
++∞→
x
xx
21
1lim
8) =
+−∞→
311lim
x
xx
89
Respostas:
1) 9 2) 1 3) 2 4) 26 5) 1 6) a) 1 e 5 b) 1 e -3 c) 1 e 1
7)
1) 8 2) 4
3) 526 −−
4) -10 5) -3 6) -4
7) 31−
8) 12 9) 80 10) 2 11) 0 12) 4 13) 4
14) 41−
15) 2
16) 34
17) 145
8)
1) + ∞ 2) - ∞ 3) - ∞ 4) +∞ 5) +∞ 6) -∞ 7) +∞ 8) 2 9) 0
10) 31
11) 0 12) +∞
13) 31
14) 2 15) 2
16) 23
17) +∞
90
9) 1) 3/2 2) ¼ 3) 2/3 4) 4/3 5) 3/5
10)
1) 81 2) e2 3) e-12 4) -1 5) ln4 6) 0 7) e2 8) e1/3
91
Lista 7: Derivadas Calcule y´em: 1) y = 5X4 – 3X3 + 2X2 + 3X + 5 2) y = 7x4 -2x3 + 8x
3) xxx
y 42
5
3
2 23
−+=
4) 3
7
xy =
5) 5
4
xy =
6) xxy += 2
7) 44 35 2 xxxy +−=
8) xxy 612 3 +=
9) 53
1
−=
xy
10) 72
53
−
+=
x
xy
11) 55
322
+−
+=
xx
xy
12) 2
232
2
+−
+−=
xx
xxy
13) y = (1 + 4x3)(1 + 2x2) 14) y = (x2 – 1)(1 – 2x)(1 – 3x2) 15) y = (2x2 – 4x + 8)8 16) y = (3a- 2bx)6
17) 3 3bxay +=
18) 3 22 )52( xy −=
19) xaxay −+= )(
20) 45 += xxy
Respostas:
1) y’ = 20x3 – 9x2 + 4x + 3 2) y’ = 28x3 – 6x2 + 8 3) y’ = 2x2 + 5x – 4
4) 4
21'
xy −=
5) 6
20'
xy −=
6) x
xy2
12' +=
7) 3
45 34
4
3
5
2' x
xxy +−=
92
8) x
xy3
18' +=
9) 25309
3'
2+−
−=
xxy
10) 2)72(
31'
−
−=
xy
11) 22
2
)55(
2562'
+−
+−−=
xx
xxy
12) 22
2
)2(
42'
+−
−=
xx
xy
13) y’ = 40x4 + 12x2 + 4x 14) y’ = 30x4 – 12x3 – 24x2 + 8x + 2 15) y’ = (32x – 32)(2x2 – 4x + 8)7 16) y’ = -12b(3ª-2bx)5
17) 3 23
2
)('
bxa
bxy
+=
18) 3 2523
20'
x
xy
−
−=
19) xa
xay
−
−=
2
3'
20) 452
815'
+
+=
x
xy
Calcule y´em:
1) y = 3x 2) y = e – x
3) 8xey =
4) 12
++=
xxey
5) xxy 22
7 +=
6) x
ey
x
=
7) xy 3ln=
8) xlog4y =
9) 2
2
1ln
x
xy
+=
10) x
xy
−
+=
1
1ln
11) 229ln xy −=
12) xx
yln
1=
13) xey x ln=
93
14) 22 ln xxy =
15) x
xy
ln=
Respostas:
1) 3ln3' xy =
2) xey −−='
3) 8
.8' 7 xexy =
4) )12.(' 12
+=++ xey xx
5) )22.(7ln.7' 22
+=+ xy xx
6) 2
)1('
x
xey
x−
=
7) x
xy
2ln3'=
8) 10ln
4'
xy =
9) )1(
2'
2xx
y+
=
10) 21
2'
xy
−= 13)
+=
xxey
x 1ln'
11) 229
2'
x
xy
−
−= 14) )1(ln2' 2 += xxy
12) 2)ln(
1ln'
xx
xy
−−= 15)
2
ln1'
x
xy
−=
Calcule y´em:
1) y = cossec 7x 2) y = sen3x + cos2x 3) y = sen5x 4) y = 5sen3x
5) 12 += xseny
6) x
xe
xy
cos=
7) x
senxy
cos=
8) 34xsenxey x +=
9) xy 3sec=
10) xarcseny 3=
11) x
arctgy1
=
12) )23( −= xarcseny
13) 22xarctgy =
94
14) arcsenxxy += 2
15) arctgxxy .=
16) xy arccosln=
Respostas 1) y’ = -7cossec7x.cotg7x 2) y’ = 3cos3x-2sen2x 3) y’ = 5sen4x.cosx 4) y’ = 15sen2x.cosx
5) 12
12cos'
+
+=
x
xy
6) x
ex
xxsenxxy
2
cos)cos('
−+−=
7) xy 2sec'=
8) 212)cos(' xxsenxey x ++=
9) xtgxx
y .sec2
3' 3=
10) 291
3'
xy
−=
11) 1
1'
2+
−=
xy
12) 3129
3'
2 −+−=
xxy
13) 441
4'
x
xy
+=
14) 21
12'
xxy
−+=
15) 21
'x
xarctgxy
++=
16) 21.arccos
1'
xxy
−
−=
95
Calcule os limites (Regra de L´Hopital)
1) 1
1lim
2
1−
−→
x
xx
2) 1
23lim
23
3
1+−−
+−→
xxx
xxx
3) 1
lnlim 1
−→
x
xx
4) 20 3
limx
senxxx
−→
5) 32
1lim
x
exx
x
−
+∞→
−−
6) 3
lim3
3−
−→
x
eex
x
7) senxx
xeexx
x−
−−−
→ 2lim
2
0
8) xsen
xx
π
2
1
1lim
−→
9) x
xsen
x−
−
→π
π2
1lim
10) x
baxx
x
−→0lim
11)
2
1lim
3
2 ππ
−
−→
x
xsenx
12) 1cos
1lim
2
0−
−→
x
ex
x
13) Obter a derivada terceira das seguintes funções: a) f(x) = x3 + 2x2 + 1 b) f(x) = 5x2 – 3x +2
c) 12
1)(
−=
xxf
d) f(x) = 2x-3 e) f(x) = sen3x f) f(x) = e2x
14) Obter a derivada segunda da seguinte função y = ex.cosx
96
Respostas
1) 2
2) 23
3) 1 4) 0 5) 0 6) e3 7) 2
8) π
2
9) 0
10) b
aln
11) 0 12) -2 13) a) 6 b) 0 c) 0 d)120x-6
e) -27cos3x f) 8e2x
14)
y” = -2exsenx
Aplicações das derivadas: 1) Determine as abscissas dos pontos críticos das funções abaixo: a) s(t) = 2t3 + t2 – 20t +4 b) f(x) = 4x3 – 5x2 – 42x + 7 c) g(w) = w4 – 32w 2) Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão das seguintes funções se existires: a) y = 6x3 + 15x2 – 12x -5
b) 887
4)( 2
−+−= xxxf
c) f(x) = - 9x2 + 14x +15 3) Determine as abscissas dos pontos máximos ou mínimos das seguintes funções: a) f(x) = x3 – 12x2 + 45x +30 b) y = 8x3 – 51x2 -90x +1 c) y = -x3 – 9x2 + 81x – 6 4) Esboce o gráfico de f(x) = x3 – 12 x2 5) Um ponto material é lançado ao solo, verticalmente para cima e tem posições no decorrer do tempo t dadas pela função horária s = 60 t – 5 t2 (s em metros e t em segundos). a) calcule o tempo gasto para atingir a altura máxima. b) determine a altura máxima em relação ao solo.
97
6) Um engenheiro precisa construir um cercado de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo-se que o engenheiro vai usar um muro como fundo do cercado, determine as dimensões do mesmo para que sua área seja máxima. 7) Um engenheiro deseja construir um depósito em forma de um prisma reto de base quadrada, aberto em cima e com capacidade de 64 m3. Determine suas dimensões a e b que o material para construí-lo seja mínimo. 8) Um engenheiro deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de 6280 m3. Sabendo-se que o preço da chapa de aço é de R$50,00 o metro quadrado e π = 3,14, determine: a) suas dimensões de forma que o custo seja mínimo b) o custo mínimo. Respostas:
1)
2)3
72
3)
235)
=
−=
−=
wc
exb
eta
2) a) máx x = (-2,31) e min x = (1/3,- 64/9) inflexão (5/6, 215/18) b) máx x =(7, 20) c) máx x = (7/9;184/9) 3) a) máx x = 3 e min x = 5 b) máx x = -3/4 e min x = 5 c) máx x = 3 e min x = - 9 4) 5) a) 6s b) 180 m 6) x = 4 m e y = 8 m
7) a = 3 24 m e b =
3 22 m
8) a) r = 10 m e h = 20 m b) 94.200,00
98
Lista 8: Integrais Resolva as integrais:
1) ∫ +dx
x
x33
2
)2(
8
2) ∫+
+dx
xx
x
312 )6(
)3(
3) dxx
x∫
+ )ln2(
4) ∫+
dxx
x 2)1(
5) ∫ + dxee xx .)1( 3
6) ∫ dx.xsenxcos3
7) dxx7
x3
2
−∫
8) dxx5cosx 43∫
9) dxx25
12+
∫
10) ( ) dx4x3 100+∫
11) dxxsen1
xcos2+
∫
12) ∫ − dx)3x2(sec2
13) ∫ dxxxsen .2cos.2 2
14) ∫
+dx
tgx
x2
1
sec
15) ∫ dxxtg .2
16) ∫ 22 )( xe
dx
17) dxxcos
xcossenx +∫
18) ∫ − dxx 2)14(sec
99
Respostas:
1) cx
++
−23 )2(3
4
2) 4
)6(3 322
xx + + c
3) cx
++
2
)ln2( 2
4) cxx
x +++5
2
3
42
25
23
21
5) ce
x
++
4
)1( 4
6) c4
xcos4+−
7) c3
)x7ln( 3+
−−
8) c)x5(sen20
1 4+
9) c5
xarctg
5
1+
10) cx
303
)43( 101+
l
11) carctgsenx +
12) c)3x2(tg2
1+−
13) cx
+−6
)2(cos 3
14) ctgx
++
−
1
1
15) cx +)2ln(cos2
1
16) ce
x+
−44
1
17 cxx ++)ln(sec l
18) cxxtgxxtg +++− )44ln(sec2
14
4
1
100
Resolva as integrais
1) ∫ =arcsenxdx
2) ∫ =xdx3sec
3) ∫ =dxxe x3
4) ∫ =xdx5xsen
5) ∫ =xdxlnx2
6) ∫ =dx.senx.x2
Respostas:
1) cxarcsenxx +−+21.
2) ctgxxtgxx +++ )ln(sec2
1.sec
2
1
3) c9
e
3
xe x3x3+−
4) cx5sen25
1x5cos
5
x++−
5) c9
x
3
xlnx 33+−
6) cxxsenxxx +++− cos22cos.2
Resolva as integrais:
1) ∫ =xdxsen2
2) ∫ =xdxcos2
3) ∫ =xdxsen3
4) ∫ =xdxsen 4
Respostas:
1) cx2sen4
1x
2
1+−
2) cx2
1x2sen
4
1++
3) – cos x + c3
xcos3+
4) Cxsenxsenx ++− 432
12
4
1
8
3
101
Resolva as integrais:
1) =−
∫4x
dx2
2) ∫ =−− 3x2x
xdx2
Respostas:
1) C|2x
2x|ln
4
1+
+
−
2) C|1x|ln4
1|3x|ln
4
3++−−
Integrais definidas Encontre o valor das integrais definidas abaixo:
1) ∫ =2
0
2dxx
2) ∫ =2
1
3dxx
3) ∫ =++4
1
2 )54( dxxx
4) ∫− =+2
2
3 )1( dxx
5) ∫− =
+
1
1
31
34
4 dxxx
6) ∫− =+4
3)2( dxx
7) ∫ =−
5
1 13x
dx
8) ∫− =−3
3
6 )3( dttt
Respostas:
1) 3
8
2) 4
15
3) 66 4) 4
5) 7
6
6) 2
35
7) [ ]173
22−
8) 7
4374
102
Aplicações das integrais Encontre a área delimitada pelas curvas e as retas dadas.
1) y = 4x – x2, o eixo x, as retas x = 1 e x=3. 2) y = 8x-x2, o eixo x, as retas x= 0 e x=4. 3) y = x2 + 1 e y =5 4) y = x2 e y = 4x 5) y = 1 – x2 e y = x – 1
6) y = senx, o eixo x, x = 0 e radx2
π=
7) y=senx, o eixo x, x = 0 e x = 2π rad
Respostas:
1) au.3
22 2) ...
3
128au
3) au.3
32 4) au.
3
32
5) au.2
9 6) 1 u.a.
7) 4 u. a
Resolva: 1) Seja f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região do plano limitada por f(x), pelo eixo x e as retas x = -1 e x = 1.
2) Seja x
xf1
)( = , determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do
eixo x, da região limitada por f(x), pelo eixo x e as retas x = 1 e x = 3. Respostas:
1) ..15
56vu
π
2) ..3
2vu
π
103
PLANO DE ENSINO
Carga horária semanal: 6 Carga horária total: 120
Ementa Propriedades de números reais. Funções reais de uma variável real. Algumas funções elementares. Limite. Continuidade. Derivada. Teorema do Valor Médio. Aplicações da derivada. Antiderivada. Integral de Riemann. Teorema Fundamental do Cálculo. Aplicações da integral. Métodos de integração. Integrais impróprias. Objetivos da Disciplina Familiarizar os alunos com os resultados fundamentais relativos a funções de uma variável real, limites, derivadas, integrais e aplicações. Conteúdo programático PARTE I 1 FUNÇÕES 1.1 Conceito matemático de função 1.2 Definição de função 1.3 Notação de Função 1.4 Domínio, contradomínio e imagem de uma função 1.5 Função Composta 1.6 Função Inversa 2 FUNÇÃO POLINOMIAL 2.1 Função polinomial do 1o grau 2.1.1 Função linear 2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau 2.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau 2.2 Inequações do 1o grau 2.2.1 Resolução de inequações do 1o grau 2.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau 2.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente 2.3 Função polinomial do 2o grau 2.3.1 Gráfico de uma função quadrática 2.3.2 Concavidade 2.3.3 Zeros de uma função quadrática 2.3.4 Vértice da parábola 2.3.5 Gráfico de uma parábola 2.3.6 Estudo do sinal da função quadrática 2.4 Inequações do 2o grau 2.4.1 Resolução de inequações do 2o grau 2.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau 2.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente 3 FUNÇÃO EXPONENCIAL 3.1.1 Potências com expoente natural 3.1.2 Potências com expoente inteiro 3.1.3 Potências com expoente racional 3.1.4 Potências com expoente real
104
3.2 Equações exponenciais 3.2.1 Resolução de equações exponenciais 3.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios 3.3 Função exponencial 3.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano 3.3.2 Características da função exponencial 3.4 Inequações exponenciais 3.4.1 Resolução de inequações exponenciais 4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 4.1 Conseqüências da definição 4.2 Propriedades dos logaritmos 4.3 Cologaritmo 4.4 Mudança de base 4.5 Função logarítmica 4.5.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano 4.6 Inequações logarítmicas 5 FUNÇÃO MODULAR PARTE II - 1 LIMITES 1.1 Noção Intuitiva e Propriedades 1.2 Limites Laterais 1.3 Limites Infinitos e Assíntotas 1.4 Funções Contínuas 1.5 Limites Trigonométricos 1.6 Limites da Função Exponencial e Logarítmica 2 DERIVADAS 2.2 A Derivada como Função 2.3 A Derivada como Taxa de Variação 2.4 A Regra da Cadeia 2.5 Derivadas Funções Algébricas 2.6 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 2.7 Derivadas de Funções Trigonométricas 2.8 Derivadas Sucessivas 2.9 Derivação Implícita 2.10 Regra de L’Hospital 2.11 Taxas de Variação Relacionadas 3 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 3.1 Extremos de Funções 3.2 Teorema do Valor Médio 3.2 Construindo Gráficos 3.3 Modelagem e Otimização 4 INTEGRAÇÃO 4.1 Integrais Indefinidas 4.2 Técnicas de Integração 4.3 Integrais definidas - Somas de Riemann 5 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 5.1 Cálculo de áreas de uma região plana 5.2 Área da região limitada por duas funções 5.3 Volume de um sólido de revolução
105
Estratégias de Ensino Aulas expositivas, seguidas de debates, exercícios de sondagem e fixação; proposição de situações problemáticas mediante condições explicativas para as possíveis soluções. Aulas práticas com listas de exercícios. Metodologia de avaliação Um mínimo de quatro avaliações (25 pontos cada) num total de 100 pontos. Bibliografia básica GUIDORIZZI, H. L.Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 476 p. HUGUES-HALLETT, D.Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1997. BEZERRA, M. J.Matemática. São Paulo: Scipione, 2004. Bibliografia complementar FOULIS, D. J.; MUNEM, M. A.Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1982. SIMMONS, G. F.Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Mcgraw-Hill, 1987. LARSON, R. E.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B.Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makrow Books, 1998. LEITHOLD, L.; PATARRA, C. de C.O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 1994. HOSTETLER, R. P.; IORIO, V. de M.; LARSON, R. E.Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro: LTC, 1998. FARIAS, A. A. de; SWOKOWSKI, E. W.Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 1995.
![Apostila Pre Calculo Final[1]](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/55cf8558550346484b8d0704/apostila-pre-calculo-final1.jpg)