Apostila Calculo i

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0 CÁLCULO I Prof (a) Ms Valéria Andrade Villela [email protected] LAVRAS – MG
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0 CLCULO I Prof (a) Ms Valria Andrade Villela [email protected] LAVRAS MG 1 SUMRIO PARTE I - 1 FUNES...................................................................................................................... 3 1.1 CONCEITO MATEMTICO DE FUNO.......................................................................................... 3 1.2 DEFINIO DE FUNO ............................................................................................................... 4 1.3 NOTAO DE FUNO ................................................................................................................ 5 1.4 DOMNIO, CONTRADOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO ............................................................ 6 1.5 FUNO COMPOSTA.................................................................................................................... 7 1.6 FUNO INVERSA ....................................................................................................................... 8 2 FUNO POLINOMIAL .............................................................................................................. 10 2.1 FUNO POLINOMIAL DO 1O GRAU ............................................................................................ 10 2.1.1 Funo linear.................................................................................................................... 10 2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma funo polinomial do 1o grau............................... 12 2.1.5 Estudo do sinal da funo polinomial do 1o grau............................................................. 13 2.2.1 Resoluo de inequaes do 1o grau ................................................................................ 15 2.2.2 Sistemas de inequaes do 1o grau................................................................................... 15 2.2.3 Inequao-produto e inequao-quociente ...................................................................... 16 2.3 FUNO POLINOMIAL DO 2O GRAU ............................................................................................ 18 2.3.1 Grfico de uma funo quadrtica................................................................................... 18 2.3.2 Concavidade...................................................................................................................... 19 2.3.3 Zeros de uma funo quadrtica ...................................................................................... 19 2.3.4 Vrtice da parbola .......................................................................................................... 20 2.3.5 Grfico de uma parbola.................................................................................................. 20 2.3.6 Estudo do sinal da funo quadrtica .............................................................................. 21 2.4 INEQUAES DO 2O GRAU.......................................................................................................... 22 2.4.1Resoluo de inequaes do 2o grau ............................................................................... 22 2.4.2 Sistemas de inequaes do 2o grau................................................................................... 23 2)Inequao-produto e inequao-quociente ....................................................................... 25 3 FUNO EXPONENCIAL........................................................................................................... 27 3.1.1 Potncias com expoente natural ....................................................................................... 27 3.1.2 Potncias com expoente inteiro ........................................................................................ 27 3.1.3 Potncias com expoente racional ..................................................................................... 27 3.1.4Potncias com expoente real............................................................................................ 27 3.2EQUAES EXPONENCIAIS........................................................................................................ 28 3.2.1 Resoluo de equaes exponenciais ............................................................................... 29 3.2.2 Resoluo de equaes exponenciais com o uso de artifcios .......................................... 30 3.3 FUNO EXPONENCIAL ............................................................................................................. 30 3.3.1Grfico da funo exponencial no plano cartesiano....................................................... 31 3.3.2 Caractersticas da funo exponencial............................................................................. 32 3.4 INEQUAES EXPONENCIAIS ..................................................................................................... 32 3.4.1 Resoluo de inequaes exponenciais ............................................................................ 32 4 FUNO LOGARTMICA........................................................................................................... 35 4.2 - CONSEQNCIAS DA DEFINIO ............................................................................................. 36 4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS ............................................................................................. 36 4.4 COLOGARITMO.......................................................................................................................... 36 4.5MUDANA DE BASE.................................................................................................................. 37 4.6 FUNO LOGARTMICA ............................................................................................................. 38 4.6.1 Grfico da funo logartmica no plano cartesiano......................................................... 38 4.7INEQUAES LOGARTMICAS.................................................................................................... 39 2 5 FUNO MODULAR................................................................................................................... 41 PARTE II - 1 LIMITES ..................................................................................................................... 44 1.1 NOO INTUITIVA E PROPRIEDADES ......................................................................................... 44 1.2LIMITES LATERAIS.............................................................................................................. 46 1.3LIMITES INFINITOS E ASSNTOTAS....................................................................................... 47 1.4FUNES CONTNUAS ......................................................................................................... 49 1.5LIMITES TRIGONOMTRICOS............................................................................................... 49 1.6LIMITES DA FUNO EXPONENCIAL E LOGARTMICA ......................................................... 50 2DERIVADAS............................................................................................................................. 52 2.2A DERIVADA COMO FUNO.............................................................................................. 52 2.3A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAO ........................................................................... 52 2.4A REGRA DA CADEIA.......................................................................................................... 57 2.5DERIVADAS FUNES ALGBRICAS.................................................................................... 57 2.6DERIVADAS DE FUNES EXPONENCIAIS E LOGARTMICAS................................................ 58 2.7DERIVADAS DE FUNES TRIGONOMTRICAS .................................................................... 58 2.8DERIVADAS SUCESSIVAS .................................................................................................... 58 2.9DERIVAO IMPLCITA ....................................................................................................... 59 2.10 REGRA DELHOSPITAL .......................................................................................................... 59 2.11TAXAS DE VARIAO RELACIONADAS ............................................................................... 60 3APLICAES DAS DERIVADAS.......................................................................................... 62 3.1 EXTREMOS DE FUNES............................................................................................................ 62 3.2TEOREMA DO VALOR MDIO.............................................................................................. 66 3.2CONSTRUINDO GRFICOS ................................................................................................... 66 3.3MODELAGEM E OTIMIZAO.............................................................................................. 66 4INTEGRAO.......................................................................................................................... 67 4.1INTEGRAIS INDEFINIDAS ..................................................................................................... 67 4.2TCNICAS DE INTEGRAO................................................................................................. 67 4.3INTEGRAIS DEFINIDAS - SOMAS DE RIEMANN...................................................................... 71 5 APLICAES DA INTEGRAL DEFINIDA................................................................................ 75 5.1 CLCULO DE REAS DE UMA REGIO PLANA............................................................................. 75 5.2 REA DA REGIO LIMITADA POR DUAS FUNES ...................................................................... 77 5.3 VOLUME DE UM SLIDO DE REVOLUO: .................................................................................. 78 LISTAS...............................................................................................................................................80 PLANO DE ENSINO.......................................................................................................................103 3 PARTE I - 1 FUNES 1.1 Conceito matemtico de funo Definio: Domnio da funo o conjunto de todos os valores dados para a varivel independente. Definio:Imagemdafunooconjuntodetodososvalorescorrespondentesdavarivel dependente. Como, em geral, trabalhamos com funes numricas, o domnio e a imagem so conjuntos numricos,epodemosdefinircommaisrigoroqueumafunomatemticautilizandoa linguagem da teoria dos conjuntos. Paraisso,temosquedefinirantesoqueumprodutocartesianoeumarelaoentredois conjuntos. Definio:Produtocartesiano:DadosdoisconjuntosnovaziosAeB ,denomina-seproduto cartesiano(indica-se:A B )deAporB oconjuntoformadopelosparesordenadosnosquaiso primeiro elemento pertence aA e o segundo pertence aB . A B ={( x , y )/x A ey B }. Definio:Relao:DadosdoisconjuntosAeB ,d-seonomederelaor deAemB a qualquer subconjunto deA B . r relao deA emBr A B . Exemplo SejamosconjuntosA={0,1,2,3},B ={0,2,4,6,8,10}earelaor deAemB ,talque y =2 x ,x A ey B . Escrever os elementos dessa relaor . Comox A: x =0 y =0 (0,0) A B ; x =1 y =2 (1,2) A B ; x =2 y =4 (2,4) A B ; x =3 y =6 (3,6) A B . Ento,r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}. 3 2 10123456yx78910 Representao da relao por diagrama. Representao da relao por sistema cartesiano. 00AB123246810r 4 Obs.:Podemosobservarque,numarelaor deAemB ,oconjuntor formadopelospares ( x , y )emqueoelementox Aassociadoaoelementoy B medianteumaleideassociao (no caso,y =2 x ). 1.2 Definio de funo Definio: SejamA eBdois conjuntos no vazios efuma relao deA emB . Essa relaof uma funo deA emBquando a cada elementoxdo conjuntoA est associado um e apenas um elementoydo conjuntoB . Nos exerccios a seguir, verifique se as relaes representam funo deA emB . Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relao. Exemplos 1)DadososconjuntosA={0,5,15}eB ={0,5,10,15,20,25},sejaarelaodeAemB expressa pela frmulay = x +5, comx A ey B . 00AB515510152025 x =0 y =5 (0,5) A B ; x =5 y =10 (5,10) A B ; x =15 y =20 (15,20) A B . Todos os elementos deA esto associados a elementos deB . A cada elemento deA est associado um nico elemento deB . Neste caso, a relao deA emBexpressa pela frmulay = x +5 uma funo deA emB . 2) Dados os conjuntosA={2,0,2,5} eB ={0,2,5,10,20}, seja a relao deA emBexpressa pela frmulay = x , comx A ey B . 0AB250251020-2 x =0 y =0 (0,0) A B ; x =2 y =2 (2,2) A B ; x =5 y =5 (5,5) A B . O elemento 2 deA no est associado a nenhum elemento deB . Neste caso, a relao deA emBno uma funo deA emB . 5 3)DadososconjuntosA={3,1,1,3}eB ={1,3,6,9},sejaarelaodeAemB expressapela frmulay =2x , comx A ey B . AB131369-3-1 x =3 y =9 (3,9) A B ; x =1 y =1 (1,1) A B ; x =1 y =1 (1,1) A B ; x =3 y =9 (3,9) A B . Todos os elementos deA esto associados a elementos deB . A cada elemento deA est associado um nico elemento deB . Neste caso, a relao deA emBexpressa pela frmulay =2x uma funo deA emB . 4) Dados os conjuntosA={16,81} eB ={2,2,3}, seja a relao deA emBexpressa pela frmula 4y = x , comx A ey B . AB81-22316 x =16 y =2 ouy =2 (16,2) e (16,2) A B ; x =81 y =3 (81,3) A B . Todos os elementos deA esto associados a elementos deB . O elemento 16 do conjuntoA est associado a dois elementos do conjuntoB . Neste caso, a relao deA emBno uma funo deA emB . 1.3 Notao de Funo Quando temos uma funo deA emB , podemos represent-la da seguinte forma: f : AB(l-se: funo deA emB ) x ay(l-se: a cada valor dex A associa-se um s valory B ) A letraf , em geral, d o nome s funes, mas podemos ter tambm a funog ,h , etc. Numa funog : R R , dada pela frmulay =2x 8, podemos tambm escreverg ( x )=2x 8. Neste caso,g ( 2 ) significa o valor deyquandox = 2 , oug ( 2 )=6. 6 1.4 Domnio, contradomnio e imagem de uma funo Uma funofcom domnioA e imagens emBser denotada por: f : AB(funo que associa valores do conjuntoA a valores do conjuntoB ) x ay = f ( x ) (a cada elementox A corresponde um nicoy B ) OconjuntoAdenominadodomniodafuno,queindicaremosporD.Odomnioda funo tambm chamado campo de definio ou campo de existncia da funo, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto , os valores possveis para a varivelx . OconjuntoB denominadocontradomniodafuno,queindicaremosporCD.no contradomnio que esto os elementos que podem corresponder aos elementos do domnio. Cada elementoxdo domnio tem um correspondenteyno contradomnio. A esse valor de y damosonomedeimagemdex pelafunof .Oconjuntodetodososvaloresdey queso imagens de valores dexforma o conjunto imagem da funo, que indicaremos porIm. Note que o conjunto imagem da funo um subconjunto do contradomnio da mesma. f : ABx ay = f ( x ) D= A,CD= B ,Im ={ y CD/y correspondente de algum valor dex }. Exemplos 1)DadososconjuntosA={3,1,0,2}eB ={1,0,1,2,3,4},determinaroconjuntoimagemda funof : ABdefinida porf ( x )= x +2. f (3)=(3)+2=1 f (1)=(1)+2=1 f (0)=(0)+2=2 f (2)=(2)+2=4 AB0201234-3-1-1 Im ={1,1,2,4} 2) Dada a funof : R Rdefinida porf ( x )=a x +b , coma , b R , calcularaeb , sabendo quef (1)=4 ef (1)=2. A lei de formao da funo f ( x )=a x +bouy =a x +b . f (1)=4 x =1 ey =4 4=a 1+b(i) f (1)=2 x =1 ey =2 2=a (1)+b(ii) De (i) e (ii), temos: a +b =4 a +b =2 2b =2 b =1 ea =3a =3 eb =1 f ( x )=3 x +1. 7 1.5 Funo Composta Tome as funesf : AB , definida porf ( x )=2 x , eg : B C , definida porg ( x )=2x . Note que o contradomnioBda funof o mesmo domnio da funog . f : AB : a cadax A associa-se um nicoy B , tal quey =2 x . g : B C : a caday Bassocia-se um nicoz C , tal quez =2y . Neste caso, podemos considerar uma terceira funo,h : AC , que faz a composio entre as funesfeg : AB Cghfxy z Funo composta h : AC : a cadax A associa-se um nicoz C , tal quez =2y =22 ) ( x =42x . Essa funohdeA emC , dada porh ( x )=42x , denominada funo composta degef . De um modo geral, para indicar como o elementoz C determinado de modo nico pelo elementox A, escrevemos: z = g ( y )= g ( f ( x )) Notao: A funo composta degefser indicada porg of(l-se:gcrculof ) ( g of )( x )= g ( f ( x )) Exemplos 1)Sejamasfunesreaisf eg definidasrespectivamenteporf ( x )= x +1eg ( x )=22x 3. Determine: a)f ( g ( x )). f ( g ( x ))= f (22x 3)=22x 3+1=22x 2 f ( g ( x ))=22x 2. b)g ( f ( x )). g ( f ( x ))= g ( x +1)=221) ( + x 3=2(2x +2 x +1)3=22x +4 x +23=22x +4 x 1 g ( f ( x ))=22x +4 x 1. c) Os valores dexpara que se tenhaf ( g ( x ))= g ( f ( x )). f ( g ( x ))= g ( f ( x )) 22x 2=22x +4 x 1 2=4 x 1 4 x =12 x =41. 8 3 2 1 01234yx-1-2-1 -2 4ff-12) Sendof ( x )=3 x 1 ef ( g ( x ))=6 x +8, determineg ( x ). Comof ( x )=3 x 1, entof ( g ( x ))=3 g ( x )1. Comof ( g ( x ))=6 x +8, ento 3 g ( x )1=6 x +8. 3 g ( x )1=6 x +8 3 g ( x )=6 x +8+1 g ( x )=39 6 + x g ( x )=2 x +3. 1.6 Funo Inversa Definio:Funobijetora:Afunof denominadaBIJETORA,sesatisfazasduascondies abaixo: 1.O contradomnio defcoincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomnio correspondente de algum elemento do domnio. 2.Cada elemento do contradomnio def imagem de um nico elemento do domnio. Definio: Diz-se que uma funofpossui inversa 1 fse for bijetora. 1.6.1 Determinao da Funo Inversa Caso a funo seja bijetora, possuindo portanto inversa, possvel determinar a sua inversa. Para isso trocamos a varivelxporyna lei que define a funo e em seguida isolamos oy , obtendo a lei que define a funo inversa. preciso apenas tomar certo cuidado com o domnio da nova funo obtida. Exemplo 1) Obter a lei da funo inversa 1 fda funofdada pory = x +2. y = x +2 funof . x = y +2 trocando a varivelxporyeyporx . y = x 2 isolandoy . Ento,y = x 2 a lei da funo inversa da funo dada pory = x +2. Logo: f ( x )= x +2 e 1 f ( x )= x 2 2)Construirosgrficosdasfunesf e 1 f doexerccioanterior,nummesmosistemade coordenadas. x f ( x )x1 f ( x ) 1111 0220 1331 2442 Notequeosgrficos dasfunesf e 1 fsosimtricosem relaoretaque contmasbissetrizes do 1o e 3o quadrantes. 9 3) Determinar a funo inversa 1 gda funog ( x )=3 25+xx, cujo domnio D= R )`23. y =3 25+xx funog . x =3 25+yy trocando a varivelxporyeyporx . (2 y 3) x = y +5 isolandoy . 2 xy 3 x y =5 y (2 x 1)=3 x +5 y =1 25 3+xx 2 x 10 x 21. Logo, 1 g : R )`21R )`23 dada pory =1 25 3+xx a funo inversa procurada. Lista 1 10 2 FUNO POLINOMIAL Funopolinomialcomumavarivelousimplesmentefunopolinomialaquelacuja formulao matemtica expressa por um polinmio. 2.1 Funo polinomial do 1o grau A funo polinomial do 1o grau a que tem sua representao matemtica por um polinmio de grau 1. Representao da funo polinomial do 1o grau: f ( x )=a x +b ,coma, b R ( a0).aeb sooscoeficientesex avarivel independente. Exemplo: Em uma funo polinomial do 1o grau,y = f ( x ), sabe-se quef (1)=4 ef (2)=10. Escreva a funofe calculef ||

\|21. Sef polinomialdo1ograu,entopodemosescrever:y =a x +b .Usandoosdadosdo problema: f (1)=4 x =1 ey =4. Ento,a1+b =4 a+b =4 (i). f (2)=10 x =2 ey =10. Ento,a(2)+b =10 2 a+b =10 (ii). Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii): (i)a +b =4a +b =4 (ii) 2 a +b =10(1)2 a b =10 3 a =6a =2 Sea =2, ento 2+b =4 b =6. A funof dada porf ( x )=2 x +6. Clculo def ||

\|21: f ||

\|21=2||

\|21+6=1+6=7 A funo f ( x )=2 x +6 ef ||

\|21=7. 2.1.1 Funo linear Seja a funo polinomial do 1o grauf ( x )=a x +b . No caso deb =0, temosf ( x )= a x , e ela recebe o nome especial de funo linear. Obs.:Se,emumafunolineartivermosa=1,teremosf ( x )= x ouy = x ,quesedonomede funo identidade. 11 2.1.2 Grfico de uma funo polinomial do 1o grau Paraconstruirogrficodeumafunopolinomialdo1ograu,atribumosvaloresdo domnio varivelxe calculamos as respectivas imagens. Exemplo: Construir o grfico da funo realfdada pory =2 x 1. xyPar ordenado 25(2,5) 13(1,3) 01(0,1) 11(1,1) 23(2,3) 35(3,5) 3 2 1 01234yx-1-2-1 -2 45-3-4-5 Definio 9: O grfico da funo lineary =a x( a 0) sempre uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano. Definio10:Ogrficodafunopolinomialdo1ograuy =a x +b ( a 0)interceptaoeixodas ordenadas no ponto (0, b ). 2.1.3 Determinao de uma funo a partir do grfico Nos exerccios abaixo, determine a lei de formao da funof ( x )=a x +b . Exemplo 1) Determine a lei de formao da funof , cujo grfico cartesiano : 3 2 1 01234yx-1-2-1 -2 45-3-4-5 12 Sabendo-se quey =a x +b , do grfico, temos que: x =1 ey =1 1=a (1)+b a +b =1 (i). x =1 ey =3 3= a (1)+ba +b =3 (ii).(i) a + b =1 (ii)a + b =3 2b =2 b =1 Seb =1, entoa +b =3 a +1=3 a =2 Logo: A funo f ( x )=2 x +1. 2) Determine a lei de formao da funof , cujo grfico cartesiano : 3 2 1 01234yx-1-2-1 -2 45-3-4-5 Sabendo-se quey =a x +b , do grfico, temos que: x =1 ey =1 1= a (1)+ba +b =1 (i). x =2 ey =2 2= a (2)+b 2 a +b =2 (ii).(i)a +b =1(1)a b =1 (ii)2 a +b =22 a +b =2 a=3a =3Sea =3, ento 3+b =1 b =4 Logo: A funo f ( x )=3 x +4. 2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma funo polinomial do 1o grau Sejafa funo polinomial do 1o grau definida porf ( x )=a x +b . Podemos determinar que: i) A funof crescente se o coeficientea>0; ii) A funof decrescente se o coeficientea0,f ( x )0 e c)y abf ( x )> 0 x < ab f ( x )< 0 x < abf ( x )< 0 x > ab 2.2 Inequaes do 1o grau Definio:Denomina-seinequaodo1ograunavarivelx todadesigualdadequepodeser reduzida a uma das formas: a x +b 0; a x +b >0; a x +b 0; a x +b 4x+62 x . Represente a soluo na reta real. 31 x+21 4 ) ( x >4x+62 x Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum: 1224 24 4 4 x x + >122 4 3 x x + Simplificando: 20 x +20> x +4 20 x x >20+4 21 x >16 Multiplicando por (1): 21 x 0 concavidade voltada para cima. Zeros da funo: 2x +2 x =0 x ( x +2)=0 1x=0 e 2x=2. Ponto onde a parbola corta o eixoy : x =0 y =0 (0,0) Vrtice da parbola: Vx =ab2=22=1 Vy =a 4=44=1 V (1,1) Imagem:y 1 para todoxRealIm={ y R ;y 1} 3 2 1 01234yx-1-2-1 -2 45-3-4-55 -3 -4 -5V 21 2) Construir o grfico da funoy =2x +4 x 5, determinando sua imagem. a =10a 0 parax 2x f ( x )2xf ( x )0 para 1x< x 0 parax 1x f ( x )0 xrealf ( x )0; a2x +bx +c 0; a2x +bx +c 0. Resoluo Estudar a variao do sinal da funof ( x )=2x 3 x +2. a =1>0 Concavidade para cima. 2x 3 x +2=0 =1>0 Duas razes reais diferentes. 1x=1 x =21 3 2x=2 x2 1 S={ x R ;x 2}. Obs: somente valores positivos. 23 2) Resolver a inequao 2x 10 x +250. Resoluo Estudar a variao do sinal da funof ( x )=2x 10 x +25. a =1>0 Concavidade para cima. 2x 10 x +25=0 =0 Raiz dupla (nica). 1x=2x=210 x =5 x5 S= R . Obs: Todos os valores so positivos ou iguais a zero. 3) Resolver a inequao 22x +5 x 60. Resoluo Estudar a variao do sinal da funof ( x )=22x +5 x 6. a =20 =64 >0 1x=4e 2x=4 f(x)g(x) x3 2 x4 -4 x3 2 x4 -4 f(x)= 2x 2 x 3a>0=16> 0 1x= -1 e 2x = 3 g(x)=2x 3 x +4a 0 1x=4e 2x = 1 f(x)g(x) x3 -1 x1 -4 x3 -1 x1 -4 26 x-4() gx () fx ()x () fg3 4 2 S={ x R ;x 4}. 5)Determine o domnio da funof ( x )=610 32 xx x. Resoluo fs representa um nmero real se 610 32 xx x0. F(x)= 2x 3 x 10a>0 =49 >0 1x=2e 2x=5 g(x)=x 6a>0g(x)=0x =6 f(x)g(x) x5 -2 x6 x5 -2 x6 x-2() gx () fx ()x () fg5 6 D={ x R ; 2 x 5 oux >6}. Lista 3 27 3 Funo Exponencial 3.1 Reviso de Potenciao 3.1.1 Potncias com expoente natural Sendoaum nmero real enum nmero natural, comn 2, definimos: na =43 42 1Kfatores na a a a . Paran =1 en =0 so definidos: 1a=a . 0a =1 ( a 0). 3.1.2 Potncias com expoente inteiro Sea um nmero real no-nulo ( a 0) enum nmero inteiro e positivo, definimos: na=na1. 3.1.3 Potncias com expoente racional Sea umnmerorealpositivoe nmumnmeroracional,comn inteiropositivo, definimos: nma =n ma . 3.1.4Potncias com expoente real Podemos considerar que as potnciascom expoente real tm significadono conjunto dos nmeros reais. Temos, por exemplo: 210 =25,954553519470080977981828375983. 3.1.4.1 Propriedades Para as potncias com expoente real so vlidas as seguintes propriedades operatrias: ma na =n ma+. ma :na =n ma ( a 0). n ma ) ( =n ma. nb a ) ( =na nb . nba||

\|=nnba ( b 0). 28 Exemplos 1) D o resultado mais simples de (3565 ):105 . Resoluo Usando as propriedades, temos: (3565 ):105 =(6 35+):105 =95:105 =10 95=15=51. 2) Calcule o valor da expresso 232||

\|+321||

\|06 . Resoluo 232||

\|+321||

\|06=223||

\|+321||

\|1=49+811=88 1 18 +=811. 3) Simplifique xx x22 22 5 + +. Resoluo xx x22 22 5 + +=xx x22 2 2 22 5 =xx22 2 22 5) ( =5222 =28. 4) Calcule 348 . Resoluo Primeira resoluo: 348 =3 48 =34096 =16. Segunda resoluo: 348 =3432 ) ( =3432=42 =16. 5) Determine o valor de 7 081,:2 081,. Resoluo 7 081,:2 081,=2 0 7 081, , =5 081,=5 0 43,) ( =23=9. 10) Qual o valor de 2 210 ) ( :51 0 ) , ( ? Resoluo 2 210 ) ( :51 0 ) , ( =2 210:5 110 ) (=210:510=) ( 5 210 =710=10000000. 3.2Equaes exponenciais Definio: Chama-se equao exponencial toda equao que contm incgnita no expoente. Exemplo: x2 =16. 13+ x. 23 x=9. 29 13 x=27. 10x 22 5x 22 1=0. 3.2.1 Resoluo de equaes exponenciais Para resolver uma equao exponencial, devemos transform-la de modo a obter potncias de mesma base no primeiro e no segundo membros da equao utilizando as definies e propriedades da potenciao. Alm disso, usaremos o seguinte fato: Definio: Sea >0,a 1 ex a incgnita, a soluo da equao xa =pax = p . Exemplos 1) Resolver a equao x4 =512. Resoluo Usandoaspropriedadesdaspotncias,vamostransformaro1oe2omembrosdaequaoem potncias de mesma base: x4 =512 x) (22 =92 x 22 =92 2 x =9 x =29. S=)`29. 2)Umaempresaproduziu,numcertoano,8000unidadesdedeterminadoproduto.Projetandoum aumento anual de produo de 50%, pergunta-se: a)Qual a produo P dessa empresatanos depois? b)Aps quantos anos a produo anual da empresa ser de 40500 unidades? Resoluo a)Obs: 50%=10050=0,5 Um ano depois: 8000+0,58000=8000(1+0,5)=80001,5 Dois anos depois: (80001,5)1,5=800025 1 ) , (Trs anos depois: (800025 1 ) , ( )1,5=800035 1 ) , (Produo P,tanos depois: P=8000t) , ( 5 1b)Fazendo P=40500, na frmula anterior, obtemos a equao: 40500=8000t) , ( 5 1Resolvendo a equao: 40500=8000t) , ( 5 1 t) , ( 5 1 =800040500. Obs: 1,5=23. t||

\|23=1681 t||

\|23=4423 t||

\|23=423||

\| t =4. Desse modo, a produo anual da empresa ser de 40500 unidades aps 4 anos. 30 3) Determine o conjunto soluo da equao 281+ x=1 no universo dos nmeros reais. Resoluo Sabendo que 081=1, temos: 281+ x=1 281+ x=081x +2=0 x =2. S={2}. 3.2.2 Resoluo de equaes exponenciais com o uso de artifcios Paraseresolverdeterminadasequaesexponenciais,sonecessriasalgumas transformaes e artifcios. Exemplos 1) Resolver a equao x4 5x2 +4=0. Resoluo Usando as propriedades da potenciao, vamos fazer uma transformao na equao dada: x4 5x2 +4=0 x) (22 5x2 +4=0 22 ) (x5x2 +4=0. Fazendo x2 = y , temos a equao do 2o grau emy : 2y 5 y +4=0 y =216 25 5 1y =4 e 2y =1. Voltando igualdade x2 = y : 1y =4: x2 = y x2 =4 x2 =22x =2. 2y =1: x2 = y x2 =1 x2 =02x =0. S={0,2}. 2) Determine o conjunto soluo da equao x5x 25 =24. Resoluo Preparando a equao, temos: x5x 25 =24 x525x 5 =24 x525x51=24 x5x525=24. Fazendo x5= y , temos: y y25=24 2y 25=24 y 2y 24 y 25=0 ==12521yy Voltando igualdade x5= y : 1y =25: x5= y x5=25 x5=25x =2. 2y =1: x5= y x5=1 Esta equao no tem raiz emR , pois x5>0, para todoxreal. S={2}. 3.3 Funo exponencial Definio:Afunof : R R dadaporf ( x )=xa (coma >0ea 1)denominadafuno exponencial de basea . 31 3.3.1Grfico da funo exponencial no plano cartesiano Dada a funof : R R , definida porf ( x )=xa(coma >0 ea 1), temos dois casos para traar seu grfico: (i)a >1 e (ii) 01 a funof ( x )=xa crescente. (ii)05. S={ x R ;x >5}. 2) Resolva a inequao x x 2 323+) ( 1. Resoluo x x 2 323+) ( 1 x x 2 323+) ( 03) ( Caso (i):a >1. 32x +2 x 0 Tomef ( x )=32x +2 xf ( x )=0 32x +2 x =0 = =03221xx x023 S={ x R ;x 2/3 oux 0}. 33 3) Resolva a inequao 321+||

\|x0emumnmerorealqualquer.Dadefiniodelogaritmos, pode-se verificar que: 1)O logaritmo de 1 em qualquer base igual a zero. 1alog =0, pois 0a =1. 2)O logaritmo da prpria base igual a 1. aalog =1, pois 1a=a . 3)O logaritmo de uma potncia da base igual ao expoente. ma a log =m, pois ma =ma . 4)O logaritmo debna basea o expoente ao qual devemos elevarapara obter b . baalog=b , pois xa =bx = balog . 4.3 Propriedades dos logaritmos 1)Logaritmo de produto ) ( log y xa = xalog + yalog(1a >0,x >0 ey >0). 2)Logaritmo de quociente |||

\|yxalog = xalog yalog(1a >0,x >0 ey >0). 3)Logaritmo de potncia ma x log =m xalog(1a >0,x >0 emR ). 4.4 Cologaritmo Cologaritmo de um nmero positivobnuma basea(1a >0) o logaritmo do inverso desse nmerobna basea . b coalog = ||

\|ba1logb coalog = balog(1a >0 eb >0). Exemplo Sabendo quelog 3=aelog 5=b , calcule os logaritmos abaixo, em funo deaeb . a)log 15 log 15=log (35)=log 3+log 5=a +b . b)log 675 log 675=log (3325 )=log33+log25=3log 3+2log 5=3 a +2b . c)log 2 37 log 2=log510=log 10log 5=1b . 4.5Mudana de base As propriedades logartmicas so vlidas para logaritmos numa mesmabase, por isso,emmuitoscasos,convenientefazeraconversodelogaritmosdebases diferentes para uma nica base. A seguir, ser apresentada a frmula de mudana de base. Seja: balog = x xa =b . Aplicando o logaritmo na basecem ambos os membros, obtemos: xc a log = bclogx aclog = bclogx =abccloglog, masx = balog . Ento: balog =abccloglog (1a >0, 1c >0 eb >0). Exemplos1) Sendolog 2=0,3 elog 3=0,4, calcule62log . 62log =26loglog=23 2log) log( =23 2loglog log +=3 04 0 3 0,, , +=3 07 0,,=37. 2) Resolva a equaox2log + x4log + x16log =7. A condio de existncia x >0.Transformando para a base 2: x2log + x4log + x16log =7 x2log +422loglog x+1622loglog x=7 x2log +22 x log+42 x log=7 42 42 2 2x x x log log log + +=428 7 x2log =28 x2log =4 42 = xx =16 16 satisfaz a condio de existncia. Logo, o conjunto soluo : S={16}. 3) Resolva a equao 2log ( x +2)+2log ( x 2)=5. 38 Condies de existncia so:x +2>0 ex 2>0 x >2 ex >2. Ento:x >2. 2log ( x +2)+2log ( x 2)=5 2log [( x +2)( x 2)]=5 ( x +2)( x 2)=522x 4=32 2x =36 2x =6 6 no satisfaz a condio de existncia mas, 6 satisfaz. Logo, o conjunto soluo : S={6}. 4.6 Funo logartmica Afunoexponencialg : R +R definidaporg ( x )=xa (com1a >0) bijetora. Nesse caso, podemos determinar a sua funo inversa. a funo logartmica definida abaixo. Definio:Afunof :+RR definidaporf ( x )= xalog (com1a >0)chamada funo logartmica de basea . 4.6.1 Grfico da funo logartmica no plano cartesiano Como os grficos defunes inversas so simtricos em relao bissetriz dos quadrantes mpares, o grfico da funo logartmica de imediata construo, uma vez que j vimos o grfico da funo exponencial. Sejaf :+RR , tal quey = xaloge 1 f : R +R , tal quey =xa . Os grficos defe 1 fsero plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal. (i)a >1. 3 2 1 0678yx-1 -2 4 -3 -412345=y xlog xa=y=yxa Grfico da funo logartmica e exponencial ( a > >> >1). (ii)0 2 equivalente resolver as equaes: 2x + 4 > 2 ou 2x + 4 < 2 e da, na primeira equao tem-se x > 1, na segunda equao tem-se x < 3; e portanto a soluo a unio entre as duas respostas, ou seja,S = {x IR ;x < 3 ou x > 1}.

b) E resolver | 3x + 9 | 6 o mesmo que resolver: 3x + 9 6 e 3x + 9 6, e portanto na primeira tem-se x 1 e na segunda tem-se x 5; e portanto a soluo a interseco, ou seja, S = {x IR ; 5 x 1}

44 PARTE II - 1 LIMITES 1.1 Noo Intuitiva e Propriedades 1.1.1 Noo Intuitiva Seja a funo f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela suadireita(valoresmaioresque1)epelasuaesquerda(valoresmenoresque1)e calcular o valor correspondente de y. xy = 2x + 1xy = 2x + 11,013,020,62,21,023,040,72,41,033,060,92,81,043,080,952,91,13,20,982,961,23,40,992,98

Notamosquemedidaquexseaproximade1,yseaproximade3,ouseja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja, 3 ) 1 x 2 ( lim1 x= + De forma geral, escrevemos: b ) x ( f lima x= 1.1.2 Propriedades 1.) x ( g lim ) x ( f lim )] x ( g ) x ( f [ lima x a x a x = 2.) x ( g lim ) x ( f lim )] x ( g ) x ( f [ lima x a x a x = 3. ) x ( g lim) x ( f lim) x ( g) x ( flima xa xa x=4.) x ( f lim k )] x ( kf [ lima x a x =5.( )*, ) ( lim ) ( lim N n x f x fna xna x = 6. *na xna xN n , ) x ( f lim ) x ( f lim = 45 Exemplos 1)= +) x 3 x ( lim3 21 x 2)= ) x cos x ( lim3x 3)=+10 xx coslim20 x 4)= +2 21 x) 3 x ( lim5)= +1 x x lim2 32 x 6)= +) x 3 x ( sen lim21 x 7)= +) 4 x 3 x 2 ( lim22 x 8)=2 x4 xlim22 x 9)=+ 9 x3 x 4 xlim223 x 10)=+ 1 x4 x 5 xlim21 x 11)=+ 1 x2 x 3 xlim231 x 12)= +x3 3 xlim0 x 13)= + + ) 4 x 3 x ( lim31 x 14)= +) senx x (cos lim0 x 15)=4 x8 xlim232 x 16)=1 h1 hlim1 h 17)= +t5 t 3 25lim0 t 18)= +t16 ) t 4 (lim20 t 19)=+ + 1 x2 x 3 xlim221 x 20)= +xx 1 x 1lim0 x 21)=1 x1 xlim541 x 46 x a ? y 1.2 Limites Laterais Consideramosumafunoy=f(x),daqualqueremosacharoslimiteslaterais para x tendendo a a, ou seja, queremos calcular:

Limite lateral direita ? ) x ( f lima x= Limite lateral esquerda Vejamos como proceder em cada caso: Limite a direita (quando x a+) Exemplo: = ++) 4 x 3 ( lim2 x10 Limite a esquerda (quando x a-) Exemplo: = +) 4 x 3 ( lim2 x10 O Limite de uma funo existe quando) x ( f lim ) x ( f lima x a x+=x ? y a ? ) x ( f lima x=+ 47 1.3 Limites Infinitos e Assntotas 1.3.1 Limites Infinitos Quandoosvaloresassumidospelavarivelxsotaisque|x|>N,sendoNto grande quanto se queria, ento se diz que o limite da varivel x infinito. + =+ x limx ou = x limx Igualdades Simblicas Tipo Soma: a. (3) + ( ) = b. (+) + (+) = + c. - + (- ) = - d. - = indeterminado Tipo Produto: a. 5 x ( ) = b. (-5) x ( ) = mc.(+)x(+) = + d. (+)x(- ) = - e. x 0 = indeterminado Tipo Quociente: a.0c= b. =c c. 00= d.00 e= indeterminado Tipo Potncia: a.+ =+c (c>1) b.0 c =+ (0