FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III1 CLCULO III FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III2 INTRODUO NoscursosdeClculoIeIIforamestudadasfunesdeumavarivel real.Recordemos que uma funo de uma varivel uma lei f que associa a cada valor de uma varivel x, um nico valor de uma varivel y.Neste caso x chamadavarivelindependenteeyavariveldependente.Representa-se ( ) y f x =ou de forma mais detalhada escrevemos:

:xy f(x)f A B = a O conjuntoA o domnio da funofe indicamos( ) A D f = .Quando nosefazmenoaodomniodafunoficasubentendidoqueomaior subconjunto dos reais onde a expresso (lei f) faz sentido. Alguns exemplos de funes de uma varivel: 1) A rea de um crculo funo de seu raio, 2( ) y f r r = = . 2)Apressop ,decertamassagasosa,queseexpandeisotermicamente (temperatura constante), depende somente, do seu volume v ,kpv= ; k cte = Entretanto,freqentemente,temossituaesemqueumagrandeza depende simultaneamente, de vrias variveis.Por exemplo: 1)AreaAdeumretngulodeladosxey,dependedosvaloresdexey, xy A= . 2)ApressoP funodovolumeV edatemperaturaT , TP n RV= ;, n R cte = . FUNES DE DUAS VARIVEIS Seumavarivelz dependededuasoutras,x ey ,demodoquea cadaparordenado( ) ,y x ,estassociado um nicovalorparaz ,temos uma funo de duas variveis( ) z f x, y = . EXEMPLOS a) 2 2 2 x y z = + + aoparordenado(1,0)correspondeonmero2 2( , ) 2 1 0 3 z f x y = = + + =FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III3 b) 2 2 9 - x- y z = Podemos utilizar a representao: ( ) ( )2: D RRx, y ,fz f x y = aonde( ) { }2x, y / x, y RR = DOMNIO Quando definimos( ) ( )2 : D RR,x,y , f z f x y = a ,o conjunto Dodomnio da funo( )f x, y z = .A menos,queodomnioD,sejadado explicitamente, considere que ele o conjunto mais amplo possvel de pares ordenados( ) , x y paraosquaisasoperaesquedefinem( ) f x, y ,esto definidas. Noexemploa)temos 2 = R D ,enquantoquenoexemplob) ( ){ }2 2 2x, yR/ xy9D= + ,ouseja,ocrculoderaio3ecentro (0,0). Graficamente: a) b)

CONJUNTO IMAGEM ( ) ( ) { }Im( ) , / , ( ) f z f x y x y D f = = No exemplo a) temos[ ) Im( ) 2, f = e no exemplo b)[ ] Im( ) 0,3 f = EXERCCIOS RESOLVIDOS 1) Determine o domnio das funes abaixo. a)( )2 21, f x yx y=+ x xyy33 3 3 FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III4 Devemos ter 2 2 y0 x + ,ou ( ) ( ) , 0,0 x y . Logo: ( ) ( ) ( ){ }( ) { }2 2x, yR/x, y 0, 0R-0, 0 D= = graficamenteD constitudo pelo plano 2Rexceto a origem( ) 0 , 0 b)( )2 2,y x- y f x = Devemos ter 2 2 - y0 x ,ou seja,2 2 y x ,ouyx . Logo: ( ){ }2x, yR/ x yD= c)( ) ( )1, cos f x y x yx= + +Devemos ter 0 x ,logo, ( ){ }2x, yR/ x 0D= .Observe que para a funo cosseno no h restries sobre x e y. d) 2 2 21y ; a 0xy- az = + + Devemos ter 2 2 2y- a0 x + e0 y . Logo: ( ){ }2 2 2 2x, yR/ xy- a0ey 0D= + EXERCCIOS PROPOSTOS Determine o domnio de cada uma das funes abaixo: 1)( )2 2,y xy- 16 f x = +2)( )2 23,y 9 - x- y f x = 3)( )2 21,y25 - x- yf x =4)( ) ( ) ,ysenx - y x - y f x = +

5)( )31,y x - yx - yf x = +6)( )( )2,ylny - x f x = RESPOSTAS FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III5 1)( ){ }2 2x, y/ xy 16D= + 2) 2 R D =3)( ){ }2 2x, y/ xy 25D= + 4) ( ) { }x, y/ y xD= 5) ( ) { }x, y/ y xD= 6)( ){ }2x, y/ y x D= GRFICO Recordemosqueogrfico( ) Gf ,deumafunofdeumavarivel definida emD R , o conjunto dos pares ordenados( ) ,y x , comx D e ( ) y f x = . A seguir apresentado o grfico da funo 2( ) y f x x = =com domnio[ ] 2 , 2 -2 -1 1 2x1234y Nocasodeumafunodeduasvariveis( ) , z f x y = comdomnio 2D R , o grfico( ) Gf , definido por: ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,y, ,/x, yD R Gf x f x y = . ( ) Gf uma superfcie no 3R EXERCCIOS RESOLVIDOS Esboar o grfico das seguintes superfcies: 1)( )2 2, 9 - x- y z f x y = = ( ){ }2 2 2x, yR/ xy9D= + crculo de centro( ) 0, 0 ce raio3 r = ( ) Imf R+= FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III6 Parafazerumesboodogrficofaamosinicialmenteasinterseces de( ) Gf , com os planos coordenados0 x = ,0 y =e0 z =que so os planos coordenados. 0 z = (planoxy) 2 2 2 29 - x- y0 xy9 = + = (circunfernciano plano xy de centro(0,0) C e raio3 r = . -3 -2 -1 1 2 3x-3-2-1123y y = 02 2 2 z 9 - x xz9 = + = (semi-circunferncia no plano xz) x = 02 2 2 z 9 - y yz9 = + = (semi-circunferncia no plano yz) -3 -2-1 12 3y 1 2 3 z-3 -2-1 12 3x 1 2 3 zFIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III7 Esboo de( ) f G-202-2020123-202 2) Parabolide 2 2 xy z = +(parabolide de revoluo) Interseco com os planos coordenados: 0 x = (interseco com o planoyz )2 z y = (parbola no planoyz ) -2 -1 1 2y1234z y = 0(interseco com o planoxz)2 z x = (parbola no planoxz) -2 -1 1 2x1234z FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III8 2 2 2 x y z z = 0(interseco com o planoxy ) 0 y x2 2= + (origem( ) 0 0, ) -2-1012x-2-1012y02468z-2-1012x 3) Plano2 z x y = Interseco com os eixos coordenados: 02 x y z = = = , 02 x z y = = = , 0 2 y z x = = = interseco com os planos coordenados: 02- x z y = =(reta no planoyz ) 02 y z x = = (reta no planoxz) 02- z y x = =(reta no planoxy ) CURVAS DE NVEL FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III9 Dadaafuno( , ) z f x y = ,ascurvasdotipoz c cte = = sochamadas curvas de nvel constante, ou curvas de nvel da funof . EXEMPLOS 1) Obter as curvas de nvel da funo( )2 2, z f x y x y = = + . Paraumacurvadenvelc ,temos 2 2x y c + = ,0 c .Estascurvasso circunferncias no planoxyde centro( ) 0,0 Ce raioc . Algumas curvas de : 2 24 x y + =; 2 21 x y + = ; 2 214x y + =-2 -1 1 2x-2-112y 2)Obter as curvas de nvel da funo( )2 21, z f x yx y= =+. 2 214x y + =; 2 21 x y + = ; 2 24 x y + =-2 -1 1 2x-2-112y 4 c =4 c =1 c =1 c =14c =14c =4 c = 1 c =14c =4 c =1 c =14c =FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III10 Alguns casos especiais a)Se( ) ,y f x ,atemperaturadoponto( ) ,y x ,deumachapaplanaD,as curvas( ) , f x y c = , so chamadas curvas isotermas. b) Se ( ) ,y f x , a presso de um gs de volumexe temperaturay , as curvas ( ) , f x y c = , so chamadas linhas isbaricas. c)Se ( ) ,y f x ,opotencial(eltricoougravitacional),naregioD,doplano 0 x y , as curvas ( ) , f x y c = , so chamadas curvas equipotenciais. EXERCCIOS PROPOSTOS 1)Fazer um esboo dos grficos das funes; a)( )2, 1 f x y y = b)( ) , 6 f x y x y = c)( )2, 25 f x y x = d)( )2 2, 25 f x y x y = e)( )2 2, 25 f x y x y = 2)Represente no planoxyas curvas de nvel0 c = ,1 c =e4 c =para as funes indicadas: a)( )2 2, 9 z f x y x y = = + b)( )2 2, 9 z f x y x y = = + 3)Opotencialeltriconoponto( ) , x y definidopor ( )2 24,17V x yx y= V emvolts.Determineacurvaeqipotencial para4 volts. 4)Seja( )2 2, f x y x y = + .Determine as curvas de nvel 11 c =e 22 c = . FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III11 CONTINUIDADE Sejaumafunof,definidaem 2D R ,comvaloresemR.Sendo ( )0 0 0, P x y = , um ponto do domnio de f, dizemos que f, contnua em P0, se para pontos P, prximos a P0, temos( ) f P , prximo de( )0f P , ou seja: f contnua em( ) ( )0 0 0 P P P f P f P Intuitivamente a continuidade de uma funo num ponto 0Pexprime que ogrficodef no apresentaumfuro ou umaruptura dequalquerespcie nesse pontosobre o grfico def . EXEMPLOS 1)( ) , 8 2 f x y x y = f contnua em( )01,1 P f contnua em todos os pontos( )2, x y R 2)( )( ) ( )( ) ( )8 2 , 1,1,9 , 1,1x y se x yf x yse x y = = 2( ) D f R =5z(1,1,5) P11yxFIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III12 Comestadefiniofnocontnuaem( ) 1,1 .Observequepara pontos prximos de( ) 1,1 , temos os valores de( ) , f x yprximos de5 e no de( ) 1,1 9 f = . ( ) , f x y contnua em todos os pontos( ) ( ) , 1,1 x y . DERIVADAS PARCIAIS Vamosrelembrarocasodaderivadadeumafunodeumavarivel (Clculo I).Dada a funo( ) y f x =e( )0, x a b . ( )( ) ( )0 000f xlim xx f xf xx+ =se o limite existir e for finito. Geometricamenteonmero( )0f x representaocoeficienteangularda reta tangentetao grfico defno ponto ( ) ( )0 0, x f x . ( )0f x tg =

zyx9115yx0x0y( ) y f x =tFIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III13

Aexistnciadaderivadade( ) f x noponto 0x indicaqueogrficode ( ) f x , prximo de ( ) ( )0 0, x f xapresenta-se suave, no sentido que admite uma reta tangente.Funes que apresenta bicos (pontos angulosos) ou rupturas no so derivveis nestes pontos. Consideremosumafunodeduasvariveis 2: f D R R dadapor ( ) , z f x y = . Aderivadaparcialdedafunof emrelaovarivelxnum ponto( )0 0, x y indicadapor( )0 0,xf x y ou( )0 0,fx yx,definidapelolimite(se existir): ( )( ) ( )0 0 0 00 00, ,, limxxf x x y f x yf x yx+ = Analogamente a derivada parcial de da funofem relao varivel y num ponto( )0 0, x yindicada por( )0 0,yf x you( )0 0,fx yy, definida pelo limite (se existir): ( )( ) ( )0 0 0 00 00, ,, limyyf x y y f x yf x yy+ = EXEMPLO Dada( )2 2, z f x y x y = = + .Num ponto( ) , x yqualquer, temos: ( )( ) ( )( )( )22 2 20 0, ,, lim limxx xx x y x yf x x y f x yf x yx x (+ + ++ + = = = ( )( )22 2 2 20 02lim lim 2 2x xx x x x y x yx x xx + + + = = + = Ento se( )2 2, f x y x y = +temos( ) , 2xf x y x = .Analogamente mostra-se que( ) , 2yf x y y = .Assim para obter a derivada parcial da funofem relao x,mantemosyconstanteederivamosf emrelaovarivelx,enquanto que para obter a derivada parcial em relao y, fazemos x constante. Outros exemplos: FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III14 1)( )3 3, 2 3 f x y x y xy = + + 223 36 3xyff x yxff y xy = = + = = + 2)( ) , cos f x y x y = cosxyff yxff xsenyy = = = = 3)( )( )12 2 2 22, f x y x y x y = + = + 2 22 2xyf xfxx yf yfyx y = =+= =+ EXERCCIOS PROPOSTOS: A)Para as funes abaixo, encontrar:x yf e f 1)4 3( , ) f x y x xy y = + + 2) 2 3 4( , ) f x y xsen y xy = + 3) 2 2( , ) .cos f x y sen x y x y = + 4) 2 22 2( , )x yf x yx y=+ 5) cos( , ) sen x yf x ytg y+= 6) 2( , ).cos f x y tg x sen y y x = 7) 322 4( , )x x yf x yx += 8) 322( , )1x x yf x yx +=+ 9) ( )102 2( , ) f x y x y = + FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III15 10) 3( , ) ln f x y x senx y x= + 11)( , )yf x y xe y senx = + 12) 22 2( , ) 3x xf x y e seny y xy= + 13) 2 2 2 3( , ) 2 f x y x xy xy y = + + 14)3 2 31( , ) f x yxy= 15) 2 2( , ) ln( ) f x y x y = + 16) 33( , )xyf x y e++= 17) 2 2( , ) ( ) f x y sen x y = + B ) Calcule as derivadas parciais xfe yfnos pontos indicados: a) 2 2 3( , ) 7 7 f x y xy xy = ; (1,1) P b) 2 3 7( , ) 2 f x y x xy = + ; (1,0) P C )Mostre que, se2 2ln z x y = + ento 1z zx yx y + = . D ) Sendo2 2( , )x yf x y x e+= , calculef fy xx y SIGNIFICADO GEOMTRICO DA DERIVADA PARCIAL Asderivadasparciaisdafuno( , ) z f x y = sointerpretadas geometricamentedoseguintemodo:aocalcularmosaderivadaparcial fx | | |\ consideramosavarivelycomoconstanteeassim( , ) f x y ficasomente emfunodavarivelx,cujogrficoumacurvanoespao,intersecodo grficodefcomoplanoverticalcorrespondenteay=constante.Assima derivadaparcial fx | | |\ ocoeficienteangulardaretatangentecurvano FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III16 ponto(x,y,f(x,y))obtidaportalinterseconesseponto.Analogamente interpretamos a derivada parcial fy| | |\ . OUTRAS INTERPRETAES Consideremos( ) , T x ya temperatura no ponto( ) , x yde uma chapaD, contida no planoxOy . ( ) ( )0 0 0 0, ,xTT x y x yx=representaataxadevariaodatemperatura emrelaoadistnciapercorridanadireodoeixox,(sentidopositivo),a partir do ponto( )0 0, x y(taxa instantnea) ( ) ( )0 0 0 0, ,yTT x y x yy=representaataxadevariaodatemperatura emrelaoadistnciapercorridanadireodoeixoy,(sentidopositivo),a partir do ponto( )0 0, x y(taxa instantnea) SuponhaqueumaindstriaproduzadoisartigosIeII,eque( ) , Cx yrepresenteocustodeproduodexunidadesdoprodutoIeyunidadesdo produto II. FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III17 ( ) ( )0 0 0 0, ,xCC x y x yx=representaoaumentoaproximadonocustopor unidade de I, produzida a mais a partir de( )0 0, x ymantendo a produo de II constante. Analogamente,( ) ( )0 0 0 0, ,yCC x y x yy=representaoaumento aproximadonocustoporunidadedeII,produzidaamaisapartirde( )0 0, x ymantendo a produo de I constante. EXERCCIOS RESOLVIDOS 1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente curva que a interseco do grfico de 2 210 2 z x y = com o plano1 y =no ponto onde2 x = . Resoluo: O coeficiente angular pedido dado por( ) 2,1xfComo( )( )12 2 2 22, 10 2 10 2 f x y x y x y = = , segue que ( )( )( )12 222 21, 10 2 2210 2xxf x y x y xx y= = e, portanto ( ) 2,1 1xf tg = = 2)Atemperaturadoponto( ) , x y (x,yemcmeTemgrausCelsius)deuma chapa plana ( )2 2, 30 50 T x y x y = + . a)Determinedomniode( ) , T x y (formatodachapa)eatemperaturado ponto( ) 3,4 ; b)Se apartirdoponto( ) 3,4 uma formigacaminharnadireodo eixox, sentidopositivo,atemperaturaaumentaroudiminuir?Qualovalor desta taxa? Resoluo: a)( ){ }2 2 2, / 50 D x y R x y = + .AchapaDpossuiformatocircular (raio50r cm = ).( ) 3,4 30 50 9 16 35oT C = + =b)Comoaformigasemovernadireodoeixox,teremosy cte = .Logo( ) 3,4xT representarataxadevariaodatemperaturanestepontoe FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III18 nestadireo.( )( )12 222 21, 50250xxT x y x yx y= = eassim ( )33,4 0,6 5oxCTcm= = .Portanto a temperatura nesta direo diminuir de 0,6 oC por cm. 3)Numaempresacomercial,olucrodirioLumafunodonmerode vendedores x e do capital investido em mercadorias y (y em milhares de reais).Numa certa poca tem-se( ) ( ) ( )2 2, 400 12 40 Lx y x y = . a)Calculeolucrodirioseaempresatem7vendedorese30milreais investidos, b)Calcule( ) 7,30Lx e( ) 7,30Ly c)Oquemaislucrativo,apartirdasituaoa?Aumentardeuma unidadeonmerodevendedores,mantendoocapitalinvestido,ou investirmais 1 mil reais, mantendo o numero de vendedores? Resoluo: a)( ) ( ) ( )2 27,30 400 12 7 40 30 275 L = =mil reais b)( ) ( ) ( ) , 2 12 1Lx y xx= ( ) ( )( ) 7,30 2 12 7 1 10Lx= = mil reais de lucro por vendedor admitido, ( ) ( )( ) , 2 40 1Lx y yy= ( ) ( )( ) 7,30 2 40 30 1 20Ly= =milreaisde lucro por 1 mil reais investido, c) mais lucrativo o investimento de mais 1 mil reais, pois o lucro deve aumentar de aproximadamente 20 mil reais enquanto que se admitindo mais 1 vendedor o lucro aumentaria aproximadamente de 10 mil reais. EXERCCIOS PROPOSTOS 1)Dada a funo( )22 21, f x y yx y= ++ a)Determine o domnio defb)Calcule( ) 3,4fx e( ) 3,4fy c)Calculeocoeficienteangulardaretatangenteacurvaquea interseco do grfico defcom o plano3 x = no pontoemque 4 y = . 2) Atemperaturadoponto( ) , x y deumachapadadapor ( )2 2, 2 3 15 T x y x y = + +(T em oC e x,y em cm) FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III19 a)Determine a equao da isoterma que passa pelo ponto( ) 1,2b)Seapartirdoponto( ) 1,2 nosmovermosnosentidopositivodo eixo x, a temperatura aumentar ou diminuir?De quantos oC/cm aproximadamente? c)Emqueponto( ) , a b atemperaturavale45oC,sendoataxade variaodatemperaturacomrelaoadistnciapercorridana direodoeixoy,sentidopositivo,iguala12 oC/cm?(a,b positivos). 3)ParaumgsidealatemperaturaTumafunodopar( ) , P V ,P (presso), V (volume).Sendo 40PVT= , calcule TP no ponto( ) 200 , 500e interprete o nmero obtido. 4)UmfbricaproduzmensalmentexunidadesdeumprodutoIey unidades de um produto II, sendo o lucro mensal da produo conjunta dadopor( )2 2, 15000 2 8 Lx y x y = + + (Lemreais).Numcertoms foram produzidas 2000 unidades de I e 1000 unidades de II. a)Calcule o lucro da produo conjunta neste ms; b)Calcule Lx e Ly neste ms; c)Oquemaisconvenienteapartirdessasituao:aumentara produodeImantendoconstanteadeII,ouaumentaradeII mantendo a de I? 5)ParaummoldeumgsasgrandezasP(presso),V(volume)eT (temperaturaabsoluta)relacionam-seatravsdaequao ( )2aP V b RTV| |+ = |\ com a, b, R constantes. a)Represente P em funo de T e V, isto ( ) , P PT V =b)Calcule( )0 0, PTVonde 0827aTbR=e 03 V b =c)Calcule( )0 0,PTVT e( )0 0,PTVV Respostas 1) a) ( ) { }20,0 D R = b)( )33,4125fx= ( )9963,4125fy= c)( )9963,4125ytg f = = 2) a) 2 22 3 14 x y + =b) aumenta de 4oC por cm aproximadamente c)( ) ( ) , 3,2 a b = FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III20 3)( ) 500,200 5TP=oaumentoaproximadonatemperaturaporunidadede presso, a partir do ponto indicado. 4) a)( ) 2000,1000 19000 L = b) ( ) 2000,1000 1Lx=( ) 2000,1000 2Ly= c) mais conveniente aumentar a produo de II 5) a) 2RT aPV b V= b)( )0 02,27aPTVb=c)( )0 0,2P RTVT b=

( )0 0, 0PTVV= DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS Dada( ) , z f x y = ,sabemoscalcularasderivadasparciais xf e yf que ainda so funes dexey . As derivadas parciais de xfe yfso chamadas derivadas parciais de 2a ordem.Existem, portanto quatro derivadas parciais de 2a ordem.So elas: Derivada parcial de xfem relao x indicada por xxfou 22fx Derivada parcial de xfem relao y indicada por xyfou 2fyx Derivada parcial de yfem relao x indicada por yxfou 2fxy Derivada parcial de yfem relao y indicada por yyfou 22fy Assim, 22xxf ffx x x | |= = | \ 2xyf ffy x yx | |= = | \ 2yxf ffx y xy| | = = | \ 22yyf ffy y y| | = = | \ FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III21 Asderivadasparciais xyf e yxf sochamadasderivadasmistasde2a ordem.Pode-se mostrar que sef , xf , yf , xyfe yxfso contnuas no domnio Dentoasderivadasmistasde2aordemsoiguais,isto, xy yxf f = .Este resultado conhecido como teorema de Schwartz. Asderivadasparciaisdasfunes xxf , xyf , yxf e yyf soasderivadas parciais de 3a ordem e assim sucessivamente. Odiagramaabaixoilustraageraodasderivadasparciaisdeordem superior.Para uma funo de duas variveis, existem2n derivadas parciais de ordemn .Por exemplo, existem 32 8 =derivadas parciais de ordem 3. 3322323232322332223 xxxxxxxyxxyxxyxyyyxxyxyxyyyyxyyyyyffxffxffyxffxffxyxffyxffy xfffx yffxyffyxyffyffxyffyff==== == = = == ====3y EXEMPLO Se( )3 2 5 7, f x y xy x y = + + , temos: 2 2 43 5xf xy x = + ;3 62 7yf xy y = +FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III22 De 2 2 43 5xf xy x = +2 36 20xxf xy x = +e 26xyf xy =De 3 62 7yf xy y = +26yxf xy =e 3 52 42yyf x y = + De 2 36 20xxf xy x = +2 26 60xxxf y x = +e12xxyf xy =De 26xyf xy = 12xyxf xy =e 26xyyf x =De 26yxf xy = 12yxxf xy =e 26yxyf x =De 3 52 42yyf x y = +26yyxf x =e 4210yyyf y = Aindade 2 26 60xxxf y x = + teramos 44120xxxxff xx= =; 55120fx=,eassim sucessivamente. EXERCCIOS 1) Se( ) , f x yadmite derivadas parciais at 2a ordem, chama-se Laplaciano de f funo ( ) ( ) ( )2 222 2, , ,f ff x y x y x yx y = + .Calcule 2f para as funes; a)( )4 4, f x y x y = b)( )2 21, f x yx y=+ c)( )( )2 2, f x y senx y = d)( )2 22,xf x yx y=+ 2)Umafuno( ) , f x y HarmnicaseesomenteseoLaplacianodef sempre igual a zero.Mostre que so harmnicas as funes: a)( )( )2 2, ln f x y x y = +b)( ) , cosx yf x y eseny e x = + 3) Calcular as derivadas at3a ordem de : 4 4( , ) cos f x y x y senx y = + + + ; 4) Se( )32 2 w y x y x = , mostre que4 0xx yyw w = . 5) Sejacos z x y = . Determine:a)22zxb) 22zy c) 2zyx . 6)Seja( , ) 3 2 f x y x y = + .Determineainclinaodasuperfcie( , ) z f x y = no ponto (4,2) nas direes: a) x e b) y. 7) Sendo 3 5( , )xf x y ye= , determine:a)(0,1)xyyfb)(0,1)yyyf c)(0,1)yyxxf . FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III23 VARIAO REAL DE UMA FUNO DE DUAS VARIVEIS Se( ) , z f x y = uma funo de duas variveis, ento os smbolosx e y denotamacrscimosax ey respectivamente.Anotaoz representar o acrscimo correspondente varivel dependente, isto : ( ) ( ) , , z f x x y y f x y = + + Destemodoz representaavariaodovalordef quando( )1, P x yvaria para( )2, P x x y y + + , ou seja,( ) ( )2 1z f P f P = . EXEMPLO Se( )2, 3 z f x y x xy = = , obterz .Qual a variao de( ) , f x yquando( ) , x yvaria de( ) 1,2para( ) 1,01 ;1,98 ? Resoluo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22, , 3 3 z f x x y y f x y x x x x y y x xy = + + = + + + =( )22 23 6 3 3 x x x x xy x y y x x y x xy = + + + =( )26 3 x x x x y y x x y = + Para achar a variao desejada em( ) , f x y , fazemos1 x = ,2 y = ,0,01 x =e 0,02 y = ,obtendo-se0,0605 z = .Naturalmentepoderamosencontrar este valor calculando( ) ( ) 1,01;1,98 1,2 f f . A DIFERENCIAL TOTAL DE UMA FUNO DE DUAS VARIVEIS Asderivadasparciaisde( ) , z f x y = indicamoquantoafunovaria emrelaoapequenasmudanasdesuasvariveis.Emparticular,sex ey sopequenos,entoparaumponto( )0 0, x y umavariaoemxdex resultar umavariaoem( ) , z f x y = deaproximadamente ( )0 0, .( ( fx y xxe umavariaoemydey resultarumavariaoem( ) , z f x y = de aproximadamente( )0 0, . ( ( fx y yy. Assim, quando ambasxe yestiverem ocorrendo, a variao da funo z ser dada por: = + f fz x yx y FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III24 Definimosasdiferenciaisdx edy dasvariveisindependentesx eycomodx x = edy y = .Adiferencialtotaldz davariveldependentez definida por: ( ) ( ) , ,x ydz f x y dx f x y dy = + ou( ) ( ) , ,f fdz x y dx x y dyx y = + EXEMPLO Se( )2, 3 z f x y x xy = = , determinar a diferencialdze utiliz-la par obter uma aproximaodavariaode( ) , z f x y = se( ) , x y variade( ) 1,2 para ( ) 1,01 ;1,98 . Resoluo: ( ) ( ) 6 = + = + x ydz f dx f dy x y dx xdy . Fazendo1 x = ,2 y = ,0,01 dx x = = e0,02 dy y = = ,obtemos ( )( ) ( )( ) 6 2 0,01 1 0,02 0,06 dz = + = Mostramosnoexemploanteriorque0,0605 z = .Logooerrocometido decorrentedautilizaodedz nolugardez de 0,0605 0,06 0,0005 z dz = = Quando nos movemos de( )0 0, x ypara um ponto prximo, podemos descrever a variao correspondente do valor de uma funo( ) , z f x y =como:Variao Absoluta Verdadeira (real) =( ) ( ) , , z f x x y y f x y = + + Variao Absoluta Aproximada =( ) ( ) , ,x ydz f x y dx f x y dy = + DIFERENCIABILIDADE Dizemosque( ) , z f x y = diferencivelnoponto( )0 0, x y sez puder serescritonaforma( ) ( )0 0 0 0 1 2, ,xz f x y x f x y y x y = + + + onde 1 e 2tendem a zero quando( ) ( ) , 0,0 x y . TEOREMA Seumafuno( ) , z f x y = diferencivelem( )0 0, x y entof contnua em( )0 0, x y . FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III25 EXERCCIOS 1)Dada a funo( )2 2, 3 z f x y x y = = +e o ponto( ) 1,2 , calcule; a)( ) 1 ,2 f x y + + b)( ) ( ) 1 ,2 1,2 z f x y f = + + c)( ) ( ) 1,2 1,2f fdz x yx y = + 2)Noexerccioanteriorse0,02 x = e0,01 y = ,calcularz ,dz e compar-los. 3)Uma lata cilndrica fechada, de estanho deve ter raio interno de2 dm e altura interna4 dm, sendo5 mm a espessura das paredes.Utilizando diferenciais, encontrar o volume aproximado do estanho necessrio para fabric-la. 4)Apotnciaconsumidanumresistoreltrico 2EPR= emwatts.Num certoinstantetem-se200E volts = e8R ohms = .SeE diminuide 5 volts eR de0,2 ohms ,dequantovariaaproximadamentea potncia? 5)A superfcie de um retngulo dada por. = S b h, onde b a base e h a altura.Usandodiferenciais,calculedequantovariaasuperfciese 10 = h m,8 = b m, a base varia de1 + cme a alturade5 +cm? Respostas 1)a)( ) ( )2 213 2 12 3 + + + + x y x yb)( ) ( )2 22 12 3 = + + + z x y x y c)2 12 dz x y = + 2)0,1607 = z 0,16 dz = 3) 33,77 dm 4)125dP W 5) 20,5 dS m = FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III26 A REGRA DA CADEIA No Clculo I, quando tnhamos a situao( ) y f x =comxdependendo det ,aderivada dydtpodiasercalculadaporsubstituiodavarivelx ,ou pelachamadaregradacadeia(derivadadafunocomposta)dadapor dy dy dxdt dx dt= .Porexemplo,se( )10= = y f x x com 21 x t = + ,podemos escrever ( )1010 21 y x t = = + eaderivadadey emrelaovarivelt ,pode ser obtida por( ) ( )99 210 2 20 1dy dy dxx t t tdt dx dt= = = + . O CASO DE MAIS DE UMA VARIVEL (1a Regra da Cadeia) Suponhamos que temos( ) , z f x y = , onde as variveisxeydependem de uma nova varivelt .Se substituirmos x e y pelas expresses segundo as quaisdependemdavarivelt ,zdependedeumanicavarivelt ,ouseja, ( ) ( ), ( ) ( ) z f x t y t F t = = .Aderivadadezemrelao t podeserobtidacomo funo de uma varivel,( ) z Ft = . Estamesmaderivadapodeserobtidapelachamadaprimeiraregrada cadeia, ou seja, por: ( )dz z dx z dyFtdt x dt ydt = = + EXEMPLOS 1) Se( )2, z f x y xy = =onde 3= x te2 = y t , calcular dzdt Resoluo: 1o modo: Por substituio:( ) ( )22 3 72 2 z xy t t t = = =e 614dztdt =2o modo: Pela regra da cadeia: ( ) ( ) ( )( )2 22 3 2dz z dx z dyxy t xdt x dt y dt = + = + = ( )( ) ( )22 2 3 2 3 6 6 66 2 6 2 2 12 2 14 xyt x t t t t t t t = + = + = + = 2) Sendo 2 2( , ) f x y u x y = = +onde1 x t = + e 2 y t = , calcular dudt. Resoluo: FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III27 2uxx= 2uyy= 1xt=2yt= 2 4 2( 1) 8 10 2 = + = + + = +dux y t t tdt A REGRA DA CADEIA GENERALIZADA Suponhamosque( ) , z f x y = com( ) , x xu v = e( ) , y yu v = isto,zdepende dexeyque por sua vez dependem de duas outras variveisuev .Substituindox ey emf vemosquez dependedeu ev .Isto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , z f x y f xu v yu v Fu v = = = .Sendofunesdiferenciveis, podemos obter as derivadas dezem relao uev .Temos: z z x z yu x u y u = + ez z x z yv x v y v = + EXEMPLO Se( )2 2, z f x y x y = = +ondecos = x r esen = y r , encontrar zr e z. Resoluo: ( )( ) ( )( ) 2 cos 2 senz z x z yx yr x r y r = + = + Se substituirmosxeytemos2 22 cos 2 sen 2zr r rr = + = ( )( ) ( )( ) 2 sen 2 cos2 sen cos 2 sen cos 0z z x z yx r y rx yr r = + = + = = + = EXERCCIOS 1)Sendo 2 2ln u x y = + ,sx re = ,sy re= , determineur e us. 2)Sendo 2 2z x y xy = + + , 2 x r s = + , 2 y r s = , calcule3 4z zr s + FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III28 3)Se3 4( , ) f x y xy y = ;1xt= ; ln y t = ,obtenhadFdt. 4)Pormeiodaregradacadeia,ache wpe wqsendo 3 2w r s = + ,2r pq = e2s p senq = . 5)Calcule wxewycomw u senv = , 2 2u x y = + ev xy = . Respostas 1) 1 ur r=, 2 22 2s ss su e es e e = +2)3 4 30 15z zr sr s + = + 3)34 43ln 1 4(ln ) dF t tdt t t t= + 4) 2 6 3 23 4wp q p sen qp= +

3 5 46 2 coswp q p senq qq= + 5) ( )2 22 coswxsenxy y x y xyx= + + ( )2 22 coswysenxy x x y xyy= + + FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III29 A DERIVADA DIRECIONAL Seja( ) , z f x y = numafunodefinidaem 2D R e( )0 0, x y D .Sabemos calcular neste ponto a taxa de variao defem relao x, mantido y fixo, e a taxa devariao defem relao y, mantido x fixo.Estas taxas so as derivadas parciais defem relaoxe ayrespectivamente. Geometricamenteelasdescrevemocomportamentodafuno ( ) , f x y ( crescimentooudecrescimento)quando,apartirdeumponto( )0 0, x ycaminhamosnadireodoeixox ( ) ( )0 0,xf x y enadireodoeixoy ( ) ( )0 0,yf x y . Queremos agora descrever o comportamento da funo( ) , f x yquando a partir de( )0 0, x y , caminhamos numa direo qualquer determinada pela reta orientadar que forma um ngulo como eixo x (sentido positivo). A taxa de variao defem relao distncia percorrida na direo derser chamada derivada direcional de( ) , f x yno ponto( )0 0, x yna direo , e ser representada por( )0 0, f x y. yx0y0x0xxry0yFIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III30 Vamosdefinirdemodomaisprecisoaderivadadirecional.Tomando comoparmetroocomprimentodearcos temosqueaequaoparamtrica der: 00cos:senx x sry y s= + = + fixado ,s r Para obter os valores da funo( ) , z f x y =sobre os pontos da retar suficiente compor( ) , f x ycom as funes ( )( )00cossenxs x sy s y s = + = + obtendo-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0, cos , sen Fs f xs y s f x s y s = = + + Paracalcularataxadevariaode( ) , f x y noponto( )0 0, x y r que dada por( ) F s , podemos utilizar a regra da cadeia do seguinte modo: ( ) ( )0 0cos , sen Fs f x s y s = + + ( ) ( ) , cos sendf f dx f dy f fF s x yds x ds y ds x y = = + = + Portanto, ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , cos , sef ff x y x y x y nx y = + Ou ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , cos , enx yf x y f x y f x y s = + 0xry0yxcos s s senFIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III31 Casos particulares importantes: Para0 =o , temos( ) ( )0 0 0 00, , =o xf x y f x yPara o90 = , temos( ) ( )0 0 0 090, , =o yf x y f x yPara = + , temos:( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , cos ,+= + + +x yf x y f x y f x y sen ( ) cos cos + = e( ) + = sen sen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0, , cos , sen ,+= + = x yf x y f x y f x y f x y EXEMPLOS 1)Paraafuno( )2, = f x y xy ,obteraderivadadirecionalnoponto( ) 1,2 ,na direo30 =o . Resoluo Como ( )( )2, 2, ==xyf x y xyf x y x segue que ( )( )1,2 41,2 1 ==xyff e, portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )303 1 11,2 1,2 cos30 1,2 30 4 1 2 3 3,96412 2 2| || |= + = + = + = | | |\ \ o oo x yf f f sen 2) A temperatura de uma chapa dada por( )2 2, 15 = + + T x y x y , ondexeysoascoordenadasdeumponto,emcm,eT dadaem oC .Calculede quantovaria,aproximadamente,atemperaturasecaminharmos1cmapartir do ponto( ) 3,4na direo: a)30 =o b)210 =o Resoluo: Temos: ( )( ), 2, 2 ==xyT x y xT x y y, ( )( )3,4 63,4 8 ==xyTT Logo: a)( ) ( ) ( )303,4 3,4 cos30 3,4 sen30 = + =o oo x yT T T

3 16 8 3 3 4 9,22 2= + = + FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III32 ( )o303,4 9,2 Ccm oT ,isto,atemperaturadeveraumentarde o9,2Ccm aproximadamente. b)( ) ( ) ( )2103,4 3,4 cos210 3,4 sen210 = + =o oo x yT T T

3 16 8 3 3 4 9,22 2| || |= + = | | |\ \ ( )o2103,4 9,2 Ccm oT ,eatemperaturadeveraumentarde o9,2 Ccm aproximadamente. Observequeataxadevariaodatemperaturanoponto( ) 3,4 ,na direo do eixo x (sentido positivo) ( ) ( )03,4 3,4 6 = =o xT ToCcm enquanto que na direo do eixo y (sentido positivo), a taxa de( ) ( )903,4 3,4 8 = =o yT ToCcm. A FORMA VETORIAL DA DERIVADA DIRECIONAL Adireodaretar queformaumngulo comooeixox(sentido positivo)podeserdefinidapelovetorunitrio(versor, u1 =r),cos = +r r ru i sen j . A expresso da derivada direcional defno ponto( )0 0, x y( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , cos , = + f ff x y x y x y senx y ,podeserescritacomoo produto escalar : ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , cos sen = + +r r r rx yf x y f x y i f x y j i j 0x0yruxysencosFIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III33 Ovetor( ) ( )0 0 0 0,i , j +r rx yf x y f x y conhecidocomovetorgradientede ( ) , f x yno ponto( )0 0, x ye representado por( )( ) ,0 0x ygradf ou ( )0 0, urf x y(o smbolofl-se nablaf ). ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , = +ur r rx yf x y f x y i f x y j Portanto a forma vetorial da derivada direcional ; ( ) ( )0 0 0 0, , = rurruf x y f x y u onde ru o versor da direo sobre a qual calculamos a taxa de variao. EXEMPLO Encontraraderivadadirecionaldafunodadapor( )2 2, 15 f x y x y = + + no ponto( ) 3,4na direo 030 = . Resoluo: Do exemplo anterior temos: direo (versor) dada por 3 1cos30 302 2= + = +r r r r ro ou i sen j i j o gradiente def ,( ) , 2 2 = +ur r rf x y xi y jno ponto( ) 3,4( ) 3,4 6 8 = +ur r rf i j A derivada direcional ser: ( ) ( )( )3 13,4 3,4 6 8 3 3 4 9,22 2| |= = + + = + | |\ rur r r r rruf f u i j i j SIGNIFICADO GEOMTRICO DA DERIVADA DIRECIONAL Vamosreveroconceitodeprojeodevetoresvistonocursode GeometriaAnaltica.Sejamosvetores 1rv e 2rv formandoumngulo .A projeo do vetor 1rvsobre o vetor2rv dada por1 212 2 =rr rrrvv vprojvv. Nocasode 2rv serunitrio,isto: 21 =rv ,temos 1 1 22= rr r rvprojv v v ,que exatamente a situao da derivada direcional. Assim, ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , ,uuf x y f x y u proj f x y = = rrur r ur, uma vez que ru unitrio. FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III34 VALOR MXIMO DA DERIVADA DIRECIONAL Ovalormximo da derivadadirecional(projeo) ocorrequando0 =oe, portanto temos, ( ) ( ) ( )0 0 0 0max, , = urf x y f x y e a direo em que ocorre esta taxa mxima de variao definida pelo versor, ( )( )0 00 0,,=urrrf x yuf x y EXEMPLO Calcule a derivada direcional da funo 2( , ) sen f x y x xy =no ponto1,2| | |\ e na direo: a)do eixo dos x; b)do eixo dos y; c)do vetor2 +r ri j ; d)em que ela mxima. Resoluo: a) 22 cos 1, 2.1 .0 22 2x xf xsenxy xy xy f | |= + = + = |\ b) 3cos1, 02y yf x xy f | |= = |\ 0x0yruxy( )0 0, f x y rFIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III35 c) 2 1255 5v i j v u i j = + = = +r r r rr r r 2 1 42. 0.5 5 5vf f u = = + =rsr d)( )max2vf f = =rs EXERCCIOS 1)Calculeaderivadadirecionalde 3 2 2( , ) 2 1 = + f x y x xy xy noponto (1,2) e na direo do vetor4 6 +r ri j . 2)Dadaafuno 2 2( , ) = f x y x y ,calcule( ) f 0,1 grad e(1,0)ruf onde= rru i . 3)Uma funo tem no ponto( ) 1,2a derivada direcional: igual a2 na direo do vetor 2 2 +r ri jeigual a 3 na direo do vetor r ri j .Determine: b)o gradiente da funo neste ponto, c)a derivada direcional na direo do vetor 2 2 r ri j , d)a derivada direcional na direo do vetor 4 6 +r ri j 4)O potencial Vassociado a um campo eltrico 2 2( , ) ln = + Vx y x ya)determineovetorcampoeltrico rE ,sabendo-seque= rE V , no ponto 1 1,2 2| | |\ , b)em que direo, a partir do ponto 1 1,2 2| | |\ , a derivada direcional de V mxima?Qual o seu valor mximo? 5)OpotencialeltricoV emumaregiodoplanodadopor 2 21000( , ) =+Vx yx y a)determine a derivada direcional deVna direo de12 5 = +r rru i jno ponto(4,3)b)doversordadireo,apartirde(4,3) emqueataxade variao do potencial mxima, 6) dada a funo 2 2( , ) 9 = f x y x y , pede-se: FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III36 a)calcule o gradiente de( , ) f x yno ponto(1,2) b)calculeaderivadadirecionalde( , ) f x y noponto(1,2)ena direo do vetor 4 3 r ri jc)calcule2(1,2)fxye22(1,2)fx Respostas 1) 41,11132)( ) 0,1 2 f j = r r;(1,0) 2 = ruf3) a) 2 5 22 2 +r ri j ; b) 2; c) 262 4) a) r ri j ; b) na direo do vetor +r ri j ; c)2 5) a) 50413b) 4 35 5i j r r 7) a)1(1,2)2 = r rf i j ; b) 1(1,2)5=ruf ; c) 21(1,2)4= fxy, 225(1,2)8= fx FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 37MXIMOS E MNIMOS Dada uma funof , constitui um problema importante determinar para que valores da varivel (ou das variveis) independente(s) a funo assume o seu valor mximo,ou o seu valor mnimo. Recordando como este problema foi resolvido no Clculo I. Se a funo) (x f y = contnua e derivvel emR . a)Determinamos os pontos crticos 0xde) (x f y =resolvendo a equao ( ) 00 = x f , b)Se( ) 00 < x f , 0xser ponto de mximo relativo (ou local) e( )0x fser o valor mximo def , c)Se( ) 00 > x f , 0xser ponto de mnimo relativo (ou local) e( )0x fser o valor mnimo def , EXEMPLO Obter os pontos de mximo e mnimo relativos de( ) 1 625312 3+ + = x x x x fa)pontos crticos:( ) 0 = x f 0 6 52= + x x 2 = xe3 = xb)( ) 5 2 = x x f . Como( ) 0 1 2 < = f , 2 = x ponto de mximo relativo def , Como( ) 0 1 3 > = f , 3 = x ponto de mnimo relativo def . ( )3172 = f o valor mximo relativo defe( )2113 = f o valor mnimo relativo def . 1.5 2 2.5 3 3.5 4x5.45.55.65.75.85.9y

No caso de funes de duas variveis, a situao no muito diferente. EXTREMOS DE FUNES DE DUAS VARIVEIS Usaremos a expresso regio retangular para designar o conjunto de pontos de um plano coordenado, interiores a um retngulo de lados paralelos aos eixos coordenados.Se quisermos incluir os pontos fronteira, usaremos a expresso regio retangular fechada. FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 38Tal como no caso de uma varivel, diz-se que uma funofde duas variveis tem mximo localno ponto( )0 0, y xse existe uma regio retangularD contendo( )0 0, y x , tal que( ) ( )0 0, , y x f y x f para todos os outros pares( ) D y x , .Geometricamente, se uma superfcieS o grfico def , ento os mximos locais correspondem aos pontos mais altos deS .Se yfexiste, ento como( )0 0, y x fy o coeficiente angular da reta tangente curva interseco do grfico deScom o plano 0x x = , segue que se( )0 0, y x ponto de mximo local ento esta reta horizontal e portanto( ) 0 ,0 0= y x fy.Analogamente( ) 0 ,0 0= y x fx. A funoftem mnimo local em( )1 1, y xse existe uma regio retangularD contendo( )1 1, y xtal que( ) ( ) y x f y x f , ,1 1para todos os outros pares( ) D y x , .Se ftem derivadas parciais primeiras, ento conforme acima, elas devem ser nulas em ( )1 1, y x .Os pontos de mnimos locais correspondem aos pontos mais baixos do grfico def . Dada uma funo( ) y x f , , os pontos que anulam simultaneamente as derivadas parciais( ) y x fx,e( ) y x fy,so chamados pontos crticos de( ) y x f , .Entre os pontos crticos de( ) y x f ,existem os que so de mximo local, os que so de mnimo local, e os que no so nem de mximo nem de mnimo local; estes ltimos so chamados pontos de sela. As solues de ( )( )==0 ,0 ,y x fy x fyxso os pontos crticos de( ) y x f , ( )0 0, y x ponto crtico ( )( )( )sela de ponto ,local mnimo de ponto ,local mximo de ponto ,0 00 00 0 y xy x y x MATRIZ HESSIANA Dada a funo( ) y x f z , = , a matriz, ( )( ) ( )( ) ( )||.|

\|=y x f y x fy x f y x fy x Hyy yxxy xx, ,, ,, chamada Matriz Hessiana da funofno ponto( ) y x, . TESTE DE EXTREMOS A seguir ser apresentado um teste que permite identificar pontos de mximo, mnimo ou sela sem ter que recorrer ao grfico defou forma da funo.Seja ( ) y x f z , =contnua, com derivadas parciais de 2a ordem contnuas e( )0 0, y xum ponto crtico def . Calculamos o determinante da matriz Hessiana no ponto crtico: FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 39( )( ) ( )( ) ( ) , ,, ,,0 0 0 00 0 0 00 0y x f y x fy x f y x fy x Eyy yxxy xx= Se( ) 0 ,0 0> y x E e ( ) 0 ,0 0< y x fxx ento( )0 0, y x ponto de mximo local, Se( ) 0 ,0 0> y x E e ( ) 0 ,0 0> y x fxx ento( )0 0, y x ponto de mnimo local, Se( ) 0 ,0 0< y x E ento( )0 0, y x ponto de sela, Se( ) 0 ,0 0= y x E nada se conclui. EXEMPLOS 1)Determinar os pontos extremos da funo( )2 24 , y x y x f = . Resoluo x fx2 = ;y fy2 = ;2 =xxf ;2 =yyf ;0 = =yx xyf f Para obter os pontos crticos devemos resolver o sistema ==00yxff, ou seja = = 0 20 2yx. Temos0 = = y xe assim( ) 0 , 01P o nico ponto crtico def . Em( ) 0 , 01Ptemos( ) 2 0 , 0 =xxf , ( ) ( ) 0 0 , 0 0 , 0 = =yx xyf f e ( ) 2 0 , 0 =yyf E assim, ( )( ) ( )( ) ( )0 42 - 00 2 - 0 , 0 0 , 00 , 0 0 , 00 , 0 > = = =yy yxxy xxf ff fE Como( ) 0 0 , 0 > E e ( ) 0 2 0 , 0 < =xxfsegue que( ) 0 , 01P ponto de mximo local de ( )2 24 , y x y x f = . A seguir apresentamos um esboo do grfico de( )2 24 , y x y x f =-40-2002040 -40-2002040-3000-2000-10000-40-2002040 FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 402) Determinar os pontos extremos da funo( )2 2, y x y x f = (sela). Resoluo x fx2 = ;y fy2 = ;2 =xxf ;2 =yyf ;0 = =yx xyf f Para obter os pontos crticos devemos resolver o sistema ==00yxff, ou seja = =0 20 2 yx. Temos0 = = y xe assim( ) 0 , 01P o nico ponto crtico def . Em( ) 0 , 01Ptemos( ) 2 0 , 0 =xxf , ( ) ( ) 0 0 , 0 0 , 0 = =yx xyf f e ( ) 2 0 , 0 =yyf E assim, ( )( ) ( )( ) ( )0 42 - 00 2 0 , 0 0 , 00 , 0 0 , 00 , 0 < = = =yy yxxy xxf ff fE Como( ) 0 0 , 0 < E , segue que( ) 0 , 01P ponto de sela de( )2 2, y x y x f = . Esboo do grfico de( )2 2, y x y x f = -40-2002040 -40-2002040-100001000-40-2002040 3) Determinar os pontos crticos da funo( ) y xy x y y x x y x f 6 6 3 2 6 4 ,2 3 2 3+ + =e classifique-os. Resoluo Os pontos crticos so as solues do sistema: ==00yxff.Portanto = + = + 0 6 6 6 60 6 6 12 122 22x y xy x xy x ou ( )( )= + = +(2) 0 1(1)0 1 22 2x y xy x x De (1) segue que 21 = xouy x = FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 4121 = xem (2) resulta25 = yy x =em (2) resulta0 1 22= + x xcujas razes so1 = xou 21= xLogo os pontos crticos defso: ||.|

\|25,211P ,||.|

\| 25,212P , ( ) 1 , 13 P e|.|

\|21,214P . Calculando as derivadas parciais de 2a ordem e o deteminante( ) y x E ,temos: ( )( ) ( )( ) == =+ =y y x fy x f x y x fy x y x fyyyx xyxx12 ,, 6 12 ,6 12 24 , ( ) ( )( ) ( )26 12 6 12 24 1212 6 126 12 6 12 24, + = + = x y x yy xx y xy x Eou ( ) ( ) ( ) 1 2 4 72 1 2 36 ,2+ + + = y x y x y x E No ponto ||.|

\|25,211Ptemos0 498 , 260 < = E e 0 4164 , 19 < =xxfsegue que ||.|

\|25,211P ponto de mximo local. No ponto ||.|

\| 25,212Ptemos0 5016 , 99 < = E e 0 41641 , 7 > =xxfsegue que ||.|

\|25,211P ponto de mnimo local. No ponto( ) 1 , 13 Ptemos0 108 > = E segue que ( ) 1 , 13 P ponto de sela. No ponto|.|

\|21,214Ptemos0 216 > = E segue que |.|

\|21,214P ponto de sela. A seguir, com o auxlio do Mathematica, apresentado um esboo do grfico da funo( ) y xy x y y x x y x f 6 6 3 2 6 4 ,2 3 2 3+ + = FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 42-1.5-1-0.500.51X-101Y-1001020Z-1.5-1-0.500.51X EXERCCIOS 1)Seja y x y x y x f z 6 6 2 2 ) , (3 3 + = = .Encontre os pontos crticos defe classifique-os em mximo local, mnimo local ou ponto de sela. 2)Classificar os pontos crticos de x x xy y x f 3 3 ) , (3 2 + = . 3)Uma industria produz dois produtos denotados por A e B.O lucro da industria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B dado porxy y x y x y x L + =2 22323100 60 ) , ( .Supondo que toda a produo da industria seja vendida, determinar o nvel de produo que maximiza o lucro. Respostas 1)( ) 1 , 1ponto de mnimo local,( ) 1 , 1 ponto de mximo local, ( ) 1 , 1 e( ) 1 , 1 pontos de sela 2)( ) 1 , 0e( ) 1 , 0 so pontos de sela, ( ) 0 , 1 ponto de mnimo local. 3) 10 unidades do produto A e 30 unidades do produto B. INTEGRAIS DUPLAS Seja( ) y x f ,uma funo contnua no negativa em 2R D .Vamos calcular o volume da regio sob o grfico de( ) y x f , , acima deD. Se( ) y x f ,fosse constante e igual ak , ento o volume da regio seria A k V = , ondeA a rea deD. No sendo( ) y x f ,constante, vamos subdividir o domnioD emnpequenas sub-regiesDide reaAi ,n i , , 2 , 1 L = .Em cada uma delas escolhemos um ponto( )iiy x ,e consideremos( ) y x f ,constante e igual a( )iiy x f , .Assim o volume Vda regio ser aproximadamente igual soma dos volumes dos pequenos slidos de rea da baseAie altura( )iiy x f , , ou seja: ( )= nii ii A y x f V1,O conjunto formado pelasnsub-regiesDiem queD foi sub-dividido chamado partio deD.Estas sub-regies se interceptam duas a duas apenas em pontos das respectivas fronteiras e, reunidas, reproduzemD.O mximo das FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 43distncias entre dois pontos de um conjunto chamado dimetro do conjunto.Seja o maior dos dimetros das regiesDi . chamado a norma da partio de D.A integral dupla da funo( ) y x f ,indicada por( )DdA y x f , , definida pelo limite, (se existir): ( ) ( )= =n1 i0, x f lim , A y dA y x fi iiD CLCULO DA INTEGRAL DUPLA A integral dupla de uma funo( ) y x f ,contnua no negativa em 2R D representa o volume da regio sob o grfico de( ) y x f , , acima deD.Vamos considerar vrios casos paraD. CASO 1. D um retngulo d y cb x aD: y

d D

c abx Neste caso, ( ) ( ) ( ) ||.|

\|=||.|

\|=dcba Dbadcdy dx y x f dx dy y x f dA y x f , , , EXEMPLO Calcular ( )dA xy xD+ 32onde 2 13 0:yxD 1o modo: ( ) ( )( )dx dy xy x dA xy xx AD ||.|

\|+ = +30212 23 34 43 4 42 1 FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 44 ( ) ( ) x x x x x xxyy x x Ayy29236 2232 2 22122+ =|.|

\|+ + =||.|

\|+ === Logo, ( ) ( )411748192 293x 293302 3302302= + =||.|

\| + ==|.|

\|+ = = +== xxDxdx x x dx x A dA xy x 2o modo: ( ) ( )()dy dx xy x dA xy xy BD ||.|

\|+ = +21302 23 34 43 4 42 1 ( ) yxyxy Bxx2279233302 3+ =||.|

\| + === ( ) ( )( )411748194279 27 182 22792279 3212 21212= + =|.|

\| + + ==||.|

\| + =|.|

\| + = = +== xyDyy dy y dy y B dA xy x CASO 2: D da forma:( ) ( ) x y y x yb x aD2 1: ( ) ( )( ) ||.|

\|=Dbax Ax yx ydx dy y x f dA y x f4 4 3 4 4 2 1) () (21, , y( ) x y2 ( ) x y1 a b x EXEMPLO FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 45Calcular ( )dA y xD+2 2onde 201 0:x yxD 0.2 0.4 0.6 0.8 1x0.20.40.60.81y ( ) ( )( )105262115121 50 03 3107 5 10640103210 02 2 2 22= + = + =((

+ ||.|

\|+ ==||.|

\|+ =||.|

\|+ = +==== xxx yyxDx xdxxxdxyy x dx dy y x dA y x CASO 3: D da forma:( ) ( ) y x x y xd y cD2 1: ( ) ( )() ||.|

\|=Ddcy By xy xdy dx y x f dA y x f4 4 3 4 4 2 1) () (21, ,

x ydc1y (x)2y (x)DFIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 46 EXEMPLO Resolver o exemplo anterior utilizando a seqncia de integraodxdy dA = D pode ser reapresentado na forma: 11 0:x y yD0.2 0.4 0.6 0.8 1x0.20.40.60.81y ( ) ( )10526721523131272153 31

3 313 31

310272531025232102523211023 1012 2 2 2= + = + ==|||.|

\| + =((((

|||.|

\|+ |.|

\|+ ==||.|

\|+ =||.|

\|+ = +==== yyxy x y Dy y yydy yyy dy yyydy x yxdy dx y x dA y x Caso Geral: Em geral seD no puder ser descrito de um dos modos anteriores, subdividimosD em partes que possam se enquadrar nos casos anteriores.Por exemplo: + 04 1:2 2yy xD

yx2 1 12FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 47 y D2 D1 D3 x -2-1 1 2 Temos: 214 01 2:x yxD 2 224 11 1:x y xxD 234 02 1:x yxD , cada umas como um dos casos anteriores. Como 3 2 1D D D D =de modo disjunto temos: ( ) ( ) ( ) ( ) + + =1 2 3, , , ,D D D DdA y x f dA y x f dA y x f dA y x f Resumindo: Se ( ) ( ) x y y x yb x aD2 1:ento( ) ( )( ) ||.|

\|=Dbax Ax yx ydx dy y x f dA y x f4 4 3 4 4 2 1) () (21, , Se ( ) ( ) y x x y xd y cD2 1:ento( ) ( )() ||.|

\|=Ddcy By xy xdy dx y x f dA y x f4 4 3 4 4 2 1) () (21, , dxdy dydx dA = = FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 48Principais interpretaes: 1) Se( ) 1 , = y x f ,( ) A dA dA y x fD D= = ,representa a rea da regioD. 2) Se( ) 0 , > y x f ,( ) V dA y x fD=,representa o volume do slido de baseD e altura ( ) y x f , . EXERCCIOS 1)CalculeDdA xy3, onde 4 02 1:yxD2)Calcule ( )+DdA y x2, onde 4 13 0:yxD3)CalculeDdA xy3, onde x yxD2 02 1:4)CalculeDdA xy2, onde y x yyD1 0:5)Calcule ( )+DdA y y3, onde x y xxD1 0:6)Calcule e interprete o resultadoDdA, onde y xyD04 0:7)Calcule o volume do slido determinado pelas desigualdades 21 01 05 0y zyx 8)Expresse atravs de uma integral dupla a rea da regio limitada, no primeiro quadrante, pelas equaes 4 = y ; 2x y =e o eixo y.Calcule o valor dessa rea. 9)CalculeDxdA, onde D a regio compreendida entre as curvas x y 2 = ; 2x y = . 10) CalculeDdA, onde D a regio compreendida entre as curvas 2 22 = x y ; x x y + =2. 11) Calcule ( )+DdA xy x 23, onde D a regio compreendida entre as curvas2x y = ;x y =2. 12) Seja A a rea da regio limitada pelas curvas x y = ;x y 4 =e36 = xya)Indique como voc calcularia A utilizando integral simples, b)Indique como voc calcularia A utilizando integral dupla c)Calcule A FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 4913) Seja V o volume do slido determinado pelas superfcies 0 = x ;8 = xe 22 8 y z =a)Indique como voc calcularia V utilizando integral simples, b)Indique como voc calcularia V utilizando integral dupla c)Calcule V. 14) Calcule o volume do slido determinado pelas superfcies 0 = z ;y x z = 2 , sendo 21 x y , 0 x , 0 y , 0 z . Respostas 1) 962) 21533) 424) 401 5) 607 6)8 (rea de D) 7) 3108) 3169) 3410) 29 11) 92 12)2 ln 36 = A13)96 = V 14) 6049 A INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES y y y P y P 0 > r 2 0 < xx x x coordenadas retangulares coordenadas polares ( ) y x P , ( ) , r P Temos: ==rsen yr x cos =+ =0x2 2xyarctgy x r ;0 r 2 0 O determinante Jacobiano da transformao das coordenadas cartesianas em polares dado por: ( )( )rr senrsenyryxrxr y xJ ====coscos ,, Como0 r , temos ( )( )r = r,y x, FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 50 E assim, ( ) ( ) =xy rD Drdrd r F dxdy y x f , , EXEMPLO Calcular +DdA y x2 2onde 4 :2 2 + y x D y 22 -22 x xyD rD 0 2r Temos( )2 2, y x y x f + = ( ) ( ) ( ) r rsen r r F = + =2 2cos , ( ) ( )( )3160 23838383r , ,20202020320202 2 = = = =||.|

\|==||.|

\|= = ===== d dd dr r drd r rdrd r F dxdy y x frrD D Dr xy r EXERCCIOS 1)Calcule dA y xD+2 2, onde +01:2 2yy xD2)Calcule dAy xD 112 2 + +, onde { 4 :2 2 + y x D3)Calcule dA eDy x 2 2, onde +0 , 01:2 2y xy xD4)Calcule o volume do slido limitado por 42 2= + y x ;4 = + z y ;0 = z5)Calcule o volume do slido limitado por + 34 02 22 2y xy x z FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 51Respostas 1) 32)5 ln 3)) 1 (41 e4) 16 5) 314 FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 52 INTEGRAIS TRIPLAS As integrais triplas so definidas de modo anlogo s integrais duplas.Dada uma funo( ) z y x f w , , = , definida em 3R D definimos a integral tripla defpor: ( ) ( )= =niiiiiDV z y dV z y x f10, , x f lim , , onde a partio deD (maior dos dimetros dasn sub regies). No caso particular de funo( ) 1 , , = z y x f , como ( ) = = = = =V V V V z yiniiniiiii1 11 , , x f , temos V D de volume 1 = = = D DdV dV CLCULO DA INTEGRAL TRIPLA Para o clculo da integral tripla vamos considerar vrios casos. Caso 1:D um paraleleppedo com as faces paralelas aos planos coordenados q z pd y cb x aD:FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 53 z q D p cd y a Dxy b x dzdydx dydzdx dxdzdy = = == = = dzdxdy dydxdz dxdydz dV Agora temos seis possibilidades de seqncias de integrao.No caso do paraleleppedo suficiente remanejar os extremos para mudar a ordem de integrao. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ||.|

\|||.|

\|=||.|

\|||.|

\|=||.|

\|||.|

\|=||.|

\|||.|

\|==||.|

\|||.|

\|=||.|

\|||.|

\|=badcqpdcbaqpbaqpdcqpbadcdcqpbaqpdcbadx dy dz z y x f dy dx dz z y x fdx dz dy z y x f dz dx dy z y x fdy dz dx z y x f dz dy dx z y x f dV z y x f, , , , , , , , , , , , , , FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 54EXEMPLO Calcular DdV z xy3 2 onde 1 03 02 0:zyxD Vamos utilizar a seqncia de integraodzdydx dV = , isto : vamos integra primeiramente na varivelz , depois na varivelye finalmente na varivelx . |||||||.|

\|||||.|

\|=20) (30) (103 2 3 2dx dy dz z xy dV z xyIIID4 43 4 42 143 42 1 4 4) (21042xy zxy Izz= === xy xdyxyIIyy493 4 4) (303 302= = === 294182 4949202 203 2= = = === xx Dxxdx dV z xy Caso 2: SeD for descrito por( ) ( )( ) ( ) y x z z y x zx y y x yb x aD, ,:2 12 1 ento ( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ||.|

\|||.|

\|=||.|

\|=bax yx yy x zy x z Dba Ddx dy dz z y x f dx dA z y x f dV z y x fyz2121,,, , , , , , A ordem em que as integrais iteradas so calculadas no pode ser alterada a menos que sejam recalculados os extremos que definem a regioD. FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 55EXEMPLO Calcular( )+DdV yz x 5onde + 2 2001 0:y x zx yxD ( ) ( ) |||||||.|

\|||||.|

\|+ = ++ 10) (0) (02 25 5 dx dy dz yz x dV yz xIIxIy xD4 4 4 8 4 4 4 7 64 43 4 42 1 ( ) ( ) ( )2 25 5x2525 5 ) (52 242 322 2 2 20202 22 2yy xxy xyy xyy x xzy xz dz yx x Iy x zzy x+ + + + == + + + =||.|

\|+ = + =+ ==+ 12732012 4 4 355 12 4 2 2 355 2 25 5 ) (6 4 6 6 64 406 4 2 2 4 33052 242 3x x x x xx xy y x y x xyy xdyyy xxy xy x IIx yyx+ = + + + + ==||.|

\|+ + + + ==||.|

\|+ + + + === Logo, ( )1217121347 1275 3201273205107 5 106 4= + =||.|

\|+ = |.|

\|+ = +== xxDx xdx x x dV yz xAnalogamente temos outros casos: ( ) ( )( ) ( ) y x z z y x zy x x y xd y cD, ,:2 12 1 ento ( ) ( ) ( )( )( )()() ||.|

\|||.|

\|=||.|

\|=dcy xy xy x zy x z Ddc Ddy dx dz z y x f dy dA z y x f dV z y x fxz2121,,, , , , , , ou, se FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 56( ) ( )( ) ( ) z x y y z x yx z z x zb x aD, ,:2 12 1 ento ( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ||.|

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\|=||.|

\|=bax zx zz x yz x y Dba Ddx dz dy z y x f dx dA z y x f dV z y x fxz2121,,, , , , , , EXERCCIOS Calcule as integrais triplas (coordenadas cartesianas): 1)( )+ +DdV z y x 3 2 , onde 3 03 02 0:zyxD2) dzdV , onde y x zx yxD2 02 01 0:3) DydV , ondeD a regio do espao limitada pelo plano0 60 15 20 12 = + + z y xe os trs planos coordenados. Respostas: 1) 120 2) 313)215 INTEGRAIS DE LINHA SejaCuma curva no planoxOydada pelas equaes paramtricas ==) () (:t g yt f xCb t a . Sejam( ) y x M ,e( ) y x N ,duas funes contnuas cujos domnios contm a curvaC . A integral de linha ( ) ( )+Cdy y x N dx y x M , , definida por( ) ( ) + badt t g t g t f N t f t g t f M ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( . EXEMPLOS 1)Calcular a integral de linha ( ) ( )+ + +Cdy x y dx y x 2 32 2 sobre a curva + ==1:2t yt xC1 0 t . FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CLCULO III 57 Observe que temos12+ = x y(parbola) t x =dt dx =12+ = t ytdt dy 2 =( ) ( ) ( ) | | ( ) | | = + + + + + = + + + tdt t t dt t t dy x y dx y xC2 2 1 1 3 2 322102 2 2 2 ( )= + + + + =102 3 58 3 2 8 4 2 dt t t t tObs: Se invertermos o sentido de percurso sobre a curva, muda o sinal do resultado final.Isto , =C C Poderamos utilizar a forma cartesiana da equao da curvaC .Para o exemplo anterior temos 12+ = x y , e assim xdx dy 2 = , 1 0 x . ( ) ( ) ( ) | | ( ) | | = + + + + + = + + +1022 2 2 2 22 2 1 1 3 2 3 xdx x x dx x x dy x y dx y xC ( )= + + + + =102 3 58 3 2 8 4 2 dx x x x x 2)Calcular ( ) ( ) + +Cdy x y dx y xondeC o segmento de reta de( ) 1 , 1a( ) 2 , 4 . ( ) 1 , 3 = = AB vr Equao vetorial do segmento de retaAB : AB t A P + = ou ( ) ( ) ( ) 1 , 3 1 , 1 , t y x + = ,ou na forma paramtrica: + = + =t yt x13 1 1 0 tTemosdt dx 3 = e dt dy = ( ) ( ) ( ) = + = + +1011 10 6 dt t dy x y dx y xC 3)Calcular ( )+Cdy y x 2ondeC o arco de parbola 2y x =de( ) 1 , 1 a( ) 3 , 9 . Aqui temos0 = M .Na forma paramtrica o arco de parbola descrito por ==t yt x2

3 1 t . dt dy = e ( ) ( )( ) ( ) = = = +31312322 2 1 2 dt t t dt t dy y xC