Apostila Calculo Zero 00000001

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CAMPUSPATOBRANCOCURSODEMATEMATICAPARAALUNOSINGRESSANTESProjetoInstitucionaldaAreadeMatematicadocampusPatoBrancoPatoBranco-PR,2011Sumario1 N umerosNaturais 41.1 N umeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 M ultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Mnimo M ultiplo Comum (M.M.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 M aximo Divisor Comum (M.D.C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Fra c oes 112.1 Opera c oes com fra c oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Outras opera c oes com fra c oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Potencia caoeRadicia cao 163.1 Potencia c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.1 Exerccios para Fixa c ao! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Radicia c ao e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.1 Propriedades da Radicia c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Express oesnumericas 214.1 Ordem das Opera c oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Equa c ao do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Express oesAlgebricasePolin omios 255.1 Express oes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.1 Opera c oes com Mon omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Polin omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2.1 Opera c oes com Polin omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2.2 Opera c oes com polin omios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3 Decomposi c ao de Polin omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3.1 Fra c oes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 ExponencialeLogaritmo 386.1 Equa c oes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2 Inequa c oes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.3 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127 Trigonometria 447.1 Introdu c ao ` a trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.1.1 Raz oes trigonometricas no tri angulo ret angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.1.2Angulos Not aveis: 30o, 45oe 60o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.1.3 C alculo do seno, cosseno e tangente de 30oe 60o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.1.4 C alculo do seno, cosseno e tangente de 45o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.3 Arcos, angulos e o crculo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3.1 Arcos e angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3.2 Estudo do Crculo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.3.3 Express ao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3.4 Circulo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.4 Identidades Trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.4.1 Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 RespostasdosExerccios 598.1 Respostas dos Exerccios do Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.2 Respostas dos Exerccios do Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.3 Respostas dos Exerccios do Capitulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.4 Respostas dos Exerccios do Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.5 Respostas dos Exerccios do Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.6 Respostas dos Exerccios do Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.7 Respostas dos Exerccios do Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.8 Respostas dos Exerccios do Captulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Referencias 76Captulo1N umerosNaturais1.1 N umerosNaturaisO sistema de numera c ao mais usados em nossos dias e o indo-ar abico, que tem base decimal e e decar ater posicional, ou seja, o valor de cada algarismo e denido em fun c ao da posi c ao que ele ocupa naexpress ao do n umero.N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.Exemplo1Escreva o conjunto dos n umeros naturais menores que 12:Solu cao: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}Nota: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}FAZENDO VOCE APRENDE1) Represente os seguintes subconjuntos de N por seus elementos:(a) O conjunto dos n umeros naturais que s ao mpares.(b) O conjunto dos n umeros naturais que s ao pares.(c) O conjunto dos n umeros mpares e menores que 12.(d) O conjunto dos n umeros mpares menores ou iguais a 11.2) Escrevaemextens ao, ouseja, pelos seus elementos, os seguintes conjuntos escritos por umapropriedade:(a) A = {n N|n < 1}(b) B = {n N|n 11}(c) C = {n N|n > 2 en < 10}(d) D = {n N| 2 < n < 10}(e) E = {n N|n 2 en 10}(f) F= {n N|2 n 10}3) Represente por uma propriedade os seguintes subconjuntos de N:(a) A = {1, 2, 3, 4, 5}(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}(c) C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}(d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}45(e) E = {5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n, ...} (f) F= {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}4) ) Represente em extens ao os conjuntos:(a) A = {2n|n N}(b) B = {2n N|n > 0 e n < 5}(c) C = {2n N|0 < n < 5}(d) D = {2n N|0 n 5}5) Represente na reta numerica os seguintes subconjuntos dos n umeros naturais:(a) A = {0, 1, 2, 3}(b) B = {0, 2, 4, 6, 8}(c) C = {3, 4, 7, 10}(d) D = {n N|n < 10}(e) E = {n N|n < 12}(f) F= {N N|n > 2en < 9}E LOGICO !Num certo planeta, os dias tem 17 horas e 17 minutos. L a costuma se praticar o zists. As partidasde zists come cam sempre ` as 13h 10min e duram 2h 15min. A que horas elas terminam?1.2 M ultiplosDeni cao1: Chamam-sem ultiplosdeumn umeroaoprodutodessen umeroporumn umeronaturalqualquer. Oconjuntodosm ultiplosdeumn umeronatural n aonuloeinnitoepodemosconsegu-lomultiplicando-se o n umero dado por todos os n umeros naturais.Exemplo2M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}Observa cao1O n umero zero (0) e m ultiplo de qualquer n umero.FAZENDO VOCE APRENDE!1) Determine e indique os conjuntos em N:1. M(1) 2. M(2) 3. M(6) 4. M(10) 5. M(12) 6. M(50)2) Classique em verdadeiras ou falsas as arma c oes abaixo.(a) O n umero zero e m ultiplo de qualquer n umero natural.(b) O maior m ultiplo de um n umero e o pr oprio n umero.(c) O conjunto dos m ultiplos de um n umero e innito.(d) Todo n umero natural e m ultiplo de si mesmo.(e) O n umero um s o e m ultiplo dele mesmo.63) Quais s ao os m ultiplos de 12 menores do que 50?4) Quais s ao os m ultiplos de 13 compreendidos entre 15 e 40?5) Qual e o menor m ultiplo de um n umero natural?6) Qual e o nome que se d a ao conjunto dos m ultiplos de 2?7)Consideren {1, 2, 3}. Sabendoquea=2neb=3n, escrevaosm ultiploscomunsdeaebmenores que 50.8) Escreva o conjunto dos n umeros naturais que s ao m ultiplos de 3 e tambem, de 6.9) Escreva o conjunto dos n umeros naturais que s ao m ultiplos de 4 e tambem, de 5.10) Escreva o conjunto dos n umeros naturais que s ao m ultiplos de 5 e tambem, de 6.E LOGICO!Napir amideabaixo, tem-sequeon umerodecadatijoloeasomadosn umerosdosdoistijolosvizinhos, do andar de baixo.1. Usandox, como se indica o n umero do tijolo escuro?2. Usandox, como se indica o n umero do tijolo hachurado?3. Qual e o valor dex?4. Determine o valor de cada tijolo da pir amide.Resp: x=111.3 MnimoM ultiploComum(M.M.C)Deni cao2Tendo-se dois ou mais n umeros naturais n ao nulos, o m.m.c. deles e o menor n umero n aonulo que seja m ultiplo de todos eles.7Exemplo3Obter m.m.c de 28 e 36.Observa cao2Decompor um n umero composto em fatores primos signica expressar este n umero comoproduto de outros que sejam primos.Deni cao3N umeros Primos s ao aqueles que s ao divisveis apenas por 1 e por ele mesmo.Deni cao4N umerosCompostoss aoaquelesquepodemserescritosatravesdoprodutoden umerosprimos elevados a uma potencia.Observa cao3Os n umeros 0 e 1 n ao s ao nem primos, nem compostos.FAZENDO VOCE APRENDE !1) Determine o m.m.c. entre os n umeros:1. 14 e 21 2. 8,12 e 16 3. 10,15 e 20 4. 12, 18, 30 e 36 5. 2,3, 5,7 e 102) O Sr. Joaquim toma um comprimido de 5 em 5 horas e um xarope de 3 em 3 horas. Se ` a meia-noiteele tomou os dois remedios, a que horas ele voltar a a tomar os dois remedios juntos?3) Do porto de Santos,partem navios argentinos de 16 em 16 dias e navios uruguaios de 40 em 40dias. Se, num certo dia, saram navios das duas na c oes, quantos dias demorar a para ocorrer uma novapartida conjunta?4) Em uma pista circular dois ciclistas partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. Oprimeirocompletacadavoltaem24minutoseosegundoem18minutos. Ap osquantosminutosdapartida os dois v ao estar juntos outra vez?5) Numa esta c ao rodovi aria, os onibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas, e para a cidade Bde 8 em 8 horas. Numa ocasi ao, um onibus para a cidade A partiu junto com o outro para a cidade B.Quanto tempo depois isso acontecer a de novo?6) Um pas tem elei c oes para presidente de 5 em 5 anos,e para governadores de 4 em 4 anos. Em1988, essas duas elei c oes coincidiram. De os anos das tres pr oximas vezes em que elas voltar ao a coincidir.E LOGICO !Um po co tem 10 metros de profundidade. Uma lesma que esta no fundo do po co sobe quatro metrosdurante o dia, e durante a noite, enquanto dorme, escorrega, para baixo, tres metros. Em quantos diassair a do po co?81.4 DivisoresDeni cao5Sendoaebdoisn umerosinteiros,coma =0,dizemosquea edivisordebquandob edivisvel por a.Exemplo41) Determine os divisores de 14. Solu cao: D(14)={1, 2, 7, 14}FAZENDO VOCE APRENDE !1) Escreva os n umeros naturais que:1. S ao divisores de 12.2. S ao divisores de 30.3. S ao divisores de 12, mas n ao de 30.4. S ao divisores de 30, mas n ao de 12.5. S ao divisores comuns de 12 e 30.2) Quais s ao os divisores de um n umero primo p?3) O conjunto dos divisores de 10 e indicado por D(10) e os divisores de 24 por D(34). Apresente osconjuntos:1. D(10) 2. D(24) 3. D(10) D(24) 4. D(10) D(24)4) A tia Rosa da cantina comprou 200 balas para serem vendidas em pacotes que contenham maisde 3 balas e menos de 7 balas. Todos os pacotes devem ter o mesmo n umero de balas e n ao deve sobrarnenhuma das 200 balas. Quais s ao as diferentes maneiras que tia Rosa encontrou para fazer os pacotes?5) O professor Elder,de artes,quer dividir a classe em grupos que tenha no mnimo 3 alunos e nom aximo 6. Sabendo-se que a classe tem 36 alunos e que todos os grupos devem ter o mesmo n umero dealunos, quais s ao as maneiras possveis de o professor Elder formar os grupos?6)Umtorneiodefutebol desal aovai reunir24equipes. Oorganizadorquerformargruposquetenham o mesmo n umero de equipes, com no mnimo 2 e no m aximo 8 equipes. Quais s ao as maneiraspossveis de formar estes grupos?7) Encontre todas as maneiras possveis para ampliar 20 caixas de refrigerante em pilhas iguais, demodo que cada pilha tenha no mnimo 2 e no m aximo 10 caixas.8) Disse um matem atico: O produto das idades de meus dois lhos e igual a 18 anos. Quais s aoas possveis idades (em anos) dos lhos deste matem atico?E LOGICO !Usando 32 quadrinhos, de 1 cm de lado, quero formar ret angulos como o da gura abaixo:9Agora, responda:(a)E possvel formar outros ret angulos usando todos os quadrinhos?(b) Quais as medidas dos lados desses ret angulos?1.5 MaximoDivisorComum(M.D.C)Deni cao6Tendo-sedoisoumaisn umerosnaturaisn aonulos, om.d.c. deleseomaiorn umeronatural divisor de todos eles.Exemplo5Determine o m.d.c de 12 e 16.MDC(12)= {12}MDC(16)= {16}Observa cao4Om.d.c. eoprodutodosfatorescomunscomomenorexpoente: m.d.c.{12, 16} =22= 4.Exemplo6Determinar o mdc entre 20 e 9.D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} eD(9) = {1, 3, 9} Assim,mdc{20, 9} = 1Aten cao: Dois n umeros s ao primos entre si, se om.d.c. entre os dois for 1.FAZENDO VOCE APRENDE !1) Obtenha:1. o m.d.c. (27, 36) 2. o m.d.c. (45, 75) 3. o m.d.c. (20, 26) 4. o m.d.c. (16, 21)2) Um professor d a aulas numa 7aserie, de 30 alunos, e numa 8aserie, de 18 alunos. Em cada sala,ele formou grupos, e todos os grupos (tanto na 7acomo na 8a) tinham o mesmo n umero de alunos. Quale o maior n umero de alunos que cada grupo pode ter?3)Oquesepodearmarsobreom.d.c. dedoisn umerosnaturaisn aonulos, quandoumdelesedivisor do outro?4) O que se pode armar sobre o m.d.c. de dois n umeros primos diferentes?5)NaescoladeLaura,a5aserieAtem36alunosea5aserieBtem42. Paraparticipardeumaexposi c ao de artes, cada classe formar a equipes. Todas as equipes devem ter o mesmo n umero de alunos.Sabendo que todos os alunos devem participar dessa exposi c ao, responda:10(a) Qual o n umero m aximo de alunos por equipe?(b) Quantas ser ao as equipes da 5aserie A? E da 5aserie B?6) Para confec c ao de uma tela, dois rolos de arame de 350 cm e 140 cm v ao ser divididos em peda cosda mesma medida e a maior possvel (sem sobras). Qual o n umero de peda cos que ser ao obtidos de cadarolo?7) Para montagem de uma estante, tres peda cos de madeira (caibros) medindo 240 cm, 320 cm e 400cm devem ser divididos em peda cos iguais de maior medida possvel (sem sobras). Qual o n umero totalde peda cos que ser ao obtidos?8) A gerente de uma loja de tecidos quer dividir tres pe cas de fazenda em partes iguais e de maiortamanho possvel. Sabendo que essas pe cas medem 180 m, 216 m e 288 m, determine o n umero de partesem que ser a dividida cada pe ca e o comprimento dessas partes.E LOGICO !Quantos quadrados h a na gura?Captulo2Fra c oes2.1 Opera c oescomfra c oesAdi caoeSubtra caoExemplo7 (a)78 +56=3.724+4.524=2124 +2024=4124(b)75 38=8.75.340=561540=3140FAZENDO VOCE APRENDE !1) Efetue as adi c oes e se possvel, simplique os resultados:(a)76 +53(b)84 +23(c)512 +724(d)12 +942) Calcule as adi c oes e expresse os resultados na forma de fra c ao irredutvel:(a)718 +78(b)536 +124(c)928 +1021(d)17 +14213) Efetue as adi c oes:(a) (310 +35) +34(b)310 + (35 +34)(c) (59 +23) +45(d)1225 + (35 +715)(e)1021 +67 +31456 +25 + 44) Transforme os n umeros mistos em fra c oes impr oprias e efetue as adi c oes:(a) 213 + 535=2.3+13+5.5+35=73 +285=5.7+3.2815=11915(b) 2910 + 445(c) 538 + 334(d) 514 + 51211125) Calcule as diferen cas:(a)57 23(b)1012 38(c)1112 17 121(d)139 56 118(e) (98 35) 518(f) (72 2) (3 78)6) Calcule:(a)205 (34 12)(b) (205 34) 12(c)Considerandoosresultadosobtidosemaeb, responda: (1)Oquevoceobservaneles? (2)Asubtra c ao de n umeros fracion arios e associativa?(Pesquise o que e uma opera c ao associativa).7) Transforme os n umeros mistos em fra c oes impr oprias e efetue as subtra c oes:(a) 555 213=5.5+552.3+13=285 73=843515=4915(b) 458 134(c) 358 116(d) 256 13(e) 515 5(f) 3 134(g) 16 12138) No stio de Lucas,13da planta c ao e de milho,14e de arroz e o restante e de soja. Qual e a fra c aocorrespondente ` a planta c ao de soja?9) Rui, Noe e Isa ganharam uma caixa de bombons Quero-Quero. Rui comeu16, Noe comeu110eIsa comeu15. Que fra c ao sobrou dos bombons?10) Uma pra ca retangular tem lados medindo 100 m e 60 m.13da pra ca e reservado para a area derecrea c ao infantil,14e constitudo de cal cadas e o restante e gramado. Qual a area,emm2,reservadapara o gramado?11) Uma piscina e um bloco retangular de arestas medindo 25 m, 12 m e 1,5 m. Se apenas um ter coda piscina contem agua, quantos litros faltam para encher completamente essa piscina?12) F abio tem uma barraca de feira onde vende frutas. Das trinta caixas de laranjas que comprou,ummeioestavamverdes. Dascaixasrestantes115estavamestragadaseasdemaisestavammaduras.Quantas caixas de laranjas maduras F abio comprou?E LOGICO !Um grupo de seis alunos pediu ao professor que elaborasse mais uma prova para a classe.O professor disse:- Voces s ao apenas um quinto da classe. S o darei outra prova se a metade da classe pedir.Voces n ao sabem o trabalho que d a para corrigir...Quantos alunos precisar ao se juntar ao grupo para que o professor de a prova?132.2 Outrasopera c oescomfra c oesMultiplica cao:Exemplo8 (a)78.53=7.58.3=3524(b)52.(3) =52.(31) =152= 152Divisao:Exemplo9 (a)35 64=35.46=3.45.6=1230=25(b)52 (3) =52 (31) = 56FAZENDO VOCE APRENDE !1) Determine o produto e simplique quanto puder:(a)56 68(b)34 13(c)65 43(d)72 53(e)65 74(f)118 25 533(g)23 35 38 49(h) 345 3(i) 112 2342) Calcule:(a) A metade de uma dezena(b) Um ter co de uma d uzia(c) A metade da metade(d) A metade de um ter co(e) A metade de um quarto(f) A ter ca parte de uma d uzia e meia3) Determine os quocientes e simplique se puder:(a)57 47(b)712 512(c)154 34(d)512 13(e)1115 35(f)34 25(g)78 23(h)23 124) Transforme os n umeros mistos em fra c oes impr oprias e efetue as divis oes:(a) 28 134(b) 7 314(c) 214 135(d) 616 2165) Um aluno acertou45de uma prova de 10 quest oes. Quantas quest oes ele errou?6) Um guardanapo de papel e quadrangular e tem lados medindo15m. Quantos metros quadradosde papel correspondem a 100 guardanapos?7) Um ladrilho e quadrangular e tem lados medindo14m. Para fazer o piso de uma sala retangularde lados medindo 10 m e 12 m, quantos ladrilhos iguais a esse ser ao necess arios?148) O piso de um sal ao, que e quadrado, vai ser coberto por 400 placas de borracha. Essas placas s aoquadradas e seus lados medem25m .(a) Qual e a area emm2, de sal ao? (b) Qual o permetro, emm, desse sal ao?9)Umaempresadetransportecoletivovai muitomal:1320dosseus onibusest aoquebrados. Issocorresponde a 520 onibus quebrados. Quantos onibus tem essa empresa?10) Para evitar problema com a coluna, as crian cas n ao devem carregar mais de110do pr oprio peso.Adultos podem carregar ate15do pr oprio peso. Sabendo disso,um adulto e uma crian ca zeram seusc alculos: elepodecarregarate14kgeacrian caate4. Quantosquilogramastemesseadultoeessacrian ca?11) Eu tenho35da quantia que voce tem.(a) Se voce tiverR$1.800, 00, quanto eu terei?(b) Se eu tiverR$1.800, 00, quanto voce ter a?12) Uma estrada de 308 km acaba de ser inaugurada. S o que e a terceira vez que isso acontece. Naprimeira vez, apenas27da estrada estavam asfaltadas; na segunda, mais14da estrada, e desta vez, mais211. Quantos quil ometros da estrada est ao sem asfalto?E LOGICO !Dona Ester foi trabalhar e deixou dinheiro para seus tres lhos com este bilhete. Dividam igualmenteo dinheiro. Beijos. O primeiro lho chegou, pegou13do dinheiro e saiu. O segundo chegou e n ao viuninguem. Pensandoqueeraoprimeiro, pegou13dodinheiroquetinhapelafrenteesaiu. Oterceiroencontrou8notasdeR$1, 00. Achouqueerao ultimo, pegoutudoesaiu. a)Quefra c aodedinheirodeixado pela m ae o segundo lho pegou?b) Que fra c ao do dinheiro deixado pela m ae sobrou, quando osegundo lho saiu?c) Quantos reais dona Ester deixou?d) Devido ao engano do segundo lho, alguemsaiu beneciado?E prejudicado?Quem?2.3 DecimaisDeni cao7Asfra c oescomdenominadores10,100,1000,10000(potenciasde10)s aofra c oesdeci-mais.Exemplo10 (a)510= 0, 5 (b)13100= 0, 13 (c)451000= 0, 045FAZENDO VOCE APRENDE !1) Coloque na forma decimal as seguintes fra c oes:(a)23(b)8100(c)5100(d)2341000152) Substitua2 por = ou =:(a)11020, 1 (b)1100020, 01 (c) 0, 102110(d) 0, 720, 700 (e) 21221, 0 (f) 0, 70120, 713) Escreva o n umero decimal correspondente a cada uma das fun c oes decimais:(a)310(b)1100(c)71000(d)21100(e)431000(f)123510(g)578021000(h)61004100004) Transforme em fra c ao decimal:(a) 0, 5 (b) 1, 3 (c) 0, 08 (d) 0, 212 (e) 8, 71 (f) 0, 485 (g) 5, 278 (h) 9, 31645) Expresse o n umeros na forma de fra c ao irredutvel:(a) 0, 60 (b) 0, 225 (c) 0, 155 (d) 0, 45 (e) 0, 006 (f) 0, 422 (g) 0, 425 (h) 5, 008E LOGICO !Responda:(1) Qual e o menor n umero decimal que somado a 6,032 resulta em um n umero natural?(2) Qual e o menor numero decimal que subtrado de 6,032 resulta em numero natural?(3) Qual e o menor numero decimal, n ao nulo, que somado a ele mesmo resulta em um n umero natural?Captulo3Potencia caoeRadicia cao3.1 Potencia caoDeni cao8Potencia c ao e a opera c ao em que determinamos o produto de fatores iguais:an= a.a.a....a. .nfatoresExemplo1128= 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256PropriedadesdaPotencia cao(1) Multiplica c ao: am.an= am+n(2) Divis ao: aman= amn(3) Potencia c ao: (am)n= am.n(4) Radicia c ao: anm=man(5) Potencia de um produto: (a.b)n= an.bn(6) Potencia de um quociente: (ab)n=anbn , comb = 0(7) Potencia com expoente inteiro negativo: an=1an, coma = 0(8) a1= a,a = 0(9) a0= 1,a = 0FAZENDO VOCE APRENDE !1) Reduza a uma s o potencia:(a) 6.69(b) 7.70(c) 72.73.75(d) 103.102.1042) De o resultado na forma de potencia:(a) 124123(b) 2823(c) 310312(d) 89(8.86)3) Reduza a uma s o potencia:1617(a) (34)2(b) (43)5(c) (73)478(d) (62)563(e) [(102)3.(103)4] (106)3(f) [710(78)2].(75)24) Aplique a propriedade de potencia de um produto:(a) (3.a)2(b) (4.a)5(c) (x.y)3(d) (2.x.y)75) Use as propriedades da potencia c ao para transformar cada express ao em uma s o potencia:(a) (1321) (1321)(b) (833)2(833)3(c) (175 )2(175 )3(d) (79)5(79)2(e) (214 )2(214 )5(f) [(1112)2]3(g) [(54)2]3(h) (0, 03)7(0, 03)4(i ) [(0, 03)5]26) Resolva as potencias abaixo, usando a propriedades 8 e 9:(a) 31=(b) 30=(c) (0, 5)1=(d) (0, 5)0=(e) (1/2)1=(f) (1/2)0=(g) 21=(h) 20=7) De um exemplo de uma potencia em que:(a) A base e o expoente s ao inteiros, mas a potencia n ao e.(b) A base n ao e um n umero inteiro, mas o expoente e a potencia s ao.E LOGICO !Represente as express oes com uma s o potencia de base 2:(a)116 0, 25 128 132(b) ((0, 5)2)3[(116)3]4Outros Exemplos:1) Calcule as express oes seguintes (sem usar sua calculadora).(a) 91/2(b) 272/3(c) 81/3(d) (1100)3/2(e) 503.1.1 ExercciosparaFixa cao!1) Usando as propriedades elencadas anteriormente, calcule as seguintes express oes:(a) 161/2(b) 41/2(c) 23.25(d)2523(e) (34)2(f) (5.6)218(g) (3)3(h) (1, 2)2(i) (5)34(j) ()14(l)1021052) Calcule o valor das potencias:(a) (5)1(b) (13)3(c) (0, 4)1(d) 102(e) (0, 01)2(f) (1102)1(g) (32)1(h) (38)2(i) (3)2(j) (32)4(l) [(394)2]33) Escreva na forma de potencia:(a) 7(b)423(c)532(d)134(e)1(2)3(f)1(32)54) Escreva na forma de radical:(a) 215(b) 812(c) (a3b)14(d) (m2.n)15(e) m345) Fatore os radicandos e escreva na forma de potencia com expoente fracion ario:(a)332(b)325(c)427(d)78(e)8512(f)86253.2 Radicia caoesuaspropriedadesna = bbn= a, n 2Onde:n Indice. Sinal radical.b Raiz.a Radicando.3.2.1 PropriedadesdaRadicia cao1. a2= |a|2.na b =na nb, com n par, a 0 e b 0.3.n_ab=nanb, com n par, a 0 e b 0.194.nam= (na)m,n 15.nan=a, comn > 16.nam=npamp7.n_ma=nma8.nam=amnRACIONALIZAC AO:Exemplo12 (a)ab=ab.bb=abb.b=abb2=abb(b)a3b=a3b.3b23b2=a3b23b3=a3b2b(c)73 2=73 2.3 +23 +2=21 + 729 2=21 + 727= 3 +2(d)2a +b=2a +b.a ba b=2a 2ba b(e)323=323.33=332.3=36FAZENDO VOCE APRENDE!1) Calcule o valor das express oes:(a) 2327 3664(b) 100 64 + 3400 840, 0001(c)50, 00032 40, 0064 230, 0272) Simplique os radicais:(a)7x17(b)481(c)364.b6(d)5_1024.x5.y10(e) 25a4x(f)1345(g)6a12x13(h)381(i)91024(j) 52(l)_288.a275.b4(m)3_x6.y5a7(n) x2+ 6x + 9 =(o) _y2+ 10y + 253) Efetue as opera c oes com radicais, simplicando o resultado sempre que possvel::(a) 320 + 35 45 80(b)_827 + 2_32108 3_72243(c) 3ba + 7b2a 3aa a3(d)381 39(e) 36125 5424(f) 3b.53b.134b(g) (2ab_2ba2)220(h) (3aa4b)3(i)4_ab5_ba(j)3_xy4_x2y34) Racionalize os denominadores das fra c oes:(a)a2b(b)a2bab(c)ab5ab3c4(d)224+5(e)2a12a1(f)3+333Captulo4Express oesnumericas4.1 OrdemdasOpera c oesOrdemdasopera c oes:(1) Potencia e/ou raiz(2) Multiplica c ao e/ou divis ao(3) Soma e/ou subtra c ao(4) Considere-se as opera c oes na ordem em que aparecemExemplo13(1513 35) + 3 [(23)1 32] 14 + 8112=(15 313 5) + 3 [32 32] 14 +281 =(3313) + 3 [32 23] 14 + 9 =( 913) + 3 [1] 14 + 9 =913 +1 14 + 9 =36 + 156 52 13 + 4685259552FAZENDO VOCE APRENDE !1) Determine o valor das express oes:(a) (34) (2) 38(b)56 (34) 32(c)34 + (23) (35) 4 [(34 58) 8](d) (78) 316 [52 (12)](e) (4, 7)(6, 8 9, 4) [18, 3 (4, 5)](f)67 (54)(78)(g) (198, 07 + 16, 8 12, 003) 0, 006(h)(35 +615) (1 710)715 [920 (52) 45]2) Calcule o valor das express oes:2122(a) (12)2(59)1+ (23)279(b) [(12)234]1(35)1(c) [(67) (821) (22)]3(d) _2581 +_1009(e)_94 _94 _3681(f)_2536 _81100 +_4964 _1961443) Resolva as express oes:(a) (1) 1 10 + (2 5) 10(b)104 (25) (1610) (154 )(c) (558 432) [1411 (319)](d) [(23)(34) + (12)1]2(158 )(e)_49 _425 +_649 (16)(f)(12)234(2)2+58E LOGICO!Uma escola tem 354 alunos. Um deles inventou uma fofoca sobre o diretor da escola e, em um minuto,contou a 3 colegas. Pelo jeito, a fofoca era boa porque, no minuto seguinte, cada um desses 3 contou anovidade a 3 colegas que ainda n ao conheciam. Assim, cada um que recebia a notcia a transmitia a 3colegas desinformados, gastando, para isso, um minuto.a) Quantos alunos caram sabendo do boato no terceiro minuto?b) Quantos alunos caram sabendo do boato nos tres primeiros minutos?FALAR, PENSAR E FAZER MATAMETICA!Deni cao9(M oduloouValorabsolutodeumn umero)Om oduloouvalorabsolutodeumn umeroeopr oprion umero, seeleforpositivo. Casoelesejanegativo, torna-se o sinal contr ario, tornando-o positivo.|x| =_x se x 0x se x < 0Exemplo14 (1) | 5| = 5(2) |5| = 5 ou seja, por deni c ao: -(-5)=5.Observa cao5(N umerosInteirosOpostos) Quando dois n umeros inteiros tem o mesmo valor ab-soluto e sinais contr arios, dizemos que s ao opostos +a o oposto de a.Exemplo15 (1) -3 e oposto de +3.(2) +100 e o oposto de -100.Observa cao6Ordena caodosn umerosinteiros (Sejaa > 0 eb > 01) +a > b2) +a > +b | +a| > | +b|,3) a > b | a| < | b|,4)a < 0 < +b.234.2 Equa caodoprimeirograuDeni cao10Equa c ao e uma senten ca matem atica, que contem uma ou mais letras com valores desconhecidos (inc ognitas), formada por duas express oes ligadas pelo sinal de igual.Equa c ao do primeiro grau e uma equa c ao do tipoax +b = 0, onde a e b representam n umeros reaiscoma = 0Exemplo16 (1) 3x + 1 = 0 3x = 1 x = 13(2) 2x + 3 = 3(x 1) 2x + 3 = 3x 3 2x 3x + 3 + 3 = 0 x + 6 = 0x = 6Observa cao7NumdadouniversoU,dizemosqueumasenten caqueexpressaumaigualdadeeumaequa c aoemU, quandoesomentequandoessasenten cadeterminaumconjuntoverdadeV, queest acontido em U. (V U).Exemplo17SeU= {1, 2, 3} ex + 3 = 5 ent aoV= {2}.FAZENDO VOCE APRENDE!1) Resolva as seguintes equa c oes paraU= Q:(a) 2x + 3 = 19(b) 8x 4 = 60(c) 2x 1 =54(d)37 5x =12(e)x43=x221(f)3x15+ 2 =3x4+ 5(g)4x+13=5(5x+2)2(h)3(x2)2=4(5x)32) Escreva uma equa c ao para cada senten ca:(a) O dobro de um n umero mais seu triplo e igual a 50.(b) A metade de um n umero mais sua ter ca parte e igual a 15.(c) A diferen ca entre um n umero e sua metade e 40.(d) A soma de dois n umeros consecutivos e 11.(e) A diferen ca entre o triplo de um n umero e sua metade e 25.(f) Asomadeduasidadese20. Omaismo conasceu4anosdepoisdomaisvelho. (Useumas ovari avel)(g) A diferen ca entre duas idades e 20 anos. O mais velho tem triplo da cidade do mais mo co.3) Determine o n umero que, somado aos seus 3/5, e igual a 24.4) Determine o n umero tal que a diferen ca entre ele e os seus 2/3 seja 8.5) Um n umero, somado ` a sua quinta parte e ` a sua metade, e igual a 51. Qual e esse n umero?6) A soma de dois n umeros e 63 o quociente entre ambos e exato e vale 6. quais s ao esses n umeros?7) Na classe de Rosana, 49% dos alunos foram para a praia nos feriados, 25% para as montanhas e14 alunos n ao saram da cidade. Quantos alunos tem essa classe?248) Numa fabrica trabalham,532 pessoas entre homens,mulheres e menores. O n umero de homenseodobrododemulhereseeste eodobrododemenores. Quantoss aooshomens, asmulhereseosmenores?9) Um pai tem 46 anos e um lho tem 10. Daqui a quantos anos a idade do pai ser a o qu adruplo daidade do lho?10) A soma das idades de um pai e um lho e de 42 anos. H a tres anos, a idade do pai era onze vezesa idade do lho. Determine as idades.11) Repartir 36 gurinhas entre dois garotos de modo que um ganhe o dobro do outro.12) Num estacionamento, h a um total de 200 veculos, entre motos e carros. Se h a 20 motos a maisque carros, quantas motos e quantos carros est ao nesse estacionamento?E LOGICO!Descubra os n umeros do seguinte circuito:Captulo5Express oesAlgebricasePolin omios5.1 Express oesAlgebricasDeni cao11Express oesqueapresentamumaoumaisvari aveise, ainda, asexpress oesques otemn umeros s ao chamadas express oes algebricas.Exemplo183x + 2xy 3.Deni cao12Mon omios, s aoexpress oesalgebricasqueapresentamapenasumn umero, apenasumavari avel ou multiplica c oes entre n umeros e vari aveis.Exemplo19 (a) 5x2y3(b) 2x(c) x3(d) 12Observa cao8 (Mon omiosSemelhantes) S ao aqueles que tem a mesma parte literal semelhantes.Exemplo20 (a) 7x3y2e 5x3y2(b) 6x exFAZENDO VOCE APRENDE!(1) Escreva estas senten cas, utilizando vari aveis.(a) Todo n umero real multiplicado por um resulta no pr oprio n umero real.(b) Todo valor real somado com ele mesmo resulta em duas vezes o seu valor.(c) Numa multiplica c ao de dois n umeros reais quaisquer, a ordem dos fatores n ao altera o produto.(d) Todo n umero real somado com seu oposto d a zero.(2) Tenho 35,00 e minha irm a temx (ela nunca me diz quanto tem!).(a) Responda com uma express ao algebrica: ganhando 16,00, com quanto minha irm a car a?2526(b) Qual e o valor numerico dessa express ao quando e igual a 59?(3) Houve um tempo em que os t axis cobravam 4,00 pela bandeirada, mais 1,40 por km rodado.(a) Responda com uma express ao algebrica:quantos reais eram pagos num percurso de quil ometros?(b) Qual e o valor dessa express ao quando vale 10?(4) Escreva estas senten cas, utilizando vari aveis:(a) Todo n umero real multiplicado por ele mesmo resulta no quadrado desse n umero.(b) Numa adi c ao de dois n umeros reais quaisquer, a ordem das parcelas n ao altera a soma.(5) Considere estas adi c oes:1+12+2+23+3+3+34+4+4+4+4...Observe: na 1aadi c ao as parcelas valem 1 e o n umero de parcelas e 2. Na 2aadi c ao as parcelasvalem dois e n umero de parcela e 3, e assim por diante.(a) A terceira adi c ao d a 12. Quanto d a a 30aadi c ao?(b) Qual e o resultado da enesima adi c ao?Para responder, use a vari avel .(6) Escreva a parte literal de cada mon omio.(a) 5x5y5(b) 2x3(c) x4y2(d) 4, 2y3(7) Escreva os coecientes dos mon omios:(a) 7ax6(b) ax4(c) 12x2y(d) 31ay25.1.1 Opera c oescomMon omios(1) Adi caoeSubtra cao:Considerando 7x3y2+5x3y2, para som a-los, pode-se pensar assim: temos 7 mon omios x3y2mais 5desses mon omios, logo, temos 7+5, ou seja, 12 mon omios x3y2. Portanto: 7x3y2+5x3y2= 12x3y2.Quando falamos em adi c ao algebrica de mon omios, podemos estar nos referindo tanto a uma adi c aode mon omios, quanto a uma subtra c ao.27(2) Multiplica cao:Acompanhe a multiplica c ao do mon omiox4pelo mon omiox3:Exemplo21(6x2y3).(5x4y4z) = 6.5.x2.x4.y3.y4.z = 30x6y7zObserva cao9Essa propriedade e a base qualquer da multiplica c ao de mon omios.(3) Divisao:Acompanhe a divis ao do mon omiox5pelo mon omiox3:Exemplo22x5x3=x.x.x.x.xx.x.x= x2Exemplo2312x5y3z43x3y2z=123.x5x3.y3y2.z4z= 4x2yz3(4) Potencia cao:Exemplo24(2x3y4)3= (2x3y4).(2x3y4).(2x3y4) = 2.2.2.x3.x3.x3.y4.y4.y4= 8x9y12Exemplo25(2x3y)4= (2x3y).(2x3y).(2x3y).(2x3y) = (2).(2).(2).(2).x3.x3.x3.x3.y.y.y.y = 16x12y4FAZENDO VOCE APRENDE!1)Efetue as adi c oes e subtra c oes:(a) 5x2+ 12x2(b) 8xy28xy2(c) 2xy5z 2xy5z(d) 2x312x3(e) 12x2y 8x2y x2y +x2(f) y 12y + 3x218y +x2(g) 5x2y272x2y252x2y2(h) 2y234y2+y2310y2(i) 7x3y + 8x3y 15x3y2) Efetue as multiplica c oes e divis oes:(a) 2y2.y3(b) 5y.(8y2)(c) x2.(xy)(d) (3x2z2).(2xy).(6z2)(e) (2x2).(4y2).(5x3y4)(f) (25x2y2).(37x3y3)28(g) (4a2b3)2(h) (xy2z3)8(i)x3y3x2y2(j)63a4x59a3x2(l)8a5y640ay(m)25a3x2y45x2(n)25a5b5415a2b(o) (2x3y)4(5x6y2)2(p) (23x2y2)3.(34xy3)2(q) x2.x4+x.x5+x3.x32x5.x(r)3x2y7x2y+3x2yx23) Indique com um mon omio:(a) A area do ret angulo I(b) A area do ret angulo II(c) A area do quadrado III(d) A area total da gura.4) Escreva o mon omio que:(a) Subtrado 3x5y d a 2x5y(b) Subtrado de 6y d a 10y(c) Somado com 12x3y8resulta zero(d) Somado com 4xy d a 4xy.5) Calcule o valor numerico das express oes algebricas a seguir,parax = 2 ey= 13. Mas,antes,efetue as adi c oes dos mon omios semelhantes.(a) 23xy 18xy + 17xy 216xy(b) 2x5y + 3x5y + 5x5y(c)x2y4+x2y2+x2y4(d) 7x 9y 9x + 8y6)Naguraaseguir, apartehachuradaeformadaporquatroret angulos. Asmedidasest aoemcentmetros. Determine:29(a) A area da gura hachurada pode ser obtida como uma adi c ao de mon omios. Efetue essa adi c ao.(b) Calcule a area da gura hachurada nestes dois casos: quandox = 0, 5 e quandox = 2.(c) Para que valor dex a gura hachurada tem uma area de 82cm2.5.2 Polin omiosDeni cao13Um polin omio na vari avel x e toda express ao P(x) que pode ser reduzida a formaP(x) = anxn+an1xn1+an2xn2+...a1x1+a0Em queai C e n NSendo:(1) anxn, an1xn1, an2xn2, a1x1, a0, s ao os termos ou mon omios do polin omio, sendo a0, denominadotermo independente da vari avelx;(2) an, an1, an2, a1, a0, s ao os coecientes do polin omio.(3) O grau de um Polin omio n ao nulo e o maior expoente da vari avel, dentre os termos de coecientesn ao nulos.(4) Ao atribuir um valor complexo a vari avel x, o resultado da express ao obtida e chamado de valornumericodopolin omio para ax = . Indica-se esse valor numerico comoP()(5) O grau de um polin omio indica a o n umero de raizes que existem como solu c ao da express ao.Sendo que, chama-se de raiz do polin omio P(x) todo n umero complexo tal queP() = 0(6) Polin omiosIdenticos: dizemos que os polin omiosp eqs ao identicos quando possuem os coe-cientes correspondentes iguais, ou seja, sejamp(x) = anxn+ +a2x2+a1x +a0eq(x) = bnxn+ +b2x2+b1x1+b0.Assim,p = q ai = bi, para todoi {0, 1, , n}.Exemplo26A express ao 5x43x3+ 2x24x + 7 e um polin omio de grau 4.30(1) 5, 3, 2, 4 e 7 s ao seus coecientes;(2) x e sua vari avel;(3) 5x4, 3x3, 2x2, 4x, 7 s ao seus termos ou mon omios.(4) 7 e seu termo independente.FAZENDO VOCE APRENDE!1) Quais das express oes representam um polin omio na vari avelx?(a)x5+x3+ 2 (b) 0x4+ 0x2(c) 3 (d)x52+ 3x2(e) (x)4+x + 2 (f)xx +x2(g)x15(h)x + 2(i)x2+ 2x + 3 (j)1x4+x(k)x +x3+x6+x4(l) (3x25x + 3)(7x3+ 2)2) Determine a, b, c de modo que a fun c ao f(x) = (a+b5)x2+(b+c7)x+(a+c) seja identicamentenula.5.2.1 Opera c oescomPolin omios(1) Adi caoeSubtra cao : Ambas consistem no agrupamento de mon omios semelhantes, usando apropriedade distributiva. Veja:Exemplo27(a) (2x33x2+ 4x 1) + (x3+ 2x25x + 3)(b) (4x2+ 3x 4) (2x3+x2x + 2)Solu c ao:(a) (2x3+x3) + (3x2+ 2x2) + (4x + ()5x) + (1 + 3)= 3x3x2x + 2(b) (0 22x3) + (4x2+x2) + (3x (x)) + (4 2)= 2x3+ 3x2+ 4x 6(2) Multiplica cao: Usando-se a propriedade distributiva, expandimos o produto de dois ou maispolin omios ou mon omios. Veja:(3x + 2)(4x + 5)=3x(4x 5) + 2(4x 5) =(3x)(4x) (3x)(5) + (2)(4x) (2)(5)= 12x215x + 8x 10 = 12x27x 1031FAZENDO VOCE APRENDE!1) Dados os polin omios:f(x) = 7 2x + 4x2g(x) = 5 +x +x2+ 5x3h(x) = 2 3x +x4Calcule (f +g)(x), (g h)(x) e (h f)(x).2) Sendo dados os polin omios: f = 2x2, g = 2x2+3x4, h = 3x2+2x4x6ek = 3x62x4+ 4x2, obtenha os n umeros reaisa,b,c de modo que se tenhak = af +bg +ch.3) Determinea,bc de modo que se verique cada identidade:1. a(x21) +bx +c = 02. a(x2+x) + (b +c)x +c = x2+ 4x + 25.2.2 Opera c oescompolin omiosIIDivisao: Pode-se efetuar a divis ao de polin omios se utilizando de 2 diferentes metodos:BRIOT-RUFFINI(DispositivoPr atico):Utilizadoquandoodivisorforumpolin omiodo1grau da forma x-a ou x+a. Este processo opera apenas com os coecientes e a raiz dada pelo polin omiode grau 1.Escrevemososcoecientesdopolin omioemquest aonapartesuperiordeumalinhatra cada, semesquecerostermosnulos(grauzero)apartirdograudopolin omioetambemotermoindependentedaequa c ao.Exemplo28P(x) = 3x52x4+ 3x2+ 1 dividido por D(x)=x-232Obtendo-se ent ao: Q(x) = 3x4+ 4x3+ 8x2+ 19x + 38 eR(x) = 77.METODO DAS CHAVES: Se o divisor n ao for um polin omio de grau 1, pode-se utilizar essemetodo. Ao efetuar a divis ao de dois polin omios, P(x) eD(x)(= 0) encontraremosQ(x) eR(x), vistoque:P(x) = D(x).Q(x) +R(x).Exemplo29Vejamos como obter o quociente e resto da divis ao pelo metodo das chaves do polin omioP(x) = 2x5+ 4x4+ 4x3+ 9x2+ 3x + 1 porD(x) = x2+ 2.1- Dividir o mon omio de mais alto grau de P(x) pelo mon omio de mais alto grau de D(x)2- Subtrair do dividendo o produto do divisor D(x) pelo resultado obtido no primeiro passo, obtendoo primeiro resto parcial.3-Dividimosomon omiodemaisaltograudoprimeirorestoparcial pelomon omiodemaisaltograu do D(x).4-Subtraimosdoprimeirorestoparcial oprodutododivisorD(x)oresultadoobtidonoterceiropasso, obtendo o segundo resto parcial.E assim sucessivamente, ate obter o resto nal R(x), que deve obedecer a uma das condi c oes:R < DouR(x) 033Temos ent ao:Q(x) = 2x3+ 4x2+ 1 eR(x) = 3x 14H a casos em que se deseja saber apenas o resto da divis ao de um polin omio por outro do primeirograu. Ent ao utiliza-se o TEOREMADORESTO:Teorema1(Resto)O resto da divis ao de um polin omioP(z) pelo polin omioax+b (a = 0) e o valornumerico deP(x) parax = ba(raiz deax +b)R = P(ba)Observa cao10Existe uma consequencia imediata do Teorema do Resto conhecida como:Teorema2(DAlembert)Umpolin omioP(x) e divisvel por ax +b (a=0), se, e somente se,P(ba) = 0Exemplo302x3+ 2x22x + 4 e divisvel por 2x + 4?P(42) = P(2)P(2) = 2.(2)3+ 2.(2)22.(2) + 4 = 0Ou seja, O polin omio em quest ao e divisvel por 2x + 4Observa cao11Divisibilidade pelo produto: Se um polin omio e divisvel separadamente pelos bin omiosx a ex b, ent aoP(x) e divisvel pelo produto (x a).(x b).FAZENDO VOCE APRENDE!1)Dadosospolin omios: P(x)=3x4+ 2x3+ x 1, Q(x) = 5x4+ 3x + 7, A(x) = 6x3+ 2x2 3x,B(x) = 4x2+ 5x 1 eC(x) = 9x 2, calcule:34(a) P(x) +Q(x)(b) P(x) Q(x)(c) A(x) +B(x)(d) A(x) B(x)(e) 4A(x)(f) B(x).C(x)(g) C(x)2(h) 2A(x) 3B(x)(i) A(x).C(x) +B(x)2) Efetue as opera c oes, sendoP(x) = 5x23x + 2 eQ(x) = 4x 6(a) 3P(x)= 15x29x + 6 (b) P(x).Q(x) = 20x342x2+ 26x 123)Utilizeosdoismetodoscitadosparaencontraroquocienteeconraoresultadodorestopeloteorema do resto.P(x) D(x)P(x) = x2+ 6x 1;D(x) = x 14)Dividindoopolin omioP(x)=6x3+ 4x2+ 2x 1pelopolin omioD(x), obtem-seoquocienteQ(x) = 3x + 2 e o restoR(x) = 11x + 5. DetermineD(x).5)Trespolin omios, P(x), Q(x)eT(x),s ao taisque,P= 7, Q = 5, T= 5. Qualdas arma c oesseguintes pode ser falsa?(a) O grau do polin omioP(x) +Q(x) e 7.(b) O grau do polin omioP(x) Q(x) e 7.(c) O grau do polin omioP(x).Q(x) e 12.(d) O grau do polin omioQ(x) +T(x) e 5.6) Sendox3+ 1 = (x + 1)(x2+ax +b), para todox, comx C, quais s ao os valores dea eb?7) Sejam os polin omios f= (x +1)2,g(x) = x21 e h = x42x3+x22x 1.O polin omio f.g he igual a?5.3 Decomposi caodePolin omiosTeorema3Todo polin omio de grau n, comn 1,P(x) anxn+an1xn1+an2xn2+... +a0podeser fatorado sob a formaP(x) an(x r1).(x r2).(x r3)...(x rn),em quer1, r2, r3, rn,s ao todasas razes de P(x).Exemplo31Para fatorar um polin omio,P(x) = 3x320x2+23x+10, sabendo que uma de suas raizese 5, ou seja, este polin omio e divisvel porx 5 eP(x) (x 5)Q(x).Obtem-seopolin omioQ(x)porBriot-Runi. Destaformareduzimosograudaequa c aoepodemosencontrar as outras 2 raizes.P(x) = (x 5)(3x25x 2)Fazendo,x5 = 0 e 3x25x2 = 0, encontramos: x1 = 5, x2 = 2 , x3 = 13, e pelo teorema dadecomposi c ao temos que:P(x) = 3(x 5)(x 2)(x +13).Observa cao12(Multiplicidadederaiz:)Se uma raiz comparecer k vezes(com k > 1), esta e chamadade raiz de multiplicidade k da equa c ao.355.3.1 Fra c oesPolinomiaisDeni cao14Chama-se fra c aopolinomial todaexpress aodotipoP(x)Q(x), emque P(x) e Q(x) s aopolin omios complexos de vari avel complexa, comQ(x) = 0.Exemplo32Dado a identidade:ax 1 +bx + 1 5x + 1x21.Encontre as constantesa ebSolu c ao:a(x + 1) +b(x 1)(x 1)(x + 1)5x + 1x21(a +b)x +a b 5x + 1e, portanto:_(I) a +b = 5(II) a b = 1Somando o membro (I) e (II), obtemos2a = 6 a = 3.Substituindoa = 3 em (I), obtemos:3 +b = 5 b = 2.Exemplo33(VocevaiutilizaremCalculoI!!)Decomponha a fra c ao abaixo em uma soma:x 3x2+ 3x + 2= Fra c ao 1 + Fra c ao 21 Passo) Decompor o denominador! Para isso encontra-se as raizes desse polin omio utilizando-sedebaskharaousomaeproduto(comopreferir). Nestecaso, as raizes s ao-1e-2. Ouseja,x2+ 3x + 2=(x+1)(x+2) .2 Passo)Igualarafra c aopolinomial aumasomadefra c oes, cujosnumeradoresaprincpios aodesconhecidos, e por isso representa-se por uma inc ognita qualquer:x 3x2+ 3x + 2=Ax + 2 +Bx + 13 Passo)EncontraroMMCdessasoma,detal modoquetornepossvel anularosdenominadoresda igualdade em quest ao. Obtemos assim a seguinte igualdade:x 3x2+ 3x + 2=A(x + 1) +B(x + 2)(x + 1)(x + 2)(...)A(x + 1) +B(x + 2)=x 34 Passo)Igualarostermossemelhantesdaigualdadeemontarumsistemaparapoderdescobrirovalor dos numeradores, ou seja, A e B._Ax + Bx = 1A + 2B = 336Sabendo que A = 5 e B = 4, substituimos esses valores na igualdade montada inicialmente no passo3:x 3x2+ 3x + 2=5x + 2 4x + 1.FAZENDO VOCE APRENDE!(1) Quais s ao as raizes da equa c ao (x 2)3(x 5)(x 4)2= 0 e que multiplicidade apresentam?(2) Determine as constantes a e b na identidade:ax 3 +bx + 3 3xx29(3) Escreva as fra c oes na forma de uma soma:(a)2x 1x2+ 5x + 6(b)5x + 3x23x + 2(4) DecomponhaP(x)comooprodutodeumaconstanteporpolin omiosde1 grau,emcadaumdos seguintes casos:(a)P(x) 4x2x 3(b)P(x) x38x2+ 12x(5) Sabendo que o polin omio P(x) 3x425x3+59x247x +10 satisfaz a condi c ao P(1)=P(2)=0,represente P(x) como o produto de uma constante por polin omios do primeiro grau.IMPORTANTE:Produtos Not aveis Exemplos(a +b)2= a2+ 2ab +b2(x + 3)2= x2+ 6x + 9(a b)2= a22ab +b2(x 3)2= x26x + 9(a +b)(a b) = a2b2(x + 3)(x 3) = x29(x +a)(x +b) = x2+ (a +b)x +ab (x + 2)(x + 3) = x2+ 5x + 6(a +b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+b3(x + 2)3= x3+ 6x2+ 12x + 8a3+b3= (a +b)(a2ab +b2) x3+ 8 = (x + 2)(x22x + 4)a3b3= (a b)(a2+ab +b2) x38 = (x 2)(x2+ 2x + 4)Observa cao13*Veja como o uso do parentese muda totalmente o resultado!! Fatore os polin omios a seguir:(a) x3+ 2x2x 2 =(b) x43x3+x2+ 3x 2 =(c) x3+ 2x23x =(d) x3+ 3x24x 12 =37(e) x3+ 6x2+ 11x + 6 =Respostas:(a) (x 1)(x2+ 3x + 2)(b) (x 1)2(x2x 2) ou (x 1)2(x 2)(x + 1)(c) (x 1)(x + 3)x(d) (x + 3)(x24) ou (x + 3)(x + 2)(x 2)(e) (x + 2)(x2+ 4x + 3) ou (x + 2)(x + 3)(x + 1)Observa cao14SejaP(x) = anxn+an1xn1+... +a1x +a0um polin omio com coecientes inteiros.Se for um n umero inteiro e uma raz deP(x), ent ao ser a um divisor do termo independentea0.Captulo6ExponencialeLogaritmo6.1 Equa c oesexponenciaisDeni cao15Chama-se equa c ao exponencial toda equa c ao que contem inc ognita no expoente.Exemplo34 1. 2x= 162. 3x1= 273. 3x+1+ 3x2= 94. 4x2x= 8Metododaredu caoaumabasecomumEste metodo, como o pr oprio nome j a diz, ser a aplicado quando ambos os membros da equa c ao, comas transforma c oes convenientes baseadas nas propriedades de potencias, forem redutveis a potencias demesma basea (0 < a = 1). O metodo da redu c ao a uma base comum e baseado no seguinte resultado:Teorema4Sejaa R tal que 0 < a = 1. Ent ao: ax= ayx = y.Demonstra cao:ax= ayaxay= 1 axy= 1 x y = 0 x = y

FAZENDO VOCE APRENDE !Exemplo35 1. 2x= 162. 3x1= 273. 8x=1324. 100x= 0, 0015. 73x+4= 492x36. 52x232= 17. 4x2x= 568. 9x+ 3x= 909. 4x+19 . 2x+ 2 = 0383910.3x+ 3x3x3x= 26.2 Inequa c oesexponenciaisDeni cao16Inequa c oes exponenciais s ao as inequa c oes com inc ognita no expoente.Seguem alguns exemplos de inequa c oes exponenciais:1. 2x> 322._13_x 2xMetododaredu caoaumabasecomumEste metodo ser a aplicado quando ambos os membros da inequa c ao puderem ser representados comopotencias da mesma basea (0 < a = 1). Faz-se uso do seguinte resultado:Teorema5Sejamx eyn umeros reais. Ent ao:sea > 1 tem-seax> ayx > y;se 0 < a < 1 tem-seax> ayx < y.Demonstra cao:Faremos a demonstra c ao para o casoa > 1. O outro caso e an alogo.ax> ayaxay> 1 axy> 1 xy> 0 x > y. Exemplo36Classique em Verdadeiro ou Falso:1. 32,7> 12. (0, 3)0,2> 13. 2> 14._45_1,5> 1FAZENDO VOCE APRENDE !Exemplo37Resolva:1. 2x> 1282. 32x+3> 2433._13_x>1814. 3x 0 ec > 0, ent aologab.c = logab + logacDemonstra cao: Fazendo logab = x, logac = y e logab.c = z, provemos quez = x +y.De fato:logab = x ax= b; logac = y ay= c; logab.c = z az= bc.Assim,az= bc az= axay= ax+yz = x +y

Teorema8(Logaritmodoquociente)Se 0 < a = 1,b > 0 ec > 0, ent aologa_bc_= logab logacTeorema9(Logaritmodapotencia)Se 0 < a = 1,b > 0 e R, ent aologa (b) = (logab)Corolario1Se 0 < a = 1,b > 0 en N, ent aologanb = logab1n=1n logab42CUIDADO! loga (x y) = logax logayFAZENDO VOCE APRENDE !Exemplo41 1. Sem =bcd2, determine log m.2. Sejax =abc , determine log x.3. Se log 2 = 0, 301, calcule o valor da express ao log 20 + log 40 + log 400.4. Determine a raz ao entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer.5. Se log2 (a b) = m ea +b = 8, determine log2 (a2b2).Teorema10(Mudan cadebase)Sea,b ec s ao n umeros reais positivos ea ec s ao diferentes de 1,ent aologab =logcblogcaDemonstra cao:Consideremos logab = x, logcb = y e logca = z e notemos quez = 0, poisa = 1.Provemos quex =yz.De fato:logab = x ax= b; logcb = y cy= b; logca = z cz= a.Assim,(cz)x= ax= b = cyzx = y.

Corolario2Sea eb s ao reais positivos e diferentes de 1, ent aologab =1logbaDemonstra cao:Usando o teorema da mudan ca de base e observando que, por hip otese,b = 1, temos:logab =logbblogba=1logba.

43FAZENDO VOCE APRENDE !Exemplo42 1. Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b, determine log6 5.2. Calcule o valor de log0,04 125.3. Determine o valor de:log3 2 . log4 3 . log5 4 . log6 5 . log7 6 . log8 7 . log9 8 . log 9Exemplo43Resolu c ao de equa c oes exponenciais via logaritmos1. 2x= 3.2. 52x3= 3.3. 7x= 2.4. 32x+1= 2.5. 4x+ 6x= 2.9x.6. log2 (3x 5) = log2 7.FAZENDO VOCE APRENDE !Exemplo44(Resolu c ao de equa c oes logartmicas)Nos exemplos seguintes, sempre observar as condi c oes de existencia do logaritmo.1. log3 (2x 3) = log3 (4x 5).2. log2 (3x 1) = 4.3. log3 (x2+ 3x 1) = 2.4. log22x log2x = 2.5.2 + log3xlog3x+log3x1 + log3x= 2.Captulo7Trigonometria7.1 Introdu cao`atrigonometriaATrigonometria, que eumapalavradeorigemgrega: trigono(triangular)emetria(medida),tem por objetivo estabelecer rela c oes entre os elementos b asicos (lados e angulos) de um tri angulo.7.1.1 Raz oestrigonometricasnotrianguloretanguloUmtri anguloeret anguloquandoumdeseus angulos internosereto. Observandootri anguloret anguloABC, ( A = 900), temos:BC= hipotenusa =a;AC= cateto =b;AB= cateto =c;B +C =900;AC= cateto oposto ao anguloB;AB= cateto adjacente ao anguloB;AC= cateto adjacente ao anguloC;AB= cateto oposto ao anguloC;Considerando o que vimos no tri angulo ret angulo da gura anterior, temos:sen B =ACBC sen B =cateto oposto aBhipotenusa sen B =ba.4445cosB =ABBC cosB =cateto adjacente aBhipotenusa cosB =ca.tg B =ACBA tg B =cateto oposto aBcateto adjacente aB tg B =bc.Teorema11( Teorema de Pitagoras) O quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados doscatetos:a2= b2+c27.1.2AngulosNotaveis: 30o,45oe60oAlguns angulos, devidoaoseucontanteuso, merecemumestudoespecial.Eocasodaquelesquemedem 30o, 45oe 60o.Vamos considerar que num tri angulo equil atero a mediana, a altura e a bissetriz relativas a um mesmo angulo interno coincidem.Observe o tri angulo equil atero ABC, cujos lados medeml e alturas medemh.Aplicando o teorema de Pit agoras no tri angulo AMC, podemos calcular a alturah:h2+ (l2)2= l2h2= l2l24h2= 3l24h =l32.467.1.3 Calculodoseno,cossenoetangentede30oe60oObserve o tri angulo AMC:Temos:sen 30o=l2l=12cos 30o=l_32l=32tg 30o=l2l32=33sen 60o=l_32l=32cos 60o=l2l=12tg 60o=l322=37.1.4 Calculodoseno,cossenoetangentede45oVamos considerar um tri angulo ret angulo e is osceles ABC cujos catetos medem l e a hipotenusa medex.Aplicando o teorema de Pit agoras no tri angulo ABC:x2= l2+l2x2= 2l2x =2l2x = l2.Vamos agora calcular o seno, cosseno e tangente de 45o:sen 45o=ll2=12=22cos 45o=ll2=22tg 45o=ll= 1.Organizando os resultados, construmos a tabela:47 300450600sen122232cos 322212tg3313FAZENDO VOCE APRENDE !Exemplo45 1. Uma pessoa com 1, 80m de altura est a distante 80m da base de um predio e ve o pontomais alto do predio sob um angulo de 160em rela c ao ` a horizontal. Sabendo-se quetg160 = 0, 28,determine a altura do predio.2. Um avi ao levanta v oo num pontoB, e sobe fazendo um angulo constante de 150com a horizontal.Sabendo-seque sen150=0, 26eque tg150=0, 27, determineaquealturaestar aequal adist anciapercorridaquandopassaremlinhaverticalsobreumaigrejasituadaa2kmdopontodepartidaB.3. Calcular a medidazna gura:7.2 Exerccios1. Calcule os lados de um tri angulo ret angulo, sabendo que a altura relativa ` a hipotenusa eh = 4 eum angulo agudo eB = 300.2. Calculeosladosdeumtri anguloret angulo, sendoqueaalturarelativa` ahipotenusamede4eforma um angulo de 150com o catetob.Dados: sen 750=2 +64ecos 750=6 24.3. Uma escada de bombeiro pode ser estendida ate um comprimento m aximo de 25 m, formando um angulo de 700com a base, que est a apoiada sobre um caminh ao,a 2m do solo. Qual e a alturam axima que a escada atinge?484. Um observador ve um predio,construdo em terreno plano,sob um angulo de 600. Afastando-sedo edifcio mais 30m, passa a ver o edifcio sob angulo de 450. Qual e a altura do predio?5. Calcule a dist ancia entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-ceu, conhecendo os angulos( e) sob os quais s ao observados de um pontoO do solo, ` a dist anciad do predio.6. Umtop ografofoi chamadoparaobteraalturadeumedifcio. Parafazeristo, elecolocouumteodolito a 200 metros do edifcio e mediu um angulo de 30o. Sabendo que a luneta do teodolitoest a a 1,5 m do solo, qual o valor aproximado, da altura do edifcio?7.3 Arcos,anguloseocrculotrigonometrico7.3.1 ArcoseangulosSe dois pontos encontram-se sobre uma circunferencia esta ca dividida em duas partes denominadas,arcos de circunferencia, ou arcos. Se dois pontos A e B forem coincidentes, um dos arcos ca reduzido aum ponto, e outro a pr opria circunferencia.A medida do comprimento de uma circunferencia (2 = 360) e dado porc = 2r. Para os diversosarcos que podem ser formados numa circunferencia, tambem e possivel calcular seu comprimento, vistoque eles s ao proporcionais a essa medida. Veja no exemplo abaixo:Exemplo46Aorienta c aodeumacircunferenciapodeser nosentidohor ario(-) ouanti-hor ario(+). Sendopossvel, portanto, obter equival ancia de um arco de sentidos opostos.Exemplo47 90 = 270.315 = 45.180 = 180.225 = 135.497.3.2 EstudodoCrculoTrigonometricoDeni cao18DadoumarcoAM,demedida,chama-sedecos esin,aabcissaeaordenadadoponto M, respectivamente.Acircunferenciatrigonometricaedivididaem4quadrantes de90 cada, seguindosentidoanti-hor ario.Esses quadrantes s ao formados na origem do eixo cartesiano, onde se intersepta o eixo da abcissa(cosseno), com o eixo das coordenas (seno).Os sinais dos arcos variam conforme o eixo, ou seja, conforme a fun c ao. Por exemplo, a fun c ao senoapresenta o 1 e o 2 quadrantes positivos, j a o cosseno, tem o 2 e o 3 quadrante positivo, os outross ao negativos. Quanto a tangente, nos quadrantes mpares e positiva, nos pares negativa. Veja, abaixo:Ocrculotrigonometrico esimetricoeportanto, umarcopodesertrazido(reduzido), aoprimeiroquadrante. Nocasodoarco330, contidonoquartoquadrante, elepodeserreduzidoaoprimeiro,obtendo-seassimumarcode30. Issoporque, seandassemosnosentidohor ariodacircunferenciatrigonometrica, pode-se vericiar que 330=-30. Logo, tem-se que o arco simetrico primeiro quadrantee 30.No caso da medida do arco ser maior que 360, isto e, ele possui mais de uma volta. Sabemos queuma volta completa equivale a 360 ou 2 rad, com base nessa informa c ao podemos reduzi-lo ` a primeira50volta, realizando o seguinte c alculo:1- Dividir a medida do arco em graus por 360 (volta completa),2- O resto da divis ao ser a a menor determina c ao positiva do arco.Exemplo48(a) Fa ca a redu c ao do arco 4380 e diga onde o mesmo se localiza.4380 360 = 4320 + 60Logo, tem-se que o resto da divis ao e 60, o que indica que a determina c ao principal do arco,pertenceao 1 quadrante.Observa cao16No caso de se desejar as innitas solu c oes de uma equa c ao ou inequa c ao trigonometrica,deve-se observar com aten c ao o intervalo dado para solu c ao, bem como a divergencia de sinais em cadaquadrante! Veja o exemplo que segue...Exemplo49Dado a gura e as arma c oes abaixo, identique quais s ao verdadeiras e falsas.(A) sin(180 ) = sin(B) sin(180 ) = sin (C) sin(180 +) = sin(D) sin(180 +) = sin (E) sin(360 ) = sin(F) cos(360 ) = sin 51(G) cos(180 ) = cos (H) cos(180 ) = cos (I) cos(180 +) = cos (J) cos(180 +) = cos (M) cos(360 ) = cos (N) cos(360 ) = cos Observa cao17(ArcoC ongruo): Doisarcoss aoc ongruosquandopossuemamesmaorigemeamesma extremidade. Uma regra pr atica eciente para determinar se dois arcos s ao c ongruos consiste emvericar se a diferen ca entre eles e um n umero divisvel ou m ultiplo de 360, isto e, a diferen ca entre asmedidas dos arcos dividida por 360 precisa ter resto igual a zero.Menordetermina c ao: e o menor arco n ao negativo dentre todos os congruos,assim,podemosarmar 0 x < 360.7.3.3 ExpressaoGeralA partir de um arco de midade , pode se obter outros innitos arcos de mesmas extremidades, quandoconsideramos que podemos dar innitas voltas. Dado isso, torna-se necess ario criar uma express ao pararepresentar todos esses innitos arcos.A express ao geral se apresenta da seguinte forma:AM= 360k +, k Z,ouAM= 2k +, k Z.Portantocaestabelecidaumacorrespondenciabiunvocaentreosn umerosreaiseospontosdacircunferencia trigonometrica.FAZENDO VOCE APRENDE !1- Determine a medida dex do arco da primeira volta positiva (0 x< 360) que possui a mesmaextremidade do arco de:(a) 7850 (b) 1853 (c) 50 (d) 11902- Verique o sinal de cada um desses produtos:(a) y= cos 110. sin 130(b) y= sin 200. cos 190(c) y= sin 300. cos 330(d) y= cos4. sin4(e) y= sin23. cos23(f) y= sin76. cos763- Como poderiamos escrever a express ao geral para os arcos formados na quest ao 1, anterior?(qualintervalo de k?)524- Dois arcos de medidas opostas quaisquer, e , tem extremidades simetricas em rela c ao ao eixodos cossenos. Identique quais das armativas abaixo s ao verdadeiras:(a) cos() = cos (b) cos() = cos (c) sin() = sin (d) sin() = sin 5- Se F: R R e uma fun c ao denida porF(x) = sin x + cos x, o valor def() +f(32 )f(2)e?6- Determine o valor da express ao:sin330 + cos2300sin 200 + cos 70 + sin22407- Simplique a express ao:A=cos( +x) + cos(x) + cos( x)sin(x) +sen( x) + cos(x)7.3.4 CirculoTrigonometricoComo estudado nas se c oes anteriores, eis que se apresenta o circulo trigonometrico, com suas sime-trias e equivalencias:537.4 IdentidadesTrigonometricasPara iniciar o conte udo, de identidades trigonometricas, vamos primeiramente entender o signicadodas novas rela c oes que ir ao surgir:(a) COTANGENTE:Seja a reta s tangente ` a circunferencia trigonometrica no ponto B=(0,1). Esta reta e perpendicularaoeixoOY. AretaquepassapelopontoMepelocentrodacircunferenciaintersectaaretatangente s no ponto S=(s,1). A abscissa s deste ponto, e denida como a cotangente do arco AMcorrespondente ao angulo a.Observa cao18Possui os mesmos sinais da tangente no crculo trigonometrico.54(b) SECANTE:Seja a reta r tangente ` a circunferencia trigonometrica no ponto M=(x,y). Esta reta e perpendicular` a reta que contem o segmento OM. A interse c ao da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0).A abscissa do ponto V, e denida como a secante do arco AM correspondente ao angulo a.Observa cao19Possui os mesmos sinais do cosseno no crculo trigonometrico.(c) COSSECANTE:A interse c ao da reta r com o eixo OY e o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, e denida como acossecante do arco AM correspondente ao angulo a. Ent ao a cossecante do angulo a e dada pelas suas v arias determina c oes.Observa cao20Possui os mesmos sinais do seno no crculo trigonometrico.7.4.1 IdentidadesTrigonometricasAbaixo, tem-seasprincipaisindentidadestrigonometricas. Osexerciciosseguintesser aobaseadasnas mesmas. Na seguencia, pode-se vericar a demostra c ao de algumas identidades.(1) sin2x + cos2x = 155Demonstra cao:Aplicando o teorema de Pit agoras:a2= b2+c2,12= cos2x + sin2x,cos2x + sin2x = 1. 2(2) sec =1cos x(3) csc =1sin x(4) cot =1tan x=cos xsin x(5) sec2x = 1 + tan2xDemonstra cao:Dividindoambososmembrosdarela c aofundamental trigonometrica(cos2x + sin2x=1)porcos2x, temos:sin2cos2+ cos2cos2=1cos2tan2x + 1 = sec2x.2Observa cao21Podemosobterarela c aotrigonometrica(6), adotandoopassoapassoacima,entretanto, ao inves de dividir a rela c ao fudamental trigonometrica por cos2x, divide-se por sin2x.(6) csc2x = 1 + cot2x(7) sin 2x = 2 sin x. cos x56Demonstra cao:Atraves da rela c ao (12), que faz a soma do seno de dois arcos diferentes:sin(a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b, podemos fazer a soma de dois arcos iguais, procedendoda seguinte forma:sin(a +a) = sina. cos a cos a. sin asin 2a = 2 sin a. cos a.2O mesmo procedimento pode ser adotado para obter as rela c oes (8) e (9), entratanto, muda-se arela c ao inicial para cada fun c ao.Ou seja, para obter a rela cao (8) cos 2x = cos2xsin2x, utiliza-se a rela c ao (13), que faz a somado cosseno de dois arcos.Para obter a rela c ao (9) tan 2x =2 tan x1 tan2x, utiliza-se a rela c ao (14), que faz a soma da tangentede dois arcos.(8) cos 2x = cos2x sin2x = 1 2 sin2x = 2 cos21(9) tan 2x =2 tan x1 tan2x(10) sin2x =12 + (1 cos 2x)(11) cos2x =12 + (1 + cos 2x)(12) sin(a b) = sin a. cos b cos a. sin b(13) cos(a b) = cos a. cos b sin a. sin b(14) tan(a +b)=tan a + tan b1 tan a. tan b(15) tan(a b)=tan a tan b1 + tan a. tan bQuetal lembrar das LEI DOSSENOS(16) COSSENOS(17) eaLEI DAAREA(18) deumtri angulo ?57(16)(17)(18)58FAZENDO VOCE APRENDE !1 - Encontre o valor da express ao:(a) y =cos 1305 sin1305sec 1740 + tan 855(b) y =tan 315 csc 1200sin 1560 cos 16502- Determine cos , sabendo que sin =13e que corresponde a uma arco do 2 quadrante.3- Simplique as express oes abaixo sob as condi c oes de existencia.(a) E=(sec x cos x)(csc x sin x)(tan x + cot x)(b) E=2 tan(180 +) tan(180 )5 tan(360 )(tan = 0)4- Para escorar um muro vertical localizado em um terreno plano e horizontal, foi usada uma barrade ferro de 2,6 m. de comprimento, reta, apoiada em um ponto P do terreno e em um ponto Q do muro.Amedidado anguloobtusoqueabarraformacomoterrenoetal quesec =233. Calculeadist ancia entre o ponto Q e o solo.5- De o conjunto solu c ao de acordo com o intervalo dado para as equa c oes abaixo:(a) tan2x 3 tan x = 0 [0, ](b) (tan2x 3)(sin x + 1) = 0 [0, 2]6- Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 5cm e 10,cm e formam entre si um angulode 120. Calcule as medidas das diagonais desse polgono.7- Determine o valor dex nas guras a seguir:Captulo8RespostasdosExerccios8.1 RespostasdosExercciosdoCaptulo1SEC AO 1.11. (a)A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...} (b) B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}(c) C = {1, 3, 5, 7, 9, 11} (d) D = {1, 3, 5, 7, 9, 11}2.(a) A = {0} (b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}(c) C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (d) D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}(e) E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (f) F= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}3.(a) A = {n N|n5} (b) B = {n N|n e par e n 8}(c) C = {n N|2 n 10} (d) D = {n N|2 n 10}(e) E = {n N|n 5} (f) F= {n N|n 1} ou N4.(a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...} (b) B = {2, 4, 6, 8}(c) C= {2,4,6,8} (d) D = {0, 2, 4, 6, 8, 10}5.(a)(b)5960(c)(d)(e)(f)SEC AO 1.21.(a) R (b) {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...} (c) {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...}(d) {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60...} (e) {0, 12, 24, 36, 48, 60...} (f) {0, 50, 100, 150, 200, 250...}2. (V)= a, c, d, e (F)= b3. {0, 12, 24, 36, 48} 4. {26, 39}5. {o} 6. n umeros pares7. {6} 8. {0, 6, 12, 18, 24, 30...}9. 0,20,40,60.. 10. {0, 30, 60, 90...}SEC AO 1.31. (a) 42 (b) 48 (c) 60 (d) 180 (e) 2102. 15 : 00 3. 80 dias 4. 72 minutos 5. 1 dia 6.{2008, 2028, 2048}SEC AO 1.41.(a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} (b) {1, 3, 5, 610, 15, 30} (c) {4, 12}(d) {5, 10, 15} (e) {1, 2, 3, 6}2. 1 e ele mesmo.3.61(a) {1, 2, 5, 10} (b) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}(c) {1, 2} (d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24}4. duas maneiras 5. 3 maneiras 6. 5 maneiras 7. 4 maneiras 8. 1,18;2,9;3,6.SEC AO 1.51. (a) 9 (b) 15 (c) 2 (d) 12. 6 3. O menor e o m.d.c 4. Sempre 15. (a) 39 (b) a = 6, b = 76. 20 7. 60 8. Em 5,6,8 pe cas; Comprimento= 36 m8.2 RespostasdosExercciosdoCaptulo2SEC AO 2.11. (a)176(b)83(c)1724(d)1142. (a)9172(b)1372(c)6784(d)17213. (a)3320(b)3320(c)9145(d)11675(e)6542(f)157304. (b)7710(c)738(d)4345. (a) 121(b)1124(c)6184(d)1018(e)89360(f)586. (a)7520(b)5520(c) (1) Oagrupamentodiferentegeraresultadosdiferentes. (2) Aopera c aon ao eassociativa(Opera c ao que independe da ordem).7. (b)238(c)5924(d)156(e)15(f)54(g)1138.5129.81510.51211. 300.000 L 12. 14 caixasSEC AO 2.21.(a)58(b)14(c)85(d)356(e)2110(f)11132(g)345(h)575(i)3382. (a) 5u (b) 4u (c)14u (d)15u (e)18u (f) 6u3.62(a)54(b)75(c) 5 (d)54(e)119(f)158(g)2116(h)434. (a) 16 (b)2813(c)116(d)37135. duas quest oes 6. 4m27. 1920 ladrilhos8. (a) 64m2(b) 40m 9. 800 onibus10. Adulto : 70 Kg, Crian ca: 40 Kg11. (a) 1.080 reais (b)3.000 reais12. 87 KmSEC AO 2.31. (a) 0, 66... (b) 0, 08 (c) 0, 05 (d) 0, 2342. =: a),(b),(c),(d),(e) =: (b) e (f).3.(a) 0, 3 (b) 0, 01 (c) 0, 007 (d) 0, 21(e) 0, 043 (f) 123, 5 (g) 57, 802 (h) 6, 1044.(a)12(b)1310(c)8100(d)2121000(e)871100(f)4851000(g)52781000(h)93, 164105.(a)35(b)940(c)23200(d)920(e)3500(f)211500(g)1740(h)626125SEC AO ??1. V= a, c, e F= b, d, f2. (a) 500dcm2(b) 11.400cm2(c) 0, 055km2(d) 735mm2(e) 6, 47m23. (a) 61, 17 (b) 5.000.047, 51 (c) 90, 5 (d) 14.735 (e) 58.6844. (a) 10min 45seg (b) 42min 17seg (c) 5h. 10min 49seg5. (a) 13h 16min 52seg (b) 5h 8min (c) 18h 46min7. 11 : 53 8. 108dl9. (a) 100min 10seg (b) 1h 1min 1seg (c) 2h 30min (d) 1h 7min 30s638.3 RespostasdosExercciosdoCapitulo3SEC AO 3.11)(a) 610(b) 71(c) 710(d) 1092)(a) 121(b) 25(c) 32(d) 823)(a) 38(b) 415(c) 74(d) 67(e) 100(f) 744)(a) 9a2(b) 10245(c) x3y3(d) 128x7y75)(a) (1321)2(b) ( 8331)(c) (175 )5(d) (79)3(e) (214)3(f) (1112)6(g) (54)6(h) (0, 03)3(i) (0, 03)106)(a) 3(b) 1(c) 0, 5(d) 1(e)12(f) 1(g)2(h) 17) a)23b) (12)2SEC AO 3.1.11)(a) 4(b)12(c) 256(d) 4(e) 6561(f) 900(g) 27(h) (11, 2)2(i)4_(5)3(j)4(l) 1072)64(a)15(b) 3(c) 2, 5(d) 0, 01(e) 10.000(f) 100(g)23(h)649(i)13(j)481(l)8140963)(a) 712(b) 234(c) 325(d) 413(e) (2)3(f) (32)54)(a)52(b)18(c)4a3b(d)15m2n(e)14m35)(a) 253(b) 523(c) 334(d) 237(e) 298(f) 512SEC AO 3.21)(a) 4(b)265(c)12252)(a) x177(b) 3(c) 4b2(d) 4xy2(e) 5a2x(f)5(g) a6x8(h) 333(i) 292(j) 213(l)122a53b2(m)x2y3_y2a2a(n) x + 3(o) x + 53)(a) 25(b) 0(c) 4ba 4aa(d)333(e)3020(f) 5b12_(5b)(g) 4(h) 27a9b32(i) 1(j)4x3y654)(a)ab2b(b)abab(c)5a4b4cc(d) 8 25(e)2a + 1(f) 2 +38.4 RespostasdosExercciosdoCaptulo4SEC AO 4.11)(a)98(b)178(c)5720(d)13(e) 94, 57(f)47(g) 11, 59(h)722)(a)17140(b)1712(c)1258(d)259(e)12(f)323)(a) 90(b) 6(c)3267448(d)103(e)310(f)47SEC AO 4.21)(a) 8(b) 8(c)98(d)1 70(e) x = 4(f) x = 643(g) x = 2867(h)58172)(a) 2x + 3x = 50(b) x +x3= 15(c) n n2= 40(d) x + (x + 1) = 11(e) 3x x2= 25(f) 2n 4 = 20(g) 2n = 20663) 15 4) 24 5) 30 6) 9 7) 54 alunos 8) Homens= 304, Mulheres=152,Menores= 769) 2 anos 10) Pai=36; Filho=6 11) x1= 12, x2= 24 12) Car-ros= 90; Motos= 110SEC AO ??1)(a) x = 1; y = 4 (b) x = 2; y = 62)(a) 64 (b) 343) 36 e 58 4) 24 carros e 4 motos 5)243206) 63 rosas e 21 margaridas 7) 20 atores e 40 cantores8) x=39 e y=12 9) 40 galinhas e 60 coelhos8.5 RespostasdosExercciosdoCaptulo5SEC AO 5.11)(a) x R/x 1 = x(b) x R/x +x = 2x(c) (x, y) R/x y = y x(d) x R/x + (x) = 02)(a) x + 16 (b) 753)(a) f(x) = 4 + 1, 4x (b) 18 reais4)(a) x x = x2(b) (x, y) R/x +y = y +x25)(a) 930 (b) n +n26)67(a) x5y5(b) x.x.x(c) x2x2y2(d) y.y.y7)(a) 7 (b) 1 (c) 12(d) 3, 1SEC AO 5.1.11)(a) 17x2(b) 0(c) 4xy5z(d)32x3(e) x2(3y + 1)(f) 4x2+ 31y(g) x2y2(h)3920y2(i) 14x3y2)(a) 2y5(b) 40y3(c) x3y(d) 36x3yz4(e) 40x5y6(f)635x5y5(g) 16a4b6(h) x8y16z24(i) xy(j) 7ax3(l)15a4y5(m) 5a3y4(n)32a3b4(o) 9x12y4(p)16x8y12(q) x6(r) y3)(a) 3xy (b) 2xy (c) x2(d) AT= x2+ 3xy + 2xy4)(a) 5x5y (b) 4y (c) 12x3y8(d) 4xy5)(a) 5044 (b) 4160 (c) 52 (d) 96)(a) 10x (b) 5 e 20 (c) 8, 2cmSEC AO 5.268(1) R: a, b, c, e, g, h, i, k, l(2) a = 1;b = 6 ec = 1SEC AO 5.2.1(1) (f +g)(x) = 5x3+ 5x2x + 12;(g h)(x) = x4+ 5x3+x2+ 4x + 3;(h f)(x) = x44x2+x 5.(2) a =316 ;b =43;c = 3(3) a = b = c = 0 oua = b = 1, c = 2.SEC AO 5.2.2(1)(a) 8x4+ 2x3+ 4x + 6(b) 2x4+ 2x32x 8(c) 6x3+ 6x2+ 2x 1(d) 6x32x28x 1(e) 24x2+ 8x212x(f) 28x2+ 26x + 2(g) 81x236x + 4(h) 12x38x221x + 3(i) 54x4+ 6x327x2x 1(2)(a) 15x29x + 6 (b) 20x342x2+ 26x 12(3) Q(x) = x + 7 eR(x) = 6(4) D(x) = 2x23(5) D(6) a = b = 1(7) P(x) = 4x3x2SEC AO 5.3(1) Raizes : 2, 5, 4, com multiplicidade tres, um e dois respectivamente.(2) a = b =32(3) a)5x + 2 +7x + 3;b)8x 1 +13x 269(4)(a) (x 1)(x + 34)(b) (x 2)(x + 6)x(5) (x 1)(x 2)(x 5)(x 13)8.6 RespostasdosExercciosdoCaptulo6Exemplo 35:(1) 4(2) 4(3)53(4)32(5) 10(6) +4(7) 3(8) 2(9) 2 e 1(10)12Exemplo 37:(1) x > 7 (2) x > 1 (3) x < 4 (4) x < 3Exemplo 38(5)14(6)52(7) 3(8)12Exemplo 40(1) a = 8 (2) a = 6561Exemplo 41(1) log bc 2 log d(2)12 log a log bc(3) 5, 50(4) 2(5) m+ 3Exemplo 42(1)1 2aa +b(2)32(3) lg 2Exemplo 43(1)= 1, 58(2)= 1, 84(3)= 0, 13(4) 0, 18(5) 0(6) 4Exemplo 4470(1) (2)173(3) 5 e 2 (4) 2(5)198.7 RespostasdosExercciosdoCaptulo7Exemplo 45(1) h = 24, 2m(2) h = 0, 54 Km; d = 2 km(3) z = 40 cmSEC AO 7.2(1) a =1633;b =833;c = 8(2) a = 16;b = 42(3 1);c = 42(3 + 1)(3) 25, 49m(4)3033 1m(5) h = d(tg tg)(6) 117mSEC AO 7.31)(a) 290(b) 53(c) 50(d) 1102) Negativo: A,C, E Positivo: B, D, F.3)360K + 290, com 0 k 21360K + 53, com 0 k 5360K + 50, comk = 0360K + 110, com com 0 k 34) VERDADEIRAS: A e D.FALSAS: B e C.715) 26)137) 1SEC AO 7.4(1)(a) 0(b)2 3(2)223(3)(a) 1(b)3 5(4) 1, 3 m.(5)(a) S={0, 60, 180}(b) S={60, 120, 240, 270, 300}(6) 57 e 53(7) Fig.1: x = 7 Fig.2: x = 58.8 RespostasdosExercciosdoCaptulo8SEC AO ??1. (a) 1 +i (b) 3 +5 (c) 2i (d) 1 i2. (a) (0, 5) (b) (0, 10)3. (a) 2i 3, (b)3 i104. z1 = 1 5i ; z2 = 2 14i5. (a) x = 0 e x = 1 (b) x = +1 (c) x = + 2 (d) x = 06. (a) 5 + 6i (b)73i (c) 2 4i7. (a)35 5i6(b) 2 + 2i (c) 258. (a) i (b) 1 (c) i (d) i (e) 1 (f) 1 i(g) 5 + 43i (h) 5 + 10i9. Tem-se delta negativo. Resolver Baskhara.72SEC AO ??1.(z1) 3 + 3i(z2) 1 + 4i(z3) 2i(z4) 4i73(z5) 2 3i(z6) 3(z7) 42. 3 3i; 1 4i; 2i.3.(a) b = 274(b) a = 1 eb > 0(c) a = 0 eb > 0(d) a 3 eb 3(e) a > 075(f) a > 2 eb 3SEC AO ??1. (a) 1 5i (b) 2i (c) 0 (d) 4 2i (e) 1 +i(f)2 2i2. (a) 25 (b) 49 (c) 23. 1 2i4. (a)8 i5(b)3 2i13(c) 1 i (d) i5. (a)4 12i5(b)50 75i136. 2 3iSEC AO ??1. (a)2 (b)13 (c)5 (d) 52. (a) 45 (b) 12 + 5i (c) i + 2 (d) 3 + 2i3. x2+ 10x + 29 = 0ReferenciasBONGIOVANI,Vicenzo; LEITE,OlmpicoVissoto; LAUREANO,JoseLuizTavares. MatematicaeVida. Vol. 1,2,3,4, 1ograu. S ao Paulo:Atica, 1990.DANTE, Luiz Roberto. Matematica. Vol. 1. 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