apostila calculo

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1 CE080 - FUNDAMENTOS BÁSICOS PARA ESTATÍSTICA 2ª. PARTE 1. FUNÇÕES 1.1- Sistema de Coordenadas Cartesianas ou Plano Cartesiano A localização de pontos num plano é bastante antiga na Matemática e data aproximadamente do século III a.C. Porém, atualmente, usa-se o Sistema de Coordenadas Cartesianas que teve origem com os trabalhos do matemático René Descartes (século XVIII). Esse sistema é formado por dois eixos perpendiculares que se cruzam em um ponto chamado origem. Esses dois eixos chamam-se: eixo das abscissas (horizontal X) e eixo das ordenadas (vertical Y). Exercícios 1 1) Desenhe um sistema de eixos cartesianos e indique: o eixo das abscissas, o eixo das ordenadas, a origem e os quatro quadrantes. 2) Desenhe um sistema de eixos cartesianos e marque no plano os pontos cujas coordenadas são: a) P 1 (2, -1) b) A(0, 2) c) B(0, 3) d) M(0, -2) e) N( 2, 2) f) V(-2, 3) g) P 2 (-1, 0) h) P 3 (-2, -1) i) P 4 (2, 1) j) P 5 (0, -4) 3) Desenhe um sistema de eixos cartesianos, marque nele os pontos P 1 , P 2 e P 3 . Trace os segmentos de reta 2 1 P P , 3 1 P P e 3 2 P P que definem o triângulo ΔP 1 P 2 P 3 . 4) Desenhe um sistema de eixos cartesianos, marque nele os pontos P 4 e P 5 . Trace a reta definida por esses dois pontos. Exercícios 1.1 1) Desenhe um sistema de eixos cartesianos e o segmento de reta cujas extremidades são os pontos: P(4; 4) e Q(-3; -3). 2) Desenhe um sistema de eixos cartesianos e a reta b correspondente a 1ª. bissetriz do sistema. 3) Quais as coordenadas do ponto M correspondente à intersecção do segmento PQ com a sua mediatriz? 4) Escreva os sinais das coordenadas do ponto P 1 1 0. quadrante, do ponto P 2 2 0. quadrante, do ponto P 3 3 0. quadrante e do ponto P 4 4 0. quadrante.
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1 CE080 - FUNDAMENTOS BSICOS PARA ESTATSTICA 2. PARTE 1. FUNES 1.1- Sistema de Coordenadas Cartesianas ou Plano Cartesiano A localizao de pontos num plano bastante antiga na Matemtica e data aproximadamente do sculo III a.C. Porm, atualmente, usa-se o Sistema de Coordenadas Cartesianas que teve origem com os trabalhos do matemtico Ren Descartes (sculo XVIII). Esse sistema formado por dois eixos perpendiculares que se cruzam em um ponto chamado origem. Esses dois eixos chamam-se: eixo das abscissas (horizontal X) e eixo das ordenadas (vertical Y). Exerccios 1 1) Desenhe um sistema de eixos cartesianos e indique: o eixo das abscissas, o eixo das ordenadas, a origem e os quatro quadrantes. 2) Desenhe um sistema de eixos cartesianos e marque no plano os pontos cujas coordenadas so: a) P1(2, -1) b) A(0, 2) c) B(0, 3) d) M(0, -2) e) N( 2, 2) f) V(-2, 3) g) P2(-1, 0) h) P3(-2, -1) i) P4(2, 1) j) P5(0, -4) 3) Desenhe um sistema de eixos cartesianos, marque nele os pontos P1, P2 e P3. Trace os segmentos de reta 2 1P P , 3 1P P e 3 2P P que definem o tringulo P1P2P3. 4) Desenhe um sistema de eixos cartesianos, marque nele os pontos P4 e P5. Trace a reta definida por esses dois pontos. Exerccios 1.1 1) Desenhe um sistema de eixos cartesianos e o segmento de reta cujas extremidades so os pontos: P(4; 4) e Q(-3; -3). 2) Desenhe um sistema de eixos cartesianos e a reta b correspondente a 1. bissetriz do sistema. 3) Quais as coordenadas do ponto M correspondente interseco do segmento PQ com a sua mediatriz? 4) Escreva os sinais das coordenadas do ponto P1 10. quadrante, do ponto P2 20. quadrante, do ponto P3 30. quadrante e do ponto P4 40. quadrante. 2 5) O ponto P situa-se sobre o semieixo positivo das ordenadas de um sistema cartesiano e a distncia de P a origem 5. Quais as coordenadas deste ponto? 6) O ponto Q situa-se sobre o semieixo negativo das abscissas de um sistema cartesiano e a distncia de Q a origem 5. Quais as coordenadas deste ponto? 7) Escreva os quadrantes do sistema cartesiano aos quais pertencem os pontos: P1(-4; 4), P2(-3; -2), P3(5; 5), P4(2; -1), P5(-5; -1), P6(3; 2) e P1(-2; 3). 8) Seja a reta s que passa pelos pontos (0; 0) e (3; 3) de um plano cartesiano. Qual o ngulo que essa reta faz com o eixo das abscissas? E, qual o ngulo que a reta faz com o eixo das ordenadas? 9) Seja a reta r que passa pelos pontos (0; 0) e ( 3 ; 1) de um plano cartesiano. Pergunta-se: a) Qual o ngulo que reta faz com o eixo das abscissas? b) Qual o ngulo que a reta faz com o eixo das ordenadas? c) Qual a distncia entre os dois pontos? 10) Seja a reta p que passa pelos pontos (0; 0) e (1; 3 ) de um plano cartesiano. Pergunta-se: a) Qual o ngulo que reta faz com o eixo das abscissas? b) Qual o ngulo que a reta faz com o eixo das ordenadas? c) Qual a distncia entre os dois pontos? 11) Seja o conjunto de pontos representado por: {(x; y) | x = 0 e y R}. Em qual regio do plano cartesiano estes pontos esto situados? 12) Seja o conjunto de pontos representado por: {(x; y) | x R+ e y = 0}. Em qual regio do plano cartesiano estes pontos esto situados? 13) Seja o conjunto de pontos representado por: {(x; y) | x = 0 e y R_}. Em qual regio do plano cartesiano estes pontos esto situados? 14) Seja o conjunto de pontos representado por: {(x; y) | x 0 e y R+}. Em qual regio do plano cartesiano estes pontos esto situados? 15) A origem do sistema, (0; 0), est situada em alguma das regies do plano cartesiano definidas nos exerccios de 12 a 14? 16) Desenhe um quadrado contido no 10. quadrante de um sistema cartesiano. Quais as coordenadas do vrtice do quadrado que voc desenhou? 3 1.2- Produto Cartesiano Dados dois conjuntos no vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto formado por todos os pares ordenados (x; y) com x A e y B. A notao do produto cartesiano de A por B AxB, onde se l A cartesiano B. Exerccios 1.2 1) Escreva em linguagem simblica o produto cartesiano AxB. 2) Dados os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {5; 6}, use diagramas para obter os produtos cartesianos: a) AxB b) BxA 3) Olhando os resultados dos produtos cartesianos AxB e BxA voc conclui que se A diferente de B, ou seja, AB, ento AxB ........................................ de BxA. 4) Faa a representao Grfica dos dois produtos cartesianos do exerccio 2 em um plano cartesiano. 5) Calcule o nmero de elementos dos produtos cartesianos do exerccio 2, ou seja, qual o valor de n(AxB) conhecendo-se os valores de n(A) e n(B)? 6) Faa a representao Grfica do produto cartesiano dos intervalos fechados B = [3; 5] e C = [3; 7] em um plano cartesiano, sendo que esses intervalos esto contidos nos reais (R). Veja que o resultado um retngulo. 7) Qual o nmero de elementos do produto cartesiano do exerccio 6, n(BxC)? 8) Faa a representao grfica do produto cartesiano dos intervalos D = ]3; 5], aberto esquerda e E = [3; 7[, aberto direita, em um plano cartesiano. Considere esses intervalos contidos nos reais (R). Veja que o resultado um retngulo com o lado vertical esquerdo e o lado superior tracejados. 9) Qual o nmero de elementos do produto cartesiano do exerccio 8, n(DxE)? 10) O nmero de elementos de um conjunto B n(B) = 3m e o de um conjunto D n(D) = 3p. Qual o nmero de elementos de BxD, ou seja, n(BxD), sabendo que p m = 1 e m + 2p = 8? 11) Faa a representao grfica do produto cartesiano entre o intervalo A = [-3; ), aberto direita, e o intervalo E = (2; 5], aberto esquerda. Considere esses intervalos contidos nos reais (R). 12) O eixo das abscissas Ox representa o conjunto dos nmeros reais, R, e da mesma forma o eixo das ordenadas Oy, tambm, representa o conjunto dos 4 reais, R. Ento, o produto cartesiano RxR pode ser escrito como R2. Faa a representao grfica desse produto cartesiano. 13) Qual o nmero de elementos do produto cartesiano do exerccio anterior, n(RxR)? 14) Faa a representao grfica do produto cartesiano entre o intervalo C = [-2; ), aberto direita, e o intervalo D = (2; 7] aberto esquerda. 15) Faa a representao grfica do produto cartesiano entre o intervalo E = (-3; ) e o intervalo F = (2; 5]. Considere esses intervalos contidos nos reais (R). 16) Considere a interseco entre os produtos cartesianos CxD do exerccio 14 e o produto cartesiano ExF do exerccio 15. Faa a representao grfica da interseco e escreva em linguagem o conjunto correspondente interseco. 17) Seja o conjunto de pontos do segmento de reta AB= {(x; y) R2 | y = 5+ 2x e x [2; 5] R}. Pede-se: a) as coordenadas das extremidades do segmento AB; b) o comprimento desse segmento. 18) Seja o conjunto de pontos do segmento de reta CD= {(x; y) R2 | y = 4+ x e x [3; 5] R}. a) as coordenadas das extremidades do segmento CD; b) o comprimento desse segmento. 19) Existe interseco entre os segmentos AB e CD dos exerccios 17 e 18? 20) Quais as coordenadas do ponto de interseco entre AB e CD dos exerccios 17 e 18? 5 1.3- Relao Dados dois conjuntos no vazios A e B denomina-se relao R de A em B a qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B, AxB. A relao R de A em B denotada por A B. Domnio e Conjunto Imagem Dado o par ordenado (X; Y) pertencente relao R de A em B, tem-se que a relao R associa X a Y, e ento, Y a imagem de X em R. Dessa forma, o conjunto domnio de R, D(R) formado por todos os elementos de A que esto associados a pelo menos um elemento de B e o conjunto imagem de R, Im(R) formado por todos os elementos de B que so imagens de pelo menos um elemento de A. Exerccios 1.3 1) Dados os conjuntos A = {2; 7; 9} e B = {7; 9; 10}, mostre que R1 = {(2; 9), (2; 10); (7; 9)} uma relao de A em B. 2) Qual o domnio D(R) e o conj. imagem Im(R) da relao R1 do exerccio 1? 3) Verifique se R2 = {(2; 9), (2; 10), (7; 5)} uma relao de A em B,os conjuntos especificados no exerccio 1. 4) Considere os conjuntos do exerccio 1. Faa a representao da relao R1: AB por meio do diagrama de flechas. 5) Considere os conjuntos A e B do exerccio 1. Escreva, por enumerao, a relao R4 = {(x; y) AxB | x = y}. 6) Qual o domnio D(R) e o conj. imagem Im(R) da relao R4 do exerccio 5? 7) Considere os conjuntos A e B do exerccio 1. Escreva, por enumerao, a relao R5 = {(x; y) AxB | x < y}. 8) Qual o domnio D(R) e o conj. imagem Im(R) da relao R5 do exerccio 7? 9) Considere os conjuntos C = {-3; -2; -1; 0; 1; 3} e D = {2; 3; 4; 5; 6} e a relao R: CD, R = {(-3; 2), (-3; 3), (-2; 4), (-2; 5), (0; 5), (0; 6)}. Represente graficamente a relao R em um plano cartesiano. 10) Qual o domnio D(R) e o conj. imagem Im(R) da relao R do exerccio 9? 11) Considere P como o conjunto dos nmeros pares e I o conjunto dos nmeros mpares. Verifique qual das relaes adiante relao de P em I, ou seja, a relao R: P I. 6 a) {(2; 2), (4; 5), (6; 4)} b) {(4; 3), (6; 5), (8; 7)} c) {(1; 2), (3; 4), (5; 6)} 12) Qual o domnio D(R) e o conj. imagem Im(R) da relao R do exerccio 11? 13) Represente graficamente a relao R que voc identificou no exerccio 11 em um plano cartesiano. 14) Represente por extenso (ou enumerao) a relao R1 = {(x; y) N2| y = x}. 15) Qual o domnio D(R1) e o conjunto imagem Im(R1) da relao R1 do exerccio 14. 16) Represente graficamente em um plano cartesiano a relao R1 do exerccio 14. 17) Represente por extenso (ou enumerao) a relao R2 = {(x; y) N2| y = x2}. 18) Qual o domnio D(R2) e o conj. imagem Im(R2) da relao R2 do exerccio 17? 19) Represente graficamente em um plano cartesiano a relao R2 do exerccio 14. 20) Represente por extenso (enumerao) a relao R3 = {(x; y) N2| y = x}. 21) Qual o domnio D(R3) e o conjunto imagem Im(R3) da relao R3 do exerccio 20? 22) Represente graficamente em um plano cartesiano a relao R3 do exerccio 20. 23) Seja A = {2; 5; 10} e C = {-4; 4; 3}. a) Represente por diagrama em flechas a relao R1 = {(x; y) AxC | x + y < 7}. b) Represente por extenso a relao R1 = {(x; y) AxC | x + y < 7}. c) Represente por extenso o domnio e o conjunto imagem de R1. d) Represente por diagrama em flechas a relao R2 = {(x; y) AxC | x2 = y}. e) Represente por extenso o domnio e o conjunto imagem de R2. 24) Faa a representao grfica (no plano cartesiano) das relaes R1 e R2, citadas anteriormente. 25) Dados os intervalos A = [-3; 3] e B = [-9, 9], faa a representao grfica (no plano cartesiano) das relaes: 7 a) R1 = {(x; y) AxB | y = x2}; b) R2 = {(x; y) AxB | y = 3x}; c) Represente por extenso D(R1) e Im(R1); d) Represente por extenso D(R2) e Im(R2). 26) Dada a representao grfica, adiante, da relao R de X em Y, ou seja, R: X Y, com X Z e Y Z pede-se: a) Represente por extenso (ou enumerao) a relao R; b) Represente por extenso do domnio de R, D(R); c) Represente por extenso a imagem de R, Im(R); d) De qual conjunto, produto cartesiano, R subconjunto? 27) Dada a representao grfica, adiante, da relao R2 de X em Y, ou seja, R2: X Y, com X Z e Y Z. 8 Pede-se: a) Represente por extenso (ou enumerao) a relao R2 ; a) Represente por extenso do domnio de R2, D(R2); b) Represente por extenso a imagem de R2, Im(R2); c) De qual conjunto, produto cartesiano, R2 subconjunto? 28) Dada a representao grfica, adiante, da relao R3 de X em Y, ou seja, R3: X Y, com X R e Y R, pede-se: a) Represente por propriedade a relao R3 ; b) Represente por propriedade o domnio de R3, D(R3); c) Represente por propriedade a imagem de R3, Im(R3); d) De qual conjunto produto cartesiano R3 subconjunto? 9 1.4- Funo Dados dois conjuntos no vazios A e B, denomina-se funo a toda relao de A em B na qual, para todo elemento de A, est associado um nico elemento de B. Desta forma, todos os elementos de A esto associados a um elemento de B e nenhum elemento de A pode estar associado a dois ou mais elementos de B. Uma funo do conjunto A em B denotada por f: A B pode ser representada por uma lei do tipo y = f(x) que determina a forma como so obtidos os pares (x; y) do produto cartesiano, ou seja, (x; y) AxB. Se uma relao R uma funo de A em B, dizemos que: A o domnio da funo; B o contradomnio; os elementos do contradomnio B que esto associados aos do domnio A formam o conjunto imagem da funo. Exerccios 1.4 1) Identifique nas figuras que o professor far no quadro negro, o que funo e o que no , explicando por qu. 2) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, pede-se: a) O produto cartesiano AxB. b) Os pares (pontos) correspondentes funo, y = f(x): A B, com y = f(x) = 2x + 1. c) Represente os pares ordenados obtidos no item (b) em um plano cartesiano. 3) Dado o conjunto dos reais, R, e o conjunto dos reais no negativos, R+, pede-se: a) A representao no plano cartesiano da funo y = f(x): R R+, y = f(x) = 3x2 +2. b) A representao no plano cartesiano da funo y = f(x): R R+, y = f(x) = x2. 4) Seja a relao de A = [0; 5] em B = {1/5} cuja expresso f(x) = y = 51. a) f(x) uma funo, explique por qu. b) Qual o conjunto domnio de f(x)? c) Qual o conjunto contradomnio de f(x)? d) Faa a representao no plano cartesiano da funo f(x). 5) Seja a expresso f(x) = y = a b1, tal que x [a; b] R, com b > a. Assim, tem-se f:XY com X = [a; b] R e Y = {a b1} R a) f(x) uma funo, explique por qu. b) Qual o conjunto domnio de f(x)? c) Qual o conjunto contradomnio de f(x)? 10 d) Qual o conjunto imagem de f(x)? e) Faa a representao no plano cartesiano da funo f(x), assumindo um valor genrico para b. 6) As funes dos itens 4 e do item 5 tm um nome especial. Qual este nome? 7) Seja a representao grfica, adiante, da relao R3 de X em Y, ou seja, R3: X Y, com X R e Y R, adiante. A relao R3 uma funo? Por qu? 8) Seja a representao grfica da relao R2 de X em Y, ou seja, R2: X Y, com XZ e YZ, adiante. A relao R2 uma funo? Por qu? 9) Seja a representao grfica da relao R de X em Y, ou seja, R: X Y, com XZ e YZ, adiante. A relao R uma funo? Por qu? 11 10) Seja a representao grfica, adiante, da relao R6 de X em Y, ou seja, R6: X Y, com X = [0; 5] R+ e Y = [0; 2] R+, adiante. A relao R6 uma funo? Por qu? 11) Seja y = f(x) a funo cuja representao grfica est na figura anterior (10). a) Qual a expresso da funo f(x)? Represente-a por propriedade (compreenso). b) Qual o domnio da funo f(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). c) Qual o contradomnio da funo f(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). d) Qual o conjunto imagem da funo f(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). 12) Seja y = g(x) a funo g: X Y, com X sendo o intervalo [0; 3] R+ e Y o intervalo [0; 10] R+ , cuja representao grfica est na figura adiante. a) Qual a expresso da funo g(x)? Represente-a por propriedade (compreenso). b) Qual o domnio da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). c) Qual o contradomnio da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). d) Qual o conjunto imagem da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). 12 13) Seja y = h(x) a funo h: X Y, com X sendo o intervalo [-3; 0] R- e Y o intervalo [0; 10] R+ , cuja representao grfica est na figura adiante. a) Qual a expresso da funo g(x)? Represente-a por propriedade (compreenso). b) Qual o domnio da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). c) Qual o contradomnio da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). d) Qual o conjunto imagem da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). g(x) h(x) 13 14) Seja y = f(x) = x3 a funo f: X Y, com X sendo o intervalo [-3; 3] R e Y o intervalo [-30; 30] R, cuja representao grfica est na figura adiante. a) Por que f(x) uma funo? b) Qual o domnio da funo f(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). c) Qual o contradomnio da funo f(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). d) Qual o conjunto imagem da funo f(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). 14 15) Seja y = g(x) = x3 + 5 a relao g: X Y, com X sendo o intervalo [-3; 3] R e Y o intervalo [-50; 50] R, cuja representao grfica est na figura adiante. a) Por que g(x) uma funo? b) Qual o domnio da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). c) Qual o contradomnio da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). d) Qual o conjunto imagem da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). 16) Seja y = h(x) = 2x + 1, a funo h: X Y, com X sendo o intervalo [0; 5] R+ e Y o intervalo [0; 20] R+, cuja representao grfica est na figura adiante. a) Por que h(x) uma funo? b) Qual o domnio da funo h(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). c) Qual o contradomnio da funo h(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). 15 d) Qual o conjunto imagem da funo y = h(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). 17) Seja y = f(x) = 2x + 5, a funo f: X Y, com X sendo o conjunto [0; 1; 2; 3; 4; 5] N e Y o conjunto [0; 1; 2; .....; 19; 20] N, cuja representao grfica est na figura adiante. a) Por que f(x) uma funo? b) Qual o domnio da funo f(x)? Represente-o por extenso. c) Qual o contradomnio da funo f(x)? Represente-o por extenso. d) Qual o conjunto imagem da funo f(x)? Represente-o por extenso. 16 1.4.1- FUNO CONSTANTE Chama-se funo constante a toda funo na qual os elementos do domnio possuem a mesma imagem. Exerccios 1.4.1 1) Seja y = f(x) = 0,2 a funo f: X Y com X = {2, 3, 4, 5, 6}N e o conjunto unitrio Y = {0,2}Q. A representao grfica est na figura adiante. a) Por que f(x) uma funo? Qual a propriedade importante que tem essa funo? b) Qual o nome dessa funo, devido essa propriedade do item (a)? c) Qual o domnio da funo f(x)? Represente-o por extenso. d) Qual o contradomnio da funo f(x)? Represente-o extenso. e) Qual o conjunto imagem da funo f(x)? Represente-o por extenso. 2) Seja y = g(x) = 0,25 a funo g: X Y com X sendo o intervalo [0; 4] R e o conjunto unitrio Y = {0,25}R. A representao grfica est na figura adiante. a) Por que g(x) uma funo? Qual a propriedade que tem essa funo? b) Qual o nome dessa funo, devido essa propriedade do item (a)? c) Qual o domnio da funo g(x)? Represente-o por propriedade (compreenso). d) Qual o contradomnio da funo g(x)? Represente-o. f(x) 17 e) Qual o conjunto imagem da funo g(x)? Represente-o. 3) Uma varivel aleatria X tem como funo densidade de probabilidade a funo f(x) = 1. Esta uma funo de X = [0; 1] R em Y = {1} N. a) Por que f uma funo? Qual a propriedade importante que tem essa funo? b) Qual o nome dessa funo? c) Qual o domnio de f? d) Qual o contradomnio de f? e) Qual conjunto imagem de f? 18 4) Uma varivel aleatria X tem como funo densidade de probabilidade a funo f(x) = 1/5. Trata-se de uma funo de X, o intervalo [5; 10] R, em Y o conjunto unitrio {1/5} R. a) Por que f uma funo? Qual a propriedade que tem essa funo? b) Qual o nome dessa funo f? c) Qual o domnio de f? d) Qual o contradomnio de f? e) Qual conjunto imagem de f? f) Faa a representao grfica de f. 5) Faa a representao grfica da funo definida por f: U Y, onde U o intervalo fechado [a; b] R, Y o conjunto unitrio {1/(b a)} R e tem-se f(u) = 1/(b a). Identifique os elementos da funo (domnio, etc.). Se U uma varivel aleatria, como se chama a funo f(u) no contexto estatstico? 1.4.2 FUNO CRESCENTE E FUNO DECRESCENTE Uma funo f(y), definida no intervalo [a; b], chamada de funo crescente se para y2 > y1 tem-se f(y2) > f(y1) e da mesma forma g(y), definida no intervalo [a; b], chamada de funo decrescente se para y2 > y1 ocorrer g(y2) < g(y1). Exerccios 1.4.2 1) A funo y = g(x) = 3x definida em R, ou seja g:XY com X R e Y R, crescente ou decrescente? Por qu? y = 3x 19 2) A funo y = f(x) = 2x definida em R, ou seja, f:XY com X R e Y R+, crescente ou decrescente? Por qu? 3) A funo y = f(x) = sen(x) com x [0; 2], ou seja, f:XY com X = [0; 2] R e Y = [-1; 1] R, crescente ou decrescente? Por qu? Intervalo maior [-10; 10] 20 4) A funo y = h(x) = tg(x) com x [0; 2], ou seja, h: XY com X = [0; 2] R e Y R+, crescente ou decrescente? Por qu? 5) A funo f(x) = 3-x com x R crescente ou decrescente? Por qu? Intervalo [0; /2] 21 6) A funo p(x) = 0,3x.0,71-x com x = 0, 1 da forma p(x) = x(1-)1-x com (0; 1) e x = 0, 1. Na forma especfica trata-se da funo f do conjunto {0; 1} no intervalo [0; 1], ou seja, f:{0; 1} [0;1] R com = 0,3. A representao grfica est em seguida. a) Por que p(x) uma funo? b) Qual o domnio dessa funo p(x)? c) Qual o contradomnio dessa funo p(x)? d) Qual o conjunto imagem de p(x)? e) Qual o nome dessa funo no contexto estatstico? 7) A funo p(y) = y 5 y6 , 0 4 , 0y5|||

\| com y = 0, 1, 2, 3, 4, 5 da forma p(y) = y n y) 1 (yn |||

\| y = 0, 1, 2, .... , n. Na forma especfica trata-se da funo f do conjunto {0; 1; 2; 3; 4; 5} no intervalo [0; 1], ou seja, f:{0; 1; 2; 3; 4; 5} [0;1] R. A representao grfica est em seguida. 22 a) Por que p(x) uma funo? b) Qual o domnio dessa funo p(x)? c) Qual o contradomnio dessa funo p(x)? d) Qual o conjunto imagem de p(x)? 1.4.3 FUNES PARES E FUNES MPARES Funo Par Uma funo chamada de funo par quando para qualquer valor x do seu domnio ocorrer f(x) = f(-x). Assim, em uma funo par valores simtricos (em relao origem) do domnio tm sempre a mesma imagem no contradomnio. Funo Impar Uma funo chamada de funo impar quando para qualquer valor x do seu domnio ocorrer f(x) = -f(-x). Assim, em uma funo impar valores simtricos (em relao origem) do domnio tm imagens simtricas no contradomnio. Funo Sem Paridade Uma funo que no par e no impar chamada de funo sem paridade ou se diz que no tem paridade. Exerccios 1.4.3 1) Classifique as funes abaixo em funo par, em funo impar ou em funo sem paridade e justifique por qu. a) f(x) = x2 com x R ( ) b) f(x) = 3x2 com x R ( ) c) f(x) = x3 com x R ( ) d) f(x) = 3x4 com x R ( ) e) f(z) = 22121 ze com z R ( ) f) f(z) = ze2121 com z R ( ) g) f(x) = 3x com x R ( ) h) y = x2 + 3 com x R ( ) i) h(x) = -2x3 com x R ( ) j) u(x) = x3 - 1 com x R ( ) k) f(x) = sen(x) x R ( ) l) f(x) = cos(x) x R ( ) m) f(y) = tg(y) y R ( ) n) f(x) = n (x) x R+ ( ) o) f(x) = 1 x x R ( ) 2) Classifique as funes que o professor desenhar no quadro negro em funo par, em funo impar ou em funo sem paridade e justifique por qu. 23 1.4.4 FUNO SOBREJETORA, INJETORA E BIJETORA Funo Sobrejetora Uma funo f: AB chamada de funo sobrejetora quando todo elemento do contradomnio B for imagem de pelo menos um elemento do domnio A da funo. Desta forma o conjunto imagem de f igual ao seu contradomnio. Funo Injetora Uma funo f: AB chamada de funo injetora quando para dois elementos distintos quaisquer do domnio, corresponderem duas imagens distintas no contradomnio. Funo Bijetora Uma funo f: AB chamada de funo bijetora quando for injetora e sobrejetora simultaneamente. Exerccios 1.4.4 1) A funo y = f(x) = x3, com x R e y R, sobrejetora? Por qu? 2) A funo y = g(x) = x, com x R e y R, injetora? Por qu? 24 3) A funo f(x) = x3, com x R e y R, bijetora? Por qu? 4) A funo y = sen(x), com x R e y [-1; 1] R , injetora? 5) Complete o texto de forma a torn-lo verdadeiro: toda reta paralela ao eixo das abscissas, Ox, corta uma funo injetora em no mximo um ...................... Ento, a funo y = f(x) = sen(x) no injetora porque existem retas paralelas ao eixo Ox cortando o grfico em mais de um ........................... 6) Identifique nas figuras que o professor far no quadro negro as funes sobrejetoras. 7) Identifique nas figuras que o professor far no quadro negro as funes sobrejetoras, injetoras e bijetoras. 8) A funo y = f(x) = ) x 2 ( n , com x R+ e y R, sobrejetora? injetora? bijetora? Veja o grfico adiante. 25 9) A funo y = f(x) = 3e-5x, com x R e y R+, sobrejetora? injetora? bijetora? Veja o grfico adiante. 10) A funo y = f(x) = e-5x, com x R e y R+, sobrejetora? injetora? bijetora? Veja o grfico adiante. 11) A funo y = f(x) = cos(x), com x R e y [-1; 1] R , sobrejetora? injetora? bijetora? Veja o grfico adiante. 26 12) A funo y = f(z) = 2z21e21, com z R e y (0; 0,4] R+, sobrejetora? injetora? bijetora? Veja o grfico adiante. 13) A funo do item (12) muito importante na estatstica. Qual o nome dessa funo na Estatstica? 14) A funo y = f(z) = z21e21, com z R e y R+ , sobrejetora? injetora? bijetora? Veja o grfico adiante. 15) A funo p(x) = 0,3x.0,71-x com x = 0, 1 da forma p(x) = x(1-)1-x com (0; 1) e x = 0, 1. Na forma especfica trata-se da funo f do conjunto {0; 1} no intervalo [0; 1], ou seja, f:{0; 1} [0;1] R com = 0,3. A representao grfica est em seguida. a) Por que p(x) uma funo? 27 b) Qual o domnio dessa funo p(x)? c) Qual o contradomnio dessa funo p(x)? d) Qual o conjunto imagem de p(x)? e) Qual o nome dessa funo no contexto estatstico? f) A funo p(x) par, impar ou sem paridade? g) A funo p(x) sobrejetora, injetora ou bijetora? Por qu? 16) A funo p(y) = y 5 y6 , 0 4 , 0y5|||

\| com y = 0, 1, 2, 3, 4, 5 da forma p(y) = y n y) 1 (yn |||

\| y = 0, 1, 2, .... , n. Na forma especfica trata-se da funo f do conjunto {0; 1; 2; 3; 4; 5} no intervalo [0; 1], ou seja, f:{0; 1; 2; 3; 4; 5} [0;1] R. A representao grfica est em seguida. a) Por que p(y) uma funo? b) Qual o domnio dessa funo p(y)? c) Qual o contradomnio dessa funo p(y)? d) Qual o conjunto imagem de p(y)? e) A funo p(y) par, impar ou sem paridade? f) A funo p(y) sobrejetora, injetora ou bijetora? Por qu? 28 g) Qual o nome dessa funo p(x) no contesto estatstico? 1.4.5 FUNO INVERSA Seja f uma funo bijetora de A em B, ento possvel definir uma nova funo com domnio B e contradomnio A que associa a cada elemento y = f(x) B um nico elemento x A. Essa nova funo, denotada por f-1, chamada de funo inversa de f. E, ento, f-1 = {(y; x) | (x; y) f}. Exerccios 1.4.5 1) Seja y = f(x) = 3x 1, com x R, ou melhor, f:R R. Veja os grficos de f(x) e de f-1(y). a) Determine a funo inversa de f, ou seja, f-1(y); b) Por que existe a inversa f-1 de f? c) Se x = 5 qual o valor de y = f(x)? d) Se y = 11 qual o valor de x = f-1(y)? f(x) f ) y (1 29 2) Seja f(x) = y = sen(x), com x [0; 2], ou melhor, f:[0; 2][0; 1]. Veja os grficos de f(x) e de f-1(y). a) Escreva a funo f-1(y). b) Se x = 450, ou melhor, x = 4radianos; qual o valor de f(x)? c) Se y = 23, qual o valor de f-1(y)? 3) Seja f(x) = y = sen(x/2), com x [0; 2], ou melhor, f: [0; 2][0; 1] a) Qual o valor de f-1(y)? b) Se y = 22, qual o valor de f-1(y)? c) Qual propriedade uma funo deve possuir para que admita inversa? 4) Seja f(x) = y = cos(x), com x R, ou melhor, f: RR com conjunto imagem igual a [-1; 1]. f(x) = sen(x) f-1(y) = arcsen(y) 30 a) Essa funo admite inversa em todo o seu domnio? Por qu? Veja o grfico adiante. b) Se a funo f(x) = y = cos(x) for definida apenas no 10. quadrante, ou seja, f:[0; 2][1; 0], ela admite inversa? Por qu? Veja o grfico. c) Se x = 21, qual o valor de y = f(x)? d) Se y = 0,5; qual o valor da inversa f-1(y)? Veja o grfico adiante. f(x) = cos(x), x R f(x) = cos(x) x [0; 2] 31 5) Seja f(x) = y = ln(x). Veja os grficos adiante. a) Existe inversa de f(x)? Por qu? b) Qual a funo inversa de f(x), f-1(y)? c) Se x = 0, qual o valor de f(x)? d) Se x = 2, qual o valor de f(x)? e) Se y = 1, qual o valor de f-1(y)? f) Se y = 0,4, qual o valor de f-1(y)? f-1(y) = arccos(y) f(x) = ln(x) 32 6) Seja a funo f(x) = y = n (x), ou seja, f:*R+R,. Veja os grficos de f(x) e de f-1(y) adiante. f(x) = ln(x) f-1(x) = ey f-1(y) = ey 33 a) Qual o valor da inversa f-1(y) no ponto y = 0,5? b) Qual o valor de f(x) em x = 1? c) Qual o valor de f(x) em x = 2? d) Qual o valor de f-1(y) em y = 0,69314718? 7) Seja f(x) = y = log(x), ou seja, f: *R+ R. Veja os grficos adiante. a)Qual a funo inversa de f(x), f-1(y)? b) Qual o valor de f(2)? c) Qual o valor de f(3)? d) Qual o valor de f(4)? e) Qual o valor de f-1(0,301029999)? f) Qual o valor de f-1(0,477121). f(x) = log(x) f-1(x) = y =10y 34 8) Seja f(x) = y = log(x) = 0,845098. Qual o valor da inversa de f(x), em 0,845098, ou seja, f-1(0,845098)? 9) Seja y = f(x) = tg(x), ou seja, uma funo f:RR. Veja os grficos adiante. a) Qual o valor de f(x) em x = 450 ? b) Qual o valor de f(x) em x = /6? c) Qual o valor de f-1(y) em y = 1? d) Qual o valor de f-1(y) em y = 33? e) Qual o valor de f-1(y) em y = 3 ? f(x) = tg(x) f-1(y) = arctg(y) 35 1.4.6 Funo Composta Dadas as funes f e g chama-se funo composta de f com g a funo denotada por f g e definida por f g(x) = f[g(x)]. Exerccios 1.4.6 1) Sejam as funes f(x) = x + 3 e g(x) = 3x 5. Determine: a) f g; b) g f ; c) f g para x = 1. 2) Seja as funeds f(x) = x3 1 e g(x) = 3x. Calcule: a) fog(2); b) fof(x); c) fof(3). 1.5- Funes Importantes 1.5.1 FUNO POLINOMIAL DO 10. GRAU (RETA) Toda funo definida de R em R, ou seja, f: RR, por f(x) = ax + b, com b R e a R* denominada funo polinomial do 10. grau. Equao Geral da Reta A equao geral da reta ay + bx + c = 0 com aR, bR* e cR. Equao Reduzida da Reta Da equao geral pode-se obter a forma reduzida, ou seja, y = ab x ac e fazendo m = ab e n = ac tem-se y = mx + n, onde m o coeficiente angular da reta e n o coeficiente linear ou intercepto. Exerccios 1.5.1 1) Mostre que o coeficiente angular m a tangente do ngulo agudo que a reta faz com o eixo das abscissas. 2) Mostre que o coeficiente linear (intercepto) n igual distncia do ponto de interseo da reta com o eixo das ordenadas a origem do Sistema Cartesiano. 36 3) Dada a f(x) = y = 2x + 1. Veja o grfico adiante. Pede-se: a) O zero (raiz) da funo. b) O coeficiente angular da reta que a funo representa. c) O coeficiente linear da reta que a funo representa. 4) Determine a equao da reta que passa pelo ponto P(1; 2) e paralela a reta representada pela funo do exerccio 3. 5) Determine a equao da reta que passa pelo ponto P(1; 2) e perpendicular a reta representada pela funo do exerccio 1. 37 6) Uma reta passa pelo ponto (2; 1) e tem coeficiente angular igual a 21. Qual a equao dessa reta na forma reduzida e na forma geral? 7) Sabendo-se que trs pontos (x1; y1), (x2; y2) e (x3; y3) so colineares (pertencem a mesma reta) se verificam a equao: det(((((

1 y x1 y x1 y x3 32 21 1) = 0 Pergunta-se: a) Os pontos (1; 7), (0; 5) e (-3; -1) pertencem a mesma reta? b) Os pontos (0; 3), (1; 5) e (7, -2) pertencem a mesma reta? c) Os pontos (5; 15), (-5; -5) e (0; 5) pertencem a mesma reta? 8) Sabendo-se que a equao da reta que passa por dois pontos dada por: det(((((

1 y x1 y x1 y x2 21 1) = 0 Pergunta-se: a) Qual a equao da reta que passa pelos pontos (1; 7) e (0; 5)? b) Qual a equao da reta que passa pelos pontos (0; 3) e (2; 5)? c) Qual a equao da reta que passa pelos pontos (2; 2) e (-1; -1)? 9) Sabendo-se que a distncia de um ponto P(x0; y0) a reta r com equao ay + bx + c = 0 dada pela expresso: d(P, r) = 2 20 0b a| c bx ay |++ + Pergunta-se: 38 a) Qual a distncia do ponto (1; 7) reta y = 2x + 5? b) Qual a distncia do ponto (0; 3) reta 2y -3x + 4 = 0? c) Qual a distncia da origem do sistema reta y -x + 5 = 0? 10) Sabendo-se que a rea de um tringulo cujos vrtices tm as coordenadas (x1; y1), (x2; y2) e (x3; y3) dada pela expresso: A = | )1 y x1 y x1 y xdet( |213 32 21 1((((

Pergunta-se: a) Qual a rea do tringulo cujos vrtices so: (1; 2), (3; 4) e (9; 2)? b) Qual a rea do tringulo cujos vrtices so: (0; 2), (3; 0) e (4; 3)? c) Qual a rea do tringulo cujos vrtices so: (1; 1), (4; 2) e (3; 5) 11) Resolva a inequao produto (2x + 5)(-5x + 2) > 0 respondendo aos itens: a) Identifique as funes que compem o produto; b) Construa, separadamente, os grficos das funes; c) Monte uma tabela com os sinais de cada funo e do produto; d) Escreva o conjunto soluo. 12) Resolva a inequao quociente x 3) 1 x 2 )( 5 x 3 (+ < 0 respondendo aos itens: a) Identifique as funes que compem o quociente; b) Construa, separadamente, os grficos das funes; c) Monte uma tabela com os sinais de cada funo e do quociente; d) Escreva o conjunto soluo. 13) Resolva a inequao quociente x 7) 5 x 3 ( > 0 respondendo aos itens: a) Identifique as funes que compem o quociente; b) Construa, separadamente, os grficos das funes; c) Monte uma tabela com os sinais de cada funo e do quociente; d) Escreva o conjunto soluo. 14) Resolva a inequao produto (2x -5)(x-2) > 0 respondendo aos itens: a) Identifique as funes que compem o produto; b) Construa, separadamente, os grficos das funes; c) Monte uma tabela com os sinais de cada funo e do produto; d) Escreva o conjunto soluo. 39 1.5.2 FUNO POLINOMIAL DO 20. GRAU Toda funo definida de R em R por f(x) = ax2 + bx + c, com b, c R e a R*, denominada funo polinomial do 20. grau ou funo quadrtica (trinmio do 20. grau). FRMULA DE BHASCARA (Filsofo indiano que viveu de 1114 a 1185). A determinao das razes da funo do 20. feita usando a frmula de Bhskara e a idia completar o trinmio ax2 + bx + c de modo a fator-lo num quadrado perfeito, ou seja: comeando com ax2 + bx + c = 0 , multiplica-se a equao por 4a ; ao resultado 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , soma-se b2 aos dois membros da igualdade, pois falta o termo b2 para que fique um quadrado perfeito; operando com o resultado: 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac o primeiro membro um trinmio quadrado perfeito, ento, (2ax + b) 2 = b2 - 4ac isolando a incgnita x: 2ax + b = 2ax = - b Exerccios 1.5.2 1) Dada a funo do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c, (veja o grfico),mostre que: a) a soma das razes da funo igual a S = ab ; b) o produto das razes da funo igual a P = ac com a 0. 2) Dada a equao do segundo grau x2 - 2x -3 = 0; a) identifique os coeficientes a, b e c; b) calcule a soma das razes; c) calcule o produto das razes; d) ache as razes da equao. 40 3) Seja a funo f(x) = ax2 + bx + c, definida de R em R. O grfico dessa funo uma curva chamada parbola. Assim, complete o texto adiante tornando verdadeiro. a) Quando a > 0 a concavidade da curva est voltada para ........................ b) Quando a < 0 a concavidade da curva est voltada para ........................ 4) Veja os grficos das seguintes funes do 20. grau e responda aos itens adiante. A) f(x) = x2 4x + 3 B) g(x) = -x2 + x + 2 f(x) = ax2 + bx + c f(x) 41 a) Cada uma das funes cncava ou convexa? b) Calcule a soma das razes de cada uma das funes; c) Calcule o produto das razes de cada uma das funes;; d) Ache as razes de cada uma das funes. 5) O grfico da funo definida de R em R por f(x) = ax2 + bx + c com a 0 uma curva chamada parbola. Determine as coordenadas do vrtice V da funo do 20. grau f(x) = ax2 + bx + c (parbola) observando que: a parbola tem um eixo de simetria passando pelo vrtice V, ento a abscissa do vrtice o ponto mdio das abscissas das razes; a soma das razes S = ab ; entrando com a abscissa de V (xV achada no passo anterior) em f(x) = y = ax2 +bx + c encontra-se a ordenada de V, (yV). Adiantando as coordenadas so: V(a 2b ;a 4 ) com = b2 4ac 6) Dadas as equaes do 20. grau adiante. Pede-se: a) As razes da funo do 20. grau; b) As coordenadas do vrtice V da funo do 20. grau; c) O grfico da funo; d) Identifique se a funo cncava ou convexa. 1. x2 -5x + 6 = 0 2. 2x2 -10x + 8 = 0 3a. x2 + 5x -4 = 0 4. x2 1 = 0 5a. -x2 + x + 2 = 0 7) Resolva as inequaes do 20. grau seguintes; a) x2 + 5x 24 > 0 b) x2 + 3x + 4 > 0 c) x2 -5x + 6 < 0 g(x) 42 d) 2x2 -10x + 8 > 0 e) x2 + 5x - 4 > 0 f) x2 1 > 0 g) -x2 + x + 2 < 0 8) Faa esboos dos grficos das funes do 2o. grau cujos parmetros so: a) a > 0 e > 0; b) a < 0 e > 0; c) a > 0 e = 0; d) a < 0 e = 0; e) a > 0 e < 0; f) a < 0 e < 0. 9) Quando o discriminante maior que zero > 0 tem-se que as razes da funo so nmeros .............................., quando < 0 as razes so..................... e quando = 0 as razes so ......................... 10) A funo do 20. definida de R em R por f(x) = ax2 + bx + c com a 0 assume um valor mximo ou mnimo dependendo do valor do coeficiente a da funo. Se a > 0 (concavidade para cima) f(x) tem um mnimo dado pela ordenada do vrtice e f(x)min = a 4 ; Se a < 0 (concavidade para baixo) f(x) tem um mximo dado pela ordenada do vrtice e f(x)max = a 4 . Ento, determine o mximo ou o mnimo das seguintes funes: a) f(x) = x2 + 5x 24 b) f(x) = x2 + 3x + 4 c) f(x) = x2 -5x + 6 d) f(x) = 2x2 -10x + 8 e) f(x) = x2 + 5x - 4 f) f(x) = x2 1 g) f(x) = -x2 + x + 2 43 1.5.3 FUNO MODULAR Uma funo f: R R denominada de funo modular quando definida por f(x) = |x|. OBS. Lembre que mdulo ou valor absoluto de um nmero a distncia da imagem desse nmero na reta orientada at a origem da reta. Veja que |5| igual distncia de 5 a origem 0, logo |5| = 5. Por outro lado, |-7| igual distncia de -7 a origem 0, logo |-7| = 7. Como voc sabe distncia sempre um nmero positivo. Exerccios 1.5.3 1) Faa o grfico da funo f(x) = |x|, x R. 2) Observando o grfico do exerccio anterior se conclui que o conjunto imagem da funo modular o conjunto dos reais no ................................, ou seja, Im(f) = R+. 3) Observando o grfico do exerccio 1 se conclui que o conjunto domnio da funo modular o conjunto dos........................, ou seja, D(f) = R. 4) Faa os grficos de y = |f(x)| nos seguintes casos: a) f(x) = 3x 5 b) f(x) = x2 + 3x 5) Dada a funo f(x) = x2 3, faa o grfico de y = |x2 3| -3. 6) Dadas as funes f(x) = |x 1| e g(x) = 3x - 2 faa o grfico de fog(x). f(x) = |x|, 44 1.5.4 FUNO EXPONENCIAL 1.5.4.1 DEFINIO Uma funo chamada de exponencial quando definida por f(x) = ax , dos reais nos reais, ou seja, de R em R, com a R*+ e a 1. Exerccios 1.5.4.1 1) Faa o grfico da funo exponencial f(x) = 2x, ou seja, f:RR. Responda para f(x): a) Qual o domnio de f(x)? b) Qual o contradomnio de f(x)? c) Qual o conjunto imagem de f(x)? d) A funo f(x) par, impar ou sem paridade? e) A funo f(x) sobrejetora, injetora ou bijetora? 2) Faa o grfico da funo exponencial f(x) = 2e-2x, f:R*+R+ e responda aos itens adiante. 45 a) Observa-se que f(x) da forma f(x) = e-x, x > 0, > 0. Ento, no contexto estatstico, qual o nome que essa funo recebe? b) Sendo f(x) uma funo densidade de probabilidade, qual a rea da regio limitada pela curva e pelo eixo das abscissas? 3) Faa o grfico da funo exponencial f(x) = ex. 4) Faa o grfico da funo exponencial f(x) = e-x, x > 0, f:R*+ R+ e responda aos itens adiante. Responda para f(x): a) Qual o domnio de f(x)? b) Qual o contradomnio de f(x)? c) Qual o conjunto imagem de f(x)? d) A funo f(x) par, impar ou sem paridade? e) A funo f(x) sobrejetora, injetora ou bijetora? 5) Faa o grfico da funo exponencial f(x) = 4ex. 6) Faa o grfico da funo exponencial f(x) = 5e-x. 7) Uma varivel aleatria X tem funo densidade de probabilidade dada por f(x) = 5e-5x x > 0. Faa o grfico dessa funo e responda aos itens adiante. a) Qual o domnio de f(x)? b) Qual o contradomnio de f(x)? c) Qual o conjunto imagem de f(x)? d) A funo f(x) par, impar ou sem paridade? e) A funo f(x) sobrejetora, injetora ou bijetora? 1.5.4.2 FUNO EXPONENCIAL: CRESCENTE E DECRESCENTE Dada uma funo exponencial definida por f(x) = ax, de R em R, com a R*+ e a 1 existem dois tipos de comportamento para o grfico dessa funo. O tipo depende do valor da base da exponencial a. Assim, tem-se: 10.) Se a > 1 tem-se uma funo exponencial crescente. 46 20.) Se 0 < a < 1 tem-se uma funo exponencial decrescente. Exerccios 1.5.4.2 1) Identifique as sentenas verdadeiras e marque V e nas falsas marque F. a) f(x) = 6x uma funo crescente por que a base a = 6 maior que 1 ( ) b) g(x) = (41)x uma funo crescente por que a base a = 41 menor que 1 ( ) c) (23)0,3 > (23)0,2 ( ) d) (32)0,3 > (32)0,2 ( ) e) (0,8)0,7 > (0,8)0,5 ( ) f) (3)0,7 > (3)0,5 ( ) 2) Identifique as funes exponenciais como crescente ou decrescente. a) f(x) = 2x b) g(x) = 0,5x c) h(x) = 0,25x d) r(y) = 5y Exerccios 17 Classifique as funes adiante em par ou impar ou sem paridade; crescente ou decrescente ou constante. 1) f(t) = t2 t R 2) g(t) = -t2 t R 3) f(x) = e-x x R*+ 4) f(x) = -e-x x R*+ 5) g(x) = x2 -3 x R 6) h(x) = 7 x R 1.5.4.3 EQUAO EXPONENCIAL Uma equao denominada de equao exponencial quando a incgnita situa-se no expoente. Exemplos (resolva estas equaes) 1) 2x = 16 2) 3x 2 = 91 3) 0,5x = 2-3 3) (31)y = 271 47 Exerccios 1.5.4.3 Resolva as equaes exponenciais que seguem. 1) 22x 3.2x + 2 = 0 2) 3x = 243 3) Resolva os sistemas de equaes exponenciais que seguem. 1) ==+32 28 2y xy x 2) ==44264 4 . 2yxy x 3) == +1 y xy x4 281 3 1.5.5 FUNO LOGARTMICA Uma funo logartmica a funo f(x) definida de R*+ em R por f(x) = loga(x) com a R*+ e a 1. OBS.: 1) A funo logartmica crescente se a > 1 e decrescente se a < 1. 2) A funo logartmica bijetora, logo admite inversa. Exerccios 1.5.5 1) Faa o grfico da funo logartmica f(x) = log2(x) e determine a sua inversa. f(x) = log2(x) 48 2) Faa o grfico da funo logartmica f(x) = log1/2(x) e determine a sua inversa. 3) Calcule o valor de log(320 ), sabendo que log(2) = 0,3010. 4) Determine as condies de existncia de log(x2 + 3x). 5) Seja y = f(x) = log(x) = 0,698970. Ento, qual o valor de x = f-1(y) a funo inversa de f(x)? 6) Seja y = h(x) = ) x ( n = 1,098612289. Ento, qual o valor de x = h-1(y) a funo inversa de h(x)? 7) Resolva a equao logartmica ) 5 x ( n + = 2,302585093. 8) Resolva a equao logartmica ) 3 x 2 ( og + = 0,845098. 9) Seja f(x) = ) x ( n , em qual ponto essa funo corta o eixo das abscissas? 10) Seja f(x) = ) x ( og , em qual ponto essa funo corta o eixo das abscissas? 11) Quais as propriedades operacionais da funo logartmica? As propriedades so: 1.) O logaritmo de um produto igual a soma dos logaritmos dos fatores. log(A.B) = log(A) + log(B) 2.) O logaritmo de um quociente igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor. log(A/B) = log(A) - log(B) 3.) O logaritmo de uma potncia igual ao produto do expoente da potncia pelo logaritmo da base. 49 log(Bx ) = xlog(B) 4.) O logaritmo de uma raz igual ao logaritmo do radicando dividido pelo ndice da raiz. log(iR ) = i) R log( 12) Calcule o valor de Y = x3z2w5 sabendo que log(x) = a, log(z) = b, log(w) = c e que 3a + 2b + 5c = 0,301030. 13) Calcule o valor de Y = x .z2.3w sabendo que log(x) = a, log(z) = b, log(w) = c e que 0,5a + 2b + 31c = 1,301030. 14) Calcule o valor Y = 3zx.5w sabendo que log(x) = a, log(z) = b, log(w) = c e que a - 3b + 51c =2,84509804 15) Se f(x) = y =ln(x) = 0,69314718, qual o valor de x? Veja que x na verdade f-1(y). 16) Se f(x) = y =log(x) = 0,602060, qual o valor de x? Veja que x na verdade f-1(y). 50 2. LIMITES Definio Seja uma funo f(x) definida em um intervalo aberto que contm o ponto a, exceto possivelmente no prprio ponto a. O limite de f(x) quando x se aproxima de a L. Assim, tem-se: L = lim x a( ) f x e isto significa que > 0 existe um > 0 tal que |f(x) L| < sempre que 0 < |x a| < e ainda se f(x) tem limite quando x tende para a, ento tal limite nico. Propriedades importantes: 1.) lim x ac = c com c uma constante, ou seja, um real. 2.) lim x ax = a 3a.) x alim[f (x) g(x)]+ = lim x a( ) f x + lim x a( ) g x 4.) lim x a( ) f x ( ) g x = lim x a( ) f x lim x a( ) g x 5.) lim x a( ) f x( ) g x= lim x a( ) f x / lim x a( ) g x , com lim x a( ) g x 0 6.) lim x a( ) cf x = c lim x a( ) f x 7a.) lim x a( ) f x n= ( lim x a( ) f x )n , desde que lim x a( ) f x exista. INDETERMINAES As formas indeterminadas ou indeterminaes so as seguintes: 1.) 00 2a.) 3a.) 0x 4a.) - 5a.) 00 6a.) 0 7a.) 1 51 EXERCCIOS 2.1: Calcule os limites 1) lim x 2( ) + 3 x 45 R.: 100000 2) lim x ax3 R.: a3 3) lim x 2 + 3 x 4 + 5 x 7 R.: 10/17 4) x 2lim(3x2 + 2x + 4) R.: 20 5) x 2lim[(3x2 + 2)(x + 4)] R.: 84 EXERCCIOS 2.2 1) Dada a funo f(x) = 2103 +xx x, pede-se: a) O grfico da funo para x variando de -5 a 5. b) Calcule o limite da funo quanto x vai para 2, ou seja, lim x 2 + x3x 10 x 2 R.: 13 2) Dada a funo f(x) = 13 6 22 3 4+ + xx x x, pede-se: a) O grfico da funo para x variando de -5 a 5. b) O valor da funo em x = 1. R.: 00 (indeterminao) c) O limite da funo quando x tende para 1, ou seja, lim x 1 + + 2 x46 x3x23 x 1 R.: -8 3) Dada a funo f(x) = xe/ 112+, pede-se: a) O grfico da funo para x variando de 0 a 100. b) O valor da funo em x = . R.: 1 c) O limite da funo quando x tende para +, ou seja,lim x 2 + 1 e ee e|\

|||1x R.: 1 52 4) Dada a funo f(x) = x3 -3x +2 pede-se: a) O grfico da funo para x variando de -5 a 5. b) O valor da funo em x = 0. R.: 2 c) O limite da funo quando x vai para 0, ou seja, lim x 0 + x33 x 2 R.: 2 5) Dada a funo f(x) =xx42, pede-se: a) O grfico da funo para x variando de 2 a 6. b) O valor da funo em x = 4. R.: 00 (indeterminao) c) O limite da funo quando x vai para 4, lim x 4 x 2 4 x R.: -1/4 6) LIMITE FUNDAMENTAL x) x ( senlim0 x= 1 (Veja a figura anterior). Demonstre que o limite de xx sen ) ( quando x vai para 0 igual a 1, ou seja, x) x ( senlim0 x= 1. Prova: Veja a figura anterior que de um circulo trigonomtrico (raio 1). Suponha as desigualdades de reas do tringulo retngulo OAC, do setor circular OAD e do tringulo retngulo OBD, ou seja: rea do tringulo OAC < rea do setor OAD < rea do tringulo OBD cos(x)sen(x)2< x2 < tg(x)2 e dividindo tudo por sen(x)2 resulta: O A B C D x 53 cos(x) < xsen(x)< 1cos(x), e trabalhando com as desigualdades tem-se: cos(x) < x) x ( sen< 1cos(x) ento, quando x 0 tem-se: 1 < x) x ( senlim0 x< 1. Portanto, x) x ( senlim0 x est ensanduichado entre 1 e 1, logo x) x ( senlim0 x= 1. 7) Dada f(x) = bx) ax ( sen com b 0 calcule o limite da funo quando x vai para 0. R.: a/b 8) Dada f(x) = ) x ( sen) x cos( 1calcule o limite da funo quando x vai para 0. R.: 0 9) Dada f(x) = ) x ( tg1) x ( sen1 calcule o limite da funo quando x vai para 0. R.: 0 10) Dada f(x) = x) x ( sen2calcule o limite da funo quando x vai para 0. R.: 0 11) Dada f(x) = x) x ( tgcalcule o limite da funo quando x vai para 0. R.: 1 12) Dada f(x) = x) kx ( sencalcule o limite da funo quando x vai para 0. R.: k 13) Dada f(x) = 2 x) x ( sencalcule o limite da funo quando x vai para 2. R.: 1 14) Calcule o limite da funo f(x) = 8 x 2 x5 x 3 x22 + + quando x vai para 1. R.: -1 15) Demonstre que h10 h) h 1 (lim+ = e (nmero de Euler e = 2,718281828) e hh)h11 (lim+ = e (nmero de Euler e = 2,718281828). Prova da 1. parte A demonstrao deste resultado feita aplicando-se a definio de derivada da funo f(x) = ln(x). Ento, 54 f(x) = dx) x ( df= dx) x ( n d= )h) x ( n ) h x ( n(im0 h += )]x) h x (( nh1[im0 h+ f(x) = )]x) h1 ( nh1[im0 h+ = ] )xh1 ( n [imh10 h+ e como f(x) = dx) x ( n d= x1 tem-se que para x = 1 a relao 11= ] ) h 1 ( n [imh10 h+ e ] ) h 1 ( n [imh10 h+ = 1 Continuando, ] ) h 1 [(imh10 h+= ] e [imh1) h 1 ( n0 h+=] ) h 1 ( n [h10 hime+= e1 = e Para a 2a. parte da prova tem-se hh)h11 (lim+ muda-se a varivel h1= n com he n 0 resulta: n10 n) n 1 (lim+ = e (provado na 1. parte) 16) LIMITE FUNDAMENTAL lim x 0 e ee ex1x = 1. Mostre que o limite da funo xex1 quando x vai para 0, ou seja, lim x 0 e ee ex1x = 1. Prova: Seja a prova no caso geral, ou seja, quando tem-se x1 ax a > 0; ento fazendo ax = 1 + u1 e aplicando logaritmo de base a tem-se x = loga(1 + u1). Portanto, x1 ax = )u11 ( log1u11a+ + = )u11 ( log u1a+ = ua)u11 ( log1+ e, considerando que quando x 0 implica que u , pois u = 1 a1x. Ento, ))u11 ( og1(imuau+ = )] )u11 (im[ og1(uua+ = ) e ( og1a. Assim, )x1 e(imx0 x = ) e ( n1= 11 = 1 (mudando a base de a p/ e loga(e) = ) a ln() e ln() 17) Calcule o limite da funo f(x) = 6 x 5 x4 x22+ quando x vai para 2. R.: -4 55 18) Demonstre que x / 10 x) kx 1 (lim+= ek 19) Demonstre que xx)xk1 (lim+ = ek. 20) Demonstre que xx)xk1 (lim = e-k. 21) Demonstre que k xx)x11 (lim+ + = e. 22) Calcule )x) x 1 ( n(lim0 x+. R.: 1 23) Calcule )1 x) x ( n(lim1 x . R.: 1 24) Calcule )) x ( n) 1 x(lim1 x . R.: 1 25) Demonstre que o limite da funo (1 + ax)1/x quando x vai para 0 igual a ea, ou seja, lim x 0( ) + 1 a x|\

|||1x = ea . 26) Calcule o limite da funo g(x) = 1 x x x2 x 4 x2 32+ + quando x vai p/ 1. R.: 27) Calcule h2 h 40 him + R.: 1/4 28) Calcule x 0lim sen(x)x R.: 0 29) Calcule x) x 3 ( senlim0 x R.: 3 30) Calcule x 06x sen(2x)lim( )2x 3sen(4x)+ R.: 2/7 31) Calcule x 01 cos(x)lim( )sen(x) R.: 0 32) Calcule )) x ( tg1) x ( sen1( lim0 x R.: 0 33) Calcule x / 10 x) x 1 ( lim + R.: e 34) Calcule xx)x11 ( lim + R: e 56 35) Calcule lim x |\

|||+ 11x( ) + x k 36) Calcule x) x 1 ( nlim0 x+ R.: 1 37) Dada a funo f(x) = 7 x 5 x1 x x 5 x 232 3 ++ + + calcule o limite da funo quando x vai para o infinito (). R.: 2 38) Dada a funo f(x) = 2 x 2 x1 x32+ + calcule o limite da funo quando x vai para o infinito (). 39) Dada a funo f(x) = 2 x 2 x1 x32+ + calcule o limite da funo quando x vai para menos infinito (-). R.: 0 40) Dada a funo f(x) = 5 x x 32 x x 225+ + + calcule o limite da funo quando x vai para o infinito (). R.: - 41) Dada a funo f(x) = 1 x 5 x 38 x23+ ++ calcule o limite da funo quando x vai para o infinito (). R.: 42) Dada a funo f(x) = 1 x x3 x 2 x22 4 + + calcule o limite da funo quando x vai para menos infinito (-). R.: 43) Dada a funo f(x) = 3 x x 21 x 2 x 323+ + calcule o limite da funo quando x vai para menos infinito (-). R.: - 44) Calcule )x) x 1 ( n(lim20 x+. R.: 2 45) Calcule xx)x21 (lim+ . R.: e2 46) Calcule )1 x) x ( n(lim31 x . R.: 3 47) Calcule )) x ( n) 2 x 2(lim1 x . R.: 2 57 48) Calcule 3 xx)x11 (lim+ + . R.: e 49) Prove que )x) 1 a(limx0 x= n (a) com a > 0. 50) Calcule )x 2) 1 e(limx0 x. R.: 1/2 51) Calcule )1 x) 1 2(lim1 x1 x . R.: n (2) 52) Calcule )) x ( sen) 1 e(limx0 x. R.: 1 53) Calcule )) 1 e ( x (limxx . R.:1 54) Prove que )x) 1 ) x 1 ((lima0 x += a com a 0. 55) Calcule )mx) 1 ) x 1 ((limm0 x +. R.: 1 56) Calcule )]x) 1 ) x 1 (( n [lime0 x + . R.: 1 57) Calcule )]1 x) 1 x( n [lime1 x . R.: 1 58) Uma funo distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria X, F(x), tem a seguinte propriedade: quando a varivel (aleatria) vai para - o valor da funo vai para zero e quando a varivel (aleatria) vai para o valor da funo vai para 1. Verifique se a funo F(x) = 1 e-2x x > 0 funo distribuio de probabilidade da varivel X, observando que o menos infinito, - da varivel X 0, que corresponde ao menor valor do contradomnio. 59) Uma funo distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria X, F(x), tem a seguinte propriedade: quando a varivel (aleatria) vai para - o valor da funo vai para zero e quando a varivel (aleatria) vai para o valor da funo vai para 1. Verifique se a funo F(x) = 1 e-x (1+ x) x > 0 funo distribuio de probabilidade da varivel X, observando que o menos infinito, - da varivel X 0, que corresponde ao menor valor do contradomnio. 58 60) Verifique se a funo F(x) = a ba x x [a; b] e a < b uma funo de distribuio com base na propriedade enunciada nos dois ltimos exerccios. Veja que o menos infinito dessa varivel a (seu menor valor no contradomnio) e o mais infinito b (o seu maior valor no contradomnio). 61) Verifique se a funo F(x) = x x [0; 1] uma funo de distribuio com base na propriedade enunciada nos ltimos exerccios. Veja que o menos infinito dessa varivel 0 (seu menor valor no contradomnio) e o mais infinito 1 (o seu maior valor no contradomnio). 62) Verifique se a funo F(x) = 1 - x 11+ x > 0 uma funo de distribuio com base na propriedade enunciada nos ltimos exerccios. Veja que o menos infinito dessa varivel 0 (seu menor valor no contradomnio) e o mais infinito . 59 3. DERIVADAS Definio Seja uma funo f definida no intervalo aberto (a; b). Se a < x < b, a derivada da funo primitiva f no ponto x dada por: f(x) = dxx df ) (= lim h 0 ( ) f + x h ( ) f xhdesde que o limite exista. Se f(x) existe para todos os valores no intervalo (a, b), ento f chamada diferenvel em (a, b). Propriedades importantes: 1.) Se f(x) = c, ento f(x) = dxx df ) (= 0 2.) Se f(x) = ax + b, ento f(x) = dxx df ) (= a. 3a.) Se f(x) = xm, ento f(x) = dxx df ) (= mxm-1. 4.) A derivada de cf(x) cf(x) = cdxx df ) (. 5.) A derivada da soma f(x) + g(x) igual a f(x) + g(x), ou seja, se y = u + v, ento y = u + v. 6.) A derivada do produto f(x)g(x) igual a f(x)g(x) + f(x)g(x), ou seja, y = u.v, ento y = uv+ uv. 7a.) A derivada do produto f(x)g(x)h(x) igual a f(x)g(x)h(x) + f(x)g(x)h(x) + f(x)g(x)h(x), ou seja, se y = uvw, ento y = uvw+ uvw + uvw. 8.) A derivada do quociente y = ) () (x gx f= vu igual a y = 2v' uv ' vu . 9a.) Se f(x) = sen(x), ento f(x) = dxx df ) (= cos(x). 10.) Se f(x) = cos(x), ento f(x) = dxx df ) (= -sen(x) 11.) Se f(x) = tg(x), ento f(x) = dxx df ) (= sec2(x) = (1 + tg2(x)). 12.) Se f(x) = cotg(x), ento f(x) = dxx df ) (= -cosec2(x) = -(1 + cotg2(x)). 60 13.) Se f(x) = sec(x), ento f(x) = dxx df ) (= sec(x)tg(x). 14.) Se f(x) = cosec(x), ento f(x) = dxx df ) (= -cosec(x)cotg(x) 15.) Se y = u e u = f(x), ento y = dxdy= dudydxdu. 16a) Se y = arcsen(u), ento y = 2u 1' u. 17a. ) Se y = arccos(u), ento y = 2u 1' u. 18a.) Se y = arctg(u), ento y = 2u 1' u+. 19a.) Se y = arccotg(u), ento y = 2u 1' u+. 20a.) Se y = arcsec(u), ento y = 1 u u' u2. 21a.) Se y = arccosec(u), ento y = 1 u u' u2. 22a.) Funo Exponencial: y = au , u = f(x), y = auln(a)u. 23a.) Funo Logaritmica: y = loga(u), u = f(x), y = ) a ln( u' u OBS. loga(e) = ) a ln(1. 24.) Funo Exponencial Geral: y = uv , u = f(x) e v = f(x), y = vuv-1u + uvn (u).v. REGRA DE LHOSPITAL Quando se tem para x = a (finito ou infinito) as funes f(x) e g(x) tendendo para zero ou infinito e fazendo com que o quociente ) x ( g) x ( f assuma a forma indeterminada 00 ou , ento ) x ( g) x ( flima x = ) x ( g) x ( flim''a x. 61 EXERCCIOS 23 Verifique em todos os exerccios anteriores sobre limites aqueles em que ocorrem indeterminaes do tipo 00 ou e aplique a Regra de LHospital. EXERCCIOS 24 1) Seja a funo y = f(x) = 2, calcule a derivada de f(x). R.: 0 2) Seja a funo y = sen(k), calcule a derivada de y. R.: 0 3) Seja a funo y = sen(kx), calcule a derivada de y. R.: cos(kx) k 4) Seja a funo y =x1 x +, calcule a derivada de y. R.: 1x + 1 xx2 5) Seja a funo y =xk, calcule a derivada de y. R.: kx2 6) Seja a funo y = x2, calcule a derivada de y. R.: 2x 7) Seja a funo y = (x+3)5, calcule a derivada de y. R.: 5 ( ) + x 34 8) Seja a funo f(x) = x3 5x2+2x-7, calcule a derivada de f(x). R.: + 3 x210 x 2 9) Seja a funo y = 1 x2+ , calcule a derivada de y. R.: x + x21 10) Seja a funo y = 4 3x 8 , calcule a derivada de y. R: 348( ) / 1 4x2( ) x3( ) / 3 4 11) Seja a funo y =2x, calcule a derivada de y. R.: 2 ( ) 2 x( ) ln 12) Seja a funo f(x) = ex+2 - ex, calcule a derivada de f(x). R.: e ee e( ) + x 2e ee ex 13) Seja a funo f(x) = ) x ( n , calcule a derivada de f(x). R.: 1x 14) Seja a funo f(x) = ) x 2 ( n2 , calcule a derivada de f(x). R.: 2x 15) Seja a funo f(x) = ) 1 x 2 x ( og2a+ , calcule a derivada de f(x). R.: ) a ln( ) 1 x 2 x (2 x 22+ 16) Seja a funo y = [ n (x)]x, calcule a derivada de y. 62 R.: ( ) ln x x |\

|||+ ( ) ln ( ) ln x1( ) ln x 17) Seja a funo y = xx, calcule a derivada de y. R.: xx( ) + ( ) ln x 1 18) Seja a funo y = sen(x2), calcule a derivada de y. R.: 2 ( ) cos x2x 19) Seja a funo y = sen2(x), calcule a derivada de y. R.: 2sen(x)cos(x) 20) Seja a funo y = cos( ) x ( n ), calcule a derivada de y. R.: ( ) sin ( ) ln xx 21) Seja a funo y = cos2(x), calcule a derivada de y. R.: -2sen(x)cos(x) 22) Seja a funo y = 1- cos2(x), calcule a derivada de y. R.: 2sen(x)cos(x) 23) Seja a funo f(x) = x3 x -1, calcule a derivada de f(x). R: 3 x21 24) Seja a funo f(x) = x2 , calcule a derivada de f(x). R.: 2x2 25) Seja a funo y = x1 x2+, calcule a derivada de y. R.: 2 x + x212 x( ) / 3 2 26) Seja a funo y = 2xex, calcule a derivada de y. R.: + 2 e ee ex2 x e ee ex 27) Seja a funo f(t) = t 3 , calcule a derivada de f(t). R.: 32 t 28) Seja a funo f(x) = ) x ( n2 , calcule a derivada de f(x). R.: 2x 29) Seja a funo f(x) = x , calcule a derivada de f(x). R.: x( ) ln 30) Seja a funo y = log(x2 + 1), calcule a derivada de y. R.: 2 x( ) + x21 ( ) ln 10 31) Seja a funo y = 1 xx+, calcule a derivada de y. R.: x( ) + 1 x|\

|||+ ( ) ln x + 1 xx 32) Seja a funo y = x - ) e ( nx + 2sen(), calcule a derivada de y. R.: 0 33) Seja a funo y = sen(5x), calcule a derivada de y. R.: 5 ( ) cos 5 x 63 34) Seja a funo y = x2 + ex , calcule a derivada de y. R.: + 2 x e ee ex 35) Seja a funo z = f(y) = cos(y2) + y5, calcule a derivada de z. R.: + 2 ( ) sin y2y 5 y4 36) Seja a funo f(t) = t3 + t2 + ) t ( n , calcule a derivada de f(t) no ponto t = 1, ou seja, 1 tdt) t ( df=. R.: 6 37) Seja a funo g(x) = x.ex. ) x ( n + sen(ex), calcule a derivada de g(x). R.: + + + e ee ex( ) ln x x e ee ex( ) ln x e ee ex( ) cos e ee exe ee ex 38) Seja a funo y = 1 x2+ , calcule a derivada de y. R.: x + x21 39) Seja a funo y = 3x , calcule a derivada de y. R.: 13 x( ) / 2 3 40) Seja a funo y = 2x, calcule a derivada de y. R.: 2 ( ) 2 x( ) ln 41) Um balo esfrico est sendo inflado. Determine a taxa na qual o volume V do balo varia em relao ao seu raio R. 42) Seja a funo y = f(x) = x , calcule a derivada de y. R.: 12 x 43) Calcule o valor da derivada obtida no item anterior no ponto x = 4, ou seja, 4 xdx) x ( df=. R.: 1/4 44) Seja a funo y = f(x) = 5 x 42 x x 322++ , calcule a derivada de y. R.: 6 x 1 + 4 x258 ( ) + 3 x2x 2 x( ) + 4 x252 64 45) Calcule o valor da derivada obtida no item anterior no ponto x = 0, ou seja, 0 xdx) x ( df=. R.: -1/5 46) Determine a equao da tangente (reta tangente) ao grfico da funo f(x) = 2x 15+no ponto com coordenadas (-2, 1), ou melhor, no ponto P(-2, 1). 47) Determine a equao da tangente ao grfico da funo f(x) = 3x2 -2 x no ponto com coordenadas (4, 44), ou melhor, no ponto P(4, 44). 48) Seja a funo y = f(x) = sen(x+1).cos(x-1), calcule o valor da derivada de y no ponto x = 0. R.: 1 49) Seja a funo y = arctg(x 1x 1+), calcule o valor da derivada de y no ponto x = 0. 50) Calcule o coeficiente angular da tangente curva y = x2 -5x + 7 no ponto x = 0. 51) Calcule a inclinao da curva y = 10x no ponto x = 2. 52) Determine as coordenadas dos pontos da curva y = x3 + 2x2 4x + 5 em que a tangente a curva, nesses pontos, : a) horizontal; b) paralela reta 2y + 8x = 5. 53) Seja y = f(x) = ) x cos( 1) x ( sen+, calcule y. 54) Seja a funo g(x) = sec(x).tg(x), calcule g(x). 55) Determine o coeficiente angular das tangentes curva y = sen(x) nos pontos com abscissas: x = 0, x = 3, x = 2, x = 32 e . 56) Determine a equao da normal curva y = tg(x) no ponto P(4, 1). 57) De um balo a 150 m acima do solo cai um saco de areia. Desprezando-se a resistncia do ar, a distncia s(t) do solo ao saco em queda, aps t segundos dada por s(t) = -4,9t2 + 150. Determinar a velocidade do saco nos seguintes casos: a) quando t = a segundos; 65 b) quando t = 2 segundos; c) quando s = 0 (distncia ao solo); 58) Uma funo densidade de probabilidade, f(x), de uma varivel aleatria X corresponde derivada da funo distribuio de probabilidade, F(x), dessa varivel aleatria. Sendo assim, se F(x) = 1 - x 11+ x > 0, calcule a funo densidade de probabilidade de X. 59) Uma funo densidade de probabilidade, f(x), de uma varivel aleatria X corresponde derivada da funo distribuio de probabilidade, F(x), dessa varivel aleatria. Sendo assim, se F(x) = 1 e-5x x > 0, calcule a funo densidade de probabilidade de X. 60) Calcule a funo densidade de probabilidade, f(x), da varivel aleatria X dada a funo distribuio de probabilidade F(x) = a ba x x [a; b] e a < b. 61) Calcule a funo densidade de probabilidade, f(x), da varivel aleatria X dada a funo distribuio de probabilidade F(x) = x com x [0; 1]. 66 4. INTEGRAL 4.1- Definies e Integrais Imediatas Funo Primitiva: Dada uma funo f(x) definida no intervalo [a; b], chama-se funo primitiva de f(x) a toda funo F(x), tambm definida em [a; b] e cuja derivada F(x) = f(x) em todo intervalo [a; b]. Toda funo contnua admite uma primitiva. Teorema: Se F(x) uma primitiva de f(x), ento F(x) + c onde c uma constante , tambm, uma primitiva de f(x). 4.2- Integral Indefinida Como j se definiu, dada uma funo f(x) definida no intervalo [a; b], chama-se funo primitiva de f(x) a toda funo F(x), tambm definida em [a; b] e cuja derivada F(x) = f(x) em todo intervalo [a; b]. E, se sabe que toda funo contnua admite uma primitiva. Ento, a integral indefinida de f(x) a integral mais geral da funo f(x), isto , + = C ) x ( F dx ) x ( f onde F(x) a uma funo tal que F(x) = ) x ( fdx)) x ( F ( d= e C uma constante arbitrria. Integrais Imediatas: 1.) dx = x + c 2.) dx xm= 1 mx1 m+++ c 3.) du um= 1 mu1 m+++ c com u = f(x). 4.) dx x = dx x2 / 1= 3x32 + c. 67 5.) du u = du u2 / 1= 3u32 + c , com u = f(x). 6.) ua du = ) a ( nau+ c , com u = f(x). 7.) ) a ( n au du = au + c , com u = f(x). 8.) ue du = eu + c , com u = f(x). 9.) udu= ) u ( n + c , com u = f(x). 10.) du ) u cos( = sen(u) + c , com u = f(x). 11.) du ) u ( sen = -cos(u) + c , com u = f(x). 12.) du ) u ( sec2= tg(u) + c , com u = f(x). 13.) du ) u ( ec cos2= -cotg(u) + c , com u = f(x). 14.) 2du1 u = arcsen(u) + c , com u = f(x). ou 2du1 u = -arccos(u) + c , com u = f(x). 15.) 2du1 u += arc tg(u) + c , com u = f(x). ou 2du1 u += -arc cotg(u) + c , com u = f(x). EXERCCIOS 25: INTEGRAL INDEFINIDA. 1) Seja f(x) = x, calcule a integral indefinida de f(x). R: x22 2) Seja f(x) = x1, calcule a integral indefinida de f(x). R: 2 x 3) Calcule a integral indefinida axe dx, com a R. R: e ee e( ) a xa 4) Seja y = 2cos(x), calcule a integral indefinida de f(x). R: 2sen(x 5) Calcule a integral indefinida x3dx. R: 3 ( ) ln x 6) Seja f(x) = 5x4, calcule a integral indefinida de f(x). R: x5 68 7) Seja y = -2x3, calcule a integral indefinida de y. R: x42 8) Calcule a integral indefinida ) x ( sen dx. R: ( ) cos x 9) Calcule a integral indefinida 2dx4 4x R: 12( ) arcsin x 10) Seja o polinmio f(x) = x2 -2x + 5, calcule a integral indefinida de f(x). R: + 13 x3x25 x 11) Calcule a integral indefinida 5 dx. R: 5x 12) Calcule a integral indefinida 2dx. R: x/2 13) Calcule a integral indefinida 3x dx. R: x4/4 14) Calcule a integral indefinida 5x 2 dx. R: x6/3 15) Calcule a integral indefinida 5x1dx. R: 61 x6 16) Calcule a integral indefinida x 3 dx. R: 2 x( ) / 3 2 17) Calcule a integral indefinida 3x34dx. R: x( ) / 4 3 18) Calcule a integral indefinida 3xdx. R: 12 x2 19) Calcule a integral indefinida3 / 2x35dx. R: x( ) / 5 3 20) Calcule a integral indefinida3x 2 dx. R: 1x2 21) Calcule a integral indefinida 2 / 1x21dx. R: x 22) Calcule a integral indefinidax2 dx. R: 2x( ) ln 2 23) Calcule a integral indefinidax 10 3 dx. R: 2 x( ) / 3 210 24) Calcule a integral indefinidax 3e 3 dx. R: e ee e( ) 3 x 25) Calcule a integral indefinida) x ( sene cos(x)dx. R: e ee e( ) sin x 69 26) Calcule a integral indefinida 2xxdx 2. R: 2 ( ) ln x 27) Calcule a integral indefinida xe 3 dx. R: 3 e ee ex 28) Calcule a integral indefinida xe 2 dx. R: 2 e ee e( ) x 29) Calcule a integral indefinida x 2e dx. R: 12e ee e( ) 2 x 30) Calcule a integral indefinida xedx 2. R: 2 e ee e( ) x 31) Calcule a integral indefinida ) x ( sen) x cos(dx. R: ln(sen(x)) 32) Calcule a integral indefinida +1 xxdx 22. R: ( ) ln + x21 33) Calcule a integral indefinida ) x ( n xdx. R: ( ) ln ( ) ln x 34) Calcule a integral indefinida dx ) x 2 cos( 2 . R: sen(2x) 35) Calcule a integral indefinida xdx 2 ) x ( sen2. R: ( ) cos x2 36) Calcule a integral indefinida dx ) x 3 ( sen 3 . R: cos(3x) 36) Calcule a integral indefinida dx ) x ( sec 22. R: 2 ( ) sin x( ) cos x 37) Calcule a integral indefinida dx ) x ( ec cos 22. R: 2 ( ) cos x( ) sin x 38) Calcule a integral indefinida dx ) x 2 ( sec 22. 39) Calcule a integral indefinida dx ) x 2 ( sec2. 40) Calcule a integral indefinida 2x 1dx 2. R: 2 ( ) arcsin x 41) Calcule a integral indefinida +2x 1dx 3. R: 3 ( ) arctan x 42) Calcule a integral indefinida +2x 2 2dx. R: 12( ) arctan x 43) Calcule a integral indefinida 2x 9 9dx. R: 13( ) arcsin x 44) Calcule a integral indefinida + + dx ) 1 x x (2. R: + + 13 x312 x2x 70 45) Calcule a integral indefinida + dx ) 1 x 2 ( . R: + x2x 46) Calcule a integral indefinida dx ) x 2 x 8 x 6 (3 5. R: x62 x4x2 47) Calcule a integral indefinida + +dx ) 1 x e e (x x. R: + e ee exe ee e( ) x x22 x 48) Calcule a integral indefinida + dx ) x 3x1x1(2. 49) Calcule a integral indefinida + dx ) 2 e (x x. 50) Calcule a integral indefinida + dx )) x ( sen ) x (cos( . 51) Calcule a integral indefinida dx )) x ( ec cos ) x ( (sec2 2. 52) Calcule a integral indefinida ++dx )) x ( secx 11(22. 53) Calcule a integral indefinida ++dx )) x ( ec cosx 11(22. 54) Calcule a integral indefinida dx )x 11) x (cos(2. 55) Calcule a integral indefinida dx ) x ( tg . 56) Calcule a integral indefinida dx )2x( sec2. 57) Calcule a integral indefinida + xdx . x 32. 4.3- Integral Definida Teorema Fundamental do Clculo Sejam F(x) e sua derivada F(x) = ) x ( fdx)) x ( F ( d= funes injetoras e contnuas no intervalo [a; b]. Ento, se o intervalo for dividido em n subintervalos de comprimento 1x, 2x, 3x, ..... , nx e se for inseridos os n 1 pontos 1 n 3 2 1, . . . . , , , entre a e b, de forma que se tenha a < b , . . . . ,1 n 2 1< < < < < e fazendo a = 0 e b = n , em cada subintervalo e selecionando-se um ponto x1 no intervalo ( ) ,1 0 , x2 em ( ) ,2 1 ............................. xn em ( ) ,1 n 1 n forma-se a soma: 71 Sn = =n1 ik ix ) x ( f = f(x1)1x + f(x2)2x + ....... +f(xn)nx. Assim, quando n aumenta indefinidamente, de modo que quando kx 0 o limite da soma ser: = n1 ik ix ) x ( fnim = =baab) x ( F dx ) x ( f = F(b) F(a) EXERCCIOS 26: INTEGRAL DEFINIDA. 1) Dada a funo f(x) = x2, calcule a integral definida de f(x) de 0 a 4, ou seja, 402dx x . R: 643 2) Dada a funo y = sen(x), calcule a integral definida de y de 0 a 2, ou seja, 2 /0dx ) x ( sen . R: 1 3) Dada a funo f(x) = x5, calcule a integral definida 205dx x . R: 32/3 4) Dada a funo f(z) = 3z calcule a integral definida 103dz z . R: 3 2( ) / 1 32 5) Dada a funo y = au, calcule a integral definida 20udu a . R: + 1 a2( ) ln a 6) Dada a funo f(s) = (3s + 4)2, calcule a int. def. 4/325(3s 4) ds+. 7) Dada a funo f(s) = (3s + 4)2, calcule a integral definida 524/3(3s 4) ds+. 8) Calcule 13dx . R: 4 9) Calcule 122dx x . 10) Calcule 0dx ) x ( sen . R: 2 11) Calcule 21 xdx. R: ln(2) 72 12) Calcule 0dx ) x cos( 2 . R: 0 13) Calcule e1 xdx. R: 1 14) Calcule + 012x 1dx. R: 4 15) Calcule +332x 1dx. R: 0 16) Calcule 0dx ) x 2 cos( . 17) Calcule 0dx ) x 5 cos( . 18) Calcule 0dx ) x 2 ( sen . 19) Calcule 0dx ) x 3 ( sen . 20) Calcule 0dx ) x 6 ( sen . 21) Calcule 20dx ) x 2 cos( . 22) Calcule 20dx ) x 3 cos( . 23) Calcule 20dx ) x 2 ( sen . 24) Uma funo distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria contnua X pode ser obtida integrando-se a funo densidade de probabilidade do menor valor do contradomnio de X at um valor especfico x. Dada a funo densidade de probabilidade f(x) = 5e-5x x > 0. Determine a funo distribuio de X. 25) Uma funo distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria contnua X pode ser obtida integrando-se a funo densidade de probabilidade do menor valor do contradomnio de X at um valor 73 especfico x. Dada a funo densidade de probabilidade f(x) = 2) x 1 (1+ x > 0. Determine a funo distribuio de X. 26) Calcule a funo distribuio de probabilidade da varivel aleatria X, dado que a sua funo densidade de probabilidade f(x) = a b1 x [a; b] a < b. 27) Calcule a funo distribuio de probabilidade da varivel aleatria X, dado que a sua funo densidade de probabilidade f(x) = 1 x [0; 1]. 28) Calcule a funo distribuio de probabilidade da varivel aleatria X, dado que a sua funo densidade de probabilidade f(x) = e-x com x > 0, > 0. 29) Calcule a funo distribuio de probabilidade da varivel aleatria X, dado que a sua funo densidade de probabilidade f(x) = 1,5x2 com x [-1; 1]. 30) Uma funo densidade de probabilidade sempre no negativa, ou seja, f(x) > 0 e a integral definida da funo sempre igual a l. Ento, verifique se f(x) = 1,5x2 com x [-1; 1] uma funo densidade de probabilidade. 31) Verifique se a funo f(x) = 3e-3x com x (0; ), uma funo densidade de probabilidade. 32) Verifique se a funo f(x) = 1 com x [0; 1], uma funo densidade de probabilidade. 33) Verifique se a funo f(x) = 2) x 1 (1+ com x > 0, uma funo densidade de probabilidade. 34) Verifique se a funo f(x) = a b1 com x [a; b] a < b uma funo densidade de probabilidade. 74 35) Verifique se a funo f(x) = x2 com x [1; 5] uma funo densidade de probabilidade. 4.4- Mtodos de Integrao 4.4.1- Integrao por Partes O mtodo da integrao por partes baseado na seguinte regra: = vdu uv udv Sendo que na aplicao dessa regra deve-se separar o integrando em duas partes. Uma que o u e a outra que junto com dx o dv. Dessa forma existem duas regras gerais: 1.) a parte escolhida como dv deve ser de fcil integrao; 2.) a integral vdu deve ser mais simples do que udv . EXERCCIOS 27: INTEGRAO POR PARTES 1) Calcule a integraldx x xsen ) ( R: sen(x) xcos(x) + C 2) Calcule a integraldx xex R: (-1 + x)ex + C 3) Calcule a integral dx x n x2) ( R: C x91x n x313 3+ ) ( 4) Calcule a integral + dx x 1 x R: 2 ( ) + 1 x( ) / 3 2( ) + 2 3 x15+ C 5) Calcule a integral dx x arcsen )) ( R: xarcsen(x) + 2x 1+ C 6) Calcule a integral dx x xarcsen2) ( R: 2x 1x arcsen x2142 2+ ) ( + C 7) Calcule a integral dx x sen2) ( R: -2xx x sen21+ ) cos( ) ( + C 75 4.4.2- Integrais Trigonomtricas Nas integrais trigonomtricas so usadas as seguintes identidades trigonomtricas: 1.) sen2(x) + cos2(x) = 1 2.) 1 + tg2(x) = sec2(x) 3.) 1 + cotg2(x) = cosec2(x) 4a.) sen2(x) = ) cos( ( x 2 121 ) 5.) cos2(x) = ) cos( ( x 2 121+ 6.) sen(x)cos(x) = ) ( x 2 sen21 7.) sen(x)cos(y) = )] ( ) ( [ y x sen y x sen21+ + 8.) sen(x)sen(y) = )] cos( ) [cos( y x y x21+ 9a.) cos(x)cos(y) = )] cos( ) [cos( y x y x21+ + 10a.) 1 cos(x) = 2sen2(x/2) 11a.) 1 + cos(x) = 2cos2(x/2) 12a.) 1 + sen(x) = 1 + cos( ) x2 76 EXERCCIOS 28: INTEGRAIS TRIGONOMTRICAS 1) Calcule a integral dx x sen2) ( R: 2xx x sen21+ ) cos( ) ( + C 2) Calcule a integral dx x 32) ( cos R: C2xx 3 sen x 361+ + ) ( ) cos( 3) Calcule a integral dx x sen3) ( R: - C x31x3+ + ) ( cos ) cos( 4) Calcule a integral dx x5) ( cos R: C x sen51x sen32x sen5 3+ + ) ( ) ( ) ( 5) Calcule a integral dx x x sen3 2) ( cos ) ( R: C x sen51x sen315 3+ ) ( ) ( 6) Calcule a integral dx x 2 sen x 23 4) ( ) ( cos R:C x 2141x 21017 5+ + ) ( cos ) ( cos 7) Calcule a integral dx x 3 x 3 sen5 3) ( cos ) ( R: C x 3241x 31818 6+ + ) ( cos ) ( cos 77 4.4.3- Integrao por Substituies Trigonomtricas Quando o integrando da integral contm uma das formas 2 2 2u b a , 2 2 2u b a + , 2 2 2a u b e no possui nenhum outro fator irracional, pode-se fazer uma mudana de varivel no integrando envolvendo funes trigonomtricas. Ento, quando se tem: 2 2 2u b a muda-se u para u = ) (z senbae obtm-se a ) (z sen 12 = acos(z) 2 2 2u b a + muda-se u para u = ) (z tgbae obtm-se a ) (z tg 12+ = asec(z) 2 2 2a u b muda-se u para u = ) sec(zbae obtm-se a ) ) ( sec 1 z2 = atg(z) EXERCCIOS 29: SUBSTITUIES TRIGONOMTRICAS 1) Calcule a integral+2 2x 4 xdx R: Cx 4x 42++ 2) Calcule a integral dxx 4x22 R: C 4 x x n 2 4 x x212 2 2+ + + ) ( 3) Calcule a integral dxxx 4 92 R: 3 C x 4 9xx 4 9 3n22+ + ) ( 4) +2x 4 9 xdx R: ) (x3 x 4 9n312 + 78 INTEGRAIS RESPOSTAS Observe que se a integral INDEFINIDA adicione a constante de integrao c. 1) x22 2) 2 x 3) e ee e( ) a xa 4) 2sen(x) 5) 3 ( ) ln x 6) x5 7) x42 8) ( ) cos x 9) 1 x 10) + 13 x3x25 x 11) 5 x 12) x2 15) x66 16) 2 x( ) / 3 2 17) x( ) / 4 3 18) 12 x2 19) x( ) / 5 3 79 20) 1x2 21) x 22) 2x( ) ln 2 23) 2 x( ) / 3 210 24) e ee e( ) 3 x 25) esen(x) 26) 2 ( ) ln x 27) 3 e ee ex 28) 2 e ee e( ) x 29) 12e ee e( ) 2 x 30) 2e ee ex 31) ln(sen(x)) 32) ( ) ln + x21 33) ( ) ln ( ) ln x 34) sen(2x) 35) ( ) cos x2 36) ( ) cos 3 x 36) 2 ( ) sin x( ) cos x 37) 2 ( ) cos x( ) sin x 38) ( ) sin 2 x( ) cos 2 x REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS: 1. Ayres, Frank Jr. & Mendelson Clculo Dif. e Integral; 4. Edio, Coleo Schaum, Bookman, Porto Alegre, 2005. 2. Clculo: Funes de Uma Varivel. Morettin, P. A.; Bussab, W. O. & Hazzan, S. Atual Editora. 80