Apostila CCE v7(+simobologia)

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UNIVERSIDADE DO ESTADO SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila da Disciplina de Controle de Conversores Estáticos Prof. Alessandro Luiz Batschauer Joinville 2012

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UNIVERSIDADE DO ESTADO SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

ELÉTRICA

Apostila da Disciplina de Controle de Conversores Estáticos

Prof. Alessandro Luiz Batschauer

Joinville

2012

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Dedicatória

À minha esposa, À minha família e aos amigos.

Aos professores do NPEE e aos alunos de pós-graduação que contribuíram na escrita e concepção deste documento.

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Sumário 1 Introdução Geral 1

1.1 Introdução ____________________________________ 1 2 Conceitos de Modulação por Largura de

PulsosEquation Section (Next)[1] 3 2.1 Parêmtros da Modulação PWM ___________________ 3

2.1.1 Sinal de Referência ________________________ 3 2.1.2 Sinal de Portadora _________________________ 5 2.1.3 Modulador (Comparador) ___________________ 6 2.1.4 Geração de sinal complementar _______________ 7 2.1.5 Tempo Morto _____________________________ 8

2.2 Modulações para conversores cc-ca ________________ 9 2.2.1 Modulação por largura de pulso único ________ 10 2.2.2 Modulações PWM senoidais ________________ 13 2.2.3 Modulação Pwm Senoidal Bipolar ___________ 14 2.2.4 Modulação Pwm Senoidal Unipolar __________ 16 2.2.5 Modulação PWM Senoidal Por Portadora Com Simetria De Um Quarto De Onda __________________ 21 2.2.6 Modulação PWM Senoidal Dipolar __________ 22

2.3 Modulação com Três ou Mais Níveis ______________ 25 2.3.1 Modulação com Portadoras Dispostas em Fase (Phase Disposition – PD) ________________________ 25 2.3.2 Modulação com as Portadoras Dispostas em Oposição de Fase (Phase Opposition Disposition – POD) 26 2.3.3 Modulação com as Portadoras Dispostas em Oposição Alternada de Fase (Alternative Opposition Disposition – APOD) ___________________________ 27 2.3.4 Modulação com as Portadoras com Deslocamento de Fase (Phase Shifted – PS) _____________________ 28 2.3.5 Comparação Entre as Modulações ___________ 29 2.3.6 Exemplo de Modulação Híbrida _____________ 33

2.4 Modulação SHE ______________________________ 37 2.5 Modulação por Vetores Espaciais ________________ 37 2.6 Conclusão ___________________________________ 38

3 Revisão dos Conceitos Básicos de ControleEquation Section (Next) 40

3.1 Ações básicas dos controladores P, I, PI, PID _______ 40

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3.2 Conceito de pólo, zero, estabilidade ______________ 40 3.2.1 Diagrama de bode________________________ 40 3.2.2 Margem de fase _________________________ 58 3.2.3 Lugar das raízes _________________________ 65

4 Modelagem do conversor BUCK em condução contínuaEquation Section (Next) 75

4.1 Introdução __________________________________ 75 4.2 Modelagem do Conversor BUCK em Modo de Condução Contínua _______________________________________ 75 4.3 Modelo de Tensão do Conversor BUCK v(s) / d(s) __ 81

4.3.1 Simulação da Planta de tensão em função da razão cíclica V(s) / d(s) ______________________________ 84

4.4 Modelo de Corrente do Conversor BUCK I0(s) / d(s) _ 87 4.4.1 Simulação da Planta de corrente em função da razão cíclica I0(s) / d(s) ___________________________ 89

4.5 Modelo de Tensão em função da Corrente do Conversor BUCK V(s) / I0(s) ________________________________ 91

4.5.1 Simulação da Planta de tensão em função da corrente V(s) / I0(s) ____________________________ 93

4.6 Conclusões _________________________________ 95 5 Modelagem do conversor BOOST em condução

contínuaEquation Section (Next) 96 5.1 INTRODUÇÃO _____________________________ 96 5.2 CONVERSOR BOOST _______________________ 96 5.3 MODELO CONVERSOR _____________________ 99

5.3.1 Etapas de Operação BOOST condução contínua 99 5.3.2 Modelagem de pequenos sinais ____________ 100 5.3.3 Simulações ____________________________ 105

5.4 Conclusão _________________________________ 113 6 Modelagem do conversor BUCK-BOOST em

condução contínua 114 6.1 Introdução _________________________________ 114 6.2 Conversor buck-boost ________________________ 114

6.2.1 Primeira etapa __________________________ 115 6.2.2 Segunda etapa __________________________ 117 6.2.3 Valores médios em um período de comutação _ 118 6.2.4 Corrente média no capacitor ______________ 120 6.2.5 Perturbações ___________________________ 121 6.2.6 Termos constantes ______________________ 124

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6.2.7 Transformada de Laplace _________________ 124 6.2.8 Plantas do conversor _____________________ 125

6.3 Validação das plantas _________________________ 131 6.3.1 Parameter File __________________________ 131 6.3.2 AC Sweep _____________________________ 135 6.3.3 s-domain Transfer Function________________ 138 6.3.4 Validação da planta de tensão e corrente pela razão cíclica 140 6.3.5 Validação da planta de tensão e corrente pela tensão de entrada ___________________________________ 145

6.4 Conclusões _________________________________ 149 7 Modelagem do conversor BUCK-BOOST em

condução descontínuaEquation Section (Next) 149 7.1 Introdução __________________________________ 149 7.2 Modelo médio dos interruptores _________________ 150

7.2.1 Determinação dos valores médios ___________ 151 7.2.2 Construção do circuito equivalente __________ 155 7.2.3 Modelo para pequenos sinais _______________ 158

7.3 Simulação do Conversor Buck-Boost ____________ 165 7.4 Conclusão __________________________________ 168

8 Modelagem de conversor BUCK-BOOST 169 8.1 Controle de Conversores ______________________ 169

8.1.1 Critérios para o projeto de controladores de conversores estáticos no domínio da frequência ______ 169 8.1.2 Introdução ao uso do SISOTOOL ___________ 169 8.1.3 Controle do Conversor Buck MCC __________ 175 8.1.4 Controle do Conversor Boost CCM _________ 201 8.1.5 Conclusões _____________________________ 225

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Lista de Figuras Fig. 2.1 – Modulação com as portadoras dispostas em fase (Phase

Disposition – PD). ................................................................................. 26 Fig. 2.2 – Exemplo de modulação com as portadoras dispostas em

oposição de fase (Phase Opposition Disposition – POD). .................... 26 Fig. 2.3 – Exemplo de modulação com as portadoras dispostas em

oposição alternada de fase (Alternative Phase Opposition Disposition – APOD). ................................................................................................. 27

Fig. 2.4 – Exemplo de modulação com as portadoras com deslocamento de fase (Phase Shifted – PS). .......................................... 28

Fig. 2.5 – “Modulação PWM senoidal padrão” (Standard Sinusoidal Pulsewidth Modulation – SPWM) com injeção de componentes de sequência zero. ........................................................... 34

Fig. 2.6 – “Modulação PWM com dupla referência” (Double-Signal Pulsewidth Modulation – DSPWM). ......................................... 35

Fig. 2.7 – Modulação híbrida proposta por Zaragoza (Hybrid Pulsewidth Modulation – HPWM). ...................................................... 36

Fig. 2.8 – Exemplo de modulação híbrida empregando frequências distintas para cada célula de conversor em ponte completa. (a) Tensão de saída sintetizada por um dos inversores. (b) Sinal de referência e portadoras empregadas para determinar os pulsos de comando do segundo inversor. .............................................................. 37

Fig. 8.1 - Janela “Control and estimation Tool Manager”........ 170 Fig. 8.2 - Opções de unidade SISOTOOLS ............................. 171 Fig. 8.3 - Aparência dos compensadores .................................. 171 Fig. 8.4- Seleção da arquitetura de controle ............................. 171 Fig. 8.5 - Edição dos dados da planta ....................................... 171 Fig. 8.6 - Edição do compensador ............................................ 172 Fig. 8.7 - Opções de ajuste gráfico ........................................... 173 Fig. 8.8 - Ajuste gráfico do compensador – planta original ..... 174 Fig. 8.9 - situação da planta após a edição do compensador .... 174 Fig. 8.10 – Malha de controle da tensão de saída do conversor

Buck. ................................................................................................... 175 Fig. 8.11 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de

tensão Buck sem compensação. .......................................................... 177 Fig. 8.12 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de

tensão Buck com compensação. .......................................................... 178 Fig. 8.13 – Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul)

para degrau de +15%. ......................................................................... 179

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Fig. 8.14 - Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul) para degrau de -15%. ........................................................................... 180

Fig. 8.15 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 kHz (azul). ........................................................................................... 180

Fig. 8.16 - Malha de controle da corrente do indutor do conversor Buck. ................................................................................................... 181

Fig. 8.17 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de corrente do conversor Buck sem compensação. .................................. 182

Fig. 8.18 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de corrente do conversor Buck com compensação. ................................. 183

Fig. 8.19 – Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para degrau de +15%. .......................................................................... 184

Fig. 8.20 - Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para degrau de -15%. ........................................................................... 185

Fig. 8.21 - Corrente no indutor (vermelho) e referência senoidal de 1 kHz (azul). ................................................................................... 186

Fig. 8.22 - Malha de controle de corrente e tensão do conversor Buck. ................................................................................................... 186

Fig. 8.23 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão do conversor Buck sem compensação considerando FTMFi simplificada. ........................................................................................ 188

Fig. 8.24 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão do conversor Buck sem compensação considerando FTMFi completa. ............................................................................................. 189

Fig. 8.25 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão do conversor Buck com compensação. .................................... 190

Fig. 8.26 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) .................................................................................. 191

Fig. 8.27 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) .................................................................................. 192

Fig. 8.28 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 kHz (azul). ........................................................................................... 192

Fig. 8.29 – quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente de referência (verde) e Tensão na entrada do modulador (Roxo) para redução de 50% da carga. ............................................................................................................. 194

Fig. 8.30 – Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) para incremento de 50% da carga. .............................................................. 195

Fig. 8.31 – Malha de controle do converso Buck em modo corrente. ............................................................................................... 195

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Fig. 8.32 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo corrente do conversor Buck sem compensação. ....................... 196

Fig. 8.33 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo corrente do conversor Buck com compensação. ....................... 197

Fig. 8.34 - Circuito simulado no PSIM para avaliação do controle em modo corrente do conversor Buck ................................................ 198

Fig. 8.35 - Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) .................................................................................. 198

Fig. 8.36 -Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) .................................................................................. 199

Fig. 8.37 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 kHz (azul). .......................................................................................... 200

Fig. 8.38 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para redução de 50% da carga............ 200

Fig. 8.39 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para aumento de 50% da carga. ......... 201

Fig. 8.40 - Malha de controle de tensão do conversor Boost ... 202 Fig. 8.41 – Diagrama de bode da FTMA do controle de tensão do

conversor Boost sem compensação. .................................................... 203 Fig. 8.42 - Diagrama de bode da FTMA do controle de tensão do

conversor Boost compensada. ............................................................. 204 Fig. 8.43 – Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul)

para degrau de +15%. ......................................................................... 205 Fig. 8.44 – Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul)

para degrau de -15%. .......................................................................... 206 Fig. 8.45 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de

100 Hz (azul)....................................................................................... 206 Fig. 8.46 – Malha de controle de corrente do conversor Boost. 207 Fig. 8.47 - Diagrama de Bode da FTMA do controle de corrente

do conversor Boost sem compensação. ............................................... 207 Fig. 8.48 - Diagrama de Bode da FTMA do controle de corrente

do conversor Boost com compensação. .............................................. 208 Fig. 8.49 – Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul)

para degrau de +15%. ......................................................................... 209 Fig. 8.50 - Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul)

para degrau de -15%. .......................................................................... 210 Fig. 8.51 – Corrente no indutor (vermelho) e referência senoidal

de 1 kHz (azul). ................................................................................... 210

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Fig. 8.52 – Diagrama de controle de corrente e tensão do conversor Boost MCC ......................................................................... 211

Fig. 8.53 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de corrente simplificada do conversor Boost. ........................................................ 212

Fig. 8.54 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de corrente simplificada do conversor Boost com compensação. .......................... 212

Fig. 8.55 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de tensão do conversor Boost para o controle em cascata........................................ 214

Fig. 8.56 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de tensão compensada do conversor Boost para o controle em cascata. ............. 215

Fig. 8.57 – Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) para degrau de +15% ................................................................................... 216

Fig. 8.58 – Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) para degrau de -15%. .................................................................................. 216

Fig. 8.59 Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente no indutor para degrau de +/- 50% da carga ................................................................................. 217

Fig. 8.60 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 500 Hz (azul). ...................................................................................... 218

Fig. 8.61 – Malha de controle do converso Boost em modo corrente. ............................................................................................... 218

Fig. 8.62 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo corrente do conversor Boost sem compensação. ....................... 219

Fig. 8.63 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo corrente do conversor Boost com compensação. ...................... 220

Fig. 8.64 - Circuito simulado no PSIM para avaliação do controle em modo corrente do conversor Boost ................................................ 221

Fig. 8.65 - Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) .................................................................................. 222

Fig. 8.66 - Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) .................................................................................. 223

Fig. 8.67 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 kHz (azul). ........................................................................................... 223

Fig. 8.68 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para redução de carga de 50% ........... 224

Fig. 8.69 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para aumentos de carga de 50% ........ 225

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Lista de Tabelas Tabela 2.1 – Comparação das distorções harmônicas e das perdas

de comutação entre as modulações PD, POD, APOD e PS para um inversor trifásico em cascata com cinco níveis. .................................... 33

Tabela 2.2 – Comparação entre as modulações SPWM e DSPWM .............................................................................................................. 35

Tabela 3 - Especificações do conversor ................................... 131 Tabela 4 – Parâmetros do modelo de pequenos sinais das chaves

em MCD. ............................................................................................ 163 Tabela 5 – Parâmetros utilizados para a simulação. ................. 165 Tabela 8.1 - Parâmetros do conversor Buck ............................. 175 Tabela 8.2 – Coeficientes do controlador de tensão do conversor

Buck. ................................................................................................... 178 Tabela 8.3 – Coeficientes do controlador de corrente do

conversor Buck. .................................................................................. 183 Tabela 8.4 – Coeficientes do controlador de tensão do controle

em cascata do conversor Buck. ........................................................... 190 Tabela 8.5 – Coeficientes do controlador de tensão do controle

em modo corrente do conversor Buck. ............................................... 197 Tabela 8.6 - Parâmetros do conversor Boost ............................ 201 Tabela 8.7 – Coeficientes do controlador de tensão do conversor

Boost. .................................................................................................. 204 Tabela 8.8 – Coeficientes do controlador de corrente do

conversor Boost. ................................................................................. 208 Tabela 8.9 – Coeficientes do controlador de corrente para o

controle em cascata do conversor Boost. ............................................ 213 Tabela 8.10 – Coeficientes do controlador de tensão do controle

em cascata do conversor Boost. .......................................................... 214 Tabela 8.11 – Coeficientes do controlador de tensão do controle

em modo corrente do conversor Buck. ............................................... 220

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Simbologia

Símbolos adotados nos Equacionamentos

Símbolo Descrição Unidade

mA Amplitude da onda moduladora V

pA Amplitude da onda portadora V

0,nA A Coeficientes do numerador -

nb Valor de pico da componente harmônica de ordem “n” da forma de onda

-

1b Componente fundamental da tensão de saída do inversor 3 níveis

-

0,nB B Coeficientes do denominador -

( ), ( )C s R s Função de transferência de malha fechada -

( )C s Controlador/Compensador -

2( )C s Controlador de tensão do controle em cascata - DHT Distorção Harmônica Total -

D Valor da razão cíclica - ( )d t Valor da razão cíclica -

( )d s Razão cíclica -

( )id t Pequenos sinais de razão cíclica (perturbação) -

1 2 3( ), ( ), ( )d t d t d t

Subintervalos (representa razão cíclica do

conversor) -

ξ Coeficiente de amortecimento -

iξ Coeficiente de amortecimento -

Rξ Coeficiente de amortecimento - E Tensão de entrada do conversor boost V ( )e t Tensão de entrada do conversor boost V

( )e s Variação na razão cíclica sobre a corrente no indutor

-

pf Freqüência da onda portadora Hz

mf Freqüência da onda moduladora senoidal Hz

of Freqüência fundamental de saída Hz

cf Freqüência de comutação Hz

1 2,f f Freqüência de chaveamento Hz

bvFTMA Função de transferência de malha aberta -

Page 15: Apostila CCE v7(+simobologia)

1FTMA Função de transferência de malha aberta -

1FTMF Função de transferência de malha fechada -

1 1( ), ( )G s H s Função de transferência de malha aberta -

( )G jω Função de transferência genérica -

MG Margens de ganho - ( ), ( )G j H jω ω

Função de transferência -

PWMG Função de transferência do modulador por largura de pulso

-

( ), ( ),v iG s G s Plantas de variação da razão cíclica - ( ), ( )

g giv vvG s G s

Plantas de variação da razão cíclica -

1g Parâmetros da função de transferência -

vdG Ganho da função de transferência da saída para razão cíclica

-

0dG Ganho da função de transferência da saída para entrada

-

( )iH s Função de transferência de corrente -

( )vH s Função de transferência de tensão -

ci Corrente no capacitor A

Li Corrente no indutor A

ri Corrente no resistor A

gi Corrente da fonte de entrada A

cmedi Corrente média do capacitor A

pki Corrente de pico A

1( )i t Corrente na entrada A

2( )i t Corrente no diodo A

1( )i t< > Corrente média nos terminais A

( )LI t Corrente no indutor A

oI Corrente de saída A

1j Parâmetros da função de transferência -

oK Ganho da função de transferência determinado na freqüência ω =1rad/s

-

K Valor de ganho do sistema -

1K Ajuste de ganho -

Page 16: Apostila CCE v7(+simobologia)

L Indutor/indutância H

iM Índice de modulação (profundidade) -

fM Modulação de freqüência -

am Índice de modulação de amplitude - m Número de zeros - n Numero de pólos - n Ordem da função de transferência - n Ordem da componente harmônica -

jp Numero de pólos da função de transferência -

,R Rp z Pólos e zeros reais -

oP Potência de saída W

( ) Tsp t< > Potência média W

1q Área da corrente 1( )i t durante o intervalo 1t A.s

2q Área da corrente 2( )i t no intervalo 2t A.s

1 2,r r Pontos de partida (do LGR) -

oR Resistor Ω

eR Resistência efetiva Ω

1r Resistência de entrada para pequenos sinais Ω

2r Resistência de saída Ω Ω Freqüência Hz

1( )T s Função de transferência de malha fechada - T Período S

sT Período de comutação S

cT Razão cíclica multiplicada pelo período DTs -

iV Tensão de entrada V

1V Tensão fundamental para modulação bipolar V

oV Nível médio presente na tensão ca V

nV Amplitude da componente harmônica de tensão de ordem “n”

V

, ,a b cv v v Tensão das fases A,B,C V

' ' ', ,a b cv v v Tensão das fases A,B,C modificadas pela seqüência zero

V

ov Tensão de seqüência zero V

iv Sinais de referência,onde i pode ser as fases A,B,C -

ipv Sinais de referência positiva do modulador -

Page 17: Apostila CCE v7(+simobologia)

DSPWM

inv Sinais de referência negativa do modulador DSPWM

-

gV Tensão de entrada V

V Tensão de saída V

LV Tensão no indutor V

cV Tensão no capacitor V

gv Tensão da fonte de entrada V

( )sV Planta de tensão V

( )v s Tensão de saída V

oV Tensão de saída V

Lmedv Tensão média no indutor V

mV Tensão de pico a pico da portadora V

cV Tensão no componente V

1( )v t Tensão de entrada V

( )iv t Pequenos sinais alternados (perturbações) V

1V Tensão média aplicada no transistor V

1 2( ) , ( )v t v t< > < >

Tensões médias nos terminais V

WTHD Distorção harmônica total de primeira ordem - Wcg Freqüência de cruzamento de ganho Hz Wcp Freqüência de cruzamento de fase Hz

1y Erro em regime para entrada do tipo degrau unitário

-

iZ Impedância Ω α Ângulo da modulação por largura de pulso única Rad φ Fase da função de transferência Rad γ Numero de zeros ou pólos na origem -

0dBω Freqüência em que o modulo de ( ), ( )G j H jω ω é

igual a 1 Hz

γ Ângulo formado entre a reta e o eixo real Rad

oσ Ponto onde a reta intercepta o eixo real -

pω Freqüência de corte do pólo Rad/s

Page 18: Apostila CCE v7(+simobologia)

Símbolos Usados para Referenciar Elementos de Circuitos

Símbolo Descrição C Capacitor D Diodo L Indutor R Resistor S Interruptor

Símbolos de Unidades de Grandezas Físicas

Símbolo Descrição A Ampère H Henry V Volt W Watt Ω Ohm

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Introdução Geral 1

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

1 Introdução Geral

1.1 Introdução

O processamento eletrônico da energia elétrica está cada vez mais presente nas residencias, no comércio, indústria, na geração de energia, enfim, no dia a dia das pessoas de um modo geral, independente da profissão desempenhada.

A geração de energia elétrica a partir de fontes renováveis como a energia dos ventos (aerogeradores), a solar (painéis fotovoltaicos), o hidrogênio (células combustível), bem como o armazenamento de energia em supercapacitores, sistemas de massa girante (Flywheel), baterias, entre outros, empregam conversores estáticos no processamento da energia. O acionamento de sistemas motrizes como os empregados na tração de trens e navios, sistemas de ventilação, sistemas de bombeamento de fluidos também são, hoje em dia, realizados por conversores eletrônicos. As fontes de alimentação, cada vez mais eficientes e compactas, também estão presentes no dia-a-dia dos seres humanos, em seus computadores, tablets, celulares, aparelhos de televisão, sistemas de iluminação (xênon, led, fluorescentes). Enfim, independente da profissão, cultura ou idologia, o processamento eletrônico da energia está presente na vida das pessoas, de uma forma em geral.

E o que estes sistemas que processam energia nas mais diversas áreas da indústria, comércio, resisdências e transporte têm em comum? A necessidade, em maior ou menor grau, de controle de variáveis como tensão ou corrente, as quais, por sua vez, atuarão diretamente no processo em questão, seja ele o posicionamento e a velocidade de um motor ou uma luminosidade de uma lâmpada. Estes sistemas necessitam de controle em virtude da incerteza existente em realação aos parâmetros que compõe os conversores, como: os valores de tensão e corrente de entrada, da carga, bem como dos componentes elétricos ativos e passivos que são usados na confecção dos conversores. Para que os conversores estáticos possam desempenhar com excelência o processamento da energia, independente das variações dos parâmetros citados, é necessário um projeto adequado deste sistema de controle.

A concepção do projeto de controle de um conversor estático, por sua vez, depende de diversor fatores:

• O tipo do conversor; • O modo de operação do conversor; • A modulação empregada;

Page 20: Apostila CCE v7(+simobologia)

2 Introdução Geral

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

• O modelo da carga; • A dinâmica da carga e do conversor.

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Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 3

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos[1]

Na maioria das aplicações industriais envolvendo conversores estáticos a carga a ser acionada é do tipo motriz. Neste tipo de aplicação, a variação de velocidade no motor a ser acionado é uma característica muito desejável. Isso é possível controlando a tensão na saída, no caso de motores cc ou controlando a tensão e a frequência, no caso de motores ca. Para isso, utilizam-se conversores cc-cc e cc-ca.

Uma técnica largamente aplicada nesses acionamentos é a modulação por largura de pulso, que consiste na comparação de dois sinais de tensão, um de baixa frequência (referência) e o outro de alta frequência (portadora), resultando em um sinal alternado com frequência fixa e largura de pulso variável.

2.1 Parêmtros da Modulação PWM

A Modulação por Largura de Pulso (Pulse Width Modulation - PWM) é comumente composta de parâmetros de circuitos:

• Sinal de Referência; • Sinal de Portadora; • Modulador • Geração de Sinal Complementar • Tempo Morto

Os quais serão detalhados na sequência.

2.1.1 Sinal de Referência

Para se obter um sinal na saída de um conversor chaveado com a forma desejada, é necessário modulá-lo em alta freqüência. Este sinal a ser modulado é chamado sinal de referência, o qual é a imagem da tensão (ou corrente) de saída buscada.

Nos conversores CC-CC, a referência é um sinal de tensão contínuo, pois o que se deseja obter é justamente uma tensão contínua na saída do conversor, conforme Fig. 2.1.

Page 22: Apostila CCE v7(+simobologia)

4 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 2.1 – Sinal de referência para um conversor CC-CC

Já nos conversores CC-CA o sinal de referência é senoidal, pois o que se busca na saída é uma tensão alternada. Portanto, se é desejado uma frequência de 60Hz na saída, deve-se aplicar um sinal de referência com as mesmas características, conforme Fig. 2.2.

Em conversores CC-CA Trifásicos existe a necessidade de utilização de três sinais senoidais defasados de 120o.

Fig. 2.2 – Sinal de referência para um conversor CC-CA

Fig. 2.3 - Sinais de referência para um conversor CC-CA Trifásico

Page 23: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 5

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2.1.2 Sinal de Portadora

É um sinal de alta frequência, na ordem de KHz o qual é responsável pela definição da frequência de comutação e pela razão cíclica. Este sinal deve possuir uma freqüência no mínimo duas vezes maior que o sinal de referência (Teorema de Shannon), mas na prática, é necessário pelo menos 10 vezes para que se tenha uma boa reprodução do sinal na saída do conversor. Este sinal será responsável pela frequência de comutação dos interruptores (semicondutores) do circuito de potência do acionamento.

Em conversores CC-CC, é utilizado um sinal dente-de-serra como portadora, conforme Fig. 2.3. Já em Conversores CA-CA, normalmente utiliza-se como portadora um sinal triangular, conforme Fig. 2.5.

Fig. 2.4 – Sinal dente de serra

Fig. 2.5 – Sinal triangular

Page 24: Apostila CCE v7(+simobologia)

6 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2.1.3 Modulador (Comparador)

É o circuito responsável por comparar o sinal de referência com a portadora. A largura do pulso na saída do modulador varia de acordo com a amplitude do sinal de referência em comparação com o sinal portador. Tem-se assim a modulação por largura de pulso – PWM, do inglês Pulse Width Modulation.

Na Fig. 2.6 tem-se um exemplo de circuito modulador.

Fig. 2.6 – Geração de Sinal Modulado

As formas de onda nas entradas e saída do comparador, para um conversor CC-CC, estão demonstradas na Fig. 2.7.

Na Fig. 2.8 podemos ver as formas de onda para um conversor CC-CA.

Em conversores trifásicos, utilizam se 3 moduladores PWM.

Page 25: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 7

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

0-1

12345

Vref V2

0 0.0002 0.0004 0.0006Time (s)

0

0.4

0.8

Vout

Fig. 2.7 - Sinal de referência (Vref), sinal da portadora (V2) e sinal de

saída do modulador (Vout) para um conversor cc-cc.

Fig. 2.8 - Sinal de referência (Vref), sinal da portadora(V2) e sinal de saída do modulador para um conversor cc-ca.

2.1.4 Geração de sinal complementar

O sinal complementar é necessário quando, por exemplo, existem dois interruptores (semicondutores) configurados em braço. O acionamento dos interruptores é feito de maneira inversa, ou seja,

Page 26: Apostila CCE v7(+simobologia)

8 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

quando Q1 conduz, Q2 está bloqueado (não está em conduzindo), quando Q2 conduz, Q1 fica bloqueado e assim sucessivamente.

O sinal complementar consiste em inverter o sinal modulador. Para isso, pode-se utilizar uma porta lógica inversora (NOT), conforme Fig. 2.9.

Fig. 2.9 - Obtenção do sinal complementar.

2.1.5 Tempo Morto

Na configuração de interruptores em braço, já apresentada na Fig. 2.9, é necessário assegurar que dois interruptores de um mesmo braço não sejam acionados ao mesmo tempo, evitando a queima dos mesmos. Para evitar um efeito de curto-circuito no braço do acionamento, um tempo morto Tm (Fig. 2.10) deve ser introduzido. O tempo morto é medido desde o instante em que um semicondutor comuta para seu estado bloqueado até o instante em que o semicondutor oposto comuta para o seu estado de condução, garantindo o bom funcionamento e segurança do acionamento.

Fig. 2.10 - Circuito típico para a obtenção do tempo morto.

Page 27: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 9

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

O circuito da Fig. 2.10 é composto por portas inversoras, resistores e capacitores. Através dos pares de resistores e capacitores é possível ajustar o tempo de descarga dos capacitores, como pode ser observado nos sinais V1 e V2 na Fig. 2.11. Quanto maior o tempo de descarga do capacitor, maior o tempo morto gerado pelo circuito. Esta descarga lenta dos capacitores faz com que as portas inversoras que vem na sequência demorem a trocar de estado, criando o tempo morto que pode ser visto em Q1 e Q2. Na prática, para garantir uma operação mais adequada é comum o emprego de portas inversoras do tipo schmitt trigger no circuito apresentado.

0

0.4

0.8

Vin

0

0.4

0.8

Vin_bar

0

0.4

0.8

V1

0

0.4

0.8

V2

0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003Time (s)

0

0.4

0.8

Q1 Q2

Fig. 2.11 –Formas de onda do sinal de comando (Vin), o sinal de

comando complementar(Vin_bar), sinais intermediários (V1 e V2) e os sinais de comando (Q1) e o complementar (Q2) com o tempo morto.

2.2 Modulações para conversores cc-ca

Nesta seção serão apresentas algumas estratégias de modulação comumente empregadas em inversores de tensão.

A título de ilustração, salvo informação em contrário, as modulações apresentadas nesta seção serão testadas em um inversor monofásico de ponte completa ou no inversor com neutro grampeado (NPC), conforme apresentado na Fig. 2.12(a) e (b), respectivamente.

Page 28: Apostila CCE v7(+simobologia)

10 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Vi

S1 S2

S4

D1 D3

D4D2S3

Carga

(a)

D2

D3

D1

D4

Vi/2

Vi/2

L

Dg1

Dg2

S1

S2

S3

S4

Ra b

iL(t) +-

(b) Fig. 2.12 - Inversor em ponte completa (a) e inversor com neutro

grampeado (b)

2.2.1 Modulação por largura de pulso único

A modulação por largura de pulso único é uma das formas mais básicas de se obter os sinais de comando para os interruptores de um inversor, seja ela

do tipo dois ou três níveis. A

α α α α ω

Vab

Vi/2

-Vi/2

t

Page 29: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 11

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 2.13 mostra o formato da tensão de saída de um Inversor Três Níveis com Neutro Grampeado. Identifica-se, nesta forma de onda, a possibilidade de variação do ângulo α. Assim, pode-se desenvolver a série de Fourier em função deste ângulo.

α α α α ω

Vab

Vi/2

-Vi/2

t

Fig. 2.13 - Forma de onda da tensão de saída do inversor a três níveis

utilizando modulação por largura de pulso único.

Sejam os coeficientes em cosseno da série nulos e os coeficientes em seno por definição, descritos pela equação (7.1).

0

2. ( ). ( . )T

nb f t sen n t d tT

ω ω= ∫ (7.1)

Seja E a metade da tensão de entrada Vi, representada pela equação (7.2).

2

ViE = (7.2)

Solucionando-se a equação(7.3), tem-se as equações (7.4) e (7.5)

21. . ( . ) . ( . )nb E sen n t d t E sen n t d t

π α π α

α π αω ω ω ω

π− −

+ = + − ∫ ∫ (7.3)

( )( ) ( )( )( )

cos . 2πcos . π1.

π cos .(π )cos( . )n

nnE Eb

n n nn

αααα

− − − − = − + + +

(7.4)

Assim, o valor de pico da componente harmônica de ordem n da forma de onda a três níveis pode ser representado pela equação(7.5)

Page 30: Apostila CCE v7(+simobologia)

12 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )4..cos .

π.n

Eb n

nα= (7.5)

A partir da equação (7.6) pode-se calcular a componente fundamental da tensão de saída do inversor Três Níveis.

( )1

2..cos

π

Vib α= (7.6)

De acordo com [2], é possível então eliminar ou reduzir uma componente harmônica com a escolha adequada de um ângulo α. Isto posto, calcula-se através das equações (7.7) e (7.8) o valor deste ângulo.

πcos

4.nnb

aE

= (7.7)

1,571

nα = (7.8)

onde n = 1,3,…5. Nota-se que, com a utilização de apenas um ângulo, pode-se

eliminar ou reduzir apenas uma componente harmônica. Como exemplo, pode-se citar o ângulo α igual a trinta graus, que elimina a harmônica de ordem três.

A Fig. 2.14 representa a evolução da amplitude das componentes harmônicas em função da variação do ângulo α; nota-se que não é possível controlar o valor do termo fundamental e eliminar uma determinada componente harmônica, utilizando-se apenas um ângulo.

Page 31: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 13

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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150 fundamentalharm.de ordem 3harm. de ordem 5harm. de ordem 7

% harmônico em relação a tensão E

α

%

Fig. 2.14– Harmônicas de tensão em função do ângulo αααα.

Observa-se, ainda, na Fig. 2.14, que a concentração de componentes harmônicas de baixa ordem é predominante.

Como o objetivo de minimizar ainda mais o conteúdo harmônico, algumas soluções são apresentadas na literatura, das quais pode-se citar a modulação PWM senoidal otimizada e as modulações PWM senoidais naturais. A primeira propicia um dos melhores resultados em termos de redução de conteúdo harmônico [2]; prevê o cálculo de n ângulos para eliminação de n-1 harmônicas, possibilitando, ainda, o controle do valor da tensão fundamental. Em aplicações práticas, estes ângulos poderiam ser previamente calculados e armazenados em memórias ou, utilizando-se o processamento digital, estes poderiam ser determinados em tempo real. Já as modulações PWM senoidais naturais são de implementação simplificada, sendo na sua maioria geradas a partir da comparação entre formas de onda senoidais e triangulares. Este texto se aterá em descrever unicamente as modulações PWM senoidais naturais mais difundidas, também conhecidas como modulações sub-harmônicas.

2.2.2 Modulações PWM senoidais

A modulação PWM senoidal, normalmente, pode ser inteiramente ou particularmente caracterizada por dois parâmetros, sejam eles: o índice de modulação e a razão entre as frequências. O parâmetro índice de modulação, também referenciado em algumas literaturas como profundidade de modulação, consiste no quociente entre a amplitude de uma forma de onda moduladora, que normalmente

Page 32: Apostila CCE v7(+simobologia)

14 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

é senoidal, e a amplitude de uma forma de onda portadora, normalmente triangular, conforme mostra a equação (7.9).

mi

p

AM

A= (7.9)

Onde: Am é a amplitude da onda moduladora; Ap é a amplitude da onda portadora. A razão entre frequências é o quociente entre a frequência da

forma de onda portadora e a frequência da moduladora, conforme mostra a equação (7.10).

pf

m

fM

f= (7.10)

Onde: fp é frequência da onda portadora triangular; fm é a frequência da onda moduladora senoidal. A modulação é dita síncrona quando a razão entre as frequências

Mf é um número inteiro. No modo assíncrono, a frequência da forma de onda portadora dever ser alta o suficiente a fim de evitar qualquer perturbação causada por sub-harmônicas [3].

Os três principais métodos de modulação PWM senoidal que serão abordados neste texto são:

Modulação bipolar, a qual é largamente utilizada em inversores dois níveis;

Modulação unipolar, que é normalmente empregada em inversores três níveis;

Modulação dipolar, que pode ser considerada como um caso particular da modulação unipolar.

2.2.3 Modulação Pwm Senoidal Bipolar

Uma das mais difundidas até então, a modulação Bipolar consiste basicamente na comparação entre uma forma de onda senoidal e uma forma de onda triangular, conforme mostra a Fig. 2.15. Entretanto, este tipo de modulação não é utilizada no inversor Três Níveis, já que se trata de uma técnica dois níveis.

Page 33: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 15

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Vm Vp

Vab

Fig. 2.15 – Modulação bipolar.

Apenas a título de comparação com as outras técnicas de modulação, apresenta-se o espectro harmônico da tensão de saída Vab de um inversor em ponte completa, obtida a partir de simulações numéricas com tensão entrada de 400 V, índice de modulação Mi = 0,78 e frequência de comutação igual a 20 kHz. Nota-se que as componentes harmônicas com amplitude significativa são deslocadas para as proximidades da frequência de comutação.

0%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0,25%

0,30%

0,35%

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Ordem da componente harmônica

(a)

Page 34: Apostila CCE v7(+simobologia)

16 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

0 100 200 300 400 5000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Ordem da componente harmônica

%

(b) Fig. 2.16 – Detalhe do espectro harmônico nas frequências de maior

importância (a), espectro harmônico da tensão de saída completo (b).

2.2.4 Modulação Pwm Senoidal Unipolar

Neste tipo de modulação, os pulsos de comando dos interruptores podem ser gerados através da comparação entre duas ondas portadoras triangulares e uma moduladora senoidal. Na referência [4] esta estratégia é também denominada como método clássico de modulação três níveis. A Fig. 2.17 apresenta a modulação unipolar na geração do comando dos interruptores do inversor Três Níveis (S1, S2, S3 e S4). Nota-se que as formas de onda portadoras triangulares Vp1 e Vp2 encontram-se em fase com a moduladora senoidal Vm, quando esta passa por zero.

S1

S3

S2

S4

VmVp1

Vp2

Page 35: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 17

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 2.17 – Modulação PWM Unipolar.

A razão entre frequências Mf pode ser definida pelas equações (7.11) ou (7.12).

0,1,2,...i )1.2.(6 =+= iM f (7.11)

0,1,2,...i )1.2.(3 =+= iM f (7.12)

A Fig. 2.18 mostra o Inversor Três Níveis juntamente com o circuito de comando utilizado para obter os sinais de acionamento dos interruptores.

Utilizando-se um simulador numérico [5], obtém-se a forma de onda da tensão de saída do inversor e a forma de onda da corrente que circula através da carga. Nesta simulação, a frequência da tensão moduladora é 60 Hz e a frequência das portadoras triangulares adotada foi 20 kHz, sincronizadas com a tensão senoidal. O índice de modulação adotado é o mesmo da simulação anterior, ou seja, igual a 0,78, enquanto que o valor da frequência de corte da carga RL escolhido foi de 112 Hz, definido pelos valores do resistor de 4,2 Ω e do indutor de 6 mH; tais parâmetros foram adotados para se obter uma carga com potência aparente de 10 kVA com tensão de saída 220V. Os interruptores utilizados na simulação são ideais e a tensão de barramento Vi é de 800 V.

D2

D3

D1

D4

Vi/2

Vi/2

L

Dg1

Dg2

S1

S2

S3

S4

Ra bIL

+

-

Vp2

Vp1

+

-

Vm

S4S2

S3S1

Fig. 2.18 – Inversor com neutro grampeado três níveis e circuito de

comando para modulação unipolar.

A partir da análise harmônica dos resultados de simulação da tensão de saída do inversor e da corrente através da carga, representados pela Fig. 2.19, tem-se as taxas de distorção harmônica iguais a 1,52 % e 0,2 % respectivamente, truncados na harmônica de centésima.

Page 36: Apostila CCE v7(+simobologia)

18 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

20.0ms 25.0ms 30.0ms16.6ms 34.8msIL(t)

0A

65A

-65A

Tensão Vab

-400V

0V

400V

Fig. 2.19 – Tensão e corrente na carga, modulação unipolar.

O espectro harmônico em detalhe e completo da tensão de saída Vab do inversor Três Níveis está apresentado na Fig. 2.20.

0%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0,25%

0,30%

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Ordem da componente harmônica

(a)

0 100 200 300 4000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Ordem da componente harmônica

%

(b)

Page 37: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 19

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 2.20 – Detalhe do espectro harmônico nas frequências de maior importância (a), espectro harmônico da tensão de saída completo (b).

Observa-se que as harmônicas de baixa ordem, mais difíceis de serem filtradas não são predominantes, e as harmônicas de maior amplitude são deslocadas para a frequência de comutação, conforme é esperado. Comparando-se o espectro harmônico da tensão de saída com modulação a dois níveis, apresentado na Fig. 2.16, com o obtido para a modulação três níveis da Fig. 2.20, verifica-se que a amplitude das harmônicas na frequência de comutação é reduzida pela metade, diminuindo o esforço de filtragem.

Utilizando-se este mesmo princípio de modulação, entretanto, empregando duas portadoras triangulares de mesma amplitude e defasadas em cento e oitenta graus, tem-se a modulação três níveis, usualmente empregada no comando dos interruptores do inversor em Ponte Completa. Um detalhe da forma como é gerada este tipo de modulação está apresentado na Fig. 2.21.

Vp1 Vp2

Vm

S1S3

S2S4

VabVi

-Vi

Fig. 2.21 – Modulação três níveis para o inversor em Ponte Completa.

Adotando-se os mesmos parâmetros empregados na simulação numérica do inversor Três Níveis com neutro grampeado ao inversor em Ponte Completa da Fig. 2.22, obtém-se o espectro harmônico da tensão de saída, conforme mostra a Fig. 2.23.

Page 38: Apostila CCE v7(+simobologia)

20 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Vi

S1 S2

S4

D1 D3

D4D2S3

Carga

Fig. 2.22 – Inversor em ponte completa.

0 200 400 600 8000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ordem da componente harmônica

%

Fig. 2.23 – Espectro harmônico da tensão de saída três níveis do

Inversor em Ponte Completa.

Comparando-se os espectros harmônicos das tensões de saída dos inversores em Ponte Completa e Três Níveis, apresentados nas Fig. 2.20 e Fig. 2.23 respectivamente, percebe-se que a frequência da tensão de saída do inversor em Ponte Completa é o dobro da frequência de comutação de seus interruptores. Esta situação também fica evidente na Fig. 2.21. Desta forma, caso fossem projetados filtros para eliminar as componentes harmônicas da tensão de saída destes inversores, operando numa mesma frequência de comutação, seguramente o volume do filtro do inversor em Ponte Completa seria menor do que o volume do filtro do inversor Três Níveis com Neutro Grampeado. Ressalta-se entretanto, que em um trabalho recente [6], utilizando-se dois braços do inversor Três Níveis e um indutor de circulação, tem-se o dobro da frequência de comutação na tensão de saída, e esta passa a ter cinco níveis. A principal desvantagem desta topologia reside na necessidade de se utilizar o dobro de interruptores.

Page 39: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 21

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2.2.5 Modulação PWM Senoidal Por Portadora Com Simetria De Um Quarto De Onda

Este tipo de modulação também pode ser gerado, comparando-se duas formas de onda portadoras triangulares com uma moduladora senoidal, conforme está mostrado na Fig. 2.24, obtendo-se, assim, os sinais de comando para o inversor Três Níveis. A distinção da geração deste tipo de modulação, em relação à modulação PWM clássica, é que as ondas portadoras encontram-se adiantadas em noventa graus da moduladora quando esta passa por zero.

S1S3

S2S4

Vp1

Vp2

Vm

Fig. 2.24 - Modulação Bipolar com simetria de um quarto de onda.

A razão entre frequências Mf deve ser determinada pela equação (7.13).

3.(2. 1) i 0,1,2,...Mf i= + = (7.13)

Segundo [3], [2] este tipo de modulação possibilita a redução do conteúdo harmônico em relação à modulação convencional. Com o intuito de realizar um comparativo, efetua-se a análise harmônica da tensão de saída do inversor Três Níveis com os mesmos parâmetros empregados nas modulações anteriores. A taxa de distorção harmônica calculada até a harmônica de centésima ordem resulta em 0,79 % e a taxa de distorção da corrente em 0,16 %.

Page 40: Apostila CCE v7(+simobologia)

22 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

A Fig. 2.25 apresenta o espectro harmônico da tensão de saída do inversor, observa-se, em detalhe, que o conteúdo harmônico é reduzido à medida em que a ordem da harmônica aumenta, de forma mais acentuada do que na modulação unipolar sem simetria de um quarto de onda.

0%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0,25%

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Ordem da componente harmônica0 100 200 300 400

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Ordem da componente harmônica

%

Fig. 2.25 – Análise harmônica da tensão de saída do inversor com

modulação por portadora com simetria de um quarto de onda.

2.2.6 Modulação PWM Senoidal Dipolar

Este processo de modulação pode ser considerado com uma extensão da modulação bipolar (2 níveis), tanto o nome quanto a modulação foram propostas por Velaerts et alli [4] . A obtenção dos pulsos de comando para os interruptores é feita comparando-se uma onda portadora triangular com duas ondas moduladoras senoidais; ao passo que, a portadora triangular é simétrica em relação ao eixo das abscissas, uma das senóides excursiona somente no semiplano positivo do eixo das ordenadas e a outra somente no semiplano negativo. Esta comparação, bem como a geração dos pulsos de comandos dos interruptores está representado pela Fig. 2.26.

Page 41: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 23

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

H

K

S1

S3

S2S4

Vm1

Vm2

Vp

Fig. 2.26 – Modulação PWM dipolar.

Observa-se que, quando o parâmetro H for igual ao parâmetro K, ambos identificados na Fig. 2.26, tem-se a modulação bipolar. O valor da tensão fundamental para este tipo de modulação é determinado pela equação (7.14).

1 . . ( . )2i

ViV M sen tω= (7.14)

O índice de modulação Mi já descrito anteriormente, pode ser determinado pela equação (7.9).

É importante salientar que, para a modulação dipolar o índice de modulação fica limitado em 0,5, incorrendo na limitação do valor máximo da tensão da fundamental. Assim, o valor de pico do termo fundamental não pode ser superior a um quarto do valor da tensão de entrada Vi. Esta situação pode ser bem compreendida, observando-se a Fig. 2.26, onde os interruptores atingem seu valor máximo da razão cíclica, quando as ondas moduladoras se aproximam do eixo das abscissas.

A Fig. 2.27 representa o inversor Três Níveis com o respectivo

Page 42: Apostila CCE v7(+simobologia)

24 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

circuito de comando para gerar os pulsos de acionamento dos interruptores, a partir da modulação dipolar. Adotando-se um índice de modulação de 0,38 e uma frequência de comutação de aproximadamente 20 kHz, simulou-se o circuito em questão.

D2

D3

D1

D4

Vi/2

Vi/2

L

Dg1

Dg2

S1

S2

S3

S4

Ra bIL

Vm1

-

+

Vp

S3

S1

-

+

Vm2

S4

S2

Fig. 2.27 – Inversor Três Níveis e circuito de comando para modulação

dipolar.

Um detalhe da tensão sobre a carga, juntamente com a forma de onda da corrente são mostrados na Fig. 2.28. Atenta-se ao fato de que propositadamente as duas formas de onda não estão sincronizadas em relação ao eixo do tempo, possibilitando assim uma melhor visualização.

20.0ms 25.0ms 30.0ms16.6ms 34.8ms

IL(t)

0A

35A

-35A

24.80ms 25.00ms 25.20ms 25.40ms 25.60ms 25.80ms

Tensão Vab

-400V

0V

400V

Fig. 2.28 – Detalhe da tensão Vab e corrente na carga.

A Fig. 2.29 apresenta os resultados da análise harmônica da tensão e da corrente de saída do inversor Três Níveis utilizando a modulação dipolar. A taxa de distorção harmônica da tensão é de 2,79 % e da corrente da carga de 0,338 %; observa-se que os parâmetros da carga são os mesmos utilizados na modulação PWM unipolar e que o

Page 43: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 25

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

cálculo da taxa de distorção é efetuado até a harmônica de centésima ordem.

0%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0,25%

0,30%

0,35%

0,40%

0,45%

0,50%

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Ordem da componente harmônica0 100 200 300 400 500

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Ordem da componente harmônica

%

Fig. 2.29 – Espectro harmônico da tensão de saída do invesor Três

Níveis com modulação dipolar.

Através dos resultados obtidos a partir das simulações, conclui-se que a modulação proposta por Velaerts et alli [4] possui algumas desvantagens em relação à modulação PWM senoidal com simetria de um quarto de onda. Pode-se citar a limitação do valor da tensão fundamental e a presença de harmônicas em frequências mais baixas como sendo fatores importantes na escolha entre uma ou outra estratégia de modulação.

2.3 Modulação com Três ou Mais Níveis

Nesta seção serão apresentadas estratégias de modulação por largura de pulso senoidais para conversores com múltiplos níveis de tensão na carga.

2.3.1 Modulação com Portadoras Dispostas em Fase (Phase Disposition – PD)

A modulação com portadoras dispostas em fase é uma modulação onde todos os semicondutores são comutados em alta frequência. Os sinais de comando são obtidos através da comparação do sinal de referência com uma das portadoras. Se o sinal de referência é maior que o da respectiva portadora, o interruptor é mantido conduzindo e, se a o sinal de referência é inferior ao da portadora, o interruptor permanece bloqueado. Geralmente são empregadas portadoras triangulares, as quais são dispostas em fase, com amplitudes iguais, diferindo apenas no seu valor médio. O número de portadoras necessárias é “1λ − ”, onde “λ ” é o número de níveis obtidos na tensão de fase de saída do conversor. Na Fig. 2.30 é mostrado um exemplo de modulação com as portadoras dispostas em fase para um conversor com cinco níveis na tensão de fase.

Page 44: Apostila CCE v7(+simobologia)

26 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

RefA

VPort1

VPort2

VPort3

VPort4

V

Fig. 2.30 – Modulação com as portadoras dispostas em fase (Phase

Disposition – PD).

2.3.2 Modulação com as Portadoras Dispostas em Oposição de Fase (Phase Opposition Disposition – POD)

A modulação com as portadoras dispostas em oposição de fase, como o próprio nome sugere, possui as portadoras negativas dispostas com 180° de defasagem das portadoras positivas, conforme pode ser conferido na Fig. 2.31.

RefA

VPort1

VPort2

VPort3

VPort4

V

Fig. 2.31 – Exemplo de modulação com as portadoras dispostas em

oposição de fase (Phase Opposition Disposition – POD).

Page 45: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 27

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Esta modulação também comuta todos os interruptores em alta frequência e, assim como a anterior, são necessárias “ 1λ − ” portadoras para sua implementação. A principal diferença desta modulação para a modulação “PD” é em relação à Distorção Harmônica Total (DHT) presente na tensão de linha dos conversores. Embora as duas modulações proporcionem aproximadamente a mesma DTH na tensão de fase, a modulação com as portadoras em fase possibilita um melhor cancelamento de harmônicas na tensão de linha, proporcionando uma DTH na tensão de linha mais baixa do que a modulação com as portadoras em oposição de fase [7].

2.3.3 Modulação com as Portadoras Dispostas em Oposição Alternada de Fase (Alternative Opposition Disposition – APOD)

A modulação com as portadoras dispostas em oposição alternada de fase possui características gerais semelhantes às da modulação previamente apresentada, porém neste caso, a defasagem de 180° das portadoras é de uma portadora para a portadora seguinte, e não das portadoras positivas e negativas como na modulação POD. Uma amostra da modulação com as portadoras dispostas em oposição de fase pode ser averiguada na Fig. 2.32.

RefA

VPort1

VPort2

VPort3

VPort4

V

Fig. 2.32 – Exemplo de modulação com as portadoras dispostas em

oposição alternada de fase (Alternative Phase Opposition Disposition – APOD).

Page 46: Apostila CCE v7(+simobologia)

28 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2.3.4 Modulação com as Portadoras com Deslocamento de Fase (Phase Shifted – PS)

A modulação com as portadoras com deslocamento de fase emprega “ 1λ − ” portadoras, todas com a mesma amplitude e nível

médio nulo. As portadoras são deslocadas entre si de ( )360

1λ°

− . Nesta

modulação os interruptores comutam durante todo tempo, não havendo intervalos de tempo nos quais os interruptores permanecem mais de um período bloqueados (ou conduzindo). Esta característica proporciona a mesma qualidade na tensão de saída que as modulações anteriores, com resultados semelhantes em termos de DHT. A filtragem da tensão de saída produzida com esta modulação se torna mais simples, pois as componentes harmônicas dominantes concentram-se em torno frequência ( )1 Portfλ − ⋅ , elevando a ordem das componentes harmônicas

na tensão de saída. Em contrapartida o número de comutações é maior, elevando as perdas. Um exemplo de modulação com as portadoras com deslocamento de fase é visualizado na Fig. 2.33.

RefAV

VPort2 VPort3 VPort4VPort1

Fig. 2.33 – Exemplo de modulação com as portadoras com

deslocamento de fase (Phase Shifted – PS).

Esta modulação apresenta ainda, tipicamente, uma distribuição de perdas equilibrada entre os semicondutores de potência. Esta característica é de grande importância para o projeto dos sistemas de refrigeração (que pode ser natural, com ventilação forçada ou com

Page 47: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 29

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

circulação de fluidos), que são necessários para a dissipação do calor gerado na condução e na comutação dos interruptores.

2.3.5 Comparação Entre as Modulações

Para comparar as modulações apresentadas foram realizadas algumas simulações numéricas com o programa de simulação PSIM. Adotou-se o conversor multinível simétrico empregando cascata de conversores em ponte completa, conforme a, com a associação de dois conversores em cascata, possibilitando sintetizar cinco níveis na tensão de fase e nove níveis na tensão de linha.

Page 48: Apostila CCE v7(+simobologia)

30 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

DN

1A

DN

1A

'

DN

2A

DN

2A

'

+

V x

SN

1A

SN

1A

'

SN

2A

SN

2A

'

DN

-1 1

A

DN

-1 1

A'

DN

-1 2

A

DN

-1 2

A'

+

V x

SN

-1 1

A

SN

-1 1

A'

SN

-1 2

A

SN

-1 2

A'

D1

1A

DN

1A

'

D1

2A

D1

2A'

+

V x

S1

1A

S1

1A

'

S1

2A

S1

2A'

i AA

DN

1C

DN

1C

'

DN

2C

DN

2C

'

+

V x

SN

1C

SN

1C

'

SN

2C

SN

2C

'

DN

-1 1

C

DN

-1 1

C'

DN

-1 2

C

DN

-1 2

C'

+V x

SN

-1 1

C

SN

-1 1

C'

SN

-1 2

C

SN

-1 2

C'

D1

1C

DN

1C

'

D1

2C

D1

2C

'

+

V x

S1

1C

S1

1C'

S1

2C

S1

2C

'

i CC

DN

1B

DN

1B

'

DN

2B

DN

2B

'

+

V x

SN

1B

SN

1B

'

SN

2B

SN

2B

'

DN

-1 1

B

DN

-1 1

B'

DN

-1 2

B

DN

-1 2

B'

+

V x

SN

-1 1

B

SN

-1 1

B'

SN

-1 2

B

SN

-1 2

B'

D1

1B

DN

1B

'

D1

2B

D1

2B'

+

V x

S1

1B

S1

1B

'

S1

2B

S1

2B'

i BB

Fig. 2.34 - Inversor trifásico de "λ "níveis empregando cascata de

células monofásicas de conversores em ponte completa.

Page 49: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 31

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

As figuras de mérito escolhidas para a comparação entre as modulações são:

• Distorção Harmônica Total das tensões de fase e de linha – A distorção harmônica representa o quanto uma forma de onda possui de componentes harmônicas. Quanto maior for o valor da DHT mais harmônicas estão presentes e mais distante do formato sinusoidal é a forma de onda analisada. Este parâmetro é relevante, pois grande parte dos trabalhos científicos sobre conversores multiníveis emprega a DHT como índice para comparações;

• Distorção Harmônica Total de Primeira Ordem (Weighted Total Harmonic Distortion – WTHD) da tensão de fase e de linha – A distorção harmônica total de primeira ordem contempla em seu cálculo a amplitude de cada harmônica e a ordem da harmônica, onde as harmônicas de ordem mais elevada têm menor impacto no resultado do cálculo. Esta figura de mérito é importante nos conversores multiníveis, pois apresenta uma correlação com a distorção harmônica de corrente em um motor e, a dificuldade de realizar uma filtragem de primeira ordem de um determinado sinal [8].

• Perdas de Comutação Normalizada – As modulações sob análise possuem características diferentes em relação à comutação dos interruptores. Sendo assim, realizou-se o cálculo das perdas de comutação nos interruptores controlados e nos diodos para cada uma das modulações.

As definições de Distorção Harmônica Total (DHT) e Distorção Harmônica Total de Primeira Ordem (WTHD) são apresentadas em [8].

2 2

0

21 1

2 n

n

V VDHT

V V

=

⋅= +

∑ (7.15)

e 2

2

1

n

n

V

nWTHD

V

=

=

∑ (7.16)

onde, n representa a ordem da harmônica;

0V representa o nível médio presente na tensão ca;

Page 50: Apostila CCE v7(+simobologia)

32 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

nV representa a amplitude da componente harmônica de

tensão de ordem 1,2,...,n = ∞ . Para a confecção da Tabela 2.1 foram realizadas várias

simulações com as seguintes condições: 50 Hzof = frequência fundamental de saída;

750 HzCf = frequência de comutação para análise das DHT’s;

20 kHzCf = frequência de comutação para análise de perdas;

0,8am = índice de modulação de amplitude; A escolha dos parâmetros das condições de operação do

conversor visou à reprodução dos resultados obtidos em [7]. Isto esclarece porque nesta análise é empregada uma frequência diferente do restante do trabalho. Salienta-se que, embora os valores de distorção harmônica não tenham sido idênticos aos valores obtidos pelos autores do artigo base, estas diferenças não interferem nas conclusões. A escolha da frequência de comutação de 20 kHz para o cálculo de perdas foi pautada pela capacidade do interruptor empregado para tal análise, o SKM 75GB063D. Porém, como os resultados foram parametrizados em função das perdas obtidas com a modulação PD, alterações na frequência de comutação não alteram os resultados.

Analisando os resultados da Tabela 2.1 pode-se verificar que todas as modulações possuem aproximadamente o mesmo conteúdo harmônico na tensão de fase, diferindo apenas na frequência onde estão concentradas as componentes harmônicas mais relevantes. Este fato fica evidente na DHT das tensões de linha, onde o cancelamento de harmônicas favorece a modulação PD, pois esta modulação concentra as maiores componentes em frequências nas quais ocorre o cancelamento quando uma fase é subtraída da outra. Quando a análise da distorção harmônica leva em consideração a ordem da componente harmônica (WTHD), atribuindo menor peso às harmônicas de maior ordem, a modulação PS se apresenta com excelente desempenho. Na modulação PS a frequência das harmônicas mais relevantes depende da frequência de comutação e também do número de níveis do conversor, portanto quanto maior o número de níveis do conversor maior a ordem das harmônicas. As perdas de comutação proporcionadas pelas modulações com portadoras defasadas pelo seu nível médio (PD, POD, APOD) são aproximadamente iguais. A modulação PS, devido ao número de

Page 51: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 33

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

comutações mais elevado, apresenta maiores perdas do que as outras opções de modulação.

Tabela 2.1 – Comparação das distorções harmônicas e das perdas de comutação entre as modulações PD, POD, APOD e PS para um

inversor trifásico em cascata com cinco níveis.

0,8am = 750 HzCf = PD POD APOD OS

DHT Fase [%] 37,949 37,946 37,948 38,183 DHT Linha [%] 21,552 35,231 29,187 29,512 WTHD Fase [%] 2,518 2,436 2,332 0,543 WTHD Linha [%] 1,452 2,378 1,786 0,414

Perdas de Comutação Normalizada [%]

20 kHzCf = 100,00 100,32 99,91 405,09

2.3.6 Exemplo de Modulação Híbrida

Outras formas de modulação podem ser encontradas na literatura, como a modulação híbrida proposta por Zaragoza, J.; Pou, J.; Ceballos, S. et al. [9] para o conversor com grampeamento através de diodos com três níveis na tensão de fase. Neste trabalho, os autores propõem uma modulação baseada em outras duas modulações, onde é utilizado um sistema de controle para determinar o intervalo de tempo que cada modulação é utilizada. Esta modulação híbrida foi comparada com as modulações que a originaram e, como era de se esperar, seu desempenho é intermediário em relação às modulações originárias.

As duas modulações que compõem a modulação híbrida proposta são do tipo PWM com portadoras dispostas em fase. A modulação denominada “modulação PWM senoidal padrão” (Standard Sinusoidal Pulsewidth Modulation – SPWM) é semelhante à apresentada na seção 2.3.1, porém a referência é modificada pela injeção de componente de sequência zero. A injeção de componentes de sequência zero na referência redistribui o tempo de condução dos interruptores, reduz a ondulação de tensão no ponto central dos capacitores e permite elevar o índice de modulação do conversor em 15 % [8, 9]. A injeção de sequência zero na referencia é realizada empregando a equação (7.17)

0

0

0

'

'

'

a a

b b

c c

v v v

v v v

v v v

= − = − = −

(7.17)

Page 52: Apostila CCE v7(+simobologia)

34 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

onde:

( ) ( )0

max , , min , ,

2a b c a b cv v v v v v

v+

= (7.18)

e,

( )( )( )

cos 2

2cos 2 3

2cos 2 3

a a o

b a o

c a o

v m f

v m f

v m f

πππ

ππ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ +

(7.19)

onde, of é a frequência fundamental do sinal de saída e am é o índice de modulação de amplitude.

Sendo assim, a modulação SPWM empregada na modulação híbrida proposta em [9] pode ser visualizada na Fig. 2.35.

A segunda modulação é composta de dois sinais de referência, um positivo e um negativo, os quais são originados através da expressão (7.20) [10].

( )

( ) min , ,

2 onde , ,max , ,

2

i a b cip

i a b cin

v v v vv

i a b cv v v v

v

−= =

− =

(7.20)

a

VPort1

VPort2

v’

1

0

-1

Fig. 2.35 – “Modulação PWM senoidal padrão” (Standard Sinusoidal Pulsewidth Modulation – SPWM) com injeção de componentes de

sequência zero.

Page 53: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 35

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

A modulação PWM com dupla referência para cada fase (Double-Signal Pulsewidth Modulation – DSPWM) pode ser observada na Fig. 2.36.

1

0

-1

VPort1

VPort2

apv

anv Fig. 2.36 – “Modulação PWM com dupla referência” (Double-Signal

Pulsewidth Modulation – DSPWM).

A análise das três modulações em termos da Distorção Harmônica Total, das perdas por comutação e da ondulação de tensão no ponto central do barramento de corrente contínua estão sumarizadas na Tabela 2.2.

Tabela 2.2 – Comparação entre as modulações SPWM e DSPWM

Modulação DHT Perda de

Comutação Ondulação de Tensão

no Ponto Central SPWM Menor Menor Maior

DSPWM Maior Maior Menor HPWM Intermediária Intermediária Intermediária

A modulação híbrida proposta em [9] (Hybrid Pulsewidth

Modulation – HPWM) é mostrada na Fig. 2.37. Pode-se verificar que a modulação híbrida possui duas referências

para cada fase, sendo uma positiva “ahpv ” e uma negativa “ahnv ”. O

intervalo representado pelo ângulo “δ ” é determinado por um controlador, visando manter a ondulação de tensão no ponto central do barramento dentro de um limite imposto pelo projetista, com a menor perda possível e com a menor DHT. Quando o parâmetro “ δ ” é nulo, a

Page 54: Apostila CCE v7(+simobologia)

36 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

modulação híbrida se torna igual à DSPWM e, quando o ângulo “δ ” é máximo, a modulação híbrida é igual à SPWM.

1

0

-1

SPWM

HPWM

ahpv

ahnvδ δ δ δ

Fig. 2.37 – Modulação híbrida proposta por Zaragoza (Hybrid Pulsewidth Modulation – HPWM).

O conversor em cascata empregando células em ponte completa pode ser encontrado na literatura com outras modulações híbridas. Uma das mais conhecidas é a que utiliza frequências distintas para cada célula em cascata [11-14]. Um exemplo desta modulação pode ser averiguado na Fig. 2.38.

Page 55: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 37

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

1

0

-1

VPort1

VPort2

(a)

(b)

Fig. 2.38 – Exemplo de modulação híbrida empregando frequências

distintas para cada célula de conversor em ponte completa. (a) Tensão de saída sintetizada por um dos inversores. (b) Sinal de referência e portadoras empregadas para determinar os pulsos de comando do

segundo inversor.

Neste tipo de modulação, um conversor ponte completa comuta em baixa frequência, sintetizando na saída uma onda retangular conforme a apresentada na Fig. 2.38 (a). Enquanto isso, outro conversor em ponte completa recebe a modulação PWM mostrada na Fig. 2.38 (b), para sintetizar a tensão que não foi sintetizada pela célula que comuta em baixa frequência. Quando se realiza a associação em cascata destes dois conversores, é obtida na saída uma onda senoidal PWM. Esta metodologia pode ser aplicada com mais do que duas células em cascata, bem como com mais de duas frequências de comutação.

2.4 Modulação SHE

xxxx

2.5 Modulação por Vetores Espaciais

xxxx

Page 56: Apostila CCE v7(+simobologia)

38 Conceitos de Modulação por Largura de Pulsos

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2.6 Conclusão

Foram apresentadas e comparadas qualitativamente as principais técnicas de modulação aplicáveis ao inversor Três Níveis. Das técnicas de modulação PWM naturais, a modulação com simetria de um quarto de onda apresentou os melhores resultados no que tange a taxa de distorção harmônica. Os cálculos efetuados para determinar a taxa de distorção harmônica levaram em consideração apenas as harmônicas presentes até a centésima ordem, pois considera-se que, em aplicações práticas, as harmônicas de alta frequência podem ser filtradas facilmente, se necessário. A técnica de modulação três níveis, adotada para comandar o inversor em Ponte Completa, não é aplicável ao inversor Três Níveis; logo, a frequência de comutação vista pela carga do inversor Três Níveis é a própria frequência de comutação. A modulação dipolar apresenta como principal desvantagem a limitação do índice de modulação, restringindo, desta forma, o valor de pico da tensão de saída do inversor a um quarto da tensão de barramento. Do ponto de vista dos cargas trifásicas, a tensão de linha da modulação três níveis unipolar possuirá cinco níveis, já, a modulação dipolar apresenta somente três patamares de tensão sobre a carga.

Deve-se salientar que foram exploradas apenas as modulações PWM senoidais ditas naturais, as quais podem ter seu princípio de funcionamento digitalizado e otimizado no que se refere à taxa de distorção harmônica total. Ao longo dos próximos capítulos, optou-se por adotar a modulação por portadora com simetria de um quarto de onda, devido aos resultados propiciados pelo método.

Page 57: Apostila CCE v7(+simobologia)

Conceitos de Moduilação por Largura de Pulso 39

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Page 58: Apostila CCE v7(+simobologia)

40 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

3 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

3.1 Ações básicas dos controladores P, I, PI, PID

3.2 Conceito de pólo, zero, estabilidade

3.2.1 Diagrama de bode

[15] [16] [17] [18] [19]

3.2.1.1 Introdução

O uso de diagramas de Bode na análise da resposta em frequência de sistemas lineares foi desenvolvido por H.W. Bode e introduzido em 1940 no estudo das características em frequência de amplificadores eletrônicos. A técnica desenvolvida por Bode foi, posteriormente, largamente disseminada para análise e projeto de sistemas de controle. Em linhas gerais, diagramas de Bode possibilitam uma aproximação efetiva da resposta em frequência de sistemas complexos pela combinação da resposta de fatores de primeira e segunda ordem.

Embora atualmente os engenheiros responsáveis pelo desenvolvimento de projetos de sistemas de controle tenham a sua disposição poderosas ferramentas computacionais que diminuem sobremaneira a necessidade do traçado manual dos gráficos de módulo e fase que compõe os diagramas de Bode, tal técnica ainda é bastante utilizada pela sua facilidade, rapidez e quantidade de informações que se pode obter de um dado sistema sob análise de forma bastante simplificada.

3.2.1.1.1 Teoria sobre Diagramas de Bode O método proposto por Bode é constituído por dois gráficos. O

primeiro gráfico, relacionado a magnitude da função de transferência ( )G jω é traçado em função da frequência em escala log-log. O

segundo gráfico, relacionado a fase de ( )G jω , também é traçado em função da frequência, porém em escala linear-log. Esta estratégia permite-nos traçar diagramas de resposta em frequência sistemas de

Page 59: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 41

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

ordem elevada, adicionando-se separadamente os gráficos relativos a cada um termos de primeira e segunda ordem que compõe ( )G jω . Como exemplo, consideremos a seguinte função de transferência:

1

( )( )

( )

s zG s

s p

+=+

(8.1)

Admitindo s= jω , pode-se rescrever (8.1) na seguinte forma:

1 1 1 1 1( ) ( ) cos ( ) sinG s G j j G jω φ ω φ= + + (8.2)

Com a magnitude dada por:

2 2

1 2 2

( )( )

( )

zG j

p

ωω

ω+

=+

(8.3)

E com a fase dada por:

1 arctan arctanz p

ω ωφ = − (8.4)

No caso geral de uma função de transferência com “n” pólos e

“m” zeros, o módulo será calculado de acordo com (4), isto é:

2 2

1

2 2

1

( )( )

( )

m

iin

jj

zG j K

p

ωω

ω=

=

+=

+∏∏

(8.5)

Sendo a fase, dada pela diferença das somatórias das

contribuições de fase cada um dos “m” zeros e “n” pólos da ( )G jω , ou seja:

1 1( ( )) arctan arctan

m n

i ii i

G jz p

ω ωφ ω= =

= −∑ ∑ (8.6)

Page 60: Apostila CCE v7(+simobologia)

42 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Pela análise da equação (8.5) é direto concluir-se a seguinte relação:

2 2 2 2

1 1log ( ) log log ( ) log ( )

m n

i ii jG j K z pω ω ω

= == + + − +∑ ∑ (8.7)

Justificando-se a idéia de representar o gráfico de magnitude de

( )G jω em escala log-log. Através das equações (8.6) e (8.7) pode-se então concluir que a resposta em frequência completa de uma função de transferência genérica ( )G jω pode ser obtida através da somatória da resposta em frequência de cada dos fatores que a compõe.

3.2.1.2 Composição do Diagrama de Bode

Quando se trata de uma função de transferência com vários pólos e zeros, o traçado das curvas de magnitude e de fase, que compõe o diagrama de Bode, é realizado pela combinação das curvas de magnitude e fase de cada um dos termos que a compõe. Desta forma, a declividade das assíntotas da curva de magnitude da função de transferência é dada pela somatória das declividades das assíntotas para cada um dos termos individuais. Portanto na composição da curva assintótica de magnitude as declividades mudam nas frequências em que existem pontos de quebra: +20 dB/década se o ponto de quebra for relativo a um termo de primeira ordem do numerador, -20 dB/década se for relativo a um termo de primeira ordem no denominador e, ±40 dB/década se o ponto de quebra for associado a um termo de segunda ordem no numerador ou no denominador respectivamente. Para baixas frequências, as assíntotas são determinadas pelo valor de γ dos termos

0k γω , determinando-se 0k na frequência ω=1.0 rad/s. Desta forma, o traçado completo da curva de magnitude do diagrama de Bode é realizado começando-se pelo traçado das assíntotas em baixas frequências, alterando-se as declividades sequencialmente a cada ponto de quebra de forma a cobrir toda a faixa de frequências de interesse.

A composição do diagrama de Bode de fase é feita adicionando-se as curvas individuais de fase. Uma forma rápida bastante utilizada para o traçado da curva assintótica de fase consiste em cada um dos

termos de primeira ordem no numerador adicionar-se +90o

na frequência

em que existe ponto de quebra e, da mesma forma, adicionar-se –90o

se os termos de primeira ordem estiverem no denominador. Se o ponto de quebra relacionar-se com fatores de segunda ordem, descrito

Page 61: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 43

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

anteriormente como sendo a terceira classe de termos, os incrementos de fase serão de ±180º se o ponto de quebra for associado a um termo de segunda ordem no numerador ou no denominador respectivamente.

Uma vez obtidas as curvas assintóticas de magnitude e fase, refina-se o traçado das mesmas empregando as regras de transição apresentadas anteriormente.

No intuito de abstrair os conceitos descritos até o momento, abaixo, segue alguns exemplos de gráficos de bode, para diferentes funções de transferência. Posteriormente, será descrito o procedimento, passo a passo, para montagem dos destas curvas.

a) Exemplo de diagrama de bode para uma função de

transferência que contenha zeros e pólos reais:

2000( 0.5)( )

[ ( 10) ( 50)]

sG s

s s s

+=⋅ + ⋅ +

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

10-1 100 101 102

-180

-135

-90

-45

0

Fig. 3.1 - Diagrama de Bode: Função de transferência com zeros e pólos

reais

b) Exemplo de diagrama de bode para uma função de transferência que contenha pólos reais e complexos:

2

10( )

[ ( 0.4 4)]G s

s s s=

⋅ + +

Page 62: Apostila CCE v7(+simobologia)

44 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Ph

ase

(de

g)

Ma

gn

itude

(d

B)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

10-1

100

-270

-225

-180

-135

-90

Fig. 3.2 - Diagrama de Bode: Função de transferências com pólos reais

e complexos

c) Exemplo de diagrama de bode para uma função de transferência que contenha zeros e pólos, reais e complexos:

2

2 2

0.01( 0.01 1)( )

[ (( / 4) 0.02( / 2) 1)]

s sG s

s s s

+ +=⋅ + +

Page 63: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 45

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(dB

)

10-1

100

-180

-135

-90

-45

0

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Fig. 3.3 - Diagrama de Bode: Função de transferência com zeros e pólos

reais e complexos.

3.2.1.3 Construção do Diagrama de Bode

O procedimento empregado para construção do diagrama de bode pode ser resumido em oito passos descritos a seguir.

Passo 1: Considera-se a seguinte função de transferência a qual deseja-se obter o Diagrama de Bode:

1

1 11

1 1

...( )

...

m mm m

n nm m

s a s a s aG s K

s b s b s b

−−

−−

+ + + += ⋅

+ + + + (8.8)

Onde: m n≤ A função de transferência (8.8) deve ser manipulada de forma a

aparecer as três classes de termos possíveis encontrados na sua composição, por exemplo:

/2

/2

2

11 1

2

1 1

( 1) 2 1

( ) ( )

( 1) 2 1

R c

R c

z z

ii ii i

o

p p

k kk ki k

j jj r

G j K jj j

j

γ

ω ωω ξω ω

ω ωω ωωτ ξ

ω ω

= =

= =

+ + +

=

+ + +

∏ ∏

∏ ∏ (8.9)

Page 64: Apostila CCE v7(+simobologia)

46 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Portanto, “γ” zeros ou pólos na origem que representam a primeira classe termos previamente apresentadas, “zR” zeros ou “pR” pólos reais representando a segunda classe de termos e “zc/2” pares de zeros ou “pc/2” pares de pólos complexos conjugados que representam a terceira e última classe de termos.

Passo 2: Determinar o valor de γ para classe de termos ( )oK j γω .

Traçar a assíntota de baixa frequência a partir do ponto Ko determinado na frequência ω=1 rad/s. A assíntota terá declividade de 20γ dB/década.

Passo 3: Estender a assíntota de baixa frequência até o primeiro

ponto de quebra. Neste ponto, alterar a declividade da curva assintótica de ±20 dB/década ou ±40 dB/década dependendo se o ponto de quebra está associado a um termo de primeira ou segunda ordem no numerador ou denominador da função de transferência. Este procedimento deve ser repetido em toda faixa de frequências até que seja alcançado o último ponto de quebra.

Passo 4: Com base na curva assintótica de magnitude

incrementa-la nos pontos de quebra associados a termos de primeira de +3 dB, se for um termo do numerador, e –3 dB se for do denominador. Se o ponto de quebra for associado a termos de segunda ordem, representar os vales ou picos empregando a relação ( ) 2G jω ξ= ,ou

( ) 1/ 2G jω ξ= , no ponto de quebra.

Passo 5: Traçar a curva assintótica de fase para baixas

frequências, isto é, 90xφ γ= °

Passo 6: Da mesma forma que na curva de magnitude, estender a assíntota de baixa frequência até o primeiro ponto de quebra, alterando a fase em ±90º ou ±180º. Se o ponto de quebra estiver relacionado a termos de primeira ordem no numerador, a curva assintótica de fase será alterada em +90º, por outro lado, se estiver relacionado ao denominador, a curva assintótica de fase será alterada em –90º. Para termos de segunda ordem a alteração da curva assintótica de fase sofrerá uma alteração de ±180º.

Page 65: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 47

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Passo 7: Traçar nas curvas assintóticas de fase individuais as transições para os termos de primeira e de segunda ordem.

Passo 8: Adicionar graficamente cada uma das curvas

individuais, começando pela assíntota de baixa frequência e finalizando pela assíntota de alta frequência. Quanto mais distantes estiverem os pontos de quebra sucessivos, mais próximas as curvas de magnitude e fase assintóticas serão das curvas reais.

A seguir, são mostradas as curvas assintóticas de magnitude e

fase associadas a cada uma das classes de termos básicos que compõe as funções de transferência.

1- Função Transferência caracterizada por Ganho: ( )G j Kω =

Diagrama de Bode Assintótico

Magnitude 20.log.|G(jw)| em dB Fase G(jw) em graus

a) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real:

( ) 10G s =

Page 66: Apostila CCE v7(+simobologia)

48 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(d

B)

19

19.5

20

20.5

21

10-1

100

101

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 3.4 - Diagrama de Bode: Função transferência caracterizada por

Ganho

2- Função Transferência caracterizada por Zero: 1

( ) 1j

G jωω

ω

= +

Diagrama de Bode Assintótico

Magnitude 20.log.|G(jw)| em dB Fase G(jw) em graus

a) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real:

( ) 1G s s= +

Page 67: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 49

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(d

B)

0

5

10

15

20

25

10-1

100

0

45

90

Fig. 3.5 - Diagrama de Bode: Função Transferência caracterizada por

Zero

3- Função Transferência caracterizada por Pólo: 1

1

( ) 1j

G jωω

ω

= +

Diagrama de Bode Assintótico

Magnitude 20.log.|G(jw)| em dB Fase G(jw) em graus

a) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real:

Page 68: Apostila CCE v7(+simobologia)

50 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

1( )

( 1)G s

s=

+

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(d

B)

-25

-20

-15

-10

-5

0

10-1

100

-90

-45

0

Fig. 3.6 - Diagrama de Bode: Função transferência caracterizada por

Pólo

4- Função Transferência caracterizada por Zero na origem: ( )G j jω ω=

Diagrama de Bode Assintótico

Magnitude 20.log.|G(jw)| em dB Fase G(jw) em graus

b) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real:

Page 69: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 51

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )G s s=

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(d

B)

-20

-10

0

10

20

30

40

10-1

100

101

89

89.5

90

90.5

91

Fig. 3.7 - Diagrama de Bode: Função transferência caracterizada por

Zero na origem

5- Função Transferência caracterizada por Pólo na origem:

1( )G j

ω

=

Diagrama de Bode Assintótico

Magnitude 20.log.|G(jw)| em dB Fase G(jw) em graus

Page 70: Apostila CCE v7(+simobologia)

52 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

c) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real:

1( )G s

s=

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(d

B)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

10-1

100

101

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Fig. 3.8 - Diagrama de Bode: Função transferência caracterizada por

Pólo na origem

6- FT com Zeros Complexos: 2

( ) 2 1n n

j jG j

ω ωω ξω ω

= + ⋅ +

, sendo 0.1 1ξ≤ ≤

Diagrama de Bode Assintótico

Magnitude 20.log.|G(jw)| em dB Fase G(jw) em graus

Page 71: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 53

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

d) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real:

2( ) 1G s s s= + +

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(d

B)

-10

0

10

20

30

40

10-1

100

0

45

90

135

180

Fig. 3.9 - Diagrama de Bode: FT com Zeros Complexos

7- FT - Pólos Complexos: 12

( ) 2 1n n

j jG j

ω ωω ξω ω

− = + ⋅ +

, sendo 0.1 1ξ≤ ≤

Diagrama de Bode Assintótico

Page 72: Apostila CCE v7(+simobologia)

54 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Magnitude 20.log.|G(jw)| em dB Fase G(jw) em graus

g) Exemplo do diagrama de Bode com traçado real:

2

1( )

( 1)G s

s s=

+ +

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(d

B)

-40

-30

-20

-10

0

10

10-1

100

-180

-135

-90

-45

0

Fig. 3.10 - Diagrama de Bode: Função transferência com Pólos

Complexos

Page 73: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 55

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

3.2.1.4 Diferença entre diagrama de Bode real e a aproximação

assintótica

Conforme visto no item anterior, ao construir um gráfico de bode de uma função transferência por meio de curvas assintóticas, haverá uma pequena diferença com a resposta real do diagrama de bode. Essa diferença fica um pouco mais saliente nas chamadas frequência de “canto” ou de “corte”, onde há uma mudança na inclinação da reta. Em alguns casos, é interessante conhecer o valor desta diferença, e por isso, a seguir, será utilizado um exemplo para descrever o procedimento de cálculo.

Seja a função de transferência:

1( )

( 1)G s

Ts=

+ (8.10)

Onde T=0.5, e o pólo =2. Para esta função, comparando o gráfico assintótico e o real, tem-

se:

Fig. 3.11 - Comparação Diagrama de Bode: Traçado Assintótico x Real

Analisando a Fig. 3.11, percebe-se que a diferença entre as curvas ocorre em pontos específicos, onde há influência de pólos ou zeros. Abaixo será descrito como calcular essa diferença nos pontos em questão:

Page 74: Apostila CCE v7(+simobologia)

56 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Ponto 1: 1

Tω = :

2( ) 20 log (( ) 1) 20log 2 3 arg ( ) arg(1 ) 45dB

G s Ts dB G j jω= − + = − = − = − + = − °

Ponto 2: 1

10Tω = :

arg ( ) arg 1 5.7110

jG jω = − + = − °

Ponto 3: 10

Tω = :

( )arg ( ) arg 1 10 90 5.71G j jω = − + = − ° + °

Conforme visto, realmente há uma diferença entre os traçados assintótico e real do diagrama de bode. Porém, a metodologia utilizada para o traçado assintótico ainda é uma boa estratégia para estimar o comportamento de uma função de transferência sem a utilização de programas e recursos computacionais.

3.2.1.5 Sistemas Lineares de Fase Não Mínima

A definição de sistemas lineares de fase não mínima está associada diretamente com o posicionamento dos pólos e zeros finitos da função de transferência do sistema em questão. Funções de transferência que apresentam todos os seus pólos e zeros localizados no semiplano esquerdo do plano s são denominadas funções de transferência de fase mínima. Em contrapartida, se na função de transferência em questão existir pelo menos um pólo ou zero no semiplano direito do plano s, o sistema será denominado de fase não mínima. De forma a justificar tal denominação, considera-se dois sistemas lineares de primeira ordem descritos pelas funções de transferência (8.11) e (8.12), apresentadas a seguir:

1

( 1)( )

( 10)

sG s

s

+=+

(8.11)

Page 75: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 57

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2

( 1)( )

( 10)

sG s

s

−=+

(8.12)

A Fig. 3.12 apresenta os diagramas de pólos e zeros das funções

de transferência (8.11) e (8.12).

Fig. 3.12 - (a) Diagrama de pólos e zeros da função de transferência

(3.10); (b) Diagrama de pólos e zeros da função de transferência (3.11)

Pela análise da Figura 12 (item (a) e (b)) pode-se constatar que |G1(jω)|=|G2(jω)| independente do valor da frequência ω. Desta forma, os diagramas de Bode de magnitude destes dois sistemas serão idênticos. No entanto, o mesmo não ocorrerá com o diagrama de Bode de fase destes sistemas. Tal fato explica-se mediante a análise das equações de fase de cada um destes sistemas, ou seja:

Fase 1( ) arctan arctan10

G jωω ω= − (8.13)

Fase 2( ) 180 arctan arctan10

G jωω ω= ° − − (8.14)

Na equação (8.13), para valores de frequência muito

pequenos, a fase de 1( )G jω é aproximadamente zero, ocorrendo o mesmo para valores muito elevados de frequência. Para a função de transferência (8.12), a fase 2( )G jω , para valores de frequência pequenos, é praticamente 180º. O diagrama de Bode de magnitude e fase de cada um destes sistemas é apresentado nas Fig. 3.13 e Fig. 3.14.

Page 76: Apostila CCE v7(+simobologia)

58 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

System: g1Frequency (rad/sec): 94.4Magnitude (dB): -0.0484

System: g1Frequency (rad/sec): 0.0231Magnitude (dB): -20

Mag

nitu

de (

dB)

10-2 10-1 100 101 102 103

0

30

60

System: g1Frequency (rad/sec): 3.16Phase (deg): 54.9

System: g1Frequency (rad/sec): 0.0111Phase (deg): 0.794

System: g1Frequency (rad/sec): 758Phase (deg): 0.863

Pha

se (

deg)

Fig. 3.13 - Diagrama de Bode do sistema descrito pela FT da equação

(3.10)

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

System: g2Frequency (rad/sec): 0.0141Magnitude (dB): -20

System: g2Frequency (rad/sec): 295Magnitude (dB): -0.00505

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

0

45

90

135

180

System: g2Frequency (rad/sec): 0.0131Phase (deg): 179

System: g2Frequency (rad/sec): 846Phase (deg): 1

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Fig. 3.14 - Diagrama de Bode do sistema descrio pela FT da equação

(3.11)

3.2.2 Margem de fase

3.2.2.1 Introdução

No projeto de sistemas de controle em malha fechada é muitas vezes necessário analisar mais profundamente a questão da estabilidade.

Page 77: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 59

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Em particular, é normalmente desejável obter medidas de quão longe da instabilidade está o sistema nominal em malha fechada, ou seja, é necessário quantificar a estabilidade relativa do sistema em malha fechada.

Esta quantificação pode obter-se definindo medidas da distância da resposta em frequência do sistema nominal ao ponto de estabilidade crítica (-1,0).

Observação: Essas medidas servem para quantificar a tolerância na aquisição de componentes, colocar limites no desgaste admissível de peças, etc. Assumem um sistema nominal estável e quantificam algumas distâncias à estabilidade crítica.

3.2.2.2 Margens de Ganho ( MG ):

É a faixa de ganho que se pode incrementar ou decrementar a curva de resposta em frequência de módulo da função de transferência de malha aberta (de laço) de um sistema até que se alcance o ponto de estabilidade crítica. Neste ponto o sistema ainda será estável em malha fechada. A margem de ganho é medida na frequência em que a fase cruza por -180º:

( ) ( ) 1M M MG G j H jω ω = (8.15)

A (8.15) também pode ser reescrita para que a margem de ganho seja expressa em decibéis, como pode ser visto na (8.16):

120log 20log ( ) ( )

( ) ( )MdB M MM M

G G j H jG j H j

ω ωω ω

= = − (8.16)

Onde: Mω é a frequência em que a fase de ( ) ( )M MG j H jω ω é igual a 180º.

Definições: Margem de Ganho Positiva (MG +): Ganho em decibéis que se

deve somar para levar o sistema à condição de estabilidade crítica. Margem de Ganho Negativa (MG -): Ganho em decibéis que se

deve subtrair para levar o sistema à condição de estabilidade crítica. Frequência de cruzamento de ganho (Wcg): Corresponde ao

ponto em que o ganho cruza a linha de zero decibel no diagrama de módulo.

Frequência de cruzamento de fase (Wcp): Corresponde ao ponto em que a fase cruza a linha de -180 graus no diagrama de fase.

Page 78: Apostila CCE v7(+simobologia)

60 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Margem de Fase (MF): É o valor angular a ser acrescido ou decrescido à curva de fase da

resposta em frequência de um sistema operando em malha aberta na frequência em que a curva de módulo da resposta em frequência deste mesmo sistema apresenta valor unitário (ou 0.0 dB). Com isso, acaba indicando quanto a fase do sistema pode ser atrasada (na frequência de cruzamento de ganho) de forma que o sistema ainda seja estável em malha fechada.

0 0180 arg ( ) ( )M dB dBG j H jφ ω ω= ° + (8.17)

Onde: 0dBω é a frequência em que o módulo de ( ) ( )M MG j H jω ω é igual a 1 (0 dB).

Informações associadas às Margens de Ganho e de Fase podem ser obtidas diretamente dos diagramas de Bode. Para exemplificar essa análise, será utilizada uma ferramenta computacional, o MATLAB. O MATLAB (abreviatura de Matrix Laboratory) é um programa para desenvolvimento e implementação de algoritmos numéricos ou simbólicos que oferece ao usuário um ambiente interativo de programação para estudo e pesquisa nas diversas áreas das ciências exatas. Considera-se, doravante, que o leitor possui conhecimento básico desta ferramenta.

Exemplo 1: Para o sistema disposto na Fig. 3.15, serão obtidas as margens de

fase e ganho do sistema para os casos em que K = 10 e K = 100.

Fig. 3.15 - Sistema proposto para análise das margens de ganho e fase

Análise do sistema para K=10:

Page 79: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 61

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Conforme comentado anteriormente, serão utilizados comandos específicos do programa MATLAB para definir o diagrama de bode do sistema, e assim, analisar as margens de ganho e fase.

%Define a Função Transferência a ser analisada: Gs_10=tf([10],[conv([1 0],conv([1 1],[1 5]))]) %Armazena os dados relevantes da FT: margem de ganho, fase, frequências de % cruzamento. [Gma,Pma,Wcga,Wcpa] = MARGIN(Gs_10) %Plota o Diagrama de bode para visualização dos Dados. MARGIN(Gs_10)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(d

B)

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

System: Gs_10 Frequency (rad/sec): 1.22

Phase (deg): -154

-150

-100

-50

0

50Gm = 9.5424 dB (at 2.2361 rad/sec), Pm = 25.39 deg (at 1.2271 rad/sec)

System: Gs_10 Frequency (rad/sec): 2.26 Magnitude (dB): -9.77

Fig. 3.16 - Diagrama de Bode do sistema para K=10

Análise do sistema para K=100 Do mesmo modo que utilizado no item a, neste caso, o diagrama

de bode, e a análise do sistema, também foram implementados com a ajuda do MATLAB:

Page 80: Apostila CCE v7(+simobologia)

62 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

%Define a Função Transferência a ser analisada: Gs_100=tf([100],[conv([1 0],conv([1 1],[1 5]))]) %Armazena os dados relevantes da FT: margem de ganho, fase, frequências de %cruzamento. [Gmb,Pmb,Wcgb,Wcpb] = MARGIN(Gs_100) %Plota o Diagrama de bode para visualização dos Dados. MARGIN(Gs_100)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

System: Gs_100 Frequency (rad/sec): 3.86 Phase (deg): -203

-100

-50

0

50Gm = -10.458 dB (at 2.2361 rad/sec), Pm = -23.65 deg (at 3.9073 rad/sec)

System: Gs_100 Frequency (rad/sec): 2.27 Magnitude (dB): 10.2

Fig. 3.17 - Diagrama de Bode do sistema para K=100

Comparando os resultados da obtidos, tem-se:

K=100(Instável) K=10(Estável)

Ganho absoluto (dB) Gma = 0.3000(-10 dB)

Gmb = 3 (9 dB)

Fase (graus) Pma = -23.6504 Pmb =25.3898 Frequência Cruzamento

(Ganho) (rad/sec) Wcga = 2.2361 Wcgb =2.2361

Frequência Cruzamento – Fase (rad/sec)

Wcpa = 3.9073 Wcpb =1.2271

Page 81: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 63

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Lembrando: Critério de estabilidade do Bode, Gm >1 ⇔ estabilidade Critério de estabilidade Bode, MF >0 ⇔ estabilidade Exemplo 2:

No exemplo anterior, foi disponibilizado o diagrama de blocos do sistema, com suas respectivas funções de transferência. Mas, em casos onde não há função de transferência, apenas o comportamento do diagrama de bode, em relação à estabilidade do sistema, é importante definir quanto se pode atrasar a fase para que chegue a -180º.

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Ph

ase

(d

eg

)M

ag

nitu

de

(d

B)

-20

-10

0

10

20

30

40

10-1

100

101

-180

-135

-90

Fig. 3.18 - Diagrama de Bode de um sistema não especificado

Percebe-se que a frequência para a qual o módulo é 0 dB é 4.2544gw rad s≅ . Neste ponto a fase cruza em -155º. O valor para a

margem de fase, neste caso, é 25mfφ = ° . Sendo a margem de fase

positiva, então o sistema será estável em malha fechada. Dessa maneira, é possível afirmar que se este sistema for

submetido a uma entrada em degrau unitário, a curva de resposta em malha fechada tenderia a estabilização. Na Fig. 3.19 está o comportamento esperado deste sistema para esta condição:

Page 82: Apostila CCE v7(+simobologia)

64 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Fig. 3.19 - Resposta à entrada degrau do sistema analisado no exemplo

2

3.2.2.3 Resumo Utilização dos Diagramas de Bode para análise da

margem de ganho e de fase:

Vantagens: 1- Na ausência de um computador, o diagrama de Bode pode ser

obtido, de forma aproximada, através de suas propriedades assintóticas. 2- Ganho de cruzamento, fase de cruzamento, margem de ganho e

margem de fase são mais facilmente determinados no gráfico de Bode do que no gráfico de Nyquist1.

3- Para propósitos de projeto, os efeitos de adição de controladores e seus parâmetros são mais facilmente visualizados no gráfico de Bode do que no gráfico de Nyquist1.

[15] – Desenvolvido por Harry Nyquist (1932) nos laboratórios

Bell, os diagramas de Nyquist são diagramas polares, enquanto os diagramas de Bode são diagramas retangulares. Este diagrama também é

Page 83: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 65

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

comumente usado para a representação de sistema de controle com retroações lineares e invariantes no tempo, no domínio da frequência.

Desvantagens:

1- A estabilidade absoluta e relativa podem ser determinadas através do diagrama de Bode somente para sistemas de fase mínima, na qual, sua função de transferência apresenta todos os seus pólos e zeros localizados no semiplano esquerdo do plano s.

3.2.3 Lugar das raízes

3.2.3.1 Introdução

O método do Lugar Geométrico das Raízes foi desenvolvido por W. R. Evans [15] e apresentado em um artigo publicado em 1948. Este método tem por objetivo representar graficamente o deslocamento dos pólos de malha-fechada de um sistema linear quando sujeito a variação de um ou mais parâmetros. O método do LGR é muito eficiente para a análise e projeto de sistemas de controle lineares, permitindo concluir aspectos relacionados a estabilidade e a resposta transitória destes sistemas.

3.2.3.2 Utilização e Aplicação

A principal vantagem deste método é que as raízes da equação característica podem ser obtidas diretamente. Daí resulta a solução completa da resposta transitória e da resposta em regime permanente da variável controlada.

Seja o diagrama mostrado na Fig. 3.20 um representante genérico de um sistema de controle.

Page 84: Apostila CCE v7(+simobologia)

66 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

Fig. 3.20 - Diagrama de Blocos Genérico de um sistema de controle

realimentado

Sua função transferência de Malha Fechada é definida como:

( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

C s Gc s Gi s

R s Gc s Gi s H s=

+ (8.18)

Onde: 1 ( ) ( ) ( ) 0Gc s Gi s H s+ = é sua equação característica. A característica básica da resposta transitória de um sistema em

malha fechada depende essencialmente dos pólos de malha fechada. Estes são definidos como sendo as raízes da equação característica do sistema (mostrada acima).

O método do lugar das raízes é um método pelo qual as raízes da equação característica são colocadas em um gráfico para todos os valores de um parâmetro do sistema. As raízes correspondentes a um valor particular deste parâmetro podem então ser localizadas no gráfico resultante. Note que o parâmetro usualmente é o ganho, porém qualquer outra variável da função de transferência em malha aberta pode ser utilizada. Salvo menção em contrário, é considerado que o ganho da função de transferência em malha aberta é o parâmetro a ser variado através de todos os seus valores, isto é, de zero a infinito.

A estabilidade do sistema poderá ser analisada verificando a partir de qual valor de ganho K teremos raízes no semiplano direito do gráfico. Quando forem observadas raízes no semiplano direito do gráfico, teremos a instabilidade do sistema.

3.2.3.3 Regras de Construção de um LGR

O procedimento de Evans para construir o LGR consiste de uma coleção de regras para determinar se o ponto de teste, tS , no plano

Page 85: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 67

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

complexo é um pólo de malha-fechada do sistema para algum valor de K.

Regra 1: Os pólos de malha aberta são todos pontos do LGR correspondentes ao ganho K = 0.

Regra 2: O número de ramos do LGR é exatamente igual à

quantidade de raízes do denominador da função de transferência em malha-fechada.

Regra 3: Para K ≥ 0, qualquer ponto do eixo real que ficar a

esquerda de um número impar de singularidades (pólos ou zeros) localizadas também no eixo real é um ponto do LGR (Esta regra pode ser comprovada aplicando a condição angular (8.19), para testar pontos no eixo real).

( ) ( ) (2 1)180G s H s h= ± + ° (8.19)

Onde h=0,1,2,... Regra 4: O LGR é simétrico em relação ao eixo real. Regra 5: Se G(s) tem n pólos e m zeros finitos (m ≤ n) então

exatamente m ramos terminam, quando k → ∞ , em zeros finitos. Os ramos remanescentes (n-m) tendem ao infinito para k → ∞ .

A validade desta regra pode ser mostrada fazendo-se o limite para k → ∞ , da (8.20), ou seja:

1lim ( ) ( ) lim 0k kG s H s

k→∞ →∞= = (8.20)

Portanto para k → ∞ , é verdadeiro afirmar que ( ) ( ) 0G s H s → , e

para que isto ocorra, o valor de s deve ser qualquer zero finito de ( )G s . Regra 6: Se ( )G s tem n pólos e m zeros finitos (m ≤ n) então os

(n – m) ramos tendem assintoticamente, quando k → ∞ , para uma reta que intercepta o eixo real no ponto oσ e que forma um ângulo γ com o mesmo eixo real, onde:

(1 2 )180h

n mγ + °= ±

− (8.21)

Onde h=0,1,2,...

Page 86: Apostila CCE v7(+simobologia)

68 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

1 1Re( ) Re( )

n m

i li lo

p z

n mσ = =

−=

−∑ ∑ (8.22)

Regra 7: O cálculo dos pontos de entrada e de saída do Lugar Geométrico das Raízes no eixo real do plano s é realizado com base na equação (8.23), descrita abaixo:

( ) ( )0

dG s H s

ds= (8.23)

Regra 8: Nos casos em que o LGR do sistema, em análise,

apresenta raízes sobre o eixo imaginário, o valor do ganho K necessário para que ocorra tal situação poderá ser determinado empregando-se o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz2.

[16] O critério de Routh-Hurwitz é um método algébrico que

informa acerca da estabilidade absoluta de um sistema linear invariante no tempo, testando se há alguma raiz da equação característica no semi-plano direito do plano s. O método também indica quantas raízes estão sobre o eixo imaginário e quantas estão no semi-plano direito.

A fim de melhor abstrair a teoria repassada até o momento, será

utilizado um exemplo, para detalhar os passos a serem desenvolvidos para definição do LGR. Considere o sistema de controle com realimentação não unitária, mostrado na Fig. 3.21.

Fig. 3.21 - Sistema de controle com realimentação não unitária

Page 87: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 69

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

-40 -30 -20 -10 0 10 20-30

-20

-10

0

10

20

30

0.160.340.50.640.76

0.86

0.94

0.985

0.160.340.50.640.76

0.86

0.94

0.985

510152025303540

Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

Real Axis

Imag

Axi

s

Fig. 3.22 - LGR do Sistema apresentado na Fig. 3.21

1º passo: Função de transferência de malha aberta:

11 1 2

100( ) ( )

( 15 50)

KG s H s

s s s= ⋅ + +

(8.24)

Os pólos da função de transferência de malha aberta são:

1 2 30, 5 e 10p p p= = − = −

2º passo: Função de transferência de malha fechada:

( )1 1

1 3 21 1 1

( ) 100 ( 5)( )

1 ( ) ( ) 15 50 100

G s K sT s

G s H s s s s K

+= =

+ + + +

(8.25)

Equação característica: 3 2

1 1 11 ( ) ( ) 15 50 100G s H s s s s K+ ⋅ = + + +

O erro em regime, para uma entrada do tipo degrau unitário, é:

11 0 0 1

1

500( ) lim ( ) lim ( ) ( ) 5

100s s

Ky sY s sU s T s

K→ →∞ = = = = (8.26)

( ) ( ) ( ) 1 5 4e u y∞ = ∞ − ∞ = − = − (8.27)

Na Fig. 3.23, pode-se verificar a existência de um erro constante em regime, além disso, se o sistema for estável, este erro não depende do ajuste do ganho K1.

Page 88: Apostila CCE v7(+simobologia)

70 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Fig. 3.23 - Resposta temporal do sistema da Fig. 3.21 para K1=1

3º passo: Grau relativo do sistema: 3 0 0n m− = − = 4º passo: Traçado das assíntotas: Centroide:

1 1Re( ) Re( ) 0 5 10

53

n m

i li lo

p z

n mσ = =

− − −= = = −−

∑ ∑ (8.28)

Ângulos:

(1 2 )180h

n mγ + °= ±

−, onde h=0, 1, 2,.. (8.29)

18060

3oγ = = ° (8.30)

1

3 180180

3γ ⋅= = ° (8.31)

Page 89: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 71

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2

5 180300 60

3γ ⋅= = ° = − ° (8.32)

5º passo: Ponto de partida do LGR: 2

1 13 2 3 2 2

( ( ) ( )) 100 (3 30 50) 100 0

15 50 ( 15 50 )

d G s H s d s s

ds ds s s s s s s

+ + ⋅ − = = + + + + (8.33)

23 30 50 0s s+ + = (8.34)

1

2

2.11

7.88

r

r

= −

= − (8.35)

Como o ponto 2 7.88r = − não pertence ao LGR, o ponto de

partida é 1 2.11r = − . Para obter o valor do ganho 1K para que a resposta do sistema não apresente oscilação, calcula-se a contribuição dos pólos (e zeros se houver) no ponto de partida –2.11. A Fig. 3.24, mostra a resposta temporal quando os pólos em malha fechada estão localizados em –2.11.

1 1100 2.11 (5 2.11) (10 2.11) 0.4811K K= ⋅ − ⋅ − → = (8.36)

Page 90: Apostila CCE v7(+simobologia)

72 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Fig. 3.24 - Resposta temporal do sistema da Fiug. 3.21 para K1=0.4811

6º passo: Faixa de ganho em que o sistema é estável.

3 21 1( ) 15 50 100Q s s s s K= + + + 3

21

1 1

01

1 50

15 100

750 1000

15100

s

s K

Ks

s K

Logo, para 1 0K ≥ e 1 7.5K ≤ , o sistema é estável. 7º passo: Determinação dos pólos de malha fechada. Substituindo o valor de 1 7.5K = na equação característica obtêm-

se os valores das raízes quando o sistema é marginalmente estável:

Page 91: Apostila CCE v7(+simobologia)

Revisão dos Conceitos Básicos de Controle 73

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

13 2

1 2

3

7.07

( ) 15 50 750 7.07

15

r j

Q s s s s r j

r

= −= + + + = + = −

Substituindo o valor de 1 1K = na equação característica obtêm-se os valores dos pólos em malha fechada:

( )oI1

3 21 2

3

1.811 2.347

( ) 15 50 100 1.811 2.347

11.378

r j

Q s s s s r j

r

= − −= + + + = − + = −

Com base nestes dados, é possível chegar ao esboço do LGR deste sistema, disposto na Figura 22. Contudo, há diversas particularidades vinculadas ao esboço do LGR, e mesmo seguindo as regras sugeridas anteriormente, é necessário muita prática para esboçar rapidamente o LGR de um dado sistema. Dessa forma, também é interessante consultar outras referências bibliográficas para analisar outros casos dos diagramas de lugares das raízes.

3.2.3.4 Observações:

1)A introdução de um zero à esquerda dos pólos tem por efeito deslocar o lugar das raízes para a esquerda, tendendo a tornar o sistema mais estável e com menor tempo de acomodação.

2)A introdução de um pólo à esquerda tem por efeito deslocar o LGR para a direita, tendendo a tornar o sistema menos estável e com maior tempo de acomodação.

3.2.3.5 Procedimento Resumido para aplicação do Método do

Lugar das Raízes - LGR:

1 – Determinar a função transferência de malha aberta G(s)H(s) do sistema.

2 – Fatorar o numerador e o denominador de G(s)H(s) em termos da forma “s+a”, onde “a” pode ser real ou complexo.

3 – Assinalar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano s=σ+jω. 4 – Os pólos e zeros de G(s)H(s) determinam as raízes da

equação característica [1+G(s)H(s)=0] da função de transferência de malha fechada.

5 – Graduar o lugar das raízes em função dos valores do ganho K.

Page 92: Apostila CCE v7(+simobologia)

74 Revisão dos Conceitos Básicos de Controle

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PGEEL

a) Se o ganho for preestabelecido, sabe-se imediatamente a localização das raízes.

b) Se a localização das raízes de [1 + G(s)H(s) = 0] for estabelecida, pode-se obter o ganho K.

6 – Determinadas as raízes de [1 + G(s)H(s) = 0], pode-se calcular a resposta do sistema tomando-se a transformada inversa de Laplace.

7 – Se a resposta não atender às especificações de desempenho desejado, determinar a forma que o LGR deveria apresentar para atendê-las.

8 – Sintetizar a estrutura a ser acrescentada ao sistema a fim de produzir a modificação pretendida do LGR original: compensação do LGR.

Page 93: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 75

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

4 Modelagem do conversor BUCK em condução contínua

[20] [21] [22]

4.1 Introdução

Neste capítulo são apresentados os modelos dos conversores BUCK, BOOST e BUCK-BOOST operando no modo de condução contínua. Para os três conversores serão apresentados os modelos de tensão e modelo de corrente em função da razão cíclica e apenas para o BUCK e BOOST serão apresentados o modelo de tensão em função da corrente.

Antes da apresentação dos modelos dos Conversores em condução contínua, serão apresentadas as etapas de operação dos conversores para melhor entendimento do equacionamento.

Ainda, com o objetivo de completar e validar o estudo, para cada modelo de conversor, será apresentada uma simulação feita no software PSIM (Power Simulator) e seus resultados bem como comentários sobre os resultados obtidos.

4.2 Modelagem do Conversor BUCK em Modo de

Condução Contínua

Os conversores cc-cc são utilizados para controlar o fluxo de energia entre dois sistemas de corrente contínua. O conversor BUCK é um conversor utilizado quando se deseja obter uma tensão de saída menor do que a tensão de entrada. Ou seja, converte uma tensão cc de entrada em uma tensão de saída também cc de valor menor.

Esses conversores são utilizados principalmente em fontes de alimentação chaveadas e para controle de velocidade de motores de corrente contínua. Alguns conversores que empregam o modelo do conversor Buck são: Forward, Conversor meia ponte com comutação suave, conversor ponte completa com comutação suave, conversor 3 níveis com comutação, inversores de tensão com filtro LC. Os circuitos desses conversores podem ser vistos nas figuras a seguir.

Page 94: Apostila CCE v7(+simobologia)

76 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.1 – Circuito do conversor Forward empregando o modelo do

conversor BUCK.

Fig. 4.2 – Circuito do conversor meia ponte com comutação suave

empregando o modelo do conversor BUCK.

Fig. 4.3 – Circuito do conversor ponte completa com comutação suave

empregando o modelo do conversor BUCK.

Page 95: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 77

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.4 – Circuito do conversor 3 níveis com comutação suave

empregando o modelo do conversor BUCK.

Fig. 4.5 – Circuito do conversor 3 níveis com comutação suave

empregando o modelo do conversor BUCK.

O circuito básico do conversor BUCK pode ser representado pela Fig. 4.6. A fonte de tensão de entrada contínua é representada por Vg, o indutor e o diodo de roda livre são, respectivamente, L e D. Na saída o filtro RC é representado pelo capacitor C e o resistor R. Tal filtro RC em muitas literaturas é representado por V0 (tensão de saída) visto que a tensão no filtro é constante, quando a razão cíclica for, e facilita a análise da tensão de saída em função da tensão de entrada (modelo cc).

Page 96: Apostila CCE v7(+simobologia)

78 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.6 – Circuito do conversor BUCK em condução contínua.

O circuito do conversor Buck tem duas etapas de operação. Na

primeira etapa, representada pela Fig. 4.7, a chave S está fechada e o diodo D está inversamente polarizado e pode ser desconsiderado na analise. O capacitor C está sendo carregado.

Fig. 4.7 – Conversor BUCK na primeira etapa de operação: chave S

fechada.

Na segunda etapa, representada pela Fig. 4.8, a chave S está

aberta, excluindo assim a fonte Vg do circuito. Já o diodo de roda-livre D entra em funcionamento fazendo com que a corrente no indutor, exclusiva da energia acumulada no mesmo, passe a fluir pela carga e os demais componentes. A corrente no indutor cresce do valor mínimo até

o valor máximo com característica linear e derivada dada por gV V

L

−.

Page 97: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 79

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.8 - Conversor BUCK na segunda etapa de operação: chave S

aberta.

Para a primeira etapa de operação, são válidas as seguintes

equações:

( ) ( ) ( )L gv t v t v t= − (9.1)

( )( ) ( ) ( ) ( )C L R L

v ti t i t i t i t

R= − = − (9.2)

( ) ( )g Li t i t= (9.3)

Para a segunda etapa, são válidas as seguintes equações:

( ) ( )Lv t v t= − (9.4)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )C L R L

v ti t i t i t i t

R t= − = − (9.5)

( ) 0gi t = (9.6)

As etapas de funcionamento do circuito do Buck, que estão

representadas pelas equações acima, também podem ser representadas pelas formas de onda mais básicas do conversor cc-cc Buck na Fig 4.9.

Page 98: Apostila CCE v7(+simobologia)

80 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.9 – a) Tensão sobre o diodo D - b) Corrente sobre o indutor L -

c) Corrente sobre a fonte de tensão de entrada Vg - d) Corrente sobre o diodo D. Intervalos de tempo: “ton” – primeira etapa onde a chave S está fechada e o diodo esta inversamente polarizado. “ toff” – segunda etapa onde a chave S está aberta e o diodo esta em roda livre. “T”

período de comutação.

Page 99: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 81

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

4.3 Modelo de Tensão do Conversor BUCK v(s) / d(s)

A tensão média no diodo para o modo de condução contínua é:

gV D , onde Vg é a tensão de entrada e D a razão cíclica. Sendo assim,

pode-se considerar o modelo da Fig. 4.10 para a análise e obtenção da função de transferência (FT) do conversor Buck.

Fig. 4.10 - Modelo simplificado do conversor BUCK para obtenção da

FT.

Nesse estado topológico as seguintes equações são verdadeiras:

(9.7)

( )( ) ( )l c

v ti t i t

R= + (9.8)

( )( )c

Cdv ti t

dt= (9.9)

Onde i l e ic são as correntes no indutor e no capacitor,

respectivamente. A tensão de saída é a própria tensão no capacitor, representada por vc.

Substituindo as equações (4.7) e (4.8) na equação (4.9) chega-se na equação (4.10) abaixo:

2

2

( ) ( ). . . ( ) .g

d v t L dv tL C v t V D

dt R dt+ + = (9.10)

( ). ( ) 0l

g

Ldi tV D v t

dt

− + + =

Page 100: Apostila CCE v7(+simobologia)

82 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Para continuação do equacionamento será necessário introduzir o conceito de valor médio instantâneo: definindo como o valor médio de uma grandeza em um período de comutação Ts. Assim, por exemplo, para a corrente no indutor tem-se:

1( )

s

t Ts

l T ti t d

Tsτ τ

+= = ∫ (9.11)

Em regime permanente a tensão média do indutor e a corrente média do capacitor são nulas. Ainda, as correntes e tensões médias são funções não lineares da razão cíclica. A representação média do circuito para um conversor chaveado é muito útil para análise e simulação do conversor.

A hipótese básica considerada é que as constantes de tempo do conversor são muito maiores que o período de comutação Ts. Pode-se realizar a média das formas de onda em um intervalo de tempo suficientemente curto se comparado com as constantes de tempo do conversor, sem alterar significativamente a resposta do sistema. Desta forma, o modelo médio resultante prediz o comportamento em baixa freqüência do conversor, enquanto despreza as harmônicas em alta freqüência produzidas pelas comutações.

Perturbações: muitas plantas não são lineares, o que dificulta o emprego das técnicas de controle conhecidas. Com a aplicação da técnica de modelagem em pequenos sinais são obtidos modelos lineares, através da linearização em torno de um ponto de operação. Provoca-se uma pequena variação, ou perturbação na variável de entrada e esta variação provoca uma perturbação na variável de saída, considerada nesse método, linearizada.

A analise despreza a variação de alta freqüência, resultado da comutação do conversor. A interferência do chaveamento é subtraída da análise pelo calculo do valor médio das variáveis em um período de chaveamento. Considera-se o efeito de uma pequena variação no sinal de entrada.

Em síntese, aplicando uma perturbação no sistema(escrevendo o sinal como seu valor médio mais uma pequena variação), representadas pelas equações (4.12) até (4.14), chega-se na equação (4.15):

^

( ) ( )d t D d t= + (9.12)

^

( ) ( )g g gV t V v t= + (9.13)

Page 101: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 83

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

^

( ) ( )v t V v t= + (9.14)

Onde:

^

( )D d t>>

^

( )lI i t>>

^

( )g gV v t>>

^ ^^ ^

22

( ) ( ). . . ( ) . ( )gg

V v t L V v tL C d d V v t V D v t

R dtdt

+ + + + + = +

(9.15)

Separando apenas os termos CC da equação (4.15), chega-se na equação que define o modelo do conversor BUCK (modelo CC), conforme equação (4.16):

22

. . . .g

V L VL C d d V V D

dt R dt+ + = (9.16)

Como a derivada de uma constante é igual à zero, a equação (4.16) pode ser reescrita como:

.gV V D= (9.17)

g

VD

V= (9.18)

Agora separando apenas os termos CA da equação (4.15) e em seguida aplicando Laplace, encontra-se a planta de tensão V(s) em função da razão cíclica d(s) do conversor BUCK:

Equação (4.15) escrita apenas em termos CA: ^ ^

2 ^

2

( ) ( ). . . ( )g

d v t L d v tL C V v t

dt R dt+ + =

2. . ( ) . . ( ) ( ) . ( )g

LL C s v s s v s v s V d s

R+ + = (9.19)

Page 102: Apostila CCE v7(+simobologia)

84 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2 .( ). . . 1 . ( )g

L sv s L C s V d s

R + + =

(9.20)

2

( ).( ) . . 1

gVv sL sd s L C sR

=+ +

(9.21)

A equação (9.21) define a planta de tensão do conversor BUCK em função da razão cíclica. Para baixas freqüências, vale a análise cc representado pela equação (9.18).

Para comprovar o equacionamento, tal planta será simulada no PSIM, juntamente com o circuito BUCK apropriadamente projetado para que sejam comparados os resultados. Para validar essas simulações e também a planta de tensão obtida acima é interessante que sejam aplicados degraus na razão cíclica, ou então na carga conversor. Como o conversor BUCK é um conversor linear, é esperado que os resultados obtidos nas simulações da planta e do circuito para a resposta ao degrau sejam bem próximos.

4.3.1 Simulação da Planta de tensão em função da razão

cíclica V(s) / d(s)

A tabela 4.1 apresenta os parâmetros do conversor BUCK usado na simulação no PSIM. Como o foco desse estudo não é o projeto do conversor e sim a modelagem do conversor BUCK, os cálculos do projeto do conversor estão omitidos.

Tabela 4.1 - Parâmetros do conversor Buck

Especificações dos Componentes

Tensão de Saída (V0) 48V

Tensão de Entrada (Vi) 400V

Potencia de Saída (Pout ) 1kW

Freqüência de Comutação (sf ) 20kHz

Razão Cíclica para MCC (D ) 0,12

Page 103: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 85

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Resistor 2,3Ω

Capacitor 100µF

Indutor 500µH

Para verificar o comportamento da planta de tensão foi simulado

o conversor com variações na razão cíclica.

Fig. 4.11 – Circuito do conversor Buck e planta V0(s)/d(s) simulado no

PSIM.

O Fig. 4.11 representa o circuito do conversor Buck operando em modo de condução contínua simulado no PSIM. A parte mais abaixo da figura esta representada o circuito propriamente dito, onde estão representados a fonte de entrada Vin, o indutor L, o capacitor C e o resistor R, cujos valores encontram-se na Tabela 4.1.

Na parte superior da figura, estão representados a planta de tensão em função da razão cíclica (H(s)) e também o sinal da chave: referencia e portadora. Em série com o sinal de referencia esta um degrau que será aplicado no sistema, para verificar a resposta do sistema ao degrau. O sinal da portadora é representado por um sinal dente de serra.

Page 104: Apostila CCE v7(+simobologia)

86 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.12 - V0 para simulação PSIM sem degrau.

Fig. 4.13 - V0 simulação PSIM com d(s) = 10%: tensão de

saída do circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul).

Fig. 4.14 – V0 simulação PSIM com d(s) = 20%: tensão de saída do

circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul).

Page 105: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 87

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.15 - V0 simulação PSIM com d(s) = 50%: tensão de saída do circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul).

Fig. 4.16 – Dente de Serra e referencia para uma variação na razão

cíclica de 50%.

Nas figuras anteriores foram aplicados degraus de 10%, 20% e

50%, em relação a razão cíclica, na referencia do sinal da chave do circuito do Buck. Com isso, a tensão se estabilizou em 52,8V, 57,6V e 72V respectivamente. Uma vez que o circuito e a planta do conversor Buck são naturalmente estáveis, mesmo com uma variação de 50% da razão cíclica, o sistema não se torna instável.

4.4 Modelo de Corrente do Conversor BUCK I0(s) / d(s)

Na maioria dos conversores é adotada a topologia de controle da corrente no indutor, uma vez que a medição de corrente pode ser feita de maneira direta. Desse modo, é necessário que a planta de corrente do conversor seja definida com o objetivo de conhecer seu comportamento em malha aberta e posteriormente escolher o controle que mais se

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88 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

adequar para a planta. Sendo assim, reescrevendo a equação (9.1), tem-se:

( )( ) . il

g

Ld tv t V D

dt = −

(9.22)

Substituindo a equação (9.22) em (9.2):

( )1( ) ( ) . . . l

l c g

di ti t i t V D L

R dt = + −

(9.23)

( )( ) 1( ) . . . . l

l g

di tdv ti t C V D L

dt R dt = + −

(9.24)

Derivando a equação (9.22) e substituindo na equação (9.24): 2

2

( ). ( ) ( )1( ) . . . . .g l l

l g

dV t D d i t di ti t C CL V D L

dt dt R dt = − + −

(9.25)

2

2

( ). .( ). . ( ) . g gl l

l

dV t D V Dd i t diLCL i t C

dt R dt dt R+ + = + (9.26)

Para que seja possível modelar a planta de corrente em função da razão cíclica é necessário que seja aplicado uma perturbação na equação (9.26) acima, depois separado apenas a parte CA do sistema (9.27) e em seguida aplicado Lapalce (9.28):

^ ^^ ^2 ^

2

( ). ( ) . ( )( ) ( ). . ( ) . g gl l

l

dV t d t V d td i t d i tLCL i t C

dt R dt dt R+ + = + (9.27)

2. . ( ) . . ( ) ( ) . . . ( ) ( )gl l l g

VLCL s i s s i s i s C sV d s d s

R R+ + = + (9.28)

2( ). . . 1 ( ). . . gl g

VLi s CL s s d s C sV

R R

+ + = + (9.29)

[ ]2( ). . . 1 ( ). . . 1gl

VLi s CL s s d s R Cs

R R + + = +

(9.30)

Page 107: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 89

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2

( ) . 1.

( ) . . 1

glVi s R Cs

Ld s R CL s sR

+= + +

(9.31)

A equação (9.31) acima define a planta de corrente do conversor BUCK em função da razão cíclica que será simulado no PSIM para validação do equacionamento. Em baixas freqüências a corrente do indutor irá depender da razão entre a tensão de entrada e a resistência de carga.

4.4.1 Simulação da Planta de corrente em função da razão

cíclica I0(s) / d(s)

Assim como foi feito para planta de tensão em função da razão cíclica, serão utilizados os parâmetros da Tabela 1 para simular a planta de corrente em função da razão cíclica. Seguindo na mesma linha, serão feitas variações na razão cíclica para validar a planta obtida na equação (4.30).

Fig. 4.17 – Circuito do conversor Buck e planta I0(s)/d(s) simulado no

PSIM.

Page 108: Apostila CCE v7(+simobologia)

90 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

O circuito acima é praticamente o mesmo representado e simulado na Fig. 4.11, sendo que a única diferença esta na planta de corrente em função da razão cíclica, representado por H(s).

Fig. 4.18 - Corrente no indutor do circuito simulado(vermelho) e

corrente no indutor na planta simulada(azul) sem aplicação de degrau.

Fig. 4.19 - Planta de corrente em função de d(s) simulação PSIM com

d(s) = 10%: Corrente no indutor do circuito simulado(vermelho) e corrente no indutor na planta simulada(azul).

Fig. 4.20 - Planta de corrente em função de d(s) simulação PSIM com

d(s) = 20%: Corrente no indutor do circuito simulado(vermelho) e corrente no indutor na planta simulada(azul).

Page 109: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 91

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.21 - Planta de corrente em função de d(s) simulação PSIM com

d(s) = 50%: Corrente no indutor do circuito simulado(vermelho) e corrente no indutor na planta simulada(azul).

Assim como para as simulações da planta de tensão em função da razão cíclica, a simulação da corrente no indutor em função da razão cíclica mostrou que, mesmo com variações altas na razão cíclica, ou degraus, tanto o circuito simulado do Buck, quanto à planta simulada se mantiveram estáveis. Ainda, a corrente no indutor da planta simulada, embora apresente um pequeno atraso na resposta ao degrau se comparado a corrente do indutor do circuito, se apresentou bastante próxima dos valores esperados, principalmente em regime, o que valida o equacionamento.

4.5 Modelo de Tensão em função da Corrente do

Conversor BUCK V(s) / I0(s)

Para algumas estratégias de controle, é interessante que seja feito o controle não só da tensão ou da corrente, mas sim dos dois sinais. Para isso é acrescentada, por exemplo, uma malha de controle de tensão, externa ao controle de corrente, onde o sinal de entrada será a própria corrente. Para que esse sinal possa ser considerado constante para a malha externa (tensão), é interessante que a malha interna (corrente) seja muito mais rápida que a malha externa. Nesse capítulo o foco não é o controle do conversor, mas sim em seu modelo.

Sendo assim, a seguir será apresentado o modelo de V0/IL, que poderá ser utilizado como planta para malha externa de um controle de corrente e tensão.

Reescrevendo a equação (9.2) chega-se na equação (9.32):

Page 110: Apostila CCE v7(+simobologia)

92 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )( ) .l

dv v ti t C

dt R= + (9.32)

Aplicando uma perturbação em ( )v t e ( )li t :

^^

^. ( )

( )( ) ( ) .ll

d V v tV v t

I t i t Cdt R R

+ + = + +

(9.33)

Separando os termos CC da equação (9.33):

.( ) .l

d V VI t C

dt R = +

(9.34)

Como a derivada de uma constante é igual a zero, a equação (9.34) acima pode ser reescrita como:

( )l

VI t

R= (9.35)

Agora reorganizando, os termos CA da equação (9.28) e em seguida aplicando Laplace:

^ ^^ . ( ) ( )

( ) .ld v t v t

i t Cdt R

= + (9.36)

( ) . . ( ) ( )l

VI s C sV s s

R= + (9.37)

( ) 11( ) .l

V s

I s C sR

=+

(9.38)

A equação (9.38) acima representa a planta de tensão em função da corrente. Essa equação será simulada junto às funções de tensão e de corrente em função da razão cíclica para validação dos modelos.

Page 111: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 93

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

4.5.1 Simulação da Planta de tensão em função da corrente

V(s) / I0(s)

Assim como foi feito para as plantas anteriores, serão utilizados os parâmetros da Tabela 1 para simular a planta de tensão em função da corrente. Seguindo na mesma linha, serão feitas variações na razão cíclica para validar a planta obtida na equação (9.31).

Fig. 4.22 – Circuito do conversor Buck e planta V0(s)/I0(s) simulado no

PSIM.

Novamente, o circuito acima é praticamente o mesmo representado e simulado na Fig. 4.11, sendo que a única diferença esta na planta de tensão de saída em função da corrente do indutor que agora está representado por H(s). Os demais cometários referentes a Fig 4.11 se mantém.

Page 112: Apostila CCE v7(+simobologia)

94 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.23 - V0 simulação PSIM se degra: tensão de saída do circuito

(vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul).

Fig. 4.24 - V0 simulação PSIM com degrau de 10%: tensão de saída do

circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul).

Fig. 4.25 - V0 simulação PSIM com degrau de 20%: tensão de saída do

circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul).

Page 113: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 95

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 4.26 - V0 simulação PSIM com degrau de 50%: tensão de saída do

circuito (vermelho) e tensão de saída da planta simulada (azul).

Assim como foi feito para as simulações da planta de tensão em função da razão cíclica, para a simulação da planta da tensão de saída em função da corrente no indutor foram aplicados degraus de 10%, 20% e 50% na referencia do sinal da chave do circuito do Buck. Com isso, a tensão se estabilizou em 52,8V, 57,6V e 72V respectivamente, como era de se esperar. Uma vez que o circuito e a planta do conversor Buck são naturalmente estáveis, mesmo com uma variação de 50% da razão cíclica, o sistema não se torna instável. Mais uma vez, a planta encontrada por equacionamento se mostrou válida.

4.6 Conclusões

Através das simulações feitas no PSIM foi comprovada a validade dos modelos de pequenos sinais do conversor Buck obtidos por meio de equacionamento. Observando as figuras da planta de tensão em função da razão cíclica e da tensão em função da corrente no indutor observa-se nas que a tensão V0 se “estabiliza” em 48V com D=0,12 como era de se esperar e tem resposta rápida ao degrau, além claro de se manter estável. Isso se deve ao fato do conversor Buck ser um conversor linear. Com a variação da razão cíclica (10%, 20% e 50%) o sistema continua se mantendo estável, devido à linearidade do conversor Buck.

Para o caso da planta de corrente em função da razão cíclica a estabilidade do sistema também é comprovada, pois apenas a função de transferência mudou e o sistema é o mesmo. Nessa planta a corrente se estabiliza em 20,87A (VC/R) com D=0,12 e tem resposta estável ao degrau.

Dessa forma, as simulações obtidas através do PSIM validam as plantas obtidas através das funções de transferência. As repostas ao

Page 114: Apostila CCE v7(+simobologia)

96 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

degrau para casa situação também estão dentro do esperado para cada planta.

5 Modelagem do conversor BOOST em condução contínua

[23]

5.1 INTRODUÇÃO

A crescente evolução das soluções eletrônicas, bem como, sua viabilidade econômica e técnica vem aumentando e destacando a aplicação de conversores de CC-CC em variados ramos de aplicação.

Neste trabalho é apresentado o modelamento do conversor Boost em condução contínua para pequenos sinais, que se trata de um elevador de tensão com relação não linear entre tensão de entrada e saída em função do razão cíclica.

Este conversor é amplamente utilizado em circuitos de correção de fator de potência, ou seja, esta modelagem tem grande aplicabilidade. Desta forma, a busca por modelos e formas de controle deste conversor segue a uma tendência de aprimoramento e evolução.

5.2 CONVERSOR BOOST

O conversor Boost trata-se de um elevador de tensão, caracterizado por ter entrada em corrente e saída em tensão. Na Erro! Fonte de referência não encontrada. é apresentada a configuração básica do conversor, o qual em tese tem como menor valor de saída à própria tensão de entrada. Este conversor é bem exposto e descrito na referência [24].

O circuito consiste na aplicação de um interruptor S, um diodo D, um indutor L, uma fonte constante E na entrada, um capacitor C utilizado como filtro, além da carga representada pelo resistor R, demonstrado na Fig. 5.1.

Fig. 5.1 - Circuito Boost

Page 115: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 97

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Este conversor pode operar no modo de operação contínuo ou descontínuo, ou seja, a corrente no indutor pode ou não chegar à zero.

Neste trabalho será analisada apenas a operação do conversor em modo contínuo (CCM), sendo assim, existem duas etapas de operação, sendo: Na primeira etapa a chave S está conduzindo, o indutor L é magnetizado e a fonte E fornece energia ao indutor. O capacitor C previamente carregado fornece energia à carga R, conforme visualizado na Erro! Fonte de referência não encontrada.. Na segunda etapa a chave S está bloqueada, o diodo D entra em condução, a fonte E e o indutor L fornecem energia à saída, conforme visualizado na Fig. 5.3. Como consequência, a tensão na carga R aumenta.

Fig. 5.2 - Primeira etapa de operação conversor Boost

Fig. 5.3 - Segunda etapa de operação conversor Boost

As formas de onda dos componentes principais do conversor são apresentadas na Fig. 5.4.

Page 116: Apostila CCE v7(+simobologia)

98 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 5.4 - Formas de onda do conversor Boost

Para o cálculo do ganho do conversor em regime permanente, a tensão média no indutor deve ser zero, conforme a equação (10.1). Calculando o valor médio de Lv chega-se na equação (10.2), que demonstra a relação do ganho do conversor com a razão cíclica D.

( )

( )1

0

1 0

D TD T

L o

D T

v E dt E V dtT

− = + − =

∫ ∫ (10.1)

Page 117: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 99

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

1

1

Vo

E D=

− (10.2)

5.3 MODELO CONVERSOR

Devido ao fato deste conversor possuir a característica de uma fonte de corrente na entrada (indutor L em série com a fonte de tensão E), o modelamento é realizado conforme o procedimento a seguir: Realiza-se o cálculo da tensão média no indutor L e da corrente média no capacitor C, depois é aplicado uma perturbação no sistema e isolado os termos de 1º ordem. Ao final do processo, é aplicada a transformada de Laplace nas equações resultantes, visando à obtenção dos modelos de tensão e corrente de saída pela razão cíclica e do modelo de tensão de saída pela corrente de saída.

5.3.1 Etapas de Operação BOOST condução contínua

Com o interruptor fechado, a somatória das tensões é apresentada em (10.3), além disso, vale lembrar a equação de corrente dos capacitores (10.4).

0LE v− + = (10.3)

( )( )C

v ti t

R

−= (10.4)

Na segunda etapa de operação, obtém-se também a malha de tensão (10.5), bem como a malha de corrente (10.6), que culminam em (10.7).

( ) ( ) 0LE v t v t− + + = (10.5)

( ) ( ) ( )L C Ri t i t i t= + (10.6)

( ) ( ) ( )C L

v ti t i t

R= − (10.7)

Obtêm-se os valores médios para as tensões do indutor ( )Lmedv , e

corrente do capacitor( )Cmedi , as quais são calculadas e definidas em (10.10) e (10.14):

Page 118: Apostila CCE v7(+simobologia)

100 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( ) 1 s

s

t T

L Ts t

v t dT

δ δ+

< > = ∫ (10.8)

( ) ( )1 1( )

c s

s

t T t T

L Ts st t

v t Ed E v t dT T

δ δ+ +

< > = + −∫ ∫ (10.9)

( ) ( ) ( )1 1( )

sL T c s cs s

v t ET E v t T TT T

< > = + − − (10.10)

Lembrando que cT equivale à razão cíclica multiplicada pelo

período SDT , e seu complemento é 1-D além da equação de tensão para indutores (10.11). Com todas estas considerações obtém-se (10.12).

( ) ( )sL T L

dv t L i t

dt < > =

(10.11)

( ) ( )( ) (1 )L

dL i t E v t d t

dt = − −

(10.12)

( ) ( )sc T c

di t C v t

dt < > =

(10.13)

Utilizando a mesma análise para o cálculo da corrente no capacitor, manipulando (10.13) chega-se a (10.16):

( ) ( )1 ( ) 1 ( )s s

s

t T t T

c T Ls st t

v t v ti t d i t d

T R T Rδ δ

+ +− < > = + +

∫ ∫ (10.14)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 1 (1 )c L

v t d t v tdC v t i t d t d t

dt R R = + − − −

(10.15)

( ) ( )( ) ( )( ) 1c L

v tdC v t i t d t

dt R = − −

(10.16)

5.3.2 Modelagem de pequenos sinais

Neste desenvolvimento optou-se por utilizar a abordagem de pequenos sinais, ou seja, pequenas variações no sistema com o intuito de avaliar seu comportamento, principalmente sua saída diante de tais perturbações. As grandezas abordadas são (10.17) a (10.20).

( ) ( )^ ^ | |d t D d t D d= + ≫ (10.17)

Page 119: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 101

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( ) ( )^ ^ | |L L L LiL t I i t I i= + ≫ (10.18)

( ) ( )^ ^ | |E t E e t E e= + ≫ (10.19)

( ) ( )^ ^ | |v t V v t V v= + ≫ (10.20)

Aplicando perturbações nas equações (10.12) e (10.16), chega-se a (10.23) e (10.26).

( ) ( ) ( )( ) ( )( )^ ^ ^ ^) 1L

d dL I i t E e t V v t D d t

dt dt + = + − + − +

(10.21)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

^ ^ ^ ^

^ ^ ^

)

L

d dL I i t E e t V V D V d t v t

dt dt

v t D v t d t

+ = + − + + − +

+ + (10.22)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

^ ^ ^ ^

^ ^ ^

)

L

d dL I i t E V V D e t v t V d t

dt dt

v t D v t d t

+ = − + + − + +

+ + (10.23)

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

^^

^ ^ ^( 1L

v td d VC V v t

dt dt R R

I i V v t D d t

− + = − +

+ − + − ++

(10.24)

( ) ( ) ( )

( )

^^ ^

^ ^ ^ ^

)

L L L

v td d VC V v t I I D I d t

dt dt R R

i i D i d t

− + = − + − − +

+ − − (10.25)

( ) ( )

( ) ( )

^^

^ ^ ^ ^ ^

)

L L L

v td d VC V v t I I D

dt dt R R

I d t i i D i d t

− + = + − − −

− + − − (10.26)

Pode-se verificar a existência de termos constantes, que representam o conversor em regime permanente, termos de primeira ordem e termos de segunda ordem. Como foi previamente exposto, as variações são muito pequenas em relação aos valores obtidos no ponto de operação em análise. Com isso, os termos de segunda ordem serão desconsiderados e assim, somente os termos de primeira ordem serão avaliados, esta abordagem é feita e descrita em [25].

Page 120: Apostila CCE v7(+simobologia)

102 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

5.3.2.1 Transformada de Laplace

A sequência da análise de pequenos sinais é feita aplicando-se a transformada de Laplace nas equações (10.23) e (10.26). Considerando apenas os termos de primeira ordem, chegando-se a (10.29) e (10.30).

( ) ( ) ( ) ( )^ ^ ^ ^ ^) ( ) L

dL i t e t V d t v t v t D

dt = + − +

(10.27)

( ) ( ) ( )^

^ ^ ^ ^) L L

v tdC v t I d t i i D

dt R = − − + −

(10.28)

( ) ( ) ( ) ( ) (1 )L gL si s v s V d s v s D= + − − (10.29)

( ) ( ) ( )( ) (1 )L

v sC sv s I d s i s D

R

−= − + − (10.30)

Manipulando a equação (10.30) define-se (10.32).

( ) ( )1 (1 )Lv s C s I d s i D

R + = − + −

(10.31)

( ) ( ) ( ) (1 )

1

LI d s i s Dv s

C sR

− + −=

+ (10.32)

Substituindo (10.32) em (10.29) e com manipulações matemáticas obtém-se (10.38).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 )

1

LL

I d s i s DL si s e s V d s D

C sR

− + −

= + − − +

(10.33)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 )

1

L

L

I d s i s De s V d s D

C sRi s

L s

− + −

+ − − + = (10.34)

Avaliando apenas a influência da variação na razão cíclica sobre a corrente no indutor, logo, e(s) =0, define-se (10.35):

Page 121: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 103

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )

( ) ( ) ( ) (1 ) (1 )

1

L

L

I d s i s DV d s D

C sRi s

L s

− + −

− − + = (10.35)

( )( ) ( )( ) ( ) ( )21

1 1

1

L

L

Vd s Cs i s D d s I DR

i sLs Cs

R

+ − − + − =

+

(10.36)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 11 1Li s Ls Cs D Vd s Cs d s I D

R R

+ + − = + + −

(10.37)

( )( )

( )2

1( ) 1

1 1

L

d s V C s I DR

i sL s C s D

R

+ + − = + + −

(10.38)

Levando-se em consideração as equações básicas do conversor Boost (10.39) a (10.42), e chega-se (10.44).

( )1

1

V

E D=

− (10.39)

(1 )E V D= − (10.40)

Considerando a potência de entrada igual à de saída, chega-se (10.42):

2VEI

R= (10.41)

( )1V

I DR

− = (10.42)

( )( ) ( )2

1

11

L

VV Cs

i s R R

d sLs Cs D

R

+ + =

+ + −

(10.43)

2 2

( ) 2

( ) (1 )Li s V RC s V

d s R LC s L s R D

+=+ + −

(10.44)

Page 122: Apostila CCE v7(+simobologia)

104 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Colocando no formato padrão, chega-se (10.45).

22

2 ( )

( ) (1 )

L

V Vsi s L R LC

d s s Ds

RC LC

+=

−+ + (10.45)

Agora, fazendo as mesmas substituições para a tensão do capacitor, juntamente com a equação (10.46), culmina na equação (10.48).

( ) ( ) ( ) ( ) (1 )

L

e s V d s v s Di s

L s

+ − −= (10.46)

( ) ( ) ( )( ) (1 )L

v sC sv s I d s i s D

R

−= − + − (10.47)

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2

1 1

(1 ) (1 )

d s V R D L I R s e s D Rv s

LC R s L s R D LC R s L s R D

− − − = ++ + − + + −

(10.48)

Avaliando apenas a influência da variação na razão cíclica sobre a tensão do capacitor, logo, e(s) =0, chega-se à (10.49).

( )2 2

1 ( )

( ) (1 )

V R D L I R sv s

d s LC R s L s R D

− − =+ + −

(10.49)

Colocando no formato padrão, chega-se (10.50).

( )

( )2

2

( )

(

1

1)

I Vs D

C LC

Dss

RC L

v s

d s

C

− + −

−+ +

= (10.50)

A planta de tensão de saída pela corrente do indutor tem grande importância nos controles de conversores Boost aplicados na correção do fator de potência, por exemplo, em retificadores de tensão.

Nos conversores de tipo Boost a corrente média de carga ( )oI é a

mesma do diodo ( )DI . Esta por sua vez, pode ser escrita em função da

corrente do indutor ( )LI , equivalente a corrente média da entrada, fato apresentado em (10.51). Esta modelagem é apresentada na Fig. 5.5.

( )1o LI D I= − (10.51)

Page 123: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 105

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 5.5 - Circuito equivalente Boost para Relação Tensão Corrente.

A corrente IDmd é igual à somatória da corrente do capacitor C e carga R, conforme (10.52).

( )1 L

dV VD I C

dt R− = + (10.52)

Aplicando Laplace e manipulando a equação (10.52) chega-se a função de transferência (10.53).

( ) (1 )

( ) 1L

V s R D

I s RCs

−=+

(10.53)

Colocando no formato padrão, chega-se (10.54).

( )( )

( )1

1L

DV s CI s s

RC

=+

(10.54)

5.3.3 Simulações

5.3.3.1 Especificações e definições da simulação

A simulação do circuito foi executada no software PSIM, onde se avaliou a tensão de saída e corrente do indutor. A simulação dos modelos da planta também foram feiras no Simulink com o intuito de facilitar a análise e reduzir o tempo de simulação, ou seja, têm-se a saída do circuito elétrico os valores de tensão e corrente, bem como, a saída das funções transferência, onde os dois resultados são comparados.

2

400ΩoVRo

Po= =

Page 124: Apostila CCE v7(+simobologia)

106 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

400 Tensão de SaídacV V= −

70 Frequência de chaveamentosf KHz= −

4 IndutorL mH= −

1 Capacitor de filtro de saídaC uF= −

400 Potência de saídaoP W= −

Através da equação (10.2), 0.5D = . A carga e corrente de saída são calculadas para atingir a potência

e tensão estabelecidas. 2

400ΩoVRo

Po= =

(10.55)

1oo

o

PI A

V= = (10.56)

Na Fig. 5.6 tem-se o circuito das simulações no PSIM.

Fig. 5.6 - Circuito Boost com Modelo simulado

Page 125: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 107

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

5.3.3.2 Resultados

Nas Fig. 5.7 e Fig. 5.8 têm-se os resultados para as plantas de corrente ( LI ) e tensão (cV ) para as diferentes variações de D (1% a 9%). Em vermelho e verde tem-se os resultados do circuito e em azul o resultado da função transferência.

Corrente

+/-1%

+/-2%

+/-3%

+/-4%

Page 126: Apostila CCE v7(+simobologia)

108 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

+/-5%

+/-6%

+/-7%

+/-8%

+/-9%

Fig. 5.7 - Resultados de Simulação do Conversor Boost para plantas de

corrente pela razão cíclica.

Page 127: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 109

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Tensão

+/-1%

+/-2%

+/-3%

+/-4%

+/-5%

Page 128: Apostila CCE v7(+simobologia)

110 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

+/-6%

+/-7%

+/-8%

+/-9%

Fig. 5.8 - Resultados de Simulação do Conversor Boost para plantas de

tensão pela razão cíclica.

Pode-se verificar que ambas as plantas possuem características semelhantes quanto à variação da razão cíclica. Entretanto, a planta de tensão apresenta maior sensibilidade a variações na razão cíclica, ou seja, com variação de 4% já apresenta divergência significativa (visual) entre a simulação do circuito e o modelo do conversor. Por outro lado, na planta de corrente está variação passa a ser significativa em 6% de variação na razão cíclica.

Com o intuito de verificar as características dos modelos que justifique a diferença entre as dinâmicas das plantas, foram feitos os diagramas de Bode para ambas as plantas conforme a Fig. 5.9 e a Fig.

Page 129: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 111

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

5.10

Fig. 5.9 - Diagrama de Bode plata de corrente.

Fig. 5.10 - Diagrama de Bode plata de tensão.

Page 130: Apostila CCE v7(+simobologia)

112 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Analisando a Fig. 5.9 e Fig. 5.10, ficam evidentes as diferenças entes as plantas com relação a ganho e margem de fase. Desta forma, fica claro que as plantas não terão a mesma dinâmica, ou seja, as variações nas entradas irão gerar diferentes comportamentos para cada planta.

Na sequência são apresentados os resultados do modelo da tensão de saída pela corrente do indutor. Nas Fig. 5.11e Fig. 5.12 são apresentados os resultados do modelo da tensão de saída pela corrente do indutor, entretanto a variação feita equivale ao valor da corrente no diodo D (10.51), variando a mesma em 10% e 50%.

+ID% 10%

50%

Fig. 5.11 – Resultado de Simulação do Conversor Boost para plantas de tensão por corrente.

-ID% 10%

Page 131: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 113

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

50%

Fig. 5.12 - Resultados de Simulação do Conversor Boost para plantas de tensão por corrente.

O circuito apresenta comportamento de primeira ordem conforme esperado, sendo assim, validado para uso nos circuitos de controle, inclusive para grandes variações da corrente em questão ( )LI .

5.4 Conclusão

Conforme esperado os modelos do conversor Boost apresentaram respostas não lineares de acordo com a variação da razão cíclica. Ou seja, quão maior a variação na razão cíclica, maior será o erro obtido pelo modelo em relação ao circuito real. Sendo assim, estes modelos são validos para pequenas variações na razão cíclica, característica já esperada pelos equacionamentos propostos. Sendo assim, para a planta de tensão a variação da razão cíclica na qual o modelo mantém comportamento satisfatório é de 4% e na de corrente 6%. Por sua vez, a planta de tensão de saída pela corrente do indutor apresentou resultados condizentes com um sistema de primeira ordem (sem erro de regime permanente), além de ser válidos para as malhas de controle de tais conversores.

Apesar de não terem sidos observados casos onde a tensão de saída, ou corrente no indutor passem ou sejam inferiores a zero no momento do transitório (mudanças de carga, por exemplo). Caso venham a ocorrer, no modelo não existirão limitações para valores negativos, algo não aplicável no circuito real.

Outro fator relevante trata-se do ponto de operação analisado, caso seja definido, por exemplo, uma razão cíclica nominal de 10% (D=0,1), as variações da mesma poderão ser maior, visto que neste ponto de operação existe uma maior linearidade entre tensão de saída pela entrada em função da razão cíclica. Isto acarreta que o modelo terá resposta mais fiel ao circuito quando operando com valores pequenos de razão cíclica.

Page 132: Apostila CCE v7(+simobologia)

114 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

6 Modelagem do conversor BUCK-BOOST em condução contínua

[25] [22]

6.1 Introdução

Para controlar um conversor, é necessário saber qual é o seu comportamento perante variações nas variáveis de entrada. As variáveis de entrada consideradas para o conversor apresentado neste texto são a razão cíclica e a tensão de entrada. Ao modificar alguma variável de entrada, as variáveis de saída também modificarão. Para um sistema em malha aberta, ao reduzir a tensão d entrada, é claro que a tensão de saída reduzirá. Já se variar a razão cíclica, dependendo da topologia do conversor, a afirmação feita anteriormente pode não ser verdade. Para saber o comportamento do conversor perante a estas variações, é necessário ter em mãos o seu modelo matemático.

Para extrair o modelo matemático do conversor existem diversas técnicas, existem softwares que fazem o modelamento, e pode-se obter este modelo na prática, fazendo uma varredura em frequência na variável de entrada do conversor e ler a saída. Mas neste texto será apresentado o método para modelar os conversores que operam em condução contínua através de técnicas que analisam a tensão média no indutor e a corrente média no capacitor, será obtido o modelo de um conversor buck-boost, mas esta técnica pode ser utilizada em outros conversores. Além desta técnica, é apresentada uma forma de obter um modelo matemático a partir do circuito, fazendo a varredura em frequência de uma variável de entrada utilizando o programa PSIM®. Não será extraído o modelo matemático em si, ele será utilizado apenas para comparar e validar os modelos encontrados a partir das técnicas de tensão média no indutor e corrente média no capacitor, mas tendo do diagrama de bode, para obter o modelo, basta fazer uma análise do gráfico. Ao final os modelos obtidos serão comparados e será mostrado que as técnicas funcionam bem.

6.2 Conversor buck-boost

O conversor buck-boost opera como elevador e abaixador de tensão, dependendo da razão cíclica. Uma característica deste conversor é que ele não transfere energia diretamente para a saída. Na etapa de operação onde o interruptor encontra-se fechado a energia é armazenada no indutor. Na etapa onde o interruptor está aberto, a fonte de entrada é

Page 133: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 115

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

desconectada do circuito e o indutor descarrega a energia na saída. A figura a seguir mostra o circuito de potência do conversor buck-boost.

( )gv t

S

+

D

L ( )v t

+

−C R

Fig. 6.1 - Circuito de potência do conversor buck-boost

A figura a seguir mostra os estados do interruptor, quanto está em nível lógico alto, o interruptor está fechado, em nível lógico baixo, o interruptor abre.

tsDT

S

sT

1ªEtapa 2ªEtapa

Fig. 6.2 - Estados do interruptor: Nível lógico alto o interruptor está

fechado; Nível lógico baixo, o interruptor está aberto

6.2.1 Primeira etapa

A figura a seguir mostra o funcionamento do conversor na primeira etapa de operação. O indutor armazena a energia da entrada e a saída é alimentada pelo capacitor.

Page 134: Apostila CCE v7(+simobologia)

116 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )gv t

S+

−L ( )v t

+

+

−( )Lv t ( )Cv t

+( )Rv t

+

( )Ri t

( )Li t

( )Ci t

Fig. 6.3 - Funcionamento do conversor na primeira etapa de operação:

chave fechada.

Pela figura é possível verificar que a tensão de saída tem a polarização invertida em relação ao capacitor de saída. A seguir são apresentadas as relações básicas para corrente e tensão em indutores capacitores e resistores.

( )( ) L

L

di tv t L

dt=

(11.1)

( )

( ) CC

dv ti t

dt=

(11.2)

( )( ) R

R

v ti t

R= (11.3)

A seguir são apresentadas as equações do conversor para esta primeira etapa de operação. Fazendo a análise das malhas do circuito:

( ) ( )L gv t v t= (11.4)

( ) ( )C Rv t v t= (11.5)

( ) ( )Cv t v t= − (11.6)

Fazendo análise dos nós do circuito:

( ) ( )C Ri t i t= − (11.7)

( ) ( )L gi t i t= (11.8)

Estão apresentadas todas as equações de nó e malha para a primeira etapa de operação, estas equações serão utilizadas posteriormente.

Page 135: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 117

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

6.2.2 Segunda etapa

A figura a seguir mostra o funcionamento do conversor na segunda etapa de operação. Nesta etapa o indutor descarrega a energia no circuito.

( )gv t

+

D

L ( )v t

+

( )Li t

( )Ci t

( )Ri t

( )Cv t−+

+

( )Rv t+

−( )Lv t

Fig. 6.4 - Funcionamento do circuito na segunda etapa de operação:

chave aberta

Nesta etapa a fonte de entrada do circuito está desconectada, a corrente de entrada é zero. Fazendo análise das malhas do circuito:

( ) ( )Lv t v t= (11.9)

( ) ( )C Rv t v t= (11.10)

( ) ( )Cv t v t= − (11.11)

Analisando os nós do circuito:

( ) ( ) ( )C L Ri t i t i t= − (11.12)

Estas equações serão utilizadas para encontrar o valor médio da tensão no indutor e a corrente média no capacitor. Em regime permanente tanto a tensão média no indutor quanto a corrente média no indutor são nulas. Para isto acontecer, o valor da corrente no indutor em um tempo t no início do período de comutação é igual ao valor da corrente no indutor no tempo st T+ , onde sT é o período de comutação. Ao sofrer uma pequena perturbação, a corrente no indutor varia mais rápido que a frequência de comutação, mas esta mudança é prevista pela sua tensão média. No capacitor ocorre este mesmo efeito, mas quem varia acima da frequência de comutação é a tensão. A partir desta ideia encontram-se as equações que determinam a tensão média no indutor e a corrente média no capacitor em um período de comutação.

Page 136: Apostila CCE v7(+simobologia)

118 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

6.2.3 Valores médios em um período de comutação

Para modelar o conversor, inicialmente faz-se necessário encontrar as equações da corrente no capacitor e tensão média no indutor para um período de chaveamento, ou seja, na primeira e na segunda etapa.

Para a primeira etapa as equações de corrente no capacitor e tensão no indutor são:

( )( ) ( ) L

g L

di tv t v t L

dt= = (11.13)

( )( ) ( ) R

C R

v ti t i t

R= − = −

( ) ( )( ) C R

C

dv t v ti t C

dt R= = −

( ) ( )( )C

dv t v ti t C

dt R= − = (11.14)

Na segunda etapa de operação, a equações de corrente no capacitor e tensão indutor são:

( )( ) ( )L

L

di tv t L v t

dt= = (11.15)

( )( ) ( ) ( ) ( ) R

C L R L

v ti t i t i t i t

R= − = −

( ) ( )( ) ( )C R

C L

dv t v ti t C i t

dt R= = −

( ) ( )( ) ( )C L

dv t v ti t C i t

dt R= − = + (11.16)

Considerando um modelo para pequenos sinais, substituindo os

valores de ( )v t , ( )gv t e ( )Li t por ( )sT

v t , ( )s

g Tv t e ( )

sL Ti t , que

correspondem aos valores médios em um período de comutação. As equações para a primeira etapa são:

( )( ) ( )

s

LL g T

di tv t L v t

dt= = (11.17)

Page 137: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 119

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )( )( ) sT

C

v tdv ti t C

dt R= − = (11.18)

As equações para a segunda etapa são:

( )( ) ( )

s

LL T

di tv t L v t

dt= = (11.19)

( )( )( ) ( ) s

s

T

C L T

v tdv ti t C i t

dt R= − = + (11.20)

Em um período de comutação, as equações ficam:

( ) , 0 ( )( )

( ) , ( )s

s

g sTL

s sT

v t t d t Tv t

v t d t T t T

< ≤= < ≤

(11.21)

( ), 0 ( )

( )( )

( ) , ( )

s

s

s

T

s

C

T

L s sT

v tt d t T

Ri tv t

i t d t T t TR

< ≤

=

+ < ≤ (11.22)

6.2.3.1 Tensão média no indutor

A tensão média no indutor em um período de comutação é dada pela seguinte expressão:

1( )

st T

L LTs ts

v v dT

τ τ+

= ∫ (11.23)

Substituindo a equação (11.21) em (11.23). ( )

( )

1 1( ) ( )

s s

s ss s

t d t T t T

L gT TTt t d t Ts s

v v d v dT T

τ τ τ τ+ +

+= +∫ ∫ (11.24)

É importante lembrar que os valores ( )s

g Tv t e ( )

sTv t são

constantes em um período de comutação, portanto são considerados valores constantes na integral, isto vale para ( )

sL Ti t que será utilizada

no próximo item.

Page 138: Apostila CCE v7(+simobologia)

120 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

[ ]

( )

( )

1 1( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) 1 ( )

s s

s ss s

s ss

t d t T t T

L gT TT t d t Tts s

L g s sT TTs s

v v vT T

v v t d t T v t T d tT T

τ τ τ τ+ +

+= +

= + −

[ ]( ) ( ) ( ) 1 ( )ss

L gTs TT

dL i v t d t v t d t

dt= + −

(11.25)

Atribuindo:

[ ]1 ( ) '( )d t d t− = (11.26)

A equação (11.25) fica:

( ) ( ) ( ) '( )ss

L gTs TT

dL i v t d t v t d t

dt= +

(11.27)

Nota-se que na equação (11.27) o termo L Ts

dL i

dt é referente à

tensão média do indutor em um período completo de comutação,

diferente do termo ( )Ldi t

Ldt

das equações (11.17) e (11.19), onde este

termo se refere a apenas uma etapa de operação.

6.2.4 Corrente média no capacitor

A corrente média no capacitor em um período de comutação é dada por:

1( )

s

s

t T

C CT ts

i i dT

τ τ+

= ∫ (11.28)

Substituindo a equação (11.22) em (11.28):

( )

( )

( ) ( )1 1( )

s ss s

s ss

t d t T t TT T

C LT Tt t d t Ts s

v vi d i d

T R T R

τ ττ τ τ

+ +

+

= + +

∫ ∫

(11.29)

Page 139: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 121

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

[ ]

[ ] [ ]

( )

( )

( ) ( )1 1( )

( ) ( )1 1( ) ( ) 1 ( )

( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )

( ) ( )( ) ( ) 1 (

ss

s s

s s

s

s s

s s

s s

s s

s s

s

t Tt d t T

T T

C LT Ts s

t t d t T

T T

C s L sT Ts s

T T

C LT T

T T

L T

v vi i

T R T R

v t v ti d t T i t T d t

T R T R

v t v ti d t i t d t d t

R Rd v t v t

C d t i t ddt R

τ ττ τ τ

++

+

= + +

= + + −

= + − + −

− = + −[ ]

[ ]

( ) ( )) ( )

( ) ( )( ) 1 ( )

s s

s s

s

T T

T T

L T

v t v tt d t

R Rd v t v t

C i t d tdt R

+ −

− = − +

( )( ) '( )s s

s

T T

L T

d v v tC i t d t

dt R= − − (11.30)

6.2.5 Perturbações

Utilizando as equações (11.27) e (11.30), aplicam-se perturbações nas variáveis de entrada, ou seja, na tensão de entrada e na razão cíclica. Estas perturbações são muito menores que o valor médio da variável no ponto de operação.

ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( ) ( )

sg g g g gT

v t V v t V v t

d t D d t D d t

= + >>

= + >> (11.31)

Como em algumas equações usou o termo '( )d t , vale a pena verificar o efeito das perturbações nesta variável, visto que isto simplifica a visualização e a manipulação das equações.

'( ) 1 ( )d t d t= −

Aplicando a perturbação: ˆ'( ) 1 ( )d t D d t= − −

ˆ'( ) ' ( )d t D d t= −

Ao aplicar estar perturbações na entrada, a saída também é perturbada. Os sinais que aparecem na saída são:

Page 140: Apostila CCE v7(+simobologia)

122 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( )

L L L LTs

Ts

i I i t I i t

v V v t V v t

= + >>

= + >> (11.32)

As equações (11.27) e (11.30) ficam:

( ) ( )( ) ( )( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )L L g g

dL I i t V v t D d t V v t D d t

dt+ = + + + + −

(11.33)

( ) ( ) ( ) ˆ( )ˆˆˆ( ) ( ) ' ( )L L

d V v tC V v t I i t D d t

dt R

++ = − + − − (11.34)

O próximo objetivo é manipular as duas equações até obter uma forma mais simples.

Fazendo a manipulação na equação (11.33):

( ) ( )( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆˆ ˆ' ( ) ( ) ' ( ) ( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 ( ) ( ) ( ) ( ) '

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ' ( ) ( )

L L g g

L L g g g g

L g g g g

dL I i t V v t D d t V v t D d t

dtd d

L I L i t V D v t D V d t v t d tdt dt

VD Vd t v t D v t d t

dL i t V D v t D V d t v d t VD

dt

Vd t v t D v t d t

+ = + + + + −

+ = + + + +

+ − + −

+ = + + + + −

− + −

(11.35)

( )

( )Constante 1ª Ordem1ª Ordem

2ª Ordem

ˆˆ ˆ ˆ( ) ' ( ) ' ( ) ( )

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )

L g g g

g

dL i t DV VD Dv t D v t V V d t

dt

v t v t d t

= + + + + − +

+ −

(11.36)

A equação (11.36) mostra que ao aplicar perturbações, aparecem termos constantes, termos lineares ou de primeira ordem e termos não lineares ou de segunda ordem.

O mesmo será feito para a equação (11.34)

( ) ( ) ( ) ˆ( )ˆˆˆ( ) ( ) ' ( )L L

d V v tC V v t I i t D d t

dt R

++ = − + − −

Page 141: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 123

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( ) ( )( )( )

ˆ( )ˆˆˆ( ) ( ) ' ( )

ˆ( )ˆ ˆˆ ˆˆ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) ( )

ˆ( )ˆ ˆˆ ˆˆ0 ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) ( )

L L

L L L L

L L L L

d V v tC V v t I i t D d t

dt Rd d V v t

C V C v t I D I d t i t D i t d tdt dt R R

d V v tC v t I D I d t i t D i t d t

dt R R

++ = − + − −

+ = − − + − − −

+ = − + − + − −

(11.37)

2ª Ordem1ª Ordem Constante 1ª Ordem

1ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( )L L L L

d VC v t I D I d t D i v v t i t d t

dt R R = − − + − − +

(11.38)

O objetivo destas contas é encontrar os modelos do conversor buck-boost. Estes modelos representam matematicamente como as saídas do conversor se comportam perante à variações nas entradas. Foi visto anteriormente que as variáveis de entrada são a tensão de entrada e a razão cíclica. Portanto buscam-se os modelos que mostram o comportamento da corrente ou tensão com variação da tensão de entrada ou variação da razão cíclica. É interessante observar que nas equações (11.36) e (11.38) os termos de segunda ordem são apenas os que têm influência da razão cíclica. Portanto uma planta que não dependa da razão cíclica será de primeira ordem sem ser necessário linearizá-la. Não faz sentido obter a planta da variação da razão cíclica perante uma variação na tensão de entrada ou vice versa, pois as duas são variáveis de entrada.

Em resumo, as plantas que se busca são: ( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

L

Lg

g

gg

v sGv s

d s

i sGi s

d s

i sGiv s

v s

v sGvv s

v s

=

=

=

=

Page 142: Apostila CCE v7(+simobologia)

124 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

6.2.6 Termos constantes

Os termos constantes das equações (11.36) e (11.38) mostram o comportamento do conversor em regime permanente. Estas equações são interessantes para obter uma função transferência mais enxuta.

6.2.6.1 Ganho estático

O ganho estático do conversor é a relação da tensão de saída em função da tensão de entrada. Utilizando a equação (11.36) e comparando apenas os termos constantes:

' 0gDV VD+ = (11.39)

'g

V D

V D= − (11.40)

6.2.6.2 Corrente no indutor

Através da equação (11.38) é possível verificar como a corrente do indutor se comporta em regime permanente.

' 0L

VI D

R− − = (11.41)

'L

VI

D R= − (11.42)

6.2.7 Transformada de Laplace

Com as equações do conversor e com o objetivo, basta apenas resolver as equações diferenciais do conversor. A ferramenta matemática utilizada para resolver será a transformada de Laplace. Porém as equações (11.36) e (11.38) possuem termos de segunda ordem, o que torna o sistema não linear. Mas foi considerado que as perturbações são muito menores que valor médio do ponto de operação, portanto estes termos de segunda ordem podem ser desprezados devido ao fato de que não apesentem grande contribuição no funcionamento do sistema. É importante lembrar que se as perturbações forem maiores, a planta não representará corretamente o funcionamento do sistema.

Aplicando a transformada de Laplace nos termos de primeira ordem das equações (11.36) e (11.38).

Page 143: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 125

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( ) ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ' ( ) ( )L g g

dL i t Dv t D v t V V d t

dt= + + − (11.43)

( )( ) ( ) ' ( ) ( )L g gLs i s D v s D v s V V d s= ⋅ + + −⋅ (11.44)

1ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ' ( ) ( )L L

dC v t I d t D i t v t

dt R= − − (11.45)

1( ) ( ) ' ( ) ( )L LCs v s I d s D i s v s

R⋅ = ⋅ − − (11.46)

As equações (11.44) e (11.46) representam as funções do conversor no domínio da frequência e serão repedidas, pois se tratam das equações mais importantes para encontrar o modelo do conversor.

( )( ) ( ) ' ( ) ( )L g gLs i s D v s D v s V V d s= ⋅ + + −⋅ (11.44)

1( ) ( ) ' ( ) ( )L LCs v s I d s D i s v s

R⋅ = ⋅ − − (11.46)

Para encontrar os modelos do conversor basta manipulá-las de acordo com as necessidades.

6.2.8 Plantas do conversor

Neste item são aplicadas as equações (11.44) e (11.46) para obter as plantas do conversor. Para isto basta apenas manipulá-las de forma que se obtenham as variáveis necessárias. As plantas não serão analisadas perante a duas variações de entrada, ou seja, variando a razão cíclica e a tensão de entrada ao mesmo tempo. Portanto para as plantas que dependem da razão cíclica, as variações da tensão de entrada serão consideradas zero, apenas as variações, já o termo quiescente continuará igual. E para as plantas onde se busca o comportamento do conversor perante a variação da tensão de entrada, as variações na razão cíclica serão consideradas zero.

6.2.8.1 Planta de tensão pela razão cíclica

Utilizando as equações:

( )( ) ( ) ' ( ) ( )L g gLs i s D v s D v s V V d s= ⋅ + + −⋅ (11.44)

1( ) ( ) ' ( ) ( )L LCs v s I d s D i s v s

R⋅ = ⋅ − − (11.46)

Page 144: Apostila CCE v7(+simobologia)

126 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Considerando ( ) 0gv s = e para facilitar as contas, multiplica a

equação (11.44) por 'D R , e a equação (11.46) por RLs− .

( )2' ( ) ' 0 ' ( ) ' ( )L gD RLs i s DD R D R v s V V D R d s= ⋅ + ⋅ + − ⋅⋅ (11.47)

2 ( ) ( ) ' ( ) ( )L LLCRs v s I LRs d s D LRs i s Ls v s− ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ (11.48)

Somando as duas equações:

( )

( )( ) ( )

22

2 2

2 2

' ( ) ' ( )' ( ) ( )

( ) ' ( ) ( )

( ) ' ( ) ( ) ' ( )

( ) ' ( ) ' ( )

gL

L L

g

L g L

D R v s V V D R d sD RLs i s LCRs v s

I LRs d s D LRs i s Ls v s

LCRs v s D R v s Ls v s V V D R d s

I LRs d s LCRs Ls D R v s V V D R I LRs d s

⋅ + − ⋅− ⋅ =

− ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅ −

− ⋅ − + + = − −

(11.49)

( )2 2

'( )

( ) 'L gI LRs V V D Rv s

d s LCRs Ls D R

− −=

+ + (11.50)

A equação (11.50) representa a planta de tensão pela razão cíclica do conversor buck-boost, porém utilizando os valores encontrados nas equações (11.40) e (11.42)

'g

V D

V D= − (11.40)

'g

DV V

D= − (11.51)

'L

VI

D R= − (11.42)

Substituindo (11.42) e (11.51) em (11.50)

Page 145: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 127

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

2 2

2 2

2 2

''

( ) '( ) '

1'

( ) '( ) '

'( ) '( ) '

V DLRs V V D R

v s D R D

d s LCRs Ls D R

V DLRs V V D R

v s D R D

d s LCRs Ls D R

V V DVLRs V D R

v s D R D D

d s LCRs Ls D R

− − − − =+ +

− − − − − =+ +

− − − + − =

+ +

(11.52)

2 2

'( ) '( ) '

V D RLRs Vv s D R D

d s LCRs Ls D R

− +=

+ + (11.53)

Isolando o termo '

V

DD na parte de cima da equação (11.53):

2

2 2

( ) '

( ) ' '

v s V DLs D R

d s DD LCRs Ls D R

−= −+ +

(11.54)

A equação (11.54) representa a planta de tensão pela razão cíclica.

6.2.8.2 Planta de Corrente Pela Razão Cíclica

Para facilitar o entendimento, as equações (11.44) e (11.46) serão reapresentadas abaixo.

( )( ) ( ) ' ( ) ( )L g gLs i s D v s D v s V V d s= ⋅ + + −⋅ (11.44)

1( ) ( ) ' ( ) ( )L LCs v s I d s D i s v s

R⋅ = ⋅ − − (11.46)

Como precisa eliminar a variável ( )v s , a equação (11.46) será reescrita da seguinte forma:

( )

10 ( ) ' ( ) ( )

0 ( ) ' ( ) 1 ( )

L L

L L

I d s D i s Cs v sR

I R d s RD i s RCs v s

= ⋅ − − +

= ⋅ − − + (11.55)

Page 146: Apostila CCE v7(+simobologia)

128 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Considerando ( ) 0gv s = e para facilitar as contas, multiplica a

equação (11.44) por ( )1 RCs+ , e a equação (11.55) por 'RD .

( ) ( ) ( )( )1 ( ) ' 1 ( ) 1 ( )L gL RCs s i s D RCs v s V V RCs d s+ = + + − +⋅ (11.56)

2 10 ' ( ) ' ( ) ' ( )L LI RD d s RD i s RD Cs v s

R = ⋅ − − +

(11.57)

Somando as duas equações:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

2

2

2

2 2

' 1 ( ) 1 ( )1 ( ) 0

' ( ) ' ( ) ' 1 ( )

1 ( ) 1 ( ) ' ( ) ' ( )

1 ( ) ' ( ) 1 ( ) ' ( )

' ( ) 1

g

L

L L

L g L L

L L g L

L g

D RCs v s V V RCs d sL RCs s i s

I RD d s RD i s D RCs v s

L RCs s i s V V RCs d s I RD d s RD i s

L RCs s i s RD i s V V RCs d s I RD d s

RLCs Ls RD i s V V R

+ + − ++ + =

+ ⋅ − − +

+ = − + + ⋅ −

+ + = − + + ⋅

+ + = − +

( ) ' ( )LCs I RD d s +

(11.58)

( )( )2 2

1 '( )

( ) 'g LL

V V RCs I RDi s

d s RLCs Ls RD

− + +=

+ + (11.59)

A equação (11.59) representa a planta de corrente pela razão cíclica do conversor buck-boost, mas serão utilizadas as substituições usadas na planta de tensão.

'g

g

DV V

DV

V VD

= −

= − (11.60)

'L

VI

D R= − (11.42)

Substituindo (11.42) e (11.61) em (11.59):

Page 147: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 129

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )2 2

2 2

2 2

1 '( ) '( ) '

( )

( ) '

( )

( ) '

L

L

L

V VV V RCs RD

i s D RD

d s RLCs Ls RD

V VRCs V

i s D D

d s RLCs Ls RD

V V VD RCsi s D D D

d s RLCs Ls RD

− − + − =

+ +

− − − =

+ +

− − −=

+ +

(11.62)

Isolando o termo V

D− :

2 2

( ) 1

( ) 'Li s V D RCs

d s D RLCs Ls RD

+ += −+ +

(11.63)

A equação (11.63) representa a função transferência da planta de corrente pela razão cíclica.

6.2.8.3 Planta de tensão de saída pela tensão de entrada

Para encontrar a planta de tensão de saída pela tensão de entrada, é necessário considerar que variação na razão cíclica é zero. Como mencionado anteriormente, esta planta é linear, portanto é válida para perturbações maiores. As equações serão novamente apresentadas abaixo.

( )( ) ( ) ' ( ) ( )L g gLs i s D v s D v s V V d s= ⋅ + + −⋅ (11.44)

1( ) ( ) ' ( ) ( )L LCs v s I d s D i s v s

R⋅ = ⋅ − − (11.46)

Considerando ( ) 0d t = , as equações ficam:

( ) ( ) ' ( )L gLs i s D v s D v s= ⋅ +⋅ (11.64)

( )0 ' ( ) 1 ( )LRD i s RCs v s= − − + (11.65)

Deve-se eliminar a variável da corrente de entrada, para isto, multiplica a equação (11.64) por 'RD e a equação (11.65) por Ls− e somam as duas:

Page 148: Apostila CCE v7(+simobologia)

130 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )

2' ( ) ' ( ) ' ( )

0 ' ( ) 1 ( )

L g

L

RD Ls i s RD D v s RD v s

LRD si s RCs Ls v s

= ⋅ +

= + + ⋅

⋅ (11.66)

( )( )

2

2 2

0 ' ( ) ' ( ) 1 ( )

' ( ) ' ( )

g

g

RD D v s RD v s RCs Ls v s

RD Ls RLCs v s RD D v s

= ⋅ + + + ⋅

+ + = − ⋅ (11.67)

2 2

( ) '

( ) 'g

v s RD D

v s RLCs Ls RD

−=+ +

(11.68)

A equação (11.68) representa a função de transferência da planta de tensão de saída pela tensão de entrada.

6.2.8.4 Planta de corrente no indutor pela tensão de entrada

Para encontrar a planta de corrente no indutor pela tensão de entrada, são feitas as mesmas considerações usadas para a planta de tensão de saída pela tensão de entrada. Utilizando as equações (11.64) e (11.65)

( ) ( ) ' ( )L gLs i s D v s D v s= ⋅ +⋅ (11.64)

( )0 ' ( ) 1 ( )LRD i s RCs v s= − − + (11.65)

Neste caso, é necessário eliminar a variável da tensão de saída, para isto, multiplica a equação (11.64) por ( )1 RCs+ e a equação

(11.65) por 'D :

( ) ( ) ( )( )2

1 ( ) 1 ( ) ' 1 ( )

0 ' ( ) 1 ' ( )

L g

L

Ls RCs i s D RCs v s D RCs v s

RD i s RCs D v s

+ = + ⋅ + +

= − − +

⋅ (11.69)

Somando as duas:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

2

2 2

1 ( ) 1 ( ) ' ( )

1 ( ) ' ( ) 1 ( )

' ( ) 1 ( )

L g L

L L g

L g

Ls RCs i s D RCs v s RD i s

Ls RCs i s RD i s D RCs v s

RCs Ls RD i s D RCs v s

+ = + ⋅ −

+ + = + ⋅

+ + = + ⋅

⋅⋅ (11.70)

( )2 2

1( )

( ) 'L

g

D RCsi s

v s RCs Ls RD

+=

+ + (11.71)

A equação(11.71) representa a função de transferência da planta da corrente pela razão cíclica.

Page 149: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 131

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

6.3 Validação das plantas

No capítulo anterior, o conversor foi modelado. É importante saber se as plantas encontradas são válidas. Para isso o software PSIM® tem um recurso poderoso que permite extrair a função de transferência de um circuito a partir de uma perturbação. Esta perturbação pode ser alocada onde for conveniente. Nos casos apresentados no capítulo 6.2 as perturbações devem ser inseridas na razão cíclica e na tensão de entrada. Este recurso chamado AC Sweep, faz uma varredura em frequência e retorna em um diagrama de bode da planta desejada. Para a verificação, foi utilizado um conversor buck-boost com as seguintes especificações:

Tabela 2 - Especificações do conversor

100VgV = Tensão de entrada

200VV = − Tensão de saída

200 WoP = Potência de saída

20kHzsf = Frequência de comutação

0,666D = Razão cíclica 20 FC µ= Capacitor de saída 15mHL = Indutância 200R = Ω Resistência de carga

Estas especificações garantem ao conversor a operação em modo

de condução contínua, condição em que as plantas foram modeladas.

6.3.1 Parameter File

Para iniciar o uso do AC Sweep é necessário um circuito. Para isto será utilizado um circuito do conversor buck-boost apresentado a seguir.

Page 150: Apostila CCE v7(+simobologia)

132 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 6.5 - Circuito do conversor buck-boost

Nota-se que as variáveis estão denominadas com letras. Será utilizado outro recurso do PSIM®, que é a utilização do recurso Parameter File. Este recurso permita ao usuário a utilização de letras para determinar variáveis e a utilização destas letras em fórmulas matemáticas, uma função que facilita bastante a análise das funções transferência. Para usar este recurso, deve atribuir uma letra ao valor do componente, como mostra a figura a seguir.

Fig. 6.6 - Resistor do circuito com o valor R atribuído para resistência.

A figura mostra destacado o campo do componente onde deve usar a letra. Este recurso permite atribuir letra a qualquer parâmetro que pode ser setado circuito, mas neste caso o parâmetro de interesse é o valor da resistência.

Page 151: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 133

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Após todos os elementos do circuito estarem atribuídos, insere-se no circuito o componente Parameter File localizado no menu: Elements>Other>Parameter File. Como mostra a figura a seguir.

Fig. 6.7 - Localização do recurso Parameter File no menu Elements do

PSIM®.

Após clicar, basta inserir este componente em qualquer lugar do circuito e dar dois cliques no mouse que aparecerá a seguinte janela:

Fig. 6.8 - Janela de configuração do Parameter File.

A caixa de texto Name serve apenas para dar o nome ao componente Parameter File que foi inserido.

A caixa de texto File mostra o diretório e o nome do arquivo onde os parâmetros estão salvos. Para este recurso funcionar, é necessário que o arquivo esteja salvo. Atenção na hora de fazer cópias

Page 152: Apostila CCE v7(+simobologia)

134 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

de circuitos, pois o arquivo salvo não muda quando copia de um circuito para outro, mesmo que o circuito do PSIM® esteja em outro arquivo.

A caixa de texto abaixo do File é o lugar onde podem ser atribuídos valores para as letras que foram usadas nos componentes. A entrada de texto é igual à entrada de texto do MatLab® ,portanto as entradas de texto podem ser copiadas para MatLab® e verificar os resultados neste progama.

A seguir é apresentado o arquivo utilizado para este circuito.

Fig. 6.9 - Exemplo de entrada de texto utilizada no menu Parameter

File.

A figura a seguir mostra o menu File.

Page 153: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 135

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 6.10 - Detalhes do menu File do componente Parameter File.

Neste menu estão as opções para salvar o arquivo no disco e abrir um outro arquivo de texto existente no disco rígido do computador.

6.3.2 AC Sweep

Com os parâmetros digitados, é hora de usar o AC Sweep. Este recurso é encontrado no menu Elements>Other>AC Sweep, como mostra a figura a seguir.

Fig. 6.11 - Localização do elemento AC Sweep.

Insere o elemento em qualquer lugar do circuito e dá dois cliques no mouse para acessar as suas configurações que estão apresentadas a seguir.

Page 154: Apostila CCE v7(+simobologia)

136 Modelagem de conversores em condução descontínua

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Fig. 6.12 - Janela de configurações do elemento AC Sweep

Esta janela de configurações apresenta as seguintes opções Name: Nome do elemento, utilizado apenas para identificação do

elemento AC Sweep que foi inserido no circuito. Start Frequency: Frequência inicial da varredura. Quanto mais

baixa a frequência, mais demorada fica a simulação, pois o programa faz simulações para várias frequências até atingir regime permanente, e para frequências menores é mais demorado para atingir regime permanente.

End Frequency: Frequência final da varredura. Não faz sentido usa frequências superiores à frequência de chaveamento, pois o conversor não responderá corretamente se aplicar frequências na razão cíclica maiores que a frequência da portadora.

No of Points: Número de pontos do gráfico. Este é número de simulações que o programa fará até atingir regime permanente. Quanto mais números utilizar, mais resolução o gráfico terá, porém o tempo de simulação aumenta.

Flag for Points: Distribuição dos pontos do gráfico. Pode-se escolher duas opções:

0 – Os pontos são distribuídos em escala logarítmica no eixo da frequência (opção padrão).

1 – Os pontos são distribuídos em escala linear. Como os gráficos de bode são em escala logarítmica na

frequência, deve-se utilizar 0 nesta opção.

Page 155: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 137

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Source Name: Nome da fonte de perturbação. Deve-se inserir uma fonte senoidal onde deseja aplicar a perturbação. Nesta caixa de texto insere o nome do elemento desta fonte.

Start Amplitude: Amplitude inicial da perturbação. Esta amplitude deve ser pequena devido a não linearidade das plantas linearizadas a partir de um ponto de operação.

End Amplitude: Amplitude final. Em altas frequências o ganho da planta diminui, esta opção serve como compensação desta redução do ganho da planta inserindo um valor maior de amplitude nesta opção.

Freq. for extra Points: Esta opção serve para inserir pontos extras em algumas frequências. Serve para melhorar a resolução do gráfico em pontos mais detalhados do gráfico, como em frequências de ressonância, onde ocorre um sobressinal.

Depois de definidos os parâmetros do AC Sweep, falta indicar qual é a tensão que deseja verificar com a aplicação da perturbação. Para isto insere o elemento AC Sweep Probe localizado no menu Elements>Other>Probes>AC Sweep Probe como mostra a figura a seguir.

Fig. 6.13 - Localização do AC Sweep Probe no PSIM®.

O AC Sweep Probe é uma ponteira de tensão utilizada para monitorar a tensão em algum ponto do circuito, para ler a corrente, deve ser utilizado um sensor de corrente do PSIM® com ganho unitário. Insere o AC Sweep Probe no ponto do circuito que deseja monitorar. Por exemplo, se deseja ver a planta de tensão por razão cíclica, é necessário aplicar uma fonte senoidal na razão cíclica e monitorar a tensão de saída.

Page 156: Apostila CCE v7(+simobologia)

138 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

6.3.3 s-domain Transfer Function

Para comparar de forma prática as plantas encontradas no item 6.2.8 com o modelo que o PSIM® gera para o circuito, uma opção que o software fornece é o elemento s-domain Transfer Function, este bloco retorna a resposta de um sinal que passa por uma função transferência no domínio da frequência. Este bloco é encontrado no menu Elements>Control>Other Function Blocks>s-domain Transfer Function.

Fig. 6.14 - - Localização do elemento s-domain Transfer Function

Insere este bloco em qualquer lugar do circuito. E dá dois cliques no mouse para acessar as configurações.

Page 157: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 139

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 6.15 - Janela de configurações do elemento s-domain Transfer

Function

A Fig. 6.15 mostra a janela de configurações do bloco e mostra também o bloco inserido. Para este bloco funcionar, deve-se inserir um sinal de entrada. A janela de configurações apresenta as seguintes opções:

Name: Nome do bloco. Order n: Ordem da função transferência. Gain: Ganho do sistema. Este valor multiplicará a função

transferência. Coeff. Bn..B0: Coeficientes do numerador. Nesta caixa de texto

insere os coeficientes do numerador da função transferência, iniciando no coeficiente de maior grau para o de menor grau.

Coeff. Bn..B0: Coeficientes do denominador. Semelhante aos coeficientes do numerador.

A seguir é apresentado o formato da função transferência que insere no bloco.

2 1 0

2 1 0

.. 2 1 0( )

.. 2 1 0

n

n

Bn s B s B s B sG s k

An s A s A s A s

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

(11.72)

Onde k é o ganho e n é a ordem. O numerador e o denominador devem ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de termos, caso apresentem ordens diferentes, o coeficiente que a função não possui deve ser preenchido com o número 0.

Page 158: Apostila CCE v7(+simobologia)

140 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

No próximo item será apresentado o exemplo detalhado mostrando os passos e configurações para validar a planta de tensão pela razão cíclica e corrente pela razão cíclica encontradas no item 6.2.8.

6.3.4 Validação da planta de tensão e corrente pela razão cíclica

Neste item serão mostrados detalhadamente os passos para validar as funções transferência. No item 6.2.8 foi visto que as planta de tensão e corrente pela razão cíclica são:

2

2 2

( ) '

( ) ' '

v s V DLs D R

d s DD LCRs Ls D R

−= −+ +

(11.73)

2 2

( ) 1

( ) 'Li s V D RCs

d s D RLCs Ls RD

+ += −+ +

(11.74)

A figura a seguir mostra o circuito implementado para realizar a

validação.

Fig. 6.16 - Circuito do conversor buck-boost usado para validar as

plantas de tensão por razão cíclica e corrente por razão cíclica.

Page 159: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 141

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Para realizar a validação foi inserida uma fonte senoidal com o nome de Perturbacao em série com a razão cíclica, com isto insere-se uma perturbação na razão cíclica. Os blocos s-domain Transfer Function recebem como sinal de entrada a razão cíclica. Na saída destes blocos estão as ponteiras de tensão e AC Sweep Probe, que serão mostradas nos gráficos. Para facilitar a comparação, foi modificado o nome das ponteiras para GIDModelo para a planta de corrente e GVDModelo para a planta de tensão. No circuito de potência foram adicionadas ponteiras no sensor de corrente para ler a corrente no indutor e na tensão de saída. A figura a seguir mostra as configurações utilizadas no bloco s-domain Transfer Function.

Fig. 6.17 - Janelas de configuração do s-domain Transfer Function para

a planta de tensão e planta de corrente.

Nota-se que as plantas são de segunda ordem, e foram inseridos letras nos parâmetros, que serão atribuídas no Parameter File. a figura a seguir mostra as configurações do Parameter File.

Page 160: Apostila CCE v7(+simobologia)

142 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 6.18 - Atribuição de valores nas letras definidas como valores dos

elementos do circuito.

Pela figura acima é possível verificar a facilidade que este recurso trás. Foram utilizadas contas matemáticas para definir os coeficientes das plantas. Portanto se desejar verificar o circuito com valores diferentes de algum elemento basta alterar este elemento, que tudo que depende deste elemento terá seu valor alterado. Os coeficientes do denominador são iguais para todas as plantas obtidas neste trabalho, portanto não serão alterados. A figura a seguir mostra as configurações do AC Sweep.

Fig. 6.19 - Configurações utilizadas no AC Sweep.

Page 161: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 143

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

O valor utilizado para a amplitude da perturbação é de 1% da razão cíclica, este valor pode ser verificado no Parameter File.

Quando o bloco AC Sweep estiver no circuito, as ponteiras de tensão não funcionarão, apenas as AC Sweep Probe apresentarão resultado. Para verificar a resposta ao degrau, o AC Sweep deve ser apagado do circuito. O gráfico gerado tem o módulo em 20log( ( ))G s para o eixo do módulo e na fase, os valores são em graus. É importante lembrar que se utilizar a portadora com amplitude diferente de 1 o módulo terá este ganho adicionado no gráfico gerado do circuito, e os gráficos não serão iguais. As figuras a seguir mostram os resultados obtidos.

Fig. 6.20 - Comparação dos gráficos de tensão por razão cíclica gerada a partir pelo bloco s-domain Transfer Function, e gerado pelo circuito

de potência.

A figura mostra que para frequências próximas a frequência de comutação, a resposta do circuito começa a ser diferente do modelo matemático. Mas isto não é problema, pois a frequência de cruzamento utilizada para cálculos de controle é no máximo 25% da frequência de comutação. Esta planta apresenta um zero no semi-plano direito isto não causa instabilidade no sistema, no módulo o comportamento é o mesmo que para um zero no semi-plano esquerdo, mas na fase, este zero tem o comportamento de um polo, ou seja, a faze decresce 90º ao invés de crescer 90º como seria o esperado para um zero.

Page 162: Apostila CCE v7(+simobologia)

144 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 6.21 - Comparação dos gráficos de corrente por razão cíclica

gerada a partir pelo bloco s-domain Transfer Function, e gerado pelo circuito de potência.

A planta de corrente apresenta o comportamento esperado para um sistema de segunda ordem com um zero no semi-plano esquerdo. O módulo apresenta uma ressonância, e pode-se notar que o zero encontra-se próximo da frequência de ressonância, pois o módulo inicia em faixa plana e próximo à frequência de ressonância o gráfico cresce, mas logo passa a decrescer 20dB/dec.

A figura a seguir mostra o problema de utilizar valores mais altos para amplitude da perturbação. A figura a seguir mostra as funções transferência com uma perturbação de 10% da razão cíclica.

Page 163: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 145

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 6.22 - Plantas de tensão e corrente pela razão cíclica com uma

perturbação de 10% da razão cíclica.

A Fig. 6.22 mostra que para a amplitude deltaD de 10% utilizada na perturbação, as plantas do modelo matemático apresentam diferenças dos modelos obtidos do circuito.

6.3.5 Validação da planta de tensão e corrente pela tensão de entrada

As plantas de tensão e corrente pela tensão de entrada são:

2 2

( ) '

( ) 'g

v s RD D

v s RLCs Ls RD

−=+ +

(11.75)

( )2 2

1( )

( ) 'L

g

D RCsi s

v s RCs Ls RD

+=

+ + (11.76)

Para validar estas plantas, a perturbação será inserida na tensão de entrada. Este modelo é linear, portanto a amplitude da perturbação não tem a necessidade de ser pequena. A figura a seguir mostra o circuito utilizado para validar estas plantas.

Page 164: Apostila CCE v7(+simobologia)

146 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 6.23 - Circuito utilizado para validar as plantas de corrente e

tensão pela tensão de entrada.

A perturbação foi retirada da razão cíclica e colocada em série com a tensão de entrada. a figura a seguir mostra os parâmetros utilizados no Parameter File.

Fig. 6.24 - Atribuições feitas no Parameter File.

Page 165: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 147

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

As figuras a seguir mostram os resultados obtidos para as plantas do circuito e do modelo matemático.

Fig. 6.25 - Planta de tensão de saída pela tensão de entrada do modelo

matemático e do circuito.

Esta planta possui dois polos complexos, que geram uma frequência de ressonância próximo a 100 Hz, que faz a planta decrescer 40dB/dec após a frequência de corte.

Fig. 6.26 - Planta de corrente no indutor pela corrente de entrada do

modelo matemático e do circuito.

Page 166: Apostila CCE v7(+simobologia)

148 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Esta planta apresenta um zero no semi-plano esquerdo próximo a frequência de ressonância da planta que faz a planta decrescer 20dB/dec após a frequência de corte.

A figura a seguir mostra as plantas com uma perturbação maior, para verificar a linearidade das plantas.

Fig. 6.27 - Respostas das plantas para uma perturbação com amplitude

de 20% da tensão de entrada.

Foi inserida uma perturbação com amplitude alta para verificar a linearidade. Mesmo com este valor de amplitude, os modelos matemáticos representam a resposta do circuito.

Com estes gráficos, os modelos foram validados. Em alguns casos pode-se fazer a verificação por resposta ao degrau. Mas este método não é muito interessante em alguns casos, pois as plantas não representam o comportamento da tensão ou corrente em regime permanente. A seguir é mostrada a função transferência do modelo de tensão pela razão cíclica.

2

2 2

( ) '

( ) ' '

v s V DLs D R

d s DD LCRs Ls D R

−= −+ +

(11.77)

Utilizando o teorema do valor final, a resposta em regime permanente para este circuito é:

0( )

's

Vv s

D→= − (11.78)

Pode-se perceber que esta planta não representa a tensão de saída

em regime permanente. Porém podem-se utilizar operações matemáticas

Page 167: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 149

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

para obter a resposta, mas isto afetará o comportamento do sistema em

regime transitório, o que torna a verificação por degrau inviável.

6.4 Conclusões

Este texto mostrou uma forma de obter o modelo matemático das plantas do conversor buck-boost. O princípio de modelagem é a partir da tensão média no indutor e da corrente média no capacitor, encontrando as equações que determinam estes valores, basta apenas fazer manipulação matemática e resolver sistema de equações diferenciais que neste caso foi utilizada a transformada de Laplace que já retorna a função no domínio da frequência. Os modelos da planta dependentes da razão cíclica são para pequenas perturbações, pois se tratam de sistemas não lineares, porém apresentaram um bom funcionamento para amplitudes de perturbação de 1% da razão cíclica, para 10% o modelo divergiu do modelo esperado, mas não precisa ser necessariamente descartado. Mas é importante saber que estes modelos respondem desta forma para pequenas variações na razão cíclica. Já os modelos dependentes da tensão de entrada são lineares, portanto respondem bem para uma faixa ampla de variação, sendo que o modelo respondeu bem para uma perturbação com 20% da tensão de entrada. Outro ponto examinado no texto a resposta ao degrau não é um método eficiente para validar as plantas em alguns conversores, devido ao fato de que a planta não represente corretamente a variável analisada em regime permanente ou no regime transitório. Mas como o controle é projetado no domínio da frequência, o método de validação apresentado é suficiente para verificar se o conversor está sendo bem modelado ou não.

7 Modelagem do conversor BUCK-BOOST em condução descontínua

[25] [26]

7.1 Introdução

Para o desenvolvimento do controle de conversores estáticos precisamos obter os modelos dos mesmos para verificar qual tipo de controlador adotar e sintonizá-los de forma adequada. Desta forma, neste trabalho será demonstrado como obter os modelos de tensão e corrente, bem como validá-los através da resposta ao degrau e resposta em frequência.

Page 168: Apostila CCE v7(+simobologia)

150 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

O conversor escolhido para obtenção dos modelos é o buck-boost operando em modo de condução descontínua (MCD). Tradicionalmente os conversores boost e buck-boost são projetados para operar em condução descontínua na situação de plena carga. Além disso, todos os conversores podem operar em condução descontínua para pequenas cargas.

Para a obtenção dos modelos de conversores operando em condução descontínua é necessário primeiramente o modelo médio das chaves (transistor e diodo). Com este modelo, é linearizado o conversor em um ponto de operação e aplicado uma pequena perturbação para obter o modelo de pequenos sinais.

7.2 Modelo médio dos interruptores

O esquema do conversor buck-boost é ilustrado na Fig. 7.1. As tensões e correntes nos terminais das chaves semicondutoras são definidos conforme mostrado: 1( )v t e 1( )i t são as formas de onda no

transistor, enquanto 2( )v t e 2( )i t são as formas de onda no diodo.

Fig. 7.1 - Conversor buck-boost.

O modelo médio das chaves é obtido através dos valores médios das tensões e correntes nos terminais dos mesmos. Com os valores médios é possível derivar um circuito equivalente que será o modelo médio das chaves.

Page 169: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 151

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

7.2.1 Determinação dos valores médios

Para a determinação dos valores médios precisamos inicialmente analisar a operação do conversor buck-boost, traçar as formas de onda e obter os valores médios nos terminais das chaves.

O conversor buck-boost em condução descontínua apresenta três etapas de operação:

1ª etapa (0 < t ≤ t1): o transistor é fechado, o diodo é polarizado reversamente e entra em bloqueio. O indutor carrega-se linearmente através da fonte Vg enquanto o capacitor e a carga ficam desconectados da fonte Vg.

2ª etapa (t1 < t ≤ t2): o transistor é aberto, o diodo é polarizado diretamente e entra em condução. O indutor transfere energia para o capacitor e para a carga enquanto a fonte Vg fica desconectada do circuito.

3ª etapa (t2 < t ≤ t3): O transistor continua aberto e a energia do indutor foi descarregada totalmente, sendo o diodo bloqueado. A carga é alimentada apenas pela energia no capacitor.

A seguir são apresentados os circuitos equivalentes para cada etapa de operação descrita anteriormente:

Page 170: Apostila CCE v7(+simobologia)

152 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

++++

−−−−VVg RC

T D

L

i1 ++++ −−−−v2

++++

−−−−VVg RC

T D

L

i2++++ −−−−v1

++++

−−−−VVg RC

T D

++++ −−−−v1 ++++ −−−−v2

(a)

(b)

(c) Fig. 7.2 - Etapas de operação do conversor buck-boost: (a) 1ª etapa

para 0 < t ≤ t1, (b) 2ª etapa para t1 < t ≤ t2, (c) 3ª etapa para t2 < t ≤ t3.

As formas de onda nas chaves semicondutoras e no indutor são mostrados a seguir:

Page 171: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 153

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 7.3 - Formas de onda de tensão e corrente nas chaves

semicondutoras e no indutor do conversor buck-boost em MCD .

A corrente no indutor inicia-se em zero e cresce com uma inclinação de vg/L até atingir o pico em t1 dado pela seguinte equação:

1g

pk s

vi d T

L= ,onde: t1 = d1Ts (12.1)

Page 172: Apostila CCE v7(+simobologia)

154 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Obtidas as formas de onda, o próximo passo consiste em obter os valores médios de 1( )v t 1( )i t , 2( )v t 2( )i t em termos das variáveis do

conversor (L, C, ( )gv t , 1( )d t e 2( )d t ). Através das formas de onda

temos que o valor médio de 1( )v t é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 30 g gTs TsTs Tsv t d t d t v t v t d t v t= + − + (12.2)

Como ( ) ( ) ( )3 1 21d t d t d t= − − , temos que:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 21 gTs TsTsv t d t v t d t v t= − − (12.3)

Da mesma forma podemos obter a tensão média no diodo e chegar na seguinte equação:

( ) ( ) ( )211

2 2s

s

T

v td t Ti t

L= (12.4)

A corrente média na entrada obtemos através da integral no período da forma de onda de corrente 1( )i t , como segue:

( ) ( ) 11 1

1 s

s

t T

Ts st

qi t i t dt

T T

+

= =∫ (12.5)

Onde q1 é a área da corrente 1( )i t durante o intervalo t1 dada pela seguinte equação:

( ) ( )1 1 1

1

2

st T

s pk

t

q i t dt d T i+

= =∫ (12.6)

Substituindo a equação (12.1) em (12.6), temos:

( ) ( ) ( )21

1 2s s

sgT T

d t Ti t v t

L= (12.7)

De forma similar obtemos a corrente no diodo 2( )i t , conforme abaixo:

( ) ( ) 22 2

1 s

s

t T

Ts st

qi t i t dt

T T

+

= =∫ (12.8)

Onde q2 é a área da corrente 2( )i t durante o intervalo t2 dada pela seguinte equação:

Page 173: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 155

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( ) ( )2 2 2

1

2

st T

s pk

t

q i t dt d T i+

= =∫ (12.9)

Substituindo a equação (12.1) em (12.9), temos:

( ) ( ) ( ) ( )1 22 2s s

sgT T

d t d t Ti t v t

L= (12.10)

As equações (12.3), (12.4), (12.7) e (12.10) representam os valores médios nos terminais das chaves semicondutoras para o conversor buck-boost operando em MCD. Contudo, temos ainda que expressar o subintervalo d2 em termos de d1, que representa a razão cíclica do conversor. Como a tensão média no indutor é zero durante um ciclo completo do conversor, obtemos a seguinte equação:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0L gTs TsTsv t d t v t d t v t d t= + + (12.11)

Isolando d2, chegamos no seguinte:

( ) ( )( )( )2 1

s

s

g T

T

v td t d t

v t= − (12.12)

Substituindo a equação (12.12) nas equações (12.3), (12.4), (12.7) e (12.10), obtemos as equações dos valores médios nos terminais das chaves semicondutoras do conversor buck-boost em MCD que servirão para construção dos circuitos equivalentes das chaves.

( ) ( )1 gTs Tsv t v t= (12.13)

( ) ( )2 Ts Tsv t v t= − (12.14)

( ) ( ) ( )21

1 12s s

s

T T

d t Ti t v t

L= (12.15)

( ) ( ) ( )( )

22

112

22s

s

s

Ts

T

T

v td t Ti t

L v t= (12.16)

7.2.2 Construção do circuito equivalente

Como as equações (12.13) e (12.14) são independentes, utilizaremos as equações (12.15) e (12.16) para a construção dos circuitos equivalentes do transistor e do diodo. A equação (12.15)

Page 174: Apostila CCE v7(+simobologia)

156 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

modela o transistor e nota-se que a corrente média na entrada ( )1sT

i t é

proporcional a tensão média aplicada na entrada ( )1 Tsv t . Sendo assim,

o modelo médio do transistor obedece a lei de ohm da seguinte forma:

( )( )( )

1

1e 1R

s

s

T

T

v ti t

d= (12.17)

Onde a resistência efetiva Re é:

( ) ( )e 1 21

2R

s

Ld

d t T= (12.18)

O circuito equivalente do transistor é mostrado na Fig. 7.4 e consiste em uma resistência.

Fig. 7.4 - Circuito equivalente do modelo médio do transistor.

Multiplicando ambos os lados da equação (12.16) por

( )2 Tsv t obtemos o seguinte:

( ) ( )( )( ) ( )

2

1

2 2e 1R

s

s s s

T

T T T

v ti t v t p t

d= = (12.19)

A potência média ( )sT

p t , aparentemente é consumida pela

resistência Re. Contudo, pela equação (12.19), a potência média na entrada (transistor) é transferida para a saída (diodo). Este comportamento é representado por uma fonte de potência dependente, ilustrado na Fig. 7.5.

Page 175: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 157

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 7.5 - Fonte dependente de potência: (a) esquema (b) i-v

característica.

A curva característica da fonte de potência é ilustrada na Fig. 7.5 e é simétrica com relação à tensão e corrente; consequentemente a potência fornecida é constante. Similarmente a uma fonte de tensão, a fonte de potência não pode ser curto circuitada nos seus terminais de saída para não haver uma corrente infinita. De forma similar a uma fonte de corrente, não pode em seus terminais de saída haver um circuito aberto para a tensão não tender ao infinito. A fonte de potência deverá ser conectada a uma carga capaz de absorver a potência p(t) e o ponto de operação é definido como a interseção da carga e da característica i-v da fonte de potência.

O modelo médio geral de grandes sinais para uma rede de duas chaves em condução descontínua é ilustrado naFig. 7.6. Esta configuração é conhecida como modelo de resistor sem perdas (LFR), pois a energia que seria dissipada na resistência Re é transferida para a saída através da fonte dependente de potência.

Fig. 7.6 - (a) rede genérica de duas chaves, e (b) correspondente modelo

médio das chaves em MCD: as formas de onda média no transistor obedecem a lei de Ohm, enquanto as formas de onda média no diodo

como um fonte de potência dependente.

Page 176: Apostila CCE v7(+simobologia)

158 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

A configuração do conversor buck-boost com o modelo de resistor sem perdas é mostrado na Fig. 7.7.

Fig. 7.7 - Conversor buck-boost em MCD com o modelo de resistor sem

perdas.

O ganho estático do conversor buck-boost operando em MCD é obtido através da análise do circuito da Fig. 7.7. Como a potência na entrada é igual à potência na saída temos a seguinte relação:

( ) ( )( ) 2

1 Rs

ss

T

g TT

v tv t i t = − (12.20)

Substituindo a equação (12.17) em (12.20), temos:

( )( )

( )2 2

e 1R Rs s

g T Tv t v t

d= − (12.21)

Desta forma temos que o ganho estático do conversor em estudo para MCD é:

( )( ) ( )e 1R

s

s

T

g T

v t RM

dv t= = − (12.22)

7.2.3 Modelo para pequenos sinais

O próximo passo é a construção do modelo do circuito equivalente de pequenos sinais do conversor buck-boost operando em modo de condução descontínua. No circuito equivalente para grandes sinais da Fig. 7.7, o modelo médio das chaves é não linear.

Page 177: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 159

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 7.8 - Modelos médios geral de duas chaves em um conversor operando em MCD: (a) modelo de grandes sinais, (b) modelo de

pequenos sinais.

Então, os sinais envolvidos no modelo médio das chaves em MCD devem ser perturbados em torno de um ponto quiescente de operação, como segue:

( ) ɵ ( )d t D d t= + (12.23)

( ) 1 1 1( )

STv t V v t= + (12.24)

( ) ɵ1 1 1( )

STi t I i t= + (12.25)

( ) 2 2 2( )

STv t V v t= + (12.26)

( ) 22 2( )

STi t I i t= + (12.27)

Onde, D é o valor quiescente da razão cíclica do transistor, V1 é o valor quiescente da tensão média aplicada ao transistor, etc. As

variáveis 1( )v t , ɵ ( )d t , etc., são pequenos sinais alternados (perturbações)

sobre seus respectivos valores quiescentes. As equações (12.15) e (12.16) expressam as correntes médias nos

terminais ( )1ST

i t e ( )2ST

i t como função da razão cíclica do conversor

( ) ( )1d t d t= e tensões médias nos terminais ( )1ST

v t e ( )2ST

v t .

Através da perturbação e linearização destas equações, encontraremos

Page 178: Apostila CCE v7(+simobologia)

160 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

que xx e xxx são expressas como funções lineares de 1( )v t , ɵ ( )d t e

2( )v t . Então, as equações das chaves para pequenos sinais podem ser

escritas da seguinte forma:

ɵɵ 1

1 1 1 21

vi j d g v

r= + + (12.28)

ɵ 2

2 2 2 12

vi j d g v

r= − + + (12.29)

Estas equações descrevem a entrada e saída do modelo de pequenos sinais da Fig. 7.8. Os parâmetros r1, j1 e g1 podem ser encontrados através da expansão de Taylor da equação (12.15). A corrente média no transistor pode ser expressa da seguinte forma:

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )1

1 1 1 2e 1

, ,R

s

s s s

T

T T T

v ti t f v t v t d t

d= = (12.30)

Vamos expandir esta expressão em uma série de Taylor tridimensional sobre o ponto de operação quiescente (V1, V2, D):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ɵ ( ) ( )1 1

2 2

1 1 21 11 1 1 2

1

1 1 2 1 1 22

2

, ,, ,

, , , ,

sup

v V

v V d D

f v V DI i t f V V D v t

v

f V v D f V V dv t d t

v d

termos deordem erior nãolinear

=

= =

∂+ = +

∂ ∂+ +

∂ ∂

+

ɵ ɵ

ɵ (12.31)

Para simplificar a notação, os colchetes em ângulo denotando valores médios são suprimidos na equação abaixo. Os termos constantes em ambos os lados da equação (12.31) devem ser iguais:

( ) ( )1

1 1 1 2e

, ,R

VI f V V D

D= = (12.32)

Usualmente, nós linearizamos as equações descartando os termos não lineares de altas ordens. Os temos alternados de primeira ordem remanescentes da equação (12.31) são equacionados:

( ) ( ) ( ) ɵ ( )1 1 2 1 11

1i t v t v t g d t j

r= + +ɵ ɵ ɵ (12.33)

Onde:

Page 179: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 161

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )( )

1 1

1 1 2

1 1 e

, ,1 1

Rv V

f v V D

r v D=

∂= =

∂ (12.34)

( )2 2

1 1 21

2

, ,0

v V

f V v Dg

v=

∂= =

∂ (12.35)

( )( )

( )

( )

1 1 2 e11 2

1

e

, , R

2

R

ed D d D

f V V d dVj

d dR D

V

D D

= =

∂ ∂= = −

∂ ∂

=

(12.36)

Embora, a resistência de entrada para pequenos sinais r1 é igual a resistência efetiva Re, avaliado no ponto operacional quiescente. Este termo descreve como variações em ( )1

STv t afeta ( )1

STi t via ( )eR D .

O parâmetro g1 é igual a zero, desde que corrente média no transistor

( )1ST

i t é dependente da tensão média no diodo ( )2ST

v t . O ganho de

pequenos sinais j1 descreve como variações na razão cíclica, a qual afeta

o valor de ( )eR d , leva a variações em ( )1ST

i t .

De uma maneira similar, ( )2ST

i t da equação (12.16) pode ser

expressa por:

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

1

2 2 1 2

e 2

, ,R

s

s s s

s

T

T T T

T

v ti t f v t v t d t

d t v t= = (12.37)

Vamos expandir esta expressão em uma série de Taylor tridimensional sobre o ponto de operação quiescente (V1, V2, D):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ɵ ( ) ( )1 1

2 2

2 1 22 12 2 1 2

1

2 1 2 2 1 22

2

, ,, ,

, , , ,

sup

v V

v V d D

f v V DI i t f V V D v t

v

f V v D f V V dv t d t

v d

termos deordem erior nãolinear

=

= =

∂+ = +

∂ ∂+ +

∂ ∂

+

ɵ ɵ

ɵ (12.38)

Pelo equacionamento dos termos constantes em ambos os lados da equação (12.38), obtemos:

Page 180: Apostila CCE v7(+simobologia)

162 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( ) ( )1

2

2 2 1 2e 2

, ,R

VI f V V D

D V= = (12.39)

Os termos de ordem superior podem ser descartados, levando aos seguintes termos alternados lineares de primeira ordem:

( ) ( ) ( ) ɵ ( )2 2 1 2 22

1i t v t v t g d t j

r

= − + +

ɵ ɵ ɵ (12.40)

Onde:

( )( )

2 2

2 1 2

22 2 e

, ,1 1 1

Rv V

f V v D

r v R M D=

∂= = =

∂ (12.41)

( )( )

1 1

2 1 22

1 e

, , 2

Rv V

f v V Dg

v M D=

∂= =

∂ (12.42)

( )( )

( )

( )

22 1 2 e1

2 22

1

e

, , R

2

R

ed D d D

f V V d dVj

d dR D V

V

DM D

= =

∂ ∂= = −

∂ ∂

=

(12.43)

A resistência de saída r2 descreve como variações em ( )2ST

v t

influencia ( )2ST

i t como ilustrado na Fig. 7.9, r2 é determinado pela

inclinação característica da fonte de potência, avaliado no ponte de operação quiescente.

Page 181: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 163

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 7.9 - Resistência de saída r2 é determinada pela inclinação

característica da fonte de potencia no ponte de operação quiescente.

Os valores dos parâmetros do modelo de pequenos sinais das chaves para MCD da Fig. 7.8 são sumarizados na

Tabela 3.

Tabela 3 – Parâmetros do modelo de pequenos sinais das chaves em MCD.

g1 j1 r1 g2 j2 r2

0 1

e

2

R

V

D

eR

e

2

RM

1

e

2

R

V

DM

2eRM

A inclusão do modelo de pequenos sinais das chaves ao conversor buck-boost resulta no circuito mostrado na Fig. 7.10.

Page 182: Apostila CCE v7(+simobologia)

164 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 7.10 - Modelo de pequenos sinais do conversor buck-boost obtido pela inclusão do modelo de pequenos sinais das duas chave no circuito

original.

O modelo de circuito equivalente de pequenos sinais da Fig. 7.10 contém dois elementos dinâmicos: capacitor C e indutor L. A função de controle da saída obtida pela solução do modelo de circuito equivalente tem dois polos. Contudo, um polo devido ao capacitor C aparece em baixas frequências enquanto o outro polo e o zero no semi plano direito (SPD) devido ao indutor L, ocorre em frequências muito mais altas, próximo da frequência de chaveamento do conversor. Portanto, na prática, os conversores buck, boost e buck-boost essencialmente evidencia uma função de transferência de um único polo, o qual é influenciado insignificantemente pela dinâmica do indutor.

Uma aproximação simples para determinar a função de transferência de baixa frequência para pequenos sinais do conversores buck, boost e buck-boost é deixar a indutância L tender a zero ou seja é um curto-circuito. A Fig. 7.11 mostra o circuito equivalente do conversor buck-boost para pequenos sinais desprezando a indutância L.

Fig. 7.11 - Modelo de pequenos sinais para baixas frequências obtido

desprezando a indutância L.

A função de transferência de controle da saída para o conversor buck-boost em MCD é encontrada deixando na Fig. 7.11.Solucionando, chega-se a:

Page 183: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 165

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )ɵ

0

0 1g

dvd

v

p

GvG s

sdw

=

= =+ɵ

ɵ (12.44)

( )

( )

0 2 2

2

\ \

1

\ \

d

p

G j R r

wR r C

=

= (12.45)

7.3 Simulação do Conversor Buck-Boost

Os parâmetros utilizados para a simulação e circuito simulado no PSIM do conversor buck-boot em MCD são mostrados a seguir:

Tabela 4 – Parâmetros utilizados para a simulação.

Tensão de Entrada (Vg) 24 V

Frequência de chaveamento (f) 100 kHz

Tensão de saída (V) -12 V

Capacitor (C) 1800 µF

Indutor (L) 2.2 µH

Razão cíclica (D) 0.26

Resistor de carga (R) 1.2 Ω

Frequência de corte do polo (wp) 2/RC

B0 V/D

B1 0

A0 1

A1 1/wp

Page 184: Apostila CCE v7(+simobologia)

166 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 7.12 - Circuito do conversor buck-boost simulado no PSIM.

A análise da resposta em frequência para o módulo e fase simulado no PSIM é mostrado a seguir. Em vermelho é a resposta do modelo obtido e em azul é a reposta do conversor buck-boost em MCD.

Page 185: Apostila CCE v7(+simobologia)

Modelagem de conversores em condução descontínua 167

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

0

-10

10

20

30

40

amp(Vo11) amp(Vo12)

10 100 1000 10000Frequency (Hz)

60

80

100

120

140

160

180

phase(Vo11) phase(Vo12)

Fig. 7.13 - Resposta em frequência de módulo e fase do modelo de

pequenos sinais (em vermelho) e do conversor buck-boost em MCD (em azul).

Observa-se que para altas frequências há um pequeno erro no modelo por causa da indutância (L) que foi desprezada.

A resposta da tensão na saída para um degrau de 10% na razão cíclica é mostrado abaixo:

0.04 0.042 0.044 0.046 0.048Time (s)

-13.4

-13.2

-13

-12.8

-12.6

-12.4

-12.2

-12

-11.8

Vout (-12.016/0.26)*Vref

Fig. 7.14 - Reposta da tensão de saída para um degrau de 10% na razão

cíclica.

Notamos que para pequenas variações na razão cíclica o modelo de pequenos sinais é válido. A figura abaixo mostra a resposta da tensão de saída para um degrau de 90% na razão cíclica e como esperado o modelo de pequenos sinais já não é mais válido.

Page 186: Apostila CCE v7(+simobologia)

168 Modelagem de conversores em condução descontínua

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

0.04 0.042 0.044 0.046 0.048T ime (s)

-40

-30

-20

-10

Vout (-12.016/0.26)*Vref

Fig. 7.15 - Resposta da tensão de saída para um degrau de 90% na

razão cíclica.

7.4 Conclusão

Com este trabalho foi possível obter o modelo de pequenos sinais do conversor buck-boost operando em modo de condução descontínua e validá-lo através de simulação observando tanto sua resposta em frequência quanto a resposta a uma perturbação (degrau).

A simplificação feita desprezando a indutância para altas frequências é válida conforme observamos na resposta em frequência. Para grandes perturbações na razão cíclica o modelo de pequenos sinais já não é mais válido mas não influência o controle pois para esta situação são aplicadas proteções para o conversor.

Nota-se que a planta para condução descontínua é mais simples que para condução contínua sendo que por este motivo alguns conversores são propositalmente operados em condução descontínua para facilitar o controle.

Page 187: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 169

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

8 Modelagem de conversor BUCK-BOOST

8.1 Controle de Conversores

Neste capítulo são apresentados o projetos e simulações de controladores para os conversores Buck e Boost operando no modo de condução contínua. Serão apresentados controladores individuais para as plantas de corrente e tensão. Além disso serão avaliados o controle da tensão de saída através do controle da corrente média e de pico do indutor (controle modo corrente).

Antes da implementação dos controladores serão definidos alguns critérios para o projeto no domínio da frequência, além da apresentação da ferramenta computacional SISOTOOL, que simplifica a síntese dos controladores através de uma interface gráfica amigável.

8.1.1 Critérios para o projeto de controladores de conversores estáticos no domínio da frequência

No projeto de controle de conversores estáticos, ou de qualquer tipo de controlador, devem ser observados alguns critérios para que sejam garantidas a estabilidade e a resposta adequada do sistema em malha fechada. No projeto no domínio da frequência de conversores estáticos a definição da frequência de cruzamento por zero é limitada teoricamente a um valor inferior à metade da frequência de comutação. Em [20] é sugerida a limitação prática a um quarto da frequência de comutação, além disso, a inclinação da curva de ganho nesta frequência deve estar em -20 dB/Década.

A margem de fase do conversor deve estar entre 45º e 90º. Margem de fase reduzida leva o sistema a apresentar elevado valor de sobresinal, por outro lado uma margem muito elevada leva o sistema a ter uma resposta transitória mais lenta.

Para que o conversor apresente um erro estático reduzido, deve-se adicionar um pólo na origem (integrador), com isto o ganho de malha aberta será muito grande em baixas frequências, o que elimina o erro [20].

8.1.2 Introdução ao uso do SISOTOOL

O SISOTOOL é uma ferramenta gráfica para projeto de compensadores para sistemas SISO (single-input/single-output) disponível no MATLAB. Esta ferramenta permite o projeto utilizando

Page 188: Apostila CCE v7(+simobologia)

170 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

ferramentas como o lugar das raízes, diagramas de Bode além das técnicas de Nichols e Nyquist [21].

A ferramenta pode ser inicializado através do comando rltool(sys) ou sisotool(sys). O parâmetro sys representa a função de transferência da planta em análise. O exemplo abaixo apresenta os comandos necessários para representar a planta de tensão do conversor Boost em condução contínua:

Exemplo de comandos utilizados para representar uma função de

transferência no MATLAB

Quando a ferramenta é carregada, esta apresenta duas janelas, a “SISO Design for SISO Design Task” e a janela “Control and estimation Tool Manager”. Na Fig. 8.1 é apresentada a janela “Control and estimation Tool Manager”, nela estão os principais comandos de edição do controlador, como a escolha da arquitetura, edição e avaliação do desempenho deste.

Algumas das principais funções desta janela são:

Fig. 8.1 - Janela “Control and estimation Tool Manager”

L=4e-3; %Valor do indutor

C=1e-6; %Valor do capacitor

R=400; %Resistor de carga

Vg=200; %Tensão de entrada

D=0.25;

Page 189: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 171

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Alteração de preferências de exibição: “Edit”“SISO Tools preferences”. Na janela que se abrirá pode-se alterar o modo de exibição das unidades de frequência, módulo e fase dos diagramas, além de alterar o modo como são exibidas a função de transferência dos compensadores.

Fig. 8.2 - Opções de unidade

SISOTOOLS

Fig. 8.3 - Aparência dos

compensadores

Seleção da arquitetura e dos dados da planta de controle:

Na aba “Architecture” a seleção de um entre as seis estruturas de controle disponíveis é acessada pelo botão “Control Architecture.”. O valor de cada um dos blocos pode ser selecionado através do botão “System Data...”. ATENÇÃO: Quando a arquitetura é alterada os dados do projeto atual são perdidos!

Fig. 8.4- Seleção da arquitetura de

controle

Fig. 8.5 - Edição dos dados da

planta

Edição do controlador: O posicionamento de pólos e zeros do controlador, além do ajuste do ganho pode ser realizado através da aba

Page 190: Apostila CCE v7(+simobologia)

172 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

“Compensator Editor”. O ajuste do compensador, como veremos, pode ser realizado também de modo interativo com um dos diagramas selecionados.

Fig. 8.6 - Edição do compensador.

Seleção dos diagramas de análise para ajuste gráfico: Na aba “Graphical Tuning” podem ser selecionados até seis diagramas para visualização simultânea, podendo ser realizada a análise em malha fechada ou aberta. É comum a utilização do diagrama de Bode de malha aberta para ajuste de compensadores utilizado em eletrônica de potência. Após a seleção dos diagramas de análise, a janela “SISO Design for SISO Design Task” é acessada através do botão “Show Design Plot”.

Page 191: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 173

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.7 - Opções de ajuste gráfico.

Ajuste gráfico do controlador: Na janela “SISO Design for SISO Design Task” o compensador pode ser ajustado através dos seguintes comandos:

Ajuste de ganho: O ganho pode ser ajustado para selecionado o botão “Ponteiro” que permite que o diagrama de módulo seja arrastado para cima e para baixo.

Ajuste/Adição de pólos: zeros e pólos podem se adicionado com a seleção dos botões “x” ou “o” e posterior clique na posição desejada no gráfico. A posição pode ser modificada com a seleção da ferramenta ponteiro, que permite que um pólo/zero seja arrastado para a posição adequada no gráfico.

Para verificar a expressão do compensador editado seleciona-se no menu “DisignsEdit Compensator”. Algumas análises do desempenho do compensador podem ser obtidas através do menu “Analysis”.

Na Fig. 8.8 é apresentada a situação da planta exemplo antes da edição do controlador, neste editor, os pólos e zeros da planta são representados respectivamente por ‘x’ e ‘o’ na cor azul. Na Fig. 8.9 é apresentada a situação da planta após a edição do controlador, os pólos/zeros do controlador são representados na cor vermelha.

Page 192: Apostila CCE v7(+simobologia)

174 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.8 - Ajuste gráfico do compensador – planta original.

Fig. 8.9 - situação da planta após a edição do compensador.

Page 193: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 175

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

8.1.3 Controle do Conversor Buck MCC

8.1.3.1 Definição da planta

Na Tabela 8.1 são apresentados os parâmetros do conversor Buck utilizado para avaliação do controle. Com os parâmetros apresentados o conversor opera no modo de condução contínua.

Tabela 8.1 - Parâmetros do conversor Buck

Tensão de entrada (Vi) 400 V

Tensão de saída (V) 48 V

Frequência de comutação (Fs) 20 kHz

Indutor (L) 500 uH

Capacitor (C) 100 uF

Resistor de carga (R) 2,304 Ω

O ganho do sensor de tensão utilizado é de 0,1 V/V, o ganho do

sensor de corrente é de 0,1 V/A e a tensão pico a pico da forma de onda dente de serra utilizada no modulador é de 10 V.

8.1.3.2 Controle de tensão

O controle da tensão de saída pode ser executado com ação direta sobre a razão cíclica do conversor, para isto será utilizada a estrutura de controle apresentada na Fig. 8.10.

Controle

C(s)

Planta

v(s)/d(s)Vref

Sensor

Hv(s)

VModulador

GPWM(s)

Fig. 8.10 – Malha de controle da tensão de saída do conversor Buck.

A função de transferência de laço aberto é apresentada na equação (13.1), é a multiplicação dos blocos individuais da estrutura. O

Page 194: Apostila CCE v7(+simobologia)

176 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

bloco C(s) representa o compensador a ser projetado, o bloco Modulador representa o modulador por largura de pulso, cuja função de transferência é apresentada na equação (13.2), com Vm representado a tensão pico a pico da portadora.

A planta de tensão do conversor é apresentada na equação (13.3). O sensor será representado apenas pelo ganho de tensão do componente.

1

( )( ) ( ). ( ). . ( )

( )PWM

Vc sFTMA s C s G S Hv s

d s= (13.1)

1( )PWMG s

Vm= (13.2)

2

( ) 1

( ) 1

CV sVi

Ld s LCs sR

= + +

(13.3)

Utilizando os parâmetros apresentados na Tabela 8.1 e o compensador sendo considerado um ganho unitário é traçado o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta, apresentado na Fig. 8.11. Verifica-se que a planta possui dois pólos localizados aproximadamente em 700 Hz.

Page 195: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 177

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

101

102

103

104

105

-180

-135

-90

-45

0

P.M.: InfFreq: NaN

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Requirement:

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

G.M.: InfFreq: InfStable loop

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.11 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão

Buck sem compensação.

Esta planta será controlada por um controlador PID+pólo, com os dois zeros localizados na mesma frequência dos pólos da planta, de forma a anular sua influência. O pólo adicional será posicionado acima da frequência de comutação, ajustado para interferir pouco na margem de fase. A frequência de cruzamento por zero do ganho será de um quarto da frequência de comutação.

A função de transferência de malha aberta considerando o controlador projetado é apresentada na Fig. 8.12. A frequência de cruzamento por zero é de 4,93 kHz e a margem de fase é de 74,5 graus.

Page 196: Apostila CCE v7(+simobologia)

178 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

101

102

103

104

105

-180

-135

-90

-45

P.M.: 74.2 degFreq: 4.93e+003 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-40

-20

0

20

40

60

80

Requirement:

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

G.M.: InfFreq: InfStable loop

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.12 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão

Buck com compensação.

O controlador C(s) é representado no domínio da frequência pela equação (13.4), com os coeficientes apresentados na Tabela 8.2

22 1 0

22 1 0

( )B s B s B

C s KA s A s A

+ +=

+ + (13.4)

Tabela 8.2 – Coeficientes do controlador de tensão do conversor Buck.

Coeficiente Valor B2 1 B1 8944 B0 19998784 A2 1 A1 2,342e5 A0 0 K 738,287

Na Fig. 8.13 é apresentado o resultado de simulação de uma elevação de 15% no valor da referência de tensão do controlador (15% em relação ao valor nominal de 48 V). Observa-se um sobresinal de

Page 197: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 179

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

cerca 5% nesta operação. A Fig. 8.14 apresenta o processo inverso, com um degrau de -15% sendo aplicado. Neste caso o sobresinal é maior, com cerca de 17%.

Fig. 8.13 – Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul) para

degrau de +15%.

Na Fig. 8.15 apresenta-se o resultado da tensão de saída para uma referência composta de um sinal CC de 48 V e uma componente senoidal de 7,2 V com frequência de 1 kHz. A tensão de saída segue corretamente o sinal de referência, sem atraso ou variação de amplitude perceptível.

Referência

Tensão de Saída

Page 198: Apostila CCE v7(+simobologia)

180 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.14 - Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul) para

degrau de -15%.

Fig. 8.15 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 kHz

(azul).

8.1.3.3 Controle de corrente

A corrente no indutor no conversor Buck pode ser controlada através da variação da razão cíclica imposta a chave. A estrutura utilizada para realizar o controle de corrente é apresentada na Fig. 8.16.

Tensão de Saída

Referência

Page 199: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 181

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.16 - Malha de controle da corrente do indutor do conversor

Buck.

A planta de corrente do conversor Buck operando no modo de condução contínua é apresentada na equação (13.5). Para obtenção da função de transferência de malha aberta, utiliza-se o mesmo procedimento apresentado na seção 8.1.3.2, neste caso o sensor é representado pelo ganho do sensor de corrente utilizado.

2

( ) 1

( ) 1

LI s Vi RCsLd s R LCs sR

+= + +

(13.5)

O diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta é apresentado na Fig. 8.17. Com os parâmetros utilizados neste projeto ocorre o cancelamento de um dos pólos da planta pelo zero da planta. Este efeito faz com que a planta de segunda ordem tenha um comportamento similar a uma planta de primeira ordem, principalmente em relação à fase que varia de zero a -90 graus.

Page 200: Apostila CCE v7(+simobologia)

182 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

102

103

104

105

-180

-135

-90

-45

0

45

P.M.: 95.5 degFreq: 9.69e+003 rad/sec

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

G.M.: InfFreq: NaNStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.17 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de

corrente do conversor Buck sem compensação.

O controlador utilizado será um PI+pólo. O integrador na origem proporciona um elevado ganho nas baixas frequência eliminando o erro estacionário. Com o zero do controlador será anulado o efeito do segundo pólo da planta, com isto a inclinação de ganho da FTMA na região de cruzamento por zero é de -20 dB/década. O pólo adicional é posicionado acima da frequência de comutação do conversor, a fim de atenuar ruídos da malha de realimentação. A frequência de cruzamento por zero do ganho é de cerca de um quarto da frequência de comutação.

A FTMA compensada é apresentada na Fig. 8.18, observa-se que o frequência de cruzamento obtida é de 4,99 kHz com margem de fase de 75 graus. Estes valores estão de acordo com os critérios de estabilidade e desempenho considerados.

Page 201: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 183

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

101

102

103

104

105

106

-180

-135

-90

-45

P.M.: 75 degFreq: 4.99e+003 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

G.M.: InfFreq: InfStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.18 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de

corrente do conversor Buck com compensação.

O controlador C(s) é representado no domínio da frequência pela equação (13.4), com os coeficientes apresentados na

Tabela 8.3

Tabela 8.3 – Coeficientes do controlador de corrente do conversor Buck.

Coeficiente Valor B2 0 B1 1 B0 4472 A2 1 A1 2,525e5 A0 0 K 966460

Page 202: Apostila CCE v7(+simobologia)

184 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

O resultado do degrau na referência de corrente para variação positiva de 15% é mostrado na Fig. 8.19 e para variação negativa na Fig. 8.20. As variações aplicadas correspondem a 15% do valor da corrente nominal no indutor. O sobresinal obtido na variação positiva é de 2,3% e na variação negativa é de 13%.

Fig. 8.19 – Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para

degrau de +15%.

Referência Corrente no indutor

Page 203: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 185

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.20 - Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para

degrau de -15%.

O resultado da corrente no indutor para uma referencia de corrente composta por um sinal contínuo de 20 A adicionado a uma senóide com amplitude de 3 A (15%) é apresentado na Fig. 8.21. Nesta situação não se identifica erro da amplitude ou atraso de fase no sinal de corrente gerado em relação à referência.

Referência

Corrente no indutor

Page 204: Apostila CCE v7(+simobologia)

186 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.21 - Corrente no indutor (vermelho) e referência senoidal de 1

kHz (azul).

8.1.3.4 Controle em cascata de tensão e corrente

Nesta metodologia a tensão de saída é controlada através de uma malha externa que fornece uma referencia de corrente para a malha interna de controle de corrente conforme apresentado na Fig. 8.22. Nesta abordagem a malha de controle interna é mais rápida que a malha de controle externa, em termos prática, no mínimo cinco vezes mais rápida.

A malha de controle de corrente já foi projetada no item 8.1.3.3, sendo utilizado o mesmo projeto do controlador nesta seção. A função de transferência de malha aberta para o controle de tensão é apresentada na equação (13.6).

Fig. 8.22 - Malha de controle de corrente e tensão do conversor Buck.

Page 205: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 187

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

( )( ) 2( ). . . ( )

( )V iL

Vc sFTMA s C s FTMF Hv s

I s= (13.6)

A planta da tensão do capacitor em relação a corrente no indutor já foi obtida neste trabalho, sendo reapresentada na equação (13.7). A função de transferência de malha fechada da planta de corrente pode ser obtida a partir da equação (13.8).

( ) 1

( ) 1C

L

V sR

I s RCs = +

(13.7)

( )1( ). ( ).

( )( )

( )1 1( ). ( ). . ( )

( )

LPWM

iL

PWM

I sC s G S

d sFTMF s

I sC s G S Hi s

d s

=+

(13.8)

Devido a presença do integrador na planta de controle de corrente, ao multiplicarmos por S o numerador e o denominador, o termo S é simplificado, aparecendo apenas multiplicando o 1 do denominador. Como a frequência da malha externa é muito mais lenta que a malha interna, faz-se S0 , deste modo a expressão para a FTMFi da corrente é simplificada, de acordo com a equação (13.9):

1( )

( )iFTMF sHi s

≈ (13.9)

Na Fig. 8.23 é apresentado o diagrama de Bode da FTMAv considerando a simplificação na planta de corrente, este resultado pode ser comparado com a Fig. 8.24 que apresenta o diagrama de Bode da FTMA considerando a função de malha fechada completa de corrente. O ganho CC das duas plantas é idêntico, na frequência de 1kHz (1/5 da Fcz da planta e corrente) a diferença de fase é inferior a 15 graus. Deste modo considera-se a aproximação válida para frequências de interesse.

Page 206: Apostila CCE v7(+simobologia)

188 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

101

102

103

104

105

-180

-135

-90

-45

0

P.M.: 116 degFreq: 1.43e+003 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

G.M.: InfFreq: NaNStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.23 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão

do conversor Buck sem compensação considerando FTMFi simplificada.

Page 207: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 189

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

101

102

103

104

105

106

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

P.M.: 100 degFreq: 1.55e+003 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

G.M.: 27.9 dBFreq: 1.4e+004 HzStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.24 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão do conversor Buck sem compensação considerando FTMFi completa.

Para o controle será ajustado um controlador PI+pólo, com o zero ajustado no pólo da planta de tensão. O segundo pólo será adicionado acima da frequência de cruzamento por zero a fim de minimizar ruídos na malha de controle. A Fig. 8.25 apresenta a FTMAv compensada.

Page 208: Apostila CCE v7(+simobologia)

190 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

102

103

104

105

106

-180

-135

-90

P.M.: 84.7 degFreq: 996 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

G.M.: InfFreq: InfStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.25 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle de tensão

do conversor Buck com compensação.

O controlador de tensão do controle em cascata (C2(s)) é representado no domínio da frequência pela equação (13.4), com os coeficientes apresentados na Tabela 8.4. O controlador de corrente é o mesmo projetado no item 8.1.3.3.

Tabela 8.4 – Coeficientes do controlador de tensão do controle em

cascata do conversor Buck.

Coeficiente Valor B2 0 B1 1 B0 4355 A2 1 A1 6,83e4 A0 0 K 42921

O resultado do degrau na referência de tensão para variação

positiva de 15% é mostrado na Fig. 8.26 e para variação negativa na Fig.

Page 209: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 191

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

8.27. É observado sobre sinal na forma de onda de tensão e corrente no indutor. O tempo de estabilização é inferior a 1 ms.

Fig. 8.26 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência

(azul)

Quadro inferior: Corrente no indutor (vermelho) par a degrau de +15%.

Na Fig. 8.28 apresenta-se o resultado para uma referência composta de um sinal CC de 48 V e uma componente senoidal de 7,2 V com frequência de 1 kHz. A tensão de saída já apresenta atraso de fase considerável, mas mantém a amplitude.

Page 210: Apostila CCE v7(+simobologia)

192 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.27 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência

(azul)

Quadro inferior: Corrente no indutor (vermelho) para degrau de -15%.

Fig. 8.28 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 kHz

(azul).

Referência

Tensão de Saída

Page 211: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 193

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.29 é apresentado o resultado da tensão de saída no

momento de uma rejeição de carga de 50%. A tensão sobe momentaneamente para 56 V (aumento de quase 20%) sendo rapidamente reduzida para o valor nominal. Observa-se que a tensão no modulador satura no valor inferior, isto significa que o conversor não pode reduzir a corrente com o ritmo solicitado pelo controlador.

Na Fig. 8.30 é apresentada a tensão de saída no momento que o conversor tem a potência de saída aumentada de 50 para 100% da carga nominal, neste caso a tensão de saída sobre uma redução de quase 20% sendo recuperada rapidamente pelo controle para o valor nominal.

A banda do controlador de tensão poderia ser aumentada, o que reduziria a perturbação no caso do degrau de carga de 50% para 100%, já que o controle de corrente não chega a saturar nesta situação. No entanto há também o compromisso de manter uma relação deste controlador em relação ao controle de corrente, caso o controle de corrente não responda corretamente a referência de tensão o sistema pode oscilar.

Page 212: Apostila CCE v7(+simobologia)

194 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.29 – quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente de referência (verde) e Tensão na

entrada do modulador (Roxo) para redução de 50% da carga.

Tensão no modulador Ref. Corrente

Tensão de Saída

Referência

Page 213: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 195

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.30 – Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) para

incremento de 50% da carga.

8.1.3.5 Controle em Modo de Corrente

Neste método de controle a tensão de saída é controlada através do valor de pico da corrente no indutor. O diagrama de controle é apresentado na Fig. 8.31. O bloco comparador da corrente será representado apenas pelo ganho de corrente obtido, dado pelo inverso do ganho do sensor de corrente.

Fig. 8.31 – Malha de controle do converso Buck em modo corrente.

O modelo para a planta de tensão em relação a corrente do indutor foi apresentado na equação (13.7). O ganho do sensor de

Ref. Corrente Tensão no modulador

Tensão de Saída

Referência

Page 214: Apostila CCE v7(+simobologia)

196 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

corrente desta planta será alterado para 0,05 V/A visando limitar a queda de tensão em 1 V na operação nominal. O diagrama de Bode da FTMA desta planta de controle é apresentado na Fig. 8.32.

101

102

103

104

105

-180

-135

-90

-45

0

P.M.: 116 degFreq: 1.43e+003 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

G.M.: InfFreq: NaNStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.32 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo

corrente do conversor Buck sem compensação.

O diagrama de Bode da planta de controle com o controlador PI+pólo ajustado é apresentado na Fig. 8.33. A margem de fase é de 82 graus com a frequência de cruzamento por zero do ganho em 4,68 kHz.

Page 215: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 197

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

102

103

104

105

106

-180

-135

-90

P.M.: 83.3 degFreq: 4.68e+003 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

G.M.: InfFreq: InfStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.33 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo

corrente do conversor Buck com compensação.

O controlador de tensão do controle em modo corrente é representado no domínio da frequência pela equação (13.4), com os coeficientes apresentados na

Tabela 8.5. O circuito utilizado na simulação do controle do PSIM é apresentado na Fig. 8.34.

Tabela 8.5 – Coeficientes do controlador de tensão do controle em modo corrente do conversor Buck.

Coeficiente Valor B2 0 B1 1 B0 4274 A2 1 A1 2,455e5 A0 0 K 3,63e5

Page 216: Apostila CCE v7(+simobologia)

198 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.34 - Circuito simulado no PSIM para avaliação do controle em

modo corrente do conversor Buck

Na Fig. 8.35 é apresentado o resultado da tensão de saída para uma variação de 15% na referência, a situação oposta é apresentada na Fig. 8.36 onde a referência é aumentada em 15% em relação ao valor nominal. Nas duas figuras são apresentadas também a tensão da saída do controlador e a corrente medida no sensor.

Fig. 8.35 - Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência

(azul)

Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para degrau de +15%.

Referência

Tensão de Saída

Limite de corrente Corrente no sensor

Page 217: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 199

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.36 - Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência

(azul)

Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para degrau de (-15%).

Na Fig. 8.37 apresenta-se o resultado para uma referência composta de um sinal CC de 48 V e uma componente senoidal de 7,2 V com frequência de 1 kHz. A tensão de saída apresenta um pequeno atraso em relação a referência, no entanto a amplitude é mantida.

Na Fig. 8.38 é apresentado o comportamento da tensão de saída e da corrente de entrada (Isens) para uma redução de 50% na carga. O controlador satura no valor limitante inferior, o que provoca um oscilação durante o transitório, que dura menos que 1 ms.

Corrente no sensor Limite de corrente

Referência

Tensão de Saída

Page 218: Apostila CCE v7(+simobologia)

200 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.37 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 kHz

(azul).

Fig. 8.38 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do

controlador (verde) para redução de 50% da carga.

Na Fig. 8.39 é apresentado o comportamento da saída para um aumento de carga de 50% para 100% da carga nominal. Nesta situação verifica-se o comportamento adequado da tensão, sendo estabilizada em menos de 1 ms pelo controlador.

Corrente no sensor

Limite de corrente

Referência

Tensão de Saída

Page 219: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 201

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.39 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do

controlador (verde) para aumento de 50% da carga.

8.1.4 Controle do Conversor Boost CCM

8.1.4.1 Definição da planta

Na Tabela 8.6 são apresentados os parâmetros do conversor Boost utilizado para análise do controle. Com os parâmetros apresentados o conversor opera no modo de condução contínua.

Tabela 8.6 - Parâmetros do conversor Boost

Tensão de entrada 200 V

Tensão de saída 400 V

Frequência de comutação 70 kHz

Indutor 5 mH

Capacitor 100 uF

Resistor de carga 2,304 Ω

Corrente no sensor Limite de corrente

Referência

Tensão de Saída

Page 220: Apostila CCE v7(+simobologia)

202 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

O ganho do sensor de tensão utilizado é de 0,01 V/V, o ganho do sensor de corrente é de 0,1 V/A e a tensão pico a pico da tensão dente de serra utilizada no modulador é de 10 V.

8.1.4.2 Controle de Tensão

O controle da tensão de saída do conversor Boost pode ser executado com ação direta sobre a razão cíclica imposta a chave do conversor, para isto será utilizada a estrutura de controle apresentada na Fig. 8.40.

Controle

C(s)

Planta

v(s)/d(s)Vref

Sensor

Hv(s)

VModulador

GPWM(s)

Fig. 8.40 - Malha de controle de tensão do conversor Boost

O modelo da planta de tensão do conversor já foi obtido neste trabalho, sendo reapresentado na equação (13.10). Esta planta possui um zero no semi-plano direito do plano S. Este zero acaba se comportando com um pólo em relação à resposta fase do sistema.

2 2

[1 ]( ) 1( ) [1 ]

c

VLs VR DV s D

d s RLCs Ls R D

− + −−=

+ + − (13.10)

A função de transferência de malha aberta é obtida através da multiplicação dos elementos da malha, conforme equação (13.11). Considerando os parâmetros apresentados na

Tabela 8.6 e o controlador como um ganho unitário é traçado o diagrama de bode da FTMAbv apresentado na Fig. 8.41.

( )( ) ( ). ( ). . ( )

( )bv PWM

V sFTMA s C s G S Hv s

d s= (13.11)

Page 221: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 203

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

102

103

104

105

90

180

270

360

P.M.: -82.2 degFreq: 3.21e+004 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-10

0

10

20

30

40

50

G.M.: -38.1 dBFreq: 1.78e+003 HzUnstable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.41 – Diagrama de bode da FTMA do controle de tensão do

conversor Boost sem compensação.

Na frequência de cruzamento por zero desejada (17,5 kHz) a margem de fase já está próxima de zero. Se considerarmos aplicação de um controlador PID, com os zeros anulando o efeito dos dois pólos da planta, e ganho ajustado para que a frequência de cruzamento por zero seja de 17,5 kHz o sistema será instável. Para evitar a utilização de um controlador com mais sofisticado a especificação de frequência de cruzamento por zero será reduzida. Na Fig. 8.42 é apresentado o ajuste do controlador considerando a frequência de cruzamento por zero em 100 Hz. Este valor teve que ser fortemente reduzido já que a planta não apresenta inclinação de -20 dB/Década na região de ressonância dos pólos complexos conjugados.

Page 222: Apostila CCE v7(+simobologia)

204 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

101

102

103

104

105

106

90

135

180

225

270

315

P.M.: 96.5 degFreq: 104 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

G.M.: 30.1 dBFreq: 7.74e+003 HzStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)M

agni

tude

(dB

)

Fig. 8.42 - Diagrama de bode da FTMA do controle de tensão do

conversor Boost compensada.

O controlador C(s) é representado no domínio da frequência pela equação (13.4), com os coeficientes apresentados na Tabela 8.7.

Tabela 8.7 – Coeficientes do controlador de tensão do conversor Boost.

Coeficiente Valor B2 1 B1 15344 B0 58859584 A2 1 A1 2,256e5 A0 0 K 3,0464

Na Fig. 8.43 é apresentado o comportamento da tensão de saída frente a uma variação de 15% na referência de tensão. Observa-se a ausência de sobresinal e erro estático, no entanto observa-se um

Page 223: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 205

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

comportamento oscilatório da tensão durante o período de estabilização. Na Fig. 8.44 é apresentado o resultado de uma variação de -15% na referência. Neste caso também é verificado um comportamento oscilatório da tensão de saída durante a estabilização da tensão.

Fig. 8.43 – Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul) para

degrau de +15%.

Na Fig. 8.45 é apresentado o comportamento da tensão de saída quando a referência é composta por um valor CC de 400 V adicionado a uma senóide de amplitude 60 V com frequência de 100 Hz. Observa-se que há um atraso de 40 graus em relação à referência, além de uma atenuação considerável.

Referência

Tensão de Saída

Page 224: Apostila CCE v7(+simobologia)

206 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.44 – Tensão de saída (em vermelho) e referência (azul) para

degrau de -15%.

Fig. 8.45 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 100 Hz

(azul)

8.1.4.3 Controle de Corrente

No conversor Boost a corrente do indutor pode ser controlada através do ajuste adequado da razão cíclica. Na Fig. 8.46 é apresentada a estrutura de controle que será utilizada para este fim.

Referência

Tensão de Saída

Page 225: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 207

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.46 – Malha de controle de corrente do conversor Boost.

A planta da corrente do indutor em relação a razão cíclica já foi levantada neste documento, sendo repetida na equação (13.12). Esta planta apresenta dois pólos e um zero.

2 2

( ) 2

( ) [1 ]LI s VRCs V

d s RLCs Ls R D

+=+ + −

(13.12)

Escrevendo-se a função de transferência de malha aberta, conforme procedimento apresentado no item 8.1.3.2, e considerando o controlador como um ganho unitário pode ser obtido o diagrama de Bode, apresentado na Fig. 8.47.

102

103

104

105

-135

-90

-45

0

45

P.M.: InfFreq: NaN

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

G.M.: InfFreq: NaNStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.47 - Diagrama de Bode da FTMA do controle de corrente do

conversor Boost sem compensação.

Page 226: Apostila CCE v7(+simobologia)

208 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Observa-se que o zero e os pólos estão próximos, mesmo não ocorrendo um cancelamento, o sistema apresenta a resposta de fase similar a um sistema de primeira ordem. Como controlador será ajustado um PI+pólo, o zero deste controlador será posicionado na mesma frequência real dos pólos complexos conjugados e o pólo adicional, inserido para evitar ruído de alta frequência na malha de controle, é posicionado acima da frequência de comutação.

O diagrama de Bode a FTMA compensada é apresentado na Fig. 8.48. A margem de fase é de 75,2 graus e a frequência de cruzamento por zero obtida é de 16,1 kHz.

102

103

104

105

-135

-90

-45

P.M.: 75.2 degFreq: 1.61e+004 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

0

10

20

30

40

G.M.: InfFreq: InfStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.48 - Diagrama de Bode da FTMA do controle de corrente do

conversor Boost com compensação.

O controlador C(s) é representado no domínio da frequência pela equação (13.4), com os coeficientes apresentados na Tabela 8.8.

Tabela 8.8 – Coeficientes do controlador de corrente do conversor Boost.

Coeficiente Valor B2 0 B1 1

Page 227: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 209

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

B0 7865 A2 1 A1 6,453e5 A0 0 K 6,55e7

Na Fig. 8.49 é apresentado o comportamento da corrente no

indutor frente a um degrau na referência de corrente de 15% em relação ao valor nominal. Observa-se a rápida ação do controlador além de um pequeno sobre sinal. Na Fig. 8.50 é apresentado o resultado na tensão de saída para uma redução de 15% na referência de corrente.

Fig. 8.49 – Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para

degrau de +15%.

Referência

Corrente no indutor

Page 228: Apostila CCE v7(+simobologia)

210 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.50 - Corrente no indutor (vermelho) e referência (azul) para

degrau de -15%.

Na Fig. 8.51 é apresentada a corrente no indutor para uma referência composta por um valor contínuo de 2 A e uma senóide com amplitude de 0,3 A com frequência de 1 kHz. Verifica-se que a corrente obtida segue corretamente a referência, exceto pela ondulação de alta frequência inerente ao chaveamento do conversor.

Fig. 8.51 – Corrente no indutor (vermelho) e referência senoidal de 1

kHz (azul).

Referência

Corrente no indutor

Page 229: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 211

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

8.1.4.4 Controle de Corrente e Tensão – Controle em cascata

A tensão de saída pode ser controlada através do valor médio de corrente no indutor do conversor Boost. Neste caso é necessário o emprego de dois controladores, internamente é utilizado um controlador de corrente do indutor. A referência de corrente deste controlador é obtida do segundo controlador, que controla o valor da tensa ode saída.

Fig. 8.52 é apresentado o diagrama de controle que será utilizado.

Fig. 8.52 – Diagrama de controle de corrente e tensão do conversor

Boost MCC

Em [22] é apresentada um modelo simplificado para a planta de corrente em relação à razão cíclica do conversor Boost MCC, própria para o uso em sistemas em cascata. Esta planta é apresentada na equação (13.13).

( )

( )LI s V

d s Ls= (13.13)

A planta de tensão leva em conta o valor médio da razão cíclica e possui dinâmica de primeira ordem, dependendo da carga e do capacitor de saída. Esta planta é apresentada na equação (13.14).

( )

( ) 1L

V s RD

I s RCs=

+ (13.14)

Inicialmente será projetado o controlador da malha interna. Na Fig. 8.53 é apresentado o diagrama de Bode da FTMA da planta de corrente simplificada. Observa-se uma inclinação de -20 dB/Década devido ao único pólo na origem. A ajuste de um controlador PI+pólo torna possível a obtenção da margem de fase e a frequência de cruzamento por zero especificados.

Na Fig. 8.54 é apresentado o diagrama de Bode da FTMA da planta com a compensação. Neste caso foi obtida uma margem de fase de 72,5 graus e a frequência de cruzamento por zero é de 16,3 kHz.

Page 230: Apostila CCE v7(+simobologia)

212 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

100

101

102

103

104

-180

-135

-90

P.M.: 90 degFreq: 159 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-20

-10

0

10

20

30

40

50

G.M.: InfFreq: NaNStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.53 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de corrente

simplificada do conversor Boost.

102

103

104

105

106

107

-180

-150

-120

-90P.M.: 75.2 degFreq: 1.63e+004 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-100

-50

0

50

100

G.M.: -Inf dBFreq: 0 HzStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.54 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de corrente

simplificada do conversor Boost com compensação.

Page 231: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 213

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

O controlador de corrente C1(s) é representado no domínio da frequência pela equação (13.4), com os coeficientes apresentados

naTabela 8.9.

Tabela 8.9 – Coeficientes do controlador de corrente para o controle em cascata do conversor Boost.

Coeficiente Valor

B2 0 B1 1 B0 1,896e4 A2 1 A1 1,348e6 A0 0 K 1,365e8

Para o projeto do controlador de tensão é necessário que seja

obtida a representação da FTMA de tensão. A malha interna de corrente é representada pelo seu valor em malha fechada. Utilizando o mesmo procedimento descrito no item 8.1.3.4, a função de transferência de malha fechada da malha de corrente será representada pela equação (13.15). A função de transferência de malha aberta para a malha de tensão é descrita na equação (13.16).

1( )

( )iFTMF sHi s

≈ (13.15)

( )( ) ( ). . . ( )

( )V iL

V sFTMA s C s FTMF Hv s

I s= (13.16)

O diagrama de Bode da FTMA de tensão é apresentado na Fig. 8.55. Observa-se o comportamento característico de sistemas de primeira ordem, com fase inicial nula e fase final de 90 graus.

Page 232: Apostila CCE v7(+simobologia)

214 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

101

102

103

104

-180

-135

-90

-45

0

P.M.: 92.9 degFreq: 7.95e+003 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-5

0

5

10

15

20

25

30

G.M.: InfFreq: NaNStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.55 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de tensão do conversor Boost para o controle em cascata.

Esta planta pode ser controlada com o ajuste adequado de um controlador PI+pólo. O zero do controlador será posicionado na mesma frequência do pólo da planta de tensão. O pólo adicional é posicionado acima da frequência de cruzamento por zero. Na Fig. 8.56 é apresentado o diagrama de Bode da FTMA após o ajuste do controlador. Este controlador (C2(s)) é representado no domínio da frequência pela equação (13.4), com os coeficientes apresentados na Tabela 8.8.

Tabela 8.10 – Coeficientes do controlador de tensão do controle em cascata do conversor Boost.

Coeficiente Valor B2 0 B1 1 B0 2509 A2 1 A1 6,343e4 A0 0 K 7905

Page 233: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 215

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

102

103

104

105

106

-180

-135

-90

P.M.: 84.4 degFreq: 987 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

G.M.: InfFreq: InfStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.56 – Diagrama de Bode da FTMA da planta de tensão compensada do conversor Boost para o controle em cascata.

Na Fig. 8.57 é apresentado o comportamento da tensão de saída em resposta a um degrau na referência de tensão de 15% em relação ao valor nominal. Na Fig. 8.58 é apresentado o resultado na tensão de saída para uma redução de 15% na referência de corrente. Observa-se que o comportamento inicial da saída é inverso em relação a referência. Este fato é resultado da presença de um zero no semi-plano direito do plano S na planta do conversor. Fisicamente sabe-se que para aumentar a tensão de saída do conversor é necessário aumentar a corrente no indutor, no entanto para aumentar a corrente é necessário manter a chave mais tempo fechada, como a energia é transferida para a saída somente quando a chave está aberta, nos primeiros instantes do transitório menos energia é transferida para a carga o que provoca a queda da tensão de saída, depois que a corrente sobe a tensão volta a crescer.

Page 234: Apostila CCE v7(+simobologia)

216 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.57 – Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) para degrau

de +15%.

. Fig. 8.58 – Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) para degrau

de -15%.

Na Fig. 8.59 é apresentado o comportamento da tensão de saída e da corrente no indutor para remoção e inserção de 50% da carga nominal. Inicialmente o converso opera com 100% da capacidade, em

Referência

Tensão de Saída

Tensão de Saída

Referência

Page 235: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 217

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

23 ms 50% da carga é removida. A tensão sobre uma rápida elevação de 11%, que é prontamente corrigida pelo controle através da redução da corrente no indutor. Em 33 ms o conversor volta a carga nominal, neste instante ocorre uma redução na tensão de saída que é recuperada em cerca de 2ms pelo controle.

Fig. 8.59 Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência

(azul) Quadro inferior: Corrente no indutor para degrau de +/- 50% da carga.

Na Fig. 8.60 é apresentado o comportamento da tensão de saída quando a referência de tensão é composta por um valor contínuo de 400 V adicionado a uma senóide de amplitude 60 V com frequência de 500 Hz. Observa-se que há um atraso de fase em relação à referência, além de uma atenuação de 33%.

Corrente no indutor

Referência

Tensão de Saída

Page 236: Apostila CCE v7(+simobologia)

218 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.60 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 500 Hz

(azul).

8.1.4.5 Controle em Modo de Corrente

Neste método de controle a tensão de saída é controlada através do valor de pico da corrente no indutor do Boost. O sensor de corrente é posicionado em série com a chave. O diagrama de controle é apresentado na Fig. 8.61. O bloco comparador da corrente será representado apenas pelo ganho de corrente obtido, dado pelo inverso do ganho do sensor de corrente.

Fig. 8.61 – Malha de controle do converso Boost em modo corrente.

O modelo para a planta de tensão em relação a corrente do indutor foi apresentado na equação (13.14). O diagrama de Bode da FTMA desta planta de controle é apresentado na Fig. 8.62.

Page 237: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 219

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

101

102

103

104

-180

-135

-90

-45

0

P.M.: 92.9 degFreq: 7.95e+003 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-5

0

5

10

15

20

25

30

G.M.: InfFreq: NaNStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.62 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo

corrente do conversor Boost sem compensação.

O diagrama de Bode da planta de controle com o controlador PI+pólo ajustado é apresentado na Fig. 8.63. A margem de fase é de 88 graus com a frequência de cruzamento por zero do ganho em 2 kHz. Foram avaliadas frequências de cruzamentos por zero do ganho em 10 kHz e 17 kHz, no entanto o desempenho transitório se mostrou instável para ambas as condições, assim a frequência foi limitada no valor final de 2 kHz.

Page 238: Apostila CCE v7(+simobologia)

220 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

102

103

104

105

106

107

-180

-135

-90

P.M.: 88.3 degFreq: 2e+003 Hz

Frequency (Hz)

Pha

se (

deg)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

G.M.: InfFreq: InfStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

Mag

nitu

de (

dB)

Fig. 8.63 - Diagrama de Bode da FTMA da planta de controle em modo

corrente do conversor Boost com compensação.

O controlador de tensão do controle em modo corrente é representado no domínio da frequência pela equação (13.4), com os coeficientes apresentados na Tabela 8.11. O circuito utilizado as simulação do controle é apresentado na Fig. 8.64. A razão cíclica é limitada em 0,6.

Tabela 8.11 – Coeficientes do controlador de tensão do controle em

modo corrente do conversor Buck.

Coeficiente Valor B2 0 B1 1 B0 2561 A2 1 A1 5,026e5 A0 0 K 125970

Page 239: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 221

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.64 - Circuito simulado no PSIM para avaliação do controle em

modo corrente do conversor Boost.

Na Fig. 8.65 é apresentado o resultado da tensão de saída para uma variação de 15% na referência, a situação oposta é apresentada na Fig. 8.36 onde a referência é aumentada em 15%. Nas duas figuras são apresentadas também a tensão da saída do controlador e a corrente medida no sensor. Nas duas situações observa-se que a tensão de saída no início do transitório toma a direção oposta da referência, sendo este um comportamento típico de uma planta que possui um zero no semi-planto direito, omitido na modelagem para controle em modo corrente. Durante alguns instantes durante o transitório a razão cíclica é limitada em 0,6 e não pela corrente.

Page 240: Apostila CCE v7(+simobologia)

222 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.65 - Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência

(azul).

Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para degrau de +15%.

Corrente no sensor

Limite de corrente

Referência

Tensão de Saída

Page 241: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 223

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.66 - Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência

(azul)

Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do controlador (verde) para degrau de -15%.

Na Fig. 8.37 apresenta-se o resultado para uma referência composta de um sinal CC de 400 V e uma componente senoidal de 60 V com frequência de 1 kHz. A tensão de saída apresenta um atraso de 30 graus em relação a referência, além de uma atenuação.

Fig. 8.67 – Tensão de saída (vermelho) e referência senoidal de 1 kHz

(azul).

Tensão de Saída

Referência

Limite de corrente Corrente no sensor

Page 242: Apostila CCE v7(+simobologia)

224 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Na Fig. 8.38 é apresentado o comportamento da tensão de saída e da corrente de entrada (Isens) para uma redução de 50% na carga. Na Fig. 8.39 é apresentado o comportamento da saída para um aumento de carga de 50% para 100% da carga nominal. Nesta situação verifica-se o comportamento adequado da tensão, sendo estabilizada em menos de menos de 2 ms pelo controlador.

Fig. 8.68 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do

controlador (verde) para redução de carga de 50%.

Corrente no sensor

Limite de corrente

Referência

Tensão de Saída

Page 243: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 225

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Fig. 8.69 – Quadro superior: Tensão de saída (vermelho) e referência (azul) Quadro inferior: Corrente na saída do sensor (roxo) e limite do

controlador (verde) para aumentos de carga de 50%.

8.1.5 Conclusões

Neste capítulo foram aplicadas algumas técnicas de controla aos conversores Buck e Boost operando no modo de condução contínua. A planta do conversor Buck apresenta uma configuração de pólos e zeros que a torna mais simples seu controle, além disso esta planta não depende da variação da razão cíclica. A planta de tensão em relação a razão cíclica do conversor Boost apresenta um zero no semi-plano direito, o efeito deste zero pode ser verificado na dificuldade de controle deste em relação ao Buck. Enquanto um Buck operando com razão cíclica de 20kHz pode ter uma banda de controle de cerca de 5kHz a banda do Buck operando em 70kHz teve uma banda de somente 100Hz, considerando o mesmo controlador.

A alternativa de controle de tensão de saída via ajuste da corrente no indutor foi explorada de duas maneiras, a primeira através do valor médio e a segunda através do valor de pico. Nesta metodologia a corrente de saída pode ser facilmente limitada através da inserção de limitadores nas referências de corrente (isto foi implementado apenas no controle em modo corrente). Com a metodologia do controle da corrente

Corrente no sensor

Limite de corrente

Referência

Tensão de Saída

Page 244: Apostila CCE v7(+simobologia)

226 Controle de Conversores

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

de pico no indutor pode-se obter o melhor resultado do controle de tensão do Boost, o que ocorre devido a simplificação da planta de corrente inerente a este método de controle.

A resposta do controle a grandes variações de carga está relacionada a capacidade de armazenamento do capacitor de saída em relação a carga. Operando no modo de condução contínua existe um retardo no estabelecimento de uma nova corrente média no indutor, assim durante este período o capacitor de saída terá que prover a energia da carga através de sua descarga.

Page 245: Apostila CCE v7(+simobologia)

Controle de Conversores 227

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

Page 246: Apostila CCE v7(+simobologia)

228 Apêndice IV

Alessandro Luiz Batschauer Tese de Doutorado

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Page 247: Apostila CCE v7(+simobologia)

Extra..... 229

Apostila de Controle de Conversores Estáticos PPGEEL

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Page 248: Apostila CCE v7(+simobologia)

230 Apêndice IV

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