Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012

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  • 8/16/2019 Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012

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    UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

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    PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS

     Nesta tabela, f , g, u e v são funções deriváveis de x, e k , a e n são constantes1) [ k ] ’ = 02) [ ] ’ = 1!) [ k  " f ] ’ = k " f ’

    #) [ f ±  $] ’ = f ’ ±  $ ’ %sendo válida &ara 'ais de duas funções)() [ f "  $] ’ = f ’ " $ f " $ ’*) [ n ] ’ = n "  n +1

    ) [ u n ] ’ = n " u n - 1 " u ’

    .)2

    $

    /$f +$/f  

    ⋅⋅=

     g 

     f 

    ) [ a u  ] ’ = a u " ln a " u / %&ara a 0 e a ≠ 1)10)  [ e u ] ’ = u / " eu 

    11)  [ ualo$  ] ’ = alnu/

    u %&ara a 0 e a ≠ 1e u 0)

    12)  [   u ln ] ’ =u

    /u  %&ara u 0)

    1!)  [ vu ] ’ = /vulnu /uuv v1+v ⋅⋅+⋅⋅ %&ara u 0)

    1#)  [ sen u ] ’ = u ’ " cos u1()  [ cos u ] ’ = + u ’ " sen u1*)  [ t$ u ] ’ = u ’ " sec2 u1)  [ cot$ u ] ’ = + u ’ " cossec2 u1.)  [ sec u ] ’ = u ’ " sec u " t$ u1)  [ cossec u ] ’ = + u ’ " cossec u " cot$ u

    20)  [ arc sen u ] ’ =u/

    1 + u2 

    21)  [ arc t$ u ] ’ =2u1

    /u

    22)  [ arc cos u ] ’ =2

    u+1

    /u−

    2!)  [ arc cot$ u ] ’ =2u1

    /u−

    2#)  [ arc sec u ] ’ =1+uu

    /2⋅

    u

    2() [ arc cossec u ] ’ = 1+uu

    /

     2⋅−  u

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    PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO%Neste uadro, u e v são funções deriváveis de x " 3or outro lado, k , a, m e n são constantes")

    FUNÇÃO DERIVADA1"   k  y =  co' ℜ∈k    0/= y2"   x y =   1/= y!"   uk  y   ⋅=  co' ℜ∈k    //   uk  y   ⋅=#"   vu y   ±=   ///   vu y   ±=

    ("   muuuu y   ±±±±= """!21  co'4 N m∈

      /"""//// !21   muuuu y   ±±±±=

    *"   nu y =  co' ℜ∈n   // 1 uun y   n ⋅⋅=   −

    "   vu y   ⋅=   ///   vuvu y   ⋅+⋅=."   muuuu y   ⋅⋅⋅⋅= """!21  co' 4 N m∈ """"""/"""// 1!21!21   mm   uuuuuuuuuu y   ⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

    "v

    u5 =   )0%   ≠v   2

    ///

    v

    vuvu y

      ⋅−⋅=

    10"   ua y =  co' )10%   ≠>   aea   aau y   u ln//   ⋅⋅=

    11"   ue y =   ueu y   ⋅= //

    12"u

    alo$5 =  co' )0,10%   >≠>   uaea   alnu/ /

    ⋅=  u y

    1!" u y ln=  co' 0)%u > 

    u

    /u /5   =

    1#" vu y  =  co' 0)%u >   ulnvu/ v /u1+vuv/ ⋅⋅+⋅⋅= y  1("   u sen y =   uu y cos//   ⋅=1*"   u y cos=   u senu y   ⋅−= //1"   utg  y =   uu y 2sec//   ⋅=1."   u g  y cot=   uu y 2seccos//   ⋅−=1"   u y sec=   utg uu y   ⋅⋅= sec//

    20"  u y seccos

    =  u g uu y cotseccos//   ⋅⋅−=

    21"   u senarc y = 

    u+1

    //

    2

    u y  =

    22"   uarc y cos= 

    u+1

    //

    2

    u y   −=

    2!"   utg arc y =  2

    u1

    //  u

     y  =

    • Defini!" #e De$iva#a ge$a%& x

     x f  x x f 

     x

     y

    dx

    df 

    dx

    dy x f  y

     x x ∆−∆+=

    ∆∆====

    →∆→∆

    )%)%li'li')%//

    00

    • Defini!" #e De$iva#a em um '"n(" '&  & ) &%f )%f li'%&)/f   & −−= →  

    • Ve%")i#a#e In*(an(+nea6 )%/li'0

    t  sdt 

    ds

     sv

    t i   ==∆

    ∆=→∆

     

    • A)e%e$a!" In*(an(+nea6 )%//%t)/li'0

    t  svdt 

    dv

    va

    t i   ===∆

    ∆=

    →∆

    • E,ua!" #a $e(a (angen(e6 )%)%/)%   p x p f  p f  y   −⋅=−  N"$ma%6  )%)%/

    1)%   p x

     p f  p f  y   −⋅−=−  

    • Reg$a #a Ca#eia6

    dx

    du

    du

    dy

    dx

    dy ⋅=

    • De$iva#a #a fun!"

    inve$*a6dx

    dy

    dy

    dx÷= 1

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    FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE IN-EGRAIS

    1) ∫ ∫    ⋅=⋅ d)%k d)%   x f  x f k 2)   ∫ ∫ ∫    ±=± d)%d)%d)]%)%[   x g  x  f   x g  x  f    %sendo válida &ara 'ais de duas funções)

    !)   k n

    n x x   +

    +

    +=∫  1

    1

    dn  %&ara 1−≠n )

    #)   k  x

     x  77lnd1d1+ +==∫ ∫   %&ara 0≠ x )

    ()

    =+

    ≠++

    +

    =∫ +1nse ,77ln

    +1nse,1

    1

    dn

    k n

    n x

     x  %resu'indo as f8r'ulas %!) e %#))

    *)   k  x +=∫   d  %caso &articular da f8r'ula %!))

    )   k u

    u 7u7lndu

    / +=

    ∫  %etensão da f8r'ula %#)

    ∫   +=   k udu

    u

    ln1

    )

    .)   k ee   x +=∫   d  ou k edue   uu +=∫ )   k 

    ee   +=∫    α 

    α α 

    "" d  %conseu9ncia da f8r'ula %.))

    10)   k a

    a   +=∫  alnd

    % caso $eral da f8r'ula %.))

    11)   k ee   u +=⋅∫   duu/u  %etensão da f8r'ula %.))12)   k u +=∫   cos+duusen

    1!)   k u +=∫  senduucos

    1#)   k 7ucos7ln+duut$   +=∫ 1()   k 7usen7lnducot$   +=∫ 1*)   k ut$duusec2 +=∫ 1)   k ucot$+duucossec2 +=∫ 1.)   k u secdut$usec   +=⋅∫ 1)   k ucossec+duucot$ucossec   +=⋅∫ 20)   k 

    u ut$arcdu

    1

    12

      +=+∫   

    21)   k au

     a

    u t$arc

    1du

    a

    1

    22

      +=+∫ 

     %etensão da f8r'ula %20))

    22)   k u

     usenarcdu1

    1

    2+=

    −∫ 

    2!)   k u

     a

    usenarcdu

    a

    1

    22+=

    −∫  %etensão da f8r'ula %22))

    2#)   k a xdxa x

      +−=−∫  77ln1

    2() ∫    ++=   k utg uduu 7sec7lnsec   2*) ∫  dusec! u =   [ ]   k utg uutg u   +++⋅ 7sec7lnsec

    2

    2) :8r'ulas de recorr9ncia6 ;uidori

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    PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS IN-EGRAIS

    1) ∫ ∫    ⋅=⋅ du)%du)%   u f k u f k 2)   ∫ ∫ ∫    ±=± du)%du)%du)]%)%[   u g u  f  u g u  f    %sendo válida &ara 'ais de duas funções)

    !)   k n

    nuu   +

    +

    +=∫  1

    1du

    n  %&ara 1−≠n )

    #)   k uu 7u7lndu1du1+ +==∫ ∫   %&ara 0≠u )

    ()

    =+

    ≠++

    +

    =∫ +1nse ,7u7ln

    +1nse,1

    1

    dun

    k n

    nu

    u  %resu'indo as f8r'ulas %!) e %#))

    *)   k edue   uu +=∫ 

    )   k a

    a   +=

    ∫  alndu

    uu

    .)   k u +=∫   cos+duusen

    )   k u +=∫  senduucos

    10)   k 7ucos7ln+duut$   +=∫ 11)   k 7usen7lnducot$   +=∫ 12)   k ut$duusec2 +=∫ 1!)   k ucot$+duucossec2 +=∫ 1#)   k u secdut$usec   +=⋅∫ 1()   k ucossec+duucot$ucossec   +=⋅

    ∫ 1*)   k 

    u ut$arcdu

    1

    12

      +=+∫    e k u  a

    u t$arc

    a

    1du

    a

    122

      +   

      =

    +∫ 

    1)   k u

     usenarcdu1

    1

    2+=

    −∫    e k 

    a

    usenarcdu

    a

    1

    22+ 

      

      =

    −∫ 

    1.) ∫    ++=   k utg uduu 7sec7lnsec   e ∫    +++⋅=   k utg uutg uduu ]7sec7ln[sec21

    sec!

    1)   ∫ ∫    ⋅⋅=⋅ duv+vudvu  %inte$ração &or &artes)

    20)   k a xdxa x

      +−=−∫  77ln1

    • A%guma* a'%i)a.e* #a* in(eg$ai*6

    +=+=⇒

    ⋅=⋅=⇒

    ==⇒

    ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    d5)]%/[1oud)]%/[1=rcodeo>o'&ri'ent

    d5)]%[?oud)]%[??olu'e

    d5)%oud)%@rea

    22

    22

    c

    b

    a

    c

    b

    a

    c

    b

    a

     y f C  x f C 

     y f  x f 

     y f  A x f  A

    π π 

    • 1cos22

    =+   θ θ  sen   θ θ  2cos21

    2

    1

    cos

    2

    +=   θ θ 22

    sec1   =+ tg   

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    DEFINIÇ/ES E FORMUL0RIO DE REVISÃO

    • Defini!" #e De$iva#a ge$a%& x

     x f  x x f 

     x

     y

    dx

    df 

    dx

    dy x f  y

     x x ∆−∆+=

    ∆∆====

    →∆→∆

    )%)%li'li')%//

    00

    • Defini!" #e De$iva#a em um '"n(" '&  &

    ) &%f )%f li'%&)/f 

     & −

    −=

    →  

    1) E,ua!" #a Re(a -angen(e&  &)+%%&)/)%   ⋅=−   f   p  f   y

    • E,ua!" #a Re(a N"$ma%& )%)%&/

    1)%   p x

     f  p f  y   −⋅−=−

    • Ve%")i#a#e In*(an(+nea6 )%/li'0

    t  sdt 

    ds

     sv

    t i   ==∆

    ∆=→∆

    • A)e%e$a!" In*(an(+nea6 )%//%t)/li'0 t  svdt dvt va t i   ===∆∆= →∆

    • Va$ia!" #a Fun!"6 

    0%)/f edecrescent:unção

    0%)/f constante:unção

    0%)/f crescente:unção

    • C"n)avi#a#e #a Fun!"6 

    ⇒ 0%)//f  baio &ara?oltada

    0%)//f ci'a &ara?oltada

    • P"n(" #e m1xim" %")a%6 0)%//0)%/   =   x f e x f 

    • P"n(" #e inf%ex!"6 0)%///0)%//   ≠=   x f e x f 

    • Reg$a #a Ca#eia6( ) ( )

    ⋅=

    ⋅=

    dx

    du

    du

    dy

    dx

    dy x g  x g  f  x g  f    )%/)%/]/)%[

    • Reg$a #e L34"*'i(a%6)%/

    )%/li'

    )%

    )%li'

    0

    0

     x g 

     x f 

     x g 

     x f 

     p x

    ou

     p x   →

    ∞∞

    →=

    • De$iva#a #a fun!" inve$*a6 dydx

    dx

    dy 1=

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    • De$iva!" Im'%2)i(a6

    dy

    dF dx

    dF 

    dx

    dy y x F 

    −=⇒= 0),%

    • P$imi(iva* "u An(i#e$iva#a*6  ∫    ∈∀=⇔+= )% f%)%)/:k :%)d)%   f   Dom x x  f  

    • -e"$ema Fun#amen(a% #" C1%)u%" 5-FC66  )%)%)]%[)%   a F b F  x F dx x  f     bab

    a−==∫    onde

    b xa x f  x F    ≤≤= ),%)%/

    inte$ral definida si$nifica, $eo'etrica'ente, a 'edida da área da su&erfAcie li'itada &elo $ráfico da

    curva, &elo eio dos e &elas retas = a e = b" ∫ =  b

    adx x  f    )%@rea

    • In(eg$ai* a'%i)a.e*6

    =

    ⋅==

    ==

    ==

    ∫ 

    ∫ 

    ∫ 

     Ferraudoe RighettoVer 

     x f 

    t vd 

     x f  A

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    BevoluçãodeCu&[email protected]

    d)]%[??olu'e

    dt)%DistEncia

    d)%@rea

    2π 

     

    • A'%i)a!" F2*i)a6

    ==

    ==

    ∫ 

    ∫ )%/)% &ois,dt)%)%

    )%/)% &ois,dt)%)%

    t vt at at v

    t  st vt vt  s

    N"(a6 s constantes serão deter'inadas &elas condições iniciais"

    • In(eg$ai* '"$ 'a$(e*6

    ⋅⋅=⋅

    ⋅⋅=⋅

    ∫ ∫ 

    ∫ ∫ 

    duv+vudvu

    ou

    d$%)%)/f + $%)f%) d%)/$f%)

    • In(eg$a!" '"$ f$a.e* 'a$)iai*6 CeFa ∫    −⋅−   dx x x x P 

    )%)%

    )%

    β α , co' β α  ≠  e 3%) u' &olinG'io"

    Hntão6

    1) Ce o $rau de 3 for estrita'ente 'enor ue o $rau do deno'inador %$rau de 3 I 2), então6

    )%)%)%)%

    )%

    β α β α    −+

    −=

    −⋅−   x B

     x

     A

     x x

     x P 

     e, assi',

    ∫    −⋅−   dx x x x P 

    )%)%

    )%

    β α = k  x B x A  77ln77ln   +−⋅+−⋅   β α 

    Re*umin#"6 >o' ℜ∈≠   nm,,,,   β α β α  , te'os6

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    k  x B x Adx x

     Bdx

     x

     Adx

     x x

    nmx+−⋅+−⋅=

    −+

    −=

    −⋅−+

    ∫ ∫ ∫  77ln77ln)%)% β α β α β α 

    2) Ce o $rau de 3 for 'aior ou i$ual ao do deno'inador, &recisa'os antes fa

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    • FUNÇÃO UADR0-ICA 5"u '"%in"mia% #" B" g$au6 a  xB   x )H )"m a≠

     

    1)2

      6te'os,# b doconsiderane0 22

    a

    bcac xb xa$e

    ⋅∆±−=⋅⋅−=∆=+⋅+⋅

    2)

    6 te'os0

    21

    21

    2

    −=+

    =⋅

    =+⋅+⋅

    a

    ba

    c

    c xb xa$e  

    !)  )%)% 212  x x x xac xb xa   −⋅−⋅=+⋅+⋅

    #) ?Krtice da &arábola6 ?%v, 5v), onde6 2

      

    2 21?

    +=⋅

    −=a

    be 

    a⋅∆−=

    #5?

    () Deco'&osição de &olinG'ios6 )%""")%)%)%)% !21   nn   r  xr  xr  xr  xa x P    −⋅⋅−⋅−⋅−⋅=  

    *) :atorações es&eciais6 )"""%)% 122!21   −−−−− +⋅++⋅+⋅+⋅−=−   nnnnnnn aa xa xa x xa xa x

    • MÓDULO OU VALOR AJSOLU-O&

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    ♦ E*fe$a&

    =

    =

    !

    2

    !

    #

    #

    r Vo%ume

    r  &rea

    π 

    π 

     

    • FUNÇÃO EKPONENCIAL& (a#aa y   x ≠>= e,

    • P$"'$ie#a#e* #a* '"(?n)ia*6

    1) n ter'os

     """ ⋅⋅⋅= x xn 2) nmnm  x x x   ⋅=+   !)n

    mnm

     x

     x x   =−

    #) 1nn

     x x   =− () nmm  x x   ⋅=)% n *) n

    mn m  x x   =

    ) )0%10 ≠=   aa

    • FUNÇÃO LOGAR>-MICA&

    ≅ 

     

     

     

      +==

    >≠>=

    +∞→""2,1.2.1."

    11li'e 6onde ,lo$ln

    ,lo$

     x

     x

     x

    e

     x

    a

     x

    # xe(ae#a y

     • P$"'$ie#a#e* %"ga$2(mi)a*6

    1) ( ) ( ) ( )Rlo$=lo$R=lo$ aaa   +=⋅ 2) ( ) ( )Rlo$=lo$R

    =lo$ aaa   −= 

      

      

    2) ( )   ( ) lo$nlo$ n aa   ⋅=   #)  base)de'udançaco'o%conLecida Rlo$=lo$

     lo$a

    a= A B

    ()  xa  x

    a =lo$  e &or conseu9ncia  xe   x =ln  

    • GEOME-RIA ANAL>-ICA6

    1) Duas retas não verticais r e s são &aralelas se, e so'ente se os seus coeficientes an$ulares fore'i$uais, isto K6

     sr    mm sr    =⇒PP

    2) Duas retas não verticais r e s são &er&endiculares se, e so'ente se o &roduto de seus coeficientesan$ulares for i$ual a 'enos u', isto K6

    1−=⋅⇒⊥   sr    mm sr   our 

     sm

    m sr 1

      −=⇒⊥  

  • 8/16/2019 Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012

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    • euação de u'a circunfer9ncia de centro >%c, 5c) e raio r   Kdado &or6 222 )%)%   r  y y x x cc   =−+− "

    • >onsiderando a circunfer9ncia co' centro na ori$e', te'os6222 )0%)0%   r  y x   =−+−  ⇒ 222 r  y x   =+ "

    22  xr  y −=

    2) Huação funda'ental da reta6 )+%  &⋅=−   m y y   p , onde x

     ytg m

    ∆∆==   α 

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    -RIGONOME-RIA + Defini.e*H Re%a!" Fun#amen(a% e A%guma* C"n*e,u?n)ia*&

    1)Li&

    co

    Li&otenusa

    o&osto cateto==θ  sen   2)

    Li&

    ca

    Li&otenusa

    adFacente catetocos   ==θ   

    !)ca

    co

    adFacente cateto

    o&osto cateto==θ tg   ou

    θ 

    θ θ 

    cos

     sentg    =   #)

    θ 

    θ θ  sen

     g cos

    cot   =  ouθ 

    θ tg 

     g 1

    cot   =

    ()θ 

    θ cos

    1sec   =   *)

    θ θ  sen

    1 cossec   =

    ) 1 cos22 =+   θ θ  sen   .) θ θ  22 s t$1   ec=+

    ) θ θ  22 secct$1   osco   =+

    10) S"ma #e a$)"*&

    ⋅+⋅=−⋅−⋅=+ ⋅−⋅=−

    ⋅+⋅=+

     bsenasen bcosacos)%cos

     bsenasen bcosacos)%cosacos bsen bcosa)%

    acos bsen bcosa)%

    ba

    ba senba sen

     senba sen

     

    11) A$)"* #u'%"*&

    ⋅⋅=

    −=

    θ θ θ 

    θ θ θ 

    cossen2 2

     cos 2cos 22

     sen

     sen 

    12) Re%a!" fun#amen(a% ($ig"n"m($i)a e )"n*e,u?n)ia*& 

    =−=−

    ⇒=+

    θ θ θ θ 

    θ θ 

    2222

    22

    cos1cos1

    1cos

     sene sen

     sen 

    1!) C"n*e,u?n)ia #a $e%a!" fun#amen(a% ($ig"n"m($i)a e a$)"* #u'%"*6

    −=

    +=

    θ θ 

    θ θ 

    2cos21

    21

    2cos2

    1

    2

    1cos

    2

    2

     sen

     

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    1#) -$an*f"$ma!" #e *"ma em '$"#u("6

       

        −⋅ 

      

        +⋅−=−

      

     

     

       −

    ⋅  

     

     

       +

    ⋅=+

       

        +⋅ 

      

        −⋅=−

       

        −⋅ 

      

        +⋅=+

    222coscos

    2cos2cos2coscos

     2

    cos2

    2

     2

    cos2

    2

    ) p sen

    ) p sen) p

    ) p) p

    ) p

    ) p) p sen) sen p sen

    ) p) p sen) sen p sen

     

    1() Lei #"* Sen"* e Lei #" C"**en"*6

    ⋅⋅⋅−+=

    ==

     Acbcba

    C  sen

    c

     B sen

    b

     A sen

    a

    Scos2

    SS

    222

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    PRIMI-IVAS

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    NO-AÇÃO DE IN-EGRAÇÃO

    >ostu'a+se escrever6 k  x F dx x f    +=∫  )%)%  &ara e&ri'ir o fato de toda &ri'itiva de f%) ser da for'a:%) k"

    3or ee'&lo, &ara e&ressar o fato de toda &ri'itiva de !2 ser da for'a !  k, escreve'os6

    ∫    +=   k  xdx x!2!

    sA'bolo ∫  cLa'a+se *ina% #e in(eg$a!" e indica ue uere'os encontrar a for'a 'ais $enKricada &ri'itiva da função ue o se$ue" sinal de inte$ração le'bra u' XCY alon$ado, ue re&resentaXCMY" ?ere'os, u'a relação tão i'&ortante entre derivadas e so'as, ue recebe o no'e de-e"$ema Fun#amen(a% #" C1%)u%"" 

     Na e&ressão ∫    += k :%)d)% x  f   , a função f%) a ser inte$rada deno'ina+se in(eg$an#"" constante k %não es&ecificada), acrescentada a :%) a fi' de tornar 'ais $enKrica a e&ressão da

     &ri'itiva, deno'ina+se )"n*(an(e #e in(eg$a!"" sA'bolo #x ue se$ue o inte$rando serve &ara indicar ue K a variável e' relação a ualefetuare'os a inte$ração"

    Defini!" #a in(eg$a% in#efini#a 5"u '$imi(iva6 u(i%ian#" a n"(a!" #e in(eg$a%

    ∫    ∈∀=⇔+= Do'%f)f%),%)/:k:%)d)% x  f  

    Q REGRAS DE IN-EGRAÇÃO

    inte$ração K a o&eração inversa da diferenciação" Wo$o, &ode'os for'ular várias re$ras de

    inte$ração &artindo das corres&ondentes %&orK' no sentido inverso) re$ras de diferenciação%derivadas)"

    Q< REGRAS DA PO-8NCIA PARA IN-EGRAÇÃO

    Ce$undo a re$ra de &otencia6 1−⋅=

      n xnn x

    dx

    d , ou seFa, &ara derivar u'a função &ot9ncia, retira'os

    u'a unidade do e&oente e 'ulti&lica'os o e&oente ori$inal &ela função elevada ao novo e&oente"Hnunciando esta re$ra no sentido inverso, tere'os ue, &ara inte$rar u'a função &ot9ncia, deve'osau'entar seu e&oente de u'a unidade e dividir o resultado &ela nova &ot9ncia"

    Ce$ue+se u' enunciado 'ais &reciso da re$ra" 3ara 1−≠n , ∫    ++⋅+=   k n xn x 1

    1n

    1 d

    ou seFa, &ara inte$rar n x   % 1−≠n ), au'enta+se o e&oente de u'a unidade, e divide+se a funçãoelevada ao novo e&oente &or este novo e&oente"

    3ara co'&rovar esta re$ra, basta observar ue6 n xn xn

    nn xndx

    d =⋅

    ++=

      +

    + 111

    1

    1

    Exem'%"*6

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    1) >alcule as inte$rais

    a) ∫    +=++=+

    k  x

    k  x

    dx x#1!

    #1!!   b) ∫ ∫    +=+=+

    +==

    +

    k  xk  x

    k  x

    dxdx x 2!2

    !1

    2

    1

    2

    1

    !

    2

    2

    !1

    2

    1

    c) k  xk  x

    k  x

    dx x   +=+=+=

    ∫    +

    +

    !

    (

    !

    (

    !

    (

    1!

    2

    1!

    2

    !

    2

     "

    (

    !  d) ∫ ∫ ∫    +=+=+

    +

    ===+

    k  xk  x

    k  x

    dxdxdx

    110

     1110

    0

    e) ∫ ∫    +=+=++−

    ==+−

    −k  xk 

     xk 

     xdx xdx

     x2

    2

    11

    2

    11 2

    11

    2

    1

    2

    1

    re$ra da &ot9ncia vale &ara todos os valores de n, Z eceção de n = + 1 %caso e' ue1

    1

    +n  K

    indefinido)"

    Q

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    ou seFa, a inte$ral da so'a K a so'a de cada u'a das inte$rais"

    Exem'%"61) >alcule as inte$raisa) ∫ ∫    +== k (1d(d(

     b) ∫ ∫ ∫    ++=+++=+=+   k e x

    k ek  x

    dxedx xdxe x   x x x x

    !!][

    !

    21

    !22

    c)k  x xek 

     x xedx xdx

     xdxedx x

     xe   x x x x +−+=+⋅−+=−+=

    −+ ∫ ∫ ∫ ∫  !

    !22

    *

    177ln2!

    !2

    177ln2!

    2

    112!

    2

    12!

    N"(a6 &elo ee'&lo ), te'os ue ao invKs de adicionar'os u'a constante a cada u'a das ! &ri'itivas, basta adicionar a&enas u'a constante k  ao final do resultado encontrado"

    Q IN-EGRAIS DE PRODU-OS E UOCIEN-ES

     Não eiste' re$ras $erais de inte$ração de &rodutos e uocientes" casional'ente, conse$uire'ose&ri'ir u' &roduto ou u' uociente de u'a for'a inte$ral, co' o auAlio das re$ras Fá a&resentadas"

    Exem'%"*&

    1) >alcule dx x

     x x 

    (2!!

    (

    ∫   −+

    :a

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    T APLICAÇ/ES

     Nos ee'&los ue se se$ue' a (axa #e va$ia!" K conLecida e o obFetivo consiste e' calcular ae&ressão da &r8&ria $rande

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    2) U' fabricante constata ue o custo 'ar$inal da &rodução de unidades de u'a co'&onente deco&iadora K dado &or !0 - 0,02" Ce o custo da &rodução de u'a unidade K B !(,00, deter'ine afunção custo e o custo de &rodução de 100 unidades\

    S"%u!"6 CeFa > a função custo, então o custo 'ar$inal K a taa de variação de > e' relação a , isto K6

    > ’ %) = !0 - 0,02Wo$o

    k dx xdx xC    +=⇒−= ∫ ∫ 2

    0,01+!0>%) )02,0!0%)%/ &ara al$u' k"

    >o' = 1 e >%1) = !(, obte'os6

    !( = !0 - 0,01 k, ou k = (,01

    >onseuente'ente>%) = !0 - 0,012  (,01

    H' &articular, o custo da &rodução de 100 unidades K

    >%100) = !"000 - 100 (,01 = B 2"0(,01

    !) U' fabricante de bicicletas es&era ue daui a 'eses os consu'idores estarão aduirindo:%) = ("000 *0   x  bicicletas &or '9s ao &reço de 3%) = .0 !   x  u"'" %unidades 'onetárias)

     &or bicicleta" ual K a receita total ue o fabricante &ode es&erar da venda das bicicletas durante os &r8i'os 1* 'eses\ Re*'"*(a6 B’ %) = :%)"3%) ⇒  B %) = """ assi', B%) = "2*".#0

    S"%u!"6 

    B’ %) = :%)"

    3%) ⇒  B’ %) = [(000 *0   x ] " [.0 !   x ]B’ %) = #00"000 1("000  x   #.00   x   1.0 ⇒  B’ %) = #00"000 1".00   x   1.0

    ssi',

    ∫    ++   dx x x )1.0.00"1000"#00% = #00"0001".00

    2

    !

    2

    !

     x

    2

    1.0 2 xk=#00"000 1!"200 2

    !

    02 k 

    B%) = #00"000 1!"200 2!

      02  %&rodução nula ⇒  k = 0)

    Wo$o,

    B%1*) = #00"000 ×  %1*) 1!"200 × %1*) 2!

    0 ×  %1*)2 ⇒  B%1*) = *"#00"000 .##".00 2!"0#0

    ∴B%1*) = "2*".#0 unidades 'onetárias"

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    APLICAÇ/ES DAS IN-EGRAIS INDEFINIDAS = ENGEN4ARIA DE PRODUÇÃO

    da&tado de MBUHC, ^air Mendes" Ma(em1(i)a A'%i)a#a 'a$a )u$*"* #e A#mini*($a!"HE)"n"mia e Ci?n)ia* C"n(1ei*" >uritiba6 ^uruá, 2002" !22&"

    :oi visto nas a&licações de derivadas ue as derivadas da função custo total e da receita totalre&resenta', res&ectiva'ente, as funções custo 'ar$inal %>M$) e receita 'ar$inal %BM$)">onLecendo+se o custo 'ar$inal e a receita 'ar$inal, atravKs da inte$ração dessas funções, &ode'os

    obter o custo total e a receita total, ou seFa, :unção custo total6 ∫ =   dx xC*g  xC  )%)%

    :unção receita total6 ∫ =   dx x R*g  x R )%)%

    >o'o a inte$ral indefinida contK' u'a constante arbitrária, no cálculo do custo total essa constante &ode ser calculada conLecendo+se o custo fio de &rodução" No caso do cálculo da receita total, co'o$eral'ente a receita total K

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    !) função custo 'ar$inal de deter'inado &roduto K dada &or CMg5x6 B x ; QxB" custo fioK *0" Deter'ine6 %a) a função custo totalQ %b) a função custo 'KdioQ %c) a função custo variável"

    S"%u!"6

    #) 3ara deter'inado &roduto, a função receita 'ar$inal K RMg5x6 B ; x" Deter'ine6 %a) a receitatotalQ %b) a função de'anda"

    S"%u!"6

    () H' certa ind_stria, &ara u' nAvel de &rodução de x unidades sabe+se ue o custo 'ar$inal de &rodução de cada u'a K CMg5x6 xB ;

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    -e"$ia e Exem'%"* ; A#a'(a#"* #e6 `BVV, CeiFiQ RDUNUB, scar ^oão" Ma(em1(i)aa'%i)a#a& A#mini*($a!"H E)"n"miaH C"n(ai%i#a#e" Cão 3aulo6 Caraiva, 1"

    ♦ An1%i*e Ma$gina%

    :reuente'ente, K necessário analisar u'a variável econG'ica atravKs do co'&orta'ento de suaderivada, &rocedi'ento deno'inado análise 'ar$inal" H' seção anterior, discutiu+se uestões destanatureonsidere ue a &rodutividade K nula se' e'&re$ados

    vendedores"S"%u!"6

    Ce 242

    0(,022

    1,02)1,02%)1,02%1,02   x xk 

     x xdx x P dx xdP  x

    dx

    dP  −=+−=−=⇒−=⇒−= ∫ 4

    &rodutividade K nula se' e'&re$ados vendedores"

    Ce 200#00#00200(,020(,022020 222 =⇒=+−⇒=−−⇒−=⇒=   x x x x x x x P 

    >o'o x re&resenta o n_'ero de e'&re$ados, a e'&resa necessita contratar 'ais ( vendedores"

    S"%u!"6 Utili

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     "lot(2*x-0.05*x^2,x=0..#0);

     

    2) Ce a &rodutividade 'ar$inal de auto'8veis %n_'ero de auto'8veis &or dia) e' relação ao n_'erode e'&re$ados K dada &or #PX#x HQx, uantos e'&re$ados são necessários &ara &roduonsidere ue se' e'&re$ados não Lá &rodução" Re*'"*(a6 20 o&eráriosS"%u!"6 Utili L  no &onto 8ti'o, o ue, e' $eral &ode ser facil'enteverificado"

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    Cu&ondo ue o lucro 'ái'o ocorra uando a uantidade for ,m1x  e tendo e' vista ue o lucro K nulose a uantidade K nula %constante de inte$ração K nula, k = 0), te'os6

    ∫ ∫ ∫    −=⇒−=⇒−=⇒−=   m-xm-xm-x  )

    mmm-x

    )

    mm

     L

    mmmm   dxC  R LdxC  RdLdxC  RdLC  Rdx

    dL000

    )%)%)%

    ue re&resenta a área abaio do $ráfico referente Z receita 'ar$inal e aci'a do $ráfico do custo'ar$inal"

    Exem'%"*61) Cu&onLa ue u'a e'&resa deseFe au'entar o n_'ero de seus vendedores" ssu'indo ue

     &esuisas estatAsticas e' tal e'&resa revela' ue o custo 'ar$inal Cm  %e' 'il reais) &arae'&re$ar vendedores adicionais e&ressa+se co'o função do n_'ero de vendedores adicionais x

    se$undo o e&ressão  xC m(

    #.=   e a receita 'ar$inal R m %e' 'il reais) &ro&iciada &or tais

    vendedores &or #0#2   ++=   x Rm , calcule o n_'ero de vendedores adicionais necessários a'ai'i

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    _+ax:=solve(eeita_+arinal=/sto_+arinal,x); 6=),max 1( 3ro_+axi+o:=Int([eeita_+arinal-/sto_+arinal],x=0.._+ax)

    =eval4(int(eeita_+arinal-/sto_+arinal,x=0.._+ax));

     

    6= Lucro,maximo  =d ⌠ 

    0

    1(

    + −2 2  + x 10

    #(

    1(   x x !#"(02*#((

    2) Ce a receita e o custo 'ar$inal e&ressa'+se co'o função da uantidade x res&ectiva'ente &or Rm ; Zx e Cm  B ; Tx BxB encontre a uantidade &rodualcule a função custo total sabendo+seue o custo fio K i$ual (0" Re*'"*(a6 >%) = !   *2  !* (0

    #) 3ara deter'inado &roduto, a função receita 'ar$inal K RMg5x6 Qx" Deter'ine6 %a) a receitatotalQ %b) a função de'anda" Re*'"*(a6 %a) B%) = #0 - !2 %b) & = #0 - !Q

    () função custo 'ar$inal de deter'inado &roduto K dada &or CMg5x6 Zx ; xB" custo fioK .0" Deter'ine6 %a) a função custo totalQ %b) a função custo 'KdioQ %c) a função custo 'Kdiovariável" Re*'"*(a6 %a) >%) = !0 #(2  - !  .0Q %b) >M%) = !0 #( - 2 .0PQ%c) >v%) = #( - 2  .0P"

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    T E,ua.e* Dife$en)iai*

    U'a euação diferencial K u'a euação ue envolve u'a derivada" Besolver u'a euação diferencialsi$nifica deter'inar todas as suas soluções" H' al$uns casos, alK' da euação diferencial, &ode'osconLecer certos valores da função, cLa'ados de )"n#i.e* ini)iai*"

    Exem'%"*6

    1) Ce  x xdx

    dy!2 += , deter'ine 5" Re*'"*(a6 k  x x y   ++=

    2

    !

    !

    2!

    2) Ce  x xdx

    dy!2 +=  e se 5 = 2 uando = 0, deter'ine 5" Re*'"*(a6 2

    2

    !

    !

    2!

    ++=  x x

     y

    !) Deter'ine a função 5 = 5 %), ℜ∈  , tal ue6 2 xdx

    dy =

    S"%u!"6

    ∫ =⇔=   dx x y x

    dx

    dy 22   k  x

     y   +=⇒!

     !

    #) Deter'ine a _nica função 5 = 5 %), definida e' ℜ , tal ue6

    =

    =

    2)0%

    2

     y

     xdx

    dy

    S"%u!"6 ∫ =⇔=   dx x y xdxdy 22   k 

     x y   +=⇒

    !

    condição 5%0) = 2 si$nifica ue, &ara = 0, deve'os ter 5 = 2" Desta for'a &ode'os deter'inar o

    valor de k"

    ssi', de k  x

     y   +=!

    !

    , te'os6 k +=!

    02

    !

     ⇒  k = 2 e 2!

    !

    +=∴  x

     y

    () Deter'ine a função 5 = 5 %), ℜ∈  , tal ue6 12

    2

    += xdx

     yd , 5 %0) = 1 e 5 ’%0) = 0

    S"%u!"6 12

    2

    += xdx

     yd  ⇒   1

    2

    2 )1%   k  x

     xdx x

    dx

    dy++=+= ∫ 

    Mas 5 ’ %0) = 00=

    = xdx

    dy

    , te'os 12

    02

    0

    0   k ++=   ⇒   01 =k 

    Wo$o  x x

    dx

    dy+=

    2

    2

    De  x x

    dx

    dy+=

    2

    2

    ⇒ 22!2

    2*d

    2k 

     x x x x

     x y   ++=

    += ∫ 

    Mas 5 %0) =1 ⇒  1 = 0 0 k 2 ⇒  k 2 = 1

    12*

    2!

    ++=∴   x x y

  • 8/16/2019 Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012

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    APLICAÇ/ES =S EUAÇ/ES DIFERENCIAIS ORDIN0RIAS

    • PROJLEMAS DE CRESCIMEN-O E DECA>MEN-O

    CeFa N%t) a uantidade de substEncia %ou &o&ulação) suFeita a cresci'ento ou decaA'ento" d'itindo

    uedt 

    dN , a taa de variação da uantidade de substEncia e' relação ao te'&o, seFa &ro&orcional Z

    uantidade de substEncia &resente, então  N k dt 

    dN ⋅=  ou 0=− kN 

    dt 

    dN , onde k K a constante de

     &ro&orcionalidade"

    Re*"%u!" #a e,ua!" #ife$en)ia%6

    t k ec

    ct k ct k  ec N ee N e N ct k  N dt k dN  N 

    dt k  N 

    dN  N k 

    dt 

    dN   c

    ⋅=

    ⋅+⋅ ⋅=⇒⋅=⇒=⇒+⋅=⇒=⇒⋅=⇒⋅= ∫ ∫ 1

    11

    1ln1

    Exem'%"6

    1) >erto 'aterial radioativo decai a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente" Ce eiste'

    inicial'ente (0 'ili$ra'as de 'aterial e se, a&8s duas Loras, o 'aterial &erdeu 10 de sua 'assaori$inal, deter'ine6a) e&ressão da 'assa re'anescente e' u' instante arbitrário t"

     b) 'assa de 'aterial a&8s uatro Loras"c) te'&o a&8s o ual o 'aterial &erde 'etade de sua 'assa ori$inal"S"%u!"6

    a) CeFa N a uantidade de 'aterial &resente no instante t" Hntão kN dt 

    dN = " Hsta euação diferencial K

    linear e se&arável e sua solução, confor'e a&resentada anterior'ente, K dada &or6 "% ) "   k t  N t c e "

    H' t  = 0, te'os N %0) = (0"

    Desta for'a," "% ) " (0 " (0k t k t   N t c e c e c

    ⇒ ⇒

    3ortanto, "% ) (0"   k t  N t e "

    H' t  = 2, Louve &erda de 10 da 'assa ori$inal de (0 '$, ou seFa, ( '$" Wo$o, e' t = 2, N%2) = #("

    Wevando estes valores na euação encontrada, te'os6

    " 2"% ) (0" #( (0"k t k  N t e e⇒

    Besolvendo esta euação encontra'os o valor de k ≅ + 0,0(2"bservação6 3ara resolver esta euação utili

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    • PROJLEMAS DE -EMPERA-URA

    lei do $e*f$iamen(" de Neton, a&licável i$ual'ente ao a,ue)imen(", afir'a ue a taa devariação, no te'&o, da te'&eratura de u' cor&o K &ro&orcional Z diferença de te'&eratura entre ocor&o e o 'eio circundante" CeFa'   a te'&eratura do cor&o e  m a te'&eratura do 'eio circundante"

    Hntão, a taa de variação da te'&eratura e' relação ao te'&o Kdt 

    d , e a lei de resfria'ento de

     Neton &ode assi' ser for'ulada6

    ( )   mm   k k dt 

    d   k 

    dt 

    d  =+−⋅−= ou

    onde k  K u'a constante &ositiva de &ro&orcionalidade"

    Re*"%u!" #a e,ua!" #ife$en)ia%6

    ⇒+⋅−=−⇒−=−

    ⇒⋅−=−

    ⇒−⋅−= ∫ ∫  1)%ln)%1

    )%)%   ct k   dt k d 

      dt k 

      

    d   k 

    dt 

    d m

    mm

    m

    t k m

    ecct k 

    m   ec  e  c

    ⋅−=

    +⋅− ⋅+=⇒=−1

    1

    Exem'%"*61) U'a barra de 'etal Z te'&eratura de 100g : K colocada e' u' uarto Z te'&eratura constante de

    0g:" Ce a&8s 20 'inutos a te'&eratura da barra K de (0g:, deter'ine6a) te'&o necessário &ara a barra atin$ir u'a te'&eratura de 2(g:"

     b) te'&eratura da barra a&8s 10 'in"S"%u!"6

    Utili

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    2) U' cor&o Z te'&eratura de (0g: K colocado ao ar livre onde a te'&eratura K de 100g:" Ce, a&8s ('in, a te'&eratura do cor&o K de *0g:, deter'ine6

    a) te'&o necessário &ara ue o cor&o atinFa a te'&eratura de (g:" b) te'&eratura do cor&o a&8s 20 'inutos"S"%u!"&

    Utili

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    EKEMPLOS COMPLEMEN-ARES

    1) U'a certa substEncia radioativa di'inui a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente"Vnicial'ente, a uantidade de 'aterial K de .0 'ili$ra'as e a&8s duas Loras &erde+se da 'assaori$inal" Deter'ine6

    a) 'assa restante a&8s 12 Loras" b) te'&o necessário &ara ue a 'assa inicial fiue redu

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    2) U'a barra de 'etal Z te'&eratura de *0g> foi colocada e' u'a sala co' te'&eratura constante ei$ual a (g>" &8s 10 'inutos 'ediu+se a te'&eratura da barra acutili" 3er$unta+se6

    a) ual o te'&o necessário &ara a barra cLe$ar Z te'&eratura de 10g>\ b) ual a te'&eratura da barra a&8s 22 'inutos\S"%u!"6 lei de Neton &ara a variação da te'&eratura di te'+se6 (!0(2(2*..,(!(((10 0#(1.(12,0 ≅≅⇒⋅+=   ⋅− t e   t  'inutos e ! se$undos) &8s 22=t   'inutos te'os6

    !(,2(!#**00,2((((220#(1.(12,0

    ≅≅⇒⋅+=  ⋅−

     e  g>S"%u!" u(i%ian#" a '%ani%a Ex)e% )"n*($u2#a 'a$a a $e*"%u!" #e**e (i'" #e a'%i)a!"H (em"*&

    !2

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    !) U' ter'G'etro K re'ovido de u'a sala, e' ue a te'&eratura K de 0 o:, e colocado do lado defora, e' ue a te'&eratura K de 10o:" &8s 0,( 'inuto, o ter'G'etro 'arcava (0 o:" ual será ate'&eratura 'arcada no ter'G'etro no instante t i$ual a 1 'inuto\ uanto te'&o levará &ara oter'G'etro 'arcar 1(o:\ Re*'"*(a6 !*,*oJ e !,0* 'inutos

    #) >erta substEncia radioativa decresce a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente" Ce se observaue, a&8s 1 Lora, Louve u'a redução de 10 da uantidade inicial da substEncia, deter'ine aX'eia+vidaY %ha%f.%ife) da substEncia" Suge*(!"6 >onsidere a substEncia co' 100 '$"

    Re*'"*(a6 *,(. Loras

    () U' ter'G'etro K re'ovido de dentro de u'a sala K colocado do lado de fora, e' ue ate'&eratura K (o>" &8s 1 'inuto, o ter'G'etro 'arcava 20o>Q a&8s ( 'inutos, 10o>" ual ate'&eratura da sala\ Re*'"*(a6 2#,#o>

    !!

     

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    *) Vs8to&o radioativo de cLu'bo, 3b+20, decresce a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resentee' ualuer te'&o" Cua 'eia+vida %ha%f.%ife) K de !,! Loras" Ce 1 $ra'a de cLu'bo está &resenteinicial'ente, uanto te'&o levará &ar 0 do cLu'bo desa&arecer\Re*'"*(a6 10,* Loras

    ) U' assado &esando ( libras, inicial'ente a (0o:, K &osto e' u' forno a !(o: Zs ( Loras da tarde"De&ois de ( 'inutos a te'&eratura J%t) do assado K de 12( o:" uando será a te'&eratura doassado de 1(0o: %'eio 'al &assado)\ Re*'"*(a6 10(,12 'inutos, ou seFa6 * Loras #( 'inutos e se$undos"

    .) U'a esfera de cobre K auecida a u'a te'&eratura de 100g>" No instante t = 0 ela K i'ersa e'

    á$ua ue K 'antida a u'a te'&eratura de !0g>" o fi' de ! 'inutos, a te'&eratura da esfera estáredu" Deter'inar o instante e' ue a te'&eratura se encontra redu"  O* Utilierto 'aterial radioativo decai a u'a taa &ro&orcional Z uantidade &resente" Ce inicial'ente, Lá100 'ili$ra'as e se, a&8s dois anos, ( do 'aterial decaAra', deter'ine6

    a) e&ressão da 'assa no instante arbitrário t" b) te'&o necessário &ara o decai'ento de 10 do 'aterial"

      Re*'"*(a6t02(*,0

    e"100 N)a

      −

    =  anos 11,# ) b

    ≅ # a 1 ' 10 d10) U' cor&o Z te'&eratura de 0g: K colocado e' u' uarto e' ue a te'&eratura K 'antida a 100g:"

    Ce, a&8s 10 'inutos a te'&eratura do cor&o K de 2(,g:, deter'ine6a) te'&o necessário &ara o cor&o atin$ir a te'&eratura de (0g:"

     b) te'&eratura do cor&o a&8s 20 'inutos"Re*'"*(a6 a) 2!, 'in ≅ 2# 'in b) #!,(g: ≅ ##g:

    11) U' cor&o co' te'&eratura desconLecida K colocado e' u' refri$erador co' u'a te'&eraturaconstante de 0g:" Ce a&8s 20 'inutos, a te'&eratura do cor&o K de #0g: e a&8s #0 'inutos K de 20g:, deter'ine a te'&eratura inicial" Re*'"*(a6 J0 = .0g:

    12) U' cor&o Z te'&eratura de (0g: K colocado e' u' forno cuFa te'&eratura K 'antida constante e'1(0 g:" Ce, a&8s 10 'inutos, a te'&eratura do cor&o K de (g:, deter'ine o te'&o necessário &araue o cor&o atinFa a te'&eratura de 100 g:" Re*'"*(a6 t 100 = 2!, 'in"

    !#

     

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    T A'%i)a!" Ge"m($i)a

    se$uir vere'os, atravKs de u' ee'&lo, co'o usar a inte$ração &ara encontrar a euação da curvacuFo coeficiente an$ular K conLecido"

    Exem'%"6 Deter'ine a euação da função f%) cuFo coeficiente an$ular da reta tan$ente, e' cada , K!2  1 e cuFo $ráfico &assa &elo &onto %2, *)"

    S"%u!"6  coeficiente an$ular da reta tan$ente K a derivada de f" Wo$o, f ’%) = !2  1 e f%) K a &ri'itiva,

    ∫ ∫    ++=+==   k  x xdx xdx x f  x f  !2 )1!%)%/)%

    3ara deter'inar a constante k, considera'os o fato de ue o $ráfico de f &assa &elo &onto %2, *), ouseFa, substituA'os = 2 e f%2) = * na euação de f%) e resolve'os a euação e' k, obtendo6

    * = %2)!  2 k ⇒ c = + #

    ssi', a função deseFada K6f%) = !  - #

    T A'%i)a.e* F2*i)a*

    Cu&onLa'os u' &onto 3 e' 'ovi'ento e' u'a reta coordenada, co' velocidade v%t) e aceleraçãoa%t) no instante t" Do conceito de derivada, sabe'os ue6 v%t) = s’%t) e a%t) = v’%t) = s’’%t), onde s%t)re&resenta a função &osição no instante t"

    ssi',

    1)%dt)%/dt)%   k t vt vt a   +==∫ ∫   

     &ara al$u'a constante k 1"

    nalo$a'ente,

    2)%dt)%/dt)%   k t  st  st v   +==∫ ∫ 

     &ara al$u'a constante k 2"

    Exem'%"*61) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio e sabe+se ue no instante t, 0≥t  , a velocidade K

    v%t) = 2t 1" Cabe+se, ainda, ue no instante t = 0 a &artAcula encontra+se na &osição = 1"Deter'ine a &osição = %t) da &artAcula no instante t"

    S"%u!"6

    Huacionando, te'os6

    =

    +=

    1)0%

    12

     x

    t dt 

    dx

    De 12   +=   t dt 

    dx ⇒   = ∫    + dt)12%   t   ⇒   = t2  t k 

    Mas 1 = %0) ⇒  1 = 02  0 k ⇒  k =11)% 2 ++=∴   t t t  x

    !(

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    2) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio co' velocidade v%t) = t !, 0≥t  " Cabe+se ue, noinstante t = 0, a &artAcula encontra+se na &osição = 2

    a) ual a &osição da &artAcula e' u' instante t\ b) ual a &osição da &artAcula e' u' instante t =2\c) Deter'ine a aceleração"S"%u!"6

    a)   ⇒

    =

    +=

    dt 

    dxt v

    t t v

    )%

    !)%k t 

    t dt t  x   ++=+= ∫  !2 )!%

    2

    >o'o %0) = 2 ⇒   20!2

    02

    2

    =⇒+⋅+=   k k 

    2!2

    )%2

    ++=∴   t t 

    t  x

     b) 1022!22

    )2%2!2)%

    22

    =+⋅+=⇒++=   xt t 

    t  x  '

    c) >o'o sabe'ost 

    va

    ∆∆

    =  ou 'ais &recisa'ente 1)%/]![)%   =⇒+=⇒=   t at t adt 

    dva

    'Ps1a%t) =∴

    !) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio co' velocidade v%t) = 2t - !, t ≥  0" Cabe+se ue noinstante t = 0 a &artAcula encontra+se na &osição = (" Deter'ine o instante e' ue a &artAculaestará 'ais &r8i'a da ori$e'"

    S"%u!"6 v%t) = 2t - !, t ≥  0 e s%0) = (,

    k t t dt t t  s   +−=−= ∫  !)!2%)%2

    Mas, co'o s%0) = ( ⇒  s%0) = 02 - !" 0 k = ( ⇒ k = ((!)%

    2 +−=∴   t t t  s

    3ara deter'inar o &onto 'Ani'o, basta deter'inar o vKrtice da &arábola s%t),

     a

    b xv

    2−=  ⇒

    2

    !

    12

    )!% =⋅

    −−=v x   ⇒  2

    !=∴ t  s

    u, utilio'o %0) = 0  ⇒   002

    02

    0

    )0%   xk v

    a

     x   =+⋅+

    =  ⇒ k  = x#

    00

    2

    2

    1)%   xt vt at  x   +⋅+⋅=∴

    !*

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    N"(a6 Utilio'o a velocidade K decrescente, v ’ %t) I 0, isto K, a aceleração K ne$ativa" Wo$o,

    a%t) = v ’ %t) = +,. e ∫ ∫ = dt,.+dt%t)/v , lo$o 1.,)%   k t t v   +−= , &ara al$u' k 1"

    Cubstituindo t &or 0 e e' vista do fato de ue v%0) = !0, ve' !0 = 0 k 1 = k 1 e, conseuente'ente,v%t) = +,. t !0

    >o'o s’ %t) = v %t), obte'os6

    s’%t) = + ,. t !0 e ∫ ∫    +−=   dt t dt t  s  )!0.,%)%/ , lo$o s%t) = +#, t2  !0t k 2, &ara al$u' k 2

    :a

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    LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS

    1) Nos &roble'as a se$uir, calcule a inte$ral indicada" >o'&rove as res&ostas obtidas, derivando+as"

    a)   ∫  d( Re*'"*(a6 k 

    *

    *+

     b)   ∫  d1

    2 Re*'"*(a6k 

    1

    +−

    c)   ∫  d( Re*'"*(a6 k (   +

    d)   ∫    +− dt)2t(t!% 2 Re*'"*(a6 k t t t k t t t    ++−=++− 2!

    (22

    !

    (2 !!! 2!

    e)   ∫       

      

     +− d5

    5

    1

    5

    25!

    ! Re*'"*(a6 k  yn y yk  yn

     y y   +++=+++ 112112

    2

    !

    22

    !

    f)   ∫       

      

     + d

    2

    e

    Re*'"*(a6 k  xe

    k  xe   x x

    ++=++ ((

    2

    2(

    2

    22

    (

    $)   ∫       

      

     ++− du

    2

    ue

    u2

    !

    u!

    1 22 Re*'"*(a6

    k u

    ueu

    unk u

    ueu

    un   ++++=++++!2

    ! 1

    !

    1

    !2

    ! 1

    !

    1 !22 2!

    L) d

    122

    2

    ∫   ++

    Re*'"*(a6 k  x xn x   +−+

    1

     1

    2

    i)   ∫       

       −⋅−   dx x

     x x (1

    )2%2! Re*'"*(a6 k 

    !

    11

    #

    ( 2!# +−+−

     F)   ∫    −⋅   dt t t  )1%2 Re*'"*(a6 k t t k t t    +−=+− !

    !2

    2

    !2

    2

    2!

    2

    2) Deter'ine a solução $eral da euação diferencial dada6

    a) *(! 2 −+=   x xdx

    dy  Re*'"*(a6 k  x x x   +−+ *

    2

    ( 2!

    a)   t et dt 

    dP +=   Re*'"*(a6 k et    t  ++!

    !

    2

    !) Besolva a euação diferencial suFeita Zs condições iniciais6a) f ’ %) = 122 - * 1 e f%2) = ( Re*'"*(a6 #! - !2  + 1

     b) 21

    # xdx

    dy=   e 5 = 21 se = # Re*'"*(a6

    !

    1

    !

    .2

    !

    − x

    c) f ’’ %) = # - 1 e f ’ %2) = + 2Q f%1) = ! Re*'"*(a6*

    *(.

    2!

    22

    ! +−−   x x

     x

    !.

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    #) Hsboce o $ráfico da função 5 = 5%), ℜ∈ , sabendo ue6

    a) 05%0) e 12   =−=   xdx

    dyRe*'"*(a6 5 = 2 -

     "lot(x^2-x,x=-10..10);

     b) 0%0)5/ e 1)0%,2cos#2

    2

    ==−=   y xdx

     yd Re*'"*(a6 5 = cos 2

     "lot(os(2*x),x=0..Pi);

    c) 1%0)5/ e 05%0),2

    2

    −===   − xedx

     yd Re*'"*(a6 5 = e+  - 1

    3i+it(ex"(-x)-1,x=-in4init6)=li+it(ex"(-x)-1,x=-in4init6); =li' → x % )−∞

     −e % )− x 1 ∞

    3i+it(ex"(-x)-1,x=in4init6)=li+it(ex"(-x)-1,x=in4init6); =li' → x   ∞

     −e% )− x

    1 +1

     "lot(ex"(-x)-1,x=-10..10,6=-10..10);

    !

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    () Hsti'a+se ue daui a t 'eses a &o&ulação de u'a cidade estará variando a u'a taa de # (t2P!

     &essoas &or '9s" Ce a &o&ulação atual K de 10"000, ual será a &o&ulação daui a . 'eses\Re*'"*(a6 10"12. &essoas

    *) Deter'ine a função cuFa reta tan$ente te' u'a inclinação de #1 &ara cada valor de e cuFo$ráfico contK' o &onto %1, 2)" Re*'"*(a6 f%) = 22 - 1

    ) Deter'ine a função cuFa reta tan$ente te' u'a inclinação de !2 * + 2 &ara cada valor de ecuFo $ráfico contK' o &onto %0, *)" Re*'"*(a6 f%) = !  !2 + 2  *

    .) Deter'ine a função cuFa reta tan$ente te' u'a inclinação de 2

    2

    2! +−  &ara cada valor de e

    cuFo $ráfico contK' o &onto %1, !)" Re*'"*(a6#

    (2

    2

    #

    )%f 

    #

    −++=

    ) U' fabricante de blusas de es&orte deter'ina ue o custo 'ar$inal de fabricação de unidades Kdado &or 20 - 0,01( " Ce o custo de fabricação de u'a unidade K de B 2(,00, deter'ine a funçãocusto total e o custo de &rodução de (0 unidades"

    Re*'"*(a6 >%) = 20 - 0,00(2(,00( e >%(0) ≅  B .*,2*

    10) Ce a função custo 'ar$inal de u' &roduto K dada &or!

    1

    2

     x e se o custo de &rodução de . unidades

    K de B 20,00, deter'ine a função custo e o custo de &rodução de *# unidades

      Re*'"*(a6 >%) = .! !2

    + x   e >%*#) ≅  B (*,00

    11) U' obFeto se 'ove de tal for'a ue sua velocidade a&8s t 'inutos K ?%t) = 1 #t !t2 'etros &or 'inuto" ue distEncia o obFeto &ercorre durante o terceiro 'inuto\

    Re*'"*(a6 C%t) = t 2t

    2

      t

    !

      k = C%!) - C%2) = #. - 1. = !0 'etros12) U' obFeto se 'ove de tal for'a ue sua velocidade a&8s t 'inutos K ?%t) = ! 2t *t2 'etros &or 

    'inuto" ue distEncia o obFeto &ercorre durante o se$undo 'inuto\Re*'"*(a6 C%t) = !t t2  2t! = C%2) - C%1) = 2* - * = 20 'etros

    1!) Ce u' &onto se 'ove e' u'a reta coordenada co' a aceleração a%t) e as condições iniciais dadas,deter'ine s%t)6

    a) a%t) = 2 - *tQ v%0) = + (Q s%0) = # Re*'"*(a"6 s%t) = t2 - t! - (t #

     b) a%t) = !t2Q v%0) = 20Q s%0) = ( Re*'"*(a"6 s%t) =#

    #t    20t (

    1#) U'a &artAcula desloca+se sobre o eio 0 co' velocidade v%t) = 2t (, t 0" Cabe+se ue, noinstante t = 0, a &artAcula encontra+se na &osição = *"

    a) ual a &osição da &artAcula no instante t\ Re*'"*(a6 *(2 ++=   t t  x b) Deter'ine a &osição da &artAcula no instante t = 2" Re*'"*(a6 %2) = 20c) Deter'ine a aceleração" Re*'"*(a6 a%t) = 2

    1() U' &roFKtil K lançado vertical'ente &ara ci'a co' u'a velocidade de (00 'Ps" Des&re

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    1) Deia+se cair u' obFeto da altura de !00 '" Des&re

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    #2

    UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

    PR

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    PROCEDIMEN-O DE IN-EGRAÇÃO ; IN-EGRAÇÃO POR SUJS-I-UIÇÃO SIMPLES

    l$u'as inte$rais não t9' soluções i'ediatas, &orK', atravKs de u'a 'udança de variável adeuada,'uitas dessas inte$rais &ode' ser calculadas co' uso das re$ras conLecidas" >onsidere a inte$ral

    obFetivo desta tKcnica K transfor'ar o inte$rando, ue K u'a função co'&osta, e' u'a funçãosi'&les" Hntretanto, a tKcnica s8 funciona se no inte$rando a&arece u'a função % u) e sua derivada%c"u3), onde c ∈ ℜ4"

    Pa**" alcule a inte$ral resultante e então substitua u &or sua e&ressão e' ter'os de x na res&osta"

    N"(a6 Ce o inte$rando K u' &roduto ou uociente de dois ter'os e u' ter'o K '_lti&lo da derivada deu'a e&ressão ue a&arece no outro, então esta e&ressão K &rovavel'ente u'a boa escolLa

     &ara u"

    Exem'%"*61) >alcule6 ∫    +   dx x

    ()1%

    S"%u!"6

    :a

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    12)   k dx x

    ++==+∫  !

    72!7ln"""

    2!

    1

    1!)   k  xdx x

     x++−+==

    +∫  717ln1"""1  %dica6 u = 1  x ⇒ u - 1 = e du = dx)

    1#)   k  x

    dx x

    +++⋅==++

    +∫  2

    !.2!"""

    !.2

    *! 2

    2

    1()   k edxe x

     x +==∫  """

    1*)   k e

    dxe x x

     x +==+

    +∫  #""""2

    2!

    #

    #

    1)   k  x s

    dx   +==∫  #)#%en

    """%#)cos

    1.)   k  x s

    dx x   +==∫  2)%en

    """)%cos"2

    2

    1)   k  xdx x

     x+==∫  sen2"""

    cos %dica6

     xdx

    du xu

    2

    1=⇒= )

    20)   k  xdx   +−==⋅∫  20(cos"""()sen(%cos#

    ! %dica6  xdxdu xu (sen((cos   −=⇒= )

    21)   k dx x

    +==∫  ! )%ln

    """%ln ) !2

    22)   k dx x

    +==∫  2 )%ln

    """ln 2

    2!)   k  x

    dx x

      +−==∫  ln1

    """ln )%

    12

    2#)   k  xdx x

    +==∫  7ln7ln"""ln "1

    2()   k n

    dx x

    ++

    == +∫  1 )%ln"""%ln )

    1nn

    , 1Pn   −≠ℜ∈∀   n

    LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS

    1) 3rove, utili

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    2) Besolva os eercAcios a se$uir utili

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    • [ sen ] ’ = cos • [ cos ] ’ = + sen • [ t$ ] ’ = sec2 • [ cot$ ] ’ = + cossec2 • [ sec ] ’ = sec " t$ • [ cossec ] ’ = + cossec " t$

    ssi',•   ∫    +−=   k  xdx x cossen•   ∫    +=   k  xdx x sencos•   ∫    +=   k  xtg dx x  sec2

    •   ∫    +−=   k  x g dx x  cotseccos 2

    •   ∫    +=⋅   k  xdx  sect$sec

    •   ∫    +−=⋅   k  xdx x  seccoscot$seccos

    Exem'%"*61) Mostre, utili

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    N"(a #e $evi*!"6cos 2 = cos % ) = cos " cos + sen " sen = cos2  + sen2  = cos2  + %1 + cos2 ) = 2 cos2  + 1,

    lo$o cos 2 = 2 cos2  + 1 ⇒  cos2  =  x2cos2

    1

    2

    1 +

    ()   ∫ ∫    +−=+   

       +==   k k dxcdx  

    #

    2sen

    2

     

    #

    2sen

    2

    + )os+%1sen

    22

    *)   ∫    =+   dx x x  )cos%sen2 """ = k 

     x x   +−

    2

    2cos %Suge*(!"6 θ θ θ  cos22   ⋅⋅=   sen sen )

    )   ∫    =+   dx x x  )cos%sen2 """ = k  x x   +− 2cos  

    .)   ∫    =+   dx x x  )cos%sen2 """ = k  x sen x   ++ 2  

    )   ∫    =dx x x

     2cos

    #sen""" = + cos /x  k   %Suge*(!"6 θ θ θ  cos22   ⋅⋅=   sen sen )

    10) ∫    =+⋅   dx x x sen  )cos1%2 """ = k  x ++−

    !)cos1%

    !

    11)   dx x g  x

     cotcos

    1∫    ⋅ = dx x g  x  cot

    1

    cos

    1∫      

     

      

     ⋅ =   ( ) dxtgx x  sec∫    ⋅ = sec k 

    N"(a #e $evi*!"6 x

     xcos

    1sec   = Q

     x x

    sen

    1seccos   = Q

     x

     x xtg 

    cos

    sen  = Q  xtg 

     x g  

    1 cot   =  

    12) Mostre, utili

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    1) Mostre, utili

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    #

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    -:CNICAS DE IN-EGRAÇÃO ; IN-EGRAÇÃO POR PAR-ES

    Cu&onLa'os f e $ funções definidas e deriváveis e' u' 'es'o intervalo V" Je'os, &ela re$ra do &roduto6

    [ f%)"$%)] / = f / %)"$%) f%)"$ / %)ou

    f%)"$ / %) = [ f%)"$%)] / - f / %)"$%)

    Cu&ondo, então, ue f / %)"$%) ad'ita &ri'itiva e' V e observando ue f%)"$%) K u'a &ri'itiva de[f%)"$%)] / , então f%)"$ / %) ta'bK' ad'itirá &ri'itiva e' V e

    ∫ ∫    ⋅⋅=⋅ d)%)%/+$%)f%)d)%/)%   x g  x  f   x g  x  f   %

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    Re*'"*(a6 fa

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    EKEMPLOS DE IN-EGRAIS -RIGONOM:-RICAS

    1) >alcule dx x∫ 2sec "

    S"%u!"6k  xtg dx x   +=∫ 

    2sec

    S"%u!"6 Utilialcule dx x∫ 2seccos "

    S"%u!"6k  x g dx x   +−=∫  cotseccos 2

    S"%u!"6 Utili

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    () >alcule dx x∫  sec "S"%u!"6 Multi&licando e dividindo o inte$rando &or ,sec   xtg  x+  te'os6

    dx xtg  x xtg  x x

    dx xtg  x xtg  x

     xdx x ∫ ∫ ∫    +⋅+

    =++

    ⋅=sec

    secsec

    sec

    secsecsec

    2

    >onsiderando a substituição6 dx x xtg  xdu xtg  xu )sec%secsec2

    +⋅=⇒+=

    ssi',

    ∫ ∫    ++=+==   k  xtg  xk uduudx x 7sec7ln77ln1

    sec

    S"%u!"6 Utilionsiderando a substituição6 dx x x g  xdu x g  xu )seccoscotseccos%cotseccos 2−⋅−=⇒+=

    ssi',

    ∫ ∫    ++−=+−=−=   k  x g  xk uduu

    dx x 7cotseccos7ln77ln1

    seccos

    S"%u!"6 Utili

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    LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS

    1) >alcule as inte$rais indefinidas6a) de ∫    ⋅ x   Re*'"*(a6 % - 1) e  k 

     b) de2∫    ⋅ x   Re*'"*(a6 e %2 - 2 2) k 

    c) ∫    ⋅ dln  x   Re*'"*(a6 fa

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    IN-EGRAIS INDEFINIDAS DO -IPO& ∫    −⋅−   dx x x x P 

    )%)%

    )%

    β α 

    3ara calcular inte$rais desse ti&o, &recisa'os do se$uinte teore'a"

    -EOREMA&

    CeFa' ℜ∈ n',, ,  e β α  ≠  então eiste' constantes e R tais ue6

    •)%)%))"%%   β α β α    −

    +−

    =−−

    + x

     B

     x

     A

     x x

    nmx  •  22 )%)%)%   α α α    −

    +−

    =−

    + x

     B

     x

     A

     x

    nmx

    N"(a6 de'onstração decorre da teoria sobre &olinG'ios"

    %) )%

    )+)"%+% )%

     x R

     x P    β α   ⇒   ( ) x R x x x0 x P    +−−= ))"%)"%%)%   β α  , onde6 )% x R te' $rau 'enor

    ue 2

    ssi', &ode'os escrever6

    ))"%%

    )%)%

    ))"%%

    )%

    β α β α    −−+=

    −−   x x x R

     x0 x x

     x P 

    Lem$e;*e6 ∫    +=− k 7a+7lnd1

    a x

    P$"va6 :a

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    2) ∫    −−++

    d!2

    1!2

    2

     x x

     x x= """ = k  x x x  717ln

    #

    1 7!7ln

    #

    1 +++−+

    S"%u!"6

    #( 

    1 !2

    !2 1! 

    2

    22

    +

    ++−

    −−++

     x x

     x x x x ssi',

    !2

    #(1

    !2

    1!22

    2

    −−+

    +=−−++

     x x

     x

     x x

     x x

    )1%)!%

    )!%)%

    )1%)!%

    )!%)1%

    )1%)!%)1)"%!%

    #(

    !2

    #(2 +⋅−

    −++=+⋅−

    −++=++−=+−

    +=−−

    + x x

     B A x B A

     x x

     x B x A

     x

     B

     x

     A

     x x

     x

     x x

     x

    #

    10=

    #

    11#

    #!

    (==⇒=⇒

    =−

    =+⇒   e B B

     B A

     B A

    Wo$o6

    ∫    −− ++ d!2 1!22

     x x x x = ∫ ∫ ∫ ∫    =++−+=   

     

     

     

    ++−+d

    )1%1

    #1d

    )!%1

    #1dd

    )1%#

    1

    )!%#

    1

    1 x x x x

    =   k  x x  717ln#

    1 7!7ln

    #

    1   +++−+

    !) ∫    +−++

    d12

    12

    !

     x x

     x x= """ = k 

     x x x

     x 

    )1%

    !717ln#2

    2

    2

    +−

    −−++

    S"%u!"6

    1# 

    2#2

    12 2 2

    12 1 

    2

    2

    2!

    2!

    −+−+

    +−+−

    +−++

     x x

     x x x x

     x x x x ssi',

    12

    1#

    )2%12

    122

    !

    +−−

    ++=+−++

     x x

     x

     x x x

     x x

    2222 )1%

    )%

    )1%

    )1%

    )1%)1%)1%

    1#

    −+−+

    =−

    +−=

    −+

    −=

    −−

     x

     B A Ax

     x

     B x A

     x

     B

     x

     A

     x

     x  !#

    1

    #==⇒

    −=+−

    =⇒   Be A

     B A

     A

    Wo$o6

    ∫ ∫ ∫ ∫    −+−++=+−++

    dx x

    dx x

    dx x x x

     x x22

    !

    )1%

    1!

    1

    1#)2%d

    12

    1 4=   k  x

     x x x

     )1%

    !717ln#2

    2

    2

    +−

    −−++

    4 :a

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    NO-A6 3ara calcular inte$rais do ti&o ∫    −   dx x x P 

    n)%

    )%

    α   co' 4 N n∈ , K 'ais interessante fa

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    LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS

    1) Besolva as inte$rais do ti&o ∫    −⋅−   dx x x x P 

    )%)%

    )%

    β α 

    EKERC>CIO RESPOS-A

    a)   ∫  −d

    #

    12

     b)   ∫  − d#

    2

    c) d1

    1( 2

    ∫  −+

    d) d!

    2∫  −+

    e) d

    !2

    2

    ∫  −+

    f)   ∫  +− d*(

    2

    $)   ∫ −

    +d

    )1%

    !2

    L)   ∫  −++

    d

    12

    2

    i)   ∫  +−++

    d!#

    12

    !

     F)   ∫  −− d21

    2

    a)   k  x x +

    +−

    22ln

    #1

     b) k #ln2

    1 2 +−

    c)   k  x x x   +++− (2

    (1ln* 2

    d) k 1ln#ln!   +−+−

    e) k !ln2!ln2   ++−−+

    f) k !ln!2ln2   +−+−−

    $) k 1

    #1ln   +

    −−−

    L) k 1ln!ln   +−+−

    i) k !ln2

    !11ln

    2

    !#

    2

    2+−+−−+

     F) k 2ln!

    11ln

    !

    1 +−++−

    Suge*(!"6  Besolva ta'bK' os eercAcios #, , ., 11, 1! e 1# do ;uidori

  • 8/16/2019 Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012

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    IN-EGRAIS INDEFINIDAS DO -IPO& ∫    −⋅−⋅−   dx x x x x P 

    )%)%)%

    )%

    γ  β α 

    3ara calcular inte$rais desse ti&o, &recisa'os do se$uinte teore'a"

    -EOREMA&

    CeFa' ℜ∈  &n, ', ,, ,   γ    e γ  β α   ,   e  distintos entre si, então eiste' constantes , R e > taisue6

    •)%)%)%)%)%)%

    2

    γ  β α γ  β α    −+

    −+

    −=

    −⋅−⋅−++

     x

     x

     B

     x

     A

     x x x

     pnxmx 

    • 222

    )%)%)%)%)%   β β α β α    −+

    −+

    −=

    −⋅−++

     x

     x

     B

     x

     A

     x x

     pnxmx

    N"(a6 de'onstração decorre da teoria sobre &olinG'ios"

    Exem'%"*6

    1) ∫    −−++

    d2

    122!

    #

     x x x

     x x= """ = k  x x x

     x 727ln

    2

    77ln

    2

    1

    2

    2

    +−+−+

    2)   ∫    +−−+

    d1

    122!  x x x

     x= """= k 

     x x x  

    )1%2

    !717ln

    #

    1717ln

    #

    1 +−⋅

    −−++− ="""= k  x x

     x+

    −− 

      

      

     

    +−

    )1%2

    !

    1

    1ln #

    Suge*(!"6 Besolva ta'bK' os eercAcios do ;uidori

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    IN-EGRAIS UE RESUL-AM EM FUNÇ/ES -RIGONOM:-RICAS INVERSAS&ARCO -ANGEN-E E ARCO SENO M:-ODO DA SUJS-I-UIÇÃO SIMPLES

    De acordo co' as derivadas calculadas no ca&Atulo de derivadas, te'os6

    ∫    +=+ k t$d11

     2

      arc ∫    +=−

    k sen d1

    2arc

    Exem'%"*6

    1)   ∫    +   dx x (1

    2 = """ = k  xtg arc   +  

     

      

     

    (

    (

    (

    S"%u!"6∫ ∫ ∫ ∫ ∫    +=

       

      +

    =

       

      

     +

    =

       

      

     +

    =+

      duu

    dx x

    dx x

    dx x

    dx x

    (1

    1

    (

    1

    (1

    1

    (

    1

    (1

    1

    (

    1

    (1(

    1

    (

    12

    4

    2222=

      k  xtg arck utg arcduu

      +   

      

     =+=

    += ∫ 

    (

    (

    (

    (

    1

    1

    (

    (2

    4

    :a

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    =   ∫ ∫    =+=+ duu11

     a

    1dua

    u1

    a

    1222

    k t$1

    k ut$1

    +=+a

     xarc

    aarc

    a

    4 :a

  • 8/16/2019 Apostila Cdi 1 Integrais Cap4 Donizetti 23maio2012

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    *!

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    -:CNICAS DE IN-EGRAÇÃO ; SUJS-I-UIÇ/ES -RIGONOM:-RICAS

    O[e(iv" #" )1%)u%"6 Desenvolver as ca&acidades de refleão e de cálculo necessárias &ara o estudo daen$enLaria %ou tecnolo$ia)"

    s &rinci&ais tKcnicas de inte$ração são6• MKtodo da substituiçãoQ• Vnte$ração &or &artesQ

    • 3or deco'&osição"• :rações &arciaisQ• Vnte$ração de funções racionaisQ• Vnte$ração de funções irracionaisQ• Cubstituição tri$ono'KtricaQ• Vnte$rais i'&r8&rios de 1" e de 2" es&KcieQ• :8r'ulas de recorr9ncias"

    Cabe'os da i'&ortEncia da inte$ração, &rinci&al'ente as inte$rais definidas no cálculo da área de u'are$ião co'&reendida entre a função dada e o eio das abscissas %eio  x)" Desta for'a, duas uestões

    nos fao'o calcular a área de u' cArculo, a área de u'a eli&se, utili

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    1) >alcule6 dx x∫    −21

    S"%u!"6 :a

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    #) A'%i)a!"6 3rove, utili

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    *) Ce' usar o resultado do ee'&lo 1, calcule6 dx x∫    −1

    0

    21

    S"%u!"6 :a

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    .) >alcule6   dx x∫    +21

    S"%u!"6

    Lem$e;*e6 ∫  dusec! u = [ ]   k utg uutg u   +++⋅ 7sec7lnsec

    2

    1, fialcule6 dx xr ∫    −22

    S"%u!"6:a

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    MUDANÇA DE VARI0VEL EM 222222 e,   a xa x xa   −+−

    inte$ração de funções envolvendo radicais do ti&o 222222 e,   a xa x xa   −+−  &ode si'&lificar+seforte'ente &or 'eio do uso das variáveis θ  sena x   ⋅=  ou θ cos⋅= a x , θ tg a x   ⋅=  ou θ  g a x cot⋅= ,

    θ sec⋅= a x  ou θ seccos⋅= a x , u'a ve< ue as substituições referidas transfor'a' os radicandos e'uadrados &erfeitos" Jais considerações decorre' direta'ente da identidade tri$ono'Ktricafunda'ental e conseu9ncias dessa"

    1cos22 =+   θ θ  sen   θ θ  22 sec1   =+ tg    θ θ  22 seccoscot1   =+   g 

    3or ee'&lo, as substituições θ  sena x   ⋅= , θ tg a x   ⋅=   e θ sec⋅= a x   transfor'a' os radicais222222

    e,   a xa x xa   −+− , res&ectiva'ente, e' θ cos⋅a , θ sec⋅a  e θ tg a ⋅ "

    In(eg$a!" '"$ Su*(i(ui!" -$ig"n"m($i)a ; A#a'(a#" #e6 DoLert5 ndrade

    Vnte$rar K u'a tKcnica, assi' co'o derivar" Histe' 'uitas tKcnicas de inte$ração6 inte$ração &or substituição, inte$ração &or &artes, inte$ração &or frações &arciais, inte$ração &or substituiçãotri$ono'Ktrica" Jodas be' si'&les, K s8 &e$ar o Feito"

    >ontinuando vere'os a inte$ração &or substituição tri$ono'Ktrica" Usada uando o inte$rando contK'u'a das se$uintes for'as 222222222 e,   a xba xb xba   −+−

    ?eFa'os al$uns ee'&los6

    1) 3ara dx xba∫    − 222  faça a substituição θ  senb

    a x =

    2) 3ara dxa xb∫    + 222  faça a substituição θ tg b

    a x =

    !) 3ara dxa xb∫    − 222  faça a substituição θ secb

    a x =

    :a

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    ANEKO I ; LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS

    1) Mostre ue6 ∫ −   −#

    #

    21*   dx x  = π .

    2) Mostre ue6 ∫    −#

    0

    21*"2   dx x  = π . %inter&rete $eo'etrica'ente o resultado)

    !) Mostre ue6 ∫    −!

    0

    2   dx x  =#

    π  

    #) Mostre ue6 ∫    −!

    0

    2"#   dx x  = π  %inter&rete $eo'etrica'ente o resultado)

    () Mostre ue6 ∫    −*

    0

    2!*"#   dx x  = π !* %inter&rete $eo'etrica'ente o resultado)

    *) Vndiue u'a 'udança de variável ue eli'ine a rai< do inte$randoa) ∫    −   dx x

    2   Re*'"*(a6 θ  sen x !=

     b) ∫    +   dx x2 Re*'"*(a6 θ tg  x !=

    c) ∫    −   dx x 2 Re*'"*(a6 θ sec!= x

    d) ∫    −   dx x x22 1 Re*'"*(a6 θ  sen x =

    e) ∫    −   dx x2

    #! Re*'"*(a6 θ  sen x 2!

    =

    S"%u!"6   

     

     

     

       

      

     −= 

      

       −=−

    2

    22

    !

    21!

    !

    #1!#!  x x x , &ois6 se  x sen

     x sen   =⇒=   θ θ 

    2

    !

    !

    2

    f) ∫    −   dx x2#( Re*'"*(a6 θ  sen x

    2

    (=

    $) ∫    −   dx x2#1 Re*'"*(a6 θ  sen x

    2

    1=

    S"%u!"6 θ θ θ θ  cos7cos7cos)%1)2%1 222 ===−=−   sen x , &ois6 θ θ    sen x x sen2

    12   =⇒=

    L) ∫    +   dx x2#! Re*'"*(a6 θ tg  x 2

    !=

    i) ∫    −−   dx x2)1%1 Re*'"*(a6 θ sec1+= x   S"%u!"6 θ θ    sen x sen x   +=⇒=− 11

     F) ∫    −⋅   dx x x 1  Re*'"*(a6 ou 0,12 >+=   uu x ssi' ∫ ∫    =⋅⋅+=−⋅ """2)1%12 duuuudx x x

    utra for'a6 θ θ θ θ    tg tg  x x   ==−=−⇒= 222 1sec1sec "

    ssi', """sec2sec2sec1 2#22 =⋅=⋅⋅⋅=−⋅ ∫ ∫ ∫    θ θ θ θ θ θ θ θ    d tg d tg tg dx x x

    ) Mostre ue6 k r 

     xr  xarc

    r dx xr    + 

      

      

        −⋅+   

      =−∫  2

    22222  

    sen

    2

    .) Mostre ue6 ∫    +   dx x21  = ( ) k 7 t$sec7ln t$ecs

    2

    1 +++

      Di)a6 ∫  dusec! u = [ ]   k utg uutg u   +++  sec7ln"sec

    2

    1

    0

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    Refe$?n)ia*&

    :WHMMVN;, D" M"Q ;NmW?HC, R" ;" C1%)u%" A& Fun.e*H Limi(eH De$iva!"H In(eg$a!", (a

    ed" Cão 3aulo6 Makro Rooks, 12"

    :WHMMVN;, D" M"Q ;NmW?HC, R" ;" C1%)u%" J& Fun.e* #e V1$ia* Va$i1vei*H In(eg$ai*Du'%a* e -$i'%a*"  Cão 3aulo6 Makro Rooks, 1"

    :WHMMVN;, D" M"Q ;NmW?HC, R" ;" C1%)u%" C& Fun.e* Ve("$iai*H In(eg$ai* Cu$vi%2nea*HIn(eg$ai* #e Su'e$f2)ie"  Cão 3aulo6 Makro Rooks, 1"

    ;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (a  ed" ?ol" V, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001

    ;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (a ed" ?ol" VV, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001

    ;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (a ed" ?ol" VVV, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001

    ;UVDBVqqV, `" W" Um Cu$*" #e C1%)u%", (

    a

     ed" ?ol" V?, Cão 3aulo6 WJ> + Wivros JKcnicos e>ientAficos Hditora C" ", 2001

    `::MNN, W" D", C1%)u%"& Um Cu$*" M"#e$n" e *ua* A'%i)a.e* , a ed" Bio de ^aneiro6 WJ> +Wivros JKcnicos e >ientAficos Hditora C"", 200#"

    BV;`HJJ, "Q :HBBUD, " C" C1%)u%" Dife$en)ia% e In(eg$a%" ?ol" V, Cão 3aulo6 VRH> - Vnstituto Rrasileiro de Hdições >ientAficas Wtda, Cão 3aulo, 1.2

    BV;`HJJ, "Q :HBBUD, " C" C1%)u%" Dife$en)ia% e In(eg$a%" ?ol" VV, Cão 3aulo6 VRH> - Vnstituto Rrasileiro de Hdições >ientAficas Wtda, Cão 3aulo, 1.2

    Ji%i"g$afia #e A'"i"&

    NJN, `" C1%)u%"H um n"v" "$i"n(e Jrad" >5ro de >" 3atarra e Márcia Ja'anaLa" *"  ed" 3ortole$re6 Rook'an, ?ol"V, 2000"

    NJN, `" C1%)u%"H um n"v" "$i"n(e Jrad" >5ro de >" 3atarra e Márcia Ja'anaLa" *"  ed" 3ortole$re6 Rook'an, ?ol"VV, 2000"

    WHVJ`WD, W" O C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a ?ol" V, Cão 3aulo6 `arbra, 1.*"

    WHVJ`WD, W" O C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a ?ol" VV, Cão 3aulo6 `arbra, 1.*"

    MUNHN, :" C1%)u%" ?ol" VV, Bio de ^aneiro6 Hditora ;uanabara Dois C"", 1.2"WBCN, `" H" C1%)u%" )"m A'%i)a.e* Jrad" lfredo lves de :arias" Bio de ^aneiro6 WJ>, 1("

    CCV, H" " C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a 2" ed" ?ol" V, Cão 3aulo6 Makro Rooks,1#"

    CCV, H" " C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a 2" ed" ?ol" VV, Cão 3aulo6 Makro Rooks,1#"

    CVMMNC, ;" C1%)u%" )"m Ge"me($ia Ana%2(i)a" Cão 3aulo6 Mc;ra+`ill, v" 2, 1." 

     \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ P$"f D$ Eng Y"* D"nie((i #e Lima

    1

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    IN-EGRAL DEFINIDA 5da&tado de ;uidori

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    bserve ue, se f%ci) 0, ii   xc f    ∆⋅)%  será então a área do retEn$ulo B i deter'inado &elas retas = i+1, = i, 5 = 0 e 5 = f%ci)"

    @rea de B i = ii   xc f    ∆⋅)%

    3or outro lado, se f%ci) I 0, a área de tal retEn$ulo será6 ii   xc f    ∆⋅− )%

    @rea de B i = ii   xc f    ∆⋅− )%

    Ge"me($i)amen(e, &ode'os então inter&retar a so'a de Bie'ann ∑=

    ∆⋅n

    i

    ii   xc f 1

    )%  co'o a diferença

    entre a so'a das áreas dos retEn$ulos B i ue estão aci'a do eio e a so'a das áreas dos ue estãoabaio do eio " U'a dessas situações K evidenciada na fi$ura a se$uir"

    ∑=

    ∆⋅*

    1

    )%i

    ii   xc f   = *"ma #a* 1$ea* #"* $e(+ngu%"* a)ima #" eix" Ox men"* a *"ma #a* 1$ea* #"*

    aaix" #" eix" Ox"

    74

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    75/193

    Exem'%"6

    CeFa : u'a função definida e' [a, b] e seFa 36 a = 0 I 1 I 2 I ! I # = b u'a &artição de [a, b]" acrKsci'o :%b) - :%a) ue : sofre uando se &assa de = a &ara = b K i$ual Z so'a dos acrKsci'os:%i) - :%i+1) &ara i variando de 1 a #6

    :%b) + :%a) = :%#) - :%0) = [:%#) - :%!)] [:%!) - :%2)] [:%2) - :%1)] [:%1) - :%0)]

    Vsto K6

    ∑=

    −−=−#

    1

    1)%)%[)%)%i

    ii   x F  x F a F b F 

    De m"#" ge$a%, se 36 a = 0 I 1 I 2 I """ I n = b for u'a &artição de [a, b], então6

    ∑=

    −−=−n

    i

    ii   x F  x F a F b F 1

    1)%)%[)%)%

    -e"$ema*6

    -e"$ema

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    Exem'%" #" - V M

    1) CeFa f %) = 2 onde 20   ≤≤  x  e encontre'os u' &onto %c, f %c)) ue satisfaça o J"?"M" Be&resente$eo'etrica'ente"

    S"%u!"6

    Je'os f %) = 2

    , lo$o f ’ %) = 2

    3elo J" ?" M"

     x f  f 

    202

    )0%)2%=

    −−

     ⇒   x202

    0# =−− ⇒  2 = 2 ⇒ = 1

    ∴   &onto K %1, 1)

    -e"$ema 6

    CeFa' : e f definidas e' [a , b] e tais ue6 : ’ = f e' [a, b], assi' : K u'a &ri'itiva de f e' [a, b]"CeFa a &artição 36 a = 0 I 1 I 2 I"""I n = b de [a, b], escolLendo conveniente  ic e' ],[ 1   ii   x x   −  te'+se6

    ∑=

    ∆=−n

    i

    ii   xc f a F b F 1

    )"%)%)%

    P$"va6

    3elo ue vi'os anterior'ente6 ∑=

    −−=−n

    i

    ii   x F  x F a F b F 1

    1)]%)%[)%)%

    3elo J?M, eiste ic  e' [i+1 , i] tal ue6 ))"%c%/)%)% 1i1   −−   −=−   iiii   x x F  x F  x F 

    e co'o : ’ = f e' [a , b] e 1−−=∆   iii   x x x  resulta6

    ∑=

    ∆=−n

    i

    ii   xc f a F b F 1

    )"%)%)%

    N"(a6 Ce f K contAnua e' [a , b] e se os i x∆  são suficiente'ente &euenos, &ara ualuer escolLa de c ie' [i+1, i] te'os6

    )%)%   ii   c f c f    ≅

    Wo$o

    ∑=

    ∆≅−n

    i

    ii   xc f a F b F 1

    )"%)%)%

    T ra

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     In(eg$a% #e Riemann& Defini!"

    CeFa' f u'a função definida e' [a, b] e W u' n_'ero real" Diδ   ue s8 de&ende de ε   'as não da &articular escolLa dos ci, talue6

    ε 

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     -e"$ema Fun#amen(a% #" C1%)u%" 5-FC6

    Ce f for inte$rável e' [a, b] e se : for u'a &ri'itiva de f e' [a, b], então6 :%a)+:%b)d)%   =∫ b

    a x  f   "

    P$"va6 Je'os &elo teore'a ! ue se 3 6 a = 0 I 1 I 2 I ! I """ I n = b K u'a &artição de [a , b],

    eiste' ic e' ],[ 1   ii   x x   −  tal ue ∑=

    ∆⋅=−n

    i

    ii   xc f a F b F 1

    )%)%)% "

    ssi',

    )%)%   a F b F    −  = ∑=

    →∆∆⋅

    n

    i

    ii xm-x

     xc f i 1

    0)%li' = d)%∫ 

    b

    a x  f  

    N"(a*6• in(eg$a% #efini#a K i$ual Z diferença entre os valores nu'Kricos da inte$ral indefinida, obtidos

     &ara = a e = b, res&ectiva'ente"

    • T &ossAvel &rovar ue toda função contAnua e' [a, b] K inte$rável e' [a, b]"

    • Je'os então &elo J:> ue, se f K contAnua e' [a, b] e : K u'a &ri'itiva de f e' [a , b], então6

    :%a)+:%b)d)%   =∫ b

    a  x  f  

    • T usual denotar a diferença )]%)%[   a F b F    −  &or  ba)]%[   x F  " ssi',

    :%a)+:%b))]%[d)%  ba ==∫    x F  x  f  b

    a

    Exem'%"*6 >alcule

    1) d2

    1

    2∫   x = """ = !

     

    S"%u!"6!

    )%

    ! x x F    =  K u'a &ri'itiva de f%) = 2 e f K contAnua e' [1 , 2]

    ssi', d21

    2∫   x =  !

    1+!

    .

    !

    2

    1

    !=

     x  

    !

    2)   ∫ −!

    1

    2  !   dx x  = """ = 2. !) d#!

    1∫ − = """ = 1*

    #) d)1!%2

    0

    !∫    −+   x x = """ = . () d12

    1 2∫   x = """ = 21

     

    ()   ∫ #

    2dx

     x = """ = ln 1* ≅ 2, *) d

    112

    1 !∫       

       +

     x x= """ =

    .

    !2ln.   + 

    ) d1

    0∫   − xe = """ =

    e

    11 −   .) ∫ −

    2

    2

     os

    π 

    π    dxc  = """ = 2

    ) d2sen.0∫ π 

     x = """ =#

    22 −   10) ∫    −1

    0

    10 d)1% x  = 'udança de variável = """ =11

    1

    11) dx x∫    −1

    2

    1  12  = 'udança de variável = """ =!

    1

    12) ∫ 1

    0

    ! dxe   x  = 'udança de variável = """ =!

    1! −e

    1!) ∫    +1

    0 2 1dx

     x

     x = 'udança de variável = """ =

    2

    2ln

    1#) ∫    +2

    1

    2 1" dx x  = 'udança de variável = """ =

    !

    22((   −

    78

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    LIS-A DE EKERC>CIOS PROPOS-OS PARA A REVISÃO DOS CONCEI-OS

    1) >alcule as se$uintes inte$rais definidas

    a)   ∫   21

    0   dx x   Re*'"*(a6!

    1

     b)   ∫    +   dx x )(2%!1   Re*'"*(a6 1.

    c)   ∫    dx x!2

    0   Re*'"*(a6 #

    d)   ∫ −   dx x!0

    2   Re*'"*(a6 + #e)   ∫ −   dx x

    !2

    2   Re*'"*(a6 0

    f)   ∫    +−   dx x x )!#%2(

    0 Re*'"*(a6!

    20

    $)   ∫    −   dx x)1%!1   Re*'"*(a6 + 2

    L)   ∫   2(

    0   dx x   Re*'"*(a6!

    12(

    i)   ∫   !

    0   dx x   Re*'"*(a6.

    (*1"*

     F)   ∫  1

    0

      dx  Re*'"*(a6 k)   ∫   

    !   dx   Re*'"*(a6 !*

    l)   ∫   !#

    1   dx x   Re*'"*(a6#

    2((

    ')   ∫    dx x2(2   Re*'"*(a6 !

    n)   ∫ −  (!

    1   dx x   Re*'"*(a6!

    !*#

    o)   ∫ −   dx x(!

    1*   Re*'"*(a6 2.

     &)   ∫    +   dx x )!%20   Re*'"*(a6 20

    )   ∫    ++   dx x x )!(%2!

    0   Re*'"*(a6 2.1

    r)   ∫    −+−   dx x x ).(%!2

    1 Re*'"*(a6#

    (1−

    s)   ∫    +−   dx x x )%(2

    2   Re*'"*(a6 0

    t) ∫   cos20   dx xπ 

      Re*'"*(a6 1

    u) ∫    dx x s  en20π 

      Re*'"*(a6 1

    v)   ∫    dx xc  os0π    Re*'"*(a6 0

    )   ∫  en

    0

      dx x sπ 

      Re*'"*(a6 2)   ∫    dxe x1

    0   Re*'"*(a6 e + 1

    5)   ∫ −   dxe x1

    1   Re*'"*(a6e

    e1

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    IN-EGRAL DEFINIDA

    da&tado de MBUHC, ^air Mendes" Ma(em1(i)a A'%i)a#a 'a$a )u$*"* #e A#mini*($a!"HE)"n"mia e Ci?n)ia* C"n(1ei*" >uritiba6 ^uruá, 2002" !22&"

    CeFa a função f5x6 e considere'os o se$uinte &roble'a6 calcular a área A  li'itada &elo $ráficodessa função, &elo eix"  x e &elas retas x a  e x , confor'e a :i$ura abaio" ?a'os dividir ointervalo ]aH ^ e' n subintervalos tais ue6

    a x _ xonfor'e a :i$ura anterior, a so'a das áreas dos n retEn$ulos K dada &or6

    ∑=

    ∆⋅=∆⋅++∆⋅+∆⋅=n

    iiinnn   xc f  xc f  xc f  xc f  A

    12211 )%)%""")%)%

    sendo conLecida co'o *"ma #e Riemann da função f  sobre o intervalo ]aH ^"

     Note ue, Z 'edida ue n cresce, o valor de∆

    xi decresce faálculo"

    80

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    IN-EGRAL DEFINIDA 5A#a'(a#" #e& RIG4E--O e FERRADAU-OH

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     L x f n

    i

    ii

    n

    =∆∑=∞→

    →∆1)%

    0)"%li'

    i

    α 

    n_'ero L di

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    notação dx x  f  b

    a )%∫   foi criada &or WHVRNVq %1*#*+11*) &ara re&resentar a inte$ral de f%) e'

    [a, b], o sA'bolo C se ori$ina de u' C alon$ado, &ois decorre da associação da inte$ral co' u'a so'aonde as &arcelas ii   xc  f     ∆)"%  são re&resentadas &or f%) d"

    inte$ral definida sur$e de 'odo natural uando considera'os o &roble'a da deter'inação da área

    de u'a re$ião do &lano 5" Calienta+se ue esta K a&enas u'a das a&licações %&ode ser utili

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    84

    UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

    PR

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    A 0REA DE UMA FIGURA PLANA A#a'(a#" #e& (('&XX```)e'aifu*'$Xe;)a%)u%"X 

    Cabe'os calcular a área de al$u'as fi$uras &lanas co'o, &or ee'&lo, retEn$ulos, triEn$ulos, cArculose assi' &or diante" De&endendo da fi$ura, esse &roble'a está resolvido"

    V'a$ine'os &orK' ue o &roble'a K o do cálculo da área do ta'&o de u'a 'esa ue te' o se$uintefor'ato6

    u então, su&onLa'os ue uere'os revestir u'a &rancLa de *u$f  e, &ortanto, uere'os calcular aárea da &arte su&erior &ara conLecer a uantidade de 'aterial a ser usado no revesti'ento"

    Be$iões desse ti&o nos leva' a &erceber ue as ferra'entas de ue dis&o'os &ara o cálculo de áreasn!" são suficientes"

    H' &ri'eiro lu$ar, va'os ea'inar fi$uras &lanas si'&les ue são obtidas a &artir do $ráfico deal$u'a função conLecida"

    Exem'%"*6

    1) Deter'ine a área de u' triEn$ulo, co'o o da fi$ura abaio, ue &ode ser obtido a &artir do $ráfico

    de

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    2) Deter'ine a área de u' triEn$ulo, co'o o da fi$ura abaio, ue &ode ser obtido a &artir do $ráfico

    de

    ≤Arculo = π"22 = #π" >o'o na fi$ura te'osu' uarto de cArculo, a área K 2 = >Arculo = π"

    3ortanto, a área da re$ião aci'a K 1  2 = # π unidades de 'edida de área"

    .*

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    #) Deter'ine a área da re$ião ue se encontra entre a &arábola xB e o eio , &ara variando nointervalo [+2, 2]"

    S"%u!"6 3ara calcular a área da re$ião descrita a