Apostila Cederj Algebra

lgebra II

Volume nicoHernando BedoyaRicardo Camelier

Apoio:

Hernando Bedoya

Ricardo Camelier

Volume nico

lgebra II

Material Didtico

2010/1Referncias Bibliogrfi cas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

Copyright 2005, Fundao Cecierj / Consrcio Cederj

Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao.

ELABORAO DE CONTEDOHernando BedoyaRicardo Camelier

COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto

DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISO Zulmira SperidioMarcelo Bastos Matos

COORDENAO DE LINGUAGEM Cyana Leahy-DiosMaria Anglica Alves

COORDENAO DE AVALIAO DO MATERIAL DIDTICODbora Barreiros

AVALIAO DO MATERIAL DIDTICOLetcia Calhau

B412a Bedoya, Hernando.

lgebra II. v. nico / Hernando Bedoya; Ricardo Camelier. Rio de Janeiro: Fundao CECIERJ, 2010.

264p.; 19 x 26,5 cm.

ISBN: 85-7648-314-9

1. lgebra. 2. Anis quocientes. 3. Teorema de homomorfi smo. 4. Polinmios. I. Camelier, Ricardo. II. Ttulo.

CDD: 512

EDITORATereza Queiroz

COPIDESQUEJos Meyohas

REVISO TIPOGRFICAElaine BaymaMarcus Knupp

COORDENAO DE PRODUOJorge Moura

PROGRAMAO VISUALMrcia Valria de AlmeidaRenata BorgesSanny Reis

ILUSTRAOEquipe Cederj

CAPAEquipe Cederj

PRODUO GRFICAOsias FerrazPatricia Seabra

Departamento de Produo

Fundao Cecierj / Consrcio CederjRua Visconde de Niteri, 1364 Mangueira Rio de Janeiro, RJ CEP 20943-001

Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725

PresidenteMasako Oya Masuda

Vice-presidenteMirian Crapez

Coordenao do Curso de MatemticaUFF - Regina Moreth

UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca

Universidades Consorciadas

Governo do Estado do Rio de Janeiro

Secretrio de Estado de Cincia e Tecnologia

Governador

Alexandre Cardoso

Srgio Cabral Filho

UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho

UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Vieiralves

UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman

UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda

UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio Teixeira

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles

lgebra II Volume nico

SUMRIO Aula 1 Anis quocientes ______________________________________ 7 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 2 Homomorfi smos _____________________________________ 15 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 3 Teorema do homomorfi smo _____________________________ 29 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 4 Divisibilidade em anis ________________________________ 39 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 5 Introduo aos polinmios ______________________________ 51 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 6 Operaes com polinmios _____________________________ 65 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 7 Anis de polinmios ___________________________________ 75 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 8 Diviso de polinmios _________________________________ 89 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 9 Propriedades da diviso de polinmios ____________________ 103 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 10 Sobre razes de polinmios ___________________________ 121 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 11 Polinmios irredutveis ______________________________ 137 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 12 Introduo aos grupos _______________________________ 153 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 13 Mais exemplos de grupos ____________________________ 165 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 14 Subgrupos e grupos cclicos ___________________________ 185 Ricardo Camelier

Aula 15 O Teorema de Lagrange ______________________________ 199 Ricardo Camelier

Aula 16 Classes laterais e o grupo quociente ____________________ 213 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 17 Subgrupos normais _________________________________ 231 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Aula 18 Homomorfi smos de grupos ___________________________ 247 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier

Referncias _____________________________________________ 263

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Podemos, agora, completar nossa construo. Segue que (A/I, +, )

um anel, chamado de anel quociente, ou anel das classes residuais mdulo I,

cujo zero dado por 0 e cuja unidade dada por 1.

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Sejam (Z, +, ) o anel dos inteiros e I o ideal de Z dado por

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Homomor smos 2ob

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LA

Meta da aula

Ao nal desta aula, voc dever ser capaz de:

Reconhecer um homomor smo entre anis.

Apresentar e demonstrar as primeiras propriedades dos homomor smos.

Apresentar o conceito de homomor smo de anel e suas propriedades bsicas.

Pr-requisitos

Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de lgebra I.

16 C E D E R J

lgebra II | Homomor smos

INTRODUO As funes consideradas naturais entre duas estruturas algbricas do mesmo

tipo, como os anis, so aquelas que preservam as operaes, ou seja,

transformam uma soma de elementos no anel domnio na soma de suas

imagens e transformam um produto de elementos no anel domnio no produto

de suas imagens. Essas funes, chamadas de homomor smos, sero o objeto

do nosso interesse nesta aula.

HOMOMORFISMO DE ANIS

De nio 1

Dados dois anis A e B, uma funo AB chamada de um

homomor smo (de anis) se para todo a, b A , vale:

H1. (a + b) = (a) + (b);

H2. (a . b) = (a) . (b);

H3. (1A) = 1B (ou, simplesmente, (1) = 1).

De nio 2

Um homomor smo AB chamado de um isomor smo se

for, tambm, uma bijeo. Nesse caso, dizemos que A e B so isomorfos

e denotamos A B.

Lembre que dois conjuntos A e B tm o mesmo nmero de

elementos, ou seja, eles tm a mesma cardinalidade, se existe uma bijeo

entre A e B. Assim, se A e B so isomorfos, ento eles tm exatamente o

mesmo nmero de elementos. Isso acontece porque se AB um

isomor smo, ento, em particular, uma bijeo entre A e B.

De nio 3

O ncleo de um homomor smo de anis AB o conjunto

N() = {x A (x) = 0B},

onde 0B o elemento neutro do anel B.

Apesar de o conceito de homomor smo ser muito natural, ele surgiu de forma muito gradual. O con-ceito de homomorfismo de grupos surgiu, pela primeira vez, em torno de 1830, o de homomor smo de corpos em torno de 1870 e o de homomor smo de anel somente em 1920.

C E D E R J 17

AU

LA 2Vejamos agora dois dos exemplos mais simples de homomor smo

de anis.

Exemplo 1

O exemplo mais simples de todos o homomor smo identidade.

Dado um anel A, o homomor smo identidade de nido pela funo

identidade em A, ou seja, id : A A, id(a) = a. Vamos veri car que a

identidade , de fato, um homomor smo de anis. Para isso, precisamos

veri car os trs axiomas de homomor smos. Sejam a, b A, ento

H1. id(a + b) = a + b = id(a) + id(b);

H2. id(a . b) = a . b = id(a) . id(b);

H3. id(1A) = 1A.

Assim, id um homomor smo. Mais ainda, o homomor smo

identidade bijetor, portanto, ele tambm um exemplo de um

isomor smo. Vamos calcular seu ncleo. Nesse caso, N(id) = {x A id(x) = 0A}. Ou seja, queremos resolver a equao id(x) = 0A. Como id(x)

= x, a equao se transforma em x = 0A, ou seja, sua nica soluo

x = 0A, portanto, N(id) = {0A}.

Exemplo 2

Seja n Z, n > 1. Considere a funo : Z Zn de nida por (a) = a , onde a classe residual mdulo n do inteiro a. Vamos veri car

que um homomor smo de anis. De fato, dados a, b Z, ento

H1. (a + b) = a + b = > + b = (a) + (b);

H2. (a . b) = a . b = > . b = (a) . (b);

H3. (1) = 1 = 1Zn.

Assim, um homomor smo. Mais ainda, o homomor smo

sobrejetor, pois, dado k Zn , ento (k) = . No entanto, no injetor, pois (0) = 0 e (n) = n = 0, ou seja, (0) = (n) com n 0. Portanto,

no um isomor smo.

Vamos calcular, agora, o ncleo de . Nesse caso, N( = {x Z

(x) = 0}. Ou seja, queremos resolver a equao (x) = 0. Como (x) = x , a

equao se transforma em x = 0, e suas solues so os inteiros mltiplos

de n, portanto, N( = nZ = {kn k Z}.

Vamos, agora estudar uma srie de propriedades fundamentais

sobre os homomor smos.

k

18 C E D E R J


Proposio 1

Seja AB um homomor smo de anis. Temos:

1. (0A) = 0B (ou, simplesmente, (0) = 0).

2. ( a) = (a) para todo a A.3. (a b) = (a) (b), para todo a, b A. 4. (A) um subanel de B, onde o conjunto imagem de A, (A),

de nido por (A) = {(a) a A}.5. Se A' um subanel de A, ento (A') um subanel de (A).6. Se B' um subanel de B, ento (B') um subanel de A,

onde o conjunto imagem inversa de B, (B') de nido por (B') = {a A (a) B'} .

7. Se I um ideal de A, ento (I) um ideal de (A).

8. Se J um ideal de B, ento (J) um ideal de A.

9. N() um ideal de A.

10. Se um isomor smo (ou seja, uma funo bijetora),

ento BA um homomor smo de anis e, portanto, tambm

um isomor smo.

Demonstrao

Algumas das demonstraes deixaremos como atividade para

voc. Demonstraremos algumas delas.

1. Temos

0 + (0) = (0)

= (0 + 0)

= (0) + (0),

e, cancelando (0) nos dois lados (lembre da lei do cancelamento),

segue que

(0) = 0.

2. Aplicando, inicialmente, a propriedade anterior, temos

0 = (0)

= (a)+ ( a))

= (a) + ( a),

para todo a A. Logo, pela unicidade do elemento simtrico, segue que ( a) = (a).

C E D E R J 19

AU

LA 2

ATIVIDADE

3. Temos

(a b) = (a + ( b))

= (a)+ ( b),

= (a)+ ((b)), pela propriedade 2

= (a) (b).

4. Como A , segue que (A) . Agora, dados (a), (b)

(A) e aplicando a propriedade 3, temos que

(a) (b) = (a b) (A),

e, tambm,

(a) . (b) = (a . b) (A).

Assim, pela Proposio 1 da Aula 5, segue que (A) um

subanel de B.

Tente voc, agora, provar a prxima propriedade.

1. Demonstre a propriedade 5, ou seja, prove que se A' um subanel de A, ento (A') um subanel de (A).______________________________________________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

20 C E D E R J


ATIVIDADE

6. Como (0A) = 0B e 0B B', ento 0A (B')e, portanto, (B') . Agora, dados a, b (B'), ento (a), (b) B'e segue que

(a b) = (a) (b) B',

pois B' subanel de B. Portanto, a b (B'). Tambm temos

(a . b) = (a) . (b) B',

pois B' subanel de B. Portanto, a . b (B'). Assim, provamos que (B') um subanel de A.

sua vez de praticar novamente.

2. Demonstre a propriedade 7, ou seja, prove que se I um ideal de A, ento

(I) um ideal de (A).

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

8. Como 0B J e (0A) = 0B , ento 0A (J), e, portanto, (J) . Agora, dados a, b (J) , ento (a), (b) J e, assim, segue que

(a + b) = (a) + (b) J,

pois J um ideal de B. Portanto, a + b (J). Por outro lado, sejam a A e b (J), ento vale que (a) (A) e (b) J, e, como J ideal de B e (A) B, temos (a) . (b) J. Portanto,

C E D E R J 21

AU

LA 2(a . b) = (a) . (b) J,

ou seja, a . b (J). Assim, conclumos que (J) um ideal de A.

9. Para mostrar que o ncleo um ideal, usamos a propriedade

anterior. De fato,

N() {x A (x) = 0B} ({0B }),

e, como {0B } um ideal de B, segue, pela propriedade 8, que N() um

ideal de A.

Assim, conclumos a demonstrao da Proposio 1. Veja que

deixamos as propriedades 5, 7 e 10 como atividades a serem desenvolvidas

por voc.

ATIVIDADE

3. Demonstre a propriedade 10 da Proposio 1, ou seja, prove que se um isomor smo (ou seja, um homomor smo bijetor), ento BA um homomor smo de anis.

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

______________________________________________________________

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_________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

22 C E D E R J


Os homomor smos so ricos em propriedades, e agora vamos

ver algumas dessas propriedades relacionadas ao ncleo. As primeiras

duas propriedades que seguem devem trazer lembrana as proprieda-

des equivalentes para o ncleo de uma transformao linear e para um

homomor smo de grupos.

Proposio 2

Seja AB um homomor smo de anis e N() o ncleo de .

Ento,

1. (a) = (b) se e somente se b a N().2. injetora se e somente se N() = {0}.

3. Se A um corpo, ento injetora.

Demonstrao

1. () Suponhamos que (b) = (a) e vamos mostrar que b a

N().De fato, (a) = (b) implica que (b) (a) = 0. Assim, (b a)

= (b) (a) = 0, ou seja, b a N().() Reciprocamente, suponhamos que b a N() e vamos

mostrar que (a) = (b).

De fato, se b a N(), ento (b a) = 0. Assim, (b) (a) = (b a) = 0, ou seja, (a) = (b).

2. () Suponhamos, primeiramente, que injetora. Vamos

mostrar que N() = {0}.

De fato, se injetora, considere a N(). Ento (a) = 0, e como (0) = 0, segue que (a) = (0). Como injetora, temos a = 0.

Assim, N() = {0}.

() Reciprocamente, suponha que N() = {0}. Vamos mostrar

que injetora.

Se (a) = (b), ento, pela propriedade anterior, temos que

b a N(). Como estamos supondo que N() = {0}, segue que b a = 0, ou seja, a =b , o que prova que injetora.

3. Suponhamos que A corpo e seja a A com a 0. Ento existe a, o inverso multiplicativo de a, que satisfaz a . a = 1A. Assim,

C E D E R J 23

AU

LA 2

Portanto, conclumos que (a) invertvel e, em particular, (a) 0.

Logo, a N() para todo a A com (a) 0, o que nos leva a concluir que

N() = {0}. Pela propriedade anterior, segue que injetora.

Exemplo 3

Vamos descrever um homomor smo muito importante, chamado

homomor smo cannico (ou homomor smo projetor). Seja A um anel

e I um ideal de A. Seja A A/I, de nida por (a) = > , onde > = a + I A/I a classe residual de a A mdulo I. Vamos veri car, agora,

que um homomor smo de anis. De fato, sejam a, b A, ento

H1. (a + b) = a + b = > + b = (a) + (b);H2. (a . b) = a . b = > . b = (a) . (b);H3. (1A) = 1A = 1A/I .

Assim, um homomor smo. Mais ainda, o homomor smo sobrejetor, pois para qualquer > A/I temos que (a) = > . Chamamos A A/I de homomor smo cannico.

Vejamos, agora, como se comportam os homomor smos sob a

operao de composio de funes.

Proposio 3

Sejam g : A B e B C dois homomor smos de anis.

Ento:

a) A composio g : A C um homomor smo de anis;

b) Se A B e B C, ento A C , isto , se A isomorfo a B e B

isomorfo a C, ento A isomorfo a C.

A demonstrao desta proposio faz parte das Atividades

Finais da aula.

(a) . (a1) = (a . a 1), pois homomor smo

=(1A)

=1B , pois homomor smo.

24 C E D E R J


Para terminar esta aula, queremos enfatizar para voc que os

anis isomorfos tm propriedades idnticas, e eles diferem apenas na

apresentao de seus elementos. O que importa que o isomor smo

preserva todas as propriedades entre tais anis.

A Atividade Final um desa o para voc. Lembre-se de consultar

os resultados apresentados. Leia vrias vezes as demonstraes das

propriedades e tente imit-las. Tenha sempre papel e lpis mo e, se

for preciso, apague e reescreva quantas vezes for necessrio. Achamos

que se voc entendeu bem esta aula, ento ter capacidade de sobra para

resolver essas atividades. Vamos l!

ATIVIDADES FINAIS

1. Sejam A um anel e a A {0}. De na a funo aA A por a (x) = a . x.

a. Mostre que a sobrejetora se e somente se a invertvel.

___________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

b. Mostre que se A um domnio de integridade, ento a injetora.

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

c. a um homomor smo?

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2. Prove a Proposio 3.

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

C E D E R J 25

AU

LA 2

Atividade 1

Como A' , segue que (A') . Agora, dados (a), (b) (A'), temos,

aplicando a propriedade 3,

(a) (b) = (a b) (A'),

e, tambm,

(a) . (b) = (a . b) (A').

Assim, pela Proposio 1 da Aula 5, segue que (A') um subanel de (A).

R E S U M O

Nesta aula, foram apresentados os seguintes resultados:

i. O conceito de homomor smo entre dois anis A e B, ou seja, uma funo A

B que para todo a, b A,

satisfaz:

H1. (a + b) = (a) + (b);

H2. (a . b) = (a) . (b);

H3. (1A) = 1B (ou, simplesmente, (1) = 1).

ii. O conceito de isomor smo, ou seja, um homomor smo que tambm uma

bijeo.

iii. As propriedades apresentadas e demonstradas servem para veri car que os

homomor smos preservam algumas estruturas dos anis.

iv. O conceito de ncleo de um homomor smo, ou seja, o ncleo do homomor smo

AB o conjunto N() {x A (x) = 0B}. Algumas propriedades importantes dos homomor smos so veri cadas pelo comportamento do seu ncleo.

v. O homomor smo projetor, ou seja, dado o anel A e I um ideal de A, de nido

por A A/I, (a) = > (lembre que > = a + I A/I).

RESPOSTAS

26 C E D E R J


Atividade 2

Como 0A I e 0B = (0A), ento 0B (I), e, portanto, (I) . Agora, dados (a), (b) (I) ento segue que

(a) + (b) = (a + b) (I),

ou seja, (a) + (b) (I) . Vamos considerar, agora, (a) (A) e (b) (I), ento, como a A, b I I ideal, temos a . b I. Portanto,

(a) . (b) = (a . b) (I),

ou seja, (a) . (b) (I). Assim, conclumos que (I) um ideal de (A).

Atividade 3

Dados x, y B, sejam a = 1(x) e b = 1(y), ou seja, (a) = x e (b) = y. Como um homomor smo, sabemos que

(a + b) = (a) + (b) e (a . b) = (a) . (b).

Temos, ento, que

1(x + y) = 1 ((a) + (b)), pela escolha de x e y

= 1 ((a + b)), pois homomor smo

= a + b, pois 1 id

= 1(x) + 1(y).

Lembre que id representa a funo identidade. Temos, tambm,

1(x . y) = 1 ((a) . (b)), pela escolha de x e y

= 1 ((a . b)), pois homomor smo

= a . b, pois 1 id

= 1(x) . 1(y).

Finalmente, como (1A) = 1B e bijetora, segue que 1 (1B) = 1A. Conclumos,

assim, que 1 : B A um homomor smo.

C E D E R J 27

AU

LA 2Atividade Final 1

a. () Suponha que a sobrejetora. Vamos mostrar que a invertvel.

De fato, como a sobrejetora, existe a' A tal que a (a') = 1A, isto , a . a' = 1A. Logo, a' o elemento inverso de a, isto , a invertvel.

() Reciprocamente, suponha que a invertvel. Vamos mostrar que a

sobrejetora.

Seja b A um elemento qualquer. Temos que

a (a. b) = a . (a. b), pela de nio de a

= (a . a) . b

= 1A . b, pois a invertvel

= b.

Mostramos, assim, que para qualquer que seja b A, existe x = a-1 . b tal que a (x) = a. Portanto, conclumos que a sobrejetora.

b. Vamos mostrar que injetora. Suponhamos que a (x) = a(y), isto ,

a . x = a . y. Logo, a . x a . y = 0 e, portanto, a . (x y ) = 0. Como A domnio de

integridade e a 0, segue que x y = 0, isto , x = y, o que prova que a injetora.

c. a homomor smo somente no caso em que a = 1A , pois

a(x . y) = a . (x . y )

e

a(x) . a(y) = a2 . (x . y ).

Para serem iguais, necessrio que a = a2, isto , a = 1A.

28 C E D E R J


Atividade Final 2

Vamos veri car os axiomas de homomor smo para a composio g. Dados

a, b A, temos

H1.

( g)( a + b) = (g ( a + b)), pela de nio de composio

= (g (a) + g (b)), pois g homomor smo;

= (g (a)) + (g (b)), pois homomor smo;

H2.

( g)( a . b) = (g ( a . b)), pela de nio de composio

= (g (a) . g (b)), pois g homomor smo;

= (g (a)) . (g (b)), pois homomor smo;

H3.

( g)(1A) = (g (1A)), pela de nio de composio

= (1B), pois g homomor smo;

= 1C , pois homomor smo.

Assim, provamos que a composio g um homomor smo de anis.

b. Suponhamos que A isomorfo a B e B isomorfo a C. Queremos provar que

A isomorfo a C. Como A B e B C, ento existem isomor smos g A B

e B C. Como e g so homomor smos, ento, pelo item a), g A C

tambm um homomor smo. Agora, voc sabe que se e g so funes bijetoras,

ento a composio g tambm bijetora. Portanto, conclumos que g A

C um homomor smo bijetor, ou seja, g A C um isomor smo de anis.

Assim, conclumos que A C .

Teorema do homomor smo 3ob

jetivo

s

AU

LA

Metas da aula

Pr-requisitos

Apresentar o teorema do homomor smo de anis e sua demonstrao. Realizar outra demonstrao

do teorema do resto chins.


Demonstrar o teorema do homomor smo.

Demonstrar que os anis Zn e Z /nZ so isomorfos.

Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 de

lgebra I, e Aulas 1 e 2 deste curso.

30 C E D E R J

lgebra II | Teorema do homomor smo

Todo homomor smo gera um isomor smo entre um anel quociente e o anel

imagem do homomor smo. Esse importante resultado ser o tema desta aula.

Como aplicao, vamos rever o teorema do resto chins, visto no seu curso de

lgebra I, obtendo, agora, uma nova demonstrao.

Vamos comear revendo a de nio de isomor smo de anis, apresentada

na aula anterior.

DEFINIO 1

Um homomor smo AB chamado de um isomor smo se

for, tambm, uma bijeo. Nesse caso, dizemos que A e B so isomorfos

e denotamos A B.

O resultado principal desta aula, o teorema do homomor smo,

similar a um resultado correspondente sobre os homomor smos de

grupos, apresentado no curso de lgebra I.

Lembre, da aula anterior, que dado o homomor smo de anis

AB, ento o conjunto imagem de A, (A), um subanel de B e o

ncleo de , N(), um ideal de A.

TEOREMA DO HOMOMORFISMO DE ANIS

Dado um homomor smo A B entre os anis A e B,

ento existe um isomor smo de anis : A/N () Aque satisfaz , onde AA/N () o homomor smo cannico.

Representamos esse resultado pelo seguinte esquema.

de suma importncia que voc acompanhe passo a passo todas

as etapas desta demonstrao. Ela longa e ser dividida em vrias

etapas para facilitar a sua compreenso. Para que voc no se perca

na argumentao, leia e releia com ateno cada uma de suas etapas.

Certi que-se de que voc entendeu cada passagem e faa suas prprias

anotaes, justi cando as passagens que voc considera mais difceis.

Vamos l ento!

INTRODUO

A/N () A

A AB

A/N ()

C E D E R J 31

AU

LA 3

Demonstrao

Vamos dividir a demonstrao em alguns passos.

1o Passo: Vamos de nir uma funo : A/N() A! segundo o diagrama anterior.

Para isso, de nimos (a) (a) para todo a a + N() A/N(). Ento, precisamos provar que , de fato, uma funo bem de nida, o que signi ca mostrar que se a b, ento (a) (b), ou seja, se a b, ento (a) (b). Suponhamos, ento, que a b. Da aula anterior, sabemos que N() um ideal de A, logo, a b N() e, portanto,

(a b) 0B. Assim,

(a) (b) (a b) 0B,ou seja,

(a) (b),ou, equivalentemente, pela de nio de , que (a) (b). Conclumos, assim, que , de fato, uma funo de A/N () em (A).

2o Passo: Vamos mostrar que um homomor smo. Para isso, basta veri car que satisfaz os axiomas de homomor smo vistos na Aula 2.

Se a, b A/N (), temos:

H1.

(a + b) (a + b) (a + b) pela de nio de (a) + (b) pois homomor smo (a) + bpela de nio " H2.

(a . b) (a . b) (a . b) pela de nio de (a) . (b) pois homomor smo (a) . (b)pela de nio " H3.

(1A) (1A) pela de nio de 1A pois homomor smo.

Conclumos, assim, que a funo um homomor smo entre os anis A/N () em (A).

32 C E D E R J


3o Passo: Vamos provar, agora, que uma funo bijetora. Vamos comear provando que ela injetora. Pela Proposio 2, item 2,

da Aula 7, basta mostrar que N () #0A$. Seja a N(), ento, pela de nio de , (a) (a) 0B, ou seja, a N(). Portanto, a a % N() 0A. Isso prova que N () #0A$.

Caso voc ache essa argumentao muito abstrata, vamos

apresentar a demonstrao clssica de injetividade, que consiste em

provar que se (a) b, ento a b. De fato, se (a) b , temos que (a) b, pela de nio de , logo (a) b 0. Da,

(a b) (a) (b) 0,

e isso signi ca que a b N(), ou seja, a b. Pois, lembre que a A/N().

Finalmente, uma funo sobrejetora, pois dado y (A) arbitrrio, ento existe a A tal que y (a) e, como (a) a, segue que y (a).

Conclumos, assim, que a funo A/N () A, de nida por (a) a, um homomor smo bijetor, ou seja, um isomor smo e, portanto, temos A/N () A.

Esperamos que voc tenha apreciado a demonstrao desse belo

teorema. Uma conseqncia imediata do Teorema do Homomor smo :

Corolrio 1

Se AB um homomor smo sobrejetor, ento A/N () e B so anis isomorfos, isto , A/N () B.

Demonstrao

Como sobrejetora, temos (A) B e, pelo teorema do homomor smo, temos A/N () A. Portanto, conclumos que

A/N () B.

C E D E R J 33

AU

LA 3

ATIVIDADE

Corolrio 2

Seja n Z, n & 0. Ento os anis Z/nZ e Zn so isomorfos, isto , Z/nZ Zn .

A demonstrao deste corolrio voc vai realizar, agora, como

sua primeira atividade desta aula.

1. Nesta atividade, voc vai demonstrar o Corolrio 2. Para isso, seja Z Zn

a funo dada por aa, onde a a classe residual de a mdulo n. Mostre que:

a) um homomor smo sobrejetor;

b) N() nZ;

c) Z/nZ Zn.

Agora, vamos utilizar o corolrio anterior para provar o teorema

do resto chins.

TEOREMA DO RESTO CHINS

Sejam m, n Z, m, n & 0, tais que mdc(m, n) = 1. Ento os anis Zmn e Zm X Zn so isomorfos.

Lembre que Zmn #[a]mn a Z } e Zm X Zn #[a]m , [a]n) [a]mn Zm e [a]n Zn }. Lembre, tambm, que dois inteiros m e n com mdc(m, n) = 1 so chamados de primos relativos (ou, primos entre si), o que

signi ca que m e n no tm divisor primo comum.

Demonstrao

Consideremos a funo Z Zm X Zn de nida por a [a]m , [a]n), onde [a]m e [a]n denotam as classes residuais de a Z, mdulo m e mdulo n, respectivamente.

34 C E D E R J


ATIVIDADE

1o Passo: provar que f um homomor smo de anis.

A demonstrao desse fato mais uma atividade proposta

para voc.

2o Passo: vamos mostrar que N() mnZ, onde N() o ncleo de .

Vamos comear pela primeira incluso: N() ' mnZ. Se a mnZ, ento a mltiplo de mn, isto , mn a (lembre que esse smbolo significa mn divide a). Como m mn e n mn, temos

que m a e n a , ou seja, [a]m [0]m e [a]n [0]n. Assim, a [a]m , [a]n) [0]m , [0]n) 0Zm x Zn . Isso signi ca que a N().

Vamos provar, agora, a segunda incluso: N() mnZ. Seja a N(), ento a [a]m , [a]n) 0Zm x Zn [0]m , [0]n). Da, segue que [a]m [0]m e [a]n [0]n. Logo, m a e n a . Como m a, n a e mdc(m,n) ento, por propriedade conhecida do seu curso de lgebra I, segue que m a, ou seja, a mltiplo de mn. Portanto, a mnZ.

Conclumos assim, que N() mnZ.

3o Passo: vamos provar que Zmn (Z).

Nos passos anteriores mostramos que : Z Zm X Zn

um homomorfismo com ncleo N() mnZ. Pelo Teorema do Homomor smo, segue que Z/mnZ (Z). Agora, pelo Corolrio 2, segue que Zmn Z/mnZ. Logo, pela Proposio 3 da Aula 7, segue que Zmn (Z).

2. Prove que funo ZZm X Zn, de nida por a [a]m , [a]n), um homomor smo de anis.

Veja que propriedades voc deve provar e tente adaptar as provas parecidas que j zemos.

C E D E R J 35

AU

LA 3

4o Passo: para nalizar, vamos mostrar que Z)Zm X Zn.

Como Zmn e f(Z) so isomorfos, ento Zmn e Z) tm o mesmo

nmero de elementos. Sabemos que Zmn tem m . n elemento, portanto,

Z) tambm tem m.n elementos. Mas, Z) Zm X Zn. Como

Zm X Zn tambm tem m.n elementos, conclumos que Z)Zm X Zn.

Dos passos anteriores, conclumos que Zmn Zm X Zn sempre

que mdc(m,n) 1.

ATIVIDADE FINAL

Sejam n, K Z, n, K & 0. Seja ZKnZn de nida por [a]Kn ) [a]n, onde [a]Kn e [a]n so as classes residuais de a, mdulo kn e mdulo n, respectivamente.

a) Mostre que um homomor smo de anis.

b) Mostre que N() nZKm #n . [x]Kn [x]Kn ZKn }.

c) Mostre que sobrejetora e conclua que os anis ZKn / nZKn e Zn so isomorfos,

isto , ZKn /nZKm Zn.

R E S U M O

Nesta aula, voc viu o importante teorema do homomor smo, muitas vezes

tambm chamado de teorema do isomor smo. Esse teorema a rma que dado um

homomor smo de anis AB, ento os anis A/N () eA so isomorfos. Ele um mecanismo de criao de isomor smos e, assim, uma importantssima

ferramenta de comparao de anis. Fizemos uma bela aplicao desse teorema

quando provamos o teorema do resto chins, que a rma que os anis Zmn e Zm

X Zn so isomorfos sempre que mdc(m,n) = 1.

36 C E D E R J


Atividade 1

a) Para mostrar que homomor smo, sejam a, b Z, ento

H1. (a + b) a + b a + b (a) %(b);

H2. (a . b) a . b a . b (a) "(b);

H3. () Zn ,

ou seja, um homomor smo. Mais ainda, um homomor smo sobrejetor, pois,

dado a Zn , temos (a) a com a Z.

b) Para provar que os dois conjuntos so iguais, seja

a N(((a) 0

(a 0

(a )0 (mod n)

(n a

(a nZ.

Assim, conclumos que N( nZ.

c) Sabendo que : Z Zn um homomor smo sobrejetor, segue, agora,

diretamente do corolrio 1, que Z /N( Zn. E, como N( nZ, ento, conclumos que Z /nZ Zn.

Atividade 2

Precisamos veri car que : Z Zm x Zn, de nida por a [a]m , [a]n), satisfaz os trs axiomas de homomor smo.

H1.

(a + b) = ([a + b]m , [a + b]n), para todo a, b Z

([a]m + [b]m , [a]n + [b]n)

([a]m + [a]n ) + [b]m + [b]n)

a+ b*

RESPOSTAS

C E D E R J 37

AU

LA 3

H2.

(a . b) = ([a . b]m , [a . b]n), para todo a, b Z

([a]m . [b]m , [a]n . [b]n)

([a]m , [a]n ) + ([b]m , [b]n)

a. b*

H3. (1) = ([1]m , [1]n) Zm X Zm .

Assim, conclumos que um homomor smo de anis.

Atividade Final

a) Vamos veri car que f satisfaz os axiomas de homomor smo. Sejam a, b Z, ento

H1.

([a]Kn . [b]Kn) ([a + b]m ), para todo a, b Z

[a + b]n , pela de nio de

[a]n + [b]n a+ b*

H2.

([a]Kn . [b]Kn) ([a . b]Kn ) para todo a, b Z

[a . b]n , pela de nio de

[a]n . [b]n a. b*

H3.

(1ZKn) ([1]Kn )

[1]n !pela de nio de

1Zn .

Assim, conclumos que um homomor smo de anis.

38 C E D E R J


b) Vamos calcular o ncleo de . Sabemos que N() {[a]Kn ZKn ([a]Kn ) 0Zn [0]n }. Temos

([a]Kn ) [0]n ( [a]n [0]n ( a nt, t Z

( [a]Kn n. [t]Kn ( [a]Kn nZKn.

Portanto, conclumos que N( nZKn #n . [x]Kn [x]Kn ZKn }.

c) Para mostrar que : ZKn Zn sobrejetora, basta observar que dado [a]n

Zn, ento ([a]n ) [a]n . Agora, pelo Teorema do Homomor smo, conclumos que ZKn/ N( Zn e, como N( nZKn , temos ZKn / nZKn Zn.

4ob

jetiv

os

AU

LA

Meta da aula

Divisibilidade em anis


Operar com as propriedades bsicas de divisibilidade.

Operar com o conceito de mximo divisor comum.

Demonstrar propriedades do mximo divisor comum.

Apresentar a teoria bsica de divisibilidade em anis e o conceito de mximo divisor comum.

Pr-requisito

Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de lgebra I,

e das Aulas 1 e 2 deste curso.

40 C E D E R J

lgebra II | Divisibilidade em anis

INTRODUO Nesta aula, vamos imitar a teoria de divisibilidade desenvolvida para os nmeros

inteiros, agora, no contexto dos anis. A sensao que voc deve ter a de

uma repetio da construo dos conceitos de divisibilidade desenvolvidos no

curso de lgebra I.

Vamos comear apresentando a noo de divisor em um anel.

De nio 1

Sejam A um anel e a, b A . Dizemos que a divide b, e denotamos a b, se existe um elemento c A tal que b = c . a. Nesse caso, dizemos tambm que a um divisor de b, ou que a um fator de b, ou que b

um mltiplo de a, ou, ainda, que b divisvel por a.

Se no existe um elemento c tal que b = c . a, diremos que a no

divide b, o que denotamos por a , b.

Exemplo 1

No anel dos inteiros Z, temos:

i. 4 12, pois 12 = 3.4;

ii. (5) 35, pois 35 = 7. (5);

iii. 4 11, pois no existe c Z tal que 11 = c . 4.

Exemplo 2

No anel Q dos nmeros racionais, temos 4 7, pois 7 = . 4

e -/

Q.

Exemplo 3

No anel Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dos inteiros mdulo 8,

temos:

i. 2 6, pois 6= 3 . 2;

ii. 5 2, pois 2 = 2 . 5.

iii. 4 7, pois voc pode facilmente veri car que no existe c Z8 tal que 7 = c . 4.

Veremos, agora, uma seqncia de propriedades de divisibilidade

num anel A. Observe que elas so semelhantes s propriedades sobre

divisibilidade dos nmeros inteiros.

-/

C E D E R J 41

AU

LA 4Proposio 1

Sejam a, b, c, d,... elementos de um anel A. Ento:

1. a a e a 0A, onde 0A o elemento neutro da adio de A.

2. Se u um elemento invertvel em A, ento u a. Em particular,

1A a, onde 1A o elemento neutro da multiplicao de A.

3. Se a b e b c, ento a c.

4. Se a b, ento a b . c.

5. Se a b e a c, ento a (b + c) e a (b c).

6. Se a b e a c, ento a (x . b + y . c), para todo x, y A.7. Se a b e c d, ento a . c b . d.

8. Se a (b + c) e a c, ento a c.

Demonstrao

Lembre que costumamos denotar 0A por 0 e 1A por 1, sempre

que no houver risco de confuso.

1. Como 0 = 0 . a para todo a, ento, da de nio de divisibilidade,

conclumos que a 0 . E, tambm, como a = 1 . a, conclumos que a a.

2. Temos que

a = a . 1

= a. (u1. u), pois u invertvel

= (a . u1) . u.

Como a . u1 A, conclumos que a mltiplo de u, o que signi ca que u a. Em particular, como 1 um elemento invertvel de A, ento

1 a. Essa ltima a rmao tambm pode ser facilmente veri cada de

modo direto, pois a = a . 1.

3. Supondo que a b e b c, ento existem elementos s, t A tais que b = s . a e c = t . d. Logo,

c = t . b

= t . (s . a), pois b = s . a

= (t . s) . a.

Como t . s A, conclumos que c mltiplo de a, o que prova que a c.

Observe que nas provas das propriedades usamos somente a

de nio de divisibilidade e as propriedades de anel j conhecidas. Tente,

agora, montar argumentos semelhantes para demonstrar a propriedade 4.

Esta ser a sua primeira atividade desta aula.

42 C E D E R J


Continuaremos, agora, com as demonstraes das outras

propriedades. Observe, primeiramente, que a propriedade 5

um caso particular da propriedade 6. Portanto, vamos primeiro

provar a propriedade 6 e, depois, tirar como conseqncia a validade

da propriedade 5. Observe que este tipo de argumento, ou seja, provar

uma propriedade mais geral e tirar um caso particular como conseqncia,

muito comum na matemtica.

6. Supondo que a b e a c, ento existem elementos s, t A tais que b = s . a e c = t . a. Assim, para todo x, y A, temos que

x . b + y . c = x . (s . a) + y . (t . a), pois b = s . a e c = t . a

= (x . s) . a + (y . t) . a

= (x . s + y . t) . a.

Como x, y, s, t A e A um anel, ento x . s + y . t A. Portanto, temos que x . b + y . c mltiplo de a, o que prova que a (x . b + y . c).

Vamos concluir a prova da propriedade 5.

5. Observe que, na propriedade 6, tomando x = y = 1, obtemos

que a (b + c). Agora, tomando x = 1 e y = 1, obtemos a (b c).

A prxima propriedade (a 7a) ser mais uma atividade para voc.

Tente imitar os argumentos usados anteriormente.

1. Prove que se a b, ento a b . c.

2. Prove que se a b e c d, ento a . c b . d.

ATIVIDADE

ATIVIDADE

C E D E R J 43

AU

LA 4Vamos, agora, demonstrar a ltima propriedade.

8. Supondo que a (b + c) e a b, ento existem elementos s, t A tais que b + c = s . a e b = t . a. Logo,

c = (b + c) b

= s . a t . a, pois b + c = s . a e b = t . a

= (s t) . a

Como s t A, conclumos que c mltiplo de a, o que prova que a c.

Lembre que no anel Z dos nmeros inteiros vale uma propriedade

que diz que se a b e b a, ento b = a ou b = a. Agora, observe que 1

e 1 so os nicos elementos invertveis de Z e que Z um domnio de

integridade. Lembre, tambm, que um domnio de integridade um anel

que no tem divisores de zero, isto , no existem elementos no-nulos a e b

tais que a . b = 0. Isso nos d a motivao para a prxima propriedade.

Proposio 2

Sejam a e b dois elementos de um domnio de integridade A.

Ento, a b e b a se, e somente se, existir um elemento invertvel

u A , tal que b = u . a.

Demonstrao

() Supondo que a b e b a, vamos mostrar que existe um

elemento invertvel u A, tal que b = u . a.Como a b e b a, ento existem elementos u e t em A, tais que

b = u . a e a = t . b.

1o caso: b = 0. Nesse caso, temos a = t . b = t . 0 = 0, o que prova

que b = a = 1 . a. Veja que, nesse caso, podemos escolher u = 1, concluindo

que b = 1 . a, sendo 1 um elemento invertvel.

2o caso: b 0. Nesse caso, temos

b = u . a

= u . (t . b), pois a = t . b

= (u . t) . b.

44 C E D E R J


Como A um domnio de integridade e b 0, vale a lei do

cancelamento em A (veja a Proposio 2 da Aula 4) para o elemento

b, ou seja,

(u . t) . b = 1 . b e b 0 u . t = 1.

Como u . t = 1 e t A, conclumos que o elemento u invertvel. Da, segue que b = u . a com u invertvel em A.

() Agora, supondo que b = u . a, com u invertvel em A, vamos

provar que a b e b a.

Como b = u . a, temos que b mltiplo de a, ou seja, a b. Agora,

sendo u um elemento invertvel de A, temos que

b = u . a a = u1 . b.

Como u1 A, j que u invertvel, conclumos que a mltiplo de b, ou seja, b a.

Em particular, voc pode obter outra demonstrao para a

propriedade dos nmeros inteiros mencionada anteriormente. Esta ser

sua prxima atividade.

3. Use a Proposio 2 para provar que se a e b so dois nmeros inteiros,

tais que a b e b a, ento b = a ou b = a.

De nio 2

Dois elementos, a e b, de um anel A so chamados de elementos

associados se existir um elemento invertvel u A tal que b = u . a.

Assim, podemos reescrever a Proposio 2 nessa nova linguagem.

ATIVIDADE

C E D E R J 45

AU

LA 4Proposio 3

Em um domnio de integridade A, dois elementos a e b so

associados se, e somente se, a b e b a.

Vamos, agora, estender para um anel qualquer o conceito de mximo

divisor comum, j conhecido do seu estudo do anel dos inteiros Z. Daremos

inicialmente a de nio para dois elementos de um anel.

De nio 3

Sejam dois elementos, a e b, de um anel A; dizemos que um

elemento, d A, um mximo divisor comum de a e b se: MDC1. d um divisor comum de a e b, isto , d a e d b;

MDC2. todo divisor comum q de a e b tambm divisor de d,

isto , se q a e q b, ento q d.

Nesse caso, dizemos, simplesmente, que d um mdc de a e b e

denotamos d = mdc(a, b).

A relao imediata que temos para dois mximos divisores

comuns de a e b est contida na prxima propriedade.

Proposio 4

Sejam dois elementos, a e b, de um anel A com mximo divisor

comum d. Um elemento d1 A um mximo divisor comum de a e b se, e somente se, d1 d e d d1.

Demonstrao

() Estamos supondo que d1 um mdc de a e b. Ento, em

particular, d1 a e d1 b, isto , d1 um divisor comum de a e b. Como

d um mdc de a e b, ento temos que, por MDC2, d1 d.

Por outro lado, como d um mdc de a e b, ento, por MDC1

compreendemos que d a e d b. E, agora, como d1 um mdc de a e

b, ento, por MDC2, temos d d1.

() Estamos supondo, agora, que d1 d e d d1. Queremos

concluir que d1 um mdc de a e b.

46 C E D E R J


Como d um mdc de a e b, ento d a e d b. Agora, como

d1 d, temos, pela Proposio 1.3, que d1 a e d1 b, ou seja,

d1 d e d a d1 a e

d1 d e d1 b d1 b,

portanto d1 um divisor comum de a e b. Agora, dado qualquer

divisor q de a e b temos, por MDC2, que q d. Da hiptese, temos que

d d1. Assim, temos:

q d e d d1 q d1,

ou seja, todo divisor q de a e b tambm divisor de d1. E, com

isso, conclumos que d1 tambm um mdc de a e b.

Num anel, elementos que se comportam do mesmo modo quanto

divisibilidade so chamados de elementos associados. A seguir veremos

sua de nio formal.

Veja, agora, como ca a relao entre dois mximos divisores

comuns de dois elementos num domnio de integridade.

Proposio 5

Sejam dois elementos, a e b, de um domnio de integridade A com

mximo divisor comum d. Um elemento, d1 A, um mximo divisor comum de a e b se, e somente se, d1 associado a d.

Demonstrao

() Estamos supondo que d1 A um mximo divisor comum de a e b e queremos provar que d1 associado a d. Pela Proposio 3, temos

que d1 d e d d1, agora, pela Proposio 4, j que A um domnio de

integridade, segue que d1 e d so elementos associados.

()Supondo, agora, que d1 associado a d, ento, pela Proposio

4, j que A um domnio de integridade, temos d1 d e d d1. Depois,

pela Proposio 3, segue que d1 um mximo divisor comum de a e b.

C E D E R J 47

AU

LA 4ATIVIDADE FINAL

Mostre que a relao binria no anel A, de nida por a ~ b ( a associado a b,

uma relao de equivalncia.

R E S U M O

Nesta aula, vimos o conceito de divisibilidade num anel A, em que dizemos que

a divide b quando existe um elemento c A, tal que b = c . a. Em seguida, vimos muitas propriedades de divisibilidade, todas elas generalizaes de propriedades

semelhantes aos nmeros inteiros. Depois, vimos o conceito de mximo divisor

comum, que um divisor comum que mltiplo de todos os demais divisores

comuns, e de elementos associados, onde a e b so associados se existir elemento

invertvel u A, tal que b u . a.

48 C E D E R J


Atividade 1

Se a b, ento existe S A, tal que b = s . a. Assim,

b . c = (s . a) . c, pois b = s . a

= s . (a . c)

= s . (c . a)

= (s . c) . a, mltiplo de a,

o que prova que a b . c.

Atividade 2

Se a b e c d, ento existem elementos s e t no anel A, tais que b = s . a e d = t . c.

Logo,

b . d = (s . a) . (t . c), pois b = s . a e d = t . c.

= (s . t) . (a . c), mltiplo de a . c,

o que prova que a . c b . d.

Atividade 3

Pela Proposio 2, como a b, b a e Z um domnio de integridade, ento b = u . a

com u invertvel em Z . Como os nicos elementos invertveis em Z so 1 e 1, segue

que b = a ou b = a.

Atividade Final

A relao re exiva, isto , a ~ a , pois a = 1A . a e o elemento 1A invertvel.

A relao simtrica, isto , a ~ b b ~ a, pois

RESPOSTAS

C E D E R J 49

AU

LA 4a ~ b existe elemento invertvel u A, tal que b u . a.

a u1 . b e u1 um elemento invertvel

b ~ a.

A relao transitiva, isto , a ~ b e b ~ c a ~ c, pois

a ~ b e b ~ c b u . a e c v . b com u e v elementos invertveis

c v . b = (v . u) . a com v . u um elemento invertvel

a ~ c.

Assim, a relao ~ sendo re exiva, simtrica e transitiva, faz dela uma relao

de equivalncia.

5ob

jetiv

os

AU

LA

Meta da aula

Introduo aos polinmios

Apresentar o conceito de um polinmio com coe cientes num anel A.


Reconhecer um polinmio sobre um anel A.

Determinar o grau de um polinmio.

Determinar se um escalar uma raiz de um polinmio.

Pr-requisitos

Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso

de lgebra I, e da Aula 1 deste curso.

52 C E D E R J

lgebra II | Introduo aos polinmios

INTRODUO Como todo estudante, voc j deve ter visto expresses como

x + x2, 5 + x3, 17 + x2 + 2x3.

Essas expresses so conhecidas como polinmios, mais exatamente, polinmios

de uma varivel. Nesses exemplos, os coe cientes que aparecem pertencem

ao corpo dos nmeros reais.

Nesta aula, comearemos a estudar essas expresses num contexto mais geral,

o que permitir considerar os coe cientes dos polinmios pertencendo a um

anel qualquer. Assim, nosso estudo abranger expresses tais como

x + x2 com , Z4 , por exemplo.

Para estudarmos essas expresses, de niremos as operaes de soma e produto

de polinmios e veremos, nesse contexto, que o conjunto dos polinmios forma

um anel, chamado um anel de polinmios.

Considere (A, +, .) um anel. Lembre que isso signi ca um anel comutativo e com unidade (1A A). No que se segue, a letra x denotar uma varivel ou um smbolo.

DEFINIO 1

Um polinmio na varivel x com coe cientes no anel A uma

soma da forma

a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ...

onde cada ai A e ai = 0 para todo i su cientemente grande (e isso signi ca que existe n N tal que ai = 0 para todo i > n).

Os escalares ai so chamados de coe cientes do polinmio. Assim,

a0 o coe ciente constante;

a1 o coe ciente do termo linear x;

a2 o coe ciente do termo quadrtico x2;

a3 o coe ciente do termo cbico x3.

Como temos os coeficientes a1 = 0 para todo i > n,

podemos denotar o polinmio a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... por

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn.

3 5 53

C E D E R J 53

AU

LA 5Exemplo 1

Isso signi ca que o polinmio 1 + 2x + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 +

0x6 + ... ser denotado por

1 + 2x + 3x2 + x3 ou f(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3.

O polinmio cujos coe cientes so todos iguais a zero,

0 + 0x + 0x2 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + ...,

chamado polinmio nulo, ser denotado simplesmente por 0.

Observe, tambm, no caso a seguir, que a falta do termo x2 em

f(x) = 4 + 2x x3

signi ca que o coe ciente de x2 igual a zero, isto , a2 = 0.

DEFINIO 2

Denotamos o conjunto dos polinmios sobre o anel A por

A[x] = {Polinmios na varivel x com coe cientes em A}

= {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn ai A e n N}.

Exemplo 2

Temos

Z [x] = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn ai Z e n N};

Q [x] = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn ai Q e n N};

R [x] = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn ai R e n N};

C [x] = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn ai C e n N};

Zm [x] = { + x + x2 + x3 + ... + x

n Zm e n N} .

73

a0 a1 a2 a3 aian

54 C E D E R J


ATIVIDADE

Assim, temos tambm

p(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3 Z[x];

f(x) = 4 + 2x x3 Q[x], mas f(x) Z[x], pois Z;

g(x) = (3 + 2) (1 + 2) x3 R[x], mas g(x) Q[x], pois 3 + 2 Q;

h(x) = (2 i)x + (4 + 1)x4 C[x], mas h(x) R[x], pois 2 i R.

Lembre que C representa o corpo dos nmeros complexos, ou

seja,

C = {a + bi a, b C e i = 1}.

Algumas observaes so muito importantes:

1. A A[x]. Os elementos do anel A, em A[x], fazem o papel dos

polinmios constantes, f(x) = a0 (com a1 = 0 para todo i > 0).

2. Se A e B so anis e A B, ento A[x] B[x].

Esta ltima observao consiste na sua primeira atividade.

1. Prove que se A e B so anis e A B, ento A[x] B[x].

Na teoria dos polinmios, o ltimo termo no-nulo exerce um papel importante. esse termo que vamos estabelecer na prxima de nio.

73

73

0 00

0

C E D E R J 55

AU

LA 5DEFINIO 3

Seja A um anel e f(x) um polinmio em A[x] tal que

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn com an 0 e n 1 0.

Neste caso, dizemos que o polinmio f(x) tem grau n e denotamos

gr( f ) = n. O coe ciente an chamado de coe ciente lder. Em particular,

quando o coe ciente lder for igual a 1,

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + xn, an = 1,

dizemos que f(x) um polinmio mnico. Observe, tambm, que

no estamos de nindo o grau do polinmio nulo.

Exemplo 3

a) O polinmio

f(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3 Z[x]

tem grau 3, gr( f ) = 3. Observe que f(x) um polinmio mnico

b) O polinmio

p(x) = 3 + 4x2 + 5x4 Z7[x]

tem grau 4, gr(p) = 4. Observe que p(x) no um polinmio

mnico.

c) O polinmio

g(x) = (1 i)x + 2ix3 + x5 C[x]

tem grau 5, gr(g) = 5. Observe que g(x) um polinmio mnico.

Vamos estudar, agora, a igualdade de dois polinmios.

56 C E D E R J


DEFINIO 4

Sejam f(x) e g(x) dois polinmios em A[x], digamos,

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn.

e

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x

3 + ... + bmxm.

Dizemos que os polinmios f(x) e g(x) so iguais, e denotamos

f(x) = g(x), se

ai = bi para todos os valores de i.

Em particular, observe que se gr (f) = n e gr(g) = m, ento

n = m. Assim, dois polinmios so iguais, se eles tiverem o mesmo grau

e se seus coe cientes correspondentes forem iguais.

Exemplo 4

Os polinmios

f(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3 Z[x]e

g(x) = 1 + 2x 3x2 + x3 Z[x]

no so iguais, pois a2 = 3 3 = b2. J os polinmios

p(x) = 1 + 3x2 + x3 Z[x] e

q(x) = 1 + 0x + 3x2 + x3 Z[x]

so iguais, pois todos os seus coe cientes correspondentes so iguais.

Voc provavelmente j conhece os conceitos de valor de um

polinmio e raiz ou zero de um polinmio. Vamos, ento, relembr-los.

C E D E R J 57

AU

LA 5DEFINIO 5

Dados um polinmio f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn

A[x] e um escalar 2 A, dizemos que

f(2) = a0 + a12 + a222 + a32

3 + ... + an2n

o valor de f em 2. Como A um anel e, portanto, fechado sob

as operaes de adio e multiplicao, ento temos

f(2) = a0 + a12 + a222 + a32

3 + ... + an2n A.

No caso em que f(2) = 0, dizemos que 2 uma raiz de f ou um

zero de f em A.

Exemplo 5

Seja f(x) = 3 + 2x 5x3 Z[x]. O valor de f(x) em 2 = 2

f(2) = 3 + 2 . 2 5 . 23

= 3 + 4 40

= 33.

Ento, temos f(2) = 33 e, em particular, 2 = 2 no uma raiz

de f(x). Agora, para 2 = 1 temos o valor

f(1) = 3 + 2 . 1 5 . 13

= 3 + 2 5

= 0.

Portanto, j que 1 Z, 2 = 1 uma raiz de f(x) em Z.

Exemplo 6

Seja g(x) = 1 + 2x + 2x2 Z3 [x], onde Z3 = { 0, 1, 2} o anel das classes residuais mdulo 3. Os valores que g(x) assume em Z3 so:

g(0) = 1 + 2 . 0 + 2 . 02

= 1 + 0 + 0

= 1 Z3 ;

58 C E D E R J


g(1) = 1 + 2 . 1 + 2 . 12

= 1 + 2 + 2

= 5

= 2 Z3 ;

g(2) = 1 + 2 . 2 + 2 . 22

= 1 + 4 + 8

= 13

= 1 Z3 ;

Como g( ) 0, g(1) 0 e g(2) 0, ento o polinmio g(x) = 1

+ 2x + 2x2 Z3 [x] no tem raiz em Z3. Observe que 3 = 0, 1, 2 so as nicas possibilidades de raiz em Z3 e, uma vez descartadas estas, podemos

concluir que o polinmio no tem razes em Z3.

Exemplo 7

Seja h(x) = 1 + x2 R[x]. O valor de h(x) no escalar 2 R dado pela expresso

h(2) = 1 + 22

= 22 + 1 R.

Sabemos que, dado 2 R , ento 22 1 0. Assim,

22 + 1 > 0,

isto , a expresso 22 + 1 ter sempre um valor positivo e, portanto,

nunca ser igual a zero para qualquer que seja o valor de 2 R. Assim, conclumos que h(2) 0 para todo 2 R e isso signi ca que o polinmio h(2) = 1 + x2 R[x] no possui raiz em R. Dizemos que h(x) R[x] no tem razes reais.

Por outro lado, temos

R C

e, portanto,

R[x] C[x].

0

C E D E R J 59

AU

LA 5Agora, dado i C, i = 1, temos

h(i) = 1 + i2

= 1 + (1)

= 0,

ou seja, 2= i uma raiz de h(x) = 1 + x2 em C. Dizemos que i uma raiz complexa de h(x). Veja, tambm, que 2= i outra raiz complexa de h(x) = 1 + x2, j que

h(i) = 1 + (i)2

= 1 + (1)

= 0.

Observe que o exemplo anterior teve o propsito de ressaltar o

fato de quando falamos em raiz de um polinmio, devemos especi car

o anel com o qual estamos trabalhando. Mais especi camente, dizer,

simplesmente, o polinmio h(x) = 1 + x2 no tem raiz, consiste numa

a rmao incompleta, pois vimos que este polinmio no tem razes

reais, mas tem razes complexas.

Vamos ver, agora, uma propriedade muito simples, porm muito

importante sobre razes nulas de um polinmio.

Proposio 1

Seja o polinmio f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn

A[x] com raiz nula, isto , com f(0) = 0. Ento o coe ciente constante

igual a zero, ou seja, a0 = 0, e f(x) da forma

f(x) = a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn .

Demonstrao

De f(0) = 0 segue que

a0 + a1 . 0 + a2 . 02 + a3 . 0

3 + ... + an . 0n = 0,

o que nos d

a0 = 0.

Portanto, (x) = a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn .

0

60 C E D E R J


ATIVIDADES FINAIS

1. Seja f(x) = x2 2 Q[x]. Use o fato de 2 Q para mostrar que f(x) no tem razes racionais. Veri que que f(x) possui razes reais e encontre essas razes.

2. Determine o polinmio f(x) R[x] , de 3o grau, que apresenta uma raiz nula e satisfaz a condio f(x 1) = f(x) + (2x)2 para todo x real.

3. Com o auxlio do polinmio obtido no exerccio anterior, calcule a soma 22 +

42 + ... + (2n)2, onde n 1 1 um nmero natural.

R E S U M O

O conceito de polinmio em uma varivel dado por:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn ,

com coe cientes a0 , a1 , a2 , ... , an num anel A. O grau de um polinmio o

maior valor de n tal que an 0. O conceito de raiz de um polinmio um escalar

2Atal que f(2) = 0.

0

C E D E R J 61

AU

LA 5

Atividade 1

Dado o polinmio

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn A[x],

ento os coe cientes a1 A para i = 0, 1, ... , n. Como A B, ento cada a1 B, e isto signi ca que

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn B[x].

Portanto, provamos que A[x] B[x].

Atividade Final 1

Veja que

f(x) = 0 ( x2 2 = 0

( x2 = 2

( x = 42

Assim, as nica razes de f(x) so os nmeros reais 2 e 2. Como 2 Q, ento f(x) no tem razes racionais. Mas f(x) tem duas razes reais, a saber, e.

Atividade Final 2

Como o polinmio f(x) de grau 3, ento podemos escrever

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d com a, b, c, d R e a 0.

Como f(0) = 0, temos, pela Proposio 1, que d 0 e, assim,

f(x) = ax3 + bx2 + cx.

0

0 0 0

RESPOSTAS

62 C E D E R J


Agora, substituindo x 0 em f(x 1) = f(x) + f(2x)2, obtemos

f(1) = f(0) + (2 . 0)2

= 0 + 0

= 0,

isto , f() = 0 . Portanto, 1 tambm uma raiz de f(x).

Substituindo x = 1 em f(x ) = f(x) + (2x)2 , obtemos

f(0) = f(1) + (2 . 1)2,

o que nos d

f(1) = f(0) 22

= 0 4

= 4,

isto , f(1) = 4. Finalmente, substituindo x 5 em f(x ) = f(x) + (2x)2, obtemos

f(2 ) = f(2) + (2 . 2)2 ,

o que nos d

f(2) = f(1) + 42

= 4 16

= 20,

isto , f(2) = 20. Agora, substituindo f(1) = 0, f(1) = 4 e f(2) = 20 em f(x) =

ax3 + bx2 + cx, obtemos o sistema linear

a + b c = 0

a + b + c = 4

8a + 4b + 2c = 20,

cuja soluo, usando as tcnicas j aprendidas no curso de lgebra Linear II,

a = 43

, b = 2 e c = 23

.

C E D E R J 63

AU

LA 5Portanto, temos

f(x) = x3 2x2 x.

Atividade Final 3

De f(x ) = f(x) + (2x)2 temos a expresso (2x)2 = f(x ) f(x) que usaremos na soma 22 + 42 + ... + (2n)2. Temos:

22 + 42 + ... + (2n)2 = (2 . 1)2 + (2 . 2)2 + ... + (2 . n)2

= (f(0) f(1)) + (f(1) f(2)) + ... + (f(n 1) f(n))

= f(0) f(n).

Agora, usando a expresso f(x) = 43

x3 2x2 x obtida na atividade anterior,

temos:

22 + 42 + ... + (2n)2 = f(0) f(n)

= 0 ( n3 2n2 n)

= n3 + 2n2 + n.

23

43

23

43

23

43

23

Operaes com polinmios

objet

ivos

6AULAPr-requisitos

Meta da aula

Apresentar as operaes de adio e multiplicao de polinmios com coe cientes num anel A.


Calcular a soma de dois polinmios sobre um anel A.

Calcular o produto de dois polinmios sobre um anel A.

Determinar o grau do polinmio soma.

Determinar o grau do polinmio produto.

Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos em lgebra I, e da introduo aos

polinmios, na Aula 5.

66 C E D E R J

lgebra II | Operaes com polinmios

INTRODUO Lembra-se da aula passada? Vimos que se A um anel, e isso signi ca um

anel comutativo e com unidade (1A A), ento denotamos o conjunto dos

polinmios sobre o anel A por A[x], isto ,

Nesta aula, vamos de nir as operaes de adio e multiplicao em A[x], ou

seja, a soma e o produto de polinmios. Depois, veremos como o grau de um

polinmio se comporta perante estas operaes.

DEFINIO 1

Sejam f(x) e g(x) dois polinmios em A[x], digamos,

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn

e

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x

3 + ... + bmxm.

Podemos supor, sem perda de generalidade, que m 6 n. De nimos

as operaes de adio e multiplicao de polinmios como segue.

1. Adio de polinmios. O polinmio soma f(x) + g(x)

de nido por

f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + ... + (am + bm)x

m + am +1 xm + n

... + anxn

= c0 + c1x + c2x2 + c3x

3 + ... + cnx n,

onde os novos coe cientes so dados por cK = aK + bK para cada

k = 1, 2, ..., n. Observe que bK = 0 para todo k > m.

Assim, para somarmos dois polinmios, simplesmente somamos

os seus coe cientes correspondentes.

2. Multiplicao de polinmios. O polinmio produto f(x) . g(x)

de nido por

f(x) . g(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x

3 + ... + cm +1 xm + n,

A[x] = {polinmios na varivel x com coe cientes em A}

= { a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn ai A e n N}.

C E D E R J 67

AU

LA 6

onde os coe cientes cK so de nidos por c0 = a0b0;

c1 = a0b1 + a1b0;

c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0;

c3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0;

cK = a0bK + a1bK 1 + a2bK 2 + ... + aKb0, para todo

k 6 m + n,

e onde estamos considerando que bK = 0 para todo k > m e aK = 0

para todo k > n. Esta regra diz, simplesmente, que para formarmos o produto

f(x) . g(x), fazemos o produto de cada termo de f(x) por cada termos de g(x),

usando a regra

(aixi) . (bix

i) = aibj xi + j, para todo i, j 1 0

e, depois, agrupamos todos os termos que tm a mesma potncia

em x. Observe que a formao dos coe cientes cK segue, simplesmente,

a aplicao da lei distributiva.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1

Sejam f(x) = 3 + 2x x2 e g(x) = 1 + 2x2 dois polinmios em

R[x]. O polinmio soma f(x) + g(x) dado por

f(x) + g(x) = (3 + 2x x2) + (1 + 2x2)

= (3 + 1) + (2 + 0)x + (1 + 2)x2

= 4 + 2x + x2.

J o polinmio produto f(x) . g(x) obtido como segue:

f(x) . g(x) = (3 + 2x x2)(1 + 2x2)

= (3 + 2x x2) . 1 + (3 + 2x x2) . 2x2 ; aplicando a lei

distributiva

= (3 + 2x x2) + (6x2 + 4x3 2x4) . 2x2 ; aplicando a lei

distributiva

= 3 + 2x 5x2 + 4x3 2x4 ; aplicando a soma de

polinmios.

...

68 C E D E R J


Vamos observar, no caso geral, que os polinmios f(x) + g(x) e

f(x) . g(x) so, de fato, polinmios em A[x]. Como A um anel e aK , bK

A, ento os coe cientes cK = aK + bK do polinmio soma f(x) + g(x)

pertencem a A, garantindo que f(x) + g(x) A[x]. Da mesma forma,

cada coe ciente

cK = a0bK + a1bK 1 + a2bK 2 + ... + aKb0

do polinmio produto f(x) . g(x) pertence a A, mais uma vez,

garantindo que f(x) . g(x) A[x].

1. Calcule a soma e o produto dos polinmios f(x) = 2 + 2x2 + x3

e g(x) = 1 + 2x, em Z3[x].

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Concluiremos esta aula estudando o comportamento do grau dos

polinmios soma e produto. Para isso, vamos considerar que no anel

A no ocorra que o produto de dois elementos no-nulos seja nulo,

ou seja, que A um domnio de integridade. Isso signi ca que dados

a, b A com a 0 e b 0, ento a . b 0, o que, em outras palavras,

signi ca que o anel A no tem divisores de zero. Lembre, tambm, que

o grau do polinmio

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn, com a0 0 e n 1 1,

igual a n, o que denotamos por gr ( f ) = n. Observe, no Exemplo

1, que o grau do polinmio soma f(x) + g(x) igual a 2 e que o grau do

polinmio produto f(x) . g(x) igual a 4.

ATIVIDADE

1

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C E D E R J 69

AU

LA 6

Proposio 1

Seja A um domnio de integridade e sejam os polinmios f(x), g(x)

A[x], cujos graus so gr(f) = n e gr(g) = m, com m 6 n. Ento

1. gr(f + g) 6 n = max {gr(f), gr(g)};

2. gr(f . g) = n + m = gr(f), gr(g).

Demonstrao

Sejam os polinmios f(x) e g(x) dados por

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn, com an 0,

e

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x

3 + ... + bmxm, com bm 0.

1. Assim, o polinmio soma dado por


m

+ am + 1 xm + 1... + anx

n

= c0 + c1x + c2x2 + c3x

3 + ... + cnxn,

onde os novos coe cientes so dados por cK = aK + bK para cada

k = 1, 2, ... , n. Observe que bK = 0 para todo k > m.

Como m 6 n, ento bK = 0 e aK = 0 para todo k > n, o que

nos leva a cK = aK + bK = 0 para todo k > n, e isto mostra que

gr(f + g) 6 n = max {gr(f), gr(g)}.

Observe que no caso de m < n, temos ento bn = 0, o que nos d

cn = an + bn = an 0,

ou seja, conclumos que, neste caso, gr(f + g) = n, ou seja, vale a

igualdade.

70 C E D E R J


2. Agora, o polinmio produto dado por

f(x) . g(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x

3 + ... + cm +nxm + n

onde os coe cientes so dados por cK = a0bK + a1bK 1 + a2bK 2 +

... + aKb0. Em particular, temos

cm + n = a0bm + n + a1bm + n 1 + ... + an 1bm + 1 + an bm + an + 1bm 1 +...

+ am + nb0 = a0 . 0 + a1 . 0 + ... + an 1 . 0 + an bm + 0 . bm 1 ... + 0 . b0 = an bm 0,

pois bK 0 para todo k > m, aK = 0 para todo k > n e an bm 0

porque an 0, bm 0 e A um domnio de integridade. Assim, conclumos

que gr(f . g) = n + m.

Observe que na prova de gr(f + g) 6 max{gr(f), gr(g)}, na Propo-sio 1, no usamos a hiptese de A ser um domnio de integridade. Assim,

esta propriedade vale para um anel A qualquer. J no o caso da segunda

parte, gr(f . g) = gr( f ) + gr( g ), em que usamos explicitamente a hiptese de

A ser um domnio de integridade. Portanto, esta propriedade no vlida

quando A no for um domnio de integridade. Veja a Atividade Final 2.

Exemplo 2

Sejam os polinmios f(x) = 1 + x e g(x) = x em Z2[x]. Vamos

calcular a soma e o produto destes polinmios e, tambm, seus graus.

Para o polinmio soma, temos

f(x) + g(x) = (1 + x) + x

= (1 + 0) + (1 + 1)x

= 1 + 2x

= 1 + 0x; pois 2 = 0 em Z2 = 1 Z2[x]

Veja que gr(f + g) = 0 < 1 = max{gr(f), gr(g)}.

C E D E R J 71

AU

LA 6

Para o polinmio produto, temos

f(x) . g(x) = (1 + x) . x

= 1 . x + x . x; aplicando a lei distributiva

= x + x2 Z2[x]

Observe que gr(f . g) = 2 = 1 + 1 = gr(f) + gr(g). Com isso,

conclumos o Exemplo 2.

ATIVIDADES FINAIS

1. Calcule a soma e o produto, e seus respectivos graus, dos polinmios f(x) = 3x

+ 2x2 e g(x) = 1 + x, em Z[x].

2. Encontre um exemplo de um anel A e de polinmios f(x), g(x) A[x], para os quais no vale a igualdade gr(f . g) = gr(f) + gr(g). Observe que A no pode ser

um domnio de integridade.

72 C E D E R J


R E S U M O

A soma e o produto dos polinmios

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ... + anxn

e

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x

3 + ... + bmxm,

supondo m 6 n, so dados por


m + am + 1xm + 1... + anx

n

= c0 + c1x + c2x2 + c3x

3 + ... + cnxn

e

f(x) . g(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x

3 + ... + cm + nxm + n,

onde os coe cientes cK so de nidos por

c0 = a0b0 ;

c1 = a0b1 + a1b0 ;

c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0;

c3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0 ;

cK = a0bK + a1bK 1 + a2bK 2 + ... + aKb0 , para todo k 6 m + n.

Valem as propriedades gr(f + g) 6 max{gr(f), gr(g)} e gr(f . g) = gr(f) + gr(g), sendo

que esta ltima apenas quando o anel A um domnio de integridade.

Atividade 1


f(x) + g(x) = (2 + 2x2 + x3) + (1 + 2x)

= (2 + 1) + (0 + 2)x + (2 + 0)x2 + (1 + 0)x3

= 3 + 2x + 2x2 + x3

= 0 + 2x + 2x2 + x3; pois 3 = 0 em Z3 = 2x + 2x2 + x3 Z3[x].

RESPOSTAS COMENTADAS

...

C E D E R J 73

AU

LA 6

Calculando o polinmio produto, temos

f(x) . g(x) = (2 + 2x2 + x3) + (1 + 2x)

= (2 + 2x2 + x3) . 1 + (2 + 2x2 + x3) . 2x; aplicando a lei distributiva

= (2 + 2x2 + x3) + (4x + 4x3 + 2x4); aplicando a lei distributiva

= (2 + 0) + (0 + 4)x + (2 + 0)x2 + (1 + 4)x3 + (0 + 2)x4 ; aplicando a soma

de polinmios

= 2 + 4x + 2x2 + 5x3 + 2x4

= 2 + 1x + 2x2 + 2x3 + 2x4; pois 4 = 1 e 5 = 2 em Z3 = 2 + x + 2x2 + 2x3 + 2x4 Z3[x].

Atividade Final 1


f(x) + g(x) = (3x + 2x2) + (1 + x)

= (0 + 1) + (3 + 1)x + (2 + 0)x2

= 1 + 4x + 2x2 Z[x].

Veja que gr(f + g) = 2 = max {gr(f), gr(g)}.

Calculando o polinmio produto, temos

f(x) . g(x) = (3x + 2x2)(1 + x)

= (3x + 2x2). 1 + (3x + 2x2) . x; aplicando a lei distributiva

= (3x + 2x2) + (3x2 + 2x3); aplicando a lei distributiva

= (3 + 0)x + (2 + 3)x2 + (0 + 2)x3; aplicando a soma de

polinmios

= 3x + 5x2 + 2x3 Z[x].

Observe que gr(f . g) = 3 = 2 + 1 = gr(f) + gr(g).

Atividade Final 2

Sejam os polinmios f(x) = 1 + 2x e g(x) = 2x em Z4[x]. Calculando o polinmio

produto, temos

f(x) . g(x) = (1 + 2x) . 2x

= 1 . 2x + 2x . 2x; aplicando a lei distributiva

= 2x + 4x2

= 2x + 0x2; pois 4 = 0 em Z4 = 2x Z4[x].

74 C E D E R J


Veja que gr(f . g) = 1 < 2 = 1 + 1 = gr(f) + gr(g). Observe que Z4 no um domnio

de integridade, pois contm divisores de zero (2 . 2 = 0).

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Apostila Cederj Algebra

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