APOSTILA COMPLETA DE LÓGICA - 204 PÁGINAS (1)

NOTAS DE AULAS DE LÓGICA Professor Joselias – [email protected]

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Lógica

Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições. Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões.

1 - DEFINIÇÃO: 1.1 - Proposição: Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. 1) Exemplo: a) O Professor Joselias é bonito. b) O Brasil é um País da América do Sul. c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário. Evidente que você já percebeu que as proposições devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como: “Pedro é maior que Carlos”, ou podemos expressar também por “Carlos é menor que Pedro”. Observe ainda que as proposições receberão os valores lógicos como sendo verdadeiro(V) ou falso(F). 2) Exemplo: Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é verdadeira então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V. Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é falsa então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = F. Sendo assim a frase “Bom dia!” não é uma proposição, pois não admite o atributo verdadeiro ou falso.





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Portanto não serão proposições as seguintes expressões: Exclamações: “Que belo dia!”, “Boa sorte!”. Interrogações: “Joselias é um bom professor?”, “Que horas são?”, “ O jogo terminou empatado?”. Imperativos: “Faça seu trabalho corretamente.”, “ Estude e limpe o quarto.”. Paradoxos: “Esta proposição é falsa”. Em resumo, teremos dois princípios no caso das proposições: 1 – Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 2 – Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) “O Professor Joselias é bonito” é uma proposição verdadeira. b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira. c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa. As proposições serão representadas por letras do alfabeto: a, b, c, . . . , p, q, . . . As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas). Os conectivos serão representados da seguinte forma: ¬ corresponde a “não” ∧ corresponde a “e” (conjunção) ∨ corresponde a “ou” (disjunção) → corresponde a “então” (condicional) ↔ corresponde a “se e somente se” (bi-condicional) Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar: • Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b) Exemplo: 3) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que: a ∧ b = “Chove e faz frio” • Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b, ou também ou a ou b) Exemplo: 4) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que: a ∨ b = “Chove ou faz frio” • Condicionais: a → b (lê-se: Se a então b)





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Exemplo: 5) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que: a → b = “Se chove então faz frio” • Bi-condicionais: a ↔ b (lê-se: a se e somente se b) Exemplo: 6) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que: a ↔ b = “Chove se e somente se faz frio” Exemplo: 7) Seja a sentença: “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no concurso” Sejam as proposições: p = “Cacilda é estudiosa” q = “Ela passará no concurso” Então poderemos representar a sentença da seguinte forma: Se p então q ( ou p → q ).

1.2 - TABELA VERDADE Representaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivo através da tabela verdade. a. Valor verdade de ¬P

P ¬P V F F V

A negação da proposição P é a proposição ¬P, de maneira que se P é verdade então ¬P é falso, e vice-versa. b. Valor verdade de P∧Q

P Q P∧QV V V V F F F V F F F F

O valor verdade da molécula P∧Q é tal que VAL (P∧Q) é verdade se e somente se VAL (P) e VAL (Q) são verdades. c. Valor verdade de P∨Q

P Q P∨Q





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V V V V F V F V V F F F

O valor verdade da molécula P∨Q é tal que VAL(P∨Q) é falso se e somente se VAL(P) e VAL (Q) são falsos. d. Valor verdade de P → Q

P Q P → Q V V V V F F F V V F F V

O valor verdade da molécula P → Q é tal que VAL(P → Q) = F se e somente se VAL(P) = V e VAL (Q) = F e. Valor verdade de P ↔ Q O valor verdade da molécula P ↔ Q é tal que VAL( P↔Q ) = V se e somente se VAL (P) e VAL (Q) tem os mesmos valores verdade. Então, para α e β sendo moléculas, teremos a tabela verdade completa da seguinte forma: Exemplo: 8) Sejam as proposições p e q, tal que: p = ”Está calor” q = ”Está chovendo”

P Q P ↔ QV V V V F F F V F F F V

α β ¬α α ∧ β α ∨ β α → β α ↔ β V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V





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Descrever as seguintes proposições abaixo: a) ¬p b) p ∨ q c) p ∧ q d) p → q e) p ↔ q

Solução: a) ¬p = “Não está calor” b) p ∨ q = “Está calor ou está chovendo” c) p ∧ q = “Está calor e está chovendo” d) p → q = “Se está calor, então está chovendo” e) p ↔ q = “Está calor se e somente se está chovendo” 9) Seja p = “Joselias é magro” e q = “ Joselias é bonito”. Represente cada uma das seguintes afirmações em função de p e q: a) “Joselias é magro ou bonito” b) “Joselias é magro e bonito” c) “Se Joselias é magro, então é bonito” d) “Joselias não é magro, nem bonito”

Solução: a) “Joselias é magro ou bonito” = p ∨ q b) “Joselias é magro e bonito” = p ∧ q c) “Se Joselias é magro, então é bonito” = p → q d) “ Joselias não é magro, nem bonito” = ¬p ∧ ¬q 10) Se p é uma proposição verdadeira, então: a) (p → q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q. b) (p ∧ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q. c) (p ↔ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q. d) (p ∨ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q. e) (¬p) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.

Solução a) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos a proposição (p → q) falsa. b) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição (p ∧ q) falsa. c) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos a proposição (p ↔ q) falsa. d) A opção é correta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (p∨q) sempre verdadeira. e) A Opção é incorreta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (¬p) sempre falsa. Opção correta: D.





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11) Se (p → q) é uma proposição verdadeira então podemos afirmar que: a) p é uma proposição verdadeira. b) q é uma proposição verdadeira. c) Se p é uma proposição falsa, então q é uma proposição verdadeira. d) se q é uma proposição verdadeira então p é uma proposição verdadeira. e) se q é uma proposição falsa então p é uma proposição falsa.

Solução a) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q) verdadeira. b) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q) verdadeira. c) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q) verdadeira. d) A opção é incorreta, pois podemos ter a proposição q verdadeira e a proposição p falsa. e) A opção é correta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição p necessariamente falsa. Opção correta: E.

12) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo

Solução Desenvolvendo a tabela verdade teremos:

p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ qV V F F V V V F F V V F F V V F V F F F V V F F


p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q V V V V F F F F V F F F V

p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ qV V F V F V F V V F F F V





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p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q V V F F V V V V F F V F V F F V V F V F F F F V V V V V


p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬q V V F V V F V F F F V V V F F F V V V


p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬q V V F F V V F F V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F F V V

15) Determinar o valor verdade da proposição (P ∧ Q) →R, sabendo-se que VAL (P) = V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F.

Solução P Q R p ∧ q (P ∧ Q) →R V V V V V V V F V F V F V F V F V V F V V F F F V F V F F V F F V F V F F F F V

Logo o VAL(P ∧ Q) →R) = F





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1.3 - Exercícios Propostos Texto para os itens de 01 a 05. (CESPE) Considere as sentenças abaixo. I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T). 2) A sentença II pode ser corretamente representada por ( ¬ P) ∧ ( ¬ R). 3) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. 4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P. 5) A sentença V pode ser corretamente representada por T→(( ¬ R) ∧ ( ¬ P)). Texto para os itens de 06 a 10. (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ , ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 6) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira.





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7) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. 8) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → ( ¬ T) é falsa. 9) A proposição simbólica ( )P Q R∧ ∨ possui, no máximo, 4 avaliações V. 10) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira. 11) Determine o valor verdade da sentença [A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]. Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = V Resposta: {[ A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]} = F Obs.:Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X. 12) Determinar o valor da sentença A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)], sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = V Resposta: VAL {A → [(¬ B ↔ C) ∧ (C ∨ D)]} = F

TAUTOLOGIA São moléculas que possuem o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições (átomos) que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição. Se todos os valores da proposição forem verdadeiros teremos uma tautologia. Exemplo: 16) Assinale quais das proposições abaixo são tautologias. a) (p ∨ ¬p) b) (p → p) c) ¬(¬p) ↔ p

Solução a) (p ∨ ¬p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:

p ¬p p ∨ ¬pV F V F V V





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b) (p → p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:

p p → p V V F V

c) ¬(¬p) ↔ p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:

p (¬p) ¬(¬p) ¬(¬p) ↔ p V F V V F V F V

CONTRADIÇÕES

São moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das proposições (átomos) as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer a tabela verdade da proposição. Se todos os valores da proposição forem falsos teremos uma contradição. Exemplo: 17) Assinale quais das proposições abaixo são contradições. a) (p ∧ ¬p) b) (p ↔ ¬p)

Solução a) (p ∧ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:

p ¬p p ∧ ¬pV F F F V F

b) (p ↔ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:

p ¬p p ↔ ¬p V F F F V F

CONTINGÊNCIA São moléculas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições (átomos). Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela verdade da proposição. Se os valores da proposição forem alguns verdadeiros e outros falsos teremos uma contingência.





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Exemplo: 18) Assinale quais das proposições abaixo são contingências. a) ¬p ∨ ¬q b) ¬p ∨ q

Solução a) ¬p ∨¬q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela verdade:

b) ¬p∨q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela verdade:

EQUIVALÊNCIA LÓGICA Duas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. Para verificar se duas proposições são equivalentes basta calcular a tabela verdade de cada uma, se as tabelas forem iguais elas são equivalentes. Exemplo: 19) Assinale se as proposições abaixo são equivalentes. a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q) b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q) c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q) d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)

Solução a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.

p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬qV V F F F V F F V V F V V F V F F V V V

p q ¬p ¬p ∨ qV V F V V F F F F V V V F F V V

p q (p∧q) ¬(p∧q) ¬p ¬q (¬p∨ ¬q) V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V





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b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais. c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q). Veja que as tabelas-verdade são iguais. d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p). Veja que as tabelas-verdade são iguais.

p q (p→q) ¬q ¬p (¬q → ¬p) V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

Observações: Sobre o emprego dos parênteses é importante convencionar que o ¬ afeta a proposição mais próxima à sua direita. Deste modo a proposição (¬p ∨ q) é uma disjunção, pois o não(¬) só afeta a proposição p. Por outro lado ¬(p ∨ q) é uma negação pois o não(¬) só afeta a proposição (p ∨ q). Vale a pena ressaltar que os conectivos ∨, ∧ e o ∨ têm prioridade sobre o → e o ↔. É conveniente que o aluno tenha conhecimento de algumas equivalências importantes. Abaixo fornecemos uma tabela de equivalências: EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES: a) (p∨q) é equivalente a (q∨p) b) (p∧q) é equivalente a (q∧p) c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) d) (p→q) é equivalente a (¬p∨q) e) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)

p q (p∨q) ¬(p∨q) ¬p ¬q (¬p ∧ ¬q) V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V

p q (p→q) ¬p (¬p∨q)V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V





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f) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q) g) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q) h) ¬(¬p) é equivalente a p i) ¬ (¬(¬p)) é equivalente a (¬p) j) ¬ (p→q) é equivalente a (p ∧ ¬q) l) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔ ¬q) Sabemos que duas proposições são equivalentes se e somente se elas possuem a mesma tabela verdade. Sendo assim se relacionarmos duas proposições equivalentes através do conectivo ↔(bi-condicional) teremos uma tautologia. Abaixo fornecemos uma tabela das principais tautologias para os concursos públicos: TAUTOLOGIAS IMPORTANTES: a) (p ∨ ¬p) b) (p → p) c) (p ↔ p) c) ¬(¬p) ↔ p d) (p→q) ↔ (¬p∨q) e) (p→q) ↔ (¬q → ¬p) (Contra-positiva) f) ¬(p∧q) ↔ (¬p∨ ¬q) (Morgan) g) ¬(p∨q) ↔ (¬p ∧ ¬q) (Morgan) h) ¬(¬p) ↔ p i) ¬ (p→q) ↔ (p ∧ ¬q) j) ¬ (p ↔ q) ↔ (p ↔ ¬q) Exercícios Propostos 13) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições: a) O Professor Joselias é bonito. b) O Brasil é um País da América do Sul. c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário. d) Que belo dia! e) Boa sorte! f) Joselias é um bom professor? g) Que horas são? h) O jogo terminou empatado? i) Faça seu trabalho corretamente. j) Estude e limpe o quarto. l) Esta frase é falsa





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m) 2 + 3 > 5 n) x + y > 5 o) A terra é um planeta. p) x é um planeta. 14) (FGV) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 15) (FGV) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 16) A proposição (¬p ∨ q) ↔ (p → q) representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 17) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 18) A proposição (p ∨ ¬p) representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 19) A proposição (p ∧ ¬p) representa um: a. Contradição





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b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 20) A proposição ¬ (¬p) ↔ p representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 21) A proposição ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A 22) (FGV) – Quando se afirma que P → Q (P implica Q) então: a. Q é condição suficiente para P. b. P é condição necessária para Q. c. Q não é condição necessária para P d. P é condição suficiente para Q. e. P não é condição suficiente nem necessária para Q. 23) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é: a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista. 24) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro





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25) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 26) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q são proposições, então a proposição é equivalente a

28) (FCC-ICMS-SP)Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a

é

29) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p∧~q) é a) ~(p ∨ q) b) (~p ∧ q) c) (p ∨ q) d) (p ∧ ~q) e) (~p ∨ q)

IMPLICAÇÕES





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(p → q) Condições necessárias e suficientes: Na proposição condicional (p → q) denotamos a proposição p como antecedente e a proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condição suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é chamada de condição necessária para p. Exemplo: 19) Sejam as proposições: p = “ Joselias é carioca”. q = “Joselias é brasileiro”. Temos que a proposição p → q representa a seguinte sentença: “Se Joselias é carioca então Joselias é brasileiro”. Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição suficiente para a sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é brasileiro” é condição necessária para a sentença “Joselias é carioca”. A proposição (p → q) é lida de várias maneira distintas, como segue: a) Se p, então q. b) Se p, q. c) q, se p d) p implica q. e) p acarreta q. f) p é suficiente para q. g) q é necessário para p. h) p somente se q. i) p apenas se q. Exemplo: 20) A proposição “Se ele me ama, então casa comigo” pode ser enunciada também das seguintes maneiras: a) “Se ele me ama, então casa comigo”. b) “Se ele me ama, casa comigo”. c) “Ele casa comigo, se ele me ama”. d) “Ele me ama implica em casa comigo”. e) “Ele me ama carreta casa comigo”. f) “Ele me amar é suficiente para casar comigo”. g) “ Casar comigo é necessário para me amar”. h) “Ele me ama somente se casa comigo”. i) “Ele me ama apenas se casa comigo”.

Recíproca contrária e contra-positiva: Se p e q são proposições então:





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a) Chamamos de recíproca de (p → q) a proposição (q → p).

b) Chamamos de contrária de (p → q) a proposição (¬p → ¬q). c) Chamamos de contra-positiva de (p → q) a proposição (¬q → ¬p). Exemplo: 21) Considere a sentença condicional “Se Joselias é carioca então Joselias é brasileiro”. Temos então: a) A recíproca é “Se Joselias é brasileiro então Joselias é carioca”. b) A contrária é “Se Joselias não é carioca então Joselias não é brasileiro”. c) A contra-positiva é “Se Joselias não é brasileiro então Joselias não é carioca”. Equivalência de (p → q): Entre as equivalências da proposição (p → q) destacamos algumas das mais freqüentes: a) (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q). Isto quer dizer que “(Se p então q) é equivalente a (não p ou q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Ele não me ama ou casa comigo”. b) (p → q) é equivalente a (¬q → ¬p) (contra-positiva) Isto quer dizer que “(Se p, então q) é equivalente a (Se não q, então não p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”. c) ¬ (p → q) é equivalente a (p ∧ ¬q) Isto quer dizer que a negação de (Se p, então q) é equivalente a (p e não q). Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Ele me ama e não casa comigo”

BI-CONDICIONAL(IMPLICAÇÃO DUPLA)

(p ↔ q) Na proposição bicondicional (p ↔ q) denotamos a proposição p como antecedente e a proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condição necessária e suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é chamada de condição necessária e suficiente para p. Exemplo: 22) Sejam as proposições: p = “ Joselias é carioca”. q = “Joselias é brasileiro”.





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Temos que a proposição (p ↔ q) representa a seguinte sentença: “Joselias é carioca se e somente se Joselias é brasileiro”. Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição necessária e suficiente para a sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é brasileiro” é condição necessária e suficiente para a sentença “Joselias é carioca”. A proposição (p ↔ q) é lida de várias maneira distintas, como segue: a) p se e somente se q. b) p se e só se q. c) p é condição necessária e suficiente para q e p é equivalente a q Exemplo: 23) A proposição “Se ele me ama se e somente se casa comigo” pode ser enunciada também das seguintes maneiras: a) “Se ele me ama se e somente se casa comigo”. b) “Se ele me ama se e só se casa comigo”. c) “Ele me ama é condição necessária e suficiente para ele casa comigo”. d) “Ele me ama é equivalente a ele casa comigo”.

Equivalência de (p ↔ q): Entre as equivalências da proposição (p ↔ q) destacamos algumas das mais freqüentes: a) (p ↔ q) é equivalente a (p → q) ∧(q → p). Isto quer dizer que “(p se e somente se q ) é equivalente a (Se p então q) e (Se q então p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é equivalente a “Se ele me ama então casa comigo, e se ele casa comigo então ele me ama”. b) (p ↔ q) é equivalente a (¬q ↔ ¬p) (contra-positiva) Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (não q se e somente se não p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é equivalente a “Ele não casa comigo se e somente se ele não me ama”. c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) (recíproca) Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (q se somente se p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é equivalente a “Ele casa comigo se e somente se ele me ama”. d) (p ↔ q) é equivalente a (¬p ↔ ¬q) (contrária) Isto quer dizer que (p se somente se q) é equivalente a (não p se e somente se não q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” é equivalente a “Ele não me ama se e somente se ele não casa comigo”





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d) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔¬q) Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p se somente se não q) Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama se e somente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama se somente se não casa comigo”.

OU EXCLUSIVO

p ∨ q (ou p ou q mas não ambos)

A proposição p ∨ q representará a disjunção exclusiva(ou exclusivo), e significa ou p ou q mas não ambos. A tabela verdade desta proposição composta será F quando ambos p e que forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela verdade:

p q p ∨ q V V F V F V F V V F F F

Exemplo: 24) Sejam as proposições: p = “Eu trabalho” q = “Eu estudo” A proposição p ∨ q significa “Ou eu trabalho ou estudo, mas não ambos”. Equivalência de p ∨ q: Entre as equivalências da proposição p ∨ q destacamos algumas das mais freqüentes: a) p ∨ q é equivalente a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q). Isto quer dizer que (p ou q, mas não ambos) é equivalente a (p e não q) ou (não p e q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama ou casa comigo, mas não ambos” é equivalente a “Ele me ama e não casa comigo, ou ele não me ama e casa comigo”. b) ¬(p ↔ q) é equivalente a p ∨ q. Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p ou q, mas não ambos). Podemos então afirmar que a negação da sentença “Ele me ama se e





21

somente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama ou casa comigo, mas não ambos”.

NEGAÇÃO (¬, ~)

A proposição ¬p representa a negação da proposição p. Se a proposição p é verdadeira então a proposição ¬p é falsa. Se a proposição p é falsa então a proposição ¬p é verdadeira. Sendo assim a negação da sentença p= “Eu estudo” é ¬p = “Eu não estudo”. Conforme as equivalências podemos negar as proposições compostas conforme o quadro abaixo:

PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO p ¬p

(¬p) p

(p ∨ q) (¬p ∧ ¬q) (p ∧ q) (¬p ∨ ¬q) ( p→ q) ( p ∧ ¬q ) (p ↔ q) (p ↔ ¬q) (p ↔ q) p ∨ q.

Exemplos: 25) Conforme o quadro acima podemos negar as sentenças da seguinte forma: a) A negação da sentença “ Eu trabalho” é “Eu não trabalho” b) A negação da sentença “ Eu trabalho ou estudo” é “Eu não trabalho e não estudo” c) A negação da sentença “ Eu trabalho e estudo” é “Eu não trabalho ou não estudo”. d) A negação da sentença “ Se eu trabalho então estudo” é “Eu trabalho e não estudo”. e) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Eu trabalho se somente se não estudo”. f) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Ou trabalho ou estudo, mas não ambos”. 26) (CESGRANRIO)Uma proposição logicamente equivalente a “Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular.” é: (A) Se eu não me chamo André, então eu não passo no vestibular. (B) Se eu passo no vestibular, então me chamo André. (C) Se eu não passo no vestibular, então me chamo André. .(D) Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André. (E) Eu passo no vestibular e não me chamo André.





22

Solução Sejam as proposições: p = “Eu me chamo André”. q = “Eu passo no vestibular”. Sendo assim a sentença: “Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular.” ( p → q) é equivalente a (¬q → ¬p) (Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André). Resposta: D 27) (CESGRANRIO) A negação de “se hoje chove então fico em casa” é: (A) hoje não chove e fico em casa. .(B) hoje chove e não fico em casa. (C) hoje chove ou não fico em casa. (D) hoje não chove ou fico em casa. (E) se hoje chove então não fico em casa.

Solução Sejam as proposições: p = “Hoje chove”. q = “Fico em casa”. Sendo assim a negação da sentença sentença: ¬ (Se hoje chove então fico em casa) ¬ ( p → q) é equivalente a ( p ∧ ¬q ) (Hoje chove e não fico em casa) Resposta: B 28) (CESGRANRIO) Considere as fórmulas: I - (p ∧ q) → p II - (p ∨ q) → p III - (p ∧ q) → (p ∨ q) É(São) tautologia(s) a(s) fórmula(s): (A) I, somente. (B) II, somente. (C) III, somente. (D) I e III, somente.





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(E) I, II e III. Solução

Considere a tabela verdade abaixo: p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → p (p ∨ q) → p (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V V V V V F F V V V V F V F V V F V F F F F V V V Observe que somente I e III são tautologias. Resposta: D Exercícios Propostos 30) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p ∨ ~q) é a) ~(p ∨ q) b) ~ (p ∧ q) c) (p ∨ q) d) (p ∧ ~q) e) (~p ∨ q)

31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradição. a) (p ∨ q) → (p ∧ q) b) (p ∨ q) → q c) (~p ∨ p) → (~p ∧ p) d) p→ (p ∧ q) e) p→ (p ∨ q) 32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia. a) (~p ∨ p) → q b) (p ∨ q) → (p ∧ q) c) (p ∨ q) → q d) p→ (p ∧ q) e) p→ (p ∨ q)

33) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q ? V V F V F F F V V F F F





24

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) (p ∧ q) b) (~p ∧ ~q) c) (p ∧ ~q) d) (~p ∧ q) e) (p → q)

34) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q ? V V F V F F F V F F F V


35) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua tabela-verdade é

p q r s V V V F V V F V V F V V F V V F V F F F F V F F F F V F F F F F

Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças equivalentes a s. Uma dessas sentenças é a. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)] b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)] c. [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r] d. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r] e. ~ [p ∧ q ∧ r]

36) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.





25

p q ? V V V V F V F V V F F F

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) (p ∨ q) b) (~p ∧ ~q) c) (p ∧ ~q) d) (~p ∧ q) e) (p → q) 37) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua tabela-verdade é

p q r s V V V V V V F V V F V F F V V F V F F V F V F V F F V V F F F V

Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças equivalentes a s. Uma dessas sentenças é a. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)] b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)] c. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r] d. [p ∨ q ∨ r] e. ~ [p ∧ q ∧ r]

38) Considere as afirmações abaixo. I – Se p e q são proposições então ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia. II - Se p e q são proposições então ( ) )p q q→ ∨ ∼ é uma tautologia. III – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .

É verdade o que se afirma APENAS em a. I. b. II e III c. I e III. d. I e II.





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e. I, II e III. 39) Considere as afirmações abaixo. I – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .

II - Se p e q são proposições então a contrária de ( )p q→ é ( )p q→∼ ∼ . III – Se p e q são proposições então a contra-positiva de ( )p q→ é ( )q p→∼ ∼ .

É verdade o que se afirma APENAS em a. I. b. II e III c. I e III. d. I e II. e. I, II e III.

40) A proposição ( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ representa um: (A) Contradição (B) Contingência (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistência

41) A proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ representa um: (A) Contradição (B) Contingência (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistência

42) Considere a seguinte declaração: Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos. Assinale a alternativa que apresenta a negação formal desta declaração. a. Para que tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidente sabia. b. Ou o presidente sabia, ou não houve desacato a autoridade, mas não ambos. c. Para que não tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidente sabia. d. Se não houve desacato a autoridade então o presidente sabia. e. Se o presidente sabia então houve desacato a autoridade. 43) A proposição ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → representa um: (A) Contradição





27

(B) Contingência (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistência

44) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: (A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. (B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. (C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. (D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. (E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

45) A proposição ( )p p p→ ↔∼ representa um: (A) Contradição (B) Contingência (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistência

46) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: (A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. (B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. (C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. (D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. (E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.

Sentenças Abertas e Sentenças Gerais Conforme vimos nas páginas anteriores, as proposições são declarações que podem receber o atributo verdadeiro ou falso. Sendo assim as sentenças abaixo são proposições: a) Joselias é um professor. b) 2 é um número natural. c) 4 + 6 > 10 Podemos pensar nas seguintes sentenças abertas, que não podem receber o atributo verdadeiro ou falso: 1) X é um professor. 2) n é um número natural. 3) x + y >10





28

Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, nas sentenças abertas acima, poderíamos ter, por exemplo, as proposições dos casos anteriores a, b e c respectivamente. Existe outra maneira de transformarmos as sentenças abertas em proposições, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial. Quantificador universal: ∀ - Significa “Para todo ...”, “Qualquer que seja ...”. Quantificador Existencial:

∃ - Significa “Existe ...”, “Há um ...”. Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenças abertas em proposições falsas ou verdadeira, por exemplo: a) A sentença “ n∃ ∈ , n é um número natural” é uma proposição verdadeira. b) A sentença “ ( )( )( )10x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + > ” é uma proposição falsa. As proposições que iniciam com os quantificadores são chamadas de sentenças gerais. As negações das sentenças gerais podem ser feitas da seguinte maneira: Sejam Px, Qx, Rx,... sentenças abertas de variável x. Então temos:

( )( )x Px¬ ∀ é equivalente a ( )( )x Px∃ ¬

( ) ( )x Px¬ ∃ é equivalente a ( )( )x Px∀ ¬

( )( )x Px Qx¬ ∀ → é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ∧ ¬

( )( )x Px Qx¬ ∀ ∨ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∧ ¬

( )( )x Px Qx¬ ∀ ∧ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∨ ¬

Número de linha da tabela verdade

È comum questões de concursos perguntarem sobre o número de linhas da tabela verdade. No momento vamos apenas deixar algumas fórmulas, que serão demonstradas no capítulo de análise combinatória: O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n

proposições simples é 2n.

Aproveitamos também para esclarecer que o número de proposições não

equivalentes a uma proposição composta de n proposições simples é 22

n

. Exemplos: 29) (ICMS_SP_VUNESP)Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.





29

II.5

x y+ é um número inteiro.

III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. É verdade que APENAS (A)) I e II são sentenças abertas. (B) I e III são sentenças abertas. (C) II e III são sentenças abertas. (D) I é uma sentença aberta. (E) II é uma sentença aberta.

Solução I é uma sentença aberta definida no conjunto de jogadores do mundo. II é uma sentença aberta, pois pode apresentar várias soluções inteiras ou não. Logo apenas I e II são sentenças abertas e III é uma proposição. Opção correta A

30) Escreva as sentenças a seguir na linguagem usual: a) ( )( )( )2x y x y∀ ∈ ∃ ∈ + <

b) ( )( )( )2 2 0x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + ≥ Solução

a) Para todo número x pertencente ao conjunto do números reais existe um número y também pertencente ao conjunto dos reais tal que x + y <2. b) Para qualquer números x e y pertencentes ao conjunto dos números reais temos que

2 2 0x y+ ≥ . 31) (CESGRANRIO) Sendo A e B conjuntos, considere a afirmação: “para todo x∈ A, existe y ∈B tal que x<y”. Negar tal afirmação equivale a afirmar que: (A) para todo x∈A, existe y∈B tal que x > y. (B) para todo x∈A, existe y∈B tal que x≥ y. (C) existe x∈A tal que, para todo y∈B, x > y. (D) existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y. (E) existem x∈A e y∈B tais que x ≥ y.

Solução

( )para todo x A, existe y B tal que x<y¬ ∈ ∈

( )( x A)( y B)(x<y)¬ ∀ ∈ ∃ ∈

( x A)( ( y B)(x<y))∃ ∈ ¬ ∃ ∈

( x A)(( y B) (x<y))∃ ∈ ∀ ∈ ¬

( x A)(( y B)(x y))∃ ∈ ∀ ∈ ≥





30

“existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y” Opção correta: D

Exercícios Propostos 47) Sendo " "x ∈ a proposição “x é um número real” e " "x ∈ a proposição “x é um número natural”, podemos afirmar que a negação da sentença “ todos os números reais são naturais” e: a) ( )( )x x x∀ ∉ → ∉ b) ( )( )x x x∀ ∈ ∨ ∉ c) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∈ d) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉ e) ( )( )x x x∃ ∉ ∧ ∉

48)Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições compostas de três átomos é: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

49) Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições compostas de n átomos é: a) 2 b) 2n c) 2n d) 3n e) 3n

50) A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∀ + < → ≥ ∨ < é: a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∀ + ≥ → < ∨ ≥ b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < → < ∧ ≥ c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥ d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∃ + ≥ → ≥ ∧ ≥ e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + ≥ ∧ < ∨ ≥

51) Assinale a opção correta: a) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo. b) Uma condição suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo.





31

c) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo. d) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente para que seja maior que 2. e) Nenhuma das opções anteriores.

52) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de um átomo é: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

53) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de dois átomos é: a) 4 b)8 c) 9 d) 16 e) 20

54) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de três átomos é: a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

55) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de n átomos é: a) n b) 2n c) 2n d) 22

n

e) 22 n

56) Sabe-se que se 4>x então 2=y . Podemos daí concluir que: a) Se 4<x então 2≠y . b) Se 4≤x então 2≠y . c) Se 2=y então 4>x .





32

d) Se 2≠y então 4≤x . e) Se 2≠y então 4<x .


p q r s V V V V V V F V V F V V F V V V V F F V F V F V F F V V F F F F

Usando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentenças equivalentes a s. Uma dessas sentenças é

a) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)] b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)] c) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r] d) [p ∨ q ∨ r] e) ~ [p ∧ q ∧ r]

58) A negação da proposição " 3 2"x y≠ ∧ < é: a) " 3 2"x y= ∧ ≥ b) " 3 2"x y= ∧ > c) " 3 2"x y= ∨ ≥ d) " 2 3"x y≠ ∧ < e) " 3 2"x y≠ ∨ <

59) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 3 então y = 7”. Pode-se concluir que: a) se 3x ≠ então 7y ≠ b) se 7y = então 3x = c) se 7y ≠ então 3x ≠ d) se 7y > então 3x = e) 3x ≠ ou 7y ≠

60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa: (A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. (B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. (C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete.





33

(D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. (E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei. 61) (CESGRANRIO) A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” é: (A) “João sempre vai a pé para o trabalho”. (B) “João nunca vai de carro para o trabalho”. (C) “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”. (D) “João, às vezes, vai a pé para o trabalho”. (E) “João nunca vai a pé para o trabalho”. 62) (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é: (A) não sabe matemática e sabe português. (B) não sabe matemática e não sabe português. (C) sabe matemática ou sabe português. (D) sabe matemática e não sabe português. (E) sabe matemática ou não sabe português.

A expressão ( ) ( )( )( , )x y P x y∃ ∀ é uma fórmula sintaticamente correta da lógica de predicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando as suas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique. Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente. 63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o predicado P(x, y) é interpretado como x < y, então a fórmula é semanticamente válida.

ARGUMENTOS Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição. Isto é, o conjunto de proposições p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra proposição q. Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Podemos representar por:

p1

p2

p3

.

.

. pn

∴q Exemplos: 32) Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. Passei no concurso





34

∴ Irei Trabalhar 33) Se ele me ama então casa comigo. Ele me ama ∴ Ele casa comigo 34) Todos os brasileiros são humanos. Todos os paulistas são brasileiros. ∴Todos os paulistas são humanos 35) Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho . ∴Todos os jogadores receberão o bicho NOTAÇÃO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo extraído do Irving M. Copi. Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água. Todos os sabões são sais de sódio Conclusão: ∴Todos os sabões são substâncias solúveis em água.

VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Conforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo: 36) Todos os apartamentos são pequenos. ( V ) Todos os apartamentos são residências. ( V ) ∴ Algumas residências são pequenas. ( V ) b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Exemplo: 37)





35

Todos os peixes têm asas. ( F ) Todos os pássaros são peixes. ( F ) ∴ Todos os pássaros têm asas. ( V ) c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Exemplo: 38) Todos os peixes têm asas. ( F ) Todos os cães são peixes. ( F ) ∴ Todos os cães têm asas. ( F ) Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam. Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo: 39) Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. ∴ Todas as princesas são bonitas. Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima é válido. Vamos substituir mulheres, bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos: Todos os A são B. Todos os C são A. ∴ Todos os C são B. Logo o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C e portanto a validade é conseqüência da forma do argumento. O atributo Validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS Os argumentos são divididos em dois grupos: • dedutivos • indutivos O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.





36

Exemplo: 40) Todo ser humano têm mãe. Todos os homens são humanos. ∴Todos os homens têm mãe. O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões. Exemplo: 41) O Flamengo é um bom time de futebol. O Palmeiras é um bom time de futebol. O Vasco é um bom time de futebol. O Cruzeiro é um bom time de futebol. ∴Todos os times brasileiros de futebol são bons. Portanto nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.

ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes. AFIRMAÇÃO DO ANTECEDENTE O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do antecedente” , (também conhecido como modus ponens). Então vejamos: Exemplo: 42) Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. José foi reprovado no concurso. ∴ José será demitido do serviço. Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

Se p, então q.





37

p. ∴ q.

ou

p q→

p ∴ q

NEGAÇÃO DO CONSEQUENTE Outro argumento dedutivo válido é a “negação do conseqüente” (também conhecido como modus tollens). Obs.: Vimos nas páginas anteriores que ( )p q→ é equivalente a ( )q p¬ → ¬ . Esta equivalência é chamada de contra-positiva. Exemplo: 43) “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”. Então vejamos o exemplo do modus tollens. Exemplo: 44) • Se aumentamos os meios de pagamentos, então haverá inflação. • Não há inflação ∴Não aumentamos os meios de pagamentos. Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

Se p, então q. Não q.

∴ Não p.

ou

p q→ q¬

∴ p¬





38

Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilema. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis. Exemplo: 45) João se inscreveu no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele. Eis o dilema de João: • Ou João passa ou não passa no concurso. – Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo. – Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho. ∴Ou joão vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos Colegas de trabalho. Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

p ou q. Se p então r. Se q então s.

∴ r ou s

ou

p q∨ p r→ q s→

∴ r s∨

ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO VÁLIDOS Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém as premissas não sustentam a conclusão. Exemplo: 46) Todos os mamíferos são mortais. ( V ) Todos os gatos são mortais. ( V ) ∴Todos os gatos são mamíferos. ( V ) Este argumento tem a forma: Todos os A são B





39

Todos os C são B ∴Todos os C são A Podemos facilmente mostrar que este argumento é não-válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra. Todos os mamíferos são mortais. ( V ) Todos os as cobras são mortais. ( V ) ∴ Todas as cobras são mamiferas. ( F ) FALÁCIA DA AFIRMAÇÃO DO CONSEQUENTE Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias. A seguir examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita freqüência. O primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do conseqüente”. Exemplo: 47) Se ele me ama então ele casa comigo. Ele casa comigo. ∴Ele me ama. Podemos escrever este argumento como:

Se p, então q. q.

∴ p.

ou

p q→ q

∴ p Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. FALÁCIA DA NEGAÇÃO DO ANTECEDENTE Outra falácia que ocorre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”.





40

Exemplo: 48) Se João parar de fumar ele engordará. João não parou de fumar. ∴João não engordará. Observe que temos a forma:

Se p, então q. Não p.

∴ Não q.

ou

p q→ p¬

∴ q¬ Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES As proposições serão classificadas em: • universais • particulares As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se a totalidade do conjunto. Exemplo: 49) “Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “todo S é P”. Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário. Exemplo: 50)“O cão é mamífero”. As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: 51) “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”. PROPOSIÇÕES AFIRMATIVAS E NEGATIVAS As proposições também se classificam em: • afirmativas





41

• negativas No caso de negativa podemos ter: 1. “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”. 2. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”. No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos então de proposição categórica na forma típica as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”. Então teremos a tabela:

SILOGISMO CATEGÓRICO DE FORMA TÍPICA Chamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumento formado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ). Teremos também três termos: • Termo menor – sujeito da conclusão. • Termo maior – predicado da conclusão. • Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão. Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor. Exemplo: 52) Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. ∴ Todas as princesas são bonitas. Termo menor: as princesas Termo maior: bonitas Termo médio: mulheres Premissa menor: todas as princesas são mulheres. Premissa maior: todas as mulheres são bonitas.





42

ALGUMAS REGRAS PARA A VALIDADE DE UM SILOGISMO: 1. Todo silogismo deve conter somente três termos; 2. O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez; 3. O termo médio não pode constar na conclusão; 4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é válido. 5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão; 6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular; 7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa. DIAGRAMA DE EULER Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euler.





43

Exemplo: 53) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido: Todos os A são B Todos os C são A ∴Todos os C são B

Solução Se as duas premissas são verdadeiras teremos:

Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira. Portanto o argumento é válido. Exemplo: 54) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido: Todo A é B Todo C é B ∴Todo C é A

Solução

Observe que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Logo o argumento não é válido. Exemplo: 55) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido: Algum A é B Todo B é C ∴Algum A é C

Solução





44

Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira. Portanto o argumento é válido. Exemplo: 55) (FGV) – Considere as seguintes proposições: I. “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come”. II. “Ser ou não ser, eis a questão”. III. “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia”. É correto então afirmar-se que: a)Em I está presente uma tautologia. b)Em II está presente uma contradição. c)Em III está presente um dilema. d) I e II são contradições. e) Nenhuma da opções anteriores

Solução Observe que: I - “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come” é um dilema. II - “Ser ou não ser, eis a questão” é uma tautologia. III - “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia” é uma contradição. Resposta: E Exemplo: 56) Sejam as declarações: Se o governo é bom então não há desemprego. Se não há desemprego então não há inflação. Ora, se há inflação podemos concluir que: a. A inflação não afeta o desemprego. b. Pode haver inflação independente do governo. c. O governo é bom e há desemprego. d. O governo é bom e não há desemprego. e. O governo não é bom e há desemprego.

Solução Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:





45

O governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)

→→

Como a terceira premissa é verdadeira temos:

F

V

O governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)

Há inflação (V)

→→

Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há inflação) é falso, sendo assim temos que o antecedente(Não há desemprego) tem que ser falso. Logo temos:

FF

V

O governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)

Há inflação (V)

→→

Conseqüentemente obtemos:

F

FF

V

O governo é bom não há desemprego (V)

Não há desemprego não há inflação (V)

Há inflação (V)

→

→

Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há desemprego) é falso, sendo assim temos que o antecedente(O governo é bom) tem que ser falso. Logo temos:

F F

FF

V

O governo é bom não há desemprego (V)

Não há desemprego não há inflação (V)

Há inflação (V)

→

→

Como o argumento é válido, as conclusões são as proposições verdadeiras: Há inflação.(V) Há desemprego.(V) O governo não é bom.(V) Resposta: E





46

Exemplo: 57) Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a. Ele é pobre mas me ama. b. Ele é rico mas é pão duro. c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e. Ele não me ama e não casa comigo.

Solução Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:

Ele me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)

→→

Como a terceira premissa é verdadeira temos:

F

V

Ele me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)

→→

Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não vou trabalhar) é falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos:

FF

V

Ele me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)

→→

Conseqüentemente obtemos:

F

FF

V

Ele me ama Ele casa comigo (V)

Ele casa comigo não vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)

→

→

Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(Ele casa comigo) é falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos:





47

F F

FF

V

Ele me ama Ele casa comigo (V)

Ele casa comigo não vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)

→

→

Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, que serão as conclusões: Vou trabalhar.(V) Ele não casa comigo.(V) Ele não me ama.(V) Resposta: E Exemplo: 58) (ESAF) – Das premissas: A: “Nenhum herói é covarde”. B: “Alguns soldados são covardes”. Pode-se corretamente concluir que: a)Alguns heróis são soldados b)Alguns soldados não são heróis c)Nenhum herói é soldado d)Alguns soldados são heróis e)Nenhum soldado é herói

Solução Vamos representar o conjunto de heróis, covardes e soldados pelas letras H, C e S respectivamente. Temos então o seguinte diagrama:

Observamos então que sempre teremos alguns soldados que não serão heróis. Vale a pena ressaltar que quando temos, em um silogismo, exatamente uma proposição particular a conclusão será particular. Resposta: B Exemplo: 59) (FGV) – Analise o seguinte argumento: Todas as proteínas são compostos orgânicos; em conseqüência, todas as enzimas são proteínas, uma vez que todas as enzimas são compostos orgânicos. a) O argumento é válido, uma vez que suas premissas são verdadeiras, bem como sua conclusão.





48

b) argumento é válido apesar de conter uma premissa falsa. c) Mesmo sem saber se as premissas são verdadeiras ou falsas, podemos garantir que o argumento não é válido. d) NDA.

Solução Temos o seguinte argumento:

Todas as proteínas são compostos orgânicosTodas as enzimas são compostos orgânicos

Todas as enzimas são proteínas∴

Representado proteínas, compostos orgânicos e enzimas por A, B e C respectivamente temos:

A B

C B

C A

Todas as proteínas são compostos orgânicos

Todas as enzimas são compostos orgânicos

Todas as enzimas são as proteínas∴

O nosso argumento tem a seguinte estrutura não válida.: Todo A é B Todo C é B

∴Todo C é A Resposta: C Exemplo: 60) (ESAF) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo, a) não durmo, estou furioso e não bebo b) durmo, estou furioso e não bebo c) não durmo, estou furioso e bebo d) durmo, não estou furioso e não bebo e) não durmo, não estou furioso e bebo

Solução Temos o seguinte argumento:





49

Se não durmo, beboSe estou furioso, durmoSe durmo, não estou furiosoSe não estou furioso, não bebo.

Podemos escreve as premissas do argumento da seguinte maneira:

Não durmo beboEstou furioso durmoDurmo não estou furiosoNão estou furioso não bebo.

→→

→→

Vamos supor que todas as premissas são verdadeiras:

Não durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)

→→

→→

Observamos que todas as premissas são proposições compostas condicionais e nesse caso não temos inicialmente informações sobre as proposições simples. Quando ocorrer essa situação devemos supor (“chutar”) um valor verdade para uma das proposições simples contida nas premissas. Se o nosso “chute” estiver correto encontraremos a resposta, mas se o chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute e encontramos a resposta correta. Vamos supor então que a proposição “Não durmo” é verdadeira(chute). Teremos então a seguinte situação nas premissas:

V

F

F

Não durmo bebo (V)

Estou furioso durmo (V)

Durmo não estou furioso (V)

Não estou furioso não bebo (V)

→

→

→

→

Analisando a tabela verdade na primeira e segunda premissa temos:

VV

F F

F

Não durmo bebo (V)




→

→

→

→





50

Na quarta premissa temos que a proposição “Não bebo” é falsa.

VV

F F

F

F

Não durmo bebo (V)




→

→

→

→

Assim na quarta premissa a proposição “Não estou furioso” tem que ser falsa.

VV

F F

F

F F

Não durmo bebo (V)




→

→

→

→

Encontramos um absurdo na segunda premissa e na quarta premissa, pois não podemos ter simultaneamente as proposições “Estou furioso” falsa e a proposição “Não estou furioso” falsa. Portanto o nosso chute inicial estava errado. Vamos trocar o chute pois sabemos agora que a proposição “Não durmo” é falsa.

F

V

V

Não durmo bebo (V)




→

→

→

→

Como todas as premissas são verdadeiras, pela tabela verdade, temos:

F

V

V V

V

Não durmo bebo (V)




→

→

→

→

Pela quarta premissa temos que a proposição “não bebo” tem que ser verdadeira, logo:





51

FF

F V

V V

V V

Não durmo bebo (V)




→

→

→

→

Podemos deduzir as conclusões através das proposições verdadeiras: Durmo. Não bebo. Não estou furioso. Resposta: D Exercícios Propostos Texto para os itens de 64 a 67. (TRT - CESPE): Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.

64) ¬ P ∨ Q é verdadeira. 65) ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira. 66) [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) é verdadeira. 67) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.

ARGUMENTO PREMISSAS CONCLUSÃO I p q⇒ , p q II p q⇒ , q∼ p∼ III p q∨ , p∼ q IV p q⇒ , r s⇒ , p r∨ q s∨

68) Considerando os argumento acima podemos dizer que (A) Todos são não válidos. (B) Apenas um é válido. (C) Apenas dois são válidos. (D) Apenas três são válidos. (E) Todos são válidos.





52

69) (TRT-FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é correto concluir que (A) quem não é corrupto é honesto. (B) existem corruptos honestos. (C) alguns honestos podem ser corruptos. (D) existem mais corruptos do que desonestos. (E)) existem desonestos que são corruptos. 70) Todo matemático é estudioso. Existem músicos que são estudiosos. Pedro é matemático e Ivo é estudioso. Pode-se concluir que (A) Pedro é estudioso e Ivo é matemático. (B) Pedro é estudioso e Ivo é músico. (C) Pedro é também músico e Ivo é matemático. (D) Pedro é estudioso e Ivo pode não ser matemático nem músico. (E) Pedro é também músico e Ivo pode não ser matemático nem músico. 71) Em uma cidade, é verdade que "algum físico é esportista" e que "nenhum aposentado é esportista". Portanto, nessa cidade, (A) nenhum aposentado é físico. (B) nenhum físico é aposentado. (C) algum aposentado não é físico. (D) algum físico é aposentado. (E) algum físico não é aposentado. 72) Todas as irmãs de Angélica são loiras. Sendo assim, pode-se concluir que (A) Angélica é loira. (B) Angélica não é loira. (C) Se Ana é loira, então ela é irmã de Angélica. (D) Se Beatriz não é irmã de Angélica, então Beatriz não é loira. (E) Se Cida não é loira, então ela não é irmã de Angélica. (CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A → B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lida como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma A ∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem





53

valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. 73) Uma expressão da forma ¬(A ∧ ¬B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A → B. 74) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira. 75) A proposição simbolizada por (A → B) → (B → A) possui uma única valoração F. 76) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira. (CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então obtém-se a forma P Q∧ , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P Q∨ , lida como “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência de proposições P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses conceitos, julgue o próximo item. 77) Considere as seguintes proposições: P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro” Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”. 78) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos. Logo





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(A) todos os momorrengos são torminodoros. (B) alguns torminodoros são momorrengos. (C) todos os torminodoros são macerontes. (D) alguns momorrengos são pássaros. (E) todos os momorrengos são macerontes.

79) (CESPE) Abaixo, uma tabela com esquemas de estruturas lógicas para quatro tipos diferentes de deduções e uma tabela verdade. As letras P e Q representam sentenças. Os símbolos ¬, → e ∨ são conectivos lógicos usuais de negação, implicação e disjunção, respectivamente.

Considerando as informações acima e o cálculo proposicional, assinale a alternativa correta. a) Se um delegado é um profissional do direito, então ele não desconhece leis. Delegados desconhecem leis. Portanto, delegados não são profissionais do direito. Esta é uma dedução do tipo III. b) Uma pessoa ou pode ser culpada ou inocente de uma acusação. Esta pessoa é culpada. Portanto, ela não é inocente. Essa é uma dedução do tipo I. c) Um supervisor ou sempre mente ou sempre fala a verdade, em relação a um determinado acontecimento. Se ele não fala a verdade então ele mente. Está é uma dedução do tipo IV. d) As tabelas verdade das proposições P∨Q e P→Q são iguais. *e) Da forma de dedução do tipo II, tem-se que a conclusão será verdadeira se ambas as premissas forem verdadeiras.

80) (FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas: _ Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser superada. _ Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão fantasiosos. _ Os superávits serão fantasiosos. Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser: (A) A crise econômica não demorará a ser superada. (B) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos. (C) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos. (D) Os superávits econômicos serão fantasiosos. (E) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.

81) (ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,





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a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 82) (ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações: 1) Se Homero é culpado, então João é culpado. 2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. 3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente. 4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: a) Homero, João e Adolfo são inocentes. b) Homero, João e Adolfo são culpados. c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes. d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado. e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente. 83) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos os Matemáticos são pessoas alegres”, então necessariamente, a) Toda pessoa alegre é matemático. b) Todo matemático é professor. c) Algum professor é uma pessoa alegre. d) Nenhuma pessoa alegre é professor. e) Nenhum professor não é alegre.

84) Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é necessário que: a) todas as mulheres sejam cozinheiras. b) algumas mulheres sejam boas cozinheiras. c) Nenhum homem seja bom cozinheiro. d) Todos os homens sejam maus cozinheiros. e) Pelo menos um homem seja mau cozinheiro.

85) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que: a) todo matemático seja louco. b) todo louco seja matemático. c) Algum louco não seja matemático. d) Algum matemático seja louco. e) Algum matemático não seja louco.





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86) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C

Análise Combinatória

PROBLEMA DA CONTAGEM Exemplos Os candidatos a um concurso podem inscrever-se em 4 áreas (Auditoria, Julgamento, Aduana e Administração) e em 8 regiões para cada área. Quantas opções são oferecidas para os candidatos? As chapas dos automóveis são constituídas por três letras e quatro algarismos. Quantos carros podem ser licenciados? Os exemplos acima mostram que para se obter o número de possibilidades poderíamos começar descrevendo todos e contando, porém, este processo seria trabalhoso. Daí surge a análise combinatória, que permite criar regras para agrupamentos de objetos facilitando assim a contagem.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Este princípio é conhecido como princípio da multiplicação e tem o seguinte enunciado: Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras distintas e, para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrer A seguido da ocorrência de B é m x n. Exemplos: 1. O candidato a um concurso tem 8 regiões possíveis e 4 áreas possíveis par concorrer. De quantos modos ele pode fazer a inscrição?

Solução Temos neste caso dois acontecimentos A - Escolher a região (8 possibilidades) B - Escolher a área (4 possibilidades) Logo pelo princípio da multiplicação existem 8 x 4 = 32 modos de fazer a inscrição





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2. Uma moça possui 10 blusas, 8 saias e 4 sapatos. De quantos modos ela pode se vestir?

Solução Evidentemente que o princípio da multiplicação não está limitado apenas a 2 acontecimentos, portanto neste caso vamos estender a 3 acontecimentos. Acontecimentos: A - Escolher a blusa (10 possibilidades) B - Escolher a saia (8 possibilidades) C - Escolher o sapato (4 possibilidades) Pelo princípio da multiplicação temos 10 x 8 x 4 = 320 modos de se vestir. 3. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados no sistema decimal?

Solução Observe que temos três posições para preencher

Posição A - 9 possibilidades (algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Posição B - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Posição C - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Pelo princípio da multiplicação temos: 9 x 10 x 10 = 900 números. 4. Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9 ?

Solução Seja o esquema:

Observamos que os números têm que ser pares, isto dificulta a contagem, daí precisamos primeiramente satisfazer a restrição de os números serem pares. Regra: “Se existe uma restrição causando dificuldade então devemos satisfazê-la em primeiro lugar” Sendo assim, temos: Posição C - 2 possibilidades (algarismos 6, 8) Posição A - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9) Posição B - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9) Pelo princípio da multiplicação temos 2 x 6 x 6 = 72 números. 5. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9.

Solução Seja o esquema:





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Na posição A: 6 possibilidades Na posição B, após ter preenchido a posição A: 5 possibilidades Na posição C, após ter preenchido as posições A e B: 4 possibilidades Logo, pelo princípio da multiplicação temos: 6 x 5 x 4 = 120 números. 6. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9

Solução Primeiramente vamos satisfazer a condição do número ser par

Logo, na posição C, temos 2 possibilidades. Agora, vamos para a posição A, após ter preenchido a posição C.

Agora, vamos para a posição B, após ter preenchido as posições C e A

Logo pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 x 2 = 40 números 7. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras linhas ligando a cidade B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha?

Solução Ida de A para B - 3 possibilidades Ida de B para C - 4 possibilidades Volta de C para B - 3 possibilidades (porque?) Volta de B para A - 2 possibilidades (porque?) Pelo princípio da multiplicação temos 3 x 4 x 3 x 2 = 72 linhas de ônibus





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8. Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras de se entrar nele e sair por uma porta diferente é: a. 5 b. 10 c. 15 d. 20 e. 30

Solução Número de maneiras de entrar - 5 Número de maneiras de sair por uma porta diferente da que entrou - 4 Pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 = 20 números Resposta D 9. Um “bit” é um dos algarismos 0 ou 1. O número de seqüências de 10 “bits” é: a. inferior a 100 b. 100 c. um número entre 100 e 500 d. um número entre 500 e 1000 e. um número superior a 1000

Solução Considere o esquema:

Resposta E 10. Quantos divisores tem o número 72?

Solução Decompondo o número 72 obtemos 72 = 23 . 32, observe que os divisores de 72 são da forma 2x . 3y onde x∈ {0, 1, 2, 3} e y∈ {0, 1, 2}. Portanto para achar o número de divisores de 72 basta calcular o número possível de formar os pares (x, y) tal que x∈{0, 1, 2, 3} e y∈ {0, 1, 2}, sendo assim temos: Número de maneiras de escolher o x: 4 possibilidades Número de maneiras de escolher o y: 3 possibilidades pelo princípio da multiplicação temos 4 x 3 = 12 divisores.





60

11. 5 rapazes e 5 moças devem posar para fotografia, ocupando os 5 degraus de uma escada, de modo que em cada degrau fique um casal. De quantas maneiras diferentes podemos dispor esse grupo? a. 70.400 b. 128.000 c. 460.800 d. 332.000 e. 625

Solução Vamos preencher os degraus consecutivamente

Logo, pelo princípio da multiplicação temos: (5x5x2) x (4x4x2) x (3x3x2) x (2x2x2) x (1x1x2) = 460.800 maneiras.

OUTRA SOLUÇÃO Outra resolução poderia ser feita supondo que (M1, M2, M3, M4, M5, R1, R2, R3, R4, R5) são as moças e os rapazes. Vamos escolher os lugares para colocar essas 10 pessoas. Como somos cavalheiros vamos colocar primeiro as moças.





61

Pelo princípio da multiplicação temos: 10 x 8 x 6 x 4 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 460.800 maneiras Resposta C 12. Seja um barco com 8 lugares, numerados conforme o diagrama abaixo. Há 8 remadores possíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: os remadores A e B só podem ocupar as posições ímpares e o remador C posição par. Os remadores D, E, F, G e H podem ocupar quaisquer posições. Quantas configurações podem ser obtidas com o barco totalmente guarnecido?

Solução

Vamos satisfazer às restrições conforme a ordem

Resposta: 5760 configurações. 13. Quantos números de quatro algarismos existem, tendo pelo menos dois algarismos iguais?

Solução São números da forma: 1135, 4779, 3336, ... 9999





62

Vamos calcular a diferença entre a quantidade de números de quatro algarismos e a quantidade de números de quatro algarismos diferentes. Quantidade de números de quatro algarismos:

Possibilidades: 9 x10 x10 x10 = 9000 Quantidade de números de quatro algarismos diferentes:

Possibilidades: 9 x9 x8 x7 = 4.536 Logo temos: 9.000 - 4536 = 4.464 números. 14. Cada linha telefônica é formada por sete algarismos divididos em dois grupos: um formado pelos primeiros três algarismos, que distingue os centros telefônicos, e o outro, com quatro algarismos, que distingue as linhas de um mesmo centro. Suponha que só os algarismos de cada grupo são todos distintos. Quantas linhas telefônicas começando com o algarismo 2, poderiam ser lançadas?

Solução

FATORIAL

Seja n um número natural maior que 1. Chamamos de n fatorial e denotamos por n! a:

Exemplos 15. Calcule: a. 3! = 3 x 2 x 1 = 6 b. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 c. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24





63

d. n! = n (n-1)!

16. Simplificar: 6!5!

Solução 6! 6 5! 65! 5!

×= =


Solução 9! 9 8! 98! 8!

×= =


Solução 10! 10 9 8 7! 10 9 8 7207! 7!

× × ×= = × × =

19. Simplificar: 8! 9!

7!+

Solução 8! 9! 8 7! 9 8 7! 8 7! 72 7! 80 7! 80

7! 7! 7! 7!+ × + × × × + × ×

= = = =

20. Simplificar: !

( 1)!n

n −

Solução

! ( 1)!( 1)! ( 1)!

n n n nn n

× −= =

− −

21. Simplificar: !

( 2)!n

n −

Solução





64

! ( 1) ( 2)! ( 1)

( 2)! ( 2)!n n n n n n

n n× − × −

= = × −− −

22. Calcule n sabendo que: ! 12

( 2)!n

n=

−

Solução

! 12( 2)!

nn

=−

( 1) ( 2)! 12( 2)!

n n nn

× − × −=

− ( 1) 12n n× − =

2 12 0n n− − =3(não serve)

4

noun

= −⎧⎪⎨⎪ =⎩

Resposta: n = 4.

ARRANJOS SIMPLES

Seja A um conjunto com n elementos e p um número natural, com p≤n. Chamamos um arranjo simples p a p, dos n elementos de A, a cada subconjunto ordenado de p elementos de A. Como o subconjunto é ordenado temos que são distintos quanto a ordem. Então chamaremos de p

nA ao número de arranjo de n objetos, p a p. Daí teríamos

A fórmula ( 1)( 2)...( 1)p

nA n n n n p= − − − + também pode ser escrita como !( )!

pn

nAn p

=−

.

Exemplos: 23. Calcule: a) 2

4A b) 3

5A c) 4

7A





65

a) 26A

Solução a) 2

4 4 3 12A = × = b) 3

5 5 4 3 60A = × × = c) 4

7 7 6 5 4 840A = × × × = d) 2

6 6 5 30A = × = 24. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos significativos?

Solução Entendemos como algarismos significativos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Então teríamos: Para a primeira posição - 9 possibilidades Para a segunda posição, após preencher a primeira - 8 possibilidades Para a terceira posição, após preencher a primeira e a segunda posições – 7 possibilidades. Daí pelo princípio da multiplicação

39 9 8 7 504A = × × =

25. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar?

Solução Os algarismos que podemos utilizar são (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Para a primeira posição - 9 possibilidades (não pode ter o zero) Para a segunda posição, após ter preenchido a primeira posição - 9 possibilidades

Logo pelo princípio da multiplicação temos 3

99 9 9 8 7 4536A× = × × × = . 26. Seis pessoas querem se sentar em um ônibus com 20 lugares desocupados. De quantas maneiras elas poderão se acomodar?

Solução 1ª pessoa - 20 modos 2ª pessoa - 19 modos 3ª pessoa - 18 modos 4ª pessoa - 17 modos





66

5ª pessoa - 16 modos 6ª pessoa - 15 modos Logo 6

20 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 = 27.907.200A = .

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Chamamos de permutações simples de n objetos distintos a qualquer arranjo desses n elementos tomados em qualquer ordem. Assim, teremos o número de permutação de n objetos distintos, que denotamos por Pn a:

Logo

( 1)( 2)( 3)....1!

n

n

P n n n nP n

= − − −=

27. Quantos anagramas possui a palavra FISCAL? Solução

P6 = 6x5x4x3x2x1 = 6! = 720 anagramas.

28. De quantos modos 4 pessoas podem se sentar em 4 cadeiras em fila?

Solução

P4 = 4x3x2x1 = 4! = 24

29. Calcular quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6.

Solução P5= 5! = 120





67

30.Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6.

Solução O número de parcelas é P5 = 5! = 120

Observe que em qualquer coluna, cada algarismo aparece tantas vezes quantas forem as permutações dos quatro algarismos restantes, isto é, P4=4!=24 vezes Deste modo teremos que a soma total dos algarismos em cada coluna é

Logo teremos: 2 x 24 + 3 x 24 + 4 x 24 + 5 x 24 + 6 x 24 = 480

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO





68

31. Quantos anagramas possui a palavra RECEITA?

Solução 1,2,1,1,1,1

77! 5040 2520

1!2!1!1!1!1! 2P = = = anagramas

32. Quantas anagramas possui a palavra ARARA?

Solução 3,2

55! 120 10

3!2! 12P = = = anagramas

33. Quantos anagramas possui a palavra PANACA, que começam por consoante?

Solução Escolha da consoante para a primeira posição: 3 maneiras Escolha das cinco posições restantes pelas cinco letras restantes após ter preenchido a primeira posição:

3,1,1

55! 5 4 3 23 3 3 3 20 60

3!1!1! 3 2 1 1 1P × × ×

× = × = × = × =× × × ×

anagramas.

PERMUTAÇÕES CIRCULARES





69

34. Exemplo De quantos modos 3 crianças podem brincar de roda?

Solução Suponhamos que temos 3 crianças A, B, C. Então, poderíamos visualizar as seguintes rodas

Observamos que as rodas (I, II e III) são idênticas, basta olhar os sentidos, e ainda temos que as rodas (IV, V e VI) também são idênticas. Portanto, teríamos apenas duas rodas. Logo, as crianças só podem brincar de roda de duas maneiras distintas. Outra maneira de raciocínio: poderíamos fixar uma das três crianças e permutar as duas restantes, logo, teríamos 2! = 2 maneiras

CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES CIRCULARES

Seja (PC)n, o número de permutações circulares, então fixamos um dos n objetos e permutamos os (n-1) objetos restantes, logo

( ) ( 1)!n

PC n= − 35. Exemplo De quantos modos cinco pessoas podem brincar de roda?

Solução (PC)5 = 4! = 24 modos





70

36. Exemplo Quantos colares podem ser feitos com seis contas diferentes?

Os mais inocentes, poderiam pensar em 5! = 120, mas pela natureza do colar o número

correto seria 5! 120 602 2

= = , pois cada permutação pode ser rebatida conforme a figura

acima.

COMBINAÇÕES SIMPLES

Seja um conjunto A, com n elementos distintos. Chamamos de combinação simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto de k elementos do conjunto A. Indicamos o número de combinações dos n elementos tomados k a k por:

!!( )!

kn

nCk n k

=−

ou !!( )!

n nk k n k

⎛ ⎞=⎜ ⎟ −⎝ ⎠

37. Exemplo Calcule: a) 2

5C b) 3

7C c) 5

8C d) 2

3C Solução

a) 25

5! 5! 5 4 3! 5 4 102!(5 2)! 2!3! 2!3! 2!

C × × ×= = = = =

−

b) 37

7! 7! 7 6 5 4! 7 6 5 7 5 353!(7 3)! 3!4! 3!4! 3!

C × × × × ×= = = = = × =

−

c) 58

8! 8! 8 7 6 5! 8 7 6 8 7 565!(8 5)! 5!3! 5!3! 3!

C × × × × ×= = = = = × =

−

d) ( )

23

3! 3! 3 2! 3 32! 3 2 ! 2!1! 2!1! 1!

C ×= = = = =

−

38. Exemplo





71

Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podemos formar? Solução

35

5! 5! 5 4 3! 5 4 103!(5 3)! 3!2! 3!2! 2!

C × × ×= = = = =

−

Resposta: 10 comissões. 39. Exemplo De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?

Solução a) 2

66! 6! 6 5 4! 6 5 15

2!(6 2)! 2!4! 2!4! 2!C × × ×

= = = = =−

Resposta: 15 modos. 40. Exemplo (F.G.V.) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas contendo 2 diretores e 3 gerentes?

Solução 3 diretores

Empresa 5 gerentes

⎧⎨⎩

2 diretores

Comissões 3 gerentes

⎧⎨⎩

Pelo Princípio Fundamental da Contagem temos: 2 33 5 3 10 30C C× = × = comissões.

Resposta: 30 comissões. 41. Exemplo Quantas saladas de frutas diferentes, podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

Solução 58

8! 8! 8 7 6 5! 8 7 6 8 7 565!(8 5)! 5!3! 5!3! 3!

C × × × × ×= = = = = × =

−

Resposta: 56 saladas. 42. Exemplo Quantas diagonais possui o pentágono regular?

Solução





72

Observe que para fazer uma diagonal, preciso unir dois vértices; como possuo 5 vértices teremos 2

5C modos de unir dois vértices, isto é, 10 modos. Por outro lado, quando unimos AB, BC, CD, DE e EA, estamos contando os lados do pentágono, logo, o número de diagonais é 10 – 5 = 5 diagonais.

EQUAÇÕES LINEARES

Seja 1 2 3 ... kx x x x n+ + + + = onde *n∈ . Chamaremos de solução inteira da equação acima a k-upla de inteiros 1 2 3( , , ,... )kα α α α tal que 1 2 3 ... k nα α α α+ + + + =

43. Exemplo Seja x1 + x2 + x3 = 7 então temos que (1, 2, 4), (3, 1, 3), (4, 0, 3) etc são soluções inteiras. Sendo assim, se todas as coordenadas são positivas (ex: (1, 2, 4), (3, 1, 3), (40, 3)) dizemos que são inteiras positivas. Se as coordenadas são maiores ou iguais a zero (ex: (4, 0, 3), (1, 0, 6), (2, 0, 5)) dizemos que são inteiras não negativas. 44. Exemplos Quantas soluções inteiras positivas possui a equação x1 + x2 + x3 = 10 ?

Solução Usaremos o artifício de escrever dez vezes o algarismo um como abaixo: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Observe que entre os algarismos existem 9 espaços que podem ser separados por barras verticais para representar soluções inteiras, por exemplo: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 representa a solução (2, 3, 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 representa a solução (3, 3, 4)





73

Portanto, o número de soluções inteiras é o número de se escolher duas posições dos nove espaços para se colocar as duas barras, isto é,

29

9! 9! 9 8 7! 362!(9 2)! 2!7! 2!7!

C × ×= = = =

−

Logo temos 36 soluções inteiras positivas. Podemos raciocinar do mesmo modo, e concluir que x1 + x2 + x3 + .... + xk = n possui

11

knC −

− soluções inteiras positivas. 45. Exemplo Quantas soluções inteiras positivas possui a equação x1 + x2 + x3 = 8 ?

Solução

27

7! 7! 7 6 5! 212!(7 2)! 2!5! 2!5!

C × ×= = = =

−

46. Exemplo Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação x1 + x2 + x3 = 10 ?

Solução Temos agora que, por exemplo (2, 0, 8), (4, 6, 0), (0, 1, 9), (3, 7, 0) são solução inteiras não negativas. Observe que se somamos um a todas as soluções inteiras não negativas, teremos por exemplo: (2, 0, 8) ⇔ (3, 1, 9) (4, 6, 0) ⇔ (5, 7, 1) (0, 1, 9) ⇔ (1, 2, 10) (3, 7, 0) ⇔ (4, 8, 1) Logo, concluímos que para cada solução inteira não negativa da solução x1 + x2 + x3 = 10, corresponde uma solução inteira positiva da equação z1 + z2 + z3 = 13 e vice-versa, que é

212C . Logo, existem 2

12 66C = soluções inteiras não negativas de x1 + x2 + x3 = 10. Podemos raciocinar do mesmo modo e concluir que x1 + x2 + x3 + .... xk = n, possui 1

1kn kC −

+ − soluções inteiras não negativas. 47. Exemplo Quantas soluções inteiras não negativas possui a equação x1 + x2 + x3 = 8 ?

Solução Observamos que n = 8 e k = 3





74

Logo, o número de soluções inteiras não negativas é 3 1 28 3 1 10 45C C−

+ − = = soluções. Conclusão

1 2 3 kx + x + x + .... x = n (n N*)∈ Número de soluções inteiras positivas: 1

1knC −

− Número de soluções inteiras não negativas: 1

1kn kC −

+ − 48. Exemplo De quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes em um bar que possui 4 tipos diferentes?

Solução Seja x1 o número de refrigerantes do tipo A x2 o número de refrigerantes do tipo B x3 o número de refrigerantes do tipo C x4 o número de refrigerantes do tipo D Observe que x1 + x2 + x3 + x4 = 5 e que 1 0x ≥ , 2 0x ≥ , 3 0x ≥ e 4 0x ≥ , logo, como queremos o número de soluções inteiras não negativas de x1 + x2 + x3 + x4 = 5 temos:

4 1 35 4 1 8 56C C−

+ − = = modos.

TRIÂNGULO DE PASCAL

É o triângulo escrito com combinações da seguinte forma: 00C 0 11 1 C C 0 1 22 2 2 C C C 0 1 2 33 3 3 3 C C C C 0 1 2 3 44 4 4 4 4 C C C C C

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . 0 1 2 3 4 n n n n nC C C C C n

nC





75

Observe que o triângulo de Pascal é 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • A soma de dois elementos consecutivos, na mesma linha dá o elemento na mesma coluna e linha abaixo.

1 11

k k kn n nC C C+ +

++ =

49. Ex.: a. 1 2 2

3 3 4 (3 3 6)C C C+ = + =

b. 2 3 3

3 3 4 (3 1 4)C C C+ = + = • A soma de todos elementos da mesma linha é igual a 2n, onde n é o número da linha.

0 1 2 3 ... 2n nn n n n nC C C C C+ + + + + =

50. Ex.: a. 0 1 2 3 3

3 3 3 3 1 3 3 1 8 2C C C C+ + + = + + + = =

b. 0 1 2 3 4 4

4 4 4 4 4 1 4 6 4 1 16 2C C C C C+ + + + = + + + + = = Exemplos: 51. (G.V.) Uma sala tem 10 portas. Calcular o número de maneiras diferentes que essa sala pode ser aberta?

Solução Das dez portas posso escolher 1 para abrir: 1

10C maneiras Das dez portas posso escolher 2 para abrir: 2

10C maneiras Das dez portas posso escolher 3 para abrir: 3

10C maneiras





76

Das dez portas posso escolher 10 para abrir: 1010C maneiras

logo, teremos:

1 2 3 1010 10 10 10...C C C C S+ + + + =

Mas, do exemplo anterior, sabemos que 0 1 2 3 10 1010 10 10 10 10... 2C C C C C+ + + + + = temos 0 1010 2C S+ =

10 101 2 2 1 1024 1S S S+ = ⇒ = − ∴ = − S = 1023 maneiras 52. (MACK) De um grupo de 5 pessoas de quantas maneiras distintas posso convidar uma ou mais para jantar?

Solução Das 5 pessoas escolho 1: 1

5C

Das 5 pessoas escolho 2: 25C




Logo, queremos 1 2 3 4 55 5 5 5 5C C C C C S+ + + + =

Sabemos que:

0 1 2 3 4 5 25 5 5 5 5 5 2C C C C C C+ + + + + =

0 55 2

1 3232 1

C SS

S

= =

+ == −

S = 31 maneiras 53. (GV) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas poderão ser formadas, contendo, no mínimo, um diretor?

Solução Comissões com 1 diretor e 4 gerentes: 1 4

3 5C C× = 15 Comissões com 2 diretores e 3 gerentes: 2 3

3 5C C× = 30 Comissões com 3 diretores e 2 gerentes: 3 2

3 5C C× = 10 logo 15 + 30 + 10 = 55 comissões





77

54. (OSEC) Do cardápio de uma festa constavam 10 diferentes tipos de salgadinhos dos quais só 4 seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só dois tipos de salgadinhos frios e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

Solução 4 quentes

Tipos de salgadinhos 6 frios

⎧⎨⎩

Travessa ⇒ 2 24 6 6 15 90C C× = × =

55. Calcular o valor de m de modo que: ( ) ( )1 ! 1 ! ! 576m m m− + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

Solução ( ) ( )( ) [ ]( ) [ ]( )

( )( )

2

1 ! 1 ! ! 576

1 ! !( 1) ! 576

1 ! ! ( 1) 1 576

1 ! ! 576! ! 576

! 576

! 576! 24

4

m m m

m m m m

m m m

m m mm m

m

mmm

− + − =⎡ ⎤⎣ ⎦− + − =

− + − =

− =

=

=

=

==

Resposta: m = 4 56. Escrevendo em ordem crescente, todos os números naturais de 4 algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, qual a ordem (número da posição) do número 4523?

Solução Vamos contar todos os números que começam por 1, 2, 3, 41, 42, 43, 451, 4521, pois são certamente menores que 4523. Começando por 1:

possibilidades 1 × 5 × 4 × 3 = 60 possibilidades Começando por 3:





78

possibilidades 1 × 5 × 4 × 3 = 60 possibilidades Começando por 41:

possibilidades 1 x 1 x 4 x 3 = 12 possibilidades Começando por 42:



possibilidades 1 x 1 x 1 x 1 = 1 possibilidades Logo, teremos 60 + 60 + 60 + 12 + 12 + 12 + 3 + 1 = 220 57. (PUC) O número N está para o número de seus arranjos 3 a 3, como 1 está para 240. Calcular o valor de N?

Solução

3

1240N

NA

=

( )( )1

1 2 240N

N N N=

− −





79

( ) ( )1 2 240N N− × − =

17N = 58. (ITA) O número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z + w = 5 é:

Solução x + y + z + w = 5 temos n= 5 e k= 4 Logo, o número de soluções inteiras não negativas é 1

1kn kC −

+ − , isto é 4 1 35 4 1 8 56C C−

+ − = = soluções. 59. (ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO apresentam as vogais em ordem alfabética?

Solução Sabemos que o total de permutações das letras da palavra CADERNO é P7 = 7! = 5040. Porém temos todas as ordens das vogais A, E, O nas permutações P3 = 3! = 6 (AEO, AOE, EAO, EOA, OAE, OEA) Dessas 6 permutações apenas 1 delas está em ordem alfabética. Como todas elas apresentam o mesmo número de vezes nas permutações da palavra CADERNO, vemos que o total de permutações da palavra CADERNO em que as vogais estão em ordem alfabética

é 5040 8406

= anagramas.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

87) (MACK) Se 282n⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

então n é:

a. 7 b. 8 c. 14 d. 26 e. 56 Resposta: B 88) (UFB) Com as letras da palavra COMPLEX, temos: I. 720 permutações podem ser feitas terminando com X. II. 240 permutações começando e terminando por vogal. III. 10.080 permutações começando por vogal Marque a. Se todas as afirmativas são verdadeiras b. Se todas as afirmativas são falsas





80

c. Se apenas a III é verdadeira d. Se apenas a I e II são verdadeiras e. Se apenas a I é verdadeira Resposta: D 89) (ITA) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61.473 será: a. 76ª b. 78ª c. 80ª d. 82ª e. n.d.a. Resposta: A 90) (F.C. CHAGAS) O número de anagramas da palavra BAGRE, que começam por consoante é: a. 120 b. 72 c. 48 d. 24 e. 12 Resposta: B

91) (F.C.CHAGAS) A sentença 2

10nn

+⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ é verdadeira se, e somente se, n! for igual

a: a. 1 b. 6 c. 18 d. 720 e. 6 ou 720 Resposta: B 92) (Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem? a. 4! × 3! b. 2-1 × 4! × 3! c. 24 d. 12 e. 7 Resposta: C





81

93) (MACK) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, serão divisíveis por 5: a. 20 números b. 30 números c. 60 números d. 120 números e. 180 números Resposta: C 94) (MACK) Em um teste de múltipla escolha, com 5 alternativas distintas, sendo uma única correta, o número de modos distintos de ordenar as alternativas de maneira que a única correta não seja nem a primeira nem a última é: a. 36 b. 48 c. 60 d. 72 e. 120 Resposta: D 95) (PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser formados com algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é: a. 54 b. 56 c. 58 d. 60 e. 64 Resposta: E 96) (PUC) O número de maneiras que um professor pode escolher um ou mais estudantes de um grupo de 6 estudantes é: a. 56 b. 58 c. 60 d. 63 e. 65 Resposta: D 97) (OSEC) Um estudante ganhou numa competição quatro diferentes livros de matemática, três diferentes de física e dois de Química. Querendo manter juntos os livros de mesma disciplina, calculou que poderá enfileirá-los numa prateleira de estante, de modos diversos num total de: a. A9,3





82

b. A9,3 × A9,3 × A9,2 c. P9 d. P4 × P3 × P2 e. P3 × P4 x P3 × P2 Resposta: E 98) (FUVEST) Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9. Resposta: 72

99) (F. MED. TAUBATÉ) Simplificando-se ( ) ( )( )1 ! 2

1 !n n

n+ +

− obtém-se:

a. 2

b. ( )( )1 21

n nn

+ +−

c. (n+1) (n+2) d. n (n+2) e. n (n+1) (n+2) Resposta: E 100) (FGV) O número de combinações de 8 elementos, 3 a 3, que contém um determinado elemento é: a. 21 b. 42 c. 56 d. 7 e. 27 Resposta: A 101) (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é: a. 10 b. 24 c. 30 d. 60 e. 120 Resposta: C





83

102) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: a. 24 b. 48 c. 96 d. 120 e. 144 Resposta: B 103) (MACK) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é: a. 120 b. 320 c. 500 d. 600 e. 720 Resposta: D 104) (CESGRANRIO) Considere cinco pontos, três a três não colineares. Usando esses pontos como vértices de um triângulo, o número de todos as triângulos distintos que se podem formar é: a. 5 b. 6 c. 9 d. 10 e. 15 Resposta: D 105) (PUC) Uma mensagem em código deve ser feita de tal forma que, cada letra do alfabeto seja representada por uma seqüência de n elementos, onde cada elemento é zero (0) ou um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do alfabeto possam ser representadas é: a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 Resposta: A





84

106) (GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A até B, deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita?

a. 126 b. 858 c. 326 d. 954 e. 386 Resposta: A 107) (POLI) Entendendo-se por diagonal de um poliedro todo segmento que liga dois vértices não pertencentes a uma mesma face, quantas diagonais possui um prisma cujas bases são polígonos de n lados? Resposta: n (n-3) 108) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa comissão, de modo que não façam parte da mesma exatamente dois alunos designados por números consecutivos? a. 2 b. (n–2) c. 2

nC d. (n–2)n e. (n–2)(n–3) Resposta: E 109) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa comissão, de modo que não façam parte da mesma dois ou três alunos designados por números consecutivos? a. (n–3)





85

b. (n–1)(n–2)(n–3)

c. (n-2)(n-3)(n-4)6

d. n(n-2)(n-3)6

e. n(n-3)6

Resposta: C 110) (PUC) N retas paralelas de um plano se interceptam com uma série de m retas paralelas desse mesmo plano. Então, o número de paralelogramos que se obtém na rede assim distribuída é: a. Cm,2 : Cn,2 b. Cm,2 - Cn,2 c. 2Cm,2 + 2Cn,2 d. Cn,2 + Cm,2 e. Cn,2 . Cm,2 Resposta: E 111) (FATEC) Dispõem-se de 7 cores distintas para pintar um mapa das 5 regiões do Brasil. Pode-se repetir uma vez no máximo, cada uma das cores. Quantas disposições diferentes de cores pode-se obter? a. 10.920 b. 1.421 c. 5.040 d. 3.360 e. n.r.a Resposta: A 112) (ITA) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro algarismos distintos, contendo o algarismo “4” ou o algarismo “5” podem ser formados? a. 196 b. 286 c. 340 d. 336 e. n.r.a. Resposta: D 113) O número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais juntas é: a) 744





86

b) 760 c) 796 d) 840 e) 900 Resposta: A 114) (IME) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Uma das permutações desses algarismos, origina o número 42351. Determine a soma dos números formados, quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis. a) 3900900 b) 3900999 c) 3999960 d) 3999999 e) 4000000 Resposta: C 115) (FUVEST) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521? a) 70ª b) 72ª c) 80ª d) 90ª e) 96ª Resposta: D 116) Em um plano existem cinco retas secantes duas a duas. O número de triângulos que são determinados com os vértices nos seus pontos de intersecção é: a) 120 b) 140 c) 150 d) 160 e) 180 Resposta: A 117) O número de maneiras de colocarmos três anéis diferentes nos cinco dedos da mão esquerda é: a) 180 b) 190 c) 200 d) 210 e) 240





87

Resposta: D 118) (Ufscar-SP) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente 20 vereadores, sendo que 12 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O número de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadores situacionistas e 3 oposicionistas é: a) 27720 b) 13860 c) 551 d) 495 e) 56 119) (PUC-RJ) De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de 5 soldados podem ser formadas se em cada equipe um soldado é destacado para líder? a) 1260 b) 1444 c) 1520 d) 1840 e) 1936 120) (ITA-SP) Quantos números de 6 algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? a) 144 b) 180 c) 240 d) 288 e) 360

Probabilidade

CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE 1. DEFINIÇÃO - ESPAÇO AMOSTRAL O espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos resultados possíveis desse experimento. Seja S o espaço amostral. Então, para cada resultado possível, do experimento, corresponde um, e somente um, ponto w em S. Além disso, resultados distintos correspondem a pontos distintos em S. 01. Exemplo Experimento 1.





88

Lançar uma moeda equilibrada e observar a face superior. Podemos garantir que só há dois resultados possíveis, cara (H) ou coroa (T). Se representarmos este resultado por H e T , então cada resultado possível do experimento corresponde exatamente a um elemento do conjunto (H;T). Este conjunto de resultados será chamado de espaço amostral para o experimento e representaremos por S = {(H;T)}. Experimento 2. Lançar um dado honesto e observar o número da face superior. Evidentemente que o conjunto de todos os resultados possíveis neste caso é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. DEFINIÇÃO - EVENTO Um evento é um subconjunto do espaço amostral S. 02. Exemplo No experimento 2. Alguns dos eventos são: A = observa-se um número ímpar B = observa-se um número menor ou igual a 3 Observamos que A e B são subconjuntos de S, pois A = {1, 3, 5} e B= {1, 2, 3}. Observação: S: é chamado de evento certo ∅ : é chamado de evento impossível 3. DEFINIÇÃO - UNIÃO DE EVENTOS A união de eventos A e B em S é o conjunto de todos os pontos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B.

{ }A ou B = A B = x | x A ou x BS∪ ∈ ∈ ∈ 4. DEFINIÇÃO - INTERSECÇÃO DE EVENTOS A intersecção dos eventos A e B em S é o conjunto de todos os pontos que pertencem a A e B.





89

{ }A ou B = A B = x | x A e x BS∩ ∈ ∈ ∈ 5. DEFINIÇÃO - EVENTO EXCLUSIVO (OU DISJUNTOS) Se A B = ∩ ∅ , então os eventos são mutuamente exclusivos.

6. DEFINIÇÃO - EVENTO COMPLEMENTAR O evento Ac é o conjunto de todos os pontos que não estão em A e é denominado complemento de A.

{ }cA = x | x AS∈ ∉ 7. DEFINIÇÃO - DIFERENÇA DE EVENTOS A diferença de A e B ou complemento do evento B com relação ao evento A, é o conjunto de todos os pontos em S que pertencem ao evento A mas não pertencem ao B.

{ }cA - B = A B = x | x A e x BS∩ ∈ ∈ ∉ Se A é um evento, no experimento 2 parece razoável definir:





90

número de resultados favoráveis de AP(A) = número de resultados possíveis

isto é:

número de resultados favoráveis de AP(A) = 6

Esta definição é coerente quando o S é finito e estamos indiferentes diante dos resultados possíveis. No experimento 2.

( )1 ;6 iiP S= ∀ ∈

No experimento 1.

( )1 ;2 ii wwP S= ∀ ∈

Suponha que para todo evento A está associado um número real P(A) chamado de probabilidade de A, tal que: 1. P(A) ≥ 0 2. P(S) = 1 3. Se A e B são eventos aleatórios disjuntos, então, ( ( ) ( )P A B P A P B∪ = + Obs.: Os eventos são disjuntos se são mutuamente exclusivos, i.e., A B = ∩ ∅ A função P satisfazendo 1, 2 e 3 é chamada probabilidade. 8. PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE P1) ( ) 1 ( )cP A P A= − P2) 0 ( ) 1P A≤ ≤ P3) Se A B P(A) P(B)⊂ ⇒ ≤ P4) ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ ≤ +





91

P5) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 9. PROBABILIDADE CONDICIONAL a. Definição A probabilidade condicional de A dado B é representada por P(A/B) e definida por:

( )( / )( )

P A BP A BP B

∩= para ( ) 0P B ≠

Considere o diagrama de Venn:

Se A e B são desenhados de modo que as áreas de A, B e A ∩ B são proporcionais às suas probabilidades, então P(A/B) é a proporção do evento B ocupada pelo evento A. Observe que:

( ) ( / ) ( )P A B P A B P B∩ = × b. Teorema Teorema da multiplicação ou teorema da probabilidade composta. Então: 1. P(A ∩ B) = P(A) ×P(B / A) = P(B)×P(A / B) 2. P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1)× P(A2 / A1) P(A3 / A1 ∩ A2) × P(A4 / A1 ∩ A2 ∩ A3)... P(An / A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A4n-1) Exemplos 03. Considere o experimento: Lançamento de duas moedas idênticas e equilibradas: a. Qual a probabilidade condicional de obter duas caras dado que se obteve cara na primeira moeda. b. Determine a probabilidade condicional de obter duas caras, dado que se obteve pelo menos uma cara.

Solução Neste caso, o espaço amostral consiste de quatro pontos: S={HH, HT, TH, TT} cada um com probabilidade 1/4 Sejam os eventos: A = {obtenha cara na primeira moeda}





92

B = {obtenha cara na segunda moeda}

a. Queremos 1( ) 4 1( / ) 21( ) 2

P A BP A B AP A

∩∩ = = =

b. Queremos 1( ) 4 1( / ) 33( ) 4

P A BP A B A BP A B

∩∩ ∪ = = =

∪

04. Suponha que a população de uma certa cidade é constituída por 40% de homens e 60% de mulheres. Suponha ainda que 50% dos homens e 30% das mulheres trabalham. Determine a probabilidade de que uma pessoa selecionada que trabalhe seja homem.

Solução Sejam os eventos: H = {A pessoa selecionada é homem} M= {A pessoa selecionada é mulher} T = {A pessoa selecionada trabalha} N = {A pessoa selecionada não trabalha} daí, temos as seguintes probabilidades P(H) = 4/10 P(M) = 6/10 P(T/H) = 1/2 P(T/M) = 3/10 Queremos:

a ( ) ( ) ( / )( / ) (*)( ) ( )

P H T P H P T HP H TP T P T

∩ ×= =

Mas observe que a pessoa que trabalha é homem ou mulher, logo temos:

( ) ( )T T H T M= ∩ ∪ ∩ daí temos que: T H∩ e T M∩ são disjuntos, daí:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P T P T H P T M P T P H P T H P M P T M= ∩ + ∩ ⇒ = × + × daí voltando em * temos:

4 1( ) ( / ) 10 2( / ) 6 34 1( ) ( / ) ( ) ( / ) 10 2 10 10

P H P T HP H TP H P T H P M P T M

××= = =

× + × × + ×

44 4 100 2020218 384 20 38 3820 100 100

= = = × =+





93

05. Selecionamos, ao acaso, três cartas de um baralho, sem reposição. Qual a probabilidade de selecionar 3 reis?

Solução Sejam os eventos aleatórios: A1 = (selecionamos rei na primeira extração) A2 = (selecionamos rei na segunda extração) A3 = (selecionamos rei na terceira extração) Queremos 1 2 3( )P A A A∩ ∩ Pelo teorema b) temos:

1 2 3 1 2 3 1 24 3 2( ) ( ) ( / 1) ( / )

52 51 50P A A A P A P A A P A A A∩ ∩ = × × ∩ = × ×

06. Em um experimento com n lançamentos de uma moeda com probabilidade de ocorrer cara igual a p e 1 - p para coroa supomos que cada lançamento não influi nos resultados dos outros lançamentos. Neste caso nosso espaço amostral é:

{ } { }1 2 i i, ,..., onde x 0 ou 1 e x 0nS x x x= = = se o i-ésimo lançamento ocorreu coroa e xi = 1 se o i-ésimo lançamento ocorreu cara. Se Ai é o evento onde o i-ésimo lançamento ocorre cara, temos P ( Ai ) = p. Queremos a probabilidade de ocorrer k caras nos n lançamentos. Suponhamos (S.P.G) ocorreu k caras nos k primeiros lançamentos e n–k coroas nos restantes. A probabilidade disto acontecer é:

1 2 1 1 1 2 1 1( ... ... ) ( ) ( )... ( )... ( )... ( ) (1 )c c c c c k n kk k k k k k nP A A A A A P A P A P A P A P A p p −

+ + + + +∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = × = − Seja o evento Bk – ocorre exatamente k caras nos n lançamentos das moedas logo

( ) (1 )k n kk

nP B p p

k−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(porque?)

10. DEFINIÇÃO Sejam A1, A2, ... , An eventos aleatórios.

Suponhamos que os Ai são mutuamente exclusivos e que: 1 i A SniU= =

Então dizemos que Ai são mutuamente exaustivos e que os Ai formam uma partição do espaço amostral S. 11. TEOREMA Teorema da probabilidade total. Se a seqüência de eventos A1, A2, ..., An formar uma partição do espaço amostral S então:

( )1

( ( ) /n

i iP B P A P B A= ∑ ×

para todo evento B ⊂ S tal que P (B) > 0





94

O teorema acima é evidente pois se os Ai formam uma partição de S então: ( )1

ni iB U A B== ∩

E como os Ai são disjuntos, logo:

( )( ) ( ) ( ) ( )11 1

( ) /n n

ni i i i i

i iP B P U A B P A B P A P A B=

= == ∩ = ∑ ∩ = ∑

Usando este teorema podemos calcular:

( ) ( ) ( )( ) ( )

1

( ) //

( ) /

i i ii n

j ij

P A B P A P B AP A B

P B P A P B A=

∩ ×= =

∑ ×

Esta fórmula é conhecida como fórmula de Bayes. 12. INDEPENDÊNCIA 1. Definição Dois eventos aleatórios A e B são estatisticamente independentes se P (A∩ B)= P(A).P(B). 13. TEOREMA Se A e B são dois eventos independentes em um espaço amostral S, então os pares de eventos A e BC , AC e B , AC e BC também são independentes. Observações: 1. Se P(A) = 0 então A é independente de qualquer outro evento aleatório. 2. Se P(A) = 1, então A é independente de qualquer outro evento aleatório. 3. Um evento A é independente de si mesmo s.s.s. P(A) = 0 ou P(A) =1 4. Se A ∩ B=∅ então não são independentes, a menos que P(A) ou P(B) seja 0 ou 1.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 121) (FGV) Uma comissão de três pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre Antônio, Benedito, César, Denise e Elisabete. Se Denise não pertence à comissão, qual a probabilidade de César pertencer?

a. 34

b. 32

c. 24

d. 23

e. 36

Resposta: A.





95

122) (FGV) Numa escola existem seis casais; entre estas 12 pessoas, duas são selecionadas ao acaso. a) Qual a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa? b) Qual a probabilidade de selecionarmos dois homens?

Resposta: 1 511 22

e

123) (FGV) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas. a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser suspeita e fraudulenta? b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade dela ter sido suspeita? a. 1% e 52,75% b. 2% e 53,66% c. 4% e 52,63% d. 2% e 52,63% e. 5% e 25,36% Resposta: D. 124) (FGV) Um fichário tem 25 fichas, etiquetadas de 11 a 35. a) Retirando-se uma ficha ao acaso, qual probabilidade é maior: de ter etiqueta por ou ímpar? Por que? b) Retirando-se ao acaso duas fichas diferentes, calcule a probabilidade de que suas etiquetas tenham números consecutivos. Resposta: a. Ímpar; b. 8%. 125) (FGV) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2. Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de ele cair numa cidade cuja cuperfície tem área igual a 102km2? a. 2.10-9 b. 2.10-8 c. 2.10-7 d. 2.10-6 e.2.10-5 Resposta: C. 126) (FGV) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo sabor é:





96

a. 1865

b. 1966

c. 2067

d. 2168

e. 2269

Resposta: B. 127) a) (FGV) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Uma bolinha é sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja superior a 2? b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n. Sorteando-se duas bolinhas sucessivamente com reposição, e observando-se os números do 1º e do 2º sorteio, quantos resultados são possíveis? Qual seria a resposta se não houvesse reposição?

Solução a) Espaço amostral (S): S = {(1,1), (1,2), (1,3) (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), ..., (5,5)} n (S) =25 Seja o evento A tal que : A = “A soma dos números sorteados é superior a 7”. A = {(3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (5,3)} N (A) = 6

Logo a probabilidade pedida é 625

.

b) Com reposição: Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n×n = n2 resultados possíveis. Sem reposição: Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n (n-1) resultados possíveis.

Resposta: a) 625

; b) n2 e n(n-1)

128) (FUVEST) Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos dois últimos lançamentos.

a. 3365





97

b. 3166

c. 7235

d. 3572

e. 3369

Resposta: D. 129) (FGV) Em um determinado jogo, são sorteados 3 números entre os 30 que estão no volante de apostas. O apostador, que assinala 6 números no volante, ganha, se todos os 3 números sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A probabilidade de o apostador ganhar é:

a. 1203

b. 1507

c. 1156

d. 1280

e. 198

Resposta: A. 130) (FGV) Em uma comunidade, 80% dos compradores de carros usados são bons pagadores. Sabe-se que a probabilidade de um bom pagador obter cartão de crédito é de 70%, enquanto que é de apenas 40% a probabilidade de um mau pagador obter cartão de crédito. Selecionando-se ao acaso um comprador de carro usado dessa comunidade, a probabilidade de que ele tenha cartão de crédito é de: a. 56% b. 64% c. 70% d. 32% e. 100% Resposta: B. 131) (FGV) Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A ∪ B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:





98

a. 0,5

b. 57

c. 0.6

d. 715

e. 0,7 Resposta: B. 132) (FUVEST) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saia com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saiam com a freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?

a. 13

b. 23

c. 19

d. 29

e. 112

Resposta: C. 133) (FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais? a. 59 b. 9×84 c. 8×94 d. 85 e. 95 Resposta: E. 134) (FGV) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças desse lote, sem reposição, a probabilidade de que sejam não defeituosas è:

a. 6895

b. 7095





99

c. 7295

d. 7495

e. 7695

Resposta: A. 135) Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em anotações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais: a) Ao menos um dos eventos ocorre. b) Exatamente um dos eventos ocorre. Resposta: a) (A ∪ B ∪ C); b) ( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩A B C A B C A B C . 136) Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = a, P(B) = b, e P(A ∩ B) = c. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em têrmos de x, y e z. a. ( )P A B∪ b. ( )P A B∩ c. ( )P A B∪ d. ( )P A B∩

Resposta: a. 1-c; b. b-c; c. 1-a+c; d. 1-a-b+c. 137) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) =1/4, P(A ∩ B) = P(C ∩ B)=0 e P (A ∩ C) =1/8. Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra.

a. 68

b. 58

c. 89

d. 59

e. 78

Resposta: B. 138) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4 , enquanto ( ) 0,8P A B∪ = . Seja P(B) = p. a) Para que valor de p, A e B serão disjuntos? b) Para que valor de p, A e B serão independentes?





100

Resposta: a. p= 0,4; b. p = 2/3. 139) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A. a) 0,400 b) 0,030 c) 0,012 d) 0,308 e) 0,500 Resposta: A 140) Beatriz, que é muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos e Quintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveu sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre os sorteados é igual a: a) 0,8 b) 0,375 c) 0,05 d) 0,6 e) 0,75 Resposta: D 141) Uma equipe de peritos criminais precisa descobrir a posição correta de um esconderijo e para tal dispõe somente do pedaço de um bilhete rasgado.

A equipe situa-se na posição desse poço que se encontra dentro de um terreno de área circular de raio igual a 100 passos e não possui bússola para indicar o norte. Além





101

disso, é noite. O bilhete rasgado não deixa claro se o número de passos a ser dado é de múltiplos de três ou de oito. Entretanto, a equipe é formada por peritos que entendem de métodos de contagem e que decidem usar o princípio da inclusão-exclusão: “Sendo A e B conjuntos cujo número de elementos é dado por n(A) e n(B), respectivamente, então n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B), onde n(A∪B) é o número de elementos que pertence a pelo menos um dos conjuntos A e B”. Com base nesse princípio, determine o número máximo de tentativas que a equipe terá de realizar para encontrar o esconderijo. a) 33 b) 12 c) 45 *d) 41 e) 4 Resposta: D Texto para os itens de 142 a 144 Crianças e adolescentes que trabalham no Brasil somam 2,9 milhões, mais do que as populações somadas de Rondônia, Amapá, Acre e Roraima. O Nordeste é a região que apresenta maior ocorrência do trabalho infantil. Lá, 15,9% das crianças e adolescentes com 17 anos de idade trabalham. A menor taxa é no Sudeste (8,6%). Concentram-se no campo 76,7% das crianças ocupadas de 5 a 9 anos de idade. Em sua maioria, não recebem remuneração (64,4%) ou estão envolvidas na produção para consumo próprio (26,9%). O percentual de garotos trabalhando (15,6%) é quase o dobro do das meninas. Entre 2004 e 2005, cresceu 10,3% o número de menores entre 5 e 14 anos de idade ocupados, apesar da proibição legal. Na faixa até 17 anos de idade, o aumento é bem menor: subiu de 11,8% para 12,2%, interrompendo tendência de queda desde 1992. Jornal do Senado (Edição Semanal), 18-24/6/2007, p. 11 (com adaptações). Considerando que o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que trabalham no Brasil seja igual a 2.899.800 e que a quantidade deles por região brasileira seja diretamente proporcional ao número de unidades federativas da respectiva região — são 27 as unidades federativas brasileiras, incluindo-se o Distrito Federal como unidade federativa da região Centro-Oeste —, julgue os itens seguintes, tendo como referência as informações contidas no texto acima. 142) Na região Nordeste, que é formada por 9 unidades federativas, há mais de 6 milhões de crianças e adolescentes com idade de até 17 anos. Resposta: Correto

143) Na situação apresentada, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo entre os 2.899.800 referidos, a probabilidade de ele ser da região Centro-Oeste ou da região Sudeste é superior a 0,2. Resposta: Correto





102

144) Considere que, das crianças e adolescentes com até os 17 anos de idade que trabalham no Brasil, 20% tenham entre 5 e 9 anos de idade. Nesse caso, mais de 450.000 dessas crianças e adolescentes trabalham no campo. Resposta: Errado 145) Uma bandeja de salgadinhos contém 9 bolinhas de carne, das quais 3 contêm tomates secos no recheio, e 7 bolinhas de queijo, das quais 4 contêm tomates secos no recheio. Como todas as bolinhas são de mesmo tamanho, não é possível identificar o recheio antes de abri-las. Se uma pessoa retirar, ao acaso, uma bolinha dessa bandeja, a probabilidade de ela ter tomates secos é

A) 723

.

B) 13

.

C) 716

.

D) 47

.

E) 79

.

Opção correta: C. 146) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3. b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5. Opção correta: A 147) Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus. Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Sheakespeare. A probabilidade de que Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que





103

Tertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus, Tertius e Quartus, é igual a a) 0,500. b) 0,375. c) 0,700. d) 0,072. e) 1,000. Resposta: C 148) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portas e lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível imperador, não quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que não abriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a a) 1/2. b) 1/3. c) 2/3. d) 2/5. e) 1. Resposta: C 149) (Julgue certo ou errado) Considere-se que, das 82 varas do trabalho relacionadas no sítio do TRT da 9.ª Região, 20 ficam em Curitiba, 6 em Londrina e 2 em Jacarezinho. Considere-se, ainda, que, para o presente concurso, haja vagas em todas as varas, e um candidato aprovado tenha igual chance de ser alocado em qualquer uma delas. Nessas condições, a probabilidade de um candidato aprovado no concurso ser alocado em uma das

varas de Curitiba, ou de Londrina, ou de Jacarezinho é superior a 13

.

Resposta: Correto.

150) (Julgue certo ou errado) De 100 processos guardados em um armário, verificou-se que 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente. Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com





104

sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja um

processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a 35

.

Resposta: Correto. 151) O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B ocorra. Verifique que

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = + − ∩⎣ ⎦ .

SEQÜÊNCIAS

Seqüências Especiais

Dizemos que a seqüência de números reais a1, a2, a3,....., an é uma progressão aritmética(P.A.) de ordem k se a k-ésima diferença é constante. Exemplo: 1) 2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois .....

3 3 3 3 3 3 ......... k = 1 2) 1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ......

3, 5, 7, 9, 11, ......... ...... 2, 2, 2, 2, 2,...... k = 2

Proposição:

Se um seqüência é uma progressão aritmética de ordem k então o termo geral é de grau k em n. Exemplo: 3) Qual o termo geral da seqüência 2, 5, 8, 11, 14, 17,...., e qual o 15ª termo?

Solução 2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois .....

3 3 3 3 3 3 ......... k = 1 Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n). Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema: n = 1 A + B = 2 (equação 1) n = 2 2A+ B = 5 (equação 2) Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 3. Substituindo A = 3 na equação 1 temos B = -1 Logo o termo geral é an = 3n -1 O 15ª termos será a15 = 3x15 -1 = 45-1 = 44.





105

Exemplo: 4) Qual o termo geral da seqüência 1, 4, 9, 16, 25, 36,......, e qual o 15ª termo?

Solução 1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ......

3, 5, 7, 9, 11, ......... ...... 2, 2, 2, 2, 2,...... k = 2

Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C = 1 (equação 1) n = 2 4A + 2B + C = 4 (equação 2) n = 3 9A + 3B + C = 9 (equação 3) Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 3 (equação 4) 8A + 2B = 8 4A + B = 4 (equação 5) Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos: A = 1 Substituindo A = 1 na equação 4 temos B = 0. Substituindo A = 1 e B = 0 na equação 1 temos C = 0. Logo o termo geral é: an = An2 + Bn + C an = 1n2 + 0n + 0 an = n2

O 15ª termos será a15 = 152 = 225. Exemplo: 5) Considere que uma mesa quadrada acomoda apenas 4 pessoas; juntando duas mesas desse mesmo tipo, acomodam-se apenas 6 pessoas; juntando-se três mesas, acomodam-se apenas 8 pessoas e, assim sucessivamente, como é mostrado na figura abaixo:

Nas mesmas condições, juntando 16 mesas, o número de pessoas que poderão ser acomodadas é: a) 32 b) 34 c) 36





106

d) 38 e) 40

Solução

4, 6, 8, 10, 12, 14,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois .....

2 2 2 2 2 2 ......... k = 1 Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n). Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema: n = 1 A + B = 4 (equação 1) n = 2 2A+ B = 6 (equação 2) Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2. Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 2 Logo o termo geral é an = 2n +2 O 16ª termos será a16 = 2x16+2 = 32 +2 = 34 Resposta: B Exemplo: 6) Mariana resolveu construir quadrados com palitos de fósforo. Para construir um quadrado 1 x 1 ela utilizou 4 palitos. Para fazer um 2 x 2 ela utilizou 12 palitos. a) Quantos palitos serão necessários para a construção de um quadrado 10x10? b) Quantos quadrados haverá nessa construção? Veja que na 1ª figura abaixo, só há um quadrado, mas na 2ª há cinco.

Solução

a) 4, 12, 24, 40, 60, 84 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ......

8 12, 16, 20, 24, ......... ...... 4, 4, 4, 4, 4,...... k = 2

Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C = 4 (equação 1) n = 2 4A + 2B + C = 12 (equação 2) n = 3 9A + 3B + C = 24 (equação 3) Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 8 (equação 4) 8A + 2B = 20 4A + B = 10 (equação 5)





107

Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos: A = 2 Substituindo A = 2 na equação 4 temos B = 2. Substituindo A = 2 e B = 2 na equação 1 temos C = 0. Logo o termo geral é: an = An2 + Bn + C an = 2n2 + 2n + 0 an = 2n2 + 2n O 10ª termos será a10 = 2x102 + 2x10 = 200 + 20 = 220 b) Os quadrados formam a seqüência 1, 5, 14, 30, 55, 36, 81 ....

1 5 14 30 ........

1, 5, 14, 30, 55, 91 .. . é uma P.A. de 3ª ordem pois ......

4 9, 16, 25, 36, ......... ...... 5, 7, 9, 11, 13,...... ...... 2, 2, 2, 2, 2,...... k = 3

Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3 + Bn2 + Cn + D (3ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C +D = 1 (equação 1) n = 2 8A + 4B + 2C +D = 5 (equação 2) n = 3 27A + 9B + 3C +D= 14 (equação 3) n = 4 64A + 16B + 4C +D= 30 (equação 4) Fazendo cada equação menos a anterior temos: 7A + 3B + C = 4 (equação 5) 19A + 5B + C = 9 (equação 6) 37A + 7B + C = 16 (equação 7) Subtraindo a equação 5 das equações 6 e 7 temos: 12A + 2B = 5 (equação 8) 30A + 4B = 12 (equação 9)





108

Resolvendo o sistema em A e B temos: A = 1/3 e B = ½ Substituindo A = 1/3 e B = ½ na equação 5 temos C = 1/6. Substituindo A = 1/3, B = ½ e C = 1/6 na equação 1 temos D = 0. Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3 + Bn2 + Cn + D e portanto o termo

geral será:

3 2

3 2

3 2 62 3

6

n

n

n n na

n n na

= + +

+ +=

Logo 3 2

102.10 3.10 10 2000 300 10 2310 385

6 6 6a + + + +

= = = =

Exemplo: 7) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos a) 23. b) 22. c) 21. d) 24. e) 25.

Solução

Resposta: A Exemplo: 8) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . a) 14 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21

Solução É a seqüência dos números primos Resposta: C

Seqüência de Fibonacci A seqüência de números naturais 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... é chamada se seqüência de Fibonacci. Logo cada termo é igual a soma dos dois termos anteriores, e o termo geral(an) da seqüência de Fibonacci é:





109

n

n-2 n-1

0 , se n = 1a = 1 , se n = 2

a +a , se n = 3,4,5,6,...

⎧⎪⎨⎪⎩

9) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . a) 15 b) 17 c) 21 d) 22 e) 25

Solução Esta seqüência é conhecida como seqüência de Fibonacci cada termo é a soma dos dois termos anteriores ( 8 + 13 = 21). Resposta: C 10) Calcule o valor de x.y, sabendo que x e y são termos da seqüência abaixo: 1, 2, 3, x, 6, 8, 9, 12, y, 24, 36, 72 a) 48 b) 64 c) 68 d) 72 e) 90

Solução Os números são os divisores de 72. Logo x = 4 e y = 18, portanto x • y = 72 Resposta: D 11) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, . . . a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

Solução 2 + 2 = 4 4 + 1 = 5 5 + 2 = 7 7 + 1 = 8 8 + 2 = 10 10 + 1 = 11





110

11 + 2 = 13 13 + 1 = 14 Resposta: C 12) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, . . . a) 29 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36

Solução Os termos são os divisores positivos de 36. Resposta: E 13) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 6, 12, 20, 31, 46, . . . a) 48 b) 50 c) 54 d) 56 e) 66

Solução Vamos calcular as diferenças

Resposta: E

Seqüência dos Números triangulares A seqüência de números naturais 1, 3, 6, 10, 15, 21,... é chamada se seqüência de números triangulares, e o termo geral(an) da seqüência de números triangulares é:

nn(n+1)a =

2

14) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . a) 18 b) 20 c) 24 d) 26 e) 28

Solução





111

Temos a seqüência de números triangulares onde o sétimo será

n7(7+1) 7 8 56a = 28

2 2 2×

= = =

Resposta: E

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 152) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos:

Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) 61 Resposta: C

153) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 6, 12, 18, 24, 30, . . . a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 39 Resposta: D 154) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, 9, 19, 11, 23, 13, 27, . . . a)14 b)15 c) 25 d) 28 e) 29 Resposta: B 155) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . a) 30 b) 31 c) 32





112

d) 33 e) 34 Resposta: E 156) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . a) 48 b) 49 c) 54 d) 64 e) 81 Resposta: B 157) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 2, 4, 6, 10, 16, . . . a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 Resposta: E 158) (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um triângulo segundo determinado critério.

Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de interrogação é a) P b) Q c) R d) S e) T Resposta: E 159) (FCC) O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas segundo determinado critério.





113

Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então, segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é a) C b) I c) O d) P

e) R Resposta: D 160) Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, . . . , temos a) 236. b) 244. c) 246. d) 254. e) 256. Resposta: B 161) Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H, ..., ... temos, respectivamente, a) O, P. b) I, O. c) E, P. d) L, I. e) D, L. Resposta: D 162) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos a) 23. b) 22. c) 21. d) 24. e) 25. Resposta: A





114

163) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.

Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é a) 210 b) 206 c) 200 d) 196 e) 188 Resposta: A 164) (FCC) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas células obedecendo a um determinado padrão.

Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que a) X > 100 b) 90 < X <100 c) 80 < X < 90 d) 70 < X < 80 e) X < 70 Resposta: A

165) Pedro está construindo casas de cartas. Na figura estão representadas as cartas de um, dois e três andares que ele construiu. Quantas cartas João precisará para construir uma casa de 30 andares?

Resposta: 1365





115

166) (FCC) Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundo determinado padrão.

Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105 Resposta: C 167)

Resposta: 2420 168) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos:

Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é a) 45 b) 49 c) 51 d) 57 e) 61

http://imageshack.us/






116

Resposta: C

169) (FCC) Um programa de computador faz aparecer pontos luminosos no monitor. Inicialmente escuro, conforme padrão pré-estabelecido. Na 1ª etapa surgem 2 pontos luminosos, na 2ª etapa surgem 4 pontos ( totalizando 6 pontos na tela), na 3ª etapa surgem mais 12 pontos. Assim, a cada etapa, surge o dobro do número de pontos luminosos existentes na tela ao final da etapa anterior. Se esse padrão for mantido, ao final da etapa k tem-se, na tela, um número de pontos luminosos igual a : a) 4k2 – 8 k + 6 b) 2k2 – 12 k + 12 c) 2 . 3k-1 d) 3 . 2k-1 e) 2k + 3 (k – 1) Resposta: C 170) (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será a) 101 b) 99 c) 97 d) 83 e) 81 Resposta: A 171) (Mack) Na função f dada por

(0) 14 ( ) 1( 1)

4

ff nf n

=⎧⎪⎨ +

+ =⎪⎩ em que n é um número natural, f (44) vale:

a) 434

b) 13





117

c) 454

d) 12 e) 15 Resposta: D 172) (NCE)Considere a seqüência abaixo: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (1) (2) (3) (4) .......... Quantos pontos totais haverá nos triângulos formados com a soma do oitavo com o nono termo da seqüência ? a) 9 b) 81 c) 90 d) 99 e) 100 Resposta: B 173) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 3, 6, 7, 8, 9, .... a)11 b)12 c)17 d)18 e)20 Resposta: A 174) Qual o próximo termo da seqüência: B, D, F, H : D, F, H, ... a) I b) J c) K d) L e) M Resposta: B 175) Descobrir o número que falta





118

3 ?14

1069

7

5

a) 1 b) 2 c) 6 d) 9 e) 18 Resposta: E

176) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 5, 11, 17, 23, 37, ... a) 31 b) 37 c) 41 d) 43 e) 45 Resposta: D

177) Considere a seguinte fórmula recursiva: f (0) = 500 f (n + 1) = f (n) – 1, n ≥ 0, inteiro.

Então o valor de f (500) é: a) –1 b) 0 c) 1 d) 499 e) 500 Resposta: B

178) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se um número compreendido entre (A) 150 e 170 (B) 130 e 150 (C) 110 e 130 (D) 90 e 110 (E) 70 e 90 Opção A.





119

179) Considere que a seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada a partir de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem 23 letras, então, de acordo com esse critério, a próxima letra dessa seqüência deve ser (A) P (B) R (C) S (D) T (E) U Resp. A

180) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.

O número de circunferências que compõem a 100a figura dessa sucessão é (A) 5 151 (B) 5 050 (C) 4 950 (D) 3 725 (E) 100 Resp. B 181) Segundo um determinado critério, foi construída a sucessão seguinte em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra: A 1 – E 2 – B 3 – F 4 – C 5 – G 6 – ... Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é (A) J (B) L (C) M (D) N (E) O Resp. A Texto para os itens de 44 a 48

Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P ∨ Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ∧ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P,





120

que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes. 44 As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q → ¬P são iguais. 45 As proposições (P ∨ Q) → S e (P → S) ∨ (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais. 46 O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 24.

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Texto para os itens de 01 a 05. (CESPE) Considere as sentenças abaixo. I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).

Solução (ERRADO) Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. ( P ∧ T ) 2) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ ( ¬ R).

Solução (CERTO) Fumar não deve ser proibido E fumar faz bem à saúde ( ¬ P ) ∧ ( ¬ R ) 3) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.





121

Solução (CERTO) Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. R → P 4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.

Solução (CERTO) ( R ∧ (¬ T ) ) → P 5) A sentença V pode ser corretamente representada por T→(( ¬ R) ∧ (¬ P)).

Solução (ERRADO) (¬ R ∧ ¬ P) → T Texto para os itens de 06 a 10. (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ , ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 6) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ¬ P) ∨ ( ¬ Q) também é verdadeira.

Solução ( ¬ P) ∨ (¬ Q) ( ¬ V) ∨ (¬ V)

F ∨ F

F Resposta: Errado. 7) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

Solução (I) O BB foi criado em 1980. É PROPOSIÇÃO. (II) Faça seu trabalho corretamente. NÃO É PROPOSIÇÃO. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. É PROPOSIÇÃO.





122

Temos duas proposições. Resposta: Certo. 8) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → ( ¬ T) é falsa.

Solução R → ( ¬ T) F → (¬ V) F → F

V

Resposta: Errado.

9) A proposição simbólica ( )P Q R∧ ∨ possui, no máximo, 4 avaliações V.

Solução Queremos fazer a tabela verdade de ( )P Q R∧ ∨ . Como temos 3 proposições simples temos 23=8 linhas na tabela verdade.Primeiro vamos fazer a tabela verdade de ( )P Q∧ :

P Q R ( )P Q∧V V V V V V F V V F V F F V V F V F F F F V F F F F V F F F F F

Agora vamos fazer a tabela verdade de ( )P Q R∧ ∨ :

P Q R ( )P Q∧ ( )P Q R∧ ∨V V V V V V V F V V V F V F V F V V F V V F F F F F V F F F F F V F V F F F F F

Passou 5 avaliações verdadeiras.





123

Resposta: Errado. 10) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.

Solução (P ∧ R) → (¬ Q) (V ∧ F) → (¬ V)

(V ∧ F) → F F → F

V

Resposta: Certo. 11) Determine o valor verdade da sentença [A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]. Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = V

Solução [A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)] [V ∧ (F → V)] ↔ [¬ V ∧ (F ∨ V)]

[V ∧ V] ↔ [F ∧ V] V ↔ F

F

Resposta: VAL{[ A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]} = F Obs.:Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X. 12) Determinar o valor da sentença A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)], sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = V

Solução A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)] V → [(¬ F ↔F) ∧ (F ∨ V)] V → [(V ↔F) ∧ (F ∨ V)]

V → [F ∧ V] V → F

F

Resposta: VAL {A → [(¬ B ↔ C) ∧ (C ∨ D)]} = F 13) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições: a) O Professor Joselias é bonito.





124

b) O Brasil é um País da América do Sul. c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário. d) Que belo dia! e) Boa sorte! f) Joselias é um bom professor? g) Que horas são? h) O jogo terminou empatado? i) Faça seu trabalho corretamente. j) Estude e limpe o quarto. l) Esta proposição é falsa m) 2 + 3 > 5 n) x + y > 5 o) A terra é um planeta. p) x é um planeta.

Solução a) O Professor Joselias é bonito. (É PROPOSIÇÃO) b) O Brasil é um País da América do Sul. (É PROPOSIÇÃO) c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário. (É PROPOSIÇÃO) d) Que belo dia! (NÃO É PROPOSIÇÃO) e) Boa sorte! (NÃO É PROPOSIÇÃO) f) Joselias é um bom professor? (NÃO É PROPOSIÇÃO) g) Que horas são? (NÃO É PROPOSIÇÃO) h) O jogo terminou empatado? (NÃO É PROPOSIÇÃO) i) Faça seu trabalho corretamente. (NÃO É PROPOSIÇÃO) j) Estude e limpe o quarto. (NÃO É PROPOSIÇÃO) l) Esta proposição é falsa. (NÃO É PROPOSIÇÃO) m) 2 + 3 > 5. (É PROPOSIÇÃO) n) x + y > 5. (NÃO É PROPOSIÇÃO) o) A terra é um planeta. (É PROPOSIÇÃO) p) x é um planeta. (NÃO É PROPOSIÇÃO) 14) (FGV) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A

Solução ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) é a tautologia de Morgan. Resposta: C 15) (FGV) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) representa um: a. Contradição





125

b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A

Solução ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) é a tautologia de Morgan. Resposta: C 16) A proposição (¬p ∨ q) ↔ (p → q) representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A

Solução (¬p ∨ q) ↔ (p → q) é tautologia. Resposta: C 17) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A

Solução (p → q) ↔ (¬q → ¬p) é a tautologia chamada contra-positiva. Resposta: C 18) A proposição (p ∨ ¬p) representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A

Solução (p ∨ ¬p) é tautologia. Resposta: C 19) A proposição (p ∧ ¬p) representa um: a. Contradição b. Contingência





126

c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A

Solução (p ∧ ¬p) é contradição Resposta: A 20) A proposição ¬ (¬p) ↔ p representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A

Solução ¬ (¬p) ↔ p é tautologia. Resposta: C 21) A proposição ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p representa um: a. Contradição b. Contingência c. Tautologia d. Paradoxo e. N.R.A

Solução ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p é tautologia. Resposta: C 22) (FGV) – Quando se afirma que P → Q (P implica Q) então: a) Q é condição suficiente para P. b) P é condição necessária para Q. c) Q não é condição necessária para P d) P é condição suficiente para Q. e) P não é condição suficiente nem necessária para Q.

Solução P é condição suficiente para Q. Q é condição necessária para P. Resposta: D 23) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é: a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.





127

b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.

Solução (Se Pedro é economista, então Luisa é solteira)

( )p q→

é equivalente(contra-positiva) a ( )q p¬ → ¬

(Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista) Resposta: E 24) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro

Solução (André é artista ou Bernardo não é engenheiro) A expressão acima é equivalente a:

(Bernardo não é engenheiro ou André é artista)

( )p q¬ ∨ é equivalente a

( )p q→ (Se Bernardo é engenheiro, então então André é artista)

Resposta: D 25) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

Solução (Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista)





128

( )p q¬ ∨ é equivalente a

( )p q→ (Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista)

Resposta: A 26) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

Solução (Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva)

( )p q¬ → é equivalente a

( )p q∧ ¬ (Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva)

Resposta: E 27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q são proposições, então a proposição é equivalente a

Solução

( )p q¬ → é equivalente a ( )p q∧ ¬ Resposta: B 28) (FCC-ICMS-SP)Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a

é





129

Solução ( )p q→ é equivalente(contra-positiva) a ( )q p¬ → ¬ Resposta: A 29) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p∧~q) é a) ~(p ∨ q) b) (~p ∧ q) c) (p ∨ q) d) (p ∧ ~q) e) (~p ∨ q)

Solução ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) é a tautologia de Morgan. Resposta: A 30) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p ∨ ~q) é a) ~(p ∨ q) b) ~ (p ∧ q) c) (p ∨ q) d) (p ∧ ~q) e) (~p ∨ q)

Solução ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨¬q) é a tautologia de Morgan. Resposta: B

31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradição. a) (p ∨ q) → (p ∧ q) b) (p ∨ q) → q c) (~p ∨ p) → (~p ∧ p) d) p→ (p ∧ q) e) p→ (p ∨ q)

Solução Observe que: A proposição (~p ∨ p) é uma tautologia, portanto é sempre verdadeira. A proposição (~p ∧ p) é uma contradição, portanto é sempre falsa. Sendo assim a proposição (~p ∨ p) → (~p ∧ p) é sempre falsa. Resposta: C 32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia. a) (~p ∨ p) → q b) (p ∨ q) → (p ∧ q) c) (p ∨ q) → q d) p→ (p ∧ q) e) p→ (p ∨ q)





130

Solução A condiciona é falsa apenas quando temos V→ F, e a disjunção é sempre verdadeira se pelo menos uma das proposições é verdadeira. Então a proposição p→ (p ∨ q) será sempre verdadeira , pois se p é verdade então (p ∨ q) também será. Resposta: E

33) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q ? V V F V F F F V V F F F


Solução Observe que apenas na terceira linha da tabela observamos o valor verdade(V) na coluna ?.

p q ? V V F V F F F V V F F F

Nessa mesma linha a proposição p é falsa( então considere ~p) e a proposição q é verdadeira(então considere q). Nesse caso temos na linha (~p ∧ q). Resposta: D

34) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q ? V V F V F F F V F F F V






131

Solução Observe que apenas na quarta linha da tabela observamos o valor verdade(V) na coluna ?.

p q ? V V F V F F F V F F F V

Nessa mesma linha a proposição p é falsa(então considere ~p) e a proposição q é falsa(então considere ~q). Nesse caso temos na linha (~p ∧ ~q). Resposta: B




a) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)] b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)] c) [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r] d) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r] e) ~ [p ∧ q ∧ r]

Solução Observe que apenas a segunda e terceira linha da tabela verdade de s são verdadeiras.






132

Na segunda linha p é verdadeira e q é verdadeira e r é falsa, logo temos p∧ q ∧ (~r). Na terceira linha p é verdadeira e q é falsa e r é verdadeira, logo temos p ∧ (~q) ∧ r. Como s é verdadeira na segunda ou na terceira linha teremos: [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r] Resposta: C 36) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.


A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) (p ∨ q) b) (~p ∧ ~q) c) (p ∧ ~q) d) (~p ∧ q) e) (p → q)

Solução Observe que apenas na quarta linha da tabela observamos o valor falso na coluna ?.


Nessa mesma linha a proposição p é falsa(então considere ~p) e a proposição q é falsa(então considere ~q). Nesse caso temos na linha (~p ∧ ~q). Como o valor da proposição ? é falso temos ~ (~p ∧ ~q). Usando a equivalência de Morgan obtemos (p∨q). Resposta: A 37) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua tabela-verdade é

p q r s V V V V V V F V V F V F F V V F V F F V F V F V F F V V





133

F F F V



Solução Observe que apenas a terceira e quarta linha da tabela verdade de s são falsas.

p q r s V V V V V V F V V F V F F V V F V F F V F V F V F F V V F F F V

Na terceira linha p é verdadeira e q é falsa e r é verdadeira, logo temos ~ (p∧ ~q ∧ r) pois a tabela é falsa. Na quarta linha p é falsa e q é verdadeira e r é verdadeira, logo temos ~ (~p ∧q ∧ r) pois a tabela é falsa. Como s é falsa na terceira e na quarta linha é falsa teremos: ~ (p∧ ~q ∧ r) ∧ ~ (~p ∧q ∧ r) que é equivalente por Morgan a: [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)] Resposta: A

38) Considere as afirmações abaixo. I – Se p e q são proposições então ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia. II - Se p e q são proposições então ( ) )p q q→ ∨ ∼ é uma tautologia. III – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .

É verdade o que se afirma APENAS em (A) I. (B) II e III (C) I e III. (D) I e II. (E) I, II e III.

Solução Vamos fazer a tabela verdade dos itens I e II:





134

p q q∼ ( )p q↔∼ p q↔ ( )p q↔∼ ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ V V F F V F V V F V V F V V F V F V F V V F F V F V F V Logo I) ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é tautologia. p q ( )p q→ q∼ ( ) )p q q→ ∨ ∼ V V V F V V F F V V F V V F V F F V V V Logo II) ( ) )p q q→ ∨ ∼ é tautologia.

Conforme vimos no material a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .

Resposta: E 39) Considere as afirmações abaixo. I – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .

II - Se p e q são proposições então a contrária de ( )p q→ é ( )p q→∼ ∼ . III – Se p e q são proposições então a contra-positiva de ( )p q→ é ( )q p→∼ ∼ .

É verdade o que se afirma APENAS em (A) I. (B) II e III (C) I e III. (D) I e II. (E) I, II e III.

Solução I, II e III são corretas. Resposta: E

40) A proposição ( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ representa um: (A) Contradição (B) Contingência (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistência





135

Solução Como ( )p q↔∼ é equivalente a ( ) ( )p q p q∧ ∨ ∧∼ ∼ , a proposição

( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ é tautologia. Isto significa que a negação do “se e somente se” é o “ou exclusivo”. Resposta: C

41) A proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ representa um: (A) Contradição (B) Contingência (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistência

Solução p q p¬ q¬ p q↔ p q¬ ↔ ¬ ( ) ( )p q p q↔ ↔ ¬ ↔ ¬ V V F F V V V V F F V F F V F V V F F F V F F V V V V V

Logo a proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia. Resposta: C

42) Considere a seguinte declaração: Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos. Assinale a alternativa que apresenta a negação formal desta declaração. a) Para que tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidente sabia. b) Ou o presidente sabia, ou não houve desacato a autoridade, mas não ambos. c) Para que não tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidente sabia. d) Se não houve desacato a autoridade então o presidente sabia. e) Se o presidente sabia então houve desacato a autoridade.

Solução ¬ (Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos).

( )p q¬ ∨ é equivalente a(negação do ou exclusivo)

p q↔ é equivalente a (ver questão 41)





136

p q¬ ↔ ¬ (o presidente sabia se e somente se não houve desacato)

Resposta: C 43) A proposição ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → representa um: (A) Contradição (B) Contingência (C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistência

Solução p q r p q→ ( )p r∧ ( )p r q∧ → ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → V V V V V V V V V F V F V V V F V F V F V F V V V F V V V F F F F V F F V F V F V V F F V V F V V F F F V F V V Resposta: B

44) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: (A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. (B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. (C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. (D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. (E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

Solução A negação de todos é existe algum( pelo menos um). Portanto a negação será Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. Resposta: C 45) A proposição ( )p p p→ ↔∼ representa um: (A) Contradição (B) Contingência





137

(C) Tautologia (D) Dilema (E) Inconsistência

Solução Vamos fazer a tabela verdade.

p p∼ p p→∼ ( )p p p→ ↔∼V F V V F V F V

Logo ( )p p p→ ↔∼ é uma tautologia. Resposta: C 46) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: (A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. (B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. (C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. (D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. (E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.

Solução “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris”

Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)→ Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)→

Não é verdade que ( )p q→

é equivalente a

Não é verdade que ( )p q¬ ∨ é equivalente a

Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris” Resposta: D

47) Sendo " "x ∈ a proposição “x é um número real” e " "x ∈ a proposição “x é um número natural”, podemos afirmar que a negação da sentença “ todos os números reais são naturais” e: a) ( )( )x x x∀ ∉ → ∉ b) ( )( )x x x∀ ∈ ∨ ∉ c) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∈ d) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉ e) ( )( )x x x∃ ∉ ∧ ∉





138

Solução ( )( )x x x¬ ∀ ∈ → ∈

é equivalente a ( ) ( )x x x∃ ¬ ∈ → ∈

( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉ Resposta: D

48)Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições compostas de três átomos é: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

Solução O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n proposições

simples é 2n. Logo o número de linha será 32 8= linhas.

Resposta: D 49) Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições compostas de n átomos é: a) 2 b) 2n c) 2n d) 3n e) 3n

Solução O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n proposições

simples é 2n.

Resposta: C

50) A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∀ + < → ≥ ∨ < é: a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∀ + ≥ → < ∨ ≥ b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < → < ∧ ≥ c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥ d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∃ + ≥ → ≥ ∧ ≥ e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + ≥ ∧ < ∨ ≥

Solução





139

( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y¬ ∀ ∀ + < → ≥ ∨ <

( ) ( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ¬ ∀ + < → ≥ ∨ <

( )( ) ( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ ¬ + < → ≥ ∨ <( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ ¬ ≥ ∨ <( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥

Resposta: C

51) Assinale a opção correta: a) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo. b) Uma condição suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo. c) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo. d) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente para que seja maior que 2. e) Nenhuma das opções anteriores.

Solução Se x é maior do que 2, então x é positivo. Logo uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo. Resposta: A

52) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de um átomo é: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

Solução O número de proposições não equivalentes a uma proposição composta de n

proposições simples é 22

n

. Logo o número de proposições não equivalentes de um átomo

é 12 22 2 4= = .

Resposta: B

53) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de dois átomos é: a) 4





140

b)8 c) 9 d) 16 e) 20



n

. Logo o número de proposições não equivalentes de dois

átomo é 22 42 2 16= = .

Resposta: D

54) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de três átomos é: a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256



n

. Logo o número de proposições não equivalentes de três átomo

é 32 82 2 256= = .

Resposta: E

55) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de n átomos é: a) n b) 2n c) 2n d) 22

n

e) 22 n



n

. Resposta: D

56) Sabe-se que se 4>x então 2=y . Podemos daí concluir que: a) Se 4<x então 2≠y . b) Se 4≤x então 2≠y .





141

c) Se 2=y então 4>x . d) Se 2≠y então 4≤x . e) Se 2≠y então 4<x .

Solução 4>x então 2=y

( )p q→

é equivalente(contra-positiva) a ( )q p¬ → ¬

é equivalente Se 2≠y então 4≤x

Resposta: D


p q r s V V V V V V F V V F V V F V V V V F F V F V F V F F V V F F F F



Solução Observe que apenas a oitava linha da tabela verdade de s é falsa.

p q r s V V V V V V F V V F V V F V V V





142

V F F V F V F V F F V V F F F F

Na oitava linha p é falsa e q é falsa e r é falsa, logo temos ~ (~p∧ ~q ∧ ~r) pois a tabela é falsa.Temos que ~ (~p∧ ~q ∧ ~r) é equivalente por Morgan a: [p ∨ q ∨ r] Resposta: D

58) A negação da proposição " 3 2"x y≠ ∧ < é: a) " 3 2"x y= ∧ ≥ b) " 3 2"x y= ∧ > c) " 3 2"x y= ∨ ≥ d) " 2 3"x y≠ ∧ < e) " 3 2"x y≠ ∨ <

Solução ( 3 2)x y¬ ≠ ∧ <

é equivalente a (Morgan) ( 3 2)x y= ∨ ≥

Resposta: C

59) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 3 então y = 7”. Pode-se concluir que: a) se 3x ≠ então 7y ≠ b) se 7y = então 3x = c) se 7y ≠ então 3x ≠ d) se 7y > então 3x = e) 3x ≠ ou 7y ≠

Solução (se 3x = então 7y = )

( )p q→ é equivalente(contra-positiva) a

( )q p¬ → ¬ é equivalente

se 7y ≠ então 3x ≠ Resposta: C 60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa:





143

(A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. (B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. (C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. (D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. (E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei.

Solução Pela relação de Morgan temos que a negação do ou transforma-se em e, coma a negação das proposições. Logo é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. Resposta: D

61) (CESGRANRIO) A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” é: (A) “João sempre vai a pé para o trabalho”. (B) “João nunca vai de carro para o trabalho”. (C) “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”. (D) “João, às vezes, vai a pé para o trabalho”. (E) “João nunca vai a pé para o trabalho”.

Solução A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” será “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”. Resposta: C

62) (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é: (A) não sabe matemática e sabe português. (B) não sabe matemática e não sabe português. (C) sabe matemática ou sabe português. (D) sabe matemática e não sabe português. (E) sabe matemática ou não sabe português.

Solução (não sabe matemática ou sabe português)¬

é equivalente a (Morgan) (sabe matemática e não sabe português)

Resposta: D

A expressão ( ) ( )( )( , )x y P x y∃ ∀ é uma fórmula sintaticamente correta da lógica de predicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando as suas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique. Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente. 63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o predicado P(x, y) é interpretado como x < y, então a fórmula é semanticamente válida.

Solução





144

O predicado de ( )( )( )x y x y∃ ∀ < não se verifica. Portanto a fórmula não é semanticamente válida. Resposta: Errado. Texto para os itens de 64 a 67. (TRT - CESPE): Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.

64) ¬ P ∨ Q é verdadeira. Solução ¬ P ∨ Q

¬ V ∨ V

F ∨ V

V

Resposta: Certo. 65) ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.

Solução ¬ [(¬ V ∨ V) ∨ (¬ V ∨ V)]

¬ [(F ∨ V) ∨ (¬ F ∨ V)]

¬ [V ∨ V]

¬ V

F

Resposta: Errado. 66) [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) é verdadeira.

Solução [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] )

[V ∧ (V ∨ V) ] ∧ (¬ [(V ∧ V) ∨ (V ∧ V)] )





145

[V ∧ V ] ∧ (¬ [V ∨ V] )

V ∧ (¬ V )

V ∧ F

F Resposta: Errado. 67) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.

Solução (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R))

(V ∨ (¬ V)) ∧ (V ∨ (¬ V))

(V ∨ F) ∧ (V ∨ F)

V ∧ V

V

Resposta: Certo.

ARGUMENTO PREMISSAS CONCLUSÃO I p q⇒ , p q II p q⇒ , q∼ p∼ III p q∨ , p∼ q IV p q⇒ , r s⇒ , p r∨ q s∨

68) Considerando os argumento acima podemos dizer que (A) Todos são não válidos. (B) Apenas um é válido. (C) Apenas dois são válidos. (C) Apenas três são válidos. (E) Todos são válidos.

Solução O argumento I é válido, e é conhecido como afirmação do antecedente. O argumento II é válido, e é conhecido como negação do conseqüente. O argumento III é válido, pois se as premissas são verdadeiras teremos que p é falsa e q só poderá ser verdadeira e, portanto a conclusão é verdadeira. O argumento IV é válido, e é conhecido como dilema.





146

Resposta: E 69) (TRT-FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é correto concluir que (A) quem não é corrupto é honesto. (B) existem corruptos honestos. (C) alguns honestos podem ser corruptos. (D) existem mais corruptos do que desonestos. (E)) existem desonestos que são corruptos.

Solução Se todos os corruptos são desonestos e existem corruptos e desonestos então é evidente que existem desonestos que são corruptos. Resposta: E 70) Todo matemático é estudioso. Existem músicos que são estudiosos. Pedro é matemático e Ivo é estudioso. Pode-se concluir que (A) Pedro é estudioso e Ivo é matemático. (B) Pedro é estudioso e Ivo é músico. (C) Pedro é também músico e Ivo é matemático. (D) Pedro é estudioso e Ivo pode não ser matemático nem músico. (E) Pedro é também músico e Ivo pode não ser matemático nem músico.

Solução Como todo matemático é estudioso e Pedro é matemático podemos concluir que Pedro é matemático, mas como Ivo é estudioso nada podemos concluir pois poderá ser músico ou não. Resposta: D 71) Em uma cidade, é verdade que "algum físico é esportista" e que "nenhum aposentado é esportista". Portanto, nessa cidade, (A) nenhum aposentado é físico. (B) nenhum físico é aposentado. (C) algum aposentado não é físico. (D) algum físico é aposentado. (E) algum físico não é aposentado.

Solução Vamos denotar “Físico”, “Esportista” e “Aposentado” por F, E e A. Temos então:





147

Portanto podemos concluir que algum físico não é aposentado. Resposta: E 72) Todas as irmãs de Angélica são loiras. Sendo assim, pode-se concluir que (A) Angélica é loira. (B) Angélica não é loira. (C) Se Ana é loira, então ela é irmã de Angélica. (D) Se Beatriz não é irmã de Angélica, então Beatriz não é loira. (E) Se Cida não é loira, então ela não é irmã de Angélica.

Solução Como todas as irmãs de Angélica são loiras, temos usando a contra-positiva que se não é loira então não é irmã de Angélica. Logo se Cida não é loira, então ela não é irmã de Angélica. Resposta: E (CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A → B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lida como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma A ∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. 73) Uma expressão da forma ¬(A ∧ ¬B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A → B.

Solução Basta saber que ¬ (A → B) é equivalente a (A ∧ ¬ B) Resposta: Correto.





148

74) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira.

Solução Trata-se da falácia conhecida como negação do antecedente. Resposta: Errado. 75) A proposição simbolizada por (A → B) → (B → A) possui uma única valoração F.

Solução Vamos fazer a tabela verdade de (A → B) → (B → A)

A B (A B) (B A) (A B) (B A) V V V V V V F F V V F V V F F F F V V V

Resposta: Correto. 76) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.

Solução Podemos ter a proposição verdadeira de modo que:

FV

V

S i lv i a a m a J o a q u i m S i lv i a a m a T a d e u∨

Resposta: Errada. (CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então obtém-se a forma P Q∧ , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P Q∨ , lida como “P ou Q” e avaliada como F se P





149

e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência de proposições P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses conceitos, julgue os próximos itens. 77) Considere as seguintes proposições: P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro” Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”.

Solução Argumento: ¬P ∨ Q (V) ¬P (V) ∴ ¬Q Suponhamos que as premissas são verdadeiras, temos então: ¬P ∨ Q (V) ¬P (V) ∴ ¬Q Temos que a proposição ¬Q pode ser verdadeira ou falsa, portanto o argumento é NÃO VÁLIDO Resposta: Errado 78) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos. Logo (A) todos os momorrengos são torminodoros. (B) alguns torminodoros são momorrengos. (C) todos os torminodoros são macerontes. (D) alguns momorrengos são pássaros. (E) todos os momorrengos são macerontes.

Solução È evidente que alguns torminodoros são momorrengos. Resposta: B 79) (CESPE) Abaixo, uma tabela com esquemas de estruturas lógicas para quatro tipos diferentes de deduções e uma tabela verdade. As letras P e Q representam sentenças. Os símbolos ¬, → e ∨ são conectivos lógicos usuais de negação, implicação e disjunção, respectivamente.





150

Considerando as informações acima e o cálculo proposicional, assinale a alternativa correta. a) Se um delegado é um profissional do direito, então ele não desconhece leis. Delegados desconhecem leis. Portanto, delegados não são profissionais do direito. Esta é uma dedução do tipo III. b) Uma pessoa ou pode ser culpada ou inocente de uma acusação. Esta pessoa é culpada. Portanto, ela não é inocente. Essa é uma dedução do tipo I. c) Um supervisor ou sempre mente ou sempre fala a verdade, em relação a um determinado acontecimento. Se ele não fala a verdade então ele mente. Está é uma dedução do tipo IV. d) As tabelas verdade das proposições P∨Q e P→Q são iguais. e) Da forma de dedução do tipo II, tem-se que a conclusão será verdadeira se ambas as premissas forem verdadeiras.

Solução Se as premissas são verdadeiras implica que a conclusão também é verdadeira. Temos neste caso um argumento válido. Resposta: E 80) (FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas: _ Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser superada. _ Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão fantasiosos. _ Os superávits serão fantasiosos. Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser: (A) A crise econômica não demorará a ser superada. (B) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos. (C) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos. (D) Os superávits econômicos serão fantasiosos. (E) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.

Solução Vamos usar a contra positiva. Temos pela terceira premissa que os superávits serão fantasiosos. Logo pela contra positiva da segunda premissa podemos afirmar que as metas de inflação não são reais. Usando a afirmação do antecedente na primeira premissa temos que crise econômica não demorará a ser superada. Resposta: E





151

81) (ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo, a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

Solução Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras.

Homero não é honesto Júlio é justo (V)Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)Beto é bondoso Júlio não é justo (V)Beto não é bondoso Homero é honesto (V)

∨∨ ∨

∨∨

Observamos que todas as premissas são disjunções e nesse caso não temos um proposição com o valor verdade definido, sendo assim vamos fazer uma hipótese sobre alguma delas. Se a hipótese for correta encontraremos a resposta final, se não for correta chegaremos a um absurdo e nesse caso trocamos a hipótese e teremos a resposta. Suponhamos que a proposição “Homero não é honesto” é verdadeira. Então pela hipótese teremos:

V

F

Homero não é honesto Júlio é justo (V)

Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)

Beto é bondoso Júlio não é justo (V)Beto não é bondoso Homero é honesto

∨

∨ ∨

∨∨

F

(V)

Como a última premissa é verdadeira temos que a proposição “Beto não é bondoso” tem que ser verdadeira. Então teremos:

V

F F

F

V



Beto é bondoso Júlio não é justo (V)

Beto não é bondoso

∨

∨ ∨

∨

F

Homero é honesto (V)∨

Como a terceira premissa é verdadeira temos que a proposição “Júlio não é justo” tem que ser verdadeira. Então teremos:





152

V F

F FF

F V




B

∨

∨ ∨

∨

V F

eto não é bondoso Homero é honesto (V)∨

Temos um absurdo na segunda premissa, pois todas as proposições são falsas e a premissa é verdadeira. Sendo assim nossa hipótese esta errada, isto é a proposição “Homero não é honesto” deve ser falsa. Mudando a nossa hipótese inicial teremos que a proposição “Homero não é honesto” é falsa. Sendo assim vamos refazer o exercício com a nova hipótese correta:

F

V



Beto é bondoso Júlio não é justo (V)Beto não é bondoso Homero é honesto

∨

∨ ∨

∨∨

V

(V)

Temos pela primeira premissa que “Júlio é justo” tem que ser verdadeira.

F V

V V

F




Beto não é bondos

∨

∨ ∨

∨

V

o Homero é honesto (V)∨

Temos pela primeira premissa que “Beto é bondoso” tem que ser verdadeira.

F V

V VV

V F




B

∨

∨ ∨

∨

F V

eto não é bondoso Homero é honesto (V)∨

Assim teremos as seguintes conclusões: Júlio é justo. Homero é honesto. Beto é bondoso. Resposta: C





153

82) (ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações: 1) Se Homero é culpado, então João é culpado. 2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. 3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente. 4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: a) Homero, João e Adolfo são inocentes. b) Homero, João e Adolfo são culpados. c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes. d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado. e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.

Solução Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras.

Homero é culpado João é culpado (V)Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)Adolfo é inocente João é inocente (V)Adolfo é culpado Homero é culpado (V)

→→ ∨

→→

Observamos que todas as premissas são proposições compostas condicionais e nesse caso não temos inicialmente informações sobre as proposições simples. Quando ocorrer essa situação devemos supor (“chutar”) um valor verdade para uma das proposições simples contida nas premissas. Se o nosso “chute” estiver correto encontraremos a resposta, mas se o chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute e encontramos a resposta correta. Vamos supor então que a proposição “Homero é culpado” é verdadeira(chute). Teremos então a seguinte situação nas premissas:

V

Homero é culpado João é culpado (V)

Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)

Adolfo é inocente João é inocente (V)Adolfo é culpado Homero é culpa

F

→

→ ∨

→→

V

do (V)

Como a primeira premissa é verdadeira e o seu antecedente “Homero é culpado” também é verdadeira, o conseqüente “ João é culpado” tem que ser verdadeira. Teremos então





154

V V

F



Adolfo é inocente João é inocente (V)

Adolfo é culpado

F

→

→ ∨

→

V

Homero é culpado (V)→

Como a terceira premissa é verdadeira e o seu conseqüente “João é inocente” é falso, o antecedente “ Adolfo é inocente” tem que ser falso. Teremos então

V V

F F



Adolfo é inocente João é inocente F V

→

→ ∨

→

V V

(V)

Adolfo é culpado Homero é culpado (V)→

Portanto as conclusões são: Homero é culpado. João é culpado.Adolfo é culpado. Resposta: B 83) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos os Matemáticos são pessoas alegres”, então necessariamente, a) Toda pessoa alegre é matemático. b) Todo matemático é professor. c) Algum professor é uma pessoa alegre. d) Nenhuma pessoa alegre é professor. e) Nenhum professor não é alegre.

Solução Vamos denotar Professores, Matemáticos e Pessoas Alegres por P, M e A respectivamente.

Podemos concluir que algum professor é uma pessoa alegre.





155

Resposta: C 84) Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é necessário que: a. todas as mulheres sejam cozinheiras. b. algumas mulheres sejam boas cozinheiras. c. Nenhum homem seja bom cozinheiro. d. Todos os homens sejam maus cozinheiros. e. Pelo menos um homem seja mau cozinheiro.

Solução A negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc. Sendo assim para que a afirmação “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa é necessário que “Pelo menos um homem seja mau cozinheiro”. Resposta: E

85) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que: a. todo matemático seja louco. b. todo louco seja matemático. c. Algum louco não seja matemático. d. Algum matemático seja louco. e. Algum matemático não seja louco.

Solução A negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc. Sendo assim para que a afirmação “Todo matemático é louco” seja falsa basta que “Algum matemático não seja louco”. Resposta: E

86) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a. todo C é B b. todo C é A c. algum A é C d. nada que não seja C é A e. algum A não é C

Solução Pelo diagrama temos:





156

Podemos concluir que algum A é C. Resposta: C 87) (MACK) Se 28

2n⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

então n é:

a. 7 b. 8 c. 14 d. 26 e. 56

Solução

282n⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

( 1) 282

n n −=

n (n – 1) = 56 n2 – n – 56 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos as seguintes raízes: n’ = -7 (não comvém) e n” = 8 (ok) Resposta: B 88) (UFB) Com as letras da palavra COMPLEX, temos: I. 720 permutações podem ser feitas terminando com X. II. 240 permutações começando e terminando por vogal. III. 10.080 permutações começando por vogal Marque a. Se todas as afirmativas são verdadeiras b. Se todas as afirmativas são falsas c. Se apenas a III é verdadeira d. Se apenas a I e II são verdadeiras e. Se apenas a I é verdadeira





157

Solução - O número de permutações que terminam com X é: X

6!

1

6! × 1 = 720 permutações. - O número de permutações começando e terminando com vogal é: 2

6!

1

2 ×5! ×1 = 2 ×120 ×1 = 240 permutações. - O número de permutações começando por vogal é: 2

6!

2 ×6! = 2 ×720 = 1.440 permutações. Resposta: D 89) (ITA) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61.473 será: a. 76ª b. 78ª c. 80ª d. 82ª e. n.d.a

Solução Vamos contar a quantidade de números até chegar no número 61.473. - A quantidade de números começando com o algarismo 1 é: 4! = 24 números. - A quantidade de números começando com o algarismo 3 é: 4! = 24 números. - A quantidade de números começando com o algarismo 4 é: 4! = 24 números. - A quantidade de números começando com o algarismo 613 é: 2! = 4 números. Os próximos números serão 61.437 e 61.673. Antes do número 61.473 temos: 24 + 24 + 24 + 4 + 1 = 75 números. Logo o número 61.473 é o 76º número. Resposta: A 90) (F.C. CHAGAS) O número de anagramas da palavra BAGRE, que começam por consoante é:





158

a. 120 b. 72 c. 48 d. 24 e. 12

Solução 2

4!

3 ×4! = 3 ×24 = 72 anagramas. Resposta: B

91) (F.C.CHAGAS) A sentença 2

10nn

+⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ é verdadeira se, e somente se, n! for igual

a: a. 1 b. 6 c. 18 d. 720 e. 6 ou 720

Solução 2

10nn

+⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

210

2n +⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

( 2)( 1) 102

n n+ +=

( 2)( 1) 20n n+ + = 2 3 18 0n n+ − =

Resolvendo a equação do segundo grau, as raízes: n’ = -6 (não convém) e n” = 3 (ok) O valor de n é 3, logo n! = 3! = 6 Resposta: B 92) (Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem? a. 4! × 3! b. 2-1 × 4! × 3! c. 24 d. 12 e. 7





159

Solução Podemos ir de rodovia e voltar de trem e vice versa.

4 3R T

× ou

3 4T R

×

Temos 12 12 = 24 modos. Resposta: C 93) (MACK) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, serão divisíveis por 5: a. 20 números b. 30 números c. 60 números d. 120 números e. 180 números

Solução Vamos contar a quantidade de números que terminam com o algarismo 5. 5 5×4 ×3 ×1 = 60 números Resposta: C 94) (MACK) Em um teste de múltipla escolha, com 5 alternativas distintas, sendo uma única correta, o número de modos distintos de ordenar as alternativas de maneira que a única correta não seja nem a primeira nem a última é: a. 36 b. 48 c. 60 d. 72 e. 120

Solução Número de maneiras de escolher a posição da opção correta: 3 modos (a, b ou c). Número de maneiras de permutar as opções erradas: 4! = 24 modos. Pelo princípio fundamental da contagem 3 ×24 = 72 modos. Resposta: D 95) (PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser formados com algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é: a. 54 b. 56 c. 58 d. 60 e. 64

Solução





160

Com um algarismo temos 4 números. Com dois algarismos temos 4x3 = 12 números. Com três algarismos temos 4x3x2 = 24 números. Com 4 algarismos temos 4x6x2x1 = 24 números. Total: 64 números com os algarismos distintos. Resposta: E 96) (PUC) O número de maneiras que um professor pode escolher um ou mais estudantes de um grupo de 6 estudantes é: a. 56 b. 58 c. 60 d. 63 e. 65

Solução Poderá escolher 1, ou 2, ou 3, ou ....., ou 6. Logo 1 2 3 4 5 6 6

6 6 6 6 6 6 2 1 64 1 63modC C C C C C os+ + + + + = − = − = Resposta: D 97) (OSEC) Um estudante ganhou numa competição quatro diferentes livros de matemática, três diferentes de física e dois de Química. Querendo manter juntos os livros de mesma disciplina, calculou que poderá enfileirá-los numa prateleira de estante, de modos diversos num total de: a. A9,3 b. A9,3 × A9,3 × A9,2 c. P9 d. P4 × P3 × P2 e. P3 × P4 x P3 × P2

Solução O número de maneiras de um professor permutar os livros de matemática: P4. O número de maneiras de um professor permutar os livros de física: P3. O número de maneiras de um professor permutar os livros de química: P2. O número de maneiras de um professor permutar as disciplinas: P3. Pelo princípio fundamental da contagem temos: P4 × P3 × P2 × P3 Resposta: E 98) (FUVEST) Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

Solução Para o número ser múltiplo de três a soma dos algarismos terá que ser múltiplo de 3. 15 ≤ x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 21





161

Soma 15 2, 3, 4, 6 24 Soma 18 2, 3, 4, 9 24 Soma 21 2, 4, 6, 9 24 Total 72 números Resposta: 72

99) (F. MED. TAUBATÉ) Simplificando-se ( ) ( )( )1 ! 2

1 !n n

n+ +

− obtém-se:

a. 2

b. ( )( )1 21

n nn

+ +−

c. (n+1) (n+2) d. n (n+2) e. n (n+1) (n+2)

Solução ( ) ( )

( )1 ! 2

1 !n n

n+ +

− = ( ) ( ) ( )

( )1 1 ! 2

1 !n n n n

n+ − +

− = ( ) ( )1 2n n n+ +

Resposta: E 100) (FGV) O número de combinações de 8 elementos, 3 a 3, que contém um determinado elemento é: a. 21 b. 42 c. 56 d. 7 e. 27

Solução Se contém um determinado elemento precisamos apenas escolher dois elementos entre os outros SETE elementos.

27

7 6 212

C ×= = combinações.

Resposta: A 101) (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é: a. 10 b. 24 c. 30 d. 60 e. 120





162

Solução O número de permutações das letras A, A, R, R, E é:

5! 120 302!2!1! 4

= = siglas.

Resposta: C 102) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: a. 24 b. 48 c. 96 d. 120 e. 144

Solução O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: 2

4!

1

Pelo Princípio fundamental da Contagem temos: 2 x 4! x 1 = 2 x 24 x 1 = 48 anagramas. Resposta: B 103) (MACK) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é: a. 120 b. 320 c. 500 d. 600 e. 720

Solução O número de maneiras de escolher um lugar para a locomotiva(só pode ir na frente): 1 maneira. O número de maneiras de escolher um lugar para o restaurante: 5 maneiras. O número de maneiras de arrumar os outros cinco vagões: 5! = 120 maneiras. Pelo Princípios Fundamental da Contagem temos: 1 x 5 x 120 = 600 maneiras. Resposta: D 104) (CESGRANRIO) Considere cinco pontos, três a três não colineares. Usando esses pontos como vértices de um triângulo, o número de todos os triângulos distintos que se podem formar é: a. 5





163

b. 6 c. 9 d. 10 e. 15

Solução O numero de triângulos que podemos formar è 3

5 10C = triângulos. Resposta: D 105) (PUC) Uma mensagem em código deve ser feita de tal forma que, cada letra do alfabeto seja representada por uma seqüência de n elementos, onde cada elemento é zero (0) ou um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do alfabeto possam ser representadas é: a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9

Solução Com um elemento podemos representar 21 = 2 letras. Com dois elementos podemos representar 22 = 4 letras. Com três elementos podemos representar 23 = 8 letras. Com quatro elementos podemos representar 24 = 16 letras. Com cinco elementos podemos representar 25 = 32 letras. Resposta: A 106) (GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A até B, deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita?

a. 126 b. 858 c. 326 d. 954 e. 386





164

Solução Cada caminho terá quatro movimentos para cima (C) e cinco movimentos para a direita (D). Logo o número de caminhos será o número de permutações de nove elementos, sendo 4 iguais a C e 5 iguais a D.

4,59

9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6 1264!5! 4!5! 4!

P × × × × × × ×= = = = caminhos.

Resposta: A 107) (POLI) Entendendo-se por diagonal de um poliedro todo segmento que liga dois vértices não pertencentes a uma mesma face, quantas diagonais possui um prisma cujas bases são polígonos de n lados?

Solução Número de maneiras de escolher um vértice em uma face: n modos. Número de maneiras de escolher um outro vértice em outra face: (n – 3) modos. Pelo princípio fundamental da contagem temos: n× (n – 3). Resposta: n× (n-3) 108) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa comissão, de modo que não façam parte da mesma exatamente dois alunos designados por números consecutivos? a. 2 b. (n–2) c. 2

nC d. (n–2)n e. (n–2)(n–3)

Solução Podemos ter:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1,2,3 , 1,2,5 ,....., 1, 2, 3 .

ou 2,3,5 , 2,3,6 ,....., 2,3, 4 .

ou 3,4,6 , 3,4,7 ,....., 3, 4, 5 . . . . , . . . ,....., . . . . . . . . . . . .

n n comissões

n n comissões

n n comissões

→ −

→ −

→ −

→

( )( )2 32

. . . , . . . ,....., . . . . . . . . . . . .

n n

⎫⎪⎪

− −⎪⎬⎪⎪⎪→ ⎭

( )3, 2, 1 comissão.n n n− − →





165

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

ou 1,3,4 , 1,4,5 ,....., 1, 1, 3 .

2,4,5 , 2,5,6 ,....., 2, 1, 4 .

3,5,6 , 3,6,7 ,....., 3, 1, 5 . . . . , . . . ,....., . . . . . . . . . .

n n n comissões

n n n comissões

n n n comissões

− → −

− → −

− → −

→

( )( )2 32

. . . . . , . . . ,....., . . . . . . . . . . . .

n n

⎫⎪⎪

− −⎪⎬⎪⎪⎪→ ⎭

( )3, 1, 1 comissão.n n n− − → Logo, o total é: (n-2)(n-3) comissão. Resposta: E 109) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-se organizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa comissão, de modo que não façam parte da mesma dois ou três alunos designados por números consecutivos? a. (n–3) b. (n–1)(n–2)(n–3)

c. (n-2)(n-3)(n-4)6

d. n(n-2)(n-3)6

e. n(n-3)2

Solução Vamos subtrair do número total de comissões o número de comissões com dois e com três alunos designados por números consecutivos. Total de comissões sem restrição: 3

nC . Total de comissões com 2 alunos consecutivos: (n-2)(n-3). Total de comissões com 3 alunos consecutivos: (n-2).

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )

3

2 2

1 22 3 2 2 3 2

62 2

1 6 3 6 1 6 18 66 6

2 26 18 6 7 12

6 62 3 4

6

n

n n nC n n n n n n

n nn n n n n n

n nn n n n

n n n

− −− − − − − = − − − − − =

− −− − − − = − − + − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − = − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− − −

Resposta: C





166

110) (PUC) N retas paralelas de um plano se interceptam com uma série de m retas paralelas desse mesmo plano. Então, o número de paralelogramos que se obtém na rede assim distribuída é: a. Cm,2 : Cn,2 b. Cm,2 - Cn,2 c. 2Cm,2 + 2Cn,2 d. Cn,2 + Cm,2 e. Cn,2 . Cm,2

Solução O número de maneiras de escolhermos 2 retas paralelas, no conjunto das m retas paralelas é: 2

mC . O número de maneiras de escolhermos 2 retas paralelas, no conjunto das n retas paralelas é:

2nC .

Logo: 2nC × 2

mC Resposta: E 111) (FATEC) Dispõem-se de 7 cores distintas para pintar um mapa das 5 regiões do Brasil. Pode-se repetir uma vez no máximo, cada uma das cores. Quantas disposições diferentes de cores pode-se obter? a. 10.920 b. 1.421 c. 5.040 d. 3.360 e. n.r.a

Solução Primeiramente vamos contar os casos onde todas as cores são distintas: 7x6x5x4x3 = 2520 modos com as cores distintas. Agora vamos contar os caso com exatamente uma cor repetida: Primeiro vamos escolher as duas regiões que terão a mesma cor: 2

5 10 modos.C = Vamos pintar(escolher a cor) da primeira região com a cor escolhida(que será repetida): 7 modos . Vamos escolher a cor da segunda região com cor repetida: 1 modo. Vamos agora pintar as outras três regiões com cores distintas: 6x5x4 = 120 modos. Pelo princípio fundamental da contagem temos: 10x7x1x120 = 8400 modos. Portanto temos o total do cores distintas e com exatamente um cor repetida: 2520 + 8400 = 10920 modos. Resposta: A





167

112) (ITA) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatro algarismos distintos, contendo o algarismo “4” ou o algarismo “5” podem ser formados? a. 196 b. 286 c. 340 d. 336 e. n.r.a.

Solução Primeiramente vamos calcular o total de números de quatro algarismos distintos: 6x5x4x3 = 360 números. Vamos calcular a quantidade de números de quatro algarismos distintos e diferentes de “4” e de “5”: 4x3x2x1 = 24 números. Logo a quantidade de números de quatro algarismos distintos, contendo o algarismo “4” ou “5” é 360 – 24 = 336 números. Resposta: D 113) O número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais juntas é: a) 744 b) 760 c) 796 d) 840 e) 900 Resposta: A

Solução

O números total de anagramas é 3,1,1,1,1

77! 840

3!1!1!1!1!P = = anagramas.

O número de anagramas com as vogais juntas é 3,14

4!4! 4! 24 4 963!1!

P = = × = anagramas.

Logo o número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais juntas é 840 – 96 = 744 anagramas. Resposta: A 114) (IME) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Uma das permutações desses algarismos, origina o número 42351. Determine a soma dos números formados, quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis. a) 3900900 b) 3900999 c) 3999960 d) 3999999





168

e) 4000000 Solução

O número de parcelas é P5 = 5! = 120 1 2 3 4 51 2 3 5 4... ... ... ... ... 120... ... ... ... ...5 4 3 2 1

parcelas

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Observe que em qualquer coluna, cada algarismo aparece tantas vezes quantas forem as permutações dos quatro algarismos restantes, isto é, P4 = 4! = 24 vezes Deste modo teremos que a soma total dos algarismos em cada coluna é

24 24 24 24

1 1 ... 1 2 2 ... 2 3 3 ... 3 ..... 5 5 ... 5vezes vezes vezes vezes

+ + + + + + + + + + + + + + + +

Logo teremos: 1 x 24 + 2 x 24 + 3 x 24 + 4 x 24 + 5 x 24 = 360. Logo a soma total será:

Soma das unidades: 360Soma das dezenas: 3600Soma das centenas: 36000Soma das unidades de milhar: 360000Soma das dezenas de milhar: 3600000Total: 3999960

Resposta: C 115) (FUVEST) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521? a) 70ª b) 72ª c) 80ª d) 90ª e) 96ª

Solução Vamos contar todos os números que começam por 1, 2, 3, 41, 42, 431, 432, 4351, pois são certamente menores que 43521. Começando por 1: 4! = 24 números. Começando por 2: 4! = 24 números.





169

Começando por 3: 4! = 24 números. Começando por 41: 3! = 6 números. Começando por 42: 3! = 6 números. Começando por 431: 2! = 2 números. Começando por 432: 2! = 2 números. Começando por 4351: 1! = 1 número. Total: 89 números. Temos 89 números antes do números “43521”. Logo Colocando esses números em ordem crescente o lugar ocupado pelo número 43521 é o 90ª. Resposta: D 116) Em um plano existem cinco retas secantes duas a duas. O número de triângulos que são determinados com os vértices nos seus pontos de intersecção é: a) 120 b) 140 c) 150 d)160 e) 180

Solução O número de pontos de intersecção será 2

5 10C = pontos. Logo o número de triângulos com vértices nesses pontos é 3

10 120C = . Resposta: A 117) O número de maneiras de colocarmos três anéis diferentes nos cinco dedos da mão esquerda é: a) 180 b) 190 c) 200 d) 210 e) 240

Solução Seja xi= ao número de anéis no i-ésimo dedo. i = 1, 2, 3, 4, 5 Temos então 1 2 3 4 5 3x x x x x+ + + + = onde 0ix ≥

O número de soluções inteiras não negativas da equação acima é 47

7!4!3!

C = = 35.

Como os três anéis são diferentes devemos permutar as suas posições, então temos 35x3! = 35x6 = 210 modos. Resposta: D 118) (Ufscar-SP) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente 20 vereadores, sendo que 12 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O número





170

de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadores situacionistas e 3 oposicionistas é: a) 27720 b) 13860 c) 551 d) 495 e) 56

Solução 12 da situação

20 vereadores8 da oposição

⎧⎨⎩

4 312 8

12! 8! 12 11 10 9 8 7 6 11 5 9 8 7 277204!8! 3!5! 4 3 2 1 3 2

C C × × × × × ×× = × = = × × × × =

× × × × ×.

Resposta: A 119) (PUC-RJ) De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de 5 soldados podem ser formadas se em cada equipe um soldado é destacado para líder? a) 1260 b) 1444 c) 1520 d) 1840 e) 1936

Solução O total de equipes com cinco soldados será 5

10C . Em cada equipe temos cinco modos de

escolher um líder. Logo temos 510

10! 10 9 8 7 65 5 5 10 9 2 7 12605!5! 5 4 3 2 1

C × × × ×× = × = × = × × × =

× × × ×.

Resposta: A 120) (ITA-SP) Quantos números de 6 algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? a) 144 b) 180 c) 240 d) 288 e) 360

Solução Quantidade de números com os algarismos 3 e o 4 em posições adjacentes: 5!x2!. Quantidade de números com os algarismos 3 e o 4 em posições adjacentes e também com os algarismos 1 e 2 adjacentes:: 4!x2!x2!.





171

Logo a quantidade de números nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes é 5!x2! – 4!x2!x2! = 240 – 96 = 144 números. Resposta: A 121) (FGV) Uma comissão de três pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre Antônio, Benedito, César, Denise e Elisabete. Se Denise não pertence à comissão, qual a probabilidade de César pertencer?

a. 34

b. 32

c. 24

d. 23

e. 36

Solução Sejam os eventos: A = “César pertence a comissão” B = “Denise não pertence a comissão”

"César pertence a comissão Denise não pertence a comissão"A B∩ = ∧ 24( ) 1 6n A C= × =

34( ) 4n B C= =

23( ) 1 3n A B C∩ = × =

35( ) 10n S C= =

Queremos calcular ( | )P A B . 3

( ) 310( | ) 4( ) 410

P A BP A BP B

∩= = =

Resposta: A. 122) (FGV) Numa escola existem seis casais; entre estas 12 pessoas, duas são selecionadas ao acaso. a) Qual a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa? b) Qual a probabilidade de selecionarmos dois homens?

Solução





172

a) Número de casos favoráveis: 16 1 6C × =

Número de casos possíveis: 212 66C =

Logo a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa é 6 166 11

= .

b) Número de casos favoráveis: 26 15C =

Logo a probabilidade de selecionarmos dois homens é 15 566 22

= .

Resposta: 1 511 22

e

123) (FGV) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas. a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser suspeita e fraudulenta? b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade dela ter sido suspeita? a. 1% e 52,75% b. 2% e 53,66% c. 4% e 52,63% d. 2% e 52,63% e. 5% e 25,36%

Solução Seja os eventos: S = “A declaração é suspeita” F = “A declaração é fraudulenta”

( ) 10% 0,1P S = = ( | ) 20% 0,2P F S = = ( | ) 2% 0,02cP F S = = ( ) 90% 0,9cP S = =

a) ( ) ( | ) ( ) 0, 2 0,1 0,02 2%P S F P F S P S∩ = × = × = =

b) ( | ) ( )( | )( | ) ( ) ( | ) ( )c c

P F S P SP S FP F S P S P F S P S

×=

× + × (Teorema de Bayes)

( | ) ( ) 0,2 0,1( | )( | ) ( ) ( | ) ( ) 0,2 0,1 0,02 0,9

0,02 0,02( | ) 0,5263 52,63%0,02 0,018 0,038

c c

P F S P SP S FP F S P S P F S P S

P S F

× ×= =

× + × × + ×

= = = =+

Resposta: D.





173

124) (FGV) Um fichário tem 25 fichas, etiquetadas de 11 a 35. a) Retirando-se uma ficha ao acaso, qual probabilidade é maior: de ter etiqueta por ou ímpar? Por que? b) Retirando-se ao acaso duas fichas diferentes, calcule a probabilidade de que suas etiquetas tenham números consecutivos.

Solução

a) 35 etiquetas = 12 13

paresímpares

⎧⎨⎩

Logo a probabilidade de obter uma etiqueta com número ímpar é maior. b) O número de maneiras de retirar duas etiquetas com números consecutivos é: 24 maneiras{(11,12) , (12, 13), ..., (34, 35)}.

Logo a probabilidade pedida é: 24 0,08 8%300

= =

Resposta: a. Ímpar; b. 8%. 125) (FGV) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2. Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de ele cair numa cidade cuja cuperfície tem área igual a 102km2? a. 2.10-9 b. 2.10-8 c. 2.10-7 d. 2.10-6 e.2.10-5

Solução 6 7

6 6

102 0,2 0,2 10 2 10510 10 10

− −= = × = ××

Resposta: C. 126) (FGV) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo sabor é:

a. 1865

b. 1966

c. 2067





174

d. 2168

e. 2269

Solução O número de maneiras de selecionar duas bolas (espaço amostral) é:

212 66C = maneiras.

O número de maneiras de selecionar duas balas de mesmo sabor: Hortelã: 2

4 6C = maneiras Morango: 2

5 10C = maneiras Anis: 2

3 3C = maneiras Total: 19 maneiras


.

Resposta: B. 127) a) (FGV) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Uma bolinha é sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja superior a 2? b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n. Sorteando-se duas bolinhas sucessivamente com reposição, e observando-se os números do 1º e do 2º sorteio, quantos resultados são possíveis? Qual seria a resposta se não houvesse reposição?

Solução a) Espaço amostral (S): S = {(1,1), (1,2), (1,3) (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), ..., (5,5)} n (S) =25 Seja o evento A tal que : A = “A soma dos números sorteados é superior a 7”. A = {(3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (5,3)} N (A) = 6


.

b) Com reposição: Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n×n = n2 resultados possíveis. Sem reposição: Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n (n-1) resultados possíveis. Resposta: 128) (FUVEST) Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números





175

sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos dois últimos lançamentos.

a. 3365

b. 3166

c. 7235

d. 3572

e. 3369

Solução Número de casos possíveis: 64 = 1.296. Número de casos favoráveis: 1º caso – Os números dos dois dados (primeiros) são iguais: 6 1 5 5 150× × × = . 2º caso – Os números dos dois dados (primeiros) são distintos: 6 5 4 4 480× × × = . Os números de casos favoráveis é: 150 + 480 = 630.

Logo a probabilidade pedida é: 630 351.296 72

=

Resposta: D. 129) (FGV) Em um determinado jogo, são sorteados 3 números entre os 30 que estão no volante de apostas. O apostador, que assinala 6 números no volante, ganha, se todos os 3 números sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A probabilidade de o apostador ganhar é:

a. 1203

b. 1507

c. 1156

d. 1280

e. 198

Solução Número de casos possíveis: 6

3030!

6!24!C =





176

Número de casos favoráveis: 3 33 27

27!3!24!

C C =

A probabilidade será:

27!6! 27! 120 13!24!

30! 3! 30! 30 29 28 2036!24!

×= = =

× × ×

Resposta: A. 130) (FGV) Em uma comunidade, 80% dos compradores de carros usados são bons pagadores. Sabe-se que a probabilidade de um bom pagador obter cartão de crédito é de 70%, enquanto que é de apenas 40% a probabilidade de um mau pagador obter cartão de crédito. Selecionando-se ao acaso um comprador de carro usado dessa comunidade, a probabilidade de que ele tenha cartão de crédito é de: a. 56% b. 64% c. 70% d. 32% e. 100%

Solução Sejam os eventos: A = “O comprador é bom pagador” B = “O comprador tem cartão de crédito”

( ) 80% 0,8P A = = ( ) 20% 0,2cP A = = ( | ) 70% 0,7P B A = = ( | ) 30% 0,3cP B A = = ( | ) 40% 0,4cP B A = =

( | ) 60% 0,6c cP B A = = Pelo teorema da probabilidade total temos:

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )( ) 0,7 0,8 0, 4 0, 2 0,56 0,08 0,64

c cP B P B A P A P B A P AP B

= × + ×= × + × = + =

Resposta: B. 131) (FGV) Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A ∪ B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é: a. 0,5

b. 57

c. 0.6





177

d. 715

e. 0,7 Solução

A e B são independentes. Logo P(A ∩ B) = P(A) ×P(B) = 0,3P(B) Mas: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3P(B) 0,8 – 0,3 = 0,7P(B)

P(B) = 57

Resposta: B. 132) (FUVEST) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saia com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saiam com a freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?

a. 13

b. 23

c. 19

d. 29

e. 112

Solução P(1) = p

P(2) = 16

P(3) = 16

P(4) = 16

P(5) = 16

P(6) = 2p Logo: P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1





178

p + 16

+ 16

+ 16

+ 16

+ 2p = 1

3p + 46

= 1

3p + 23

= 1

3p = 1- 23

3p = 13

p = 19

Resposta: C. 133) (FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais? a. 59 b. 9×84 c. 8×94 d. 85 e. 95

Solução Seja o número A B C D E. Para a posição de A podemos escolher 9 algarismos. Para a posição de B podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismo de A. Para a posição de C podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismo de B. Para a posição de D podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismo de C. Para a posição de podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismo de D. Portanto pelo princípio fundamental da contagem temos: 9×9×9×9×9 = 95

Resposta: E. 134) (FGV) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças desse lote, sem reposição, a probabilidade de que sejam não defeituosas è:

a. 6895

b. 7095





179

c. 7295

d. 7495

e. 7695

Solução

A probabilidade será 318320

18 17 16 4 17 6820 19 18 5 19 95

CC

× × ×= = =

× × ×

Resposta: A. 135) Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em anotações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais: a) Ao menos um dos eventos ocorre. b) Exatamente um dos eventos ocorre.

Solução a) Pelo menos um significa a união de todos os eventos, logo temos (A ∪ B ∪ C). b) Exatamente um dos eventos ocorre significa que ocorre somente o evento A, ou somente o evento B, ou somente o evento C, logo temos ( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩A B C A B C A B C . Resposta: a) (A ∪ B ∪ C); b) ( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩A B C A B C A B C . 136) Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = a, P(B) = b, e P(A ∩ B) = c. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em têrmos de x, y e z. a. ( )P A B∪ b. ( )P A B∩ c. ( )P A B∪ d. ( )P A B∩

Solução a) Por Morgan temos: ( ) ( )A B A B∪ = ∩ logo

( ) ( ) ( )1 1P A B P A B P A B c∪ = ∩ = − ∩ = −

b) ( ) ( ) ( )P A B P B P A B b c∩ = − ∩ = −

c) Por Morgan temos: ( ) ( )A B A B∪ = ∩ logo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1P A B P A B P A B P A P A B∪ = ∩ = − ∩ = − + ∩





180

( ) 1P A B a c∪ = − +

d) Por Morgan temos: ( ) ( )A B A B∩ = ∪ logo

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )P A B P A B P A B P A P B P A B∩ = ∪ = − ∪ = − − + ∩

( ) 1P A B a b c∩ = − − +

Resposta: a. 1-c; b. b-c; c. 1-a+c; d. 1-a-b+c. 137) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) =1/4, P(A ∩ B) = P(C ∩ B)=0 e P (A ∩ C) =1/8. Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra.

a. 68

b. 58

c. 89

d. 59

e. 78

Solução ( )Pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra ( )P P A B C= ∪ ∪

Mas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

Como ( ) ( )A B C A B∩ ∩ ⊂ ∩ ( ) ( )0 0P A B C P A B≤ ∩ ∩ ≤ ∩ =

Logo temos que ( ) 0P A B C∩ ∩ = . Voltando a fórmula temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩1 1 1 1 5( ) 0 0 04 4 4 8 8

P A B C∪ ∪ = + + − − − + =

Resposta: B.





181

138) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4 , enquanto ( ) 0,8P A B∪ = . Seja P(B) = p. a) Para que valor de p, A e B serão disjuntos? b) Para que valor de p, A e B serão independentes?

Solução a) A e B são disjuntos. Então ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +

0,8 0, 40, 4

pp

= +=

b) A e b são independentes. Então ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×

( ) 0, 4P A B p∩ = × Mas ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 0,8 0,4 0,40,8 0,4 0,60,6 0,4

23

p pp

p

p

= + −= +

=

=

Resposta: a. p= 0,4; b. p = 2/3. 139) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A. a) 0,400 b) 0,030 c) 0,012 d) 0,308 e) 0,500

Solução Sejam os eventos: A = “o motor foi produzido pela fábrica A” B = “o motor foi produzido pela fábrica B” C = “o motor é defeituoso” O enunciado forneceu: P(A) = 40% = 0,4 P(B) = 60% = 0,6 P(D/A) = 2% = 0,02





182

P(D/B) = 3% = 0,03 O enunciado informa que o motor selecionado apresenta defeito. Pergunta-se: P(A/D) =? Logo P(A/D) = ( )

( )( ) ( )

( )DPAP.A/DP

DPDAP

=∩

Vamos calcular o P(D): Como: D = (A ∩ D) ∪ (B ∩ D) ...... União de eventos disjuntos Logo: P(D) = P((A ∩ D) ∪ (B ∩ D)) P(D) = P(A ∩ D) + (B ∩ D) P(D) = P(A/D) . P(A) + P(D/B) . P(B) Logo: P(D) = 0,02 x 0,4 + 0,03 x 0,6 = 0,008 + 0,018 P(D) = 0,026 Voltando a pergunta do problema:

( ) ( ) ( )( )

308,0134

026,008,0

026,04,0x02,0

DPAP.A/DPD/AP =====

Resp. A 140) Beatriz, que é muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos e Quintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveu sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre os sorteados é igual a: a) 0,8 b) 0,375 c) 0,05 d) 0,6 e) 0,75

Solução A probabilidade de que Pedro e Sérgio sejam sorteados será:

2 12 3

35

310

C xCC

=

A probabilidade de que Teodoro e Quintino sejam sorteados será: 2 12 3

35

310

C xCC

=

Como os eventos são disjuntos temos : 0,3+0,3 = 0,6. Opção correta D. Observação: Esta solução está supondo que cada sobrinho sorteado recebeu de herança apenas um casa.





183

141) Uma equipe de peritos criminais precisa descobrir a posição correta de um esconderijo e para tal dispõe somente do pedaço de um bilhete rasgado.

A equipe situa-se na posição desse poço que se encontra dentro de um terreno de área circular de raio igual a 100 passos e não possui bússola para indicar o norte. Além disso, é noite. O bilhete rasgado não deixa claro se o número de passos a ser dado é de múltiplos de três ou de oito. Entretanto, a equipe é formada por peritos que entendem de métodos de contagem e que decidem usar o princípio da inclusão-exclusão: “Sendo A e B conjuntos cujo número de elementos é dado por n(A) e n(B), respectivamente, então n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B), onde n(A∪B) é o número de elementos que pertence a pelo menos um dos conjuntos A e B”. Com base nesse princípio, determine o número máximo de tentativas que a equipe terá de realizar para encontrar o esconderijo. a) 33 b) 12 c) 45 *d) 41 e) 4

Solução Seja A o conjunto dos múltiplos positivos de 3. Seja B o conjunto dos múltiplos positivos de 8. Então temos:

{ }3,6,9,...99A = ( ) 33n A =

{ }8,16, 24,...96B = ( ) 12n B =

{ }24, 48,72,96A B∩ = ( ) 4n A B∩ = Temos então que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 33 12 4 41

n A B n A n B n A Bn A B

∪ = + − ∩∪ = + − =

Portanto a equipe deverá tentar 41círculos. Resposta: D





184

Texto para os itens de 142 a 144 Crianças e adolescentes que trabalham no Brasil somam 2,9 milhões, mais do que as populações somadas de Rondônia, Amapá, Acre e Roraima. O Nordeste é a região que apresenta maior ocorrência do trabalho infantil. Lá, 15,9% das crianças e adolescentes com 17 anos de idade trabalham. A menor taxa é no Sudeste (8,6%). Concentram-se no campo 76,7% das crianças ocupadas de 5 a 9 anos de idade. Em sua maioria, não recebem remuneração (64,4%) ou estão envolvidas na produção para consumo próprio (26,9%). O percentual de garotos trabalhando (15,6%) é quase o dobro do das meninas. Entre 2004 e 2005, cresceu 10,3% o número de menores entre 5 e 14 anos de idade ocupados, apesar da proibição legal. Na faixa até 17 anos de idade, o aumento é bem menor: subiu de 11,8% para 12,2%, interrompendo tendência de queda desde 1992. Jornal do Senado (Edição Semanal), 18-24/6/2007, p. 11 (com adaptações). Considerando que o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que trabalham no Brasil seja igual a 2.899.800 e que a quantidade deles por região brasileira seja diretamente proporcional ao número de unidades federativas da respectiva região — são 27 as unidades federativas brasileiras, incluindo-se o Distrito Federal como unidade federativa da região Centro-Oeste —, julgue os itens seguintes, tendo como referência as informações contidas no texto acima. 142) Na região Nordeste, que é formada por 9 unidades federativas, há mais de 6 milhões de crianças e adolescentes com idade de até 17 anos.

Solução Seja o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que trabalham no Brasil igual a 2.899.800. Vamos calcular o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que trabalham na região Nordeste: 9 2.899.800 966.60027

× = crianças ou adolescentes.

Logo o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade na região Nordeste é aproximadamente: 966600 966600 6.079.245 615,9% 0,159

= = > milhões

Resposta: Correto

143) Na situação apresentada, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo entre os 2.899.800 referidos, a probabilidade de ele ser da região Centro-Oeste ou da região Sudeste é superior a 0,2.

Solução Considerando a distribuição das unidades federativas brasileiras por região,temos: Região Norte: 6 unidades Região Nordeste: 9 unidades





185

Região Sul: 3 unidades Região Sudeste: 4 unidades Região Centro-Oeste: 5 unidades

Portanto a probabilidade solicitada será: 9 1 0,333... 0, 227 3

= = >

Resposta: Correto 144) Considere que, das crianças e adolescentes com até os 17 anos de idade que trabalham no Brasil, 20% tenham entre 5 e 9 anos de idade. Nesse caso, mais de 450.000 dessas crianças e adolescentes trabalham no campo.

Solução Seja o número de crianças com idades entre 5 e 9 anos, que trabalham no Brasil igual a: 20% 2.899.800 579.960× = crianças. Logo o número de crianças e adolescentes nessa faixa que está no campo será aproximadamente: 76,7% 579.960 444.829 450.000× = < Resposta: Errado 145) Uma bandeja de salgadinhos contém 9 bolinhas de carne, das quais 3 contêm tomates secos no recheio, e 7 bolinhas de queijo, das quais 4 contêm tomates secos no recheio. Como todas as bolinhas são de mesmo tamanho, não é possível identificar o recheio antes de abri-las. Se uma pessoa retirar, ao acaso, uma bolinha dessa bandeja, a probabilidade de ela ter tomates secos é

A) 723

.

B) 13

.

C) 716

.

D) 47

.

E) 79

.

Solução

9 bolinha de carne 3 com tomates secos6 sem tomates secos

⎧⎨⎩

7 bolinhas de queijo 4 com tomates secos3 sem tomates secos

⎧⎨⎩

Logo a probabilidade de uma bolinha retirada ao acaso conter tomates secos é:





186

3 4 79 7 16

+=

+

Opção correta: C. 146) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3. b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5.

Solução 45

83

prataJoão

ouro

prataPedro

ouro

⎧⎨⎩⎧⎨⎩

Sejam os eventos: A = “ a pulseira selecionada foi a do João” B = “ a pulseira selecionada é de prata” Temos que:

4( / )9

8( / )11

9( )2011( )20

c

c

P B A

P B A

P A

P A

=

=

=

=

Logo pelo teorema de Bayes, temos: 4 9 4.( / ) ( ) 19 20 20( / ) 4 9 8 11 12( / ) ( ) ( / ) ( ) 3. .

9 20 11 20 20

c c

P B A P AP A BP B A P A P B A P A

= = = =+ +

Opção correta: A





187

147) Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus. Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Sheakespeare. A probabilidade de que Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Tertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus, Tertius e Quartus, é igual a a) 0,500. b) 0,375. c) 0,700. d) 0,072. e) 1,000.

Solução Vamos calcular a probabilidade de serem selecionados Primus e Secundus(ambos): Casos favoráveis: 2 1

2 3 1 3 3C xC x= = Casos possíveis: 3

5 10C = Logo a probabilidade de serem selecionados Primus e Secundos é 3/10 (*) Vamos calcular a probabilidade de serem selecionados Tertius e Quintus(ambos): O cálculo é análogo. Logo a probabilidade de serem selecionados Tertius e Quintus é 3/10 (**) Vamos calcular a probabilidade de serem selecionados Secundus, Tertius e Quartus: Casos favoráveis: 3

3 1C = Casos possíveis: 3

5 10C = Logo a probabilidade de serem selecionados Secundos, Tértius e Quartus é 1/10 (***) A probabilidade pedida é a soma de (*), (**) e (***) logo teremos: 3/10+3/10+1/10 = 7/10 = 0,700 Resposta: C 148) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portas e lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível imperador, não quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que não abriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a a) 1/2.





188

b) 1/3. c) 2/3. d) 2/5. e) 1.

Solução A resposta correta é 2/3, pois Luís ganhará a barra de ouro se a porta que ele escolheu anteriormente tem uma fera (e a probabilidade desta porta possuir o prêmio é 1/3). Logo como a soma das probabilidades é igual a um a nova porta escolhida(feita a troca pedida) é o complemento, isto é 2/3. Resposta: C 149) (Julgue certo ou errado) Considere-se que, das 82 varas do trabalho relacionadas no sítio do TRT da 9.ª Região, 20 ficam em Curitiba, 6 em Londrina e 2 em Jacarezinho. Considere-se, ainda, que, para o presente concurso, haja vagas em todas as varas, e um candidato aprovado tenha igual chance de ser alocado em qualquer uma delas. Nessas condições, a probabilidade de um candidato aprovado no concurso ser alocado em uma das

varas de Curitiba, ou de Londrina, ou de Jacarezinho é superior a 13

.

Solução O espaço amostral é equiprovável logo a probabilidade pedida é: Número de casos favoráveis 20 6 2 28 14 14 1Número de casos possíveis 82 82 41 42 3

+ += = = > =

Resposta: Correto.

150) (Julgue certo ou errado) De 100 processos guardados em um armário, verificou-se que 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente. Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja um

processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a 35

.

Solução 10 20 30 60 3

100 100 5+ +

= =

Resposta: Correto. 151) O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B ocorra. Verifique que

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = + − ∩⎣ ⎦ .





189

Solução Os eventos ( )A B∩ e ( )B A∩ são disjuntos.

Logo

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( )

P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A B

P A B B A P A P B P A B

⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ = − ∩ + − ∩⎣ ⎦⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = + − ∩⎣ ⎦

152) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos:


Solução Com 1 triângulo temos 3 palitos (2 x 1 + 1) Com 2 triângulo temos 5 palitos (2 x 2 + 1) Com 3 triângulo temos 7 palitos (2 x 3 +1) Com 4 triângulo temos 9 palitos (2 x 4 + 1) Logo, com 25 triângulos teremos: 2 x 25 + 1 = 50 + 1 = 51 palitos Resposta: C

153) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 6, 12, 18, 24, 30, . . . a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 39

Solução É só somarmos 30 + 6 = 36. Resposta: D 154) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, 9, 19, 11, 23, 13, 27, . . . a)14 b)15





190

c) 25 d) 28 e) 29

Solução Basta observar a seqüência: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 Resposta: B 155) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

Solução Cada termo é a soma dos dois termos anteriores, logo a opção correta é 34. Resposta: E 156) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . a) 48 b) 49 c) 54 d) 64 e) 81

Solução Evidente que a opção correta é 72 = 49. Resposta: B 157) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 2, 4, 6, 10, 16, . . . a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

Solução Cada termo é a soma dos dois termos anteriores, logo a opção correta é 26. Resposta: E 158) (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um triângulo segundo determinado critério.





191

Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de interrogação é a) P b) Q c) R d) S e) T

Solução Basta observar que cada letra ocorre 3 vezes, logo teremos: P P Q P R S Q R S T Q R S T T Resposta: E 159) (FCC) O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas segundo determinado critério.

Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então, segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é a) C b) I c) O d) P e) R

Solução





192

É a ordem alfabética começando pela base do triângulo. P O N M L J I H G F E D C B A

Resposta: D 160) Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, . . . , temos a) 236. b) 244. c) 246. d) 254. e) 256.

Solução Observe que: 3 x 4 – 2 = 10 3 x 10 – 2 = 28 3 x 28 – 2 = 82 3 x 82 – 2 = 244 Resposta: B 161) Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H, ..., ... temos, respectivamente, a) O, P. b) I, O. c) E, P. d) L, I. e) D, L.

Solução É o alfabeto alternado em ordem crescente e decrescente: F, N, G, M, H, L, I. Resposta: D 162) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos a) 23. b) 22. c) 21. d) 24. e) 25.

Solução





193

Resposta: A 163) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.

Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é a) 210 b) 206 c) 200 d) 196 e) 188

Solução A seqüência é 0, 6, 24, 60, 120,... Isto é, 0x6; 4x6; 10x6; 20x6,... Observe a seqüência:

Logo teremos:

Logo o termo que falta é 35 x 6 = 210 Resposta: A 164) (FCC) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas células obedecendo a um determinado padrão.

Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que





194

a) X > 100 b) 90 < X <100 c) 80 < X < 90 d) 70 < X < 80 e) X < 70

Solução Basta observar a seqüência de somas que ocorre em cada coluna, assim teremos: X = 108.

Resposta: A

165) Pedro está construindo casas de cartas. Na figura estão representadas as cartas de um, dois e três andares que ele construiu. Quantas cartas João precisará para construir uma casa de 30 andares?

Solução 2, 7, 15, 26, 40, 57 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ......

5, 8, 11, 14, 17, ......... ...... 3, 3, 3, 3, 3,...... r = 2

Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C = 2 (equação 1) n = 2 4A + 2B + C = 7 (equação 2) n = 3 9A + 3B + C = 15 (equação 3) Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 5 (equação 4) 8A + 2B = 13 (equação 5) Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos:





195

A = 3/2 Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2. Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0. Logo o termo geral é: an = An2 + Bn + C

2

2

32 2

32

n

n

n na

n na

= +

+=

2

303 30 30 3 900 30 2730 1365

2 2 2x xa + +

= = = =

166) (FCC) Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundo determinado padrão.

Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual a a) 97 b) 99 c) 101 d) 103 e) 105


4 4 4 4 4 ......... k = 1

Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n). Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema: n = 1 A + B = 5 (equação 1) n = 2 2A+ B = 9 (equação 2) Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 4. Substituindo A = 4 na equação 1 temos B = 1 Logo o termo geral é an = 4n +1 O 25ª termos será a25 = 4x25+1 = 100 +1 = 101. Resposta: C





196

167)

Solução 2, 7, 15, 26, 40, 57 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ......

5, 8, 11, 14, 17, ......... ...... 3, 3, 3, 3, 3,...... k = 2

Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n). Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema: n = 1 A + B + C = 2 (equação 1) n = 2 4A + 2B + C = 7 (equação 2) n = 3 9A + 3B + C = 15 (equação 3) Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 5 (equação 4) 8A + 2B = 13 (equação 5) Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos: A = 3/2 Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2. Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0. Logo o termo geral é: an = An2 + Bn + C

2

2

32 2

32

n

n

n na

n na

= +

+=







197

2

403 40 40 3 1600 40 4840 2420

2 2 2x xa + +

= = = =

168) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos:



2 2 2 2 2 ......... k = 1 Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n). Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema: n = 1 A + B = 3 (equação 1) n = 2 2A+ B = 5 (equação 2) Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2. Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 1 Logo o termo geral é an = 2n +1 O 25ª termos será a25 = 2x25+1 = 50 +1 = 51. Resposta: C

169) (FCC) Um programa de computador faz aparecer pontos luminosos no monitor. Inicialmente escuro, conforme padrão pré-estabelecido. Na 1ª etapa surgem 2 pontos luminosos, na 2ª etapa surgem 4 pontos ( totalizando 6 pontos na tela), na 3ª etapa surgem mais 12 pontos. Assim, a cada etapa, surge o dobro do número de pontos luminosos existentes na tela ao final da etapa anterior. Se esse padrão for mantido, ao final da etapa k tem-se, na tela, um número de pontos luminosos igual a : a) 4k2 – 8 k + 6 b) 2k2 – 12 k + 12 c) 2 . 3k-1 d) 3 . 2k-1





198

e) 2k + 3 (k – 1) Solução

Temos a seqüência 2, 4, 12, 18, 36, .... . Sendo assim os totais de pontos no fim da 1ª, 2ª, 3ª, ... etapas serão 2, 6, 18, 54, .... . Vamos obter o termo geral dessa seqüência. Seja ka o total de pontos luminosos ao final da k-ésima etapa. Temos então:

1 12k k ka a a− −= +

13k ka a −= , para k = 1, 2, 3, 4, .... onde 2 6a = e 1 2a = . Podemos então verificar que:

2 13a a= 3 23a a= 2

3 1 13.3. 3 .a a a= = . 4 33a a= 2 3

4 1 13.3 . 3 .a a a= = . 5 43a a= 3 4

5 1 13.3 . 3 .a a a= = . e assim sucessivamente ...............................................

13k ka a −= 2 11 13.3 . 3 .k k

ka a a− −= = . Portanto temos que 1

13 .kka a−= .

Como 1 2a = temos 12.3kka −= , k = 1, 2, 3, 4, .....

Resposta: C 170) (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será a) 101 b) 99 c) 97 d) 83 e) 81

Solução Figura I → 32 – 4 = 9 – 4 = 5 células brancas

Figura II → 52 – 8 = 25 – 8 = 17 células brancas Figura III → 72 – 12 = 49 – 12 = 37 células brancas Figura IV → 92 – 16 = 81 – 16 = 65 células brancas





199

Figura V → 112 – 20 = 121 – 20 = 101 células brancas Resposta: A 171) (Mack) Na função f dada por

(0) 14 ( ) 1( 1)

4

ff nf n

=⎧⎪⎨ +

+ =⎪⎩ em que n é um número natural, f (44) vale:

a) 434

b) 13

c) 454

d) 12 e) 15

Solução

Temos 4 ( ) 1( 1)

4f nf n +

+ =para n = 0, 1, 2, ....., 44.

4 ( 1) 4 ( ) 14 ( 1) 4 ( ) 1

f n f nf n f n

+ = ++ − =

Fazendo n = 0, 1, 2, 3, 4, .....,44 temos:

4 (1) 4 (0) 14 (2) 4 (1) 14 (3) 4 (2) 14 (4) 4 (3) 1.............................4 (43) 4 (42) 14 (44) 4 (43) 1

f ff ff ff f

f ff f

− =⎧⎪ − =⎪⎪ − =⎪ − =⎨⎪⎪

− =⎪⎪ − =⎩

Somando-se as parcelas observamos que vários fatores cancelam-se e o resultado da soma é





200

4 (44) 4 (0) 444 (44) 4 1 444 (44) 4 444 (44) 44 44 (44) 48

48(44) (44) 124

f fffff

f f

− =− × =− == +=

= → =

Resposta: D 172) (NCE)Considere a seqüência abaixo: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (1) (2) (3) (4) .......... Quantos pontos totais haverá nos triângulos formados com a soma do oitavo com o nono termo da seqüência ? a) 9 b) 81 c) 90 d) 99 e) 100

Solução Temos a seqüência de números triangulares. Logo a8 + a9 = 92 = 81 Resposta: B 173) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 3, 6, 7, 8, 9, .... a)11 b)12 c)17 d)18 e)20

Solução 2 - dois - 4 letras 3 - três - 4 letras 6 - seis - 4 letras 7 - sete - 4 letras 8 - oito - 4 letras 9 - nove - 4 letras 11 - onze - 4 letras





201

Resposta: A 174) Qual o próximo termo da seqüência: B, D, F, H : D, F, H, ... a) I b) J c) K d) L e) M

Solução Comparando os termos temos: de B para D, 2 letras (C, D) de D para F, 2 letras (E, F) de F para H, 2 letras (G, H) Logo H avançando 2 letras (I, J), a próxima letra que falta na segunda seqüência é J Resposta: B 175) Descobrir o número que falta

3 ?14

1069

7

5

a) 1 b) 2 c) 6 d) 9 e) 18

Solução A resposta é 18, pois os números são o dobro de seus imediatamente opostos. Resposta: E

176) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 5, 11, 17, 23, 37, ... a) 31 b) 37 c) 41 d) 43 e) 45

Solução Observe a seqüência de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43 Resposta: D

177) Considere a seguinte fórmula recursiva:





202

f (0) = 500 f (n + 1) = f (n) – 1, n ≥ 0, inteiro.

Então o valor de f (500) é: a) –1 b) 0 c) 1 d) 499 e) 500

Solução f ( 1 ) = f ( 0 + 1 ) = f ( 0 ) – 1 = 500 – 1 = 499 f ( 2 ) = f ( 1 + 1 ) = f ( 1 ) – 1 = 499 – 1 = 498 f ( 3 ) = f ( 2 + 1 ) = f ( 2 ) – 1 = 498 – 1 = 497 ......................................................................... ......................................................................... Logo: f (500) = 0 Resposta: B

178) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se um número compreendido entre (A) 150 e 170 (B) 130 e 150 (C) 110 e 130 (D) 90 e 110 (E) 70 e 90

Solução Some 1 ao anterior, e depois multiplique o anterior por três alternadamente. 1) 0 = 0 2) 0+1 = 1 3) 1x3 = 3 4) 3+1 = 4 5) 4x3 = 12 6) 12+1 = 13 7) 13x3 = 39 8) 39+1 = 40 9) 40x3 = 120 10) 120+1=121 A soma do oitavo com o décimo será 40+121 = 161 Opção A.





203

179) Considere que a seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada a partir de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem 23 letras, então, de acordo com esse critério, a próxima letra dessa seqüência deve ser (A) P (B) R (C) S (D) T (E) U

Solução Observe com facilidade a seqüência: E F G H J I L M N

O Q P Resp. A

180) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.

O número de circunferências que compõem a 100a figura dessa sucessão é (A) 5 151 (B) 5 050 (C) 4 950 (D) 3 725 (E) 100

Solução Observe a seqüência: 1, 3, 6, 10, 15, ....... Temos entãoa seqüência de números triangulares: 1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Queremos 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + ... + 100

Então: 100 101 5.0502×

=

Resp. B





204

181) Segundo um determinado critério, foi construída a sucessão seguinte em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra: A 1 – E 2 – B 3 – F 4 – C 5 – G 6 – ... Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é (A) J (B) L (C) M (D) N (E) O

Solução A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – D7 – H8 – E9 – I10 – F11 – J12 Resp. A

Dados do professor Joselias S. da Silva.

Joselias é Bacharel em Estatística, formado pela Escola Nacional de Ciências Estatísticas(ENCE). Foi Diretor de Orçamentos do Tribunal Regional Federal(TRF-3ªRegião) e atualmente é professor em universidades paulistas e cursinhos preparatórios para concursos públicos. Livro de sua autoria: É autor do livro Matemática Para Concursos Públicos com Teoria e 500 Questões Resolvidas e Comentadas-Editora Policon. VISITE O MEU HD-VIRTUAL:

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Joselias Boa Sorte!

Joselias

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APOSTILA COMPLETA DE LÓGICA - 204 PÁGINAS (1)

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