Apostila Controle - 13 - Desempenho de Sistemas (domínio do tempo)

5/7/2018 Apostila Controle - 13 - Desempenho de Sistemas (domínio do tempo) - slidepdf.com

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Controle de Sistemas Mecânicos

Desempenho de sistemasDesempenho de sistemas

Especificação de Desempenho

Desempenho no domínio do tempo

• Resposta transitória• Resposta estacionária

• Desempenho de Sistemas de Qualquer Ordem

• Desempenho SPO – Parâmetros de Desempenho

• Desempenho SSO – Parâmetros de Desempenho




Especificação de DesempenhoEspecificação de Desempenho

Projeta-se um controlador para atingir um desempenho

especificado a priori. As especificações para o desempenho desejado devem

seguir um padrão técnico de modo a serem facilmenteestabelecidas e interpretadas.

O padrão deve seguir sistemáticas reconhecidas na prática da engenharia como efetivas.

Atingido o desempenho padronizado, admite-se que odesempenho real do sistema seja o mais próximo

possível do desejado.




Desempenho no domínio do tempoDesempenho no domínio do tempo

A resposta de qualquer sistema, pode ser

dividida em• Transitória

• Estacionária

Os critérios de desempenho são definidosbaseados nas respostas do sistema

Os critérios de desempenho dependem da

ordem do sistema. A análise de sistemas de maior ordem pode

ser muito complicada




Desempenho de Sistemas de qualquer Desempenho de Sistemas de qualquer

ordemordem

Em muitos casos é possível analisar o desempenho

aproximado de sistemas através de um modeloreduzido da composição de sistemas de primeira e desegunda ordem

É comum que um par de raízes complexas possa ser

considerado dominante em relação aos demais.Deve-se observar o resíduo de cada termo datransformada inversa de Laplace

Os critérios estabelecidos são definidos para sistema

de primeira e segunda ordem. Portanto a análise de sistemas de primeira e segunda

ordem pode ser útil para análise dos sistemas deordem superior




Desempenho de SPODesempenho de SPO

O desempenho de sistemas de primeira ordem

pode ser analisado em termos dos dois parâmetros básicos:

• A constante de tempo para a análise da resposta

transitória• O erro estacionário para a análise da respostaestacionária




Desempenho de SSODesempenho de SSO

A análise de sistemas de segunda ordem

depende do valor do fator de amortecimento:

• ζ > 1 : resposta super-amortecida

• ζ = 1 : resposta criticamente amortecida

• ζ < 1 : resposta sub-amortecida




Resposta super Resposta super - - amortecidaamortecida

ζ >1




Resposta criticamente amortecidaResposta criticamente amortecida

ζ =1




Resposta subResposta sub- - amortecidaamortecida

ζ <1




ComentáriosComentários

Em geral deseja-se o modelo sub-amortecido

como resultado do sistema de malha fechada, por permitir melhor domínio sobre ocomportamento do sistema

Caso não se deseje a ultrapassagem do valor final, presente em todo sistema sub- amortecido, procura-se que as raízes sejam

repetidas A dificuldade na prática é que o sistema real

possa corresponder exatamente ao desejado




Parâmetros de Desempenho SSOParâmetros de Desempenho SSO

Para a resposta transitória, utiliza-se a

resposta ao degrau, envolvendo os parâmetros principais

• Sobressinal

• Tempo de estabilização• Tempo de subida

• Tempo de atraso

Para a resposta estacionária, analisa-se o errona resposta ao degrau, à rampa e a uma parábola

0 2 4 6 8 1 0

0

0. 5

1

1. 5

2

Res pos ta a o de grau un itário

Tempo (s )

A m

p l i t u d e




Definição do degrau unitárioDefinição do degrau unitário

A função degrau unitário é nula até o instante inicial quando passa instantaneamente para o valor 1 e permaneceeternamente nesse valor.

u=zeros(1,100);

u=[u, ones(1,1001)];

t=-1:0.01:10;

plot(t,u),

axis([-1 10 -0.2 1.2])

title('Degrau unitário')

xlabel('Tempo (s)')

ylabel('Amplitude')

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Degrau unitário

Tempo (s)

A m p l i t u d e




Resposta ao degrau ζ 1<Resposta ao degrau

Seja um sistema padrão de segunda ordem:

Para uma entrada degrau e ganho estático unitário temos,

ou ainda na forma

Sabendo-se que

22

2

0

2)()(

nn

n

s s K

s R sY

ω ζω ω

++=

s s s sY

nn

n 12

)( 22

2

ω ζω ω

++=

22 2

21

)( nn

n

s s

s

s sY ω ζω

ζω

++

+−=

21 ζ ω ω −= nd ( )222 1 ζ ω ω −= nd

2222 ζ ω ω ω nnd −= 2222 ζ ω ω ω nd n +=

)2(

2

)2(

2

)( 22

2

22

22

nn

n

nn

nn

s s s

s s

s s s

s s

sY ω ζω

ζω

ω ζω

ω ζω

++

+

−++

++

=

)2()2()2()( 22

222

nn

nnn

s s s s s s s sY

ω ζω ζω ζω ω

++

+−++=





A resposta pode ser reescrita como:

Sabemos também que:

Portanto a resposta pode ser escrita como

( ) ( ) 22221)(d n

n

d n

n

s s s

s sY

ω ζω ζω

ω ζω ζω

++−

+++−=

21 ζ ω ω −= nd

22 221)(

nn

n

s s s

s sY

ω ζω ζω

++ +−=

21 ζ

ω

ω −=d

n

( ) ( ) 222221

1)(d n

d

d n

n

s s s

s sY

ω ζω ω

ζ ζ

ω ζω ζω

++−−++

+−=





Conhecida as transformadas inversas:

Obtém-se a transformada inversa da resposta

Ou ainda na forma somente de seno

−+−= − t t et y d d

t n ω ζ

ζ ω ζω

sen1

cos1)(2

111=

−

s L

( )( )t e

s s L d

t

d n

n n ω ω ζω

ζω ζω cos22

1 −− =

+++

( )( )t e

s L d

t

d n

d n ω ω ζω

ω ζω sen22

1 −− =

++

( )φ ω ζ

ζω

+−

−=−

t e

t y d

t n

sen1

1)(2 ζ

ζ φ

21 1

tan−

= −




Sobressinal Sobressinal

Percentual do valor de pico em relação ao valor

estacionário

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

Resposta ao degrau unitário

Tempo (s)

A m p l i t u d e

PSS=100(yp-yest)/yest




Cálculo doCálculo do sobressinal sobressinal

P/ sistemas de 2a. ordem:

onde

Em conseqüência

Obs: o sobressinal é função apenas

do fator de amortecimento.

2

( ) 1 sen( )

1

t

d d

e y t t

τ

ω ϕ

ζ

−

= − +

−

ζ ϕ ζ ω ω σ τ ζω σ 12 cos,1,1, −=−=== d nd n

21 ζ ω

π

−=

n

pT

)100

(ln

)100

ln(

22

PSS

PSS

+

=

π

ζ

)1

exp(1002ζ

ζπ

−

−= PSS




Tempo de estabilizaçãoTempo de estabilização

Tempo para entrar e permanecer em uma faixa de x% do

valor final

Obs: 2% é o mais

comum

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2


Tempo (s)

A m p l i t u d e

Faixa de x%




Cálculo do tempo de estabilizaçãoCálculo do tempo de estabilização

Pode-se mostrar que a equação da envoltória para

sistemas de 2a. ordem é

Assim, para um tempo de estabilização a 5% considerandoa envoltória superior

−±=

−

211)(

ζ γ

ζω t

v

net e

05.011 2

≤−

−+

−

γ

γ ζ γ

ζω en t e

2105.0 ζ τ −≤− et

e




ContinuaçãoContinuação

866.0*05.0≤−

τ

et

e

Considerando um fator de amortecimento entre 0 e 0,7:

00.3≤τ

et

995.0*05.0≤−

τ

et

e1.0=ζ

14.3≤τ

et 5.0=ζ

33.3≤τ

et

714.0*05.0≤− τ

et

e7.0=ζ




Cálculo do tempo de estabilizaçãoCálculo do tempo de estabilização

Para sistemas de 2a. ordem, admite-se como regra prática que otempo de estabilização a 5% é de aproximadamente 3,2 vezesa constante de tempo.

Para 2% admite-se

Procedimento comum:• especificado o sobressinal, encontra-se o fator de amortecimento

• do tempo de estabilização, encontra-se a freqüência natural .

n

eT ζω

τ 2,3

2,3%5, ==

nζω τ

1 onde =

τ 4%2, =eT




Tempo de subidaTempo de subida

Tempo que o sistema leva para ir de 10% a 90% do valor

final.

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2


Tempo (s)

A m p l i t u d e

Ts=T1-T2




Tempo de atrasoTempo de atraso

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2


Tempo (s)

A m p l i t u d e

Ta

Tempo para atingir 50% do valor final




Tempo de subida e de atrasoTempo de subida e de atraso

São dados similares e que fornecem uma idéia

da velocidade com a qual o sistema reage Não há um cálculo aproximado que seja útil de

modo geral

Como regra prática, quanto maior a freqüêncianatural, mais rápido o sistema reage

Portanto, aumentando a freqüência natural

ocorre uma diminuição dos tempos de subidae de atraso




ExemploExemplo

22

2

2)(

)(

nn

n

s s sU

sY

ω ζω

ω

++=

Determinar os parâmetros de desempenho na

resposta ao degrau do sistema abaixo

Considerar

1. Wn=10 rd/s

2. zeta=0.1




MATLAB: soluçãoMATLAB: solução




ReferênciaReferência

Desempenho no domínio do tempo

Ogata pg 113-176

Desempenho SPO

Ogata pg 114-118

Desempenho SSO

Ogata pg 119-134

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