Apostila Controle - 20 - Projeto PID Analítico

5/7/2018 Apostila Controle - 20 - Projeto PID Analítico - slidepdf.com

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Controle de Sistemas Mecânicos

Projeto de controladores PID Projeto de controladores PID

Controladores PID

• Ziegler-Nichols

• Analítico baseado na resposta em freqüência

• Analítico baseado no lugar das raízes




Métodos AnalíticosMétodos Analíticos

São métodos com justificativa teórica, porém

como os modelos refletem a linearização e asimplificação das plantas, na prática são

necessários reajustes no projeto inicial

São possíveis resultados mais consistentesem relação às especificações do que usando o

método Ziegler-Nichols




Método analíticoMétodo analítico

Há dois métodos analíticos

• Com base na resposta em freqüência, onde a referênciapara o projeto do controlador é a margem de fase desejada

• Com base no lugar das raízes, onde a referência para o

projeto do controlador é um par de pólos complexos

desejado Para o primeiro caso:

• Na freqüência de cruz de ganho futura têm-se a margem de

fase desejada, portanto amplitude de 0 dB e margem de

fase θmf

Para o segundo caso:

• No pólo desejado corresponde ao ponto –1, portanto têm-

se amplitude de 0 dB com fase -180°




Método analítico Resposta em freqüênciaMétodo analítico Resposta em freqüência

O método que será visto agora tem base na

resposta em freqüência, onde se deseja projetar um controlador para um determinadovalor da margem de fase

O objetivo assim é projetar um controlador demodo a que o sistema de malha fechadaapresente a margem de fase especificada osquais asseguram o desempenho desejado

Na freqüência de cruz de ganho futura têm-sea margem de fase desejada, portantoamplitude de 0 dB e margem de fase φmf




Base metodológicaBase metodológica

O ganho de malha, incluindo o controlador e a planta, é

dado por

Para uma dada freqüência ωD sobre o eixo imaginário,

pode-se escrever para a planta

que corresponde à resposta em freqüência

))(()()()( s

K s K K s P s K s P s L i

d p ++==

P

j

P D em j P θ

ω =)(




ContinuandoContinuando

Para a mesma freqüência ωD, pode-se escrever para o

controlador

Considerando ωD =ωcg a freqüência de cruzamento de ganho

e portanto

( ) ( ) ( ) s P s K s=

)()(1 K P K P j

K P

j

K

j

P mf emmemem θ θ θ θ φ π +==+−∠

K j

K

D

i Dd p

D

i Dd p D em

K K j K

j

K j K K j K

θ

ω ω

ω ω ω =−+=++= )()(

)()()(1)( D Dmf D j K j P j L ω ω φ π ω =+−∠=




FormulaçãoFormulação

Chega-se assim às duas fórmulas básicas para

a amplitude e a fase do controlador

ou ainda,

1k p

k p mf

m m

θ θ π φ

=

+ = − +

1

k p

k mf p

mm

θ π φ θ

=

= − + −




ConcluindoConcluindo

( ) (cos sin )k ji p cg d k k k k

cg

K K j K m e m jθ

ω θ θ ω

+ − = = +

Uma vez encontrada a amplitude e a fase

necessárias ao controlador para atender àespecificação da margem de fase, pode-se

escrever,

e finalmente

cos

sin

p k k

icg d k k

cg

K m K

K m

θ

ω θ ω

=

− =




ComentáriosComentários

São duas equações e três incógnitas, o que pode ser

resolvido por iteração No entanto, o ganho integral em geral é encontrado a

partir da especificação do erro estacionário

Fazendo-se uso de

chega-se às expressões

k k p m K θ cos=sin i

k k cg

d

cg

K m

K

θ ω

ω

+

=

2

( ) ( ) ( )d p i K s K s K

G s P s s

+ +=

e da tabela de erroestacionário e das

constantes de erro)(lim

110

01 s P K s K

eni

n

sn

est

→+

==⇒>




ExemploExemplo

)5)(1(

1

)(

)(

++=

s s s sU

sY

Aplicar a metodologia analítica para projetar um

controlador PID com margem de fase de 45 °, nafreqüência de cruzamento de ganho de 5 rad/s e erro

estacionário a parábola de 0,1.




SoluçãoSolução

Valores na futura freqüência de cruzamento de

ganho

clear all clear all

closeclose all all ,, clc clc s=tf('s');s=tf('s');

P=1/(s*(s+1)*(s+5));P=1/(s*(s+1)*(s+5));

figure(1), bode(P)figure(1), bode(P)




Calculo do K Calculo do K i i

Determina-se inicialmente o ganho K i do PID

s

K s K s K s K

i pd ++=

2

)()5)(1(

1)(

++=

s s s s P

)()(lim

2

0 s P s K s K sa →=G(s)=K(s)P(s) tipo 2 G(s)=K(s)P(s) tipo 2

est

i

s

i pd

sa

e

K

s s s

K s K s K s K

1

5lim

)5)(1(lim

02

2

2

0==

++

++=

→→

501.0

5==∴ i K




Projeto do controlador PID Projeto do controlador PID

wcgf wcgf =5; MF=45*pi/180;=5; MF=45*pi/180;

Ki=50 Ki=50 rprp==freqrespfreqresp(P,j* (P,j* wcgf wcgf ); );

mp=mp=absabs( ( rprp ); );

tetaptetap==angleangle( ( rprp ) )

tetak tetak =( =( -- pi+MF pi+MF --tetaptetap ); );mk mk =1/mp=1/mp

kp=kp=mk mk * * coscos( ( tetak tetak ); );

kd=( kd=( mk mk * * sinsin( ( tetak tetak )+ki/ )+ki/ wcgf wcgf ) / ) / wcgf wcgf ;;

nk nk =[kd kp ki];=[kd kp ki];

K=K=tf tf ( ( nk nk ,[1 0]);,[1 0]);

L=P*K;L=P*K;

figure(2),figure(2), marginmargin(L)

k k p m K θ cos=

sin ik k

cg

d

cg

K m K

θ ω

ω

+=

(L)




Projeto do controlador PD Projeto do controlador PD

wcgf wcgf =5; MF=45*pi/180;=5; MF=45*pi/180;

Ki=0 Ki=0 rprp==freqrespfreqresp(P,j* (P,j* wcgf wcgf ); );

mp=mp=absabs( ( rprp ); );

tetaptetap==angleangle( ( rprp ) )

tetak tetak =( =( -- pi+MF pi+MF --tetaptetap ); );mk mk =1/mp=1/mp

kp=kp=mk mk * * coscos( ( tetak tetak ); );

kd=( kd=( mk mk * * sinsin( ( tetak tetak )+ki/ )+ki/ wcgf wcgf ) / ) / wcgf wcgf ;;

nk nk =[kd kp];=[kd kp];

K=K=tf tf ( ( nk nk ,1);,1);

L=P*K;L=P*K;

figure(2),figure(2), marginmargin(L)

k k p m K θ cos=

sin ik k

cg

d

cg

K m K

θ ω

ω

+=

(L)




ResultadoResultado




Método analítico Lugar das RaízesMétodo analítico Lugar das Raízes

O método que será visto agora tem base no lugar das

raízes, com o seu desempenho determinado pela posição dos pólos de malha fechada

O objetivo assim é projetar um controlador de modo a

que o sistema de malha fechada apresente os pólos

especificados os quais asseguram o desempenhodesejado

O pólo desejado em malha fechada corresponde ao

ponto –1, portanto têm-se amplitude de 0 dB com fase

-180 °




Base metodológicaBase metodológica

)(1)(

)()()(

s L s L

s R sY sT

+==

Considerando um sistema de malha fechada, onde a

malha aberta é formada por um controlador em sériecom a planta segundo

Assim um pólo sD de malha fechada corresponde a uma

raiz do denominador, ou seja

)()()( s K s P s L =

°−∠=−=∴=+ 18011)(0)(1 D D s L s L




Método baseado no lugar das raízesMétodo baseado no lugar das raízes

O ganho de malha, incluindo o controlador e a planta, é

dado por

Para um polo sD qualquer no plano s, sD=σD+j ωD , pode-

se escrever para a planta

))(()()()( s

K s K K s P s K s P s L i

d p ++==

P j P D em s P θ =)(




ContinuandoContinuando

Para esse ponto sD=σD+j ωD , pode-se escrever para o

controlador

Considerando sD=σD+j ωD o pólo desejado

e portanto

K j

K

D D

i p D Dd D em

j

K K j K s K θ

ω σ ω σ =

++++= )()(

))()((1)( D D

i D Dd p D D D

j

K j K K j P s L

ω σ ω σ ω σ π

+++++=−∠=

)(1 K P K P j

K P

j

K

j

P emmemem θ θ θ θ π +==−∠




FormulaçãoFormulação

Chega-se assim às duas fórmulas básicas para

a amplitude e a fase do controlador

ou ainda,

π θ θ −=+

=

K P

K P mm 1

P K

K

P mm

θ π θ −−=

=

1




Para o pólo desejadoPara o pólo desejado

Uma vez encontrada a amplitude e a fase necessárias ao

controlador para sD corresponder ao pólo, pode-seescrever

)sin(cos)()(

)(

2

K K K

j

K

D D

i D D p D Dd

D jmem j

K j K j K s K K θ θ

ω σ

ω σ ω σ θ +==

+

++++=

)sin(cos)()()( 2

K K K D Di D D p D Dd jm j K j K j K θ θ ω σ ω σ ω σ ++=++++

)sincos(sincos

)2()( 22

K K D K K D K K D K K D

D p D Dd i D p D Dd

mm jmm

K K j K K K

θ σ θ ω θ ω θ σ

ω ω σ σ ω σ

++−=

=++++−




ComparandoComparando

Igualando os termos reais e imaginários,

obtém-se duas equações

K K D K K Di D p D Dd mm K K K θ ω θ σ σ ω σ sincos)( 22 −=++−

K K D K K D D p D Dd mm K K θ σ θ ω ω ω σ sincos2 +=+




SimplificandoSimplificando

As equações podem ser simplificadas como

onde

K K D K K D

D

D D

mmb

a

θ ω θ σ α σ

ω σ

sincos

22

−==

−=

K K D K K D

D

D D

mmd

c

θ σ θ ω β ω

ω σ

sincos

2

+==

=

α =++ i pd K bK aK

β =+ pd dK cK

K K D K K Di D p D Dd mm K K K θ ω θ σ σ ω σ sincos)( 22 −=++−

K K D K K D D p D Dd mm K K θ σ θ ω ω ω σ sincos2 +=+




ComentáriosComentários

Novamente, são duas equações e três incógnitas, o que

pode ser resolvido por iteração O procedimento é o seguinte:

• Admite-se um valor de Ki

• Efetua-se o projeto e avalia-se o resultado

• Se não for satisfatório repetir até chegar a um bom termo

Havendo uma especificação do erro estacionário, a

constante K i pode ser encontrada através de2

( ) ( ) ( )d p i

K s K s K G s P s

s

+ += 1

0

1 1

lim ( )est nn i

se K s K P s+

→= =

est si

nn

e s P K s K

1)(

01 ===+




Caso particular Caso particular

Uma vez conhecido o Ki obtém-se

Quando adota-se um fator de amortecimento de 0,707,

implicando em que a parte real e a parte imaginária do

pólo são iguais ( a=0 ), obtém-se

bcad

cK ca K i

p−

+−=α β

bcad

dK d b K i

d −

+−−=α β

b

K K i

p−

=α

c

dK K

pd

−=




ExemploExemplo

)5)(1(1

)()(

++= s s s sU

sY

Para a planta abaixo, aplicar a metodologia analítica

para projetar um controlador PID que assegure um PSS de 5%, um tempo de estabilização a 2% de 4 segundos e

um erro estacionário a parábola de 0.1.




SoluçãoSolução

Dado o PSS encontra-se o fator de amortecimento

desejado usando

Encontra-se a freqüência natural usando

)100

(ln

)100

ln(

22

PSS

PSS

+

=

π

ζ

en

ne

T T

ζ ω

ζω 44 =∴=




Calculo do K Calculo do K i i

Determina-se inicialmente o ganho K i do PID

s

K s K s K s K

i pd ++=2

)()5)(1(

1)(++

= s s s

s P

)()(lim 2

0 s P s K s K

sa →

=G(s)=K(s)P(s) tipo 2 G(s)=K(s)P(s) tipo 2

est

i

s

i pd

sa

e

K

s s s

K s K s K s K

1

5lim

)5)(1(lim

02

2

2

0==

++

++=

→→

501.0

5==∴ i K




ProgramaPrograma

sigmad=-zeta*wn; wd=wn*sqrt(1-zeta^2); sd=sigmad+j*wd

rp=freqresp(P,sd); mp=abs(rp); tetap=angle(rp);

mk=1/mp; tetak=-pi-tetap; a=sigmad^2-wd^2;b=sigmad;

c=2*sigmad*wd;d=wd;

alpha=(sigmad*cos(tetak)-wd*sin(tetak))*mk;

beta=(wd*cos(tetak)+sigmad*sin(tetak))*mk; kp=(a*beta+c*ki-c*alpha)/(-c*b+a*d)

kd=-(d*ki-d*alpha+beta*b)/(-c*b+a*d)

nk=[kd kp ki]; dk=[1 0];

K=tf(nk,dk);

L=P*K;

T=feedback(L,1);

figure(1), step(T)

figure(2), pzmap(T)

α =++ i pd K bK aK

β =+ pd dK cK




Resposta ao degrau Resposta ao degrau

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

Step Res ponse

Time (s ec )

A m p l i t u d e




Posição dos pólosPosição dos pólos




FinalizandoFinalizando

Step Res ponse

Time (s ec )

A m p l i t u d e

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Sys tem: H

Peak amplitude: 1.05

Overs hoot (%): 4.63

At time (s ec ): 2.87

Uma vez projetado checar os requisitos. Caso não

satisfaça, analisar e fazer as devidas correções

sT

SS

e 4

%2

=

=




ExercícioExercício

Considerando o motor CC controlado por armadura abaixo,

aplique a metodologia analítica para encontrar um controlador

PID de posição que apresente a um PSS de 4% e um tempo deestabilização a 2% de 2 s.

20.2

0.2 /

0.2 / /

0.1 / / 2

0.1 / /

a

a

T

b

L Hy

K N m A

K V rad seg

J N m rad seg

C N m rad seg

= Ω

=

= −

=

= −

= −

+

-

c

V a

I a

τ θ

Ra

La

K T

Κ bΩ

+

-

J




Diagrama de blocosDiagrama de blocos

Motor CC controlado por armadura




SoluçãoSolução

Substituindo os valores respectivos o DB fica




FT deFT de malha abertamalha aberta

Função de transferência da planta

dp=poly([ -1 -10]);

np=10

p1=tf(np,dp);

p2=feedback(p1,0.2);p3=tf(1,[1 0]);

P=p3*p2;

2

( ) 10

( ) ( 11 12)r

s

V s s s s

Θ=

+ +




DB+PID DB+PID

O diagrama de blocos que corresponde ao sistema de

malha fechada com controlador PID

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