[Apostila] Controle Moderno de Processos

Controle de Processos - Parte 2 - Prof. Eduardo Nunes Goncalves 1

5 Relacao Entre as Varias Formas de Repre-sentacao de Sistemas

Equaes

Diferenciais

Diagrama

de Simulao

Equaes

de Estado

Funo de

Transferncia

5.1 Matriz de transferencia

SLIT contnuos no tempo podem ser descritos pela representacao

no espaco de estados:

dx(t)

dt= Ax(t) +Bu(t) : Equacao de estado

y(t) = Cx(t) +Du(t) : Equacao de sada

sendo x(t) Rn o vetor de estados, u(t) Rp o vetor de entradas e

y(t) Rq o vetor de sadas. As variaveis de estado, x1(t), x2(t), . . .,

xn(t), podem estar associadas com os elementos do sistema que ar-

mazenam energia ou podem ser variaveis com significado puramente

matematico.

Aplicando a transformada de Laplace nas duas equacoes e es-

crevendo a relacao entrada-sada resulta na matriz de transferencia:

G(s) = C(sI A)1B +D =

G11(s) . . . G1p(s)... . . . ...Gq1(s) . . . Gqp(s)

Como Y (s) = G(s)U(s), entao

Gi,j(s) =Yi(s)

Uj(s)


No caso de sistemas lineares,

Yi(s) = Gi1(s)U1(s)+Gi2(s)U2(s)+ . . .+Gip(s)Up(s), i = 1, . . . , q

Polos de G(s) = autovalores de A:

G(s) = C(sIA)1B+D =Cadj(sI A)B +D|sI A|

|sI A|=N(s)

Q(s)

As razes de Q(s) = |sI A| = 0 sao os polos de G(s)

As razes de Q(s) = |I A| = 0 sao os autovalores de A

Uma representacao no espaco de estado de uma funcao de trans-

ferencia G(s) e denominada uma realizacao de G(s), podendo ser

representado na forma compacta por:

G(s) ,

[A B

C D

]Nota: Existem diferentes possibilidades de realizacao de uma

funcao de transferencia.

5.2 Diagramas de simulacao

Diagramas de simulacao podem ser utilizados para obter realiza-

coes no espaco de estados de funcoes de transferencia. Diagramas

de simulacao utilizam apenas 3 elementos para representar sistemas:

somador, multiplicador (ganho) e integrador.

Considere a equacao diferencial:

dny(t)

dtn+ an1

dn1y(t)

dtn1+ . . . + a1

dy(t)

dt+ a0y(t) = b0u(t)

Usando blocos integradores pode-se obter y(t) a partir de dny(t)dtn

:

y(t)(n)

y(t)(n-1)

y(t)oo

y(t)o

y(t)o o o


A entrada do integrador a` esquerda, dny(t)dtn

, pode ser obtida expli-

citando este termo na equacao diferencial:

dny(t)

dtn= a0y(t) a1

dy(t)

dt . . . an1

dn1y(t)

dtn1+ b0u(t)

y(t)(n)

y(t)(n-1)

y(t)oo

y(t)o

y(t)o o o

u(t) +

o

o

o

-a

-a

b0

0

n-1o o o

+ +x (t)1x (t)n

o o

x (t)2

x (t)1x (t)n-1o

x (t)3

x (t)2

x (t)no

Representacoes no espaco de estados podem ser obtidas definindo

as sadas de cada bloco integrador como variaveis de estado xi(t) (a

entrada do integrador sera dxi(t)dt

). Definindo as variaveis de estado

como mostrado na figura resulta:

d

dt

x1x2...

xn1xn

=

0 1 0 . . . 0

0 0 1 0... ... . . . ...

0 0 0 . . . 1

a0 a1 a2 . . . an1

x1x2...

xn1xn

+

0

0...

0

b0

u

y =[1 0 0 . . . 0

]

x1x2...

xn1xn


5.3 Forma canonica de variaveis de fase ou forma canonica

controlavel

Equacao diferencial de alta ordem ou F.T Espaco de Estados

Caso 1:dny(t)

dtn+ an1

dn1y(t)

dtn1+ . . . + a1

dy(t)

dt+ a0y(t) = u(t)

G(s) =Y (s)

U(S)=

1

sn + an1sn1 + . . . + a1s + a0

As variaveis de estado podem ser definidas como:

x1(t) , y(t) dx1(t)

dt= x2(t)

x2(t) ,dy(t)

dt

dx2(t)

dt= x3(t)

... ... ...

xn(t) ,dn1y(t)

dtn1

dxn(t)

dt=

dny(t)

dtn

dxn(t)

dt=

dny(t)

dtn= a0y(t) a1

dy(t)

dt . . . an1

dn1y(t)

dtn1+ u(t)

= a0x1(t) a1x2(t) . . . an1xn(t) + u(t)

Que corresponde a seguinte realizacao no espaco de estados:

d

dt

x1x2...

xn1xn

=

0 1 0 . . . 0

0 0 1 0... ... . . . ...

0 0 0 . . . 1

a0 a1 a2 . . . an1

x1x2...

xn1xn

+

0

0...

0

1

u

y =[1 0 0 . . . 0

]

x1x2...

xn1xn


Caso 2:

dny(t)

dtn+ an1

dn1y(t)

dtn1+ . . . + a1

dy(t)

dt+ a0y(t) =

cmdmu(t)

dtm+ cm1

dm1u(t)

dtm1+ . . . + c1

du(t)

dt+ c0u(t), m n

G(s) =Y (s)

U(S)=cms

m + cm1sm1 + . . . + c1s + c0

sn + an1sn1 + . . . + a1s + a0

Definindo:

Y (s) = (cmsm + cm1s

m1 + . . . + c1s + c0)X1(s)

a equacao diferencial pode ser re-escrita como:

dnx1(t)

dtn+ an1

dn1x1(t)

dtn1+ . . . + a1

dx1(t)

dt+ a0x1(t) = u(t)

que e igual ao caso 1:

dx1(t)

dt= x2(t),

dx2(t)

dt= x3(t), . . . ,

dxn1(t)

dt= xn(t)

dxn(t)

dt= a0x1(t) a1x2(t) . . . an1xn(t) + u(t)

O que muda e a relacao entre y(t) e x1(t):

y(t) = cmdmx1(t)

dtm+ cm1

dm1x1(t)

dtm1+ . . . c1

dx1(t)

dt+ c0x1(t)

Caso m < n

y(t) = cmxm1(t) + cm1xm2(t) + . . . + c1x2(t) + c0x1(t)

Que corresponde a seguinte equacao de sada:

y =[c0 c1 . . . cm 0 . . . 0

] x1...xn


Caso m = n

y(t) = cndxn(t)

dt+ cn1xn(t) + cn2xn1(t) + . . . + c1x2(t) + c0x1(t)

= cn[a0x1(t) a1x2(t) . . . an1xn(t) + u(t)]

+c0x1(t) + c1x2(t) + . . . + cn2xn1(t) + cn1xn(t)

= (c0 cna0)x1(t) + (c1 cna1)x2(t) + . . .

+(cn1 cnan1)xn(t) + cnu(t)

Que corresponde a seguinte equacao de sada:

y =[c0 c

1 . . . c

n1

] x1...xn

+ cnu(t)

sendo ck = ck cnak.

G(s) =Y (s)

U(S)= cn +

cn1sn1 + . . . + c1s + c

0

sn + an1sn1 + . . . + a1s + a0

y(t)o o o

u(t)

+

-a

-a

c'n-1

0

n-1o o o

++

x (t)1x (t)nox (t)1

c'0

o

o

o

+

+

cn

+

x (t)no

x (t)2

o

o

o

-a1

+


5.4 Forma canonica de Jordan

Considere um sistema monovariavel com todos polos reais e distin-

tos, cuja F.T. pode ser decomposta em fracoes parciais:

G(s) =cns

n + cn1sn1 + . . . + c1s + c0

sn + an1sn1 + a1s + a0= cn+

f1

s 1+. . .+

fn

s n

Y (s) = G(s)U(s) = f11

s 1U(s)

Z1(s)

+ . . . + fn1

s nU(s)

Zn(s)

+cnU(s)

Definindo a variaveis de estado canonicas como:

Zi(s) ,1

s iU(s)

d

dtzi(t) = izi(t) + u(t)

A realizacao da funcao de transferencia na forma canonica de jor-

dan (ou forma desacoplada ou forma normal) e

d

dt

z1(t)

z2(t)...

zn(t)

=

1 0 . . . 0

0 2. . . ...

... . . . . . . 0

0 . . . 0 n

z1(t)

z2(t)...

zn(t)

+

1

1...

1

u(t)

y(t) =[f1 f2 . . . fn

] z1(t)...zn(t)

+ cnu(t)

Na realizacao na forma canonica,

dz(t)

dt= Anz(t) z(t) = n(t)z(0), n(t) = e

Ant =

e1t 0. . .

0 ent


y(t)

+

o

o

o

-n

+

z (t)n

+

+

fn

+

z (t)no

u(t)

+

-1

+

z (t)1f1

z (t)1o

cn

o

o

o

5.5 Transformacao de similaridade

Seja x(t) e x(t) dois conjuntos diferentes de variaveis de estado de

um mesmo sistema. Se x(t) e x(t) podem ser relacionados por

x(t) = Tx(t) ou x(t) = T1x(t)

onde a matriz T Rnn, nao singular, e denominada matriz de

transformacao, entao:

d

dtx = Ax +Bu x = Tx

d

dtx = Ax +Bu

y = Cx +Du y = Cx +Du

sendo

A = T1AT, B = T1B, C = CT

G(s) =

[A B

C D

]=

[T1AT T1B

CT D

]


5.6 Diagonalizacao da matriz A

Se os autovalores forem todos distintos, entao existe uma matriz

T , denominada matriz modal, tal que

A = T1AT = An =

1 0. . .

0 n

Cada coluna da matriz modal e igual a um autovetor da matriz A:

T =[v1 v2 . . . vn

]sendo Avi = ivi e vi adj(iI A)

Nota: Na forma canonica de variaveis de fase

T =[v1 v2 . . . vn

]=

1 1 . . . 1

1 2 . . . n21

22 . . .

2n

... ... ...

n11 n12 . . .

n1n

Nota: A matriz de transicao de estados (t)

d

dtx(t) = Ax(t) x(t) = (t)x(0), (t) = eAt

pode ser calculada a partir da matriz modal

(t) = TnT1, n = e

Ant =

e1t 0. . .

0 ent

MATLAB:

[T An]=eig(A)

sis=ss(A,B,C,D)

sis_n = ss2ss(sis, inv(T))

sis_n = canon(sis)

G=tf(sis)

sis=ss(G)


6 Propriedades de Sistemas Representados no Espaco

de Estados

Alem da propriedade de estabilidade serao consideradas mais

duas propriedades de sistemas representados no espaco de estados.

Controlabilidade existencia da solucao do problema de con-

trole.

ou(t) x(t)x(t)=Ax(t)+Bu(t) C

+

y(t)

K

r(t)

_

Observabilidade possibilidade de estimar as variaveis de es-

tado que nao podem ser medidas.

ou(t) x(t)x(t)=Ax(t)+Bu(t) C

+

y(t)

K

r(t)

_

Estimador

x(t)^

Controlabilidade + Observabilidade condicoes para equi-

valencia completa entre funcoes de transferencia e representacao no

espaco de estados.


6.1 Estabilidade segundo Lyapunov

Definicao: O sistema dinamico contnuo x(t) = Ax(t) e dito

ser estavel se somente se todos os autovalores de A, i(A), estao no

semi-plano esquerdo aberto, isto e, Re{i(A)} < 0, i. A matriz A

com essa propriedade e chamada de estavel ou Hurwitz.

Em 1892 o matematico russo Alexander Mikhailovitch Lyapunov

introduziu a teoria de estabilidade para sistemas lineares e nao-lineares.

Segundo Lyapunov, pode-se checar a estabilidade de um sistema en-

contrando uma funcao V (x), chamada funcao de Lyapunov, que para

sistemas invariantes no tempo deve satisfazer

V (x) > 0, V (0) = 0

V (x) =dV

dt=V

x

dx

dt 0

Para o sistema x(t) = Ax(t), a funcao de Lyapunov poder ser a

funcao quadratica V (x) = xT (t)Px(t), P = P T 0, que atende as

primeiras duas condicoes. A terceira condicao resulta em

V (x) = xTPx + xTPx = xTATPx + xTPAx

= xT (ATP + PA)x < 0

Teorema: O SLIT contnuo, x(t) = Ax(t), e assintoticamente

estavel se somente se existe uma matriz simetrica definida positiva

P = P T 0, tal que

ATP + PA 0

Equivalentemente, O SLIT contnuo, x(t) = Ax(t), e assintoti-

camente estavel se somente se existem matrizes simetricas definidas

positivas P = P T 0 e Q = QT 0 que atendem a` equacao

algebrica se Lyapunov:

ATP + PA = Q


Teorema: O SLIT contnuo, x(t) = Ax(t), y(t) = Cx(t), e

assintoticamente estavel se somente se o par (A,C) e observavel e

a equacao algebrica de Lyapunov possui uma unica solucao definida

positiva

ATP + PA = Q, P = P T > 0, Q = CTC 0

Equivalentemente, o sistema x(t) = Ax(t) e estavel se existe X =

XT 0, X = P1, tal que XAT + AX 0.

MATLAB: X = lyap(A,Q) resolve a equacao de Lyapunov: AX+

XAT +Q = 0.

Exemplo: Considere o sistema x(t) = Ax(t), y(t) = Cx(t),

A =

0 1 00 0 11 2 3

, C = [ 1 0 0 ]

O palpite incial para Q e Q = I .

No MATLAB, X=lyap(A,eye(3)) resulta:

X =

5 0,5 1,50,5 1,5 0,51,5 0,5 1

, i(X) = {0,19; 1,78; 5,53}

X 0 sistema assintoticamente estavel.

Para Q = CTC, no MATLAB, P=lyap(A,C*C) resulta:

P =

1,9 1,8 0,51,8 2,8 0,90,5 0,9 0,3

, i(P ) = {0,002; 0,54; 4,5}


6.2 Controlabilidade

Definicao: O sistema dinamico x(t) = Ax(t) + Bu(t) ou o par

(A,B) e controlavel (todos os estados sao controlaveis) se, para qual-

quer estado inicial x(0) = x0, qualquer tempo t1 > 0 e qualquer

estado final x1, existe uma entrada u(t) tal que a solucao da equacao

de estado satisfaca x(t1) = x1. Caso contrario, o sistema ou o par

(A,B) e dito ser nao controlavel.

u(t) deve influenciar cada variavel de estado na equacao:

X(s) = (sI A)1x(0) + (sI A)1BU(S)

= (s)x(0) + (s)BU(s)

x(t) = (t)x(t) +

t0

( )Bu(t )d

Existem varias formas de verificar se o sistema e de estado con-

trolavel.

1. O par (A,B) e controlavel se somente se a matriz de controla-

bilidade:

C ,[B AB A2B . . . An1B

] Rnnp

possui posto n (posto de linha completo). Sendo n o numero de

variaveis de estados.

Nota: se o sistema possuir uma entrada, posto C = n |C| 6= 0.

Se o sistema possui multiplas entradas, posto C = n |CCT | 6= 0

MATLAB:

C=ctrb(A,B)

sis=ss(A,B,C,D)

C=ctrb(G)

rank(C)


2. Uma entrada u(t) que resulta em x(t1) = x1 e dada por:

u(t) = BTeAT (t1t)Wc(t1)

1(eAt1x0 x1)

sendo

Wc(t) ,

t0

eABBTeAT d

Desse modo o sistema e controlavel se somente se a matriz Wc(t)

possui posto completo (e definida positiva) para qualquer t > 0.

Para sistemas estaveis, e necessario analisar apenas P , Wc(),

isto e, o par (A,B) e controlavel se somente se o gramiano de con-

trolabilidade

P ,

0

eABBTeAT d

e definido positivo (P 0) e desta forma possui posto completo n.

P pode ser obtido da solucao da equacao de Lyapunov:

AP + PAT = BBT

MATLAB:

P=lyap(A,B*B)

P = gram(G,c)

eig(P) % controlavel se i(P ) > 0, i

3. Seja qiA = iqi . O sistema e de estado controlavel se somente

se Bqi 6= 0, i.

Bqi = 0 modo natural eit nao controlavel.

MATLAB:

[Q,P] = eig(A)

Q = conj(Q)

B*Q


Exemplo: Considere um SLIT representado por:

G(s) =

2 2 10 4 1

1 0 0

= s + 2

(s + 2)(s + 4)=

1

s + 4

1. A matriz de controlabilidade possui duas linhas (ou colunas)

dependentes

C =[B AB

]=

[1 4

1 4

], |C| = 0 posto C = 1 < 2

2. O gramiano de controlabilidade e singular (|P | = 0)

P =

[0,125 0,125

0,125 0,125

]3. Os autovalores de A sao 1 = 2 e 2 = 4 e os correspon-

dentes autovetores esquerdos sao q1 = [0,707 0,707]T e q2 = [0 1]

T ,

tal que,

Bq1 = 0 (e2t nao controlavel)

Bq2 = 1 6= 0 (e4t controlavel)

6.3 Observabilidade

Definicao: O sistema dinamico x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) =

Cx(t) + Du(t) ou o par (A,C) e observavel (todos os estados sao

observaveis) se, para algum t1 > 0, o estado inicial x(0) = x0 puder

ser determinado a partir da historia no tempo do sinal de entrada

u(t) e do sinal de sada y(t) no intervalo [0, t1]. Senao o par (A,C)

e dito ser nao observavel.

Cada variavel de estado deve influenciar y(t) na equacao:

y(t) = C(t)x(0) + C

t0

( )Bu(t )d +Du(t)


1. O par (A,C) e observavel se somente se a matriz de observabi-

lidade

O =

C

CA...

CAn1

Rqnn

possui posto n (posto completo de coluna).

Nota: Se o sistema possuir uma sada, posto O = n |O| 6= 0. Se

o sistema possui multiplas sadas, posto O = n |OTO| 6= 0

MATLAB:

O=obsv(A,C)

O=obsv(sis)

rank(O)

2. O par (A,C) e observavel se a matriz

Wo ,

t0

eAT CTCeAd

e difinida positiva para todo t > 0. Para sistemas estaveis, o par

(A,C) e observavel se somente se o gramiano de observabilidade

Q ,

0

eAT CTCeAd

possui posto n (ser definido positivo).

O gramiano de observabilidade, Q, pode ser obtido como a solucao

da equacao de Lyapunov

ATQ +QA = CTC

MATLAB:

Q=lyap(A,CC)

Q = gram(G,o)

eig(O) % observavel se i(Q) > 0, i


3. Seja Avi = ivi. O sistema e observavel se somente se Cvi 6=

0, i.

MATLAB:

[V,An]=eig(A)

C*V

Exemplo: Considere o sistema,

G(s) =

0 1 0 0

0 0 1 0

24 2 5 1

2 1 0 0

= s 2(s + 4)(s + 3)(s 2)

1. Analisando a matriz de observablidade verifica-se que o sistema

nao e observavel:

O =

2 1 00 2 1

24 2 7

, |O| = 0 posto O < 3

2. Gramiano de observabilidade:

Q =

1,45 0,56 0,080,56 0,22 0,030,08 0,03 0,006

, i(Q) = {0; 0,0053; 1,67}

3. Testando cada modo natural, com i(A) = {4; 3; +2},

C[v1 v2 v3] = C

0,06 0,10 0,220,24 0,31 0,440,97 0,94 0,87

= [0,36 0,52 0]

v3 e2t nao observavel.


6.4 Controlabilidade e observabilidade na forma canonica

de Jordan

d

dt

z1(t)

z2(t)...

zn(t)

=

1 0 . . . 0

0 2. . . ...

... . . . . . . 0

0 . . . 0 n

z1(t)

z2(t)...

zn(t)

+

b1b2...

bn

u(t)

y(t) =[c1 c2 . . . cn

] z1(t)...zn(t)

+Du(t)

Se nao existir nenhuma linha totalmente nula em Bn, entao to-

das as variaveis de estado sao afetadas por u(t) sistema con-

trolavel.

Se nao existir nenhuma coluna totalmente nula em Cn, entao

todas as variaveis de estado afetam pelo menos uma das sadas

sistema observavel.

linha bi = 0 eit e nao controlavel

coluna ci = 0 eit e nao observavel

6.5 Relacao entre controlabilidade, observabilidade e

funcoes de transferencia

Teorema: Se ocorrer cancelamento de polo com zero em

G(s)=Y(s)/U(s), entao o sistema sera ou nao controlavel ou nao ob-

servavel de acordo com a escolha das variaveis de estado. Se nao ocor-

rer cancelamento de polo com zero entao o sistema sera controlavel e

observavel.


S+

y(t)r(t)co

Sc

So

+

Su

G(s) = Cco(sI Aco)Bco +D

6.6 Realizacao Mnima

Definicao: Uma realizacao no espaco de estados (A,B,C,D) de

G(s) e dita ser uma realizacao mnima de G(s) se A possui a menor

dimensao possvel (menor numero de estados). A dimensao mnima

e denominada grau de McMillan de G(s).

Somente os modos naturais controlaveis e observaveis contribuem

para o comportamento entrada-sada de u(t) para y(t). Uma reali-

zacao no espaco de estados e minima se somente se o par (A,B) e

controlavel e o par (A,C) e observavel.

Um modo natural e escondido se ele e nao controlavel e/ou nao

observavel, nao aparecendo na realizacao mnima. Polos nao con-

trolaveis e/ou nao observaveis sao cancelados por zeros de G(s) =

C(sI A)1B +D.

MATLAB:

Gm = minreal(G)


Exemplo: Considere o sistema,

G(s) =

0 1 0 0

0 0 1 0

24 2 5 1

2 1 0 0

= s 2(s + 4)(s + 3)(s 2)

A realizacao mnima e obtida como

Gm(s) =

8,627 3,3440 0,37467,785 1,6270 0,31271,433 1,717 0

= 1

(s + 4)(s + 3)

6.6 Realizacao Balanceada

A realizacao mnima em que os gramianos de controlabilidade e

observabilidade sao iguais e na forma de uma matriz diagonal

Pb = Qb =

h1 0 . . . 0

0 h2 0... . . . ...

0 0 . . . hn

, hi = i(PQ), i = 1, . . . , n

e conhecida como realizacao balanceada. Os valores h1 > h2 > . . . >

hn > 0, sao conhecidos como valores singulares de Hankel. O valor

singular de Hankel hi e proporcional a` influencia da variavel de estado

xi(t) na relacao entre o vetor de entradas u(t) e o vetor de sadas y(t).

MATLAB:

[Gb,g] = balreal(Gm)

calcula a realizacao balanceada, Gb, a partir da realizacao mnima,

Gm, e retorna tambem o vetor de valores singulares de Hankel, g.


Exemplo: Considerando a realizacao mnima do exemplo anterior,

a realizacao balanceada e os graminanos sao:

Gb(s) =

1,012 2,437 0,31862,437 5,988 0,3186

0,3186 0,3186 0

= 1

(s + 4)(s + 3)

Pb = Qb =

[0,0501 0

0 0,0085

]

6.7 Reducao de modelos

A partir da realizacao balanceada e possvel obter uma aproxi-

macao de ordem reduzida do sistema eliminado as variaveis de estado

associadas com os valores singulares de Hankel que sao relativamente

pequenos.

Exemplo: Considere o sistema estavel, controlavel e observavel com

a seguintes realizacao no espaco de estados:

G(s) =

2 0 0,5 0,5 1 5

1 2 0,5 0,5 1 8

10,5 3 7 2 4,5 7

11,5 3 6,5 1,5 5,5 11

1,5 0 0,5 0,5 0,5 9

2 0 2 1 0 0

Atraves do comando balreal, sao calculados os valores singu-

lares de Hankel como: {5,6; 2,6; 0,2; 0,02; 0,001}. Relativamente,

as duas primeiras variaveis de estado da forma balanceada possuem

peso maior na relacao entrada e sada e o sistema de 5a ordem pode ser

aproximado por um de 2a ordem usando os comandos do MATLAB:

sis = ss(A,B,C,D)

sisb = balreal(sis)

sysr = modred(sisb,[3 4 5])


G(s) Gr(s) =

0,9641 1,1782 3,27701,1782 0,2135 1,05863,2770 1,0586 0,5111

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

2a ordem

5a ordem

0.1 1 10 100 1000 90

45

0

45

Phas

e (de

g)

40

20

0

20

40

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

2a ordem

2a ordem

5a ordem

5a ordem


7 Projeto de Sistemas de Controle no Espaco de Es-

tados

Configuracao de um sistema de controle generalizado:

v

z

u

w

P

K

Sendo w o vetor de variaveis exogeneas (sinais de referencia, dis-

turbios e rudos), z o vetor de variaveis controladas (sinais de erro,

variaveis manipuladas etc.), v o vetor de variaveis medidas (entradas

do controlador) e u o vetor de variaveis de controle ou manipuladas

(sadas do controlador).

O objetivo de projeto e determinar o controlador K tal que o

sistema seja estavel, apresente uma resposta transitoria adequada e

o efeito das variaveis exogenas sobre as variaveis controladas seja

minimizado.

Quando v(t) = x(t) =[x1 . . . xn

]T, ou seja, todas as variaveis

de estado sao medidas (ou estimadas) para serem utilizadas como

entradas para o controlador, e K =[k1 . . . kn

]e um vetor de

ganhos, tem-se o controle por realimentacao de estados.

Se v(t) 6= x(t) o controle pode ser controle por realimentacao

estatica de sada, para K =[k1 . . . kq

], ou controle por realimen-

tacao dinamica de sada se

K(s) = Ck(sI Ak)1Bk +Dk =

[Ak BkCk Dk

]


7.1 Forma Canonica Controlavel

Considere um sistema linear, monovariavel, invariante no tempo,

expresso em termos de variaveis de estado gerais:

G(s) =Y (s)

U(S)=

[A B

C D

]= cn +

cn1sn1 + . . . + c1s + c

0

sn + an1sn1 + . . . + a1s + a0

Se o sistema e totalmente controlavel, entao existe uma matriz

T , x(t) = Txc(t), que transforma o sistema para forma canonica

controlavel:

dxc(t)

dt=

0 1 0 . . . 0

0 0 1 0... ... . . . ...

0 0 0 . . . 1

a0 a1 a2 . . . an1

xc(t) +

0

0...

0

1

u(t)

y =[c0 c

1 . . . c

n1

]xc(t) + cnu(t)

A matriz T pode ser calculada por um dos tres modos abaixo:

1) T = McM1cc =

[B AB . . . An1B

]

a1 . . . an1 1... 1 0

an1 1...

1 0 . . . 0

2) T1 =

q1q1A...

q1An1

sendo q1 = [ 0 . . . 0 1 ]M1c

3) T =[q1 q2 . . . qn

]sendo qn = B, qni = Aqni+1 + aniqn,

i = 1, . . . , n 1.


7.2 Controle por Posicionamento de Polos Atraves de

Realimentacao de Estados

+ -

u(t)

D

+

+

x(t)=Ax(t)+Bu(t)

K

r(t) y(t)C

x(t)o

Se o sistema for totalmente controlavel, atraves da acao de controle

u(t) = r(t)Kx(t)

onde K = [k1 k2 . . . kn] e um vetor de ganhos, e possvel

posicionar os autovalores (polos) do sistema em malha-fechada em

qualquer posicao desejada:

dx(t)

dt= Ax(t) +B[r(t)Kx(t)] = (ABK)

Af

x(t) +Br(t)

y(t) = Cx(t) +D[r(t)Kx(t)] = (C DK) Cf

x(t) +Dr(t)

Teorema: Se o par [A, B] e controlavel, entao atraves da reali-

mentacao de estado u(t) = r(t)Kx(t) os autovalores de

Af = ABK podem ser escolhidos de acordo com K.

Procedimento de projeto do controlador:

1. Q() = |I A| = n + an1n1 + . . . + a1 + a0

2. Qf() = (1) . . . (n) = n+ an1

n1+ . . .+ a1+ a0

3. Kc =[a0 a0 a1 a1 . . . an1 an1

]


4. q1 =[0 . . . 0 1

]M1c

T1 =

q1q1A...

q1An1

5. K = KcT1

Este procedimento pode ser substitudo por uma unica equacao,

denominada formula de Ackerman:

K = [0 . . . 0 1]M1c Qf(A)

MATLAB:

>> K = place(A,B,p)

onde p e um vetor com os polos desejados para o sistema em malha-

fechada.

Exemplo: Controle de velocidade de um motor CC, controlado por

armadura, por posicionamento de polos atraves de realimentacao de

estado. Considere o modelo linear invariante no tempo:

d

dt

[ia(t)

m(t)

]=

[Ra

LaKb

LaKiJ

BJ

] [ia(t)

m(t)

]+

[1La

0

]ea(t)

y(t) =[0 1

] [ ia(t)m(t)

]+ [0]ea(t)

Os parametros do motor sao: Ra = 1 , La = 50mH, J = 0,1Kgm,

B = 0,01Nms/rad e Ki = Kb = 0,5Vs/rad:

d

dt

[ia(t)

m(t)

]=

[20 10

5 0,1

] [ia(t)

m(t)

]+

[20

0

]ea(t)


Deseja-se Qf() = s2 + 2ns +

2n, = 0,707 e n = 10

K =[0,3 0,486

].

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

100

120

tempo (s)

m

(t)

r(t)

ea(t)

Tl(t)=4,1Nm

e() 0

7.3 Realimentacao de Estado com Acao Integral

Para eliminar o erro de regime estacionario, deve-se introduzir uma

acao integral no sistema acrescentando (fisicamente) a seguinte var-

iavel de estado no sistema:

dz(t)

dt= e(t) = r(t) y(t) = r(t) Cx(t)Du(t)

Com esta variavel adicional o sistema passa a ser:

d

dt

[x(t)

z(t)

]=

[A 0

C 0

] [x(t)

z(t)

]+

[B

D

]u(t) +

[0

1

]r(t)

= Ax(t) +Bu(t) +Bfr(t)

y(t) =[C 0

] [ x(t)z(t)

]+Du(t) = Cx(t) +Du(t)


Adotando a acao de controle:

u(t) = Kx(t) = [K ki

] [ x(t)z(t)

]= Kx(t) ki

t0

e( )d

e introduzido a acao integral na lei de controle. O sistema de malha

fechada resultante e:

dx(t)

dt= (ABK)

Af

x(t) +Bfr(t)

y(t) = (C DK)x(t)

Se o par (A,B) e controlavel, e possvel calcular K de modo que

o sistema em malha-fechada seja estavel, entao

limt

dz(t)

dt= 0 r(t) = y(t) para t

Exemplo: Controle de velocidade de um motor CC com acao inte-

gral:

d

dt

iam

z

=

20 10 05 0,1 0

0 1 0

iam

z

+

200

0

ea +

001

r

y =[0 1 0

] iamz

+ [0]ea + [0]r

Deseja-se Qf() = (s+ a)(s2 + 2ns+

2n), a = 20, = 0,707 e

n = 10

K =[0,7 3,286 20

].


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

100

120

tempo (s)

e() = 0

Tl(t)=4,1Nm

ea(t)

r(t)

m(t)

7.4 Forma Canonica Observavel

Considere um sistema linear, monovariavel, invariante no tempo,

expresso em termos de variaveis de estado gerais:

G(s) =Y (s)

U(S)=

[A B

C D

]= cn +

cn1sn1 + . . . + c1s + c

0

sn + an1sn1 + . . . + a1s + a0

Se o sistema e totalmente observavel, entao existe uma matriz T

que transforma o sistema para forma canonica observavel: x(t) =

Txo(t):

dxo(t)

dt=

0 0 . . . 0 a01 0 . . . 0 a10 1 ... a2... . . . 0 ...

0 . . . 0 1 an1

x0(t) +

c0c1c2...

cn1

u(t)

y(t) =[0 0 . . . 0 1

]+ [cn]u(t)


A matriz T pode ser calculada por um dos tres modos abaixo:

1) T1 = M1oo Mo =

a1 . . . an1 1... 1 0

an1 1...

1 0 . . . 0

C

CA...

CAn1

2) T =[q1 Aq1 . . . A

n1q1]sendo q1 = M

1o

0...

0

1

3) T1 =

q1q2...

qn

sendo qn = C e qn1 = qn1+1A + an1qn,

i = 1, 2, . . . , n 1

7.5 Estimadores de Estado

Diagrama de blocos do estimador de estado com operacao em

malha-aberta:

x

Estimador

Sistema

o

B+

+

u

A

Cx y

xo

B+

+

A

x^^


Diagrama de blocos do estimador de estado assintotico:

x

Estimador

Sistema

o

B+

+

u

A

Cx y

xo

B+

+

A

x^^

L

C

+

+

-

A equacao dinamica do estimador assintotico e

dx(t)

dt= (A LC)x(t) +Bu(t) + Ly(t)

O erro de estimacao definido como e(t) , x(t) x(t) possui a

seguinte equacao dinamica

de(t)

dt= (A LC)e(t)

Teorema: Se o par (A,C) e totalmente observavel, entao pode-

se determinar L tal que o estimador possua quaisquer autovalores

desejados.

Se todos os autovalores de (ALC) possuem parter real negativa,

entao

limt

e(t) = 0


Procedimento de projeto do estimador:

1. Q() = |I A| = n + an1n1 + . . . + a1 + a0

2. Qo() = ( 1) . . . ( n) = n + bn1

n1 + . . .+ b1+ b0

3. Lo =

b0 a0b1 a1

...

bn1 an1

4. q1 = M1o

0...1

T =[q1 Aq1 . . . A

n1q1]

5. L = TLo

MATLAB:

>> L = place(A,C,p)

onde p e um vetor com os polos desejados para o estimador.

7.6 Realimentacao de Estados atraves de Observadores

O estimador de estado calcula em tempo real x(t) a partir dos

sinais de entrada e sada do sistema, u(t) e y(t) e o vetor de estado

estimado x(t) e usado na realimentacao:

+ -

u(t)

K

r(t)y(t)

x(t)

Estimador

Planta

^


Considerando a acao de controle u(t) = r(t)Kx(t), as equacoes

do sistema em malha-fechada com realimentacao de estado baseada

em estimador de estado sao:

d

dt

[x(t)

dx(t)

]=

[A BK

LC ABK LC

] [x(t)

x(t)

]+

[B

B

]r(t)

y(t) =[C DK

] [ x(t)x(t)

]+Dr(t)

7.7 Regulador Linear Quadratico - LQR

O controlador linear quadratico, baseado na lei de realimentacao de

estado u(t) = Kx(t), e aquele que minimiza o funcional quadratico:

J(u) =

0

[xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t) + 2xT (t)Nu(t)

]dt

sujeito a` dinamica do sistema:

dx(t)

dt= Ax(t) +Bu(t)

O ganho do controlador que minimiza o funcional e dado por

K = R1(BTS +NT )

sendo S = ST 0 a solucao da equacao de Ricatti:

ATS + SA (SB +N)R1(BTS +NT ) +Q = 0

O problema possui solucao se

par (A,B) e controlavel,

R 0,

QNR1NT 0.


MATLAB:

>> K = lqr(A,B,Q,R,N)

onde se N for omitido, a matriz e considerada nula por padrao.

Exemplo: Controle de velocidade de um motor CC com acao inte-

gral:

Q =

1 0 00 1 00 0 1000

, R = 1 K = [ 1,09 4,73 31,62 ]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

100

120

tempo (s)

e() = 0

Tl(t)=4,1Nm

ea(t)

r(t)

m

(t)

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