Apostila Controle Serpa - 09

8/6/2019 Apostila Controle Serpa - 09

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Controle de Sistemas em Tempo Contnuo

.


Alberto Luiz Serpa

2007

Esta apostila foi escrita com base nas notas de aulas utilizadas na dis-ciplina de Controle de Sistemas Mecanicos que ministrei para os cursos degraduacao em Engenharia de Controle e Automacao e Engenharia Mecanicada UNICAMP nos ultimos anos. Este material representa um guia de estudos

e nao tem o objetivo de substituir os bons livros adotados como bibliografiada disciplina.Com o surgimento da ferramenta de Internet para ensino aberto da UNI-

CAMP, o meu interesse em ter material didatico digitado passou a ser maiorpela facilidade de poder disponibilizar este material aos alunos. Alem disso,acredito que sera mais facil atualizar e melhorar continuamente este material.

Esta versao foi atualizada em fevereiro de 2009.

Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2009 1


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Sumario

1 Introducao 6

2 Entradas Padronizadas 82.1 Degrau Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Rampa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Parabola unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Funcao Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Funcao impulso unitario (Delta de Dirac) . . . . . . . . . . . . 102.6 Funcao porta ou pulso unitario (Gate) . . . . . . . . . . . . . 10

2.7 Funcao serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Transformada de Laplace 113.1 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 Diferenciacao real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.3 Integracao real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.4 Teorema do valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.5 Teorema do valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.6 Translacao real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.7 Funcoes periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.8 Diferenciacao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.9 Integracao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.10 Translacao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.11 Convolucao Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Transformada inversa de Laplace - metodo da expansao emfracoes parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Diagrama de blocos 304.1 Montagem direta de diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . 314.2 Montagem em serie de digramas de blocos . . . . . . . . . . . 32

4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos . . . . . . . . . 33

5 Modelagem de alguns sistemas lineares 345.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade . . 345.2 Sistema mecanico torcional de um grau de liberdade . . . . . . 355.3 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de liberdade . . 40

6 Linearizacao 42



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7 Formas padronizadas de sistemas com parametros concen-trados 447.1 Sistema de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.2 Sistema de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8 Funcao de Transferencia 508.1 Resposta ao impulso e convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . 528.2 Matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9 Criterios de Desempenho 55

9.1 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.2 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10 Estabilidade de sistemas lineares 6310.1 Estabilidade para entrada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.2 Estabilidade BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

11 Resposta em frequencia 6811.1 Relacao de amplitude e angulo de fase . . . . . . . . . . . . . 6811.2 Resposta em frequencia de um sistema de primeira ordem . . . 7011.3 Resposta em frequencia de um sistema de segunda ordem . . . 70

11.4 Resposta em frequencia de um integrador puro . . . . . . . . . 7111.5 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

11.5.1 Diagramas de Bode para o integrador puro . . . . . . . 7111.5.2 Diarama de Bode de sistemas de primeira ordem . . . . 7211.5.3 Diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem

em serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311.5.4 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem . . . 75

11.6 Banda de passagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811.7 Algumas caractersticas em frequencia de sistemas de segunda

ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.8 Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8011.8.1 Diagrama de Nyquist de sistemas de primeira ordem . 8011.8.2 Diagrama de Nyquist para sistemas de segunda ordem 81

12 Sistemas de nvel de tanques - introducao a malha fechada 8412.1 Sistema de um tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8412.2 Modelo instrumentado do sistema do tanque . . . . . . . . . . 8612.3 Sistema de dois tanques independentes . . . . . . . . . . . . . 9012.4 Sistema de dois tanques interligados . . . . . . . . . . . . . . . 91



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12.5 Inclusao do controlador automatico . . . . . . . . . . . . . . . 9312.6 Analise do sistema controlado sujeito a disturbios . . . . . . . 95

13 Malha fechada e malha aberta 98

14 Analise de erro estacionario 9914.1 Erro estacionario em realimentacao unitaria . . . . . . . . . . 9914.2 Erro estacionario em realimentacao nao unitar i a . . . . . . . . 104

15 Lugar das razes 105

16 Criterio de estabilidade de Nyquist 11016.1 Princpio do argumento de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 111

17 Analise de estabilidade relativa 11717.1 Margens de ganho e de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11717.2 Margens de estabilidade no diagrama de Nyquist . . . . . . . . 123

18 Aproximacoes para sistemas de segunda ordem 125

19 Controladores classicos 12619.1 Acao de controle de duas posicoes (liga ou desliga) . . . . . . . 12719.2 Acao de controle proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13019.3 Acao de controle integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13319.4 Acao de controle proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . 13319.5 Acao proporcional-derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13619.6 Acao de controle proporcional-integral-derivativo . . . . . . . . 13919.7 Efeito fsico das constantes kp e kd em sistemas de segunda

ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14419.8 Controle PID - Metodo Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . 14519.9 Projeto PID analtico na frequencia . . . . . . . . . . . . . . . 14819.10Projeto PID com base no lugar das razes . . . . . . . . . . . . 15219.11Controlador em avanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

19.12Compensacao em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16619.13Projeto avanco-atraso analtico na frequencia . . . . . . . . . . 17419.14Projeto avanco-atraso com base no lugar das razes . . . . . . 179

20 Modelo de estados 18320.1 Representacao no espaco de estados de equacoes diferenciais

sem derivadas na excitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18520.2 Representacao de sistemas com derivadas na excitacao . . . . 18720.3 Representacoes canonicas no espaco de estados . . . . . . . . . 189



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20.3.1 Forma canonica controlavel . . . . . . . . . . . . . . . 18920.3.2 Forma canonica observa v e l . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 9

20.4 Autovalores da matriz Ann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19120.5 Relacao entre funcoes de transferencia e modelo de estado . . 19120.6 Solucao das equacoes de estado - sistemas invariantes no tempo193

20.6.1 Solucao da equacao homogenea . . . . . . . . . . . . . 19320.7 Matriz de transicao de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19420.8 Solucao das equacoes de estado nao homogeneas . . . . . . . . 195

21 Realimentacao de estados 19721.1 Caso de regulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

21.2 Formula de Ackermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19921.3 Caso de rastreador - entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . 205

22 Realimentacao da sada e observadores de estado 21622.1 Malha fechada com observador - regulador . . . . . . . . . . . 21822.2 Alocacao de polos do observador . . . . . . . . . . . . . . . . . 22022.3 Funcao de transferencia equivalente para regulador . . . . . . 22022.4 Malha fechada com observador - rastreador . . . . . . . . . . . 221

23 Bibliografia 231

A Variaveis-funcoes complexas 232

B Equacoes diferenciais 234B.1 Solucao da equacao homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . 234B.2 Determinacao da solucao homogenea da equacao diferencial . . 235B.3 Solucao particular da equacao diferencial . . . . . . . . . . . . 236B.4 Solucao completa da equacao diferencial . . . . . . . . . . . . 237

C Exerccios - em preparacao 238C.1 Exerccios relacionados a secao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 238



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1 Introducao

Apresentam-se a seguir algumas definicoes basicas.Um sistema associa uma funcao de entrada x(t) a uma funcao de sada

y(t). Se o sistema recebe uma acao, apresentara uma resposta associada,conforme ilustrado na Figura 1.

x(t) y(t)Sistema

(Excitacao-Entrada) (Resposta-Sada)

Figura 1: Representacao de um sistema na forma de diagrama de blocos.

Um modelo caracteriza uma representacao dos aspectos essenciais de umsistema de forma utilizavel.

Controlar significa atuar sobre um dado sistema de modo a atingir resul-tados de acordo com um objetivo previamente estabelecido. Usualmente osistema a ser controlado e chamado de planta, ou ainda, de processo.

O controlador, ou tambem chamado de compensador, e um sub-sistemaque tem a funcao de controlar a planta.

Em um sistema em malha aberta a sada do sistema nao tem efeito naacao do controle, ou seja, nao existe medicao da sada nem realimentacao,Figura 2. O desempenho de um sistema de malha aberta depende de umaboa calibracao.

EntradaControlador

Atuacao SadaPlanta

Figura 2: Sistema em malha aberta.

Um exemplo de sistema em malha aberta e o disparo de um projetil(problema de balstica convencional). Apos o tiro, o resultado esperado naopodera ser corrigido.

Em um sistema em malha fechadao sinal de sada possui um efeito diretona acao de controle (sistemas de controle realimentados), Figura 3. A malhafechada implica no uso de realimentacao com o objetivo de reduzir o erro dosistema.

Os elementos basicos de um sistema de controle em malha fechada sao: aplanta, o controlador, o atuador e o elemento de medida (sensor).



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Entrada Erro Atuacao

ControladorSada

Planta

Elemento de medida

Figura 3: Sistema em malha fechada.

Alguns exemplos de sistemas em malha fechada sao:

Ato de dirigir um carro. A pista representa o objetivo a ser seguido, ocarro representa a planta, a sada e a posicao do carro, o elemento demedida e a visao do motorista, a acao de controle e feita de acordo coma habilidade do motorista em funcao do erro entre a posicao do carroe a posicao determinada pela pista, e a atuacao e feita pelos bracos domotorista sobre a planta atraves do volante do carro.

Sucessivos disparos de projeteis. A cada tiro, o resultado pode ser veri-ficado pelo atirador e uma compensacao pode ser feita para o proximo

tiro visando acertar o alvo. Neste caso, nota-se o uso da resposta parafins de reduzir o erro do sistema, caracterizando a realimentacao.

Sistema de ar-condicionado ou refrigerador. A temperatura especifi-cada e verificada pelo sensor do equipamento, que liga ou desliga con-forme o erro encontrado, buscando manter a temperatura constanteconforme a especificacao desejada.

Verifica-se que a realimentacao negativa e caracterizada pela determinacaodo erro entre a entrada desejada e a sada do sistema. A atuacao e feita combase nesta diferenca.

A realimentacao positiva e indesejavel nos sistemas de controle pois adi-ciona energia ao sistema levando a instabilidade.

Um regulador tem como objetivo manter a sada do sistema em um valorconstante. Por exemplo, um sistema de refrigeracao que mantem constantea temperatura de um ambiente.

Um rastreador tem como objetivo seguir uma entrada variavel. Por exem-plo, um sistema robotizado que segue uma certa trajetoria em um processode soldagem.



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2 Entradas Padronizadas

As entradas padronizadas sao utilizadas na analise de desempenho dos sis-temas. Em geral, a entrada real e desconhecida e sao definidos algunsparametros para avaliar o desempenho dos sistemas de forma objetiva e ho-mogenea.

As entradas padronizadas constituem uma boa maneira de prever o de-sempenho do sistema e permitem realizar comparacoes de sistemas.

As principais entradas padronizadas sao apresentadas a seguir.

2.1 Degrau Unitario

A entrada degrau unitario, usualmente denotada por u(t), e definida como

u(t) =

1 se t > 00 se t 0 ,

e esta representada graficamente na Figura 4.

1

t

u(t)

Figura 4: Degrau unitario.

Um degrau unitario com translacao e dado por:

u(t T) =

1 se t > T,0 se t

T,

e esta representado na Figura 5.

2.2 Rampa unitaria

A rampa unitaria, usualmente denotada por r(t), e definida como:

r(t) = tu(t) =

t se t > 0,0 se t 0,

e esta ilustrada na Figura 6.



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tT

u(t T)

Figura 5: Degrau unitario com translacao.

t

r(t)

45o

Figura 6: Rampa unitaria.



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2.3 Parabola unitaria

A parabola unitaria e definida como:

x(t) =1

2t2u(t) =

12

t2 se t > 0,0 se t 0,

e esta ilustrada na Figura 7.

t

x(t)

Figura 7: Parabola unitaria.

2.4 Funcao Senoidal

A funcao senoidal de amplitude A, frequencia w e angulo de fase , e dadapor:

x(t) = Asen(wt + ).

2.5 Funcao impulso unitario (Delta de Dirac)

O impulso unitario (t) e definido como:

(t) = 0 para t= 0, e

+

(t)dt = 1,

ou seja, possui duracao nula, amplitude infinita e area unitaria, e sua repre-sentacao grafica usual e a da Figura 8.

2.6 Funcao porta ou pulso unitario (Gate)

O pulso unitario e definido como a diferenca entre um degrau unitario e outrodegrau unitario transladado, ou seja,

g(t) = u(t) u(t T),



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t

(t)

Figura 8: Impulso unitario.

cujo resultado e mostrado na Figura 9.

t

g(t)

T

1

Figura 9: Pulso unitario.

2.7 Funcao serie de potencias

A serie de potencias e definida como:

x(t) =

a0 + a1t + a2t

2 + ... se t > 0,0 se t 0.

3 Transformada de Laplace

A transformada de Laplace e um metodo para resolver equacoes diferenciaislineares no qual as operacoes como diferenciacao e integracao sao substitudas



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por operacoes algebricas no plano complexo. A componente transitoria e ade regime permanente podem ser obtidas simultaneamente. Alem disso, atransformada de Laplace e fundamental para a analise de sistemas via funcoesde transferencia.

A transformada de Laplace de uma funcao f(t) e definida por

F(s) = L [f(t)] =0

f(t)estdt, com s = + jw.

A transformada inversa de Laplace e dada por

f(t) =L1F(s) =

1

2j +j

jF(s)estds, t > 0.

A integral de Laplace existira/convergira se 0 e escolhido de forma que

limt

e0tf(t) = 0, (1)

onde 0 e chamado de abscissa de convergencia.Para a maioria das funcoes e possvel adotar um valor de 0 positivo

e suficientemente grande tal que a equacao (1) e satisfeita. Isso sempresera verdadeiro para exponenciais positivas ou para funcoes que crescem auma taxa menor que uma exponencial. Existem funcoes onde isso nao sera

satisfeito para nenhum valor de 0, por exemplo, et2

, que por sorte aparecemraramente nos problemas de engenharia.

Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = eat, a = b + jc.

F(s) = Leat

=0

eatestdt =

=0

e(s+a)tdt =1

s + ae(s+a)t

0=

1s + a

[0 1] = 1s + a

.

A abscissa de convergencia e determinada por

limt

e0teat

= lim

te(0+b+jc)t = lim

t

e(0+b)tejct

,

e para que este limite convirja a zero, entao 0 + b > 0, ou 0 > b.

Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = cos(wt).E possvel escrever que

cos(wt) =1

2

ejwt + ejwt

.



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Logo,

L[f(t)] = 12

L[ejwt] + L[ejwt]

=

1

2

1

s jw +1

s + jw

=

s

s2 + w2.

limt e

0t

1

2

ejwt + ejwt

= 0, se 0 > 0.

Exemplo: Calcular L[u(t)] para o degrau unitario u(t).

u(t) = 0 se t 0,

1 = e

0t

se t > 0.Logo,

U(s) = L[u(t)] = 1s + 0

=1

s, 0 > 0.

Exemplo: Calcular L[(t)] para o impulso unitario (t).Seja a funcao f(t) mostrada na Figura 10 e definida por

f(t) =

0 se t < 0,1

t0se 0 t t0,

0 se t0 < t.

f(t)

t

1t0

t0

Figura 10: Representacao do impulso unitario, t0 0.O impulso unitario pode ser representado como:

(t) = limt00

f(t).



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Assim,

L[(t)] = L limt00

f(t)

=0

limt00

f(t)estdt =

= limt00

0

f(t)estdt = limt00

t00

1

t0estdt =

= limt00

1

t0

1s

estt00

= lim

t00

1 est0

st0

.

Aplicando a regra de LHopital tem-se que

limt00

1 est0

st0= lim

t00

s est0

s

= 1.

Portanto,L[(t)] = 1.

3.1 Propriedades da Transformada de Laplace

3.1.1 Linearidade

A transformada de Laplace e um operador linear, ou seja,

L[1f1 + 2f2] = 1L(f1) + 2L(f2).

Prova:L[1f1 + 2f2] =

0

(1f1 + 2f2)estdt =

01f1e

stdt +0

2f2estdt = 1L[f1] + 2L[f2].

3.1.2 Diferenciacao real

SeL[f(t)] = F(s),

entao,

L

df

dt

= sF(s) f(0).

Prova:

L

df

dt

=0

df

dtestdt =

0

estdf.



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Integrando por partes, udv = uv vdu, com u = est, dv = df,

du = sestdt e v = f(t), tem-se,0

udv = estf(t)|0 0

f(t)(s)estdt =

= estf(t)|0 +0

f(t)s estdt = 0 f(0) + sF(s).Portanto,

L

df

dt

= sF(s) f(0).

Generalizando, tem-se:

L

dnf(t)

dtn

= snF(s)

n1i=0

sni1

dif

dti

t=0

.

Prova:Seja g = df

dt. Logo,

L

dg

dt

= sG(s) g(0) = sL[g(t)] g(0) =

= sL dfdt

g(0) = s(sF(s) f(0)) dfdt

t=0

=

= s2F(s) sf(0) dfdt

t=0

.

Seja h = dgdt

. Logo,

L

dh

dt

= sH(s) h(0) = sL[h(t)] h(0) =

= sL dgdt h(0) = s(sG(s) g(0)) h(0) =

= s2G(s) sg(0) h(0) = s2L[g(t)] sg(0) h(0) =

= s2L

df

dt

s df

dt

t=0

d2f

dt2

t=0

=

= s2(sF(s) f(0)) s dfdt

t=0

d2f

dt2

t=0

=



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= s3

F(s) s2

f(0) sdf

dt t=0

d2f

dt2 t=0

.

Pode-se continuar assim por diante para derivadas de ordem n.Se todas as condicoes iniciais sao nulas tem-se que:

L

dnf(t)

dtn

= snF(s).

Note que derivar no tempo corresponde a multiplicar por s no domniode Laplace quando as condicoes iniciais sao nulas.

3.1.3 Integracao real

Se L[f(t)] = F(s), entao,

L

f(t)dt

=1

sF(s) +

1

s

f(t)dt

t=0

Quando todas as condicoes iniciais sao nulas tem-se que:

L

f(t)dt

=F(s)

s.

Prova:L

f(t)dt

=0

f(t)dt

u

estdt dv

Definindo-se u =

f(t)dt e dv = estdt tem-se que v = est

s , o que permitefazer uma integracao por partes (

udv = uv vdu). Logo,

0

f(t)dt

estdt =

est

s

f(t)dt

0

0

est

s f(t)dt =

=

1

s f(t)dtt=0 +1

s

0 f(t)est

dt =

=1

sF(s) +

1

s

f(t)dt

t=0

= L

f(t)dt

.

Note que integrar no tempo corresponde a dividir por s no domnio deLaplace quando as condicoes iniciais sao nulas.



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3.1.4 Teorema do valor final

Se L[f(t)] = F(s) e existirem

L

df

dt

, lim

t f(t) e lims0sF(s),

entao,lim

t f(t) = lims0sF(s).

Prova:

L dfdt = sF(s) f(0) L dfdt + f(0) = sF(s),lims0

sF(s) = lims0

L

df

dt

+ f(0)

= lim

s0L

df

dt

+ f(0) =

= lims0

0

df

dtestdt + f(0) =

0

lims0

estdf + f(0) =0

df + f(0) = f() f(0) + f(0) = f() = limt f(t).

3.1.5 Teorema do valor inicialSe L[f(t)] = F(s) e existirem

L

df

dt

e lim

s sF(s),

entao,lim

t0+f(t) = lim

s sF(s).

Prova:

lims sF(s) = lims

L dfdt + f(0) = lim

sLdf

dt + f(0) =

= lims

0

df

dtestdt + f(0) =

0

lims e

stdf + f(0) = f(0) = limt0+

f(t).



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f(t) f(t T)u(t T)

tT

Figura 11: Representacao da translacao de f(t).

3.1.6 Translacao real

Seja F(s) = L[f(t)], entao,L[f(t T)u(t T)] = esTF(s).

Prova:

L [f(t T)u(t T)] =0

f(t T)u(t T)estdt =

= T

f(t T)u(t T)estdt = 0

f()u()es(+T)d =

= esT0

f()u()esd = esTF(s),

onde = t T e d = dt.

tT

Figura 12: Representacao dos eixos t e .

3.1.7 Funcoes periodicas

Para f(t) uma funcao periodica de perodo T tem-se que

L[f(t)] = 11 esT F1(s),



19/238


onde F1(s) =L

[f1(t)] e f1(t) e o primeiro perodo de f(t).Prova:

f(t) = f1(t)u(t) + f1(t T)u(t T) + f1(t 2T)u(t 2T) + . . . ,

F(s) = L[f(t)] = L[f1(t)u(t)]+L[f1(tT)u(tT)]+L[f1(t2T)u(t2T)]+. . .Mas

L[f1(t)u(t)] = F1(s),L[f1(t T)u(t T)] = esTF1(s),

L[f1(t

2T)u(t

2T)] = es2TF1(s),

e consequentemente,

F(s) = F1(s) + esTF1(s) + e

2sTF1(s) + . . . = (1 + esT + e2sT + . . .)F1(s).

Como T > 0 tem-se que esT = 1esT

< 1. A sequencia 1, 1esT

, 1e2sT

, ..., euma PG de razao 1

esT, cuja soma e 1

1esT . Logo,

F(s) =1

1 esT F1(s).

Verifica-se que o fato de s ser complexo nao altera o resultado da PG, ouseja,

1

esT=

1

e(a+jb)T=

1

eaTejbT,

onde eaT > 1 e ejbT e periodico e limitado.

3.1.8 Diferenciacao Complexa

Se L[f(t)] = F(s) entao

dF(s)

ds

=

L[tf(t)].

Prova:

dF(s)ds

= dds

0

f(t)estdt = 0

d

ds

f(t)est

dt =

= 0

f(t)test

dt =

0

tf(t)estdt = L[tf(t)].



20/238


3.1.9 Integracao Complexa

Se L[f(t)] = F(s), e existe s F(s)ds, entao,L

f(t)

t

=

sF(s)ds.

Prova:s

F(s)ds =

s

0

f(t)estdtds =0

f(t)

sestds

dt =

=

0 f(t) est

t

s dt =0

f(t)

t est

dt = L f(t)

t .3.1.10 Translacao Complexa

Se L[f(t)] = F(s), entao,F(s + a) = L[eatf(t)].

Prova:L[eatf(t)] =

0

eatf(t)estdt =

= 0

f(t)e(a+s)tdt = 0

f(t)estdt = F(s) = F(s + a).

3.1.11 Convolucao Real

Define-se a convolucao entre f(t) e g(t) como

h(t) = f(t) g(t) =t0

f()g(t )d.

Se L[f(t)] = F(s) e L[g(t)] = G(s), entao,

L[f(t) g(t)] = F(s)G(s).Prova: t

0f()g(t )d =

0

f()g(t )u(t )d,

pois

u(t ) = u(( t)) =

1 se ( t) > 0 ou < t,0 se ( t) 0 ou t.



21/238


22/238


t

ttt

T

TTT

A

A A

f1(t)

f1(t)

AT

tu(t) AT

(t T)u(t T) Au(t T)

Figura 14: Dente de serra.

Aplicando a propriedade de funcoes periodicas tem-se para o dente deserra:

F(s) = 1

1 esTF1(s) = A

T s2 1

(1

T s)esT

1 esT .

3.2 Transformada inversa de Laplace - metodo da ex-pansao em fracoes parciais

Este metodo aplica-se quando X(s) e uma funcao racional (quociente de doispolinomios em s), ou seja,

X(s) =Q(s)

P(s),

onde Q(s) possui ordem m e P(s) possui ordem n, com m < n.As principais etapas do metodo sao:

1. Desenvolver Q(s)P(s)

em fracoes parciais na forma

X(s) =Q(s)

P(s)=

c1r1(s)

+c2

r2(s)+ . . . +

cnrn(s)

,

onde ri(s) sao polinomios de grau 1 ou 2. Deve-se encontrar as razesde P(s) (polinomio na forma fatorada).



23/238


2. Calcular as constantes ci, i = 1, . . . , n.

3. Obter a transformada inversa de cada fracao parcial, que sao funcoesmais simples.

Exemplo: Caso de razes simples. Seja

X(s) =a + bs

(s 1)(s 2) ; 1 = 2.

Pode-se escrever X(s) da seguinte forma:

X(s) =a + bs

(s 1)(s 2) =c1

s 1 +c2

s 2onde c1 e c2 sao constantes que devem ser determinadas.

Multiplicando-se por s 1 tem-se:

(s 1)X(s) = a + bss 2 = c1 + (s 1)

c2s 2 .

Fazendo s = 1, pois s pode assumir qualquer valor, tem-se

(s 1)X(s)|s=1 = c1 = a + b11 2 .

De forma analoga

c2 = (s 2)X(s)|s=2 =a + b22 1 .

Logo,

X(s) =

a + b11

2

1

s

1

+

a + b22

1

1

s

2

.

A anti-transformada de cada fracao parcial pode ser calculada, ou seja,

f(t) = L1[X(s)] = a + b11 2e

1t +a + b22 1 e

2t.

Portanto, para n razes simples tem-se que:

ci = (s i)X(s)|s=i, i = 1, 2, . . . , n .



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Exemplo: Razes Multiplas. Seja

X(s) =a + bs

(s 1)2(s 2) ,

com 1 de multiplicidade 2.A expansao em fracoes parciais torna-se

X(s) =a + bs

(s 1)2(s 2) =c1

(s 1)2 +c2

(s 1) +c3

(s 2) . (2)

Multiplicando por (s 1)2 obtem-se

(s 1)2X(s) = a + bss 2 = c1 + (s 1)c2 +

(s 1)2s 2 c3, (3)

e fazendo s = 1, tem-se que

c1 =a + b11 2 .

Derivando a equacao (3) com relacao a s e fazendo s = 1 obtem-se c2,ou seja,

c2 = dds

(s 1)2X(s)s=1

= dds

a + bss 2

s=1

= 2b a(1 2)2 .

Portanto, para q razes reais e iguais, s = i, tem-se

cp =1

(p 1)!

dp1

dsp1[(s i)qX(s)]

s=i

, p = 1, . . . , q .

Multiplicando a equacao (2) por s 2 e fazendo s = 2 tem-sea + bs

(s 1)2 s=2 = c3 c3 =

a + b2

(2 1)2

.

A anti-transformada de cada fracao parcial pode ser calculada como

L1

1

(s i)q

=1

(q 1)! tq1eit.

Exemplo: Determinar a transformada de Laplace de uma equacao de se-gunda ordem

y + 2wny + w2ny(t) = w

2nf(t),



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com as seguintes condicoes iniciais y(0) = y0 e y(0) = v0.Pode-se escrever

L[y(t)] = Y(s), L[y(t)] = sY(s) y0 e L[y(t)] = s2Y(s) sy0 v0.Consequentemente

(s2 + 2wns + w2n)Y(s) (s + 2wn)y0 v0 = w2nF(s),

ou ainda

Y(s) =1

s2

+ 2wns + w2

n w2nF(s) + v0 + (s + 2wn)y0 ,

onde cada termo desta equacao pode ser analizado de forma independentedevido ao sistema ser linear.

Com condicoes iniciais nulas, y0 = 0 e v0 = 0, tem-se

Y(s) =w2n

s2 + 2wns + w2nF(s) = G(s)F(s),

onde

G(s) =w2n

s2 + 2wns + w2n

e a funcao de transferencia que relaciona a entrada a sada do sistema e quepressupoe condicoes iniciais nulas, ou seja,

Y(s) = G(s)F(s).

Exemplo: Seja um sistema de primeira ordem descrito por

a1dy

dt+ a0y = b0x dy

dt+ y = x(t).

onde =

a1a0

e =b0a0

com a condicao inicial y(0) = 0.Aplicando a transformada de Laplace, tem-se que

L

dy

dt+ y

= L[x(t)] sY(s) + Y(s) = X(s)

onde L[y(t)] = Y(s) e L[x(t)] = X(s).



26/238


E possvel escrever que

Y(s) =

s + 1X(s),

com a seguinte funcao de transferencia:

G(s) =

s + 1.

Considere os casos das entradas apresentadas a seguir.

1. Seja x(t) = u(t) uma entrada do tipo de degrau unitario. Logo tem-seque

X(s) = L[u(t)] =1

se a transformada de Laplace da equacao do sistema de primeira ordemtorna-se

Y(s) =

s + 1

1

s.

Deseja-se determinar a resposta temporal y(t) atraves da expansao emfracoes parciais, ou seja,

Y(s) =

s + 1

1

s=

c1

s + 1

+c2s

. (4)

Multiplicando (4) por s + 1 tem-se

s= c1 + (s +

1

)

c2s

,

e fazendo s = 1

, pois a equacao deve ser valida para qualquer s,tem-se

( 1

)= c1 + 0 c1 = .

Multiplicando (4) por s e calculando-se para s = 0 tem-se,

s + 1

=

c1s + 1

s + c2 c2 = .

Logo,

Y(s) =

s

s + 1

.

Fazendo a anti-transformada de Laplace tem-se:

L1

1

s 1

s + 1

= (1 e 1t) = y(t), t 0.



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2. Seja x(t) = (t) um impulso unitario. A transformada de Laplace doimpulso unitario e

X(s) = L[(t)] = 1.e a transformada de Laplace da equacao do sistema de primeira ordemtorna-se

Y(s) = G(s) =

s + 1

.

A resposta ao impulso pode ser encontrada atraves da transformadainversa, ou seja,

y(t) = L1 s + 1

=

e t , t 0,

cuja representacao grafica esta na Figura 15.

t

y(t)

Figura 15: Resposta ao impulso de um sistema de primeira ordem.

3. Seja x(t) = tu(t) uma rampa unitaria. A transformada de Laplace darampa unitaria e

X(s) = L[tu(t)] = 1s2

,

e a transformada da equacao da resposta do sistema de primeira ordemtorna-se

Y(s) =

s + 1

1

s2=

c1s2

+c2s

+c3

s + 1

. (5)

As constantes da expansao em fracoes parciais podem entao ser calcu-ladas. Multiplicando (5) por s + 1

e fazendo s = 1

tem-se

c3 =

s2

s= 1

=

1

2= .



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Multiplicando (5) por s2 tem-se

s + 1

= c1 + sc2 + s2 c3

s + 1

, (6)

e fazendo s = 0, tem-se

c1 =

s + 1

s=0

= .

Derivando (6) com relacao a s obtem-se

(s + 1

)2

= c2 +d

ds

s2

c3s + 1

,

e fazendo s = 0 obtem-se

c2 =

( 1

)2= .

Logo, a transformada de Laplace na forma de fracoes parciais e

Y(s) =

s + 1 +

s2

s ,cuja anti-transformada sera dada por

y(t) = L1[Y(s)] y(t) =

et + t

, t 0.

A resposta temporal e ilustrada na Figura 16.

t

y(t) resposta

entrada

Figura 16: Resposta a rampa unitaria de sistema de primeira ordem.



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30/238


L1

w

(jw + 1

)(2jw) 1s jw = w

(jw + 1

)(2jw)ejwt

.

As formulas de Euler, ejt = cost + jsent e ejt = cost jsent, podemser empregadas de forma que

y(t) =

w1+w22

et+

+w

(jw+ 1)(2jw)(coswt jsenwt)+

+w

(jw+ 1)(2jw)

(coswt + jsenwt)

,

ou ainda,

y(t) = w1 + w22

e t coswt + 1 w

senwt , t 0.

4 Diagrama de blocos

E possvel representar sistemas atraves de diagramas de blocos. Os smbolosbasicos sao o integrador, o somador e o multiplicador e est ao mostrados naFigura 17.

x(t)x(t)y(0)

y(t)y(t)y(t)k

x1(t)

x2(t)

xn(t)

IntegradorSomador

Multiplicador

Figura 17: Simbologia para diagramas de blocos.

O integrador executa a seguinte operacao:

y(t) =t0

x()d + y(0).

O somador executa:

y(t) = x1(t) + x2(t) + . . . + xn(t).

O multiplicador executa:

y(t) = kx(t).



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4.1 Montagem direta de diagramas de blocos

As equacoes diferencias que representam sistemas lineares usuais podem serrepresentadas com o uso dos diagramas de blocos.

Exemplo: Considere a equacao diferencial

d3y

dt3+ 8

d2y

dt2+ 37

dy

dt+ 50y = u(t).

Esta equacao pode ser reescrita na forma

d3y

dt3 = 8d2y

dt2 37dy

dt 50y + u(t), (8)que permite a montagem direta do diagrama de blocos da Figura 18.

u(t) y(t)

50

37

8

yyd3y

dt3

Figura 18: Diagrama de blocos correspondente a equacao (8).

Exemplo: Seja uma outra equacao diferencial que se deseja representarna forma de diagrama de blocos:

d3ydt3

+ 8 d2y

dt2+ 37 dy

dt+ 50y = 3 du

dt+ 5u(t). (9)

Esta equacao pode ser escrita no domnio de Laplace como

(s3 + 8s2 + 37s + 50) D(s)

Y = (3s + 5) N(s)

U,

ou tambem,

D(s)X = U, X =Y

N(s).



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O diagrama de blocos de D(s)X = U ja foi construdo anteriormente,bastando substituir y por x na Figura 18.

Como Y = N(s)X, ou seja,

Y = (3s + 5)X y(t) = 3dxdt

+ 5x,

e os valores de x estao disponveis no diagrama de blocos, e possvel incluiros termos relacionados a N(s) conforme na Figura 19.

u(t) y(t)

50

37

8

3

5x(t)xxd

3xdt3

Figura 19: Diagrama de blocos correspondente a equacao (9).

4.2 Montagem em serie de digramas de blocos

Uma funcao G(s) representativa de um sistema pode ser fatorada na forma

G(s) = G1(s)G2(s) . . . Gm(s).

Neste caso, o sistema pode ser visto com uma serie de subsistemas. Paraevitar a necessidade de um diferenciador, os subsistemas devem ser esco-lhidos adequadamente, de forma que o grau do numerador nao exceda o graudo denominador em cada subsistema.



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Exemplo: Seja o sistema

G(s) =3s + 5

s3 + 8s2 + 37s + 50=

1

s + 2

G1(s)

3s + 5

s2 + 6s + 25

G2(s)

,

que permite a construcao do diagrama de blocos da Figura 20, onde os sub-sistemas G1(s) e G2(s) foram colocados em serie.

u(t) y(t)

2 6

25

5

3

Figura 20: Diagrama de blocos de dois sistemas concatenados em serie.

4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos

Neste caso a funcao G(s) do sistema e expandida em fracoes parciais na forma

G(s) = G1(s) + G2(s) + . . . + Gm(s),

onde Gi(s) representa usualmente sistemas de primeira ordem ou sistemasde segunda ordem.

Exemplo: Seja

G(s) =3s + 5

s3 + 8s2 + 37s + 50=

117

s + 2 G1(s)

+s17

+ 5517

s2 + 6s + 25 G2(s)

,

cujo diagrama de blocos na forma paralela esta representado agora na Figura21. Nota-se que

Y = G(s)U = (G1(s) + G2(s)) U = G1(s)U + G2(s)U.



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u(t)

y(t)

2

6

25

5517

117

117

Figura 21: Diagrama de blocos com subsistemas em paralelo.

5 Modelagem de alguns sistemas lineares

5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau deliberdade

A Figura 22 apresenta um sistema massa-mola-amortecedor de um grau deliberdade para o qual e aplicada uma forca u(t) e considerada como respostao deslocamento y(t). Os parametros do sistema sao: massa m, rigidez damola k e constante de amortecimento viscoso c.

Aplicando a segunda Lei de Newton, obtem-se a equacao diferencial domovimento, ou seja,

u ky cy = my my + cy + ky = u(t).Dividindo-se pela massa m e levando para o domnio de Laplace, a equacao

torna-se s2 +

c

ms +

k

m

Y =

1

mU.

Portanto, o polinomio caracterstico e

s2 +c

ms +

k

m= 0,



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k c

m

uu

ky cy

y, y, y

Figura 22: Sistema massa-mola-amortecedor e diagrama de corpo livre.

que possui duas razes, que podem ser reais simples, reais duplas ou um parcomplexo conjugado.

A equacao diferencial do sistema pode ser escrita como

y =1

mu c

my k

my,

que permite a construcao direta do diagrama de blocos da Figura 23.

y1m

u

km

cm

y y

Figura 23: Diagrama de blocos do sistema massa-mola-amortecedor de umgrau de liberdade.

5.2 Sistema mecanico torcional de um grau de liber-dade

O sistema torcional de um grau de liberdade da Figura 24 e formado poruma inercia J, uma mola torcional de rigidez k e um amortecimento viscoso



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c. O torque aplicado e m(t) e o deslocamento angular (t).

k

c

J

m(t)m(t)

c k

Figura 24: Sistema torcional de um grau de liberdade.

A equacao diferencial que descreve o movimento do sistema pode serobtida pela aplicacao da Lei de Newton, ou seja,

m(t) k c = J J + c + k = m(t).

No domnio de Laplace escreve-se que

s2 +

c

Js +

k

J

=

1

JM,

cuja equacao caracterstica e

s2 +c

Js +

k

J= 0.

O diagrama de blocos correspondente a este sistema e apresentado naFigura 25.

5.3 Circuito RC

Seja um circuito RC (resistor R e capacitor C em serie) ilustrado na Figura26, tendo como entrada uma tensao v(t) e como sada a tensao no capacitorvC(t).

Os comportamentos do resistor e do capacitor sao descritos por:

vR = RiR, iC = CdvCdt

,



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1J

m

kJ

cJ

Figura 25: Diagrama de blocos do sistema torcional de um grau de liberdade.

v(t)

vC(t)++

i(t)

R

C

Figura 26: Circuito RC.



38/238


ou ainda no domnio de Laplace:

VR = RIR, IC = CsVC.

Neste caso iR = iC pois os componentes estao em serie.Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff, obtem-se a equacao

v = vR + vC V = RCsVC + VC,

ou ainda,

s +

1

RCVC =

1

RCV.

Pode-se representar este sistema na forma de uma funcao de transferenciacomo:

VC = G(s)V =1

RC

s + 1RC

V.

Verifica-se que este sistema e de primeira ordem e que

vC =1

RCv 1

RCvC,

o que permite a construcao direta do diagrama de blocos da Figura 27.

vCv vC

1RC

1RC

Figura 27: Diagrama de blocos do circuito RC.

5.4 Circuito RLC

Seja um circuito formado por um resistor R, um indutor L e um capacitorC em serie com uma tensao v(t) de entrada e tendo como sada a tensao nocapacitor vC(t), conforme esquematizado na Figura 28.

As leis que governam os componentes do circuito sao:

vR = RiR, iC = CdvCdt

, vL = LdiLdt

.



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v(t)vC(t)+

+

i(t)

R

C

L

Figura 28: Circuito RLC.

ou no domnio de Laplace:

VR = RIR, IC = CsVC VL = LsIL.

Como os componentes estao em serie, todos apresentam a mesma cor-rente, ou seja, iR = iL = iC = i.

Deseja-se escrever a relacao entre a entrada v(t) e a sada vC(t). Con-sequentemente,

VR = RI = RCsVC,

VL = LsI = Ls(CsVC) = LCs2VC.

Aplicando-se a lei de malhas escreve-se

v = vR + vL + vC,

e substituindo as tensoes calculadas para cada componente tem-se

V = RCsVC + LCs2VC + VC,

s2 +R

Ls +

1

LC

VC =

1

LCV.

A funcao de transferencia neste caso e

G(s) =1

LC

s2 + RL

s + 1LC

.

A equacao diferencial correspondente ao sistema VC(t) = G(s)V(t) podeser escrita como

vC =1

LCv R

LvC 1

LCvC

que permite diretamente a representacao na forma de diagrama de blocos daFigura 29.



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vC1LC

v

1

LC

RL

vC vC

Figura 29: Diagrama de blocos para um circuito RLC.

5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus deliberdade

Seja o sistema massa-mola-amoretecedor de dois graus de liberdade repre-sentado na Figura 30.

Aplicando a lei de Newton escreve-se para cada massa:

k2(y2 y1) + c2(y2 y1) k1y1 c1y1 + u1(t) = m1y1,

k2(y2 y1) c2(y2 y1) + u2(t) = m2y2.Estas equacoes podem ser escritas na forma matricial como:

m1 00 m2

M

y1y2

y

+

(c1 + c2) c2

c2 c2

C

y1y2

y

+

+

(k1 + k2) k2

k2 k2

K

y1y2

y=

u1(t)u2(t)

u,

ou tambemMy + Cy + Ky = u(t),

onde M e a matriz de massa, C e a matriz de amortecimento, K e a matriz derigidez, y e vetor deslocamento, y e o vetor velocidade, y e o vetor aceleracaoe u(t) e o vetor de excitacao (forcas externas aplicadas).



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k1

k2

c1

c2

m1

m1

m2

m2

y1

y2

u1(t)

u1(t)

u2(t)

u2(t)

k1y1 c1y1

k2(y2 y1) c2(y2 y1)

y2 > y1

Figura 30: Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liberdade ediagramas de corpo livre.



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6 Linearizacao

Muitos problemas possuem termos nao lineares e que dificultam a analise.Uma forma de simplificar estes problemas e empregar uma linearizacao, queembora seja uma aproximacao, normalmente permite a analise do problema.

O aspecto central da linearizacao e a aplicacao da serie de Taylor, tomando-se ate o termo linear. Seja a Figura 31 em que f(x) e uma funcao nao lineare se deseja determinar uma aproximacao y(x) para f(x) em torno do pontox0.

f, y

f(x)

y(x)

xxo

Figura 31: Linearizacao.

A funcao f(x) pode ser expandida em serie de Taylor como

f(x) = f(x0) +df

dx

x0

(x x0)1!

+d2f

dx2

x0

(x x0)22!

+ ...

Tomando apenas o primeiro e o segundo termos tem-se

f(x)

y(x) = f(x0) +

df

dx x0(x

x0),

em torno do ponto x0, que e uma aproximacao linearizada para f(x).

Exemplo: Seja um tanque conforme a mostrado na Figura 32 no qual avazao de sada depende de forma nao linear do nvel de lquido no tanque.

Neste problema tem-se que: Fi e a vazao que entra no tanque, F e avazao que sai do tanque, h e a altura do nvel de lquido no tanque, e A e aarea da secao transversal do tanque.



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F

h

Fi

Figura 32: Esquema do tanque.

A vazao de sada depende da altura do nvel de lquido do tanque por

F =

h.

A equacao diferencial (nao linear) para a variacao da altura h no tanquee

Adh

dt= Fi F A dh

dt+

h = Fi.

A linearizacao deve ser conduzida para o termo nao linear correspondentea funcao f(h) =

h. Assim,

f(h) f(h0) + d(

h)

dh

h0

(h h0) =

h0 +1

2h120 (h h0).

Substituindo o resultado da linearizacao na equacao diferencial tem-se

Adh

dt+

h0 +

1

2

h0(h h0)

= Fi,

Adh

dt+

h

2

h0= Fi h0

2,

que agora e uma equacao direfencial linear.Os erros envolvidos na linearizacao aumentam a medida em que se distancia

do ponto em torno do qual a funcao foi linearizada. No caso deste exemplo,a aproximacao sera valida em torno do nvel h0.



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7 Formas padronizadas de sistemas com parametrosconcentrados

7.1 Sistema de ordem zero

Um sistema de ordem zero e descrito por uma equacao diferencial de ordemzero, ou seja, por uma equacao algebrica do tipo

a0y = b0x,

ou tambem

y = x, =

b0a0 ,

onde e a sensibilidade estatica.Um sistema de ordem zero e instantaneo, sem atraso ou distorcao. Um

sistema que pode ser considerado sistema de ordem zero e o termopar (trans-duz temperatura em voltagem instantaneamente, e pode ser linearizado numdado intervalo).

7.2 Sistema de primeira ordem

Um sistema de primeira ordem e descrito por uma equacao diferencial de

primeira ordem como

a1dy

dt+ a0y = b0x,

ou no domnio de Laplace,

(a1s + a0)Y = b0X.

Define-se = a1a0

como a constante de tempo e = b0a0

o ganho ou sensi-bilidade estatica. Logo,

( s + 1)Y = X.

A equacao homogenea e y + y = 0

e a equacao caracterstica e s + 1 = 0 cuja raiz e s = 1

.A solucao homogenea da equacao diferencial e do tipo

yh(t) = Aet .

Seja a condicao inicial y(0) = y0. Logo,

yh(t) = y0et .



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Para y0= 0 e t = , tem-se

y() = y0e1 = 0.3678y0 y()

y0= 0.3678.

Observa-se que a constante de tempo fornece uma medida da velocidadeque a resposta do sistema tende a zero. Nota-se que decorrido o tempo ,a reducao percentual da resposta natural e aproximadamente 37% do valorinicial y0, como ilustrado na Figura 33.

yh(t)

t

y0

0.3678y0

Figura 33: Resposta homogenea de um sistema de primeira ordem, > 0.

Seja o caso em que a entrada e um degrau unitario u(t). Neste caso, a

equacao diferencial do sistema ey + y = u(t).

A solucao particular e do tipo:

yp(t) = C,

pois o degrau e uma constante para t > 0.A solucao completa sera a soma da solucao homogenea e da solucao par-

ticular:y(t) = Ae

t + C.

Seja o caso particular da condicao inicial y(0) = 0. Logo,

y(0) = 0 = Ae0 + C = A + C A = C,e consequentemente,

y(t) = C(1 et )E possvel calcular a seguinte derivada

y(t) = C1

et .



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Substituindo y(t) e y(t) na equacao diferencial tem-se:

C1

et + C(1 et ) = C = ,

e portanto a solucao da equacao diferencial e

y(t) = (1 et ),

cuja representacao grafica esta na Figura 34.

y(t)

t

0.6321

Figura 34: Solucao completa de sistema de primeira ordem.

Verifica-se que para t = tem-se

y()

= 1 e1 = 0.6321,

ou seja, para um tempo igual a o sistema atingiu aproximadamente 63%da resposta de regime.

Um exemplo de sistema de primeira ordem e o modelo linearizado doenchimento do tanque dado por

A

dh

dt +

h

2h0 = Fi

h0

2 .

Um outro exemplo e o circuito RC descrito por

RCy + y = u(t),

com = RC e = 1.



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7.3 Sistema de segunda ordem

Um sistema de segunda ordem e descrito por uma equacao diferencial desegunda ordem como

a2y + a1y + a0y(t) = b0x(t) ou y +a1a2

y +a0a2

y =b0a2

x(t).

Esta equacao de segunda ordem pode ser escrita no domnio de Laplaceem uma forma padronizada como

(s2 + 2wns + w2n)Y = w

2nX,

onde

wn =

a0a2

,

e a frequencia natural,

=a1

2

a0a2,

e o fator de amortecimento, e

=b0a0

e o ganho estatico. Note que o ganho estatico e o fator que multiplicadopela amplitude da entrada resulta no valor de regime (desconsiderando-se osefeitos dinamicos de y e y).

A resposta natural do sistema e baseada na equacao homogenea, cujaequacao caracterstica e:

s2 + 2wns + w2n = 0.

As razes da equacao caracterstica sao s1,2 = wn wn

2 1, cujanatureza depende do valor de . Os casos possveis sao analisados a seguir.

Amortecimento subcrtico/sistema sub-amortecido, < 1

No caso de sistema sub-amortecido, < 1, as razes sao complexas conjugadase podem ser escritas como

s1,2 = wn jwn

1 2 = jwd,

onde = wn e a parte real e wd = wn

1 2 e a parte imaginaria(caracterizando a frequencia natural amortecida). Estas razes podem serrepresentadas no plano complexo como na Figura 35.



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wn = cte

= cte

s1

s2

wn

wn

wn

1 2

wn

1 2

(real)

jw (imaginario)

Figura 35: Representacao de um par complexo conjugado no plano complexo.

Nesta representacao verifica-se que wn e o raio do crculo e cos = .Observa-se que as razes s1 e s2 caminham sobre o crculo em funcao do valorde .

A solucao homogenea de um sistema de segunda ordem e do tipo

yh(t) = A1es1t + A2e

s2t = ewnt(A1ejwdt + A2e

jwdt) = Aewntsen(wdt + ),

que caracteriza uma resposta oscilatoria com frequencia wd.Considere uma entrada do tipo degrau unitario, u(t). A solucao particular

sera do tipoyp = C para t 0.

Logo, yp = 0 e yp = 0. Substituindo-se na equacao do sistema, tem-se,

w2nC = w2n C = .

A solucao completa do sistema e a soma da solucao particular e da solucaohomogenea:

y(t) = + Aewnt

sen(wdt + ),onde A e sao determinados atraves das condicoes iniciais.

Verifica-se da Figura 35 que:

sen =

1 2, cos = e tan =

1 2

.

No caso em que y(0) = 0 e y(0) = 0 (condicoes iniciais nulas) tem-se

y(0) = + Asen = 0 A = 1 2 ,



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y(0) = A(wn)sen + Awdcos = 0 tan =wd

wn =

1

2

.

Sistema criticamente amortecido, = 1

No caso criticamente amortecido, = 1, as razes sao reais e iguais e estaosobre o eixo real no plano complexo, ou seja,

s1 = s2 = wn = wn.A solucao transitoria (homogenea) e

yh(t) = A1ewnt + A2te

wnt,

que representa um movimento que nao oscila.Considerando a entrada um degrau unitario, a solucao completa e da

formay(t) = + A1e

wnt + A2tewnt.

Com as condicoes iniciais nulas, y(0) = 0 e y(0) = 0, tem-se

y(0) = 0 = + A1 A1 = ,y(0) = 0 = A1(wn) + A2 A2 = wn.

Sistema super-amortecido, > 1No caso de um sistema super-amortecido, > 1, as razes sao reais e distintas,ou seja,

s1 = wn

+

2 1

=

11

,

s2 = wn

2 1

=

12

.

A resposta transitoria (solucao da equacao homogenea) e

y(t) = A1et1 + A2e

t2 ,

e a solucao completa, considerando a entrada degrau unitario, e

y(t) = + A1et1 + A2e

t2 .

Quando as condicoes iniciais sao nulas, y(0) = 0 e y(0) = 0, tem-se

A1 =1

1 2 e A2 =2

1 2 .

Verifica-se que o caso super-amortecido apresenta uma resposta sem carateroscilatorio como esperado.



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Movimento harmonico simples, sistema nao amortecido, = 0

No caso sem amortecimento, as razes sao complexas conjugadas com partereal nula, ou seja, estao sobre o eixo imaginario. Neste caso, o sistemaapresentara uma resposta transitoria sem decaimento, caracterizando o mo-vimento harmonico simples, ou seja, wd = wn, = 0 e yh(t) = Asen(wnt).

8 Funcao de Transferencia

Seja um sistema que estabelece uma relacao entre entrada e sada esquema-tizada na Figura 36.

f(t) y(t)

(entrada) (sada)

sistema

Figura 36: Relacao entre entrada e sada.

Este sistema pode ser descrito por uma equacao diferencial do tipo

andny

dtn + an1

dn1ydtn1 + . . . + a1

dy

dt + a0y(t) = b0f(t).

Se as condicoes iniciais sao nulas, y(0) = y(0) = . . . = yn1(0) = 0, tem-seatraves da transformada de Laplace, que

Y(s)

F(s)= G(s) =

b0ansn + an1sn1 + . . . + a1s + a0

,

ou aindaY(s) = G(s)F(s)

onde G(s) e uma funcao de transferencia e o sistema pode ser representadoconforme esquematizado na Figura 37.

F(s) Y(s)G(s)

Figura 37: Relacao entrada-sada no domnio de Laplace.



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Caso o sistema possua duas entradas tem-se que

andny

dtn+ an1

dn1ydtn1

+ . . . + a1dy

dt+ a0y(t) = b1f1(t) + b2f2(t),

cuja representacao esta na Figura 38.

f1(t)

f2(t)

y(t)sistema

Figura 38: Representacao de um sistema com duas entradas e uma sada.

Considerando condicoes iniciais nulas e aplicando a transformada de La-place tem-se que

(ansn + an1s

n1 + . . . + a1s + a0)Y(s) = b1F1(s) + b2F2(s),

Y(s) =b1

ansn + an1sn

1 + . . . + a1s + a0

G1(s)F1(s)+

b2ans

n + an1sn1 + . . . + a1s + a0

G2(s)F2(s),

ou aindaY(s) = G1(s)F1(s) + G2(s)F2(s),

onde G1(s) e G2(s) sao as funcoes de transferancia que relacionam cadaentrada a sada, conforme esquematizado na Figura 39.

F1(s)

F2(s)

G1(s)

G2(s)

Y(s)

Figura 39: Representacao de um sistema com duas entradas e uma sada.

Para sistemas com multiplas entradas e multiplas sadas, define-se a ma-triz de transferencia como a matriz formada pelas relacoes entre cada entradae cada sada, considerando-se nulas todas as entradas exceto a entrada emquestao, e com todas as condicoes iniciais nulas.



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8.1 Resposta ao impulso e convolucao

Seja um sistema representado por

Y(s) = G(s)X(s),

onde G(s) e a funcao de transferencia.Sabe-se que a multiplicacao no domnio de Laplace e equivalente a con-

volucao no domnio do tempo. Portanto,

y(t) =t0

x()g(t )d =t0

g()x(t )d,

com g(t) = 0 e x(t) = 0 para t < 0.Seja uma entrada do tipo impulso unitario, x(t) = (t), com condicoes

iniciais nulas. Logo, X(s) = L[(t)] = 1, e entao

Y(s) = G(s).

Logo,y(t) = L1[G(s)] = g(t),

e a resposta ao impulso, ou seja, a transformada de Laplace da resposta aoimpulso de um sistema fornece a respectiva funcao de transferencia.

Na pratica, e possvel aproximar uma funcao impulso por uma funcaopulso de amplitude grande e de duracao pequena cuja area seja unitariaconforme mostrado na Figura 10. Nota-se que quando t0 0 o pulso tende aoimpulso. Portanto, a resposta de um sistema a um pulso de grande amplitudee de pequena duracao (area unitaria) tende a resposta do impulso do sistema.

8.2 Matriz de transferencia

O conceito de matriz de transferencia e aplicavel ao caso de sistemas commultiplas entradas e multiplas sadas.

Considere um sistema com m entradas e n sadas. As m entradas carac-terizam o vetor de entrada. As n sadas caracterizam o vetor de sada.

Seja, por exemplo, um sistema com duas entradas e duas sadas conformeesquematizado na Figura 40.

A relacao entre as sadas e as entradas e dada por

Y1(s) = G11(s)X1(s) + G12(s)X2(s),

Y2(s) = G21(s)X1(s) + G22(s)X2(s).



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X1(s)

X2(s)

Y1(s)

Y2(s)

G11

G12

G21

G22

Figura 40: Representacao de sistema com duas entradas e duas sadas.

Escrevendo na forma matricial tem-se queY1(s)Y2(s)

=

G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)

X1(s)X2(s)

,

sendo que Gij(s) e a funcao de transferencia relacionando a i-esima sadacom a j-esima entrada.

Generalizando, para m entradas e n sadas, tem-se

Y(s)n1 = G(s)nmX(s)m1

onde Y(s)n1 e a transformada de Laplace do vetor de sada, G(s)nm e amatriz de transferencia e X(s)m1 e a transformada de Laplace do vetor deentrada.

Exemplo: Considere o sistema da Figura 41 inicialmente em repouso.

Sejam as forcas u1(t) e u2(t) as entradas e sejam as posicoes y1(t) e y2(t)as sadas.

As equacoes do movimento podem ser escritas, ou seja, para a massa m1tem-se

m1y1 = c(y2 y1) k1y1 + u1(t),m1y1 + c(y1 y2) + k1y1 = u1(t),

e para a massa m2 tem-se

m2y2 = c(y2 y1) k2y2 + u2(t),



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k1

k2

c

m1

m1

m2m2

y1

y2

u1(t)

u1(t)

u2(t)

u2(t)

k1x1

k2x2c(x2 x1)

c(x2 x1)

Figura 41: Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liberdade.

m2y2 + c(y2 y1) + k2y2 = u2(t).Aplicando a transformada de Laplace as duas equacoes do movimento e

considerando condicoes iniciais nulas tem-se

(m1s2 + cs + k1)Y1(s) csY2(s) = U1(s),

(m2s2 + cs + k2)Y2(s) csY1(s) = U2(s).

Matricialmente pode-se escrever quem1s

2 + cs + k1 cscs m2s2 + cs + k2

G1

Y1(s)Y2(s)

=

U1(s)U2(s)

.

Portanto, Y1(s)Y2(s)

= G(s)

U1(s)U2(s)

,

onde

G(s) =1

(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs + k2) c2s2

m2s2 + cs + k2 cs

cs m1s2 + cs + k1

,

e a matriz de transferencia, neste caso 2 2.



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Consequentemente,

y1(t) = L1

(m2s2 + cs + k2)U1(s) + csU2(s)

(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs + k2) c2s2

,

y2(t) = L1

csU1(s) + (m1s2 + cs + k1)U2(s)

(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs + k2) c2s2

.

9 Criterios de Desempenho

Esta secao apresenta os principais parametros de desempenho no tempo de

sistemas de primeira e de segunda ordem.

9.1 Sistemas de Primeira Ordem

Seja um sistema de primeira ordem dado por

a1dy

dt+ a0y(t) = b0f(t) ou

dy

dt+ y = f(t),

onde = a1a0

e a constante de tempo e = b0a0

e a sensibilidade estatica.A transformada de Laplace correspondente e

sY(s) + Y(s) = F(s),

e a respectiva funcao de transferencia e

Y(s)

F(s)=

s + 1.

1. A resposta ao impulso deste sistema e

g(t) =

et ,

que se encontra ilustrada na Figura 42.

2. A resposta ao degrau, ou resposta indicial, de um sistema de primeiraordem e

y(t) = (1 e t),que se encontra ilustrada na Figura 43 para dois valores de constantede tempo (1 > 2) e na Figura 44 para dois valores da sensibilidadeestatica 1 > 2.



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t

(sistema estavel)

Figura 42: Resposta ao impulso de sistema de primeira ordem, > 0.

t

12

Figura 43: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - 1 > 2.

t

12

0, 631

0, 632

y(t)

Figura 44: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - 1 > 2.



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t

y(t)

(t)

Figura 45: Sistema de primeira ordem - resposta a rampa unitaria.

3. A resposta a rampa unitaria e dada por

y(t) = ( et + t ),

e esta representada na Figura 45.

A diferenca entre a rampa e a resposta do sistema e dada por

(t) = t y(t) = (1 e t),e o erro estacionario e

limt

(t) = .

9.2 Sistema de segunda ordem

Seja um sistema de segunda ordem na forma padronizada

d2y

dt2+ 2wn

dy

dt+ w2ny = w

2nf(t),

onde wn e a frequencia natural, e o fator de amortecimento e e o ganhoestatico.

A funcao de transferencia correspondente e

Y(s)

F(s)= G(s) =

w2ns2 + 2wns + w2n

.

As razes da equacao caracterstica sao

s1,2 = wn wn

2 1 wd

,

e os tres casos importantes de resposta natural podem ser analisados emfuncao do valor de , i.e.,



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> 1: sistema superamortecido, comportamento nao oscilatorio, cujaresposta ao impulso e

y(t) = C1es1t + C2e

s2t.

0 < < 1: sistema sub-amortecido, comportamento oscilatorio duranteo transitorio, cuja resposta ao impulso e

y(t) = C1ewnt(senwdt + ).

= 1: sistema criticamente amortecido, nao oscilatorio, cuja resposta

ao impulso ey(t) = (C1 + C2t)e

wnt.

O comportamento de um sistema de segunda ordem sub-amortecido enormalmente analisado em termos da resposta ao degrau atraves de algunsparametros que permitem uma adequada comparacao. Estes parametros saobrevemente descritos a seguir e ilustrados na Figura 46.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Resposta ao degrau unitario

Amplitude

Tempo (s)

tp te

ts

yp

eest

Figura 46: Sistema de segunda ordem - principais parametros de desempenhona resposta ao degrau.



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1. O valor de regime, , e o valor da resposta do sistema para um tempogrande, ou seja,

= limt

y(t).

Note que o valor de regime corresponde ao ganho est atico do sistemase a entrada for um degrau unitario.

2. O erro estacionario, eest, e a diferenca entre o valor da entrada e o valorde regime. No caso da entrada degrau, tem-se que:

eest = 1 .

3. O tempo de subida, ts, e o tempo para a resposta passar, por exemplo,de 10% do valor de regime para 90% do valor de regime.

4. O tempo para o pico maximo, tp, e o tempo para a resposta atingir oprimeiro pico da sobre-elevacao (overshoot).

5. O percentual de sobre-sinal, pss, representa o valor do pico em relacaoao valor de regime de forma percentual, ou seja,

pss = 100yp

.

A resposta ao degrau e

y(t) =

1 e

wnt

1 2 sen(wdt + )

,

O pico da curva de resposta pode ser determinado por

dy

dt= 0 wnsen(wdt + ) = wdcos(wdt + ),

ou aindatan(wdt + ) =

wdwn

=1 2

= tan,

para wdt = k, k = 0, 1, 2, . . .. O primeiro pico ocorre para wdtp = ,e entao, tp =

wd

e cos = .

Substituindo este resultado na equacao da resposta ao degrau tem-seque

yp = y(tp) =

1 ewn

wd

1 2 sen

wd

wd+

=Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2009 59


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= 1 e12

1 2 sen( + )

=

=

1 e

12

1 2 (sen 0

cos + sen cos 1

)

=

=

1 e

12

1 2 (sen) = 1 + e 12 .

Logo, o pss sera dado por:

pss = 100

1 + e

12

= 100e

12

.

Consequentemente pode-se escrever que

=ln 100

pss2 +

ln 100

pss

2 .

Nota-se que o pss e uma medida do fator de amortecimento, ou seja,dado tem-se o pss e vice-versa. Verifica-se que pss|=0 = 100% epss|=1 = 0%.

6. Constante de tempo de um sistema de segunda ordem

As curvas que limitam a resposta de um sistema sao chamadas de en-voltorias e estao ilustradas na Figura 47.

As equacoes das envoltorias sao determinadas em funcao dos pontoscrticos de y(t) e sao dadas por:

ev(t) =

1 ew

nt

1 2

.

Considerando a envoltoria superior, nota-se que:

ev(t)|t=0 =

1 +1

1 2

,

ev(t)|t= 1wn

=

1 +

e11 2

.



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envoltoria

valor de regime ()

y(t)

t

Figura 47: Curvas envoltorias.

Define-se a constante de tempo, , do sistema de segunda ordem como

=1

wn,

poisev() ev(0) =

e1

1= 0.3678,

que corresponde ao decaimento da envoltoria com relacao ao valor deregime de forma semelhante ao caso de um sistema de primeira ordem.

7. O tempo de estabilizacao e o tempo para o sistema apresentar x% deerro com relacao ao valor de regime.

O tempo de estabilizacao a 5% e dado por:

1 + e

t

12

0.05 e

t

1 2 0.05 e t 0.05

1 2.

E possvel calcular o tempo de estabilizacao para alguns valores de .

para = 0.1:

et 0.05 0.995 t

= 3.00.

para = 0.5:

et 0.05 0.866 t

= 3.14.



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para = 0.7:

et 0.05 0.714 t

= 3.33.

Portanto, uma aproximacao usual e que

te5% 3.2 = 3.2wn

.

Da mesma forma que foi feito para 5% pode-se fazer para 2% e obterque

te2% 4 = 4wn

.

8. Decremento logartmico.

Seja uma senoide amortecida correspondente a resposta do sistema,

y(t) = Aewnt(senwdt + ),

como mostrada na Figura 48.

t2

y1

y2

t1

y(t)

t

Figura 48: Senoide amortecida.

O perodo e dado por T = t2 t1 e e sabido que sen(wdt1 + ) =sen(wdt2 + ).

A relacao entre duas amplitudes consecutivas ey1y2

=Aewnt1

Aewnt2= ewnT = e

wn(2wd

)= e

212 .

O decremento logaritmico, l, e definido como

l = lny1y2

=21 2 .

Nota-se que l e uma medida do amortecimento do sistema. Para


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10 Estabilidade de sistemas lineares

Um sistema e considerado estavel se sua resposta nao cresce de forma ili-mitada para qualquer condicao inicial (resposta natural) ou para qualquerentrada limitada. A analise baseada na resposta natural caracteriza o que sechama de estabilidade de entrada nula e a analise baseada em uma entradalimitada caracteriza a estabilidade BIBO (bounded input - bounded output).

10.1 Estabilidade para entrada nula

Seja uma funcao de transferencia dada por

Y(s)

F(s)= G(s) =

Q(s)

P(s),

onde Q(s) e P(s) sao polinomios que representam o numerador e o denomi-nador respectivamente.

Estes polinomios sao tais que o grau de Q(s) e menor ou igual ao grau deP(s), caracterizando os sistemas nao antecipativos.

Considerando que nao existam cancelamentos entre fatores do numeradore do denominador, as razes de Q(s) sao denominadas de zeros de G(s), e asrazes de P(s) sao os polos G(s). Os polos de G(s) sao os pontos singulares

de G(s).Caso existam fatores comuns no numerador e denominar, atencao e re-

querida como no exemplo de

G(s) =(s 1)

(s 1)(s + 2) ,

em que se tem apenas apenas um polo que e 2. Note que nao ha singulari-dade para s = 1.

Seja uma funcao de transferencia, sem cancelamentos entre o numeradore o denominador, escrita na forma

G(s) =Q(s)

(s p1)(s p2)(s p3)m(s p4)(s p4)(s p5)(s p6)(s p6),

cujos polos estao representados na Figura 49.Os polos deste sistema podem ser classificados como a seguir.

1. Polos reais e distintos de multiplicidade 1 e nao nulos (p1 e p2).



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Tres situacoes podem ocorrer em funcao da posicao do polo p3:

se p3 > 0, entao a(t)ep3t , quando t . Se p3 = 0, entao a(t)ep3t = a(t) , quando t . Se p3 < 0, entao a(t)ep3t 0, quando t .

Nota-se que se p3 0 tem-se uma situacao de instabilidade.3. Polo simples na origem (p5).

A anti-transformada, neste caso, e uma constante como ilustrado naFigura 51, que caracteriza uma resposta marginalmente estavel (nao

decresce).

t

y(t)

Figura 51: Anti-transformada correspondente a um polo simples na origem.

4. Polos complexos conjugados (pares (p4,p4) e (p6,p

6)).

Neste caso, e possvel escrever que

C

(s p4)(s p4)=

D

(s2 + b2).

A anti-transformada de Laplace e do tipo:

eatsen(bt + )

onde a e a parte real dos polos. Nota-se que se a > 0 tem-se umasituacao instavel.

Para o caso particular em que a = 0, ou seja, polos complexos conjuga-dos sobre o eixo imaginario, tem-se resposta senoidal sem decaimento,Figura 53, que caracteriza uma resposta marginalmente estavel.



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tt

y(t)y(t)

a < 0 a > 0

Figura 52: Efeito de polos compolexos conjugados.

t

y(t)

Figura 53: Efeito de polo com parte real nula.



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Da analise anterior, e possvel concluir que:

Polos com parte real negativa, isto e, localizados no semi-plano es-querdo do plano complexo, contribuem com resposta estavel.

Polos com parte real positiva, isto e, localizados no semi-plano direitodo plano complexo, contribuem com resposta crescente com o tempoou instavel.

Polos simples com parte real nula, isto e, sobre o eixo imaginario, con-tribuem com resposta constante ou senoidal.

Polos multiplos na origem ou sobre o eixo imaginario acarretam insta-bilidade.

Uma avaliacao da estabilidade natural pode ser feita tambem atraves daresposta ao impulso. Lembrando que Y(s) = G(s)F(s) e que se F(s) = 1,ou seja, f(t) = (t) um impulso unitario, entao,

L1[Y(s)] = L1[G(s)] = y(t),onde y(t) e a resposta ao impulso do sistema, e que permite verificar a ins-tabilidade se esta crescer de forma ilimitada.

Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G1(s) =1s .

Este sistema possui um polo simples na origem, caracterizando uma res-posta natural marginalmente estavel. A resposta ao impulso deste sistema eum degrau u(t), que e limitada.

Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G2(s) =1000

s2+100.

Este sistema possui polos complexos conjugados sobre o eixo imaginario,caracterizando uma resposta senoidal marginalmente estavel. A resposta aoimpulso deste sistema e 100sen(10t)u(t), que e limitada.

Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G3(s) =

1

s2 .Este sistema possui polos multiplos na origem, e e portanto instavel. Aresposta ao impulso deste sistema e tu(t), que cresce de forma ilimitada.

10.2 Estabilidade BIBO

O conceito de estabilidade BIBO (bounded input - bounded output) estabe-lece que o sistema e estavel se a resposta permanece limitada para qualquerentrada limitada.



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A relacao entre a resposta Y(s) e a entrada F(s) de um sistema pode serescrita como

Y(s) = G(s)F(s),

e usando a propriedade de convolucao pode-se escrever que

y(t) = L1[G(s)F(s)] = g(t) f(t) =t0

g()f(t )d.

Se a entrada e limitada, entao pode-se escrever que

|f(t)| M < .

Para que a resposta seja limitada deseja-se que

|y(t)| =t0

g()f(t )d

t0

|g()||f(t )|d,

e consequentemente e possvel escrever que

|y(t)| Mt0

|g()|d.

Para que a resposta |y(t)| seja limitada, deve-se ter quet0

|g()|d < ,

que significa que a resposta ao impulso do sistema deve ser limitada.

11 Resposta em frequencia

11.1 Relacao de amplitude e angulo de fase

A resposta em regime de um sistema linear invariante no tempo a uma en-

trada senoidal e tambem de forma senoidal, com amplitude e fase distin-tos da entrada e dependentes das caractersticas dinamicas do sistema e dafrequencia de entrada.

Seja um sistema descrito por

Y(s)

F(s)= G(s) =

Q(s)

P(s),

com Q(s) e P(s) polinomios s.



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Seja uma entrada f(t) senoidal. Logo,

f(t) = Asenwt F(s) = L[f(t)] = Aws2 + w2

,

e consequentemente,

Y(s) = G(s)Aw

s2 + w2.

Uma expansao em fracoes parciais pode ser escrita como

Y(s) =C1

(s p1) +C2

(s p2) + . . . +Cn

s pn termos transitorios+

K1s + jw

+K2

s jw termos de regime

.

Realizando a anti-transformada de Laplace tem-se

y(t) =n

i=1

Ciepit + K1e

jwt + K2ejwt

onde a somatoria pode ser desconsiderada pois representa os termos tran-sitorios. Pressupoe-se que G(s) e estavel.

Logo, a resposta de regime e

y(t) = K1ejwt + K2e

jwt.

As constantes correspondentes sao:

K1 = (s + jw)G(s)Aw

(s + jw)(s jw)

s=jw

= G(jw) Aw2jw = G(jw)A

2j ,

K2 = (s jw)G(s) Aw(s + jw)(s jw)

s=jw

= G(jw)A

2j,

Pode-se escrever

G(jw) = |G(jw)|ej

, G(jw) = |G(jw)|ej

,

e

= G(jw) = tan1

Im(G(jw))

Re(G(jw))

.

Consequentemente,

y(t) = A2j

|G(jw)|ejejwt + A2j

|G(jw)|ejejwt == A|G(jw)|

ej(wt+)ej(wt+)

2j

=

= A|G(jw)|sen(wt + ).



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Nota: sen = ejej

2j

e|a + jb

|=

a2 + b2.

Portanto, se a entrada e

f(t) = Asenwt,

a sada seray(t) = A|G(jw)|sen(wt + ),

que representa uma resposta senoidal com outra amplitude e com uma defa-sagem em relacao a entrada.

A relacao de amplitudes RA entre a resposta e a entrada e dada por

RA = max y(t)max f(t)

= |G(jw)|.

Alguns exemplos sao apresentados a seguir.

11.2 Resposta em frequencia de um sistema de pri-meira ordem

Seja

G(s) =

s + 1.

Logo,

G(jw) =

1 + jw=

||1 + w22

ej,

= tan1w

1

= tan1(w).

A relacao de amplitudes sera dada por

RA =||

1 + w22.

11.3 Resposta em frequencia de um sistema de se-gunda ordem

Seja

G(s) =w2n

s2 + 2wns + w2n.

Logo,

G(jw) =w2n

w2 + j(2wnw) + w2n,



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|G(jw)| = |

|w2n

[(w2n w2)2 + 42w2nw2] 12 = RA,

= tan1 2wnw(w2n w2)

.

11.4 Resposta em frequencia de um integrador puro

Seja

G(s) =

s,

entao,

G(jw) = jw = j w = w ej,e se verifica que

|G(jw)| = w

= RA, = tan1

w

0

=

2.

11.5 Diagramas de Bode

Existem dois graficos usuais para representar as caractersticas de respostaem frequencia de sistemas.

Diagrama de amplitudes: plota as RA (em decibeis, dB) em funcao dew (escala log).

Digrama de fases: plota as fases em funcao de w em escala log.Para isso define-se a relacao de amplitudes em dB como

RAdB = 20log RA.

Sao apresentados a seguir os diagramas de Bode de alguns sistemas tpicos.

11.5.1 Diagramas de Bode para o integrador puro

A relacao de amplitudes para o integrador puro permite escrever que

RAdB = 20log

w= 20 log 20log w,

que e uma reta na escala dB-log do tipo

y = C 20x,



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cuja inclinacao e

20. Note que o para log w = 0 o cruzamento com o eixoda relacao de amplitude se da para 20 log .

A fase e = 2

constante.Os diagramas de Bode do integrador puro, G(s) = 1

s, sao mostrados na

Figura 54.

20

15

10

5

0

5

Mag

nitude(dB)

100

10191

90.5

90

89.5

89

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 54: Diagramas de Bode para G(s) = 1s

.

11.5.2 Diarama de Bode de sistemas de primeira ordem

Seja um sistema de primeira ordem dado por

G(s) =

s + 1

com > 0.

A relacao de amplitudes e o angulo de fase sao:

RA =

1 + w22, = tan1(w).

A relacao de amplitudes em dB e

RAdB = 20log

1 + w22

= 20 log 10 log(1 + w22).

E possvel conduzir a analise para dois casos.



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1. Baixas frequencias: w 1 w >> 1

1 + w22 w22, entao,

RAdB 20log 10 log(w)2 = 20log 20 log(w),

RAdB

20log

20log w

20log ,

RAdB 20log

20log w,que representa uma reta de inclinacao 20.

Em termos de fase, tem-se:

para w = 0 = tan1(0) = 0, para w = 1

= tan( 1

) =

4,

para w = tan() = 2

,

como mostrado na Figura 55.Como exemplo, os diagramas de Bode para G(s) = 1

s+1estao mostrados

na Figura 55.

11.5.3 Diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem emserie

Seja o sistema G(s) formado por varios sistemas de primeira ordem em serie,

G(s) = 1

1s + 12

2s + 1. . .

n

ns + 1.

A relacao de amplitudes e a fase podem ser escritas como

RA = |G(jw)| = 12 . . . n(1 + 21 w

2)(1 + 22 w2) . . . (1 + 2n w

2),

=n

i=1

i =n

i=1

tan1(wi).



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40

30

20

10

0

Magnitude(dB)

102

101

100

101

102

90

45

0

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 55: Diagramas de amplitudes e fases - sistema de primeira ordem.

A relacao de amplitudes em dB e dada por

RAdB =n

i=1

20log i 12

ni=1

20 log(1 + 2i w2) =

RAidB ,

que corresponde ao somatorio da relacao de amplitudes de cada sistema.

Exemplo: Sejam os sistemas de primeira ordem

G1(s) =5

s + 1e G2(s) =

2000

s + 100,

e o sistema resultante do produto destes, G(s) = G1(s)G2(s).As relacoes de amplitudes e as fases de dois sistemas de primeira ordempodem ser somadas diretamente nos graficos conforme na Figura 56.

Observa-se ainda que

lims0

G(s) = lims0

G1(s)G2(s) =

5

1

2000

100

= 100 = 40dB,

que corresponde ao valor para w 0 no diagrama de bode. Note ainda queo valor da resposta em frequencia para w 0 coresponde ao ganho estaticodo sistema.



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100

50

0

50

Magnitude(dB)

102

101

100

101

102

103

104

180

135

90

45

0

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

G1(s)G2(s)G(s)

Figura 56: Diagramas de Bode de dois sistemas de primeira ordem em serie.

Observa-se cada polo simples contribui com uma queda de -20dB/decadano diagrama de Bode. Note que um zero ira alterar o sinal da inclinacaoda reta, contribuindo com um efeito de +20dB/decada, assim como umacontrinuicao positiva na fase, como ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo: Sejam os sistemas de primeira ordem

G1(s) =5

s + 1e G2(s) =

s + 100

2000,

e o sistema resultante do produto destes, G(s) = G1(s)G2(s).As relacoes de amplitudes e as fases de dois sistemas de primeira ordem

podem ser somadas diretamente nos graficos conforme na Figura 57.

11.5.4 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem

A relacao de amplitudes para um sistema de segunda ordem e

RA =

[1 ( wwn

)2]2 + 42( wwn

)2,



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80

60

40

20

0

20

Magnitude(dB)

102

101

100

101

102

103

104

90

45

Apostila Controle Serpa - 09

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